Marlu Educativa, Matemáticas

Álgebra 1 Bachillerato: Ruffini, fracciones algebraicas y 100 ejercicios resueltos

Publicado por

JOSE-MARIA

octubre 21, 2026

el junio 9, 2026

Biblioteca Marlu · Matemáticas I · 1.º Bachillerato

Álgebra 1 Bachillerato: Ruffini, fracciones algebraicas y 100 ejercicios resueltos

Factoriza, opera con fracciones y resuelve ecuaciones e inecuaciones con el cálculo a la vista. Conserva las restricciones, elige el método y comprueba si la respuesta sirve en el problema original.

100 modelos · 6 prácticas de transferencia · 6 retos · simulacro de 7 apartados, con soluciones desarrolladas.

Actividades para clase · 6 prácticas, 6 retos y 7 apartados de simulacro · sin soluciones.

Nombre __________________________ Grupo __________ Fecha __________

100 modelos resueltos6 prácticas de transferencia6 retos de aplicaciónSimulacro explicado

Elegir bloque Ir a la práctica

Para descargar el PDF, pulsa imprimir y elige «Guardar como PDF». Las soluciones se abren automáticamente y los enlaces se conservan.

Cuaderno de práctica integrada de álgebra de Matemáticas I: polinomios, fracciones, Newton, ecuaciones y signos. Incluye dos ejercicios puente de radicales y valor absoluto; sistemas, logaritmos y complejos tienen recursos propios. Selecciona los bloques según la programación de tu centro.

Método Marlu · decidir antes de calcular

Identifica la tarea. Desarrollar, factorizar, simplificar y resolver piden respuestas distintas.
Anota las condiciones. Denominadores no nulos; longitudes y tiempos compatibles con el contexto.
Elige el paso que desbloquea. Factor común o identidad; Ruffini para un divisor de la forma $x-a$ denominador común para operar; tabla de signos para una inecuación racional.
Comprueba en el original. Desarrolla factores, verifica la división o sustituye las soluciones. Una prueba numérica ayuda a detectar fallos; no demuestra una identidad para todo valor.

Trabajamos sobre los reales, salvo indicación. En MCD y mcm de polinomios se elige el representante mónico. Los modelos iniciales fijan la técnica; después se combinan operaciones.

100 modelos resueltos y graduados

Intenta el enunciado antes de abrir su resolución. Si el cálculo se atasca, compara el primer paso distinto al tuyo.

1–16 · Identidades y factorización

Desarrollar convierte productos en sumas; factorizar recorre el camino inverso. Antes de Ruffini, busca factor común, identidad o agrupación.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).

1Cuadrado de una suma

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(x + 5\right)^{2}$

Ver resolución y comprobación

Identidad. Se aplica $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ con $a=x$ y $b=5$
Sustitución.
$x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25$

2Cuadrado de una diferencia

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(2 x - 3\right)^{2}$

Ver resolución y comprobación

Identidad. Se aplica $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ con $a=2x$ y $b=3$
Sustitución y reducción.
$(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot3+3^2=4x^2-12x+9$

3Suma por diferencia

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(3 x - 2 y\right) \left(3 x + 2 y\right)$

Ver resolución y comprobación

Estructura. Los factores tienen los mismos términos y signos opuestos: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Sustitución.
$(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2$

4Cubo de una suma

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(x + 4\right)^{3}$

Ver resolución y comprobación

Identidad. Se usa $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Sustitución.
$x^3+3x^2\cdot4+3x\cdot4^2+4^3$
Reducción.
$x^3+12x^2+48x+64$

5Cubo de una diferencia

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(2 a - b\right)^{3}$

Ver resolución y comprobación

Identidad. Se aplica $(u-v)^3=u^3-3u^2v+3uv^2-v^3$ con $u=2a$ y $v=b$
Sustitución.
$(2a)^3-3(2a)^2b+3(2a)b^2-b^3$
Reducción.
$8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3$

6Producto notable mixto

Modelo resuelto

Desarrolla $\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)$

Ver resolución y comprobación

Primera estructura. Los dos primeros factores forman una suma por diferencia.
$(x-2)(x+2)=x^2-4$
Producto restante. Se distribuye $x+3$ sobre el binomio obtenido.
$(x^2-4)(x+3)=x^3+3x^2-4x-12$

7Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{2} + 8 x + 16$

Ver resolución y comprobación

Reconocimiento. $x^2$ y $16=4^2$ son cuadrados, y el término central cumple $8x=2\cdot x\cdot4$
Identidad inversa.
$x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=(x+4)^2$

8Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $9 x^{2} - 25$

Ver resolución y comprobación

Reconocimiento. La expresión es una diferencia de cuadrados: $9x^2=(3x)^2$ y $25=5^2$
Factorización. Se aplica $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)$

9Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $4 x^{2} - 12 x + 9$

Ver resolución y comprobación

Reconocimiento. $4x^2=(2x)^2$ $9=3^2$ y $-12x=-2\cdot2x\cdot3$
Identidad inversa.
$(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x-3)^2$

10Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

Ver resolución y comprobación

Reconocimiento. Los coeficientes $1,6,12,8$ coinciden con el cubo de una suma para $a=x$ y $b=2$
Comprobación.
$x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$

x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3

11Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{3} - 27$

Ver resolución y comprobación

Estructura. $27=3^3$ por lo que se trata de una diferencia de cubos.
Identidad. Se aplica $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$

12Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $2 x^{2} + 7 x + 3$

Ver resolución y comprobación

Búsqueda de factores. Se necesitan dos binomios cuyo producto inicial sea $2x^2$ cuyo término independiente sea $3$ y cuyos productos cruzados sumen $7x$
Comprobación.
$(2x+1)(x+3)=2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3$

2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)

13Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $6 x^{2} - x - 2$

Ver resolución y comprobación

Descomposición central. Como $3\cdot(-4)=-12$ y $3-4=-1$ se separa $-x$ en $3x-4x$
$6x^2-x-2=6x^2+3x-4x-2$
Agrupación.
$3x(2x+1)-2(2x+1)=(3x-2)(2x+1)$

6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)

14Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{4} - 16$

Ver resolución y comprobación

Primera diferencia de cuadrados.
$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)$
Segunda factorización.
$x^2-4=(x-2)(x+2)$

x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)

15Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Ver resolución y comprobación

Cambio de variable. Al ser bicuadrado, se toma $y=x^2$
$y^2-5y+4=(y-1)(y-4)$
Regreso a $x$
$(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

x^4-5x^2+4=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)

16Factorización directa

Modelo resuelto

Factoriza $3 x^{3} - 12 x$

Ver resolución y comprobación

Factor común. Ambos términos contienen $3x$
$3x^3-12x=3x(x^2-4)$
Diferencia de cuadrados.
$x^2-4=(x-2)(x+2)$

3x^3-12x=3x(x-2)(x+2)

Volver al índice

17–34 · Valores, operaciones y división

Ordena por grados y escribe ceros en los términos ausentes. En una división, comprueba $P=DQ+R$ y $\deg R<\deg D$ Ruffini usa el valor que anula $x-a$

17Valor numérico de un polinomio

Modelo resuelto

Calcula el valor de $P(2)$ si $P(x)=3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 5$

Ver resolución y comprobación

Sustitución. Se reemplaza cada $x$ por $2$ respetando las potencias.
$P(2)=3\cdot2^4-2\cdot2^2+2-5$
Cálculo.
$3\cdot16-2\cdot4+2-5=48-8+2-5=37$

18Valor numérico de un polinomio

Modelo resuelto

Calcula el valor de $P(-1)$ si $P(x)=- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 1$

Ver resolución y comprobación

Sustitución con paréntesis.
$P(-1)=-2(-1)^3+4(-1)^2-7(-1)+1$
Signos y suma.
$2+4+7+1=14$

