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Álgebra 1 Bachillerato: Ruffini, fracciones algebraicas y 100 ejercicios resueltos
Álgebra 1 Bachillerato paso a paso: polinomios, Ruffini, fracciones algebraicas y binomio de Newton
Este recurso está pensado para estudiar el bloque de álgebra de 1 Bachillerato con calma y con método. No es una lista de fórmulas pegadas una detrás de otra: la idea es que el alumno aprenda a reconocer el tipo de ejercicio antes de ponerse a operar.
Trabajamos productos notables, factorización, división de polinomios, regla de Ruffini, teorema del resto, teorema del factor, m.c.d. y m.c.m. de polinomios, fracciones algebraicas, binomio de Newton, ecuaciones e inecuaciones. Es el tipo de base que después sostiene funciones, límites, derivadas, física y química.
Idea de profesor: en álgebra casi nunca se falla por no saber una fórmula; se falla por no mirar la estructura. Primero se observa, después se factoriza y solo entonces se simplifica.
Preparar 1 Bachillerato con base algebraica cambia el curso
Cuando el álgebra no está ordenada, el alumno empieza a perder puntos en todo: funciones, trigonometría, problemas de física, estequiometría y ejercicios de examen. En Marlu Educativa trabajamos estos bloques con explicación guiada, pizarra digital y corrección paso a paso.
Qué trabaja este recurso y qué conviene estudiar aparte
Este recurso se centra en el álgebra de 1 Bachillerato que aparece una y otra vez en ejercicios de clase y examen. Aquí no vamos a desarrollar sistemas lineales, matrices, determinantes ni geometría analítica, porque esos bloques merecen recursos propios. Tampoco vamos a convertir esto en un tema de funciones: usaremos funciones solo cuando ayuden a interpretar una ecuación o una inecuación.
Aquí sí
Polinomios, productos notables, Ruffini, teorema del resto, factorización, fracciones algebraicas, binomio de Newton, ecuaciones e inecuaciones.
Aquí no
Sistemas completos, matrices, determinantes, derivadas, integrales o estudio completo de funciones. Esos temas deben trabajarse sin mezclarlos.
Objetivo real
Que el alumno gane seguridad operando y deje de perder puntos por errores de signo, cancelaciones falsas o restricciones olvidadas.
Mapa rápido del bloque
Antes de hacer cuentas conviene saber en qué terreno estamos. Esta tabla resume lo que hay que reconocer en un examen de álgebra de 1 Bachillerato.
| Si ves | Piensa | Cuidado con |
|---|---|---|
| \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\) | Producto notable | No olvidar el doble producto |
| Polinomio de grado 3 o 4 | Raíces enteras y Ruffini | Probar divisores del término independiente |
| Fracción con polinomios | Factorizar antes de cancelar | No cancelar sumandos |
| Varios denominadores | Denominador común | Conservar restricciones originales |
| \((a+b)^n\) | Binomio de Newton | Signos y coeficientes binomiales |
| Inecuación con factores | Tabla de signos | Distinguir ceros y valores prohibidos |
Método de trabajo
El álgebra se estudia mejor por capas. Primero hay que dominar productos notables y factorización. Después Ruffini y raíces. Luego fracciones algebraicas. Finalmente ecuaciones e inecuaciones, donde todo lo anterior se mezcla.
Reconocer la forma. No se empieza igual una diferencia de cuadrados que una fracción algebraica.
Factorizar. Casi todos los ejercicios importantes se abren cuando el alumno factoriza bien.
Operar con restricciones. En fracciones algebraicas, el denominador original manda aunque luego se simplifique.
Revisar. Sustituir un valor, comprobar un resto o mirar un signo evita muchos errores de examen.
Productos notables y factorización
Los productos notables son atajos, pero no son magia. Sirven para desarrollar y, sobre todo, para factorizar. En 1 Bachillerato hay que reconocerlos de un vistazo.
Para factorizar, el orden práctico es este: factor común, identidades notables, trinomios de segundo grado, raíces enteras y Ruffini. Si se sigue ese orden, la mayoría de ejercicios dejan de ser un bloque negro.
