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Álgebra 1 Bachillerato: Ruffini, fracciones algebraicas y 100 ejercicios resueltos

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1 Bachillerato Álgebra 100 ejercicios resueltos 6 retos de modelización

Álgebra 1 Bachillerato: cuaderno de 100 ejercicios resueltos y graduados

Este cuaderno está pensado para practicar el bloque de Álgebra de 1.º de Bachillerato con una secuencia clara. Cada solución identifica la estructura, desarrolla el procedimiento y cierra con el resultado y sus comprobaciones.

Reúne práctica graduada de productos notables, factorización, división de polinomios, Ruffini, teoremas, fracciones algebraicas, binomio de Newton, ecuaciones e inecuaciones. La explicación monográfica de polinomios y Ruffini permanece en el recurso específico de polinomios, productos notables y factorización.

Criterio de resolución: identificar la estructura, escribir cada transformación y comprobar el resultado antes de pasar al ejercicio siguiente.

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Autor: José María, Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 13 de agosto de 2026.

Qué trabaja este cuaderno y cuál es su frontera

Este cuaderno tiene una función concreta: practicar y conectar las herramientas algebraicas de 1.º de Bachillerato. Cuando un contenido necesita aprenderse desde cero, conviene acudir a su monográfico. Aquí no se desarrollan sistemas de ecuaciones, ecuaciones exponenciales o logarítmicas, matrices, determinantes, geometría analítica ni el estudio de funciones.

Aquí sí

Práctica progresiva de polinomios, productos notables, Ruffini, teoremas, fracciones algebraicas, binomio de Newton, ecuaciones e inecuaciones, más seis retos para traducir contextos reales al lenguaje algebraico.

Aquí no

Desarrollo monográfico de polinomios; sistemas de ecuaciones; ecuaciones exponenciales y logarítmicas; matrices y determinantes; geometría analítica; o estudio completo de funciones. Cada bloque conserva su recurso propio.

Objetivo

Ganar seguridad operativa y reducir errores de signo, cancelaciones incorrectas o restricciones olvidadas.

Mapa rápido del bloque

Antes de operar es necesario reconocer la estructura. Esta tabla resume las decisiones principales del bloque de Álgebra de 1.º de Bachillerato.

Si ves Piensa Cuidado con
\((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\) Producto notable No olvidar el doble producto
Polinomio de grado 3 o 4 Raíces enteras y Ruffini Probar divisores del término independiente
Fracción con polinomios Factorizar antes de cancelar No cancelar sumandos
Varios denominadores Denominador común Conservar restricciones originales
\((a+b)^n\) Binomio de Newton Signos y coeficientes binomiales
Inecuación con factores Tabla de signos Distinguir ceros y valores prohibidos

Diagnóstico rápido por bloques

Empieza por el tramo que más te cueste. No hace falta repetir las cien actividades si el fallo está concentrado en un bloque.

Ejercicios Qué revisas Señal de control
1–16 Productos notables y factorización Identidades, factor común y signos
17–34 Polinomios, división y Ruffini Coeficientes ordenados y comprobación de la división
35–52 Resto, factor, raíces, m.c.d. y m.c.m. Relación entre \(P(a)\), raíz y factor
53–83 Fracciones algebraicas Restricciones, factorización y denominador común
84–89 Binomio de Newton Coeficientes, potencias y signos
90–100 Ecuaciones, inecuaciones y problemas Dominio, tabla de signos y comprobación
Retos y simulacro Modelización y transferencia Incógnita, condiciones e interpretación final

Método de trabajo

El álgebra se estudia mejor por capas. Primero hay que dominar productos notables y factorización. Después Ruffini y raíces. Luego fracciones algebraicas. Finalmente ecuaciones e inecuaciones, donde todo lo anterior se mezcla.

1

Reconocer la forma. No se empieza igual una diferencia de cuadrados que una fracción algebraica.

2

Factorizar. Muchas expresiones se simplifican al escribirlas como producto de factores.

3

Operar con restricciones. Las restricciones del denominador original se conservan después de simplificar.

4

Revisar. Sustituir un valor, comprobar un resto o verificar un signo permite detectar errores.

Productos notables y factorización

Los productos notables permiten desarrollar y factorizar expresiones de forma sistemática. En 1.º de Bachillerato es necesario reconocer su estructura y aplicar cada identidad con sus signos.

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]

Para factorizar, el orden práctico es este: factor común, identidades notables, trinomios de segundo grado, raíces enteras y Ruffini. Seguir ese orden facilita la elección del procedimiento.

Polinomios, división y Ruffini

Un polinomio no se maneja solo expandiendo. Hay que saber evaluarlo, dividirlo y descomponerlo. La regla de Ruffini es especialmente útil cuando se divide entre \(x-a\), porque permite trabajar con coeficientes y localizar raíces.

\[P(x)=(x-a)C(x)+R,\qquad R=P(a)\]

Esta igualdad es una de las ideas más importantes del tema. Si al dividir por \(x-a\) el resto es cero, entonces \(x-a\) es factor de \(P(x)\).

Teorema del resto, teorema del factor y raíces

El teorema del resto permite calcular restos sin hacer divisiones largas. El teorema del factor permite decidir si una expresión divide exactamente a un polinomio. En la práctica, ambos se usan juntos para factorizar.

Detalle importante: si \(P(a)=0\), entonces \(a\) es raíz de \(P(x)\) y \(x-a\) es factor. Las tres afirmaciones expresan la misma relación algebraica.

M.c.d. y m.c.m. de polinomios

El m.c.d. y el m.c.m. de polinomios se calculan a partir de sus factorizaciones. Trabajar directamente con los polinomios desarrollados oculta los factores comunes.

Concepto Cómo se elige Ejemplo con factores
M.c.d. Comunes con menor exponente De \((x-1)^2(x+2)\) y \((x-1)(x+2)^3\): \((x-1)(x+2)\)
M.c.m. Todos con mayor exponente De los mismos: \((x-1)^2(x+2)^3\)

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica se simplifica mediante factorización, no cancelando letras aisladas. Solo pueden reducirse factores completos que multipliquen a todo el numerador y a todo el denominador.

Control necesario: en \(\dfrac{x+3}{x}\) no se puede cancelar la \(x\). Arriba hay una suma, no un producto común.

Pasos seguros para simplificar

  1. Factorizar numerador y denominador.
  2. Anotar las restricciones del denominador original.
  3. Cancelar solo factores completos.
  4. Dar el resultado simplificado y conservar las restricciones.
\[\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{x+1},\qquad x\neq -1\]

Binomio de Newton

El binomio de Newton permite desarrollar potencias como \((a+b)^5\) sin multiplicar cinco veces. Es un tema corto, pero exige orden con coeficientes y signos.

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

En una diferencia, por ejemplo \((a-b)^n\), los signos alternan y deben controlarse término a término.

Ecuaciones e inecuaciones algebraicas

Una ecuación pregunta dónde una expresión vale cero. Una inecuación pregunta en qué intervalos es positiva o negativa. Por eso las inecuaciones se resuelven muy bien con tablas de signos.

1

Pasar todo a un miembro.

2

Factorizar numerador y denominador.

3

Colocar ceros y valores prohibidos en la recta real.

4

Estudiar signos por intervalos y escribir la solución.

Errores frecuentes y control del procedimiento

Cancelar sumandos

Escribir \(\frac{x+2}{x}=2\) es falso. Solo se cancelan factores completos.

Olvidar restricciones

Si el denominador original se anula en \(x=3\), ese valor queda prohibido aunque luego se cancele un factor.

Cambiar mal signos

En una resta de polinomios se cambia el signo de todo el segundo paréntesis.

Usar Ruffini sin comprobar

Ruffini sirve con divisores de la forma \(x-a\). Si el divisor no tiene esa forma, hay que ajustar o hacer división normal.

Confundir raíz y factor

Si \(2\) es raíz, el factor es \(x-2\), no \(x+2\).

Meter soluciones prohibidas

En ecuaciones racionales hay que comprobar que la solución no anula ningún denominador original.

