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Topología en Rn y espacio euclídeo para ADE y Economía ejercicios resueltos

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Análisis Matemático · ADE y Economía · Topología en Rn

Topología en Rn y espacio euclídeo para ADE y Economía ejercicios resueltos

La topología en \(\mathbb{R}^n\) suele ser el primer bloque serio de Análisis Matemático cuando se entra en funciones de varias variables. No es un tema para memorizar palabras como abierto, cerrado, frontera o compacto sin entenderlas. Es el lenguaje que después permite trabajar con límites, continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, Hessiana y optimización.

Vamos por partes. En este recurso se explican distancia, norma, producto escalar, bolas, entornos, conjuntos abiertos, cerrados, acotados, frontera, interior, adherencia y compactos con ejercicios resueltos. La idea no es decorar apuntes, sino saber reconocer qué te están pidiendo en un examen de ADE o Economía.

Frontera del recurso. Aquí estudiamos la topología básica del espacio euclídeo \(\mathbb{R}^n\). No convertimos este recurso en límites de varias variables, derivadas parciales, matriz Hessiana ni optimización. Esos temas vienen después. Cada cosa en su sitio.
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Por qué este tema bloquea a tantos alumnos

Muchos alumnos llegan a topología en \(\mathbb{R}^n\) pensando que es una lista de definiciones. Y claro, se lía la madeja. El problema real no es saber repetir que un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores. El problema es mirar un conjunto dibujado o definido con desigualdades y decidir qué puntos incluye, cuáles deja fuera y qué ocurre en el borde.

En clase esto se trabaja muy bien con dibujos, ejemplos y contraejemplos. Primero se entiende la geometría; luego ya se escribe la definición formal.

1. Idea principal de la topología en Rn

La topología básica en \(\mathbb{R}^n\) estudia cómo se comportan los puntos dentro de un espacio. Dicho de forma sencilla, nos ayuda a contestar preguntas como estas.

Cercanía

¿Cuándo dos puntos están cerca? Para eso usamos distancia.

Alrededor de un punto

¿Qué significa moverse un poco alrededor de un punto sin salir de un conjunto? Para eso usamos bolas y entornos.

Borde del conjunto

¿Qué puntos están claramente dentro, claramente fuera o justo en la frontera? Para eso usamos interior, adherencia y frontera.

Idea de profesor. Si entiendes los dibujos en \(\mathbb{R}^2\), luego puedes escribirlo en \(\mathbb{R}^n\). No se gana tiempo intentando memorizar definiciones sin ver qué significan.

2. El espacio euclídeo Rn

El conjunto \(\mathbb{R}^n\) está formado por puntos con \(n\) coordenadas reales.

\[ \mathbb{R}^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):x_i\in\mathbb{R}\} \]

En \(\mathbb{R}^2\), un punto tiene dos coordenadas. En \(\mathbb{R}^3\), tres. En Economía puede aparecer \(\mathbb{R}^2\) para dos variables, como cantidad y precio, o \(\mathbb{R}^3\) para tres variables, como trabajo, capital y producción.

Espacio Punto típico Interpretación sencilla
\(\mathbb{R}\) \(x\) Una variable
\(\mathbb{R}^2\) \((x,y)\) Plano, dos variables
\(\mathbb{R}^3\) \((x,y,z)\) Espacio, tres variables
\(\mathbb{R}^n\) \((x_1,\ldots,x_n)\) Modelo con n variables
En exámenes de ADE y Economía normalmente se trabaja en \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\), pero la notación general \(\mathbb{R}^n\) permite escribirlo todo con más limpieza.

3. Producto escalar, norma y distancia

Para hacer topología necesitamos medir. Primero medimos el tamaño de un vector con una norma. Después medimos la separación entre dos puntos con una distancia.

Producto escalar

\[ x\cdot y=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \]

Sirve para medir relación angular entre vectores y construir la norma euclídea.

Norma euclídea

\[ \|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} \]

Mide la longitud del vector \(x\).

Distancia euclídea

\[ d(x,y)=\|x-y\| \]

Mide la distancia entre los puntos \(x\) e \(y\).

Ejemplo rápido

Si \(x=(1,2)\) e \(y=(4,6)\), entonces:

\[ d(x,y)=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \] \[ d(x,y)=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
Este cálculo parece básico, pero si se falla aquí, después fallan bolas, entornos, abiertos, cerrados y compactos.

