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Programación lineal 2.º Bachillerato y PAU/EBAU: 50 ejercicios resueltos
Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas Sociales II
La dificultad suele estar en traducir una condición o decidir qué puntos hay que comparar. Aquí puedes seguir el problema de arriba abajo: variables, restricciones, región, vértices, decisión y comprobación.
Este monográfico desarrolla programación lineal con dos variables. El repaso general de Sociales II y la optimización con derivadas tienen sus propios recursos.
63 ejercicios resueltos · Edición por bloques, con numeración propia. Modelos propios, no exámenes oficiales.
Ficha de clase · Nombre __________________ Grupo ______ Fecha ______
Elige el paso que necesitas trabajar
Qué se optimiza y bajo qué condiciones
Se eligen dos variables y una función lineal que se quiere maximizar o minimizar. Las restricciones deben cumplirse a la vez; su zona común es la región factible.
En un polígono no vacío y acotado, el máximo y el mínimo se alcanzan en algún vértice. Puede haber más de un punto óptimo. En una región no acotada hay que justificar además que el objetivo no mejora sin límite.
Si se cuentan objetos indivisibles, el dominio es entero. El problema continuo puede orientar el cálculo, pero su redondeo no demuestra la mejor solución entera.
De una frase a un semiplano
| Condición | Desigualdad |
|---|---|
| Como máximo, no más de | \(\le\) |
| Al menos, no menos de | \(\ge\) |
| Exactamente | \(=\) |
| Cantidad no negativa | \(x\ge0\) |
Primero se dibuja la recta frontera. Después se prueba un punto que no esté en ella para elegir el semiplano. No impongas no negatividad en un ejercicio abstracto si no está indicada o justificada por el contexto.
Un orden para resolver y revisar
- Define qué miden las variables y si admiten fracciones.
- Escribe por separado cada restricción y la función objetivo.
- Representa las fronteras y localiza la región común.
- Calcula los vértices y descarta los cruces que incumplan una condición.
- Compara el objetivo. En casos especiales, justifica existencia, no acotación o totalidad de los óptimos.
- Vuelve al enunciado: restricciones, unidades y condición de enteros.
Antes de comparar vértices
Variables y dominio → restricciones → región común → vértices factibles → objetivo → revisión. En un polígono no vacío y acotado, basta comparar los vértices. Si la región no está acotada, justifica que existe el extremo buscado. Si se exigen enteros, comprueba el óptimo entero.
Semiplanos, regiones y vértices
Ejercicio 1 · Elegir el semiplano correcto
Representa la inecuación \(x+y\le 6\) y decide si los puntos \((2,3)\), \((5,2)\) y \((0,6)\) pertenecen a la solución.
Ver desarrollo y comprobación
Se unen \((0,6)\) y \((6,0)\) con una recta continua: la igualdad está incluida.
Se toma el lado que contiene al origen, es decir, el semiplano \(y\le6-x\). No se exige que las coordenadas sean positivas.
Pertenecen \((2,3)\) y \((0,6)\); este último está sobre la frontera.
Este punto también pertenece. El semiplano continúa fuera del primer cuadrante.
Ejercicio 2 · Una inecuación despejada en y
Representa \(y\ge 2x-1\) y comprueba en qué lado de la recta queda el punto \((1,0)\).
Ver desarrollo y comprobación
Se dibuja la recta continua y se toma el semiplano situado por encima.
El punto \((1,0)\) queda debajo de la recta y no pertenece a la solución.
Ejercicio 3 · Primer sistema de inecuaciones
Obtén la región factible del sistema \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le5\) y \(x\le4\). Indica sus vértices.
Ver desarrollo y comprobación
Primer cuadrante, debajo de la recta oblicua y a la izquierda de la vertical.
La región continua es un cuadrilátero cerrado y acotado.
En \((4,0)\) la suma es 4; en \((0,5)\) es 5. Los cuatro vértices cumplen todas las condiciones.
Ejercicio 4 · Restricciones con mínimos y máximos
Describe la región definida por \(x\ge1\), \(y\ge0\), \(x+y\le6\) e \(y\le3\), y calcula sus vértices.
Ver desarrollo y comprobación
Los vértices, ordenados por el contorno, delimitan un trapecio.
En los cuatro puntos también se cumple \(x\ge1\) y \(0\le y\le3\).
Ejercicio 5 · Intersección de dos recursos
Representa \(2x+y\le8\), \(x+2y\le8\), \(x\ge0\), \(y\ge0\) y halla todos los vértices.
Ver desarrollo y comprobación
El origen también pertenece a la región.
Se sombrea la zona común del primer cuadrante, por debajo de ambas rectas.
Los otros tres vértices también cumplen las dos restricciones.
Ejercicio 6 · Comprobar un punto sin dibujar
Decide si \((3,2)\) pertenece al sistema \(x+y\le6\), \(2x+y\le9\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
El punto \((3,2)\) cumple las cuatro condiciones y es factible.
Ambas holguras son positivas. El punto no está en ninguna de las dos fronteras oblicuas.
Ejercicio 7 · Vértices con dos rectas oblicuas
Calcula los vértices de \(x+y\le8\), \(x+3y\le12\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Ejercicio 8 · Reconocer una región no acotada
Estudia el sistema \(x+2y\ge6\), \(3x+y\ge6\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La región común queda por encima de ambas rectas en el primer cuadrante.
La región es no vacía y no acotada: contiene toda la semirrecta indicada.
Estos puntos factibles se alejan indefinidamente del origen.
Ejercicio 9 · Sistema sin región factible
Analiza \(x+y\le2\) y \(x+y\ge5\).
Ver desarrollo y comprobación
La región factible es vacía: las dos condiciones son incompatibles.
Las fronteras \(x+y=2\) y \(x+y=5\) son paralelas. Ninguna suma puede cumplir simultáneamente ambas cotas.
