¿Los problemas finales son universitarios?

Sí. Los quince problemas finales combinan varios apartados y exigen justificar dominio, orden, coordenadas y resultado.

Marlu Educativa, Matemática

Integrales dobles y triples en Universidad con 62 ejercicios resueltos

Q: ¿Por qué aparece un factor r en polares?

Porque el elemento de área polar es r dr dθ; r es el jacobiano del cambio.

Publicado por

Marlu Educativa

julio 29, 2026

el julio 29, 2026

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Cálculo universitario · Integración múltiple

Integrales dobles y triples, cambio de variables y aplicaciones con 62 ejercicios resueltos

Una integral múltiple no empieza cuando aparece el símbolo de integral. Empieza al entender el recinto, elegir coordenadas y decidir un orden que no complique innecesariamente el cálculo. Este recurso desarrolla ese razonamiento desde las primeras integrales iteradas hasta problemas completos con jacobianos, coordenadas cilíndricas y esféricas.

62 ejercicios resueltos

15 problemas finales de examen

2D y 3D recintos y sólidos

Universidad Ciencias e Ingeniería

Ver índice

Este recurso comienza donde termina Bachillerato. En Marlu Educativa ya existe un recurso de integrales para 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU, centrado en primitivas, cambio de variable, integración por partes, racionales y áreas entre funciones. Aquí el temario es universitario: dominios en el plano, integrales dobles y triples, cambio de orden, coordenadas polares, jacobianos, coordenadas cilíndricas y esféricas.

1. Qué cambia al pasar a varias variables

En una integral de una variable se recorre un intervalo. En una integral doble se recorre una región del plano y en una integral triple, un sólido. La dificultad principal deja de ser únicamente encontrar una primitiva: hay que traducir una figura a desigualdades y escoger la descripción más útil.

El dominio manda Los límites de integración deben describir todos los puntos de la región una sola vez.

El orden es una decisión Dos órdenes pueden ser correctos, pero uno puede ahorrar una división del recinto o evitar una primitiva imposible.

El jacobiano no es decorativo Al cambiar de coordenadas se transforma también el elemento de área o volumen.

Fubini convierte una integral doble en integrales sucesivas sobre rebanadas del dominio.

2. Cómo describir un dominio sin perderse

Una región de tipo I se recorre con rebanadas verticales: \(a\le x\le b\) y \(g_1(x)\le y\le g_2(x)\). Una región de tipo II se recorre con rebanadas horizontales: \(c\le y\le d\) y \(h_1(y)\le x\le h_2(y)\).

\[D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\]

\[D=\{(x,y):c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}\]

Antes de integrar hay que decidir si el recinto se describe mejor con rebanadas verticales o horizontales.

Una costumbre útil: antes de escribir una integral, marca los puntos de corte y dibuja una rebanada. Esa línea pequeña suele revelar qué función es frontera inferior, cuál es superior y si el dominio necesita dividirse.

3. Fubini e integrales iteradas

Cuando la función es integrable y el dominio está bien descrito, el teorema de Fubini permite calcular una integral doble como dos integrales sucesivas. La variable interior se integra primero y la exterior después.

\[\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\left[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx\]

En un rectángulo puede elegirse cualquiera de los órdenes. En dominios curvos, el dibujo decide qué límites dependen de la otra variable.

4. Cuándo conviene cambiar el orden

Cambiar el orden no es un trámite mecánico. Se hace para simplificar límites, evitar partir el dominio o convertir una integral sin primitiva elemental en otra manejable. El procedimiento fiable es:

Dibujar el dominio original.
Identificar el rango completo de la nueva variable exterior.
Recorrer el recinto con rebanadas del nuevo tipo.
Comprobar si cambia alguna frontera; si cambia, dividir el dominio.
Reescribir la integral y solo entonces calcular.

5. Coordenadas polares y cambio de variables

Las coordenadas polares son naturales cuando aparecen discos, coronas, sectores o expresiones como \(x^2+y^2\). La transformación es

\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta\]

En coordenadas polares, el factor r del jacobiano es parte esencial del elemento de área.

En un cambio general \(x=x(u,v)\), \(y=y(u,v)\), el elemento de área se transforma mediante el valor absoluto del jacobiano:

\[dA=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv\]

Comprobación dimensional: si el cambio estira una dirección por un factor y otra por otro factor, el jacobiano debe reflejar el cambio de área. Olvidarlo altera todo el resultado.

6. Áreas, volúmenes, masas y valores medios

Magnitud	Expresión	Lectura
Área	\(A=\iint_D1\,dA\)	Suma elementos de área.
Volumen bajo \(z=f(x,y)\)	\(V=\iint_Df(x,y)\,dA\)	Requiere \(f\ge0\) o usar diferencia entre superficies.
Masa	\(M=\iint_D\delta(x,y)\,dA\)	Integra una densidad superficial.
Valor medio	\(f_{med}=\dfrac1{A(D)}\iint_Df\,dA\)	Promedio espacial sobre la región.
Centro de masa	\(\bar x=\dfrac1M\iint_Dx\delta\,dA\)	La fórmula de \(\bar y\) es análoga.

7. Integrales triples: describir un sólido

Una integral triple suma sobre un volumen. En coordenadas cartesianas, uno de los órdenes posibles es

\[\iiint_E f(x,y,z)\,dV=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx\]

La integral interior recorre la altura del sólido; las dos exteriores recorren su proyección sobre el plano \(xy\). En otros órdenes, la proyección cambia y también pueden cambiar las fronteras.

8. Coordenadas cilíndricas y esféricas

Las coordenadas cilíndricas combinan polares en el plano con la altura \(z\):

\[x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dz\,dr\,d\theta\]

Las coordenadas cilíndricas son especialmente eficaces cuando el sólido gira alrededor del eje z.

Las esféricas resultan adecuadas para bolas, casquetes y conos con vértice en el origen:

\[x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi\]

\[dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\]

En esféricas, ρ mide la distancia al origen y φ el ángulo respecto del eje z.

