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Formas cuadráticas para ADE y Economía ejercicios resueltos paso a paso
Formas cuadráticas para ADE: teoría, clasificación y ejercicios resueltos paso a paso
Las formas cuadráticas son uno de los bloques más diferenciales del Álgebra Lineal en ADE. Aparecen después de espacios vectoriales, matrices y diagonalización, y sirven para estudiar expresiones de segundo grado, clasificarlas y aplicarlas a problemas de optimización.
En este recurso trabajamos desde cero: formas bilineales, formas cuadráticas, matriz asociada, clasificación, formas definidas positivas, definidas negativas, semidefinidas e indefinidas, y una introducción sencilla a su uso en optimización económica. No vamos a convertir este artículo en un curso entero de diagonalización ni de cálculo multivariable. Aquí cada cosa va en su sitio.
Un tema que parece raro hasta que se ordena bien
Muchos alumnos llegan a formas cuadráticas con la sensación de que el tema es una mezcla de matrices, polinomios y signos. En realidad, el núcleo es muy claro: tenemos una expresión de segundo grado y queremos saber si siempre es positiva, siempre negativa, puede cambiar de signo o tiene casos especiales.
En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online con pizarra compartida y razonamiento paso a paso. En este tema, lo importante no es memorizar una tabla, sino saber leer la matriz, calcular los criterios y concluir con precisión.
1. Qué es una forma cuadrática
Una forma cuadrática es una expresión homogénea de segundo grado en varias variables. Homogénea significa que todos sus términos tienen grado 2.
Sí es forma cuadrática
\[ q(x,y)=2x^2+3xy+y^2 \]Todos los términos tienen grado 2.
No es forma cuadrática
\[ f(x,y)=2x^2+3x+1 \]Aparecen términos de grado 1 y término independiente.
2. Formas bilineales
Una forma bilineal es una aplicación que toma dos vectores y devuelve un número, siendo lineal en cada variable por separado.
En forma matricial puede escribirse como:
\[ B(u,v)=u^T A v \]donde \(A\) es una matriz.
Ejemplo
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]Si \(u=(x_1,x_2)\) y \(v=(y_1,y_2)\), entonces:
\[ B(u,v)= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \]3. De forma bilineal a forma cuadrática
Una forma cuadrática se obtiene al aplicar una forma bilineal al mismo vector dos veces:
\[ q(x)=B(x,x) \]En forma matricial:
\[ q(x)=x^T A x \]Ejemplo
\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] \[ x= \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \]4. Matriz asociada a una forma cuadrática
Toda forma cuadrática puede representarse mediante una matriz simétrica. Este detalle es clave. Si aparece un término cruzado como \(xy\), se reparte entre las posiciones simétricas de la matriz.
Para dos variables:
\[ q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2 \]su matriz asociada es:
\[ A= \begin{pmatrix} a & b\\ b & c \end{pmatrix} \]Ejemplo
\[ q(x,y)=3x^2+4xy+5y^2 \]5. Escritura matricial de una forma cuadrática
La forma matricial permite escribir una forma cuadrática de manera compacta:
\[ q(x)=x^T A x \]Para dos variables:
\[ x= \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \]Si:
\[ A= \begin{pmatrix} a & b\\ b & c \end{pmatrix} \]entonces:
\[ q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2 \]6. Clasificación de formas cuadráticas
Clasificar una forma cuadrática significa decidir qué signo toma según los valores de las variables.
