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Sucesiones y series para ADE y Economía ejercicios resueltos paso a paso

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Análisis Matemático · ADE y Economía · Sucesiones y series

Sucesiones y series para ADE y Economía ejercicios resueltos paso a paso

Las sucesiones y las series suelen aparecer al principio de Análisis Matemático, pero no conviene tratarlas como un trámite. Aquí se aprende a trabajar con límites, sumas finitas, sumas infinitas, progresiones y criterios básicos de convergencia sin mezclar ideas. Primero orden, luego velocidad.

Este recurso está pensado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios que necesitan entender el tema desde cero, practicar con ejercicios resueltos y preparar exámenes con una forma de razonar limpia.

Frontera del recurso. Aquí nos centramos en sucesiones reales, series numéricas, progresiones, límites de sucesiones y sumas infinitas básicas. No convertimos el recurso en topología, derivadas parciales, Hessiana ni optimización. Esos temas pertenecen a recursos posteriores del clúster de Análisis Matemático.
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Cuando el alumno se lía, casi nunca es por la fórmula

En sucesiones y series el problema suele estar en decidir qué se está calculando. No es lo mismo estudiar el término general de una sucesión que sumar infinitos términos. Tampoco es lo mismo una suma finita que una serie infinita. Este detalle parece una tontería, pero cambia todo.

En Marlu Educativa trabajamos este tipo de temas con pizarra digital compartida, paso a paso, viendo dónde aparece exactamente el bloqueo.

1. Idea principal de sucesiones y series

Una sucesión es una lista ordenada de números. Una serie es una suma de términos de una sucesión. Dicho así parece sencillo, pero aquí muchos alumnos se lían porque usan el mismo símbolo para cosas distintas.

Sucesión

Una sucesión es una colección ordenada de términos:

\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_n,\ldots \]

El objetivo suele ser estudiar qué ocurre con \(a_n\) cuando \(n\) crece.

Serie

Una serie es una suma:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1+a_2+a_3+\cdots \]

El objetivo ya no es mirar solo \(a_n\), sino decidir si la suma infinita tiene sentido y vale un número finito.

Regla práctica. Si te preguntan por \(\lim a_n\), estás en sucesiones. Si aparece \(\sum\), estás en series. No hagas veinte ejercicios a ciegas sin distinguir esto antes.

2. Qué es una sucesión

Una sucesión real es una función que a cada número natural le asigna un número real. En lugar de escribir \(f(n)\), normalmente escribimos \(a_n\).

\[ a:\mathbb{N}\to \mathbb{R} \] \[ n \mapsto a_n \]

Ejemplos sencillos

Sucesión Primeros términos Qué parece ocurrir
\(a_n = n\) \(1,2,3,4,\ldots\) Crece sin límite
\(a_n = 1/n\) \(1,1/2,1/3,1/4,\ldots\) Se acerca a 0
\(a_n = (-1)^n\) \(-1,1,-1,1,\ldots\) Oscila y no se estabiliza
\(a_n = 3 + 2/n\) \(5,4,3.67,3.5,\ldots\) Se acerca a 3
En examen no basta con decir “parece que se acerca”. Hay que justificarlo con límites, equivalencias, comparación o transformación algebraica.

3. Límites de sucesiones

Decir que una sucesión \(a_n\) tiende a un número \(L\) significa que, cuando \(n\) se hace muy grande, los términos de la sucesión se aproximan a \(L\).

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \]

Casos típicos

Tipo Ejemplo Resultado Comentario de examen
Cociente de polinomios \((3n^2+1)/(2n^2-5)\) \(3/2\) Mandas los grados mayores
Raíces con indeterminación \(\sqrt{n^2+n}-n\) \(1/2\) Racionalizar suele desbloquearlo
Exponencial clásico \((1+3/n)^n\) \(e^3\) Reconocer el límite notable
Oscilación amortiguada \((-1)^n/n\) 0 Oscila, pero cada vez menos

Límites importantes

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \] \[ \lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{q(n)}= \text{cociente de coeficientes líderes si los grados coinciden} \] \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=e^k \]
Error frecuente. Ver \((-1)^n\) y decir directamente que no existe. Cuidado. \((-1)^n\) no tiene límite, pero \((-1)^n/n\) sí tiene límite y vale 0. El denominador cambia el comportamiento.

