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Proporcionalidad y porcentajes 1 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Proporcionalidad y porcentajes 1 ESO ejercicios resueltos paso a paso
La proporcionalidad y los porcentajes parecen temas sencillos hasta que aparecen los problemas largos. El bloqueo casi nunca está en multiplicar. Suele estar en decidir qué representa cada número, qué cantidad es el total, si el resultado debe aumentar o disminuir y si realmente hay proporcionalidad.
Este recurso está pensado para estudiar proporcionalidad, regla de tres, porcentajes, descuentos, aumentos, porcentajes encadenados y problemas tipo examen de 1 ESO. La idea no es memorizar recetas, sino aprender a leer el problema y justificar cada paso.
Si el alumno todavía falla con fracciones, signos u operaciones combinadas, conviene revisar antes el bloque de números enteros y fracciones 1 ESO. Muchos errores en porcentajes vienen de una base de fracciones poco segura.
Índice del recurso
- PDF descargable
- Antes de empezar
- Razón y proporción
- Proporcionalidad directa
- Regla de tres simple
- Porcentajes básicos
- Descuentos y aumentos
- Calcular el precio inicial
- Porcentajes encadenados
- Problemas tipo examen
- Revisión final tipo examen
- Errores reales de alumno
- Ruta de estudio
- Autor del recurso
- Recursos relacionados
- Preguntas frecuentes
PDF descargable del recurso
Este recurso está pensado para poder estudiarse como un bloque completo. Puedes añadir aquí el botón al PDF descargable cuando esté subido a WordPress.
Recomendación para el PDF: incluir teoría breve, ejercicios resueltos, simulacro final y una hoja de ejercicios sin resolver para practicar.
Antes de empezar
En proporcionalidad hay una pregunta que debe hacerse siempre antes de calcular:
Si la respuesta es sí, normalmente estamos ante proporcionalidad directa. Si no hay esa relación constante, no conviene aplicar una regla de tres sin pensar.
Ejemplo proporcional
Si 2 kg de manzanas cuestan 4 €, entonces 4 kg costarán 8 €, siempre que el precio por kg sea el mismo.
Ejemplo no proporcional
Si un alumno estudia el doble de horas, no necesariamente saca el doble de nota. Ahí no se puede hacer regla de tres directa.
En los exámenes de 1 ESO se valora mucho que el alumno ordene los datos y revise la coherencia. No basta con poner una cuenta aislada.
Razón y proporción
Una razón compara dos cantidades mediante una división. Por ejemplo, si hay 6 chicos y 3 chicas, la razón entre chicos y chicas es:
Esto significa que hay el doble de chicos que de chicas.
Dos razones forman una proporción cuando son equivalentes.
Ejercicio 1
Comprueba si forman proporción:
Hacemos productos cruzados:
Como los dos productos son iguales, las razones forman proporción.
Ejercicio 2
Comprueba si forman proporción:
Productos cruzados:
Los productos no coinciden. Por tanto, no forman proporción.
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo número.
Por ejemplo, si 1 entrada cuesta 8 €, 2 entradas cuestan 16 € y 3 entradas cuestan 24 €. El precio por entrada se mantiene constante.
Ejercicio 3
Completa la tabla si 1 kg de arroz cuesta 2 €.
Si 1 kg cuesta 2 €, 3 kg costarán tres veces más:
Ejercicio 4
Si 5 botellas cuestan 7.50 €, ¿cuánto cuesta una botella?
Dividimos el precio total entre el número de botellas:
Error real de alumno
Un error frecuente es pensar que cualquier tabla con números es proporcional. No. Para que haya proporcionalidad directa, el cociente entre las magnitudes debe mantenerse constante.
Regla de tres simple
La regla de tres es una herramienta para resolver problemas de proporcionalidad directa. Lo importante es colocar bien las magnitudes y comprobar si el resultado tiene sentido.
En problemas de precio, cantidad, distancia o recetas, suele funcionar muy bien si la relación es proporcional.
Ejercicio 5
Si 3 cuadernos cuestan 12 €, ¿cuánto cuestan 5 cuadernos?
