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Matemática Empresarial de PYMES en la USAL: guía y ejercicios
Matemática Empresarial de PYMES en la USAL: guía y ejercicios
Biblioteca Marlu Educativa · PYMES · USAL
Matemáticas de primero de PYMES en Salamanca: sitúa los temas de Matemática Empresarial, practica con 16 ejercicios resueltos y localiza qué necesitas repasar.
- Código
- 103902
- Curso
- 1.º
- Semestre
- Primero
- Créditos
- 6 ECTS
- Carácter
- Básica
Si estudias el Grado en Gestión de Pequeñas y Medianas Empresas de la Universidad de Salamanca, la asignatura de primero que aquí trabajamos es Matemática Empresarial, código 103902. Esta guía te ayuda a relacionar su programa con ejercicios resueltos y a elegir el repaso que necesitas.
Encontrarás un mapa de los tres bloques y una selección de problemas para comprobar cómo los resuelves. Cuando una técnica requiera más práctica, los enlaces te llevarán al cuaderno que la desarrolla. Así puedes concentrarte en la asignatura sin rehacer un curso completo de Matemáticas.
Referencia académica: guía docente oficial de Matemática Empresarial 2026/2027. Recurso independiente de Marlu Educativa. Los 16 ejercicios son propios; no son exámenes oficiales ni un material avalado por la USAL.
1. Programa y evaluación de Matemática Empresarial
La guía 2026/2027 reúne tres temas. Esta relación resume los contenidos oficiales; el orden de práctica y los ejercicios de las secciones posteriores son una propuesta propia.
| Tema | Contenidos |
|---|---|
| Álgebra lineal | Matrices, determinantes y sistemas lineales. |
| Funciones de una variable | Límites, continuidad, derivadas, representación gráfica e integración. |
| Funciones de dos variables | Límites, continuidad, derivabilidad y optimización. |
Evaluación 2026/2027. La guía asigna un 40 % a la evaluación continua y un 60 % al examen final. Contempla controles prácticos, cuestionarios y teoría y problemas en el examen. La nota de evaluación continua se conserva en las dos convocatorias del curso y no se recupera. El examen puede recuperarse mediante una nueva prueba. Comprueba las instrucciones vigentes sobre pruebas y material permitido en la guía oficial y en tu asignatura.
La preparación debe atender tanto a la comprensión de conceptos como a su aplicación. Organiza el estudio con las hojas de problemas y las indicaciones del curso, no solo con esta selección.
2. Qué conviene comprobar antes de avanzar
La guía docente no concreta recomendaciones previas. Para aprovechar el curso, ayuda distinguir entre una operación que has olvidado y un concepto que aparece por primera vez.
Como preparación práctica, comprueba si puedes operar fracciones, factorizar, resolver ecuaciones, interpretar una función y aplicar las reglas básicas de derivación e integración. Si te detienes en esas operaciones, anota el paso exacto: no hace falta volver a estudiar toda una etapa por un error concreto.
El curso cero de Matemáticas para ADE y Economía permite trabajar esa base con más amplitud. En esta guía, los ejercicios sirven para situarte dentro de Matemática Empresarial.
Una cuenta correcta necesita un planteamiento correcto. Antes de empezar, identifica qué representan las variables y qué te piden. Al terminar, comprueba el dominio, sustituye en las ecuaciones o interpreta las unidades, según el problema.
3. Matrices y sistemas en el programa de PYMES
Antes de operar con matrices, comprueba sus dimensiones. En un problema aplicado, explica qué representa cada fila o columna. Un producto puede convertir cantidades en ingresos; invertir el orden de los factores puede dejar de tener sentido o no estar definido.
Relaciona determinantes, inversas y sistemas sin confundir sus funciones. Un determinante no es la solución de un sistema. Puede permitir decidir si una matriz cuadrada es invertible; después debes resolver y sustituir el resultado en las ecuaciones originales.
Los ejercicios 1–3 comprueban esas decisiones. Para ampliar técnicas de resolución, utiliza el repaso de sistemas con Gauss y Cramer, identificado como material de Bachillerato y PAU que sirve de base.