4. Progresiones aritméticas y geométricas

Las progresiones aparecen mucho en ejercicios de Economía porque sirven para modelizar pagos periódicos, acumulaciones, descuentos, cuotas, ingresos que crecen de forma constante o cantidades que se multiplican por un factor.

Progresión aritmética

La diferencia entre términos consecutivos es constante.

\[ a_n=a_1+(n-1)d \] \[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \]

Se usa cuando el aumento es siempre el mismo número.

Progresión geométrica

Cada término se obtiene multiplicando por una razón \(r\).

\[ a_n=a_1 r^{n-1} \] \[ S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\quad r\neq 1 \]

Se usa cuando hay porcentajes, intereses, descuentos o crecimiento proporcional.

En ADE y Economía, la progresión geométrica es especialmente importante. Un crecimiento del 3 por ciento no significa sumar 3 cada vez, sino multiplicar por \(1.03\).

5. Qué es una serie

Una serie infinita es una suma con infinitos términos. Para saber si converge, se estudia la sucesión de sumas parciales.

\[ S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N=\sum_{n=1}^{N}a_n \] \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ converge si } \lim_{N\to\infty}S_N \text{ existe y es finito} \]

La condición necesaria

Para que una serie \(\sum a_n\) pueda converger, es necesario que:

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0 \]

Pero ojo: que el término general tienda a 0 no garantiza que la serie converja.

Detalle clave. La serie armónica \(\sum 1/n\) diverge aunque \(1/n\to 0\). Esta es una de las trampas clásicas del tema.

6. Criterios básicos de convergencia

No hace falta usar todos los criterios del mundo en un primer tema de ADE o Economía. Conviene dominar pocos, pero bien.

Criterio Cuándo usarlo Idea
Condición necesaria Cuando \(a_n\) no tiende a 0 Si \(a_n\not\to 0\), la serie diverge
Serie geométrica Cuando aparece \(r^n\) Converge si \(|r|<1\)
Serie p Cuando aparece \(1/n^p\) Converge si \(p>1\)
Comparación Con términos positivos parecidos a una serie conocida Comparamos con una serie más sencilla
Cociente Con factoriales, potencias o productos Estudiamos \(\lim |a_{n+1}/a_n|\)

Serie geométrica infinita

\[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\frac{a}{1-r} \quad \text{si } |r|<1 \]

Serie p

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \] \[ \text{converge si }p>1 \] \[ \text{diverge si }p\leq 1 \]

Criterio del cociente

\[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \] \[ L<1 \Rightarrow \text{converge} \] \[ L>1 \Rightarrow \text{diverge} \] \[ L=1 \Rightarrow \text{no decide} \]

7. Aplicaciones a ADE y Economía

Las sucesiones y las series no son un adorno matemático. En Economía aparecen cuando se estudian pagos periódicos, intereses, descuento, acumulación de ingresos, amortización, crecimiento porcentual y valor actual de rentas.

Capitalización

Si una cantidad crece un \(i\) por periodo:

\[ C_n=C_0(1+i)^n \]

Descuento

Si se actualiza un pago futuro:

\[ VA=\frac{C_n}{(1+i)^n} \]

Renta geométrica

Si los pagos forman una progresión:

\[ S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r} \]
En un examen de ADE no basta con saber operar. Hay que interpretar si el resultado tiene sentido económico. Un ingreso total no puede salir menor que el primer ingreso si todos los ingresos son positivos, salvo que estés descontando valores futuros.

8. Procedimiento de examen

Antes de tocar la calculadora o empezar a transformar expresiones, conviene seguir un orden. Parece lento, pero evita errores de lectura.

Rutina recomendada

  1. Identifica si estás ante una sucesión o una serie.
  2. Si es sucesión, busca el límite de \(a_n\).
  3. Si es serie, comprueba primero si \(a_n\to 0\).
  4. Reconoce si es geométrica, p, telescópica, comparable o de cociente.
  5. No apliques un criterio sin decir por qué encaja.
  6. Revisa el resultado: convergente, divergente o suma concreta si la piden.
En corrección universitaria se valora mucho más una solución ordenada que una ristra de fórmulas. El profesor necesita ver que sabes qué estás haciendo.

9. Ejercicios resueltos de sucesiones y series para ADE y Economía

Vamos con ejercicios. Están ordenados de menos a más. No se gana tiempo saltándose pasos.