Ordenamos los datos:
Planteamos la proporción:
Producto cruzado:
Revisión: si 3 cuadernos cuestan 12 €, cada cuaderno cuesta 4 €. Entonces 5 cuadernos cuestan 20 €. El resultado es coherente.
Ejercicio 6
Un coche recorre 240 km con 20 L de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 35 L?
Más litros permiten recorrer más kilómetros, si el consumo es el mismo. Es proporcionalidad directa.
Ejercicio 7
Una receta para 4 personas necesita 300 g de arroz. ¿Cuánto arroz se necesita para 10 personas?
Más personas necesitan más arroz. La relación es directa.
Muchos problemas de proporcionalidad pueden resolverse también con ecuaciones sencillas. Por eso este bloque enlaza muy bien con el recurso de álgebra y ecuaciones 1 ESO.
Porcentajes básicos
Un porcentaje es una parte de cada 100.
Calcular el porcentaje de una cantidad significa calcular una parte de esa cantidad.
10 % de una cantidad
Dividir entre 10.
50 % de una cantidad
La mitad.
25 % de una cantidad
La cuarta parte.
75 % de una cantidad
Tres cuartas partes.
Ejercicio 8
Calcula el 30 % de 250.
Pasamos el porcentaje a decimal:
Multiplicamos por la cantidad:
Ejercicio 9
En una clase de 28 alumnos, el 25 % lleva gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas?
El 25 % es la cuarta parte:
Ejercicio 10
Un alumno acierta el 80 % de 50 preguntas. ¿Cuántas preguntas acierta?
Ejercicio 11
Calcula qué porcentaje representa 18 respecto de 60.
Dividimos la parte entre el total y multiplicamos por 100:
Descuentos y aumentos porcentuales
Un descuento reduce una cantidad. Un aumento porcentual la incrementa. Antes de terminar, hay que comprobar si el resultado final debe ser menor o mayor que el valor inicial.
Ejercicio 12
Una camiseta cuesta 40 € y tiene un descuento del 15 %. Calcula el precio final.
Calculamos primero el descuento:
Restamos el descuento al precio inicial:
Ejercicio 13
Un móvil cuesta 250 €. Su precio aumenta un 12 %. Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
Sumamos el aumento al precio inicial:
Ejercicio 14
Un producto de 180 € tiene una rebaja del 35 %. ¿Cuál es el precio final?
Ejercicio 15
Un alquiler de 600 € sube un 5 %. ¿Cuál será el nuevo alquiler?
También se puede usar factor multiplicador. Un descuento del 15 % equivale a pagar el 85 %, es decir, multiplicar por \(0.85\). Un aumento del 12 % equivale a multiplicar por \(1.12\).
Calcular el precio inicial
Este tipo de ejercicio es más difícil porque el dato que nos dan ya es el precio final. No hay que calcular el porcentaje sobre el precio final sin pensar. Hay que reconstruir el valor inicial.
Ejercicio 16
Una chaqueta sube un 8 % y pasa a costar 162 €. ¿Cuánto costaba antes?
Si sube un 8 %, el precio final es el 108 % del inicial:
Despejamos:
Ejercicio 17
Un producto con un 20 % de descuento cuesta finalmente 96 €. ¿Cuál era el precio inicial?
Si tiene un 20 % de descuento, se paga el 80 % del precio inicial:
Error real de alumno
Si un producto rebajado cuesta 96 €, no se debe hacer \(96+20\%\) de 96. Ese 20 % se aplicó sobre el precio original, no sobre el precio ya rebajado.
Porcentajes encadenados
En los porcentajes encadenados hay varios cambios seguidos. La clave es aplicar cada porcentaje sobre la cantidad nueva, no siempre sobre la cantidad inicial.
Ejercicio 18
Un abrigo cuesta 120 €. Primero tiene un descuento del 20 % y después otro del 10 %. Calcula el precio final.
Primer descuento:
Segundo descuento sobre 96 €:
Ejercicio 19
Un ordenador cuesta 900 €. Sube un 10 % y después baja un 10 %. ¿Vuelve al precio inicial?
Primero sube un 10 %:
Después baja un 10 % sobre 990 €:
Este ejercicio es muy importante. Subir un 10 % y bajar un 10 % no deja igual, porque el segundo porcentaje se aplica sobre una cantidad distinta.