19Valor numérico de un polinomio

Modelo resuelto

Calcula el valor de $P(3)$ si $P(x)=x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 8$

Ver resolución y comprobación

Sustitución.
$P(3)=3^5-3\cdot3^3+2\cdot3-8$
Cálculo.
$243-81+6-8=160$

20Operaciones con polinomios

Modelo resuelto

Calcula $(2 x^{3} - 5 x + 1)+(- x^{3} + 4 x^{2} + x - 7)$

Ver resolución y comprobación

Agrupación por grados.
$(2x^3-x^3)+4x^2+(-5x+x)+(1-7)$
Reducción de términos semejantes.
$x^3+4x^2-4x-6$

21Operaciones con polinomios

Modelo resuelto

Calcula $(5 x^{4} - 3 x^{2} + x)-(2 x^{4} + x^{3} - 4 x + 6)$

Ver resolución y comprobación

Distribución del signo menos. Cambian todos los signos del segundo polinomio.
$5x^4-3x^2+x-2x^4-x^3+4x-6$
Agrupación por grados.
$(5x^4-2x^4)-x^3-3x^2+(x+4x)-6$

3x^4-x^3-3x^2+5x-6

22Operaciones con polinomios

Modelo resuelto

Calcula $(x^{2} - 3 x + 2)(2 x - 5)$

Ver resolución y comprobación

Distribución. Cada término del trinomio multiplica al binomio.
$x^2(2x-5)-3x(2x-5)+2(2x-5)$
Desarrollo.
$2x^3-5x^2-6x^2+15x+4x-10$
Reducción.
$2x^3-11x^2+19x-10$

23Operaciones con polinomios

Modelo resuelto

Calcula $(x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)+(x^{2} - x + 4)$

Ver resolución y comprobación

Alineación por grados.
$x^3+(x^2+x^2)+(-2x-x)+(1+4)$
Reducción de términos semejantes.
$x^3+2x^2-3x+5$

24División de polinomios

Modelo resuelto

Divide $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ entre $x - 3$

Ver resolución y comprobación

Ruffini. Como el divisor es $x-3$ se utiliza $a=3$ con los coeficientes $1,-2,-5,6$
$\begin{array}{r|rrrr}3&1&-2&-5&6\\&&3&3&-6\\ \hline&1&1&-2&0\end{array}$
Lectura. Los tres primeros valores forman el cociente y el último es el resto.

C(x)=x^2+x-2,\qquad R=0

Comprobación: $x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)$

25División de polinomios

Modelo resuelto

Divide $2 x^{4} - x^{3} + 3 x - 1$ entre $x^{2} + 1$

Ver resolución y comprobación

Ordenación. Se completa el término ausente.
$2x^4-x^3+0x^2+3x-1$
División sucesiva. Los términos del cociente son $2x^2$ $-x$ y $-2$
$\begin{aligned}2x^4-x^3+0x^2+3x-1-(2x^4+2x^2)&=-x^3-2x^2+3x-1,\\-x^3-2x^2+3x-1-(-x^3-x)&=-2x^2+4x-1,\\-2x^2+4x-1-(-2x^2-2)&=4x+1.\end{aligned}$
Lectura. El último polinomio tiene grado menor que el divisor, por lo que es el resto.

C(x)=2x^2-x-2,\qquad R(x)=4x+1

Comprobación: $2x^4-x^3+3x-1=(x^2+1)(2x^2-x-2)+(4x+1)$

26División de polinomios

Modelo resuelto

Divide $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 5$ entre $x - 2$

Ver resolución y comprobación

Ruffini. Para $x-2$ se toma $a=2$ y la fila $1,-3,2,1,-5$
$\begin{array}{r|rrrrr}2&1&-3&2&1&-5\\&&2&-2&0&2\\ \hline&1&-1&0&1&-3\end{array}$
Lectura. El cero conserva el término $0x$ del cociente.

C(x)=x^3-x^2+1,\qquad R=-3

Comprobación: $P(x)=(x-2)(x^3-x^2+1)-3$

27División de polinomios

Modelo resuelto

Divide $3 x^{4} + 2 x^{3} - x + 7$ entre $x + 1$

Ver resolución y comprobación

Ruffini. $x+1=x-(-1)$ se usa $a=-1$ y se escribe un cero en el lugar del término $x^2$ que no aparece.
$\begin{array}{r|rrrrr}-1&3&2&0&-1&7\\&&-3&1&-1&2\\ \hline&3&-1&1&-2&9\end{array}$
Lectura. Los coeficientes $3,-1,1,-2$ forman el cociente.

C(x)=3x^3-x^2+x-2,\qquad R=9

28División de polinomios

Modelo resuelto

Divide $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} - 1$ entre $x^{2} - x + 1$

Ver resolución y comprobación

Primer término. $\frac{x^5}{x^2}=x^3$ Tras multiplicar y restar queda $x^4-5x^3+x^2-1$
Siguientes términos. $\frac{x^4}{x^2}=x^2$ y después $\frac{-4x^3}{x^2}=-4x$ La resta deja $-4x^2+4x-1$
Último término. $\frac{-4x^2}{x^2}=-4$ al restar queda $3$ de grado menor que el divisor.

Comprobación: $x^5-4x^3+x^2-1=(x^2-x+1)(x^3+x^2-4x-4)+3$

29Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ entre $x - 1$

Ver resolución y comprobación

Preparación. $x-1$ determina $a=1$ los coeficientes son $1,-6,11,-6$
Ruffini.
$\begin{array}{r|rrrr}1&1&-6&11&-6\\&&1&-5&6\\ \hline&1&-5&6&0\end{array}$

C(x)=x^2-5x+6,\qquad R=0

30Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ entre $x - 2$

Ver resolución y comprobación

Preparación. Se escriben los coeficientes de todos los grados: $1,0,-5,0,4$
Ruffini con $a=2$
$\begin{array}{r|rrrrr}2&1&0&-5&0&4\\&&2&4&-2&-4\\ \hline&1&2&-1&-2&0\end{array}$

C(x)=x^3+2x^2-x-2,\qquad R=0

31Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12$ entre $x + 2$

Ver resolución y comprobación

Preparación. Como $x+2=x-(-2)$ se coloca $-2$ junto a los coeficientes $2,-3,-8,12$
Ruffini.
$\begin{array}{r|rrrr}-2&2&-3&-8&12\\&&-4&14&-12\\ \hline&2&-7&6&0\end{array}$

C(x)=2x^2-7x+6,\qquad R=0

El resto nulo confirma que $x+2$ es factor.

32Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$ entre $x + 1$

Ver resolución y comprobación

Preparación. $x+1$ determina $a=-1$ la fila completa es $1,1,-7,-1,6$
Ruffini.
$\begin{array}{r|rrrrr}-1&1&1&-7&-1&6\\&&-1&0&7&-6\\ \hline&1&0&-7&6&0\end{array}$

C(x)=x^3-7x+6,\qquad R=0

33Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ entre $x - 1$

Ver resolución y comprobación

Preparación. Para $x-1$ se utiliza $a=1$ con $3,2,-5,-6$
Ruffini.
$\begin{array}{r|rrrr}1&3&2&-5&-6\\&&3&5&0\\ \hline&3&5&0&-6\end{array}$

C(x)=3x^2+5x,\qquad R=-6

34Ruffini

Modelo resuelto

Aplica Ruffini para dividir $x^{5} - 2 x^{4} - x + 2$ entre $x - 2$

Ver resolución y comprobación

Preparación. Se incluyen los términos ausentes: coeficientes $1,-2,0,0,-1,2$
Ruffini con $a=2$
$\begin{array}{r|rrrrrr}2&1&-2&0&0&-1&2\\&&2&0&0&0&-2\\ \hline&1&0&0&0&-1&0\end{array}$

C(x)=x^4-1,\qquad R=0

Volver al índice

35–47 · Resto, factor, raíces y parámetros

Al dividir entre $x-a$ el resto es $P(a)$ Si $P(a)=0$ $a$ es raíz y $x-a$ es factor. Factorizar por completo exige continuar con el cociente.

