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Ecuaciones diferenciales universidad: guía completa con 100 ejercicios resueltos

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Universidad Ingenierías Física Química 100 ejercicios resueltos

Ecuaciones diferenciales para universidad: teoría, métodos y 100 ejercicios resueltos

Muchos alumnos llegan a ecuaciones diferenciales pensando que es otro tema de integrales. No lo es. Aquí cambia la pregunta: ya no buscamos un número, buscamos una función que cumpla una ley.

Este recurso está preparado para universidad: ingeniería, física, química, ciencias y primeros cursos donde aparecen modelos diferenciales. Trabaja la teoría necesaria, la clasificación, los métodos de resolución, los errores reales y una batería de 100 ejercicios resueltos con soluciones finales destacadas.

La idea es que el alumno pueda estudiar el tema de forma ordenada: primero reconocer el tipo de ecuación, después elegir el método y, por último, comprobar que la solución tiene sentido.

Idea central: una ecuación diferencial no pide solo despejar. Pide reconocer estructura. Si identificas el tipo, el método suele aparecer casi solo.

Matemáticas universitarias con método Marlu

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas, Física y Química con explicación clara, planteamiento, ejercicios resueltos y corrección de errores. Este recurso está pensado especialmente para alumnos de ingeniería, ciencias, química, física, ADE con matemáticas y primeros cursos universitarios.

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Dónde se estudian las ecuaciones diferenciales en universidad

En carreras técnicas y científicas, las ecuaciones diferenciales aparecen porque permiten convertir un fenómeno en una ley matemática. En asignaturas de ingeniería suelen aparecer junto a cálculo en varias variables, métodos numéricos y aplicaciones. En física y química aparecen en cinética, mecánica, electromagnetismo, termodinámica, ondas, transporte, sistemas dinámicos y modelos de laboratorio.

Ingenierías y campus técnicos

En asignaturas tipo Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería se trabaja modelización, ecuaciones diferenciales ordinarias, introducción a ecuaciones en derivadas parciales y resolución numérica. Esto encaja muy bien con grados de ingeniería y con alumnado de campus técnicos como Zamora.

Química, Física y ciencias

En Química y Física se usan para velocidad de reacción, balances, difusión, calor, oscilaciones, campos, ondas, sistemas lineales, métodos numéricos y modelos avanzados. No se estudian solo por cálculo formal: se usan para describir fenómenos.

Nota para estudiar el tema: este recurso conecta la matemática universitaria con problemas reales de ingeniería, física y química. El objetivo es entender el método, no solo acumular fórmulas.

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Frontera anti canibalización

Este recurso es una pieza madre universitaria. No compite con artículos de derivadas, integrales, matrices o diagonalización. Los necesita como base. Tampoco sustituye recursos específicos de física o química, porque aquí el foco es la ecuación diferencial y el método de resolución.

Sí entra aquí

  • EDO de primer orden.
  • Variables separables.
  • Lineales de primer orden.
  • Exactas, homogéneas y Bernoulli.
  • Segundo orden lineales.
  • Euler-Cauchy.
  • Sistemas diferenciales.
  • Laplace.
  • Métodos numéricos.
  • Introducción a EDP.

No entra aquí como tema principal

  • Derivadas básicas.
  • Integrales inmediatas como recurso independiente.
  • Diagonalización completa.
  • Optimización multivariable.
  • Física PAU/EBAU.
  • Química PAU/EBAU.
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Qué es una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparece una función desconocida y una o varias de sus derivadas. La incógnita no suele ser un número, sino una función.

\[ y'=2xy \]

Aquí la incógnita es \(y(x)\). Resolver la ecuación significa encontrar todas las funciones \(y\) que cumplen esa relación.

\[ y''+4y=0 \]

En esta otra aparece una segunda derivada. Es típica de oscilaciones, vibraciones y sistemas físicos lineales.

Comentario de profesor: en ecuaciones diferenciales, el primer minuto vale mucho. Antes de calcular, hay que clasificar. Orden, linealidad, variables, coeficientes y condiciones iniciales.

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Clasificación completa de ecuaciones diferenciales

Criterio Tipos Ejemplo Qué mirar
Por número de variables independientes EDO y EDP \(y'=x+y\), \(u_t=u_{xx}\) Si aparece una variable o varias.
Por orden Primer orden, segundo orden, orden superior \(y'\), \(y''\), \(y^{(3)}\) La derivada de mayor orden.
Por linealidad Lineales y no lineales \(y'+y=x\), \(y'=y^2\) Si \(y\) y sus derivadas aparecen en grado 1.
Por homogeneidad Homogéneas y no homogéneas \(y''+y=0\), \(y''+y=\sin x\) Si hay término externo.
Por coeficientes Constantes o variables \(y''+3y'=0\), \(xy'+y=1\) Si los coeficientes dependen de \(x\).
Por método Separables, lineales, exactas, Bernoulli, Laplace, numéricas \(y'=xy\), \(y'+p(x)y=q(x)\) La estructura visible.
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Mapa de métodos: cómo decidir qué hacer

La parte difícil no suele ser derivar o integrar. La parte difícil es reconocer qué método toca. Este mapa evita perderse.

Si ves esto Piensa en Movimiento típico
\(y'=g(x)h(y)\) Variables separables Pasar \(y\) con \(dy\) y \(x\) con \(dx\).
\(y'+p(x)y=q(x)\) Lineal de primer orden Factor integrante.
\(Mdx+Ndy=0\) Exacta Comprobar \(M_y=N_x\).
\(y'+p(x)y=q(x)y^n\) Bernoulli Cambio \(u=y^{1-n}\).
Coeficientes constantes y \(y''\) Característica Resolver polinomio en \(r\).
Condiciones iniciales y escalones Laplace Transformar, despejar, antitransformar.
Sistema \(Y'=AY\) Autovalores Diagonalizar si se puede.
No se puede resolver exacto Métodos numéricos Euler, punto medio, Runge-Kutta.
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Cómo reconocer el método en menos de un minuto

Antes de derivar, integrar o aplicar una receta, conviene hacer una lectura rápida. Este paso evita la mayoría de errores en exámenes universitarios.