100 ejercicios resueltos de álgebra de 1 Bachillerato

Los ejercicios están ordenados de forma progresiva. Primero aparecen los mecanismos básicos, después los ejercicios de examen y al final los que combinan varias ideas. Se recomienda trabajar por bloques y revisar cada transformación antes de continuar.

Productos notables

Ejercicio 1Cuadrado de una suma

Desarrolla \(\left(x + 5\right)^{2}\).

  1. Identidad. Se aplica \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), con \(a=x\) y \(b=5\).

  2. Sustitución.

    \[x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\]
\[\left(x+5\right)^2=x^2+10x+25\]
Ejercicio 2Cuadrado de una diferencia

Desarrolla \(\left(2 x - 3\right)^{2}\).

  1. Identidad. Se aplica \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), con \(a=2x\) y \(b=3\).

  2. Sustitución y reducción.

    \[(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot3+3^2=4x^2-12x+9\]
\[\left(2x-3\right)^2=4x^2-12x+9\]
Ejercicio 3Suma por diferencia

Desarrolla \(\left(3 x - 2 y\right) \left(3 x + 2 y\right)\).

  1. Estructura. Los factores tienen los mismos términos y signos opuestos: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

  2. Sustitución.

    \[(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2\]
\[(3x-2y)(3x+2y)=9x^2-4y^2\]
Ejercicio 4Cubo de una suma

Desarrolla \(\left(x + 4\right)^{3}\).

  1. Identidad. Se usa \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).

  2. Sustitución.

    \[x^3+3x^2\cdot4+3x\cdot4^2+4^3\]

  3. Reducción.

    \[x^3+12x^2+48x+64\]
\[(x+4)^3=x^3+12x^2+48x+64\]
Ejercicio 5Cubo de una diferencia

Desarrolla \(\left(2 a - b\right)^{3}\).

  1. Identidad. Se aplica \((u-v)^3=u^3-3u^2v+3uv^2-v^3\), con \(u=2a\) y \(v=b\).

  2. Sustitución.

    \[(2a)^3-3(2a)^2b+3(2a)b^2-b^3\]

  3. Reducción.

    \[8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3\]
\[(2a-b)^3=8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3\]
Ejercicio 6Producto notable mixto Modelo completo

Desarrolla \(\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\).

  1. Primera estructura. Los dos primeros factores forman una suma por diferencia.

    \[(x-2)(x+2)=x^2-4\]

  2. Producto restante. Se distribuye \(x+3\) sobre el binomio obtenido.

    \[(x^2-4)(x+3)=x^3+3x^2-4x-12\]
\[(x-2)(x+2)(x+3)=x^3+3x^2-4x-12\]

Factorización

Ejercicio 7Factorización directa

Factoriza \(x^{2} + 8 x + 16\).

  1. Reconocimiento. \(x^2\) y \(16=4^2\) son cuadrados, y el término central cumple \(8x=2\cdot x\cdot4\).

  2. Identidad inversa.

    \[x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=(x+4)^2\]
\[x^2+8x+16=(x+4)^2\]
Ejercicio 8Factorización directa

Factoriza \(9 x^{2} - 25\).

  1. Reconocimiento. La expresión es una diferencia de cuadrados: \(9x^2=(3x)^2\) y \(25=5^2\).

  2. Factorización. Se aplica \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

    \[(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)\]
\[9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\]
Ejercicio 9Factorización directa

Factoriza \(4 x^{2} - 12 x + 9\).

  1. Reconocimiento. \(4x^2=(2x)^2\), \(9=3^2\) y \(-12x=-2\cdot2x\cdot3\).

  2. Identidad inversa.

    \[(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x-3)^2\]
\[4x^2-12x+9=(2x-3)^2\]
Ejercicio 10Factorización directa

Factoriza \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\).

  1. Reconocimiento. Los coeficientes \(1,6,12,8\) coinciden con el cubo de una suma para \(a=x\) y \(b=2\).

  2. Comprobación.

    \[x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8\]
\[x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3\]
Ejercicio 11Factorización directa

Factoriza \(x^{3} - 27\).

  1. Estructura. \(27=3^3\), por lo que se trata de una diferencia de cubos.

  2. Identidad. Se aplica \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

    \[x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)\]
\[x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\]
Ejercicio 12Factorización directa

Factoriza \(2 x^{2} + 7 x + 3\).

  1. Búsqueda de factores. Se necesitan dos binomios cuyo producto inicial sea \(2x^2\), cuyo término independiente sea \(3\) y cuyos productos cruzados sumen \(7x\).

  2. Comprobación.

    \[(2x+1)(x+3)=2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3\]
\[2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\]
Ejercicio 13Factorización directa

Factoriza \(6 x^{2} - x - 2\).

  1. Descomposición central. Como \(3\cdot(-4)=-12\) y \(3-4=-1\), se separa \(-x\) en \(3x-4x\).

    \[6x^2-x-2=6x^2+3x-4x-2\]

  2. Agrupación.

    \[3x(2x+1)-2(2x+1)=(3x-2)(2x+1)\]
\[6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)\]
Ejercicio 14Factorización directa

Factoriza \(x^{4} - 16\).

  1. Primera diferencia de cuadrados.

    \[x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)\]

  2. Segunda factorización.

    \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]
\[x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)\]
Ejercicio 15Factorización directa Modelo completo

Factoriza \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\).

  1. Cambio de variable. Al ser bicuadrado, se toma \(y=x^2\).

    \[y^2-5y+4=(y-1)(y-4)\]

  2. Regreso a \(x\).

    \[(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\]
\[x^4-5x^2+4=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)\]
Ejercicio 16Factorización directa

Factoriza \(3 x^{3} - 12 x\).

  1. Factor común. Ambos términos contienen \(3x\).

    \[3x^3-12x=3x(x^2-4)\]

  2. Diferencia de cuadrados.

    \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]
\[3x^3-12x=3x(x-2)(x+2)\]

Polinomios

Ejercicio 17Valor numérico de un polinomio

Calcula el valor de \(P(2)\) si \(P(x)=3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 5\).

  1. Sustitución. Se reemplaza cada \(x\) por \(2\), respetando las potencias.

    \[P(2)=3\cdot2^4-2\cdot2^2+2-5\]

  2. Cálculo.

    \[3\cdot16-2\cdot4+2-5=48-8+2-5=37\]
\[P(2)=37\]
Ejercicio 18Valor numérico de un polinomio

Calcula el valor de \(P(-1)\) si \(P(x)=- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 1\).

  1. Sustitución con paréntesis.

    \[P(-1)=-2(-1)^3+4(-1)^2-7(-1)+1\]

  2. Signos y suma.

    \[2+4+7+1=14\]
\[P(-1)=14\]
Ejercicio 19Valor numérico de un polinomio

Calcula el valor de \(P(3)\) si \(P(x)=x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 8\).

  1. Sustitución.

    \[P(3)=3^5-3\cdot3^3+2\cdot3-8\]

  2. Cálculo.

    \[243-81+6-8=160\]
\[P(3)=160\]
Ejercicio 20Operaciones con polinomios

Calcula \((2 x^{3} - 5 x + 1)+(- x^{3} + 4 x^{2} + x - 7)\).

  1. Agrupación por grados.

    \[(2x^3-x^3)+4x^2+(-5x+x)+(1-7)\]

  2. Reducción de términos semejantes.

    \[x^3+4x^2-4x-6\]
\[(2x^3-5x+1)+(-x^3+4x^2+x-7)=x^3+4x^2-4x-6\]
Ejercicio 21Operaciones con polinomios

Calcula \((5 x^{4} - 3 x^{2} + x)-(2 x^{4} + x^{3} - 4 x + 6)\).

  1. Distribución del signo menos. Cambian todos los signos del segundo polinomio.

    \[5x^4-3x^2+x-2x^4-x^3+4x-6\]

  2. Agrupación por grados.

    \[(5x^4-2x^4)-x^3-3x^2+(x+4x)-6\]
\[3x^4-x^3-3x^2+5x-6\]
Ejercicio 22Operaciones con polinomios

Calcula \((x^{2} - 3 x + 2)(2 x - 5)\).

