Números complejos 1.º de Bachillerato: teoría, fórmulas y 100 ejercicios resueltos paso a paso

Q: ¿Qué son los números complejos en 1.º de Bachillerato?

Son números de la forma a + bi, donde a y b son reales e i al cuadrado es -1. Permiten resolver ecuaciones que no tienen solución dentro de los números reales.

Q: ¿Qué fórmula se usa para elevar un complejo a una potencia?

La fórmula de Moivre permite elevar el módulo a la potencia y multiplicar el argumento por el exponente.

Q: ¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un complejo no nulo?

Tiene exactamente n raíces distintas, con el mismo módulo y argumentos separados por 2 pi dividido entre n.

Publicado por

JOSE-MARIA

junio 21, 2026

el junio 16, 2026

Matemáticas I · 1.º de Bachillerato de Ciencias

Números complejos 1 Bachillerato: teoría, fórmulas y ejercicios resueltos paso a paso

Los números complejos suelen aparecer por primera vez como una sorpresa. Hasta ese momento parecía que todas las ecuaciones debían terminar dentro de los números reales. De pronto aparece \(x^2+1=0\), ninguna raíz real sirve y hay que ampliar el conjunto numérico. Esa ampliación no es un truco ni una rareza. Es una construcción coherente que permite seguir operando, resolver ecuaciones y representar nuevas relaciones geométricas.

En este recurso vamos a trabajar el tema completo de 1.º de Bachillerato con calma y con bastante práctica. Empezaremos por la unidad imaginaria y la forma binómica. Después veremos operaciones, conjugado, módulo, argumento, forma polar y trigonométrica, fórmula de Moivre, raíces y ecuaciones. También incluiremos ejercicios tipo examen, errores reales de alumno, una colección amplia para practicar y un simulacro final con soluciones.

Una observación de clase Este tema no suele ser difícil por la teoría. Se complica cuando se mezclan tres pequeños fallos. No recordar que \(i^2=-1\), perder el cuadrante al calcular el argumento y usar la forma binómica cuando la forma polar sería mucho más rápida. Aprender a elegir la representación adecuada es casi tan importante como saber operar.

Forma binómica Plano complejo Módulo y argumento Forma polar Moivre Raíces Ecuaciones

Mapa completo del tema

Los números complejos se pueden estudiar como una cadena de decisiones. Primero identificamos la forma en la que está escrito el número. Después elegimos la herramienta que reduce el cálculo. Esta idea evita muchos desarrollos innecesarios.

Para sumar y restar

Trabaja en forma binómica.

\[a+bi\]

Para multiplicar directamente

La forma binómica sirve si los números son sencillos. Si hay potencias o argumentos conocidos, la forma polar suele ser mejor.

Para dividir

En forma binómica usa el conjugado. En forma polar divide módulos y resta argumentos.

Para potencias y raíces

Pasa a forma polar o trigonométrica y aplica Moivre.

Regla de trabajo No empieces a operar hasta decidir qué forma hace el ejercicio más corto. En un examen, esa elección ahorra tiempo y reduce errores.

Qué son los números complejos y por qué aparecen

En los números reales, una ecuación como \(x^2=4\) tiene dos soluciones, \(x=2\) y \(x=-2\). En cambio, la ecuación \(x^2=-1\) no tiene solución real, porque el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que cero.

Para poder resolver \(x^2=-1\), se introduce un nuevo número llamado unidad imaginaria y se representa con la letra \(i\).

\[i^2=-1\]

A partir de \(i\), podemos construir números como \(3+2i\), \(-5+i\), \(7-4i\) o simplemente \(6i\). Todos ellos son números complejos.

\[\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}\]

Los números reales están incluidos dentro de los complejos. Basta tomar \(b=0\).

\[a=a+0i\]

Por tanto, la relación entre conjuntos numéricos queda así

\[\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\]

No conviene decir que los números imaginarios no existen. Existen como objetos matemáticos perfectamente definidos. El nombre imaginario es histórico. En matemáticas y en física aparecen de forma natural en electricidad, ondas, señales, control, mecánica cuántica y muchas otras áreas.

La unidad imaginaria

La unidad imaginaria cumple \(i^2=-1\). A partir de aquí se deducen las primeras potencias.

Potencia	Valor	Razón
\(i^0\)	\(1\)	Toda potencia de exponente cero vale 1
\(i^1\)	\(i\)	Definición
\(i^2\)	\(-1\)	Definición de unidad imaginaria
\(i^3\)	\(-i\)	\(i^2\cdot i=-i\)
\(i^4\)	\(1\)	\((i^2)^2=(-1)^2=1\)

Después de \(i^4\), los valores se repiten de cuatro en cuatro. Esta periodicidad será muy útil.

\[1,\ i,\ -1,\ -i,\ 1,\ i,\ -1,\ -i,\ldots\]

Forma binómica de un número complejo

La forma binómica es

\[z=a+bi\]

El número \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

\[\operatorname{Re}(z)=a,\qquad \operatorname{Im}(z)=b\]

La parte imaginaria de \(z=a+bi\) es \(b\), no \(bi\). Por ejemplo, si \(z=4-7i\), entonces \(\operatorname{Im}(z)=-7\).

Número complejo	Parte real	Parte imaginaria	Tipo
\(5+3i\)	5	3	Complejo general
\(-2i\)	0	-2	Imaginario puro
\(7\)	7	0	Real
\(0\)	0	0	Complejo nulo

Representación de números complejos en el plano

Un número complejo \(z=a+bi\) se representa mediante el punto \(P(a,b)\). El eje horizontal representa la parte real y el eje vertical la parte imaginaria.

\[z=a+bi\longleftrightarrow P(a,b)\]

Eje real

Contiene los complejos cuya parte imaginaria es cero.

\[z=a+0i\]

Eje imaginario

Contiene los complejos cuya parte real es cero.

\[z=0+bi\]

El número \(z=3+2i\) se representa en el punto \((3,2)\). El número \(w=-4-i\) se representa en el punto \((-4,-1)\).