Pregunta rápida Si la respuesta es sí Qué método usar Primer movimiento
¿Puedo separar todo lo de \(y\) con \(dy\) y todo lo de \(x\) con \(dx\)? La ecuación es separable. Separación de variables. Pasar factores y luego integrar.
¿Tiene forma \(y'+p(x)y=q(x)\)? Es lineal de primer orden. Factor integrante. Calcular \(\mu=e^{\int p(x)\,dx}\).
¿Aparece como \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)? Puede ser exacta. Ecuación exacta. Comprobar \(M_y=N_x\).
¿Es lineal salvo una potencia \(y^n\)? Puede ser Bernoulli. Cambio \(u=y^{1-n}\). Dividir por \(y^n\).
¿Aparece \(y''\) con coeficientes constantes? Es lineal de segundo orden. Ecuación característica. Resolver el polinomio en \(r\).
¿Hay varias funciones acopladas? Es un sistema diferencial. Matrices y autovalores. Escribir \(Y'=AY\).

Regla práctica: si no sabes qué método usar, no empieces a integrar. Clasifica primero. En ecuaciones diferenciales, el método correcto vale media solución.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

Las de primer orden son la puerta de entrada. En universidad aparecen desde el primer curso y vuelven constantemente en modelos de crecimiento, enfriamiento, cinética química, circuitos RC, mezclas y balance de materia.

Variables separables

\[ \frac{dy}{dx}=g(x)h(y) \]

Se escribe \(\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx\) y se integra.

Lineales

\[ y'+p(x)y=q(x) \]

Se usa el factor integrante \(\mu=e^{\int p(x)\,dx}\).

Exactas

\[ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 \]

Si \(M_y=N_x\), existe un potencial \(F(x,y)=C\).

Bernoulli

\[ y'+p(x)y=q(x)y^n \]

Se transforma en lineal con \(u=y^{1-n}\).

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Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Son básicas en física e ingeniería: osciladores, vibraciones, circuitos RLC, sistemas masa-muelle, estabilidad, ondas y respuestas forzadas.

\[ ay''+by'+cy=f(x) \]

Si \(f(x)=0\), es homogénea. Si \(f(x)\neq0\), hay una entrada externa y se necesita una solución particular.

Raíces reales distintas

\(r_1\neq r_2\)

\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \]

Raíz doble

\(r_1=r_2=r\)

\[ y=(C_1+C_2x)e^{rx} \]

Raíces complejas

\(r=\alpha\pm\beta i\)

\[ y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) \]
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Sistemas diferenciales

Un sistema diferencial aparece cuando varias magnitudes evolucionan a la vez. En ingeniería y física es lo normal: posición y velocidad, especies químicas acopladas, corrientes, poblaciones, temperaturas o concentraciones.

\[ Y'=AY \]

Si \(A\) es diagonalizable, el problema se simplifica mediante autovalores y autovectores. Aquí el álgebra lineal manda.

Conexión Marlu: este bloque debe enlazar de forma natural con matrices, determinantes, autovalores, diagonalización y sistemas lineales. Sin álgebra lineal, los sistemas diferenciales se vuelven mucho más difíciles.

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Transformada de Laplace

Laplace convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. Es especialmente útil con condiciones iniciales, señales por tramos, impulsos y problemas de ingeniería.

\[ \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) \]
\[ \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) \]

El método tiene tres pasos: transformar, despejar \(Y(s)\), aplicar transformada inversa.

Anterior: sistemas Volver al índice Siguiente: modelización

Modelización con ecuaciones diferenciales

La modelización es la razón de fondo por la que se estudian ecuaciones diferenciales. No se trata solo de resolver cuentas. Se trata de escribir una ley matemática para un fenómeno.

Área Modelo típico Ecuación frecuente
Química Cinética de primer orden \(A'=-kA\)
Física Oscilador armónico \(y''+\omega^2y=0\)
Ingeniería Circuito RC \(q'+\frac1{RC}q=\frac{E}{R}\)
Biología Crecimiento logístico \(P'=rP(1-P/K)\)
Transferencia de calor Enfriamiento de Newton \(T'=-k(T-T_a)\)
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Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales

No todas las ecuaciones diferenciales se resuelven con fórmula cerrada. En ingeniería real, física computacional y química aplicada se usan métodos numéricos.

Euler explícito

\[ y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n) \]

Punto medio

\[ y_{n+1}=y_n+h f\left(x_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right) \]

Runge-Kutta 4

\[ y_{n+1}=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \]
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Introducción a ecuaciones en derivadas parciales

Las ecuaciones en derivadas parciales aparecen cuando la función depende de varias variables independientes, por ejemplo posición y tiempo.

Calor

\[ u_t=\alpha^2u_{xx} \]

Ondas

\[ u_{tt}=c^2u_{xx} \]

Laplace

\[ u_{xx}+u_{yy}=0 \]

En primeros cursos suele bastar con entender la separación de variables, las condiciones de contorno y la interpretación física. Las EDP completas merecen un recurso propio; aquí se incluyen como entrada ordenada al tema.

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Ruta de estudio recomendada

Si el examen está cerca, no conviene estudiar el tema en desorden. Esta ruta funciona bien para alumnos de ingeniería, física, química y grados con matemáticas aplicadas.

Primera vuelta

  • Separables.
  • Lineales de primer orden.
  • Exactas sencillas.
  • Segundo orden homogéneas.

Segunda vuelta

  • Bernoulli y cambios de variable.
  • No homogéneas de segundo orden.
  • Resonancia.
  • Euler-Cauchy.

Tercera vuelta

  • Sistemas diferenciales.
  • Transformada de Laplace.
  • Métodos numéricos.
  • Modelos físicos y químicos.

Última revisión

  • Clasificación rápida.
  • Condiciones iniciales.
  • Comprobación sustituyendo.
  • Interpretación de la solución.
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Errores frecuentes reales de alumno

  • Empezar a integrar sin clasificar la ecuación.
  • Confundir lineal con separable.
  • Olvidar el valor absoluto en integrales tipo \(\int dy/y\).
  • Aplicar factor integrante sin poner la ecuación en forma normal.
  • No comprobar exactitud con \(M_y=N_x\).
  • Resolver la homogénea de segundo orden y olvidar la particular.
  • No multiplicar por \(x\) en casos de resonancia.
  • Confundir condición inicial con condición de contorno.
  • Perder constantes al integrar dos veces.
  • Usar Euler con pasos grandes sin pensar en estabilidad.
  • Intentar resolver una EDP como si fuera una EDO.
  • No interpretar la solución en el contexto físico o químico.
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100 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

Esta batería cubre los tipos más habituales de primeros cursos universitarios: separables, lineales, homogéneas, exactas, Bernoulli, Riccati, Clairaut, segundo orden, Euler-Cauchy, sistemas, Laplace, métodos numéricos, modelización y una introducción a EDP.

