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Números naturales 1 ESO: operaciones, propiedades y problemas resueltos
Biblioteca Marlu Educativa · Matemáticas
El monográfico de base: comprender el sistema decimal, calcular con criterio y resolver problemas antes de entrar en divisibilidad.
Un recorrido con principio y final
Este recurso ocupa un territorio preciso: números naturales, estimación, cálculo y problemas. No vuelve a explicar MCD o mcm; construye la base que hace posible entenderlos después.
El sistema de numeración decimal
En este recurso usamos la convención N = {0, 1, 2, 3, …}. Un número natural sirve para contar, ordenar o codificar. Los decimales no enteros y los números negativos pertenecen a otros conjuntos.
Leer y escribir sin perder posiciones
Separamos las cifras de tres en tres desde la derecha: unidades, millares, millones. Al escribir, cada grupo salvo el primero conserva tres cifras; por eso cuarenta y dos mil seis es 42 006, no 42 600.
Valor posicional y descomposición
En 508 304, el 5 vale 500 000, el 8 vale 8 000, el 3 vale 300 y el 4 vale 4. Una descomposición correcta es 5 · 100 000 + 8 · 1 000 + 3 · 100 + 4.
Comparar y ordenar
Primero comparamos el número de cifras. Si coincide, leemos desde la izquierda hasta encontrar la primera cifra distinta. Esta regla permite justificar el orden, no solo escribirlo.
Aproximar para anticipar y controlar
Redondear no consiste en cortar. Se conserva hasta el orden pedido, se observa la cifra siguiente y se sustituyen por cero todas las cifras de la derecha: si es menor que 5 se mantiene; si es 5 o mayor, se suma una unidad.
Valor exacto
Responde con la cantidad precisa: 48 736.
Valor estimado
Permite prever y validar: a los millares, 49 000.
Las cuatro operaciones y sus controles
Suma y producto siempre dan otro natural. La resta solo permanece en N cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo; la división, cuando es exacta, da un cociente natural y resto cero.
| Operación | Uso | Control |
|---|---|---|
| Suma | Juntar o aumentar | Restar un sumando |
| Resta | Quitar, comparar o completar | Sumar diferencia y sustraendo |
| Producto | Repetir grupos iguales | Dividir entre un factor |
| División | Repartir o agrupar | D = d · c + r, con d > 0 y 0 ≤ r < d |
Propiedades que sí se pueden usar
La suma y el producto son conmutativos y asociativos. La resta y la división no lo son: 12 − 5 ≠ 5 − 12 y (48 ÷ 6) ÷ 2 ≠ 48 ÷ (6 ÷ 2).
Distributiva y factor común
También puede recorrerse al revés: a · b + a · c = a · (b + c). Elegir la dirección útil convierte una cuenta larga en otra mental.
Jerarquía de operaciones: una decisión por nivel
- Paréntesis y corchetes, desde dentro hacia fuera.
- Potencias y raíces si aparecen como notación ya conocida.
- Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Sumas y restas, de izquierda a derecha.
Paréntesis y corchetes
Los signos de agrupación cambian la estructura. No se “hace primero lo que parece más fácil”: se respeta la arquitectura de la expresión y se escribe una igualdad por paso.
Problemas: comprender antes de operar
Un problema no se resuelve buscando palabras clave aisladas. La pregunta decide la magnitud; los datos construyen relaciones; la estimación anticipa el tamaño razonable de la respuesta.
1. Representa
Datos, unidades y objetivo en una frase.
2. Resuelve
Una operación por línea y resultados intermedios nombrados.
3. Valida
Estimación, operación inversa y respuesta completa.
Cinco modelos resueltos de principio a fin
Estos cinco desarrollos enseñan el método. El banco posterior ofrece volumen y variedad; su solucionario queda separado para que pueda utilizarse en clase.
Leer, descomponer y aproximar
Objetivo. Trabajar con 7 042 036 y aproximarlo a las decenas de millar.
- Separamos en grupos de tres cifras: 7 | 042 | 036. Se lee siete millones cuarenta y dos mil treinta y seis.
- Descomponemos solo los órdenes no nulos: 7 · 1 000 000 + 4 · 10 000 + 2 · 1 000 + 3 · 10 + 6.
- Para aproximar a decenas de millar miramos la cifra de millares, que es 2. Como 2 < 5, la cifra de decenas de millar se mantiene.
- Ponemos a cero todas las cifras situadas a su derecha: 7 040 000.
Comprobación. 7 040 000 está a 2 036 unidades del número original; 7 050 000 está a 7 964. Elegimos el más cercano.
Cálculo eficiente con distributiva
Objetivo. Calcular 48 · 125 + 52 · 125 sin hacer dos multiplicaciones largas.
- Los dos sumandos comparten el factor 125.
- Sacamos factor común: 48 · 125 + 52 · 125 = (48 + 52) · 125.
- Sumamos dentro del paréntesis: 48 + 52 = 100.
- Calculamos 100 · 125 = 12 500.
Comprobación. Por cálculo directo, 48 · 125 = 6 000 y 52 · 125 = 6 500; la suma vuelve a dar 12 500.
División euclídea con interpretación
Objetivo. Guardar 2 357 piezas en cajas de 36 y distinguir cajas completas de cajas necesarias.
- La operación es 2 357 ÷ 36 porque cada caja admite 36 piezas.
- 36 · 65 = 2 340; al restar, quedan 17 piezas.
- La igualdad de control es 2 357 = 36 · 65 + 17, y 17 < 36.
- Se llenan 65 cajas, sobran 17 piezas y hace falta una caja más: 66 cajas para guardarlo todo.
Comprobación. Cociente y resto responden a preguntas distintas. Escribir la frase final evita confundir 65 con 66.
Jerarquía completa
Objetivo. Calcular 480 ÷ [6 · (11 − 7)] + 3 · 25 con una línea por nivel.
- Paréntesis: 11 − 7 = 4.
- Corchete: 6 · 4 = 24.
- Multiplicación y división: 480 ÷ 24 = 20 y 3 · 25 = 75.
- Suma final: 20 + 75 = 95.
Comprobación. El cociente es exacto: 480 ÷ 24 = 20. Como 500 ÷ 25 = 20 y 3 · 25 = 75, una estimación independiente sitúa el total cerca de 100; 95 es coherente.
Problema largo: del texto al control
Objetivo. Organizar material de una feria escolar en paquetes exactos.
- Llegan 18 cajas de 36 cuadernos y 275 cuadernos sueltos: 18 · 36 + 275 = 648 + 275 = 923.
- Se reservan 198 cuadernos: 923 − 198 = 725.
- Los restantes se empaquetan de 25 en 25: 725 ÷ 25 = 29.
- Respuesta: se preparan 29 paquetes completos y no sobra ningún cuaderno.
Comprobación. Reconstruimos: 29 · 25 + 198 = 725 + 198 = 923, exactamente el total inicial.
90 ejercicios graduados con soluciones
Base → consolidación → aplicación → reto. La ficha del alumnado reúne los enunciados; el solucionario docente aparece después, en un bloque independiente.
Escribe con cifras treinta y dos mil cuarenta y siete.
Lee el número 405 018.
Descompón 72 406.
¿Qué valor tiene la cifra 8 en 381 240?
Ordena 45 230, 45 203 y 45 320.
Redondea 4 762 a las decenas.
Redondea 4 762 a las centenas.
Redondea 26 490 a los millares.
Redondea 26 590 a los millares.
Redondea 108 951 a las centenas.
Calcula 38 472 + 9 856.
Calcula 70 000 - 28 945.
Calcula 346·28.
Calcula 8 736/24.
Al dividir 345 entre 12, indica el cociente y el resto.
Calcula 25·17·4 de forma cómoda.
Calcula 48 + 37 + 52 + 63.
Calcula 99·46.
Aplica la distributiva en 8·(30+4).
Calcula 121-49 por compensación.
Calcula 12 + 4·6.