También podemos asociar a cada complejo el vector que va desde el origen hasta su afijo. Por eso muchas operaciones con complejos tienen una interpretación geométrica.

Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias.

\[a+bi=c+di\Longleftrightarrow a=c\ \text{y}\ b=d\]

Ejercicio resuelto

Halla \(x\) e \(y\) si

\[(2x-1)+(y+3)i=7-2i\]

Igualamos partes reales

\[2x-1=7\Rightarrow x=4\]

Igualamos partes imaginarias

\[y+3=-2\Rightarrow y=-5\]

Resultado \(x=4\), \(y=-5\)

Conjugado y opuesto de un número complejo

Si \(z=a+bi\), su conjugado cambia el signo de la parte imaginaria.

\[\overline z=a-bi\]

El opuesto cambia el signo de todo el número.

\[-z=-a-bi\]

Concepto	Expresión	Representación geométrica
Complejo	\(z=a+bi\)	Punto \((a,b)\)
Conjugado	\(\overline z=a-bi\)	Simétrico respecto del eje real
Opuesto	\(-z=-a-bi\)	Simétrico respecto del origen

Propiedades del conjugado

\[\overline{z+w}=\overline z+\overline w\]

\[\overline{zw}=\overline z\,\overline w\]

\[\overline{\left(\frac zw\right)}=\frac{\overline z}{\overline w},\qquad w\ne0\]

\[z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)\]

\[z-\overline z=2\operatorname{Im}(z)i\]

\[z\overline z=|z|^2\]

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

Resta

\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\]

Producto

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i^2\]

Como \(i^2=-1\)

\[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\]

Ejercicio resuelto

Calcula \((3-2i)(4+5i)\).

Distribuimos todos los términos

\[12+15i-8i-10i^2\]

Sustituimos \(i^2=-1\)

\[12+7i+10\]

\[\boxed{22+7i}\]

Error habitual Escribir \(-10i^2=-10\). Como \(i^2=-1\), se obtiene \(-10i^2=+10\).

Potencias de i

Para calcular una potencia grande de \(i\), dividimos el exponente entre 4 y usamos el resto.

Resto al dividir entre 4	Resultado
0	\(i^n=1\)
1	\(i^n=i\)
2	\(i^n=-1\)
3	\(i^n=-i\)

Ejercicio resuelto

Calcula \(i^{2026}\).

\[2026=4\cdot506+2\]

El resto es 2.

\[i^{2026}=i^2=-1\]

También puede escribirse

\[i^n=i^{\,n\bmod 4}\]

División de números complejos

Para dividir entre un complejo, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

\[\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}\]

El denominador se vuelve real porque

\[(c+di)(c-di)=c^2+d^2\]

La fórmula resultante es

\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\]

Ejercicio resuelto

Calcula

\[\frac{3+4i}{2-i}\]

Multiplicamos por el conjugado \(2+i\)

\[\frac{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\]

Operamos

\[\frac{6+3i+8i+4i^2}{4+1}=\frac{2+11i}{5}\]

\[\boxed{\frac25+\frac{11}{5}i}\]

Comprobación rápida Después de dividir, el denominador final debe ser real. Si todavía aparece \(i\) en el denominador, la racionalización no está terminada.

Módulo de un número complejo

El módulo de \(z=a+bi\) es la distancia desde el origen hasta el punto \((a,b)\).

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

Es una aplicación directa del teorema de Pitágoras.

Ejercicio resuelto

Calcula el módulo de \(z=-6+8i\).

\[|z|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\]

Propiedades del módulo

\[|z|\ge0\]

\[|z|=0\Longleftrightarrow z=0\]

\[|z_1z_2|=|z_1||z_2|\]

\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]

\[|\overline z|=|z|\]

\[z\overline z=|z|^2\]

Distancia entre dos números complejos

La distancia entre los puntos asociados a \(z_1\) y \(z_2\) es

\[d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|\]

Ejercicio resuelto

Calcula la distancia entre \(z_1=1+2i\) y \(z_2=5- i\).

\[z_1-z_2=-4+3i\]

\[d=|-4+3i|=5\]

Argumento de un número complejo

El argumento de un complejo no nulo es el ángulo que forma el vector asociado con el semieje real positivo.

\[\tan\alpha=\frac ba\]

La fórmula anterior proporciona un ángulo de referencia, pero no determina por sí sola el cuadrante. Antes de aceptar el resultado hay que mirar los signos de \(a\) y \(b\).

Signo de a	Signo de b	Cuadrante	Rango habitual
+	+	I	\(0<\alpha<\pi/2\)
-	+	II	\(\pi/2<\alpha<\pi\)
-	-	III	\(\pi<\alpha<3\pi/2\)
+	-	IV	\(3\pi/2<\alpha<2\pi\)

Un mismo complejo tiene infinitos argumentos.

\[\arg z=\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z\]

El argumento principal suele tomarse en uno de estos intervalos

\[0\le\operatorname{Arg}(z)<2\pi\]

o bien

\[-\pi<\operatorname{Arg}(z)\le\pi\]

Ejercicio resuelto

Halla el argumento de \(z=-\sqrt3+i\).

La parte real es negativa y la imaginaria positiva. Estamos en el segundo cuadrante.

\[\tan\alpha=\frac{1}{-\sqrt3}\]

El ángulo de referencia es \(\pi/6\). En el segundo cuadrante

\[\alpha=\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}\]

Forma polar y forma trigonométrica

Un complejo queda determinado por su módulo \(r\) y uno de sus argumentos \(\alpha\).

Forma polar

\[z=r_\alpha\]

Forma trigonométrica

\[z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\]

La relación con la forma binómica es

\[a=r\cos\alpha,\qquad b=r\sin\alpha\]

\[r=\sqrt{a^2+b^2}\]

La forma binómica es cómoda para sumar y restar. La forma polar o trigonométrica es mucho más eficaz para multiplicar, dividir, elevar a potencias y calcular raíces.

