Blog
Derivadas parciales y diferenciabilidad: ejercicios resueltos para ADE y Economía
Derivadas parciales y diferenciabilidad en varias variables paso a paso
Nivel: ADE, Economía, grados de ciencias sociales, primeros cursos universitarios y asignaturas de Cálculo o Análisis Matemático.
En este recurso vas a aprender a calcular derivadas parciales, interpretar el gradiente, construir el plano tangente, usar la aproximación lineal y distinguir una función continua de una función diferenciable. Vamos por partes, porque aquí muchos alumnos se lían: saber derivar respecto de x y respecto de y no significa automáticamente que la función sea diferenciable.
Frontera del recurso: aquí no vamos a repetir desde cero todo el tema de límites de varias variables, ni vamos a convertir esto en un bloque de matriz Hessiana u optimización. Este tema es el puente natural entre límites/continuidad y el estudio posterior de Hessiana y extremos.
Si estás preparando Cálculo o Análisis en la universidad, este tema conviene trabajarlo con orden. No se gana tiempo saltándose pasos: primero se entiende qué mide cada derivada parcial, después se calcula, y al final se revisa si hay diferenciabilidad.
Índice del recurso
1. Teoría desde cero
Idea intuitiva
Una función de una variable, por ejemplo \(f(x)\), depende solo de una entrada. Pero en muchas asignaturas universitarias aparecen funciones de varias variables:
En ADE y Economía esto aparece constantemente. Una función de costes puede depender de dos productos. Una función de utilidad puede depender de dos bienes. Una función de producción puede depender de trabajo y capital. Cada variable influye en el resultado, pero no siempre de la misma manera.
La derivada parcial mide cómo cambia la función cuando movemos una variable y dejamos las demás quietas. Esta frase parece una tontería, pero cambia todo.
Derivada parcial respecto de x
La derivada parcial respecto de \(x\) se calcula tratando \(y\) como si fuera una constante:
Formalmente, si existe el límite:
Es decir, nos movemos horizontalmente, cambiando \(x\), pero dejando \(y=b\) fija.
Derivada parcial respecto de y
La derivada parcial respecto de \(y\) se calcula tratando \(x\) como constante:
Formalmente:
Aquí nos movemos verticalmente, cambiando \(y\), pero dejando \(x=a\) fija.
Gradiente
El gradiente agrupa las derivadas parciales de primer orden:
El gradiente indica la dirección de máximo crecimiento local de la función. En lenguaje más claro: desde un punto concreto, señala hacia dónde sube más rápido la superficie.
Diferencial y aproximación lineal
Si \(f\) es diferenciable en \((a,b)\), su diferencial es:
La aproximación lineal cerca de \((a,b)\) es:
Este bloque es muy útil en exámenes. Cuando el incremento es pequeño, podemos estimar el nuevo valor sin recalcular toda la función.
Plano tangente
Para una superficie \(z=f(x,y)\), si \(f\) es diferenciable en \((a,b)\), el plano tangente viene dado por:
La idea es sencilla: el plano tangente es la mejor aproximación lineal de la superficie cerca del punto.
Diferenciabilidad
Una función \(f(x,y)\) es diferenciable en \((a,b)\) si puede aproximarse bien por un plano en las cercanías del punto. La definición rigurosa dice que:
No hay que memorizarla sin entenderla. Lo que está diciendo es que el error cometido al usar el plano tangente debe ser pequeño comparado con la distancia al punto. Si el error no se hace despreciable, no hay diferenciabilidad.
2. Procedimiento paso a paso
Para no mezclar churras con merinas, conviene seguir siempre el mismo orden.
- Identifica qué pide el ejercicio. No es lo mismo calcular parciales que estudiar continuidad, diferenciabilidad, plano tangente o aproximación lineal.
- Determina el dominio si hay raíces, logaritmos o denominadores. Este detalle en examen suele costar puntos.
- Calcula \(f_x\) dejando \(y\) constante. No derives \(y\) como si dependiera de \(x\), salvo que el ejercicio sea de regla de la cadena.
- Calcula \(f_y\) dejando \(x\) constante. Cada cosa en su sitio.