Calcula 80 - 7·9.
Calcula 72/8 + 5·3.
Calcula 100 - 24/6·5.
Calcula 6 + 3·(9-5).
Calcula (7+5)·4 - 9.
Calcula 96 − [18 + 3 · (9 − 5)] y señala el orden de los pasos.
Calcula 96/[4·(8-2)].
Calcula 5·[18-(2+7)].
Calcula 120/5 + 6·(11-8) - 4.
Calcula 45 + 6·(18-12) - 20/5.
Calcula 90 - [12 + 3·(15-8)].
Calcula 6·[14-(3+5)] + 72/8.
Calcula [64/8 + (21-9)]·3.
Coloca paréntesis para que 8 + 4·3 - 2 = 34.
Coloca paréntesis para que 30/5 + 1 = 5.
Calcula 72 - 6·(9-4) + 18/3.
Calcula 5·[24-(8+3·4)].
Calcula 100 - [36/4 + 5·(7+2)].
Calcula 84/[7·(10-8)] + 15.
Una biblioteca tiene 1 248 libros y compra 376 más. ¿Cuántos libros tiene ahora?
Un depósito contiene 3 500 litros y se gastan 1 275. ¿Cuántos litros quedan?
Una caja contiene 24 paquetes de 18 lápices. ¿Cuántos lápices contiene en total?
Se reparten 864 cromos por igual entre 12 alumnos. ¿Cuántos recibe cada uno?
Un cine tiene 18 filas de 24 butacas y se ocupan 397. ¿Cuántas butacas quedan libres?
Una fábrica produce 1 250 piezas cada día durante 6 días y rechaza 375 piezas en total. ¿Cuántas piezas válidas obtiene?
Un autobús hace 8 viajes con 46 pasajeros en cada viaje. ¿Cuántos viajes de pasajero contabiliza?
Una familia ahorra 175 euros al mes durante 9 meses. ¿Cuánto ahorra en total?
Un colegio compra 35 cajas de 48 cuadernos y reparte 1 500. ¿Cuántos cuadernos quedan?
Un camión distribuye 4 800 kg por igual en 16 palés. ¿Cuántos kilogramos lleva cada palé?
Una tienda recibe 18 cajas de 24 botellas y vende 275. ¿Cuántas botellas quedan?
En un torneo se inscriben 12 equipos de 18 jugadores, pero el día de la competición faltan 7. ¿Cuántos jugadores participan?
Una imprenta reparte 2 400 folletos en 15 paquetes iguales y vende 8 paquetes. ¿Cuántos folletos vende?
Se recogen 3 250 kg y 2 875 kg de fruta y se venden 4 600 kg. ¿Cuántos kilogramos quedan?
Un teatro tiene 25 filas de 36 asientos y vende 784 entradas. ¿Cuántos asientos quedan libres?
Redondea 78 649 a las centenas.
Redondea 78 649 a los millares.
Calcula 4·(25+75).
Calcula 75 + 3·8 - 20.
Calcula [45 - 5·(8-3)] + 10.
Calcula 240/6 + 7·5.
Calcula 8·[19-(4+7)].
Escribe 905 040 con palabras.
Descompón 604 203.
Ordena 78 205, 78 250 y 78 025.
Calcula 325·14.
Calcula 9 450/35.
Calcula 3·[40-(7+9)] + 18.
Calcula 144/[6·(9-5)].
Una empresa compra 28 cajas de 36 unidades y vende 750 unidades. ¿Cuántas conserva?
Un pabellón tiene 32 filas de 45 asientos y se ocupan 1 206. ¿Cuántos asientos quedan libres?
Una granja recoge 2 840 huevos y coloca 12 en cada caja. ¿Cuántas cajas completa y cuántos huevos sobran? ¿Cuántas cajas necesita para guardarlos todos?
Calcula 50 · 19 usando la propiedad distributiva.
Calcula 125 · 8 · 7 reagrupando los factores de forma eficiente.
Un alumno calcula 20 + 5 · 4 = 100. Localiza el error y corrige la operación.
¿Es correcta la afirmación «506 040 puede escribirse como 5 · 100 000 + 6 · 1 000 + 4 · 10»? Justifica.
Busca el número de seis cifras cuya cifra de centenas de millar es 4, la de centenas es 7, la de unidades es 9 y las demás son 0.
¿Qué números naturales se redondean a 3 500 al aproximar a las centenas? Indica el menor y el mayor.
Sin hacer primero la cuenta exacta, estima 3 982 + 2 041 redondeando a los millares y después calcula. ¿Es coherente el resultado?
Calcula 25 · 48 de dos formas diferentes y explica cuál te resulta más eficiente.
Una asociación guarda 1 985 fichas en cajas de 32. ¿Cuántas cajas llena, cuántas fichas sobran y cuántas cajas necesita para guardarlas todas?
¿Puede una división entre 17 tener resto 19? Justifica sin efectuar ninguna división.
Inserta paréntesis en 48 − 12 ÷ 3 + 1 para que el resultado sea 13.
Sin obtener los dos productos completos, decide cuál es mayor: 398 · 52 o 400 · 50. Justifica.
Un alumno afirma que 96 ÷ 8 ÷ 2 = 96 ÷ (8 ÷ 2). Comprueba si es cierto y explica el error.
Una clase dispone de 1 250 euros. Compra 18 calculadoras a 27 euros y 12 lotes de material a 34 euros. ¿Cuánto dinero queda?
Un almacén recibe 26 palés con 48 cajas cada uno. Envía 735 cajas y reparte las restantes por igual entre 9 tiendas. ¿Cuántas recibe cada tienda y sobra alguna?
Un tren tiene 12 vagones, 72 plazas por vagón y recorre 310 km. Si viajan 795 personas, ¿cuántas plazas quedan libres? Identifica el dato innecesario.
Después de vender 286 entradas quedan 174 libres. Si todas las filas tienen 20 asientos, ¿cuántas filas hay?
Ana escribe: 720 − 6 · (45 + 15) = (720 − 6) · 60 = 714 · 60 = 42 840. Localiza el primer paso falso, resuelve correctamente y estima para validar.
30 desafíos desarrollados · 91 a 120
Problemas inversos, información incompleta, comparación de estrategias, estimación del error y modelización multietapa. Cada solución explicita la decisión, el desarrollo y una comprobación numérica.
Determina un número de siete cifras. La cifra de los millones es 4, la de las centenas de millar es 3, la de las decenas de millar es una unidad mayor que la cifra de las centenas de millar, la de los millares es 0 y la de las decenas es 7. La cifra de las centenas duplica a la de las unidades y la suma de todas las cifras es 27.
Halla el menor y el mayor natural que se redondean a 284 000 al aproximar a los millares y a 280 000 al aproximar a las decenas de millar. ¿Cuántos números cumplen a la vez las dos condiciones?
¿Qué naturales se redondean a 72 600 al aproximar a las centenas y a 73 000 al aproximar a los millares? Indica las cotas y cuenta cuántos hay.
Ordena de mayor a menor 598 742, 598 427 y 589 742. Después suma los tres números, estima la suma redondeando cada uno a las decenas de millar y calcula el error absoluto de la estimación.
Un número tiene la forma 6 · 1 000 000 + a · 100 000 + 4 · 10 000 + b · 100 + 7. Su suma de cifras es 25 y, al redondearlo a las centenas de millar, se obtiene 6 800 000. Halla a, b y el número.
En 2 764 891 cambia exactamente una cifra y disminuye el número lo menos posible para que, redondeado a las centenas de millar, dé 2 700 000. Justifica por qué ningún cambio menor sirve.
Calcula 125 · (384 + 616) − 25 · (900 − 500) sin desarrollar cuatro productos largos. Después comprueba el resultado por expansión.
Calcula 9 600 ÷ [8 · (17 − 12)] + 35 · (48 − 28) − 420 ÷ 7. Escribe una igualdad por nivel de prioridad.