4. Bolas y entornos

Una bola abierta de centro \(a\) y radio \(r\) es el conjunto de puntos que están a distancia menor que \(r\) de \(a\).

\[ B(a,r)=\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,a)<r\} \]

En \(\mathbb{R}\), una bola abierta es un intervalo abierto. En \(\mathbb{R}^2\), es el interior de un círculo. En \(\mathbb{R}^3\), es el interior de una esfera.

Espacio Bola abierta Imagen mental
\(\mathbb{R}\) \((a-r,a+r)\) Intervalo abierto
\(\mathbb{R}^2\) \((x-a)^2+(y-b)^2<r^2\) Disco sin circunferencia
\(\mathbb{R}^3\) \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2<r^2\) Bola sólida sin superficie

Bola cerrada

La bola cerrada incluye los puntos que están a distancia menor o igual que \(r\).

\[ \overline{B}(a,r)=\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,a)\leq r\} \]
Error frecuente. Confundir \(d(x,a)<r\) con \(d(x,a)\leq r\). El signo decide si el borde entra o no entra.

5. Conjuntos abiertos

Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}^n\) es abierto si alrededor de cada punto de \(A\) podemos dibujar una bola pequeñita que sigue quedando dentro de \(A\).

\[ A \text{ es abierto si para todo } a\in A \text{ existe } r>0 \text{ tal que } B(a,r)\subset A \]

Traducción humana

Si estás en un punto del conjunto y puedes moverte un poquito en cualquier dirección sin salirte, ese punto se comporta como punto interior. Si eso pasa en todos los puntos del conjunto, el conjunto es abierto.

Ejemplo abierto

El disco:

\[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\} \]

Es abierto porque no incluye la circunferencia \(x^2+y^2=1\).

Ejemplo no abierto

El disco cerrado:

\[ B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \]

No es abierto porque los puntos de la circunferencia no admiten una bola completa dentro del conjunto.

En examen, para detectar abiertos, mira si el borde queda fuera. Si el borde entra, normalmente ya no será abierto.

6. Conjuntos cerrados

Un conjunto es cerrado si contiene sus puntos frontera. También puede entenderse como un conjunto cuyo complementario es abierto.

\[ A \text{ es cerrado si } \mathbb{R}^n\setminus A \text{ es abierto} \]

En la práctica, si el conjunto está dado con desigualdades no estrictas, suele haber una señal de conjunto cerrado. No siempre basta mirar el signo, pero ayuda mucho.

Conjunto Tipo habitual Motivo
\(\{(x,y):x^2+y^2<1\}\) Abierto No incluye frontera
\(\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}\) Cerrado Incluye frontera
\(\{(x,y):x^2+y^2=1\}\) Cerrado Es solo la frontera
\(\{(x,y):0<x^2+y^2<1\}\) Abierto Excluye centro y circunferencia
Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Esto conviene tenerlo claro porque muchos alumnos creen que si no es abierto, entonces tiene que ser cerrado. No.

7. Interior, adherencia y frontera

Estos tres conceptos son la clave del tema. Si los entiendes, la mayor parte de los ejercicios se vuelven bastante mecánicos.

Interior

El interior de \(A\), escrito \(\operatorname{Int}(A)\), son los puntos que tienen una bola alrededor completamente incluida en \(A\).

Adherencia

La adherencia de \(A\), escrita \(\overline{A}\), incluye los puntos de \(A\) más los puntos frontera que se pueden aproximar desde \(A\).

Frontera

La frontera de \(A\), escrita \(\partial A\), son los puntos donde cualquier bola toca \(A\) y también toca el exterior de \(A\).

\[ \partial A=\overline{A}\setminus \operatorname{Int}(A) \]

Ejemplo central

Sea:

\[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\} \]

Entonces:

\[ \operatorname{Int}(A)=A \] \[ \overline{A}=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\} \] \[ \partial A=\{(x,y):x^2+y^2=1\} \]
Esta estructura se repite mucho: interior con signo estricto, adherencia añadiendo el borde, frontera donde aparece la igualdad.

8. Conjuntos acotados y compactos

Un conjunto es acotado si cabe dentro de una bola suficientemente grande. Dicho sin formalismo: no se escapa hacia el infinito.

\[ A \text{ es acotado si existe } R>0 \text{ tal que } A\subset B(0,R) \]

Compactos en Rn

En \(\mathbb{R}^n\), un conjunto es compacto si es cerrado y acotado.

\[ K\subset\mathbb{R}^n \text{ compacto } \Longleftrightarrow K \text{ cerrado y acotado} \]

Compacto

\[ \{(x,y):x^2+y^2\leq 1\} \]

Es cerrado porque incluye la circunferencia y acotado porque cabe dentro de una bola.