Conversión entre forma binómica, polar y trigonométrica

De binómica a polar

Para pasar \(z=a+bi\) a forma polar

Calculamos el módulo \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Determinamos el cuadrante
Calculamos un argumento \(\alpha\)
Escribimos \(z=r_\alpha\)

Ejercicio resuelto

Pasa \(z=-1-\sqrt{3}i\) a forma polar.

\[r=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2\]

El complejo está en el tercer cuadrante. El ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[\alpha=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}{3}\]

\[\boxed{z=2_{4\pi/3}}\]

De polar a binómica

Usamos

\[a=r\cos\alpha,\qquad b=r\sin\alpha\]

Ejercicio resuelto

Pasa \(z=6_{5\pi/6}\) a forma binómica.

\[a=6\cos\frac{5\pi}{6}=6\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-3\sqrt3\]

\[b=6\sin\frac{5\pi}{6}=6\cdot\frac12=3\]

\[\boxed{z=-3\sqrt3+3i}\]

Operaciones en forma polar

Sean \(z_1=r_\alpha\) y \(z_2=s_\beta\).

Producto

\[z_1z_2=(rs)_{\alpha+\beta}\]

Cociente

\[\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac rs\right)_{\alpha-\beta}\]

Inverso

\[\frac1{r_\alpha}=\left(\frac1r\right)_{-\alpha}\]

Ejercicio resuelto

Calcula \(2_{\pi/3}\cdot5_{3\pi/4}\).

\[2_{\pi/3}\cdot5_{3\pi/4}=10_{\pi/3+3\pi/4}\]

\[\pi/3+3\pi/4=\frac{4\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}\]

\[\boxed{10_{13\pi/12}}\]

Para sumar o restar no se suman ni se restan módulos y argumentos. La suma y la resta deben hacerse normalmente en forma binómica.

Fórmula de Moivre

La fórmula de Moivre permite elevar un complejo a una potencia entera de forma directa.

\[\left[r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\right]^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

En forma polar

\[(r_\alpha)^n=r^n_{n\alpha}\]

Ejercicio resuelto

Calcula \((1+i)^{12}\).

Pasamos \(1+i\) a forma polar

\[1+i=\sqrt2_{\pi/4}\]

Aplicamos Moivre

\[(\sqrt2_{\pi/4})^{12}=(\sqrt2)^{12}_{12\pi/4}\]

\[(\sqrt2)^{12}=2^6=64,\qquad \frac{12\pi}{4}=3\pi\]

\[64_{3\pi}=64(\cos3\pi+i\sin3\pi)=-64\]

Resultado \(\boxed{-64}\)

Moivre y las identidades trigonométricas

La fórmula también permite deducir identidades. Por ejemplo

\[(\cos\alpha+i\sin\alpha)^2=\cos2\alpha+i\sin2\alpha\]

Al desarrollar el primer miembro

\[\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha\]

Igualando partes reales e imaginarias

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

Raíces n-ésimas de un número complejo

Buscamos los números \(w\) que cumplen

\[w^n=z\]

Si \(z=r_\alpha\), sus \(n\) raíces son

\[w_k=\left(\sqrt[n]{r}\right)_{\frac{\alpha+2k\pi}{n}},\qquad k=0,1,\ldots,n-1\]

Todos los resultados tienen el mismo módulo \(\sqrt[n]{r}\), y sus argumentos están separados por

\[\frac{2\pi}{n}\]

Geométricamente, las raíces son los vértices de un polígono regular centrado en el origen.

Ejercicio resuelto

Calcula las raíces cúbicas de \(8\).

Escribimos

\[8=8_0\]

El módulo de cada raíz es

\[\sqrt[3]{8}=2\]

Los argumentos son

\[\alpha_k=\frac{0+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2\]

k	Argumento	Forma polar	Forma binómica
0	\(0\)	\(2_0\)	\(2\)
1	\(2\pi/3\)	\(2_{2\pi/3}\)	\(-1+\sqrt3i\)
2	\(4\pi/3\)	\(2_{4\pi/3}\)	\(-1-\sqrt3i\)

Error frecuente En una raíz n-ésima no basta con hallar una solución. Un complejo no nulo tiene exactamente \(n\) raíces n-ésimas distintas.

Ecuaciones con soluciones complejas

Ecuaciones de segundo grado

La fórmula general sigue siendo válida.

\[az^2+bz+c=0\]

\[z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Cuando el discriminante es negativo, aparece la unidad imaginaria.

Ejercicio resuelto

Resuelve

\[z^2-4z+13=0\]

\[\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36\]

\[\sqrt{-36}=6i\]

\[z=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\]

Ecuaciones del tipo \(z^n=a\)

Se resuelven escribiendo \(a\) en forma polar y calculando sus raíces n-ésimas.

Ecuaciones con \(z\) y \(\overline z\)

Si escribimos \(z=a+bi\), entonces

\[\overline z=a-bi\]

Esto permite transformar la ecuación en un sistema real.

Ejercicio resuelto

Resuelve

\[z+2\overline z=9+2i\]

Escribimos \(z=a+bi\).

\[(a+bi)+2(a-bi)=9+2i\]

\[3a-bi=9+2i\]

Igualamos partes

\[3a=9,\qquad -b=2\]

\[\boxed{z=3-2i}\]

Interpretación geométrica de ecuaciones con complejos

La notación compleja permite describir lugares geométricos de forma muy compacta.

Condición	Lugar geométrico
\(\|z-z_0\|=r\)	Circunferencia de centro \(z_0\) y radio \(r\)
\(\|z-z_0\|	Disco abierto
\(\|z-z_0\|\le r\)	Disco cerrado
\(\|z-z_1\|=\|z-z_2\|\)	Mediatriz del segmento que une \(z_1\) y \(z_2\)
\(\operatorname{Re}(z)=a\)	Recta vertical \(x=a\)
\(\operatorname{Im}(z)=b\)	Recta horizontal \(y=b\)

Ejercicio resuelto

Interpreta

\[|z-(2-3i)|=5\]

El complejo \(2-3i\) representa el punto \((2,-3)\). La condición indica que la distancia desde \(z\) a ese punto es 5.

Resultado Circunferencia de centro \((2,-3)\) y radio 5.