Polinomios, división y Ruffini
Un polinomio no se maneja solo expandiendo. Hay que saber evaluarlo, dividirlo y descomponerlo. La regla de Ruffini es especialmente útil cuando se divide entre \(x-a\), porque permite trabajar con coeficientes y localizar raíces.
Esta igualdad es una de las ideas más importantes del tema. Si al dividir por \(x-a\) el resto es cero, entonces \(x-a\) es factor de \(P(x)\).
Teorema del resto, teorema del factor y raíces
El teorema del resto permite calcular restos sin hacer divisiones largas. El teorema del factor permite decidir si una expresión divide exactamente a un polinomio. En la práctica, ambos se usan juntos para factorizar.
Detalle importante: si \(P(a)=0\), entonces \(a\) es raíz de \(P(x)\) y \(x-a\) es factor. Son tres formas de decir casi la misma idea.
M.c.d. y m.c.m. de polinomios
El m.c.d. y el m.c.m. de polinomios se calculan como con números, pero antes hay que factorizar. El error típico es intentar hacerlo con los polinomios desarrollados. Así se ve peor.
| Concepto | Cómo se elige | Ejemplo con factores |
|---|---|---|
| M.c.d. | Comunes con menor exponente | De \((x-1)^2(x+2)\) y \((x-1)(x+2)^3\): \((x-1)(x+2)\) |
| M.c.m. | Todos con mayor exponente | De los mismos: \((x-1)^2(x+2)^3\) |
Fracciones algebraicas
Este es el bloque donde más alumnos pierden puntos. Una fracción algebraica se simplifica factorizando, no tachando letras sueltas. La regla es sencilla: solo se pueden cancelar factores completos que estén multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.
Error grave: en \(\dfrac{x+3}{x}\) no se puede cancelar la \(x\). Arriba hay una suma, no un producto común.
Pasos seguros para simplificar
- Factorizar numerador y denominador.
- Anotar las restricciones del denominador original.
- Cancelar solo factores completos.
- Dar el resultado simplificado y conservar las restricciones.
Binomio de Newton
El binomio de Newton permite desarrollar potencias como \((a+b)^5\) sin multiplicar cinco veces. Es un tema corto, pero exige orden con coeficientes y signos.
En una diferencia, por ejemplo \((a-b)^n\), los signos alternan. Ahí está la trampa principal.
Ecuaciones e inecuaciones algebraicas
Una ecuación pregunta dónde una expresión vale cero. Una inecuación pregunta en qué intervalos es positiva o negativa. Por eso las inecuaciones se resuelven muy bien con tablas de signos.
Pasar todo a un miembro.
Factorizar numerador y denominador.
Colocar ceros y valores prohibidos en la recta real.
Estudiar signos por intervalos y escribir la solución.
Errores frecuentes reales de alumno
Cancelar sumandos
Escribir \(\frac{x+2}{x}=2\) es falso. Solo se cancelan factores completos.
Olvidar restricciones
Si el denominador original se anula en \(x=3\), ese valor queda prohibido aunque luego se cancele un factor.
Cambiar mal signos
En una resta de polinomios se cambia el signo de todo el segundo paréntesis.
Usar Ruffini sin comprobar
Ruffini sirve con divisores de la forma \(x-a\). Si el divisor no tiene esa forma, hay que ajustar o hacer división normal.
Confundir raíz y factor
Si \(2\) es raíz, el factor es \(x-2\), no \(x+2\).
Meter soluciones prohibidas
En ecuaciones racionales hay que comprobar que la solución no anula ningún denominador original.
100 ejercicios resueltos de álgebra de 1 Bachillerato
Los ejercicios están ordenados de forma progresiva. Primero aparecen los mecanismos básicos, después los ejercicios de examen y al final los que mezclan varias ideas. No hace falta hacerlos todos de una sentada; es mejor hacerlos por bloques y revisar errores.
