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Bases y dimensión en espacios vectoriales: ejercicios resueltos para ADE y Economía
Bases y dimensión explicadas paso a paso con ejercicios resueltos
Nivel: ADE, Economía, grados de ciencias sociales, primeros cursos universitarios y asignaturas de Álgebra Lineal.
Las bases y la dimensión son uno de esos temas que parecen sencillos hasta que llega el ejercicio: decidir si unos vectores forman base, sacar una base de un sistema generador, completar una base o calcular la dimensión de un subespacio. Aquí muchos alumnos se lían porque mezclan independencia, generación, rango y sistemas sin un orden claro.
En este recurso vamos a trabajar bases y dimensión desde la idea esencial hasta ejercicios tipo examen. No vamos a repetir todo el tema de espacios vectoriales, ni vamos a convertir esto en aplicaciones lineales o diagonalización. La idea es que el alumno aprenda a reconocer, calcular y justificar bases y dimensiones con seguridad.
Frontera del recurso: nos centramos en bases, dimensión, independencia lineal, sistemas generadores, rango y coordenadas. Si necesitas la teoría completa de subespacios, conviene revisar antes el recurso de espacios vectoriales. Si ya dominas esto, el siguiente paso natural son aplicaciones lineales y diagonalización.
Si estás preparando Álgebra Lineal en la universidad, este tema merece trabajarse con calma. No se gana tiempo saltándose pasos: primero se entiende qué significa generar, después qué significa ser independiente y finalmente se decide si hay base.
Índice del recurso
1. Teoría desde cero
Qué significa generar un espacio
Un conjunto de vectores genera un espacio si, combinándolos linealmente, podemos obtener todos los vectores de ese espacio. Por ejemplo, en \(\mathbb{R}^2\), los vectores \((1,0)\) y \((0,1)\) generan todo el plano, porque cualquier vector \((x,y)\) se escribe como:
Eso significa que esos dos vectores son suficientes para construir cualquier vector de \(\mathbb{R}^2\).
Qué significa independencia lineal
Una familia de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos sobra. La forma técnica de comprobarlo es plantear:
Si la única solución es:
entonces la familia es linealmente independiente. Si aparece alguna solución no trivial, la familia es dependiente.
Qué es una base
Una base de un espacio vectorial es una familia de vectores que cumple dos condiciones:
Por ejemplo, en \(\mathbb{R}^2\), la base canónica es:
Genera todo \(\mathbb{R}^2\) y sus dos vectores son independientes.
Qué es la dimensión
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que tiene cualquiera de sus bases. Por ejemplo:
La dimensión mide cuántas direcciones independientes necesita el espacio para construirse. Una recta que pasa por el origen en \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 1. Un plano que pasa por el origen en \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 2.
Relación entre número de vectores y dimensión
En un espacio de dimensión \(n\), ocurre algo muy importante:
Si hay más de n vectores
La familia no puede ser independiente. Algún vector sobra.
Si hay menos de n vectores
La familia no puede generar todo el espacio. Falta alguna dirección.
Si hay exactamente n vectores
Basta comprobar una de las dos condiciones: independencia o generación.
Rango y dimensión
Cuando colocamos vectores en una matriz, el rango nos dice cuántos de esos vectores son realmente independientes. Si ponemos los vectores como columnas, el rango de la matriz es el número de columnas independientes:
Esta idea es muy práctica. Muchos ejercicios de bases y dimensión se reducen a calcular bien un rango.
Base de un subespacio dado por generadores
Si un subespacio viene dado como:
entonces una base de \(W\) se obtiene quitando los vectores que dependen de los demás. En la práctica, se colocan los vectores en una matriz y se estudia el rango.
Base de un subespacio dado por ecuaciones
Si un subespacio viene dado por ecuaciones, por ejemplo:
se resuelve el sistema, se expresan las incógnitas en función de parámetros y los vectores que acompañan a esos parámetros forman una base.
2. Procedimiento paso a paso
Para no mezclar conceptos, usa este orden de trabajo.
- Identifica el espacio. No es lo mismo trabajar en \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}^4\) o en un subespacio.
- Mira cuántos vectores tienes. El número de vectores ya da mucha información.
- Si quieres saber si son base de \(\mathbb{R}^n\), compara con la dimensión. En \(\mathbb{R}^3\), una base tiene exactamente 3 vectores.
