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Números complejos 1.º de Bachillerato: teoría, fórmulas y 100 ejercicios resueltos paso a paso

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Matemáticas I · 1.º de Bachillerato de Ciencias y Tecnología

Números complejos en 1.º de Bachillerato: teoría, método y 100 ejercicios

Un cuaderno para entender por qué aparecen los complejos, elegir la forma que simplifica cada cálculo y practicar desde \(i^2=-1\) hasta Moivre, raíces y lugares geométricos.

22 modelos desarrolladoscon el procedimiento escrito y comprobaciones en los puntos delicados
100 ejercicios con respuestaordenados desde operaciones directas hasta raíces y geometría
Dos simulacros y 10 problemaspara trabajar con formato de examen y corregir al terminar
Forma binómica Módulo y argumento Forma polar Moivre y raíces Ecuaciones
Ver índice Ir a los modelos

Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 15 de agosto de 2026.

Una ruta que se adapta al temario real

Cómo utilizar este cuaderno

Empieza por la forma binómica y las operaciones. Cuando esa base sea segura, pasa a módulo, argumento y forma polar. Las potencias, las raíces y los lugares geométricos se entienden mucho mejor si no se intenta memorizar una fórmula aislada para cada caso.

Base imprescindible

Unidad imaginaria, igualdad, conjugado, operaciones, módulo y soluciones no reales de ecuaciones polinómicas.

Desarrollo habitual del tema

Argumento, forma polar y trigonométrica, Moivre, raíces n-ésimas y una introducción geométrica. El orden y la profundidad pueden variar según el centro y el libro.

La trigonometría, el álgebra general y la geometría analítica solo aparecen aquí cuando ayudan a comprender un número complejo. Para profundizar en ellas, conviene continuar en el cuaderno correspondiente.

Mapa completo del tema

Los números complejos se pueden estudiar como una cadena de decisiones. Primero identificamos la forma en la que está escrito el número. Después elegimos la herramienta que reduce el cálculo. Esta idea evita muchos desarrollos innecesarios.

Para sumar y restar

Trabaja en forma binómica.

\[a+bi\]

Para multiplicar directamente

La forma binómica sirve si los números son sencillos. Si hay potencias o argumentos conocidos, la forma polar suele ser mejor.

Para dividir

En forma binómica usa el conjugado. En forma polar divide módulos y resta argumentos.

Para potencias y raíces

Pasa a forma polar o trigonométrica y aplica Moivre.

Plano complejo con el número z igual a 3 más 2i El eje horizontal representa la parte real y el vertical la parte imaginaria. El punto 3 coma 2 representa el número complejo 3 más 2i. Parte real Parte imaginaria z = 3 + 2i 3 2 α |z|

Regla de trabajo No empieces a operar hasta decidir qué forma hace el ejercicio más corto. En un examen, esa elección ahorra tiempo y reduce errores.

Qué son los números complejos y por qué aparecen

En los números reales, una ecuación como \(x^2=4\) tiene dos soluciones, \(x=2\) y \(x=-2\). En cambio, la ecuación \(x^2=-1\) no tiene solución real, porque el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que cero.

Para poder resolver \(x^2=-1\), se introduce un nuevo número llamado unidad imaginaria y se representa con la letra \(i\).

\[i^2=-1\]

A partir de \(i\), podemos construir números como \(3+2i\), \(-5+i\), \(7-4i\) o simplemente \(6i\). Todos ellos son números complejos.

\[\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}\]

Los números reales están incluidos dentro de los complejos. Basta tomar \(b=0\).

\[a=a+0i\]

Por tanto, la relación entre conjuntos numéricos queda así

\[\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\]

No conviene decir que los números imaginarios no existen. Existen como objetos matemáticos perfectamente definidos. El nombre imaginario es histórico. En matemáticas y en física aparecen de forma natural en electricidad, ondas, señales, control, mecánica cuántica y muchas otras áreas.

La unidad imaginaria

La unidad imaginaria cumple \(i^2=-1\). A partir de aquí se deducen las primeras potencias.

Primeras potencias de la unidad imaginaria
Potencia Valor Razón
\(i^0\) \(1\) Toda potencia de exponente cero vale 1
\(i^1\) \(i\) Definición
\(i^2\) \(-1\) Definición de unidad imaginaria
\(i^3\) \(-i\) \(i^2\cdot i=-i\)
\(i^4\) \(1\) \((i^2)^2=(-1)^2=1\)

Después de \(i^4\), los valores se repiten de cuatro en cuatro. Esta periodicidad será muy útil.

\[1,\ i,\ -1,\ -i,\ 1,\ i,\ -1,\ -i,\ldots\]

Forma binómica de un número complejo

La forma binómica es

\[z=a+bi\]

El número \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

\[\operatorname{Re}(z)=a,\qquad \operatorname{Im}(z)=b\]

La parte imaginaria de \(z=a+bi\) es \(b\), no \(bi\). Por ejemplo, si \(z=4-7i\), entonces \(\operatorname{Im}(z)=-7\).

Parte real y parte imaginaria en la forma binómica
Número complejo Parte real Parte imaginaria Tipo
\(5+3i\) 5 3 Complejo general
\(-2i\) 0 -2 Imaginario puro
\(7\) 7 0 Real
\(0\) 0 0 Complejo nulo

Representación de números complejos en el plano

Un número complejo \(z=a+bi\) se representa mediante el punto \(P(a,b)\). El eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.

\[z=a+bi\longleftrightarrow P(a,b)\]

Eje real

Contiene los complejos cuya parte imaginaria es cero.

\[z=a+0i\]

Eje imaginario

Contiene los complejos cuya parte real es cero.

\[z=0+bi\]

El número \(z=3+2i\) se representa en el punto \((3,2)\). El número \(w=-4-i\) se representa en el punto \((-4,-1)\).

También podemos asociar a cada complejo el vector que va desde el origen hasta su afijo. Por eso muchas operaciones con complejos tienen una interpretación geométrica.

Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias.

\[a+bi=c+di\Longleftrightarrow a=c\ \text{y}\ b=d\]

Ejercicio resuelto

Halla \(x\) e \(y\) si

\[(2x-1)+(y+3)i=7-2i\]

Igualamos partes reales

\[2x-1=7\Rightarrow x=4\]

Igualamos partes imaginarias

\[y+3=-2\Rightarrow y=-5\]

Resultado \(x=4\), \(y=-5\)

Conjugado y opuesto de un número complejo

Si \(z=a+bi\), su conjugado cambia el signo de la parte imaginaria.

\[\overline z=a-bi\]

El opuesto cambia el signo de todo el número.

\[-z=-a-bi\]
Complejo, conjugado y opuesto
Concepto Expresión Representación geométrica
Complejo \(z=a+bi\) Punto \((a,b)\)
Conjugado \(\overline z=a-bi\) Simétrico respecto del eje real
Opuesto \(-z=-a-bi\) Simétrico respecto del origen

Propiedades del conjugado

\[\overline{z+w}=\overline z+\overline w\]
\[\overline{zw}=\overline z\,\overline w\]
\[\overline{\left(\frac zw\right)}=\frac{\overline z}{\overline w},\qquad w\ne0\]
\[z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)\]
\[z-\overline z=2\operatorname{Im}(z)i\]
\[z\overline z=|z|^2\]

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

Resta

\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\]

Producto

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i^2\]

Como \(i^2=-1\)

\[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\]

Ejercicio resuelto

Calcula \((3-2i)(4+5i)\).

Distribuimos todos los términos

\[12+15i-8i-10i^2\]

Sustituimos \(i^2=-1\)

\[12+7i+10\]
\[\boxed{22+7i}\]

Error habitual Escribir \(-10i^2=-10\). Como \(i^2=-1\), se obtiene \(-10i^2=+10\).

Potencias de i

Para calcular una potencia grande de \(i\), dividimos el exponente entre 4 y usamos el resto.

Ciclo de las potencias de i
Resto al dividir entre 4 Resultado
0 \(i^n=1\)
1 \(i^n=i\)
2 \(i^n=-1\)
3 \(i^n=-i\)

Ejercicio resuelto

Calcula \(i^{2026}\).

\[2026=4\cdot506+2\]

El resto es 2.

\[i^{2026}=i^2=-1\]

También puede escribirse

\[i^n=i^{\,n\bmod 4}\]

División de números complejos

Para dividir entre un complejo, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

\[\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}\]

El denominador se vuelve real porque

\[(c+di)(c-di)=c^2+d^2\]

La fórmula resultante es

\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\]

Ejercicio resuelto

Calcula

\[\frac{3+4i}{2-i}\]

Multiplicamos por el conjugado \(2+i\)

\[\frac{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\]

Operamos

\[\frac{6+3i+8i+4i^2}{4+1}=\frac{2+11i}{5}\]
\[\boxed{\frac25+\frac{11}{5}i}\]

Comprobación rápida Después de dividir, el denominador final debe ser real. Si todavía aparece \(i\) en el denominador, la racionalización no está terminada.

Módulo de un número complejo

El módulo de \(z=a+bi\) es la distancia desde el origen hasta el punto \((a,b)\).

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

Es una aplicación directa del teorema de Pitágoras.

Ejercicio resuelto

Calcula el módulo de \(z=-6+8i\).

\[|z|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\]

Propiedades del módulo

\[|z|\ge0\]
\[|z|=0\Longleftrightarrow z=0\]
\[|z_1z_2|=|z_1||z_2|\]
\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]
\[|\overline z|=|z|\]
\[z\overline z=|z|^2\]

Distancia entre dos números complejos

La distancia entre los puntos asociados a \(z_1\) y \(z_2\) es

\[d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|\]

Ejercicio resuelto

Calcula la distancia entre \(z_1=1+2i\) y \(z_2=5-i\).

\[z_1-z_2=-4+3i\]
\[d=|-4+3i|=5\]

Argumento de un número complejo

El argumento de un complejo no nulo es el ángulo que forma el vector asociado con el semieje real positivo.

El número \(0\) no tiene argumento, porque no determina ninguna dirección en el plano.

\[\tan\alpha=\frac ba\]

La fórmula anterior proporciona un ángulo de referencia, pero no determina por sí sola el cuadrante. Antes de aceptar el resultado hay que mirar los signos de \(a\) y \(b\).

Cuadrantes y rango angular habitual
Signo de a Signo de b Cuadrante Rango habitual
+ + I \(0<\alpha<\pi/2\)
- + II \(\pi/2<\alpha<\pi\)
- - III \(\pi<\alpha<3\pi/2\)
+ - IV \(3\pi/2<\alpha<2\pi\)

Un mismo complejo tiene infinitos argumentos.

\[\arg z=\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z\]

El argumento principal suele tomarse en uno de estos intervalos

\[0\le\operatorname{Arg}(z)<2\pi\]

o bien

\[-\pi<\operatorname{Arg}(z)\le\pi\]

Ejercicio resuelto

Halla el argumento de \(z=-\sqrt3+i\).

La parte real es negativa y la imaginaria positiva. Estamos en el segundo cuadrante.

\[\tan\alpha=\frac{1}{-\sqrt3}\]

El ángulo de referencia es \(\pi/6\). En el segundo cuadrante

\[\alpha=\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}\]

Forma polar y forma trigonométrica

Un complejo queda determinado por su módulo \(r\) y uno de sus argumentos \(\alpha\).

Forma polar

\[z=r_\alpha\]

Forma trigonométrica

\[z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\]

La relación con la forma binómica es

\[a=r\cos\alpha,\qquad b=r\sin\alpha\]

y

\[r=\sqrt{a^2+b^2}\]

La forma binómica es cómoda para sumar y restar. La forma polar o trigonométrica es mucho más eficaz para multiplicar, dividir, elevar a potencias y calcular raíces.

Conversión entre forma binómica, polar y trigonométrica

De binómica a polar

Para pasar \(z=a+bi\) a forma polar

  1. Calculamos el módulo \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
  2. Determinamos el cuadrante
  3. Calculamos un argumento \(\alpha\)
  4. Escribimos \(z=r_\alpha\)

Ejercicio resuelto

Pasa \(z=-1-\sqrt{3}i\) a forma polar.

\[r=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2\]

El complejo está en el tercer cuadrante. El ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[\alpha=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}{3}\]
\[\boxed{z=2_{4\pi/3}}\]

De polar a binómica

Usamos

\[a=r\cos\alpha,\qquad b=r\sin\alpha\]

Ejercicio resuelto

Pasa \(z=6_{5\pi/6}\) a forma binómica.

\[a=6\cos\frac{5\pi}{6}=6\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-3\sqrt3\]
\[b=6\sin\frac{5\pi}{6}=6\cdot\frac12=3\]
\[\boxed{z=-3\sqrt3+3i}\]

Operaciones en forma polar

Sean \(z_1=r_\alpha\) y \(z_2=s_\beta\).

