Prueba de acceso a Grado Superior: Matemáticas y ejercicios resueltos

Capacidad después de una mejora

Una batería industrial almacenaba 48 kWh y, tras una mejora, alcanza 54,6 kWh. Calcula el porcentaje de aumento de capacidad.

La capacidad crece 54,6 − 48 = 6,6 kWh. Esa diferencia debe compararse con el valor de partida, no con el final:

Control rápido: el 10 % de 48 es 4,8 y el 3,75 % es 1,8; juntos suman los 6,6 kWh de aumento.

Recuperar el precio anterior a una rebaja

Después de aplicar una rebaja del 22 %, una licencia anual cuesta 136,50 €. Calcula el precio anterior.

1. Tras la rebaja se conserva el 78 % del precio: 100 % − 22 % = 78 %.
2. Si x es el precio anterior, 0,78x = 136,50.
3. Despejamos: x = 136,50 / 0,78 = 175.

Comprobación: el 22 % de 175 € son 38,50 €; 175 − 38,50 = 136,50 €.

Porcentaje de variedad robusta en una mezcla

Se mezclan 7 kg de café con un 30 % de variedad robusta y 5 kg con un 54 %. ¿Qué porcentaje de robusta contiene la mezcla?

El primer lote aporta 7 · 0,30 = 2,1 kg de robusta y el segundo, 5 · 0,54 = 2,7 kg. En total hay 4,8 kg de robusta dentro de 12 kg de mezcla.

Longitud y masa de un mismo cable

Un tramo de 18 m de cable pesa 7,2 kg. ¿Cuánto pesarán 31,5 m del mismo cable?

1. La masa por metro es 7,2 kg / 18 m = 0,4 kg/m.
2. Para 31,5 m: 31,5 m · 0,4 kg/m = 12,6 kg.

Dos equipos clasificando expedientes

Un equipo clasifica 15 expedientes por hora y otro 25. Si trabajan simultáneamente, mantienen sus ritmos y no duplican tareas, ¿cuánto tardan en clasificar 320 expedientes?

Juntos procesan 15 + 25 = 40 expedientes por hora. El tiempo se obtiene dividiendo el trabajo entre el ritmo conjunto:

En ese tiempo, el primer equipo clasifica 120 expedientes y el segundo 200; la suma recupera los 320.

Una ayuda repartida por número de participantes

Tres departamentos reciben una ayuda de 24 300 € proporcionalmente a sus 18, 27 y 36 participantes. Calcula el importe que corresponde a cada uno.

1. Total de participantes: 18 + 27 + 36 = 81.
2. Ayuda por participante: 24 300 / 81 = 300 €.
3. Importes: 18 · 300 = 5400 €; 27 · 300 = 8100 €; 36 · 300 = 10 800 €.

Los tres importes suman 24 300 € y mantienen la proporción 18:27:36.

Una salida y una entrada de existencias

Un almacén tiene 2400 unidades. Vende el 18 % y después recibe una entrega equivalente al 25 % de las unidades que quedaban. Calcula el stock final y la variación total respecto al inicio.

1. Después de la venta queda el 82 %: 2400 · 0,82 = 1968 unidades.
2. La entrega se calcula sobre esas 1968 unidades: 1968 · 0,25 = 492.
3. Stock final: 1968 + 492 = 2460 unidades.
4. Variación: (2460 − 2400) / 2400 · 100 = 2,5 %.

Los factores 0,82 y 1,25 dan 1,025. Por eso una caída del 18 % seguida de una subida del 25 % no produce una subida neta del 7 %.

Intereses de un préstamo durante nueve meses

Se prestan 3200 € al 4,5 % anual durante nueve meses, con interés simple. Calcula los intereses y la cantidad que habrá que devolver.

1. Nueve meses son 912 = 0,75 años y 4,5 % = 0,045.
2. I = 3200 · 0,045 · 0,75 = 108
3. Total: 3200 + 108 = 3308 €.

Paréntesis y reducción de términos

Resuelve 3(x − 2) − 2(x + 1) = 7.

1. Quitamos paréntesis: 3x − 6 − 2x − 2 = 7.
2. Reducimos: x − 8 = 7.
3. Sumamos 8 en ambos miembros: x = 15.
4. Comprobación: 3 · 13 − 2 · 16 = 39 − 32 = 7.

Eliminar denominadores sin perder términos

Resuelve x3 + x − 22 = 5.

1. El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6.
2. Multiplicamos toda la ecuación por 6: 2x + 3(x − 2) = 30.
3. 2x + 3x − 6 = 30, de donde 5x = 36.
4. x = 365 = 7,2.

El 6 multiplica a todos los términos, incluido el 5 del segundo miembro.

Una ecuación que se puede factorizar

Resuelve x² − 7x + 12 = 0.

1. Buscamos dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea −7: −3 y −4.
2. Factorizamos: (x − 3)(x − 4) = 0.
3. Un producto vale cero si alguno de sus factores vale cero.

Comprobar las soluciones después de elevar al cuadrado

Resuelve √(2x + 3) = x.

1. Para que exista la raíz, 2x + 3 ≥ 0, es decir, x ≥ −3/2. Además, como √(2x + 3) es no negativa e igual a x, toda solución debe cumplir x ≥ 0.
2. Elevamos al cuadrado: 2x + 3 = x².
3. Ordenamos: x² − 2x − 3 = 0 = (x − 3)(x + 1).
4. Las candidatas son x = 3 y x = −1.
5. Comprobamos en la ecuación inicial: x = 3 da √9 = 3; x = −1 da √1 = 1 ≠ −1.

Entradas de dos precios

En una actividad se venden 34 entradas: las de adulto cuestan 12 € y las juveniles 8 €. La recaudación es 336 €. ¿Cuántas entradas de cada clase se vendieron?

1. Llamamos x a las entradas de adulto e y a las juveniles.
2. x + y = 34    y    12x + 8y = 336
3. De la primera, y = 34 − x.
4. Sustituimos: 12x + 8(34 − x) = 336.
5. 12x + 272 − 8x = 336, luego 4x = 64 y x = 16.
6. y = 34 − 16 = 18.

Ventas en una jornada

En una jornada se venden bocadillos a 5 €, bebidas a 2 € y postres a 3 €. Se despachan 70 artículos, se recaudan 215 € y el número de bebidas supera en 15 al de bocadillos. ¿Cuántos se venden de cada tipo?

1. Llamamos x, y, z al número de bocadillos, bebidas y postres. Entonces x + y + z = 70, 5x + 2y + 3z = 215 e y = x + 15.
2. Sustituimos y en la primera ecuación: z = 70 − x − (x + 15) = 55 − 2x.
3. En la recaudación: 5x + 2(x + 15) + 3(55 − 2x) = 215.
4. Reducimos: x + 195 = 215, de donde x = 20.
5. Por tanto, y = 35 y z = 15.

Son 70 artículos y la recaudación es 20 · 5 + 35 · 2 + 15 · 3 = 215 €. Como la sustitución determina un único valor de x, el sistema es compatible determinado.

Expresar la solución mediante un intervalo

Resuelve 3x − 5 ≤ 2x + 4 y expresa la solución como intervalo.

1. Restamos 2x: x − 5 ≤ 4.
2. Sumamos 5: x ≤ 9.
3. El 9 está incluido porque la desigualdad permite la igualdad.

Operar y resolver mediante la inversa

Sean A = 1−230, B = 41−12, C = 2111 y D = 53. Calcula 2A + B^T y resuelve CX = D mediante C⁻¹.

1. 2A = 2−460 y B^T = 4−112.
2. Sumando término a término, 2A + B^T = 6−572.
3. det(C) = 2 · 1 − 1 · 1 = 1, así que C es invertible.
4. C⁻¹ = 1/det(C) · 1−1−12 = 1−1−12.
5. X = C⁻¹D = 21.

Comprobación: C · X = 53 = D y CC⁻¹ es la matriz identidad.

Recta que pasa por dos puntos

Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2, 5) y B(6, 13).