Ejercicio 1. Límite básico de una sucesión racional

Calcula:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n+1} \]
Dividimos numerador y denominador entre \(n\): \[ \frac{n+3}{n+1}=\frac{1+3/n}{1+1/n} \]
Como \(3/n\to 0\) y \(1/n\to 0\): \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1+3/n}{1+1/n}=\frac{1}{1}=1 \]

Resultado. La sucesión converge a \(1\).

Ejercicio 2. Cociente de polinomios con mismo grado

Calcula:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-3n+1}{2n^2+5} \]
Dividimos todo entre \(n^2\): \[ \frac{4-3/n+1/n^2}{2+5/n^2} \]
Al tender \(n\) a infinito: \[ \frac{4-0+0}{2+0}=2 \]

Resultado. La sucesión converge a \(2\).

Ejercicio 3. Cociente de polinomios con mayor grado arriba

Estudia:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+n}{n^2+1} \]
El numerador tiene grado 3 y el denominador grado 2. La expresión se comporta aproximadamente como: \[ \frac{3n^3}{n^2}=3n \]
Como \(3n\to +\infty\), la sucesión crece sin límite.

Resultado. La sucesión diverge a \(+\infty\).

Ejercicio 4. Raíz con racionalización

Calcula:

\[ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right) \]
Aparece una indeterminación del tipo \(\infty-\infty\). Racionalizamos: \[ \sqrt{n^2+4n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+4n}-n)(\sqrt{n^2+4n}+n)}{\sqrt{n^2+4n}+n} \]
En el numerador queda: \[ n^2+4n-n^2=4n \] Por tanto: \[ \sqrt{n^2+4n}-n=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n} \]
Sacamos \(n\) de la raíz: \[ \frac{4n}{n\sqrt{1+4/n}+n} = \frac{4}{\sqrt{1+4/n}+1} \]
Tomamos límite: \[ \frac{4}{1+1}=2 \]

Resultado. El límite vale \(2\).

Ejercicio 5. Límite notable exponencial

Calcula:

\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{n}\right)^n \]
Reconocemos el límite notable: \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=e^k \]
Aquí \(k=5\), luego: \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{5}{n}\right)^n=e^5 \]

Resultado. El límite vale \(e^5\).

Ejercicio 6. Sucesión oscilante amortiguada

Estudia:

\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
Sabemos que: \[ -1\leq (-1)^n\leq 1 \]
Dividiendo entre \(n\), queda: \[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n} \]
Como \(-1/n\to 0\) y \(1/n\to 0\), por encaje: \[ \frac{(-1)^n}{n}\to 0 \]

Resultado. La sucesión converge a \(0\).

Ejercicio 7. Progresión aritmética

Una empresa aumenta su producción mensual en 120 unidades. El primer mes produce 1.500 unidades. Calcula la producción del mes 12.

Es una progresión aritmética: \[ a_n=a_1+(n-1)d \]
Datos: \[ a_1=1500,\quad d=120,\quad n=12 \]
Sustituimos: \[ a_{12}=1500+(12-1)120 \] \[ a_{12}=1500+1320=2820 \]

Resultado. En el mes 12 produce 2.820 unidades.

Ejercicio 8. Suma de una progresión aritmética

Con los datos del ejercicio anterior, calcula la producción total acumulada durante los 12 primeros meses.

Usamos: \[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \]
Sabemos que: \[ a_1=1500,\quad a_{12}=2820,\quad n=12 \]
Sustituimos: \[ S_{12}=\frac{12(1500+2820)}{2} \] \[ S_{12}=6\cdot 4320=25920 \]

Resultado. La producción acumulada es de 25.920 unidades.

Ejercicio 9. Progresión geométrica con crecimiento porcentual

Un ingreso inicial de 2.000 euros crece un 4 por ciento cada periodo. Calcula el ingreso del quinto periodo.

Crecer un 4 por ciento significa multiplicar por: \[ 1.04 \]
La fórmula es: \[ a_n=a_1r^{n-1} \]
Sustituimos: \[ a_5=2000\cdot 1.04^4 \] \[ a_5\approx 2000\cdot 1.16985856 \] \[ a_5\approx 2339.72 \]

Resultado. El ingreso del quinto periodo es aproximadamente 2.339,72 euros.

Ejercicio 10. Suma de una progresión geométrica finita

Una campaña genera 1.000 euros el primer mes y cada mes genera el 80 por ciento del mes anterior. Calcula el ingreso total de los 6 primeros meses.