Cómo usar esta batería: no hace falta hacer los 100 ejercicios de una vez. Empieza por el bloque que corresponda a tu temario y revisa siempre la solución final. Si un ejercicio no sale, vuelve al mapa de métodos antes de mirar la solución.

Ir al diagnóstico de método · Ir al mapa de métodos · Ir al simulacro

Variables separables

Ejercicio 1. Primitiva como ecuación diferencial

Resuelve \(y'=3x^2\).

Integramos directamente.

\[ dy=3x^2\,dx \]
\[ y=x^3+C \]

Solución final: \(y=x^3+C\)

Ejercicio 2. Crecimiento proporcional con \(x\)

Resuelve \(y'=2xy\).

Separamos variables.

\[ \frac{dy}{y}=2x\,dx \]
\[ \ln|y|=x^2+C \]
\[ y=C e^{x^2} \]

Solución final: \(y=C e^{x^2}\). Al derivar, aparece \(y\cdot2x\), por eso vuelve a salir \(y\prime=2xy\).

Ejercicio 3. Separación con \(y\) en el denominador

Resuelve \(y'=\frac{1+x}{y}\).

Multiplicamos por \(y\) y separamos.

\[ y\,dy=(1+x)\,dx \]
\[ \frac{y^2}{2}=x+\frac{x^2}{2}+C \]
\[ y^2=2x+x^2+C \]

Solución final: \(y^2=x^2+2x+C\)

Ejercicio 4. Logística básica

Resuelve \(y'=y(1-y)\).

Separamos usando fracciones simples.

\[ \frac{dy}{y(1-y)}=dx \]
\[ \ln\left|\frac{y}{1-y}\right|=x+C \]
\[ y=\frac{1}{1+C e^{-x}} \]

Solución final: \(y=\frac{1}{1+C e^{-x}}\)

Ejercicio 5. Condición inicial con raíz

Resuelve \(y'=x\sqrt y\), \(y(0)=4\).

Separamos y aplicamos la condición inicial.

\[ \frac{dy}{\sqrt y}=x\,dx \]
\[ 2\sqrt y=\frac{x^2}{2}+C \]

Como \(y(0)=4\), queda \(C=4\).

\[ \sqrt y=2+\frac{x^2}{4} \]

Solución final: \(y=\left(2+\frac{x^2}{4}\right)^2\)

Ejercicio 6. Potencias de \(y\)

Resuelve \(y'=\frac{x^2}{y^2}\), \(y(0)=1\).

Separamos.

\[ y^2\,dy=x^2\,dx \]
\[ \frac{y^3}{3}=\frac{x^3}{3}+C \]

Con \(y(0)=1\), queda \(C=\frac13\).

Solución final: \(y^3=x^3+1\)

Ejercicio 7. Exponencial en el numerador

Resuelve \(y'=\frac{e^x}{y}\), \(y(0)=2\).
\[ y\,dy=e^x\,dx \]
\[ \frac{y^2}{2}=e^x+C \]

Con \(y(0)=2\), \(2=1+C\), luego \(C=1\).

Solución final: \(y^2=2e^x+2\)

Ejercicio 8. Trigonométrica separable

Resuelve \(y'=\frac{\cos x}{1+y}\), \(y(0)=0\).
\[ (1+y)\,dy=\cos x\,dx \]
\[ y+\frac{y^2}{2}=\sin x+C \]

Con \(y(0)=0\), \(C=0\).

Solución final: \(y+\frac{y^2}{2}=\sin x\)

Ejercicio 9. Modelo de crecimiento

Resuelve \(P'=0,2P\), \(P(0)=P_0\).
\[ \frac{dP}{P}=0,2\,dt \]
\[ \ln|P|=0,2t+C \]

Solución final: \(P=P_0e^{0,2t}\)

Ejercicio 10. Ley de enfriamiento

Resuelve \(T'=-0,1(T-20)\), \(T(0)=80\).

Restamos la temperatura ambiente mediante \(u=T-20\).

\[ u'=-0,1u \]
\[ u=Ce^{-0,1t} \]

Como \(T(0)=80\), \(u(0)=60\).

Solución final: \(T=20+60e^{-0,1t}\)

Lineales de primer orden

Ejercicio 11. Lineal con coeficiente constante

Resuelve \(y'+2y=e^x\).

El factor integrante es \(\mu=e^{2x}\).

\[ (e^{2x}y)'=e^{3x} \]
\[ e^{2x}y=\frac{e^{3x}}{3}+C \]

Solución final: \(y=\frac{e^x}{3}+Ce^{-2x}\)

Ejercicio 12. Lineal con término polinómico

Resuelve \(y'-y=x\).

Buscamos una particular de la forma \(ax+b\).

\[ a-(ax+b)=x \]
\[ a=-1,\qquad b=-1 \]

Solución final: \(y=Ce^x-x-1\)

Ejercicio 13. Factor integrante \(x\)

Resuelve \(y'+\frac{1}{x}y=x\), con \(x>0\).

El factor integrante es \(\mu=x\).

\[ (xy)'=x^2 \]
\[ xy=\frac{x^3}{3}+C \]

Solución final: \(y=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}\)

Ejercicio 14. Condición inicial

Resuelve \(y'+3y=6\), \(y(0)=1\).

La solución general tiende al equilibrio \(y=2\).

\[ y=2+Ce^{-3x} \]

Con \(y(0)=1\), \(1=2+C\), luego \(C=-1\).

Solución final: \(y=2-e^{-3x}\)

Ejercicio 15. Resonancia de primer orden

Resuelve \(y'-2y=e^{2x}\).

El factor integrante es \(e^{-2x}\).

\[ (e^{-2x}y)'=1 \]
\[ e^{-2x}y=x+C \]

Solución final: \(y=e^{2x}(x+C)\)

Ejercicio 16. Término trigonométrico

Resuelve \(y'+y=\sin x\).