1. Calculamos la pendiente: m = 13 − 56 − 2 = 84 = 2
2. Utilizamos el punto A: y − 5 = 2(x − 2).
3. Desarrollamos: y − 5 = 2x − 4, por tanto y = 2x + 1.
4. Comprobación con B: 2 · 6 + 1 = 13.

Interpretar una tarifa de taxi

Un taxi cobra 3,50 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro, sin otros suplementos. Escribe la función del coste, calcula un trayecto de 8 km y averigua cuántos kilómetros se recorrieron si se pagaron 20,30 €.

1. Si x es la distancia en kilómetros y C(x) el coste en euros, C(x) = 3,50 + 1,20x, con x ≥ 0.
2. Para 8 km: C(8) = 3,50 + 1,20 · 8 = 13,10 €.
3. Si C = 20,30: 3,50 + 1,20x = 20,30.
4. 1,20x = 16,80 y x = 14 km.

El perfil de un arco

El perfil de un arco viene dado por h(x) = −0,5(x − 4)² + 8, con x y h en metros. Halla la altura máxima, los puntos de apoyo y el dominio físico del modelo.

1. La expresión está en forma de vértice. Como el coeficiente es negativo, el vértice (4, 8) es un máximo.
2. Para hallar los apoyos hacemos h(x) = 0: −0,5(x − 4)² + 8 = 0.
3. (x − 4)² = 16, luego x − 4 = ±4 y x = 0 o x = 8.
4. El perfil físico solo existe entre ambos apoyos: 0 ≤ x ≤ 8.

Producción y beneficio

El beneficio B, medido en euros, viene dado por B(x) = x(80 − x), donde x es un número entero de unidades y 0 ≤ x ≤ 80. ¿Para qué producciones se obtienen 1500 €? ¿Cuál es el beneficio máximo?

1. Para obtener 1500: x(80 − x) = 1500.
2. Ordenamos: x² − 80x + 1500 = 0.
3. El discriminante es 80² − 4 · 1500 = 400 y √400 = 20.
4. x = 80 ± 202, luego x = 30 o x = 50.
5. Para B(x) = −x² + 80x tomamos a = −1 y b = 80. El vértice está en x = −80/[2 · (−1)] = 40 y pertenece al dominio. B(40) = 1600 €.

Valores prohibidos en una función racional

Determina el dominio de f(x) = x + 1x² − 9.

1. Una fracción no está definida cuando su denominador vale cero.
2. x² − 9 = 0, por lo que (x − 3)(x + 3) = 0.
3. Los valores prohibidos son x = 3 y x = −3.

Elegir un parámetro en una función por tramos

Sea f(x) = kx + 1 si x < 3 y f(x) = x² − 2 si x ≥ 3. Determina k para que f sea continua en x = 3 y compruébalo.

1. El límite por la izquierda es 3k + 1.
2. Por la derecha, y también como valor de la función, f(3) = 3² − 2 = 7.
3. La continuidad exige 3k + 1 = 7.
4. Entonces 3k = 6 y k = 2.

Depreciación anual de un equipo

Un equipo cuesta 1200 € y pierde cada año el 15 % de su valor. ¿Cuánto valdrá después de tres años?

1. Conserva cada año el 85 % de su valor, por lo que el factor es 0,85.
2. V(3) = 1200 · 0,85³ = 736,95

La pérdida se aplica cada año al valor que queda, no siempre a los 1200 € iniciales.

Dimensiones reales a partir de un plano

En un plano a escala 1:80, una plataforma rectangular mide 7,5 cm por 4,8 cm. Calcula sus dimensiones reales y su superficie.

1. Cada centímetro del plano representa 80 cm reales.
2. Largo: 7,5 · 80 = 600 cm = 6 m.
3. Ancho: 4,8 · 80 = 384 cm = 3,84 m.
4. Superficie real: 6 · 3,84 = 23,04 m².

La escala se aplica una vez a cada longitud. Calcular 7,5 · 4,8 · 80 daría un área incorrecta.

Baldosas para una habitación

Una habitación rectangular mide 6,4 m por 4,8 m. Se colocarán baldosas cuadradas de 40 cm de lado y se comprará un 8 % adicional por cortes y roturas. ¿Cuántas baldosas deben comprarse?

1. Área de la habitación: 6,4 · 4,8 = 30,72 m².
2. Cada baldosa mide 0,40 m de lado y ocupa 0,40² = 0,16 m².
3. Sin desperdicio: 30,72 / 0,16 = 192 baldosas.
4. Con un 8 % adicional: 192 · 1,08 = 207,36.
5. No pueden comprarse fracciones de baldosa, así que se redondea hacia arriba.

Capacidad de un depósito cilíndrico

Un depósito cilíndrico tiene 1,2 m de radio interior y 2,5 m de altura útil. Calcula su capacidad aproximada en litros.

1. Volumen del cilindro: V = πr²h.
2. V = π · 1,2² · 2,5 = 3,6π m³.
3. Como 1 m³ = 1000 L, V = 3600π L ≈ 11 309,7 L.

Altura de una torre desde un punto de observación

Desde un punto situado a 45 m de la base de una torre se observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 32°. El instrumento está a 1,60 m del suelo. Calcula la altura de la torre. Usa tan 32° = 0,625.

1. La diferencia de altura entre el instrumento y la parte alta es el cateto opuesto. La distancia de 45 m es el contiguo.
2. tan 32° = h/45, luego h = 45 · 0,625 = 28,125 m.
3. Sumamos la altura del instrumento: 28,125 + 1,60 = 29,725 m.

No hay que olvidar los 1,60 m iniciales: la tangente proporciona la altura por encima del instrumento, no desde el suelo.

Distancia y altura de una antena

Dos puntos A y B están al mismo nivel y alineados con una antena vertical; B se encuentra 40 m más cerca. Desde A y B se miden ángulos α y β, con tan α = 0,75 y tan β = 1,25. Calcula la distancia de B a la antena y su altura.

1. Sea x la distancia desde B y h la altura. Desde B: h/x = 1,25, así que h = 1,25x.
2. Desde A la distancia es x + 40: h/(x + 40) = 0,75, de modo que h = 0,75(x + 40).
3. Igualamos: 1,25x = 0,75x + 30.
4. 0,50x = 30, luego x = 60 m.
5. h = 1,25 · 60 = 75 m.

Resumir una lista de datos

Calcula la media, la mediana y la moda de 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7 y 9.

1. La suma es 50 y hay 8 datos: media = 508 = 6,25.
2. Al haber 8 datos, la mediana es la media del cuarto y el quinto: 6 + 72 = 6,5.
3. El valor que más se repite es 7.

Una nota con apartados de distinto peso

Una prueba valora cálculo un 25 %, álgebra un 35 % y problemas un 40 %. Una persona obtiene 6,4, 7,2 y 8,1, respectivamente. Calcula la nota final.

1. Multiplicamos cada nota por su peso.
2. 0,25 · 6,4 + 0,35 · 7,2 + 0,40 · 8,1
3. 1,60 + 2,52 + 3,24 = 7,36.

Al menos un sensor defectuoso

Una caja contiene 12 sensores, de los que 3 son defectuosos. Se eligen 3 sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que aparezca al menos uno defectuoso.

Es más corto calcular primero el suceso contrario: que los tres sensores elegidos estén bien. Hay 9 sensores correctos entre los 12.

“Al menos uno” incluye uno, dos o tres defectuosos. El complementario evita sumar esos tres casos por separado.

Documentación completa en dos grupos

El 60 % de quienes solicitan una beca tiene experiencia laboral. Presenta completa la documentación el 75 % de ese grupo y el 55 % de quienes no tienen experiencia. Calcula la probabilidad de recibir una solicitud completa y la probabilidad conjunta de que proceda de alguien sin experiencia.

1. Con experiencia y completa: 0,60 · 0,75 = 0,45.
2. Sin experiencia y completa: 0,40 · 0,55 = 0,22.
3. Los dos caminos son incompatibles, por lo que P(completa) = 0,45 + 0,22 = 0,67.