35Teorema del resto

Modelo resuelto

Calcula el resto de dividir $P(x)=2 x^{4} - x^{3} + 5 x - 1$ entre $x-2$

Ver resolución y comprobación

Teorema del resto. Para el divisor $x-2$ el resto es $P(2)$
Sustitución.
$P(2)=2\cdot2^4-2^3+5\cdot2-1=32-8+10-1$

R=P(2)=33

36Teorema del resto

Modelo resuelto

Calcula el resto de dividir $P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ entre $x+1$

Ver resolución y comprobación

Teorema del resto. $x+1=x-(-1)$ por lo que el resto es $P(-1)$
Sustitución.
$P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6$

R=P(-1)=0

37Teorema del resto

Modelo resuelto

Calcula el resto de dividir $P(x)=3 x^{5} - x^{2} + 4$ entre $x-1$

Ver resolución y comprobación

Teorema del resto. Para $x-1$ se calcula $P(1)$
Sustitución.
$P(1)=3\cdot1^5-1^2+4=3-1+4$

R=P(1)=6

38Teorema del resto

Modelo resuelto

Calcula el resto de dividir $P(x)=x^{4} + 2 x^{3} - 7 x + 5$ entre $x+2$

Ver resolución y comprobación

Teorema del resto. $x+2=x-(-2)$ así que se evalúa $P(-2)$
Sustitución.
$P(-2)=(-2)^4+2(-2)^3-7(-2)+5=16-16+14+5$

R=P(-2)=19

39Teorema del factor

Modelo resuelto

Comprueba si $x+1$ es factor de $P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$

Ver resolución y comprobación

Valor asociado. El factor $x+1$ corresponde a la posible raíz $x=-1$
Evaluación.
$P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0$

P(-1)=0\Rightarrow x+1\text{ es factor de }P(x)

40Teorema del factor

Modelo resuelto

Comprueba si $x-3$ es factor de $P(x)=x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

Ver resolución y comprobación

Valor asociado. El factor $x-3$ corresponde a $x=3$
Evaluación.
$P(3)=3^3-6\cdot3^2+11\cdot3-6=27-54+33-6=0$

P(3)=0\Rightarrow x-3\text{ es factor de }P(x)

41Teorema del factor

Modelo resuelto

Comprueba si $x-2$ es factor de $P(x)=2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12$

Ver resolución y comprobación

Valor asociado. El factor $x-2$ corresponde a $x=2$
Evaluación.
$P(2)=2\cdot2^3-3\cdot2^2-8\cdot2+12=16-12-16+12=0$

P(2)=0\Rightarrow x-2\text{ es factor de }P(x)

42Parámetro y teorema del factor

Modelo resuelto

Halla $k$ para que $x-2$ sea factor de $P(x)=x^3+kx^2-5x+2$ y factoriza después el polinomio.

Ver resolución y comprobación

Condición del factor. Por el teorema del factor, debe cumplirse $P(2)=0$
Cálculo del parámetro.
$P(2)=2^3+k\cdot2^2-5\cdot2+2=8+4k-10+2=4k$ $4k=0\Rightarrow k=0$
División. Con $k=0$ se divide $x^3-5x+2$ entre $x-2$
$\begin{array}{r|rrrr}2&1&0&-5&2\\&&2&4&-2\\ \hline&1&2&-1&0\end{array}$
Factorización completa. El cociente es $x^2+2x-1$ cuyas raíces son $-1\pm\sqrt2$

k=0,\qquad P(x)=(x-2)(x^2+2x-1)

P(x)=(x-2)(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2)

43Raíces y factorización completa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ y halla sus raíces reales.

Ver resolución y comprobación

Primera raíz. Entre los divisores de $6$ $x=1$ anula el polinomio.
$P(1)=1-6+11-6=0$
División. Ruffini con $1$ produce $x^2-5x+6$
Factorización del cociente.
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

P(x)=(x-1)(x-2)(x-3),\qquad x\in\{1,2,3\}

44Raíces y factorización completa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ y halla sus raíces reales.

Ver resolución y comprobación

Agrupación.
$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)$
Factor común y diferencia de cuadrados.
$(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)$

P(x)=(x-2)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,2\}

45Raíces y factorización completa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ y halla sus raíces reales.

Ver resolución y comprobación

Cambio de variable. Al aparecer solo potencias pares, se toma $y=x^2$
$y^2-5y+4=(y-1)(y-4)=0$
Regreso a la variable original.
$x^2=1\quad\text{o}\quad x^2=4$
Raíces. De las dos ecuaciones se obtienen $x=\pm1$ y $x=\pm2$

P(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,1,2\}

46Raíces y factorización completa

Modelo resuelto

Factoriza $2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12$ y halla sus raíces reales.

Ver resolución y comprobación

Primera raíz.
$P(2)=16-12-16+12=0\Rightarrow x-2\text{ es factor}$
Ruffini. La división entre $x-2$ da $2x^2+x-6$
Factorización del cociente.
$2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)$

P(x)=(x-2)(x+2)(2x-3),\qquad x\in\left\{-2,\frac32,2\right\}

47Raíces y factorización completa

Modelo resuelto

Factoriza $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$ y halla sus raíces reales.

Ver resolución y comprobación

Primera raíz. $P(2)=0$ de modo que Ruffini produce el cociente $x^3-7x-6$
Segunda raíz. El cociente se anula en $x=-1$ una nueva división da $x^2-x-6$
Factorización final.
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$

P(x)=(x-3)(x-2)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,2,3\}

Volver al índice

48–52 · MCD y mcm de polinomios

Factoriza ambos polinomios. Para el MCD, toma los factores comunes con menor exponente; para el mcm, todos los factores con mayor exponente. Aquí se da el representante mónico, con coeficiente principal 1.

48M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Modelo resuelto

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de $P(x)=x^{2} - 1$ y $Q(x)=x^{2} - 2 x + 1$

Ver resolución y comprobación

Factorización.
$P(x)=(x-1)(x+1),\qquad Q(x)=(x-1)^2$
Selección. El m.c.d. conserva el factor común con el menor exponente; el m.c.m. reúne todos con el mayor.

\operatorname{m.c.d.}=x-1,\qquad \operatorname{m.c.m.}=(x-1)^2(x+1)

49M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Modelo resuelto

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de $P(x)=x^{3} - x$ y $Q(x)=x^{2} - x$

Ver resolución y comprobación

Factorización.
$P(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1),\qquad Q(x)=x(x-1)$
Selección de factores. $x$ y $x-1$ son comunes; $x+1$ aparece solo en $P$

\operatorname{m.c.d.}=x(x-1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x+1)

50M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Modelo resuelto

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de $P(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ y $Q(x)=x^{2} - 4$

Ver resolución y comprobación

Factorización.
$P(x)=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$ $Q(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$
Selección. El único factor común es $x-2$

\operatorname{m.c.d.}=x-2,\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x-2)(x+2)

51M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Modelo resuelto

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de $P(x)=x^{4} - 1$ y $Q(x)=x^{3} - x$

Ver resolución y comprobación

Factorización.
$P(x)=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ $Q(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$
Selección. Los factores comunes son $(x-1)(x+1)$ para el m.c.m. se añaden $x$ y $x^2+1$

\operatorname{m.c.d.}=(x-1)(x+1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x+1)(x^2+1)

52M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Modelo resuelto

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de $P(x)=x^{3} - 3 x - 2$ y $Q(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Ver resolución y comprobación

Factorización de $P$ $P(2)=0$ y el cociente es $(x+1)^2$
$P(x)=(x-2)(x+1)^2$
Factorización de $Q$ $Q(2)=0$ y el cociente es $(x-2)(x+1)$
$Q(x)=(x-2)^2(x+1)$
Selección por exponentes. Para el m.c.d. se toman los menores; para el m.c.m., los mayores.