No compacto

\[ \{(x,y):x^2+y^2<1\} \]

Es acotado, pero no cerrado. Falta la frontera.

Este punto es importante porque más adelante, en optimización, la compacidad ayuda a garantizar que una función continua alcance máximo y mínimo. Por eso este bloque no es teoría decorativa.

9. Procedimiento de examen

Cuando te den un conjunto, no empieces escribiendo definiciones a ciegas. Ordena el análisis.

Rutina para clasificar un conjunto

  1. Identifica si el conjunto está en \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\) o \(\mathbb{R}^n\).
  2. Mira si aparece una desigualdad estricta, no estricta o una igualdad.
  3. Dibuja mentalmente la región si estás en \(\mathbb{R}^2\).
  4. Decide qué puntos están claramente dentro.
  5. Localiza el borde cambiando normalmente \(<\) o \(\leq\) por \(=\).
  6. Calcula interior, adherencia y frontera.
  7. Comprueba si el conjunto es abierto, cerrado, acotado o compacto.
Fallo típico. Mirar solo el signo y no pensar en la geometría. Hay conjuntos con mezclas de condiciones donde el signo no basta. Primero dibujo mental, luego definición.

10. Ejercicios resueltos de topología en Rn y espacio euclídeo

Estos ejercicios están pensados para pasar de lo básico a lo típico de examen. No hace falta correr. En topología, una palabra mal usada cambia el ejercicio entero.

Ejercicio 1. Distancia entre dos puntos de R2

Calcula la distancia entre \(A=(2,-1)\) y \(B=(5,3)\).

Usamos la distancia euclídea: \[ d(A,B)=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2} \]
Calculamos: \[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \]

Resultado. La distancia es \(5\).

Ejercicio 2. Norma de un vector de R3

Calcula la norma de \(u=(2,-3,6)\).

Aplicamos: \[ \|u\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2} \]
Entonces: \[ \|u\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 \]

Resultado. La norma del vector es \(7\).

Ejercicio 3. Producto escalar y ortogonalidad

Estudia si \(u=(1,2,-1)\) y \(v=(3,-1,1)\) son ortogonales.

Calculamos el producto escalar: \[ u\cdot v=1\cdot 3+2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1 \]
\[ u\cdot v=3-2-1=0 \]
Si el producto escalar vale 0, los vectores son ortogonales.

Resultado. Son ortogonales.

Ejercicio 4. Escribir una bola abierta en R2

Escribe la bola abierta de centro \(a=(1,-2)\) y radio \(3\).

Por definición: \[ B(a,3)=\{(x,y):d((x,y),(1,-2))<3\} \]
La distancia es: \[ d((x,y),(1,-2))=\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2} \]
Por tanto: \[ B((1,-2),3)=\{(x,y):(x-1)^2+(y+2)^2<9\} \]

Resultado. Es el disco abierto de centro \((1,-2)\) y radio \(3\).

Ejercicio 5. Bola cerrada en R2

Escribe la bola cerrada de centro \((0,0)\) y radio \(2\).

La bola cerrada incluye el borde: \[ \overline{B}((0,0),2)=\{(x,y):\sqrt{x^2+y^2}\leq 2\} \]
Elevando al cuadrado: \[ \overline{B}((0,0),2)=\{(x,y):x^2+y^2\leq 4\} \]

Resultado. Es el disco cerrado \(x^2+y^2\leq 4\).

Ejercicio 6. Clasificar un disco abierto

Sea \(A=\{(x,y):x^2+y^2<4\}\). Estudia si es abierto, cerrado, acotado y compacto.

Es el disco de radio 2 sin la circunferencia.
Es abierto porque cada punto del disco admite una bola pequeña contenida en el disco.
No es cerrado porque no contiene su frontera: \[ x^2+y^2=4 \]
Es acotado porque cabe dentro de una bola de radio 2, o de cualquier radio mayor.
No es compacto porque en \(\mathbb{R}^n\) compacto equivale a cerrado y acotado, y este conjunto no es cerrado.

Resultado. Abierto, no cerrado, acotado y no compacto.

Ejercicio 7. Clasificar un disco cerrado

Sea \(B=\{(x,y):x^2+y^2\leq 4\}\). Estudia si es abierto, cerrado, acotado y compacto.

Es el disco cerrado de radio 2.
No es abierto porque los puntos de la circunferencia no tienen una bola completa dentro del conjunto.
Es cerrado porque contiene su frontera: \[ x^2+y^2=4 \]
Es acotado porque todos sus puntos están a distancia menor o igual que 2 del origen.
Es compacto porque es cerrado y acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, acotado y compacto.