Inserta exactamente un par de paréntesis en 240 ÷ 8 + 4 · 3 para obtener 12. Explica por qué las otras agrupaciones relevantes no alcanzan ese valor.
Ordena A = 999 · 437 + 437, B = 1 000 · 438 − 1 000 y C = 1 001 · 436. Debes justificar el orden usando propiedades y calcular la diferencia entre el mayor y el menor.
Completa 84 □ 7 □ 5 □ 3 con una división, una suma y una multiplicación, usadas exactamente una vez y sin cambiar el orden de los números, para obtener 27. Añade paréntesis solo si fueran necesarios.
Calcula 48 · 275 + 52 · 275 − 40 · 275 mediante factor común. Después verifica el resultado desarrollando los tres productos de forma eficiente.
En una división, el cociente es 73 y el resto 28. El dividendo está entre 6 000 y 6 100, ambos incluidos, y la suma de sus cifras es 21. Halla divisor y dividendo.
Una división tiene cociente 11, resto 47 y divisor de tres cifras. Determina el dividendo más próximo a 2 000 sin superarlo y reconstruye todos los términos de la división.
Al multiplicar un natural N por 36, el producto parcial correspondiente a multiplicar N por 6 es 4 452. Reconstruye N, calcula el producto completo y explica el valor del segundo producto parcial.
El dividendo 8□52 se divide entre 37 y el cociente es 228. Averigua la cifra perdida y el resto sin probar las diez cifras una a una.
A un número natural se le suman 275 unidades. El resultado se agrupa de 32 en 32 y se obtienen 41 grupos completos y 19 unidades sueltas. ¿Cuál era el número inicial?
Una división entre 46 tiene cociente 128. Al sumar 18 al dividendo, el nuevo resultado se puede repartir exactamente en 129 grupos de 46. Halla el resto original y el dividendo.
Para un festival se imprimen 1 250 entradas. El salón tiene 28 filas de 36 asientos, pero 46 asientos quedan bloqueados. Se venden 735 entradas por internet y 189 en taquilla. ¿Pueden sentarse todos los asistentes, cuántos asientos utilizables quedan libres y qué dato no interviene?
Un almacén recibe 37 palés con 48 piezas cada uno. Se retiran 129 piezas defectuosas y se reservan 267. Las restantes se preparan en recipientes de 35 piezas, llenos salvo, si hace falta, el último. ¿Cuántos recipientes completos salen, cuántas piezas quedan sueltas y cuántos recipientes hacen falta si también se envía el sobrante en un último recipiente incompleto?
Un centro compra 24 cajas idénticas de cuadernos a 18 euros cada una y entrega 35 cuadernos a cada una de 16 clases. ¿Cuántos cuadernos quedan? Decide si puede saberse exactamente, identifica el dato que falta y presenta dos respuestas compatibles.
Estaba previsto que viajaran 486 estudiantes, pero 8 faltan, y se incorporan 23 docentes. Cada autobús tiene 55 plazas, pero en cada uno se reservan 2 para material. El trayecto mide 320 km. ¿Cuántos autobuses se necesitan y cuántas plazas utilizables quedan vacías? Señala el dato innecesario.
Una asociación dispone de 8 250 euros. Compra 36 libros a 47 euros, 24 kits a 85 euros y paga 315 euros de transporte. Debe conservar una reserva de 1 000 euros. Con lo que queda compra dispositivos de 128 euros. El catálogo ofrece 60 colores. ¿Cuántos dispositivos puede comprar y cuánto dinero queda libre? Identifica el dato sobrante.
Un informe afirma que 1 260 botellas llenaron 42 cajas de 32 botellas cada una. El camión recorrió 180 km. Demuestra que el informe es incompatible, propone dos correcciones numéricas posibles e identifica el dato innecesario.
Un alumno escribe 800 − 25 · (18 + 14) = (800 − 25) · 32 = 24 800. Localiza el primer paso falso, resuelve correctamente y explica qué operación no puede repartirse de esa manera.
Refuta la afirmación «redondear dos sumandos a las centenas y sumarlos siempre da lo mismo que sumar primero y redondear después». Construye un contraejemplo y cuantifica tres diferencias: entre las dos rutas, entre la estimación y la suma exacta, y entre la suma redondeada y la suma exacta.
Construye una división con divisor 37, cociente 246 y el mayor resto permitido. El dividendo debe tener cuatro cifras. Calcula todos sus términos y justifica que el resto es máximo.
Analiza este problema: «Un centro almacena 960 expedientes en cajas idénticas y envía 7 cajas completas. ¿Cuántos expedientes quedan?». Explica por qué no tiene respuesta única, ofrece dos respuestas compatibles y reescríbelo con el dato mínimo necesario.
Un alumno transforma 49 · 999 + 51 · 999 en 100 · 1 000 y obtiene 100 000. Decide en qué paso deja de haber igualdad, calcula con una propiedad y cuantifica el error.
Inventa un problema coherente que se resuelva con 18 · 42 + 375 − (96 ÷ 8) · 25. Debes identificar el significado de cada resultado intermedio, resolverlo y comprobar el valor final.
Simulacro final · 121 a 130
Tiempo orientativo: 60 minutos. Cada actividad vale un punto: 0,3 por planteamiento, 0,5 por desarrollo y 0,2 por control o interpretación. El simulacro no repite literalmente enunciados del banco y aplica las técnicas en situaciones nuevas.
Un número de seis cifras tiene la forma 5a7b40. La suma de sus cifras es 28 y, redondeado a los millares, da 548 000. Determina a, b y el número.
Halla las cotas y el número de naturales que se redondean a 1 260 000 a las decenas de millar y a 1 300 000 a las centenas de millar.
Calcula 14 400 ÷ [12 · (19 − 14)] + 48 · (35 − 17) − 900 ÷ 25 y comprueba cada cociente mediante su operación inversa.
Calcula 375 · 64 + 375 · 36 − 125 · 300 por la ruta más breve. Después verifica desarrollando los productos.
En la división de 7□84 entre 36, el cociente es 207. Halla la cifra oculta y el resto mediante una cota, no probando todas las cifras.
A un número se le suman 428 unidades. Al repartir el resultado en 37 grupos se obtiene cociente 62 y resto 15. ¿Cuál era el número inicial?
Un campamento organiza 17 grupos de 28 participantes. Se producen 39 bajas y se incorporan 23 monitores. Los autobuses tienen 48 plazas, pero una plaza de cada vehículo queda reservada para material. El viaje es de 210 km. ¿Cuántos autobuses hacen falta, cuántas plazas de viajeros quedan vacías y qué dato sobra?
Un responsable confirma que están verificadas las 20 cajas, las 23 unidades por caja, los 24 alumnos y la entrega de 18 rotuladores a cada uno; solo puede haberse transcrito mal la cantidad final. El parte dice que quedaron 38. Compruébalo y corrige esa única cantidad.
Refuta con números naturales la igualdad a − (b − c) = (a − b) − c y escribe la transformación correcta para a = 50, b = 18 y c = 7.
Crea un problema realista cuya expresión sea [32 · 45 + 275 − 195] ÷ 20. Resuélvelo, nombra cada resultado intermedio y comprueba la respuesta reconstruyendo el total.
Solucionario completo
Las soluciones están reunidas y ordenadas para corregir en clase o imprimirlas como cuadernillo independiente. Cada una conserva el razonamiento y la comprobación del ejercicio correspondiente.
Soluciones 1 a 90 · práctica graduada
1. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 32 047
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
2. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. Cuatrocientos cinco mil dieciocho
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
3. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 7·10 000 + 2·1 000 + 4·100 + 6
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
4. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 80 000
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
5. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 45 203 < 45 230 < 45 320
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
6. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 4 760
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
7. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 4 800
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
8. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 26 000
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
9. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 27 000
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
10. Redondeo a centenas
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. La cifra de decenas es 5, así que aumentamos la cifra de centenas: 109 000.