Esta interpretación enlaza de forma natural con la geometría analítica de 1.º de Bachillerato.

Ejercicios clave resueltos paso a paso

Estos ejercicios reúnen los modelos que más suelen decidir un examen. La idea no es memorizar la solución, sino reconocer qué representación conviene usar.

Nivel básico

Ejercicio clave 1

Calcula

\[(2-3i)+(5+4i)-(1-2i)\]

Agrupamos partes reales

\[2+5-1=6\]

Agrupamos partes imaginarias

\[-3+4+2=3\]

\[\boxed{6+3i}\]

Nivel básico

Ejercicio clave 2

Calcula

\[(4+i)(2-3i)\]

\[8-12i+2i-3i^2\]

\[8-10i+3\]

\[\boxed{11-10i}\]

Nivel medio

Ejercicio clave 3

Calcula

\[\frac{5-2i}{1+2i}\]

\[\frac{(5-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\]

\[\frac{5-10i-2i+4i^2}{1+4}\]

\[\frac{1-12i}{5}\]

\[\boxed{\frac15-\frac{12}{5}i}\]

Nivel medio

Ejercicio clave 4

Calcula \(i^{2027}+i^{2028}+i^{2029}\).

\[2027\equiv3\pmod4,\quad 2028\equiv0\pmod4,\quad 2029\equiv1\pmod4\]

\[i^{2027}=-i,\quad i^{2028}=1,\quad i^{2029}=i\]

\[\boxed{1}\]

Nivel medio

Ejercicio clave 5

Halla \(a\) y \(b\) si

\[(a+bi)(2-i)=7+i\]

\[2a+b+(2b-a)i=7+i\]

Igualamos partes

\[\begin{cases}2a+b=7\\-a+2b=1\end{cases}\]

De la primera, \(b=7-2a\). Sustituimos

\[-a+2(7-2a)=1\Rightarrow -5a=-13\Rightarrow a=\frac{13}{5}\]

\[b=7-\frac{26}{5}=\frac95\]

\[\boxed{a=\frac{13}{5},\quad b=\frac95}\]

Nivel medio

Ejercicio clave 6

Pasa \(z=-2+2\sqrt{3}i\) a forma polar.

\[r=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4\]

El punto está en el segundo cuadrante.

\[\tan\alpha=\frac{2\sqrt3}{-2}=-\sqrt3\]

El ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[\alpha=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}\]

\[\boxed{z=4_{2\pi/3}}\]

Nivel medio

Ejercicio clave 7

Pasa \(6_{7\pi/6}\) a forma binómica.

\[a=6\cos\frac{7\pi}{6}=6\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-3\sqrt3\]

\[b=6\sin\frac{7\pi}{6}=6\left(-\frac12\right)=-3\]

\[\boxed{-3\sqrt3-3i}\]

Nivel medio-alto

Ejercicio clave 8

Calcula \((\sqrt{3}+i)^6\).

\[\sqrt3+i=2_{\pi/6}\]

\[(2_{\pi/6})^6=64_{\pi}\]

\[\boxed{-64}\]

Nivel alto

Ejercicio clave 9

Calcula las raíces cuartas de \(-16\).

\[-16=16_{\pi}\]

\[\boxed{x=4,\qquad y=-5}\]

Comprobación Al sustituir, el primer miembro se convierte en \(7-2i\), que coincide con el segundo.

Nivel medio

Ejercicio clave 14

Calcula \(z\) si \(z+\overline z=12\) y \(z-\overline z=-8i\).

Escribimos \(z=a+bi\). Entonces

\[z+\overline z=2a=12\Rightarrow a=6\]

\[z-\overline z=2bi=-8i\Rightarrow b=-4\]

\[\boxed{z=6-4i}\]

Nivel medio-alto

Ejercicio clave 15

Simplifica

\[\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i}\]

\[\frac{1-i}{2}+\frac{1+i}{2}=\frac{2}{2}=1\]

\[\boxed{1}\]

Nivel medio-alto

Ejercicio clave 16

Determina \(z\) sabiendo que \(|z|=10\), \(\operatorname{Re}(z)=6\) y la parte imaginaria es negativa.

Sea \(z=6+bi\).

\[\sqrt{6^2+b^2}=10\]

\[36+b^2=100\Rightarrow b^2=64\Rightarrow b=\pm8\]

Como la parte imaginaria debe ser negativa, elegimos \(b=-8\).

\[\boxed{z=6-8i}\]

Nivel alto

Determina el lugar geométrico

\[|z-(2+i)|=2|z+1|\]

Sea \(z=x+yi\). Elevamos al cuadrado.

\[(x-2)^2+(y-1)^2=4\bigl((x+1)^2+y^2\bigr)\]

Desarrollamos y ordenamos.

\[3x^2+12x+3y^2+2y-1=0\]

Dividimos entre 3 y completamos cuadrados.

\[(x+2)^2+\left(y+\frac13\right)^2=\frac{40}{9}\]

Es una circunferencia de centro \((-2,-1/3)\) y radio \(2\sqrt{10}/3\).

Ejercicio clave 21 · Demostración

Demuestra la desigualdad triangular

\[|z+w|\le |z|+|w|\]

Partimos del cuadrado del módulo.

\[|z+w|^2=(z+w)(\overline z+\overline w)\]

\[|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+z\overline w+\overline zw\]

Los dos últimos términos suman dos veces la parte real de \(z\overline w\), y esa parte real no supera su módulo.

\[z\overline w+\overline zw=2\operatorname{Re}(z\overline w)\le2|z||w|\]

\[|z+w|^2\le(|z|+|w|)^2\]

Como ambos miembros son no negativos, obtenemos la desigualdad.

Ejercicio clave 22 · Reto de examen

Halla todos los complejos \(z\) que cumplen

\[z^4-5z^2+4=0\]

Hacemos el cambio \(u=z^2\).

\[u^2-5u+4=0\Rightarrow (u-1)(u-4)=0\]

Por tanto

\[z^2=1\quad\text{o}\quad z^2=4\]

\[\boxed{z=1,-1,2,-2}\]

En este caso todas las soluciones son reales, aunque el método pertenece al trabajo general con complejos.

