Números naturales y divisibilidad 1 ESO: ejercicios resueltos paso a paso

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Multiplicamos 7 por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. 7,14,21,28,35,42,49,56 Resultado: los 8 primeros múltiplos positivos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 y 56

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Dividimos 84 entre 6. 84/6=14 Como la división es exacta, 84 sí es múltiplo de 6. Resultado: sí, 84 es múltiplo de 6

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Probamos los números que dividen exactamente a 18. 18/1=18 18/2=9 18/3=6 18/6=3 18/9=2 18/18=1 Resultado: D(18)={1,2,3,6,9,18}

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Buscamos parejas de números cuyo producto sea 36. 1·36=36 2·18=36 3·12=36 4·9=36 6·6=36 Resultado: D(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. 40/8=5 Como 8 divide exactamente a 40, 8 es divisor de 40. Como 40 se obtiene multiplicando 8 por 5, 40 es múltiplo de 8.

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Termina en 0, por tanto es divisible entre 2. Termina en 0, por tanto es divisible entre 5. Termina en 0, por tanto es divisible entre 10. Resultado: 3450 es divisible entre 2, 5 y 10

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sumamos sus cifras. 7+3+8=18 Como 18 es múltiplo de 3, 738 es divisible entre 3. Resultado: sí, 738 es divisible entre 3

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sumamos sus cifras. 1+5+4+8=18 Como 18 es múltiplo de 9, 1548 es divisible entre 9. Resultado: sí, 1548 es divisible entre 9

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Miramos las dos últimas cifras. 16 Como 16 es múltiplo de 4, 2316 es divisible entre 4. Resultado: sí, 2316 es divisible entre 4

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sumamos cifras alternas. 2+2=4 7+8=15 Calculamos la diferencia. 15-4=11 Como 11 es múltiplo de 11, 2728 es divisible entre 11. Resultado: sí, 2728 es divisible entre 11

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Termina en 6, luego es divisible entre 2. Sumamos cifras: 4+2+6=12 Como 12 es múltiplo de 3, también es divisible entre 3. Resultado: 426 es divisible entre 2 y entre 3

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Es par, luego es divisible entre 2. Además, 4 + 2 + 6 = 12, múltiplo de 3. Al ser divisible entre 2 y entre 3, es divisible entre 6; de hecho, 426 ÷ 6 = 71.

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. Como √17 está entre 4 y 5, basta probar los primos 2 y 3. 17 no es par y 1+7=8 no es múltiplo de 3. Por tanto, 17 es primo.

Control. Se han probado todos los primos menores o iguales que √17: 2 y 3; ninguno divide a 17.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 21/3=7 Como 21 tiene divisores distintos de 1 y 21, no es primo. Resultado: 21 es compuesto

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 2 es primo. 9=3·3, luego es compuesto. Para 13 basta probar 2 y 3, y ninguno lo divide: es primo. 25=5·5, luego es compuesto. Para 31 basta probar 2, 3 y 5, y ninguno lo divide: es primo. 39=3·13, luego es compuesto.

Control. En 13 y 31 se han probado todos los primos hasta sus raíces; en 9, 25 y 39 se ha exhibido un divisor no trivial.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 24=2·12 12=2·6 6=2·3 Por tanto: 24=2·2·2·3=2^3·3 Resultado: 24=2^3·3

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 36=2·18 18=2·9 9=3·3 36=2^2·3^2 Resultado: 36=2^2·3^2

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 90=2·45 45=3·15 15=3·5 90=2·3^2·5 Resultado: 90=2·3^2·5

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 120=2·60 60=2·30 30=2·15 15=3·5 120=2^3·3·5 Resultado: 120=2^3·3·5

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. Descomponemos: 24=2^3·3 36=2^2·3^2 Factores comunes con menor exponente: 2^2·3=4·3=12 Resultado: MCD(24,36)=12

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. 45=3^2·5 60=2^2·3·5 Comunes con menor exponente: 3·5=15 Resultado: MCD(45,60)=15

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. 48=2^4·3 72=2^3·3^2 96=2^5·3 Comunes con menor exponente: 2^3·3=8·3=24 Resultado: MCD(48,72,96)=24

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. Calculamos el MCD de 36 y 60. 36=2^2·3^2 60=2^2·3·5 MCD(36,60)=2^2·3=12 Dividimos numerador y denominador entre 12. 36/60=3/5 Resultado: 36/60=3/5

Control. 36·5=180 y 60·3=180, así que 36/60=3/5; además, MCD(3,5)=1 y la fracción final es irreducible.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. 12=2^2·3 18=2·3^2 Tomamos todos con mayor exponente: 2^2·3^2=4·9=36 Resultado: mcm(12,18)=36

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. 8=2^3 12=2^2·3 20=2^2·5 Tomamos todos con mayor exponente: 2^3·3·5=8·3·5=120 Resultado: mcm(8,12,20)=120

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. 15=3·5 25=5^2 mcm(15,25)=3·5^2=75 Resultado: mcm(15,25)=75

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. El mínimo común denominador es el mcm de 6, 8 y 12. 6=2·3 8=2^3 12=2^2·3 mcm(6,8,12)=2^3·3=24 Resultado: el mínimo común denominador es 24

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. MCD(36,48)=12, así que se forman 12 bolsas. Cada una contiene 36 ÷ 12 = 3 caramelos de fresa y 48 ÷ 12 = 4 de limón: 7 caramelos en total.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos una coincidencia, así que usamos mcm. 12=2^2·3 18=2·3^2 mcm(12,18)=2^2·3^2=36 Resultado: volverán a coincidir dentro de 36 s

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos coincidencia, por tanto mcm. 15=3·5 20=2^2·5 mcm(15,20)=2^2·3·5=60 Volverán a coincidir 60 minutos después de las 9:00. Resultado: volverán a salir juntos a las 10:00

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos grupos iguales lo más grandes posible, así que usamos MCD. 24=2^3·3 32=2^5 MCD(24,32)=2^3=8 Resultado: cada equipo tendrá 8 alumnos

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos una coincidencia futura, así que usamos mcm. 4=2^2 6=2·3 mcm(4,6)=2^2·3=12 Resultado: volverán a coincidir dentro de 12 días

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Sí en ambos casos: 0=12·0. El divisor 12 es distinto de cero, por lo que la relación está bien definida.

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. 1·72, 2·36, 3·24, 4·18, 6·12 y 8·9. Por tanto, D(72)={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}.

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Ya es par. Para que sea divisible entre 3, 5+x+4=9+x debe ser múltiplo de 3. Sirven x=0,3,6,9: 504, 534, 564 y 594.

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. La diferencia alterna es |(8+7)−(2+2)|=|15−4|=11. Es divisible entre 11; 8 272÷11=752.