Problemas tipo examen
Problema 20
En una tienda hacen un descuento del 25 % a una bicicleta que costaba 320 €. Calcula el precio final.
Problema 21
En una clase de 32 alumnos, el 75 % aprobó el examen. ¿Cuántos aprobaron? ¿Cuántos suspendieron?
Aprobados:
Suspendidos:
Problema 22
Un depósito tenía 500 L de agua. Se consume el 30 %. Después se rellena con un 20 % de lo que queda. ¿Cuántos litros hay al final?
Primero se consume el 30 % de 500 L:
Después se añade el 20 % de 350 L:
Problema 23
Una familia paga 84 € por 6 entradas. ¿Cuánto pagaría por 9 entradas al mismo precio?
Precio de una entrada:
Precio de 9 entradas:
Problema 24
Un alumno ha conseguido 42 puntos de un examen que valía 60 puntos. ¿Qué porcentaje ha conseguido?
Problema 25
En una ciudad había 24 000 habitantes. La población aumenta un 5 %. ¿Cuántos habitantes hay ahora?
Revisión final tipo examen
Haz esta parte como si fuera una prueba real. Primero cálculo directo, después problemas y finalmente revisión de interpretación.
Parte A · Cálculo directo
1. Calcula el 35 % de 480.
2. Calcula qué porcentaje representa 15 respecto de 75.
Parte B · Problemas
1. Una televisión cuesta 540 € y tiene un descuento del 18 %. Calcula el precio final.
2. Un pantalón sube un 15 % y pasa a costar 69 €. Calcula el precio inicial.
Parte C · Interpretación
Explica por qué dos descuentos seguidos del 20 % y del 10 % no equivalen exactamente a un descuento único del 30 %.
Porque el segundo descuento no se aplica sobre el precio inicial, sino sobre el precio que ya quedó después del primer descuento.
Errores reales de alumno
Aplicar el porcentaje al dato equivocado
En problemas inversos, el porcentaje no se calcula sobre el precio final, sino sobre el precio inicial desconocido.
Sumar descuentos encadenados
Un 20 % de descuento y luego un 10 % no equivalen exactamente a un 30 %, porque el segundo descuento se aplica sobre una cantidad menor.
Colocar mal la regla de tres
Si se mezclan magnitudes en filas distintas, el producto cruzado puede dar un número correcto aritméticamente pero falso en el problema.
No revisar si aumenta o disminuye
Si hay descuento, el resultado debe ser menor. Si hay aumento, debe ser mayor. Esta revisión detecta muchos errores rápidos.
Ruta de estudio recomendada
- Repasar fracciones y decimales.
- Entender qué es una razón.
- Comprobar proporciones con producto cruzado.
- Practicar proporcionalidad directa con tablas.
- Resolver reglas de tres sencillas.
- Calcular porcentajes básicos.
- Trabajar descuentos y aumentos.
- Resolver problemas inversos de precio inicial.
- Practicar porcentajes encadenados.
- Hacer revisión tipo examen con interpretación.
Cuando un alumno entiende proporcionalidad y porcentajes de verdad, muchos problemas posteriores de Matemáticas empiezan a ordenarse mejor. Por eso conviene trabajar este tema con calma y no limitarse a memorizar una regla de tres.
Autor del recurso
José María de Marlu Educativa
Material elaborado para estudiar Matemáticas de 1 ESO con orden, razonamiento y ejercicios explicados paso a paso.
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Ir a recursos educativosPreguntas frecuentes sobre proporcionalidad y porcentajes 1 ESO
Qué diferencia hay entre razón y proporción
La razón compara dos cantidades. La proporción indica que dos razones son equivalentes.
Cómo saber si una regla de tres está bien planteada
Hay que comprobar que las magnitudes están ordenadas y que el resultado tiene sentido. Si aumenta una cantidad, la otra debe aumentar en una proporcionalidad directa.
Por qué cuestan tanto los porcentajes
Porque muchos alumnos no identifican bien cuál es el total y aplican el porcentaje sobre una cantidad equivocada.
Qué suele caer en examen
Suelen aparecer reglas de tres, descuentos, aumentos, cálculo de porcentajes, precio inicial desconocido y porcentajes encadenados.