Ejercicio 10 · Región reducida a un segmento
Describe la solución de \(x+y\le6\), \(x+y\ge6\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La región es el segmento cerrado de extremos \((0,6)\) y \((6,0)\). Tiene puntos factibles, aunque su área sea cero.
Cualquier punto de la parametrización cumple las cuatro restricciones.
Del enunciado al modelo
Ejercicio 11 · Traducir un problema de entradas
Un teatro vende entradas de adulto y de estudiante. El aforo es de 420 personas. Deben venderse al menos 120 entradas de estudiante y como máximo 280 de adulto. Define las variables y escribe las restricciones.
Ver desarrollo y comprobación
Estas condiciones describen las ventas permitidas. No se añade una función objetivo porque no se pide optimizar.
El plan de prueba respeta los límites y utiliza cantidades enteras.
Ejercicio 12 · Producción con tiempo y capacidad
Una fábrica produce lotes A y B. Cada lote A consume 2 horas de máquina y cada lote B, 1 hora. Hay 100 horas disponibles y no pueden fabricarse más de 70 lotes en total. Formula y representa el modelo.
Ver desarrollo y comprobación
Se representa el cuadrilátero cerrado. Los planes de producción son sus puntos de coordenadas enteras, incluido el borde.
El vértice de intersección agota ambos recursos.
Ejercicio 13 · Dieta con aportes mínimos
Dos alimentos A y B aportan, respectivamente, \((3,1)\) y \((1,2)\) unidades de dos nutrientes. Se necesitan al menos 12 unidades del primer nutriente y 10 del segundo. Escribe las restricciones.
Ver desarrollo y comprobación
Los dos signos son \(\ge\) porque se fijan aportes mínimos. Para minimizar un coste harían falta los precios y una función objetivo.
Las cantidades son no negativas y cubren ambos mínimos.
Ejercicio 14 · Mesas y sillas
Un taller fabrica mesas y sillas. Una mesa necesita 3 horas de carpintería y 1 de acabado. Una silla necesita 2 horas de carpintería y 2 de acabado. Hay 120 horas de carpintería y 80 de acabado. Formula la región factible.
Ver desarrollo y comprobación
El modelo continuo es ese cuadrilátero. Las fabricaciones posibles se restringen a sus puntos de coordenadas enteras.
Ambos recursos se agotan en la intersección.
Ejercicio 15 · Cultivos y recursos
Una finca dedica hectáreas a trigo y girasol. El trigo requiere 3 unidades de agua y 2 de trabajo por hectárea. El girasol requiere 2 de agua y 1 de trabajo. Hay 90 unidades de agua, 50 de trabajo y como máximo 35 hectáreas. Formula el sistema.
Ver desarrollo y comprobación
Cada fila corresponde a un recurso distinto. Las hectáreas pueden ser fraccionarias; no se impone que las superficies sean enteras.
El ejemplo respeta las tres disponibilidades.
Ejercicio 16 · Campaña publicitaria
Una empresa contrata anuncios de radio y de prensa. Cada anuncio de radio cuesta 200 € y llega a 4000 personas. Cada anuncio de prensa cuesta 300 € y llega a 5000. El presupuesto es de 3000 € y deben contratarse al menos 4 anuncios de radio. Escribe restricciones y función objetivo para maximizar el alcance.
En este modelo se suman los alcances de los anuncios, aunque una misma persona pueda contabilizarse en más de uno.
Ver desarrollo y comprobación
Se maximiza el alcance acumulado, no el número de personas distintas.
El modelo queda formulado. El enunciado no pide calcular el plan óptimo.
El alcance se expresa en contactos acumulados; el gasto, en euros.
Ejercicio 17 · Paquetes de transporte
Una empresa prepara paquetes pequeños y grandes. Un paquete pequeño consume 2 unidades de espacio y 1 de manipulación. Uno grande consume 1 de espacio y 3 de manipulación. Hay 90 unidades de espacio y 120 de manipulación. Obtén los vértices.
Ver desarrollo y comprobación
Son los vértices del polígono continuo; los números de paquetes deben ser enteros.
La intersección agota espacio y manipulación. Los vértices de los ejes también respetan ambas cotas.
Ejercicio 18 · Lotes de material escolar
Una papelería prepara lotes básicos y completos. El básico usa 2 cuadernos y 1 carpeta. El completo usa 3 cuadernos y 2 carpetas. Hay 180 cuadernos y 100 carpetas. Además, se quieren preparar al menos 20 lotes. Formula el modelo.
Ver desarrollo y comprobación
La última desigualdad excluye producir menos de 20 lotes. No limita la producción por arriba.
Existe al menos un plan de números enteros que satisface el modelo.
Ejercicio 19 · Horas de tutoría
Un centro organiza tutorías individuales y en pareja. Una tutoría individual ocupa 1 hora de profesor y 1 turno de aula. Una tutoría en pareja ocupa 1,5 horas de profesor y 1 turno de aula. Hay 24 horas de profesor y 18 turnos de aula. Deben hacerse al menos 6 tutorías individuales. Formula las restricciones.
Ver desarrollo y comprobación
Cada tutoría consume un turno de aula, aunque su duración pueda ser distinta. Las variables cuentan sesiones completas.
El plan de prueba respeta horas, turnos y mínimo de tutorías individuales.
Ejercicio 20 · Mezcla con componente activo mínimo
Se mezclan dos productos A y B. Cada kilogramo de A aporta 6 unidades de componente activo y cada kilogramo de B aporta 3. Se necesitan al menos 30 unidades activas y la mezcla total no puede superar 8 kg. Formula las restricciones.
Ver desarrollo y comprobación
La primera cota es un mínimo de componente activo; la segunda, un máximo de masa. No hay función objetivo porque no se da un criterio de optimización.
La mezcla alcanza exactamente el mínimo activo y respeta la masa disponible.