- Evalúa en el punto si lo piden. Sustituir tarde o mal cambia todo el resultado.
- Si piden gradiente, agrupa las parciales. \(\nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b))\).
- Si piden plano tangente, usa la fórmula lineal. Primero calcula \(f(a,b)\), luego \(f_x(a,b)\), luego \(f_y(a,b)\).
- Si piden diferenciabilidad, no basta con escribir parciales. Usa continuidad de las parciales en un entorno o verifica la definición en casos raros.
- Revisa el sentido del resultado. Si el gradiente sale enorme o el plano tangente no pasa por el punto, algo falla.
3. Errores frecuentes
Confundir parcial con derivada total
Al calcular \(f_x\), la variable \(y\) se mantiene constante. Si el alumno deriva \(y\) como si fuera función de \(x\), el ejercicio se desordena desde el primer paso.
Olvidar el dominio
En funciones con logaritmos, raíces o denominadores, el dominio no es decoración. Antes de correr, hay que ordenar el tema.
Creer que parciales implica diferenciabilidad
Este es el error estrella. Pueden existir \(f_x(0,0)\) y \(f_y(0,0)\), y aun así la función no ser diferenciable.
Construir mal el plano tangente
El plano debe pasar por \((a,b,f(a,b))\). Si al sustituir \(x=a\), \(y=b\), no sale \(z=f(a,b)\), hay un error.
No distinguir continuidad y diferenciabilidad
Diferenciabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica diferenciabilidad. No basta con que la función llegue bien al punto.
Saltarse la interpretación
En ADE y Economía, una derivada parcial suele representar un coste marginal, una productividad marginal o una variación local. No basta con saber la fórmula.
4. Ejercicios resueltos paso a paso
Estos ejercicios están ordenados de menos a más. No hagas veinte ejercicios a ciegas. Hazlos entendiendo qué se está comprobando en cada uno.
Ejercicio 1. Derivadas parciales básicas
Enunciado. Calcula \(f_x\), \(f_y\) y el gradiente de \(f(x,y)=x^2y+3xy^2\) en \((1,2)\).
Derivamos respecto de \(x\), dejando \(y\) constante:
Derivamos respecto de \(y\), dejando \(x\) constante:
Evaluamos en \((1,2)\):
Resultado. \(\nabla f(1,2)=(16,13)\).
Ejercicio 2. Parciales con exponencial y logaritmo
Enunciado. Calcula las derivadas parciales de \(f(x,y)=e^{xy}+\ln(x+y)\).
Primero revisamos el dominio. Para que exista \(\ln(x+y)\), debe cumplirse:
Respecto de \(x\):
Respecto de \(y\):
Resultado. Las parciales son válidas en el dominio \(x+y>0\).
Ejercicio 3. Función con raíz y punto problemático
Enunciado. Estudia las derivadas parciales de \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).
Si \((x,y)\ne(0,0)\), derivamos normalmente:
En el origen no podemos usar esa fórmula porque el denominador sería cero. Calculamos por definición:
Ese límite no existe, porque por la derecha vale \(1\) y por la izquierda vale \(-1\).
Lo mismo ocurre con \(f_y(0,0)\).
Resultado. Hay parciales fuera del origen, pero no existen las parciales en \((0,0)\).
Ejercicio 4. Parciales existen, pero no hay diferenciabilidad
Enunciado. Sea
Estudia si tiene parciales en \((0,0)\) y si es diferenciable.
Primero calculamos \(f_x(0,0)\):
Ahora \(f_y(0,0)\):
Las parciales existen y valen cero. Pero para diferenciabilidad, como el candidato a diferencial es cero, debe cumplirse:
Tomamos la recta \(y=x\):
Si \(x>0\), esto tiende a \(\frac{1}{2\sqrt2}\), no a cero.
Resultado. Existen \(f_x(0,0)\) y \(f_y(0,0)\), pero \(f\) no es diferenciable en \((0,0)\).
Ejercicio 5. Plano tangente a una superficie sencilla
Enunciado. Halla el plano tangente a \(z=x^2+y^2\) en \((1,1)\).
