Blog
Álgebra y ecuaciones 1 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Álgebra y ecuaciones 1 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Resolver una ecuación no consiste en adivinar qué número «pasa» ni en buscar un atajo distinto cada vez. Vamos a trabajar siempre con el mismo orden: quitar paréntesis, reducir, llevar las \(x\) a un lado, los números al otro y comprobar.
Los primeros ejemplos fijan el método y enseguida sube la dificultad: signos, incógnita en los dos miembros, paréntesis encadenados, fracciones y problemas de examen. Si los enteros o las fracciones todavía frenan el cálculo, conviene repasar antes enteros y fracciones de 1.º ESO.
Índice del recurso
Lenguaje algebraico
Una letra representa una cantidad que todavía no conocemos o que puede cambiar. Traducir bien no consiste en buscar palabras sueltas: hay que respetar el orden del enunciado y decidir qué operación afecta a cada parte.
Una diferencia completa
El triple de la diferencia entre un número y cuatro.
Una suma dividida
La mitad de la suma de un número y siete.
Dos cantidades relacionadas
Un número y otro que es cinco unidades mayor.
Números consecutivos
Tres enteros consecutivos empezando por \(n\).
Cuando una frase contiene «la suma de», «la diferencia entre» o «la mitad de», los paréntesis suelen decidir si la traducción es correcta.
Expresiones algebraicas
Antes de resolver ecuaciones hay que saber reducir expresiones. Solo se suman o restan términos semejantes: los que tienen exactamente la misma parte literal.
Reducir una expresión completa
Simplifica \(7x-5+3x+9-4x+2\).
Los términos con \(x\) se pueden reunir entre sí. Los números se calculan aparte:
Términos semejantes con dos letras
Simplifica \(4a-3b+2a+5b-7+a\).
No se mezclan los términos con \(a\) y con \(b\):
Valor numérico con signos
Calcula \(3x^2-2xy-y^2+4\) para \(x=-2\) e \(y=3\).
Escribimos primero la sustitución completa. Los paréntesis evitan perder los signos:
Propiedad distributiva
Para quitar un paréntesis multiplicamos el número exterior por cada término interior. Si delante hay un signo negativo, ese signo forma parte del número que multiplica.
El error más frecuente no está en multiplicar \(-3\cdot2x\), sino en olvidar que \(-3\cdot(-5)=+15\).
Dos distributivas con números negativos
Simplifica \(-3(2x-5)+4(x+1)-2\).
Multiplicamos cada término de los dos paréntesis:
Después reducimos:
Paréntesis dentro de un corchete
Simplifica \(2[3x-(2-x)]-5(x-1)\).
Empezamos por el interior. El signo menos cambia los signos del paréntesis:
Ahora quitamos el corchete y el último paréntesis:
Método para resolver ecuaciones
Trabajaremos con el procedimiento que se usa en el cuaderno y en el examen. Primero simplificamos cada miembro; después colocamos las incógnitas a la izquierda y los números a la derecha; al final dividimos por el coeficiente de \(x\).
Orden de resolución
- Quitar paréntesis y reducir términos semejantes en cada miembro.
- Pasar todos los términos con \(x\) al miembro izquierdo.
- Pasar los números al miembro derecho.
- Reducir y dividir por el coeficiente que acompaña a \(x\).
- Sustituir el resultado en la ecuación inicial.
Incógnita en los dos miembros
Resuelve \(5x-7=2x+20\).
Llevamos los términos con \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
Coeficientes negativos
Resuelve \(4-3x=2x+19\).
Reunimos las \(x\) a la izquierda y las cantidades conocidas a la derecha:
La solución puede ser positiva aunque haya signos
Resuelve \(7-2x=5x-14\).
Colocamos las incógnitas a la izquierda:
Reducir antes de transponer
Resuelve \(6x+5=3(x+9)-4\).
Primero quitamos el paréntesis y reducimos el segundo miembro:
Después reunimos incógnitas y números:
Ecuaciones con paréntesis
No dividimos por el número que aparece delante de un paréntesis para acortar el ejercicio. Quitamos los paréntesis, reducimos cada miembro y seguimos el mismo orden de resolución. Así el método funciona también cuando hay varios paréntesis o términos fuera de ellos.
Dos paréntesis y solución fraccionaria
Resuelve \(4(2x-3)-5=3(x+4)+7\).
Quitamos los paréntesis en los dos miembros:
Ahora colocamos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
Un signo menos delante del paréntesis
Resuelve \(5-2(3x-4)=4(x+1)-7\).