En el cociente debe cumplirse \(z_2\ne0\). Para escribir el inverso en forma polar se toma \(r>0\).

Producto

\[z_1z_2=(rs)_{\alpha+\beta}\]

Cociente

\[\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac rs\right)_{\alpha-\beta}\]

Inverso

\[\frac1{r_\alpha}=\left(\frac1r\right)_{-\alpha}\]

Ejercicio resuelto

Calcula \(2_{\pi/3}\cdot5_{3\pi/4}\).

\[2_{\pi/3}\cdot5_{3\pi/4}=10_{\pi/3+3\pi/4}\]
\[\pi/3+3\pi/4=\frac{4\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}\]
\[\boxed{10_{13\pi/12}}\]

Para sumar o restar no se suman ni se restan módulos y argumentos. La suma y la resta deben hacerse normalmente en forma binómica.

Fórmula de Moivre

La fórmula de Moivre permite elevar un complejo a una potencia entera de forma directa.

\[\left[r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\right]^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

En forma polar

\[(r_\alpha)^n=r^n_{n\alpha}\]

Ejercicio resuelto

Calcula \((1+i)^{12}\).

Pasamos \(1+i\) a forma polar

\[1+i=\sqrt2_{\pi/4}\]

Aplicamos Moivre

\[(\sqrt2_{\pi/4})^{12}=(\sqrt2)^{12}_{12\pi/4}\]
\[(\sqrt2)^{12}=2^6=64,\qquad \frac{12\pi}{4}=3\pi\]
\[64_{3\pi}=64(\cos3\pi+i\sin3\pi)=-64\]

Resultado \(\boxed{-64}\)

Moivre y las identidades trigonométricas

La fórmula también permite deducir identidades. Por ejemplo

\[(\cos\alpha+i\sin\alpha)^2=\cos2\alpha+i\sin2\alpha\]

Al desarrollar el primer miembro

\[\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha\]

Igualando partes reales e imaginarias

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

Raíces n-ésimas de un número complejo

Buscamos los números \(w\) que cumplen

\[w^n=z\]

Si \(z=r_\alpha\), sus \(n\) raíces son

\[w_k=\left(\sqrt[n]{r}\right)_{\frac{\alpha+2k\pi}{n}},\qquad k=0,1,\ldots,n-1\]

Todos los resultados tienen el mismo módulo \(\sqrt[n]{r}\), y sus argumentos están separados por

\[\frac{2\pi}{n}\]

Geométricamente, las raíces son los vértices de un polígono regular centrado en el origen.

Ejercicio resuelto

Calcula las raíces cúbicas de \(8\).

Escribimos

\[8=8_0\]

El módulo de cada raíz es

\[\sqrt[3]{8}=2\]

Los argumentos son

\[\alpha_k=\frac{0+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2\]
Raíces cúbicas de 8
k Argumento Forma polar Forma binómica
0 \(0\) \(2_0\) \(2\)
1 \(2\pi/3\) \(2_{2\pi/3}\) \(-1+\sqrt3i\)
2 \(4\pi/3\) \(2_{4\pi/3}\) \(-1-\sqrt3i\)

Error frecuente En una raíz n-ésima no basta con hallar una solución. Un complejo no nulo tiene exactamente \(n\) raíces n-ésimas distintas.

Ecuaciones con soluciones complejas

Ecuaciones de segundo grado

La fórmula general sigue siendo válida.

\[az^2+bz+c=0\]
\[z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Cuando el discriminante es negativo, aparece la unidad imaginaria.

Ejercicio resuelto

Resuelve

\[z^2-4z+13=0\]
\[\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36\]
\[\sqrt{-36}=6i\]
\[z=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\]

Ecuaciones del tipo \(z^n=a\)

Se resuelven escribiendo \(a\) en forma polar y calculando sus raíces n-ésimas.

Ecuaciones con \(z\) y \(\overline z\)

Si escribimos \(z=a+bi\), entonces

\[\overline z=a-bi\]

Esto permite transformar la ecuación en un sistema real.

Ejercicio resuelto

Resuelve

\[z+2\overline z=9+2i\]

Escribimos \(z=a+bi\).

\[(a+bi)+2(a-bi)=9+2i\]
\[3a-bi=9+2i\]

Igualamos partes

\[3a=9,\qquad -b=2\]
\[\boxed{z=3-2i}\]

Interpretación geométrica de ecuaciones con complejos

La notación compleja permite describir lugares geométricos de forma muy compacta.

Lugares geométricos escritos con números complejos
Condición Lugar geométrico
\(|z-z_0|=r\) Circunferencia de centro \(z_0\) y radio \(r\)
\(|z-z_0|<r\) Disco abierto
\(|z-z_0|\le r\) Disco cerrado
\(|z-z_1|=|z-z_2|\) Mediatriz del segmento que une \(z_1\) y \(z_2\)
\(\operatorname{Re}(z)=a\) Recta vertical \(x=a\)
\(\operatorname{Im}(z)=b\) Recta horizontal \(y=b\)

Ejercicio resuelto

Interpreta

\[|z-(2-3i)|=5\]

El complejo \(2-3i\) representa el punto \((2,-3)\). La condición indica que la distancia desde \(z\) a ese punto es 5.

Resultado Circunferencia de centro \((2,-3)\) y radio 5.

Esta interpretación enlaza de forma natural con la geometría analítica de 1.º de Bachillerato.

Ejercicios clave resueltos paso a paso

Estos ejercicios reúnen los modelos que más suelen decidir un examen. La idea no es memorizar la solución, sino reconocer qué representación conviene usar.

