Blog
Diagonalización de matrices para ADE y Económicas ejercicios resueltos paso a paso
Diagonalización de matrices para ADE: autovalores, autovectores y ejercicios resueltos paso a paso
La diagonalización es uno de los temas que suele marcar el salto dentro del Álgebra Lineal. Ya no basta con operar matrices: ahora hay que entender autovalores, autovectores, polinomio característico, matrices diagonalizables y aplicaciones sencillas como calcular potencias de una matriz.
Este recurso está pensado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios. No vamos a repetir aquí toda la teoría de espacios vectoriales ni todo el bloque de matrices. Tampoco entraremos en formas cuadráticas. Aquí nos centramos en una pieza concreta: cuándo una matriz se puede diagonalizar y cómo se hace.
Un tema difícil si se estudia de memoria
La diagonalización se entiende mucho mejor cuando se ve como un cambio de mirada: una matriz complicada puede convertirse, si tiene suficientes autovectores, en una matriz diagonal mucho más fácil de manejar. El problema es que muchos alumnos intentan memorizar pasos sin entender qué significa cada uno.
En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online con método: primero qué se busca, luego cómo se calcula y al final cómo se comprueba. En diagonalización, ese orden evita muchos bloqueos.
1. Qué significa diagonalizar una matriz
Diagonalizar una matriz \(A\) consiste en escribirla de la forma:
\[ A=PDP^{-1} \]donde \(D\) es una matriz diagonal y \(P\) es una matriz invertible formada con autovectores de \(A\).
\(A\)
La matriz original.
Es la que queremos estudiar.
\(D\)
Matriz diagonal.
En la diagonal van los autovalores.
\(P\)
Matriz de paso.
Sus columnas son autovectores.
2. Autovalores
Un número \(\lambda\) es autovalor de una matriz \(A\) si existe un vector no nulo \(\vec{v}\) tal que:
\[ A\vec{v}=\lambda\vec{v} \]Esto significa que al multiplicar la matriz por ese vector, el resultado sigue la misma dirección, solo cambia la escala.
Ejemplo sencillo
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]Probamos con \(\vec{v_1}=(1,0)\):
\[ A\vec{v_1}= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \]3. Autovectores
Los autovectores son los vectores no nulos que cumplen:
\[ A\vec{v}=\lambda\vec{v} \]Para encontrarlos, se resuelve:
\[ (A-\lambda I)\vec{v}=0 \]Ejemplo
\[ A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]Para \(\lambda=4\):
\[ A-4I= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix} \]Resolvemos:
\[ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \]De la segunda ecuación:
\[ -2y=0 \] \[ y=0 \]4. Polinomio característico
El polinomio característico se obtiene calculando:
\[ p(\lambda)=\det(A-\lambda I) \]Sus raíces son los autovalores de la matriz.
Ejemplo
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]5. Cuándo una matriz es diagonalizable
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es diagonalizable si tiene una base de \(n\) autovectores linealmente independientes.
Caso fácil
Si una matriz \(n\times n\) tiene \(n\) autovalores distintos, entonces es diagonalizable.
Caso delicado
Si hay autovalores repetidos, hay que comprobar si hay suficientes autovectores independientes.
6. Procedimiento paso a paso para diagonalizar
| Paso | Qué se hace | Qué se comprueba |
|---|---|---|
| 1 | Calcular \(p(\lambda)=\det(A-\lambda I)\) | Que el determinante esté bien desarrollado |
| 2 | Hallar las raíces del polinomio característico | Esos valores son los autovalores |
| 3 | Para cada autovalor, resolver \((A-\lambda I)\vec{v}=0\) | Se obtienen los autovectores |
| 4 | Comprobar si hay suficientes autovectores independientes | Si hay \(n\), la matriz es diagonalizable |
| 5 | Formar \(P\) con autovectores como columnas | El orden de columnas debe coincidir con \(D\) |
| 6 | Formar \(D\) con autovalores en la diagonal | Cada autovalor corresponde a su autovector |
| 7 | Escribir \(A=PDP^{-1}\) | Comprobar si procede |
7. Ejemplo completo de diagonalización
Diagonaliza la matriz:
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]Paso 1. Polinomio característico
\[ A-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1\\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \] \[ p(\lambda)= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1\\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)^2-1 \] \[ (2-\lambda)^2-1=0 \] \[ 2-\lambda=1 \quad \text{o} \quad 2-\lambda=-1 \] \[ \lambda=1,\quad \lambda=3 \]Paso 2. Autovector para \(\lambda=1\)
\[ A-I= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ x+y=0 \]Tomamos \(x=1\), entonces \(y=-1\).
\[ \vec{v_1}=(1,-1) \]Paso 3. Autovector para \(\lambda=3\)
\[ A-3I= \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] \[ -x+y=0 \] \[ y=x \]Tomamos \(x=1\), entonces \(y=1\).
\[ \vec{v_2}=(1,1) \]Paso 4. Formamos \(P\) y \(D\)
\[ P= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ D= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]8. Ejemplo de matriz no diagonalizable
No todas las matrices son diagonalizables. El caso más típico es una matriz con un autovalor repetido, pero sin suficientes autovectores.