Ejercicio 8. Circunferencia unidad

Sea \(C=\{(x,y):x^2+y^2=1\}\). Clasifica el conjunto.

El conjunto es solo la circunferencia unidad.
No es abierto porque alrededor de cualquier punto de la circunferencia hay puntos que no pertenecen a la circunferencia.
Es cerrado porque es la frontera de un disco y contiene todos sus puntos límite.
Es acotado porque todos sus puntos están a distancia 1 del origen.
Es compacto porque es cerrado y acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, acotado y compacto.

Ejercicio 9. Semiplano abierto

Sea \(A=\{(x,y):x+y<3\}\). Estudia si es abierto, cerrado, acotado y compacto.

La recta frontera es: \[ x+y=3 \]
Como la desigualdad es estricta, el semiplano no incluye la recta frontera.
Es abierto.
No es cerrado porque no contiene la recta \(x+y=3\).
No es acotado porque se extiende indefinidamente.
No es compacto porque no es cerrado ni acotado.

Resultado. Abierto, no cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 10. Semiplano cerrado

Sea \(B=\{(x,y):x+y\leq 3\}\). Clasifica el conjunto.

La frontera es: \[ x+y=3 \]
Como la desigualdad es no estricta, la frontera está incluida.
No es abierto porque los puntos de la recta frontera no tienen bola completa dentro del conjunto.
Es cerrado.
No es acotado, porque el semiplano se extiende sin límite.
No es compacto porque no es acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 11. Conjunto que no es ni abierto ni cerrado

Sea \(A=\{(x,y):0<x^2+y^2\leq 1\}\). Clasifica el conjunto.

El conjunto contiene los puntos del disco cerrado unidad, pero excluye el origen.
No es abierto porque incluye la circunferencia \(x^2+y^2=1\), y en esos puntos cualquier bola se sale del conjunto.
No es cerrado porque excluye el origen, pero el origen es punto de adherencia. Podemos acercarnos al origen con puntos del conjunto.
Es acotado porque está dentro del disco unidad.
No es compacto porque no es cerrado.

Resultado. No abierto, no cerrado, acotado y no compacto.

Ejercicio 12. Interior, adherencia y frontera de un disco abierto

Sea \(A=\{(x,y):x^2+y^2<9\}\). Calcula interior, adherencia y frontera.

El conjunto ya es abierto, por tanto: \[ \operatorname{Int}(A)=A=\{(x,y):x^2+y^2<9\} \]
La adherencia se obtiene añadiendo la frontera: \[ \overline{A}=\{(x,y):x^2+y^2\leq 9\} \]
La frontera es: \[ \partial A=\{(x,y):x^2+y^2=9\} \]

Resultado. Interior \(x^2+y^2<9\), adherencia \(x^2+y^2\leq 9\), frontera \(x^2+y^2=9\).

Ejercicio 13. Interior, adherencia y frontera de un intervalo en R

Sea \(A=(2,5]\subset\mathbb{R}\). Calcula interior, adherencia y frontera.

En \(\mathbb{R}\), el interior son los puntos que admiten un intervalo abierto alrededor dentro del conjunto: \[ \operatorname{Int}(A)=(2,5) \]
La adherencia añade todos los puntos alcanzables por sucesiones del conjunto: \[ \overline{A}=[2,5] \]
La frontera es: \[ \partial A=\{2,5\} \]

Resultado. Interior \((2,5)\), adherencia \([2,5]\), frontera \(\{2,5\}\).

Ejercicio 14. Recta en R2

Sea \(A=\{(x,y):y=2x+1\}\). Estudia si es abierto, cerrado, acotado y compacto.

El conjunto es una recta en el plano.
No es abierto porque cualquier bola alrededor de un punto de la recta contiene puntos que no pertenecen a la recta.
Es cerrado porque puede escribirse como: \[ y-2x-1=0 \] y es el conjunto de ceros de una función continua.
No es acotado porque la recta se prolonga indefinidamente.
No es compacto porque no es acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 15. Primer cuadrante abierto

Sea \(A=\{(x,y):x>0,\ y>0\}\). Clasifica el conjunto.

Es el primer cuadrante sin los ejes.
Es abierto porque las dos desigualdades son estrictas y ningún punto del conjunto está sobre los ejes.
No es cerrado porque no contiene los ejes, que son puntos frontera.
No es acotado porque \(x\) e \(y\) pueden crecer indefinidamente.
No es compacto.