4. Qué comprobar en el bloque de una variable
Empieza por el dominio. Cancelar un factor no hace desaparecer una restricción de la expresión original. Después, distingue el valor de una función en un punto de su límite cuando te aproximas a él.
Con derivadas, combina cálculo e interpretación: dónde crece la función, qué candidatos a extremo existen y qué significa una magnitud marginal. La integración permite recuperar una función a partir de su tasa de variación o calcular una acumulación entre dos valores.
Los ejercicios 4–9 conectan esas tareas. Cuando el enunciado representa una empresa, los datos son ficticios y las cantidades se tratan como variables continuas si así lo indica el modelo.
5. Cómo abordar las funciones de dos variables
En una función f(x,y), aproximarse a un punto ya no significa moverse solo por una recta. Si dos caminos producen límites distintos, el límite no existe. Obtener el mismo resultado por dos caminos, en cambio, no demuestra que exista: faltaría controlar el resto.
En una derivada parcial se modifica una variable manteniendo la otra fija. Tener parciales no garantiza por sí solo la diferenciabilidad. En los ejemplos polinómicos, la regularidad de la función permite utilizar la aproximación lineal.
La guía incluye derivabilidad y optimización, pero no enumera por separado todas sus técnicas. Aquí se utilizan parciales y un plano tangente como instrumentos explicados; los extremos se justifican mediante cuadrados o cambios de dirección. No se presupone que Hessiana o multiplicadores de Lagrange sean exigencias oficiales.
6. Matemática Empresarial de PYMES: 16 ejercicios resueltos
Intenta cada problema antes de leer el desarrollo. Anota si lo resuelves con seguridad, con dudas o si no sabes cómo empezar. Esta selección orienta el repaso; no representa una nota, un examen oficial ni la dificultad completa de la asignatura.
Notación: ln es el logaritmo natural. Los puntos de dos variables se escriben con coma; cuando sus coordenadas tienen decimales se utiliza punto y coma para separarlas. En los problemas económicos se indican la moneda y las unidades del modelo.
Ejercicio 01 · Álgebra · base
De cantidades vendidas a ingresos
Enunciado. Dos puntos de venta venden dos productos. Las filas de A indican los puntos de venta y las columnas, las unidades de cada producto. Los precios por unidad son 18 € y 25 €. Calcula los ingresos de cada punto de venta.
Planteamiento. Multiplicamos una matriz de cantidades de tamaño 2 × 2 por una columna de precios de tamaño 2 × 1.
Resultado. 226 € en el primer punto y 240 € en el segundo.
Comprobación. Cada fila suma unidades por euros/unidad. El resultado es una cantidad de dinero. El producto en orden inverso no está definido con esas dimensiones.
Ejercicio 02 · Álgebra · base
Determinante e inversa
Enunciado. Calcula el determinante y la inversa de la matriz A que se muestra a continuación.
Planteamiento. Una matriz cuadrada de orden dos es invertible si su determinante no es cero.
Se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide por el determinante, que aquí vale 1.
Resultado. det(A) = 1 y A−1 = ((3, −2), (−4, 3)).
Comprobación. En A · A−1, las filas dan (9 − 8, −6 + 6) y (12 − 12, −8 + 9): se obtiene la identidad.
Ejercicio 03 · Álgebra · aplicación
Dos productos y un balance de tiempo
Enunciado. Se preparan 84 unidades en total de dos productos. El primero necesita 2 minutos por unidad y el segundo, 5 minutos. Se emplean 270 minutos. ¿Cuántas unidades hay de cada uno?
Planteamiento. Sean x e y las cantidades. El total de unidades y el de minutos producen dos ecuaciones distintas.
2x + 5y = 270
Restamos el doble de la primera ecuación a la segunda.
x = 84 − 34 = 50
Resultado. 50 unidades del primer producto y 34 del segundo.
Comprobación. 50 + 34 = 84 unidades y 2 · 50 + 5 · 34 = 270 minutos. Ambas cantidades son no negativas.
Ejercicio 04 · Una variable · base
Dominio antes de calcular
Enunciado. Determina el dominio real de f(x) = ln(9 − x)/(x − 2).
Planteamiento. El argumento del logaritmo debe ser positivo y el denominador no puede anularse.
x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
Se imponen las dos restricciones simultáneamente.