Nivel básico

Ejercicio clave 1

Calcula

\[(2-3i)+(5+4i)-(1-2i)\]

Agrupamos partes reales

\[2+5-1=6\]

Agrupamos partes imaginarias

\[-3+4+2=3\]
\[\boxed{6+3i}\]
Nivel básico

Ejercicio clave 2

Calcula

\[(4+i)(2-3i)\]
\[8-12i+2i-3i^2\]
\[8-10i+3\]
\[\boxed{11-10i}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 3

Calcula

\[\frac{5-2i}{1+2i}\]
\[\frac{(5-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\]
\[\frac{5-10i-2i+4i^2}{1+4}\]
\[\frac{1-12i}{5}\]
\[\boxed{\frac15-\frac{12}{5}i}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 4

Calcula \(i^{2027}+i^{2028}+i^{2029}\).

\[2027\equiv3\pmod4,\quad 2028\equiv0\pmod4,\quad 2029\equiv1\pmod4\]
\[i^{2027}=-i,\quad i^{2028}=1,\quad i^{2029}=i\]
\[\boxed{1}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 5

Halla \(a\) y \(b\) si

\[(a+bi)(2-i)=7+i\]
\[2a+b+(2b-a)i=7+i\]

Igualamos partes

\[\begin{cases}2a+b=7\\-a+2b=1\end{cases}\]

De la primera, \(b=7-2a\). Sustituimos

\[-a+2(7-2a)=1\Rightarrow -5a=-13\Rightarrow a=\frac{13}{5}\]
\[b=7-\frac{26}{5}=\frac95\]
\[\boxed{a=\frac{13}{5},\quad b=\frac95}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 6

Pasa \(z=-2+2\sqrt{3}i\) a forma polar.

\[r=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4\]

El punto está en el segundo cuadrante.

\[\tan\alpha=\frac{2\sqrt3}{-2}=-\sqrt3\]

El ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[\alpha=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}\]
\[\boxed{z=4_{2\pi/3}}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 7

Pasa \(6_{7\pi/6}\) a forma binómica.

\[a=6\cos\frac{7\pi}{6}=6\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-3\sqrt3\]
\[b=6\sin\frac{7\pi}{6}=6\left(-\frac12\right)=-3\]
\[\boxed{-3\sqrt3-3i}\]
Nivel medio-alto

Ejercicio clave 8

Calcula \((\sqrt{3}+i)^6\).

\[\sqrt3+i=2_{\pi/6}\]
\[(2_{\pi/6})^6=64_{\pi}\]
\[\boxed{-64}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 9

Calcula las raíces cuartas de \(-16\).

\[-16=16_{\pi}\]

El módulo de las raíces es

\[\sqrt[4]{16}=2\]

Los argumentos son

\[\alpha_k=\frac{\pi+2k\pi}{4},\qquad k=0,1,2,3\]
\[\boxed{2_{\pi/4},\ 2_{3\pi/4},\ 2_{5\pi/4},\ 2_{7\pi/4}}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 10

Resuelve \(z^4+16=0\).

\[z^4=-16=16_{\pi}\]

Es el mismo problema que calcular las raíces cuartas de \(-16\).

\[\boxed{z=2_{\pi/4},\ 2_{3\pi/4},\ 2_{5\pi/4},\ 2_{7\pi/4}}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 11

Resuelve \(z^2=7+24i\).

Escribimos \(z=a+bi\).

\[(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\]

Igualamos partes

\[\begin{cases}a^2-b^2=7\\2ab=24\end{cases}\]

Además

\[|z|^2=|7+24i|=25\Rightarrow a^2+b^2=25\]

Sumamos las ecuaciones \(a^2-b^2=7\) y \(a^2+b^2=25\)

\[2a^2=32\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=\pm4\]

Como \(ab=12\), \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo.

\[\boxed{z=4+3i\quad\text{o}\quad z=-4-3i}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 12

Determina el lugar geométrico

\[|z-(1+i)|=|z-(5+i)|\]

Los puntos fijos son \(A(1,1)\) y \(B(5,1)\). La condición pide los puntos equidistantes de A y B.

Ese lugar es la mediatriz del segmento AB. El punto medio es \((3,1)\) y el segmento es horizontal.

\[\boxed{x=3}\]
Nivel medio

Ejercicio clave 13

Halla \(x\) e \(y\) si

\[(2x-1)+(y+3)i=7-2i\]

Dos complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales.

\[2x-1=7\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4\]

Igualamos ahora las partes imaginarias.

\[y+3=-2\Rightarrow y=-5\]
\[\boxed{x=4,\qquad y=-5}\]

Comprobación Al sustituir, el primer miembro se convierte en \(7-2i\), que coincide con el segundo.

Nivel medio

Ejercicio clave 14

Calcula \(z\) si \(z+\overline z=12\) y \(z-\overline z=-8i\).

Escribimos \(z=a+bi\). Entonces

\[z+\overline z=2a=12\Rightarrow a=6\]
\[z-\overline z=2bi=-8i\Rightarrow b=-4\]
\[\boxed{z=6-4i}\]
Nivel medio-alto

Ejercicio clave 15

Simplifica

\[\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i}\]
\[\frac{1-i}{2}+\frac{1+i}{2}=\frac{2}{2}=1\]
\[\boxed{1}\]
Nivel medio-alto

Ejercicio clave 16

Determina \(z\) sabiendo que \(|z|=10\), \(\operatorname{Re}(z)=6\) y la parte imaginaria es negativa.

Sea \(z=6+bi\).

\[\sqrt{6^2+b^2}=10\]
\[36+b^2=100\Rightarrow b^2=64\Rightarrow b=\pm8\]

Como la parte imaginaria debe ser negativa, elegimos \(b=-8\).

\[\boxed{z=6-8i}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 17

Calcula \(\dfrac{(1+i)^{10}}{(1-i)^6}\).

\[1+i=\sqrt2_{\pi/4},\qquad 1-i=\sqrt2_{-\pi/4}\]
\[\frac{(\sqrt2)^{10}_{10\pi/4}}{(\sqrt2)^6_{-6\pi/4}}=4_{4\pi}\]
\[\boxed{4}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 18

Resuelve \(z^3=8i\).

\[8i=8_{\pi/2}\]
\[|z|=\sqrt[3]{8}=2\]
\[\alpha_k=\frac{\pi/2+2k\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2\]
\[\boxed{z=2_{\pi/6},\quad 2_{5\pi/6},\quad 2_{3\pi/2}}\]
Nivel alto

Ejercicio clave 19

Resuelve \(z^2+(2-4i)z-7-4i=0\).