100 ejercicios de números complejos para practicar

La tabla está ordenada desde operaciones directas hasta raíces, ecuaciones y lugares geométricos. Conviene tapar la columna de soluciones y corregir al terminar cada bloque.

N.º	Ejercicio	Solución
1	Escribe la parte real y la parte imaginaria de \(z=7-5i\)	\(\operatorname{Re}(z)=7,\ \operatorname{Im}(z)=-5\)
2	Representa \(z=-3+4i\) en el plano complejo	Punto \((-3,4)\)
3	Calcula \((4+3i)+(2-7i)\)	\(6-4i\)
4	Calcula \((5-2i)-(1+6i)\)	\(4-8i\)
5	Calcula \(3(2-i)-2(1+4i)\)	\(4-11i\)
6	Calcula \((2+3i)(4-i)\)	\(11+10i\)
7	Calcula \((1-2i)^2\)	\(-3-4i\)
8	Calcula \((3+i)(3-i)\)	\(10\)
9	Calcula \(\dfrac{2+i}{1-i}\)	\(\dfrac{1+3i}{2}\)
10	Calcula \(\dfrac{4-2i}{2+i}\)	\(\dfrac{6-8i}{5}\)
11	Escribe el conjugado de \(z=-6+9i\)	\(\overline z=-6-9i\)
12	Escribe el opuesto de \(z=5-3i\)	\(-z=-5+3i\)
13	Calcula \(i^{37}\)	\(i\)
14	Calcula \(i^{82}\)	\(-1\)
15	Calcula \(i^{123}\)	\(-i\)
16	Simplifica \(1+i+i^2+i^3+i^4\)	\(1\)
17	Resuelve \(z+(3-2i)=7+5i\)	\(z=4+7i\)
18	Resuelve \(2z-(1+i)=5-3i\)	\(z=3-i\)
19	Resuelve \(z(2-i)=5\)	\(z=2+i\)
20	Resuelve \(z+\overline z=8\) y \(z-\overline z=-6i\)	\(z=4-3i\)
21	Calcula el módulo de \(z=5-12i\)	\(\|z\|=13\)
22	Calcula el módulo de \(z=-8+6i\)	\(\|z\|=10\)
23	Determina los complejos de módulo \(4\) situados sobre el eje real	\(z=4\) y \(z=-4\)
24	Determina los complejos de módulo \(3\) situados sobre el eje imaginario	\(z=3i\) y \(z=-3i\)
25	Calcula la distancia entre \(z_1=2+i\) y \(z_2=-1+5i\)	\(5\)
26	Halla el punto medio entre \(z_1=4-2i\) y \(z_2=-2+6i\)	\(1+2i\)
27	Escribe \(1+i\) en forma polar	\(\sqrt2_{\pi/4}\)
28	Escribe \(-1+i\) en forma polar	\(\sqrt2_{3\pi/4}\)
29	Escribe \(-\sqrt3-i\) en forma trigonométrica	\(2(\cos(7\pi/6)+i\sin(7\pi/6))\)
30	Escribe \(2i\) en forma polar	\(2_{\pi/2}\)
31	Pasa \(3_{\pi/3}\) a forma binómica	\(\dfrac32+\dfrac{3\sqrt3}{2}i\)
32	Pasa \(4_{5\pi/6}\) a forma binómica	\(-2\sqrt3+2i\)
33	Pasa \(2(\cos\pi+i\sin\pi)\) a forma binómica	\(-2\)
34	Pasa \(5(\cos(3\pi/2)+i\sin(3\pi/2))\) a forma binómica	\(-5i\)
35	Multiplica \(2_{\pi/6}\cdot3_{\pi/4}\)	\(6_{11\pi/12}\)
36	Divide \(\dfrac{8_{5\pi/6}}{2_{\pi/3}}\)	\(4_{\pi/2}=4i\)
37	Calcula \((2_{\pi/4})^3\)	\(8_{3\pi/4}\)
38	Calcula \((\sqrt2_{\pi/4})^4\)	\(4_{\pi}=-4\)
39	Calcula \((1+i)^8\)	\(16\)
40	Calcula \((-1+i)^6\)	\(8i\)
41	Halla las raíces cuadradas de \(9\)	\(3\) y \(-3\)
42	Halla las raíces cuadradas de \(-16\)	\(4i\) y \(-4i\)
43	Halla las raíces cúbicas de \(8\)	\(2,\ -1+\sqrt3i,\ -1-\sqrt3i\)
44	Halla las raíces cuartas de \(16\)	\(2,\ 2i,\ -2,\ -2i\)
45	Resuelve \(z^2+4=0\)	\(z=\pm2i\)
46	Resuelve \(z^2-6z+13=0\)	\(z=3\pm2i\)
47	Resuelve \(z^2+2z+5=0\)	\(z=-1\pm2i\)
48	Resuelve \(z^2-(4+2i)z+(3+2i)=0\)	\(z=1,\ 3+2i\)
49	Resuelve \(z^2=(3+4i)\)	\(z=\pm(2+i)\)
50	Resuelve \(z^2=(-7+24i)\)	\(z=\pm(3+4i)\)
51	Comprueba que \(z\overline z=\|z\|^2\) para \(z=4-3i\)	Ambos miembros valen \(25\)
52	Calcula \(\dfrac1{3-4i}\)	\(\dfrac{3+4i}{25}\)
53	Calcula \(\dfrac{2}{1+i}+\dfrac{2}{1-i}\)	\(2\)
54	Calcula \(\dfrac{1+i}{1-i}\)	\(i\)
55	Si \(z+\overline z=10\) y \(z\overline z=34\), halla \(z\)	\(z=5\pm3i\)
56	Si \(\|z\|=5\) y \(\operatorname{Re}(z)=4\), halla \(z\)	\(z=4\pm3i\)
57	Describe \(\|z\|=3\)	Circunferencia de centro \(0\) y radio \(3\)
58	Describe \(\|z-(2-i)\|=4\)	Circunferencia de centro \(2-i\) y radio \(4\)
59	Describe \(\|z-(1+2i)\|<3\)	Disco abierto de centro \(1+2i\) y radio \(3\)
60	Describe \(\operatorname{Re}(z)=2\)	Recta vertical \(x=2\)
61	Describe \(\operatorname{Im}(z)=-1\)	Recta horizontal \(y=-1\)
62	Describe \(\|z-1\|=\|z+1\|\)	Eje imaginario
63	Calcula el argumento principal de \(z=-1-\sqrt3i\)	\(-2\pi/3\) o \(4\pi/3\)
64	Calcula todos los argumentos de \(z=i\)	\(\pi/2+2k\pi\)
65	Calcula \(\overline{(2-3i)(1+i)}\)	\(5+i\)
66	Simplifica \(\dfrac{z}{\overline z}\) para \(z=1+i\)	\(i\)
67	Halla \(a,b\in\mathbb R\) si \((a+bi)(1-i)=5+i\)	\(a=2,\ b=3\)
68	Halla \(a,b\in\mathbb R\) si \(\dfrac{a+bi}{1+i}=2-i\)	\(a=3,\ b=1\)
69	Calcula \((\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)\)	\(1\)
70	Calcula el producto de todas las raíces cuartas de \(16\)	\(-16\)
71	Resuelve \(z^4=1\)	\(1,\ i,\ -1,\ -i\)
72	Resuelve \(z^3=-8\)	\(2_{\pi/3},\ 2_{\pi},\ 2_{5\pi/3}\)
73	Calcula \((2+i)^3\)	\(2+11i\)
74	Calcula \((2-i)^4\)	\(-7-24i\)
75	Calcula \(i^{1001}-i^{999}\)	\(2i\)
76	Simplifica \(\dfrac{3+i}{3-i}\)	\(\dfrac45+\dfrac35i\)
77	Calcula \(\dfrac{1}{2+i}-\dfrac{1}{2-i}\)	\(-\dfrac25i\)
78	Si \(z=2-5i\), calcula \(z^2+2z\)	\(-17-30i\)
79	Halla \(z\) si \(3z+2\overline z=15+i\)	\(3+i\)
80	Halla \(z\) si \(z-3\overline z=-4+8i\)	\(2+2i\)
81	Calcula \(\|3-4i\|+\|1+i\|\)	\(5+\sqrt2\)
82	Calcula \(\|(1+i)(2-3i)\|\)	\(\sqrt{26}\)
83	Halla \(z\) si \(\|z\|=13\), \(\operatorname{Re}(z)=5\) y \(\operatorname{Im}(z)>0\)	\(5+12i\)
84	Escribe \(1-\sqrt3i\) en forma polar	\(2_{5\pi/3}\)
85	Escribe \(-2\sqrt3+2i\) en forma polar	\(4_{5\pi/6}\)
86	Pasa \(5_{7\pi/6}\) a forma binómica	\(-\dfrac{5\sqrt3}{2}-\dfrac52i\)
87	Calcula \(3_{\pi/5}\cdot2_{2\pi/5}\)	\(6_{3\pi/5}\)
88	Calcula \(\dfrac{12_{7\pi/6}}{3_{\pi/3}}\)	\(4_{5\pi/6}\)
89	Calcula \((2_{\pi/8})^8\)	\(256\)
90	Calcula \((\sqrt3-i)^{12}\)	\(4096\)
91	Halla las raíces cúbicas de \(-1\)	\(1_{\pi/3},\ 1_{\pi},\ 1_{5\pi/3}\)
92	Halla las raíces quintas de \(32\)	\(2_{2k\pi/5}\), \(k=0,1,2,3,4\)
93	Resuelve \(z^2-2z+10=0\)	\(z=1\pm3i\)
94	Resuelve \(z^4=16i\)	\(2_{\pi/8+k\pi/2}\), \(k=0,1,2,3\)
95	Resuelve \(z^6=64\)	\(2_{k\pi/3}\), \(k=0,1,2,3,4,5\)
96	Describe \(\|z-(3+2i)\|\le2\)	Disco cerrado de centro \((3,2)\) y radio \(2\)
97	Describe \(\|z-i\|=\|z-3i\|\)	Recta \(y=2\)
98	Describe \(\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z)=4\)	Recta \(x+y=4\)
99	Calcula la suma de las raíces cúbicas de \(8\)	\(0\)
100	Calcula el producto de las raíces cúbicas de \(8\)	\(8\)