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
11. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 48 328
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
12. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 41 055
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
13. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 9 688
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
14. División
Decisión. Identifica dividendo, divisor, cociente y resto.
Desarrollo. 364
Control. Verifica dividendo = divisor · cociente + resto, con resto menor que divisor.
15. División euclídea
Decisión. Identifica dividendo, divisor, cociente y resto.
Desarrollo. El cociente es 28 y el resto es 9, porque 345 = 12 · 28 + 9 y 0 ≤ 9 < 12.
Control. Verifica dividendo = divisor · cociente + resto, con resto menor que divisor.
16. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 25·4·17 = 100·17 = 1 700
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
17. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. (48+52)+(37+63)=200
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
18. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. (100-1)·46 = 4 554
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
19. Aplicar la distributiva
Decisión. Identifica el factor común y distribuye sobre todos los términos del paréntesis.
Desarrollo. 8·30 + 8·4 = 272
Control. Calcula por la forma original y por la desarrollada: ambos resultados deben coincidir.
20. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 122-50 = 72
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
21. Jerarquía de operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 36
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
22. Jerarquía de operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 17
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
23. Jerarquía de operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 24
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
24. Jerarquía de operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 80
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
25. Jerarquía de operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 18
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
26. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 39
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
27. Jerarquía sin atajos
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. Primero 9 − 5 = 4; después 3 · 4 = 12; dentro del corchete, 18 + 12 = 30; por último, 96 − 30 = 66.
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
28. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 4
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
29. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 45
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
30. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 38
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
31. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 77
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
32. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 57
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
33. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 45
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
34. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 60
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
35. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. (8+4)·3 - 2 = 34
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
36. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 30/(5+1)=5
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
37. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 48
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
38. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 20
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
39. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 46
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
40. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 21
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
41. Biblioteca
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 1 248 + 376 = 1 624. Tiene 1 624 libros.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
42. Depósito
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 3 500 − 1 275 = 2 225. Quedan 2 225 litros.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
43. Lápices
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 24 · 18 = 432. Contiene 432 lápices.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
44. Reparto de cromos
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 864 ÷ 12 = 72. Cada alumno recibe 72 cromos.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
45. Aforo del cine
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Hay 18 · 24 = 432 butacas; 432 − 397 = 35. Quedan 35 libres.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
46. Control de producción
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Produce 1 250 · 6 = 7 500; 7 500 − 375 = 7 125. Obtiene 7 125 piezas válidas.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
47. Viajes de pasajero
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 8 · 46 = 368. Contabiliza 368 viajes de pasajero; no se afirma que sean 368 personas distintas.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
48. Plan de ahorro
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 175 · 9 = 1 575. Ahorra 1 575 euros.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
49. Cuadernos restantes
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Compra 35 · 48 = 1 680; 1 680 − 1 500 = 180. Quedan 180 cuadernos.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
50. Carga por palé
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 4 800 ÷ 16 = 300. Cada palé lleva 300 kg.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
51. Botellas restantes
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Recibe 18 · 24 = 432; 432 − 275 = 157. Quedan 157 botellas.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
52. Participantes
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Se inscriben 12 · 18 = 216; participan 216 − 7 = 209 jugadores.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
53. Folletos vendidos
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Cada paquete contiene 2 400 ÷ 15 = 160; vende 8 · 160 = 1 280 folletos.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
54. Fruta disponible
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Se recogen 3 250 + 2 875 = 6 125; quedan 6 125 − 4 600 = 1 525 kg.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
55. Aforo del teatro
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Hay 25 · 36 = 900 asientos; quedan 900 − 784 = 116 libres.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
56. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 78 600
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
57. Aproximación
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. 79 000
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
58. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 400
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
59. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 79
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
60. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 30
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
61. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 75
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
62. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 64
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
63. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. Novecientos cinco mil cuarenta
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
64. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 6·100 000 + 4·1 000 + 2·100 + 3
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
65. Numeración
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. 78 025 < 78 205 < 78 250
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
66. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 4 550
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
67. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 270
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
68. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 90
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
69. Operaciones
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. 6
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
70. Inventario
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Compra 28 · 36 = 1 008; conserva 1 008 − 750 = 258 unidades.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
71. Pabellón
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Hay 32 · 45 = 1 440; quedan 1 440 − 1 206 = 234 asientos libres.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
72. Cajas completas
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. 2 840 = 12 · 236 + 8. Completa 236 cajas, sobran 8 huevos y necesita 237 cajas para guardarlos todos.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
73. Distributiva con una diferencia
Decisión. Identifica el factor común y distribuye sobre todos los términos del paréntesis.
Desarrollo. 50 · (20 − 1) = 50 · 20 − 50 · 1 = 1 000 − 50 = 950.
Control. Calcula por la forma original y por la desarrollada: ambos resultados deben coincidir.
74. Asociar para calcular
Decisión. Reagrupa solo con propiedades válidas para construir productos sencillos.
Desarrollo. Por la propiedad asociativa, (125 · 8) · 7 = 1 000 · 7 = 7 000.
Control. Compara con el orden de magnitud o con una segunda descomposición equivalente.
75. Detectar un error de prioridad
Decisión. Localiza el primer paso que deja de ser equivalente a la expresión anterior.
Desarrollo. Ha sumado antes de multiplicar. Primero 5 · 4 = 20 y después 20 + 20 = 40.
Control. Resuelve por el orden correcto y usa una estimación para validar el tamaño del resultado.
76. Cero y valor posicional
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. Sí. Los órdenes con cifra cero aportan 0 y pueden omitirse. La descomposición vale 500 000 + 6 000 + 40 = 506 040.
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
77. Número oculto
Decisión. Localiza el orden de cada cifra antes de operar.
Desarrollo. El número es 400 709: 4 centenas de millar, 7 centenas y 9 unidades.
Control. Comprueba que cada cifra conserva su valor posicional.
78. Intervalo de redondeo
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. Desde 3 450 hasta 3 549, ambos incluidos. 3 450 es el primero que sube a 3 500 y 3 550 ya se redondea a 3 600.
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
79. Estimación antes del cálculo
Decisión. Marca el orden pedido y observa únicamente la cifra siguiente.
Desarrollo. Estimación a los millares: 4 000 + 2 000 = 6 000. Cálculo exacto: 6 023. Es coherente porque queda muy cerca de 6 000.
Control. El redondeo debe mantener el orden de magnitud y anular las cifras posteriores.
80. Dos rutas
Decisión. Elige la propiedad que reduzca el número de pasos sin cambiar el valor.
Desarrollo. Ruta 1: 25 · (50 − 2) = 1 250 − 50 = 1 200. Ruta 2: (100 ÷ 4) · 48 = 4 800 ÷ 4 = 1 200. Ambas son válidas; la segunda usa que multiplicar por 25 equivale a multiplicar por 100 y dividir entre 4.
Control. Sustituye el resultado en la expresión original y compara.
81. División con resto
Decisión. Identifica dividendo, divisor, cociente y resto.
Desarrollo. 1 985 = 32 · 62 + 1. Llena 62 cajas, sobra 1 ficha y necesita 63 cajas para guardarlas todas.
Control. Verifica dividendo = divisor · cociente + resto, con resto menor que divisor.
82. Detecta la imposibilidad
Decisión. Identifica dividendo, divisor, cociente y resto.
Desarrollo. No. En una división euclídea el resto cumple 0 ≤ resto < divisor; si el divisor es 17, el resto máximo es 16.
Control. Verifica dividendo = divisor · cociente + resto, con resto menor que divisor.
83. Orden de cálculo
Decisión. Respeta la prioridad y avanza de izquierda a derecha dentro de cada nivel.
Desarrollo. Una posibilidad es (48 − 12) ÷ 3 + 1 = 36 ÷ 3 + 1 = 13.
Control. Repite el cálculo por una ruta equivalente o usa la operación inversa.
84. Compara sin terminar
Decisión. Compara ambas expresiones respecto a un mismo producto de referencia.