\operatorname{m.c.d.}=(x-2)(x+1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=(x-2)^2(x+1)^2

Ver resolución y comprobación

Restricción inicial. $6(x+1)^2\neq0$ así que $x\neq-1$
Factorización.
$3x^2-12=3(x-2)(x+2),\qquad 6x^2+12x+6=6(x+1)^2$
Reducción numérica. Se simplifica $\frac36=\frac12$ no hay más factores comunes.

\frac{3x^2-12}{6x^2+12x+6}=\frac{(x-2)(x+2)}{2(x+1)^2}

Restricción: $x\neq-1$

63Ecuación racional con restricciones

Modelo resuelto

Resuelve $\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=1$ Indica las restricciones y comprueba las soluciones.

Ver resolución y comprobación

Restricciones. Los denominadores no pueden anularse, así que $x\neq1$ y $x\neq-1$
Denominador común.
$\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=1$ $\frac{x+3}{x^2-1}=1$
Ecuación resultante. Como $x\neq\pm1$ se puede multiplicar por $x^2-1$
$x+3=x^2-1\Rightarrow x^2-x-4=0$ $x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
Comprobación. Ninguna de las dos raíces es $1$ ni $-1$ Para ambas se cumple $x^2-1=x+3$ que es la igualdad obtenida al reunir las fracciones.

x\in\left\{\frac{1-\sqrt{17}}2,\frac{1+\sqrt{17}}2\right\}

Restricciones: $x\notin\{-1,1\}$

64Simplificación de fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Simplifica $\dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. $x(x+y)\neq0$ por lo que $x\neq0$ y $x\neq-y$
Factorización.
$x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad x^2+xy=x(x+y)$
Reducción.
$\frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)}=\frac{x-y}{x}$

Restricciones: $x\neq0$ y $x\neq-y$

65Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Ver resolución y comprobación

Denominador común. Con $x\neq\pm1$ se utiliza $(x+1)(x-1)$
Numerador común.
$\frac{2(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-2+x+1}{(x+1)(x-1)}$
Reducción. $2x-2+x+1=3x-1$

\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}

Restricciones: $x\notin\{-1,1\}$

66Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{3}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}$

Ver resolución y comprobación

Denominador común. Con $x\neq\pm2$ se toma $(x+2)(x-2)$
Numerador común.
$3(x-2)-(x+2)=3x-6-x-2=2x-8$
Factorización del numerador. $2x-8=2(x-4)$

\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}=\frac{2(x-4)}{(x-2)(x+2)}

Restricciones: $x\notin\{-2,2\}$

67Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3}$

Ver resolución y comprobación

Denominador común. Las restricciones son $x\neq\pm3$ y el denominador es $(x+3)(x-3)$
Desarrollo del numerador.
$(x-2)(x-3)+(x+1)(x+3)$ $=x^2-5x+6+x^2+4x+3=2x^2-x+9$

\frac{x-2}{x+3}+\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x^2-x+9}{(x-3)(x+3)}

Restricciones: $x\notin\{-3,3\}$

68Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Ver resolución y comprobación

Denominador común. $x^2-1=(x-1)(x+1)$ con $x\neq\pm1$
Numerador común.
$\frac{2x-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
Reducción. Se cancela el factor $x-1$ manteniendo su restricción original.

\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}

Restricciones: $x\notin\{-1,1\}$

69Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{x + 2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x + 2}$

Ver resolución y comprobación

Factorización inicial.
$\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac1{x-2}$
Denominador común.
$\frac1{x-2}+\frac3{x+2}=\frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
Reducción del numerador. $x+2+3x-6=4x-4=4(x-1)$

\frac{x+2}{x^2-4}+\frac3{x+2}=\frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}

Restricciones: $x\notin\{-2,2\}$

70Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. El denominador exige $x\neq-1$ y $x\neq1$
Factorización completa.
$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2$
Reducción.
$\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}=1$

Restricciones: $x\notin\{-1,1\}$

71Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. El denominador se anula en $x=2$ y $x=-2$
Factorización completa.
$x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2$
Reducción.
$\frac{(x+2)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)^2}=1$

Restricciones: $x\notin\{-2,2\}$

72Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{16}{x^{2} - 4} + \frac{6}{x + 2} - \frac{4}{2 - x}$

Ver resolución y comprobación

Signo del tercer término. Como $2-x=-(x-2)$ se tiene $\frac{-4}{2-x}=\frac4{x-2}$
Denominador común.
$\frac{16+6(x-2)+4(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
Reducción del numerador.
$16+6x-12+4x+8=10x+12=2(5x+6)$

\frac{16}{x^2-4}+\frac6{x+2}-\frac4{2-x}=\frac{2(5x+6)}{(x-2)(x+2)}

Restricciones: $x\notin\{-2,2\}$

73Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\left(x^{2} - y^{2}\right) \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. $x\neq0$ y $y\neq0$
Factorización y suma interior.
$x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad \frac1y+\frac1x=\frac{x+y}{xy}$
Producto.
$(x-y)(x+y)\cdot\frac{x+y}{xy}=\frac{(x-y)(x+y)^2}{xy}$

Restricciones: $x\neq0$ y $y\neq0$

74Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{- a + x}{- a^{2} + x^{2}}$

Ver resolución y comprobación

Reescritura. El numerador es $x-a$ y el denominador es una diferencia de cuadrados.
$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$
Reducción.
$\frac{x-a}{(x-a)(x+a)}=\frac1{x+a}$

\frac{-a+x}{-a^2+x^2}=\frac1{a+x}

Restricciones: $x\neq a$ y $x\neq-a$

75Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones. La fracción interior exige $x\neq0$ además, $1+\frac1x\neq0$ por lo que $x\neq-1$
Denominador interior.
$1+\frac1x=\frac{x+1}{x}$
Recíproco y suma final.
$1+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1+x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}$

Restricciones: $x\notin\{-1,0\}$

76Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x + 1}$

Ver resolución y comprobación

Denominador común. $x^2-1=(x-1)(x+1)$ con $x\neq\pm1$
Numerador común.
$(2x+1)-3(x-1)=2x+1-3x+3=4-x$
Forma equivalente. $4-x=-(x-4)$

\frac{2x+1}{x^2-1}-\frac3{x+1}=-\frac{x-4}{(x-1)(x+1)}

Restricciones: $x\notin\{-1,1\}$

77Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 3 x\right)}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. El denominador factorizado es $(x-2)x(x+3)$ luego $x\notin\{-3,0,2\}$
Factorización.
$x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+3x=x(x+3)$
Reducción.
$\frac{(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-2)x(x+3)}=\frac{x+2}{x}$

Restricciones: $x\notin\{-3,0,2\}$

78Operaciones con fracciones algebraicas

Modelo resuelto

Opera y simplifica $\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones iniciales. El denominador es $(x-2)(x-3)(x+3)$ de modo que $x\notin\{-3,2,3\}$
Factorización.
$x^2-4x+4=(x-2)^2,\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$
Reducción.
$\frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)(x-3)(x+3)}=\frac{x-2}{x-3}$

Restricciones: $x\notin\{-3,2,3\}$

79Fracción algebraica compuesta

Modelo resuelto

Simplifica $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Ver resolución y comprobación

Restricciones. Se exige $x\neq0$ y $1+\frac1x\neq0$ por lo que también $x\neq-1$
Denominador interior.
$1+\frac1x=\frac{x+1}{x}$
Inversión.
$\frac1{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$

Restricciones: $x\notin\{-1,0\}$

80Fracción algebraica compuesta

Modelo resuelto

Simplifica $1 + \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + 1}$

Ver resolución y comprobación

Primera restricción. $x+1\neq0$ luego $x\neq-1$
Denominador interior.
$\frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}$
Segunda restricción y reducción. Se exige $2x+1\neq0$ así que $x\neq-\frac12$
$1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}$