El producto \(-2(3x-4)\) da \(-6x+8\):
Ecuaciones con fracciones
Cuando aparecen varios denominadores, calculamos su mínimo común múltiplo y multiplicamos cada término de la ecuación por él. Una vez eliminadas las fracciones, quitamos paréntesis y reunimos las \(x\) a la izquierda.
Si esta operación todavía cuesta, conviene repasar enteros y fracciones de 1.º ESO antes de continuar.
Dos fracciones con distinto denominador
Resuelve \(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=5\).
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12. Multiplicamos cada término de la ecuación por 12:
Quitamos paréntesis, reducimos y despejamos:
Fracciones y resultado no entero
Resuelve \(\frac{x-3}{2}+\frac{2x+1}{5}=7\).
Multiplicamos todos los términos por 10:
Problemas con ecuaciones
En un problema la ecuación llega después de entender la relación entre los datos. Elegimos una incógnita, expresamos las demás cantidades a partir de ella y solo entonces escribimos la igualdad.
La última línea debe responder a la pregunta y comprobar el contexto: edades posibles, longitudes positivas, dinero que suma el total o una cantidad que reproduce el reparto.
Edades con una condición futura
Ana tiene 6 años más que su hermano. Dentro de 4 años, entre los dos sumarán 40 años. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?
Sea \(x\) la edad actual del hermano. Ana tiene \(x+6\). Dentro de cuatro años tendrán \(x+4\) y \(x+10\):
El hermano tiene 13 años y Ana, 19.
Dimensiones de un rectángulo
El largo de un rectángulo mide 5 cm más que el doble de su ancho. Su perímetro es 64 cm. Calcula sus dimensiones.
Sea \(x\) el ancho. El largo es \(2x+5\). Usamos \(P=2\cdot ancho+2\cdot largo\):
El largo mide \(2\cdot9+5=23\) cm.
Una cantidad gastada en dos etapas
De una cantidad se gasta primero la cuarta parte y después 18 €. Quedan 42 €. ¿Cuál era la cantidad inicial?
Sea \(x\) la cantidad inicial. Después de gastar una cuarta parte quedan tres cuartas partes:
Control inicial: cinco ejercicios con recorrido
Simplifica \(4x-7+3x+12-2x\).
Resuelve \(7x-9=3x+19\).
Resuelve \(3(x-4)+5=2x+9\).
Resuelve \(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=5\).
Una persona gasta la tercera parte de su dinero y después 12 €. Todavía conserva 28 €. ¿Cuánto dinero tenía?
Ejercicios para clase: práctica graduada
Treinta y seis tareas que empiezan en un nivel medio y avanzan hacia ecuaciones largas, fracciones y problemas de examen. El alumno recibe los enunciados limpios; las soluciones están reunidas en el bloque final y en el solucionario docente.
Lenguaje algebraico y valor numérico
Escribe algebraicamente «la mitad de la diferencia entre el triple de un número y ocho».
Escribe y simplifica «el doble de la suma de un número y cinco menos el triple de ese número».
Calcula \(3x^2-2x-5\) para \(x=-4\). Escribe la sustitución antes de operar.
Calcula \(2a^2-3ab+b^2\) para \(a=-2\) y \(b=5\).
La base de un rectángulo mide \(3x-2\) cm y la altura \(x+4\) cm. Escribe y simplifica el perímetro. Calcúlalo después para \(x=6\).
Una construcción con \(n\) piezas sigue la regla \(4n+3\). ¿Cuántas piezas tiene cuando \(n=18\)? ¿Qué valor de \(n\) produce 99 piezas?
Expresiones y propiedad distributiva
Simplifica \(8x-5+3x+7-6x-12\).
Simplifica \(-4(2x-3)+3(x+5)-7\).
Simplifica \(3[2x-(x-5)]-2(x+4)\).
Simplifica \(5(2x-3)-2(3x+4)+x-6\).
Simplifica \(3(2a-b)-2(a+4b)+5\).
Simplifica \(2(3x-4)-[5-(x-2)]\) y calcula su valor para \(x=-2\).
Ecuaciones lineales
Resuelve y comprueba \(7x-11=3x+25\).
Resuelve \(12-5x=3x-28\).
Resuelve \(9x+4=6x-17\).
Resuelve \(6x-13=2-3x\).
Resuelve \(5(x-3)+7=3x+20\).
Resuelve \(8-3(2x-5)=4x+13\).
