Blog
Método de Newton-Raphson: teoría, pasos y ejercicios resueltos para universidad
Cálculo y métodos numéricos · Una variable
Newton-Raphson, paso a paso
Aprende a construir la iteración, elegir el punto inicial y comprobar la precisión. Los modelos de cálculo muestran la función, la derivada y las iteraciones; también se estudian los casos en los que Newton se detiene, cambia de raíz o entra en un ciclo.
Para asignaturas de Cálculo y Análisis Numérico de los primeros cursos universitarios. Se trabaja con ecuaciones reales de una variable y modelos propios de práctica. Se necesitan derivadas, funciones elementales y cálculo con cifras de guarda. Las funciones trigonométricas se evalúan en radianes.
Qué problema resuelve Newton–Raphson
Buscamos una raíz real \(r\) de una ecuación no lineal. Primero la escribimos como \(f(x)=0\), fijamos su dominio y construimos aproximaciones \(x_0,x_1,\ldots\). El método necesita evaluar \(f\) y su derivada; una elección razonada del punto inicial y una comprobación de la precisión forman parte de la solución.
De la tangente a la siguiente aproximación
En \(x_n\), sustituimos la curva por su recta tangente. El corte de esa recta con el eje de abscisas proporciona \(x_{n+1}\):
Esta aproximación lineal desprecia los términos de orden superior de Taylor. Resulta más fiel cerca del punto de tangencia; por sí sola no asegura que el nuevo punto se acerque a la raíz.
Fórmula iterativa y condiciones de cada paso
La fórmula exige que \(f(x_n)\) y \(f'(x_n)\) estén definidas y sean finitas, con \(f'(x_n)\ne0\). Antes de dividir, se comprueba si \(f(x_n)=0\): en ese caso ya se ha encontrado una raíz y el proceso termina.
Método de trabajo: calcular y comprobar
- Preparar. Escribe \(f\), calcula \(f'\), determina el dominio y elige \(x_0\) en él. Fija tolerancias y un máximo de iteraciones.
- Comprobar la raíz. Evalúa \(f(x_n)\); si no existe o no es finita, detén el cálculo. Si es exactamente cero, termina con éxito. En caso contrario, evalúa la derivada; si es nula, no existe o no es finita, este paso de Newton no se puede efectuar.
- Proponer. Calcula \(x_{n+1}\) sin redondear prematuramente. Si no es finito o sale del dominio de \(f\), rechaza el paso y revisa el arranque o utiliza un método de encierro.
- Medir. Evalúa \(f(x_{n+1})\) y calcula el incremento. Si has llegado a una raíz exacta o se cumple la parada acordada, presenta el resultado con su comprobación.
- Continuar o informar. Repite desde el nuevo punto. Alcanzar el máximo, detectar un ciclo o quedar estancado exige informar de que no se ha obtenido una aproximación aceptable.
Guarda varias cifras de reserva y redondea al presentar el resultado. Truncar cada iteración a los decimales pedidos puede falsear la parada. Un cero mostrado por la calculadora puede deberse al redondeo; no demuestra una raíz exacta.
Una tabla que permite revisar el cálculo
Registra las columnas \(n\), \(x_n\), \(f(x_n)\), \(f'(x_n)\), \(x_{n+1}\), \(\Delta_{n+1}\) y \(R_{n+1}\). Así quedan visibles la división efectuada y las dos condiciones de parada. Calcula con los valores internos y muestra una cantidad uniforme de decimales; si una cifra pequeña se escribe como cero, conserva su orden de magnitud en notación científica.
La última línea debe indicar por qué se ha detenido el proceso y qué precisión se ha comprobado. Una tabla sin criterio de parada solo recoge cálculos.
Cómo elegir el punto inicial
Si es posible, empieza por un intervalo donde \(f\) sea continua y cambie de signo. Estudia \(f'\) para decidir si la raíz es única y evita arrancar donde la derivada se anule. Las raíces de multiplicidad par pueden existir sin cambio de signo; ese encierro no es un requisito universal de Newton. Una gráfica orienta; varias iteraciones de bisección pueden proporcionar un arranque más cercano.