- Coloca los vectores en una matriz. Lo habitual es ponerlos como columnas para estudiar independencia y generación.
- Calcula el rango. Puedes usar determinante si la matriz es cuadrada, o Gauss si no lo es.
- Si el rango coincide con el número de vectores, son independientes. No sobra ninguno.
- Si el rango coincide con la dimensión del espacio, generan todo el espacio. No falta ninguna dirección.
- Para extraer una base de generadores, conserva columnas independientes. No borres vectores sin justificar.
- Para subespacios con ecuaciones, resuelve y parametriza. Los parámetros te dan los vectores de la base.
- Revisa la dimensión final. El resultado tiene que tener sentido: una recta dimensión 1, un plano dimensión 2, \(\mathbb{R}^3\) dimensión 3.
3. Errores frecuentes
Confundir generar con ser independiente
Una familia puede generar y no ser independiente. También puede ser independiente y no generar todo el espacio. Base exige las dos cosas.
Decir que tres vectores en R3 siempre son base
No basta con que haya tres vectores. Tienen que ser independientes. Si el determinante es cero, no forman base de \(\mathbb{R}^3\).
Olvidar que el vector cero nunca ayuda
Una familia que contiene el vector cero es dependiente. El vector cero no aporta dirección.
Calcular rango sin interpretar
El rango no es una cuenta aislada. Dice cuántas direcciones independientes tienes y, por tanto, la dimensión del subespacio generado.
Confundir base del subespacio con base del espacio completo
Una base de un plano dentro de \(\mathbb{R}^3\) tiene dos vectores, no tres. No todo vive en el espacio completo.
No comprobar el resultado
Si un subespacio de \(\mathbb{R}^3\) dado por una ecuación independiente tiene dimensión 2, el resultado cuadra. Si sale dimensión 4, algo ha fallado.
4. Ejercicios resueltos paso a paso
Estos ejercicios están ordenados de forma progresiva. Conviene ir con calma: primero se identifica qué se pide, luego se calcula, y al final se interpreta.
Ejercicio 1. Comprobar si dos vectores forman base de R2
Enunciado. Estudia si \(v_1=(1,2)\) y \(v_2=(3,4)\) forman una base de \(\mathbb{R}^2\).
En \(\mathbb{R}^2\), una base debe tener 2 vectores independientes. Formamos la matriz con esos vectores como columnas:
Calculamos el determinante:
Resultado. Sí forman una base de \(\mathbb{R}^2\).
Ejercicio 2. Dos vectores que no forman base de R2
Enunciado. Estudia si \((1,2)\) y \((2,4)\) forman una base de \(\mathbb{R}^2\).
Observamos que:
Los vectores son dependientes. También se ve con el determinante:
Resultado. No forman base de \(\mathbb{R}^2\).
Ejercicio 3. Comprobar base de R3 con determinante
Enunciado. Estudia si \((1,0,1)\), \((0,1,1)\), \((1,1,0)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
Formamos la matriz por columnas:
Calculamos el determinante:
Como el determinante no es cero, los tres vectores son independientes.
Resultado. Sí forman una base de \(\mathbb{R}^3\).
Ejercicio 4. Familia dependiente en R3
Enunciado. Estudia si \((1,0,1)\), \((2,0,2)\), \((0,1,1)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
El segundo vector es el doble del primero:
Por tanto, la familia es dependiente.
Resultado. No forman base de \(\mathbb{R}^3\).
Ejercicio 5. Calcular dimensión de un subespacio generado
Enunciado. Sea \(W=\langle(1,2,0),(2,4,0),(0,1,1)\rangle\). Calcula \(\dim(W)\) y una base de \(W\).
Observamos que:
El segundo vector sobra. Quedan \((1,2,0)\) y \((0,1,1)\), que no son proporcionales.
Resultado.
Ejercicio 6. Base de un subespacio dado por una ecuación
Enunciado. Halla una base y la dimensión de \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}\).
Despejamos una variable:
Tomamos \(y=s\), \(z=t\). Entonces:
Separamos por parámetros:
Resultado.
Ejercicio 7. Base de una recta en R3
Enunciado. Halla una base de \(W=\{(x,y,z):x=2t, y=-t, z=3t\}\).