10 problemas tipo examen de 1.º de Bachillerato

2 puntos

Problema 1

Dados \(z_1=2-3i\) y \(z_2=-1+4i\), calcula

\(z_1+z_2\)
\(z_1z_2\)
\(\dfrac{z_1}{z_2}\)
\(|z_1-z_2|\)

Ver solución

\[z_1+z_2=1+i\]

\[z_1z_2=10+11i\]

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{(2-3i)(-1-4i)}{17}=\frac{-14-5i}{17}\]

\[|z_1-z_2|=|3-7i|=\sqrt{58}\]

2 puntos

Problema 2

Escribe \(z=-3+3\sqrt3i\) en forma polar y calcula \(z^5\).

Ver solución

\[|z|=\sqrt{9+27}=6\]

El punto está en el segundo cuadrante y el ángulo de referencia es \(\pi/3\).

\[z=6_{2\pi/3}\]

\[z^5=6^5_{10\pi/3}=7776_{4\pi/3}\]

\[z^5=-3888-3888\sqrt3i\]

2 puntos

Problema 3

Calcula y representa las raíces cúbicas de \(-27i\).

Ver solución

\[-27i=27_{3\pi/2}\]

\[|w|=3\]

\[\alpha_k=\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}\]

\[\boxed{3_{\pi/2},\ 3_{7\pi/6},\ 3_{11\pi/6}}\]

2 puntos

Problema 4

Resuelve \(z^2-(6-2i)z+(12-6i)=0\).

Ver solución

La ecuación factoriza como

\[(z-(3+i))(z-(3-3i))=0\]

\[\boxed{z=3+i\quad\text{o}\quad z=3-3i}\]

2 puntos

Determina la ecuación cartesiana del lugar geométrico \(|z-(1+2i)|=|z-(5-2i)|\).