| Tipo | Qué significa | Idea intuitiva |
|---|---|---|
| Definida positiva | \(q(x)>0\) para todo \(x\neq0\) | Siempre sale positiva salvo en el cero |
| Definida negativa | \(q(x)<0\) para todo \(x\neq0\) | Siempre sale negativa salvo en el cero |
| Semidefinida positiva | \(q(x)\geq0\) para todo \(x\) | Nunca baja de cero |
| Semidefinida negativa | \(q(x)\leq0\) para todo \(x\) | Nunca sube de cero |
| Indefinida | Toma valores positivos y negativos | Cambia de signo |
7. Criterio de menores principales
Para matrices simétricas, el criterio de menores principales ayuda a clasificar la forma cuadrática. En dos variables, con:
\[ A= \begin{pmatrix} a & b\\ b & c \end{pmatrix} \]usamos:
\[ \Delta_1=a \] \[ \Delta_2= \begin{vmatrix} a & b\\ b & c \end{vmatrix} =ac-b^2 \]| Condición | Clasificación |
|---|---|
| \(\Delta_1>0\) y \(\Delta_2>0\) | Definida positiva |
| \(\Delta_1<0\) y \(\Delta_2>0\) | Definida negativa |
| \(\Delta_2<0\) | Indefinida |
8. Caso de dos variables paso a paso
Ejemplo 1. Clasifica la forma cuadrática
\[ q(x,y)=2x^2+2xy+3y^2 \]Ejemplo 2. Clasifica la forma cuadrática
\[ q(x,y)=-x^2-2xy-3y^2 \]Ejemplo 3. Clasifica la forma cuadrática
\[ q(x,y)=x^2-y^2 \]9. Caso sencillo de tres variables
En tres variables, la forma cuadrática tiene la forma:
\[ q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz \]Su matriz asociada es:
\[ A= \begin{pmatrix} a & d & e\\ d & b & f\\ e & f & c \end{pmatrix} \]Ejemplo
\[ q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2 \]Ejemplo con signos mezclados
\[ q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 \]10. Relación con diagonalización
La clasificación de formas cuadráticas se conecta con la diagonalización de matrices simétricas. La idea es transformar la forma cuadrática en otra equivalente sin términos cruzados.
Por ejemplo, una forma como:
\[ q(x,y)=3x^2+4xy+3y^2 \]puede estudiarse mediante su matriz asociada:
\[ A= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]Al analizar la matriz, podemos saber si la forma es positiva, negativa o indefinida.
11. Aplicación a optimización económica
En ADE y Economía, las formas cuadráticas aparecen al estudiar máximos y mínimos de funciones de varias variables. La matriz que recoge las segundas derivadas se llama matriz Hessiana.
En un punto crítico:
\[ \nabla f=0 \]la Hessiana ayuda a decidir si hay mínimo, máximo o punto de silla.
| Hessiana | Interpretación | Lectura económica sencilla |
|---|---|---|
| Definida positiva | Mínimo local | Coste mínimo o punto de equilibrio estable |
| Definida negativa | Máximo local | Beneficio máximo o utilidad máxima |
| Indefinida | Punto de silla | No hay máximo ni mínimo claro |
Ejemplo sencillo
\[ f(x,y)=x^2+y^2 \]12. Mapa mental rápido del tema
| Concepto | Qué significa | Qué debes hacer en ejercicios |
|---|---|---|
| Forma bilineal | Depende linealmente de dos vectores | Escribir \(B(u,v)=u^TAv\) |
| Forma cuadrática | Expresión homogénea de segundo grado | Identificar términos \(x^2\), \(xy\), \(y^2\) |
| Matriz asociada | Matriz simétrica que representa la forma | Repartir los términos cruzados |
| Definida positiva | Siempre positiva salvo en cero | Comprobar menores o signos |
| Definida negativa | Siempre negativa salvo en cero | Revisar signos alternados |
| Indefinida | Toma valores positivos y negativos | Buscar cambio de signo o determinante negativo |
13. Errores frecuentes en formas cuadráticas
1. No repartir el término cruzado
En \(4xy\), la matriz lleva 2 y 2 en posiciones simétricas.
2. Confundir forma cuadrática con función cuadrática cualquiera
Una forma cuadrática no tiene términos lineales ni término independiente.
3. Clasificar mirando solo un valor
Probar un punto no basta para demostrar que es definida positiva o negativa.
4. Olvidar que la matriz debe ser simétrica
La matriz asociada de una forma cuadrática se toma simétrica.
5. Confundir indefinida con negativa
Indefinida significa que cambia de signo, no que sea negativa.
6. Aplicar optimización sin Hessiana
En funciones de varias variables, la clasificación del punto crítico depende de la Hessiana.