Escribimos el vector en función de \(t\):
Resultado.
Ejercicio 8. Subespacio con dos ecuaciones
Enunciado. Halla base y dimensión de \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0, x-y=0\}\).
De \(x-y=0\), tenemos:
Sustituimos en la primera:
Tomamos \(y=t\):
Resultado.
Ejercicio 9. Extraer una base de cuatro generadores
Enunciado. Extrae una base de \(W=\langle(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(1,-1,0)\rangle\).
Vemos que:
Ese vector sobra. Además:
También sobra. Por tanto, el subespacio está generado por los dos primeros vectores.
Como \((1,0,1)\) y \((0,1,1)\) no son proporcionales, son independientes.
Resultado.
Ejercicio 10. Completar una base de R3
Enunciado. Completa \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) hasta formar una base de \(\mathbb{R}^3\).
Los dos vectores dados son independientes. Para formar una base de \(\mathbb{R}^3\) necesitamos tres vectores independientes.
Podemos añadir \((0,0,1)\):
Resultado. Esa familia es la base canónica de \(\mathbb{R}^3\).
Ejercicio 11. Coordenadas respecto de una base
Enunciado. Sea \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\). Calcula las coordenadas de \((4,2)\) en la base \(B\).
Buscamos \(a,b\) tales que:
Entonces:
Sistema:
Sumando:
Entonces:
Resultado. Las coordenadas son \((3,1)_B\).
Ejercicio 12. Base de matrices 2 por 2 diagonales
Enunciado. Halla una base del subespacio de matrices diagonales \(2\times2\).
Una matriz diagonal \(2\times2\) tiene la forma:
La escribimos como combinación:
Resultado.
Ejercicio 13. Base de polinomios de grado menor o igual que 2
Enunciado. Da una base de \(P_2\), el espacio de polinomios de grado menor o igual que 2.
Todo polinomio de \(P_2\) tiene la forma:
Por tanto:
Resultado.
Ejercicio 14. Dimensión de un subespacio de R4
Enunciado. Halla base y dimensión de \(W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x+y=0, z-t=0\}\).
De las ecuaciones:
Tomamos \(y=s\), \(t=r\):
Separamos parámetros:
Resultado.
Ejercicio 15. Estudiar independencia con sistema homogéneo
Enunciado. Estudia si \((1,1,0)\), \((1,0,1)\), \((0,1,1)\) son independientes.
Planteamos:
Esto da el sistema:
De \(a+b=0\), \(b=-a\). De \(a+c=0\), \(c=-a\). Sustituimos en \(b+c=0\):
Entonces \(b=0\), \(c=0\).
Resultado. Son linealmente independientes.
Ejercicio 16. Base de un subespacio generado por filas
Enunciado. Halla una base del subespacio generado por las filas de la matriz:
La segunda fila es el doble de la primera:
Las filas primera y tercera no son proporcionales.
Resultado. Una base del subespacio fila es:
Ejercicio 17. Tres vectores en R4 no pueden ser base de R4
Enunciado. ¿Pueden \((1,0,0,0)\), \((0,1,0,0)\), \((0,0,1,0)\) formar una base de \(\mathbb{R}^4\)?
Una base de \(\mathbb{R}^4\) debe tener 4 vectores independientes.
Aquí solo hay 3 vectores, así que como mucho generan un subespacio de dimensión 3.
Resultado. No forman base de \(\mathbb{R}^4\), aunque sí son independientes.
Ejercicio 18. Cinco vectores en R4 no pueden ser independientes
Enunciado. ¿Puede una familia de 5 vectores de \(\mathbb{R}^4\) ser linealmente independiente?
No. En un espacio de dimensión 4, cualquier familia con más de 4 vectores es dependiente.
Resultado. No puede ser independiente.
Ejercicio 19. Relación entre núcleo, rango y dimensión
Enunciado. Sea \(A\) una matriz \(3\times4\) de rango 2. Calcula la dimensión del espacio de soluciones de \(Ax=0\).
La matriz tiene 4 incógnitas. Por rango-nulidad:
Resultado. El espacio de soluciones tiene dimensión 2.
Ejercicio 20. Base de la imagen de una matriz
Enunciado. Halla una base del espacio columna de:
Las columnas son:
Observamos que \(c_2=2c_1\), así que sobra.