La segunda pregunta pide una intersección. No debe dividirse entre el 67 %, porque no se pregunta por una probabilidad condicionada.

Identificar un proveedor después de un retraso

El proveedor N entrega el 45 % de los componentes y retrasa el 4 % de sus envíos. El proveedor S entrega el 55 % y retrasa el 9 %. Si un componente llegó tarde, calcula la probabilidad de que proceda de S.

1. P(S ∩ retraso) = 0,55 · 0,09 = 0,0495.
2. P(retraso) = 0,45 · 0,04 + 0,55 · 0,09 = 0,018 + 0,0495 = 0,0675.
3. P(S | retraso) = 0,0495 / 0,0675 = 11/15.

De 10 000 envíos esperaríamos 180 retrasos de N y 495 de S. Entre los 675 retrasos, 495 proceden de S: 495/675 = 11/15.

Categoría modal en un registro de incidencias

En 80 incidencias técnicas se registran 21 de conexión, 15 de software, 24 de acceso y 20 de equipo. Determina la categoría modal y su frecuencia relativa.

La mayor frecuencia absoluta es 24, correspondiente a las incidencias de acceso. Su frecuencia relativa es:

Operaciones con potencias de diez

Calcula 3,6 · 10⁵ · 2,5 · 10⁻³9 · 10 y expresa el resultado en notación científica.

Variables y datos. Hay dos coeficientes decimales y dos potencias de diez en el numerador. Se pide simplificar toda la expresión sin convertir prematuramente cada cantidad a forma decimal.

Cómo abordarlo. Se agrupan por separado los coeficientes y las potencias de la misma base. Al dividir potencias de diez se restan sus exponentes.

1. Reordenamos los factores sin cambiar su valor: 3,6 · 2,59 · 10⁵⁻³⁻¹
2. El producto de los coeficientes del numerador es 3,6 · 2,5 = 9.
3. La parte numérica queda 99 = 1.
4. El exponente neto es 5 − 3 − 1 = 1. Por tanto, la potencia resultante es 10¹.
5. Unimos ambas partes: 1 · 10¹ = 10.

Una última revisión. De forma decimal, 3,6 · 10⁵ = 360 000 y 2,5 · 10⁻³ = 0,0025. Su producto es 900 y el denominador es 90. El cociente vuelve a ser 10.

Operación combinada sin perder el orden

Calcula 34 − [23 − (12 · 56)].

Punto de partida. La expresión contiene paréntesis, corchetes, un producto y varias restas. Se busca una fracción irreducible.

Enfoque. Se respeta la jerarquía de operaciones. Primero se resuelve el producto del paréntesis, después el corchete y finalmente la resta exterior.

1. Producto interior: 12 · 56 = 512
2. Para restar dentro del corchete, expresamos 23 con denominador 12: 23 = 812.
3. Resolvemos el corchete: 812 − 512 = 312 = 14
4. La expresión completa queda 34 − 14.
5. Como los denominadores coinciden, restamos los numeradores: 3 − 14 = 24 = 12

Comprobación. El valor del corchete es positivo y menor que 34. Por tanto, el resultado debe ser positivo y menor que 34. La fracción 12 cumple ambas condiciones.

Recuperar el precio anterior

Tras subir un 12 %, una matrícula cuesta 873,60 €. ¿Cuál era su precio antes de la subida?

Datos que importan. Precio final 873,60 €. Aumento 12 %. La incógnita x es el precio inicial.

La observación útil. El precio final representa el 112 % del inicial. No hay que restar el 12 % de 873,60 €, porque ese porcentaje se calculó sobre una base anterior desconocida.

1. Transformamos el porcentaje final en factor multiplicativo: 112 % = 1,12.
2. Planteamos la relación entre ambos precios: 1,12x = 873,60
3. Despejamos la cantidad inicial: x = 873,601,12
4. Efectuamos el cociente: x = 780.
5. Calculamos la subida para comprobarla: 780 · 0,12 = 93,60 €.

Control. 780 € + 93,60 € = 873,60 €. La comprobación reproduce exactamente el precio final y confirma que se ha usado como base el precio inicial.

Dos rebajas no se suman

Un equipo de 640 € recibe un descuento del 15 % y después otro del 10 %. Calcula el precio final y la rebaja efectiva respecto al precio inicial.

Qué sabemos. Precio inicial 640 €. Primer descuento 15 %. Segundo descuento 10 %. Se piden el precio final y el porcentaje total rebajado.

Modelo. Los descuentos se aplican de forma sucesiva sobre bases diferentes. Sus factores son 0,85 y 0,90, por lo que deben multiplicarse.

1. Después del primer descuento queda el 85 % del precio: 640 · 0,85 = 544 €.
2. El segundo descuento actúa sobre 544 €, no sobre 640 €: 544 · 0,90 = 489,60 €.
3. También puede hacerse en una sola expresión: 640 · 0,85 · 0,90 = 489,60
4. La rebaja en euros es 640 − 489,60 = 150,40 €.
5. Comparamos esa rebaja con el precio inicial: 150,40640 · 100 = 23,5 %

Lectura del resultado. El factor total es 0,85 · 0,90 = 0,765. Se conserva el 76,5 % del precio y, por tanto, se descuenta el 23,5 %. No se obtiene un 25 % porque el segundo descuento se calcula sobre un precio ya rebajado.

Organización de una cuadrilla

Seis trabajadores tardan 15 días en terminar una obra. ¿Cuánto tardarían diez si todos mantienen el mismo ritmo y el trabajo puede repartirse sin pérdidas de eficiencia?

Traducción del enunciado. Primera cuadrilla 6 trabajadores. Tiempo inicial 15 días. Segunda cuadrilla 10 trabajadores. La incógnita d es el nuevo tiempo.

Paso decisivo. Para una cantidad fija de trabajo, al aumentar el número de trabajadores disminuye el tiempo. El producto trabajadores · días permanece constante.

1. Medimos la obra en jornadas de una persona: 6 · 15 = 90 jornadas.
2. Planteamos la igualdad de trabajo: 6 · 15 = 10d
3. Despejamos: d = 6 · 1510
4. Calculamos: d = 9010 = 9 días.

Chequeo. La primera organización aporta 6 · 15 = 90 jornadas y la segunda 10 · 9 = 90 jornadas. Además, tiene sentido que diez personas empleen menos tiempo que seis.

Un viaje de ida y vuelta

Un vehículo recorre 120 km a 80 km·h⁻¹ y regresa por la misma ruta a 60 km·h⁻¹. Calcula la rapidez media del viaje completo.

Qué debemos comparar. Cada trayecto mide 120 km. La rapidez media es la distancia total dividida entre el tiempo total.

1. Tiempo de ida: 120/80 = 1,5 h.
2. Tiempo de vuelta: 120/60 = 2 h.
3. Distancia total: 240 km. Tiempo total: 3,5 h.
4. Rapidez media: 240/3,5 ≈ 68,57 km·h⁻¹.

El valor queda más cerca de 60 porque se circula más tiempo a la rapidez menor. Como el viaje termina donde empezó, la velocidad media vectorial sería 0; aquí hemos calculado rapidez media.

Adaptar una receta

Una receta para cinco personas necesita 600 g de harina. ¿Cuánta harina hace falta para ocho personas si se mantienen las mismas proporciones?

Variables y datos. Cinco personas necesitan 600 g. La incógnita h es la harina necesaria para ocho personas.

Cómo abordarlo. La cantidad de harina es directamente proporcional al número de personas. Al multiplicar el número de comensales por un factor, la harina se multiplica por el mismo factor.

1. Calculamos la harina correspondiente a una persona: 600 g5 = 120 g
2. Multiplicamos la cantidad individual por ocho: 120 · 8 = 960 g.
3. De forma equivalente, el factor de ampliación es 85 = 1,6.
4. Aplicando el factor a la receta original: 600 · 1,6 = 960 g.