Ver solución

Sea \(z=x+yi\). Igualamos los cuadrados de las distancias.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y+2)^2\]

\[8x-8y-24=0\]

\[\boxed{x-y-3=0}\]

Es la mediatriz del segmento que une \((1,2)\) y \((5,-2)\).

Simulacro final de números complejos

Tiempo recomendado 60 minutos. Puntuación total 10 puntos. Intenta resolverlo sin mirar las soluciones.

Ejercicio 1 1 punto

Calcula

\[(3-2i)^2-(1+i)(4-3i)\]

Ejercicio 2 1 punto

Calcula

\[\frac{2+5i}{3-i}\]

Ejercicio 3 1 punto

Calcula \(i^{1501}+i^{1502}+i^{1503}+i^{1504}\).

Ejercicio 4 1 punto

Halla \(a\) y \(b\) si

\[(a+bi)(1+2i)=-4+7i\]

Ejercicio 5 1 punto

Pasa \(z=-2-2i\) a forma polar y trigonométrica.

Ejercicio 6 1 punto

Calcula \((1-\sqrt3i)^8\).

Ejercicio 7 1,5 puntos

Calcula las raíces cuartas de \(16i\).

Ejercicio 8 1,5 puntos

Resuelve \(z^2+4z+13=0\).

Ejercicio 9 1 punto

Describe el lugar geométrico

\[|z-(3-2i)|=4\]

Soluciones del simulacro

Ejercicio 1

\[(3-2i)^2=9-12i+4i^2=5-12i\]

\[(1+i)(4-3i)=4-3i+4i-3i^2=7+i\]

\[(5-12i)-(7+i)=\boxed{-2-13i}\]

Ejercicio 2

\[\frac{2+5i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i}=\frac{6+2i+15i+5i^2}{10}\]

\[\boxed{\frac1{10}+\frac{17}{10}i}\]

Ejercicio 3

Los cuatro exponentes recorren un ciclo completo.

\[i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=\boxed{0}\]

Ejercicio 4

\[(a+bi)(1+2i)=(a-2b)+(2a+b)i\]

\[\begin{cases}a-2b=-4\\2a+b=7\end{cases}\]

\[\boxed{a=2,\quad b=3}\]

Ejercicio 5

\[r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\]

El punto está en el tercer cuadrante.

\[\alpha=\frac{5\pi}{4}\]

\[\boxed{z=(2\sqrt2)_{5\pi/4}=2\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}\]

Ejercicio 6

\[1-\sqrt3i=2_{5\pi/3}\]

\[(2_{5\pi/3})^8=256_{40\pi/3}=256_{4\pi/3}\]

\[\boxed{-128-128\sqrt3i}\]

Ejercicio 7

\[16i=16_{\pi/2}\]

\[|w|=2\]

\[\alpha_k=\frac{\pi/2+2k\pi}{4}=\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}\]

\[\boxed{2_{\pi/8},\ 2_{5\pi/8},\ 2_{9\pi/8},\ 2_{13\pi/8}}\]

Ejercicio 8

\[\Delta=16-52=-36\]

\[z=\frac{-4\pm6i}{2}\]

\[\boxed{z=-2\pm3i}\]

Ejercicio 9

Circunferencia de centro \((3,-2)\) y radio 4.

Segundo simulacro de consolidación

Este bloque sirve para comprobar si el tema está realmente dominado. Tiempo recomendado 45 minutos.

1. Operaciones

Calcula \(\dfrac{(2+i)^3}{1-i}\).

Solución

\[(2+i)^3=2+11i\]

\[\frac{2+11i}{1-i}=\frac{(2+11i)(1+i)}{2}=\boxed{-\frac92+\frac{13}{2}i}\]

2. Forma polar

Escribe \(-3-3\sqrt3i\) en forma polar.

Solución

\[r=6,\qquad \alpha=\frac{4\pi}{3}\]

\[\boxed{6_{4\pi/3}}\]

3. Potencias

Calcula \((\sqrt3+i)^{20}\).

Solución

\[\sqrt3+i=2_{\pi/6}\]

\[(2_{\pi/6})^{20}=2^{20}_{10\pi/3}=2^{20}_{4\pi/3}\]

\[\boxed{-2^{19}-2^{19}\sqrt3i}\]

4. Raíces

Calcula las raíces quintas de \(-32\).

Solución

\[-32=32_{\pi}\]

\[\boxed{z_k=2_{\pi/5+2k\pi/5},\quad k=0,1,2,3,4}\]

5. Ecuación

Resuelve \(z^4+5z^2+4=0\).

Solución

\[(z^2+1)(z^2+4)=0\]

\[\boxed{z=\pm i,\quad z=\pm2i}\]

Errores frecuentes en números complejos

1. Confundir \(i^2\) con 1

La igualdad correcta es \(i^2=-1\). Este signo afecta a productos, cuadrados y divisiones.

2. Decir que la parte imaginaria es \(bi\)

En \(a+bi\), la parte imaginaria es \(b\).

3. Dividir término a término

No se divide una expresión compleja separando partes. Hay que multiplicar por el conjugado del denominador.

4. Elegir mal el cuadrante

La calculadora puede dar un ángulo de referencia, pero los signos de \(a\) y \(b\) mandan.

5. Sumar complejos en forma polar como si se sumaran módulos

Para sumar o restar, conviene pasar a forma binómica.

6. Dar una sola raíz

Una raíz n-ésima de un complejo no nulo produce \(n\) soluciones.

7. Olvidar argumentos equivalentes

Los argumentos que difieren en \(2k\pi\) representan el mismo complejo.

8. No comprobar una ecuación

En complejos también hay errores de sustitución y de signos. Una comprobación corta puede salvar el ejercicio.