Restricciones: $x\notin\left\{-1,-\frac12\right\}$

81Fracción algebraica compuesta

Modelo resuelto

Simplifica $\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}$

Ver resolución y comprobación

Suma interior. Con $x\neq\pm1$ se obtiene:
$\frac1{x+1}+\frac1{x-1}=\frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{x^2-1}$
Producto del denominador.
$(x-1)\frac{2x}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x+1}$
Inversión. El denominador anterior tampoco puede ser cero; se añade $x\neq0$
$\frac1{\frac{2x}{x+1}}=\frac{x+1}{2x}$

Restricciones: $x\notin\{-1,0,1\}$

82Fracción algebraica compuesta

Modelo resuelto

Simplifica $\frac{\frac{x}{x + 2} - 1}{1 + \frac{2}{x + 2}}$

Ver resolución y comprobación

Restricción inicial. $x\neq-2$
Numerador y denominador.
$\frac{x}{x+2}-1=-\frac2{x+2},\qquad 1+\frac2{x+2}=\frac{x+4}{x+2}$
División. El denominador compuesto exige además $x\neq-4$
$\frac{-2}{x+2}\div\frac{x+4}{x+2}=-\frac2{x+4}$

Restricciones: $x\notin\{-4,-2\}$

83Fracción algebraica compuesta

Modelo resuelto

Simplifica $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Ver resolución y comprobación

Restricción inicial. $x\neq0$
Reducción de las fracciones internas.
$1+\frac1x=\frac{x+1}{x},\qquad 1-\frac1x=\frac{x-1}{x}$
División. El denominador exige también $x\neq1$
$\frac{x+1}{x}\div\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x-1}$

Restricciones: $x\notin\{0,1\}$

Volver al índice

84–89 · Binomio de Newton

Si se pide solo un coeficiente, identifica el exponente y calcula ese término, sin desarrollar todos.

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k.

84Binomio de Newton

Modelo resuelto

Desarrolla con el binomio de Newton $\left(x + 2\right)^{4}$

Ver resolución y comprobación

Coeficientes. Para potencia $4$ la fila binomial es $1,4,6,4,1$
Sustitución ordenada.
$x^4+4x^3\cdot2+6x^2\cdot2^2+4x\cdot2^3+2^4$
Cálculo de coeficientes.
$x^4+8x^3+24x^2+32x+16$

85Binomio de Newton

Modelo resuelto

Desarrolla con el binomio de Newton $\left(x - 3\right)^{5}$

Ver resolución y comprobación

Coeficientes. Para potencia $5$ se usa $1,5,10,10,5,1$
Sustitución con $-3$
$x^5+5x^4(-3)+10x^3(-3)^2+10x^2(-3)^3+5x(-3)^4+(-3)^5$
Reducción.
$x^5-15x^4+90x^3-270x^2+405x-243$

86Binomio de Newton

Modelo resuelto

Desarrolla con el binomio de Newton $\left(2 x + 1\right)^{4}$

Ver resolución y comprobación

Coeficientes. La fila de grado $4$ es $1,4,6,4,1$
Sustitución.
$(2x)^4+4(2x)^3+6(2x)^2+4(2x)+1$
Reducción.
$16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$

87Binomio de Newton

Modelo resuelto

Desarrolla con el binomio de Newton $\left(a - b\right)^{5}$

Ver resolución y comprobación

Coeficientes. Para grado $5$ $1,5,10,10,5,1$
Signos. Al sustituir $-b$ las potencias impares conservan signo negativo y las pares, positivo.
$a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5$

88Binomio de Newton

Modelo resuelto

Desarrolla con el binomio de Newton $\left(3 x - 2 y\right)^{3}$

Ver resolución y comprobación

Identidad. Se aplica el cubo de una diferencia con $u=3x$ y $v=2y$
Sustitución.
$(3x)^3-3(3x)^2(2y)+3(3x)(2y)^2-(2y)^3$
Reducción.
$27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

89Término y coeficiente de Newton

Modelo resuelto

Halla el coeficiente de $x^4$ en $(2x-3)^7$ sin desarrollar todo el binomio.

Ver resolución y comprobación

Término general. Numerando desde $k=0$ el término general del desarrollo es
$T_{k+1}=\binom{7}{k}(2x)^{7-k}(-3)^k$
Elección del término. La potencia de $x$ es $7-k$ Para obtener $x^4$ debe cumplirse
$7-k=4\Rightarrow k=3$
Cálculo del coeficiente.
$\binom73 2^4(-3)^3=35\cdot16\cdot(-27)=-15120$

\text{El término buscado es }-15120x^4;\quad \text{su coeficiente es }\boxed{-15120}.

Volver al índice

90–100 · Ecuaciones, inecuaciones y problemas

Una ecuación busca valores; una inecuación, intervalos. En cocientes, lleva todo a un miembro y estudia signos: multiplicar por un denominador de signo desconocido puede cambiar la desigualdad.

90Ecuación algebraica

Modelo resuelto

Resuelve $x^{2} - 5 x + 6=0$

Ver resolución y comprobación

Factorización. Se buscan dos números que multipliquen $6$ y sumen $-5$ $-2$ y $-3$
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
Producto nulo.
$x-2=0\quad\text{o}\quad x-3=0$

x\in\{2,3\}

91Ecuación algebraica

Modelo resuelto

Resuelve $x^{3} - 4 x=0$

Ver resolución y comprobación

Factor común.
$x^3-4x=x(x^2-4)$
Diferencia de cuadrados.
$x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$
Producto nulo. Cada factor se iguala a cero.

x\in\{-2,0,2\}

92Ecuación algebraica

Modelo resuelto

Resuelve $x^{4} - 13 x^{2} + 36=0$

Ver resolución y comprobación

Cambio de variable. Se toma $y=x^2$
$y^2-13y+36=(y-4)(y-9)=0$
Valores de $y$
$y=4\quad\text{o}\quad y=9$
Regreso a $x$
$x^2=4\Rightarrow x=\pm2,\qquad x^2=9\Rightarrow x=\pm3$

x\in\{-3,-2,2,3\}

93Ecuación algebraica

Modelo resuelto

Resuelve $\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)=0$

Ver resolución y comprobación

Producto nulo. La expresión ya está factorizada; basta igualar cada factor a cero.
Ecuaciones lineales.
$x-5=0,\qquad x-2=0,\qquad x+3=0$

x\in\{-3,2,5\}

94Ecuación algebraica

Modelo resuelto

Resuelve $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6=0$

Ver resolución y comprobación

Primera raíz. $P(1)=0$ por lo que $x-1$ es factor.
Ruffini y factorización. El cociente es $x^2-5x+6$
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
Producto nulo. Se iguala a cero cada factor.

x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)

x\in\{1,2,3\}

95Inecuación con tabla de signos

Modelo resuelto

Resuelve $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Ver resolución y comprobación

Factorización.
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
Puntos críticos. Las raíces $2$ y $3$ dividen la recta en tres intervalos. El producto es positivo fuera y negativo entre ellas.
Extremos. Como la desigualdad incluye la igualdad, se incorporan ambas raíces.

x\in[2,3]

96Inecuación con tabla de signos

Modelo resuelto

Resuelve $\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 1} \leq 0$

Ver resolución y comprobación

Factorización y dominio.
$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)},\qquad x\neq\pm1$
Puntos críticos. Se ordenan $-1,1,2,3$ Los signos por intervalos son $+,-,+,-,+$
Selección. Se toman los intervalos con signo negativo y los ceros del numerador; $-1$ y $1$ nunca se incluyen.

x\in(-1,1)\cup[2,3]

97Problema algebraico de área

Modelo resuelto

Un rectángulo tiene lados $(x+3)\,\mathrm m$ y $(x-2)\,\mathrm m$ y su área es $40\,\mathrm{m^2}$ Halla sus dimensiones.