Tomamos una particular \(y_p=A\sin x+B\cos x\).

\[ y_p'+y_p=(A-B)\sin x+(A+B)\cos x \]
\[ A-B=1,\qquad A+B=0 \]
\[ A=\frac12,\qquad B=-\frac12 \]

Solución final: \(y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+Ce^{-x}\)

Ejercicio 17. Ecuación con \(xy'\)

Resuelve \(xy'+2y=x^2\), con \(x>0\).

Dividimos entre \(x\).

\[ y'+\frac{2}{x}y=x \]

El factor integrante es \(x^2\).

\[ (x^2y)'=x^3 \]

Solución final: \(y=\frac{x^2}{4}+\frac{C}{x^2}\)

Ejercicio 18. Particular polinómica

Resuelve \(y'+4y=8x\).

Probamos \(y_p=ax+b\).

\[ a+4(ax+b)=8x \]
\[ 4a=8,\qquad a+4b=0 \]
\[ a=2,\qquad b=-\frac12 \]

Solución final: \(y=Ce^{-4x}+2x-\frac12\)

Ejercicio 19. Decaimiento lineal

Resuelve \(y'+2y=0\), \(y(0)=5\).
\[ \frac{dy}{y}=-2\,dx \]
\[ y=Ce^{-2x} \]

Con \(y(0)=5\), \(C=5\).

Solución final: \(y=5e^{-2x}\)

Ejercicio 20. Factor integrante y solución constante

Resuelve \(y'+\frac1x y=\frac1x\), con \(x>0\).

El factor integrante es \(x\).

\[ (xy)'=1 \]
\[ xy=x+C \]

Solución final: \(y=1+\frac{C}{x}\)

Homogéneas, exactas, Bernoulli y Riccati

Ejercicio 21. Homogénea de primer orden

Resuelve \(y'=1+\frac{y}{x}\).

Usamos \(y=vx\). Entonces \(y'=v+xv'\).

\[ v+xv'=1+v \]
\[ xv'=1 \]
\[ v=\ln x+C \]

Solución final: \(y=x(\ln x+C)\)

Ejercicio 22. Homogénea cuadrática

Resuelve \(y'=\left(\frac{y}{x}\right)^2\).

Usamos \(y=vx\).

\[ v+xv'=v^2 \]
\[ \frac{dv}{v(v-1)}=\frac{dx}{x} \]
\[ \ln\left|\frac{v-1}{v}\right|=\ln x+C \]

Solución final: \(y=\frac{x}{1-Cx}\)

Ejercicio 23. Exacta con potencial claro

Resuelve \((2xy+1)\,dx+(x^2+1)\,dy=0\).

Comprobamos exactitud.

\[ M_y=2x,\qquad N_x=2x \]

Buscamos \(F\) tal que \(F_x=2xy+1\).

\[ F=x^2y+x+\phi(y) \]

Como \(F_y=x^2+\phi'(y)=x^2+1\), queda \(\phi(y)=y\).

Solución final: \(x^2y+x+y=C\)

Ejercicio 24. Exacta simétrica

Resuelve \((2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0\).
\[ M_y=1,\qquad N_x=1 \]

Integramos \(M\) respecto de \(x\).

\[ F=x^2+xy+\phi(y) \]

De \(F_y=x+\phi'(y)=x+2y\), queda \(\phi=y^2\).

Solución final: \(x^2+xy+y^2=C\)

Ejercicio 25. Exacta elemental

Resuelve \((y+2x)\,dx+x\,dy=0\).
\[ M_y=1,\qquad N_x=1 \]
\[ F=\int(y+2x)\,dx=xy+x^2+\phi(y) \]

Como \(F_y=x+\phi'(y)=x\), \(\phi\) es constante.

Solución final: \(xy+x^2=C\)

Ejercicio 26. Bernoulli

Resuelve \(y'+y=y^2\).

Tomamos \(u=1/y\). Entonces \(u'=-y'/y^2\).

\[ \frac{y'}{y^2}+\frac1y=1 \]
\[ -u'+u=1 \]
\[ u'-u=-1 \]

Solución final: \(y=\frac{1}{1+Ce^x}\)

Ejercicio 27. Bernoulli con \(x\)

Resuelve \(y'+2y=xy^2\).

Dividimos entre \(y^2\) y usamos \(u=1/y\).

\[ -u'+2u=x \]
\[ u'-2u=-x \]

Una particular es \(u_p=\frac{x}{2}+\frac14\).

Solución final: \(y=\frac{1}{Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac14}\)

Ejercicio 28. Riccati separable

Resuelve \(y'=y^2-1\).

Es separable.

\[ \frac{dy}{y^2-1}=dx \]
\[ \frac12\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=x+C \]

Solución final: \(\frac{y-1}{y+1}=Ce^{2x}\)

Ejercicio 29. Clairaut

Resuelve \(y=xy'+(y')^2\).

Es una ecuación de Clairaut. Se toma \(p=y'\).

\[ y=xp+p^2 \]

La familia general se obtiene con \(p=C\).

\[ y=Cx+C^2 \]

La solución singular sale de \(x+2p=0\), luego \(p=-x/2\).

Solución final: \(y=Cx+C^2\), singular \(y=-x^2/4\)

Ejercicio 30. Exacta compacta

Resuelve \(2xy\,dx+(x^2+1)\,dy=0\).
\[ M_y=2x,\qquad N_x=2x \]

Integramos \(M\) respecto de \(x\).

\[ F=x^2y+\phi(y) \]

Como \(F_y=x^2+\phi'(y)=x^2+1\), queda \(\phi(y)=y\).

Solución final: \(x^2y+y=C\)

Segundo orden homogéneas

Ejercicio 31. Raíces reales distintas

Resuelve \(y''-3y'+2y=0\).

Ecuación característica.

\[ r^2-3r+2=0 \]
\[ (r-1)(r-2)=0 \]

Solución final: \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)

Ejercicio 32. Oscilador armónico

Resuelve \(y''+4y=0\).
\[ r^2+4=0 \]
\[ r=\pm 2i \]

Solución final: \(y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\)

Ejercicio 33. Raíz doble

Resuelve \(y''+6y'+9y=0\).
\[ r^2+6r+9=(r+3)^2 \]

Solución final: \(y=(C_1+C_2x)e^{-3x}\)

Ejercicio 34. Exponenciales simétricas

Resuelve \(y''-4y=0\).
\[ r^2-4=0 \]
\[ r=\pm2 \]

Solución final: \(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)

Ejercicio 35. Raíces complejas con amortiguamiento

Resuelve \(y''+2y'+5y=0\).
\[ r^2+2r+5=0 \]
\[ r=-1\pm 2i \]

Solución final: \(y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)\)

Ejercicio 36. Segunda derivada nula

Resuelve \(y''=0\).