Geometría dominante	Coordenadas que suelen convenir
Rectas, planos, cajas, tetraedros	Cartesianas
Discos, cilindros, paraboloides de revolución	Polares o cilíndricas
Esferas, conos y simetría radial tridimensional	Esféricas
Elipses o rombos definidos por combinaciones lineales	Cambio adaptado con jacobiano

9. Cómo presentar un problema de examen

En un examen universitario no basta con llegar al número final. Una solución sólida suele contener cuatro decisiones visibles:

1. Geometría Puntos de corte, dibujo y orientación de las rebanadas.

2. Límites Desigualdades coherentes con el dominio y el orden elegido.

3. Transformación Coordenadas, jacobiano y nuevos límites, si hay cambio.

4. Interpretación Unidad, signo, simetría y sentido del resultado.

Los 15 problemas finales siguen precisamente esa estructura, con varios apartados y un desarrollo más próximo al que se exige en una prueba escrita.

10. Cuarenta y siete ejercicios progresivos

Los primeros ejercicios fijan el lenguaje y la lectura del dominio. Después aparecen cambio de orden, polares, jacobianos y aplicaciones. La dificultad aumenta de forma gradual para que cada bloque prepare el siguiente.

Integral iterada sobre un rectángulo

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^2\int_0^1 (x+2y)\,dy\,dx\).

En un rectángulo, los límites son independientes. Empezamos por la variable interior, que es \(y\).

\[\int_0^1(x+2y)\,dy=\left[xy+y^2\right]_0^1=x+1\]

Ahora queda una integral ordinaria en \(x\):

\[I=\int_0^2(x+1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2=4\]

\(I=4\).

Producto separable en un rectángulo

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^1\int_0^2 xy\,dx\,dy\).

La función es un producto de una parte que depende de \(x\) y otra que depende de \(y\). Puede integrarse directamente:

\[\int_0^2xy\,dx=y\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=2y\]

\[I=\int_0^1 2y\,dy=\left[y^2\right]_0^1=1\]

\(I=1\).

Simetría y potencias

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\int_0^2(x^2+y)\,dy\,dx\).

Integramos primero respecto de \(y\):

\[\int_0^2(x^2+y)\,dy=2x^2+2\]

La función resultante es par, de modo que también podría integrarse de \(0\) a \(1\) y duplicar. Haciendo la cuenta completa:

\[I=\int_{-1}^{1}(2x^2+2)\,dx=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}\]

\(I=16/3\).

Integral separable con exponencial y trigonometría

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^{\ln 2}\int_0^{\pi/2}e^x\cos y\,dy\,dx\).

Como el dominio es rectangular y el integrando es separable, el cálculo puede verse como el producto de dos integrales:

\[I=\left(\int_0^{\ln 2}e^x\,dx\right)\left(\int_0^{\pi/2}\cos y\,dy\right)\]

\[I=(2-1)(1-0)=1\]

\(I=1\).

Primer dominio triangular

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx\).

Los límites describen el triángulo \(x\ge 0\), \(y\ge0\), \(x+y\le1\). La altura de la rebanada vertical es \(1-x\).

\[\int_0^{1-x}(x+y)\,dy=x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2}=\frac{1-x^2}{2}\]

\[I=\frac12\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac13\]

\(I=1/3\).

Región por encima de la recta \(y=x\)

Base

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^1\int_x^1 y\,dy\,dx\).

El dominio es el triángulo situado por encima de \(y=x\) dentro del cuadrado unidad.

\[\int_x^1y\,dy=\frac{1-x^2}{2}\]

\[I=\frac12\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac13\]

\(I=1/3\).

Área de un cuarto de disco

Base

Enunciado. Utiliza una integral doble para hallar el área de \(D=\{(x,y):x\ge0, y\ge0, x^2+y^2\le1\}\).

Con rebanadas verticales, para cada \(x\in[0,1]\) la coordenada \(y\) va desde \(0\) hasta la semicircunferencia \(\sqrt{1-x^2}\).

\[A=\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}1\,dy\,dx=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx\]

Además de reconocer el cuarto de círculo, puede evaluarse la integral:

\[A=\left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac12\arcsin x\right]_0^1=\frac{\pi}{4}\]

\(A=\pi/4\).

Valor medio sobre un rectángulo

Base

Enunciado. Halla el valor medio de \(f(x,y)=x^2+y^2\) en \(R=[0,1]\times[0,2]\).

El valor medio de una función sobre una región es la integral dividida por el área. Aquí \(A(R)=2\).

\[\iint_R(x^2+y^2)\,dA=\int_0^1\int_0^2(x^2+y^2)\,dy\,dx=\frac{10}{3}\]

\[f_{\mathrm{medio}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}=\frac53\]

El valor medio es \(5/3\).

Área entre una recta y una parábola

Regiones

Enunciado. Calcula el área comprendida entre \(y=x\) y \(y=x^2\).

Los puntos de corte satisfacen \(x=x^2\), por lo que \(x=0\) o \(x=1\). En ese intervalo, la recta queda arriba.

\[A=\int_0^1\int_{x^2}^{x}1\,dy\,dx=\int_0^1(x-x^2)\,dx\]

\[A=\frac12-\frac13=\frac16\]

\(A=1/6\).

Integrar una diferencia sobre un triángulo

Regiones

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_D(x-y)\,dA\), donde \(D=\{0\le y\le x\le2\}\).

Escribimos directamente el dominio como \(0\le x\le2\) y \(0\le y\le x\).

\[I=\int_0^2\int_0^x(x-y)\,dy\,dx\]

\[\int_0^x(x-y)\,dy=x^2-\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}\]

\[I=\frac12\int_0^2x^2\,dx=\frac43\]

\(I=4/3\).

Parábola frente a recta

Regiones

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_D(x+y)\,dA\), siendo \(D\) la región limitada por \(y=x^2\) y \(y=2x\).