Una garantía suficiente en un intervalo
Si \(f\in C^2([a,b])\), \(f(a)f(b)<0\), \(f'\ne0\) en todo el intervalo y \(f''\) conserva signo sin anularse, elige el extremo \(x_0\) que cumpla:
Entonces las aproximaciones permanecen en el intervalo y convergen monótonamente a su única raíz. Son condiciones suficientes para esta garantía; Newton también puede converger cuando no se cumplen. Elegir simplemente cualquier punto del intervalo no equivale a aplicar este resultado.
Parar: incremento, residuo y tolerancias
Dos magnitudes observables cumplen funciones distintas:
El incremento mide el cambio entre aproximaciones; el residuo mide cuánto incumple la ecuación el nuevo punto. Ninguno es, en general, el error verdadero.
Una parada práctica combina una tolerancia absoluta \(\tau_a>0\), otra relativa \(\tau_r\ge0\) y una tolerancia del residuo \(\tau_f>0\):
La parte absoluta evita dividir por un valor próximo a cero. La tolerancia del residuo se elige según la escala de \(f\). Cumplir ambos umbrales es una comprobación práctica; una precisión garantizada necesita además una cota de error. Si el enunciado prescribe únicamente \(\Delta_{n+1}<10^{-5}\), se declara que se ha cumplido ese criterio concreto.
Error verdadero y precisión certificada
Para una raíz \(r\), el error absoluto verdadero es \(|x_n-r|\); si \(r\ne0\), el relativo es \(|x_n-r|/|r|\). Como normalmente desconocemos \(r\), usamos indicadores calculables. Los cocientes \(\Delta_{n+1}/|x_{n+1}|\), con \(x_{n+1}\ne0\), son cambios relativos aproximados, no errores verdaderos.
Cota mediante el teorema del valor medio
Supón que \(x_n\) y una raíz \(r\) pertenecen a un intervalo \(I\), \(f\in C^1(I)\) y se ha demostrado que \(|f'(t)|\ge m_1>0\) para todo \(t\in I\). Entonces:
Para garantizar error absoluto menor que \(\varepsilon\), basta comprobar \(|f(x_n)|/m_1<\varepsilon\). El número \(m_1\) debe ser una cota válida en todo \(I\); sustituirlo sin más por \(|f'(x_n)|\) no justifica la garantía.
Multiplicar \(f\) por una constante no nula conserva sus raíces y los pasos de Newton, pero cambia el residuo. Por eso «residuo menor que \(10^{-6}\)» y «error menor que \(10^{-6}\)» no son afirmaciones equivalentes.
Qué garantiza la convergencia y qué puede fallar
Convergencia local en una raíz simple
Si \(f\in C^2\) en un entorno de \(r\), \(f(r)=0\) y \(f'(r)\ne0\), existe una proximidad inicial suficiente desde la que Newton está bien definido y converge a \(r\). Con \(e_n=x_n-r\), Taylor da:
El punto \(\xi_n\) está entre \(x_n\) y \(r\). Cerca de una raíz simple, el orden es al menos dos; habitualmente es cuadrático. Estas hipótesis locales no garantizan convergencia desde un punto lejano.
Raíces múltiples
Si \(f(x)=(x-r)^m q(x)\), con \(m>1\), \(q(r)\ne0\) y suavidad suficiente, el Newton ordinario suele converger linealmente. Si se conoce \(m\), la corrección de multiplicidad recupera convergencia de orden al menos dos:
La corrección no llega siempre a la raíz en un solo paso. Al alcanzar exactamente la raíz, se termina antes de intentar una nueva división.
Diagnóstico de un fallo
Una derivada pequeña puede provocar un salto grande; una órbita también puede salir del dominio, entrar en un ciclo o converger a otra raíz. Un cambio de signo inicial localiza alguna raíz si hay continuidad, pero no controla por sí solo los pasos de Newton.
Newton, bisección y secante: elegir con criterio
Newton necesita una derivada y un arranque adecuado; ofrece gran rapidez local. Bisección necesita continuidad y un intervalo con signos opuestos; conserva el encierro y proporciona una cota por su anchura. Secante utiliza dos aproximaciones y evita la derivada explícita, aunque también puede fallar.
Para combinar Newton y bisección se mantiene un intervalo con cambio de signo. Si una propuesta de Newton no es admisible, se toma un punto medio y se actualiza el encierro por el signo. Una garantía del procedimiento híbrido exige además una regla que fuerce la reducción del intervalo; aceptar cualquier paso interior no basta para prometerla.
