Números naturales y divisibilidad 1 ESO: ejercicios resueltos paso a paso

Los múltiplos positivos de 7 se obtienen multiplicando por 1, 2, 3… Los ocho primeros son 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 y 56.

84 ÷ 6=14. Como el cociente es entero y el resto es cero, 84 es múltiplo de 6.

Las parejas de factores de 18 son 1·18, 2·9 y 3·6. Reuniendo sus componentes obtenemos D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Buscamos parejas cuyo producto sea 36: 1·36, 2·18, 3·12, 4·9 y 6·6. Por tanto, D(36)={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

La igualdad 40=8·5 explica las dos expresiones: 8 divide exactamente a 40 y, a la vez, 40 se obtiene multiplicando 8 por un entero.

3450 termina en 0: es par, cumple el criterio de divisibilidad entre 5 y también el de 10. Es divisible entre los tres números.

7+3+8=18, que es múltiplo de 3. Por el criterio de la suma de cifras, 738 es divisible entre 3.

La suma de las cifras de 1548 es 1+5+4+8=18. Como 18 es múltiplo de 9, 1548 también lo es.

Las dos últimas cifras forman 16. Como 16 es múltiplo de 4, 2316 es divisible entre 4.

Sumamos cifras alternas: 2+2=4 y 7+8=15. Su diferencia es 15−4=11, múltiplo de 11; por eso 2728 es divisible entre 11.

426 termina en 6, así que es divisible entre 2. Además, 4+2+6=12 es múltiplo de 3; también es divisible entre 3.

Para ser divisible entre 6 debe serlo entre 2 y entre 3. 426 es par y 4+2+6=12, múltiplo de 3. Cumple los dos criterios, luego es divisible entre 6.

Como 4<√17<5, basta probar los primos 2 y 3. 17 no es par y 1+7=8 no es múltiplo de 3. No tiene divisores primos hasta su raíz: es primo.

21=3·7. Tiene divisores distintos de 1 y de 21, así que es compuesto.

Son primos 2, 13 y 31. Son compuestos 9=3·3, 25=5·5 y 39=3·13. Para 13 basta probar 2 y 3; para 31, 2, 3 y 5. Ninguno de esos primos divide al número correspondiente.

Dividimos sucesivamente: 24 ÷ 2=12, 12 ÷ 2=6, 6 ÷ 2=3 y 3 ÷ 3=1. Así, 24=2·2·2·3=2³·3.

36=2·18, 18=2·9 y 9=3·3. Al reunir los factores primos, 36=2²·3².

90=2·45, 45=3·15 y 15=3·5. La descomposición es 90=2·3²·5.

120=2·60=2·2·30=2·2·2·15. Como 15=3·5, queda 120=2³·3·5.

24=2³·3 y 36=2²·3². Tomamos los factores comunes con el menor exponente: MCD(24,36)=2²·3=12.

45=3²·5 y 60=2²·3·5. Los factores comunes con menor exponente dan MCD(45,60)=3·5=15.

48=2⁴·3, 72=2³·3² y 96=2⁵·3. El menor exponente de 2 es 3 y el de 3 es 1: MCD(48,72,96)=2³·3=24.

36=2²·3² y 60=2²·3·5; su MCD es 12. Dividimos ambos términos entre 12: 36/60=3/5.

12=2²·3 y 18=2·3². El mcm reúne todos los factores con su mayor exponente: mcm(12,18)=2²·3²=36.

8=2³, 12=2²·3 y 20=2²·5. Necesitamos 2³, 3 y 5: mcm(8,12,20)=2³·3·5=120.

15=3·5 y 25=5². Reunimos 3 y 5²: mcm(15,25)=3·25=75.

Un denominador común debe ser múltiplo de 6, 8 y 12. Como 6=2·3, 8=2³ y 12=2²·3, el menor es mcm(6,8,12)=2³·3=24.

El número de bolsas debe dividir a 36 y a 48. Como 36=2²·3² y 48=2⁴·3, el máximo es su MCD: 2²·3=12 bolsas. Cada una lleva 36 ÷ 12=3 caramelos de fresa y 48 ÷ 12=4 de limón.

Buscamos el primer tiempo positivo que sea múltiplo de 12 y de 18: mcm(12,18)=2²·3²=36. Coincidirán dentro de 36 segundos.

El intervalo entre salidas conjuntas es mcm(15,20). Con 15=3·5 y 20=2²·5 obtenemos 60 minutos. Sumados a las 9:00, llevan a las 10:00.

El tamaño de los equipos debe dividir tanto a 24 como a 32. El mayor es MCD(24,32)=MCD(2³·3,2⁵)=8 alumnos por equipo.