  1. Distribución. Cada término del trinomio multiplica al binomio.

    \[x^2(2x-5)-3x(2x-5)+2(2x-5)\]

  2. Desarrollo.

    \[2x^3-5x^2-6x^2+15x+4x-10\]

  3. Reducción.

    \[2x^3-11x^2+19x-10\]
\[(x^2-3x+2)(2x-5)=2x^3-11x^2+19x-10\]
Ejercicio 23Operaciones con polinomios

Calcula \((x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)+(x^{2} - x + 4)\).

  1. Alineación por grados.

    \[x^3+(x^2+x^2)+(-2x-x)+(1+4)\]

  2. Reducción de términos semejantes.

    \[x^3+2x^2-3x+5\]
\[(x^3+x^2-2x+1)+(x^2-x+4)=x^3+2x^2-3x+5\]

División y Ruffini

Ruffini ahorra tiempo, pero no sustituye a la comprensión: el último número siempre es el resto.

Ejercicio 24División de polinomios

Divide \(x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6\) entre \(x - 3\).

  1. Ruffini. Como el divisor es \(x-3\), se utiliza \(a=3\) con los coeficientes \(1,-2,-5,6\).

    \[\begin{array}{r|rrrr}3&1&-2&-5&6\\&&3&3&-6\\ \hline&1&1&-2&0\end{array}\]

  2. Lectura. Los tres primeros valores forman el cociente y el último es el resto.

\[C(x)=x^2+x-2,\qquad R=0\]

Comprobación: \(x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)\).

Ejercicio 25División de polinomios Modelo completo

Divide \(2 x^{4} - x^{3} + 3 x - 1\) entre \(x^{2} + 1\).

  1. Ordenación. Se completa el término ausente.

    \[2x^4-x^3+0x^2+3x-1\]

  2. División sucesiva. Los términos del cociente son \(2x^2\), \(-x\) y \(-2\).

    \[\begin{aligned}2x^4-x^3+0x^2+3x-1-(2x^4+2x^2)&=-x^3-2x^2+3x-1,\\-x^3-2x^2+3x-1-(-x^3-x)&=-2x^2+4x-1,\\-2x^2+4x-1-(-2x^2-2)&=4x+1.\end{aligned}\]

  3. Lectura. El último polinomio tiene grado menor que el divisor, por lo que es el resto.

\[C(x)=2x^2-x-2,\qquad R(x)=4x+1\]

Comprobación: \(2x^4-x^3+3x-1=(x^2+1)(2x^2-x-2)+(4x+1)\).

Ejercicio 26División de polinomios

Divide \(x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 5\) entre \(x - 2\).

  1. Ruffini. Para \(x-2\) se toma \(a=2\) y la fila \(1,-3,2,1,-5\).

    \[\begin{array}{r|rrrrr}2&1&-3&2&1&-5\\&&2&-2&0&2\\ \hline&1&-1&0&1&-3\end{array}\]

  2. Lectura. El cero conserva el término \(0x\) del cociente.

\[C(x)=x^3-x^2+1,\qquad R=-3\]

Comprobación: \(P(x)=(x-2)(x^3-x^2+1)-3\).

Ejercicio 27División de polinomios

Divide \(3 x^{4} + 2 x^{3} - x + 7\) entre \(x + 1\).

  1. Ruffini. \(x+1=x-(-1)\); se usa \(a=-1\) y se escribe un cero en el lugar del término \(x^2\), que no aparece.

    \[\begin{array}{r|rrrrr}-1&3&2&0&-1&7\\&&-3&1&-1&2\\ \hline&3&-1&1&-2&9\end{array}\]

  2. Lectura. Los coeficientes \(3,-1,1,-2\) forman el cociente.

\[C(x)=3x^3-x^2+x-2,\qquad R=9\]
Ejercicio 28División de polinomios

Divide \(x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} - 1\) entre \(x^{2} - x + 1\).

  1. Primer término. \(x^5/x^2=x^3\). Tras multiplicar y restar queda \(x^4-5x^3+x^2-1\).

  2. Siguientes términos. \(x^4/x^2=x^2\) y después \((-4x^3)/x^2=-4x\). La resta deja \(-4x^2+4x-1\).

  3. Último término. \((-4x^2)/x^2=-4\); al restar queda \(3\), de grado menor que el divisor.

\[C(x)=x^3+x^2-4x-4,\qquad R=3\]

Comprobación: \(x^5-4x^3+x^2-1=(x^2-x+1)(x^3+x^2-4x-4)+3\).

Ejercicio 29Ruffini

Aplica Ruffini para dividir \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\) entre \(x - 1\).

  1. Preparación. \(x-1\) determina \(a=1\); los coeficientes son \(1,-6,11,-6\).

  2. Ruffini.

    \[\begin{array}{r|rrrr}1&1&-6&11&-6\\&&1&-5&6\\ \hline&1&-5&6&0\end{array}\]
\[C(x)=x^2-5x+6,\qquad R=0\]
Ejercicio 30Ruffini

Aplica Ruffini para dividir \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\) entre \(x - 2\).

  1. Preparación. Se escriben los coeficientes de todos los grados: \(1,0,-5,0,4\).

  2. Ruffini con \(a=2\).

    \[\begin{array}{r|rrrrr}2&1&0&-5&0&4\\&&2&4&-2&-4\\ \hline&1&2&-1&-2&0\end{array}\]
\[C(x)=x^3+2x^2-x-2,\qquad R=0\]
Ejercicio 31Ruffini Modelo completo

Aplica Ruffini para dividir \(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\) entre \(x + 2\).

  1. Preparación. Como \(x+2=x-(-2)\), se coloca \(-2\) junto a los coeficientes \(2,-3,-8,12\).

  2. Ruffini.

    \[\begin{array}{r|rrrr}-2&2&-3&-8&12\\&&-4&14&-12\\ \hline&2&-7&6&0\end{array}\]
\[C(x)=2x^2-7x+6,\qquad R=0\]

El resto nulo confirma que \(x+2\) es factor.

Ejercicio 32Ruffini

Aplica Ruffini para dividir \(x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6\) entre \(x + 1\).

  1. Preparación. \(x+1\) determina \(a=-1\); la fila completa es \(1,1,-7,-1,6\).

  2. Ruffini.

    \[\begin{array}{r|rrrrr}-1&1&1&-7&-1&6\\&&-1&0&7&-6\\ \hline&1&0&-7&6&0\end{array}\]
\[C(x)=x^3-7x+6,\qquad R=0\]
Ejercicio 33Ruffini

Aplica Ruffini para dividir \(3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6\) entre \(x - 1\).

  1. Preparación. Para \(x-1\) se utiliza \(a=1\) con \(3,2,-5,-6\).

  2. Ruffini.

    \[\begin{array}{r|rrrr}1&3&2&-5&-6\\&&3&5&0\\ \hline&3&5&0&-6\end{array}\]
\[C(x)=3x^2+5x,\qquad R=-6\]
Ejercicio 34Ruffini

Aplica Ruffini para dividir \(x^{5} - 2 x^{4} - x + 2\) entre \(x - 2\).

  1. Preparación. Se incluyen los términos ausentes: coeficientes \(1,-2,0,0,-1,2\).

  2. Ruffini con \(a=2\).

    \[\begin{array}{r|rrrrrr}2&1&-2&0&0&-1&2\\&&2&0&0&0&-2\\ \hline&1&0&0&0&-1&0\end{array}\]
\[C(x)=x^4-1,\qquad R=0\]

Teorema del resto

Ejercicio 35Teorema del resto

Calcula el resto de dividir \(P(x)=2 x^{4} - x^{3} + 5 x - 1\) entre \(x-2\).