Resuelve \(4(3x-2)-5(x+1)=2x+15\).
Resuelve \(3[2x-(x-4)]-5=2(x+7)\).
Ecuaciones con paréntesis y fracciones
Resuelve \(\frac{2x-3}{4}+\frac{x+5}{6}=7\).
Resuelve \(\frac{3x+1}{5}-\frac{x-2}{3}=4\).
Resuelve \(\frac{x-4}{3}+\frac{2x+1}{2}=9\).
Resuelve \(2-\frac{x-1}{4}=\frac{x+3}{6}\).
Resuelve \(\frac{3(x-2)}{5}+\frac{x+4}{2}=7\).
Resuelve \(2[3(x-1)-4]-5(x+2)=7\).
Problemas de examen
La suma de cuatro números enteros consecutivos es 106. Hállalos mediante una ecuación.
Tres números pares consecutivos suman 126. ¿Cuáles son?
Una madre tiene 28 años más que su hija. Dentro de 4 años, la edad de la madre será el doble que la de la hija. ¿Qué edad tiene ahora cada una?
El largo de un rectángulo mide 7 cm más que el doble de su ancho. El perímetro es 86 cm. Calcula sus dimensiones.
Una entrada de adulto cuesta 4 € más que una entrada de estudiante. Dos entradas de adulto y tres de estudiante cuestan 53 €. Halla los dos precios.
Una tarifa cobra 8,50 € de cuota fija y 0,12 € por minuto. Una factura asciende a 26,50 €. ¿Cuántos minutos se han consumido?
De un depósito se gasta primero \(\frac{3}{10}\) del agua y después 26 L. Al final quedan 72 L. ¿Cuánta agua había al principio?
Por la mañana se recorren \(\frac{2}{5}\) de una ruta. Por la tarde se avanzan 18 km y todavía quedan 27 km. ¿Cuánto mide la ruta?
La suma de las cifras de un número es 11. Al invertirlas se obtiene un número 27 unidades menor. ¿Cuál es el número?
Se reparten 190 € entre tres personas. La segunda recibe 20 € más que la primera y la tercera recibe 10 € menos que el doble de la primera. ¿Cuánto recibe cada una?
Dos exámenes completos de 1.º ESO
Cada prueba suma 10 puntos y está pensada para una sesión de 55–60 minutos. Las dos exigen desarrollar las operaciones; el segundo modelo añade más signos, corchetes, fracciones y problemas encadenados.
Examen A · Consolidación
55–60 minutos · 10 puntos · nivel ordinario · elaboración propia
- A01 · 1 punto.
Escribe y simplifica «cuatro veces la diferencia entre un número y tres, menos el doble del número, más cinco».
- A02 · 1 punto.
Calcula \(3a^2-2ab-4b\) para \(a=-2\) y \(b=3\).
- A03 · 1 punto.
Resuelve y comprueba \(8x-13=3x+27\).
- A04 · 1,5 puntos.
Resuelve \(5(x-4)+3=2x+22\).
- A05 · 1,5 puntos.
Resuelve \(7-2(3x-5)=4(x+1)-9\).
- A06 · 1,5 puntos.
Resuelve \(\frac{2x-1}{3}+\frac{x+2}{4}=9\).
- A07 · 1,5 puntos.
Claudia tiene 8 años más que su hermano. Dentro de 5 años, la suma de sus edades será 48. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?
- A08 · 1 punto.
Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 cm más que la base. El perímetro es 48 cm. Calcula los tres lados.
Examen B · Dominio y transferencia
55–60 minutos · 10 puntos · nivel alto · elaboración propia
- B01 · 1 punto.
Simplifica \(3[2x-(x-4)]-2(2x+5)+7\).
- B02 · 1 punto.
Calcula \(2x^2-3xy+y^2-5\) para \(x=-2\) e \(y=4\).
- B03 · 1,5 puntos.
Resuelve \(4[2x-(3-x)]-5(x-2)=3x+7\).
- B04 · 1,5 puntos.
Resuelve \(\frac{3x-2}{4}-\frac{x+1}{6}=5\).
- B05 · 1,5 puntos.
Resuelve \(2-\frac{3(x-1)}{5}=\frac{2x+7}{10}\).
- B06 · 1,5 puntos.
Una alumna gasta \(\frac{2}{5}\) de sus ahorros y después 18 €. Todavía conserva 42 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?
- B07 · 1 punto.
Por la mañana se recorre la tercera parte de una ruta. Por la tarde se hace la mitad de lo que quedaba y al final faltan 18 km. ¿Cuál era la longitud total?