Ver resolución y comprobación

Las longitudes deben ser positivas: $x>2$ El área impone

(x+3)(x-2)=40\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-46=0.

x=\frac{-1\pm\sqrt{185}}2.

Solo $x=\frac{-1+\sqrt{185}}2$ cumple $x>2$ Por tanto, las dimensiones son

\frac{5+\sqrt{185}}2\,\mathrm m\quad\text{y}\quad\frac{\sqrt{185}-5}2\,\mathrm m,

aproximadamente $9{,}30\,\mathrm m$ y $4{,}30\,\mathrm m$ El producto exacto es $\frac{185-25}{4}\,\mathrm{m^2}=40\,\mathrm{m^2}$

98Problema de números consecutivos

Modelo resuelto

El producto de dos números enteros consecutivos es $72$ Halla los números.

Ver resolución y comprobación

Elección de la incógnita. Si el menor es $x$ el siguiente es $x+1$
Modelo y factorización.
$x(x+1)=72\Rightarrow x^2+x-72=0$ $(x-8)(x+9)=0$
Dos posibilidades enteras. $x=8$ o $x=-9$

(8,9)\quad\text{o}\quad(-9,-8)

Comprobación: $8\cdot9=72$ y $(-9)(-8)=72$

99Problema con fracción algebraica

Modelo resuelto

La expresión $\dfrac{x+2}{x-1}$ vale $3$ Halla $x$ y comprueba la restricción.

Ver resolución y comprobación

Restricción. El denominador exige $x\neq1$
Eliminación del denominador.
$\frac{x+2}{x-1}=3\Rightarrow x+2=3(x-1)$
Resolución.
$x+2=3x-3\Rightarrow 5=2x\Rightarrow x=\frac52$

Comprobación: $\frac52\neq1$ y $\frac{\frac52+2}{\frac52-1}=3$

100Problema tipo examen

Modelo resuelto

La suma de un número y su inverso es $\dfrac{5}{2}$ Halla el número.

Ver resolución y comprobación

Restricción. Al aparecer $\frac1x$ se exige $x\neq0$
Eliminación de denominadores. Se multiplica toda la ecuación por $2x$
$x+\frac1x=\frac52\Rightarrow 2x^2+2=5x$
Factorización.
$2x^2-5x+2=0\Rightarrow(2x-1)(x-2)=0$

x=2\quad\text{o}\quad x=\frac12

Ambos valores cumplen la restricción y verifican la suma $\frac52$

Volver al índice

Práctica de transferencia · seis decisiones nuevas

Resuelve antes de abrir la ayuda. En P1–P2 importa comprobar candidatos; en P3–P4, el signo; en P5–P6, el parámetro y sus casos. P6 es una ampliación.

P1 · Ecuación con raíz: comprobar después de elevar

1.º Bachillerato · transferencia

Resuelve en $\mathbb{R}$

\sqrt{x+2}=x.

Ver resolución y comprobación

La raíz exige $x\geq-2$ y, al ser no negativa, el segundo miembro debe cumplir $x\geq0$ Con esta condición elevamos al cuadrado:

x+2=x^2\quad\Longrightarrow\quad(x-2)(x+1)=0.

Los candidatos son $2$ y $-1$ El segundo incumple $x\geq0$ y en la ecuación original daría $1=-1$ Para $x=2$ $\sqrt{2+2}=2$ Por tanto, $\boxed{S=\{2\}}$

P2 · Valor absoluto: resolver y respetar cada tramo

1.º Bachillerato · transferencia

Resuelve en $\mathbb{R}$

|x-1|=2x+1.

Ver resolución y comprobación

El valor absoluto está definido para todo real, pero la igualdad exige $2x+1\geq0$ es decir, $x\geq-\frac12$ Separamos en $x=1$

Si $x\geq1$ $x-1=2x+1\Rightarrow x=-2$ que queda fuera de este tramo.
Si $-\frac12\leq x<1$ $1-x=2x+1\Rightarrow x=0$ que sí pertenece al tramo.

En la original, $|0-1|=1=2\cdot0+1$ La única solución es $\boxed{S=\{0\}}$

P3 · Inecuación con un cero doble aislado

1.º Bachillerato · transferencia

Resuelve en $\mathbb{R}$ indicando los valores excluidos:

\frac{(x-2)^2(x+1)}{x-3}\geq0.

Ver resolución y comprobación

El dominio excluye $x=3$ porque anula el denominador. Salvo en $x=2$ el factor $(x-2)^2$ es positivo: el signo lo decide $\frac{x+1}{x-3}$ que es positivo para $x<-1$ y $x>3$ y negativo para $-1<x<3$

Se incluyen $x=-1$ y $x=2$ porque anulan el numerador sin anular el denominador. El cero doble $2$ no cambia el signo: queda aislado entre valores que no cumplen la inecuación.

\boxed{S=(-\infty,-1]\cup\{2\}\cup(3,\infty).}

Comprobación del punto aislado: en $x=2$ el cociente vale $0$ En $x=0$ vale $-\frac43$ coherente con el signo negativo del tramo central.

P4 · Comparación de fracciones con denominadores de signo variable

1.º Bachillerato · transferencia

Resuelve en $\mathbb{R}$

\frac{1}{x-1}>\frac{2}{x+2}.

Ver resolución y comprobación

Se excluyen $x=1$ y $x=-2$ porque anulan denominadores. Pasamos todo al primer miembro para estudiar un único cociente:

\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)-2(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{4-x}{(x-1)(x+2)}>0.

Los puntos $-2,1,4$ separan cuatro intervalos. De izquierda a derecha, los signos del cociente son $+,\,-,\,+,\,-$ Se excluyen los dos polos y también $4$ donde hay igualdad:

\boxed{S=(-\infty,-2)\cup(1,4).}

Por ejemplo, $x=2$ cumple $1>\frac12$ En $x=4$ ambos miembros valen $\frac13$ no satisface la desigualdad estricta.

P5 · Newton al revés: hallar el parámetro

1.º Bachillerato · transferencia

El coeficiente de $x^3$ en $(x+a)^5$ es $90$ con $a\in\mathbb{R}$ Halla todos los valores de $a$ y el término independiente que corresponde a cada uno, sin desarrollar todo el binomio.

Ver resolución y comprobación

Para obtener $x^3$ hay que elegir tres factores $x$ y dos factores $a$ Su término es:

\binom52 x^3a^2=10a^2x^3\quad\Longrightarrow\quad10a^2=90\quad\Longrightarrow\quad a=\pm3.

El término independiente es $a^5$ vale $\boxed{243}$ cuando $a=3$ y $\boxed{-243}$ cuando $a=-3$ Ambos parámetros sirven, ya que $10\cdot3^2=10\cdot(-3)^2=90$

P6 · Ampliación: un parámetro puede cambiar el grado

Ampliación · 1.º Bachillerato

Resuelve en $\mathbb{R}$ según el valor del parámetro real $k$

(k-1)x^2-2kx+k+1=0.

Trata primero el valor de $k$ que hace desaparecer el término cuadrático.

Ver resolución y comprobación

Si $k=1$ queda una ecuación lineal: $-2x+2=0$ luego $\boxed{S=\{1\}}$

Si $k\ne1$ factorizamos:

(k-1)x^2-2kx+k+1=(x-1)\bigl((k-1)x-(k+1)\bigr).

Por la propiedad del producto nulo:

\boxed{S=\left\{1,\frac{k+1}{k-1}\right\}\quad(k\ne1).}

La división por $k-1$ es válida solo en este segundo caso. Las dos raíces son distintas: $\frac{k+1}{k-1}=1$ exigiría $k+1=k-1$ Al sustituir $x=1$ el polinomio vale $(k-1)-2k+k+1=0$ la otra raíz anula el segundo factor.

