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Límites y continuidad de varias variables: ejercicios resueltos para ADE y Economía
Límites y continuidad de varias variables: cómo estudiarlos paso a paso
Los límites de varias variables suelen ser uno de los primeros golpes serios en Análisis Matemático universitario. El alumno viene de Bachillerato acostumbrado a límites de una variable, por la izquierda y por la derecha, y de pronto aparece una función \(f(x,y)\) donde podemos acercarnos al punto por infinitos caminos. Ahí es donde se lía la madeja.
En este recurso vamos a trabajar límites y continuidad de funciones de varias variables desde cero, pero con nivel universitario: caminos, rectas, parábolas, coordenadas polares, acotación, continuidad, discontinuidades y ejercicios tipo examen para ADE, Economía, Empresa e Ingeniería. No se trata de memorizar cuatro trucos. Se trata de saber qué estás comprobando.
Este bloque pertenece a Análisis Matemático y conecta directamente con topología en \( \mathbb{R}^n \), derivadas parciales, diferenciabilidad, matriz Hessiana y optimización. No vamos a convertirlo en un recurso de derivadas parciales ni de Hessiana. Aquí toca dominar una pregunta muy concreta: cuándo existe un límite de varias variables y cuándo una función es continua.
Si este tema se estudia sin orden, parece mucho más difícil
En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias con explicación paso a paso, pizarra compartida y corrección real de errores. Si estás preparando Análisis Matemático, puedes consultar nuestras Matemáticas universitarias online clases online de Matemáticas solicitar información
La idea clave de un límite de varias variables
En una función de una variable, \(f(x)\), para estudiar el límite cuando \(x\) tiende a un número, nos acercamos por dos lados: izquierda y derecha. Si los dos límites laterales coinciden, el límite existe.
En una función de dos variables, \(f(x,y)\), la cosa cambia. Si queremos estudiar el límite cuando \((x,y)\) tiende a \((a,b)\), podemos acercarnos por rectas, parábolas, curvas, espirales o cualquier camino que llegue al punto.
Para que el límite exista, debe dar el mismo resultado por todos los caminos posibles. Y esto es lo que hace que el tema tenga su dificultad. No basta con probar un camino y quedarse tranquilo. Un camino solo puede servir para sospechar; dos caminos con distinto resultado sirven para demostrar que el límite no existe.
La frase que conviene recordar
Para demostrar que un límite no existe, basta encontrar dos caminos que den resultados distintos. Para demostrar que existe, no basta probar muchos caminos: hay que usar un argumento general, normalmente coordenadas polares, acotación o una transformación adecuada.
Qué entra aquí y qué no vamos a mezclar
En este recurso nos centramos en límites y continuidad de funciones de varias variables. Trabajaremos funciones racionales, expresiones con \(x\) e \(y\), límites en \((0,0)\), límites en puntos distintos del origen, caminos, coordenadas polares, continuidad y discontinuidades.
No vamos a desarrollar aquí derivadas parciales, diferenciabilidad, matriz Hessiana ni optimización, aunque aparecen como continuación natural del tema. Sin mezclar churras con merinas: si el límite y la continuidad no están claros, luego la diferenciabilidad se vuelve mucho más confusa.
Sí entra en este recurso
Límites de \(f(x,y)\), caminos, rectas, parábolas, coordenadas polares, acotación, continuidad, discontinuidades y ejercicios tipo examen.
No lo convertimos en esto
Un recurso completo de derivadas parciales, matriz Hessiana, optimización o topología avanzada. Esos bloques deben tener su propio sitio dentro de la ruta universitaria.
Diferencia entre límites de una variable y límites de varias variables
Esta diferencia es clave. En una variable tenemos una línea. En dos variables tenemos un plano. Y en el plano hay infinitas maneras de acercarse a un punto.
| Aspecto | Una variable | Varias variables |
|---|---|---|
| Función | \(f(x)\) | \(f(x,y)\) o \(f(x_1,\ldots,x_n)\) |
| Punto de llegada | \(x\to a\) | \((x,y)\to(a,b)\) |
| Caminos | Izquierda y derecha | Infinitos caminos |
| Para que exista | Coinciden límites laterales | Coincide el valor por cualquier camino |
| Para demostrar que no existe | Laterales distintos | Dos caminos con resultados distintos |
Aquí muchos alumnos cometen un error muy comprensible: prueban \(y=0\), luego \(x=0\), les sale lo mismo y concluyen que el límite existe. No. Eso solo indica que por esos dos caminos concretos no hemos encontrado contradicción.