- B08 · 1 punto.
La suma de cuatro números impares consecutivos es 104. Hállalos.
Solucionario razonado
La numeración coincide exactamente con el cuaderno. En las ecuaciones se conserva el orden de clase: simplificar, reunir las incógnitas a la izquierda, llevar los números a la derecha y despejar. Los problemas terminan con una comprobación en su contexto.
Control inicial
Reducir términos semejantes
Simplifica \(4x-7+3x+12-2x\).
Reunimos los términos con \(x\) y los números:
\[(4+3-2)x+(-7+12)=5x+5\]
Incógnita en los dos miembros
Resuelve \(7x-9=3x+19\).
Llevamos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
\[7x-3x=19+9\Rightarrow4x=28\Rightarrow x=7\]
Ecuación con paréntesis
Resuelve \(3(x-4)+5=2x+9\).
Quitamos primero el paréntesis:
\[3x-12+5=2x+9\Rightarrow3x-7=2x+9\]
Reunimos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
\[3x-2x=9+7\Rightarrow x=16\]
Ecuación con dos fracciones
Resuelve \(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=5\).
El mínimo común múltiplo es 12. Multiplicamos cada término por 12:
\[4(2x-1)-3(x+2)=60\]
\[8x-4-3x-6=60\Rightarrow5x-10=60\Rightarrow5x=70\Rightarrow x=14\]
Problema con una fracción
Una persona gasta la tercera parte de su dinero y después 12 €. Todavía conserva 28 €. ¿Cuánto dinero tenía?
Sea \(x\) el dinero inicial. Después de gastar un tercio conserva \(\frac23x\):
\[\frac23x-12=28\Rightarrow\frac23x=40\Rightarrow2x=120\Rightarrow x=60\]
Comprobación: gasta 20 € y después 12 €; quedan 28 €.
Lenguaje algebraico y valor numérico
Traducir sin perder los paréntesis
Escribe algebraicamente «la mitad de la diferencia entre el triple de un número y ocho».
Primero aparece la diferencia entre el triple del número y ocho: \(3x-8\). La mitad afecta a toda esa diferencia:
\[\frac{3x-8}{2}\]
Traducir y simplificar
Escribe y simplifica «el doble de la suma de un número y cinco menos el triple de ese número».
El doble afecta a la suma completa:
\[2(x+5)-3x=2x+10-3x=10-x\]
Resultado: \(10-x\).
Valor numérico con una cantidad negativa
Calcula \(3x^2-2x-5\) para \(x=-4\). Escribe la sustitución antes de operar.
Al sustituir un número negativo conviene conservar los paréntesis:
\[3(-4)^2-2(-4)-5=3\cdot16+8-5=51\]
Resultado: \(51\).
Valor numérico con dos letras
Calcula \(2a^2-3ab+b^2\) para \(a=-2\) y \(b=5\).
Sustituimos las dos letras antes de efectuar ninguna operación:
\[2(-2)^2-3(-2)(5)+5^2=8+30+25=63\]
Resultado: \(63\).
Perímetro expresado con una letra
La base de un rectángulo mide \(3x-2\) cm y la altura \(x+4\) cm. Escribe y simplifica el perímetro. Calcúlalo después para \(x=6\).
El perímetro contiene dos bases y dos alturas:
\[P=2(3x-2)+2(x+4)=6x-4+2x+8=8x+4\]
Para \(x=6\), \(P=8\cdot6+4=52\) cm.
Regla de una construcción
Una construcción con \(n\) piezas sigue la regla \(4n+3\). ¿Cuántas piezas tiene cuando \(n=18\)? ¿Qué valor de \(n\) produce 99 piezas?
Para \(n=18\): \(4\cdot18+3=75\). Para obtener 99 piezas planteamos una ecuación:
\[4n+3=99\]
Llevamos el 3 a la derecha y dejamos la incógnita a la izquierda:
\[4n=99-3=96\Rightarrow n=24\]
Resultado: 75 piezas y \(n=24\).
Expresiones y propiedad distributiva
Reducir una expresión larga
Simplifica \(8x-5+3x+7-6x-12\).
Juntamos por un lado los términos con \(x\) y por otro los números:
\[(8+3-6)x+(-5+7-12)=5x-10\]
Resultado: \(5x-10\).
Dos distributivas y signos
Simplifica \(-4(2x-3)+3(x+5)-7\).