Resultado. Abierto, no cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 16. Primer cuadrante cerrado

Sea \(B=\{(x,y):x\geq 0,\ y\geq 0\}\). Clasifica el conjunto.

Es el primer cuadrante incluyendo los ejes.
No es abierto porque los puntos de los ejes no tienen una bola completa dentro del conjunto.
Es cerrado porque contiene su frontera.
No es acotado porque se extiende hacia infinito.
No es compacto porque no es acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 17. Corona circular abierta

Sea \(A=\{(x,y):1<x^2+y^2<4\}\). Calcula interior, adherencia y frontera.

Es una corona circular entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, sin incluir ninguna de las dos.
Como las desigualdades son estrictas: \[ \operatorname{Int}(A)=A \]
La adherencia incluye las dos circunferencias: \[ \overline{A}=\{(x,y):1\leq x^2+y^2\leq 4\} \]
La frontera está formada por las dos circunferencias: \[ \partial A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}\cup\{(x,y):x^2+y^2=4\} \]

Resultado. Interior \(1<x^2+y^2<4\), adherencia \(1\leq x^2+y^2\leq 4\), frontera \(x^2+y^2=1\) o \(x^2+y^2=4\).

Ejercicio 18. Bola en R3

Sea \(A=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq 16\}\). Clasifica el conjunto.

Es la bola cerrada de centro el origen y radio 4 en \(\mathbb{R}^3\).
No es abierta porque incluye la superficie esférica.
Es cerrada porque contiene su frontera: \[ x^2+y^2+z^2=16 \]
Es acotada porque todos sus puntos están a distancia menor o igual que 4 del origen.
Es compacta porque es cerrada y acotada.

Resultado. No abierta, cerrada, acotada y compacta.

Ejercicio 19. Conjunto definido por una función continua

Sea \(A=\{(x,y):x^2+y^2-4\leq 0\}\). Justifica que es cerrado.

Definimos: \[ f(x,y)=x^2+y^2-4 \]
La función \(f\) es continua.
El conjunto puede escribirse como: \[ A=f^{-1}((-\infty,0]) \]
Como \((-\infty,0]\) es cerrado y \(f\) es continua, su preimagen es cerrada.

Resultado. El conjunto es cerrado.

Ejercicio 20. Conjunto abierto por función continua

Sea \(A=\{(x,y):x^2+y^2-1>0\}\). Estudia si es abierto.

Definimos: \[ f(x,y)=x^2+y^2-1 \]
La función \(f\) es continua.
El conjunto es: \[ A=f^{-1}((0,\infty)) \]
Como \((0,\infty)\) es abierto, la preimagen por una función continua es abierta.

Resultado. El conjunto es abierto.

Ejercicio 21. Ejercicio tipo examen con interior, adherencia y frontera

Sea: \[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0<x\leq 2,\ 1<y<3\} \] Calcula interior, adherencia y frontera.

El conjunto es un rectángulo vertical con mezcla de bordes incluidos y excluidos.
El interior exige desigualdades estrictas en todos los bordes: \[ \operatorname{Int}(A)=\{(x,y):0<x<2,\ 1<y<3\} \]
La adherencia añade todos los bordes: \[ \overline{A}=\{(x,y):0\leq x\leq 2,\ 1\leq y\leq 3\} \]
La frontera es: \[ \partial A=\overline{A}\setminus \operatorname{Int}(A) \]
Por tanto: \[ \partial A=\{0\leq x\leq 2,\ 1\leq y\leq 3\} \setminus \{0<x<2,\ 1<y<3\} \]

Resultado. Interior \(0<x<2,\ 1<y<3\). Adherencia \(0\leq x\leq 2,\ 1\leq y\leq 3\). Frontera igual al borde del rectángulo.

Ejercicio 22. Ejercicio tipo examen con conjunto no acotado

Sea: \[ A=\{(x,y):x^2+y^2\geq 1\} \] Clasifica el conjunto.

Es el exterior del disco unidad, incluyendo la circunferencia.
No es abierto porque incluye la frontera \(x^2+y^2=1\).
Es cerrado porque contiene su frontera y puede escribirse como preimagen de \([1,\infty)\) por la función continua \(f(x,y)=x^2+y^2\).
No es acotado porque se extiende hacia infinito.
No es compacto porque no es acotado.

Resultado. No abierto, cerrado, no acotado y no compacto.

Ejercicio 23. Ejercicio tipo examen con conjunto vacío de interior

Sea: \[ A=\{(x,y):x^2+y^2=4\} \] Calcula el interior.