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. √97<10. No es divisible entre 2, 3, 5 ni 7; por tanto, 97 es primo.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 420=2^2·3·5·7. Comprobación: 4·3·5·7=420.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. D(18)={1,2,3,6,9,18}; D(30)={1,2,3,5,6,10,15,30}. El mayor común es 6.

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. M(8): 8,16,24,…; M(12): 12,24,… La primera coincidencia positiva es 24.

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. Divisores de 30: D(30)={1,2,3,5,6,10,15,30} Primeros múltiplos positivos: 30,60,90,120,150 Resultado: divisores 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30; múltiplos 30, 60, 90, 120 y 150

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. Entre 2: sí, porque termina en 0. Entre 3: sí, porque 1+2+6+0=9. Entre 4: sí, porque las dos últimas cifras son 60 y 60 es divisible entre 4. Entre 5: sí, porque termina en 0. Entre 6: sí, porque es divisible entre 2 y entre 3. Entre 9: sí, porque la suma de cifras es 9. Entre 10: sí, porque termina en 0.

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. 72=2^3·3^2 108=2^2·3^3 MCD(72,108)=2^2·3^2=4·9=36 Resultado: 36

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. 72=2^3·3^2 108=2^2·3^3 mcm(72,108)=2^3·3^3=8·27=216 Resultado: 216

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. Buscamos repartir en paquetes iguales, por tanto usamos MCD. 54=2·3^3 72=2^3·3^2 MCD(54,72)=2·3^2=18 Podemos hacer 18 paquetes. 54/18=3 72/18=4 Resultado: 18 paquetes, con 3 lápices y 4 bolígrafos en cada uno

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. Buscamos coincidencia, por tanto usamos mcm. 8=2^3 14=2·7 mcm(8,14)=2^3·7=56 Resultado: volverán a sonar juntas dentro de 56 minutos

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Identifica los datos, el objetivo y la operación adecuada.

Desarrollo. 84=2^2·3·7 126=2·3^2·7 MCD(84,126)=2·3·7=42 84/126=2/3 Resultado: 2/3

Control. Revisa el procedimiento y expresa la respuesta con precisión.

Decisión. Resta primero el resto común y calcula después el MCD de las diferencias obtenidas.

Desarrollo. Restamos el resto: 132 y 216. MCD(132,216)=12. Se comprueba 137=12·11+5 y 221=12·18+5.

Control. Comprueba cada división con la igualdad dividendo = divisor · cociente + resto.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Como queremos repartir en paquetes iguales sin que sobre nada, usamos MCD. 72=2^3·3^2 96=2^5·3 MCD(72,96)=2^3·3=24 Podemos hacer 24 paquetes. 72/24=3 96/24=4 Resultado: 24 paquetes, con 3 lápices y 4 rotuladores en cada uno

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos una coincidencia futura, así que usamos mcm. 30=2·3·5 45=3^2·5 60=2^2·3·5 mcm(30,45,60)=2^2·3^2·5=180 Resultado: volverán a coincidir dentro de 180 s, es decir, 3 min

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Queremos cortar en partes iguales lo más largas posible, por tanto usamos MCD. 84=2^2·3·7 126=2·3^2·7 MCD(84,126)=2·3·7=42 Resultado: cada trozo debe medir 42 cm

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos cuándo vuelven a coincidir, así que usamos mcm. 16=2^4 24=2^3·3 40=2^3·5 mcm(16,24,40)=2^4·3·5=240 Resultado: volverán a sonar juntas dentro de 240 min, es decir, 4 h

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Queremos repartir en lotes iguales, así que usamos MCD. 90=2·3^2·5 120=2^3·3·5 150=2·3·5^2 MCD(90,120,150)=2·3·5=30 Se pueden hacer 30 lotes. 90/30=3 120/30=4 150/30=5 Resultado: 30 lotes, con 3 libros de Matemáticas, 4 de lectura y 5 de Inglés

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos coincidencia futura, por tanto usamos mcm. 6=2·3 8=2^3 9=3^2 mcm(6,8,9)=2^3·3^2=72 Resultado: volverán a coincidir dentro de 72 días

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos el mayor lado posible que divida exactamente 210 y 126, así que usamos MCD. 210=2·3·5·7 126=2·3^2·7 MCD(210,126)=2·3·7=42 El lado de cada baldosa será 42 cm. 210/42=5 126/42=3 5·3=15 Resultado: baldosas de 42 cm de lado, 15 baldosas en total

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Es un reparto exacto en bolsas iguales, así que usamos MCD. 96=2^5·3 72=2^3·3^2 120=2^3·3·5 MCD(96,72,120)=2^3·3=24 Se pueden preparar 24 bolsas. 96/24=4 72/24=3 120/24=5 Resultado: 24 bolsas, con 4 caramelos, 3 globos y 5 pegatinas en cada una

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos mcm(20,28,45). Como 20=2^2·5, 28=2^2·7 y 45=3^2·5, el mcm es 2^2·3^2·5·7=1 260 minutos=21 horas. Volverán a coincidir a las 3:30 del día siguiente.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. mcm(8,12)=24 horas. Volverán a emitir juntas a las 8:00 del día siguiente.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. Buscamos coincidencia futura, por tanto usamos mcm. 14=2·7 21=3·7 35=5·7 mcm(14,21,35)=2·3·5·7=210 Resultado: volverán a coincidir dentro de 210 días

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. a) MCD, porque se busca el máximo número de bolsas idénticas. b) mcm, porque se busca la primera coincidencia futura. c) MCD, porque se maximiza una longitud común. d) mcm, porque se busca una coincidencia de ciclos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. 9, 18, 27, 36, 45, 54

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. D(20)={1,2,4,5,10,20}

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. D(28)={1,2,4,7,14,28}

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí, porque 3+1+5=9

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí, porque termina en 5

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí, porque 3+1+5=9

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí, porque 44 es divisible entre 4

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí, porque es divisible entre 2 y entre 3

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. Como √29 está entre 5 y 6, basta probar 2, 3 y 5. 29 no es par, 2+9=11 no es múltiplo de 3 y no termina en 0 o 5. Por tanto, 29 es primo.

Control. Se han agotado los divisores primos posibles 2, 3 y 5; ninguno divide exactamente a 29.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 33 es compuesto, porque 33=3·11

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 42=2·3·7

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 1 260=2^2·3^2·5·7. Tiene (2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36 divisores positivos.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 1 050=2·3·5^2·7. Comprobación: 2·3·25·7=1 050.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. MCD(18,24)=6

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. MCD(30,45)=15

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. MCD(40,60)=20

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. mcm(6,8)=24

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. mcm(10,15)=30

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. mcm(12,20)=60

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Calcula el MCD del numerador y el denominador y divide ambos por ese mismo factor.

Desarrollo. MCD(24,36)=12. Dividimos numerador y denominador entre 12: 24/36=2/3.