Multiplicamos cada paréntesis completo:
\[-8x+12+3x+15-7\]
Ahora reducimos términos semejantes:
\[-5x+20\]
Corchete con un signo menos interior
Simplifica \(3[2x-(x-5)]-2(x+4)\).
Empezamos por el paréntesis interior:
\[2x-(x-5)=2x-x+5=x+5\]
Después quitamos el corchete y el segundo paréntesis:
\[3(x+5)-2(x+4)=3x+15-2x-8=x+7\]
Expresión con tres bloques
Simplifica \(5(2x-3)-2(3x+4)+x-6\).
Quitamos primero los paréntesis y después reunimos términos semejantes:
\[10x-15-6x-8+x-6=5x-29\]
Resultado: \(5x-29\).
Expresión con dos letras
Simplifica \(3(2a-b)-2(a+4b)+5\).
Desarrollamos los dos paréntesis:
\[6a-3b-2a-8b+5\]
Los términos con \(a\) y con \(b\) se reducen por separado:
\[4a-11b+5\]
Simplificar y después sustituir
Simplifica \(2(3x-4)-[5-(x-2)]\) y calcula su valor para \(x=-2\).
El signo menos delante del corchete cambia los signos de su interior:
\[2(3x-4)-[5-x+2]=6x-8-7+x=7x-15\]
Para \(x=-2\): \(7(-2)-15=-29\).
Ecuaciones lineales
Incógnita en los dos miembros
Resuelve y comprueba \(7x-11=3x+25\).
Llevamos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
\[7x-3x=25+11\]
\[4x=36\Rightarrow x=9\]
Comprobación: los dos miembros valen \(52\).
Signos en ambos miembros
Resuelve \(12-5x=3x-28\).
Colocamos los términos con \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
\[-5x-3x=-28-12\]
\[-8x=-40\Rightarrow x=5\]
Solución negativa
Resuelve \(9x+4=6x-17\).
Reunimos incógnitas y números:
\[9x-6x=-17-4\]
\[3x=-21\Rightarrow x=-7\]
Resultado fraccionario
Resuelve \(6x-13=2-3x\).
Las \(x\) quedan a la izquierda y los números a la derecha:
\[6x+3x=2+13\]
\[9x=15\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]
Paréntesis en un miembro
Resuelve \(5(x-3)+7=3x+20\).
Antes de mover términos quitamos el paréntesis:
\[5x-15+7=3x+20\Rightarrow5x-8=3x+20\]
Ahora reunimos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha:
\[5x-3x=20+8\Rightarrow2x=28\Rightarrow x=14\]
Paréntesis precedido de un signo menos
Resuelve \(8-3(2x-5)=4x+13\).
Desarrollamos con cuidado el producto \(-3(2x-5)\):
\[8-6x+15=4x+13\Rightarrow23-6x=4x+13\]
\[-6x-4x=13-23\Rightarrow-10x=-10\Rightarrow x=1\]
Dos paréntesis y una incógnita a cada lado
Resuelve \(4(3x-2)-5(x+1)=2x+15\).
Quitamos los paréntesis y reducimos el primer miembro:
\[12x-8-5x-5=2x+15\Rightarrow7x-13=2x+15\]
\[7x-2x=15+13\Rightarrow5x=28\Rightarrow x=\frac{28}{5}\]
Paréntesis dentro de un corchete
Resuelve \(3[2x-(x-4)]-5=2(x+7)\).
Comenzamos por el interior del corchete:
\[2x-(x-4)=x+4\]
Quitamos después el corchete y el paréntesis de la derecha:
\[3x+12-5=2x+14\Rightarrow3x+7=2x+14\]
\[3x-2x=14-7\Rightarrow x=7\]
Ecuaciones con paréntesis y fracciones
Fracciones con denominadores 4 y 6
Resuelve \(\frac{2x-3}{4}+\frac{x+5}{6}=7\).
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. Multiplicamos cada término de la ecuación por 12:
\[3(2x-3)+2(x+5)=84\]
\[6x-9+2x+10=84\Rightarrow8x+1=84\]
\[8x=84-1=83\Rightarrow x=\frac{83}{8}\]
Resta de dos fracciones algebraicas
Resuelve \(\frac{3x+1}{5}-\frac{x-2}{3}=4\).
Quitamos denominadores multiplicando cada término por 15:
\[3(3x+1)-5(x-2)=60\]
\[9x+3-5x+10=60\Rightarrow4x+13=60\]
\[4x=47\Rightarrow x=\frac{47}{4}\]
Dos fracciones y varios signos
Resuelve \(\frac{x-4}{3}+\frac{2x+1}{2}=9\).