Los vectores \(c_1\) y \(c_3\) no son proporcionales.
Resultado.
Ejercicios potentes tipo examen
Tipo examen 1. Base y dimensión de un subespacio de R4
Enunciado. Halla una base y la dimensión de \(W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x+y+z+t=0, x-y=0\}\).
De \(x-y=0\), tenemos \(x=y\). Sustituimos en la primera ecuación:
Despejamos:
Tomamos \(y=s\), \(t=r\):
Separamos:
Resultado.
Tipo examen 2. Base según un parámetro
Enunciado. Estudia para qué valores de \(a\) los vectores \((1,0,a)\), \((0,1,1)\), \((1,1,2)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
Formamos matriz por columnas:
Calculamos determinante:
Forman base si el determinante es distinto de cero:
Resultado. Forman base de \(\mathbb{R}^3\) si \(a\ne1\).
Tipo examen 3. Extraer base con Gauss
Enunciado. Extrae una base del subespacio generado por \(v_1=(1,1,0,1)\), \(v_2=(2,2,0,2)\), \(v_3=(0,1,1,0)\), \(v_4=(1,2,1,1)\).
Observamos:
También:
Por tanto, sobran \(v_2\) y \(v_4\). Quedan \(v_1\) y \(v_3\).
Como \(v_1\) y \(v_3\) no son proporcionales, son independientes.
Resultado.
Tipo examen 4. Coordenadas en una base de R3
Enunciado. Sea \(B=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}\). Expresa \((2,3,1)\) en coordenadas respecto de \(B\).
Buscamos \(a,b,c\) tales que:
Entonces:
Sistema:
De la tercera, \(b=1-a\). De la primera, \(c=2-a\). Sustituimos en la segunda:
Entonces \(b=1\), \(c=2\).
Resultado.
Tipo examen 5. Relación con aplicaciones lineales
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) con matriz asociada:
Calcula una base del núcleo y la dimensión de la imagen.
Para el núcleo resolvemos \(Ax=0\):
De la primera, \(x=-y\). De la segunda, \(z=-y\). Tomando \(y=t\):
Por tanto:
Como el dominio tiene dimensión 3 y el núcleo dimensión 1:
Resultado. Una base del núcleo es \(\{(-1,1,-1)\}\) y la imagen tiene dimensión 2.
5. Ejercicios para practicar
Trabájalos por niveles. Aquí no interesa correr: interesa detectar si el fallo está en independencia, generación, rango o parametrización.
Básicos
- Estudia si \((1,0)\) y \((2,1)\) forman base de \(\mathbb{R}^2\).
- Estudia si \((1,2)\) y \((3,6)\) forman base de \(\mathbb{R}^2\).
- Da una base de \(\mathbb{R}^3\).
- Calcula la dimensión de \(\langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle\).
- Explica por qué \((0,0,0)\) no puede formar parte de una familia independiente.
Intermedios
- Halla una base de \(W=\{(x,y,z):x+y=0\}\).
- Halla una base de \(W=\langle(1,1,0),(2,2,0),(0,1,1)\rangle\).
- Completa \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) hasta una base de \(\mathbb{R}^3\).
- Calcula las coordenadas de \((5,1)\) en la base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
- Determina la dimensión del subespacio de \(\mathbb{R}^4\) dado por \(x+y+z+t=0\).
Tipo examen
- Estudia para qué valores de \(a\) los vectores \((1,0,a)\), \((0,1,1)\), \((1,1,2)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
- Halla una base de \(W=\{(x,y,z,t):x+y=0, z+t=0\}\).
- Extrae una base de \(\langle(1,0,1),(2,0,2),(0,1,1),(1,1,2)\rangle\).
- Calcula una base del espacio columna de \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\1&2&2\end{pmatrix}\).
- Sea una matriz \(4\times5\) de rango 3. Calcula la dimensión del núcleo.
Para nota
- Construye un subespacio de \(\mathbb{R}^4\) de dimensión 2 y da una base.
- Construye una familia de 3 vectores en \(\mathbb{R}^3\) que genere un plano, no todo el espacio.
- Da una familia generadora de \(\mathbb{R}^3\) con 4 vectores y extrae una base.
- Explica por qué cualquier base de un mismo espacio tiene el mismo número de vectores.