Es una progresión geométrica con: \[ a_1=1000,\quad r=0.8,\quad n=6 \]
Fórmula: \[ S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r} \]
Sustituimos: \[ S_6=1000\frac{1-0.8^6}{1-0.8} \] \[ 0.8^6=0.262144 \] \[ S_6=1000\frac{1-0.262144}{0.2} \] \[ S_6=1000\cdot 3.68928=3689.28 \]

Resultado. El ingreso total de los 6 meses es 3.689,28 euros.

Ejercicio 11. Serie geométrica infinita

Calcula, si existe:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} 500(0.7)^n \]
Es una serie geométrica con: \[ a=500,\quad r=0.7 \]
Como \(|0.7|<1\), converge.
Usamos: \[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\frac{a}{1-r} \] \[ \sum_{n=0}^{\infty}500(0.7)^n=\frac{500}{1-0.7}=\frac{500}{0.3} \] \[ \frac{500}{0.3}=1666.67 \]

Resultado. La suma infinita vale aproximadamente 1.666,67.

Ejercicio 12. Serie geométrica divergente

Estudia:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} 3(1.2)^n \]
Es geométrica con: \[ r=1.2 \]
Para que una serie geométrica infinita converja debe cumplirse: \[ |r|<1 \]
Como: \[ |1.2|>1 \] la serie diverge.

Resultado. La serie diverge.

Ejercicio 13. Serie telescópica

Calcula:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \]
Descomponemos: \[ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \]
Entonces la suma parcial es: \[ S_N=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) \]
Se cancela casi todo: \[ S_N=1-\frac{1}{N+1} \]
Tomamos límite: \[ \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1 \]

Resultado. La serie converge y su suma vale \(1\).

Ejercicio 14. Serie p convergente

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \]
Es una serie p: \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \]
Aquí: \[ p=2 \]
Como \(p>1\), la serie converge.

Resultado. La serie converge.

Ejercicio 15. Serie armónica

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \]
Es una serie p con: \[ p=1 \]
Una serie p converge solo si: \[ p>1 \]
Como \(p=1\), diverge.

Resultado. La serie armónica diverge.

Aunque \(1/n\to 0\), la suma infinita diverge. Este detalle en examen suele costar puntos.

Ejercicio 16. Comparación con una serie p

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3} \]
Para \(n\geq 1\): \[ n^2+3 \geq n^2 \]
Por tanto: \[ \frac{1}{n^2+3}\leq \frac{1}{n^2} \]
Sabemos que: \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \] converge.
Como la serie dada tiene términos positivos y está acotada por una serie convergente, también converge.

Resultado. La serie converge.

Ejercicio 17. Condición necesaria de convergencia

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{2n+1} \]
Primero calculamos el límite del término general: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2n+1} \]
Dividimos entre \(n\): \[ \frac{1+2/n}{2+1/n}\to \frac{1}{2} \]
Como: \[ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}\neq 0 \] la serie no puede converger.

Resultado. La serie diverge.

Ejercicio 18. Criterio del cociente

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!} \]
Tomamos: \[ a_n=\frac{3^n}{n!} \]
Calculamos: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{3^n} \]
Simplificamos: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{3}{n+1} \]
Límite: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0 \]
Como \(0<1\), la serie converge.

Resultado. La serie converge.

Ejercicio 19. Criterio del cociente con divergencia

Estudia:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{4^n} \]
Tomamos: \[ a_n=\frac{n!}{4^n} \]
Calculamos: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{4^{n+1}}\cdot \frac{4^n}{n!} = \frac{n+1}{4} \]
Límite: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{4}=+\infty \]
Como el límite es mayor que \(1\), la serie diverge.

Resultado. La serie diverge.

Ejercicio 20. Valor actual de una renta decreciente

Un proyecto genera 1.200 euros al final del primer año. Cada año genera el 90 por ciento del año anterior. Si se descuenta al 5 por ciento anual, calcula el valor actual de todos los ingresos futuros suponiendo duración infinita.