Desarrollo. Comparamos con 400 · 52: el primer producto es 2 · 52 = 104 menor; el segundo es 400 · 2 = 800 menor. Como 104 < 800, 398 · 52 es mayor que 400 · 50, sin calcular ninguno de los dos productos completos.
Control. La diferencia obtenida debe indicar sin ambigüedad cuál de las dos es mayor.
85. Error de asociación
Decisión. Haz una conjetura, pruébala y busca un contraejemplo antes de afirmarla.
Desarrollo. Izquierda a derecha: 96 ÷ 8 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6. Con paréntesis: 96 ÷ 4 = 24. No son iguales: la división no es asociativa.
Control. Una afirmación universal queda refutada con un solo contraejemplo válido.
86. Presupuesto escolar
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Gasta 18 · 27 = 486 y 12 · 34 = 408; gasto total 894. Quedan 1 250 − 894 = 356 euros.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
87. Tres decisiones
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Recibe 26 · 48 = 1 248; quedan 1 248 − 735 = 513. Como 513 ÷ 9 = 57, cada tienda recibe 57 cajas y no sobra ninguna.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
88. Dato innecesario
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. Hay 12 · 72 = 864 plazas; quedan 864 − 795 = 69. Los 310 km no intervienen en la pregunta.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
89. Problema inverso
Decisión. Traduce cada dato a una operación y escribe qué magnitud buscas.
Desarrollo. El aforo es 286 + 174 = 460 asientos. Como 460 ÷ 20 = 23, hay 23 filas.
Control. Comprueba unidades, sentido del resultado y respuesta completa.
90. Auditoría de una solución
Decisión. Localiza el primer paso que deja de ser equivalente a la expresión anterior.
Desarrollo. El primer paso es falso: 720 − 6 · 60 no equivale a (720 − 6) · 60. Correctamente, 45 + 15 = 60; 6 · 60 = 360; 720 − 360 = 360. La estimación 700 − 6 · 60 ≈ 340 confirma un resultado de varios cientos.
Control. Resuelve por el orden correcto y usa una estimación para validar el tamaño del resultado.
Soluciones 91 a 120 · desafíos
91. Número oculto por relaciones
Análisis. Traducir cada condición a una posición y reservar la suma de cifras para encontrar las dos cifras relacionadas.
- Las cifras conocidas aportan 4 + 3 + 4 + 0 + 7 = 18.
- Si la cifra de unidades es u, la de centenas es 2 · u. Por tanto, 18 + 2 · u + u = 27.
- De 18 + 3 · u = 27 se obtiene 3 · u = 9 y u = 3. La cifra de centenas es 6.
- Colocando cada cifra en su orden resulta 4 340 673.
Resultado. El único número que cumple todas las condiciones es 4 340 673.
Revisión. 4 + 3 + 4 + 0 + 6 + 7 + 3 = 27 y 6 = 2 · 3.
92. Dos redondeos y una intersección
Análisis. Convertir cada redondeo en un intervalo cerrado de naturales y tomar la parte común.
- Redondear a 284 000 a los millares exige estar entre 283 500 y 284 499.
- Redondear a 280 000 a las decenas de millar exige estar entre 275 000 y 284 999.
- La intersección es desde 283 500 hasta 284 499, ambos incluidos.
- El número de naturales es 284 499 − 283 500 + 1 = 1 000.
Resultado. Menor 283 500, mayor 284 499 y 1 000 números posibles.
Revisión. 283 499 ya se redondea a 283 000 y 284 500 a 285 000, mientras 283 500 y 284 499 también se aproximan a 280 000 a las decenas de millar.
93. Intervalo compatible
Análisis. Construir los dos intervalos de error y comprobar cuál queda contenido en el otro.
- La aproximación a centenas da 72 600 desde 72 550 hasta 72 649.
- La aproximación a millares da 73 000 desde 72 500 hasta 73 499.
- Todo el primer intervalo está dentro del segundo, por lo que no se elimina ningún valor.
- La cuenta inclusiva es 72 649 − 72 550 + 1 = 100.
Resultado. El intervalo solución es [72 550, 72 649] y contiene 100 naturales.
Revisión. 72 550 está a 50 de 72 600 y 450 de 73 000. 72 649 está a 49 de 72 600 y 351 de 73 000.
94. Orden, estimación y error
Análisis. Comparar primero por la primera cifra distinta y separar después valor exacto, estimación y error.
- Entre los dos primeros números, las centenas marcan la primera diferencia. Así, 598 742 > 598 427. Además, 598 427 > 589 742 por las decenas de millar.
- La suma exacta es 598 742 + 598 427 + 589 742 = 1 786 911.
- A decenas de millar se obtiene 600 000 + 600 000 + 590 000 = 1 790 000.
- El error absoluto es 1 790 000 − 1 786 911 = 3 089.
Resultado. 598 742 > 598 427 > 589 742, suma exacta 1 786 911 y error de estimación 3 089.
Revisión. Los tres errores individuales son 1 258, 1 573 y 258. Su suma es 1 258 + 1 573 + 258 = 3 089.
95. Cifras bajo dos condiciones
Análisis. Usar primero la cifra que decide el redondeo y después la suma de cifras.
- La cifra de las decenas de millar es 4, menor que 5, por lo que el redondeo conserva la cifra a.
- Para obtener 6 800 000 debe ser a = 8.
- La suma de cifras queda 6 + 8 + 4 + b + 7 = 25, de donde 25 + b = 25 y b = 0.
- Al sustituir se obtiene 6 000 000 + 800 000 + 40 000 + 7 = 6 840 007.
Resultado. a = 8, b = 0 y N = 6 840 007.
Revisión. 6 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0 + 7 = 25. Además, 6 840 007 está a 40 007 de 6 800 000 y a 59 993 de 6 900 000.
96. Cambio mínimo de una cifra
Análisis. Localizar la cifra que decide el redondeo y elegir el mayor valor que haga bajar la aproximación.
- Para redondearse a 2 700 000, el número debe estar entre 2 650 000 y 2 749 999.
- Cambiar una cifra situada a la derecha de las decenas de millar no elimina el 6 que obliga a subir a 2 800 000.
- En las decenas de millar, 5 todavía haría subir. El mayor valor permitido es 4.
- El cambio 6 por 4 produce 2 744 891 y una disminución de 20 000.
Resultado. El cambio mínimo es 2 764 891 → 2 744 891, una disminución de 20 000.
Revisión. 2 754 891, obtenido con 5, aún se redondea a 2 800 000. En cambio, 2 744 891 se redondea a 2 700 000.
97. Factor común en dos direcciones
Análisis. Resolver primero las agrupaciones que forman centenas o millares y reservar la expansión para el control.
- 384 + 616 = 1 000 y 900 − 500 = 400.
- La expresión queda 125 · 1 000 − 25 · 400.
- Los productos son 125 000 y 10 000.
- La diferencia es 125 000 − 10 000 = 115 000.
Resultado. 125 · (384 + 616) − 25 · (900 − 500) = 115 000.
Revisión. 125 · 384 = 48 000, 125 · 616 = 77 000, 25 · 900 = 22 500 y 25 · 500 = 12 500. Así, 48 000 + 77 000 − 22 500 + 12 500 = 115 000.
98. Jerarquía de cuatro niveles
Análisis. Cerrar paréntesis y corchetes antes de efectuar los productos y cocientes exteriores.
- Los paréntesis dan 17 − 12 = 5 y 48 − 28 = 20.
- El corchete vale 8 · 5 = 40.
- Se calculan 9 600 ÷ 40 = 240, 35 · 20 = 700 y 420 ÷ 7 = 60.
- Finalmente, 240 + 700 − 60 = 880.
Resultado. 9 600 ÷ [8 · (17 − 12)] + 35 · (48 − 28) − 420 ÷ 7 = 880.
Revisión. La reconstrucción numérica es 40 · 240 = 9 600, 700 ÷ 35 = 20 y 7 · 60 = 420. La suma final 240 + 700 = 940 y 940 − 60 = 880.