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]Paso 1. Polinomio característico
\[ A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \] \[ p(\lambda)=(1-\lambda)^2 \]El único autovalor es:
\[ \lambda=1 \]Paso 2. Autovectores
\[ A-I= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ y=0 \]Los autovectores son:
\[ (x,0),\quad x\neq0 \]9. Aplicación sencilla: potencias de matrices
Una de las aplicaciones más útiles de la diagonalización es calcular potencias de matrices.
Si:
\[ A=PDP^{-1} \]entonces:
\[ A^n=PD^nP^{-1} \]Y si \(D\) es diagonal:
\[ D= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \]entonces:
\[ D^n= \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0\\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} \]10. Mapa mental rápido del tema
| Concepto | Qué significa | Cómo se calcula |
|---|---|---|
| Autovalor | Número \(\lambda\) asociado a una dirección propia | Raíz de \(\det(A-\lambda I)\) |
| Autovector | Vector no nulo que mantiene dirección | Resolviendo \((A-\lambda I)\vec{v}=0\) |
| Polinomio característico | Polinomio que da los autovalores | \(\det(A-\lambda I)\) |
| Diagonalizable | Tiene una base de autovectores | Hay suficientes autovectores independientes |
| Matriz \(P\) | Matriz de autovectores | Columnas iguales a autovectores |
| Matriz \(D\) | Matriz diagonal | Autovalores en la diagonal |
11. Errores frecuentes en diagonalización
1. Confundir autovalor y autovector
El autovalor es un número. El autovector es un vector no nulo.
2. Calcular mal \(A-\lambda I\)
Solo se resta \(\lambda\) en la diagonal, no en todos los elementos.
3. Olvidar que el autovector no puede ser cero
El vector cero no sirve como autovector.
4. Pensar que todo autovalor repetido impide diagonalizar
Hay que mirar el número de autovectores independientes.
5. Desordenar \(P\) y \(D\)
Si una columna de \(P\) es autovector de \(\lambda=3\), el 3 debe ir en la posición correspondiente de \(D\).
6. No comprobar si \(P\) es invertible
Si los autovectores no son independientes, \(P\) no sirve para diagonalizar.
12. 20 ejercicios resueltos paso a paso
1. Halla los autovalores de una matriz diagonal
\[ A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix} \]2. Halla el polinomio característico
\[ A= \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]3. Halla los autovalores
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix} \]4. Calcula autovectores para \(\lambda=2\)
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]5. Calcula autovectores para \(\lambda=3\)
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]6. Decide si esta matriz es diagonalizable
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]7. Halla el polinomio característico
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]8. Halla los autovalores de la matriz anterior
9. Decide si la matriz anterior es diagonalizable
10. Halla el polinomio característico
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]11. Autovector para \(\lambda=1\)
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]12. Autovector para \(\lambda=-1\)
13. Diagonaliza la matriz
\[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]14. Decide si es diagonalizable
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]15. Halla los autovalores
\[ A= \begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]16. Decide si la matriz anterior es diagonalizable
17. Halla \(D^n\)
\[ D= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]18. Calcula \(D^4\)
\[ D= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]19. Halla los autovalores
\[ A= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]20. Decide si la matriz anterior es diagonalizable
13. 30 ejercicios para practicar
A. Polinomio característico y autovalores
- Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}\).
- Halla el polinomio característico de \(\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\).
- Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}3&1\\0&5\end{pmatrix}\).
- Halla el polinomio característico de \(\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\).
- Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\).
- Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\).
B. Autovectores
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}\) para \(\lambda=2\).
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}\) para \(\lambda=6\).
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\) para \(\lambda=2\).
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\) para \(\lambda=-2\).
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) para \(\lambda=1\).
- Halla autovectores de \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) para \(\lambda=2\).
C. Diagonalización
- Diagonaliza \(\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}\).
- Diagonaliza \(\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\).
- Decide si \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
- Decide si \(\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
- Diagonaliza \(\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}\).
- Decide si \(\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
D. Potencias de matrices
- Calcula \(D^n\), con \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}\).