El conjunto es una circunferencia.
Si tomamos cualquier punto de la circunferencia, cualquier bola alrededor contiene puntos que no están en la circunferencia.
Por tanto, ningún punto de \(A\) es interior.
\[ \operatorname{Int}(A)=\varnothing \]

Resultado. El interior es vacío.

Ejercicio 24. Ejercicio tipo examen con distancia a un punto

Decide si el punto \(P=(2,1)\) pertenece a la bola \(B((0,0),\sqrt{5})\).

Calculamos la distancia al origen: \[ d(P,(0,0))=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \]
La bola abierta \(B((0,0),\sqrt{5})\) contiene los puntos con distancia estrictamente menor que \(\sqrt{5}\).
Como: \[ d(P,(0,0))=\sqrt{5} \] el punto está justo en la frontera.

Resultado. El punto no pertenece a la bola abierta. Sí pertenecería a la bola cerrada.

Ejercicio 25. Ejercicio tipo examen con interpretación económica

Una empresa estudia combinaciones de dos factores productivos \(x\) e \(y\), ambos no negativos, con presupuesto máximo: \[ 2x+3y\leq 12 \] Define el conjunto factible: \[ K=\{(x,y):x\geq 0,\ y\geq 0,\ 2x+3y\leq 12\} \] Estudia si \(K\) es compacto.

Las condiciones \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) y \(2x+3y\leq 12\) son desigualdades no estrictas. El conjunto incluye sus bordes.
Por tanto, \(K\) es cerrado.
Además, de \(2x+3y\leq 12\) con \(x,y\geq 0\), se deduce: \[ 0\leq x\leq 6 \] \[ 0\leq y\leq 4 \]
Luego el conjunto está acotado.
Como en \(\mathbb{R}^2\) es cerrado y acotado, es compacto.

Resultado. \(K\) es compacto.

Este tipo de conjunto aparece después en optimización. Si una función continua se optimiza sobre un conjunto compacto, hay base para esperar máximo y mínimo.

11. Ejercicios para practicar

Separados por nivel. Si los básicos no salen con seguridad, no conviene saltar a los de examen.

Básicos

  1. Calcula la distancia entre \((1,4)\) y \((5,1)\).
  2. Calcula la norma de \((3,-4)\).
  3. Calcula la norma de \((1,2,2)\).
  4. Escribe la bola abierta de centro \((2,1)\) y radio \(4\).
  5. Escribe la bola cerrada de centro \((0,0)\) y radio \(5\).
  6. Decide si \((3,4)\) pertenece a \(B((0,0),5)\).

Intermedios

  1. Clasifica \(A=\{(x,y):x^2+y^2<9\}\).
  2. Clasifica \(B=\{(x,y):x^2+y^2\leq 9\}\).
  3. Clasifica \(C=\{(x,y):x+y>2\}\).
  4. Clasifica \(D=\{(x,y):x+y=2\}\).
  5. Calcula interior, adherencia y frontera de \((1,4]\subset\mathbb{R}\).
  6. Calcula interior, adherencia y frontera de \(\{(x,y):x^2+y^2<1\}\).

Tipo examen

  1. Clasifica \(A=\{(x,y):1\leq x^2+y^2<4\}\).
  2. Calcula interior, adherencia y frontera de \(A=\{(x,y):0<x<3,\ y\leq 2\}\).
  3. Estudia si \(A=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq 25\}\) es compacto.
  4. Estudia si \(A=\{(x,y):x>0,\ y\geq 0\}\) es abierto o cerrado.
  5. Justifica que \(A=\{(x,y):x^2+y^2\leq 7\}\) es cerrado.
  6. Justifica que \(A=\{(x,y):x^2+y^2>7\}\) es abierto.

Para nota

  1. Da un ejemplo de conjunto que sea acotado pero no cerrado.
  2. Da un ejemplo de conjunto cerrado pero no acotado.
  3. Da un ejemplo de conjunto que no sea ni abierto ni cerrado.
  4. Estudia la compacidad de \(K=\{(x,y):x\geq 0,\ y\geq 0,\ x+y\leq 10\}\).
  5. Calcula la frontera de \(A=\{(x,y):2<x^2+y^2\leq 5\}\).
  6. Explica por qué una recta en \(\mathbb{R}^2\) tiene interior vacío.