Seis retos de aplicación

Define la incógnita, escribe sus condiciones y construye la ecuación o inecuación. Termina con una respuesta que tenga sentido y unidades.

R1 · Área y perímetro de una parcela

Problema de aplicación

Una parcela rectangular tiene $34\,\mathrm m$ de perímetro y $60\,\mathrm{m^2}$ de superficie. Halla sus dimensiones sin plantear un sistema de dos incógnitas.

Ver resolución y comprobación

Sea $x$ el valor numérico en metros de un lado. El otro vale $17-x$ porque $2[x+(17-x)]=34$ Las longitudes exigen $0<x<17$

x(17-x)=60\quad\Longrightarrow\quad x^2-17x+60=0.

(x-5)(x-12)=0\quad\Longrightarrow\quad x=5\ \text{o}\ x=12.

Las dos raíces intercambian los mismos lados: las dimensiones son $5\,\mathrm m$ y $12\,\mathrm m$ Comprobamos $2(5+12)\,\mathrm m=34\,\mathrm m$ y $5\cdot12\,\mathrm{m^2}=60\,\mathrm{m^2}$

R2 · Viaje de ida y vuelta

Problema de aplicación

Un vehículo recorre $120\,\mathrm{km}$ y regresa por la misma ruta a una velocidad $20\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ mayor. El tiempo total es $5\,\mathrm h$ Calcula las dos velocidades.

Ver resolución y comprobación

Sea $v>0$ el valor numérico de la velocidad de ida en $\mathrm{km\,h^{-1}}$ La vuelta se realiza a $v+20$ La suma de tiempos, en horas, debe ser 5:

\frac{120}{v}+\frac{120}{v+20}=5.

120(v+20)+120v=5v(v+20)

v^2-28v-480=0\quad\Longrightarrow\quad(v-40)(v+12)=0.

La raíz $v=-12$ no cumple $v>0$ La ida se realiza a $40\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ y la vuelta a $60\,\mathrm{km\,h^{-1}}$

\left(\frac{120}{40}+\frac{120}{60}\right)\mathrm h=(3+2)\,\mathrm h=5\,\mathrm h.

R3 · Volumen de un embalaje

Problema de aplicación

Un embalaje ortoédrico tiene aristas $x$ $x+2$ y $x+4$ centímetros. Su volumen es $105\,\mathrm{cm^3}$ Halla sus dimensiones.

Ver resolución y comprobación

Las longitudes obligan a $x>0$ Igualamos el producto de las tres aristas al volumen y factorizamos el polinomio resultante.

x(x+2)(x+4)=105

x^3+6x^2+8x-105=(x-3)(x^2+9x+35)=0

El factor cuadrático tiene discriminante $-59$ por lo que no aporta raíces reales. La única solución válida es $x=3$

Las dimensiones son

3\,\mathrm{cm}

5\,\mathrm{cm}

7\,\mathrm{cm}

Comprobación: $3\cdot5\cdot7=105\,\mathrm{cm^3}$

R4 · Ingresos de un taller intensivo

Problema de aplicación

Según un modelo de previsión, un taller a $25\,\text{€}$ recibe 20 inscripciones y cada euro de descuento aumenta en 4 las inscripciones previstas. ¿Qué descuentos permiten prever al menos $800\,\text{€}$ de ingresos?

Ver resolución y comprobación

Si el descuento es $x\,\text{€}$ con $0\leq x\leq25$ el precio es $25-x$ y la previsión de inscripciones es $20+4x$

I(x)=(25-x)(20+4x)=-4x^2+80x+500.

I(x)\geq800\quad\Longrightarrow\quad x^2-20x+75\leq0

(x-5)(x-15)\leq0.

Al dividir entre $-4$ se invierte la desigualdad. En el modelo, los descuentos van de $5\,\text{€}$ a $15\,\text{€}$ incluidos. En ambos extremos se prevén $800\,\text{€}$ Si los descuentos solo se aplican en euros enteros, se eligen los valores enteros de ese intervalo.

R5 · Altura y desigualdad cuadrática

Problema de aplicación

La altura de una pelota viene dada por $h(t)=-5t^2+30t+35$ con $t$ en segundos y $h$ en metros. El modelo se considera desde $t=0$ hasta que la pelota toca el suelo. ¿Durante qué intervalo está a $60\,\mathrm m$ o más?

Ver resolución y comprobación

El movimiento se considera con $t\geq0$ y altura no negativa. Como

h(t)=-5(t-7)(t+1),

la pelota llega al suelo en $t=7\,\mathrm s$ el dominio físico es $0\leq t\leq7$

Traducimos la altura pedida:

-5t^2+30t+35\geq60\quad\Longrightarrow\quad t^2-6t+5\leq0

(t-1)(t-5)\leq0.

Al dividir entre $-5$ se invierte el sentido de la desigualdad. El producto es no positivo para $1\leq t\leq5$ tramo incluido en el dominio físico.

La pelota está a $60\,\mathrm m$ o más desde $t=1\,\mathrm s$ hasta $t=5\,\mathrm s$ incluidos ambos instantes. Comprobación: $h(1)=h(5)=60\,\mathrm m$ y $h(3)=80\,\mathrm m$

R6 · Coste por alumno de una salida

Problema de aplicación

Un autobús cuesta $360\,\text{€}$ y cada alumno paga además una entrada de $12\,\text{€}$ Si hay como máximo 30 plazas, ¿cuántos alumnos deben participar para que el coste por persona no supere $30\,\text{€}$

Ver resolución y comprobación

Para $x$ alumnos, con $x\in\mathbb{N}$ y $1\leq x\leq30$ el coste individual es $C(x)=\frac{360}x+12$

\frac{360}{x}+12\leq30

360+12x\leq30x\Rightarrow x\geq20

Deben participar entre 20 y 30 alumnos.

Con 20 alumnos el coste es $30\,\text{€}$ con 19 sería aproximadamente $30{,}95\,\text{€}$

Simulacro de consolidación · siete apartados

Trabaja sin consultar los modelos. Parte del simulacro recupera ejercicios del banco: sirve para comprobar si ya puedes resolverlos de forma autónoma. Justifica restricciones y extremos de intervalos.

A1 · Factorizar una bicuadrada

Simulacro de consolidación

Factoriza por completo sobre los reales $x^4-10x^2+9$

Ver resolución y comprobación

Solo aparecen potencias pares. Tomamos $u=x^2$ para reconocer el trinomio.

u^2-10u+9=(u-1)(u-9)

x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)

=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3).

Al multiplicar los dos factores cuadráticos se recupera $x^4-10x^2+9$ Los cuatro factores lineales completan la factorización sobre $\mathbb R$

A2 · Agrupar antes de buscar raíces

Simulacro de consolidación

Factoriza por completo sobre los reales $2x^3-3x^2-8x+12$

Ver resolución y comprobación

Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos: aparece el mismo binomio.

2x^3-3x^2-8x+12=x^2(2x-3)-4(2x-3)

=(2x-3)(x^2-4)

=(2x-3)(x-2)(x+2).

La multiplicación $(2x-3)(x^2-4)=2x^3-3x^2-8x+12$ comprueba los factores.

A3 · Factor común de dos bloques

Simulacro de consolidación

Factoriza por completo sobre los reales $x^3+x^2-4x-4$

Ver resolución y comprobación

x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)

=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2).

Se extrae primero $x+1$ y después se aplica diferencia de cuadrados. La comprobación es $(x+1)(x^2-4)=x^3+x^2-4x-4$

B1 · Simplificar y conservar los dos valores prohibidos

Simulacro de consolidación

Simplifica $\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3-7x^2+16x-12}$ e indica las restricciones originales.

Ver resolución y comprobación

Factorizamos el denominador antes de cancelar.

x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3).