El ingreso del año \(n\) es: \[ 1200\cdot 0.9^{n-1} \]
El valor actual del ingreso del año \(n\) es: \[ \frac{1200\cdot 0.9^{n-1}}{1.05^n} \]
La suma total es: \[ VA=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1200\cdot 0.9^{n-1}}{1.05^n} \]
Sacamos el primer factor: \[ VA=\frac{1200}{1.05}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{0.9}{1.05}\right)^{n-1} \]
Es una serie geométrica con: \[ r=\frac{0.9}{1.05}=\frac{6}{7} \] Como \(|r|<1\), converge.
Entonces: \[ VA=\frac{1200}{1.05}\cdot \frac{1}{1-6/7} \] \[ VA=\frac{1200}{1.05}\cdot 7 \] \[ VA=8000 \]

Resultado. El valor actual de la renta es 8.000 euros.

Revisión económica: tiene sentido que el valor actual sea finito, porque los ingresos van cayendo y además se descuentan.

Ejercicio 21. Serie con parámetro

Determina para qué valores de \(a\) converge la serie:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a^n \]
Es una serie geométrica con razón: \[ r=a \]
Una serie geométrica converge si: \[ |r|<1 \]
Por tanto: \[ |a|<1 \]
Es decir: \[ -1<a<1 \]

Resultado. La serie converge para \(-1<a<1\).

Ejercicio 22. Suma infinita con primer índice distinto

Calcula:

\[ \sum_{n=2}^{\infty} 4\left(\frac{1}{3}\right)^n \]
El primer término de la serie no corresponde a \(n=0\), sino a \(n=2\): \[ a_2=4\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{4}{9} \]
La razón es: \[ r=\frac{1}{3} \]
Como \(|r|<1\), la suma desde \(n=2\) es: \[ S=\frac{a_2}{1-r} \]
Sustituimos: \[ S=\frac{4/9}{1-1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \]

Resultado. La suma vale \(2/3\).

Ejercicio 23. Detectar una falsa convergencia

Un alumno afirma que la serie

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1} \]

converge porque los términos son menores que 1. Corrige el razonamiento.

Ser menor que 1 no garantiza convergencia. Lo primero es calcular: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} \]
Dividimos entre \(n\): \[ \frac{1}{1+1/n}\to 1 \]
Como el término general tiende a \(1\), no tiende a \(0\).

Resultado. La serie diverge. El error del alumno es confundir términos acotados con suma convergente.

Ejercicio 24. Ejercicio tipo examen con decisión de criterio

Estudia la convergencia de:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^3+4} \]
Para \(n\) grande, el numerador se comporta como \(2n\) y el denominador como \(n^3\).
Por tanto: \[ \frac{2n+1}{n^3+4} \sim \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2} \]
La serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2} \] converge porque es una serie p con \(p=2>1\).
Por comparación asintótica, la serie dada converge.

Resultado. La serie converge.

10. Ejercicios para practicar

Estos ejercicios están pensados para trabajar el tema por capas. Si los básicos fallan, no conviene pasar a los de examen todavía.

Básicos

  1. Calcula \(\lim_{n\to\infty} (2n+1)/(n+4)\)
  2. Calcula \(\lim_{n\to\infty} (5n^2-1)/(n^2+3n)\)
  3. Estudia \(a_n=1/n^2\)
  4. Estudia \(a_n=(-1)^n\)
  5. Calcula el término 10 de \(a_1=7\), \(d=3\)
  6. Calcula la suma de los 20 primeros términos de \(2,5,8,\ldots\)

Intermedios

  1. Calcula \(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+6n}-n)\)
  2. Calcula \(\lim_{n\to\infty}(1+2/n)^n\)
  3. Calcula \(\sum_{n=0}^{\infty} 10(1/2)^n\)
  4. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^3\)
  5. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/\sqrt{n}\)
  6. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} n/(n^2+1)\)

Tipo examen

  1. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/(n(n+2))\)
  2. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^n/n!\)
  3. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty} n!/5^n\)
  4. Determina para qué valores de \(x\) converge \(\sum x^n\)
  5. Calcula \(\sum_{n=3}^{\infty} 6(1/4)^n\)
  6. Una renta paga 900 euros el primer año y crece un 2 por ciento anual durante 8 años. Calcula la suma total sin descontar.