Máximos, mínimos y comparación de vértices
Ejercicio 21 · Planificar rutas turísticas
Una empresa organiza rutas urbanas y rutas de montaña. Cada ruta urbana necesita 2 horas de guía y 1 hora de minibús. Cada ruta de montaña necesita 1 hora de guía y 3 horas de minibús. Se dispone de 100 horas de guía y 120 horas de minibús. El margen neto es de 180 € por ruta urbana y 260 € por ruta de montaña. Calcula cuántas rutas de cada tipo conviene organizar para obtener el margen máximo.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): rutas urbanas. \(y\): rutas de montaña. Las rutas se organizan completas.
\[\begin{aligned}\text{Maximizar}\quad M&=180x+260y\\2x+y&\le100\quad\text{(horas de guía)}\\x+3y&\le120\quad\text{(horas de minibús)}\\x,y&\in\mathbb Z_{\ge0}.\end{aligned}\]En los ejes se obtienen \((0,0)\), \((50,0)\) y \((0,40)\). El cruce de las dos fronteras da el cuarto vértice.
\[\begin{cases}2x+y=100\\x+3y=120\end{cases}\]\[\begin{aligned}3(2x+y)-(x+3y)&=300-120\\5x&=180\\x&=36\\y&=100-2\cdot36=28.\end{aligned}\]| Vértice | Margen (€) |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(50;0\right)\) | \(9000\) |
| \(\left(36;28\right)\) | \(13760\) |
| \(\left(0;40\right)\) | \(10400\) |
El máximo de la región continua ya tiene coordenadas enteras. También es la mejor solución entre las rutas completas.
Deben organizarse 36 rutas urbanas y 28 de montaña. El margen máximo es de 13 760 €.
Se respetan los recursos y la condición de cantidades enteras.
Ejercicio 22 · Óptimo en la intersección
Maximiza \(Z=50x+30y\) sujeto a \(x+2y\le100\), \(3x+y\le120\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Se trabaja con variables reales no negativas. La región es cerrada y acotada, por lo que basta comparar sus vértices.
\[\begin{aligned}\text{Maximizar}\quad Z&=50x+30y\\x+2y&\le100\\3x+y&\le120\\x,y&\ge0.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(40;0\right)\) | \(2000\) |
| \(\left(28;36\right)\) | \(2480\) |
| \(\left(0;50\right)\) | \(1500\) |
Ejercicio 23 · Minimizar un coste en región no acotada
Minimiza el coste \(C=4x+5y\), expresado en euros, con \(2x+y\ge10\), \(x+3y\ge12\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La región se extiende sin límite. En los ejes comienzan los tramos factibles en \((0,10)\) y \((12,0)\).
\[\begin{cases}2x+y=10\\x+3y=12\end{cases}\]\[\begin{aligned}3(2x+y)-(x+3y)&=30-12\\5x&=18\\x&=\frac{18}{5}\\y&=10-2\cdot\frac{18}{5}=\frac{14}{5}.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;10\right)\) | \(50\) |
| \(\left(\frac{18}{5};\frac{14}{5}\right)\) | \(\frac{142}{5}\) |
| \(\left(12;0\right)\) | \(48\) |
La comparación de vértices se completa con una cota válida para cualquier punto factible.
\[\begin{aligned}C&=\frac75(2x+y)+\frac65(x+3y)\\C&\ge\frac75\cdot10+\frac65\cdot12\\C&\ge\frac{142}{5}=28{,}4.\end{aligned}\]El coste mínimo es 28,40 €, en \(\left(\frac{18}{5};\frac{14}{5}\right)=(3{,}6;2{,}8)\). La región no acotada sí tiene mínimo.
Ambas exigencias se cumplen con igualdad y se alcanza la cota inferior del coste.
Ejercicio 24 · Producción equilibrada
Maximiza \(Z=60x+40y\) con \(2x+y\le60\), \(x+2y\le60\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Los cortes factibles con los ejes son \((30,0)\) y \((0,30)\), además del origen.
\[\begin{cases}2x+y=60\\x+2y=60\end{cases}\]\[\begin{aligned}(2x+y)-(x+2y)&=0\\x&=y\\3x&=60\\x&=20,\quad y=20.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(30;0\right)\) | \(1800\) |
| \(\left(20;20\right)\) | \(2000\) |
| \(\left(0;30\right)\) | \(1200\) |
Las dos restricciones son activas en el óptimo. La igualdad de coordenadas se ha calculado; no se presupone por la apariencia de la región.
Ejercicio 25 · Mínimo con tres exigencias
Minimiza \(C=6x+4y\) sujeto a \(x+y\ge8\), \(2x+y\ge10\), \(x+3y\ge12\), con \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La intersección restante es \(\left(\frac{18}{5};\frac{14}{5}\right)\), pero su suma es \(\frac{32}{5}<8\): se descarta. Los vértices de los ejes son \((0,10)\) y \((12,0)\).
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;10\right)\) | \(40\) |
| \(\left(2;6\right)\) | \(36\) |
| \(\left(6;2\right)\) | \(44\) |
| \(\left(12;0\right)\) | \(72\) |
El punto cumple las tres exigencias y alcanza la cota inferior 36, también en las partes no acotadas de la región.
Ejercicio 26 · Restricciones horizontales y verticales
Maximiza \(Z=3x+2y\) sujeto a \(x+y\le10\), \(x\le6\), \(y\le7\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Los ejes y las cotas dan \((0,0)\), \((6,0)\) y \((0,7)\). La frontera oblicua recorta la esquina superior.
\[\begin{aligned}x=6,\quad x+y=10&\Rightarrow y=4\\y=7,\quad x+y=10&\Rightarrow x=3.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(6;0\right)\) | \(18\) |
| \(\left(6;4\right)\) | \(26\) |
| \(\left(3;7\right)\) | \(23\) |
| \(\left(0;7\right)\) | \(14\) |
Usar a la vez \((6,7)\) sería imposible: su suma supera 10.