Multiplicamos todos los términos por 6:
\[2(x-4)+3(2x+1)=54\]
\[2x-8+6x+3=54\Rightarrow8x-5=54\]
\[8x=59\Rightarrow x=\frac{59}{8}\]
Número entero y fracciones
Resuelve \(2-\frac{x-1}{4}=\frac{x+3}{6}\).
El mínimo común múltiplo es 12. Al multiplicar cada término queda:
\[24-3(x-1)=2(x+3)\]
\[24-3x+3=2x+6\Rightarrow27-3x=2x+6\]
\[-3x-2x=6-27\Rightarrow-5x=-21\Rightarrow x=\frac{21}{5}\]
Coeficientes fraccionarios
Resuelve \(\frac{3(x-2)}{5}+\frac{x+4}{2}=7\).
Multiplicamos todos los términos por 10 y después quitamos paréntesis:
\[6(x-2)+5(x+4)=70\]
\[6x-12+5x+20=70\Rightarrow11x+8=70\]
\[11x=62\Rightarrow x=\frac{62}{11}\]
Corchete y dos paréntesis
Resuelve \(2[3(x-1)-4]-5(x+2)=7\).
Trabajamos desde el paréntesis interior hacia fuera:
\[3(x-1)-4=3x-3-4=3x-7\]
\[2(3x-7)-5(x+2)=7\]
\[6x-14-5x-10=7\Rightarrow x-24=7\Rightarrow x=31\]
Problemas de examen
Cuatro enteros consecutivos
La suma de cuatro números enteros consecutivos es 106. Hállalos mediante una ecuación.
Si el primero es \(x\), los otros son \(x+1\), \(x+2\) y \(x+3\):
\[x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=106\]
\[4x+6=106\Rightarrow4x=100\Rightarrow x=25\]
Resultado: 25, 26, 27 y 28. Su suma es 106.
Tres pares consecutivos
Tres números pares consecutivos suman 126. ¿Cuáles son?
Los representamos por \(x\), \(x+2\) y \(x+4\):
\[x+(x+2)+(x+4)=126\Rightarrow3x+6=126\]
\[3x=120\Rightarrow x=40\]
Resultado: 40, 42 y 44.
Edades y una condición futura
Una madre tiene 28 años más que su hija. Dentro de 4 años, la edad de la madre será el doble que la de la hija. ¿Qué edad tiene ahora cada una?
Sea \(x\) la edad actual de la hija. La madre tiene \(x+28\). Dentro de cuatro años tendrán \(x+4\) y \(x+32\):
\[x+32=2(x+4)\]
\[x+32=2x+8\Rightarrow x-2x=8-32\Rightarrow-x=-24\Rightarrow x=24\]
Resultado: hija 24 años y madre 52. Dentro de cuatro años tendrán 28 y 56.
Rectángulo a partir del perímetro
El largo de un rectángulo mide 7 cm más que el doble de su ancho. El perímetro es 86 cm. Calcula sus dimensiones.
Sea \(x\) el ancho. Entonces el largo mide \(2x+7\):
\[2x+2(2x+7)=86\]
\[2x+4x+14=86\Rightarrow6x=72\Rightarrow x=12\]
El largo mide \(2\cdot12+7=31\) cm.
Comprobación: \(2\cdot12+2\cdot31=86\) cm.
Entradas de adulto y de estudiante
Una entrada de adulto cuesta 4 € más que una entrada de estudiante. Dos entradas de adulto y tres de estudiante cuestan 53 €. Halla los dos precios.
Sea \(x\) el precio de la entrada de estudiante. La de adulto cuesta \(x+4\):
\[2(x+4)+3x=53\]
\[2x+8+3x=53\Rightarrow5x=45\Rightarrow x=9\]
Resultado: 9 € la entrada de estudiante y 13 € la de adulto. La cuenta es \(3\cdot9+2\cdot13=53\) €.
Factura con cuota fija
Una tarifa cobra 8,50 € de cuota fija y 0,12 € por minuto. Una factura asciende a 26,50 €. ¿Cuántos minutos se han consumido?
Si \(x\) es el número de minutos, el coste total se expresa así:
\[8{,}50+0{,}12x=26{,}50\]
\[0{,}12x=26{,}50-8{,}50=18\Rightarrow x=150\]
Resultado: 150 minutos. La parte variable cuesta \(0{,}12\cdot150=18\) €.