Integramos dos veces.

\[ y'=C_1 \]
\[ y=C_1x+C_2 \]

Solución final: \(y=C_1x+C_2\)

Ejercicio 37. Ecuación con \(y'\)

Resuelve \(y''+y'=0\).
\[ r^2+r=r(r+1)=0 \]

Solución final: \(y=C_1+C_2e^{-x}\)

Ejercicio 38. Ecuación con raíz cero

Resuelve \(y''-y'=0\).
\[ r^2-r=r(r-1)=0 \]

Solución final: \(y=C_1+C_2e^x\)

Ejercicio 39. Condiciones iniciales trigonométricas

Resuelve \(y''+9y=0\), \(y(0)=2\), \(y'(0)=0\).

La solución general es:

\[ y=C_1\cos3x+C_2\sin3x \]

De \(y(0)=2\), \(C_1=2\). De \(y'(0)=0\), \(C_2=0\).

Solución final: \(y=2\cos3x\)

Ejercicio 40. Condiciones iniciales hiperbólicas

Resuelve \(y''-4y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x} \]

Las condiciones dan \(C_1=C_2=\frac12\).

Solución final: \(y=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}=\cosh 2x\)

Segundo orden no homogéneas

Ejercicio 41. No homogénea exponencial

Resuelve \(y''-3y'+2y=e^{3x}\).

Homogénea: \(r=1,2\). Particular \(y_p=Ae^{3x}\).

\[ (9-9+2)A=1 \]
\[ A=\frac12 \]

Solución final: \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}+\frac12e^{3x}\)

Ejercicio 42. Seno no resonante

Resuelve \(y''+y=\sin2x\).

Probamos \(y_p=A\sin2x\).

\[ y_p''+y_p=(-4A+A)\sin2x=-3A\sin2x \]
\[ A=-\frac13 \]

Solución final: \(y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac13\sin2x\)

Ejercicio 43. Resonancia

Resuelve \(y''+y=\cos x\).

Como \(\cos x\) pertenece a la homogénea, multiplicamos por \(x\).

\[ y_p=\frac{x}{2}\sin x \]

Solución final: \(y=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\sin x\)

Ejercicio 44. Término polinómico

Resuelve \(y''-y=x\).

Homogénea: \(C_1e^x+C_2e^{-x}\). Particular \(y_p=ax+b\).

\[ 0-(ax+b)=x \]
\[ a=-1,\qquad b=0 \]

Solución final: \(y=C_1e^x+C_2e^{-x}-x\)

Ejercicio 45. Resonancia doble

Resuelve \(y''+2y'+y=e^{-x}\).

El operador es \((D+1)^2\). Como \(e^{-x}\) está asociado a raíz doble, probamos:

\[ y_p=\frac{x^2}{2}e^{-x} \]

Solución final: \(y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{x^2}{2}e^{-x}\)

Ejercicio 46. Fuerza constante

Resuelve \(y''+4y=8\).

Homogénea: \(C_1\cos2x+C_2\sin2x\). Particular constante \(y_p=A\).

\[ 4A=8 \]

Solución final: \(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x+2\)

Ejercicio 47. Polinomio cuadrático

Resuelve \(y''+y=x^2\).

Probamos \(y_p=ax^2+b\).

\[ 2a+ax^2+b=x^2 \]
\[ a=1,\qquad 2+b=0 \]

Solución final: \(y=C_1\cos x+C_2\sin x+x^2-2\)

Ejercicio 48. Resonancia con \((D-1)^2\)

Resuelve \(y''-2y'+y=e^x\).

El operador es \((D-1)^2\). Al haber resonancia doble:

\[ y_p=\frac{x^2}{2}e^x \]

Solución final: \(y=(C_1+C_2x)e^x+\frac{x^2}{2}e^x\)

Ejercicio 49. Resonancia simple

Resuelve \(y''+3y'+2y=e^{-x}\).

La homogénea tiene raíces \(-1\) y \(-2\). Hay resonancia simple con \(e^{-x}\).

\[ y_p=xe^{-x} \]

Solución final: \(y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}\)

Ejercicio 50. Condición inicial en oscilador

Resuelve \(y''+y=0\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=4\).
\[ y=C_1\cos x+C_2\sin x \]

\(y(0)=0\) da \(C_1=0\). \(y'(0)=4\) da \(C_2=4\).

Solución final: \(y=4\sin x\)

Euler-Cauchy, sistemas y Laplace

Ejercicio 51. Euler-Cauchy con raíz doble

Resuelve \(x^2y''-3xy'+4y=0\).

Probamos \(y=x^m\).

\[ m(m-1)-3m+4=0 \]
\[ (m-2)^2=0 \]

Solución final: \(y=x^2(C_1+C_2\ln x)\)

Ejercicio 52. Euler-Cauchy con raíces opuestas

Resuelve \(x^2y''+xy'-y=0\).
\[ m(m-1)+m-1=m^2-1=0 \]

Solución final: \(y=C_1x+\frac{C_2}{x}\)

Ejercicio 53. Euler-Cauchy raíz doble en 1

Resuelve \(x^2y''-xy'+y=0\).
\[ m(m-1)-m+1=(m-1)^2=0 \]

Solución final: \(y=x(C_1+C_2\ln x)\)

Ejercicio 54. Sistema simétrico

Resuelve \(x'=x+y\), \(y'=x+y\).

Tomamos \(s=x+y\) y \(d=x-y\).

\[ s'=2s,\qquad d'=0 \]
\[ s=Ce^{2t},\qquad d=D \]

Solución final: \(x=\frac{Ce^{2t}+D}{2}\), \(y=\frac{Ce^{2t}-D}{2}\)

Ejercicio 55. Sistema diagonal

Resuelve \(x'=2x\), \(y'=-y\).

Son dos ecuaciones desacopladas.

\[ x=C_1e^{2t} \]
\[ y=C_2e^{-t} \]

Solución final: \(x=C_1e^{2t}\), \(y=C_2e^{-t}\)

Ejercicio 56. Sistema con autovalores

Resuelve \(\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix}3&4\\4&3\end{pmatrix}\binom{x}{y}\).