Teoría desde cero
Límite de una función de dos variables
Decimos que:
si los valores de \(f(x,y)\) se acercan a \(L\) cuando el punto \((x,y)\) se acerca a \((a,b)\), independientemente del camino seguido.
En lenguaje más de clase: nos acercamos al punto por donde queramos, y la función debe tender siempre al mismo número.
Continuidad en un punto
Una función \(f(x,y)\) es continua en \((a,b)\) si se cumplen tres cosas:
Si falla una de las tres, la función no es continua en ese punto.
No confundas que exista el valor de la función con que exista el límite. Una función puede estar definida en un punto y no ser continua allí. También puede tener límite, pero no estar definida en el punto.
Métodos para estudiar límites de varias variables
No todos los límites se resuelven igual. La clave es elegir bien el método. Si intentas hacer todos los ejercicios con rectas, algunos se te escaparán. Si usas polares sin mirar antes la estructura, puedes complicarte de más.
| Método | Para qué sirve | Qué demuestra |
|---|---|---|
| Caminos simples | Probar \(y=0\), \(x=0\), \(y=mx\) | Puede demostrar que el límite no existe si da valores distintos |
| Parábolas u otros caminos | Detectar límites que las rectas no distinguen | También sirve para demostrar que no existe |
| Coordenadas polares | Estudiar límites en \((0,0)\) | Puede demostrar existencia si desaparece la dependencia angular |
| Acotación | Usar desigualdades y el teorema del sandwich | Puede demostrar que el límite existe |
| Continuidad directa | Funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas o racionales sin problema de dominio | Permite sustituir directamente |
Método de caminos
El método de caminos consiste en acercarse al punto por distintas curvas y comparar los resultados. Si dos caminos dan límites distintos, el límite no existe.
Caminos habituales
Eje \(x\)
Tomamos \(y=0\). Es rápido y suele detectar problemas sencillos.
Eje \(y\)
Tomamos \(x=0\). Conviene probarlo casi siempre en límites en el origen.
Rectas
Tomamos \(y=mx\). Si el resultado depende de \(m\), el límite no existe.
Parábolas
Tomamos \(y=kx^2\) o \(x=ky^2\). A veces las rectas no detectan el fallo.
Ojo: si varios caminos dan el mismo resultado, no has demostrado que el límite exista. Solo has comprobado que por esos caminos no se contradice. Para demostrar existencia hace falta un argumento más fuerte.
Coordenadas polares en límites de varias variables
Las coordenadas polares son una herramienta muy útil cuando el límite se estudia en \((0,0)\). La idea es escribir:
Cuando \((x,y)\to(0,0)\), entonces \(r\to0\). Lo importante es ver si la expresión final depende de \(\theta\) o no.
| Lo que ocurre en polares | Conclusión habitual |
|---|---|
| La expresión queda como \(r\cdot g(\theta)\) y \(g(\theta)\) está acotada | El límite suele ser 0 |
| La expresión queda dependiendo solo de \(\theta\) | El límite normalmente no existe |
| Aparecen potencias negativas de \(r\) | Puede divergir o no existir |
En examen, las polares no son para ponerlas porque sí. Se usan cuando la forma de la función sugiere \(x^2+y^2\), potencias homogéneas o expresiones con el origen como punto problemático.
Método de acotación
El método de acotación se usa para demostrar que un límite existe, sobre todo cuando queremos probar que vale 0. La idea es encerrar la función entre dos expresiones que tienden al mismo número.
Si:
entonces:
Este método parece más abstracto al principio, pero es muy potente. En muchas funciones con productos como \(xy\), \(x^2y\), \(xy^2\), aparece de forma natural.
Continuidad de funciones de varias variables
Una vez entendido el límite, la continuidad se vuelve mucho más ordenada. No hay que inventar nada: comprobar valor de la función, existencia del límite e igualdad entre ambos.