14. 25 ejercicios resueltos paso a paso
1. Decide si es forma cuadrática
\[ q(x,y)=x^2+3xy+y^2 \]2. Decide si es forma cuadrática
\[ f(x,y)=x^2+2x+1 \]3. Halla la matriz asociada
\[ q(x,y)=2x^2+6xy+5y^2 \]4. Escribe la forma cuadrática de la matriz
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \]5. Clasifica
\[ q(x,y)=x^2+y^2 \]6. Clasifica
\[ q(x,y)=-x^2-y^2 \]7. Clasifica
\[ q(x,y)=x^2-y^2 \]8. Clasifica usando menores
\[ q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2 \]9. Clasifica usando menores
\[ q(x,y)=-2x^2-2xy-2y^2 \]10. Clasifica usando determinante
\[ q(x,y)=x^2+4xy+y^2 \]11. Clasifica
\[ q(x,y)=4x^2+4xy+y^2 \]12. Clasifica
\[ q(x,y)=-(x+y)^2 \]13. Halla la matriz asociada
\[ q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+4xy-2xz+6yz \]14. Clasifica
\[ q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \]15. Clasifica
\[ q(x,y,z)=-x^2-y^2-z^2 \]16. Clasifica
\[ q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 \]17. Clasifica por Hessiana
\[ f(x,y)=x^2+y^2 \]18. Clasifica por Hessiana
\[ f(x,y)=-x^2-y^2 \]19. Clasifica por Hessiana
\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]20. Clasifica con parámetro
\[ q(x,y)=ax^2+y^2 \]21. Clasifica con parámetro
\[ q(x,y)=x^2+ay^2 \]22. Clasifica
\[ q(x,y)=2x^2+8xy+2y^2 \]23. Clasifica
\[ q(x,y)=9x^2+6xy+y^2 \]24. Matriz asociada y clasificación
\[ q(x,y)=5x^2+2xy+5y^2 \]25. Matriz asociada y clasificación
\[ q(x,y)=-5x^2+2xy-5y^2 \]15. 35 ejercicios para practicar
A. Reconocer formas cuadráticas
- Decide si \(q(x,y)=x^2+xy+y^2\) es forma cuadrática.
- Decide si \(f(x,y)=x^2+y+1\) es forma cuadrática.
- Decide si \(q(x,y,z)=x^2+2xy+z^2\) es forma cuadrática.
- Decide si \(f(x,y)=xy+x\) es forma cuadrática.
- Decide si \(q(x,y)=4xy\) es forma cuadrática.
B. Matriz asociada
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y)=x^2+2xy+3y^2\).
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y)=2x^2+8xy+y^2\).
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y)=5x^2-4xy+2y^2\).
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xy\).
- Halla la forma cuadrática asociada a \(A=\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}\).
C. Clasificación en dos variables
- Clasifica \(q(x,y)=x^2+y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=-x^2-y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=x^2-y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=x^2+6xy+y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=4x^2+4xy+y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=-(x-y)^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2\).
D. Tres variables y signos
- Clasifica \(q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\).
- Clasifica \(q(x,y,z)=-x^2-y^2-z^2\).
- Clasifica \(q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\).
- Clasifica \(q(x,y,z)=x^2\).
- Clasifica \(q(x,y,z)=-(x^2+y^2)\).
- Clasifica \(q(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2\).
E. Optimización económica sencilla
- Clasifica la Hessiana \(H=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\).
- Clasifica la Hessiana \(H=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-3\end{pmatrix}\).
- Clasifica la Hessiana \(H=\begin{pmatrix}2&0\\0&-3\end{pmatrix}\).
- Indica si \(f(x,y)=x^2+y^2\) tiene mínimo, máximo o silla en el origen.
- Indica si \(f(x,y)=-x^2-y^2\) tiene mínimo, máximo o silla en el origen.
- Indica si \(f(x,y)=x^2-y^2\) tiene mínimo, máximo o silla en el origen.
F. Para nota
- Clasifica \(q(x,y)=ax^2+y^2\) según \(a\).
- Clasifica \(q(x,y)=x^2+2axy+y^2\) según \(a\).
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^2+4xy-6xz+2yz\).
- Explica por qué \(q(x,y)=x^2\) no es definida positiva.