Agua gastada en dos etapas
De un depósito se gasta primero \(\frac{3}{10}\) del agua y después 26 L. Al final quedan 72 L. ¿Cuánta agua había al principio?
Sea \(x\) la cantidad inicial. Después del primer gasto queda \(\frac{7}{10}x\):
\[\frac{7}{10}x-26=72\]
\[\frac{7}{10}x=98\Rightarrow7x=980\Rightarrow x=140\]
Comprobación: se gastan 42 L y después 26 L; \(140-42-26=72\) L.
Una ruta en tres partes
Por la mañana se recorren \(\frac{2}{5}\) de una ruta. Por la tarde se avanzan 18 km y todavía quedan 27 km. ¿Cuánto mide la ruta?
Si la ruta completa mide \(x\) kilómetros:
\[\frac{2}{5}x+18+27=x\]
Dejamos la \(x\) a la izquierda y las cantidades conocidas a la derecha:
\[x-\frac{2}{5}x=45\Rightarrow\frac{3}{5}x=45\Rightarrow3x=225\Rightarrow x=75\]
Resultado: 75 km. Por la mañana se recorren 30 km y \(30+18+27=75\).
Número de dos cifras
La suma de las cifras de un número es 11. Al invertirlas se obtiene un número 27 unidades menor. ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) la cifra de las decenas. La cifra de las unidades es \(11-x\). El número es \(10x+(11-x)\) y el invertido es \(10(11-x)+x\):
\[[10x+(11-x)]-[10(11-x)+x]=27\]
\[9x+11-(110-9x)=27\Rightarrow18x-99=27\]
\[18x=126\Rightarrow x=7\]
Resultado: el número es 74; \(74-47=27\).
Reparto entre tres personas
Se reparten 190 € entre tres personas. La segunda recibe 20 € más que la primera y la tercera recibe 10 € menos que el doble de la primera. ¿Cuánto recibe cada una?
Sea \(x\) la cantidad de la primera persona. Las otras reciben \(x+20\) y \(2x-10\):
\[x+(x+20)+(2x-10)=190\]
\[4x+10=190\Rightarrow4x=180\Rightarrow x=45\]
Resultado: 45 €, 65 € y 80 €. Las tres cantidades suman 190 €.
Examen A · consolidación
Lenguaje algebraico y simplificación
Escribe y simplifica «cuatro veces la diferencia entre un número y tres, menos el doble del número, más cinco».
La traducción correcta mantiene el primer paréntesis:
\[4(x-3)-2x+5=4x-12-2x+5=2x-7\]
Valor numérico con dos variables
Calcula \(3a^2-2ab-4b\) para \(a=-2\) y \(b=3\).
\[3(-2)^2-2(-2)(3)-4(3)=12+12-12=12\]
Resultado: \(12\).
Ecuación con incógnita en ambos miembros
Resuelve y comprueba \(8x-13=3x+27\).
\[8x-3x=27+13\Rightarrow5x=40\Rightarrow x=8\]
Comprobación: los dos miembros valen 51.
Ecuación con un paréntesis
Resuelve \(5(x-4)+3=2x+22\).
Quitamos el paréntesis antes de reunir términos:
\[5x-20+3=2x+22\Rightarrow5x-17=2x+22\]
\[5x-2x=22+17\Rightarrow3x=39\Rightarrow x=13\]
Ecuación con dos paréntesis y signos
Resuelve \(7-2(3x-5)=4(x+1)-9\).
Desarrollamos los dos miembros:
\[7-6x+10=4x+4-9\Rightarrow17-6x=4x-5\]
\[-6x-4x=-5-17\Rightarrow-10x=-22\Rightarrow x=\frac{11}{5}\]
Ecuación con fracciones
Resuelve \(\frac{2x-1}{3}+\frac{x+2}{4}=9\).
Multiplicamos cada término por 12:
\[4(2x-1)+3(x+2)=108\]
\[8x-4+3x+6=108\Rightarrow11x+2=108\]
\[11x=106\Rightarrow x=\frac{106}{11}\]
Problema de edades
Claudia tiene 8 años más que su hermano. Dentro de 5 años, la suma de sus edades será 48. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?
Sea \(x\) la edad actual del hermano. Claudia tiene \(x+8\). Dentro de cinco años:
\[(x+5)+(x+13)=48\]
\[2x+18=48\Rightarrow2x=30\Rightarrow x=15\]
Resultado: 15 y 23 años. Dentro de cinco años sumarán \(20+28=48\).