Funciones continuas habituales
| Tipo de función | Continuidad | Precaución |
|---|---|---|
| Polinómicas | Continuas en todo \(\mathbb{R}^n\) | Se puede sustituir directamente |
| Racionales | Continuas donde el denominador no se anula | Revisar puntos problemáticos |
| Raíces | Continuas donde el radicando tenga sentido | Dominio |
| Logaritmos | Continuos donde el argumento sea positivo | Argumento mayor que 0 |
| Exponenciales y trigonométricas | Continuas donde estén definidas | Composición bien definida |
En muchas funciones, la continuidad se resuelve por composición de funciones continuas. El problema aparece cuando hay denominadores que se anulan, logaritmos con argumento dudoso o definiciones a trozos.
Procedimiento paso a paso
Qué hago primero
Identifico el punto al que tiende \((x,y)\). Si no hay problema de dominio y la función es continua, sustituyo directamente.
Qué hago después
Si al sustituir aparece una indeterminación, pruebo caminos sencillos: \(y=0\), \(x=0\), \(y=x\), \(y=mx\). No para demostrar existencia, sino para detectar si no existe.
Qué compruebo
Si los caminos dan resultados distintos, el límite no existe. Si dan lo mismo, no canto victoria. Busco un método general: polares, acotación, desigualdades o transformación.
Dónde suele fallar el alumno
En concluir demasiado pronto. Dos caminos iguales no demuestran existencia. Esta frase conviene tenerla grabada.
Cómo reviso el resultado
Si he demostrado que existe, reviso si el argumento cubre todos los caminos. Si estudio continuidad, comparo el límite con el valor real de la función en el punto.
Errores frecuentes
1. Probar dos caminos y concluir existencia
Si ambos dan lo mismo, no basta. Para existencia hace falta un argumento general.
2. No mirar el dominio
Antes de hablar de continuidad, hay que saber dónde está definida la función.
3. Usar polares sin sentido
Las polares ayudan mucho en el origen, pero no son una fórmula mágica para todos los límites.
4. Olvidar las parábolas
Hay límites que por rectas parecen existir, pero una parábola detecta que no existen.
5. Confundir límite con valor de la función
La continuidad exige que ambos coincidan, pero son cosas distintas.
6. Escribir conclusiones pobres
En examen no basta con operar. Hay que decir claramente si existe, no existe o si la función es continua.
Ejercicios resueltos básicos
Ejercicio 1
Calcula:
La función es polinómica, luego es continua en todo \(\mathbb{R}^2\). Podemos sustituir directamente:
Resultado:
Ejercicio 2
Calcula:
Es una función polinómica. Sustituimos:
Resultado:
Ejercicio 3
Estudia:
Probamos el camino \(y=0\):
Cuando \(x\to0\), \(\frac{1}{x}\) no tiene límite finito. Por tanto, el límite no existe.
Ejercicio 4
Estudia:
Camino \(y=0\):
Camino \(y=x\):
Como por dos caminos se obtienen resultados distintos, el límite no existe.
Ejercicios resueltos intermedios
Ejercicio 5
Estudia:
Vamos a intentar demostrar que el límite vale 0. Usamos la desigualdad:
Como:
entonces:
Y como \(|y|\to0\) cuando \((x,y)\to(0,0)\), por acotación:
Este es un ejercicio muy bueno para entender que no todo se decide con caminos. Aquí necesitamos un argumento que cubra todos los caminos.
Ejercicio 6
Estudia:
Camino \(y=0\):
Camino \(x=0\):
Como los resultados son distintos, el límite no existe.
Ejercicio 7
Estudia con coordenadas polares:
Usamos:
Sustituimos:
Como \(\cos^2\theta\sin^2\theta\) está acotado y \(r^2\to0\), el límite vale:
Ejercicio 8
Estudia:
Probamos primero rectas. Si \(y=mx\):
Si \(x\to0\), esto tiende a 0 para \(m\neq0\). Pero no basta. Probamos el camino parabólico \(y=x^2\):
Por rectas parecía que podía valer 0, pero por la parábola \(y=x^2\) vale \(\frac{1}{2}\). Por tanto, el límite no existe.
Este ejercicio es de los que separan un estudio superficial de uno serio. Las rectas no siempre bastan.
Ejercicios tipo examen
Ejercicio 9
Estudia la continuidad en \((0,0)\) de la función:
Para estudiar continuidad en \((0,0)\), necesitamos comprobar:
Ya hemos visto una expresión similar. Acotamos:
Como \(|y|\to0\), el límite vale 0.
Además:
Como el límite coincide con el valor de la función, \(f\) es continua en \((0,0)\).