Ejercicio 27 · Infinitas soluciones óptimas
Maximiza \(Z=2x+4y\) con \(x+2y\le12\), \(3x+y\le15\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Para alcanzar 24 debe cumplirse \(x+2y=12\). El extremo sobre el eje es \((0,6)\); el otro extremo se calcula con la segunda frontera.
\[\begin{cases}x+2y=12\\3x+y=15\end{cases}\]\[\begin{aligned}3(x+2y)-(3x+y)&=36-15\\5y&=21\\y&=\frac{21}{5}\\x&=12-2\cdot\frac{21}{5}=\frac{18}{5}.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(5;0\right)\) | \(10\) |
| \(\left(\frac{18}{5};\frac{21}{5}\right)\) | \(24\) |
| \(\left(0;6\right)\) | \(24\) |
Hay infinitas soluciones óptimas. Forman todo el segmento siguiente, incluidos sus extremos.
\[\left(x;6-\frac{x}{2}\right),\qquad0\le x\le\frac{18}{5},\qquad Z_{\max}=24.\]En todo el segmento las coordenadas son no negativas y \(x+2y=12\). Por ello todos sus puntos son factibles y dan el mismo máximo.
Ejercicio 28 · Mínimo situado en un eje
Minimiza \(Z=5x+2y\) sujeto a \(x+y\ge8\), \(x+3y\ge12\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Los ejes aportan \((0,8)\) y \((12,0)\).
\[\begin{cases}x+y=8\\x+3y=12\end{cases}\]\[\begin{aligned}2y&=4\\y&=2\\x&=6.\end{aligned}\]| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;8\right)\) | \(16\) |
| \(\left(6;2\right)\) | \(34\) |
| \(\left(12;0\right)\) | \(60\) |
El óptimo está en un eje. La cota demuestra que ninguna dirección abierta de la región puede mejorar el mínimo.
Ejercicio 29 · Una intersección que debe comprobarse
Maximiza \(Z=4x+3y\) con \(x+2y\le14\), \(3x+y\le18\), \(x\le5\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Este cruce cumple \(x\le5\). En \(x=5\), la segunda frontera da \(y=3\). El corte con la primera daría \(y=\frac92\), pero incumple \(3x+y\le18\); se descarta.
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(5;0\right)\) | \(20\) |
| \(\left(5;3\right)\) | \(29\) |
| \(\left(\frac{22}{5};\frac{24}{5}\right)\) | \(32\) |
| \(\left(0;7\right)\) | \(21\) |
Ejercicio 30 · Coste mínimo con fracciones
Minimiza \(Z=3x+7y\) con \(2x+y\ge12\), \(x+4y\ge16\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Los otros vértices son \((0,12)\) y \((16,0)\).
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;12\right)\) | \(84\) |
| \(\left(\frac{32}{7};\frac{20}{7}\right)\) | \(\frac{236}{7}\) |
| \(\left(16;0\right)\) | \(48\) |
Se cumplen ambas exigencias con igualdad y se alcanza la cota. Las fracciones se han conservado hasta el resultado.
Ejercicio 31 · Tres restricciones que delimitan la región
Maximiza \(Z=7x+5y\) con \(2x+y\le20\), \(x+2y\le20\), \(x+y\le12\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
El cruce de las dos primeras rectas es \(\left(\frac{20}{3};\frac{20}{3}\right)\). Su suma supera 12 y no pertenece a la región.
\[\begin{cases}2x+y=20\\x+y=12\end{cases}\]\[\begin{aligned}x&=8\\y&=4.\end{aligned}\]\[\begin{cases}x+2y=20\\x+y=12\end{cases}\]\[\begin{aligned}y&=8\\x&=4.\end{aligned}\]Con los ejes se completa el polígono: \((0,0)\), \((10,0)\) y \((0,10)\).
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(10;0\right)\) | \(70\) |
| \(\left(8;4\right)\) | \(76\) |
| \(\left(4;8\right)\) | \(68\) |
| \(\left(0;10\right)\) | \(50\) |
En este vértice son activas dos restricciones. La otra conserva una holgura de 4 unidades.
Ejercicio 32 · Comparar varios vértices próximos
Maximiza \(Z=4x+6y\) sujeto a \(x+y\le9\), \(2x+y\le14\), \(x+3y\le18\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
El cruce de las otras dos rectas es \(\left(\frac{24}{5};\frac{22}{5}\right)\), pero suma \(\frac{46}{5}>9\): se descarta. En los ejes quedan \((7,0)\), \((0,6)\) y el origen.
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(7;0\right)\) | \(28\) |
| \(\left(5;4\right)\) | \(44\) |
| \(\left(\frac{9}{2};\frac{9}{2}\right)\) | \(45\) |
| \(\left(0;6\right)\) | \(36\) |
Ejercicio 33 · Cotas máximas de producción
Maximiza \(Z=8x+6y\) con \(x+2y\le20\), \(2x+y\le22\), \(x\le8\), \(y\le8\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La frontera \(y=8\) corta \(x+2y=20\) en \((4,8)\). Los ejes y las cotas completan los vértices \((0,0)\), \((8,0)\) y \((0,8)\).
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(8;0\right)\) | \(64\) |
| \(\left(8;6\right)\) | \(100\) |
| \(\left(4;8\right)\) | \(80\) |
| \(\left(0;8\right)\) | \(48\) |
Se cumplen las dos limitaciones de recursos y las dos cotas individuales.
Ejercicio 34 · Plan de coste con límites superiores
Minimiza \(C=9x+12y\) con \(3x+y\ge18\), \(x+2y\ge16\), \(x\le10\), \(y\le10\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Las cotas superiores añaden \(\left(\frac83;10\right)\), \((10,10)\) y \((10,3)\). No hay puntos factibles en los ejes dentro de las cotas.