99. Paréntesis con objetivo
Análisis. Para reducir 240 hasta 12, construir un divisor 20 sin alterar el orden de los números.
- Como 240 ÷ 12 = 20, el bloque que actúe como divisor debe valer 20.
- Manteniendo el orden, 8 + 4 · 3 = 8 + 12 = 20.
- Por tanto, 240 ÷ (8 + 4 · 3) = 240 ÷ 20 = 12.
- Las agrupaciones 240 ÷ (8 + 4) · 3 y (240 ÷ 8 + 4) · 3 dan 60 y 102, respectivamente.
Resultado. 240 ÷ (8 + 4 · 3) = 12.
Revisión. Sin ese agrupamiento se obtiene 240 ÷ 8 + 4 · 3 = 42. Los otros dos cambios efectivos comprobados dan 60 y 102, no 12.
100. Comparar sin multiplicar en columna
Análisis. Transformar cada expresión alrededor de 1 000 para que la comparación sea visible.
- A = 437 · (999 + 1) = 437 · 1 000 = 437 000.
- B = 1 000 · (438 − 1) = 1 000 · 437 = 437 000.
- C = 436 · (1 000 + 1) = 436 000 + 436 = 436 436.
- A y B superan a C en 437 000 − 436 436 = 564.
Resultado. A = B > C y la distancia entre el valor mayor y el menor es 564.
Revisión. 999 · 437 = 436 563 y 436 563 + 437 = 437 000. Además, 436 436 + 564 = 437 000.
101. Operaciones en casillas
Análisis. Buscar dos bloques sencillos cuya suma sea 27 y respetar después la jerarquía.
- 84 y 7 permiten construir 84 ÷ 7 = 12.
- 5 y 3 permiten construir 5 · 3 = 15.
- Los dos bloques se enlazan con la suma porque 12 + 15 = 27.
- La jerarquía ya ejecuta división y multiplicación antes de sumar, por lo que no hacen falta paréntesis.
Resultado. 84 ÷ 7 + 5 · 3 = 12 + 15 = 27.
Revisión. 7 · 12 = 84, 15 ÷ 5 = 3 y 12 + 15 = 27.
102. Una cuenta, dos verificaciones
Análisis. Reunir los tres términos mediante el factor 275 antes de multiplicar.
- Se saca factor común 275 y queda (48 + 52 − 40) · 275.
- Dentro del paréntesis, 48 + 52 − 40 = 100 − 40 = 60.
- Entonces 60 · 275 = 16 500.
- Por separado, 48 · 275 = 13 200, 52 · 275 = 14 300 y 40 · 275 = 11 000.
Resultado. 48 · 275 + 52 · 275 − 40 · 275 = 16 500.
Revisión. 13 200 + 14 300 − 11 000 = 27 500 − 11 000 = 16 500.
103. División reconstruida con una cota
Análisis. Expresar el dividendo en función del divisor y usar primero la cota, después la suma de cifras.
- Si d es el divisor, el dividendo vale 73 · d + 28 y debe cumplirse d > 28.
- La cota 6 000 ≤ 73 · d + 28 ≤ 6 100 deja las posibilidades d = 82 y d = 83.
- Con d = 82 se obtiene 6 014, cuya suma de cifras es 11. Con d = 83 se obtiene 6 087, cuya suma es 21.
- La condición final selecciona divisor 83 y dividendo 6 087.
Resultado. Divisor 83, cociente 73, resto 28 y dividendo 6 087.
Revisión. 83 · 73 + 28 = 6 059 + 28 = 6 087, 28 < 83 y 6 + 0 + 8 + 7 = 21.
104. División óptima bajo una cota
Análisis. Expresar el dividendo en función del divisor y convertir la cota superior en una cota exacta para ese divisor.
- Si d es el divisor, el dividendo es D=11·d+47, con d de tres cifras.
- La condición D≤2 000 exige 11·d≤1 953, por lo que d≤177.
- Para acercar D a 2 000 por debajo elegimos el mayor divisor permitido: d=177.
- Reconstruimos D=11·177+47=1 947+47=1 994; con d=178 se obtendría 2 005 y se superaría la cota.
Resultado. 1 994=177·11+47; divisor 177, cociente 11 y resto 47.
Revisión. 1 994≤2 000 y 47<177. El siguiente divisor, 178, daría 2 005, así que ningún dividendo admisible queda más cerca de 2 000.
105. Producto desde un parcial
Análisis. Deshacer el primer producto parcial y recordar que el 3 de 36 representa 30.
- Como N · 6 = 4 452, se obtiene N = 4 452 ÷ 6 = 742.
- La fila asociada a la cifra 3 puede escribirse como 2 226 desplazada una posición; su valor posicional es 742 · 30 = 22 260.
- El primer parcial vale 4 452 y el segundo, interpretado posicionalmente, 22 260.
- La suma 4 452 + 22 260 da 26 712.
Resultado. El factor oculto es 742 y el producto total es 26 712.
Revisión. 26 712 ÷ 36 = 742 y 22 260 ÷ 30 = 742.
106. Cifra perdida en el dividendo
Análisis. Acotar el dividendo con el producto divisor por cociente y el intervalo posible del resto.
- El producto de divisor y cociente es 37 · 228 = 8 436.
- Como el resto puede ir de 0 a 36, el dividendo debe estar entre 8 436 y 8 472.
- El único número de la forma 8□52 dentro de ese intervalo es 8 452, por lo que la cifra es 4.
- El resto es 8 452 − 8 436 = 16.
Resultado. 8 452 ÷ 37 tiene cociente 228 y resto 16.
Revisión. 37 · 228 + 16 = 8 436 + 16 = 8 452 y 16 < 37.
107. Deshacer una cadena de operaciones
Análisis. Reconstruir primero el total posterior a la suma y deshacer después esa suma.
- El total después de sumar se reconstruye como 32 · 41 + 19.
- 32 · 41 = 1 312 y 1 312 + 19 = 1 331.
- El número inicial es 1 331 − 275.
- La resta da 1 056.
Resultado. El número antes de añadir 275 era 1 056.
Revisión. 1 056 + 275 = 1 331 y 1 331 = 32 · 41 + 19, con 19 < 32.
108. Resto que desaparece
Análisis. Relacionar los dos dividendos antes y después de añadir 18.
- El nuevo dividendo es 46 · 129 = 5 934.
- El dividendo original es 5 934 − 18 = 5 916.
- El producto asociado al cociente original es 46 · 128 = 5 888.
- El resto original vale 5 916 − 5 888 = 28.
Resultado. Dividendo 5 916, divisor 46, cociente 128 y resto 28.
Revisión. 5 916 = 46 · 128 + 28 y 5 916 + 18 = 5 934 = 46 · 129.
109. Aforo con un dato sobrante
Análisis. Distinguir capacidad total, capacidad utilizable y entradas realmente vendidas.
- La capacidad total es 28 · 36 = 1 008 asientos.
- Tras bloquear 46, quedan 1 008 − 46 = 962 asientos utilizables.
- Las entradas vendidas son 735 + 189 = 924.
- Como 924 ≤ 962, todos pueden sentarse y quedan 962 − 924 = 38 asientos utilizables. Las 1 250 entradas impresas son un dato sobrante.
Resultado. Todos pueden sentarse y quedan 38 asientos utilizables libres.
Revisión. 924 ocupados + 38 libres + 46 bloqueados = 1 008 asientos totales.
110. Inventario con sobrante final
Análisis. Calcular el stock útil antes de interpretar por separado cociente, resto y número de recipientes necesarios.
- El total recibido es 37 · 48 = 1 776 piezas.
- El stock disponible es 1 776 − 129 − 267 = 1 380.
- Al agrupar, 1 380 = 35 · 39 + 15.
- Hay 39 recipientes completos y 15 piezas sueltas. Para enviar también esas 15 piezas se necesita un recipiente adicional, 40 en total.