Resultado. Dominio: (−∞, 2) ∪ (2, 9).
Comprobación. x = 2 anula el denominador. x = 9 obliga a calcular ln(0), que no existe en los reales. Ninguno se incluye.
Ejercicio 05 · Una variable · base
Límite de una expresión factorizable
Enunciado. Calcula el límite de (x² − 16)/(x − 4) cuando x tiende a 4.
Planteamiento. La sustitución directa produce 0/0. Factorizar permite estudiar el cociente cerca del punto.
Para x distinto de 4, el cociente coincide con x + 4. Por tanto, su límite es 4 + 4.
Resultado. El límite vale 8.
Comprobación. No hemos asignado un valor al cociente original en x = 4: hemos calculado su comportamiento al aproximarnos a ese punto.
Ejercicio 06 · Una variable · continuidad
Completar una función continua
Enunciado. Para x distinto de 2, f(x) = (x² + x − 6)/(x − 2). En x = 2 se define f(2) = a. Halla a para obtener continuidad.
Planteamiento. La continuidad exige que el valor definido en el punto coincida con el límite.
Para x distinto de 2, f(x) = x + 3. Su límite cuando x tiende a 2 es 5.
Resultado. a = 5.
Comprobación. Con esta elección, f coincide con x + 3 también en x = 2 y queda continua en todo su dominio, que ahora es ℝ.
Ejercicio 07 · Una variable · interpretación
Marginal no significa incremento exacto
Enunciado. El coste C(q) = 240 + 7q + 0,15q² se expresa en euros y q en unidades producidas. En el modelo continuo q ≥ 0. Calcula C′(20) y compáralo con C(21) − C(20).
Planteamiento. La derivada describe una tasa local. El incremento de una unidad se calcula evaluando la función.
C′(20) = 13 €/unidad
C(21) = 453,15 €
C(21) − C(20) = 13,15 €
Resultado. Coste marginal: 13 €/unidad. Incremento exacto de 20 a 21: 13,15 €.
Comprobación. La aproximación lineal predice 13 € para una unidad adicional. La diferencia de 0,15 € corresponde al término cuadrático.
Ejercicio 08 · Una variable · estudio
Una gráfica justificada con derivadas
Enunciado. Para f(t) = t³ − 6t² + 9t, estudia crecimiento, extremos locales y punto de inflexión. El dominio es ℝ.
Planteamiento. Los signos de la primera y segunda derivada organizan el estudio.
La derivada es positiva si t < 1, negativa si 1 < t < 3 y positiva si t > 3. Hay un máximo local en t = 1 y un mínimo local en t = 3.
f″(t) = 6t − 12; f(2) = 2
La segunda derivada cambia de negativa a positiva en t = 2.
Resultado. Crece en (−∞, 1) y (3, ∞); decrece en (1, 3). Máximo local (1, 4), mínimo local (3, 0) e inflexión (2, 2).
Comprobación. No son extremos absolutos en ℝ: el término cúbico hace que la función no esté acotada ni superior ni inferiormente.
Ejercicio 09 · Una variable · integración
Integración e incremento de ingresos
Enunciado. El ingreso marginal es R′(q) = 36 − 0,4q, en euros por unidad, para 0 ≤ q ≤ 90, y R(0) = 0. Obtén R(q) y el incremento de ingresos al pasar de 10 a 50 unidades.
Planteamiento. Primero calculamos una primitiva y fijamos su constante. Después restamos los ingresos en los extremos.
R(0) = 0 → K = 0
R(10) = 340 €
R(50) − R(10) = 960 €
Resultado. R(q) = 36q − 0,2q². El incremento solicitado es 960 €.
Comprobación. Derivando recuperamos 36 − 0,4q. La integral definida de R′ entre 10 y 50 da el mismo incremento.
Ejercicio 10 · Dos variables · base
Límite de un polinomio en dos variables
Enunciado. Calcula el límite de f(x,y) = x² + 2xy + 3y² cuando (x,y) tiende a (2,1).
Planteamiento. Los polinomios son continuos. Se puede sustituir directamente.
Resultado. El límite vale 11.