- Calcula \(D^5\), con \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\).
- Calcula \(D^4\), con \(D=\begin{pmatrix}-1&0\\0&3\end{pmatrix}\).
- Si \(A=PDP^{-1}\), escribe la fórmula de \(A^n\).
- Explica por qué diagonalizar ayuda a calcular potencias.
- Calcula \(D^3\), con \(D=\begin{pmatrix}4&0\\0&-2\end{pmatrix}\).
E. Para nota
- Determina para qué valores de \(a\) la matriz \(\begin{pmatrix}a&0\\0&2\end{pmatrix}\) tiene autovalores distintos.
- Decide si \(\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
- Diagonaliza \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).
- Halla el polinomio característico de \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).
- Diagonaliza \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).
- Explica la diferencia entre multiplicidad algebraica y número de autovectores independientes.
14. Soluciones para corregir
| Nº | Resultado | Comentario |
|---|---|---|
| 1 | \(\lambda=2,6\) | Matriz diagonal. |
| 2 | \((1-\lambda)(4-\lambda)\) | Polinomio característico. |
| 3 | \(\lambda=3,5\) | Matriz triangular. |
| 4 | \(\lambda^2-4\) | Autovalores \(2,-2\). |
| 5 | \(\lambda=0,2\) | Polinomio \(\lambda(\lambda-2)\). |
| 6 | \(\lambda=4\) | Multiplicidad 2. |
| 7 | \((x,0)\) | Por ejemplo \((1,0)\). |
| 8 | \((0,y)\) | Por ejemplo \((0,1)\). |
| 9 | \((1,1)\) | Para \(\lambda=2\). |
| 10 | \((1,-1)\) | Para \(\lambda=-2\). |
| 11 | \((x,0)\) | Solo una dirección. |
| 12 | \((1,1)\) | Para \(\lambda=2\). |
| 13 | Ya es diagonal | \(P=I\), \(D=A\). |
| 14 | Diagonalizable | Autovalores distintos \(2,-2\). |
| 15 | No | Solo una dirección de autovectores. |
| 16 | Sí | Ya es diagonal. |
| 17 | Ya es diagonal | \(D=A\). |
| 18 | No | Autovalor repetido sin suficientes autovectores. |
| 19 | \(\begin{pmatrix}3^n&0\\0&5^n\end{pmatrix}\) | Potencia diagonal. |
| 20 | \(\begin{pmatrix}32&0\\0&1\end{pmatrix}\) | \(2^5=32\). |
| 21 | \(\begin{pmatrix}1&0\\0&81\end{pmatrix}\) | \((-1)^4=1\). |
| 22 | \(A^n=PD^nP^{-1}\) | Fórmula clave. |
| 23 | Porque \(D^n\) es fácil de calcular | Se elevan solo los elementos diagonales. |
| 24 | \(\begin{pmatrix}64&0\\0&-8\end{pmatrix}\) | \((-2)^3=-8\). |
| 25 | \(a\neq2\) | Autovalores distintos si \(a\) no coincide con 2. |
| 26 | No | Autovalor repetido \(\lambda=2\) con una sola dirección. |
| 27 | Ya diagonal | Autovalores \(1,-1\). |
| 28 | \((2-\lambda)^2-1\) | Autovalores \(1,3\). |
| 29 | Diagonalizable | Autovectores \((1,-1)\), \((1,1)\). |
| 30 | La multiplicidad algebraica viene del polinomio | La diagonalización exige suficientes autovectores independientes. |
15. Simulacro final de diagonalización
Tiempo recomendado: 50 minutos. Hazlo sin mirar las soluciones. Escribe el polinomio característico, los autovalores, los autovectores y decide si la matriz es diagonalizable.
Enunciados
- Halla los autovalores de \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\).
- Halla el polinomio característico de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\).
- Decide si \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
- Halla los autovectores de \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\).
- Diagonaliza \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\).
- Halla los autovalores de \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).
- Diagonaliza \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).
- Decide si \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) es diagonalizable.
- Calcula \(D^n\), con \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}\).
- Explica por qué tener un autovalor repetido no basta para decidir si una matriz es diagonalizable.
Soluciones
1. \(\lambda=2,5\)
2. \(p(\lambda)=(1-\lambda)(3-\lambda)\)
3. Sí, porque tiene dos autovalores distintos.
4. Para \(\lambda=2\), autovectores \((x,0)\). Para \(\lambda=5\), autovectores \((0,y)\).
5. Ya es diagonalizable con \(P=I\) y \(D=A\).
6. \(\lambda=1,-1\)
7. Puede tomarse \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).
8. No es diagonalizable. Tiene autovalor repetido y solo una dirección de autovectores.
9. \(D^n=\begin{pmatrix}3^n&0\\0&(-2)^n\end{pmatrix}\)
10. Porque hay que comprobar si existen suficientes autovectores independientes. La repetición del autovalor obliga a mirar el subespacio propio.