Productos notables
Desarrolla \(\left(x + 5\right)^{2}\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Desarrolla \(\left(2 x - 3\right)^{2}\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Desarrolla \(\left(3 x - 2 y\right) \left(3 x + 2 y\right)\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Desarrolla \(\left(x + 4\right)^{3}\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Desarrolla \(\left(2 a - b\right)^{3}\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Desarrolla \(\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)\).
Primero reconocemos el producto notable antes de multiplicar sin orden. Después aplicamos la identidad correspondiente y ordenamos los términos.
Factorización
Factoriza \(x^{2} + 8 x + 16\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(9 x^{2} - 25\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(4 x^{2} - 12 x + 9\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(x^{3} - 27\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(2 x^{2} + 7 x + 3\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(6 x^{2} - x - 2\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(x^{4} - 16\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Factoriza \(3 x^{3} - 12 x\).
Miramos si hay factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto o raíces sencillas. En factorización no se empieza siempre igual: primero se observa la forma.
Polinomios
Calcula el valor de \(P(2)\) si \(P(x)=3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 5\).
Sustituimos \(x=2\) en todo el polinomio. El cuidado está en los signos y en las potencias, no en la dificultad de la cuenta.
Calcula el valor de \(P(-1)\) si \(P(x)=- 2 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 1\).
Sustituimos \(x=-1\) en todo el polinomio. El cuidado está en los signos y en las potencias, no en la dificultad de la cuenta.
Calcula el valor de \(P(3)\) si \(P(x)=x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 8\).
Sustituimos \(x=3\) en todo el polinomio. El cuidado está en los signos y en las potencias, no en la dificultad de la cuenta.
Calcula \((2 x^{3} - 5 x + 1)+(- x^{3} + 4 x^{2} + x - 7)\).
Sumamos términos semejantes. Conviene alinear por grados para no mezclar términos que no se pueden sumar.
Calcula \((5 x^{4} - 3 x^{2} + x)-(2 x^{4} + x^{3} - 4 x + 6)\).
Restamos cambiando el signo de todo el segundo polinomio. Este es uno de los fallos más frecuentes del bloque.
Calcula \((x^{2} - 3 x + 2)(2 x - 5)\).
Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo y después reducimos términos semejantes.
Calcula \((x^{3} + x^{2} - 2 x + 1)+(x^{2} - x + 4)\).
Sumamos términos semejantes. Conviene alinear por grados para no mezclar términos que no se pueden sumar.
División y Ruffini
Ruffini ahorra tiempo, pero no sustituye a la comprensión: el último número siempre es el resto.
Divide \(x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6\) entre \(x - 3\).
Dividimos por grados: primer término entre primer término, multiplicamos, restamos y repetimos. Al final conviene comprobar que dividendo = divisor · cociente + resto.
Divide \(2 x^{4} - x^{3} + 3 x - 1\) entre \(x^{2} + 1\).
Dividimos por grados: primer término entre primer término, multiplicamos, restamos y repetimos. Al final conviene comprobar que dividendo = divisor · cociente + resto.
Divide \(x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 5\) entre \(x - 2\).
Dividimos por grados: primer término entre primer término, multiplicamos, restamos y repetimos. Al final conviene comprobar que dividendo = divisor · cociente + resto.
Divide \(3 x^{4} + 2 x^{3} - x + 7\) entre \(x + 1\).
Dividimos por grados: primer término entre primer término, multiplicamos, restamos y repetimos. Al final conviene comprobar que dividendo = divisor · cociente + resto.
Divide \(x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} - 1\) entre \(x^{2} - x + 1\).
Dividimos por grados: primer término entre primer término, multiplicamos, restamos y repetimos. Al final conviene comprobar que dividendo = divisor · cociente + resto.
Aplica Ruffini para dividir \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\) entre \(x - 1\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=1\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(1\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Aplica Ruffini para dividir \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\) entre \(x - 2\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=2\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(2\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Aplica Ruffini para dividir \(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\) entre \(x + 2\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=-2\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(-2\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Aplica Ruffini para dividir \(x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6\) entre \(x + 1\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=-1\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(-1\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Aplica Ruffini para dividir \(3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6\) entre \(x - 1\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=1\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(1\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Aplica Ruffini para dividir \(x^{5} - 2 x^{4} - x + 2\) entre \(x - 2\).