19 modelos resueltos de Newton-Raphson
Los primeros modelos fijan el cálculo. Después se estudian la precisión, las raíces múltiples, los ciclos y una forma de conservar un intervalo que encierre la raíz. Las tablas muestran valores redondeados; las actualizaciones se calculan conservando cifras de guarda.
Modelo 1. Aproximar \(\sqrt2\)
Aproxima \(\sqrt2\) mediante Newton-Raphson desde \(x_0=1\). Justifica los ocho decimales del resultado.
Ver solución y comprobación
\(f(1)=-1<0<f(2)=2\). La raíz pedida es positiva. La actualización exige \(x_n\ne0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(1{,}00000000\) | — |
| 1 | \(1{,}50000000\) | \(5{,}00\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}41666667\) | \(8{,}33\cdot10^{-2}\) |
| 3 | \(1{,}41421569\) | \(2{,}45\cdot10^{-3}\) |
| 4 | \(1{,}41421356\) | \(2{,}12\cdot10^{-6}\) |
| 5 | \(1{,}41421356\) | \(1{,}59\cdot10^{-12}\) |
Control: \(I=[1;2]\), \(|f'|\ge m_1=2\); con \(\widehat x=1{,}41421356\), \(|f(\widehat x)|\approx6{,}71\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales. La cota aplica el teorema del valor medio; no identifica el incremento con el error.
Modelo 2. Una ecuación cúbica mediante aproximación
Aproxima la raíz de \(x^3-x-1=0\) situada entre \(1{,}3\) y \(1{,}4\), partiendo de \(x_0=1{,}3\).
Ver solución y comprobación
\(f(1{,}3)=-0{,}103<0<f(1{,}4)=0{,}344\). La derivada es positiva en el intervalo: la raíz localizada es única allí.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(1{,}30000000\) | — |
| 1 | \(1{,}32530713\) | \(2{,}53\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}32471828\) | \(5{,}89\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(1{,}32471796\) | \(3{,}23\cdot10^{-7}\) |
| 4 | \(1{,}32471796\) | \(9{,}74\cdot10^{-14}\) |
Control: \(I=[1{,}3;1{,}4]\), \(|f'|\ge m_1=4{,}07\); con \(\widehat x=1{,}32471796\), \(|f(\widehat x)|\approx1{,}18\cdot10^{-8}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 3. Intersección de \(\cos x\) con \(y=x\)
Resuelve \(\cos x=x\) con \(x_0=0{,}7\). Trabaja en radianes y comprueba la precisión.
Ver solución y comprobación
\(f(0{,}7)>0>f(0{,}8)\). Se trabaja en radianes. En el intervalo, \(\sin x\ge\sin(0{,}7)>0{,}6\); por ello \(|f'(x)|>1{,}6\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(0{,}70000000\) | — |
| 1 | \(0{,}73943650\) | \(3{,}94\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}73908516\) | \(3{,}51\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(0{,}73908513\) | \(2{,}72\cdot10^{-8}\) |
Control: \(I=[0{,}7;0{,}8]\), \(|f'|\ge m_1=1{,}6\); con \(\widehat x=0{,}73908513\), \(|f(\widehat x)|\approx5{,}38\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 4. Una ecuación con exponencial decreciente
Aplica Newton-Raphson a \(e^{-x}-x=0\) con \(x_0=0{,}5\). Da una aproximación con ocho decimales.
Ver solución y comprobación
\(f(0{,}5)>0>f(0{,}6)\). Como \(f'(x)<-1\), la función es estrictamente decreciente y la raíz es única.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(0{,}50000000\) | — |
| 1 | \(0{,}56631100\) | \(6{,}63\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}56714317\) | \(8{,}32\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(0{,}56714329\) | \(1{,}25\cdot10^{-7}\) |
Control: \(I=[0{,}5;0{,}6]\), \(|f'|\ge m_1=1\); con \(\widehat x=0{,}56714329\), \(|f(\widehat x)|\approx6{,}42\cdot10^{-10}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 5. Aproximar \(\sqrt5\)
Calcula \(\sqrt5\) por Newton-Raphson, con \(x_0=2\). Conserva cifras de guarda durante las iteraciones.