- Relaciona base, dimensión y rango en una aplicación lineal de \(\mathbb{R}^4\) en \(\mathbb{R}^3\).
6. Soluciones rápidas para corregir
| Ejercicio | Resultado | Comentario breve |
|---|---|---|
| 1 | Sí forman base | Determinante \(1\ne0\). |
| 2 | No forman base | Son proporcionales. |
| 3 | \(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) | Base canónica. |
| 4 | Dimensión 2 | Los dos vectores son independientes. |
| 5 | Porque obliga a dependencia | El vector cero no aporta dirección. |
| 6 | \(\{(-1,1,0),(0,0,1)\}\) | Parametrizar \(x=-y\). |
| 7 | \(\{(1,1,0),(0,1,1)\}\) | El segundo generador es múltiplo del primero. |
| 8 | Añadir \((0,0,1)\) | Queda la base canónica. |
| 9 | \((3,2)_B\) | Resolver \(a+b=5\), \(a-b=1\). |
| 10 | Dimensión 3 | Una ecuación independiente en \(\mathbb{R}^4\). |
| 11 | Base si \(a\ne1\) | Determinante \(1-a\). |
| 12 | \(\{(-1,1,0,0),(0,0,-1,1)\}\) | Dos parámetros. |
| 13 | \(\{(1,0,1),(0,1,1)\}\) | Los otros dependen de estos. |
| 14 | \(\{(1,0,1),(1,1,2)\}\) | Columnas independientes. |
| 15 | Dimensión 2 | Nulidad \(=5-3=2\). |
7. Simulacro final
Tiempo recomendado: 70 minutos.
Instrucciones: justifica cada respuesta. En bases y dimensión no basta con escribir una familia de vectores: hay que decir por qué genera, por qué es independiente y qué dimensión tiene.
- Estudia si \((1,2)\) y \((2,5)\) forman base de \(\mathbb{R}^2\).
- Estudia si \((1,0,1)\), \((0,1,1)\), \((1,1,2)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
- Halla base y dimensión de \(W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}\).
- Extrae una base de \(\langle(1,0,1),(2,0,2),(0,1,1)\rangle\).
- Completa \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) hasta una base de \(\mathbb{R}^3\).
- Calcula coordenadas de \((6,2)\) en \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
- Halla una base del subespacio de \(\mathbb{R}^4\) dado por \(x+y=0\), \(z-t=0\).
- Sea una matriz \(3\times4\) de rango 2. Calcula la dimensión del núcleo.
- Estudia para qué valores de \(a\) los vectores \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((1,1,a)\) forman base de \(\mathbb{R}^3\).
- Explica en dos líneas la diferencia entre sistema generador, familia independiente y base.
Criterio de corrección
| Bloque | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Independencia y generación | 3 puntos | Distinguir bien las dos condiciones de base. |
| Rango y determinantes | 2 puntos | Usar correctamente matrices, determinantes o Gauss. |
| Subespacios por ecuaciones | 2 puntos | Parametrizar bien y extraer base. |
| Coordenadas y completación | 1,5 puntos | Resolver sistemas y completar sin perder independencia. |
| Presentación y justificación | 1,5 puntos | Orden, lenguaje matemático y revisión final. |
Soluciones del simulacro
- Sí forman base, porque \(\det\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}=1\ne0\).
- No forman base, porque \((1,1,2)=(1,0,1)+(0,1,1)\).
- Una base es \(\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\) y la dimensión es 2.
- Una base es \(\{(1,0,1),(0,1,1)\}\).
- Añadiendo \((0,0,1)\).
- \((4,2)_B\), porque \(a+b=6\), \(a-b=2\).
- \(\{(-1,1,0,0),(0,0,1,1)\}\), dimensión 2.
- Dimensión del núcleo \(=4-2=2\).
- Forman base si \(a\ne0\).
- Generador significa que permite obtener todo el espacio. Independiente significa que no sobra ningún vector. Base significa ambas cosas a la vez.
8. Diagnóstico de errores
Lo que ocurre: el alumno dice que una familia es base porque tiene el número correcto de vectores.
Qué suele haber detrás: confunde cantidad con independencia.
Cómo corregirlo: si hay \(n\) vectores en \(\mathbb{R}^n\), hay que comprobar determinante no nulo, rango \(n\) o independencia.