Las curvas se cortan cuando \(x^2=2x\): \(x=0\) y \(x=2\). La recta queda por encima de la parábola.

\[I=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(x+y)\,dy\,dx\]

\[\int_{x^2}^{2x}(x+y)\,dy=2x^2-x^3+2x^2-\frac{x^4}{2}=4x^2-x^3-\frac{x^4}{2}\]

\[I=\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{10}\right]_0^2=\frac{52}{15}\]

\(I=52/15\).

Área bajo una recta horizontal y sobre una parábola

Regiones

Enunciado. Halla el área limitada por \(y=4\) y \(y=x^2\).

Los cortes se producen en \(x=\pm2\). La altura del recinto es \(4-x^2\).

\[A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\]

\(A=32/3\).

Región de tipo II

Regiones

Enunciado. Halla el área delimitada por \(x=y^2\) y \(x=2y\).

Los cortes salen de \(y^2=2y\): \(y=0\) y \(y=2\). Para una altura fija, la frontera izquierda es \(x=y^2\) y la derecha \(x=2y\).

\[A=\int_0^2\int_{y^2}^{2y}1\,dx\,dy=\int_0^2(2y-y^2)\,dy=\frac43\]

\(A=4/3\).

Momento respecto del eje y en una región de tipo II

Regiones

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_D x\,dA\), donde \(D\) está delimitada por \(x=y^2\) y \(x=2y\).

Usamos la descripción horizontal del ejercicio anterior:

\[I=\int_0^2\int_{y^2}^{2y}x\,dx\,dy\]

\[I=\frac12\int_0^2(4y^2-y^4)\,dy=\frac12\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{32}{15}\]

\(I=32/15\).

Dos parábolas vistas horizontalmente

Regiones

Enunciado. Halla el área comprendida entre \(x=y^2\) y \(x=2-y\).

Los puntos de corte satisfacen \(y^2=2-y\), es decir, \(y=1\) y \(y=-2\). En ese intervalo, \(2-y\) queda a la derecha.

\[A=\int_{-2}^{1}\int_{y^2}^{2-y}1\,dx\,dy=\int_{-2}^{1}(2-y-y^2)\,dy=\frac92\]

\(A=9/2\).

Cambiar una descripción vertical por otra horizontal

Cambio de orden

Enunciado. La región viene dada por \(0\le x\le1\) y \(x^2\le y\le\sqrt{x}\). Escríbela con \(y\) como variable exterior y calcula su área.

De \(x^2\le y\) se obtiene \(x\le\sqrt y\), y de \(y\le\sqrt x\) se obtiene \(x\ge y^2\). Como ambas curvas van de \(0\) a \(1\), la nueva descripción es

\[0\le y\le1,\qquad y^2\le x\le\sqrt y\]

\[A=\int_0^1(\sqrt y-y^2)\,dy=\frac23-\frac13=\frac13\]

\(D=\{0\le y\le 1,\ y^2\le x\le\sqrt y\}\) y \(A=1/3\).

Cambiar el orden para evitar una primitiva no elemental

Cambio de orden

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx\).

Integrar \(e^{y^2}\) respecto de \(y\) no da una primitiva elemental. El dominio es \(0\le x\le y\le1\), de modo que conviene invertir el orden:

\[I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1y e^{y^2}\,dy\]

\[I=\frac12\left[e^{y^2}\right]_0^1=\frac{e-1}{2}\]

\(I=(e-1)/2\).

La misma región con dos órdenes distintos

Cambio de orden

Enunciado. Calcula el área encerrada entre \(y=x\) y \(y=\sqrt{x}\) en el cuadrado unidad, escribiendo la integral con \(x\) como variable interior.

En forma vertical sería \(0\le x\le1\), \(x\le y\le\sqrt{x}\). Al despejar, para cada \(y\in[0,1]\) se tiene \(y^2\le x\le y\).

\[A=\int_0^1\int_{y^2}^{y}1\,dx\,dy=\int_0^1(y-y^2)\,dy=\frac16\]

\(A=1/6\).

Región entre una parábola y una recta

Cambio de orden

Enunciado. La región está limitada por \(y=x^2/2\) y \(y=x\) entre sus cortes. Cambia el orden y calcula el área.

Las curvas se cortan en \(x=0\) y \(x=2\). Los valores de \(y\) van de \(0\) a \(2\). De \(y\le x\) resulta \(x\ge y\); de \(y\ge x^2/2\), en el primer cuadrante, \(x\le\sqrt{2y}\).

\[A=\int_0^2\int_y^{\sqrt{2y}}1\,dx\,dy=\int_0^2(\sqrt{2y}-y)\,dy=\frac23\]

\(A=2/3\).

Aprovechar la simetría al invertir el orden

Cambio de orden

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{1}x^2\,dy\,dx\) cambiando el orden.

La región está por encima de \(y=x^2\) y por debajo de \(y=1\). Horizontalmente, \(0\le y\le1\) y \(-\sqrt y\le x\le\sqrt y\).

\[I=\int_0^1\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}x^2\,dx\,dy\]

\[I=\int_0^1\frac{2}{3}y^{3/2}\,dy=\frac{4}{15}\]

\(I=4/15\).

Semicírculo desplazado

Cambio de orden

Enunciado. La región viene dada por \(0\le x\le2\) y \(0\le y\le\sqrt{2x-x^2}\). Interpreta el recinto y calcula su área.

Completamos cuadrados: \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). Es el semicírculo superior de radio \(1\) y centro \((1,0)\).

\[A=\frac12\pi\cdot1^2=\frac\pi2\]

En orden inverso sería \(0\le y\le1\) y \(1-\sqrt{1-y^2}\le x\le1+\sqrt{1-y^2}\).

\(A=\pi/2\).

