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Curso cero de Matemáticas para ADE y Economía | Ejercicios resueltos

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Curso cero de Matemáticas para ADE y Economía: repaso de Bachillerato y ejercicios resueltos
Curso cero · ADE y Economía
Matemáticas para empezar primero con una base más segura

Prueba de nivel, álgebra, funciones, matrices, límites, derivadas, integrales, matemática financiera y modelos económicos, con ejercicios resueltos, práctica, simulacros y una ruta clara hacia los recursos universitarios.

Muchos alumnos llegan a ADE o Economía pensando que las Matemáticas de primero serán una continuación bastante directa de Bachillerato. Durante las primeras semanas descubren que el ritmo es más rápido, aparecen matrices y modelos económicos, y se da por supuesto que las operaciones algebraicas, las funciones y las derivadas están razonablemente asentadas.

El problema no siempre es que el alumno no haya visto esos contenidos. A menudo los ha trabajado, pero necesita demasiado tiempo para factorizar, despejar, interpretar una gráfica o decidir qué función representa un coste. Esa lentitud se acumula. Cuando llega el tema universitario, toda la atención se va a la base que debería estar automatizada.

Una situación muy habitual
El alumno entiende la explicación de una derivada o una matriz, pero se equivoca al operar una fracción, resolver una ecuación o interpretar el signo del resultado. Este curso cero trabaja precisamente esa zona intermedia. No pretende adelantar toda la Universidad. Pretende que la base deje de estorbar.
Puente entre Bachillerato y Matemáticas de ADE y Economía Ruta desde el álgebra y las funciones de Bachillerato hasta matrices, cálculo y modelos económicos Bachillerato Álgebra · Funciones Derivadas · Probabilidad Curso cero Recuperar técnica Interpretar modelos Trabajar con método ADE Economía 1.º curso
El curso cero no adelanta toda la Universidad. Asegura la base necesaria para que matrices, cálculo y modelos económicos no empiecen desde cero
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1. Cómo utilizar este curso cero

  1. Haz la prueba inicial sin apuntes
  2. Corrige por bloques, no solo por número de aciertos
  3. Distingue errores de concepto, cálculo y método
  4. Trabaja primero los dos bloques más débiles
  5. Resuelve los modelos sin copiar los pasos
  6. Completa la práctica y repite los ejercicios fallados
  7. Termina con los dos simulacros
No todo fallo exige volver a estudiar el tema entero
Si entiendes la idea pero pierdes signos, necesitas orden y comprobación. Si no sabes qué fórmula utilizar, falta reconocimiento del modelo. Si el ejercicio se bloquea al despejar, el problema está en la base algebraica.

2. Qué cambia al llegar a ADE o Economía

En Bachillerato suele haber más tiempo para practicar cada técnica por separado. En la Universidad, varias técnicas aparecen dentro del mismo ejercicio y se espera una mayor autonomía.

En BachilleratoEn primero de Universidad
La técnica suele estar bastante identificadaEl alumno debe reconocerla dentro de un problema más amplio
Se trabaja una variable con frecuenciaEmpiezan matrices, vectores y funciones de varias variables
El enunciado guía más el procedimientoHay que justificar decisiones y conectar resultados
Muchos ejercicios terminan en un númeroSe pide interpretar el número en un contexto económico
Los temas están más separadosÁlgebra, cálculo y estadística se combinan

En este curso cero no entraremos todavía en espacios vectoriales, diagonalización, topología, derivadas parciales o matriz Hessiana. Esos contenidos tienen su lugar en el clúster universitario. Aquí aseguramos lo que conviene dominar antes.

3. Prueba inicial de 30 ejercicios

Tiempo recomendado 75 minutos. Utiliza calculadora únicamente cuando sea necesario. Intenta escribir el procedimiento, no solo el resultado.