Los autovalores son \(7\) y \(-1\), con autovectores \((1,1)\) y \((1,-1)\).

Solución final: \(\binom{x}{y}=C_1e^{7t}\binom{1}{1}+C_2e^{-t}\binom{1}{-1}\)

Ejercicio 57. Laplace de primer orden

Resuelve \(y'+2y=0\), \(y(0)=3\), usando Laplace.
\[ sY-3+2Y=0 \]
\[ Y=\frac{3}{s+2} \]

Solución final: \(y=3e^{-2t}\)

Ejercicio 58. Laplace de segundo orden

Resuelve \(y''+y=0\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\).
\[ s^2Y-1+Y=0 \]
\[ Y=\frac{1}{s^2+1} \]

Solución final: \(y=\sin t\)

Ejercicio 59. Laplace con entrada constante

Resuelve \(y'+y=1\), \(y(0)=0\).
\[ sY+Y=\frac{1}{s} \]
\[ Y=\frac{1}{s(s+1)} \]

Solución final: \(y=1-e^{-t}\)

Ejercicio 60. Euler-Cauchy con raíz doble negativa

Resuelve \(x^2y''+3xy'+y=0\).
\[ m(m-1)+3m+1=m^2+2m+1=(m+1)^2 \]

Solución final: \(y=x^{-1}(C_1+C_2\ln x)\)

Métodos numéricos

Ejercicio 61. Euler explícito, un paso

Para \(y'=x+y\), \(y(0)=1\), \(h=0,1\), calcula \(y_1\) por Euler.
\[ y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n) \]
\[ y_1=1+0,1(0+1)=1,1 \]

Solución final: \(y_1=1,1\)

Ejercicio 62. Euler explícito, segundo paso

Continúa el ejercicio anterior y calcula \(y_2\).

Ahora \(x_1=0,1\), \(y_1=1,1\).

\[ f(x_1,y_1)=0,1+1,1=1,2 \]
\[ y_2=1,1+0,1\cdot1,2=1,22 \]

Solución final: \(y_2=1,22\)

Ejercicio 63. Euler frente a solución exacta

Para \(y'=y\), \(y(0)=1\), \(h=0,5\), calcula \(y_1\) por Euler y compara con el valor exacto.
\[ y_1=1+0,5\cdot1=1,5 \]
\[ y(0,5)=e^{0,5}=1,6487 \]

Solución final: Euler da \(1,5\), el valor exacto es \(1,6487\)

Ejercicio 64. Euler mejorado

Para \(y'=x-y\), \(y(0)=1\), \(h=0,1\), calcula \(y_1\) con Euler mejorado.

Primero predictor.

\[ f(0,1)=-1,\qquad y^*=1+0,1(-1)=0,9 \]
\[ f(0,1,0,9)=0,1-0,9=-0,8 \]
\[ y_1=1+\frac{0,1}{2}(-1-0,8)=0,91 \]

Solución final: \(y_1=0,91\)

Ejercicio 65. Runge-Kutta 4 en \(y'=y\)

Aplica RK4 a \(y'=y\), \(y(0)=1\), \(h=0,1\).
\[ k_1=1,\quad k_2=1,05,\quad k_3=1,0525,\quad k_4=1,10525 \]
\[ y_1=1+\frac{0,1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)=1,10517 \]

Solución final: \(y_1\approx1,10517\)

Ejercicio 66. Euler con decaimiento rápido

Para \(y'=-2y\), \(y(0)=4\), \(h=0,25\), calcula \(y_1\).
\[ y_1=4+0,25(-2\cdot4)=4-2=2 \]

Solución final: \(y_1=2\)

Ejercicio 67. Euler en ecuación independiente de \(y\)

Para \(y'=t^2\), \(y(0)=0\), \(h=0,5\), calcula \(y_1\) e \(y_2\).
\[ y_1=0+0,5\cdot0^2=0 \]
\[ y_2=0+0,5\cdot0,5^2=0,125 \]

Solución final: \(y_1=0\), \(y_2=0,125\)

Ejercicio 68. Error local visible

En \(y'=y\), \(y(0)=1\), \(h=0,1\), compara Euler con el exacto en \(x=0,1\).
\[ y_E=1,1,\qquad y_{exacto}=e^{0,1}=1,10517 \]
\[ error=1,10517-1,1=0,00517 \]

Solución final: Error aproximado \(0,00517\)

Ejercicio 69. Estabilidad de Euler

Para \(y'=-10y\), analiza Euler con \(h=0,3\).

El factor de amplificación de Euler es:

\[ 1+h\lambda=1+0,3(-10)=-2 \]

Como su módulo es mayor que 1, el método oscila y crece en valor absoluto.

Solución final: Euler es inestable con \(h=0,3\)

Ejercicio 70. Punto medio

Para \(y'=x+y\), \(y(0)=1\), \(h=0,1\), aplica el método del punto medio.
\[ k_1=f(0,1)=1 \]
\[ f\left(0,05,1+0,05\right)=f(0,05,1,05)=1,10 \]
\[ y_1=1+0,1\cdot1,10=1,11 \]

Solución final: \(y_1=1,11\)

Modelos en ingeniería, física y química

Ejercicio 71. Enfriamiento y parámetro

Un cuerpo pasa de \(80^\circ C\) a \(50^\circ C\) en 10 min. El ambiente está a \(20^\circ C\). Halla \(k\) en \(T'= -k(T-20)\).
\[ T=20+60e^{-kt} \]

En \(t=10\), \(T=50\).

\[ 50=20+60e^{-10k} \]
\[ e^{-10k}=\frac12 \]

Solución final: \(k=\frac{\ln2}{10}\)

Ejercicio 72. Crecimiento de población

Resuelve \(P'=0,03P\), \(P(0)=1000\).
\[ P=Ce^{0,03t} \]

Con \(P(0)=1000\), \(C=1000\).

Solución final: \(P=1000e^{0,03t}\)

Ejercicio 73. Tiempo de duplicación

Para \(P'=0,03P\), calcula el tiempo de duplicación.
\[ 2P_0=P_0e^{0,03t} \]
\[ 2=e^{0,03t} \]

Solución final: \(t=\frac{\ln2}{0,03}\approx23,1\)

Ejercicio 74. Desintegración radiactiva

Resuelve \(N'=-0,2N\), \(N(0)=500\).
\[ N=Ce^{-0,2t} \]

Con \(N(0)=500\), \(C=500\).