Como el divisor es de la forma \(x-a\), usamos Ruffini con \(a=2\). Bajamos el primer coeficiente, multiplicamos por \(2\), sumamos y repetimos. El último número es el resto.
Teorema del resto
Calcula el resto de dividir \(P(x)=2 x^{4} - x^{3} + 5 x - 1\) entre \(x-2\).
No hace falta hacer la división completa. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).
Calcula el resto de dividir \(P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6\) entre \(x--1\).
No hace falta hacer la división completa. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).
Calcula el resto de dividir \(P(x)=3 x^{5} - x^{2} + 4\) entre \(x-1\).
No hace falta hacer la división completa. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).
Calcula el resto de dividir \(P(x)=x^{4} + 2 x^{3} - 7 x + 5\) entre \(x--2\).
No hace falta hacer la división completa. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).
Teorema del factor
Comprueba si \(x--1\) es factor de \(P(x)=x^{3} - 4 x^{2} + x + 6\).
Aplicamos el teorema del factor. Si \(P(-1)=0\), entonces el binomio divide exactamente al polinomio.
Comprueba si \(x-3\) es factor de \(P(x)=x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\).
Aplicamos el teorema del factor. Si \(P(3)=0\), entonces el binomio divide exactamente al polinomio.
Comprueba si \(x-2\) es factor de \(P(x)=2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\).
Aplicamos el teorema del factor. Si \(P(2)=0\), entonces el binomio divide exactamente al polinomio.
Comprueba si \(x-1\) es factor de \(P(x)=x^{4} - 5 x^{2} + 4\).
Aplicamos el teorema del factor. Si \(P(1)=0\), entonces el binomio divide exactamente al polinomio.
Raíces
Factoriza \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6\) y halla sus raíces reales.
Probamos raíces enteras posibles entre los divisores del término independiente. Cuando encontramos una raíz, aplicamos Ruffini y seguimos factorizando.
Factoriza \(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4\) y halla sus raíces reales.
Probamos raíces enteras posibles entre los divisores del término independiente. Cuando encontramos una raíz, aplicamos Ruffini y seguimos factorizando.
Factoriza \(x^{4} - 5 x^{2} + 4\) y halla sus raíces reales.
Probamos raíces enteras posibles entre los divisores del término independiente. Cuando encontramos una raíz, aplicamos Ruffini y seguimos factorizando.
Factoriza \(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12\) y halla sus raíces reales.
Probamos raíces enteras posibles entre los divisores del término independiente. Cuando encontramos una raíz, aplicamos Ruffini y seguimos factorizando.
Factoriza \(x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12\) y halla sus raíces reales.
Probamos raíces enteras posibles entre los divisores del término independiente. Cuando encontramos una raíz, aplicamos Ruffini y seguimos factorizando.
MCD y MCM
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{2} - 1\) y \(Q(x)=x^{2} - 2 x + 1\).
Primero factorizamos ambos polinomios. El m.c.d. toma los factores comunes con menor exponente. El m.c.m. toma todos los factores con mayor exponente.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - x\) y \(Q(x)=x^{2} - x\).
Primero factorizamos ambos polinomios. El m.c.d. toma los factores comunes con menor exponente. El m.c.m. toma todos los factores con mayor exponente.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 2 x\) y \(Q(x)=x^{2} - 4\).
Primero factorizamos ambos polinomios. El m.c.d. toma los factores comunes con menor exponente. El m.c.m. toma todos los factores con mayor exponente.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{4} - 1\) y \(Q(x)=x^{3} - x\).
Primero factorizamos ambos polinomios. El m.c.d. toma los factores comunes con menor exponente. El m.c.m. toma todos los factores con mayor exponente.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de \(P(x)=x^{3} - 3 x - 2\) y \(Q(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 4\).
Primero factorizamos ambos polinomios. El m.c.d. toma los factores comunes con menor exponente. El m.c.m. toma todos los factores con mayor exponente.