  1. Simplifica 35 · 3-2
  2. Simplifica √75 - √12
  3. Calcula log2 32
  4. Factoriza x2 - 5x + 6
  5. Resuelve 2x - 3 = 7
  6. Resuelve (x + 1) / (x - 2) = 2
  7. Resuelve x2 - x - 6 ≥ 0
  8. Resuelve x + y = 5, 2x - y = 4
  9. Resuelve x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + z = 6
  10. Calcula 2A - B para A = [[1,2],[3,-1]] y B = [[2,0],[-1,4]]
  11. Calcula el determinante de [[2,1],[5,3]]
  12. Calcula el dominio de 1 / (x2 - 4)
  13. Calcula el dominio de √(5 - 2x)
  14. Si f(x) = x2 - 3x + 1, calcula f(2)
  15. Calcula la pendiente de la recta que pasa por (1,2) y (4,8)
  16. Calcula lim x→3 de (x2 - 9) / (x - 3)
  17. Deriva f(x) = 3x2 - 4x + 1
  18. Calcula f'(2) para f(x) = x3 - 2x
  19. Calcula ∫(3x2 + 2) dx
  20. Calcula el área bajo y = 2x entre 0 y 3
  21. Capital final de 1 000 € al 5 % durante un año
  22. Capital final de 1 000 € al 5 % compuesto durante dos años
  23. Si C(q) = 500 + 8q, calcula C(40)
  24. Si R(q) = 15q y C(q) = 500 + 8q, calcula P(40)
  25. Halla el punto de equilibrio si R(q) = 20q y C(q) = 200 + 10q
  26. Si C(q) = 100 + 5q + 0,1q², calcula el coste marginal en q = 10
  27. Calcula la media de 2, 4, 4, 5 y 10
  28. Calcula la desviación típica de 3, 3, 3 y 3
  29. Probabilidad de obtener dos caras al lanzar dos monedas
  30. Si X toma 0, 1 y 2 con probabilidades 0,2, 0,5 y 0,3, calcula E(X)

4. Corrección y diagnóstico

N.ºResultadoBloque
127Potencias
23√3Radicales
35Logaritmos
4(x - 2)(x - 3)Factorización
5x = 5Ecuaciones
6x = 5Ecuaciones racionales
7(-∞, -2] ∪ [3, ∞)Inecuaciones
8x = 3, y = 2Sistemas
9x = 2, y = 2, z = 2Sistemas
10[[0,4],[7,-6]]Matrices
111Determinantes
12R \ {-2, 2}Dominio
13(-∞, 5/2]Dominio
14-1Funciones
152Rectas
166Límites
17f'(x) = 6x - 4Derivadas
1810Derivadas
19x³ + 2x + CIntegrales
209Integrales
211 050 €Matemática financiera
221 102,50 €Matemática financiera
23820Costes
24-220Beneficio
25q = 20Punto de equilibrio
267Coste marginal
275Estadística
280Estadística
291/4Probabilidad
301,1Esperanza
25 a 30 aciertos
La base es sólida. Puedes comenzar pronto con los recursos universitarios específicos.
19 a 24 aciertos
El nivel es suficiente, pero conviene reforzar dos bloques antes de septiembre.
12 a 18 aciertos
Hay lagunas que pueden ralentizar mucho el primer cuatrimestre. Prioriza álgebra, funciones y cálculo.
Menos de 12 aciertos
Conviene seguir un curso cero guiado y no adelantar contenidos universitarios sin reconstruir la base.
EjerciciosQué evalúanQué revisar si fallan
1 a 7Operaciones y álgebraPotencias, radicales, logaritmos, factorización e inecuaciones
8 a 11Sistemas y matricesReducción, Gauss, operaciones y determinantes
12 a 15FuncionesDominio, evaluación y rectas
16 a 20CálculoLímites, derivadas e integrales
21 a 26Modelos económicosInterés, costes, ingresos, beneficio y marginales
27 a 30Estadística y probabilidadMedidas descriptivas, sucesos y esperanza

5. Álgebra que debe estar segura

Operaciones y simplificación

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)(a + b) = a² - b²

En ADE y Economía el álgebra aparece dentro de fórmulas de costes, tasas, elasticidades y restricciones. Un error pequeño al simplificar puede cambiar la interpretación completa.

Ecuaciones e inecuaciones

Conviene dominar ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, exponenciales y logarítmicas. Las inecuaciones son especialmente importantes porque muchas restricciones económicas se expresan mediante intervalos.

Error frecuente
Multiplicar una desigualdad por una expresión de signo desconocido. Si no sabes si es positiva o negativa, no puedes decidir si el signo cambia.
Para reforzar la base universitaria de forma ordenada, continúa con Álgebra para ADE con lógica, conjuntos, números y polinomios.

6. Funciones y gráficas

Una función no es solo una fórmula. Describe cómo cambia una variable cuando cambia otra. En Economía, esa relación puede ser coste frente a producción, demanda frente a precio o capital frente a tiempo.

Tasa de variación media = [f(b) - f(a)] / (b - a)
Función lineal y = mx + n
Función cuadrática y = ax² + bx + c
Modelo exponencial Cₙ = C₀ · (1 + i)ⁿ

Qué debe saber hacer el alumno

  • Calcular dominios
  • Evaluar funciones
  • Interpretar pendientes
  • Reconocer ceros e intersecciones
  • Trabajar con composición e inversa
  • Relacionar una gráfica con una situación económica
Crecimiento compuesto Curva creciente que representa capitalización compuesta Cₙ = C₀ · (1 + i)ⁿ tiempo capital
El crecimiento compuesto no suma siempre la misma cantidad. Cada periodo aplica el porcentaje sobre un capital nuevo
Si el problema está en la base de funciones, límites o derivadas, puedes repasar límites y continuidad y derivadas resueltas paso a paso antes de pasar a varias variables.