Comprobación. No es necesario ensayar caminos. La continuidad del polinomio justifica que todas las aproximaciones produzcan el mismo límite.
Ejercicio 11 · Dos variables · razonamiento
Dos caminos que refutan un límite
Enunciado. Estudia el límite de f(x,y) = 2xy/(x² + 4y²) al aproximarse al origen. La función se considera fuera de (0,0).
Planteamiento. Para demostrar que no existe, basta encontrar dos caminos con límites distintos.
Si y = 0, el cociente vale 0. Si y = x/2 y x no es cero:
Resultado. El límite no existe.
Comprobación. Ambos caminos pertenecen al dominio salvo en el punto de llegada y se aproximan al mismo origen. Sus valores 0 y 1/2 son distintos.
Ejercicio 12 · Dos variables · derivadas
Parciales y variables que se mantienen fijas
Enunciado. Sea f(x,y) = 2x² + xy + 3y², con variables reales. Calcula sus derivadas parciales y evalúalas en (2,1).
Planteamiento. Al derivar respecto de x se mantiene y fija. En la otra parcial se intercambian sus papeles.
∂f/∂y = x + 6y
(∂f/∂y)(2,1) = 8
Resultado. El gradiente en (2,1) es (9,8).
Comprobación. En la primera parcial, 3y² es constante. En la segunda, 2x² es constante. No deben derivarse como si ambas variables cambiasen a la vez.
Ejercicio 13 · Dos variables · aplicación de la derivabilidad
Aproximación lineal de un polinomio
Enunciado. Para f(x,y) = x² + 2xy + 3y², calcula el plano tangente en (1,1) y úsalo para aproximar f(1,02; 0,99).
Planteamiento. El polinomio es diferenciable. La aproximación lineal utiliza el valor y las dos parciales en el punto.
fₓ = 2x + 2y → fₓ(1,1) = 4
fᵧ = 2x + 6y → fᵧ(1,1) = 8
L(1,02; 0,99) = 6 + 0,08 − 0,08 = 6
Resultado. Plano tangente: z = 4x + 8y − 6. Aproximación solicitada: 6.
Comprobación. El valor exacto es 6,0003. La diferencia 0,0003 procede de los términos cuadráticos que no recoge el plano.
Ejercicio 14 · Optimización · estructura
Un mínimo sin criterios adicionales
Enunciado. Halla el mínimo de F(x,y) = (x − 3)² + 2(y − 2)² + 11 en ℝ².
Planteamiento. Los cuadrados son no negativos. Basta averiguar cuándo se anulan simultáneamente.
x − 3 = 0; y − 2 = 0
Resultado. Mínimo global 11, alcanzado únicamente en (3,2).
Comprobación. Cualquier punto diferente añade al menos un término positivo. No se trata solo de un mínimo local.
Ejercicio 15 · Optimización · comprobación
Un punto crítico que no es extremo
Enunciado. Estudia la naturaleza del punto crítico de F(x,y) = (x − 1)² − 2(y + 2)² + 4.
Planteamiento. Calculamos las parciales y comparamos valores cercanos en dos direcciones.
Fₓ = Fᵧ = 0 → (x,y) = (1,−2)
En la recta y = −2, F(1 + t, −2) = 4 + t², mayor que 4 si t no es cero. En la recta x = 1, F(1, −2 + t) = 4 − 2t², menor que 4.
Resultado. (1,−2) es un punto de silla.
Comprobación. Hay valores mayores y menores arbitrariamente cerca. Igualar las parciales a cero no basta para concluir que existe máximo o mínimo.
Ejercicio 16 · Optimización · problema integrado
Dos decisiones de producción
Enunciado. Un modelo ficticio de beneficio es P(x,y) = 46x + 38y − 2x² − 2xy − 2y² − 120, en euros. Las cantidades x e y se tratan como variables continuas no negativas. Busca y justifica el máximo.
Planteamiento. Un candidato interior anula ambas parciales. Para justificar un máximo global, reescribimos la diferencia mediante cuadrados.
Pᵧ = 38 − 2x − 4y = 0
Equivale a 2x + y = 23 y x + 2y = 19. Al resolver se obtiene x = 9 e y = 5. Ambas cantidades son factibles.