Una última revisión. Ocho personas son más que cinco, por lo que la cantidad debe superar 600 g. Además, 960 g repartidos entre ocho personas dan 120 g por persona, la misma proporción que al principio.

Aumentar una concentración

Hay 10 kg de una disolución al 30 % en masa. ¿Cuántos kilogramos de soluto puro deben añadirse para obtener una concentración final del 50 % en masa?

Punto de partida. Masa inicial 10 kg. Concentración inicial 30 %. Concentración final 50 %. La incógnita x representa los kilogramos de soluto puro añadidos.

Enfoque. Al añadir soluto puro aumentan a la vez la masa de soluto y la masa total. La concentración final es la razón entre ambas.

1. Soluto presente al comienzo: 10 · 0,30 = 3 kg.
2. Después de añadir x kilogramos habrá 3 + x kg de soluto.
3. La masa total será 10 + x kg.
4. Planteamos la concentración final: 3 + x10 + x = 0,50
5. Multiplicamos por 10 + x: 3 + x = 0,50(10 + x).
6. Desarrollamos y resolvemos: 3 + x = 5 + 0,50x, luego 0,50x = 2 y x = 4.

Comprobación. Al final hay 3 + 4 = 7 kg de soluto en 10 + 4 = 14 kg de mezcla. La fracción 714 equivale a 0,50.

Depósito durante quince meses

Se depositan 4500 € al 4,2 % anual durante 15 meses con interés simple. Calcula los intereses generados y el capital final.

Datos que importan. Capital inicial C = 4500 €. Tipo anual r = 4,2 % = 0,042. Tiempo 15 meses. Se piden el interés I y el capital final.

La observación útil. En el interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. El tiempo debe expresarse en años para ser coherente con un tipo anual.

1. Convertimos los meses en años: t = 1512 = 54 = 1,25 años
2. Aplicamos el modelo I = C · r · t.
3. Sustituimos: I = 4500 · 0,042 · 1,25.
4. Interés de un año: 4500 · 0,042 = 189 €. Para 1,25 años: 189 · 1,25 = 236,25 €.
5. Capital final: 4500 + 236,25 = 4736,25 €.

Control. Quince meses son algo más de un año, por lo que el interés debe ser algo mayor que 189 €. Los 236,25 € obtenidos son coherentes.

Capitalización anual

Calcula el valor de 6000 € colocados al 2,5 % anual compuesto durante tres años y determina el interés total ganado.

Qué sabemos. Capital inicial 6000 €. Tipo anual 2,5 %. Tiempo 3 años. Los intereses de cada año se incorporan al capital del siguiente.

Modelo. Cada año se conserva el 100 % del capital anterior y se añade un 2,5 %. Por tanto, el factor anual es 1,025 y se aplica tres veces.

1. Modelo de capitalización: C₃ = 6000 · (1 + 0,025)³
2. Simplificamos el factor: C₃ = 6000 · 1,025³.
3. Después del primer año: 6000 · 1,025 = 6150 €.
4. Después del segundo: 6150 · 1,025 = 6303,75 €.
5. Después del tercero: 6303,75 · 1,025 = 6461,34375 €.
6. Redondeamos a céntimos y calculamos la ganancia: 6461,34 − 6000 = 461,34 €.

Lectura del resultado. Con interés simple se obtendrían 6000 · 0,025 · 3 = 450 €. El interés compuesto debe dar una cantidad ligeramente mayor, como ocurre con 461,34 €.

Orden correcto de las operaciones

Un producto tiene un precio base, antes de impuestos, de 1250 €. Se aplica un descuento comercial del 12 % y después un IVA del 21 % sobre el importe rebajado. Calcula el importe final y la variación porcentual respecto al precio base.

Traducción del enunciado. Precio base 1250 €. Descuento 12 %. IVA 21 %. Se piden el pago final y la variación neta.

Paso decisivo. Primero se calcula el precio rebajado y sobre esa nueva base se aplica el impuesto. Los factores sucesivos son 0,88 y 1,21.

1. Importe del descuento: 1250 · 0,12 = 150 €.
2. Precio después del descuento: 1250 − 150 = 1100 €.
3. IVA sobre el precio rebajado: 1100 · 0,21 = 231 €.
4. Importe final: 1100 + 231 = 1331 €.
5. La diferencia respecto al precio base es 1331 − 1250 = 81 €.
6. Variación porcentual: 811250 · 100 = 6,48 %

Chequeo. El factor total es 0,88 · 1,21 = 1,0648. Aplicado a 1250 € produce 1331 €. El descuento y el IVA no se compensan porque actúan sobre bases distintas.

Cuántas unidades hay que vender

Una actividad tiene 2400 € de costes fijos, un coste variable de 18 € por unidad y un precio de venta de 30 € por unidad. ¿A partir de cuántas unidades deja de haber pérdidas?

Antes de calcular. Coste fijo 2400 €. Coste variable unitario 18 €. Precio unitario 30 €. La incógnita x es un número entero no negativo de unidades vendidas.

Estrategia. En el punto de equilibrio los ingresos y los costes son iguales. Por debajo hay pérdidas y por encima hay beneficio.

1. Ingresos por x unidades: I(x) = 30x.
2. Costes totales: C(x) = 2400 + 18x.
3. Igualamos ambas funciones: 30x = 2400 + 18x
4. Restamos 18x en ambos miembros: 12x = 2400.
5. Despejamos: x = 240012 = 200
6. Con 200 unidades, I(200) = 6000 € y C(200) = 2400 + 3600 = 6000 €.

Sentido del resultado. Cada unidad aporta 30 − 18 = 12 € para cubrir el coste fijo. Se necesitan exactamente 240012 = 200 aportaciones.

Dos distancias posibles

Resuelve |2x − 5| = 9.

Variables y datos. Se busca todo número real x cuya expresión 2x − 5 esté a una distancia de 9 unidades respecto de cero.

Cómo abordarlo. Si |A| = 9, entonces A puede valer 9 o −9. Por eso una ecuación de valor absoluto de este tipo se desdobla en dos ecuaciones lineales.

1. Primer caso: 2x − 5 = 9.
2. Sumamos 5 en ambos miembros: 2x = 14. Después dividimos entre 2 y obtenemos x = 7.
3. Segundo caso: 2x − 5 = −9.
4. Sumamos 5: 2x = −4. Al dividir entre 2 resulta x = −2.
5. El conjunto de candidatas es {−2, 7}.

Una última revisión. Para x = 7 se obtiene |14 − 5| = |9| = 9. Para x = −2 se obtiene |−4 − 5| = |−9| = 9. Ambas soluciones son válidas.

Denominadores y valores prohibidos

Resuelve 2x − 1 + 1x + 1 = 3x² − 1.

Punto de partida. La incógnita aparece en tres denominadores. Antes de operar hay que determinar qué valores de x anulan alguno de ellos.

Enfoque. Se factoriza x² − 1 = (x − 1)(x + 1) y se multiplica toda la ecuación por ese denominador común. Los valores prohibidos nunca pueden recuperarse como soluciones.

1. Restricciones: x − 1 ≠ 0 y x + 1 ≠ 0. Por tanto, x ≠ 1 y x ≠ −1.
2. El mínimo denominador común es (x − 1)(x + 1).
3. Multiplicamos todos los términos por él: 2(x + 1) + (x − 1) = 3
4. Quitamos paréntesis: 2x + 2 + x − 1 = 3.
5. Reducimos términos: 3x + 1 = 3, luego 3x = 2.
6. Despejamos: x = 23

Comprobación. La solución no coincide con 1 ni con −1. Para x = 2/3, ambos miembros valen −27/5.

Dimensiones de un rectángulo

Un rectángulo mide 3 m más de largo que de ancho y tiene un área de 54 m². Calcula sus dimensiones.

Datos que importan. Área 54 m². Diferencia entre largo y ancho 3 m. Llamamos x al ancho.

La observación útil. El largo se expresa en función del ancho y se utiliza la fórmula área = largo · ancho. La solución algebraica negativa se descartará por el significado geométrico.