Ver solución y comprobación
\(f(2)=-1<0<f(3)=4\). Se busca la raíz positiva. La fórmula requiere \(x_n\ne0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(2{,}00000000\) | — |
| 1 | \(2{,}25000000\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(2{,}23611111\) | \(1{,}39\cdot10^{-2}\) |
| 3 | \(2{,}23606798\) | \(4{,}31\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(2{,}23606798\) | \(4{,}16\cdot10^{-10}\) |
Control: \(I=[2;3]\), \(|f'|\ge m_1=4\); con \(\widehat x=2{,}23606798\), \(|f(\widehat x)|\approx1{,}12\cdot10^{-8}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 6. Mantener las iteraciones en el dominio del logaritmo
Resuelve \(\ln x+x-2=0\) desde \(x_0=1{,}5\). Comprueba el dominio en los valores calculados.
Ver solución y comprobación
\(f(1{,}5)<0<f(1{,}6)\). La derivada es mayor que uno en todo el dominio: la raíz es única. Todos los iterados de la tabla son positivos.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(1{,}50000000\) | — |
| 1 | \(1{,}55672094\) | \(5{,}67\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}55714558\) | \(4{,}25\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(1{,}55714560\) | \(2{,}27\cdot10^{-8}\) |
Control: \(I=[1{,}5;1{,}6]\), \(|f'|\ge m_1=1\); con \(\widehat x=1{,}55714560\), \(|f(\widehat x)|\approx1{,}65\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 7. La misma raíz con una función equivalente
Aproxima la solución de \(xe^x-1=0\) con \(x_0=0{,}5\). Compara sus iteraciones con las del modelo 4.
Ver solución y comprobación
\(f(0{,}5)<0<f(0{,}6)\). La fórmula exige \(x_n\ne-1\). Como \(e^x>0\), esta ecuación comparte raíz con \(e^{-x}-x=0\), pero no sus iteraciones: en el modelo 4, \(x_1\approx0{,}56631100\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(0{,}50000000\) | — |
| 1 | \(0{,}57102044\) | \(7{,}10\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}56715557\) | \(3{,}86\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(0{,}56714329\) | \(1{,}23\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(0{,}56714329\) | \(1{,}23\cdot10^{-10}\) |
Control: \(I=[0{,}5;0{,}6]\), \(|f'|\ge m_1=1\); con \(\widehat x=0{,}56714329\), \(|f(\widehat x)|\approx1{,}13\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 8. Una cúbica con punto inicial entero
Aproxima la raíz de \(x^3-2x-5=0\) situada en \([2;\,2{,}2]\), partiendo de \(x_0=2\).
Ver solución y comprobación
\(f(2)=-1<0<f(2{,}2)=1{,}248\). La función es creciente en ese intervalo y contiene una única raíz.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(2{,}00000000\) | — |
| 1 | \(2{,}10000000\) | \(1{,}00\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(2{,}09456812\) | \(5{,}43\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(2{,}09455148\) | \(1{,}66\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(2{,}09455148\) | \(1{,}56\cdot10^{-10}\) |
Control: \(I=[2;2{,}2]\), \(|f'|\ge m_1=10\); con \(\widehat x=2{,}09455148\), \(|f(\widehat x)|\approx1{,}72\cdot10^{-8}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\). Quedan justificados ocho decimales.
Modelo 9. Comprobar la raíz antes de dividir
Estudia qué debe hacer el algoritmo de Newton para \(f(x)=x^3\) si se toma \(x_0=0\).
Ver solución y comprobación
El inicio ya es una raíz exacta: se devuelve \(x=0\) sin iterar. La derivada formal es \(f'(x)=3x^2\) y \(f'(0)=0\), pero no hay que calcular otro paso.
Aplicar directamente el cociente produciría \(0/0\), que no está definido. Primero se comprueba la raíz; solo si el residuo no es cero se examina la derivada. Una derivada nula con residuo no nulo sí bloquea Newton.
Modelo 10. Raíz doble: el error se reduce a la mitad
Aplica cuatro pasos de Newton a \(f(x)=(x-1)^2\) desde \(x_0=2\). Determina el tipo de convergencia.
Ver solución y comprobación
La raíz \(\alpha=1\) es doble. Para \(x_n\ne1\),
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(2{,}00000000\) | — |
| 1 | \(1{,}50000000\) | \(5{,}00\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}25000000\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) |
| 3 | \(1{,}12500000\) | \(1{,}25\cdot10^{-1}\) |
| 4 | \(1{,}06250000\) | \(6{,}25\cdot10^{-2}\) |
La convergencia es lineal, con factor \(1/2\). En \(x_4=1{,}0625\) quedan error \(|e_4|=0{,}0625\) y residuo \(|f(x_4)|=0{,}00390625\). La multiplicidad explica la pérdida de convergencia cuadrática.