Un cambio de orden que obliga a dividir el dominio

Cambio de orden

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_Dx\,dA\), donde \(D\) está limitada por \(y=x^2\) y \(y=2-x\), utilizando rebanadas horizontales.

Las curvas se cortan en \(x=-2\) y \(x=1\). El nivel \(y=1\) es donde la frontera derecha cambia. Por eso el dominio horizontal se divide:

\[\begin{aligned}0\le y\le1 &: -\sqrt y\le x\le\sqrt y,\\ 1\le y\le4 &: -\sqrt y\le x\le2-y.\end{aligned}\]

\[I=\int_0^1\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}x\,dx\,dy+\int_1^4\int_{-\sqrt y}^{2-y}x\,dx\,dy\]

La primera integral es cero por simetría. La segunda vale \(-9/4\).

\(I=-9/4\).

Área de un disco con polares

Polares

Enunciado. Calcula el área del disco \(x^2+y^2\le4\) mediante coordenadas polares.

En polares, el disco se describe con \(0\le r\le2\) y \(0\le\theta\le2\pi\). El elemento de área es \(dA=r\,dr\,d\theta\).

\[A=\int_0^{2\pi}\int_0^2 r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot2=4\pi\]

\(A=4\pi\).

Integral radial sobre el disco unidad

Polares

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2)\,dA\).

La función radial se convierte en \(r^2\), y el jacobiano añade otro factor \(r\).

\[I=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2\]

\(I=\pi/2\).

Una corona circular y un integrando singular fuera del origen

Polares

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dA\), donde \(1\le x^2+y^2\le9\).

La región es una corona con \(1\le r\le3\). El origen no pertenece al dominio, de modo que el integrando no causa problema.

\[I=\int_0^{2\pi}\int_1^3\frac{1}{r^2}r\,dr\,d\theta=2\pi\int_1^3\frac{dr}{r}=2\pi\ln3\]

\(I=2\pi\ln3\).

Momento sobre un cuarto de disco

Polares

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_Dx\,dA\), siendo \(D\) el cuarto de disco \(x^2+y^2\le4\) del primer cuadrante.

En el primer cuadrante, \(0\le\theta\le\pi/2\). Además, \(x=r\cos\theta\).

\[I=\int_0^{\pi/2}\int_0^2(r\cos\theta)r\,dr\,d\theta\]

\[I=\left(\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^2r^2\,dr\right)=\frac83\]

\(I=8/3\).

Región descrita directamente en polares

Polares

Enunciado. Halla el área de \(D=\{(r,\theta):0\le\theta\le\pi/3,\ 0\le r\le2\cos\theta\}\).

La fórmula de área en polares es \(A=\int\int r\,dr\,d\theta\).

\[A=\frac12\int_0^{\pi/3}(2\cos\theta)^2\,d\theta=2\int_0^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta\]

\[A=\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{4}\]

\(A=\pi/3+\sqrt3/4\).

Potencia de y sobre una corona

Polares

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_Dy^2\,dA\), donde \(D\) es la corona \(1\le r\le2\).

En polares, \(y=r\sin\theta\), por lo que \(y^2=r^2\sin^2\theta\).

\[I=\int_0^{2\pi}\int_1^2r^3\sin^2\theta\,dr\,d\theta\]

\[I=\left(\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right)\left(\int_1^2r^3\,dr\right)=\pi\cdot\frac{15}{4}=\frac{15\pi}{4}\]

\(I=15\pi/4\).

Gaussiana truncada en el disco unidad

Polares

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_{x^2+y^2\le1}e^{-(x^2+y^2)}\,dA\).

La simetría radial hace que polares sea la elección natural:

\[I=\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\]

\[I=2\pi\left[-\frac12e^{-r^2}\right]_0^1=\pi(1-e^{-1})\]

\(I=\pi(1-e^{-1})\).

Volumen bajo un paraboloide

Polares

Enunciado. Halla el volumen bajo \(z=4-x^2-y^2\) y sobre el plano \(z=0\).

La superficie corta al plano cuando \(x^2+y^2=4\), es decir, sobre el disco de radio \(2\).

\[V=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta\]

\[V=2\pi\left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2=8\pi\]

\(V=8\pi\).

Área interior de una cardioide

Polares

Enunciado. Halla el área encerrada por \(r=1+\cos\theta\).

Para una curva polar \(r=f(\theta)\), el área interior es \(\frac12\int r^2\,d\theta\). La cardioide se recorre una vez entre \(0\) y \(2\pi\).

\[A=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta\]

\[A=\frac12(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}\]

\(A=3\pi/2\).

Cambio lineal con jacobiano

Jacobianos

Enunciado. Usa \(u=x+y\), \(v=x-y\) para calcular \(\displaystyle I=\iint_D(x+y)\,dA\), donde \(D\) corresponde a \(0\le u\le2\), \(0\le v\le1\).

Resolviendo el sistema, \(x=(u+v)/2\), \(y=(u-v)/2\). El jacobiano absoluto es

\[\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac12\]

Además, \(x+y=u\). Por tanto:

\[I=\int_0^2\int_0^1u\cdot\frac12\,dv\,du=\frac12\int_0^2u\,du=1\]

\(I=1\).

Área de una elipse mediante escala

Jacobianos

Enunciado. Calcula el área de \(x^2/4+y^2/9\le1\) mediante el cambio \(x=2u\), \(y=3v\).

El cambio transforma la elipse en el disco unidad \(u^2+v^2\le1\). El jacobiano vale \(|J|=6\).

\[A=\iint_{u^2+v^2\le1}6\,du\,dv=6\pi\]

\(A=6\pi\).

Integral radial sobre una elipse

Jacobianos

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\iint_D\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\right)dA\), donde \(D:x^2/4+y^2/9\le1\).

Con \(x=2r\cos\theta\), \(y=3r\sin\theta\), el integrando se convierte en \(r^2\) y el jacobiano en \(6r\).

\[I=\int_0^{2\pi}\int_0^1 6r^3\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac{6}{4}=3\pi\]

\(I=3\pi\).