Fracciones algebraicas
A partir de aquí conviene ir más despacio. En fracciones algebraicas el resultado no vale si se han perdido las restricciones o se han cancelado sumandos.
Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -1\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -2, \ 2\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}{x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ 2, \ 3\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ 3\right]\).
Simplifica \(\dfrac{2 x^{2} + 7 x + 3}{4 x^{2} - 1}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ - \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{3} - x}{x^{2} - 1}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -1, \ 1\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x - 2}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -2, \ 1\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{3} + 27}{x^{2} - 9}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -3, \ 3\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{4} - 16}{x^{2} - 4 x + 4}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ 2\right]\).
Simplifica \(\dfrac{3 x^{2} - 12}{6 x^{2} + 12 x + 6}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -1\right]\).
Simplifica \(\dfrac{4 x}{x^{2} - 1}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ -1, \ 1\right]\).
Simplifica \(\dfrac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y}\).
Factorizamos numerador y denominador antes de cancelar. No se cancelan términos sueltos dentro de una suma: solo factores completos. Restricciones iniciales: \(x\neq \left[ 0, \ - y\right]\).
Operaciones con fracciones
Opera y simplifica \(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{3}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{x + 2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x + 2}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x + 1\right)}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{16}{x^{2} - 4} + \frac{6}{x + 2} - \frac{4}{2 - x}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\left(x^{2} - y^{2}\right) \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{- a + x}{- a^{2} + x^{2}}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x + 1}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 3 x\right)}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Opera y simplifica \(\frac{\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}\).
El método seguro es siempre el mismo: factorizar denominadores, buscar denominador común si hay suma o resta, multiplicar factores si hay producto y conservar las restricciones del enunciado.
Fracciones compuestas
Simplifica \(\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\).
En una fracción compuesta conviene limpiar primero la fracción pequeña. Otra opción eficaz es multiplicar numerador y denominador por el mínimo común denominador de las fracciones internas.
Simplifica \(1 + \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + 1}\).
En una fracción compuesta conviene limpiar primero la fracción pequeña. Otra opción eficaz es multiplicar numerador y denominador por el mínimo común denominador de las fracciones internas.
Simplifica \(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}\).
En una fracción compuesta conviene limpiar primero la fracción pequeña. Otra opción eficaz es multiplicar numerador y denominador por el mínimo común denominador de las fracciones internas.
Simplifica \(\frac{\frac{x}{x + 2} - 1}{1 + \frac{2}{x + 2}}\).
En una fracción compuesta conviene limpiar primero la fracción pequeña. Otra opción eficaz es multiplicar numerador y denominador por el mínimo común denominador de las fracciones internas.
Simplifica \(\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\).
En una fracción compuesta conviene limpiar primero la fracción pequeña. Otra opción eficaz es multiplicar numerador y denominador por el mínimo común denominador de las fracciones internas.
Binomio de Newton
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(x + 2\right)^{4}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(x - 3\right)^{5}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(2 x + 1\right)^{4}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(a - b\right)^{5}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(3 x - 2 y\right)^{3}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Desarrolla con el binomio de Newton \(\left(x + 1\right)^{6}\).
Usamos los coeficientes binomiales. El desarrollo queda ordenado con potencias descendentes del primer término y ascendentes del segundo.
Ecuaciones
Resuelve \(x^{2} - 5 x + 6=0\).
Primero pasamos todo a un miembro. Después factorizamos siempre que sea posible y usamos que un producto es cero cuando uno de sus factores es cero.
Resuelve \(x^{3} - 4 x=0\).
Primero pasamos todo a un miembro. Después factorizamos siempre que sea posible y usamos que un producto es cero cuando uno de sus factores es cero.
Resuelve \(x^{4} - 13 x^{2} + 36=0\).
Primero pasamos todo a un miembro. Después factorizamos siempre que sea posible y usamos que un producto es cero cuando uno de sus factores es cero.
Resuelve \(\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)=0\).
Primero pasamos todo a un miembro. Después factorizamos siempre que sea posible y usamos que un producto es cero cuando uno de sus factores es cero.