Modelo 11. Aplicar un criterio de parada sin redondearlo
Aproxima la raíz positiva de \(x^2-3=0\) con \(x_0=2\). Detén las iteraciones en el primer paso que cumpla \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\).
Ver solución y comprobación
Se busca la raíz positiva. El incremento se compara con la tolerancia antes de redondearlo.
| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | \(|x_{n+1}-x_n|\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \(2{,}00000000\) | \(1{,}0000\cdot10^{0}\) | \(4{,}00000000\) | \(1{,}75000000\) | \(2{,}5000\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}75000000\) | \(6{,}2500\cdot10^{-2}\) | \(3{,}50000000\) | \(1{,}73214286\) | \(1{,}7857\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}73214286\) | \(3{,}1888\cdot10^{-4}\) | \(3{,}46428571\) | \(1{,}73205081\) | \(9{,}2047\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(1{,}73205081\) | \(8{,}4727\cdot10^{-9}\) | \(3{,}46410162\) | \(1{,}73205081\) | \(2{,}4459\cdot10^{-9}\) |
La primera parada es \(x_4\). Las últimas aproximaciones coinciden al mostrar ocho decimales; el incremento conserva cifras de guarda.
Control: \(f(1{,}7)<0<f(1{,}8)\), \(I=[1{,}7;1{,}8]\), \(|f'|\ge m_1=3{,}4\); para \(\widehat x=1{,}73205081\), \(|f(\widehat x)|\approx8{,}42\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\).
Modelo 12. Varias raíces y elección del punto inicial
Para \(x^3-4x+1=0\), calcula la sucesión de Newton desde \(x_0=0\) y explica por qué el resultado no representa todas las soluciones.
Ver solución y comprobación
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(0{,}00000000\) | — |
| 1 | \(0{,}25000000\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(0{,}25409836\) | \(4{,}10\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(0{,}25410169\) | \(3{,}33\cdot10^{-6}\) |
| 4 | \(0{,}25410169\) | \(2{,}22\cdot10^{-12}\) |
Control: \(f(0)=1>0>f(0{,}5)=-0{,}875\), \(I=[0;0{,}5]\), \(|f'|\ge m_1=3{,}25\); para \(\widehat x=0{,}25410169\), \(|f(\widehat x)|\approx6{,}22\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le |f(\widehat x)|/m_1<5\cdot10^{-9}\).
Además, \(f(-3)<0<f(-2)\) y \(f(1)<0<f(2)\) localizan otras dos raíces. Una cúbica no tiene más de tres; el resultado desde cero no las enumera todas.
| \(x_0\) | Raíz aproximada |
|---|---|
| \(-2\) | \(-2{,}11490754\) |
| \(0\) | \(0{,}25410169\) |
| \(2\) | \(1{,}86080585\) |
Distintos arranques pueden seleccionar distintas raíces. Newton no garantiza convergencia desde cualquier \(x_0\).
Modelo 13. Un ciclo exacto que impide converger
Estudia Newton-Raphson para \(f(x)=x^3-2x+2\) desde \(x_0=0\). Decide si la sucesión converge.
Ver solución y comprobación
El ciclo exacto \(0\leftrightarrow1\) impide converger: incrementos \(1\) y residuos alternos \(2\) y \(1\). Las derivadas en ambos puntos son no nulas. Para conservar un encierro puede utilizarse bisección en \([-2;-1]\), pues \(f(-2)=-2<0<f(-1)=3\).
Modelo 14. Newton modificado cuando la multiplicidad es conocida
Compara Newton estándar y Newton modificado para \(f(x)=(x-1)^2\), con raíz de multiplicidad \(m=2\), partiendo en ambos casos de \(x_0=2\).
Ver solución y comprobación
Para \(x_n\ne1\), Newton estándar da
Con multiplicidad conocida \(m=2\), Newton modificado utiliza
Desde \(x_0=2\) llega a \(x_1=1\) en un paso. Como \(f(1)=0\), se detiene antes de provocar \(0/0\). El paso único es propio de este cuadrado puro: en general, conocer la multiplicidad recupera convergencia cuadrática local bajo las hipótesis habituales, pero no garantiza llegar en una iteración.