7. Matrices y sistemas

Las matrices permiten organizar información y resolver sistemas. En ADE y Economía aparecen en modelos productivos, reparto de recursos, análisis de datos y Álgebra Lineal.

Base mínima

  • Dimensión de una matriz
  • Suma y producto por un número
  • Producto fila por columna
  • Determinantes de orden 2 y 3
  • Matriz inversa
  • Sistemas lineales
  • Método de Gauss
Una idea que conviene fijar desde el principio
El producto de matrices no es conmutativo. El orden importa. AX = B y XA = B no se despejan de la misma manera.
Para consolidar esta parte utiliza matrices, determinantes y sistemas y regla de Cramer y método de Gauss.

8. Límites, derivadas e integrales

Límites

Los límites ayudan a estudiar el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor. No deben convertirse en una colección de trucos. Hay que reconocer si conviene sustituir, factorizar, racionalizar o comparar grados.

Derivadas

f'(x) = tasa de cambio instantánea
Coste marginal = C'(q)
Ingreso marginal = R'(q)

La derivada permite estudiar crecimiento, extremos y sensibilidad. En Economía, el significado del resultado importa tanto como la cuenta.

Integrales

∫f(x) dx = F(x) + C
Área = ∫ₐᵇ f(x) dx cuando f(x) ≥ 0
Para practicar antes de primero puedes utilizar integrales y áreas resueltas. Después, el clúster universitario continúa con límites de varias variables y derivadas parciales y diferenciabilidad.

9. Matemáticas aplicadas a ADE y Economía

Coste, ingreso y beneficio

P(q) = R(q) - C(q)
Punto de equilibrio cuando R(q) = C(q)
Coste, ingreso y beneficio Gráfica con una recta de coste, una recta de ingreso y el punto de equilibrio q € Ingreso R(q) Coste C(q) Equilibrio Beneficio = R(q) - C(q)
En Economía, una fórmula debe terminar en una interpretación. El punto de equilibrio aparece cuando ingreso y coste coinciden

Interés simple y compuesto

Interés simple I = C₀ · i · t
Capital compuesto Cₙ = C₀ · (1 + i)ⁿ

Marginales y optimización

El coste marginal aproxima cuánto aumenta el coste al producir una unidad adicional. El ingreso marginal hace lo mismo con los ingresos. Para maximizar beneficio se estudia P'(q) = 0 y se comprueba que el punto sea máximo.

Elasticidad

E = q'(p) · p / q(p)

La elasticidad mide la sensibilidad de la demanda ante cambios en el precio. El signo y el valor absoluto deben interpretarse, no solo calcularse.

10. Estadística y probabilidad

Media = suma de valores / número de datos
Varianza = media de los cuadrados de las desviaciones
Desviación típica = √varianza
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
E(X) = Σ xᵢ · pᵢ

En primero pueden aparecer estadística descriptiva, probabilidad, variables aleatorias e interpretación de datos. El cálculo debe terminar en una lectura razonable del resultado.

Para recuperar la base consulta probabilidad, Bayes y distribución normal.

11. Veinticuatro ejercicios resueltos paso a paso

1. Fracción algebraica y restricciones

Simplifica

(x² - 5x + 6) / (x² - 4)

Factorizamos numerador y denominador.

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Las restricciones salen del denominador original.

x ≠ 2 y x ≠ -2
[(x - 2)(x - 3)] / [(x - 2)(x + 2)] = (x - 3) / (x + 2)

Resultado (x - 3) / (x + 2), con x ≠ 2 y x ≠ -2

2. Ecuación logarítmica

Resuelve

log₂ x + log₂(x - 2) = 3

Los argumentos deben ser positivos, luego x > 2.

log₂[x(x - 2)] = 3
x(x - 2) = 8
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0

La solución x = -2 no cumple el dominio.

Resultado x = 4

3. Inecuación racional

Resuelve

(x + 2) / (x - 1) > 0

Los puntos críticos son -2 y 1. El primero anula el numerador y el segundo está prohibido.

La fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo.

Resultado (-∞, -2) ∪ (1, ∞)

4. Sistema de dos ecuaciones

Resuelve

2x + y = 8
x - y = 1

De la segunda ecuación, y = x - 1.

2x + x - 1 = 8
3x = 9
x = 3, y = 2

Resultado x = 3, y = 2

5. Sistema de tres ecuaciones por reducción

Resuelve

x + y + z = 6
x - y + z = 2
2x + z = 6

Restamos la segunda ecuación de la primera.