Masa de una lámina rectangular

Aplicaciones

Enunciado. Una lámina ocupa \(0\le x\le1\), \(0\le y\le2\) y tiene densidad \(\delta(x,y)=1+x+y\). Calcula su masa.

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la región:

\[M=\int_0^1\int_0^2(1+x+y)\,dy\,dx\]

\[M=\int_0^1(4+2x)\,dx=5\]

La masa es \(5\) unidades de masa.

Centroide de un triángulo uniforme

Aplicaciones

Enunciado. Halla el centroide del triángulo \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le1\).

El área es \(A=1/2\). Por simetría respecto de \(y=x\), se cumple \(\bar x=\bar y\).

\[\bar x=\frac1A\int_0^1\int_0^{1-x}x\,dy\,dx=2\int_0^1x(1-x)\,dx=\frac13\]

La misma cuenta, o la simetría, da \(\bar y=1/3\).

El centroide es \((1/3,1/3)\).

Masa de un disco con densidad radial

Aplicaciones

Enunciado. Un disco de radio \(R\) tiene densidad \(\delta(r)=kr\). Calcula su masa.

En polares, la densidad es \(kr\) y el elemento de área aporta otro factor \(r\).

\[M=\int_0^{2\pi}\int_0^R kr^2\,dr\,d\theta=2\pi k\frac{R^3}{3}\]

\(M=2\pi kR^3/3\).

Momento de inercia de un disco homogéneo

Aplicaciones

Enunciado. Calcula el momento de inercia respecto del eje perpendicular al disco que pasa por su centro, para un disco de radio \(a\) y densidad superficial constante \(\rho\).

La distancia al eje es \(r\), por lo que el momento de inercia es \(I_z=\iint r^2\rho\,dA\).

\[I_z=\int_0^{2\pi}\int_0^a\rho r^3\,dr\,d\theta=\frac{\pi\rho a^4}{2}\]

\(I_z=\pi\rho a^4/2\).

Temperatura media sobre un disco

Aplicaciones

Enunciado. La temperatura en el disco unidad es \(T(x,y)=20+x^2+y^2\). Halla la temperatura media.

El área del disco es \(\pi\). En polares:

\[\iint_DT\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^1(20+r^2)r\,dr\,d\theta=\frac{41\pi}{2}\]

\[T_{\mathrm{media}}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{41\pi}{2}=\frac{41}{2}\]

La temperatura media es \(20{,}5\).

Probabilidad sobre un triángulo

Aplicaciones

Enunciado. En el cuadrado unidad, la densidad conjunta es \(f(x,y)=x+y\). Calcula \(P(X+Y\le1)\).

Primero comprobamos que la densidad está normalizada: \(\int_0^1\int_0^1(x+y)\,dy\,dx=1\).

El suceso \(X+Y\le1\) es el triángulo bajo la recta \(y=1-x\):

\[P=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx=\frac13\]

\(P(X+Y\le1)=1/3\).

Volumen entre un plano y una región triangular

Aplicaciones

Enunciado. Halla el volumen comprendido entre \(z=4\) y \(z=x+y\) sobre el triángulo \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le2\).

La altura del sólido es \(4-(x+y)\), siempre positiva en el triángulo.

\[V=\int_0^2\int_0^{2-x}(4-x-y)\,dy\,dx=\frac{16}{3}\]

\(V=16/3\).

Centro de masa con densidad proporcional a x

Aplicaciones

Enunciado. Una lámina ocupa \(0\le x\le a\), \(0\le y\le b\) y tiene densidad \(\delta=x\). Halla su centro de masa.

La masa es \(M=\int_0^a\int_0^b x\,dy\,dx=ba^2/2\).

\[\bar x=\frac{\int_0^a\int_0^b x\,\delta\,dy\,dx}{M}=\frac{ba^3/3}{ba^2/2}=\frac{2a}{3}\]

La densidad no depende de \(y\), así que la distribución es simétrica respecto de la recta \(y=b/2\). También puede comprobarse directamente:

\[\bar y=\frac{\int_0^a\int_0^b yx\,dy\,dx}{M}=\frac{a^2b^2/4}{ba^2/2}=\frac b2\]

\((\bar x,\bar y)=(2a/3,b/2)\).

Concentración media radial

Aplicaciones

Enunciado. En el disco unidad, la concentración es \(C(r)=e^{-r^2}\). Calcula la concentración media.

En polares, el radio recorre \(0\le r\le1\) y el ángulo una vuelta completa:

\[\iint_D C\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=\pi(1-e^{-1})\]

Como el área del disco es \(\pi\), dividimos la cantidad total entre el área.

\(C_{\mathrm{media}}=1-e^{-1}\).

Masa de una corona con densidad inversa al radio

Aplicaciones

Enunciado. Una lámina ocupa la corona \(1\le r\le2\) y tiene densidad \(\delta(r)=1/r\). Calcula su masa.

El factor \(1/r\) de la densidad se cancela con el \(r\) del jacobiano polar:

\[M=\int_0^{2\pi}\int_1^2\frac1r\,r\,dr\,d\theta=2\pi(2-1)=2\pi\]

\(M=2\pi\).

Volumen bajo \(z=xy\) sobre un triángulo

Aplicaciones

Enunciado. Calcula el volumen bajo \(z=xy\) sobre \(D=\{0\le y\le x\le1\}\).

En este triángulo \(xy\ge0\), por lo que la integral representa directamente un volumen.

\[V=\int_0^1\int_0^xxy\,dy\,dx=\int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx=\frac18\]

\(V=1/8\).

Masa bajo una parábola con densidad vertical

Aplicaciones

Enunciado. La lámina está limitada por \(y=1-x^2\) y el eje \(x\), con densidad \(\delta(x,y)=y\). Calcula la masa.