Control. 24·3=72 y 36·2=72; además, MCD(2,3)=1, por lo que 2/3 es irreducible.

Decisión. Calcula el MCD del numerador y el denominador y divide ambos por ese mismo factor.

Desarrollo. MCD(45,60)=15. Dividimos numerador y denominador entre 15: 45/60=3/4.

Control. 45·4=180 y 60·3=180; además, MCD(3,4)=1, por lo que 3/4 es irreducible.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. mcm(10,15)=30. Volverán a coincidir dentro de 30 segundos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. mcm(12,18)=36. Volverán a salir juntos dentro de 36 minutos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. MCD(32,48)=16. Se forman 16 bolsas; cada una contiene 32/16=2 caramelos y 48/16=3 galletas.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Los múltiplos cercanos son 18·5=90 y 18·6=108. El menor que supera 100 es 108.

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 900=9·100=3^2·2^2·5^2=2^2·3^2·5^2.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Factoriza los datos una vez; para el MCD toma comunes con menor exponente y para el mcm todos con mayor exponente.

Desarrollo. 45=3^2·5 y 60=2^2·3·5. MCD=15 y mcm=180. 15 divide a ambos; 45 y 60 dividen a 180.

Control. Comprueba divisibilidad y también maximalidad o minimalidad mediante los exponentes primos elegidos.

Decisión. Usa el MCD para simplificar de una sola vez y comprueba la equivalencia y la irreducibilidad.

Desarrollo. MCD(126,210)=42. Al dividir numerador y denominador entre 42 se obtiene 3/5.

Control. 126·5=630 y 210·3=630; además, MCD(3,5)=1, por lo que 3/5 es irreducible.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. mcm(16,20)=80. Vuelven a coincidir dentro de 80 minutos.

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Haz una conjetura, pruébala y busca un contraejemplo antes de afirmarla.

Desarrollo. Es falso. 12 es divisible entre 4 y entre 6, pero no entre 24. En realidad, esas dos condiciones garantizan divisibilidad entre mcm(4,6)=12.

Control. Una afirmación universal queda refutada con un solo contraejemplo válido.

Decisión. Decide si buscas productos de un número o si debes comprobar una división.

Desarrollo. Las parejas son 1·42, 2·21, 3·14 y 6·7. D(42)={1,2,3,6,7,14,21,42}.

Control. Comprueba con una multiplicación o una división y observa expresamente si el resto es cero o no.

Decisión. Aplica solo el criterio relacionado con la pregunta y justifica con las cifras.

Desarrollo. Sí en todos los casos: termina en 0; suma de cifras 9; las dos últimas cifras, 60, son múltiplo de 4; y cumple simultáneamente los criterios de 2 y 3 para el 6.

Control. Confirma mediante una división cuando sea útil y distingue entre resto cero y resto distinto de cero.

Decisión. Si clasificas, prueba divisores primos hasta la raíz; si factorizas, divide sucesivamente entre primos hasta llegar a 1.

Desarrollo. 180=2^2·3^2·5. Comprobación: 4·9·5=180.

Control. Un divisor no trivial demuestra que es compuesto; una factorización se comprueba multiplicando sus factores.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. 60=2^2·3·5 y 90=2·3^2·5. Tomando factores comunes con menor exponente: MCD=2·3·5=30.

Control. Verifica que divide a todos los datos y que ningún divisor común puede incorporar un factor o exponente mayor.

Decisión. Busca la primera coincidencia: todos los factores con el mayor exponente.

Desarrollo. Tomando todos los factores con mayor exponente: mcm=2^2·3^2·5=180. 180/60=3 y 180/90=2.

Control. Verifica que todos los datos dividen al resultado y que reducir cualquier exponente necesario dejaría fuera al menos uno de ellos.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. MCD(48,60)=12. Se hacen 12 bolsas; cada una lleva 48/12=4 zumos y 60/12=5 bocadillos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. 18=2·3^2 y 24=2^3·3. mcm=2^3·3^2=72. Coinciden dentro de 72 minutos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Formula la pregunta: ¿máximo reparto/tamaño o primera coincidencia?

Desarrollo. a) MCD(54,90)=18: se forman 18 lotes con 3 unidades del primer tipo y 5 del segundo. b) mcm(54,90)=270: los ciclos coinciden cada 270 minutos.

Control. Explica por qué el resultado responde a esa pregunta, no solo cuánto vale.

Decisión. Primero cruzamos los dos criterios para fijar la cifra; después distinguimos entre que un ejemplo cumpla una propiedad y que las hipótesis la garanticen siempre.

Desarrollo. La cifra única es x=6 y el número 7 632 resulta divisible entre 72. Sin embargo, ser divisible entre 4 y 9 solo garantiza divisibilidad entre 36, no entre 72; 36 es un contraejemplo.

Control. 7 632÷4=1 908, 7 632÷9=848 y 7 632÷72=106. En cambio, 36÷4=9 y 36÷9=4, pero 36 no es divisible entre 72.

Decisión. Traducimos cada condición a las opciones permitidas para los exponentes de 2, 3 y 7.

Desarrollo. Todo divisor tiene la forma 2^a·3^b·7^c, con a,b∈{0,1,2,3} y c∈{0,1}; por eso hay 4·4·2=32. Para ser múltiplo de 12=2^2·3 y no de 7 se exige a∈{2,3}, b∈{1,2,3} y c=0: hay 2·3·1=6.

Control. Los seis divisores filtrados son 12, 24, 36, 72, 108 y 216; todos dividen a 1 512 y ninguno es múltiplo de 7.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. 84=2^2·3·7 y 125=5^3. No comparten factor primo; MCD=1 y son coprimos.

Control. 84=2^2·3·7 y 125=5^3: sus listas de factores primos no comparten ninguno. Por tanto, el único divisor común positivo es 1.

Análisis. La factorización certifica por separado el máximo divisor común y el mínimo múltiplo común; la identidad se reserva para una comprobación independiente.

1. Factorizamos: 168=2^3·3·7 y 360=2^3·3^2·5.
2. Los factores comunes con menor exponente dan MCD=2^3·3=24.
3. Todos los factores con mayor exponente dan mcm=2^3·3^2·5·7=2 520.
4. Comprobamos 24·2 520=60 480=168·360. Esta igualdad sola no basta: 12 y 5 040 también tienen producto 60 480, pero no son el MCD y el mcm.

Resultado. MCD(168,360)=24 y mcm(168,360)=2 520; la identidad es un control, no la demostración aislada.

Revisión. 24 divide a 168 y a 360, mientras 168 y 360 dividen a 2 520. Los exponentes prueban maximalidad y minimalidad; 24·2 520=168·360 confirma la coherencia.

Decisión. Usa la relación entre producto, MCD y mcm y conserva todas las condiciones del enunciado.

Desarrollo. El producto de los números es 8·240=1 920. El otro es 1 920/48=40. Se comprueba MCD(48,40)=8 y mcm(48,40)=240.