2y = 4, luego y = 2

Con y = 2, la primera ecuación queda x + z = 4. La tercera es 2x + z = 6.

x = 2, z = 2

Resultado x = 2, y = 2, z = 2

6. Operación con matrices

Dadas

A =
12
3-1
   B =
20
-14

Calcula 2A - B.

2A =
24
6-2
2A - B =
04
7-6
Resultado
04
7-6

7. Producto de matrices

Dadas

A =
12
-13
   B =
20
14

Multiplicamos fila por columna.

AB =
48
112

El producto no se obtiene multiplicando posición con posición.

Resultado
48
112

8. Determinante e inversa de una matriz

A =
21
53
|A| = 2 · 3 - 1 · 5 = 1

Como el determinante no es cero, existe inversa.

A-1 =
3-1
-52

La comprobación es A · A-1 = I.

Resultado La matriz es invertible y su inversa es la indicada

9. Dominio de una función con raíz y denominador

f(x) = √(2x - 1) / (x - 3)

La raíz exige 2x - 1 ≥ 0.

x ≥ 1/2

El denominador exige x ≠ 3.

Resultado [1/2, 3) ∪ (3, ∞)

10. Composición de funciones

Sean f(x) = 2x + 1 y g(x) = x².

(f ∘ g)(x) = f(x²) = 2x² + 1
(g ∘ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)²

El orden importa. En general f ∘ g no coincide con g ∘ f.

Resultado (f ∘ g)(x) = 2x² + 1 y (g ∘ f)(x) = (2x + 1)²

11. Límite por factorización

lim x→4 de (x² - 16) / (x - 4)
x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
lim x→4 de (x + 4) = 8

Resultado 8

12. Recta tangente

Calcula la tangente a f(x) = x² + 1 en x = 2.

f'(x) = 2x
f'(2) = 4
f(2) = 5

Usamos y - y₀ = m(x - x₀).

y - 5 = 4(x - 2)
y = 4x - 3

Resultado y = 4x - 3

13. Crecimiento y extremos

Estudia f(x) = x³ - 3x.

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1)

Los puntos críticos son x = -1 y x = 1.

La derivada es positiva fuera del intervalo (-1,1) y negativa dentro.

f(-1) = 2 y f(1) = -2

Resultado Máximo local en (-1,2) y mínimo local en (1,-2)

14. Optimización de beneficio

Una empresa tiene beneficio

P(q) = -q² + 40q - 300

La parábola es cóncava. Su máximo está en el vértice.

q = -b / (2a) = -40 / (-2) = 20
P(20) = -400 + 800 - 300 = 100

Resultado El beneficio máximo es 100 y se alcanza con q = 20

15. Integral inmediata

∫(3x² - 4x + 2) dx

Integramos término a término.

∫3x² dx = x³
∫-4x dx = -2x²
∫2 dx = 2x

Resultado x³ - 2x² + 2x + C

16. Área mediante integral

Calcula el área bajo y = 2x + 1 entre x = 0 y x = 3.

A = ∫₀³(2x + 1) dx
A = [x² + x]₀³
A = 9 + 3 = 12

Resultado 12 unidades cuadradas

17. Interés simple

Se invierten 3 000 € al 4 % anual durante 9 meses.

I = C₀ · i · t
t = 9/12 = 0,75 años
I = 3000 · 0,04 · 0,75 = 90 €
C final = 3000 + 90 = 3090 €

Resultado 3 090 €

18. Capitalización compuesta

Se invierten 5 000 € al 3 % anual durante 4 años.

C₄ = 5000 · (1 + 0,03)⁴
C₄ = 5000 · 1,12550881

Resultado 5 627,54 €

19. Coste, ingreso y beneficio

Una empresa tiene C(q) = 800 + 12q e R(q) = 20q.

P(q) = R(q) - C(q)
P(q) = 20q - 800 - 12q
P(q) = 8q - 800

El punto de equilibrio cumple P(q) = 0.

8q - 800 = 0, luego q = 100

Resultado P(q) = 8q - 800 y el equilibrio se alcanza con 100 unidades

20. Coste marginal

Sea C(q) = 500 + 10q + 0,05q².

C'(q) = 10 + 0,1q
C'(40) = 10 + 4 = 14

En torno a 40 unidades, producir una unidad adicional aumenta el coste aproximadamente en 14 unidades monetarias.