El recinto va de \(x=-1\) a \(x=1\), y para cada \(x\), \(0\le y\le1-x^2\).

\[M=\int_{-1}^{1}\int_0^{1-x^2}y\,dy\,dx=\frac12\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx=\frac{8}{15}\]

\(M=8/15\).

Valor medio de x sobre un semidisco

Aplicaciones

Enunciado. Halla el valor medio de \(f(x,y)=x\) sobre el semidisco derecho \(x^2+y^2\le1\), \(x\ge0\).

En polares, \(-\pi/2\le\theta\le\pi/2\) y \(0\le r\le1\). El área del semidisco es \(\pi/2\).

\[\iint_Dx\,dA=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^1r^2\cos\theta\,dr\,d\theta=\frac23\]

\[f_{\mathrm{medio}}=\frac{2/3}{\pi/2}=\frac{4}{3\pi}\]

El valor medio es \(4/(3\pi)\).

11. Quince problemas finales tipo examen universitario

Estos problemas son más largos y combinan dibujo, elección de coordenadas, cambio de orden, cálculo e interpretación. Están pensados para Biología, Geología, Ciencias Ambientales, Bioquímica, Química, Ingeniería y otros primeros cursos con Cálculo de varias variables.

Examen 1. Región parabólica, dos órdenes e integral completa

Tipo examen

Enunciado. La región \(D\) está limitada por \(y=x^2\) y \(y=2x\). a) Dibuja el recinto y halla los puntos de corte. b) Escríbelo en los dos órdenes de integración. c) Calcula \(\displaystyle I=\iint_D(x+2y)\,dA\).

Los cortes se obtienen de \(x^2=2x\): \(x=0\) y \(x=2\), con puntos \((0,0)\) y \((2,4)\). Entre ellos, la recta queda por encima de la parábola.

\[D=\{0\le x\le2,\ x^2\le y\le2x\}\]

Para invertir el orden, \(y\) recorre \([0,4]\). De \(y\le2x\) sale \(x\ge y/2\), y de \(x^2\le y\), en el primer cuadrante, \(x\le\sqrt y\):

\[D=\{0\le y\le4,\ y/2\le x\le\sqrt y\}\]

Calculamos con el orden vertical:

\[I=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(x+2y)\,dy\,dx\]

\[I=\int_0^2\left(2x^2-x^3+4x^2-x^4\right)dx=\int_0^2(6x^2-x^3-x^4)dx=\frac{28}{5}\]

Los dos órdenes son los indicados y \(I=28/5\).

Examen 2. Cambio de orden imprescindible

Tipo examen

Enunciado. Calcula \(\displaystyle I=\int_0^1\int_{x^{1/3}}^1 e^{y^4}\,dy\,dx\). Justifica por qué conviene invertir el orden.

La integral interior original exigiría una primitiva de \(e^{y^4}\), que no es elemental. El dominio cumple \(0\le x\le1\) y \(x^{1/3}\le y\le1\). La desigualdad \(x^{1/3}\le y\) equivale a \(x\le y^3\).

\[D=\{0\le y\le1,\ 0\le x\le y^3\}\]

\[I=\int_0^1\int_0^{y^3}e^{y^4}\,dx\,dy=\int_0^1y^3e^{y^4}\,dy\]

Con \(u=y^4\), \(du=4y^3dy\):

\[I=\frac14\int_0^1e^u\,du=\frac{e-1}{4}\]

\(I=(e-1)/4\). El cambio de orden convierte una integral no elemental en una sustitución inmediata.

Examen 3. Disco desplazado en coordenadas polares

Tipo examen

Enunciado. Sea \(D\) el disco \(x^2+y^2\le2x\). a) Describe \(D\) en polares. b) Calcula su área. c) Calcula \(\displaystyle J=\iint_D(x^2+y^2)\,dA\).

La ecuación se escribe \(r^2\le2r\cos\theta\), por lo que \(0\le r\le2\cos\theta\). Para que el radio superior sea no negativo, \(-\pi/2\le\theta\le\pi/2\). Geométricamente es el disco de centro \((1,0)\) y radio \(1\).

\[A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r\,dr\,d\theta=\pi\]

Para \(J\), el integrando es \(r^2\):

\[J=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta=4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta=\frac{3\pi}{2}\]

\(A=\pi\) y \(J=3\pi/2\).

Examen 4. Elipse y cambio de variables adaptado

Tipo examen

Enunciado. En la elipse \(D:x^2/4+y^2/9\le1\), calcula \(\displaystyle I=\iint_D\left(1+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\right)dA\) mediante un cambio de variables.

El cambio natural es \(x=2u\), \(y=3v\). Transforma la elipse en \(u^2+v^2\le1\) y tiene jacobiano absoluto \(6\).

\[I=6\iint_{u^2+v^2\le1}(1+u^2+v^2)\,du\,dv\]

Pasando después a polares en el plano \(uv\):

\[I=6\int_0^{2\pi}\int_0^1(1+r^2)r\,dr\,d\theta\]

\[I=12\pi\left[\frac{r^2}{2}+\frac{r^4}{4}\right]_0^1=9\pi\]

\(I=9\pi\).

Examen 5. Lámina triangular con densidad variable

Tipo examen

Enunciado. Una lámina ocupa \(D=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le1\}\) y tiene densidad \(\delta=x+y\). Calcula la masa y el centro de masa.

La masa es

\[M=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx=\frac13\]

Por simetría del dominio y de la densidad respecto de \(y=x\), se cumple \(\bar x=\bar y\). Calculamos uno de los numeradores:

\[\iint_Dx\delta\,dA=\int_0^1\int_0^{1-x}x(x+y)\,dy\,dx=\frac18\]

\[\bar x=\frac{1/8}{1/3}=\frac38,\qquad \bar y=\frac38\]

\(M=1/3\) y el centro de masa es \((3/8,3/8)\).