12. Soluciones rápidas para corregir

Número Resultado Comentario breve
15Triángulo 3,4,5
25\(\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
33\(\sqrt{1+4+4}\)
4\((x-2)^2+(y-1)^2<16\)Bola abierta
5\(x^2+y^2\leq 25\)Bola cerrada
6No perteneceEstá en la frontera de la bola abierta
7Abierto, no cerrado, acotado, no compactoDisco abierto
8No abierto, cerrado, acotado, compactoDisco cerrado
9Abierto, no cerrado, no acotado, no compactoSemiplano abierto
10No abierto, cerrado, no acotado, no compactoRecta
11Interior \((1,4)\), adherencia \([1,4]\), frontera \(\{1,4\}\)Intervalo semiabierto
12Interior igual al conjunto, adherencia \(x^2+y^2\leq 1\), frontera \(x^2+y^2=1\)Disco abierto
13No abierto, no cerrado, acotado, no compactoIncluye una frontera y excluye otra
14Interior \(0<x<3,\ y<2\), adherencia \(0\leq x\leq 3,\ y\leq 2\), frontera correspondienteCuidado con el borde \(y=2\)
15CompactoCerrado y acotado
16No abierto ni cerradoMezcla \(x>0\) con \(y\geq 0\)
17CerradoPreimagen de cerrado por función continua
18AbiertoPreimagen de abierto por función continua
19Disco abiertoAcotado, no cerrado
20RectaCerrada, no acotada
21\((0,1]\)No es abierto ni cerrado en \(\mathbb{R}\)
22CompactoTriángulo cerrado y acotado
23\(x^2+y^2=2\) y \(x^2+y^2=5\)Dos circunferencias frontera
24Porque ninguna bola alrededor de un punto de la recta queda contenida en la rectaInterior vacío

13. Simulacro final de topología en Rn

Tiempo recomendado: 60 minutos. Escribe razonamientos breves, no solo resultados. En topología se premia mucho que el alumno sepa justificar.

Enunciados

  1. Calcula la distancia entre \(A=(1,-2,3)\) y \(B=(4,2,3)\).
  2. Calcula la norma de \(u=(-2,1,2)\).
  3. Escribe la bola abierta de centro \((1,1)\) y radio \(2\).
  4. Clasifica \(A=\{(x,y):x^2+y^2<4\}\).
  5. Clasifica \(B=\{(x,y):x^2+y^2\leq 4\}\).
  6. Clasifica \(C=\{(x,y):x-y=1\}\).
  7. Calcula interior, adherencia y frontera de \(D=(0,3]\subset\mathbb{R}\).
  8. Calcula interior, adherencia y frontera de \(E=\{(x,y):1<x^2+y^2<9\}\).
  9. Estudia si \(K=\{(x,y):x\geq 0,\ y\geq 0,\ 3x+2y\leq 12\}\) es compacto.
  10. Da un ejemplo de conjunto que sea cerrado pero no compacto.
Ejercicio Solución Criterio de corrección
1 5 1 punto si aplica distancia en \(\mathbb{R}^3\)
2 3 1 punto si calcula \(\sqrt{4+1+4}\)
3 \((x-1)^2+(y-1)^2<4\) 1 punto si distingue bola abierta
4 Abierto, no cerrado, acotado, no compacto 1 punto si justifica el borde excluido
5 No abierto, cerrado, acotado, compacto 1 punto si usa cerrado y acotado
6 No abierto, cerrado, no acotado, no compacto 1 punto si reconoce una recta
7 Interior \((0,3)\), adherencia \([0,3]\), frontera \(\{0,3\}\) 1 punto si trata bien el extremo excluido
8 Interior igual al conjunto, adherencia \(1\leq x^2+y^2\leq 9\), frontera \(x^2+y^2=1\) o \(x^2+y^2=9\) 1 punto si detecta las dos fronteras
9 Compacto 1 punto si prueba cerrado y acotado
10 Una recta, por ejemplo \(x=0\) 1 punto si da cerrado no acotado

14. Diagnóstico de errores frecuentes

Lo que ocurre Qué suele haber detrás Cómo corregirlo
Confunde abierto con cerrado Memoriza signos sin entender el borde Dibujar siempre la frontera y decidir si entra o no entra
Dice que si no es abierto entonces es cerrado No contempla conjuntos mixtos Trabajar ejemplos como \((0,1]\) o \(0<x^2+y^2\leq 1\)
Confunde acotado con cerrado Mezcla tamaño con borde Separar dos preguntas: ¿cabe en una bola? ¿incluye frontera?
No sabe calcular frontera No distingue interior y adherencia Usar \(\partial A=\overline{A}\setminus \operatorname{Int}(A)\)
Falla en bolas abiertas Olvida que el radio se expresa con distancia estricta Escribir primero \(d(x,a)<r\), luego desarrollar
Considera compactos todos los conjuntos cerrados Olvida la acotación En \(\mathbb{R}^n\), compacto exige cerrado y acotado
Justifica sin lenguaje matemático Entiende el dibujo, pero no sabe escribirlo Usar frases breves: contiene frontera, no contiene frontera, cabe en una bola, no cabe en ninguna bola

15. Qué estudiar antes y después

Este recurso debe ocupar una posición temprana dentro del clúster de Análisis Matemático para ADE y Economía. No debe quedar como una entrada suelta del blog.