Solución final: \(N=500e^{-0,2t}\)

Ejercicio 75. Semivida

Para \(N'=-0,2N\), calcula la semivida.
\[ \frac{N_0}{2}=N_0e^{-0,2t} \]
\[ \frac12=e^{-0,2t} \]

Solución final: \(t=\frac{\ln2}{0,2}\approx3,47\)

Ejercicio 76. Logística con capacidad máxima

Resuelve \(P'=0,1P(1-P/1000)\), \(P(0)=100\).

La solución logística es:

\[ P=\frac{1000}{1+Ce^{-0,1t}} \]

Con \(P(0)=100\):

\[ 100=\frac{1000}{1+C} \]
\[ C=9 \]

Solución final: \(P=\frac{1000}{1+9e^{-0,1t}}\)

Ejercicio 77. Mezcla en tanque

Un tanque de \(100\ L\) recibe \(2\ L/min\) con \(3\ g/L\) y sale \(2\ L/min\). Si \(A(0)=0\), halla \(A(t)\).

La entrada de soluto es \(6\ g/min\). La salida es \(\frac{2}{100}A\).

\[ A'=6-0,02A \]
\[ A=300+Ce^{-0,02t} \]

Con \(A(0)=0\), \(C=-300\).

Solución final: \(A=300(1-e^{-0,02t})\)

Ejercicio 78. Circuito RC

En un circuito RC, \(R=2\), \(C=0,5\), \(E=10\), \(q(0)=0\). Resuelve \(q'+\frac{1}{RC}q=\frac{E}{R}\).

Como \(RC=1\) y \(E/R=5\), queda:

\[ q'+q=5 \]
\[ q=5+Ce^{-t} \]

Con \(q(0)=0\), \(C=-5\).

Solución final: \(q=5(1-e^{-t})\)

Ejercicio 79. Caída con rozamiento lineal

Resuelve \(mv'=mg-kv\), \(v(0)=0\).

Es lineal.

\[ v'+\frac{k}{m}v=g \]

El equilibrio es \(v=\frac{mg}{k}\).

Solución final: \(v=\frac{mg}{k}(1-e^{-kt/m})\)

Ejercicio 80. Cinética química de primer orden

Una concentración \(A\) cumple \(A'=-kA\), \(A(0)=2\), semivida 5. Halla \(A(t)\).

De la semivida:

\[ \frac12=e^{-5k} \]
\[ k=\frac{\ln2}{5} \]

Solución final: \(A(t)=2e^{-(\ln2/5)t}\)

EDP, separación de variables y campos

Ejercicio 81. Calor con modo fundamental

Comprueba que \(u(x,t)=e^{-4t}\sin x\) resuelve \(u_t=4u_{xx}\).
\[ u_t=-4e^{-4t}\sin x \]
\[ u_{xx}=-e^{-4t}\sin x \]
\[ 4u_{xx}=-4e^{-4t}\sin x=u_t \]

Solución final: Sí, la resuelve

Ejercicio 82. Calor con modo \(3\)

Resuelve el modo \(u(x,0)=\sin3x\) para \(u_t=4u_{xx}\).

Para \(\sin nx\), el factor temporal es \(e^{-4n^2t}\).

\[ n=3 \]

Solución final: \(u=e^{-36t}\sin3x\)

Ejercicio 83. Ondas con modo \(2\)

Para \(u_{tt}=9u_{xx}\), escribe la solución separada con modo \(\sin2x\).

Si \(X=\sin2x\), entonces la frecuencia es \(3\cdot2=6\).

Solución final: \(u=(A\cos6t+B\sin6t)\sin2x\)

Ejercicio 84. Laplace por separación

Para \(u_{xx}+u_{yy}=0\), con \(X''+\lambda X=0\), escribe la forma de \(Y\).

Al separar:

\[ \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda \]
\[ Y''-\lambda Y=0 \]

Solución final: \(Y=A\sinh(\sqrt{\lambda}y)+B\cosh(\sqrt{\lambda}y)\)

Ejercicio 85. Transporte simple

Resuelve \(u_x+u_y=0\).

Las características cumplen \(dy/dx=1\), luego \(y-x=C\).

Solución final: \(u=F(y-x)\)

Ejercicio 86. Transporte con velocidad \(c\)

Resuelve \(u_t+c u_x=0\), \(u(x,0)=f(x)\).

La solución se transporta sin deformarse.

\[ x-ct=\text{constante} \]

Solución final: \(u(x,t)=f(x-ct)\)

Ejercicio 87. Verificación rápida

Comprueba que \(u=e^{-t}\sin x\) resuelve \(u_t=u_{xx}\).
\[ u_t=-e^{-t}\sin x \]
\[ u_{xx}=-e^{-t}\sin x \]

Solución final: Sí, porque \(u_t=u_{xx}\)

Ejercicio 88. EDP integrando dos veces

Resuelve formalmente \(u_{xx}=6x\).

Integramos respecto de \(x\).

\[ u_x=3x^2+A(y) \]
\[ u=x^3+A(y)x+B(y) \]

Solución final: \(u=x^3+A(y)x+B(y)\)

Ejercicio 89. Laplace radial

Resuelve \((r u_r)_r=0\).
\[ r u_r=C_1 \]
\[ u_r=\frac{C_1}{r} \]

Solución final: \(u=C_1\ln r+C_2\)

Ejercicio 90. Temperatura estacionaria 1D

Resuelve \(u''=0\), \(u(0)=20\), \(u(10)=80\).

La solución es lineal.

\[ u=ax+b \]

De \(u(0)=20\), \(b=20\). De \(u(10)=80\), \(a=6\).

Solución final: \(u=20+6x\)

Series, fase y estructura cualitativa

Ejercicio 91. Serie de \(e^x\)

Resuelve por serie \(y'=y\), \(y(0)=1\).

Si \(y=\sum a_nx^n\), entonces \(a_{n+1}(n+1)=a_n\).

\[ a_n=\frac{1}{n!} \]

Solución final: \(y=e^x\)

Ejercicio 92. Serie de coseno

Resuelve por serie \(y''+y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).