Resultado. 39 recipientes completos, 15 piezas sueltas y 40 recipientes para enviarlas todas.
Revisión. 35 · 39 + 15 + 129 + 267 = 1 365 + 15 + 396 = 1 776.
111. Información insuficiente
Análisis. Separar los datos que afectan al número de cuadernos de los que solo describen el coste.
- Se entregan 35 · 16 = 560 cuadernos.
- Falta la capacidad de cada una de las 24 cajas. El precio de 18 euros no permite calcularla.
- Si cada caja contiene 25, se compran 24 · 25 = 600 y quedan 600 − 560 = 40.
- Si cada caja contiene 30, se compran 24 · 30 = 720 y quedan 720 − 560 = 160.
Resultado. Los datos son insuficientes. Falta la cantidad de cuadernos por caja.
Revisión. Las dos situaciones respetan los mismos datos: 600 − 560 = 40 y 720 − 560 = 160. Como producen respuestas distintas, no hay solución única.
112. Autobuses con plazas reservadas
Análisis. Ajustar primero viajeros y capacidad efectiva por autobús, sin usar la distancia.
- Los viajeros son 486 − 8 + 23 = 501.
- Cada autobús admite 55 − 2 = 53 viajeros.
- Nueve autobuses ofrecen 9 · 53 = 477 plazas útiles y no bastan. Diez ofrecen 530.
- Con diez autobuses quedan 530 − 501 = 29 plazas utilizables vacías. La distancia de 320 km es innecesaria.
Resultado. 10 autobuses y 29 plazas utilizables vacías.
Revisión. En los 10 autobuses hay 550 plazas totales: 501 viajeros + 29 plazas útiles vacías + 20 plazas para material = 550.
113. Presupuesto con reserva obligatoria
Análisis. Restar todos los compromisos, incluida la reserva, antes de calcular el máximo número de dispositivos.
- Los libros cuestan 36 · 47 = 1 692 euros y los kits 24 · 85 = 2 040 euros.
- El dinero comprometido es 1 692 + 2 040 + 315 + 1 000 = 5 047 euros.
- Quedan disponibles 8 250 − 5 047 = 3 203 euros.
- 3 203 = 128 · 25 + 3, por lo que compra 25 dispositivos y quedan 3 euros. Los 60 colores son un dato sobrante.
Resultado. 25 dispositivos y 3 euros libres, manteniendo intacta la reserva de 1 000 euros.
Revisión. 1 692 + 2 040 + 315 + 1 000 + 128 · 25 + 3 = 8 250 euros.
114. Informe incompatible
Análisis. Comprobar si total, número de cajas y capacidad satisfacen la misma igualdad.
- Si las 42 cajas están llenas con 32 botellas, el total debería ser 42 · 32 = 1 344.
- El informe declara 1 260, una diferencia de 1 344 − 1 260 = 84 botellas.
- Una reparación es sustituir 1 260 por 1 344. Otra es conservar 1 260 y cambiar la capacidad a 1 260 ÷ 42 = 30.
- Los 180 km no afectan a ninguna de las igualdades del embalaje.
Resultado. El informe no puede ser correcto tal como está. Las reparaciones son 1 344 botellas o 30 botellas por caja.
Revisión. 42 · 32 = 1 344 y 42 · 30 = 1 260. Cada corrección restablece exactamente una igualdad.
115. Primer paso falso
Análisis. Comparar las dos expresiones del primer signo igual antes de continuar la cuenta.
- El paréntesis vale 18 + 14 = 32.
- El paso falso introduce el factor 32 en el término 800: (800−25)·32=800·32−25·32. La expresión original es 800−25·32.
- Se calcula primero 25 · 32 = 800.
- La resta final es 800 − 800 = 0. El camino erróneo produce 775 · 32 = 24 800.
Resultado. El primer paso es falso y el valor correcto de la expresión es 0.
Revisión. 25 · (18 + 14) = 25 · 32 = 800, por lo que 800 − 800 = 0, mientras 24 800 ≠ 0.
116. Contraejemplo de redondeo
Análisis. Elegir dos números cuyos pequeños errores de redondeo se acumulen y crucen el punto medio de una centena.
- Cada sumando 149 se redondea a 100 a las centenas.
- Al redondear antes, la suma estimada es 100 + 100 = 200.
- La suma exacta es 149 + 149 = 298 y, redondeada a centenas, vale 300.
- Los dos procedimientos difieren en 300 − 200 = 100; el error de 200 respecto de 298 es 98 y el de 300 respecto de 298 es 2.
Resultado. La afirmación es falsa: las rutas difieren en 100; sus errores absolutos respecto de 298 son, respectivamente, 98 y 2.
Revisión. |200−298|=98, |300−298|=2 y 98+2=100, que coincide con la distancia entre ambos resultados aproximados.
117. Diseña una división extrema
Análisis. Fijar el resto una unidad por debajo del divisor y reconstruir el dividendo.
- Con divisor 37, los restos permitidos van de 0 a 36. El mayor es 36.
- El producto divisor por cociente es 37 · 246 = 9 102.
- El dividendo es 9 102 + 36 = 9 138.
- 9 138 tiene cuatro cifras, por lo que también cumple la restricción de tamaño.
Resultado. 9 138 = 37 · 246 + 36 y 36 es el mayor resto posible.
Revisión. Al añadir una unidad al resto se obtendría 37, que forma otro grupo completo: 9 139 = 37 · 247. Por eso 36 es máximo.
118. Reparar un enunciado ambiguo
Análisis. Escribir la operación general para descubrir qué dato no está determinado.
- Si cada caja contiene c expedientes, quedan 960 − 7 · c.
- Con c = 24 quedan 960 − 7 · 24 = 960 − 168 = 792.
- Con c = 30 quedan 960 − 7 · 30 = 960 − 210 = 750.
- Una versión suficiente es añadir «cada caja contiene 24 expedientes». Entonces la respuesta única es 792.
Resultado. El enunciado necesita indicar la capacidad de cada caja. Con 24 expedientes por caja quedan 792.
Revisión. 792 + 7 · 24 = 792 + 168 = 960 y 750 + 7 · 30 = 750 + 210 = 960.
119. El error de aproximar antes de tiempo
Análisis. Separar una transformación exacta de una aproximación y sacar el factor común real.
- Los dos términos comparten exactamente el factor 999.
- La igualdad válida es (49 + 51) · 999 = 100 · 999.
- El producto exacto es 99 900.
- El paso a 100 · 1 000 es solo una estimación y produce 100 000, que supera el valor exacto en 100.
Resultado. El resultado exacto es 99 900 y el error de la falsa igualdad es 100.
Revisión. 49 · 999 = 48 951 y 51 · 999 = 50 949. La suma es 48 951 + 50 949 = 99 900.
120. Diseño desde una expresión
Análisis. Asignar a cada bloque una cantidad con la misma unidad y respetar los paréntesis de la expresión.
- Ejemplo: un almacén recibe 18 cajas de 42 cuadernos y otros 375 sueltos. Después entrega 25 cuadernos a cada grupo formado al organizar 96 participantes en equipos de 8.
- La primera entrada es 18 · 42 = 756 y el total disponible pasa a 756 + 375 = 1 131.
- El número de grupos es 96 ÷ 8 = 12 y la entrega total es 12 · 25 = 300 cuadernos.
- El inventario final es 1 131 − 300 = 831 unidades.
Resultado. En el problema propuesto quedan 831 unidades.
Revisión. 831 + 300 = 1 131 y 1 131 = 18 · 42 + 375 = 756 + 375.
Soluciones 121 a 130 · simulacro
121. Numeración inversa
Análisis. Usar el redondeo para fijar la posición de las decenas de millar y después completar la suma de cifras.
- Para terminar en 548 000, el número original debe tener 54 en sus dos primeras posiciones. Por tanto, a = 4.
- El número queda 547b40 y debe subir de 547 000 a 548 000, por lo que b debe ser al menos 5.