Antes de este recurso

Conviene tener claros vectores, coordenadas, producto escalar, norma, desigualdades e interpretación geométrica de rectas, planos y circunferencias. Si el alumno viene flojo de base, puede repasar otros recursos educativos de Marlu Educativa antes de entrar en topología.

Recurso relacionado confirmado: Espacios vectoriales para ADE.

Después de este recurso

La continuación natural es límites y continuidad de funciones de varias variables. Este recurso prepara el lenguaje de bolas, entornos y cercanía que se usa para definir límites.

Recurso recomendado: Límites y continuidad de varias variables para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Recurso recomendado: Derivadas parciales y diferenciabilidad para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Recurso recomendado: Optimización sin restricciones para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Enlaces internos confirmados que debe llevar este recurso

Si el alumno necesita preparar la asignatura completa, el enlace principal debe ir a Matemáticas universitarias online. Es la página más limpia para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios.

Para reforzar el clúster nacional, este recurso también debe enlazar a la página madre de clases particulares online. Así el artículo no queda solo como material de estudio, sino como puerta de entrada al sistema online de Marlu.

Para alumnos con disponibilidad de mañana, también encaja enlazar de forma natural a clases online por la mañana, especialmente en universidad, donde muchos horarios tienen huecos y semanas desordenadas.

Más adelante, cuando el alumno llegue a optimización, este recurso puede conectar con piezas ya confirmadas como Formas cuadráticas para ADE y Economía y Matriz Hessiana en varias variables.

Página madre específica recomendada. Análisis Matemático para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress. Cuando exista, este recurso debe enlazar hacia ella y esa página madre debe devolver enlace a este recurso.

¿Topología en Rn se te está haciendo cuesta arriba?

Si estás en ADE, Economía o un primer curso universitario y no distingues bien abiertos, cerrados, frontera, adherencia o compactos, no conviene seguir avanzando sin corregirlo. Este tema es la base de límites, continuidad, derivadas parciales y optimización.

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online con explicación paso a paso, pizarra digital compartida y ejercicios adaptados al examen real del alumno.

Ver Matemáticas universitarias online Ver clases online por la mañana Solicitar información

Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material elaborado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios que necesitan preparar Cálculo, Análisis Matemático o métodos cuantitativos con explicación clara, ejercicios resueltos y corrección paso a paso.

16. Preguntas frecuentes sobre topología en Rn y espacio euclídeo

¿Qué es la topología en Rn?

Es la parte de Análisis Matemático que estudia conceptos como distancia, entorno, abierto, cerrado, frontera, interior, adherencia, acotación y compacidad en espacios con varias variables.

¿Topología en Rn pertenece a Cálculo o a Análisis Matemático?

Académicamente pertenece a Análisis Matemático. En la web puede relacionarse con Cálculo universitario, porque prepara límites, continuidad, derivadas parciales y optimización.

¿Qué diferencia hay entre conjunto abierto y cerrado?

Un conjunto abierto no incluye su borde y permite moverse un poco alrededor de cada punto sin salir del conjunto. Un conjunto cerrado contiene sus puntos frontera. Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.

¿Qué es la frontera de un conjunto?

La frontera está formada por los puntos donde cualquier bola alrededor toca el conjunto y también toca el exterior. Suele corresponder a los bordes definidos por igualdades.

¿Qué significa que un conjunto sea compacto en Rn?

En \(\mathbb{R}^n\), un conjunto compacto es cerrado y acotado. Esta idea es importante porque después se usa en optimización para garantizar existencia de máximos y mínimos bajo ciertas condiciones.

¿Por qué este tema es importante para ADE y Economía?

Porque prepara el lenguaje necesario para estudiar funciones de varias variables, límites, continuidad, derivadas parciales, matriz Hessiana, restricciones y optimización económica.

¿Marlu Educativa da clases online de Topología en Rn para ADE y Economía?

Sí. Marlu Educativa trabaja Matemáticas universitarias online para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios, con explicación paso a paso y ejercicios adaptados al nivel del alumno.

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