  1. Teorema del resto. Para el divisor \(x-2\), el resto es \(P(2)\).

  2. Sustitución.

    \[P(2)=2\cdot2^4-2^3+5\cdot2-1=32-8+10-1\]
\[R=P(2)=33\]
Ejercicio 36Teorema del resto

Calcula el resto de dividir \(P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6\) entre \(x+1\).

  1. Teorema del resto. \(x+1=x-(-1)\), por lo que el resto es \(P(-1)\).

  2. Sustitución.

    \[P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6\]
\[R=P(-1)=0\]
Ejercicio 37Teorema del resto

Calcula el resto de dividir \(P(x)=3 x^{5} - x^{2} + 4\) entre \(x-1\).

  1. Teorema del resto. Para \(x-1\), se calcula \(P(1)\).

  2. Sustitución.

    \[P(1)=3\cdot1^5-1^2+4=3-1+4\]
\[R=P(1)=6\]
Ejercicio 38Teorema del resto

Calcula el resto de dividir \(P(x)=x^{4} + 2 x^{3} - 7 x + 5\) entre \(x+2\).

  1. Teorema del resto. \(x+2=x-(-2)\), así que se evalúa \(P(-2)\).

  2. Sustitución.

    \[P(-2)=(-2)^4+2(-2)^3-7(-2)+5=16-16+14+5\]
\[R=P(-2)=19\]

Teorema del factor

Ejercicio 39Teorema del factor

Comprueba si \(x+1\) es factor de \(P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6\).

  1. Valor asociado. El factor \(x+1\) corresponde a la posible raíz \(x=-1\).

  2. Evaluación.

    \[P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\]
\[P(-1)=0\Rightarrow x+1\text{ es factor de }P(x)\]
Ejercicio 40Teorema del factor

Comprueba si \(x-3\) es factor de \(P(x)=x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\).

  1. Valor asociado. El factor \(x-3\) corresponde a \(x=3\).

  2. Evaluación.

    \[P(3)=3^3-6\cdot3^2+11\cdot3-6=27-54+33-6=0\]
\[P(3)=0\Rightarrow x-3\text{ es factor de }P(x)\]
Ejercicio 41Teorema del factor

Comprueba si \(x-2\) es factor de \(P(x)=2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\).

  1. Valor asociado. El factor \(x-2\) corresponde a \(x=2\).

  2. Evaluación.

    \[P(2)=2\cdot2^3-3\cdot2^2-8\cdot2+12=16-12-16+12=0\]
\[P(2)=0\Rightarrow x-2\text{ es factor de }P(x)\]
Ejercicio 42Parámetro y teorema del factor Modelo completo

Halla \(k\) para que \(x-2\) sea factor de \(P(x)=x^3+kx^2-5x+2\) y factoriza después el polinomio.

  1. Condición del factor. Por el teorema del factor, debe cumplirse \(P(2)=0\).

  2. Cálculo del parámetro.

    \[P(2)=2^3+k\cdot2^2-5\cdot2+2=8+4k-10+2=4k\] \[4k=0\Rightarrow k=0\]

  3. División. Con \(k=0\), se divide \(x^3-5x+2\) entre \(x-2\).

    \[\begin{array}{r|rrrr}2&1&0&-5&2\\&&2&4&-2\\ \hline&1&2&-1&0\end{array}\]

  4. Factorización completa. El cociente es \(x^2+2x-1\), cuyas raíces son \(-1\pm\sqrt2\).

\[k=0,\qquad P(x)=(x-2)(x^2+2x-1)\] \[P(x)=(x-2)(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2)\]

Raíces

Ejercicio 43Raíces y factorización completa

Factoriza \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\) y halla sus raíces reales.

  1. Primera raíz. Entre los divisores de \(6\), \(x=1\) anula el polinomio.

    \[P(1)=1-6+11-6=0\]

  2. División. Ruffini con \(1\) produce \(x^2-5x+6\).

  3. Factorización del cociente.

    \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]
\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3),\qquad x\in\{1,2,3\}\]
Ejercicio 44Raíces y factorización completa

Factoriza \(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4\) y halla sus raíces reales.

  1. Agrupación.

    \[x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)\]

  2. Factor común y diferencia de cuadrados.

    \[(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)\]
\[P(x)=(x-2)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,2\}\]
Ejercicio 45Raíces y factorización completa Modelo completo

Factoriza \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\) y halla sus raíces reales.

  1. Cambio de variable. Al aparecer solo potencias pares, se toma \(y=x^2\).

    \[y^2-5y+4=(y-1)(y-4)=0\]

  2. Regreso a la variable original.

    \[x^2=1\quad\text{o}\quad x^2=4\]

  3. Raíces. De las dos ecuaciones se obtienen \(x=\pm1\) y \(x=\pm2\).

\[P(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,1,2\}\]
Ejercicio 46Raíces y factorización completa

Factoriza \(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\) y halla sus raíces reales.

  1. Primera raíz.

    \[P(2)=16-12-16+12=0\Rightarrow x-2\text{ es factor}\]

  2. Ruffini. La división entre \(x-2\) da \(2x^2+x-6\).

  3. Factorización del cociente.

    \[2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\]
\[P(x)=(x-2)(x+2)(2x-3),\qquad x\in\left\{-2,\frac32,2\right\}\]
Ejercicio 47Raíces y factorización completa

Factoriza \(x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12\) y halla sus raíces reales.

  1. Primera raíz. \(P(2)=0\), de modo que Ruffini produce el cociente \(x^3-7x-6\).

  2. Segunda raíz. El cociente se anula en \(x=-1\); una nueva división da \(x^2-x-6\).

  3. Factorización final.

    \[x^2-x-6=(x-3)(x+2)\]
\[P(x)=(x-3)(x-2)(x+1)(x+2),\qquad x\in\{-2,-1,2,3\}\]

MCD y MCM

Ejercicio 48M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{2} - 1\) y \(Q(x)=x^{2} - 2 x + 1\).

  1. Factorización.

    \[P(x)=(x-1)(x+1),\qquad Q(x)=(x-1)^2\]

  2. Selección. El m.c.d. conserva el factor común con el menor exponente; el m.c.m. reúne todos con el mayor.

\[\operatorname{m.c.d.}=x-1,\qquad \operatorname{m.c.m.}=(x-1)^2(x+1)\]
Ejercicio 49M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - x\) y \(Q(x)=x^{2} - x\).

  1. Factorización.

    \[P(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1),\qquad Q(x)=x(x-1)\]

  2. Selección de factores. \(x\) y \(x-1\) son comunes; \(x+1\) aparece solo en \(P\).

\[\operatorname{m.c.d.}=x(x-1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x+1)\]
Ejercicio 50M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\) y \(Q(x)=x^{2} - 4\).

  1. Factorización.

    \[P(x)=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)\] \[Q(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)\]

  2. Selección. El único factor común es \(x-2\).

\[\operatorname{m.c.d.}=x-2,\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x-2)(x+2)\]
Ejercicio 51M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{4} - 1\) y \(Q(x)=x^{3} - x\).

  1. Factorización.

    \[P(x)=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\] \[Q(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\]

  2. Selección. Los factores comunes son \((x-1)(x+1)\); para el m.c.m. se añaden \(x\) y \(x^2+1\).

\[\operatorname{m.c.d.}=(x-1)(x+1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=x(x-1)(x+1)(x^2+1)\]
Ejercicio 52M.c.d. y m.c.m. de polinomios

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - 3 x - 2\) y \(Q(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 4\).

  1. Factorización de \(P\). \(P(2)=0\) y el cociente es \((x+1)^2\).

    \[P(x)=(x-2)(x+1)^2\]

  2. Factorización de \(Q\). \(Q(2)=0\) y el cociente es \((x-2)(x+1)\).

    \[Q(x)=(x-2)^2(x+1)\]

  3. Selección por exponentes. Para el m.c.d. se toman los menores; para el m.c.m., los mayores.

\[\operatorname{m.c.d.}=(x-2)(x+1),\qquad \operatorname{m.c.m.}=(x-2)^2(x+1)^2\]

Fracciones algebraicas

A partir de aquí conviene ir más despacio. En fracciones algebraicas el resultado no vale si se han perdido las restricciones o se han cancelado sumandos.