Los días de coincidencia son los múltiplos comunes de 4 y 6. mcm(4,6)=2²·3=12, así que coincidirán dentro de 12 días.

Sí en los dos casos: 0=12·0. Esa igualdad dice que 0 es múltiplo de 12 y que 12 es divisor de 0.

Hasta √72, situada entre 8 y 9, aparecen las parejas 1·72, 2·36, 3·24, 4·18, 6·12 y 8·9. Por tanto, D(72)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.

5x4 ya es par. Para ser divisible entre 6 también debe ser divisible entre 3: 5+x+4=9+x debe ser múltiplo de 3. Entre las cifras de 0 a 9 sirven x=0, 3, 6 y 9.

La diferencia entre las sumas alternas es (8+7)−(2+2)=15−4=11. Como es múltiplo de 11, 8272 es divisible entre 11.

√97<10, de modo que basta probar los primos 2, 3, 5 y 7. No es par, sus cifras suman 16, no termina en 0 o 5 y 97=7·13+6. Ninguno lo divide: 97 es primo.

420=42·10=(2·3·7)(2·5)=2²·3·5·7.

D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18} y D(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Sus divisores comunes son 1, 2, 3 y 6; el mayor es 6.

Los múltiplos positivos de 8 empiezan 8, 16, 24…; los de 12, 12, 24… La primera coincidencia es 24, luego mcm(8,12)=24.

Las parejas 1·30, 2·15, 3·10 y 5·6 dan D(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Los cinco primeros múltiplos positivos son 30, 60, 90, 120 y 150.

1260 es divisible entre todos los números indicados. Termina en 0, así que cumple los criterios de 2, 5 y 10. Sus cifras suman 9: cumple los de 3 y 9. Las dos últimas cifras forman 60, divisible entre 4. Al ser divisible entre 2 y 3, también lo es entre 6.

72=2³·3² y 108=2²·3³. Para el MCD elegimos los menores exponentes comunes: 2²·3²=36.

72=2³·3² y 108=2²·3³. Para el mcm tomamos los mayores exponentes: 2³·3³=216.

El mayor número de paquetes es MCD(54,72). Como 54=2·3³ y 72=2³·3², el MCD es 2·3²=18. Cada paquete lleva 54 ÷ 18=3 lápices y 72 ÷ 18=4 bolígrafos.

La siguiente coincidencia ocurre al cabo de mcm(8,14). Con 8=2³ y 14=2·7, resulta 2³·7=56 minutos.

84=2²·3·7 y 126=2·3²·7. Su MCD es 2·3·7=42; al dividir ambos términos entre 42 obtenemos 84/126=2/3.

Si el resto es 5, el divisor buscado divide exactamente a 137−5=132 y 221−5=216. Como 132=2²·3·11 y 216=2³·3³, el mayor es MCD(132,216)=12.

El número de paquetes divide a 72 y a 96; buscamos el mayor divisor común. 72=2³·3² y 96=2⁵·3 dan MCD=2³·3=24. Cada paquete contiene 3 lápices y 4 rotuladores.

Para la primera coincidencia calculamos mcm(30,45,60). Las descomposiciones son 2·3·5, 3²·5 y 2²·3·5. Tomando los mayores exponentes: 2²·3²·5=180 segundos, es decir, 3 minutos.

La longitud debe dividir a 84 y a 126, y queremos que sea máxima. 84=2²·3·7 y 126=2·3²·7; MCD=2·3·7=42 cm.

El tiempo de coincidencia es mcm(16,24,40). Con 16=2⁴, 24=2³·3 y 40=2³·5, resulta 2⁴·3·5=240 minutos=4 horas.

Buscamos MCD(90,120,150). Las factorizaciones 2·3²·5, 2³·3·5 y 2·3·5² tienen en común 2·3·5=30. Se hacen 30 lotes; cada uno lleva 3 libros de Matemáticas, 4 de lectura y 5 de Inglés.

Los tres entrenamientos volverán a coincidir al cabo de mcm(6,8,9). Como 6=2·3, 8=2³ y 9=3², el mcm es 2³·3²=72 días.

El lado de la baldosa debe dividir a 210 y a 126. Con 210=2·3·5·7 y 126=2·3²·7, el mayor lado es MCD=2·3·7=42 cm. Caben 210 ÷ 42=5 baldosas a lo largo y 126 ÷ 42=3 a lo alto: 5·3=15 baldosas.

El mayor número de bolsas es MCD(96,72,120). A partir de 96=2⁵·3, 72=2³·3² y 120=2³·3·5, obtenemos 2³·3=24. Cada bolsa lleva 4 caramelos, 3 globos y 5 pegatinas.