Buscamos dos números cuya suma sea \(-2+4i\) y cuyo producto sea \(-7-4i\). La factorización es

\[(z-(1+2i))(z-(-3+2i))=0\]
\[\boxed{z=1+2i\quad\text{o}\quad z=-3+2i}\]

Comprobación La suma de las raíces es \(-2+4i\) y el producto es \(-7-4i\).

Nivel alto

Ejercicio clave 20

Determina el lugar geométrico

\[|z-(2+i)|=2|z+1|\]

Sea \(z=x+yi\). Elevamos al cuadrado.

\[(x-2)^2+(y-1)^2=4\bigl((x+1)^2+y^2\bigr)\]

Desarrollamos y ordenamos.

\[3x^2+12x+3y^2+2y-1=0\]

Dividimos entre 3 y completamos cuadrados.

\[(x+2)^2+\left(y+\frac13\right)^2=\frac{40}{9}\]

Es una circunferencia de centro \((-2,-1/3)\) y radio \(2\sqrt{10}/3\).

Ejercicio clave 21 · Demostración

Demuestra la desigualdad triangular

\[|z+w|\le |z|+|w|\]

Partimos del cuadrado del módulo.

\[|z+w|^2=(z+w)(\overline z+\overline w)\]
\[|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+z\overline w+\overline zw\]

Los dos últimos términos suman dos veces la parte real de \(z\overline w\), y esa parte real no supera su módulo.

\[z\overline w+\overline zw=2\operatorname{Re}(z\overline w)\le2|z||w|\]
\[|z+w|^2\le(|z|+|w|)^2\]

Como ambos miembros son no negativos, obtenemos la desigualdad.

Ejercicio clave 22 · Reto de examen

Halla todos los complejos \(z\) que cumplen

\[z^4-5z^2+4=0\]

Hacemos el cambio \(u=z^2\).

\[u^2-5u+4=0\Rightarrow (u-1)(u-4)=0\]

Por tanto

\[z^2=1\quad\text{o}\quad z^2=4\]
\[\boxed{z=1,-1,2,-2}\]

En este caso todas las soluciones son reales, aunque el método pertenece al trabajo general con complejos.

100 ejercicios para practicar con respuesta final

La tabla está ordenada desde operaciones directas hasta raíces, ecuaciones y lugares geométricos. Conviene tapar la columna de soluciones y corregir al terminar cada bloque.