Ejercicio 53Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}\).

  1. Restricción inicial. \((x+1)^2\neq0\), por lo que \(x\neq-1\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{x+1}\]
\[\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{x-1}{x+1}\]

Restricción: \(x\neq-1\).

Ejercicio 54Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4}\).

  1. Restricciones iniciales. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\neq0\), así que \(x\neq\pm2\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}\]
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{x-3}{x+2}\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,2\}\).

Ejercicio 55Simplificación de fracciones algebraicas Modelo completo

Simplifica \(\dfrac{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}{x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12}\).

  1. Restricciones iniciales. El denominador se anula en \(x=2\) y \(x=3\).

  2. Numerador.

    \[x^3-2x^2-9x+18=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3)\]

  3. Denominador y reducción.

    \[x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)\] \[\frac{(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)^2(x-3)}=\frac{x+3}{x-2}\]
\[\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3-7x^2+16x-12}=\frac{x+3}{x-2}\]

Restricciones: \(x\notin\{2,3\}\).

Ejercicio 56Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}\).

  1. Restricción inicial. \((x-3)^2\neq0\), luego \(x\neq3\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\]
\[\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}=\frac{x+3}{x-3}\]

Restricción: \(x\neq3\).

Ejercicio 57Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{2 x^{2} + 7 x + 3}{4 x^{2} - 1}\).

  1. Restricciones iniciales. \(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\neq0\), por lo que \(x\neq\pm\frac12\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{(2x+1)(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{x+3}{2x-1}\]
\[\frac{2x^2+7x+3}{4x^2-1}=\frac{x+3}{2x-1}\]

Restricciones: \(x\notin\left\{-\frac12,\frac12\right\}\).

Ejercicio 58Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{3} - x}{x^{2} - 1}\).

  1. Restricciones iniciales. \(x^2-1\neq0\), de modo que \(x\neq\pm1\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{x(x^2-1)}{x^2-1}=\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=x\]
\[\frac{x^3-x}{x^2-1}=x\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 59Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x - 2}\).

  1. Restricciones iniciales. \((x+2)(x-1)\neq0\), así que \(x\neq-2\) y \(x\neq1\).

  2. Factorización y reducción.

    \[\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}\]
\[\frac{x^2+3x+2}{x^2+x-2}=\frac{x+1}{x-1}\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,1\}\).

Ejercicio 60Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{3} + 27}{x^{2} - 9}\).

  1. Restricciones iniciales. \((x-3)(x+3)\neq0\), por lo que \(x\neq\pm3\).

  2. Suma de cubos y diferencia de cuadrados.

    \[x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2-3x+9}{x-3}\]
\[\frac{x^3+27}{x^2-9}=\frac{x^2-3x+9}{x-3}\]

Restricciones: \(x\notin\{-3,3\}\).

Ejercicio 61Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{4} - 16}{x^{2} - 4 x + 4}\).

  1. Restricción inicial. \((x-2)^2\neq0\), por lo que \(x\neq2\).

  2. Factorización.

    \[x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\]

  3. Reducción de un factor \(x-2\).

    \[\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2}=\frac{(x+2)(x^2+4)}{x-2}\]
\[\frac{x^4-16}{x^2-4x+4}=\frac{(x+2)(x^2+4)}{x-2}\]

Restricción: \(x\neq2\).

Ejercicio 62Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{3 x^{2} - 12}{6 x^{2} + 12 x + 6}\).

  1. Restricción inicial. \(6(x+1)^2\neq0\), así que \(x\neq-1\).

  2. Factorización.

    \[3x^2-12=3(x-2)(x+2),\qquad 6x^2+12x+6=6(x+1)^2\]

  3. Reducción numérica. Se simplifica \(3/6=1/2\); no hay más factores comunes.

\[\frac{3x^2-12}{6x^2+12x+6}=\frac{(x-2)(x+2)}{2(x+1)^2}\]

Restricción: \(x\neq-1\).

Ejercicio 63Ecuación racional con restricciones Modelo completo

Resuelve \(\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=1\). Indica las restricciones y comprueba las soluciones.

  1. Restricciones. Los denominadores no pueden anularse, así que \(x\neq1\) y \(x\neq-1\).

  2. Denominador común.

    \[\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=1\] \[\frac{x+3}{x^2-1}=1\]

  3. Ecuación resultante. Como \(x\neq\pm1\), se puede multiplicar por \(x^2-1\).

    \[x+3=x^2-1\Rightarrow x^2-x-4=0\] \[x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\]

  4. Comprobación. Ninguna de las dos raíces es \(1\) ni \(-1\). Para ambas se cumple \(x^2-1=x+3\), que es la igualdad obtenida al reunir las fracciones.

\[x\in\left\{\frac{1-\sqrt{17}}2,\frac{1+\sqrt{17}}2\right\}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 64Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica \(\dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y}\).

  1. Restricciones iniciales. \(x(x+y)\neq0\), por lo que \(x\neq0\) y \(x\neq-y\).

  2. Factorización.

    \[x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad x^2+xy=x(x+y)\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)}=\frac{x-y}{x}\]
\[\frac{x^2-y^2}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x}\]

Restricciones: \(x\neq0\) y \(x\neq-y\).

Operaciones con fracciones

Ejercicio 65Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\).

  1. Denominador común. Con \(x\neq\pm1\), se utiliza \((x+1)(x-1)\).

  2. Numerador común.

    \[\frac{2(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-2+x+1}{(x+1)(x-1)}\]

  3. Reducción. \(2x-2+x+1=3x-1\).

\[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 66Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{3}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\).

  1. Denominador común. Con \(x\neq\pm2\), se toma \((x+2)(x-2)\).

  2. Numerador común.

    \[3(x-2)-(x+2)=3x-6-x-2=2x-8\]

  3. Factorización del numerador. \(2x-8=2(x-4)\).

\[\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}=\frac{2(x-4)}{(x-2)(x+2)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,2\}\).

Ejercicio 67Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3}\).

  1. Denominador común. Las restricciones son \(x\neq\pm3\) y el denominador es \((x+3)(x-3)\).

  2. Desarrollo del numerador.

    \[(x-2)(x-3)+(x+1)(x+3)\] \[=x^2-5x+6+x^2+4x+3=2x^2-x+9\]
\[\frac{x-2}{x+3}+\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x^2-x+9}{(x-3)(x+3)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-3,3\}\).

Ejercicio 68Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}\).

  1. Denominador común. \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), con \(x\neq\pm1\).

  2. Numerador común.

    \[\frac{2x-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\]

  3. Reducción. Se cancela el factor \(x-1\), manteniendo su restricción original.

\[\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 69Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{x + 2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x + 2}\).

  1. Factorización inicial.

    \[\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac1{x-2}\]

  2. Denominador común.

    \[\frac1{x-2}+\frac3{x+2}=\frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}\]

  3. Reducción del numerador. \(x+2+3x-6=4x-4=4(x-1)\).

\[\frac{x+2}{x^2-4}+\frac3{x+2}=\frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,2\}\).

Ejercicio 70Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\).

  1. Restricciones iniciales. El denominador exige \(x\neq-1\) y \(x\neq1\).

  2. Factorización completa.

    \[x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}=1\]
\[\frac{(x-1)(x^2-1)}{(x+1)(x^2-2x+1)}=1\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 71Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\).

  1. Restricciones iniciales. El denominador se anula en \(x=2\) y \(x=-2\).

  2. Factorización completa.

    \[x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x+2)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)^2}=1\]
\[\frac{(x+2)(x^2-4)}{(x-2)(x^2+4x+4)}=1\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,2\}\).

Ejercicio 72Operaciones con fracciones algebraicas Modelo completo

Opera y simplifica \(\frac{16}{x^{2} - 4} + \frac{6}{x + 2} - \frac{4}{2 - x}\).