Para nota

  1. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}(3n^2+1)/(n^4+n)\)
  2. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)/(2n^2+3)\)
  3. Calcula el valor actual de una renta infinita de 1.500 euros que decrece un 8 por ciento anual y se descuenta al 4 por ciento.
  4. Razona por qué \(\sum 1/n\) diverge aunque \(1/n\to 0\)
  5. Corrige esta frase: “si el término general tiende a cero, la serie converge”
  6. Explica la diferencia entre \(a_n\), \(S_n\) y \(\sum a_n\)

11. Soluciones rápidas para corregir

Número Resultado Comentario breve
12Cociente de grados iguales
25Coeficientes líderes
3Converge a 0\(1/n^2\to 0\)
4No convergeOscila entre 1 y -1
534\(7+9\cdot 3\)
6610Último término 59, suma \(20(2+59)/2\)
73Racionalizando
8\(e^2\)Límite notable
920Geométrica infinita
10ConvergeSerie p con \(p=3\)
11DivergeSerie p con \(p=1/2\)
12DivergeComparable con \(1/n\)
13ConvergeTelescópica tras descomposición
14ConvergeCriterio del cociente
15DivergeCriterio del cociente
16\(-1<x<1\)Serie geométrica
17\(1/8\)Primer término \(6/4^3\), razón \(1/4\)
18\(900(1.02^8-1)/(0.02)\)Geométrica finita
19ConvergeComparable con \(1/n^2\)
20DivergeComparable con \(1/n\)
2112.500 eurosRazón efectiva \(0.92/1.04\)
22DivergeLa armónica diverge
23FalsaEs condición necesaria, no suficiente
24Respuesta conceptual\(a_n\) es término, \(S_n\) suma parcial, \(\sum a_n\) serie

12. Simulacro final de sucesiones y series

Tiempo recomendado: 55 minutos. No uses calculadora salvo en los apartados económicos. Escribe siempre qué criterio aplicas.

Enunciados

  1. Calcula \(\lim_{n\to\infty}(3n^2+2n)/(n^2-1)\)
  2. Calcula \(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+10n}-n)\)
  3. Estudia \(a_n=(-1)^n/(n+1)\)
  4. Calcula la suma de los 15 primeros términos de la progresión aritmética \(4,9,14,\ldots\)
  5. Calcula la suma infinita \(\sum_{n=0}^{\infty} 8(0.75)^n\)
  6. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{1.4}\)
  7. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}1/(n+3)\)
  8. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}4^n/n!\)
  9. Estudia \(\sum_{n=1}^{\infty}(n+5)/(n^2+1)\)
  10. Un proyecto genera 2.000 euros el primer año y después el 85 por ciento del año anterior. Si el descuento anual es del 5 por ciento, calcula el valor actual infinito.
Ejercicio Solución Criterio de corrección
1 3 1 punto si divide por \(n^2\) o usa coeficientes líderes
2 5 1 punto si racionaliza correctamente
3 Converge a 0 1 punto si justifica por encaje o valor absoluto
4 585 1 punto si identifica \(d=5\) y aplica suma aritmética
5 32 1 punto si aplica \(a/(1-r)\)
6 Converge 1 punto si reconoce serie p con \(p=1.4>1\)
7 Diverge 1 punto si la compara con armónica
8 Converge 1 punto si usa cociente y obtiene límite 0
9 Diverge 1 punto si compara con \(1/n\)
10 10.000 euros 1 punto si monta bien la geométrica descontada
En el ejercicio 10: \[ VA=\frac{2000}{1.05}\cdot \frac{1}{1-0.85/1.05}=10000 \]

13. Diagnóstico de errores frecuentes

Lo que ocurre Qué suele haber detrás Cómo corregirlo
El alumno confunde sucesión y serie No distingue \(a_n\), \(S_n\) y \(\sum a_n\) Antes de operar, escribir qué objeto se está estudiando
Dice que toda serie con \(a_n\to 0\) converge Confunde condición necesaria con condición suficiente Usar siempre el ejemplo de la armónica
Aplica geométrica donde no toca Ve potencias y se precipita Comprobar que el cociente entre términos sea constante
No racionaliza raíces No reconoce la indeterminación \(\infty-\infty\) Multiplicar por el conjugado y simplificar
Falla con porcentajes Suma porcentajes en vez de multiplicar factores Traducir 4 por ciento de crecimiento como \(1.04\)
Olvida el índice inicial Aplica la fórmula desde \(n=0\) sin mirar el enunciado Calcular el primer término real antes de sumar
El resultado económico no tiene sentido No revisa si está acumulando o descontando Hacer una comprobación verbal del resultado

14. Qué estudiar antes y después

Este recurso debe funcionar como la primera pieza del bloque de Análisis Matemático para ADE y Economía. No debe quedar aislado en el blog.