Revisión final tipo examen

Antes de entregar

He sustituido siempre \(i^2\) por \(-1\)
He dejado los resultados en la forma solicitada
En una división, el denominador final es real
He revisado el cuadrante del argumento
En potencias he multiplicado el argumento por el exponente
En raíces he dividido el argumento y he usado todos los valores de \(k\)
He dado exactamente \(n\) raíces n-ésimas
He comprobado las ecuaciones cuando era razonable
He representado correctamente centro, radio o mediatriz en los lugares geométricos

Tabla resumen de fórmulas

Concepto	Fórmula
Forma binómica	\(z=a+bi\)
Conjugado	\(\overline z=a-bi\)
Módulo	\(\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Producto por conjugado	\(z\overline z=\|z\|^2\)
Distancia	\(d(z_1,z_2)=\|z_1-z_2\|\)
Forma trigonométrica	\(z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\)
Producto polar	\(r_\alpha s_\beta=(rs)_{\alpha+\beta}\)
Cociente polar	\(\dfrac{r_\alpha}{s_\beta}=(r/s)_{\alpha-\beta}\)
Moivre	\((r_\alpha)^n=r^n_{n\alpha}\)
Raíces	\(\sqrt[n]{r}_{(\alpha+2k\pi)/n}\)

Versión para imprimir y repasar sin pantalla

La estructura del recurso permite imprimir por separado la tabla de fórmulas, los 100 ejercicios de práctica y el simulacro final. Para estudiar de verdad, conviene intentar primero cada bloque sin mirar la columna de soluciones y corregirlo después con otro color.

Una buena sesión de repaso puede dividirse en tres partes: quince minutos de fórmulas y conversiones, treinta minutos de ejercicios y quince minutos de corrección razonada.

Qué estudiar después

Cuando ya dominas la forma polar, los argumentos y la fórmula de Moivre, la conexión natural es la trigonometría. También conviene relacionar la interpretación de módulo y distancia con la geometría analítica.

Trigonometría de 4.º ESO y 1.º de Bachillerato

Geometría analítica de 1.º de Bachillerato

Clases de Matemáticas de Bachillerato con seguimiento real

Cuando el alumno entiende las operaciones pero se atasca al elegir la forma adecuada, suele necesitar corrección y práctica guiada, no una lista más de fórmulas. En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas I paso a paso, con ejercicios corregidos y seguimiento durante el curso.

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Preguntas frecuentes sobre números complejos

¿Qué son los números complejos en 1.º de Bachillerato?

Son números de la forma \(a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son reales e \(i^2=-1\). Permiten resolver ecuaciones que no tienen solución dentro de los números reales.

¿Cómo se divide entre números complejos?

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así el denominador se transforma en un número real.

¿Cómo se calcula el argumento de un número complejo?

Se localiza primero el cuadrante y después se obtiene el ángulo de referencia. No basta con usar la calculadora sin revisar los signos de la parte real y de la parte imaginaria.

¿Para qué sirve la forma polar?

Facilita multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces. En forma polar se multiplican módulos y se suman argumentos.

¿Qué fórmula se usa para elevar un complejo a una potencia?

La fórmula de Moivre: \([r(\cos\alpha+i\sin\alpha)]^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\).

¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un complejo no nulo?

Tiene exactamente \(n\) raíces distintas, con el mismo módulo y argumentos separados \(2\pi/n\).

¿Es necesario comprobar una ecuación con números complejos?

Sí. La comprobación detecta errores de signo, especialmente cuando aparece \(i^2=-1\), divisiones o raíces.

¿Este tema sirve después de 1.º de Bachillerato?

Sí. Aparece en álgebra, ecuaciones diferenciales, electricidad, ondas, control, ingeniería y numerosos grados científicos y técnicos.

Autor y revisión

José María · Marlu Educativa

Recurso elaborado desde la experiencia docente con alumnos de ESO, Bachillerato, PAU y primeros cursos universitarios. Las explicaciones y los ejercicios se han revisado para que el alumno pueda seguir el procedimiento, detectar errores y comprobar resultados.

Última revisión técnica y matemática 16 de junio de 2026

Blog

Índice del recurso

Mapa completo del tema

Para sumar y restar

Para multiplicar directamente

Para dividir

Para potencias y raíces

Qué son los números complejos y por qué aparecen

La unidad imaginaria

Forma binómica de un número complejo

Representación de números complejos en el plano

Eje real

Eje imaginario

Igualdad de números complejos

Ejercicio resuelto

Conjugado y opuesto de un número complejo

Propiedades del conjugado

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma

Resta

Producto

Ejercicio resuelto

Potencias de i

Ejercicio resuelto

División de números complejos

Ejercicio resuelto

Módulo de un número complejo

Ejercicio resuelto

Propiedades del módulo

Distancia entre dos números complejos

Ejercicio resuelto

Argumento de un número complejo

Ejercicio resuelto

Forma polar y forma trigonométrica

Forma polar

Forma trigonométrica

Conversión entre forma binómica, polar y trigonométrica

De binómica a polar

Ejercicio resuelto

De polar a binómica

Ejercicio resuelto

Operaciones en forma polar

Producto

Cociente

Inverso

Ejercicio resuelto

Fórmula de Moivre

Ejercicio resuelto

Moivre y las identidades trigonométricas

Raíces n-ésimas de un número complejo

Ejercicio resuelto

Ecuaciones con soluciones complejas

Ecuaciones de segundo grado

Ejercicio resuelto

Ecuaciones del tipo \(z^n=a\)

Ecuaciones con \(z\) y \(\overline z\)

Ejercicio resuelto

Interpretación geométrica de ecuaciones con complejos

Ejercicio resuelto

Ejercicios clave resueltos paso a paso

Ejercicio clave 1

Ejercicio clave 2

Ejercicio clave 3

Ejercicio clave 4

Ejercicio clave 5

Ejercicio clave 6

Ejercicio clave 7

Ejercicio clave 8

Ejercicio clave 9

Ejercicio clave 10

Ejercicio clave 11

Ejercicio clave 12

Ejercicio clave 13

Ejercicio clave 14

Ejercicio clave 15

Ejercicio clave 16

Ejercicio clave 17

Ejercicio clave 18

Ejercicio clave 19

Ejercicio clave 20