Control. 48·40=1 920=8·240; además, MCD(48,40)=8 y 48·40÷8=240.

Decisión. Resta primero el resto común y calcula después el MCD de las diferencias obtenidas.

Desarrollo. Restamos el resto: 155−11=144 y 227−11=216. El mayor divisor común es MCD(144,216)=72. Además, 11<72, así que el resto es válido: 155=72·2+11 y 227=72·3+11.

Control. 155=72·2+11 y 227=72·3+11, con 0≤11<72; la factorización 144=2^4·3^2 y 216=2^3·3^3 da MCD=72.

Decisión. Una afirmación universal se prueba mediante el mcm de las condiciones; si exige más, basta un contraejemplo que alcance exactamente ese mcm.

Desarrollo. Es falsa: 36 es divisible entre 12 y 18, pero no entre 72. Lo que sí se garantiza es divisibilidad entre mcm(12,18)=36.

Control. 36÷12=3 y 36÷18=2, pero 36<72. Como mcm(12,18)=36, todo múltiplo simultáneo de 12 y 18 es múltiplo de 36.

Decisión. Calculamos primero el mcm y describimos todos los múltiplos comunes como sus múltiplos positivos.

Desarrollo. Los múltiplos comunes hasta 300 son 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252 y 288. El menor positivo es 36, por lo que 180 es común pero no mínimo.

Control. 36÷12=3 y 36÷18=2. La lista es 36·k para k=1,2,…,8; 36·9=324 ya supera 300, y 180=36·5.

Decisión. Escribe las primeras activaciones de cada ciclo: al no empezar juntos, el mcm aislado no resuelve la pregunta.

Desarrollo. A: 0,12,24,36,…; B: 6,24,42,… La primera coincidencia es el minuto 24. El desfase obliga a listar o resolver las condiciones; no basta con calcular mcm(12,18)=36.

Control. 24=12·2=6+18·1. Antes de 24, la lista de A es 0,12 y la de B es 6; no hay término común.

Decisión. Busca el mayor divisor común: factores comunes con el menor exponente.

Desarrollo. Las capacidades comunes son los divisores de MCD(96,144)=48. Los mayores de 20 son 24 y 48; la mayor es 48.

Control. 96÷24=4 y 144÷24=6; 96÷48=2 y 144÷48=3. Como MCD(96,144)=48, no existe una capacidad común mayor.

Decisión. Como 45 y 8 son coprimos, las dos condiciones equivalen a ser múltiplo de 360; acotamos esos múltiplos al intervalo del numeral.

Desarrollo. Como MCD(45,8)=1, el numeral debe ser múltiplo de 360. En el intervalo 5 700–5 799, los múltiplos vecinos son 5 400=360·15, 5 760=360·16 y 6 120=360·17; solo entra 5 760. Por tanto, x=6 e y=0.

Control. En 5 760, la suma de cifras es 18 y la última cifra es 0, luego es divisible entre 45; además, 760÷8=95. Las dos condiciones quedan verificadas de forma independiente.

Decisión. Crea una pregunta cuyo resultado represente un máximo común y otra cuya respuesta sea una primera coincidencia.

Desarrollo. Ejemplo MCD: «Con 48 mapas y 72 brújulas, ¿cuál es el máximo número de lotes idénticos sin sobrantes y qué lleva cada uno?». MCD=24: 24 lotes con 2 mapas y 3 brújulas. Ejemplo mcm: «Dos señales coinciden ahora y se repiten cada 48 y 72 minutos. ¿Cuándo vuelven a coincidir?». mcm=144 minutos.

Control. En el ejemplo de MCD, 48÷24=2 y 72÷24=3, y ningún divisor común supera 24. En el de mcm, 144÷48=3 y 144÷72=2, y no hay múltiplo común positivo menor.

Análisis. Aplicamos Euclides como vía principal y usamos la factorización como comprobación independiente.

1. Dividimos: 1 386=630·2+126.
2. Continuamos: 630=126·5+0. El último resto no nulo es 126.
3. Factorizamos: 1 386=2·3^2·7·11 y 630=2·3^2·5·7.
4. Los factores comunes con menor exponente son 2·3^2·7=126. Euclides exige menos trabajo y cada división se verifica con dividendo=divisor·cociente+resto; la factorización aporta una comprobación estructural, pero puede fallar si se omite un factor.

Resultado. MCD(1 386,630)=126. Para estos datos, Euclides es el procedimiento más corto.

Revisión. 1 386/126=11 y 630/126=5, con MCD(11,5)=1. El mcm es 6 930 y 126·6 930=873 180=1 386·630.

Análisis. Encadenamos divisiones euclídeas hasta obtener resto cero y reservamos la factorización para validar.

1. 4 140=1 512·2+1 116 y 1 512=1 116·1+396.
2. 1 116=396·2+324 y 396=324·1+72.
3. 324=72·4+36 y 72=36·2+0. Por tanto, el último resto no nulo es 36.
4. Por otra vía, 4 140=2^2·3^2·5·23 y 1 512=2^3·3^3·7; los mínimos exponentes comunes producen 2^2·3^2=36. Para números grandes, Euclides evita buscar todos los factores primos.

Resultado. MCD(4 140,1 512)=36.

Revisión. 4 140/36=115 y 1 512/36=42; 115=5·23 y 42=2·3·7 no comparten ningún factor primo.

Análisis. Usamos primero el criterio que determina la cifra y después verificamos la otra condición.

1. La suma de cifras de 3x72 es 3+x+7+2=12+x.
2. Como x es una cifra, 12+x está entre 12 y 21; el único múltiplo de 9 en ese intervalo es 18, de modo que x=6.
3. Con x=6, las tres últimas cifras son 672 y 672/8=84, así que se cumple el criterio de divisibilidad entre 8.
4. No puede existir otra cifra porque la condición de divisibilidad entre 9 ya ha dado una única posibilidad.

Resultado. x=6 y el número es 3 672.

Revisión. 3 672/8=459 y 3 672/9=408; ambos cocientes son naturales.

Análisis. Como 36=4·9 y MCD(4,9)=1, imponemos simultáneamente los criterios de 4 y de 9.

1. Para que 5a2b sea divisible entre 4, 20+b debe ser múltiplo de 4; por ello b puede ser 0, 4 u 8.
2. La suma de cifras es 7+a+b y debe ser múltiplo de 9.
3. Si b=0 resulta a=2; si b=4 resulta a=7; si b=8 resulta a=3. Los candidatos son 5 220, 5 724 y 5 328.
4. La condición a<b descarta (2,0) y (7,4), y conserva únicamente (3,8).

Resultado. a=3, b=8 y el número buscado es 5 328.

Revisión. 5 328/36=148. Además, 28 es múltiplo de 4, la suma 5+3+2+8=18 es múltiplo de 9 y 3<8.