Cien ejercicios graduados con respuesta final
N.º Ejercicio Solución
1 Escribe la parte real y la parte imaginaria de \(z=7-5i\) \(\operatorname{Re}(z)=7,\ \operatorname{Im}(z)=-5\)
2 Representa \(z=-3+4i\) en el plano complejo Punto \((-3,4)\)
3 Calcula \((4+3i)+(2-7i)\) \(6-4i\)
4 Calcula \((5-2i)-(1+6i)\) \(4-8i\)
5 Calcula \(3(2-i)-2(1+4i)\) \(4-11i\)
6 Calcula \((2+3i)(4-i)\) \(11+10i\)
7 Calcula \((1-2i)^2\) \(-3-4i\)
8 Calcula \((3+i)(3-i)\) \(10\)
9 Calcula \(\dfrac{2+i}{1-i}\) \(\dfrac{1+3i}{2}\)
10 Calcula \(\dfrac{4-2i}{2+i}\) \(\dfrac{6-8i}{5}\)
11 Escribe el conjugado de \(z=-6+9i\) \(\overline z=-6-9i\)
12 Escribe el opuesto de \(z=5-3i\) \(-z=-5+3i\)
13 Calcula \(i^{37}\) \(i\)
14 Calcula \(i^{82}\) \(-1\)
15 Calcula \(i^{123}\) \(-i\)
16 Simplifica \(1+i+i^2+i^3+i^4\) \(1\)
17 Resuelve \(z+(3-2i)=7+5i\) \(z=4+7i\)
18 Resuelve \(2z-(1+i)=5-3i\) \(z=3-i\)
19 Resuelve \(z(2-i)=5\) \(z=2+i\)
20 Resuelve \(z+\overline z=8\) y \(z-\overline z=-6i\) \(z=4-3i\)
21 Calcula el módulo de \(z=5-12i\) \(|z|=13\)
22 Calcula el módulo de \(z=-8+6i\) \(|z|=10\)
23 Determina los complejos de módulo \(4\) situados sobre el eje real \(z=4\) y \(z=-4\)
24 Determina los complejos de módulo \(3\) situados sobre el eje imaginario \(z=3i\) y \(z=-3i\)
25 Calcula la distancia entre \(z_1=2+i\) y \(z_2=-1+5i\) \(5\)
26 Halla el punto medio entre \(z_1=4-2i\) y \(z_2=-2+6i\) \(1+2i\)
27 Escribe \(1+i\) en forma polar \(\sqrt2_{\pi/4}\)
28 Escribe \(-1+i\) en forma polar \(\sqrt2_{3\pi/4}\)
29 Escribe \(-\sqrt3-i\) en forma trigonométrica \(2(\cos(7\pi/6)+i\sin(7\pi/6))\)
30 Escribe \(2i\) en forma polar \(2_{\pi/2}\)
31 Pasa \(3_{\pi/3}\) a forma binómica \(\dfrac32+\dfrac{3\sqrt3}{2}i\)
32 Pasa \(4_{5\pi/6}\) a forma binómica \(-2\sqrt3+2i\)
33 Pasa \(2(\cos\pi+i\sin\pi)\) a forma binómica \(-2\)
34 Pasa \(5(\cos(3\pi/2)+i\sin(3\pi/2))\) a forma binómica \(-5i\)
35 Multiplica \(2_{\pi/6}\cdot3_{\pi/4}\) \(6_{11\pi/12}\)
36 Divide \(\dfrac{8_{5\pi/6}}{2_{\pi/3}}\) \(4_{\pi/2}=4i\)
37 Calcula \((2_{\pi/4})^3\) \(8_{3\pi/4}\)
38 Calcula \((\sqrt2_{\pi/4})^4\) \(4_{\pi}=-4\)
39 Calcula \((1+i)^8\) \(16\)
40 Calcula \((-1+i)^6\) \(8i\)
41 Halla las raíces cuadradas de \(9\) \(3\) y \(-3\)
42 Halla las raíces cuadradas de \(-16\) \(4i\) y \(-4i\)
43 Halla las raíces cúbicas de \(8\) \(2,\ -1+\sqrt3i,\ -1-\sqrt3i\)
44 Halla las raíces cuartas de \(16\) \(2,\ 2i,\ -2,\ -2i\)
45 Resuelve \(z^2+4=0\) \(z=\pm2i\)
46 Resuelve \(z^2-6z+13=0\) \(z=3\pm2i\)
47 Resuelve \(z^2+2z+5=0\) \(z=-1\pm2i\)
48 Resuelve \(z^2-(4+2i)z+(3+2i)=0\) \(z=1,\ 3+2i\)
49 Resuelve \(z^2=(3+4i)\) \(z=\pm(2+i)\)
50 Resuelve \(z^2=(-7+24i)\) \(z=\pm(3+4i)\)
51 Comprueba que \(z\overline z=|z|^2\) para \(z=4-3i\) Ambos miembros valen \(25\)
52 Calcula \(\dfrac1{3-4i}\) \(\dfrac{3+4i}{25}\)
53 Calcula \(\dfrac{2}{1+i}+\dfrac{2}{1-i}\) \(2\)
54 Calcula \(\dfrac{1+i}{1-i}\) \(i\)
55 Si \(z+\overline z=10\) y \(z\overline z=34\), halla \(z\) \(z=5\pm3i\)
56 Si \(|z|=5\) y \(\operatorname{Re}(z)=4\), halla \(z\) \(z=4\pm3i\)
57 Describe \(|z|=3\) Circunferencia de centro \(0\) y radio \(3\)
58 Describe \(|z-(2-i)|=4\) Circunferencia de centro \(2-i\) y radio \(4\)
59 Describe \(|z-(1+2i)|<3\) Disco abierto de centro \(1+2i\) y radio \(3\)
60 Describe \(\operatorname{Re}(z)=2\) Recta vertical \(x=2\)
61 Describe \(\operatorname{Im}(z)=-1\) Recta horizontal \(y=-1\)
62 Describe \(|z-1|=|z+1|\) Eje imaginario
63 Calcula el argumento principal de \(z=-1-\sqrt3i\) en los dos convenios habituales En \((-\pi,\pi]\), \(-2\pi/3\). En \([0,2\pi)\), \(4\pi/3\)
64 Calcula todos los argumentos de \(z=i\) \(\pi/2+2k\pi\)
65 Calcula \(\overline{(2-3i)(1+i)}\) \(5+i\)
66 Simplifica \(\dfrac{z}{\overline z}\) para \(z=1+i\) \(i\)
67 Halla \(a,b\in\mathbb R\) si \((a+bi)(1-i)=5+i\) \(a=2,\ b=3\)
68 Halla \(a,b\in\mathbb R\) si \(\dfrac{a+bi}{1+i}=2-i\) \(a=3,\ b=1\)
69 Calcula \((\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)\) \(1\)
70 Calcula el producto de todas las raíces cuartas de \(16\) \(-16\)
71 Resuelve \(z^4=1\) \(1,\ i,\ -1,\ -i\)
72 Resuelve \(z^3=-8\) \(2_{\pi/3},\ 2_{\pi},\ 2_{5\pi/3}\)
73 Calcula \((2+i)^3\) \(2+11i\)
74 Calcula \((2-i)^4\) \(-7-24i\)
75 Calcula \(i^{1001}-i^{999}\) \(2i\)
76 Simplifica \(\dfrac{3+i}{3-i}\) \(\dfrac45+\dfrac35i\)
77 Calcula \(\dfrac{1}{2+i}-\dfrac{1}{2-i}\) \(-\dfrac25i\)
78 Si \(z=2-5i\), calcula \(z^2+2z\) \(-17-30i\)
79 Halla \(z\) si \(3z+2\overline z=15+i\) \(3+i\)
80 Halla \(z\) si \(z-3\overline z=-4+8i\) \(2+2i\)
81 Calcula \(|3-4i|+|1+i|\) \(5+\sqrt2\)
82 Calcula \(|(1+i)(2-3i)|\) \(\sqrt{26}\)
83 Halla \(z\) si \(|z|=13\), \(\operatorname{Re}(z)=5\) y \(\operatorname{Im}(z)>0\) \(5+12i\)
84 Escribe \(1-\sqrt3i\) en forma polar \(2_{5\pi/3}\)
85 Escribe \(-2\sqrt3+2i\) en forma polar \(4_{5\pi/6}\)
86 Pasa \(5_{7\pi/6}\) a forma binómica \(-\dfrac{5\sqrt3}{2}-\dfrac52i\)
87 Calcula \(3_{\pi/5}\cdot2_{2\pi/5}\) \(6_{3\pi/5}\)
88 Calcula \(\dfrac{12_{7\pi/6}}{3_{\pi/3}}\) \(4_{5\pi/6}\)
89 Calcula \((2_{\pi/8})^8\) \(-256\)
90 Calcula \((\sqrt3-i)^{12}\) \(4096\)
91 Halla las raíces cúbicas de \(-1\) \(1_{\pi/3},\ 1_{\pi},\ 1_{5\pi/3}\)
92 Halla las raíces quintas de \(32\) \(2_{2k\pi/5}\), \(k=0,1,2,3,4\)
93 Resuelve \(z^2-2z+10=0\) \(z=1\pm3i\)
94 Resuelve \(z^4=16i\) \(2_{\pi/8+k\pi/2}\), \(k=0,1,2,3\)
95 Resuelve \(z^6=64\) \(2_{k\pi/3}\), \(k=0,1,2,3,4,5\)
96 Describe \(|z-(3+2i)|\le2\) Disco cerrado de centro \((3,2)\) y radio \(2\)
97 Describe \(|z-i|=|z-3i|\) Recta \(y=2\)
98 Describe \(\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z)=4\) Recta \(x+y=4\)
99 Calcula la suma de las raíces cúbicas de \(8\) \(0\)
100 Calcula el producto de las raíces cúbicas de \(8\) \(8\)

10 problemas tipo examen de 1.º de Bachillerato

2 puntos

Problema 1

Dados \(z_1=2-3i\) y \(z_2=-1+4i\), calcula

  1. \(z_1+z_2\)
  2. \(z_1z_2\)
  3. \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
  4. \(|z_1-z_2|\)
Ver solución
\[z_1+z_2=1+i\]
\[z_1z_2=10+11i\]
\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{(2-3i)(-1-4i)}{17}=\frac{-14-5i}{17}\]
\[|z_1-z_2|=|3-7i|=\sqrt{58}\]
2 puntos

Problema 2

Escribe \(z=-3+3\sqrt3i\) en forma polar y calcula \(z^5\).