- La suma de cifras es 5 + 4 + 7 + b + 4 + 0 = 20 + b = 28. Así, b = 8.
- El número buscado es 547 840.
Resultado. a = 4, b = 8 y N = 547 840.
Revisión. 5 + 4 + 7 + 8 + 4 + 0 = 28. Además, 547 840 está a 160 de 548 000 y a 840 de 547 000.
122. Cotas simultáneas
Análisis. Traducir cada aproximación a intervalo y calcular su intersección inclusiva.
- A las decenas de millar, 1 260 000 corresponde al intervalo de 1 255 000 a 1 264 999.
- A las centenas de millar, 1 300 000 corresponde al intervalo de 1 250 000 a 1 349 999.
- El primer intervalo está contenido por completo en el segundo.
- La cantidad es 1 264 999 − 1 255 000 + 1 = 10 000.
Resultado. Cotas 1 255 000 y 1 264 999. Hay 10 000 soluciones.
Revisión. 1 254 999 se redondea a 1 250 000 y 1 265 000 a 1 270 000, mientras las dos cotas solución se redondean a 1 300 000 a las centenas de millar.
123. Operación combinada
Análisis. Resolver los signos de agrupación antes de los tres bloques multiplicativos.
- 19 − 14 = 5 y 35 − 17 = 18.
- El corchete vale 12 · 5 = 60.
- Los tres bloques son 14 400 ÷ 60 = 240, 48 · 18 = 864 y 900 ÷ 25 = 36.
- La combinación final es 240 + 864 − 36 = 1 068.
Resultado. El valor de la expresión es 1 068.
Revisión. 60 · 240 = 14 400, 25 · 36 = 900 y 1 068 + 36 = 1 104 = 240 + 864.
124. Factor común doble
Análisis. Agrupar los dos primeros productos y comparar el resultado con el tercero.
- Los dos primeros términos se agrupan como 375 · (64 + 36).
- Como 64 + 36 = 100, ese bloque vale 375 · 100 = 37 500.
- El tercer producto es 125 · 300 = 37 500.
- La diferencia es 37 500 − 37 500 = 0.
Resultado. 375 · 64 + 375 · 36 − 125 · 300 = 0.
Revisión. 375 · 64 = 24 000 y 375 · 36 = 13 500. Su suma es 37 500, igual que 125 · 300.
125. Dividendo con cifra desconocida
Análisis. Calcular el producto de divisor y cociente para obtener el intervalo exacto del dividendo.
- 36 · 207 = 7 452.
- Con ese cociente, el dividendo debe estar entre 7 452 y 7 487 porque el resto va de 0 a 35.
- El único número de la forma 7□84 en ese intervalo es 7 484. La cifra oculta es 4.
- El resto es 7 484 − 7 452 = 32.
Resultado. 7 484 ÷ 36 tiene cociente 207 y resto 32.
Revisión. 36 · 207 + 32 = 7 452 + 32 = 7 484 y 32 < 36.
126. Cadena inversa
Análisis. Reconstruir el dividendo final y deshacer la suma inicial.
- El total posterior a la suma es 37 · 62 + 15.
- 37 · 62 = 2 294 y 2 294 + 15 = 2 309.
- Se deshace la suma calculando 2 309 − 428.
- El número inicial es 1 881.
Resultado. Antes de sumar 428 había 1 881 unidades.
Revisión. 1 881 + 428 = 2 309 y 2 309 = 37 · 62 + 15, con 15 < 37.
127. Transporte con restricciones
Análisis. Calcular viajeros reales y capacidad útil antes de decidir el número de vehículos.
- Los participantes iniciales son 17 · 28 = 476.
- Tras 39 bajas y 23 incorporaciones viajan 476 − 39 + 23 = 460 personas.
- Cada autobús ofrece 48 − 1 = 47 plazas para viajeros. Nueve ofrecen 423 y no bastan. Diez ofrecen 470.
- Quedan 470 − 460 = 10 plazas de viajeros vacías. La distancia de 210 km no interviene.
Resultado. Se necesitan 10 autobuses y quedan 10 plazas utilizables vacías.
Revisión. En 10 autobuses hay 480 plazas totales: 460 viajeros + 10 plazas utilizables vacías + 10 plazas reservadas = 480.
128. Auditoría de inventario
Análisis. Reconstruir por separado el stock y la entrega, y comparar su diferencia con el parte.
- El stock inicial es 20 · 23 = 460 rotuladores.
- La entrega total es 18 · 24 = 432 rotuladores.
- La cantidad restante debe ser 460 − 432 = 28.
- El parte anota 38, diez más de los que puede haber.
Resultado. El parte debe corregir 38 por 28 rotuladores.
Revisión. 432 entregados + 28 restantes = 460 iniciales. Con 38 se obtendrían 470, que excede el stock en 10.
129. Contraejemplo de asociación
Análisis. Evaluar ambos lados de forma independiente antes de formular la regla correcta.
- En el lado izquierdo, b − c = 18 − 7 = 11 y 50 − 11 = 39.
- En el lado derecho, 50 − 18 = 32 y 32 − 7 = 25.
- Como 39 ≠ 25, la igualdad propuesta es falsa.
- Restar una diferencia equivale aquí a 50 − 18 + 7 = 32 + 7 = 39.
Resultado. El contraejemplo da 39 frente a 25. La forma correcta es a − (b − c) = a − b + c cuando las operaciones están definidas en naturales.
Revisión. 50 − (18 − 7) = 39 y 50 − 18 + 7 = 39. La falsa expresión queda 25.
130. Diseño de problema final
Análisis. Dar el mismo significado y unidad a las tres cantidades del numerador y hacer que la división represente lotes iguales.
- Ejemplo: llegan 32 cajas de 45 cuadernos y 275 cuadernos sueltos. Se reservan 195 y el resto se empaqueta en lotes de 20.
- Las cajas aportan 32 · 45 = 1 440 cuadernos y el total recibido es 1 440 + 275 = 1 715.
- Después de reservar 195 quedan 1 715 − 195 = 1 520 cuadernos.
- Se forman 1 520 ÷ 20 = 76 lotes.
Resultado. En el problema propuesto se forman 76 lotes de 20 cuadernos.
Revisión. 76 · 20 + 195 = 1 520 + 195 = 1 715 y 1 715 = 32 · 45 + 275.
No repitas más: corrige mejor
| Si ocurre esto | Revisa | Vuelve a |
|---|---|---|
| Desaparecen ceros | Valor posicional | 1–8, 91 y 95 |
| El resultado exacto es absurdo | Estimación previa | 9–10, 78–79, 92–96, 116 y 119 |
| Cambia el valor al reagrupar | Propiedades válidas | 21–25, 80–85 y 97–102 |
| Falla una operación combinada | Prioridad por niveles | 26–40, 98–99 y 101 |
| La cuenta es correcta, la respuesta no | Pregunta, datos y unidades | 41–55, 86–89 y 103–120 |
| No sabe justificar una solución abierta | Decisión y control | 111–120; después, 121–130 |
El siguiente paso, sin repetir este recurso
Cómo usar el recurso
¿Qué incluye este recurso?
Numeración decimal, valor posicional, comparación, redondeo, cuatro operaciones, propiedades, jerarquía y problemas con números naturales.
¿Incluye divisibilidad completa?
No. La divisibilidad se trabaja en su monográfico específico para que este recurso conserve una función clara.
¿Cómo se usan las 130 actividades?
Trabaja primero los 90 ejercicios graduados, continúa con los 30 desafíos multietapa y termina con el simulacro independiente de 10 actividades.
¿La ficha puede imprimirse sin respuestas?
Sí. Puedes imprimir el cuaderno del alumnado sin respuestas y, por separado, el solucionario docente completo.
¿Sirve para repasar desde 6.º de Primaria?
Sí, especialmente para reparar numeración y cálculo, aunque la secuencia y los retos están orientados a 1.º de ESO.
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