Resultado Coste marginal en q = 40 igual a 14

21. Elasticidad de la demanda

La demanda es q(p) = 120 - 3p. Calcula la elasticidad puntual en p = 20.

q(20) = 120 - 60 = 60
q'(p) = -3
E = q'(p) · p / q(p)
E = -3 · 20 / 60 = -1

En valor absoluto la elasticidad es 1, por lo que la demanda es unitaria en ese punto.

Resultado E = -1

22. Ingresos mediante vectores y matrices

Una empresa vende 30 unidades del producto A a 12 € y 20 unidades del producto B a 18 €.

Ingresos = 12 · 30 + 18 · 20
Ingresos = 360 + 360 = 720 €

También puede escribirse como producto de un vector de precios por un vector de cantidades.

Resultado 720 €

23. Media, varianza y desviación típica

Datos 2, 4, 4, 5 y 10.

Media = (2 + 4 + 4 + 5 + 10) / 5 = 5
Varianza = [(-3)² + (-1)² + (-1)² + 0² + 5²] / 5
Varianza = 36/5 = 7,2
Desviación típica = √7,2 ≈ 2,68

Resultado Media 5, varianza 7,2 y desviación típica 2,68

24. Probabilidad sin reemplazamiento

Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen dos sin reemplazamiento.

P(dos blancas) = 4/10 · 3/9
P(dos blancas) = 12/90 = 2/15

Resultado 2/15

12. Cien ejercicios para practicar

Resuelve primero sin mirar las soluciones. En los problemas económicos escribe también una frase que interprete el resultado.

Álgebra, ecuaciones e inecuaciones

  1. Simplifica 25 · 2-3 / 2-1
  2. Calcula 5-2 / 5-4
  3. Simplifica √108 - 2√12
  4. Racionaliza 3 / (√5 - 1)
  5. Calcula log3 81
  6. Resuelve 2x+1 = 16
  7. Resuelve log(x - 1) = 1
  8. Factoriza x² - 9
  9. Factoriza x³ - 4x² - x + 4
  10. Simplifica (x² - 1) / (x² + 2x + 1)
  11. Opera 1/x + 1/(x + 1)
  12. Resuelve x² - 7x + 12 = 0
  13. Resuelve x⁴ - 5x² + 4 = 0
  14. Resuelve √(x + 5) = x - 1
  15. Resuelve |2x - 3| = 5
  16. Resuelve 3x - 5 < 7
  17. Resuelve x² - 6x + 5 < 0
  18. Resuelve (x - 2) / (x + 1) ≤ 0
  19. Resuelve x + y = 7, 2x - y = 5
  20. Resuelve x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + z = 6

Funciones y gráficas

  1. Si f(x) = 3x - 2, calcula f(5)
  2. Si g(x) = x² - 4, calcula g(-3)
  3. Dominio de 1 / (x - 5)
  4. Dominio de √(7 - x)
  5. Dominio de ln(x + 2)
  6. Recta de pendiente 2 que pasa por (1,3)
  7. Recta que pasa por (0,-1) y (4,7)
  8. Vértice de y = x² - 6x + 5
  9. Ceros de x² - 5x + 6
  10. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², calcula f ∘ g
  11. Con las funciones anteriores, calcula g ∘ f
  12. Inversa de f(x) = 3x - 5
  13. Tasa de variación media de f(x) = x² en [1,4]
  14. Valor de 100 · 1,05²
  15. Resuelve ex = 1

Matrices, determinantes y sistemas

  1. Suma [[1,2],[3,4]] + [[2,-1],[0,5]]
  2. Calcula 3A si A = [[1,-2],[3,0]]
  3. Calcula AB si A = [[1,2],[0,1]] y B = [[2,0],[3,4]]
  4. Calcula BA con las matrices anteriores
  5. Determinante de [[4,1],[2,3]]
  6. Inversa de [[4,1],[2,3]]
  7. Determinante de [[1,2,0],[0,3,1],[2,0,1]]
  8. Rango de [[1,2],[2,4]]
  9. Resuelve x + y = 5, x - y = 1
  10. Resuelve 2x + y = 7, x + 2y = 8
  11. Resuelve x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2
  12. Resuelve AX = B con A = [[2,1],[5,3]] y B = [[1],[2]]
  13. Clasifica x + y = 2, 2x + 2y = 4
  14. Clasifica x + y = 2, 2x + 2y = 5
  15. Determinante de la triangular [[2,1,0],[0,3,4],[0,0,-1]]
  16. Traspuesta de [[1,2,3],[4,5,6]]
  17. Calcula el producto escalar (2,-1) · (3,4)
  18. Resuelve 4x - 2y = 6, 2x - y = 3
  19. Resuelve x + y + z = 3, x - y = 1, z = 0
  20. Calcula A² si A = [[1,1],[0,1]]