Ver solución
\[|z|=\sqrt{9+27}=6\]

El punto está en el segundo cuadrante y el ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[z=6_{2\pi/3}\]
\[z^5=6^5_{10\pi/3}=7776_{4\pi/3}\]
\[z^5=-3888-3888\sqrt3i\]
2 puntos

Problema 3

Calcula y representa las raíces cúbicas de \(-27i\).

Ver solución
\[-27i=27_{3\pi/2}\]
\[|w|=3\]
\[\alpha_k=\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}\]
\[\boxed{3_{\pi/2},\ 3_{7\pi/6},\ 3_{11\pi/6}}\]
2 puntos

Problema 4

Resuelve \(z^2-(6-2i)z+(12-6i)=0\).

Ver solución

La ecuación factoriza como

\[(z-(3+i))(z-(3-3i))=0\]
\[\boxed{z=3+i\quad\text{o}\quad z=3-3i}\]
2 puntos

Problema 5

Describe geométricamente y representa la región

\[|z-(2+i)|\le3,\qquad \operatorname{Im}(z)\ge1\]
Ver solución

La primera condición es el disco cerrado de centro \((2,1)\) y radio 3. La segunda es el semiplano situado por encima de la recta \(y=1\), incluida la frontera. La solución es la mitad superior del disco, incluyendo el diámetro y la semicircunferencia.

2 puntos

Problema 6

Dados \(z_1=1+\sqrt3i\) y \(z_2=1-\sqrt3i\), calcula \((z_1/z_2)^6\).

Ver solución
\[z_1=2_{\pi/3},\qquad z_2=2_{-\pi/3}\]
\[\frac{z_1}{z_2}=1_{2\pi/3}\]
\[\left(1_{2\pi/3}\right)^6=1_{4\pi}=\boxed{1}\]
2 puntos

Problema 7

Resuelve \(z^6+64=0\) y expresa las soluciones en forma polar.

Ver solución
\[z^6=-64=64_{\pi}\]
\[|z|=2,\qquad \alpha_k=\frac{\pi+2k\pi}{6}\]
\[\boxed{z_k=2_{\pi/6+k\pi/3},\qquad k=0,1,2,3,4,5}\]
2 puntos

Problema 8

Halla \(z\) sabiendo que \(z+\overline z=8\) y \(z\overline z=25\).

Ver solución

Si \(z=a+bi\), entonces \(2a=8\), por lo que \(a=4\).

\[a^2+b^2=25\Rightarrow16+b^2=25\Rightarrow b=\pm3\]
\[\boxed{z=4+3i\quad\text{o}\quad z=4-3i}\]
2 puntos

Problema 9

Calcula todos los valores de \(z\) que cumplen \(z^4-5z^2+4=0\) y representa las soluciones.

Ver solución
\[(z^2-1)(z^2-4)=0\]
\[\boxed{z=-2,-1,1,2}\]

Los cuatro puntos están sobre el eje real.

2 puntos

Problema 10

Determina la ecuación cartesiana del lugar geométrico \(|z-(1+2i)|=|z-(5-2i)|\).

Ver solución

Sea \(z=x+yi\). Igualamos los cuadrados de las distancias.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y+2)^2\]
\[8x-8y-24=0\]
\[\boxed{x-y-3=0}\]

Es la mediatriz del segmento que une \((1,2)\) y \((5,-2)\).

Simulacro final de números complejos

Tiempo recomendado 60 minutos. Puntuación total 10 puntos. Intenta resolverlo sin mirar las soluciones.

Ejercicio 1 1 punto

Calcula

\[(3-2i)^2-(1+i)(4-3i)\]

Ejercicio 2 1 punto

Calcula

\[\frac{2+5i}{3-i}\]

Ejercicio 3 1 punto

Calcula \(i^{1501}+i^{1502}+i^{1503}+i^{1504}\).

Ejercicio 4 1 punto

Halla \(a\) y \(b\) si

\[(a+bi)(1+2i)=-4+7i\]

Ejercicio 5 1 punto

Pasa \(z=-2-2i\) a forma polar y trigonométrica.

Ejercicio 6 1 punto

Calcula \((1-\sqrt3i)^8\).

Ejercicio 7 1,5 puntos

Calcula las raíces cuartas de \(16i\).

Ejercicio 8 1,5 puntos

Resuelve \(z^2+4z+13=0\).

Ejercicio 9 1 punto

Describe el lugar geométrico

\[|z-(3-2i)|=4\]

Soluciones del simulacro

Ejercicio 1
\[(3-2i)^2=9-12i+4i^2=5-12i\]
\[(1+i)(4-3i)=4-3i+4i-3i^2=7+i\]
\[(5-12i)-(7+i)=\boxed{-2-13i}\]
Ejercicio 2
\[\frac{2+5i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i}=\frac{6+2i+15i+5i^2}{10}\]
\[\boxed{\frac1{10}+\frac{17}{10}i}\]
Ejercicio 3

Los cuatro exponentes recorren un ciclo completo.

\[i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=\boxed{0}\]
Ejercicio 4
\[(a+bi)(1+2i)=(a-2b)+(2a+b)i\]
\[\begin{cases}a-2b=-4\\2a+b=7\end{cases}\]
\[\boxed{a=2,\quad b=3}\]
Ejercicio 5
\[r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\]

El punto está en el tercer cuadrante.

\[\alpha=\frac{5\pi}{4}\]
\[\boxed{z=(2\sqrt2)_{5\pi/4}=2\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}\]
Ejercicio 6
\[1-\sqrt3i=2_{5\pi/3}\]
\[(2_{5\pi/3})^8=256_{40\pi/3}=256_{4\pi/3}\]
\[\boxed{-128-128\sqrt3i}\]
Ejercicio 7
\[16i=16_{\pi/2}\]
\[|w|=2\]
\[\alpha_k=\frac{\pi/2+2k\pi}{4}=\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}\]
\[\boxed{2_{\pi/8},\ 2_{5\pi/8},\ 2_{9\pi/8},\ 2_{13\pi/8}}\]
Ejercicio 8
\[\Delta=16-52=-36\]
\[z=\frac{-4\pm6i}{2}\]
\[\boxed{z=-2\pm3i}\]
Ejercicio 9

Circunferencia de centro \((3,-2)\) y radio 4.