Análisis. Enumeramos primero los finales de dos cifras divisibles entre 20 y filtramos después por la suma de cifras.

1. Los finales de dos cifras divisibles entre 20 son 00, 20, 40, 60 y 80.
2. Las sumas de cifras de 7 200, 7 220, 7 240, 7 260 y 7 280 son, respectivamente, 9, 11, 13, 15 y 17.
3. Solo 9 es múltiplo de 9, de modo que el único final admisible es 00.
4. Por tanto, a=0 y b=0; la enumeración de todos los finales posibles demuestra la exhaustividad.

Resultado. La única solución es a=0, b=0 y 72ab=7 200.

Revisión. 7 200/20=360 y 7 200/9=800.

Análisis. Buscamos una incompatibilidad necesaria: ser divisible entre 12 exige serlo entre 4, y ser divisible entre 5 restringe la última cifra.

1. La divisibilidad entre 5 obliga a que b sea 0 o 5.
2. En esos dos casos, las dos últimas cifras de 4a5b son 50 o 55, con independencia del valor de a.
3. Ninguno de esos finales es divisible entre 4, requisito necesario para la divisibilidad entre 12.
4. Como se han cubierto los dos únicos valores posibles de b, no queda ningún caso sin analizar.

Resultado. No existen cifras a y b que cumplan simultáneamente las dos condiciones.

Revisión. 50=4·12+2 y 55=4·13+3; en ambos casos el resto al dividir entre 4 es distinto de cero.

Análisis. Filtramos primero con la divisibilidad entre 6 y hacemos solo cuatro divisiones entre 7.

1. El número siempre es par. Para ser divisible entre 6 también debe ser divisible entre 3.
2. La suma de cifras es 8+x+4+6=18+x; por tanto, x puede ser 0, 3, 6 o 9.
3. Al dividir entre 7, 8 046 deja resto 3, 8 346 deja resto 2, 8 646 deja resto 1 y 8 946 deja resto 0.
4. Los cuatro valores compatibles con 6 han sido comprobados, así que x=9 es la única solución.

Resultado. x=9 y el número buscado es 8 946.

Revisión. 8 946/6=1 491, 8 946/7=1 278 y 8 946/42=213.

Análisis. Traducimos el número de divisores a un producto de exponentes aumentados en una unidad y minimizamos la factorización.

1. Si N=p^a·q^b·r^c con tres primos distintos, entonces (a+1)(b+1)(c+1)=18 y a,b,c son al menos 1.
2. La única descomposición de 18 en tres factores mayores o iguales que 2 es 3·3·2; los exponentes son 2, 2 y 1.
3. Para obtener el menor número usamos los tres primos menores, 2, 3 y 5, y colocamos el exponente menor sobre el primo mayor.
4. Así, N=2^2·3^2·5=4·9·5=180.

Resultado. El menor número pedido es 180.

Revisión. 180=2^2·3^2·5 tiene (2+1)(2+1)(1+1)=18 divisores y exactamente tres factores primos distintos.

Análisis. Escribimos N=2^a·3^b y combinamos la fórmula de divisores con la factorización de 144.

1. Como N=2^a·3^b, su número de divisores es (a+1)(b+1)=15.
2. Las parejas de factores de 15 producen exponentes (14,0), (4,2), (2,4) y (0,14).
3. La condición 144=2^4·3^2 divisor de N exige a≥4 y b≥2.
4. De las cuatro parejas, solo (a,b)=(4,2) cumple las dos desigualdades; N=2^4·3^2=144.

Resultado. N=144.

Revisión. 144/144=1 y (4+1)(2+1)=15; además, su factorización no contiene primos distintos de 2 y 3.

Análisis. Usamos la paridad de los exponentes de la factorización de un cuadrado perfecto.

1. Si N>0 es un cuadrado perfecto, en su factorización N=p1^(2a1)·p2^(2a2)·… todos los exponentes son pares.
2. El número de divisores es (2a1+1)(2a2+1)…, producto de números impares.
3. Todo producto de números impares es impar.
4. Como 12 es par, no puede ser el número de divisores de ningún cuadrado perfecto positivo.

Resultado. No existe ningún cuadrado perfecto positivo con exactamente 12 divisores positivos.

Revisión. Por ejemplo, 144=2^4·3^2 es cuadrado y tiene (4+1)(2+1)=15 divisores, un número impar, tal como predice la demostración.

Análisis. Convertimos la divisibilidad y el número de divisores en restricciones sobre a y b, y comparamos todos los candidatos.

1. Como 72=2^3·3^2, deben cumplirse a≥3 y b≥2.
2. La condición de 24 divisores es (a+1)(b+1)=24.
3. Las parejas compatibles son (a,b)=(3,5), (5,3) y (7,2), que dan 1 944, 864 y 1 152.
4. El menor de los tres candidatos es 864.

Resultado. El número mínimo es 864=2^5·3^3.

Revisión. 864/72=12 y (5+1)(3+1)=24. Los otros candidatos compatibles, 1 152 y 1 944, son mayores.

Análisis. Un divisor es cuadrado si los exponentes elegidos para 2 y 3 son ambos pares.

1. Para el factor 2 se pueden elegir los exponentes pares 0, 2, 4 y 6: cuatro opciones.
2. Para el factor 3 se pueden elegir los exponentes pares 0, 2 y 4: tres opciones.
3. En total hay 4·3=12 combinaciones.
4. Ordenándolas se obtiene 1, 4, 9, 16, 36, 64, 81, 144, 324, 576, 1 296 y 5 184.

Resultado. N posee exactamente 12 divisores que son cuadrados perfectos.

Revisión. N=2^6·3^4=5 184=72^2; la lista contiene 12 números distintos y cada cociente 5 184/d es natural.

Análisis. Acotamos el primo p tomando cubos cercanos al intervalo.

1. La condición 300<p^3<400 implica que p está entre las raíces cúbicas de 300 y 400.
2. Como 6^3=216, 7^3=343 y 8^3=512, el único entero posible para p es 7.
3. El número 7 es primo, luego N=7^3=343 cumple la condición.
4. Los divisores de p^3 son p^0, p^1, p^2 y p^3: 1, 7, 49 y 343.

Resultado. La solución única es N=343.

Revisión. 300<343<400 y (3+1)=4 divisores; 6^3 queda por debajo y 8^3 por encima del intervalo.

Análisis. Representamos N=2^a·3^b y enumeramos todas las parejas de exponentes que generan 18 divisores.

1. La divisibilidad entre 2^5·3 exige a≥5 y b≥1.
2. La ecuación (a+1)(b+1)=18 tiene, con esas cotas, las soluciones (a,b)=(5,2) y (8,1).
3. Estas parejas dan N=2^5·3^2=288 y N=2^8·3=768.
4. Las restantes factorizaciones de 18 intercambian exponentes o hacen b=0, y no cumplen a≥5, b≥1; ambas soluciones halladas son menores que 20 000.