Modelo 15. Incremento absoluto y relativo entre iteraciones
Se han obtenido \(x_3=1{,}4142157\) y \(x_4=1{,}4142136\). Calcula los incrementos absoluto y relativo. Explica qué dicen sobre el error respecto a la raíz.
Ver solución y comprobación
El denominador \(x_4\) es no nulo. Son incrementos entre iteraciones, llamados también errores aproximados. El error verdadero sería \(|x_4-\alpha|\); los datos no permiten calcularlo sin conocer la raíz.
Un cambio pequeño sirve como criterio de parada, pero una garantía de precisión necesita información adicional: una cota del error o un residuo con una cota inferior válida de \(|f'|\).
Modelo 16. Una ecuación logarítmica con solución positiva única
Un parámetro adimensional \(x>0\) satisface \(x+\ln x=3\). Aproxima su valor mediante Newton-Raphson con \(x_0=2\) y justifica la unicidad de la solución.
Ver solución y comprobación
La incógnita es adimensional y positiva; así \(\ln x\) está definido. La continuidad y el crecimiento estricto dan unicidad:
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | \(2{,}00000000\) | — |
| 1 | \(2{,}20456855\) | \(2{,}05\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(2{,}20793923\) | \(3{,}37\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(2{,}20794003\) | \(8{,}04\cdot10^{-7}\) |
| 4 | \(2{,}20794003\) | \(4{,}56\cdot10^{-14}\) |
Por crecimiento y concavidad, desde \(x_0=2\) los iterados crecen por debajo de la raíz y permanecen positivos.
Control: \(I=[2;3]\), \(f'\ge m_1=4/3\); para \(\widehat x=2{,}20794003\), \(|f(\widehat x)|\approx2{,}28\cdot10^{-9}\) y \(|\widehat x-\alpha|\le\tfrac34|f(\widehat x)|<5\cdot10^{-9}\). Ocho decimales justificados.
Modelo 17. Derivada nula en un punto que no es raíz
Aplica Newton a \(f(x)=x^2+1\) desde \(x_0=1\). Calcula la primera iteración y decide si puede calcularse la segunda. Compara la situación con \(f(x)=x^3\), \(x_0=0\), del modelo 9.
Ver solución y comprobación
Antes de volver a usar el cociente, comprobamos el nuevo punto:
La segunda iteración no está definida: habría que dividir entre cero. El punto \(0\) no es una solución y la sucesión no ha convergido a una raíz. De hecho, \(x^2+1\ge1\) para todo \(x\in\mathbb R\): esta ecuación no tiene raíces reales.
En el modelo 9 ocurre algo distinto: para \(f(x)=x^3\) y \(x_0=0\), se comprueba primero que \(f(x_0)=0\) y se termina con una raíz exacta. No hace falta evaluar el cociente \(0/0\). El orden de decisión es comprobar raíz exacta y, después, comprobar la derivada.
Modelo 18. Un residuo pequeño y una precisión certificada
Para \(f(x)=10^{-10}(x-100)\), estudia si la condición \(|f(a)|<10^{-6}\) permite aceptar \(a=0\) con error menor que \(10^{-6}\).
Después, considera \(g(x)=x^3-x-1\). Certifica que \(\alpha=1{,}324718\) aproxima a su raíz de \([1,2]\) con seis decimales.
Ver solución y comprobación
La raíz de la primera ecuación es \(r=100\). En la aproximación propuesta:
El residuo pasa el umbral, pero el error es grande. Multiplicar una función por una constante pequeña reduce su residuo sin mover sus raíces. Newton tampoco cambia con esa multiplicación, porque el factor se cancela en \(f/f'\).
Para certificar el segundo caso, \(g(1)=-1\), \(g(2)=5\) y \(g\) es continua. Además:
Existe una única raíz \(r\) en ese intervalo. Como \(\alpha\in[1,2]\), el teorema del valor medio proporciona un \(\xi\) entre \(r\) y \(\alpha\) tal que:
La raíz queda dentro de la celda de redondeo de \(1{,}324718\): sus seis decimales están certificados. Como comprobación independiente mediante bisección, \(r=1{,}324717957244746\ldots\), que redondea al mismo valor. La certificación procede de la cota; las cifras adicionales solo la comprueban.