Calculamos primero el valor de la función:
Derivadas parciales:
En el punto:
Plano tangente:
Simplificando:
Comprobación. Si \(x=1\), \(y=1\), sale \(z=2\), así que el plano pasa por el punto.
Ejercicio 6. Aproximación lineal
Enunciado. Usa la aproximación lineal de \(f(x,y)=\sqrt{4+x+2y}\) en \((0,0)\) para estimar \(f(0.1,-0.05)\).
Valor inicial:
Derivadas parciales:
En \((0,0)\):
Incrementos:
Aproximamos:
Resultado. La aproximación lineal da \(2\). De hecho, dentro de la raíz queda \(4+0.1-0.1=4\), luego el valor exacto también es \(2\).
Ejercicio 7. Derivada direccional
Enunciado. Calcula la derivada direccional de \(f(x,y)=x^2y+\sin y\) en \((2,0)\) en la dirección del vector \((3,4)\).
Primero calculamos el gradiente:
La dirección debe ser unitaria. El vector \((3,4)\) tiene módulo \(5\), por tanto:
Derivada direccional:
Resultado. La función aumenta a razón de \(4\) unidades por unidad de desplazamiento en esa dirección.
Ejercicio 8. Logaritmo con dos variables
Enunciado. Calcula las parciales de \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\) y evalúa en \((1,1)\).
Dominio:
Es decir, todo \(\mathbb{R}^2\) salvo \((0,0)\).
Derivadas parciales:
En \((1,1)\):
Resultado. \(\nabla f(1,1)=(1,1)\).
Ejercicio 9. Derivadas parciales mixtas
Enunciado. Para \(f(x,y)=x^3y^2+e^{xy}\), calcula \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\).
Primero:
Derivamos respecto de \(y\):
Ahora empezamos al revés:
Derivamos respecto de \(x\):
Resultado. \(f_{xy}=f_{yx}\). Aquí ocurre porque la función es suficientemente regular.
Ejercicio 10. Regla de la cadena con una variable
Enunciado. Sea \(z=x^2+y^2\), con \(x=t\), \(y=t^2\). Calcula \(dz/dt\).
Usamos regla de la cadena:
Como \(f_x=2x\), \(f_y=2y\), \(dx/dt=1\), \(dy/dt=2t\):
Sustituimos \(x=t\), \(y=t^2\):
Comprobación. Directamente \(z=t^2+t^4\), luego \(dz/dt=2t+4t^3\). Coincide.
Ejercicio 11. Cambio de variables con u y v
Enunciado. Sea \(f(x,y)=xy\), con \(x=u+v\), \(y=u-v\). Calcula \(\partial f/\partial u\) y \(\partial f/\partial v\).
Podemos sustituir primero:
Entonces:
Resultado. \(f_u=2u\), \(f_v=-2v\).
Ejercicio 12. Plano tangente con exponencial y coseno
Enunciado. Halla el plano tangente a \(f(x,y)=e^x\cos y\) en \((0,0)\).
Valor de la función:
Parciales:
En \((0,0)\):
Plano:
Resultado. \(z=1+x\).
Ejercicio 13. Función diferenciable con valor especial en el origen
Enunciado. Sea
Estudia la diferenciabilidad en \((0,0)\).
Las parciales en el origen son cero, porque sobre los ejes la función vale cero:
El candidato a diferencial es cero. Comprobamos:
Como \(x^2\le x^2+y^2\) y \(y^2\le x^2+y^2\), se tiene:
Por tanto:
Resultado. La función es diferenciable en \((0,0)\) y su diferencial allí es cero.
Ejercicio 14. Diferenciabilidad de |xy| en el origen
Enunciado. Estudia si \(f(x,y)=|xy|\) es diferenciable en \((0,0)\).
Sobre los ejes, \(f(h,0)=0\) y \(f(0,h)=0\), luego:
El diferencial candidato es cero. Revisamos el cociente:
Usamos \(2|xy|\le x^2+y^2\):
Resultado. \(f\) es diferenciable en \((0,0)\), aunque tenga valor absoluto.