Triángulo isósceles
Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 cm más que la base. El perímetro es 48 cm. Calcula los tres lados.
Sea \(x\) la base. Cada lado igual mide \(x+6\):
\[x+2(x+6)=48\Rightarrow3x+12=48\Rightarrow3x=36\Rightarrow x=12\]
Resultado: 12 cm, 18 cm y 18 cm.
Examen B · nivel alto
Simplificación con corchetes
Simplifica \(3[2x-(x-4)]-2(2x+5)+7\).
\[3(x+4)-4x-10+7=3x+12-4x-3=9-x\]
Resultado: \(9-x\).
Valor numérico con signos
Calcula \(2x^2-3xy+y^2-5\) para \(x=-2\) e \(y=4\).
\[2(-2)^2-3(-2)(4)+4^2-5=8+24+16-5=43\]
Resultado: \(43\).
Ecuación con corchetes
Resuelve \(4[2x-(3-x)]-5(x-2)=3x+7\).
Resolvemos primero el interior del corchete:
\[2x-(3-x)=3x-3\]
\[4(3x-3)-5(x-2)=3x+7\]
\[12x-12-5x+10=3x+7\Rightarrow7x-2=3x+7\]
\[4x=9\Rightarrow x=\frac94\]
Ecuación fraccionaria
Resuelve \(\frac{3x-2}{4}-\frac{x+1}{6}=5\).
El mínimo común múltiplo es 12:
\[3(3x-2)-2(x+1)=60\]
\[9x-6-2x-2=60\Rightarrow7x-8=60\]
\[7x=68\Rightarrow x=\frac{68}{7}\]
Fracción y paréntesis
Resuelve \(2-\frac{3(x-1)}{5}=\frac{2x+7}{10}\).
Multiplicamos todos los términos por 10:
\[20-6(x-1)=2x+7\]
\[20-6x+6=2x+7\Rightarrow26-6x=2x+7\]
\[-6x-2x=7-26\Rightarrow-8x=-19\Rightarrow x=\frac{19}{8}\]
Ahorro gastado en dos momentos
Una alumna gasta \(\frac{2}{5}\) de sus ahorros y después 18 €. Todavía conserva 42 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?
Sea \(x\) el ahorro inicial. Después de gastar dos quintos conserva tres quintos:
\[\frac35x-18=42\]
\[\frac35x=60\Rightarrow3x=300\Rightarrow x=100\]
Comprobación: gasta 40 € y después 18 €; \(100-40-18=42\) €.
Trayecto recorrido por etapas
Por la mañana se recorre la tercera parte de una ruta. Por la tarde se hace la mitad de lo que quedaba y al final faltan 18 km. ¿Cuál era la longitud total?
Después de la mañana quedan \(\frac23x\). Por la tarde se recorre la mitad de esa cantidad, así que queda la otra mitad:
\[\frac12\cdot\frac23x=18\Rightarrow\frac13x=18\Rightarrow x=54\]
Resultado: 54 km.
Cuatro impares consecutivos
La suma de cuatro números impares consecutivos es 104. Hállalos.
Los representamos por \(x\), \(x+2\), \(x+4\) y \(x+6\):
\[x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=104\]
\[4x+12=104\Rightarrow4x=92\Rightarrow x=23\]
Resultado: 23, 25, 27 y 29.
Errores frecuentes
Mover términos antes de simplificar
Si hay paréntesis, se quitan primero. Después se reduce cada miembro y solo entonces se reúnen las \(x\) y los números.
Perder el signo que precede al paréntesis
En \(-2(3x-5)\), el \(-2\) multiplica a los dos términos: el resultado es \(-6x+10\).
Cambiar un signo sin cambiar de miembro
Un término cambia de signo al escribir la operación equivalente en el otro miembro, no porque sí dentro de la misma línea.
Dar por buena la primera cifra obtenida
La sustitución en la ecuación inicial descubre enseguida un signo perdido o una distributiva mal hecha.
Ruta de estudio recomendada
- Traducción y valor numérico.
- Reducción de expresiones y propiedad distributiva.
- Ecuaciones con la incógnita en los dos miembros.
- Ecuaciones con paréntesis y corchetes.
- Ecuaciones con fracciones.
- Problemas y control inicial.
- Práctica completa y exámenes.
Continuar aprendiendo
El paso siguiente depende del bloqueo. Si el problema está en los signos o las fracciones, repara primero esa base; si el tema ya está dominado, continúa por los materiales del curso.