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(\frac{8}{3};10\right)\) | \(144\) |
| \(\left(10;10\right)\) | \(210\) |
| \(\left(10;3\right)\) | \(126\) |
| \(\left(4;6\right)\) | \(108\) |
Ejercicio 35 · Función objetivo paralela a un lado
Maximiza \(Z=5x+5y\) con \(x+y\le10\), \(x\le7\), \(y\le6\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La igualdad exige \(y=10-x\). Al imponer las cotas individuales:
\[\begin{aligned}x&\le7\\10-x&\le6\\x&\ge4.\end{aligned}\]\[4\le x\le7,\qquad y=10-x.\]Los extremos son \((4,6)\) y \((7,3)\).
| Vértice | Valor de la función objetivo |
|---|---|
| \(\left(0;0\right)\) | \(0\) |
| \(\left(7;0\right)\) | \(35\) |
| \(\left(7;3\right)\) | \(50\) |
| \(\left(4;6\right)\) | \(50\) |
| \(\left(0;6\right)\) | \(30\) |
El máximo es 50 y lo alcanza todo el segmento siguiente, incluidos sus extremos.
\[(x;10-x),\qquad4\le x\le7.\]En todo el segmento se cumplen \(x\le7\), \(y\le6\), \(x,y\ge0\) y \(x+y=10\). La función objetivo vale siempre \(5\cdot10=50\).
Vacía, no acotada, múltiples óptimos y enteros
Ejercicio 36 · Región no acotada sin máximo
Maximiza \(Z=x+y\) sujeto a \(x-y\ge0\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Es la zona del primer cuadrante situada entre el eje horizontal y la recta \(y=x\), incluidas sus fronteras.
No existe máximo: hay puntos factibles cuyo valor de \(Z\) supera cualquier cota.
El origen es factible, de modo que el fallo no está en la existencia de región.
Ejercicio 37 · Mínimo en una región no acotada
Minimiza \(Z=x+y\) con \(x-y\ge0\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
La igualdad \(x+y=0\) con ambas coordenadas no negativas exige que las dos sean cero.
El mínimo es 0 y se alcanza únicamente en \((0,0)\). La región puede ser no acotada y tener mínimo.
La cota vale para todos los puntos factibles, no solo para unos ejemplos.
Ejercicio 38 · Detectar incompatibilidad antes de optimizar
Se quiere maximizar \(Z=3x+2y\) con \(x+y\le4\), \(x+y\ge7\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Ningún punto puede cumplir simultáneamente las dos desigualdades.
La región factible es vacía. No existe máximo de \(Z=3x+2y\) sujeto a esas condiciones.
Las rectas \(x+y=4\) y \(x+y=7\) son paralelas; los semiplanos exigidos quedan separados.
Ejercicio 39 · Región formada por un solo punto
Optimiza \(Z=5x-2y\) con \(x+y\le4\), \(x\ge2\), \(y\ge2\).
Ver desarrollo y comprobación
Máximo y mínimo coinciden: ambos valen 6 en el único punto factible \((2,2)\).
Ejercicio 40 · Objetivo constante en toda la región
La región factible es el segmento \(x+y=6\), \(x,y\ge0\). Maximiza y minimiza \(Z=x+y\).
Ver desarrollo y comprobación
Sus extremos son \((0,6)\) y \((6,0)\).
El máximo y el mínimo valen 6. Todos los puntos del segmento son óptimos.
El cálculo anterior prueba el resultado para el segmento entero, no solo para estos tres puntos.
Ejercicio 41 · Cuando las variables deben ser enteras
Maximiza \(Z=7x+5y\) con \(2x+y\le11\), \(x+2y\le11\), \(x,y\ge0\), sabiendo que x e y deben ser enteros.
Ver desarrollo y comprobación
Para obtener 44 tendrían que ser igualdades las dos restricciones: el único punto sería \((11/3,11/3)\) y no es entero. Como \(Z\) es entero, \(Z\le43\).
El máximo entero es 43 en \((4,3)\). La cota demuestra que ningún otro punto entero puede mejorarlo.
Redondear ambas coordenadas a 4 daría \((4,4)\) y violaría las dos restricciones.
Ejercicio 42 · Reconocer una restricción redundante
Estudia \(x+y\le8\), \(2x+2y\le20\), \(x,y\ge0\). ¿Aporta información nueva la segunda desigualdad?
Ver desarrollo y comprobación
Los vértices son \((0,0)\), \((8,0)\) y \((0,8)\).
La segunda desigualdad es redundante: no añade puntos de corte ni modifica la región factible.
En los vértices, \(2x+2y\) vale 0, 16 y 16, siempre menor o igual que 20. La implicación anterior lo garantiza en toda la región.
Ocho problemas completos tipo PAU
Modelos de elaboración propia que trabajan habilidades de PAU. La estructura y los criterios concretos dependen de la convocatoria.
Ejercicio 43 · Panadería con dos productos
Una panadería prepara barras especiales y hogazas. Cada barra necesita 2 unidades de masa y cada hogaza 3. Hay 180 unidades de masa. En total no pueden elaborarse más de 80 piezas. El beneficio es de 1,80 € por barra y 2,40 € por hogaza. Determina la producción óptima.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): barras especiales. \(y\): hogazas. Ambas cantidades son enteras no negativas.
\[\max B=1{,}8x+2{,}4y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}2x+3y\le180&\text{masa},\\x+y\le80&\text{piezas},\\x,y\ge0.\end{cases}\]| Vértice | \(B\) en € |
|---|---|
| \((0,0)\) | 0 |
| \((80,0)\) | 144 |
| \((60,20)\) | 156 |
| \((0,60)\) | 144 |
La región es cerrada y acotada. El máximo continuo se alcanza en un vértice y, en este caso, ya tiene coordenadas enteras.