Ejercicio 15. Interpretación económica de derivadas parciales
Enunciado. Una empresa tiene función de coste \(C(q_1,q_2)=100+2q_1^2+q_1q_2+3q_2^2\). Calcula los costes marginales en \((10,5)\).
Coste marginal respecto del primer producto:
Coste marginal respecto del segundo producto:
En \((10,5)\):
Interpretación. Cerca de ese nivel de producción, aumentar una unidad de \(q_1\) incrementa el coste aproximadamente en \(45\) unidades monetarias, y aumentar una unidad de \(q_2\) lo incrementa aproximadamente en \(40\).
Ejercicio 16. Utilidad Cobb-Douglas
Enunciado. Sea \(U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}\). Calcula el gradiente en \((4,9)\).
Derivadas parciales:
En \((4,9)\):
Resultado. \(\nabla U(4,9)=\left(\frac34,\frac13\right)\).
Ejercicio 17. Dominio y derivadas parciales
Enunciado. Estudia el dominio y calcula las parciales de \(f(x,y)=\ln(1-x^2-y^2)\).
Para que exista el logaritmo:
Luego:
El dominio es el interior del círculo de radio \(1\) centrado en el origen.
Derivadas parciales:
Resultado. Las parciales existen dentro del dominio \(x^2+y^2<1\).
Ejercicio 18. Diferencial total
Enunciado. Para \(f(x,y)=x^2\ln y\), estima el cambio de \(f\) en \((2,1)\) si \(dx=0.01\) y \(dy=0.02\).
Calculamos parciales:
En \((2,1)\):
Diferencial:
Resultado. El cambio aproximado de la función es \(0.08\).
Ejercicio 19. Dirección de máximo crecimiento
Enunciado. Sea \(f(x,y)=xe^y\). Calcula la dirección de máximo crecimiento en \((2,0)\).
El gradiente da la dirección de máximo crecimiento:
En \((2,0)\):
La dirección unitaria es:
Resultado. La dirección de máximo crecimiento es \(\left(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\right)\).
Ejercicio 20. Plano tangente con logaritmo
Enunciado. Halla el plano tangente a \(f(x,y)=\ln(x+2y)\) en \((2,1)\).
Valor:
Parciales:
En \((2,1)\):
Plano tangente:
Resultado. Ese es el plano tangente. No hace falta forzar más la simplificación.
Ejercicios potentes tipo examen
Tipo examen 1. Continuidad, parciales y no diferenciabilidad
Enunciado. Sea
Estudia continuidad, parciales y diferenciabilidad en el origen.
Continuidad. Acotamos:
Por tanto:
Así que \(f\) es continua en \((0,0)\).
Parciales:
Si fuera diferenciable, el diferencial sería \(h+k\). Probamos por la recta \(y=x\):
El error frente al plano lineal \(x+y=2x\) es:
Resultado. Es continua, tiene parciales en el origen, pero no es diferenciable.
Tipo examen 2. Parciales existen, pero no hay continuidad
Enunciado. Sea
Estudia las parciales y la continuidad en el origen.
Sobre el eje \(x\), \(f(h,0)=0\), luego:
Sobre el eje \(y\), \(f(0,h)=0\), luego:
Pero para continuidad tomamos la curva \(x=y^2\):
Al acercarnos al origen por esa curva, el valor tiende a \(1/2\), no a \(0\).
Resultado. Existen las parciales en el origen, pero la función no es continua. Por tanto, no es diferenciable.
Tipo examen 3. Plano tangente y estimación
Enunciado. Usa el plano tangente de \(f(x,y)=\ln(x+2y)\) en \((2,1)\) para estimar \(f(2.02,0.99)\).
Ya sabemos:
Incrementos:
Aproximación:
Resultado. La aproximación lineal da \(\ln4\). En este caso, dentro del logaritmo queda \(2.02+1.98=4\), luego coincide exactamente.
Tipo examen 4. Regla de la cadena completa
Enunciado. Sea \(z=e^{uv}\), donde \(u=x^2-y\), \(v=xy\). Calcula \(z_x\) y \(z_y\) en \((1,2)\).