Límites, derivadas, integrales y optimización

  1. Calcula lim x→5 de (x² - 25) / (x - 5)
  2. Calcula lim x→0 de [(x + 3)² - 9] / x
  3. Calcula lim x→∞ de 1/x
  4. Deriva x³ - 4x + 1
  5. Deriva eˣ + ln x
  6. Deriva (2x + 1)⁵
  7. Deriva (x² + 1) / x
  8. Tangente a f(x) = x² - 2x en x = 3
  9. Punto crítico de x² - 6x + 5
  10. Monotonía de -x² + 4x
  11. Máximo de -x² + 6x - 5
  12. Calcula ∫4x³ dx
  13. Calcula ∫(2x + 3) dx
  14. Calcula ∫₀² 3x² dx
  15. Área bajo y = x + 1 entre 0 y 3
  16. Calcula ∫1/x dx
  17. Deriva ln(2x + 1)
  18. Deriva e3x
  19. Rectángulo de perímetro 20. Dimensiones de área máxima
  20. Máximo de P(q) = -2q² + 80q - 500

Matemática financiera y modelos económicos

  1. Interés simple de 2 000 € al 5 % durante 6 meses
  2. Capital final de 2 000 € al 5 % compuesto durante 2 años
  3. Valor actual de 1 210 € dentro de 2 años al 10 %
  4. Si C(q) = 500 + 8q, calcula C(50)
  5. Si R(q) = 15q, calcula R(50)
  6. Con las funciones anteriores, calcula P(50)
  7. Punto de equilibrio si C(q) = 300 + 5q y R(q) = 10q
  8. Coste medio de C(q) = 400 + 8q en q = 50
  9. Coste marginal de C(q) = 100 + 4q + 0,02q² en q = 50
  10. Ingreso marginal de R(q) = 30q - 0,1q² en q = 50
  11. Máximo de P(q) = -q² + 50q - 400
  12. Elasticidad de q = 100 - 2p en p = 20
  13. Capital final de 5 000 € al 3 % durante 3 años
  14. Valor de un activo de 12 000 € tras 3 años depreciándose un 20 % anual
  15. Ingresos con precios (10,15) y cantidades (30,20)

Estadística y probabilidad

  1. Media de 3, 5, 5 y 7
  2. Media ponderada de 6 con peso 2 y 8 con peso 3
  3. Mediana de 2, 4, 7, 9 y 11
  4. Moda de 1, 2, 2, 3 y 4
  5. Varianza poblacional de 2, 4, 4, 5 y 10
  6. Desviación típica de los datos anteriores
  7. Probabilidad de cara al lanzar una moneda
  8. Probabilidad de dos caras al lanzar dos monedas
  9. Probabilidad de sacar un as de una baraja española de 40 cartas
  10. Esperanza de X con valores 0,1,2 y probabilidades 0,2, 0,5 y 0,3

13. Soluciones de los 100 ejercicios

N.ºResultadoBloque
18Álgebra
225Álgebra
32√3Álgebra
43(√5 + 1) / 4Álgebra
54Álgebra
6x = 3Álgebra
7x = 11Álgebra
8(x - 3)(x + 3)Álgebra
9(x - 4)(x - 1)(x + 1)Álgebra
10(x - 1) / (x + 1), x ≠ -1Álgebra
11(2x + 1) / [x(x + 1)]Álgebra
12x = 3, 4Álgebra
13x = ±1, ±2Álgebra
14x = 4Álgebra
15x = 4, -1Álgebra
16x < 4Inecuaciones
17(1, 5)Inecuaciones
18(-1, 2]Inecuaciones
19x = 4, y = 3Sistemas
20x = 2, y = 2, z = 2Sistemas
2113Funciones
225Funciones
23R \ {5}Funciones
24(-∞, 7]Funciones
25(-2, ∞)Funciones
26y = 2x + 1Rectas
27y = 2x - 1Rectas
28(3, -4)Funciones
29x = 2, 3Funciones
302x² + 1Funciones
31(2x + 1)²Funciones
32f⁻¹(x) = (x + 5) / 3Funciones
335Funciones
34110,25Funciones
35x = 0Funciones
36[[3,1],[3,9]]Matrices
37[[3,-6],[9,0]]Matrices
38[[8,8],[3,4]]Matrices
39[[2,4],[3,10]]Matrices
4010Determinantes
41(1/10)[[3,-1],[-2,4]]Matrices
427Determinantes
431Matrices
44x = 3, y = 2Sistemas
45x = 2, y = 3Sistemas
46x = 1, y = 2, z = 3Sistemas
47X = [[1],[-1]]Matrices
48Compatible indeterminadoSistemas
49IncompatibleSistemas
50-6Determinantes
51[[1,4],[2,5],[3,6]]Matrices
522Vectores
53Infinitas solucionesSistemas
54x = 2, y = 1, z = 0Sistemas
55[[1,2],[0,1]]Matrices
5610Límites
576Límites
580Límites
593x² - 4Derivadas
60eˣ + 1/xDerivadas
6110(2x + 1)⁴Derivadas
621 - 1/x²Derivadas
63y = 4x - 9Derivadas
64x = 3, mínimo -4Derivadas
65Crece en (-∞,2), decrece en (2,∞)Derivadas
664 en x = 3Derivadas
67x⁴ + CIntegrales
68x² + 3x + CIntegrales
698Integrales
7015/2 = 7,5Integrales
71ln|x| + CIntegrales
722 / (2x + 1)Derivadas
733e³ˣDerivadas
745 por 5Optimización
75P máximo 300 en q = 20Optimización
7650 €Financiera
772 205 €Financiera
781 000 €Financiera
79900Costes
80750Ingresos
81-150Beneficio
82q = 60Equilibrio
8316Costes
846Coste marginal
8520Ingreso marginal
86225 en q = 25Optimización
87-2/3Elasticidad
885 463,64 €Financiera
896 144 €Depreciación
90600 €Matrices económicas
915Estadística
927,2Estadística
937Estadística
942Estadística
957,2Estadística
96≈ 2,68Estadística
971/2Probabilidad
981/4Probabilidad
991/10Probabilidad
1001,1Esperanza