La expresión solo está definida si $x\notin\{2,3\}$ En el numerador, agrupamos:

x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)

=(x-2)(x-3)(x+3).

Con esas restricciones podemos reducir factores comunes:

\frac{(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)^2(x-3)}=\frac{x+3}{x-2},\qquad x\notin\{2,3\}.

El valor $x=3$ sigue excluido aunque su factor haya desaparecido del denominador simplificado.

B2 · Fracción compuesta desde dentro

Simulacro de consolidación

Simplifica $1+\frac{1}{1+\frac1x}$ conservando las restricciones de toda la expresión.

Ver resolución y comprobación

Primero, $x\neq0$ El denominador del recíproco tampoco puede anularse:

1+\frac1x=\frac{x+1}{x}\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq-1.

En el dominio $x\notin\{-1,0\}$ invertimos la fracción interior y sumamos.

1+\frac1{\frac{x+1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}

=\frac{x+1+x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}.

El resultado es $\frac{2x+1}{x+1}$ con $x\notin\{-1,0\}$ La simplificación no permite recuperar $x=0$

C · Inecuación racional con control de extremos

Simulacro de consolidación

Resuelve $\frac{x^2-5x+6}{x^2-1}\leq0$

Ver resolución y comprobación

El denominador exige $x\neq-1$ y $x\neq1$ Factorizamos y ordenamos los puntos críticos.

\frac{x^2-5x+6}{x^2-1}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}.

Los puntos son $-1,1,2,3$ En los intervalos $(-\infty,-1)$ $(-1,1)$ $(1,2)$ $(2,3)$ y $(3,\infty)$ los signos del cociente son, respectivamente, $+,\,-,\,+,\,-,\,+$

Elegimos los dos tramos negativos y añadimos los ceros válidos $2$ y $3$ porque la desigualdad admite la igualdad. Los valores $-1$ y $1$ permanecen excluidos.

x\in(-1,1)\cup[2,3].

Por ejemplo, $x=0$ da $-6$ mientras que $x=\frac32$ da $\frac35$ los signos coinciden con los intervalos elegidos.

D · Newton con dos términos y signo negativo

Simulacro de consolidación

Desarrolla $(2x-3)^5$ usando el binomio de Newton.

Ver resolución y comprobación

La fila binomial de orden $5$ es $1,5,10,10,5,1$ Sustituimos los términos completos $2x$ y $-3$

(2x-3)^5=(2x)^5+5(2x)^4(-3)+10(2x)^3(-3)^2

\hphantom{(2x-3)^5={}}+10(2x)^2(-3)^3+5(2x)(-3)^4+(-3)^5

=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243.

Las potencias impares de $-3$ dan los términos negativos. El término independiente es $(-3)^5=-243$ y el coeficiente principal es $2^5=32$ dos controles rápidos del desarrollo.

Errores que invalidan una solución

Cancelar sumandos. En $\frac{x+2}{x}$ la $x$ no es factor del numerador completo. La expresión es $1+\frac2x$ con $x\ne0$

Recuperar un valor prohibido. $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ solo para $x\ne1$ Cancelar no cambia el dominio original.

Dividir antes de estudiar el caso cero. Si un factor o parámetro puede anularse, sepáralo antes de dividir: podrías perder una solución o una ecuación de grado menor.

Multiplicar una desigualdad por un signo desconocido. Lleva el cociente a un solo miembro y haz la tabla de signos; decide después los intervalos y sus extremos.

Aceptar todos los candidatos al elevar al cuadrado. Comprueba cada uno en la ecuación original y respeta el signo de ambos miembros.

Recursos para seguir estudiando

Trabajamos contigo el paso que falta

En Marlu Educativa® revisamos tus ejercicios de Matemáticas de Bachillerato en una pizarra digital compartida: planteamiento, cálculo y comprobación, según el temario de tu centro. Clases online para alumnado de toda España.

Consultar clases online de Matemáticas de Bachillerato

Si estudias a distancia, en horario nocturno o tienes un horario compatible, consulta también las clases online por la mañana.

Preguntas frecuentes

¿Este cuaderno incluye toda el álgebra de primero de Bachillerato?

Se centra en álgebra polinómica y racional de Matemáticas I: operaciones, Newton, ecuaciones, inecuaciones y problemas. Incluye dos puentes de radicales y valor absoluto. Sistemas, logaritmos y complejos se trabajan en recursos propios; la selección depende de la programación del centro.

¿Por qué se conserva una restricción después de simplificar?

Porque la expresión original sigue sin estar definida en ese valor. Una igualdad entre expresiones simplificadas solo vale dentro del dominio común de partida.

¿Qué diferencia hay entre resto cero y ser raíz?

Al dividir un polinomio entre x − a, el resto es su valor en a. Si el resto es cero, a es raíz y x − a es factor. La misma regla de división también sirve cuando el resto no es cero.

¿Tengo que desarrollar todo el binomio para hallar un coeficiente?

No. El término general de Newton permite elegir el exponente necesario y calcular solo su coeficiente. Comprueba qué potencias aporta cada factor.

¿Qué imprime el botón de actividades?

Imprime las seis prácticas nuevas, los seis retos y los siete apartados del simulacro, con espacio de trabajo y sin soluciones. El botón de cuaderno resuelto incluye también los cien modelos y todas las resoluciones.

Blog

Método Marlu · decidir antes de calcular

100 modelos resueltos y graduados

1–16 · Identidades y factorización

1Cuadrado de una suma

2Cuadrado de una diferencia

3Suma por diferencia

4Cubo de una suma

5Cubo de una diferencia

6Producto notable mixto

7Factorización directa

8Factorización directa

9Factorización directa

10Factorización directa

11Factorización directa

12Factorización directa

13Factorización directa

14Factorización directa

15Factorización directa

16Factorización directa

17–34 · Valores, operaciones y división

17Valor numérico de un polinomio

18Valor numérico de un polinomio

19Valor numérico de un polinomio

20Operaciones con polinomios

21Operaciones con polinomios

22Operaciones con polinomios

23Operaciones con polinomios

24División de polinomios

25División de polinomios

26División de polinomios

27División de polinomios

28División de polinomios

29Ruffini

30Ruffini

31Ruffini

32Ruffini

33Ruffini

34Ruffini

35–47 · Resto, factor, raíces y parámetros

35Teorema del resto

36Teorema del resto

37Teorema del resto

38Teorema del resto

39Teorema del factor

40Teorema del factor

41Teorema del factor

42Parámetro y teorema del factor

43Raíces y factorización completa

44Raíces y factorización completa

45Raíces y factorización completa

46Raíces y factorización completa

47Raíces y factorización completa

48–52 · MCD y mcm de polinomios

48M.c.d. y m.c.m. de polinomios

49M.c.d. y m.c.m. de polinomios

50M.c.d. y m.c.m. de polinomios

51M.c.d. y m.c.m. de polinomios

52M.c.d. y m.c.m. de polinomios

53–83 · Fracciones algebraicas

53Simplificación de fracciones algebraicas

54Simplificación de fracciones algebraicas

55Simplificación de fracciones algebraicas

56Simplificación de fracciones algebraicas

57Simplificación de fracciones algebraicas

58Simplificación de fracciones algebraicas

59Simplificación de fracciones algebraicas

60Simplificación de fracciones algebraicas

61Simplificación de fracciones algebraicas

62Simplificación de fracciones algebraicas

63Ecuación racional con restricciones

64Simplificación de fracciones algebraicas

65Operaciones con fracciones algebraicas

66Operaciones con fracciones algebraicas

67Operaciones con fracciones algebraicas

68Operaciones con fracciones algebraicas

69Operaciones con fracciones algebraicas

70Operaciones con fracciones algebraicas

71Operaciones con fracciones algebraicas

72Operaciones con fracciones algebraicas