Primero:
Derivadas de \(u\) y \(v\):
Regla de la cadena:
En \((1,2)\):
Entonces:
Resultado. \(z_x(1,2)=2e^{-2}\), \(z_y(1,2)=-3e^{-2}\).
Tipo examen 5. Diferenciabilidad por continuidad de las parciales
Enunciado. Justifica que \(f(x,y)=x^2y+y^3\sin x\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}^2\).
Calculamos parciales:
Estas funciones son combinaciones de polinomios, seno y coseno. Son continuas en todo \(\mathbb{R}^2\).
Por el criterio práctico, si las parciales existen en un entorno y son continuas, entonces la función es diferenciable.
Resultado. \(f\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}^2\).
Observación: desde aquí se podría estudiar segunda derivada y Hessiana, pero eso pertenece a otro bloque. Primero orden, luego velocidad.
5. Ejercicios para practicar
Hazlos por niveles. La idea no es terminar rápido, sino detectar dónde se rompe el razonamiento.
Básicos
- Calcula \(f_x\) y \(f_y\) para \(f(x,y)=3x^2y-5xy^3\).
- Calcula el gradiente de \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\) en \((1,-1)\).
- Halla las parciales de \(f(x,y)=e^x+y^2\).
- Calcula \(f_x\) y \(f_y\) para \(f(x,y)=\ln(xy)\), indicando el dominio.
- Calcula el diferencial de \(f(x,y)=x^2y\) en \((2,3)\).
Intermedios
- Halla el plano tangente a \(z=x^2+3y^2\) en \((1,2)\).
- Usa aproximación lineal para estimar \(\sqrt{9+2x-y}\) en \((0.1,0.2)\) tomando como base \((0,0)\).
- Calcula la derivada direccional de \(f(x,y)=x^2+y^2\) en \((1,2)\) en la dirección \((1,1)\).
- Calcula \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\) para \(f(x,y)=x^2e^y+y^3\).
- Sea \(z=x^2+y^2\), con \(x=u+v\), \(y=u-v\). Calcula \(z_u\) y \(z_v\).
Tipo examen
- Estudia continuidad y diferenciabilidad en el origen de \(f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\), con \(f(0,0)=0\).
- Estudia si \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) es diferenciable en el origen.
- Sea \(f(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\). Halla el gradiente y el plano tangente en \((0,0)\).
- Sea \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\). Calcula gradiente y derivadas parciales de segundo orden.
- Sea \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), con \(f(0,0)=0\). Estudia continuidad en el origen.
Para nota
- Encuentra una función que tenga parciales en el origen, pero no sea continua en el origen.
- Encuentra una función continua en el origen con parciales en el origen, pero no diferenciable.
- Demuestra que \(f(x,y)=x^2\sin y+y^2\cos x\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}^2\).
- Calcula el plano tangente a \(f(x,y)=e^{x-y}\) en \((0,0)\).
- Interpreta económicamente las parciales de \(P(K,L)=K^{0.4}L^{0.6}\).
6. Soluciones rápidas para corregir
| Ejercicio | Resultado | Comentario breve |
|---|---|---|
| 1 | \(f_x=6xy-5y^3\), \(f_y=3x^2-15xy^2\) | Trata la otra variable como constante. |
| 2 | \(\nabla f(1,-1)=(1,-1)\) | Primero calcula \((2x+y,x+2y)\). |
| 3 | \(f_x=e^x\), \(f_y=2y\) | Ejercicio directo. |
| 4 | \(f_x=1/x\), \(f_y=1/y\), dominio \(xy>0\) | El logaritmo exige argumento positivo. |
| 5 | \(df=12dx+4dy\) | En \((2,3)\), \(f_x=12\), \(f_y=4\). |
| 6 | \(z=13+2(x-1)+12(y-2)\) | También puede escribirse \(z=2x+12y-13\). |
| 7 | Aproximación \(3\) | En la base \(f(0,0)=3\) y los incrementos se compensan. |
| 8 | \(D_u f(1,2)=3\sqrt2\) | Normaliza \((1,1)\). |
| 9 | \(f_{xy}=f_{yx}=2xe^y\) | Las mixtas coinciden. |
| 10 | \(z_u=4u\), \(z_v=4v\) | Sustituir primero simplifica. |
| 11 | Diferenciable en el origen | El cociente frente a la distancia tiende a cero. |
| 12 | No diferenciable en el origen | No existen parciales en el origen. |
| 13 | Plano \(z=0\) | En el origen, función y gradiente valen cero. |
| 14 | Gradiente \((3x^2-3y,3y^2-3x)\) | Las segundas enlazan con Hessiana. |
| 15 | No continua en el origen | Por \(y=x\) tiende a \(1/2\). |
7. Simulacro final
Tiempo recomendado: 60 minutos.