  1. Signo del tercer término. Como \(2-x=-(x-2)\), se tiene \(-4/(2-x)=4/(x-2)\).

  2. Denominador común.

    \[\frac{16+6(x-2)+4(x+2)}{(x-2)(x+2)}\]

  3. Reducción del numerador.

    \[16+6x-12+4x+8=10x+12=2(5x+6)\]
\[\frac{16}{x^2-4}+\frac6{x+2}-\frac4{2-x}=\frac{2(5x+6)}{(x-2)(x+2)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-2,2\}\).

Ejercicio 73Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\left(x^{2} - y^{2}\right) \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\).

  1. Restricciones iniciales. \(x\neq0\) y \(y\neq0\).

  2. Factorización y suma interior.

    \[x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad \frac1y+\frac1x=\frac{x+y}{xy}\]

  3. Producto.

    \[(x-y)(x+y)\cdot\frac{x+y}{xy}=\frac{(x-y)(x+y)^2}{xy}\]
\[(x^2-y^2)\left(\frac1y+\frac1x\right)=\frac{(x-y)(x+y)^2}{xy}\]

Restricciones: \(x\neq0\) y \(y\neq0\).

Ejercicio 74Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{- a + x}{- a^{2} + x^{2}}\).

  1. Reescritura. El numerador es \(x-a\) y el denominador es una diferencia de cuadrados.

    \[x^2-a^2=(x-a)(x+a)\]

  2. Reducción.

    \[\frac{x-a}{(x-a)(x+a)}=\frac1{x+a}\]
\[\frac{-a+x}{-a^2+x^2}=\frac1{a+x}\]

Restricciones: \(x\neq a\) y \(x\neq-a\).

Ejercicio 75Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\).

  1. Restricciones. La fracción interior exige \(x\neq0\); además, \(1+1/x\neq0\), por lo que \(x\neq-1\).

  2. Denominador interior.

    \[1+\frac1x=\frac{x+1}{x}\]

  3. Recíproco y suma final.

    \[1+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1+x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}\]
\[1+\frac1{1+\frac1x}=\frac{2x+1}{x+1}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,0\}\).

Ejercicio 76Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x + 1}\).

  1. Denominador común. \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), con \(x\neq\pm1\).

  2. Numerador común.

    \[(2x+1)-3(x-1)=2x+1-3x+3=4-x\]

  3. Forma equivalente. \(4-x=-(x-4)\).

\[\frac{2x+1}{x^2-1}-\frac3{x+1}=-\frac{x-4}{(x-1)(x+1)}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,1\}\).

Ejercicio 77Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 3 x\right)}\).

  1. Restricciones iniciales. El denominador factorizado es \((x-2)x(x+3)\), luego \(x\notin\{-3,0,2\}\).

  2. Factorización.

    \[x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+3x=x(x+3)\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-2)x(x+3)}=\frac{x+2}{x}\]
\[\frac{(x+3)(x^2-4)}{(x-2)(x^2+3x)}=\frac{x+2}{x}\]

Restricciones: \(x\notin\{-3,0,2\}\).

Ejercicio 78Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}\).

  1. Restricciones iniciales. El denominador es \((x-2)(x-3)(x+3)\), de modo que \(x\notin\{-3,2,3\}\).

  2. Factorización.

    \[x^2-4x+4=(x-2)^2,\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)\]

  3. Reducción.

    \[\frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)(x-3)(x+3)}=\frac{x-2}{x-3}\]
\[\frac{(x+3)(x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2-9)}=\frac{x-2}{x-3}\]

Restricciones: \(x\notin\{-3,2,3\}\).

Fracciones compuestas

Ejercicio 79Fracción algebraica compuesta

Simplifica \(\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\).

  1. Restricciones. Se exige \(x\neq0\) y \(1+1/x\neq0\), por lo que también \(x\neq-1\).

  2. Denominador interior.

    \[1+\frac1x=\frac{x+1}{x}\]

  3. Inversión.

    \[\frac1{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}\]
\[\frac1{1+\frac1x}=\frac{x}{x+1}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,0\}\).

Ejercicio 80Fracción algebraica compuesta Modelo completo

Simplifica \(1 + \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + 1}\).

  1. Primera restricción. \(x+1\neq0\), luego \(x\neq-1\).

  2. Denominador interior.

    \[\frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}\]

  3. Segunda restricción y reducción. Se exige \(2x+1\neq0\), así que \(x\neq-1/2\).

    \[1+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}\]
\[1+\frac1{\frac{x}{x+1}+1}=\frac{3x+2}{2x+1}\]

Restricciones: \(x\notin\left\{-1,-\frac12\right\}\).

Ejercicio 81Fracción algebraica compuesta

Simplifica \(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}\).

  1. Suma interior. Con \(x\neq\pm1\), se obtiene:

    \[\frac1{x+1}+\frac1{x-1}=\frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{x^2-1}\]

  2. Producto del denominador.

    \[(x-1)\frac{2x}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x+1}\]

  3. Inversión. El denominador anterior tampoco puede ser cero; se añade \(x\neq0\).

    \[\frac1{\frac{2x}{x+1}}=\frac{x+1}{2x}\]
\[\frac1{(x-1)\left(\frac1{x+1}+\frac1{x-1}\right)}=\frac{x+1}{2x}\]

Restricciones: \(x\notin\{-1,0,1\}\).

Ejercicio 82Fracción algebraica compuesta

Simplifica \(\frac{\frac{x}{x + 2} - 1}{1 + \frac{2}{x + 2}}\).

  1. Restricción inicial. \(x\neq-2\).

  2. Numerador y denominador.

    \[\frac{x}{x+2}-1=-\frac2{x+2},\qquad 1+\frac2{x+2}=\frac{x+4}{x+2}\]

  3. División. El denominador compuesto exige además \(x\neq-4\).

    \[\frac{-2}{x+2}\div\frac{x+4}{x+2}=-\frac2{x+4}\]
\[\frac{\frac{x}{x+2}-1}{1+\frac2{x+2}}=-\frac2{x+4}\]

Restricciones: \(x\notin\{-4,-2\}\).

Ejercicio 83Fracción algebraica compuesta

Simplifica \(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\).

  1. Restricción inicial. \(x\neq0\).

  2. Reducción de las fracciones internas.

    \[1+\frac1x=\frac{x+1}{x},\qquad 1-\frac1x=\frac{x-1}{x}\]

  3. División. El denominador exige también \(x\neq1\).

    \[\frac{x+1}{x}\div\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x-1}\]
\[\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}=\frac{x+1}{x-1}\]

Restricciones: \(x\notin\{0,1\}\).

Binomio de Newton

Ejercicio 84Binomio de Newton

Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(x + 2\right)^{4}\).

  1. Coeficientes. Para potencia \(4\), la fila binomial es \(1,4,6,4,1\).

  2. Sustitución ordenada.

    \[x^4+4x^3\cdot2+6x^2\cdot2^2+4x\cdot2^3+2^4\]

  3. Cálculo de coeficientes.

    \[x^4+8x^3+24x^2+32x+16\]
\[(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16\]
Ejercicio 85Binomio de Newton

Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(x - 3\right)^{5}\).

  1. Coeficientes. Para potencia \(5\), se usa \(1,5,10,10,5,1\).

  2. Sustitución con \(-3\).

    \[x^5+5x^4(-3)+10x^3(-3)^2+10x^2(-3)^3+5x(-3)^4+(-3)^5\]

  3. Reducción.

    \[x^5-15x^4+90x^3-270x^2+405x-243\]
\[(x-3)^5=x^5-15x^4+90x^3-270x^2+405x-243\]
Ejercicio 86Binomio de Newton

Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(2 x + 1\right)^{4}\).

  1. Coeficientes. La fila de grado \(4\) es \(1,4,6,4,1\).

  2. Sustitución.

    \[(2x)^4+4(2x)^3+6(2x)^2+4(2x)+1\]

  3. Reducción.

    \[16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\]
\[(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\]
Ejercicio 87Binomio de Newton

Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(a - b\right)^{5}\).