1. Ancho = x y largo = x + 3.
2. Planteamos el área: x(x + 3) = 54.
3. Desarrollamos y pasamos todo al primer miembro: x² + 3x − 54 = 0.
4. Buscamos dos números cuyo producto sea −54 y cuya suma sea 3. Son 9 y −6.
5. Factorizamos: (x + 9)(x − 6) = 0.
6. Las raíces son x = −9 y x = 6. Solo x = 6 puede representar una longitud.
7. El largo es 6 + 3 = 9 m.

Control. La diferencia es 9 − 6 = 3 m y el área es 6 · 9 = 54 m². Se cumplen las dos condiciones del enunciado.

Combinar dos precios

Se quieren obtener 20 kg de una mezcla a 4,20 €·kg⁻¹ utilizando productos de 3,60 €·kg⁻¹ y 5,10 €·kg⁻¹. ¿Cuántos kilogramos deben emplearse de cada producto?

Qué sabemos. Masa total 20 kg. Coste objetivo 4,20 € por kilogramo. Sean x los kilogramos del producto barato e y los del caro.

Modelo. Se conservan dos magnitudes. La primera ecuación expresa la masa total y la segunda el coste total de la mezcla.

1. Ecuación de masas: x + y = 20.
2. El coste total deseado es 20 · 4,20 = 84 €.
3. Ecuación de costes: 3,60x + 5,10y = 84.
4. De la primera ecuación despejamos x = 20 − y.
5. Sustituimos: 3,60(20 − y) + 5,10y = 84.
6. Desarrollamos: 72 − 3,60y + 5,10y = 84, luego 1,50y = 12.
7. Obtenemos y = 8 kg y x = 20 − 8 = 12 kg.

Lectura del resultado. La masa es 12 + 8 = 20 kg. El coste es 12 · 3,60 + 8 · 5,10 = 43,20 + 40,80 = 84 €, que corresponde a 4,20 € por kilogramo.

Reparto con relaciones

Tres cantidades suman 100. La primera duplica la segunda y la tercera supera en 10 unidades a la segunda. Halla las tres cantidades.

Traducción del enunciado. Sean x, y, z las cantidades en el orden citado. Se conoce su suma y dos relaciones entre ellas.

Paso decisivo. Las relaciones permiten escribir x y z en función de y. Así, el sistema de tres incógnitas se reduce a una sola ecuación.

1. Suma total: x + y + z = 100.
2. Primera relación: x = 2y.
3. Segunda relación: z = y + 10.
4. Sustituimos en la suma: 2y + y + (y + 10) = 100.
5. Reducimos: 4y + 10 = 100, luego 4y = 90.
6. Despejamos y = 22,5.
7. Calculamos las otras cantidades: x = 2 · 22,5 = 45 y z = 22,5 + 10 = 32,5.

Chequeo. 45 + 22,5 + 32,5 = 100. Además, 45 es el doble de 22,5 y 32,5 supera a 22,5 en 10 unidades.

Compatibilidad según el valor de k

Estudia, según el valor de k, el sistema formado por x + y = 4 y 2x + 2y = k.

Antes de calcular. El parámetro k solo aparece en el término independiente de la segunda ecuación. Se pide clasificar el sistema, no encontrar una única pareja concreta.

Estrategia. Los coeficientes de la segunda ecuación son exactamente el doble de los de la primera. La relación entre los términos independientes decidirá si ambas ecuaciones representan la misma recta o dos rectas paralelas.

1. Multiplicamos la primera ecuación por 2: 2x + 2y = 8.
2. Si k = 8, la segunda ecuación coincide con la anterior.
3. En ese caso, todas las parejas de la forma (x, 4 − x), con x ∈ R, satisfacen ambas ecuaciones. Hay infinitas soluciones.
4. Si k ≠ 8, las dos ecuaciones tienen el mismo primer miembro pero distintos términos independientes.
5. Geométricamente son rectas paralelas distintas. No existe ninguna pareja que cumpla ambas.
6. No puede aparecer una solución única para ningún valor de k, porque los coeficientes siempre son proporcionales.

Sentido del resultado. Restar dos veces la primera ecuación a la segunda produce 0 = k − 8. Esta igualdad solo es cierta cuando k = 8 y resume toda la clasificación.

Coste de una tarifa

Una tarifa incluye 15 € fijos y 0,08 € por minuto consumido. Escribe la función del coste y calcula cuántos minutos se consumieron si la factura fue de 35 €.

Variables y datos. Cuota fija 15 €. Precio variable 0,08 € por minuto. La variable m representa los minutos y C(m) el coste total.

Modelo. Una función afín suma una parte fija y otra proporcional al consumo. El término independiente es 15 € y la pendiente es 0,08 €/min.

1. Coste variable de m minutos: 0,08m.
2. Función completa: C(m) = 15 + 0,08m, con m ≥ 0. Si se facturan minutos completos, m ∈ N₀.
3. Igualamos al importe conocido: 15 + 0,08m = 35.
4. Restamos la cuota fija: 0,08m = 20.
5. Despejamos: m = 200,08 = 250

Una última revisión. C(250) = 15 + 0,08 · 250 = 15 + 20 = 35 €. El resultado reproduce la factura.

Tarifa de aparcamiento

Un aparcamiento cobra 2 €·h⁻¹ hasta dos horas. Por el tiempo que exceda de dos horas cobra los 4 € iniciales más 1,20 € por cada hora adicional. Escribe C(t), calcula el coste de cinco horas y estudia la continuidad en t = 2.

Punto de partida. Primer tramo desde 0 hasta 2 horas. Segundo tramo para t mayor que 2. Se pide modelizar el coste, evaluarlo y comparar los dos tramos en el punto de unión.

Enfoque. La expresión cambia después de dos horas, pero el segundo tramo debe comenzar desde los 4 € ya acumulados.

1. Para 0 ≤ t ≤ 2, el coste es C(t) = 2t.
2. Para t > 2, se pagan 4 € por las dos primeras horas y 1,20(t − 2) por el exceso. Así, C(t) = 4 + 1,20(t − 2).
3. Como 5 > 2, usamos el segundo tramo: C(5) = 4 + 1,20(5 − 2).
4. C(5) = 4 + 1,20 · 3 = 7,60 €.
5. En t = 2, el primer tramo vale 2 · 2 = 4 €.
6. Al aproximarnos a 2 por el segundo tramo obtenemos 4 + 1,20(2 − 2) = 4 €. Ambos valores coinciden.

Comprobación. No aparece ningún salto en la tarifa. Justo antes y justo después de dos horas el coste se aproxima a 4 €.

Reconstruir una función por sus ceros

Una parábola corta el eje X en x = 2 y x = 6 y pasa por el punto (0, 12). Halla su ecuación, su eje de simetría y su vértice.

Datos que importan. Las raíces son 2 y 6. Además, f(0) = 12. Se busca el coeficiente principal y los elementos básicos de la gráfica.

La observación útil. Una función cuadrática con raíces r₁ y r₂ puede escribirse como f(x) = a(x − r₁)(x − r₂).

1. Usamos las raíces: f(x) = a(x − 2)(x − 6).
2. Imponemos el punto conocido: 12 = a(0 − 2)(0 − 6).
3. Entonces 12 = 12a y, por tanto, a = 1.
4. La función es f(x) = (x − 2)(x − 6) = x² − 8x + 12.
5. El eje de simetría está en el punto medio de las raíces: x = 2 + 62 = 4
6. Ordenada del vértice: f(4) = 16 − 32 + 12 = −4.

Control. f(2) = 0, f(6) = 0 y f(0) = 12. Como el coeficiente de x² es positivo, el vértice es un mínimo, coherente con su ordenada −4.

Aumento repetido de una población

Una población de 640 individuos crece un 25 % en cada periodo. ¿Cuántos individuos habrá después de tres periodos?

Qué sabemos. Población inicial 640. Aumento por periodo 25 %. Número de periodos 3.

Modelo. En cada periodo se multiplica por 1,25. El crecimiento es compuesto porque cada aumento se calcula sobre la población ya aumentada.