Examen 6. Densidad conjunta sobre un triángulo

Tipo examen

Enunciado. En \(D=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le1\}\), una densidad conjunta tiene la forma \(f(x,y)=c(x+2y)\). a) Halla \(c\). b) Calcula \(P(X\le Y)\). c) Calcula \(E[X]\).

La normalización exige

\[1=c\int_0^1\int_0^{1-x}(x+2y)\,dy\,dx=c\cdot\frac12\]

Por tanto, \(c=2\). Para el suceso \(X\le Y\), la recta \(x=y\) corta a \(x+y=1\) en \((1/2,1/2)\), por lo que conviene dividir según \(y\):

\[P(X\le Y)=2\left[\int_0^{1/2}\int_0^y(x+2y)\,dx\,dy+\int_{1/2}^{1}\int_0^{1-y}(x+2y)\,dx\,dy\right]=\frac{7}{12}\]

Finalmente:

\[E[X]=2\int_0^1\int_0^{1-x}x(x+2y)\,dy\,dx=\frac13\]

\(c=2\), \(P(X\le Y)=7/12\) y \(E[X]=1/3\).

Examen 7. Tetraedro estándar

Tipo examen

Enunciado. Sea \(E=\{x,y,z\ge0,\ x+y+z\le1\}\). a) Escribe una integral triple para su volumen. b) Calcula \(\displaystyle I=\iiint_E(x+y+z)\,dV\).

Una descripción cartesiana es \(0\le x\le1\), \(0\le y\le1-x\), \(0\le z\le1-x-y\).

\[V=\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx=\frac16\]

El tetraedro es simétrico en \(x,y,z\). Su centroide es \((1/4,1/4,1/4)\), de modo que \(\iiint_E x\,dV=V/4=1/24\), y lo mismo para \(y\) y \(z\).

\[I=3\cdot\frac{1}{24}=\frac18\]

\(V=1/6\) e \(I=1/8\).

Examen 8. Sólido bajo un paraboloide y altura media

Tipo examen

Enunciado. El sólido \(E\) está limitado por \(z=4-x^2-y^2\) y \(z=0\). a) Calcula su volumen. b) Halla la coordenada \(\bar z\) de su centroide.

En cilíndricas: \(0\le\theta\le2\pi\), \(0\le r\le2\), \(0\le z\le4-r^2\).

\[V=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta=8\pi\]

El primer momento respecto del plano \(xy\) es

\[M_{xy}=\iiint_Ez\,dV=\int_0^{2\pi}\int_0^2\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{4-r^2}r\,dr\,d\theta=\frac{32\pi}{3}\]

\[\bar z=\frac{M_{xy}}{V}=\frac{32\pi/3}{8\pi}=\frac43\]

\(V=8\pi\) y \(\bar z=4/3\).

Examen 9. Promedio de la distancia cuadrática en una bola

Tipo examen

Enunciado. En la bola unidad \(B:x^2+y^2+z^2\le1\), calcula el valor medio de \(f=x^2+y^2+z^2\).

En esféricas, \(f=\rho^2\) y \(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\).

\[\iiint_Bf\,dV=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1\rho^4\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=\frac{4\pi}{5}\]

El volumen de la bola unidad es \(4\pi/3\).

\[f_{\mathrm{medio}}=\frac{4\pi/5}{4\pi/3}=\frac35\]

El valor medio es \(3/5\).

Examen 10. Intersección de una esfera y un cono

Tipo examen

Enunciado. Calcula el volumen de la parte de la esfera \(x^2+y^2+z^2\le4\) situada dentro del cono \(z\ge\sqrt{x^2+y^2}\).

En esféricas, \(z=\rho\cos\varphi\) y \(\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi\). Por tanto, la condición del cono exige \(\cos\varphi\ge\sin\varphi\), es decir, \(0\le\varphi\le\pi/4\). La esfera da \(0\le\rho\le2\).

\[V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\]

\[V=2\pi\cdot\frac83\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\]

\(V=\dfrac{16\pi}{3}\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\).

Examen 11. Rombo transformado en rectángulo

Tipo examen

Enunciado. Sea \(D=\{|x+y|\le1,\ |x-y|\le2\}\). Mediante \(u=x+y\), \(v=x-y\), calcula el área de \(D\) y \(\displaystyle I=\iint_D(x^2+y^2)\,dA\).

En el plano \(uv\), el dominio es el rectángulo \(-1\le u\le1\), \(-2\le v\le2\). Además, \(x=(u+v)/2\), \(y=(u-v)/2\), con \(|J|=1/2\).

\[A=\int_{-1}^{1}\int_{-2}^{2}\frac12\,dv\,du=4\]

La suma de cuadrados se simplifica:

\[x^2+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}\]

\[I=\frac14\int_{-1}^{1}\int_{-2}^{2}(u^2+v^2)\,dv\,du=\frac{10}{3}\]

\(A=4\) e \(I=10/3\).

Examen 12. Sólido cilíndrico bajo \(z=r^2\)

Tipo examen

Enunciado. Sea \(E=\{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le x^2+y^2\}\). a) Calcula su volumen. b) Calcula el valor medio de \(z\) en \(E\).

En cilíndricas, \(0\le r\le1\), \(0\le\theta\le2\pi\), \(0\le z\le r^2\).

\[V=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{r^2}r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^1r^3\,dr=\frac\pi2\]

\[\iiint_Ez\,dV=\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{r^4}{2}r\,dr\,d\theta=\frac\pi6\]

\[z_{\mathrm{medio}}=\frac{\pi/6}{\pi/2}=\frac13\]

\(V=\pi/2\) y \(z_{\mathrm{medio}}=1/3\).

Examen 13. Plano en el primer octante

Tipo examen

Enunciado. El sólido \(E\) está en el primer octante y bajo el plano \(x+y+z=2\). a) Escribe una integral triple. b) Calcula el volumen. c) Calcula \(\displaystyle \iiint_Ex\,dV\).