Resultado. N puede ser 288 o 768, y no existe ningún otro caso.

Revisión. 288 tiene (5+1)(2+1)=18 divisores y 768 tiene (8+1)(1+1)=18; ambos son múltiplos de 2^5·3=96.

Análisis. Escribimos los números como 6x y 6y; entonces x e y deben ser coprimos y su producto debe ser 180/6=30.

1. Si a=6x y b=6y, la condición MCD(a,b)=6 equivale a MCD(x,y)=1.
2. Además, mcm(a,b)=6xy=180, de modo que xy=30=2·3·5.
3. Para que x e y sean coprimos, cada bloque primo 2, 3 y 5 debe asignarse entero a uno de los dos factores.
4. Las particiones no ordenadas son (1,30), (2,15), (3,10) y (5,6); al multiplicar por 6 aparecen las cuatro parejas pedidas.

Resultado. Las parejas son (6,180), (12,90), (18,60) y (30,36).

Revisión. Los cuatro productos valen 1 080=6·180, y las parejas normalizadas (1,30), (2,15), (3,10) y (5,6) son coprimas.

Análisis. Reducimos por el MCD y repartimos entre dos factores coprimos los bloques primos de 720/12=60.

1. Escribimos a=12x, b=12y, con MCD(x,y)=1 y xy=60=2^2·3·5.
2. Las particiones coprimas no ordenadas son (1,60), (3,20), (4,15) y (5,12).
3. Las parejas originales son (12,720), (36,240), (48,180) y (60,144).
4. Sus diferencias son 708, 204, 132 y 84; solo las dos últimas son menores que 200.

Resultado. Con diferencia menor que 200 quedan (48,180) y (60,144).

Revisión. MCD(48,180)=12, mcm(48,180)=720; MCD(60,144)=12, mcm(60,144)=720. Sus diferencias son 132 y 84.

Análisis. Comparamos exponentes: mínimos para el MCD, máximos para el mcm y cubrimos los exponentes que le faltan a B para ser múltiplo de A.

1. Los exponentes mínimos dan MCD(A,B)=2^4·3^2·5=720.
2. Los exponentes máximos dan mcm(A,B)=2^7·3^5·5^3·7^2.
3. Para que A divida a kB, k debe aportar 2^(7−4) y 5^(3−1); no hace falta añadir 3 ni 7.
4. Así, k mínimo=2^3·5^2=200; además, k=A/MCD(A,B)=mcm(A,B)/B.

Resultado. MCD(A,B)=720, mcm(A,B)=2^7·3^5·5^3·7^2 y k mínimo=200.

Revisión. 200B/A=3^3·7^2=1 323 es natural; todo k válido debe contener 2^3·5^2, por lo que ninguno menor que 200 sirve.

Análisis. Antes de reconstruir números, verificamos la condición necesaria y suficiente: el MCD propuesto debe dividir al mcm propuesto.

1. Todo divisor común de dos números divide cualquier múltiplo común de esos números.
2. En particular, el MCD debe dividir al mcm.
3. Al dividir 280 entre 18 se obtiene cociente 15 y resto 10.
4. La condición también es suficiente para datos positivos: si d divide a m, la pareja (d,m) tiene MCD d y mcm m. Como 18 no divide a 280, aquí los datos son incompatibles.

Resultado. No existe ninguna pareja con MCD 18 y mcm 280.

Revisión. 280=18·15+10; el resto 10 confirma que falla la condición de compatibilidad MCD divisor del mcm.

Análisis. Enumeramos primero todas las parejas mediante factores coprimos de 96/8=12 y usamos la suma como filtro final.

1. Escribimos a=8x, b=8y, con MCD(x,y)=1 y xy=12=2^2·3.
2. Las únicas particiones coprimas no ordenadas de 12 son (1,12) y (3,4).
3. Producen las parejas (8,96) y (24,32).
4. Sus sumas son 104 y 56, respectivamente; solo (24,32) cumple el dato adicional.

Resultado. Los números son 24 y 32.

Revisión. 24+32=56, MCD(24,32)=8 y mcm(24,32)=96.

Análisis. Obtenemos primero el mcm mediante producto=MCD·mcm y después repartimos bloques coprimos.

1. El mcm debe ser 13 720/14=980.
2. Al escribir a=14x y b=14y resulta xy=980/14=70=2·5·7 y MCD(x,y)=1.
3. Las particiones coprimas no ordenadas son (1,70), (2,35), (5,14) y (7,10).
4. Multiplicando cada componente por 14 obtenemos (14,980), (28,490), (70,196) y (98,140).

Resultado. Hay exactamente cuatro parejas: (14,980), (28,490), (70,196) y (98,140).

Revisión. Cada pareja tiene producto 13 720; sus factores reducidos son coprimos y, por ello, su MCD es exactamente 14.

Análisis. Si los tres números dejan resto 7 al dividir entre d, entonces d divide sus diferencias respecto de 7.

1. Restamos el resto: 187−7=180, 271−7=264 y 439−7=432.
2. Calculamos MCD(180,264)=12.
3. Después, MCD(12,432)=12; ese es el mayor divisor común de los tres números ajustados.
4. Como 7<12, el valor obtenido puede actuar como divisor con resto 7.

Resultado. El mayor divisor posible es 12.

Revisión. 187=12·15+7, 271=12·22+7 y 439=12·36+7.

Análisis. Los divisores buscados deben dividir simultáneamente 221−5 y 365−5, y además superar tanto 20 como el resto.

1. Calculamos 221−5=216 y 365−5=360.
2. MCD(216,360)=72, de modo que todo divisor posible debe ser divisor de 72.
3. Los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
4. Al conservar solo los mayores que 20 quedan 24, 36 y 72.

Resultado. Los divisores son 24, 36 y 72.

Revisión. 221=24·9+5=36·6+5=72·3+5 y 365=24·15+5=36·10+5=72·5+5.

Análisis. Combinamos la divisibilidad de los números ajustados con la condición obligatoria resto menor que divisor.

1. Si el divisor es d, debe dividir 95−17=78 y 161−17=144.
2. MCD(78,144)=6, así que cualquier d posible sería divisor de 6 y cumpliría d≤6.
3. En una división euclídea con resto 17 debe cumplirse d>17.
4. Las condiciones d≤6 y d>17 son incompatibles; no existe solución.

Resultado. No existe ningún divisor que produzca resto 17 en ambas divisiones.

Revisión. 78=6·13 y 144=6·24 muestran que 6 es el máximo candidato algebraico, pero 17<6 es falso y el resto no sería válido.

Análisis. Dos números dejan el mismo resto al dividir entre d si y solo si d divide su diferencia.