Ejercicio 10
Estudia la continuidad en \((0,0)\) de:
Estudiamos el límite. Por el camino \(y=0\):
Por el camino \(y=x\):
Como los límites por dos caminos son distintos, el límite no existe.
Por tanto, la función no es continua en \((0,0)\), aunque esté definida allí.
Ejercicio 11
Calcula:
Usamos coordenadas polares:
Sustituimos:
Como \(\cos^3\theta+\sin^3\theta\) está acotado y \(r\to0\), el límite es:
Ejercicio 12
Estudia:
Aquí conviene racionalizar. Multiplicamos por el conjugado:
En el denominador queda:
Entonces:
Al tender \((x,y)\to(0,0)\):
Resultado:
Ejercicios para practicar
Nivel básico
- \(\lim_{(x,y)\to(1,1)}(x+y)\)
- \(\lim_{(x,y)\to(2,-1)}(x^2+y^2)\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(4x-3y)\)
- \(\lim_{(x,y)\to(1,2)}(x^2+xy)\)
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=x^2+y^2\)
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y}{x^2+y^2}\)
Nivel intermedio
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\)
Tipo examen
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\) si \(f(0,0)=0\)
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\) si \(f(0,0)=0\)
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}\)
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3y}{x^2+y^2}\)
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}-1}\)
- Estudia la continuidad de una función definida a trozos con valor especial en \((0,0)\)
Para nota
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-3xy^2}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
- \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^4}\)
Soluciones para corregir
| Número | Resultado | Comentario breve |
|---|---|---|
| 1 | 2 | Sustitución directa |
| 2 | 5 | Función polinómica |
| 3 | 0 | Lineal continua |
| 4 | 5 | Sustituir \((1,2)\) |
| 5 | Continua en todo \(\mathbb{R}^2\) | Polinómica |
| 6 | Continua salvo en \((0,0)\) | Denominador no puede ser cero |
| 7 | No existe | Por \(y=0\) diverge |
| 8 | No existe | Por \(x=0\) diverge |
| 9 | No existe | Comparar \(y=0\) e \(y=x\) |
| 10 | No existe | Comparar ejes |
| 11 | 0 | Acotación |
| 12 | 0 | Acotación |
| 13 | 0 | Polares o acotación |
| 14 | 0 | Polares |
| 15 | No existe | Usar camino \(y=x^2\) |
| 16 | 0 | Reducir con polares |
| 17 | Continua en \((0,0)\) | El límite vale 0 |
| 18 | No continua en \((0,0)\) | El límite no existe |
| 19 | Depende del camino | Probar \(y=x\) |
| 20 | 0 | Acotación |
| 21 | 2 | Racionalizar |
| 22 | Depende de la función | Comprobar las tres condiciones |
| 23 | No existe | Parábola \(y=x^2\) |
| 24 | Depende del camino | Homogénea de grado 4 sobre grado 4 |
| 25 | 0 | Polares, aparece factor \(r\) |
| 26 | 1 | Usar \(\sin u/u\) |
| 27 | 0 | Usar \(1-\cos u\) |
| 28 | 0 | Acotar \(|\sin y|\leq |y|\) |
| 29 | 0 | Acotación con \(r\) |
| 30 | 0 | Acotar con cuidado |
Simulacro final de límites y continuidad de varias variables
Tiempo recomendado: 75 minutos.
Instrucciones: en cada ejercicio indica si usas sustitución directa, caminos, polares, acotación o continuidad. No basta con poner el resultado. Hay que justificar por qué el límite existe o no existe.
- Calcula \(\lim_{(x,y)\to(1,2)}(x^2+2xy-y)\).
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\).
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\).
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\).
- Calcula \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\).
- Estudia \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\).
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\), con \(f(0,0)=0\).
- Estudia la continuidad de \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), con \(f(0,0)=0\).
- Calcula \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\).
- Explica por qué probar solo \(x=0\) e \(y=0\) no demuestra que un límite exista.