16. Cómo suele aparecer este tema en un examen de ADE
En examen, la diagonalización suele aparecer como un ejercicio largo con varias partes. No suelen pedir solo “halla los autovalores”. Lo habitual es que el alumno tenga que encadenar polinomio característico, autovalores, autovectores, criterio de diagonalización y, a veces, una aplicación como \(A^n\).
Parte 1
Calcular \(\det(A-\lambda I)\).
Parte 2
Hallar autovalores resolviendo el polinomio característico.
Parte 3
Resolver \((A-\lambda I)\vec{v}=0\) para cada autovalor.
Parte 4
Decidir si hay suficientes autovectores independientes.
17. Diagnóstico rápido: qué falla cuando el alumno se pierde
| Lo que ocurre | Qué suele haber detrás | Cómo corregirlo |
|---|---|---|
| No sabe empezar | No recuerda que todo empieza con \(\det(A-\lambda I)\) | Practicar primero solo polinomios característicos |
| Resta mal \(\lambda I\) | No controla la matriz identidad | Recordar que \(\lambda\) solo se resta en la diagonal |
| Obtiene autovalores pero no autovectores | No sabe resolver \((A-\lambda I)\vec{v}=0\) | Volver a sistemas homogéneos y Gauss |
| Dice que no diagonaliza solo porque hay autovalor repetido | Confunde repetición con no diagonalización | Mirar la dimensión del subespacio propio |
| Forma mal \(P\) y \(D\) | No respeta el orden autovector/autovalor | Colocar cada autovalor en la posición de su autovector |
18. Qué estudiar antes y después de diagonalización
Este recurso debe quedar en la ruta universitaria como bloque posterior a espacios vectoriales, matrices y sistemas lineales. No debe absorber todo el Álgebra Lineal. Su fuerza está en ser una pieza concreta y bien delimitada.
Álgebra para ADE: lógica, conjuntos, números y polinomios
Si el alumno falla con notación, polinomios, factorización o lenguaje matemático, conviene reforzar esta base antes de diagonalizar.
Espacios vectoriales para ADE
La diagonalización necesita entender independencia lineal, bases, dimensión y coordenadas. Si esto falla, el criterio de diagonalización queda en el aire.
Regla de Cramer y método de Gauss
Para hallar autovectores hay que resolver sistemas homogéneos. El método de Gauss ayuda mucho en esta parte.
Matrices para ADE y Economía
Operaciones con matrices, inversa, rango y determinantes son la base técnica antes de diagonalizar. Conviene trabajarlo como recurso propio.
Formas bilineales y cuadráticas
En la ruta de Álgebra para ADE, las formas cuadráticas deben ir después como bloque independiente, sin mezclarlo con diagonalización.
Matemáticas universitarias online
Para estudiantes de ADE, Economía, Empresa, Ingeniería o grados con Álgebra, Cálculo, Análisis y métodos cuantitativos.
¿Necesitas preparar diagonalización de matrices para ADE?
En Marlu Educativa podemos trabajar diagonalización desde el punto exacto en el que se rompe el ejercicio: polinomio característico, autovalores, autovectores, sistemas homogéneos, criterio de diagonalización o aplicación a potencias de matrices.
La clave no es repetir matrices sin orden. La clave es saber qué toca comprobar en cada paso. Cuando el alumno entiende esa ruta, el tema deja de parecer una lista de recetas.
Preguntas frecuentes sobre diagonalización de matrices
¿Qué significa diagonalizar una matriz?
Significa escribir una matriz \(A\) como \(A=PDP^{-1}\), donde \(D\) es diagonal y \(P\) está formada por autovectores.
¿Qué es un autovalor?
Es un número \(\lambda\) que cumple \(A\vec{v}=\lambda\vec{v}\) para algún vector no nulo \(\vec{v}\).
¿Qué es un autovector?
Es un vector no nulo que mantiene su dirección al multiplicarlo por la matriz.
¿Cuándo una matriz es diagonalizable?
Cuando tiene una base de autovectores, es decir, suficientes autovectores linealmente independientes.
¿Para qué sirve diagonalizar?
Una aplicación habitual es calcular potencias de matrices de forma más sencilla mediante \(A^n=PD^nP^{-1}\).