20=2²·5, 28=2²·7 y 45=3²·5. El mcm es 2²·3²·5·7=1260 minutos=21 horas. Desde las 6:30, pasan 17 horas y media hasta medianoche y otras 3 horas y media: coincidirán a las 3:30 del día siguiente.

8=2³ y 12=2²·3, de modo que mcm(8,12)=2³·3=24 horas. Volverán a emitir juntas a las 8:00 del día siguiente.

14=2·7, 21=3·7 y 35=5·7. El primer número de días común es mcm(14,21,35)=2·3·5·7=210 días.

a) MCD: se maximiza el número de bolsas idénticas sin sobrantes. b) mcm: se busca la primera coincidencia futura. c) MCD: se maximiza una longitud que divida a las dos cuerdas. d) mcm: se busca el primer tiempo positivo común a los dos ciclos.

Multiplicamos 9 por los enteros del 1 al 6: los múltiplos pedidos son 9, 18, 27, 36, 45 y 54.

Las parejas 1·20, 2·10 y 4·5 dan todos los divisores positivos: D(20)={1, 2, 4, 5, 10, 20}.

28=1·28=2·14=4·7. Por parejas, D(28)={1, 2, 4, 7, 14, 28}.

Sí. 3+1+5=9 es múltiplo de 3, luego 315 es divisible entre 3.

Sí: 315 termina en 5 y cumple el criterio de divisibilidad entre 5.

Sí, porque 3+1+5=9, múltiplo de 9.

Las dos últimas cifras de 144 forman 44, divisible entre 4. Por eso 144 también es divisible entre 4.

144 es par y sus cifras suman 1+4+4=9, múltiplo de 3. Al ser divisible entre 2 y entre 3, es divisible entre 6.

5<√29<6, así que probamos 2, 3 y 5. 29 no es par, sus cifras suman 11 y no termina en 0 o 5. Ninguno de esos primos lo divide: es primo.

33=3·11: tiene un divisor distinto de 1 y de sí mismo, luego es compuesto.

42=2·21 y 21=3·7. La descomposición en primos es 42=2·3·7.

1260=126·10=(2·3²·7)(2·5)=2²·3²·5·7. Un divisor puede llevar exponente 0, 1 o 2 de cada uno de los primos 2 y 3, y exponente 0 o 1 de 5 y de 7. Hay 3·3·2·2=36 divisores positivos.

1050=105·10=(3·5·7)(2·5)=2·3·5²·7.

18=2·3² y 24=2³·3. Los factores comunes con menor exponente dan MCD(18,24)=2·3=6.

30=2·3·5 y 45=3²·5. Por los factores comunes, MCD(30,45)=3·5=15.

40=2³·5 y 60=2²·3·5. Tomando los menores exponentes comunes, MCD(40,60)=2²·5=20.

6=2·3 y 8=2³. Tomamos todos los factores con mayor exponente: mcm(6,8)=2³·3=24.

10=2·5 y 15=3·5. Reunimos los factores 2, 3 y 5: mcm(10,15)=30.

12=2²·3 y 20=2²·5. Con los mayores exponentes, mcm(12,20)=2²·3·5=60.

MCD(24,36)=12. Dividimos numerador y denominador entre 12: 24/36=2/3.

MCD(45,60)=15. Al dividir los dos términos entre 15, 45/60=3/4.

La primera coincidencia corresponde al mcm. Como 10=2·5 y 15=3·5, mcm(10,15)=2·3·5=30 segundos.

12=2²·3 y 18=2·3². Su mcm es 2²·3²=36, así que saldrán juntos dentro de 36 minutos.

El número de bolsas debe dividir a 32 y a 48. Como 32=2⁵ y 48=2⁴·3, MCD(32,48)=2⁴=16. Cada bolsa lleva 2 caramelos y 3 galletas.

Los múltiplos que rodean a 100 son 18·5=90 y 18·6=108. El menor múltiplo positivo de 18 mayor que 100 es 108.

900=9·100=3²·(2²·5²)=2²·3²·5².

45=3²·5 y 60=2²·3·5. Los factores comunes con menor exponente dan MCD=3·5=15; todos los factores con mayor exponente dan mcm=2²·3²·5=180.

126=2·3²·7 y 210=2·3·5·7. El MCD es 2·3·7=42. Dividimos ambos términos entre 42: 126/210=3/5.

16=2⁴ y 20=2²·5. La primera coincidencia llega al cabo de mcm(16,20)=2⁴·5=80 minutos.

Es falso. El número 12 es divisible entre 4 y entre 6, pero no entre 24. Las dos condiciones solo garantizan divisibilidad entre mcm(4,6)=12.