14. Dos simulacros

Simulacro 1 · Base de Bachillerato

Tiempo recomendado 60 minutos

  1. Simplifica (x² - 4) / (x² + 3x + 2) e indica las restricciones
  2. Resuelve log₂x + log₂(x - 2) = 3
  3. Resuelve el sistema 2x + y = 8, x - y = 1
  4. Calcula el determinante de [[3,1],[2,4]] y decide si tiene inversa
  5. Calcula el dominio de √(2x - 1) / (x - 3)
  6. Calcula lim x→4 de (x² - 16) / (x - 4)
  7. Calcula la tangente a f(x) = x² + 1 en x = 2
  8. Calcula ∫₀³(2x + 1) dx
  9. Capital final de 4 000 € al 2,5 % compuesto durante 3 años
  10. Calcula media y mediana de 2, 4, 4, 6 y 9

Soluciones breves

(x - 2)/(x + 1), con x ≠ -2,-1 · x = 4 · x = 3, y = 2 · determinante 10, sí tiene inversa · [1/2,3) ∪ (3,∞) · 8 · y = 4x - 3 · 12 · 4 307,56 € · media 5 y mediana 4

Simulacro 2 · Entrada a ADE y Economía

Tiempo recomendado 70 minutos

  1. Resuelve x² - 6x + 5 < 0
  2. Calcula AB con A = [[1,2],[0,1]] y B = [[2,0],[3,4]]
  3. Resuelve x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2
  4. Estudia crecimiento y extremos de f(x) = x³ - 3x
  5. Maximiza P(q) = -q² + 40q - 300
  6. Calcula el área bajo y = x + 1 entre 0 y 3
  7. Halla el punto de equilibrio si C(q) = 800 + 12q y R(q) = 20q
  8. Calcula el coste marginal de C(q) = 500 + 10q + 0,05q² en q = 40
  9. Calcula la elasticidad de q = 120 - 3p en p = 20
  10. Una urna tiene 4 bolas blancas y 6 negras. Probabilidad de dos blancas sin reemplazamiento

Soluciones breves

(1,5) · [[8,8],[3,4]] · x = 1, y = 2, z = 3 · crece en (-∞,-1) y (1,∞), decrece en (-1,1), máximo local 2 y mínimo local -2 · máximo 100 en q = 20 · 15/2 · q = 100 · 14 · -1 · 2/15

15. Errores que suelen aparecer al empezar primero

  1. Operar sin escribir restricciones
  2. Confundir una identidad con una ecuación
  3. Utilizar la calculadora antes de plantear
  4. Multiplicar matrices posición por posición
  5. Despejar matrices cambiando el orden
  6. Resolver una inecuación como si fuera una ecuación
  7. Derivar correctamente y no interpretar el signo
  8. Buscar un máximo sin comprobar que realmente lo es
  9. Confundir coste medio con coste marginal
  10. Aplicar interés simple cuando la capitalización es compuesta
  11. Calcular una elasticidad y olvidar interpretarla
  12. Dar una media sin mirar la dispersión
Lo que más ayuda
Escribir una línea de interpretación al final. Cuando el alumno explica qué significa el número, detecta con más facilidad si el resultado es imposible.