1. Factor de crecimiento: 1 + 0,25 = 1,25.
2. Modelo: P(n) = 640 · 1,25ⁿ, con n ∈ {0, 1, 2, …}.
3. Para n = 3: P(3) = 640 · 1,25³.
4. Calculamos 1,25² = 1,5625 y 1,25³ = 1,953125.
5. P(3) = 640 · 1,953125 = 1250.

Lectura del resultado. Periodo a periodo se obtienen 800, 1000 y 1250 individuos. Esta secuencia confirma el resultado y muestra por qué no basta con sumar un 75 % al valor inicial.

Raíz y denominador a la vez

Determina el dominio de f(x) = √(5 − 2x)x + 1.

Traducción del enunciado. La variable aparece dentro de una raíz cuadrada y en un denominador. Deben cumplirse simultáneamente las dos restricciones.

Paso decisivo. El radicando de una raíz cuadrada real debe ser mayor o igual que cero y el denominador debe ser distinto de cero.

1. Condición de la raíz: 5 − 2x ≥ 0.
2. Restamos 5: −2x ≥ −5.
3. Dividimos entre −2 y cambiamos el sentido de la desigualdad: x ≤ 52.
4. Condición del denominador: x + 1 ≠ 0, luego x ≠ −1.
5. Partimos el intervalo x ≤ 52 en el punto excluido −1.

Chequeo. El extremo x = 52 se admite porque hace cero el radicando, y √0 existe. El valor x = −1 se excluye porque anula el denominador.

Deshacer una función afín

Halla la función inversa de f(x) = 3x − 7 y comprueba el resultado mediante una composición.

Antes de calcular. La función multiplica por 3 y después resta 7. La inversa debe deshacer esas operaciones en orden contrario.

Estrategia. Se escribe y = f(x), se intercambian las variables y se despeja la nueva y. Después se comprueba que la composición devuelve x.

1. Partimos de y = 3x − 7.
2. Intercambiamos x e y: x = 3y − 7.
3. Sumamos 7: x + 7 = 3y.
4. Dividimos entre 3: y = x + 73
5. Por tanto, f⁻¹(x) = x + 73.
6. Componemos: f(f⁻¹(x)) = 3 · x + 73 − 7 = x + 7 − 7 = x

Sentido del resultado. La composición produce la identidad. Además, la función original y su inversa tienen dominio y recorrido iguales a todos los números reales.

Superficie de una habitación en L

Una habitación se obtiene de un rectángulo de 10 m por 8 m al retirar una esquina rectangular de 4 m por 3 m. Calcula la superficie útil y el coste de colocar un suelo a 22 € por metro cuadrado.

Variables y datos. Rectángulo exterior de 10 m por 8 m. Zona retirada de 4 m por 3 m. Precio 22 €·m⁻².

Cómo abordarlo. Una figura en L puede calcularse como la diferencia entre un rectángulo grande y el rectángulo que falta.

1. Área del rectángulo exterior: A_grande = 10 · 8 = 80 m².
2. Área de la esquina retirada: A_hueco = 4 · 3 = 12 m².
3. Superficie útil: A = 80 − 12 = 68 m².
4. Coste del suelo: 68 · 22 = 1496 €.

Una última revisión. La superficie útil es menor que los 80 m² del rectángulo completo. Las unidades también son coherentes, porque m² · €·m⁻² = €.

Altura mediante sombras

Sobre un terreno horizontal, una persona y un árbol se mantienen verticales. La persona mide 1,80 m y proyecta una sombra de 1,20 m; a la misma hora, la sombra del árbol mide 8,40 m. Calcula su altura.

Punto de partida. Altura de referencia 1,80 m. Sombra de referencia 1,20 m. Sombra del árbol 8,40 m. La incógnita h es la altura del árbol.

Enfoque. Como los rayos solares tienen la misma inclinación, la persona y el árbol forman triángulos semejantes. La razón entre altura y sombra es constante.

1. Escribimos la proporción: 1,801,20 = h8,40
2. Multiplicamos en cruz: 1,20h = 1,80 · 8,40.
3. Calculamos el segundo miembro: 1,80 · 8,40 = 15,12.
4. Despejamos: h = 15,121,20 = 12,60 m

Comprobación. La sombra del árbol es siete veces la de la persona, porque 8,40 = 7 · 1,20. Su altura también debe ser siete veces mayor: 7 · 1,80 = 12,60 m.

Depósito medio lleno

Un depósito cilíndrico de radio 1,5 m y altura 4 m está lleno hasta la mitad. Calcula el volumen de líquido en metros cúbicos y en litros.

Datos que importan. Radio r = 1,5 m. Altura h = 4 m. El líquido ocupa la mitad de la capacidad. Se pide el volumen con dos unidades.

La observación útil. Primero se calcula el volumen total del cilindro y después se toma la mitad. La conversión final utiliza 1 m³ = 1000 L.

1. Volumen total: V = πr²h.
2. Sustituimos: V = π · 1,5² · 4.
3. Como 1,5² = 2,25, resulta V = π · 2,25 · 4 = 9π m³.
4. Volumen ocupado: V_líquido = 9π2 = 4,5π m³
5. Con π ≈ 3,1416: 4,5π ≈ 14,1372 m³.
6. En litros: 14,1372 · 1000 ≈ 14 137 L.

Control. El cilindro completo contiene 9π ≈ 28,27 m³. La mitad es aproximadamente 14,14 m³, como se ha obtenido.

Volumen y superficie

Calcula el volumen y el área de una esfera de radio 6 cm. Da los resultados exactos y aproximados.

Qué sabemos. Radio r = 6 cm. Se piden una magnitud cúbica, el volumen, y una magnitud cuadrática, el área.

Modelo. Se aplican V = 43πr³ y A = 4πr². Conviene conservar π hasta el último paso.

1. Cubo del radio: 6³ = 216 cm³.
2. Volumen: V = 43 · π · 216 = 288π cm³
3. Valor aproximado: V ≈ 288 · 3,1416 = 904,78 cm³.
4. Cuadrado del radio: 6² = 36 cm².
5. Área: A = 4 · π · 36 = 144π cm².
6. Valor aproximado: A ≈ 144 · 3,1416 = 452,39 cm².

Lectura del resultado. El volumen lleva cm³ y el área cm². Intercambiar estas unidades revelaría inmediatamente un error de fórmula o de interpretación.

Longitud e inclinación de un cable

Un cable tenso une un punto situado a 4,8 m de altura con otro punto de un suelo horizontal, separado 6,4 m en horizontal. Calcula la longitud del cable y el ángulo que forma con el suelo.

Traducción del enunciado. Cateto vertical 4,8 m. Cateto horizontal 6,4 m. La hipotenusa L es el cable y α es su inclinación.

Paso decisivo. La longitud se obtiene con Pitágoras. Para el ángulo respecto al suelo, el cateto opuesto es 4,8 y el contiguo 6,4.

1. Aplicamos Pitágoras: L² = 4,8² + 6,4².
2. Calculamos: 4,8² = 23,04 y 6,4² = 40,96.
3. Entonces L² = 64 y L = √64 = 8 m.
4. Para la inclinación: tan α = 4,86,4 = 0,75
5. Aplicamos la función inversa: α = arctan(0,75) ≈ 36,87°.

Chequeo. La hipotenusa 8 m es mayor que cada cateto. Además, sen 36,87° ≈ 0,6 y 8 · 0,6 = 4,8 m, lo que recupera la altura.

Triángulo con dos lados y el ángulo comprendido

Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 9 cm y forman entre sí un ángulo de 60°. Calcula el tercer lado y el área.

Antes de calcular. Lados a = 7 cm y b = 9 cm. Ángulo comprendido 60°. Se piden el lado opuesto c y el área.

Estrategia. Con dos lados y el ángulo comprendido se aplica el teorema del coseno para hallar el tercer lado y la fórmula trigonométrica del área.