Instrucciones: resuelve con orden, indicando dominio cuando sea necesario, justificando diferenciabilidad si se pide y revisando el resultado final. No basta con poner fórmulas sueltas.
- Calcula \(f_x\) y \(f_y\) para \(f(x,y)=x^3y+xy^2\).
- Halla el gradiente de \(f(x,y)=e^{x+y}\) en \((0,0)\).
- Calcula el plano tangente a \(z=x^2-y^2\) en \((1,1)\).
- Usa aproximación lineal para estimar \(\ln(x+2y)\) cerca de \((2,1)\) en \((2.01,0.98)\).
- Calcula la derivada direccional de \(f(x,y)=xy\) en \((2,3)\) en dirección \((1,-1)\).
- Determina el dominio de \(f(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}\).
- Estudia si \(f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\), con \(f(0,0)=0\), es diferenciable en el origen.
- Calcula \(f_{xy}\) para \(f(x,y)=x^2\sin y\).
- Aplica regla de la cadena a \(z=x^2+y^2\), con \(x=t^2\), \(y=e^t\).
- Interpreta \(C_x(5,10)=12\) si \(C(x,y)\) es una función de costes.
Criterio de corrección
| Bloque | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Cálculo de parciales | 3 puntos | Derivar bien respecto de cada variable, sin confundir constantes. |
| Plano, gradiente y dirección | 2 puntos | Usar la fórmula correcta y evaluar en el punto. |
| Diferenciabilidad | 2 puntos | No confundir existencia de parciales con diferenciabilidad. |
| Regla de la cadena | 1 punto | Aplicar dependencias correctamente. |
| Presentación y revisión | 2 puntos | Orden, dominio, interpretación y comprobación final. |
Soluciones del simulacro
- \(f_x=3x^2y+y^2\), \(f_y=x^3+2xy\).
- \(\nabla f(0,0)=(1,1)\).
- \(z=0+2(x-1)-2(y-1)=2x-2y\).
- \(\ln4+\frac14(0.01)+\frac12(-0.02)=\ln4-0.0075\).
- \(\nabla f(2,3)=(3,2)\), dirección unitaria \(\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)\), resultado \(\frac1{\sqrt2}\).
- Dominio \(x^2+y^2\le4\).
- Sí, es diferenciable en el origen.
- \(f_x=2x\sin y\), luego \(f_{xy}=2x\cos y\).
- \(dz/dt=2x\cdot2t+2y\cdot e^t=4t^3+2e^{2t}\).
- Aumentar ligeramente \(x\), manteniendo \(y\) fijo, incrementa el coste aproximadamente en 12 unidades monetarias por unidad de \(x\).
8. Diagnóstico de errores
Lo que ocurre: el alumno calcula \(f_x\) y \(f_y\), y concluye directamente que la función es diferenciable.
Qué suele haber detrás: confunde condición necesaria con condición suficiente.
Cómo corregirlo: recordar que si las parciales son continuas en un entorno, entonces sí hay diferenciabilidad; si el punto es raro, hay que comprobar con la definición.
Lo que ocurre: se equivoca al derivar \(e^{xy}\), \(\ln(x+y)\) o raíces.
Qué suele haber detrás: falta de control de la regla de la cadena en una variable.
Cómo corregirlo: derivar despacio y señalar qué variable se trata como constante en cada parcial.
Lo que ocurre: no sabe qué hacer con funciones definidas a trozos en el origen.