Una descripción directa es \(0\le x\le2\), \(0\le y\le2-x\), \(0\le z\le2-x-y\).

\[V=\int_0^2\int_0^{2-x}\int_0^{2-x-y}dz\,dy\,dx=\frac{2^3}{6}=\frac43\]

El centroide de un tetraedro con interceptos \(2,2,2\) está en \((1/2,1/2,1/2)\). Por tanto:

\[\iiint_Ex\,dV=\bar x\,V=\frac12\cdot\frac43=\frac23\]

\(V=4/3\) y \(\iiint_E x\,dV=2/3\).

Examen 14. Modelo de concentración en un lago circular

Tipo examen

Enunciado. Un lago circular de radio \(3\) m y profundidad constante \(h\) tiene concentración \(C(r)=C_0(1-r^2/9)\), uniforme con la profundidad. a) Calcula la concentración media en la superficie. b) Calcula la cantidad total de sustancia en el lago.

La integral superficial de la concentración es

\[\iint_D C\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^3 C_0\left(1-\frac{r^2}{9}\right)r\,dr\,d\theta=\frac{9\pi C_0}{2}\]

El área es \(9\pi\), luego

\[C_{\mathrm{media}}=\frac{9\pi C_0/2}{9\pi}=\frac{C_0}{2}\]

Como la profundidad es constante, la cantidad total es la integral superficial multiplicada por \(h\).

\[Q=\frac{9\pi hC_0}{2}\]

\(C_{\mathrm{media}}=C_0/2\) y \(Q=9\pi hC_0/2\).

Examen 15. Problema integrado en esféricas con densidad radial

Tipo examen

Enunciado. La región \(E\) está dentro de la esfera \(x^2+y^2+z^2\le4\) y dentro del cono \(z\ge\sqrt{x^2+y^2}\). La densidad volumétrica es \(\delta=\rho\), donde \(\rho\) es la distancia al origen. a) Calcula la masa. b) Calcula la distancia media al origen.

La región es la misma del examen 10: \(0\le\rho\le2\), \(0\le\varphi\le\pi/4\), \(0\le\theta\le2\pi\). La densidad aporta un factor \(\rho\) y el jacobiano aporta \(\rho^2\sin\varphi\).

\[M=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2\rho^3\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\]

\[M=2\pi\cdot4\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=8\pi\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\]

La distancia media respecto de la masa es \(\bar\rho=(1/M)\iiint_E\rho\,\delta\,dV\). En el numerador aparece \(\rho^4\):

\[\iiint_E\rho\delta\,dV=2\pi\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\int_0^2\rho^4\,d\rho=\frac{64\pi}{5}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\]

\[\bar\rho=\frac{64\pi/5}{8\pi}=\frac85\]

\(M=8\pi\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) y la distancia media al origen es \(8/5\).

12. Errores que más penalizan

Integrar sin dibujar Es la causa principal de límites invertidos o regiones incompletas.

Olvidar el jacobiano En polares falta el factor \(r\); en esféricas, \(\rho^2\sin\varphi\).

Confundir el radio con la variable \(x\) En polares, \(r\ge0\) y las curvas deben traducirse antes de fijar sus límites.

No dividir un dominio Al cambiar el orden, una frontera puede cambiar en un valor intermedio.

Usar esféricas porque aparece una esfera Si otras fronteras quedan muy complicadas, cartesianas o cilíndricas pueden ser mejores.

No revisar el signo Un área, una masa o un volumen no pueden salir negativos.

13. Ruta de estudio y recursos relacionados

Integrales de Bachillerato y PAU Primitivas, métodos de integración y áreas en una variable. Topología en \(\mathbb{R}^n\) Regiones, abiertos, cerrados, frontera y lenguaje de varias variables. Límites de varias variables Caminos, polares, acotación y continuidad. Derivadas parciales Diferenciabilidad, gradiente y aproximación local. Taylor y control del error Aproximación polinómica, resto de Lagrange y precisión. Biblioteca de recursos Materiales organizados por nivel y asignatura.

14. Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia este recurso del de integrales de Bachillerato?

El recurso de Bachillerato trabaja primitivas, sustitución, partes, racionales y áreas en una variable. Este desarrolla temario universitario de integración múltiple: dominios del plano, integrales dobles y triples, cambios de orden y coordenadas curvilíneas.

¿Qué debo saber antes de empezar?

Conviene dominar integrales de una variable, despeje de curvas, representación básica de funciones y trigonometría elemental. Para los últimos bloques también ayuda conocer superficies como cilindros, conos, esferas y paraboloides.

¿Cuándo se cambia el orden de integración?

Cuando el nuevo orden simplifica los límites, evita dividir el dominio o convierte la integral interior en una primitiva manejable.

¿Por qué aparece un factor r en polares?

Porque una pequeña celda polar no tiene área \(dr\,d\theta\), sino aproximadamente \(r\,dr\,d\theta\). Ese factor es el jacobiano del cambio.

¿Cómo se eligen cilíndricas o esféricas?

Se observa qué superficies describen el sólido. Los cilindros y paraboloides de revolución suelen favorecer cilíndricas; las esferas y conos con vértice en el origen suelen favorecer esféricas.

¿Los 15 problemas finales son de nivel universitario?

Sí. Combinan varios apartados y exigen justificar el dominio, el orden, el cambio de coordenadas y la interpretación del resultado.

Blog

1. Qué cambia al pasar a varias variables

2. Cómo describir un dominio sin perderse

3. Fubini e integrales iteradas

4. Cuándo conviene cambiar el orden

5. Coordenadas polares y cambio de variables

6. Áreas, volúmenes, masas y valores medios

7. Integrales triples: describir un sólido

8. Coordenadas cilíndricas y esféricas

9. Cómo presentar un problema de examen

10. Cuarenta y siete ejercicios progresivos

11. Quince problemas finales tipo examen universitario

12. Errores que más penalizan

13. Ruta de estudio y recursos relacionados

14. Preguntas frecuentes