La producción óptima es de 60 barras y 20 hogazas, con 156 € de beneficio.
Se agotan la masa y el máximo de piezas sin incumplir ninguna condición.
Ejercicio 44 · Taller de impresión
Un taller imprime carteles pequeños y grandes. Los pequeños requieren 2 minutos de impresión y 1 de acabado; los grandes, 4 minutos de impresión y 3 de acabado. Hay 240 minutos de impresión y 150 de acabado. El beneficio es de 3 € y 7 €, respectivamente. Halla el plan óptimo.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): carteles pequeños. \(y\): carteles grandes. Son cantidades enteras no negativas.
\[\max B=3x+7y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}2x+4y\le240&\text{impresión},\\x+3y\le150&\text{acabado},\\x,y\ge0.\end{cases}\]| Vértice | \(B\) en € |
|---|---|
| \((0,0)\) | 0 |
| \((120,0)\) | 360 |
| \((60,30)\) | 390 |
| \((0,50)\) | 350 |
El mejor vértice del modelo continuo tiene coordenadas enteras: también resuelve el problema de producción.
Conviene imprimir 60 carteles pequeños y 30 grandes. El beneficio máximo es de 390 €.
Ejercicio 45 · Plan de cultivo
Una cooperativa dispone de 100 hectáreas. El cultivo A necesita 2 jornadas por hectárea y el B necesita 1. Hay 160 jornadas disponibles. El beneficio es de 500 € por hectárea de A y 300 € por hectárea de B. Además, se quieren plantar al menos 20 hectáreas de B. Calcula el máximo.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): hectáreas de A. \(y\): hectáreas de B. La superficie puede tomar valores reales no negativos.
\[\max B=500x+300y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}x+y\le100&\text{superficie},\\2x+y\le160&\text{jornadas},\\y\ge20&\text{mínimo de B},\\x\ge0.\end{cases}\]| Vértice, en ha | \(B\) en € |
|---|---|
| \((0,20)\) | 6 000 |
| \((70,20)\) | 41 000 |
| \((60,40)\) | 42 000 |
| \((0,100)\) | 30 000 |
El beneficio máximo es de 42 000 €: 60 ha de A y 40 ha de B.
Ejercicio 46 · Aforo y recaudación mínima
Un espectáculo vende entradas de adulto a 18 € y juveniles a 10 €. El aforo es de 500 personas, se desean recaudar al menos 7000 € y no pueden venderse más de 300 entradas de adulto. Describe la región factible y encuentra el mínimo número total de asistentes.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): adultos. \(y\): jóvenes. Ambas cantidades son enteras no negativas.
\[\min N=x+y\quad(\text{personas})\]\[\begin{cases}x+y\le500,\\18x+10y\ge7000,\\x\le300,\\x,y\ge0.\end{cases}\]| Vértice | \(N\) |
|---|---|
| \((250,250)\) | 500 |
| \((300,160)\) | 460 |
| \((300,200)\) | 500 |
El mínimo es de 460 asistentes: 300 adultos y 160 jóvenes.
Las coordenadas son enteras. Además, \(18x+10y=10N+8x\le10N+2400\); recaudar 7000 € obliga a \(N\ge460\), una cota que se alcanza.
Ejercicio 47 · Mezcla de tratamiento de agua
Una planta de tratamiento combina dos reactivos líquidos. Cada litro del reactivo A aporta 3 unidades del agente P y 2 unidades del agente Q, y cuesta 7 €. Cada litro del reactivo B aporta 1 unidad de P y 4 unidades de Q, y cuesta 11 €. Se necesitan al menos 18 unidades de P y 24 unidades de Q. Determina la mezcla de coste mínimo.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): litros de A. \(y\): litros de B. Se admiten cantidades reales no negativas.
\[\min C=7x+11y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}3x+y\ge18&\text{agente P},\\x+2y\ge12&\text{agente Q, tras dividir por 2},\\x,y\ge0.\end{cases}\]| Vértice, en L | \(C\) en € |
|---|---|
| \((12,0)\) | 84 |
| \((4{,}8;3{,}6)\) | 73,20 |
| \((0,18)\) | 198 |
La región no es acotada. La siguiente cota justifica el mínimo en toda ella.
La mezcla óptima contiene 4,8 L de A y 3,6 L de B. Su coste mínimo es de 73,20 €.
La mezcla calculada alcanza esta cota inferior.
Ejercicio 48 · Producción textil
Una empresa confecciona chaquetas y pantalones. Cada chaqueta requiere 3 horas de corte y 2 de costura; cada pantalón, 1 hora de corte y 2 de costura. Hay 120 horas de corte y 100 de costura. Deben fabricarse al menos 10 chaquetas. Los beneficios son 45 € y 25 €. Halla el máximo.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): chaquetas. \(y\): pantalones. Ambas cantidades son enteras no negativas.
\[\max B=45x+25y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}3x+y\le120&\text{corte},\\x+y\le50&\text{costura, tras dividir por 2},\\x\ge10,\\y\ge0.\end{cases}\]| Vértice | \(B\) en € |
|---|---|
| \((10,0)\) | 450 |
| \((40,0)\) | 1 800 |
| \((35,15)\) | 1 950 |
| \((10,40)\) | 1 450 |
El máximo del modelo continuo es admisible también con cantidades enteras.
Se deben confeccionar 35 chaquetas y 15 pantalones. El beneficio máximo es de 1950 €.