- Explica qué relación hay entre una Hessiana definida negativa y un máximo local.
16. Soluciones para corregir
| Nº | Resultado | Comentario |
|---|---|---|
| 1 | Sí | Todos los términos son de grado 2. |
| 2 | No | Aparecen \(y\) y \(1\). |
| 3 | Sí | Todos los términos son de grado 2. |
| 4 | No | Aparece \(x\), término de grado 1. |
| 5 | Sí | \(xy\) tiene grado 2. |
| 6 | \(\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}\) | El término cruzado se reparte. |
| 7 | \(\begin{pmatrix}2&4\\4&1\end{pmatrix}\) | \(8xy\) da \(4\) y \(4\). |
| 8 | \(\begin{pmatrix}5&-2\\-2&2\end{pmatrix}\) | \(-4xy\) da \(-2\) y \(-2\). |
| 9 | \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) | \(2xy\) se reparte. |
| 10 | \(2x^2+6xy+4y^2\) | El término cruzado se duplica. |
| 11 | Definida positiva | Suma de cuadrados. |
| 12 | Definida negativa | Opuesta de suma de cuadrados. |
| 13 | Indefinida | Toma signos distintos. |
| 14 | Definida positiva | Menores positivos. |
| 15 | Indefinida | Determinante negativo. |
| 16 | Semidefinida positiva | \((2x+y)^2\). |
| 17 | Semidefinida negativa | Opuesta de un cuadrado. |
| 18 | Definida positiva | \(\Delta_1>0\), \(\Delta_2>0\). |
| 19 | Definida positiva | Suma de tres cuadrados. |
| 20 | Definida negativa | Negativa salvo en cero. |
| 21 | Indefinida | Signos mezclados. |
| 22 | Semidefinida positiva | Nunca es negativa, pero se anula en muchos vectores. |
| 23 | Semidefinida negativa | Nunca es positiva. |
| 24 | Definida positiva | Coeficientes positivos sin términos cruzados. |
| 25 | Definida positiva | Mínimo local. |
| 26 | Definida negativa | Máximo local. |
| 27 | Indefinida | Punto de silla. |
| 28 | Mínimo local | Hessiana definida positiva. |
| 29 | Máximo local | Hessiana definida negativa. |
| 30 | Punto de silla | Hessiana indefinida. |
| 31 | \(a>0\) positiva, \(a=0\) semidefinida positiva, \(a<0\) indefinida | Depende del signo de \(a\). |
| 32 | \(|a|<1\) positiva, \(|a|=1\) semidefinida positiva, \(|a|>1\) indefinida | Determinante \(1-a^2\). |
| 33 | \(\begin{pmatrix}2&2&-3\\2&3&1\\-3&1&1\end{pmatrix}\) | Repartir términos cruzados. |
| 34 | Porque se anula en vectores no nulos | Por ejemplo \(q(0,1)=0\). |
| 35 | Indica máximo local | La función se curva hacia abajo. |
17. Simulacro final de formas cuadráticas
Tiempo recomendado: 50 minutos. Hazlo sin mirar las soluciones. En cada ejercicio escribe matriz asociada, menores o argumento de signo, y conclusión.
Enunciados
- Decide si \(q(x,y)=x^2+3xy+y^2\) es forma cuadrática.
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y)=2x^2+4xy+3y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=x^2+y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=-x^2-y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=x^2-y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2\).
- Clasifica \(q(x,y)=4x^2+4xy+y^2\).
- Halla la matriz asociada a \(q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+4xy-2xz\).
- Clasifica la Hessiana \(H=\begin{pmatrix}2&0\\0&-4\end{pmatrix}\).
- Interpreta económicamente una Hessiana definida negativa en un problema de beneficio.
Soluciones
1. Sí, todos los términos son de grado 2.
2. \(A=\begin{pmatrix}2&2\\2&3\end{pmatrix}\)
3. Definida positiva.
4. Definida negativa.
5. Indefinida.
6. \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), definida positiva.
7. \(q(x,y)=(2x+y)^2\), semidefinida positiva.
8. \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&2&0\\-1&0&3\end{pmatrix}\)
9. Indefinida. Hay punto de silla.
10. Una Hessiana definida negativa indica máximo local; en beneficio, puede interpretarse como candidato a beneficio máximo.