16. Plan de seis semanas

Semana 1 · Álgebra
Potencias, radicales, logaritmos, factorización y fracciones algebraicas.
Semana 2 · Ecuaciones y sistemas
Ecuaciones, inecuaciones, sistemas de dos y tres incógnitas y método de Gauss.
Semana 3 · Funciones y matrices
Dominios, gráficas, composición, matrices, determinantes e inversas.
Semana 4 · Cálculo
Límites, derivadas, tangentes, crecimiento, extremos e integrales inmediatas.
Semana 5 · Aplicaciones económicas
Interés, costes, ingresos, beneficio, marginales, elasticidad y optimización.
Semana 6 · Estadística y simulacros
Medidas descriptivas, probabilidad, esperanza, revisión de errores y dos simulacros.
Ritmo realista
Dos sesiones de una hora para aprender y practicar con ayuda, más una sesión corta sin apuntes. En seis semanas se puede recuperar mucha base sin convertir el verano en otro curso completo.

17. Ruta hacia el clúster universitario de Marlu

Cuando esta base esté razonablemente firme, el siguiente paso depende del temario de la universidad.

Si todavía no tienes claro qué asignatura encontrarás en primero, consulta Álgebra y Análisis para el primer año de Universidad.

18. Revisión final antes de empezar el grado

  • ¿Opero fracciones, potencias y logaritmos con seguridad?
  • ¿Factorizo antes de simplificar?
  • ¿Resuelvo inecuaciones mediante signos?
  • ¿Puedo resolver un sistema sin copiar el método?
  • ¿Multiplico matrices fila por columna?
  • ¿Calculo dominios e interpreto gráficas?
  • ¿Reconozco un límite sencillo?
  • ¿Derivo y utilizo el signo de la derivada?
  • ¿Integro funciones elementales?
  • ¿Distingo coste, ingreso, beneficio y marginal?
  • ¿Trabajo con interés compuesto?
  • ¿Interpreto media, dispersión y probabilidad?
Si fallan más de cuatro apartados, conviene comenzar el verano por la base. Adelantar diagonalización o derivadas parciales sin dominar estas herramientas suele trasladar el problema unas semanas, no resolverlo.

19. Clases online y prematrícula

Este recurso puede utilizarse de forma autónoma. Cuando el alumno necesita corrección individual, planificación o seguimiento, en Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online para primeros cursos de ADE, Economía y otros grados con contenido cuantitativo.

Las clases pueden centrarse en recuperar Bachillerato, preparar una asignatura concreta o avanzar durante el verano. También existe la opción de clases online por la mañana, especialmente útil para universitarios con horarios de tarde o para trabajar en julio y agosto.

Solicitar información para preparar Matemáticas de ADE o Economía
Indica el grado, la universidad, la asignatura, el temario y la disponibilidad.
Abrir prematrícula de Marlu Educativa

Más información en Matemáticas universitarias online y en clases online de verano.

20. Preguntas frecuentes

¿Qué Matemáticas conviene repasar antes de empezar ADE o Economía?

Álgebra, ecuaciones, sistemas, funciones, matrices, límites, derivadas, integrales, porcentajes, interés compuesto, estadística y probabilidad.

¿Este curso cero sustituye a las asignaturas de primero?

No. Su función es asegurar la base de Bachillerato para poder seguir con más seguridad Álgebra, Cálculo, Matemáticas Empresariales o Métodos Cuantitativos.

¿Sirve si vengo de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales?

Sí. El recurso parte de contenidos de Bachillerato y refuerza especialmente los bloques que suelen necesitarse al comienzo del grado.

¿Cuánto tiempo conviene dedicar en verano?

Para un repaso normal suelen bastar entre dos y cuatro horas semanales durante seis semanas. La prueba inicial permite ajustar el plan.

¿Hay que completar los 100 ejercicios?

No necesariamente. Conviene seleccionar los bloques que más fallan y repetir los ejercicios que revelan errores de método.

¿Marlu ofrece clases online para ADE y Economía?

Sí. Marlu Educativa ofrece apoyo online en Álgebra, Cálculo y Análisis para primeros cursos universitarios.

¿Se puede guardar el recurso como PDF?

Sí. El botón superior abre la impresión del navegador y permite seleccionar Guardar como PDF.

Una última idea
Llegar preparado a primero no significa adelantar todos los temas. Significa que las operaciones, las funciones y el cálculo básico no consuman toda la atención cuando aparezca la Matemática universitaria.
José María · Marlu Educativa

Recurso preparado desde la experiencia con alumnos de ADE, Economía y primeros cursos universitarios. El objetivo es detectar la base real, corregir errores de arrastre y empezar el grado con un método de trabajo más seguro.

Última revisión junio de 2026

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