Lo que ocurre: al calcular una base de un subespacio dado por ecuaciones, el alumno no parametriza.
Qué suele haber detrás: intenta adivinar vectores sin resolver el sistema.
Cómo corregirlo: despejar variables principales, dejar parámetros libres y separar el vector en combinación lineal.
Lo que ocurre: extrae una base quitando vectores al azar.
Qué suele haber detrás: no interpreta dependencia lineal ni rango.
Cómo corregirlo: justificar qué vector depende de otros o usar Gauss para conservar columnas independientes.
Lo que ocurre: confunde dimensión del subespacio con dimensión del espacio ambiente.
Qué suele haber detrás: piensa que todo subespacio de \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 3.
Cómo corregirlo: recordar que una recta en \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 1 y un plano por el origen tiene dimensión 2.
9. Qué estudiar antes y después
Este recurso funciona como una pieza intermedia dentro de Álgebra Lineal. No debe quedar aislado. Antes conviene entender espacios vectoriales y subespacios. Después vienen aplicaciones lineales, diagonalización y formas cuadráticas.
Antes de bases y dimensión
Si todavía te cuesta saber qué es un subespacio, una combinación lineal o una familia generadora, revisa primero espacios vectoriales para ADE. Bases y dimensión se entienden mucho mejor cuando esa base está asentada.
Herramienta necesaria
Para calcular bases de subespacios, rangos y familias independientes aparece a menudo el método de Gauss. Si ese paso falla, puedes repasar regla de Cramer y método de Gauss, especialmente los sistemas homogéneos y el rango.
Después de este recurso
Cuando ya dominas base, dimensión e independencia, el siguiente paso natural es estudiar aplicaciones lineales, donde aparecen núcleo, imagen, rango e isomorfismos.
Siguiente nivel de Álgebra
Después, bases y dimensión vuelven a aparecer en diagonalización de matrices para ADE y Economía, porque diagonalizar exige tener suficientes autovectores independientes para formar una base.
Conexión con formas cuadráticas
También conviene tener clara la dimensión y la independencia antes de estudiar formas cuadráticas para ADE y Economía, donde aparecen matrices, signos y cambios de mirada algebraica.
Ruta universitaria completa
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Las bases y la dimensión no son un trámite de Álgebra. Son el idioma que después aparece en aplicaciones lineales, diagonalización, núcleo, imagen, rango y formas cuadráticas. Si este bloque se entiende bien, el alumno deja de hacer cuentas sueltas y empieza a ver la estructura del tema.
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10. Preguntas frecuentes sobre bases y dimensión
¿Qué es una base de un espacio vectorial?
Una base es una familia de vectores que genera todo el espacio y además es linealmente independiente. Es decir, no falta ninguna dirección y no sobra ningún vector.
¿Qué significa la dimensión de un espacio vectorial?
La dimensión es el número de vectores que tiene cualquiera de sus bases. Por ejemplo, \(\mathbb{R}^2\) tiene dimensión 2 y \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 3.
¿Cómo sé si unos vectores forman base de Rn?
En \(\mathbb{R}^n\), deben ser exactamente \(n\) vectores independientes. Si se colocan como columnas de una matriz cuadrada, forman base si el determinante es distinto de cero.
¿Qué diferencia hay entre generar y ser independiente?
Generar significa que con esos vectores se puede construir todo el espacio. Ser independiente significa que ningún vector de la familia sobra. Una base necesita ambas condiciones.
¿Cómo se calcula una base de un subespacio dado por ecuaciones?
Se resuelve el sistema, se expresan las variables en función de parámetros libres y los vectores que acompañan a esos parámetros forman una base del subespacio.
¿Cómo se extrae una base de un sistema generador?
Se eliminan los vectores que dependen linealmente de los demás. En la práctica, se colocan los vectores en una matriz y se usa el rango o el método de Gauss.
¿Qué relación hay entre rango y dimensión?
El rango indica el número de vectores independientes. Por eso, la dimensión del subespacio generado por unas columnas coincide con el rango de la matriz formada por esas columnas.
¿Por qué bases y dimensión son importantes en ADE y Economía?
Porque aparecen en Álgebra Lineal, aplicaciones lineales, sistemas, matrices, diagonalización y modelos cuantitativos. Entender bases y dimensión ayuda a interpretar rangos, soluciones y transformaciones.