Antes de este recurso

Conviene tener claros números reales, potencias, raíces, fracciones algebraicas y límites básicos de Bachillerato. Si el alumno viene flojo de base, puede repasar otros recursos educativos de Marlu Educativa antes de entrar en series.

Después de este recurso

La continuación natural del clúster sería funciones de una variable, límites y continuidad, topología básica en \(\mathbb{R}^n\), derivadas parciales y optimización.

Recurso recomendado: Funciones de una variable e integración básica para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Recurso recomendado: Límites y continuidad de varias variables para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Recurso recomendado: Derivadas parciales y diferenciabilidad para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress

Enlaces internos confirmados que debe llevar este recurso

Si el alumno necesita apoyo completo en la asignatura, el enlace principal debe ir a Matemáticas universitarias online. Es la página que recoge la intención de estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios.

Para reforzar la arquitectura nacional, este recurso también debe enlazar a la página madre del clúster de clases particulares online. Así el recurso no queda solo como artículo informativo, sino como entrada al sistema de clases online de Marlu.

Para alumnos universitarios con horarios partidos o mañanas disponibles, conviene enlazar de forma natural a clases online por la mañana. No como venta agresiva, sino como opción práctica cuando necesitan continuidad y calma.

Más adelante, cuando el alumno llegue a varias variables, este recurso puede enlazar hacia piezas ya confirmadas como Formas cuadráticas para ADE y Economía y Matriz Hessiana en varias variables.

Página madre específica recomendada. Análisis Matemático para ADE y Economía pendiente de comprobar en WordPress. Cuando exista, este recurso debe enlazar hacia ella y esa página madre debe devolver enlace a este recurso.

¿Necesitas preparar Análisis Matemático con orden?

Si estás en ADE, Economía o un primer curso universitario y sucesiones, series, límites o derivadas se te están haciendo una bola, lo normal no es hacer más ejercicios sin criterio. Lo importante es ordenar el tema, detectar el fallo y practicar con corrección.

En Marlu Educativa damos clase online de Matemáticas universitarias con explicación paso a paso, pizarra digital compartida y trabajo real sobre ejercicios de examen.

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Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material elaborado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios que necesitan preparar Cálculo, Análisis Matemático o métodos cuantitativos con explicación clara, ejercicios resueltos y corrección paso a paso.

15. Preguntas frecuentes sobre sucesiones y series para ADE y Economía

¿Qué diferencia hay entre una sucesión y una serie?

Una sucesión es una lista de términos, como \(a_n\). Una serie es la suma de esos términos, como \(\sum a_n\). La diferencia es básica porque una cosa es estudiar el comportamiento del término general y otra decidir si una suma infinita converge.

¿Si el término general tiende a cero, la serie converge?

No necesariamente. Que \(a_n\to 0\) es necesario para que una serie pueda converger, pero no es suficiente. La serie armónica \(\sum 1/n\) diverge aunque \(1/n\to 0\).

¿Qué series suelen aparecer en ADE y Economía?

Son frecuentes las series geométricas, las progresiones aritméticas, las progresiones geométricas, las sumas de rentas, los ejercicios de descuento y los problemas donde hay que decidir convergencia mediante criterios básicos.

¿Por qué las progresiones geométricas son importantes en Economía?

Porque muchos fenómenos económicos se expresan mediante porcentajes. Un interés del 3 por ciento, una caída del 10 por ciento o un crecimiento del 5 por ciento se modelizan multiplicando por factores como \(1.03\), \(0.90\) o \(1.05\).

¿Cómo sé qué criterio de convergencia tengo que usar?

Primero mira si el término general tiende a cero. Después reconoce la forma. Si aparece \(r^n\), piensa en geométrica. Si aparece \(1/n^p\), piensa en serie p. Si hay factoriales o potencias, suele funcionar el criterio del cociente. Si se parece a una serie conocida, usa comparación.

¿Este tema sirve para optimización y Hessiana?

Sirve como base de Análisis Matemático. Las sucesiones y series no son la Hessiana, pero ayudan a ordenar límites, convergencia y razonamiento matemático. Después vienen funciones, derivadas parciales, formas cuadráticas, matriz Hessiana y optimización.

¿Marlu Educativa da clases online de Análisis Matemático para ADE y Economía?

Sí. Marlu Educativa trabaja Matemáticas universitarias online para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios, con explicación paso a paso y ejercicios adaptados al nivel del alumno.

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