Segundo simulacro de consolidación

Este bloque sirve para comprobar si el tema está realmente dominado. Tiempo recomendado 45 minutos.

1. Operaciones

Calcula \(\dfrac{(2+i)^3}{1-i}\).

Solución
\[(2+i)^3=2+11i\]
\[\frac{2+11i}{1-i}=\frac{(2+11i)(1+i)}{2}=\boxed{-\frac92+\frac{13}{2}i}\]

2. Forma polar

Escribe \(-3-3\sqrt3i\) en forma polar.

Solución
\[r=6,\qquad \alpha=\frac{4\pi}{3}\]
\[\boxed{6_{4\pi/3}}\]

3. Potencias

Calcula \((\sqrt3+i)^{20}\).

Solución
\[\sqrt3+i=2_{\pi/6}\]
\[(2_{\pi/6})^{20}=2^{20}_{10\pi/3}=2^{20}_{4\pi/3}\]
\[\boxed{-2^{19}-2^{19}\sqrt3i}\]

4. Raíces

Calcula las raíces quintas de \(-32\).

Solución
\[-32=32_{\pi}\]
\[\boxed{z_k=2_{\pi/5+2k\pi/5},\quad k=0,1,2,3,4}\]

5. Ecuación

Resuelve \(z^4+5z^2+4=0\).

Solución
\[(z^2+1)(z^2+4)=0\]
\[\boxed{z=\pm i,\quad z=\pm2i}\]

Errores frecuentes en números complejos

1. Confundir \(i^2\) con 1

La igualdad correcta es \(i^2=-1\). Este signo afecta a productos, cuadrados y divisiones.

2. Decir que la parte imaginaria es \(bi\)

En \(a+bi\), la parte imaginaria es \(b\).

3. Dividir término a término

No se divide una expresión compleja separando partes. Hay que multiplicar por el conjugado del denominador.

4. Elegir mal el cuadrante

La calculadora puede dar un ángulo de referencia, pero los signos de \(a\) y \(b\) mandan.

5. Sumar complejos en forma polar como si se sumaran módulos

Para sumar o restar, conviene pasar a forma binómica.

6. Dar una sola raíz

Una raíz n-ésima de un complejo no nulo produce \(n\) soluciones.

7. Olvidar argumentos equivalentes

Los argumentos que difieren en \(2k\pi\) representan el mismo complejo.

8. No comprobar una ecuación

En complejos también hay errores de sustitución y de signos. Una comprobación corta puede salvar el ejercicio.

Revisión final tipo examen

Antes de entregar

  • He sustituido siempre \(i^2\) por \(-1\)
  • He dejado los resultados en la forma solicitada
  • En una división, el denominador final es real
  • He revisado el cuadrante del argumento
  • En potencias he multiplicado el argumento por el exponente
  • En raíces he dividido el argumento y he usado todos los valores de \(k\)
  • He dado exactamente \(n\) raíces n-ésimas
  • He comprobado las ecuaciones cuando era razonable
  • He representado correctamente centro, radio o mediatriz en los lugares geométricos

Tabla resumen de fórmulas

Resumen de fórmulas de números complejos
Concepto Fórmula
Forma binómica \(z=a+bi\)
Conjugado \(\overline z=a-bi\)
Módulo \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Producto por conjugado \(z\overline z=|z|^2\)
Distancia \(d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|\)
Forma trigonométrica \(z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\)
Producto polar \(r_\alpha s_\beta=(rs)_{\alpha+\beta}\)
Cociente polar \(\dfrac{r_\alpha}{s_\beta}=(r/s)_{\alpha-\beta}\)
Moivre \((r_\alpha)^n=r^n_{n\alpha}\)
Raíces \(w_k=(\sqrt[n]{r})_{(\alpha+2k\pi)/n},\quad k=0,\ldots,n-1\)

Una ruta corta para continuar

Este cuaderno se centra en los números complejos. Si hace falta reforzar una herramienta previa o ampliar una parte que aquí se utiliza como apoyo, estas tres rutas tienen un propósito claro.

Si falla la base algebraica Álgebra de 1.º de Bachillerato permite reforzar polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones antes de volver a este tema. Para dominar argumentos y forma polar Trigonometría desarrolla cuadrantes, radianes y razones trigonométricas, que aquí se utilizan como herramienta. Para ampliar distancias y lugares geométricos Geometría analítica amplía el trabajo con vectores, rectas, circunferencias y mediatrices.

Una idea para llevarse

En números complejos, la forma elegida también es parte del método: la binómica ordena sumas y divisiones; la polar acorta potencias y raíces. Antes de calcular, elige la que muestre mejor el ejercicio.

Cuando el método todavía no sale solo

Si el alumno entiende cada fórmula por separado pero se bloquea al elegir entre forma binómica y polar, puede trabajarse el tema con ejercicios corregidos y seguimiento dentro de Matemáticas de Bachillerato. Cuando encaja mejor una franja temprana, también hay una opción específica por la mañana.

Matemáticas online de Bachillerato Clases online por la mañana

Preguntas frecuentes

¿Por qué aparecen los números complejos?

Porque hay ecuaciones polinómicas, como \(x^2+1=0\), que no tienen solución real. Al introducir \(i^2=-1\), esas soluciones pueden expresarse y operar con ellas de forma coherente.

¿Se estudian todos estos bloques con la misma profundidad?

No siempre. La unidad imaginaria, la forma binómica, las operaciones y las soluciones no reales forman la base. La forma polar, Moivre, las raíces y los lugares geométricos pueden variar en profundidad según el centro y el libro.

¿Cuál es el argumento principal de un complejo?

Depende del convenio. Los más usados toman el argumento en \([0,2\pi)\) o en \((-\pi,\pi]\). Por eso conviene indicar el intervalo cuando el ángulo puede escribirse con signo positivo o negativo.

¿Cómo se comprueba una raíz n-ésima?

Se eleva cada resultado a la potencia \(n\) y se verifica que se recupera el complejo inicial. Además, deben aparecer exactamente \(n\) raíces distintas si el número no es cero.

Material elaborado y revisado por José María

Marlu Educativa · Matemáticas I · Revisión matemática, técnica y editorial: 15 de agosto de 2026.

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