1. Teorema del coseno: c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60°.
2. Como cos 60° = 0,5, resulta c² = 49 + 81 − 63 = 67.
3. Por tanto, c = √67 ≈ 8,19 cm.
4. Área: A = 12 · 7 · 9 · sen 60°
5. Como sen 60° = √32, el área exacta es 63√34 cm².
6. Numéricamente, A ≈ 27,28 cm².

Sentido del resultado. El lado cumple 9 − 7 < 8,19 < 9 + 7. Además, como sen 60° < 1, el área debe ser menor que 7 · 9/2 = 31,5 cm²; 27,28 cm² respeta ese límite.

Media, mediana y moda

Los valores 0, 1, 2 y 3 aparecen con frecuencias 4, 7, 6 y 3, respectivamente. Calcula la media, la mediana y la moda.

Variables y datos. Hay cuatro valores distintos con sus frecuencias. Se piden tres medidas de centralización.

Cómo abordarlo. La media utiliza una suma ponderada. La mediana depende de las posiciones centrales y la moda del valor con mayor frecuencia.

1. Número total de datos: n = 4 + 7 + 6 + 3 = 20.
2. Suma ponderada: 0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 3 = 0 + 7 + 12 + 9 = 28.
3. Media: x = 2820 = 1,4
4. Como n = 20, la mediana ocupa el promedio de los puestos 10 y 11.
5. Los puestos 1 a 4 son ceros y los puestos 5 a 11 son unos. Por tanto, los puestos 10 y 11 valen 1.
6. La frecuencia mayor es 7 y corresponde al valor 1, que es la moda.

Una última revisión. Las tres medidas están dentro del intervalo de los datos, entre 0 y 3. La media algo superior a 1 refleja el peso de los valores 2 y 3.

Varianza y desviación típica

Calcula la varianza poblacional y la desviación típica de los datos 2, 4, 4, 6 y 9.

Punto de partida. Hay cinco observaciones que constituyen la población completa. Se piden la varianza y su raíz cuadrada.

Enfoque. Se calcula primero la media, después los cuadrados de las desviaciones respecto de ella y finalmente su promedio.

1. Media: x = 2 + 4 + 4 + 6 + 95 = 255 = 5
2. Desviaciones: −3, −1, −1, 1 y 4.
3. Cuadrados: 9, 1, 1, 1 y 16.
4. Suma de cuadrados: 9 + 1 + 1 + 1 + 16 = 28.
5. Varianza poblacional: σ² = 285 = 5,6
6. Desviación típica: σ = √5,6 ≈ 2,37.

Comprobación. La varianza se expresaría en las unidades de los datos al cuadrado y la desviación típica en las unidades originales; aquí no se ha especificado ninguna. El valor 2,37 es razonable para datos entre 2 y 9.

Elegir un comité

¿Cuántos comités distintos de dos personas pueden formarse con ocho candidatos?

Datos que importan. Se eligen 2 personas de un conjunto de 8. No se asignan cargos y, por tanto, el orden de elección no importa.

La observación útil. Se utilizan combinaciones. Contar primero elecciones ordenadas produce duplicados, porque cada pareja aparece en dos órdenes.

1. Para la primera persona hay 8 posibilidades y para la segunda quedan 7.
2. El producto 8 · 7 = 56 cuenta elecciones ordenadas.
3. Cada comité aparece dos veces, una por cada orden de sus integrantes.
4. Dividimos entre 2: C_8,2 = 8 · 72 · 1 = 562 = 28

Control. Otra comprobación consiste en sumar las posibles parejas del primer candidato al último: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Aprobados en dos asignaturas

En una clase de 30 estudiantes, 18 aprueban Matemáticas, 16 aprueban Inglés y 6 no aprueban ninguna. Calcula cuántos aprueban ambas, P(ambas) y P(Inglés | Matemáticas).

Qué sabemos. Total 30. Matemáticas 18. Inglés 16. Ninguna 6. La intersección de ambos aprobados es desconocida.

Modelo. Primero se calcula cuántos aprueban al menos una asignatura. Después se aplica inclusión y exclusión para evitar contar dos veces a quienes aprueban ambas.

1. Aprueban al menos una: 30 − 6 = 24.
2. Fórmula de la unión: n(M ∪ I) = n(M) + n(I) − n(M ∩ I).
3. Sustituimos: 24 = 18 + 16 − n(M ∩ I).
4. Despejamos: n(M ∩ I) = 34 − 24 = 10.
5. Probabilidad de ambas: P(M ∩ I) = 1030 = 13
6. Probabilidad condicionada: P(I | M) = 1018 = 59 ≈ 0,5556

Lectura del resultado. La distribución queda 8 solo Matemáticas, 6 solo Inglés, 10 ambas y 6 ninguna. La suma 8 + 6 + 10 + 6 recupera los 30 estudiantes.

Exactamente dos éxitos

En tres intentos independientes, la probabilidad de éxito en cada intento es 0,7. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos éxitos.

Traducción del enunciado. Número de intentos n = 3. Probabilidad de éxito p = 0,7. Probabilidad de fallo q = 0,3. Se pide P(X = 2).

Paso decisivo. Hay varias posiciones posibles para el único fallo. Se multiplica la probabilidad de un orden concreto por el número de órdenes posibles.

1. Los órdenes favorables son éxito, éxito, fallo. También éxito, fallo, éxito y fallo, éxito, éxito.
2. Por tanto, hay C_3,2 = 3 disposiciones.
3. Cada disposición tiene probabilidad 0,7² · 0,3.
4. Aplicamos el modelo: P(X = 2) = 3 · 0,7² · 0,3.
5. Calculamos: 3 · 0,49 · 0,3 = 0,441.

Chequeo. 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1, como exige una distribución completa.

Origen de una pieza defectuosa

La fábrica A produce el 60 % de las piezas y tiene un 1 % de defectos. La fábrica B produce el 40 % y tiene un 3 % de defectos. Si una pieza elegida resulta defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que proceda de B?

Antes de calcular. P(A) = 0,60, P(B) = 0,40, P(D | A) = 0,01 y P(D | B) = 0,03. Se pide P(B | D).

Estrategia. Hay dos caminos para obtener una pieza defectuosa. Primero se calcula la probabilidad total de defecto y después se compara con el camino que procede de B.

1. Camino A y defecto: P(A ∩ D) = 0,60 · 0,01 = 0,006.
2. Camino B y defecto: P(B ∩ D) = 0,40 · 0,03 = 0,012.
3. Probabilidad total de defecto: P(D) = 0,006 + 0,012 = 0,018.
4. Aplicamos Bayes: P(B | D) = P(B ∩ D)P(D) = 0,0120,018
5. Simplificamos: 0,0120,018 = 1218 = 23.

Sentido del resultado. De cada 1000 piezas del conjunto, A aporta en promedio 6 defectuosas y B aporta 12. Entre las defectuosas, la proporción de B es 12/18 = 2/3.

Factorización completa

Factoriza P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 y halla todas sus raíces.

Variables y datos. Polinomio de grado 3 con coeficientes enteros. Se buscan un factor lineal inicial, el cociente cuadrático y las tres raíces.

Cómo abordarlo. Las posibles raíces racionales son p/q, donde p divide al término independiente y q al coeficiente principal. Cuando P(a) = 0, el teorema del factor garantiza que x − a divide al polinomio.

1. Las candidatas son ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2 y ±3/2. Probamos x = 3.
2. P(3) = 2 · 3³ − 3 · 3² − 11 · 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0.
3. Por tanto, x − 3 es un factor.
4. Ruffini con los coeficientes 2, −3, −11, 6 y la raíz 3 produce 2, 3, −2 y resto 0. El cociente es 2x² + 3x − 2.
5. Factorizamos el cociente: 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2).
6. La factorización completa es P(x) = (x − 3)(2x − 1)(x + 2).
7. Igualamos cada factor a cero y obtenemos x = 3, x = 12 y x = −2.

Una última revisión. El producto de los términos principales es x · 2x · x = 2x³ y el de los términos independientes es (−3)(−1)(2) = 6. Al desarrollar se recupera el polinomio original.