1. La diferencia es 446−302=144; por tanto, d debe ser un divisor de 144.
2. Los divisores de 144 mayores que 20 son 24, 36, 48, 72 y 144.
3. Como 302=288+14 y 288 es múltiplo de los cinco divisores, el resto de 302 es 14 en todos los casos.
4. También 446=432+14 y 432 es múltiplo de los cinco divisores; el resto de 446 coincide y 14<d.

Resultado. d puede ser 24, 36, 48, 72 o 144; el resto común es 14.

Revisión. 446−302=144 es divisible por los cinco valores, y las igualdades 302=288+14 y 446=432+14 verifican los restos.

Análisis. Resolvemos las condiciones t=4+18k y t=10+24j, con k y j naturales incluidos el cero; el desfase impide usar solo el mcm como primera respuesta.

1. Los primeros tiempos de A son 4, 22, 40, 58, 76, …
2. Los primeros tiempos de B son 10, 34, 58, 82, …
3. El primer valor común es 58.
4. Una vez encontrada una solución, las siguientes se separan mcm(18,24)=72 minutos.

Resultado. Primera coincidencia en t=58; después, una coincidencia cada 72 minutos.

Revisión. 58=4+18·3=10+24·2, y 130=58+72 satisface 130=4+18·7=10+24·5.

Análisis. Combinamos primero dos ciclos y comprobamos después la compatibilidad de esa familia de tiempos con el tercero.

1. Los múltiplos de 12 que también tienen la forma 6+18k empiezan por 24.
2. Las coincidencias de A y B son t=24+36n, con n∈{0,1,2,…}, porque mcm(12,18)=36.
3. Para coincidir con C exigiríamos 24+36n=10+20j, es decir, 36n+14=20j.
4. 36n siempre es múltiplo de 4, de modo que 36n+14 deja resto 2 entre 4; en cambio, 20j es múltiplo de 4. La igualdad es imposible.

Resultado. Las tres señales no coinciden nunca.

Revisión. Los residuos de 24+36n módulo 4 son siempre 0, mientras que todos los tiempos 10+20j dejan residuo 2 módulo 4.

Análisis. Buscamos la primera coincidencia y sumamos después el periodo común mcm(15,21).

1. Las sucesiones comienzan A: 7, 22, 37, 52, … y B: 1, 22, 43, 64, …; la primera coincidencia es 22.
2. MCD(15,21)=3 y la diferencia de inicios 7−1=6 es múltiplo de 3, por lo que sí existen coincidencias.
3. El periodo entre soluciones es mcm(15,21)=105.
4. Sumando 105 desde 22 y sin superar 500 se obtienen 22, 127, 232, 337 y 442; el siguiente valor, 547, queda fuera.

Resultado. Hay cinco coincidencias: 22, 127, 232, 337 y 442.

Revisión. 442=7+15·29=1+21·21; 547=22+105·5>500 confirma que la lista se detiene en 442.

Análisis. Clasificamos las fases mediante la condición MCD(14,21) divisor de (s−5), y resolvemos después el primer encuentro de cada fase.

1. Una coincidencia exige 5+14k=s+21j; por ello s−5=14k−21j debe ser múltiplo de MCD(14,21)=7.
2. En 0≤s<21, la congruencia s≡5 (mód. 7) produce exactamente s∈{5,12,19}.
3. Para s=5, el primer encuentro es 5; para s=12, es 33=5+14·2=12+21·1; para s=19, es 19=5+14·1=19+21·0.
4. Desde cualquier solución, las siguientes se separan mcm(14,21)=42; la congruencia anterior excluye cualquier otra fase.

Resultado. s∈{5,12,19}; primeras coincidencias 5, 33 y 19, respectivamente; periodo común 42.

Revisión. 5=5+14·0=5+21·0, 33=5+14·2=12+21·1 y 19=5+14·1=19+21·0; sumar 42 conserva ambas expresiones.

Análisis. Intentamos deducir qué puede dividir simultáneamente a la suma y a la diferencia, y buscamos después un caso que alcance el valor 2.

1. Si c divide a+b y a−b, entonces c divide su suma 2a y su diferencia 2b.
2. Como MCD(a,b)=1, se tiene MCD(2a,2b)=2·MCD(a,b)=2; por tanto, c debe dividir a 2.
3. Por ello, MCD(a+b,a−b) solo puede ser 1 o 2.
4. Con a=5 y b=3 se cumple MCD(5,3)=1, pero MCD(8,2)=2; este contraejemplo refuta la afirmación inicial.

Resultado. La afirmación es falsa. Para a y b coprimos, MCD(a+b,a−b) pertenece a {1,2}.

Revisión. El caso (5,3) produce 2 y el caso (8,3) produce MCD(11,5)=1; los dos valores de la conclusión corregida aparecen realmente.

Análisis. Construimos evidencia completa en un intervalo y después explicamos el patrón mediante parejas de divisores.

1. Creamos una fila por cada n entre 1 y 100 y contamos los d entre 1 y n para los que la división n÷d tiene resto cero.
2. Marcamos si el recuento es par o impar y si la raíz cuadrada de n es natural.
3. Los únicos recuentos impares aparecen para 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
4. Los divisores se emparejan como d y n/d. Solo en un cuadrado aparece una pareja repetida, √n y √n, que deja un divisor sin compañero; por eso el total es impar exactamente en los cuadrados.

Resultado. Un natural tiene un número impar de divisores positivos si y solo si es un cuadrado perfecto.

Revisión. Entre 1 y 100 hay 10 cuadrados y la tabla produce exactamente 10 filas con recuento impar; por ejemplo, 36 tiene 9 divisores y 40 tiene 8.

Análisis. Hallamos primero el MCD con Euclides, deducimos el mcm con la identidad del producto y factorizamos para una verificación independiente.

1. 3 910=2 992·1+918, 2 992=918·3+238 y 918=238·3+204.
2. 238=204·1+34 y 204=34·6+0; por tanto, MCD=34.
3. mcm=(3 910·2 992)/34=344 080.
4. Las factorizaciones son 3 910=2·5·17·23 y 2 992=2^4·11·17; producen MCD=2·17=34 y mcm=2^4·5·11·17·23=344 080.

Resultado. MCD(3 910,2 992)=34 y mcm(3 910,2 992)=344 080.

Revisión. 34·344 080=11 698 720 y 3 910·2 992=11 698 720.

Análisis. Combinamos divisibilidad entre 5 con los criterios de 4 y 9 que forman 36.

1. La divisibilidad entre 5 obliga a b=0 o b=5.
2. La divisibilidad entre 4 exige que 40+b sea múltiplo de 4; 40 sí lo es y 45 no, por lo que b=0.
3. La suma de cifras es 8+a+4+0=12+a y debe ser múltiplo de 9; la única cifra posible es a=6.
4. Las restricciones han fijado primero b y después a, así que no existen más soluciones.