Resuelve \(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6=0\).
Primero pasamos todo a un miembro. Después factorizamos siempre que sea posible y usamos que un producto es cero cuando uno de sus factores es cero.
Inecuaciones
En las inecuaciones no basta con resolver una ecuación. Hay que decidir el signo en intervalos.
Resuelve \(x^{2} - 5 x + 6 <= 0\).
Factorizamos y colocamos los puntos críticos en la recta real. En una racional se separan ceros del numerador y ceros del denominador: los del denominador nunca se incluyen.
Resuelve \(\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 1} <= 0\).
Factorizamos y colocamos los puntos críticos en la recta real. En una racional se separan ceros del numerador y ceros del denominador: los del denominador nunca se incluyen.
Problemas
Un rectángulo tiene un lado \(x+3\) y otro lado \(x-2\). Su área es \(40\). Halla sus dimensiones.
Planteamos el área como producto de los lados. Después resolvemos la ecuación y descartamos el valor que no da longitudes positivas.
El producto de dos números enteros consecutivos es \(72\). Halla los números.
Llamamos \(x\) al menor. El siguiente es \(x+1\). La ecuación sale de traducir producto igual a 72.
La expresión \(\dfrac{x+2}{x-1}\) vale \(3\). Halla \(x\) y comprueba la restricción.
Primero anotamos que \(x\neq1\). Después multiplicamos por \(x-1\), que es válido siempre que no sea cero.
La suma de un número y su inverso es \(\dfrac{5}{2}\). Halla el número.
Llamamos \(x\) al número y recordamos que \(x\neq0\). Multiplicamos por \(2x\) para quitar denominadores.
Simulacro final tipo examen
Este simulacro sirve para comprobar si el bloque está realmente dominado. Lo razonable es hacerlo sin mirar las soluciones y después corregir con calma.
Parte A
Factoriza \(x^4-10x^2+9\), \(2x^3-3x^2-8x+12\) y \(x^3+x^2-4x-4\).
Parte B
Simplifica \(\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3-7x^2+16x-12}\) y \(1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\).
Parte C
Resuelve \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1}\leq0\).
Parte D
Desarrolla \((2x-3)^5\) usando el binomio de Newton.
Corrección orientativa: si el alumno falla en factorización, no debe seguir con fracciones algebraicas todavía. Si falla solo en inecuaciones, el problema suele estar en la tabla de signos, no en el álgebra previa.
Recursos relacionados para seguir estudiando
Este bloque conecta muy bien con funciones, sistemas y preparación de Bachillerato. Si la base algebraica está floja, conviene reforzarla antes de entrar a temas más largos.
Sistemas
Sistemas de ecuaciones resueltos
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Cuando el álgebra se ordena, 1 Bachillerato cambia mucho
Muchos alumnos no necesitan hacer más ejercicios sin sentido; necesitan corregir el método. En Marlu Educativa trabajamos el álgebra con explicación, práctica y revisión de errores para que el alumno sepa qué está haciendo y por qué.
Autor
Recurso preparado por José María, Marlu Educativa, con enfoque de clase real: explicación paso a paso, ejercicios corregidos y atención especial a los errores que más se repiten en 1 Bachillerato.
Preguntas frecuentes
¿Qué entra en álgebra de 1 Bachillerato?
Normalmente entran polinomios, productos notables, factorización, Ruffini, teorema del resto, teorema del factor, fracciones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones y binomio de Newton.
¿Por qué son tan importantes las fracciones algebraicas?
Porque aparecen después en funciones racionales, límites, derivadas, problemas y simplificaciones. Si se cancelan mal factores o se olvidan restricciones, el error se arrastra.
¿Cuándo se puede usar Ruffini?
Se usa directamente cuando el divisor es de la forma \(x-a\). Si el divisor no tiene esa forma, hay que transformar o hacer división de polinomios.
¿Cómo se estudian las inecuaciones racionales?
Se factoriza, se colocan ceros y valores prohibidos en una recta real, se estudian signos por intervalos y se elige la parte que cumple la desigualdad.