Qué suele haber detrás: intenta aplicar fórmulas donde el denominador se anula.
Cómo corregirlo: en el punto especial se usan definiciones, caminos, acotaciones o el cociente de diferenciabilidad.
Lo que ocurre: el plano tangente sale mal aunque las parciales estén bien.
Qué suele haber detrás: el alumno olvida \(f(a,b)\) o cambia \((x-a)\) por \((x+a)\).
Cómo corregirlo: comprobar siempre que el plano pasa por \((a,b,f(a,b))\).
9. Qué estudiar antes y después
Este recurso no está aislado. Dentro de una ruta seria de Análisis Matemático, las derivadas parciales van justo después de entender límites y continuidad de varias variables, y justo antes de estudiar Hessiana y optimización.
Antes de este recurso
Si todavía te cuesta estudiar límites por caminos, continuidad en el origen o funciones definidas a trozos, conviene repasar primero límites y continuidad de varias variables. Sin esa base, la diferenciabilidad se vuelve mecánica y poco segura.
Después de este recurso
Cuando ya dominas parciales, gradiente y plano tangente, el siguiente paso natural es la matriz Hessiana en varias variables, donde entran las derivadas de segundo orden y la clasificación de extremos.
Conexión con Álgebra
En algunos temas, la segunda derivada se conecta con matrices y signos. Por eso también puede ayudarte revisar formas cuadráticas para ADE y Economía, sobre todo cuando aparezcan criterios con Hessiana.
Apoyo si vas justo
Si estás preparando Cálculo, Análisis o Matemáticas para ADE y Economía, puedes ver nuestras Matemáticas universitarias online. La idea es trabajar con pizarra digital compartida, corrección paso a paso y continuidad.
Si este tema te cuesta, no suele ser por falta de capacidad. Normalmente el problema está en haber mezclado límites, parciales, continuidad y diferenciabilidad sin una ruta clara. En Marlu Educativa trabajamos estos temas con método, ejercicios corregidos y explicación paso a paso.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material elaborado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios que necesitan preparar Cálculo, Álgebra, Análisis o métodos cuantitativos con explicación clara, ejercicios resueltos y corrección paso a paso.
10. Preguntas frecuentes sobre derivadas parciales y diferenciabilidad
¿Qué es una derivada parcial?
Es la derivada de una función de varias variables respecto de una sola variable, manteniendo las demás constantes. Por ejemplo, en \(f(x,y)\), al calcular \(f_x\) tratamos \(y\) como constante.
¿Qué diferencia hay entre derivada parcial y derivada total?
La derivada parcial cambia una variable y deja las demás quietas. La derivada total tiene en cuenta que varias variables pueden depender de otra, por ejemplo de \(t\). Por eso en regla de la cadena hay que mirar las dependencias.
¿Tener derivadas parciales garantiza que la función sea diferenciable?
No. Pueden existir las dos derivadas parciales en un punto y que la función no sea diferenciable. Incluso puede no ser continua. Para asegurar diferenciabilidad suele usarse el criterio de parciales continuas en un entorno o la definición.
¿Qué significa que una función sea diferenciable en varias variables?
Significa que cerca del punto la función se puede aproximar bien mediante un plano tangente. El error de esa aproximación debe ser pequeño en comparación con la distancia al punto.
¿Cómo se calcula el plano tangente?
Para \(z=f(x,y)\), en \((a,b)\), se usa \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\), siempre que la función sea diferenciable en ese punto.
¿Qué es el gradiente?
El gradiente es el vector formado por las derivadas parciales de primer orden. En dos variables, \(\nabla f=(f_x,f_y)\). Indica la dirección de máximo crecimiento local de la función.
¿Por qué este tema aparece en ADE y Economía?
Porque muchas funciones económicas dependen de varias variables: costes con varios productos, utilidad con varios bienes, producción con capital y trabajo, beneficios con precio y cantidad. Las parciales permiten estudiar cambios marginales.
¿Qué tema conviene estudiar después?
Después de derivadas parciales y diferenciabilidad, lo natural es estudiar derivadas de segundo orden, matriz Hessiana y optimización en varias variables.