18. Cómo suele aparecer este tema en un examen de ADE
En examen, formas cuadráticas suelen aparecer como un ejercicio de clasificación. El enunciado puede dar directamente la forma, o puede dar la matriz asociada. También puede conectar con optimización mediante la Hessiana.
Tipo 1
Dada \(q(x,y)\), hallar la matriz asociada.
Tipo 2
Dada una matriz simétrica, escribir la forma cuadrática.
Tipo 3
Clasificar como positiva, negativa, semidefinida o indefinida.
Tipo 4
Usar la Hessiana para decidir máximo, mínimo o punto de silla.
19. Diagnóstico rápido: qué falla cuando el alumno se pierde
| Lo que ocurre | Qué suele haber detrás | Cómo corregirlo |
|---|---|---|
| No sabe construir la matriz asociada | No reparte los términos cruzados | Recordar que \(2bxy\) da \(b\) y \(b\) |
| Confunde definida positiva con semidefinida positiva | No revisa si se anula en vectores no nulos | Comprobar si \(q(x)=0\) puede ocurrir fuera del cero |
| Clasifica mirando un solo valor | No entiende que la clasificación es global | Usar menores, signos o ejemplos de cambio de signo |
| Falla en optimización | No conecta Hessiana con forma cuadrática | Clasificar la Hessiana antes de interpretar el punto crítico |
| Mezcla diagonalización con clasificación | No separa herramienta y objetivo | La diagonalización puede ayudar, pero el objetivo aquí es clasificar |
20. Qué estudiar antes y después de formas cuadráticas
Este recurso debe cerrar la ruta de Álgebra Lineal para ADE. No debe sustituir a espacios vectoriales, matrices ni diagonalización. Su valor está en ser una pieza final, clara y bien delimitada.
Álgebra para ADE: lógica, conjuntos, números y polinomios
Para reforzar notación, polinomios, factorización y lenguaje matemático antes de Álgebra Lineal.
Espacios vectoriales para ADE
Las formas bilineales y cuadráticas viven sobre espacios vectoriales. Conviene dominar base, dimensión e independencia.
Diagonalización de matrices para ADE
La diagonalización ayuda a entender cómo simplificar matrices simétricas y estudiar formas cuadráticas.
Regla de Cramer y método de Gauss
Útil si el alumno necesita reforzar resolución de sistemas, determinantes o cálculo matricial básico.
Matemáticas universitarias online
Para estudiantes de ADE, Economía, Empresa, Ingeniería o grados con Álgebra, Cálculo, Análisis y métodos cuantitativos.
Clases online de Matemáticas
Para trabajar dudas de clase, preparación de examen y ejercicios universitarios con pizarra compartida.
¿Necesitas preparar formas cuadráticas para ADE?
En Marlu Educativa podemos ayudarte a entender formas bilineales, formas cuadráticas, matriz asociada, clasificación y aplicaciones a optimización. La idea no es memorizar una tabla, sino saber leer la expresión, construir la matriz y justificar la conclusión.
Si el alumno se pierde con signos, términos cruzados, menores principales o Hessianas, conviene trabajarlo con método. En estos temas, un pequeño error al principio cambia todo el resultado.
Preguntas frecuentes sobre formas cuadráticas para ADE
¿Qué es una forma cuadrática?
Es una expresión homogénea de segundo grado en varias variables, como \(x^2+2xy+y^2\).
¿Qué es una forma bilineal?
Es una aplicación que toma dos vectores y devuelve un número, siendo lineal en cada variable por separado.
¿Cómo se obtiene la matriz asociada?
Se colocan los coeficientes de los términos cuadrados en la diagonal y se reparten los términos cruzados en posiciones simétricas.
¿Qué significa que una forma sea definida positiva?
Significa que toma valores positivos para todo vector no nulo.
¿Qué significa que una forma sea indefinida?
Significa que puede tomar valores positivos y negativos.
¿Para qué sirven en ADE?
Sirven, entre otras cosas, para estudiar máximos y mínimos mediante la Hessiana en problemas de optimización.