Resultado. a=6, b=0 y el número es 8 640.

Revisión. 8 640/36=240 y 8 640/5=1 728.

Análisis. Factorizamos 2 160 y completamos hasta exponentes pares, incorporando además el factor 7^2 exigido por la divisibilidad entre 49.

1. 2 160=2^4·3^3·5.
2. Para obtener un cuadrado hay que añadir un factor 3 y un factor 5; el exponente de 2 ya es par.
3. La divisibilidad entre 49 exige añadir 7^2, que conserva par el exponente de 7; así, m mínimo=3·5·7^2=735.
4. Entonces 2 160m=2^4·3^4·5^2·7^2=(2^2·3^2·5·7)^2=(1 260)^2.

Resultado. m=735 y √(2 160m)=1 260.

Revisión. 2 160·735=1 587 600=(1 260)^2 y 1 587 600÷49=32 400. Cada factor de 735 está forzado por la paridad o por 49.

Análisis. Separamos «exactamente uno» en tres casos disjuntos y aplicamos inclusión-exclusión; comprobamos después mediante periodicidad módulo 36.

1. Sean A, B y C los múltiplos de 4, 6 y 9. En 1≤n≤360: |A|=90, |B|=60, |C|=40; |A∩B|=30, |A∩C|=10, |B∩C|=20 y |A∩B∩C|=10, usando los mcm 12, 36, 18 y 36.
2. Solo entre 4: 90−30−10+10=60.
3. Solo entre 6: 60−30−20+10=20; solo entre 9: 40−10−20+10=20.
4. Los tres grupos son disjuntos y agotan la condición; en total, 60+20+20=100.

Resultado. Entre 1 y 360 hay 100 naturales divisibles por exactamente uno de 4, 6 y 9.

Revisión. La condición se repite cada mcm(4,6,9)=36. En 1–36 la cumplen 4, 6, 8, 9, 16, 20, 27, 28, 30 y 32; diez bloques completos dan 10·10=100.

Análisis. Si 323 fuera compuesto, tendría algún divisor primo no mayor que √323; basta revisar una lista finita.

1. Como 17^2=289<323<324=18^2, basta probar 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.
2. No lo dividen 2, 3 ni 5: es impar, la suma de cifras es 8 y no termina en 0 o 5.
3. Tampoco 7, 11 ni 13: 323=7·46+1=11·29+4=13·24+11.
4. Sí lo divide 17: 323=17·19; ambos factores son primos.

Resultado. 323 es compuesto y su factorización prima es 17·19.

Revisión. 17·19=17·(20−1)=340−17=323; el divisor propio 17 descarta concluyentemente la primalidad.

Análisis. Resolvemos primero las dos primeras condiciones y cruzamos después su familia de soluciones con el tercer ciclo.

1. Las dos primeras señales coinciden por primera vez en 26, pues 26=2+12·2=8+18·1.
2. Sus coincidencias forman t=26+36n, con n∈{0,1,2,…}, ya que mcm(12,18)=36.
3. Probamos esa sucesión módulo 20: 26, 62, 98, 134 y 170; el primer término que deja resto 10 es 170.
4. El periodo triple es mcm(12,18,20)=180.

Resultado. Primera coincidencia en t=170; las siguientes aparecen cada 180 minutos.

Revisión. 170=2+12·14=8+18·9=10+20·8, y 350=170+180 satisface de nuevo las tres expresiones.

Análisis. Aplicamos la condición de compatibilidad: la diferencia de fases debe ser divisible por el MCD de los periodos.

1. Una coincidencia exigiría 5+18k=12+30j.
2. Al reorganizar resulta 18k−30j=7.
3. El lado izquierdo es siempre múltiplo de MCD(18,30)=6.
4. Como 7 no es múltiplo de 6, la igualdad es imposible para cualesquiera naturales k y j.

Resultado. Las dos señales no coinciden nunca.

Revisión. Los tiempos de la primera señal dejan resto 5 módulo 6 y los de la segunda dejan resto 0 módulo 6; esos residuos nunca pueden ser iguales.

Análisis. Partimos de la identidad fundamental del MCD y el mcm y demostramos las dos direcciones.

1. Si MCD(a,b)=1, la identidad da 1·mcm(a,b)=a·b y, por tanto, mcm(a,b)=a·b.
2. Recíprocamente, si mcm(a,b)=a·b, la identidad queda MCD(a,b)·a·b=a·b.
3. Como a·b es positivo, podemos dividir y obtener MCD(a,b)=1.
4. Para 84 y 25, el MCD es 1 y el mcm es 2 100=84·25; para 84 y 30, el MCD es 6 y el mcm es 420, distinto de 2 520.

Resultado. mcm(a,b)=a·b exactamente cuando a y b son coprimos.

Revisión. 84·25=2 100 y MCD(84,25)·mcm(84,25)=1·2 100; 6·420=2 520=84·30 en el segundo caso.

Análisis. La presencia exacta de 2, 3 y 5 exige a,b≥1; resolvemos la ecuación del número de divisores y calculamos cada caso.

1. El número de divisores es (a+1)(b+1)(1+1)=24, luego (a+1)(b+1)=12.
2. Con a,b≥1, las parejas posibles son (a,b)=(1,5), (5,1), (2,3) y (3,2).
3. Los números correspondientes son 2·3^5·5=2 430, 2^5·3·5=480, 2^2·3^3·5=540 y 2^3·3^2·5=360.
4. Los cuatro son menores que 5 000 y las demás parejas de factores de 12 harían a=0 o b=0, eliminando uno de los tres primos.

Resultado. N pertenece a {360,480,540,2 430}.

Revisión. Sus recuentos son 4·3·2, 6·2·2, 3·4·2 y 2·6·2, todos iguales a 24; las cuatro factorizaciones contienen 2, 3 y 5.

Análisis. Implementamos una criba reproducible, conservamos los supervivientes y justificamos el límite de los divisores necesarios mediante la raíz cuadrada.

1. Escribimos 2–200 y tachamos, desde cada primo superviviente, sus múltiplos a partir de su cuadrado. Basta usar 2, 3, 5, 7, 11 y 13, pues √200<15.
2. Los 46 supervivientes son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 y 199.
3. Filtramos parejas p y p+2 con ambos términos mayores o iguales que 100: (101,103), (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193) y (197,199).
4. Todo compuesto n≤200 tiene algún divisor primo menor o igual que √n≤√200; por tanto, si no fue tachado por 2, 3, 5, 7, 11 o 13, es primo y la lista es completa.

Resultado. Hay 46 primos hasta 200 y siete parejas de primos gemelos íntegramente situadas entre 100 y 200.

Revisión. La lista contiene 46 valores; cada diferencia dentro de las siete parejas es 2. Los seis primos de cribado son exactamente los primos menores o iguales que √200.