  1. Coeficientes. Para grado \(5\): \(1,5,10,10,5,1\).

  2. Signos. Al sustituir \(-b\), las potencias impares conservan signo negativo y las pares, positivo.

    \[a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5\]
\[(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5\]
Ejercicio 88Binomio de Newton

Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(3 x - 2 y\right)^{3}\).

  1. Identidad. Se aplica el cubo de una diferencia con \(u=3x\) y \(v=2y\).

  2. Sustitución.

    \[(3x)^3-3(3x)^2(2y)+3(3x)(2y)^2-(2y)^3\]

  3. Reducción.

    \[27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3\]
\[(3x-2y)^3=27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3\]
Ejercicio 89Término y coeficiente de Newton Modelo completo

Halla el coeficiente de \(x^4\) en \((2x-3)^7\) sin desarrollar todo el binomio.

  1. Término general. Numerando desde \(k=0\), el término general del desarrollo es

    \[T_{k+1}=\binom{7}{k}(2x)^{7-k}(-3)^k\]

  2. Elección del término. La potencia de \(x\) es \(7-k\). Para obtener \(x^4\), debe cumplirse

    \[7-k=4\Rightarrow k=3\]

  3. Cálculo del coeficiente.

    \[\binom73 2^4(-3)^3=35\cdot16\cdot(-27)=-15120\]
\[\text{El término buscado es }-15120x^4;\quad \text{su coeficiente es }\boxed{-15120}.\]

Ecuaciones

Ejercicio 90Ecuación algebraica

Resuelve \(x^{2} - 5 x + 6=0\).

  1. Factorización. Se buscan dos números que multipliquen \(6\) y sumen \(-5\): \(-2\) y \(-3\).

    \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

  2. Producto nulo.

    \[x-2=0\quad\text{o}\quad x-3=0\]
\[x\in\{2,3\}\]
Ejercicio 91Ecuación algebraica

Resuelve \(x^{3} - 4 x=0\).

  1. Factor común.

    \[x^3-4x=x(x^2-4)\]

  2. Diferencia de cuadrados.

    \[x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\]

  3. Producto nulo. Cada factor se iguala a cero.

\[x\in\{-2,0,2\}\]
Ejercicio 92Ecuación algebraica

Resuelve \(x^{4} - 13 x^{2} + 36=0\).

  1. Cambio de variable. Se toma \(y=x^2\).

    \[y^2-13y+36=(y-4)(y-9)=0\]

  2. Valores de \(y\).

    \[y=4\quad\text{o}\quad y=9\]

  3. Regreso a \(x\).

    \[x^2=4\Rightarrow x=\pm2,\qquad x^2=9\Rightarrow x=\pm3\]
\[x\in\{-3,-2,2,3\}\]
Ejercicio 93Ecuación algebraica

Resuelve \(\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)=0\).

  1. Producto nulo. La expresión ya está factorizada; basta igualar cada factor a cero.

  2. Ecuaciones lineales.

    \[x-5=0,\qquad x-2=0,\qquad x+3=0\]
\[x\in\{-3,2,5\}\]
Ejercicio 94Ecuación algebraica

Resuelve \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6=0\).

  1. Primera raíz. \(P(1)=0\), por lo que \(x-1\) es factor.

  2. Ruffini y factorización. El cociente es \(x^2-5x+6\).

    \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

  3. Producto nulo. Se iguala a cero cada factor.

\[x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)\] \[x\in\{1,2,3\}\]

Inecuaciones

En las inecuaciones no basta con resolver una ecuación. Hay que decidir el signo en intervalos.

Ejercicio 95Inecuación con tabla de signos

Resuelve \(x^{2} - 5 x + 6 \leq 0\).

  1. Factorización.

    \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

  2. Puntos críticos. Las raíces \(2\) y \(3\) dividen la recta en tres intervalos. El producto es positivo fuera y negativo entre ellas.

  3. Extremos. Como la desigualdad incluye la igualdad, se incorporan ambas raíces.

\[x\in[2,3]\]
Ejercicio 96Inecuación con tabla de signos Modelo completo

Resuelve \(\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 1} \leq 0\).

  1. Factorización y dominio.

    \[\frac{x^2-5x+6}{x^2-1}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)},\qquad x\neq\pm1\]

  2. Puntos críticos. Se ordenan \(-1,1,2,3\). Los signos por intervalos son \(+,-,+,-,+\).

  3. Selección. Se toman los intervalos con signo negativo y los ceros del numerador; \(-1\) y \(1\) nunca se incluyen.

\[x\in(-1,1)\cup[2,3]\]

Problemas

Ejercicio 97Problema algebraico de área Modelo completo

Un rectángulo tiene un lado \(x+3\) y otro lado \(x-2\). Su área es \(40\). Halla sus dimensiones.

  1. Dominio del contexto. Como \(x-2\) es una longitud, se exige \(x>2\).

  2. Modelo de área.

    \[(x+3)(x-2)=40\Rightarrow x^2+x-46=0\]

  3. Resolución.

    \[x=\frac{-1\pm\sqrt{185}}2\]

  4. Selección. La raíz negativa no cumple \(x>2\); se conserva \(x=(-1+\sqrt{185})/2\).

\[\text{Lados}=\frac{5+\sqrt{185}}2\text{ y }\frac{\sqrt{185}-5}2\] \[\text{Aproximadamente }9{,}30\text{ y }4{,}30\]

Comprobación: el producto exacto de las dos longitudes es \(40\).

Ejercicio 98Problema de números consecutivos

El producto de dos números enteros consecutivos es \(72\). Halla los números.

  1. Elección de la incógnita. Si el menor es \(x\), el siguiente es \(x+1\).

  2. Modelo y factorización.

    \[x(x+1)=72\Rightarrow x^2+x-72=0\] \[(x-8)(x+9)=0\]

  3. Dos posibilidades enteras. \(x=8\) o \(x=-9\).

\[(8,9)\quad\text{o}\quad(-9,-8)\]

Comprobación: \(8\cdot9=72\) y \((-9)(-8)=72\).

Ejercicio 99Problema con fracción algebraica

La expresión \(\dfrac{x+2}{x-1}\) vale \(3\). Halla \(x\) y comprueba la restricción.

  1. Restricción. El denominador exige \(x\neq1\).

  2. Eliminación del denominador.

    \[\frac{x+2}{x-1}=3\Rightarrow x+2=3(x-1)\]

  3. Resolución.

    \[x+2=3x-3\Rightarrow 5=2x\Rightarrow x=\frac52\]
\[x=\frac52\]

Comprobación: \(5/2\neq1\) y \(\frac{5/2+2}{5/2-1}=3\).

Ejercicio 100Problema tipo examen

La suma de un número y su inverso es \(\dfrac{5}{2}\). Halla el número.

  1. Restricción. Al aparecer \(1/x\), se exige \(x\neq0\).

  2. Eliminación de denominadores. Se multiplica toda la ecuación por \(2x\).

    \[x+\frac1x=\frac52\Rightarrow 2x^2+2=5x\]

  3. Factorización.

    \[2x^2-5x+2=0\Rightarrow(2x-1)(x-2)=0\]
\[x=2\quad\text{o}\quad x=\frac12\]

Ambos valores cumplen la restricción y verifican la suma \(5/2\).

6 retos resueltos de modelización algebraica

Estos retos complementan los 100 ejercicios anteriores. Aquí no basta con reconocer una técnica: hay que elegir la incógnita, traducir el contexto, fijar el dominio, resolver y comprobar si la respuesta tiene sentido.

Qué se entrena aquí: ecuaciones polinómicas, ecuaciones racionales e inecuaciones aplicadas. Los sistemas y las ecuaciones exponenciales o logarítmicas mantienen sus recorridos específicos para no mezclar objetivos.

Reto 1Área y perímetro de una parcela

Una parcela rectangular tiene \(34\,\mathrm{m}\) de perímetro y \(60\,\mathrm{m^2}\) de superficie. Halla sus dimensiones sin plantear un sistema de dos incógnitas.