Criterio de corrección
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Identificación del tipo de límite | 2 puntos | Saber si procede sustitución, caminos, polares o acotación |
| Cálculo correcto | 2 puntos | Operaciones limpias y sin saltos injustificados |
| Justificación de existencia o no existencia | 3 puntos | Distinguir entre probar caminos y demostrar existencia |
| Continuidad | 2 puntos | Comprobar límite, valor de la función e igualdad |
| Presentación y conclusión | 1 punto | Resultado claro, bien escrito y revisado |
Diagnóstico de errores: qué está pasando cuando el tema no sale
| Lo que ocurre | Qué suele haber detrás | Cómo corregirlo |
|---|---|---|
| El alumno dice que el límite existe tras probar dos caminos | No distingue comprobación parcial de demostración general | Usar caminos solo para detectar no existencia; para existencia, polares o acotación |
| Los límites por rectas dan lo mismo, pero el ejercicio falla | No prueba caminos no lineales | Ensayar parábolas como \(y=x^2\) cuando la estructura lo sugiera |
| Se bloquea con polares | No identifica \(x^2+y^2=r^2\) | Practicar primero sustituciones básicas con \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\) |
| No sabe justificar continuidad | Confunde límite y valor de la función | Aplicar siempre las tres condiciones de continuidad |
| Opera bien pero pierde puntos | Conclusión incompleta | Terminar con una frase clara: existe, no existe, es continua o no es continua |
| Hace muchos ejercicios y no mejora | Repite el mismo error de criterio | Corregir el método antes de seguir acumulando ejercicios |
Qué estudiar antes y después de límites y continuidad de varias variables
Este recurso forma parte de la ruta universitaria de Matemáticas de Marlu Educativa. En Análisis Matemático no conviene estudiar los temas como piezas sueltas. Los límites de varias variables se entienden mejor si antes se ha trabajado topología básica en \( \mathbb{R}^n \), y después sirven de base para derivadas parciales, diferenciabilidad, Hessiana y optimización.
Matemáticas universitarias online
Página principal para estudiantes de ADE, Economía, Empresa, Ingeniería y primeros cursos universitarios que necesitan apoyo en Cálculo, Álgebra, Análisis y métodos cuantitativos.
Clases online de Matemáticas
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Clases online por la mañana
Una opción interesante para universitarios con horario flexible, preparación intensiva, recuperaciones o asignaturas que necesitan continuidad.
Matriz Hessiana en varias variables
Recurso conectado con derivadas de segundo orden, máximos, mínimos, puntos de silla y optimización económica. Es una continuación natural después de dominar límites y continuidad.
Recursos educativos de Marlu Educativa
Biblioteca de materiales, ejercicios y explicaciones para ESO, Bachillerato, PAU y universidad.
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Para consultar disponibilidad, modalidad de clase o el tipo de apoyo más adecuado según asignatura, nivel y fecha de examen.
Ruta recomendada dentro del clúster universitario
Sucesiones y series → Topología en \( \mathbb{R}^n \) → Límites y continuidad de varias variables → Derivadas parciales y diferenciabilidad → Matriz Hessiana → Optimización en varias variables → Matemáticas universitarias online.
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Si estás en ADE, Economía, Empresa, Ingeniería o un primer curso universitario y te cuestan los límites de varias variables, la continuidad, las derivadas parciales o la optimización, podemos ayudarte a ordenar la asignatura y preparar ejercicios reales paso a paso.
Preguntas frecuentes sobre límites y continuidad de varias variables
¿Qué diferencia hay entre un límite de una variable y uno de varias variables?
En una variable nos acercamos por la izquierda y por la derecha. En varias variables podemos acercarnos por infinitos caminos, por eso el criterio es más exigente.
¿Basta con probar \(x=0\) e \(y=0\)?
No. Si dan resultados distintos, el límite no existe. Pero si dan el mismo resultado, no basta para demostrar que existe.
¿Cuándo se usan coordenadas polares?
Se usan sobre todo en límites en \((0,0)\), especialmente cuando aparece \(x^2+y^2\) o una estructura radial.
¿Qué significa que una función sea continua en \((a,b)\)?
Significa que la función está definida en el punto, que existe el límite al acercarse al punto y que ese límite coincide con el valor de la función.
¿Qué método demuestra que un límite existe?
Normalmente se necesita un método general, como coordenadas polares, acotación, desigualdades o continuidad directa. Los caminos suelen servir sobre todo para demostrar que no existe.
¿Este tema es importante para ADE y Economía?
Sí. Es un bloque base de Análisis Matemático y prepara el terreno para derivadas parciales, diferenciabilidad, matriz Hessiana y optimización de funciones económicas.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material elaborado para estudiantes de ADE, Economía, Empresa, Ingeniería y primeros cursos universitarios que necesitan entender límites y continuidad de varias variables con método, ejercicios resueltos y explicación paso a paso.