Sean u = x − 9 y v = y − 5. Al desarrollar:
P(x,y) = 182 − [u² + v² + (u + v)²]
Resultado. Máximo global de 182 €, en x = 9 e y = 5.
Comprobación. La suma de cuadrados es no negativa y solo se anula si u = v = 0. El máximo es global también en el dominio no negativo. Los coeficientes representan un modelo de práctica, no datos de una empresa real.
7. Qué repasar según lo que haya ocurrido
| Ejercicios | Qué comprueban | Siguiente paso |
|---|---|---|
| 1–3 | Dimensiones, operaciones y sistemas. | Si el planteamiento está claro pero fallan las cuentas, practica esa operación. Si no sabes qué representa la ecuación, vuelve a los datos. |
| 4–9 | Dominio, límites, continuidad, derivadas e integración. | Separa el fallo de cálculo de la elección de una técnica. Comprueba restricciones antes de simplificar. |
| 10–13 | Límites y derivación en dos variables. | Revisa qué cambia respecto a una variable. No confundas comprobar caminos con demostrar existencia. |
| 14–16 | Candidatos, clasificación y modelo aplicado. | Justifica por qué el punto es extremo o no lo es. Comprueba dominio y significado del resultado. |
Durante el curso, combina una explicación breve, un problema sin ayuda y una comprobación. Antes de un control, mezcla ejercicios de los bloques incluidos y practica también las preguntas teóricas que se hayan trabajado. Esta organización es una propuesta de estudio, no una prescripción del programa oficial.
8. Dónde profundizar en el tema que necesitas
Para operaciones previas y sistemas, utiliza los enlaces del apartado de base y Álgebra. Si la dificultad está en el tercer tema, estos materiales desarrollan las técnicas con más detalle:
- Límites y continuidad de varias variables: caminos, acotaciones y justificación de existencia.
- Derivadas parciales y diferenciabilidad: definición, cálculo y aproximación lineal.
- Optimización para ADE y Economía: selecciona las técnicas incluidas en tu programa; el recurso contiene también ampliaciones.
El resto del material está organizado en la biblioteca de recursos educativos de Marlu. Elige el bloque que necesitas, sin recorrer todos los cuadernos por obligación.
9. Dudas sobre Matemáticas de PYMES en la USAL
¿Qué Matemáticas se estudian en primero de PYMES en Salamanca?
En Matemática Empresarial se trabajan matrices, determinantes y sistemas, funciones de una variable y funciones de dos variables. La selección de esta página recorre esos tres bloques y remite a la guía docente para consultar el programa y la evaluación.
¿Esta guía es un curso cero para ADE y Economía?
No. Está organizada alrededor de Matemática Empresarial de PYMES en la USAL. El curso cero enlazado sirve para recuperar operaciones y conceptos previos; los cuadernos de continuación profundizan en técnicas concretas.
¿Se puede seguir la asignatura si hace tiempo que no practico Matemáticas?
El punto de partida importa más que la etiqueta de fácil o difícil. Empieza por unas operaciones, un sistema y un ejercicio de funciones. Si ahí aparecen dificultades, recupera esa base antes de acumular temas. Las funciones de dos variables añaden ideas nuevas que conviene trabajar con calma.
¿Es suficiente esta guía para preparar todas las pruebas?
No. Es un mapa con ejercicios seleccionados. El alcance de cada prueba se determina con el programa y las indicaciones de la asignatura. Usa también sus problemas y materiales.
¿Debo empezar siempre desde las operaciones de Bachillerato?
No necesariamente. Resuelve primero una muestra y localiza el error. Si el cálculo básico está asentado, dedica el tiempo a los conceptos nuevos y a su interpretación.
¿Estos problemas fueron propuestos por la USAL?
No. Son ejercicios de elaboración propia de Marlu Educativa. Sus datos y soluciones se han preparado para practicar herramientas relacionadas con el programa.
¿La optimización exige siempre una matriz Hessiana?
No. Algunos problemas pueden resolverse con cuadrados o comparando direcciones. Para otras técnicas, sigue el desarrollo concreto de tu asignatura; esta guía no pretende sustituirlo.