Si un lado mide \(x\), el otro mide \(17-x\), porque la suma de los dos lados distintos es \(17\). Usamos ahora el área.

\[x(17-x)=60\Rightarrow x^2-17x+60=0\] \[(x-5)(x-12)=0\Rightarrow x=5\quad\text{o}\quad x=12\]
Las dimensiones son \(5\,\mathrm{m}\) y \(12\,\mathrm{m}\).

Comprobación: \(2(5+12)=34\,\mathrm{m}\) y \(5\cdot12=60\,\mathrm{m^2}\).

Reto 2Viaje de ida y vuelta

Un vehículo recorre \(120\,\mathrm{km}\) y regresa por la misma ruta a una velocidad \(20\,\mathrm{km/h}\) mayor. El tiempo total es \(5\,\mathrm{h}\). Calcula las dos velocidades.

Sea \(v>0\) la velocidad de ida. Como tiempo = distancia / velocidad, la ecuación es racional.

\[\frac{120}{v}+\frac{120}{v+20}=5\] \[120(v+20)+120v=5v(v+20)\] \[v^2-28v-480=0\] \[(v-40)(v+12)=0\]
Descartamos \(v=-12\). La ida se realiza a \(40\,\mathrm{km/h}\) y la vuelta a \(60\,\mathrm{km/h}\).

Comprobación: \(120/40+120/60=3+2=5\,\mathrm{h}\).

Reto 3Volumen de un embalaje

Un embalaje ortoédrico tiene aristas \(x\), \(x+2\) y \(x+4\) centímetros. Su volumen es \(105\,\mathrm{cm^3}\). Halla sus dimensiones.

Las longitudes obligan a \(x>0\). Igualamos el producto de las tres aristas al volumen y factorizamos el polinomio resultante.

\[x(x+2)(x+4)=105\] \[x^3+6x^2+8x-105=(x-3)(x^2+9x+35)=0\]

El factor cuadrático tiene discriminante \(-59\), por lo que no aporta raíces reales. La única solución válida es \(x=3\).

Las dimensiones son \(3\,\mathrm{cm}\), \(5\,\mathrm{cm}\) y \(7\,\mathrm{cm}\).

Comprobación: \(3\cdot5\cdot7=105\,\mathrm{cm^3}\).

Reto 4Ingresos de un taller intensivo

El precio inicial de un taller es \(25\,\text{€}\) y se esperan 20 inscripciones. Por cada euro de descuento se estiman cuatro inscripciones más. ¿Qué descuentos permiten obtener al menos \(800\,\text{€}\) de ingresos?

Si el descuento es \(x\), con \(0\leq x\leq25\), el precio es \(25-x\) y el número previsto de inscripciones es \(20+4x\).

\[I(x)=(25-x)(20+4x)=-4x^2+80x+500\] \[I(x)\geq800\Rightarrow x^2-20x+75\leq0\] \[(x-5)(x-15)\leq0\]

Al reunir términos y dividir entre \(-4\), el sentido de la desigualdad se invierte. La tabla de signos deja el intervalo comprendido entre las dos raíces.

El ingreso alcanza al menos \(800\,\text{€}\) para descuentos entre \(5\,\text{€}\) y \(15\,\text{€}\), ambos incluidos.

En los extremos se obtienen exactamente \(800\,\text{€}\).

Reto 5Altura y desigualdad cuadrática

La altura de una pelota viene dada por \(h(t)=-5t^2+30t+35\), con \(t\) en segundos y \(h\) en metros. ¿Durante qué intervalo está a \(60\,\mathrm{m}\) o más?

Traducimos «a 60 metros o más» mediante \(h(t)\geq60\).

\[-5t^2+30t+35\geq60\] \[t^2-6t+5\leq0\Rightarrow (t-1)(t-5)\leq0\]

Al pasar 60 al primer miembro y dividir entre \(-5\), se invierte el sentido de la desigualdad. El producto es no positivo entre sus raíces.

La pelota está a \(60\,\mathrm{m}\) o más desde \(t=1\,\mathrm{s}\) hasta \(t=5\,\mathrm{s}\).

Comprobación: \(h(1)=h(5)=60\,\mathrm{m}\) y \(h(3)=80\,\mathrm{m}\).

Reto 6Coste por alumno de una salida

Un autobús cuesta \(360\,\text{€}\) y cada alumno paga además una entrada de \(12\,\text{€}\). Si hay como máximo 30 plazas, ¿cuántos alumnos deben participar para que el coste por persona no supere \(30\,\text{€}\)?

Para \(x\) alumnos, con \(x\in\mathbb{N}\) y \(1\leq x\leq30\), el coste individual es \(C(x)=360/x+12\).

\[\frac{360}{x}+12\leq30\] \[360+12x\leq30x\Rightarrow x\geq20\]
Deben participar entre 20 y 30 alumnos.

Con 20 alumnos el coste es \(30\,\text{€}\); con 19 sería aproximadamente \(30{,}95\,\text{€}\).

Simulacro final tipo examen

Este simulacro permite comprobar el dominio del bloque. Se realiza sin consultar las soluciones y se revisa después paso a paso.

Parte A

Factoriza \(x^4-10x^2+9\), \(2x^3-3x^2-8x+12\) y \(x^3+x^2-4x-4\).

Parte B

Simplifica \(\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3-7x^2+16x-12}\) y \(1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\).

Parte C

Resuelve \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1}\leq0\).

Parte D

Desarrolla \((2x-3)^5\) usando el binomio de Newton.

Criterio de revisión: los errores de factorización deben corregirse antes de continuar con fracciones algebraicas. Si el desarrollo previo es correcto y la inecuación no, hay que revisar la tabla de signos y la inclusión de los extremos.

Resultados para comprobar

Parte A

\[ x^4-10x^2+9=(x-3)(x-1)(x+1)(x+3) \] \[ 2x^3-3x^2-8x+12=(2x-3)(x-2)(x+2) \] \[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]

Parte B

\[ \frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3-7x^2+16x-12}=\frac{x+3}{x-2}, \qquad x\notin\{2,3\} \] \[ 1+\frac{1}{1+\frac1x}=\frac{2x+1}{x+1}, \qquad x\notin\{-1,0\} \]

Parte C

\[ x\in(-1,1)\cup[2,3] \]

Parte D

\[ (2x-3)^5=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243 \]

Recursos relacionados para continuar con Matemáticas I

Una ruta breve y ordenada. Primero se refuerza el monográfico que sirve de base a este cuaderno y después se avanza hacia los bloques que usan directamente estas herramientas.

Seguimiento y práctica guiada

El progreso depende de comprender cada transformación, practicarla y comprobarla. Para un seguimiento individual del proceso puede consultarse la prematrícula de Marlu Educativa.

Autor

Recurso elaborado por José María, Marlu Educativa. Estructura, secuenciación, desarrollo algebraico y comprobaciones revisados para 1.º de Bachillerato.

Revisión académica y editorial completa: 13 de agosto de 2026.

Preguntas frecuentes

¿Qué se trabaja en este cuaderno de álgebra de 1.º de Bachillerato?

Este cuaderno trabaja productos notables, polinomios, factorización, Ruffini, teoremas del resto y del factor, fracciones algebraicas, binomio de Newton, ecuaciones, inecuaciones y modelización. Otros contenidos de Matemáticas I conservan sus recursos específicos.

¿Por qué son tan importantes las fracciones algebraicas?

Porque aparecen después en funciones racionales, límites, derivadas, problemas y simplificaciones. Si se cancelan mal factores o se olvidan restricciones, el error se arrastra.

¿Cuándo se puede usar Ruffini?

Se usa directamente cuando el divisor es de la forma \(x-a\). Si el divisor no tiene esa forma, hay que transformar o hacer división de polinomios.

¿Cómo se estudian las inecuaciones racionales?

Se factoriza, se colocan ceros y valores prohibidos en una recta real, se estudian signos por intervalos y se elige la parte que cumple la desigualdad.

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