Ejercicio 49 · Campaña solidaria con mínimo de acciones
Una asociación organiza llamadas y visitas. Cada llamada consume 2 unidades de tiempo y cada visita 1; hay 100. Para coordinación, una llamada consume 1 unidad y una visita 2; hay 80. Deben realizarse al menos 30 acciones. El impacto estimado es 3 puntos por llamada y 5 por visita. Maximiza el impacto.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): llamadas. \(y\): visitas. Son cantidades enteras no negativas.
\[\max I=3x+5y\quad(\text{puntos})\]\[\begin{cases}2x+y\le100&\text{tiempo},\\x+2y\le80&\text{coordinación},\\x+y\ge30&\text{mínimo de acciones},\\x,y\ge0.\end{cases}\]La recta \(x+y=30\) corta a los ejes en \((30,0)\) y \((0,30)\), ambos factibles.
| Vértice | \(I\), en puntos |
|---|---|
| \((30,0)\) | 90 |
| \((50,0)\) | 150 |
| \((40,20)\) | 220 |
| \((0,40)\) | 200 |
| \((0,30)\) | 150 |
El máximo es de 220 puntos, con 40 llamadas y 20 visitas. La solución continua ya cumple la condición entera.
Ejercicio 50 · Modelo integrador: recursos, contrato y cantidades enteras
Una editorial prepara cuadernos básicos y premium. El básico necesita 2 horas de diseño, 3 de impresión y deja 8 € de margen. El premium necesita 4 horas de diseño, 2 de impresión y deja 11 €. Hay 160 horas de diseño y 150 de impresión. Por contrato deben producirse al menos 10 cuadernos premium y, por almacenamiento, no más de 60 cuadernos en total. Calcula el plan que maximiza el margen.
Ver desarrollo y comprobación
\(x\): cuadernos básicos. \(y\): cuadernos premium. Ambas cantidades deben ser enteras.
\[\max M=8x+11y\quad(\text{euros})\]\[\begin{cases}x+2y\le80&\text{diseño, tras dividir por 2},\\3x+2y\le150&\text{impresión},\\y\ge10,\quad x+y\le60,\\x\ge0.\end{cases}\]| Vértice | \(M\), en € |
|---|---|
| \((0,10)\) | 110 |
| \((130/3,10)\) | \(1370/3\) |
| \((35;22{,}5)\) | 527,50 |
| \((0,40)\) | 440 |
La cota de almacenamiento no recorta la región: al sumar una cuarta parte de cada restricción de recursos simplificada se obtiene \(x+y\le57{,}5<60\).
Como \(y\) es entero, quedan dos casos que cubren todas las posibilidades.
\[\begin{aligned}10\le y\le22:\quad x&\le\frac{150-2y}{3},\\M&\le400+\frac{17}{3}y\le\frac{1574}{3}<525.\\y\ge23:\quad x&\le80-2y,\\M&\le640-5y\le525.\end{aligned}\]\[M(34,23)=8\cdot34+11\cdot23=525\text{ €}.\]El margen máximo entero es de 525 €, fabricando 34 cuadernos básicos y 23 premium. La cota prueba que ningún otro plan entero lo mejora.
El redondeo \((36,22)\) no es factible: necesitaría 152 h de impresión.
Trece ejercicios finales para resolver y comprobar
De la gráfica al modelo
Intenta resolver antes de desplegar la solución. Los doce primeros repasan regiones, modelos y óptimos; el último parte de una gráfica para reconstruir el modelo.
Ejercicio 51 · Representar una región triangular
Representa \(x+2y\le10\), \(x,y\ge0\) y escribe sus vértices.
Ver desarrollo y comprobación
Se toma la zona del primer cuadrante situada debajo de la recta, incluido el borde.
La región es el triángulo cerrado determinado por esos vértices.
Ejercicio 52 · Calcular todos los vértices
Halla los vértices de \(2x+y\le12\), \(x+y\le8\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
El origen también cumple todas las restricciones.
En \((6,0)\) la suma vale 6; en \((0,8)\) el primer miembro de la primera restricción vale 8. Los cuatro vértices son factibles.
Ejercicio 53 · Maximizar en un cuadrilátero
Maximiza \(Z=4x+3y\) en la región definida por \(2x+y\le12\), \(x+y\le8\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
Junto con el origen, se obtienen los cuatro vértices de una región cerrada y acotada.
| Vértice | \(Z=4x+3y\) |
|---|---|
| \((0,0)\) | \(0\) |
| \((6,0)\) | \(24\) |
| \((4,4)\) | \(28\) |
| \((0,8)\) | \(24\) |
El punto \((4,4)\) alcanza la cota, por lo que el máximo es global.
Ejercicio 54 · Minimizar en una región no acotada
Minimiza \(C=3x+2y\) con \(x+y\ge6\), \(2x+y\ge8\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
| Vértice | \(C=3x+2y\) |
|---|---|
| \((6,0)\) | \(18\) |
| \((2,4)\) | \(14\) |
| \((0,8)\) | \(16\) |
La región es no acotada, pero el mínimo sí existe.
El punto propuesto es factible y alcanza la cota inferior global.
Ejercicio 55 · Comprobar las restricciones de un punto
Decide si \((3,4)\) cumple \(x+2y\le12\) y \(2x+y\le11\).
Ver desarrollo y comprobación
El punto \((3,4)\) cumple las dos desigualdades indicadas.
Ambas holguras son positivas; el punto queda en el interior de los dos semiplanos.
Ejercicio 56 · Detectar una región vacía
Estudia si existe región para \(x+y\le3\), \(x+y\ge4\).
Ver desarrollo y comprobación
No existe ningún punto factible.
Las rectas frontera son paralelas y los semiplanos pedidos no se solapan. La incompatibilidad no depende del signo de las coordenadas.
Ejercicio 57 · Un máximo en una región no acotada
Maximiza \(Z=x+2y\) con \(x+y\le8\), \(x\le5\), \(y\le6\).
Ver desarrollo y comprobación
No se han impuesto condiciones de no negatividad. La región se prolonga hacia valores negativos.
El máximo existe aunque la región no sea acotada.
La última familia confirma que la región se extiende sin límite.
Ejercicio 58 · Formular tiempo y capacidad
Una fábrica usa 2 horas para A y 3 para B, con 60 horas, y fabrica como máximo 25 unidades. Formula las restricciones.