La recurrencia da solo potencias pares alternadas.

\[ y=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \]

Solución final: \(y=\cos x\)

Ejercicio 93. Frobenius elemental

Resuelve \(x^2y''+xy'-y=0\) buscando \(y=x^m\).
\[ m(m-1)+m-1=m^2-1=0 \]
\[ m=1,\,-1 \]

Solución final: \(y=C_1x+C_2x^{-1}\)

Ejercicio 94. Exacta desde potencial

Dada \(F=x^2y+y^2\), escribe la ecuación diferencial \(dF=0\) y resuélvela.
\[ dF=2xy\,dx+(x^2+2y)\,dy \]

Si \(dF=0\), el potencial es constante.

Solución final: \(2xy\,dx+(x^2+2y)\,dy=0\), \(x^2y+y^2=C\)

Ejercicio 95. Sistema diagonal por matriz

Resuelve \(Y'=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}Y\).

El sistema está desacoplado.

\[ y_1'=y_1,\qquad y_2'=2y_2 \]

Solución final: \(Y=(C_1e^t,\ C_2e^{2t})\)

Ejercicio 96. Sistema triangular

Resuelve \(y_1'=y_1+y_2\), \(y_2'=y_2\).

Primero \(y_2=C_2e^t\).

\[ y_1'-y_1=C_2e^t \]

Hay resonancia, luego:

Solución final: \(y_1=e^t(C_1+C_2t)\), \(y_2=C_2e^t\)

Ejercicio 97. Fórmula general con convolución

Resuelve formalmente \(y'+y=f(t)\).

Factor integrante \(e^t\).

\[ (e^t y)'=e^t f(t) \]

Solución final: \(y=e^{-t}\left(C+\int e^t f(t)\,dt\right)\)

Ejercicio 98. Equilibrios y estabilidad

Analiza los equilibrios de \(y'=y(y-2)\).

Los equilibrios cumplen:

\[ y(y-2)=0 \]
\[ y=0,\qquad y=2 \]

Como \(f'(y)=2y-2\), \(f'(0)=-2\) y \(f'(2)=2\).

Solución final: \(y=0\) estable, \(y=2\) inestable

Ejercicio 99. Sin equilibrios

Resuelve \(y'=y^2+1\).
\[ \frac{dy}{1+y^2}=dx \]
\[ \arctan y=x+C \]

Solución final: \(y=\tan(x+C)\)

Ejercicio 100. Sistema oscilatorio

Resuelve \(x'=y\), \(y'=-x\).

Derivamos la primera ecuación.

\[ x''=y'=-x \]
\[ x''+x=0 \]

Después \(y=x'\).

Solución final: \(x=C_1\cos t+C_2\sin t\), \(y=-C_1\sin t+C_2\cos t\)

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Simulacro universitario de ecuaciones diferenciales

Problema 1

Resuelve \(y'+\frac{2}{x}y=x^2\), \(x>0\), \(y(1)=0\).

Resultado: \(y=\frac{x^3}{5}-\frac{1}{5x^2}\).

Problema 2

Resuelve \(y''-4y=8\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=0\).

Resultado: \(y=2\cosh(2x)-2\).

Problema 3

Un tanque de \(200\ L\) recibe \(5\ L/min\) con concentración \(4\ g/L\), y sale el mismo caudal. Plantea la ecuación para la cantidad de soluto \(A(t)\).

Resultado: \(A'=20-\frac{5}{200}A=20-0,025A\).

Problema 4

Para \(Y'=AY\), con \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&-3\end{pmatrix}\), escribe la solución general.

Resultado: \(Y=(C_1e^{2t},C_2e^{-3t})\).

Criterio de corrección: clasificación 2 puntos, método 2 puntos, desarrollo 3 puntos, condiciones 1 punto, interpretación y unidades 2 puntos.

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Recursos relacionados para seguir estudiando Marlu

Las ecuaciones diferenciales no se estudian aisladas. Para resolverlas bien conviene dominar integrales, matrices, sistemas lineales y, en algunos temas, autovalores y diagonalización. Por eso esta guía conecta con otros recursos y páginas de Marlu Educativa que ayudan a completar la base matemática.

Base matemática

Clases de Matemáticas

Regla de Cramer y método de Gauss

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Recursos educativos

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Recursos que completan la ruta

Integrales y métodos de integración.

Álgebra lineal, matrices y diagonalización.

Autovalores, autovectores y sistemas diferenciales.

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales.

Modelos físicos y químicos con ecuaciones diferenciales.

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Cuando las ecuaciones diferenciales se entienden, la universidad cambia

Este tema une cálculo, álgebra, física, química e ingeniería. En Marlu Educativa lo trabajamos con método: clasificación, desarrollo limpio, interpretación y práctica real con ejercicios.

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Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos universitarios de ingeniería, física, química, ciencias y primeros cursos con asignaturas de cálculo, métodos matemáticos, modelización y ecuaciones diferenciales.

Preguntas frecuentes sobre ecuaciones diferenciales

¿Qué es una ecuación diferencial?

Es una ecuación donde aparece una función desconocida y una o varias de sus derivadas. Resolverla significa encontrar la función o familia de funciones que la cumple.

¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diferencial?

Clasificarla. Hay que mirar orden, linealidad, si es separable, exacta, lineal, de Bernoulli, de segundo orden, sistema, numérica o EDP.

¿Dónde se usan en ingeniería?

En circuitos, transferencia de calor, vibraciones, fluidos, control, materiales, modelos de crecimiento, balances de masa y energía, y métodos numéricos.

¿Dónde se usan en química?

En cinética química, reacciones, balances, difusión, transferencia de materia, termodinámica, electroquímica y modelos de laboratorio.

¿Dónde se usan en física?

En mecánica, oscilaciones, electromagnetismo, ondas, óptica, sistemas dinámicos, física estadística y modelos continuos.

¿Qué diferencia hay entre EDO y EDP?

Una EDO depende de una variable independiente. Una EDP depende de varias variables independientes, por ejemplo espacio y tiempo.

¿Son necesarias las integrales para ecuaciones diferenciales?

Sí. Las integrales son una herramienta básica en separables, lineales, exactas, factores integrantes y muchos modelos.

¿Qué papel tiene el álgebra lineal?

Es esencial en sistemas diferenciales, diagonalización, autovalores, autovectores y estabilidad de sistemas.

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