Ecuación con condición de dominio

Resuelve log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3.

Punto de partida. Los dos logaritmos tienen base 2 y argumentos dependientes de x. Se busca una solución que pertenezca al dominio.

Enfoque. La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto. Antes de aplicar propiedades se imponen argumentos positivos.

1. Primera condición: x − 1 > 0, luego x > 1.
2. Segunda condición: x − 3 > 0, luego x > 3.
3. El dominio conjunto es x > 3.
4. Unimos los logaritmos: log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3.
5. Pasamos a forma exponencial: (x − 1)(x − 3) = 2³ = 8.
6. Desarrollamos: x² − 4x + 3 = 8, luego x² − 4x − 5 = 0.
7. Factorizamos: (x − 5)(x + 1) = 0. Las candidatas son 5 y −1.
8. Solo x = 5 cumple x > 3.

Comprobación. Al sustituir x = 5 se obtiene log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3. La raíz −1 se descarta porque haría negativos los argumentos.

Escribir con la misma base

Resuelve 3^x+1 = 27^2x−1.

Datos que importan. Las bases son 3 y 27. Como 27 es una potencia de 3, ambos miembros pueden escribirse con la misma base.

La observación útil. Dos potencias de la misma base positiva, distinta de 1, son iguales únicamente cuando sus exponentes son iguales.

1. Escribimos 27 = 3³.
2. Transformamos el segundo miembro: 27^2x−1 = (3³)^2x−1.
3. Multiplicamos exponentes: (3³)^2x−1 = 3^3(2x−1) = 3^6x−3.
4. Igualamos exponentes: x + 1 = 6x − 3.
5. Sumamos 3 y restamos x: 4 = 5x.
6. Despejamos: x = 45 = 0,8

Control. Para x = 0,8, el exponente izquierdo es 1,8 y el exponente equivalente del derecho es 3(1,6 − 1) = 1,8. Los dos miembros coinciden.

Resolver un sistema matricial

Resuelve el sistema 2x + y = 7 y x − y = 2. Escríbelo primero en forma matricial.

Elección de método. La matriz ordena los coeficientes; para calcular, la reducción es especialmente breve porque y y −y se anulan.

1. Forma matricial: 211−1 xy = 72
2. Sumamos las ecuaciones: 3x = 9, de modo que x = 3.
3. Sustituimos en x − y = 2: 3 − y = 2, luego y = 1.

Comprobación: 2 · 3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2.

Rectángulo de área máxima

Entre todos los rectángulos de perímetro 40 m, determina las dimensiones del que tiene área máxima.

Traducción del enunciado. Perímetro fijo 40 m. Lados x e y positivos. Se busca maximizar A = xy.

Paso decisivo. La condición del perímetro permite expresar un lado en función del otro. El área resultante es una parábola que abre hacia abajo, por lo que su vértice da el máximo.

1. Condición del perímetro: 2x + 2y = 40.
2. Dividimos entre 2: x + y = 20, luego y = 20 − x.
3. Área en función de x: A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x.
4. El dominio geométrico es 0 < x < 20.
5. La abscisa del vértice es x_v = −202 · (−1) = 10
6. Entonces y = 20 − 10 = 10 m.
7. Área máxima: A(10) = 10 · 10 = 100 m².

Chequeo. A(9) = A(11) = 99 m², menor que A(10). La simetría alrededor de x = 10 confirma que el vértice es el máximo.

Elegir el valor de un parámetro

Sea f(x) = x² − 4x − 2 si x ≠ 2 y f(2) = k. Halla k para que la función sea continua en x = 2.

Antes de calcular. La expresión racional no está definida en x = 2, pero la función asigna allí el valor k. Se busca que ese valor complete el hueco.

Estrategia. Para que exista continuidad, el límite cuando x tiende a 2 debe existir y coincidir con f(2) = k.

1. Factorizamos el numerador: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
2. Para x ≠ 2 simplificamos: (x − 2)(x + 2)x − 2 = x + 2
3. Calculamos el límite usando la expresión simplificada: lim_x→2(x + 2) = 4.
4. La continuidad exige lim_x→2f(x) = f(2).
5. Por tanto, k = 4.

Sentido del resultado. Con k = 4, la función coincide en todos los puntos con la recta y = x + 2. El hueco que existía en x = 2 queda completado.

Subir y bajar el mismo porcentaje

Un precio de 800 € sube un 10 % y después baja un 10 %. Decide si vuelve al precio inicial y calcula el valor final.

Los porcentajes actúan sobre bases distintas. Aplicamos los dos factores en orden:

La diferencia es 792 − 800 = −8 €, que equivale a −8/800 · 100 = −1 %.

Aciertos en dos bloques de un simulacro

En un banco de preguntas, el 55 % pertenece al bloque A y el 45 % al bloque B. Un estudiante acierta el 80 % de las preguntas del bloque A y el 70 % de las del bloque B. Si se elige una pregunta al azar, calcula la probabilidad de que esté bien resuelta y, sabiendo que lo está, la probabilidad de que pertenezca al bloque A.

Datos. P(A) = 0,55, P(B) = 0,45, P(C | A) = 0,80 y P(C | B) = 0,70, donde C significa «respuesta correcta».

1. P(A ∩ C) = 0,55 · 0,80 = 0,44.
2. P(B ∩ C) = 0,45 · 0,70 = 0,315.
3. P(C) = 0,44 + 0,315 = 0,755.
4. P(A | C) = 0,44/0,755 ≈ 0,5828.

El 75,5 % queda entre los porcentajes de acierto de ambos bloques. El bloque A pesa algo más entre los aciertos porque en él la tasa es mayor.

Edades relacionadas

Tres personas tienen una edad media de 70 años. La segunda tiene 12 años más que la primera y la tercera, 6 años más que la segunda. Calcula las edades.

1. La suma de las tres edades es 3 · 70 = 210 años.
2. Si la primera tiene x años, las otras tienen x + 12 y x + 18.
3. x + (x + 12) + (x + 18) = 210, luego 3x + 30 = 210.
4. x = 60; las otras edades son 72 y 78 años.

Suman 210, su media es 70 y las diferencias pedidas son 12 y 6 años.

Tipo de ejercicio y respuesta correcta

En un simulacro hay 40 ejercicios: 22 son de álgebra y 18 de geometría. Un estudiante acierta 15 de álgebra y 9 de geometría. Calcula P(acierto), P(álgebra | acierto) y decide si los sucesos «ser de álgebra» y «estar acertado» son independientes.

1. Hay 15 + 9 = 24 respuestas correctas, así que P(C) = 24/40 = 0,60.
2. Entre las 24 correctas, 15 son de álgebra: P(A | C) = 15/24 = 0,625.
3. P(A ∩ C) = 15/40 = 0,375.
4. Si fueran independientes, P(A ∩ C) debería ser P(A)P(C) = 22/40 · 24/40 = 0,33.
5. Como 0,375 ≠ 0,33, no son independientes en estos datos.

La comparación describe este simulacro; no permite atribuir por sí sola una causa a la diferencia entre bloques.

Área bajo una recta

Calcula el área limitada por y = −x + 6, el eje X y las rectas x = 1 y x = 4.

1. Las alturas del recinto son y(1) = 5 e y(4) = 2.
2. La distancia entre las rectas verticales es 4 − 1 = 3.
3. El recinto es un trapecio de lados paralelos 5 y 2 y altura 3.
4. A = (5 + 2) · 3/2 = 10,5.

Radicales escritos como potencias

Para a > 0, simplifica [∛(8a⁵) · ⁶√a] / √a.

1. ∛(8a⁵) = 2a^5/3, ⁶√a = a^1/6 y √a = a^1/2.
2. Al multiplicar y dividir potencias de la misma base, sumamos y restamos exponentes.
3. 5/3 + 1/6 − 1/2 = 10/6 + 1/6 − 3/6 = 8/6 = 4/3.

La condición a > 0 garantiza que las raíces reales y el denominador estén bien definidos.