Ver desarrollo y comprobación
Las restricciones describen los planes admisibles. No se añade una función objetivo porque no se proporciona un beneficio, coste u otro criterio.
Este plan entero agota exactamente ambas disponibilidades.
Ejercicio 59 · Justificar infinitas soluciones óptimas
Explica cuándo hay infinitas soluciones óptimas.
Ver desarrollo y comprobación
En programación lineal continua, la región factible es convexa. Si contiene dos puntos óptimos distintos \(P\) y \(Q\) con el mismo valor \(k\), contiene también todo el segmento entre ellos.
\[P\ne Q,\qquad Z(P)=Z(Q)=k\]Todos los puntos del segmento son óptimos. Si la función objetivo no es constante en todo el plano, su recta de nivel óptima contiene un segmento factible y sostiene la región. Si el objetivo es constante, todos los puntos factibles son óptimos. El argumento vale para un máximo o un mínimo.
El paralelismo por sí solo no basta. En \(x+y\le4,\ x,y\ge0\), la recta \(x+y=2\) es paralela al lado oblicuo, pero no maximiza \(Z=x+y\): el valor máximo es 4.
Ejercicio 60 · Identificar todo el segmento óptimo
Maximiza \(Z=5x+5y\) con \(x+y\le9\), \(x,y\ge0\).
Ver desarrollo y comprobación
El máximo vale 45 y se alcanza en todo el segmento que une \((0,9)\) con \((9,0)\). Hay infinitas soluciones óptimas.
Todos los puntos de la parametrización son factibles y dan el mismo valor.
Ejercicio 61 · Mínimo y región no acotada
Una región no acotada tiene restricciones \(x\ge y\), \(x,y\ge0\). Minimiza \(Z=2x+y\).
Ver desarrollo y comprobación
Es el único punto óptimo: una suma de términos no negativos solo vale cero cuando ambos son cero.
La región sigue siendo no acotada; eso no impide que exista mínimo.
Ejercicio 62 · Probar el óptimo entero sin redondear
Maximiza \(Z=6x+5y\) con \(x+y\le6\), \(3x+y\le11\), \(x,y\ge0\), si las variables solo pueden tomar valores enteros. Si se admitieran valores reales, la solución óptima estaría en \((2{,}5;3{,}5)\).
Ver desarrollo y comprobación
La mejor solución entera es \((2,4)\) y el máximo vale 32. La cota demuestra que ningún otro punto entero factible puede mejorarlo.
Estos redondeos no son factibles. El óptimo continuo \((2{,}5;3{,}5)\) no autoriza a redondear sus coordenadas sin comprobar.
Ejercicio 63 · De una gráfica al sistema de restricciones
La región sombreada tiene los vértices marcados \(A=(1,1)\), \(B=(5,1)\), \(C=(4,3)\) y \(D=(1,4)\), y contiene sus lados. Recupera un sistema de inecuaciones que la describa. Después maximiza \(Z=3x+4y\) sobre esa región, con variables reales.
Ver desarrollo y comprobación
El punto interior \((2,2)\) permite elegir los semiplanos.
\[2\cdot2+2=6\le11,\qquad2+3\cdot2=8\le13\]\[\boxed{\begin{cases}x\ge1\\y\ge1\\2x+y\le11\\x+3y\le13\end{cases}}\]| Vértice | Valor de \(Z=3x+4y\) |
|---|---|
| \(A=(1,1)\) | \(7\) |
| \(B=(5,1)\) | \(19\) |
| \(C=(4,3)\) | \(24\) |
| \(D=(1,4)\) | \(19\) |
La región es un polígono no vacío y acotado, por lo que el máximo se alcanza en un vértice.
El máximo es \(Z=24\), alcanzado únicamente en \(C=(4,3)\).
El punto satisface todas las restricciones y \(3\cdot4+4\cdot3=24\). Las dos restricciones oblicuas están activas.
Errores que cambian la solución
- Invertir «al menos» y «como máximo» cambia el semiplano.
- Una intersección de rectas solo es un vértice factible si cumple todas las restricciones.
- Una región no acotada puede tener mínimo o máximo: hay que estudiar el objetivo.
- El paralelismo por sí solo no demuestra óptimos múltiples: la recta debe alcanzar el valor óptimo y contener un tramo factible.
- Probar algunos enteros próximos no demuestra que sean los mejores. Hace falta una cota o una búsqueda completa justificada.
Preguntas frecuentes
¿Siempre basta con evaluar vértices?
En un polígono no vacío y acotado, una función lineal alcanza ambos extremos en algún vértice. Si la región no está acotada, hay que estudiar también las direcciones en las que puede mejorar el objetivo.
¿Cuándo hay infinitas soluciones óptimas?
Cuando existen dos puntos factibles distintos con el mismo valor óptimo, todo el segmento que los une es óptimo. Para un objetivo no constante, una recta de nivel que sostiene la región puede contener ese segmento.
¿Se pueden redondear las coordenadas?
Si el enunciado exige enteros, el redondeo puede incumplir restricciones o perder la mejor solución. Se comprueba la factibilidad y se justifica que ningún entero factible mejora el valor.
¿Son ejercicios oficiales?
Son modelos propios y ejercicios de práctica. Trabajan habilidades de Bachillerato y PAU; para un examen concreto hay que consultar las orientaciones y criterios oficiales de su convocatoria.
¿Qué contiene cada PDF?
El cuaderno resuelto incluye los 63 ejercicios con sus desarrollos. La ficha selecciona seis enunciados con espacio de escritura y numeración propia, sin soluciones.
¿Preparas la PAU y tienes las mañanas disponibles?
Si repites la prueba, quieres mejorar nota o cursas Bachillerato a distancia, podemos valorar el encaje de las clases online por la mañana. Trabajamos el planteamiento y la corrección de los pasos que más cuestan.