Modelo 19. Newton con bisección y encierro garantizado
Para \(f(x)=x^3-2x+2\), evita el ciclo de Newton \(0\to1\to0\) mediante un híbrido con bisección. Parte de \([a,b]=[-2,0]\), \(x=0\), y certifica error absoluto menor que \(10^{-6}\).
Ver solución y comprobación
Como \(f(-2)=-2<0<f(0)=2\), la continuidad garantiza una raíz encerrada. Con \(w=b-a\), se fija \(C\) y, solo si \(f'(x)\ne0\), se calcula \(N\):
Se toma \(t=N\) si \(N\in C\). Con derivada nula o candidato exterior, se usa \(t=(a+b)/2\). Si \(f(t)=0\), se termina. Si no, se conserva el subintervalo con cambio de signo y se toma \(x=t\). Se repite hasta \((b-a)/2\le10^{-6}\).
Inicialmente, \(N=1\notin[-1{,}5,-0{,}5]\): se evalúa \(t=-1\). Puesto que \(f(-1)=3\), el intervalo pasa a \([-2,-1]\).
| Paso | Candidato \(N\) | Elección | Punto \(t\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | Bisección | −1 |
| 2 | −4 | Bisección | −1,500000 |
| 3 | −1,842105 | Newton | −1,842105 |
| 4 | −1,772827 | Bisección | −1,671053 |
| 5 | −1,777028 | Newton | −1,777028 |
| 6 | −1,769335 | Bisección | −1,724040 |
El punto elegido queda en la mitad central, de ancho \(w/2\). Cualquiera de los subintervalos restantes mide como máximo \(3w/4\); por ello:
Tras 22 pasos, los extremos redondeados hacia fuera dan:
El punto medio del encierro publicado certifica el error:
La raíz es única: en \([-2,-1]\), \(f'\ge1\); en \([-1,0]\), \(f=x(x^2-2)+2\ge2\). La garantía es de error absoluto; no implica seis decimales redondeados ni convergencia cuadrática del híbrido.
35 ejercicios para practicar
Resuelve cada ejercicio antes de abrir su solución. Escribe la función, comprueba el dominio, calcula la derivada y conserva cifras de guarda. Cuando se da una tolerancia de paso, se comprueba ese criterio; una cota del error exige una justificación adicional.
Práctica 1. Aproximar una raíz cuadrada
Aplica Newton a \(x^2-7=0\) desde \(x_0=3\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
La función está definida en \(\mathbb R\); la actualización exige \(x_n\ne0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(3{,}000000000000\) | — | \(2{,}00\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(2{,}666666666667\) | \(3{,}33\cdot10^{-1}\) | \(1{,}11\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(2{,}645833333333\) | \(2{,}08\cdot10^{-2}\) | \(4{,}34\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(2{,}645751312336\) | \(8{,}20\cdot10^{-5}\) | \(6{,}73\cdot10^{-9}\) |
| 4 | \(2{,}645751311065\) | \(1{,}27\cdot10^{-9}\) | \(1{,}62\cdot10^{-18}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(2{,}6457513110;\,2{,}6457513111\bigr)\). La ecuación tiene las raíces \(\pm\sqrt7\); el inicio positivo conduce a \(\sqrt7\).
Práctica 2. Una raíz cúbica
Aplica Newton a \(x^3-2=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Dominio real; hay que evitar \(x_n=0\) al actualizar.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(1{,}00\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(1{,}333333333333\) | \(3{,}33\cdot10^{-1}\) | \(3{,}70\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}263888888889\) | \(6{,}94\cdot10^{-2}\) | \(1{,}90\cdot10^{-2}\) |
| 3 | \(1{,}259933493450\) | \(3{,}96\cdot10^{-3}\) | \(5{,}93\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(1{,}259921050018\) | \(1{,}24\cdot10^{-5}\) | \(5{,}85\cdot10^{-10}\) |
| 5 | \(1{,}259921049895\) | \(1{,}23\cdot10^{-10}\) | \(5{,}71\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_5\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}2599210498;\,1{,}2599210499\bigr)\). \(x^3\) es estrictamente creciente: la raíz real es única.
Práctica 3. Un polinomio estrictamente creciente
Aplica Newton a \(x^3+x-3=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(f^{\prime}(x)=3x^2+1>0\) para todo \(x\): la derivada nunca anula el denominador.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(1{,}00\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(1{,}250000000000\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) | \(2{,}03\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}214285714286\) | \(3{,}57\cdot10^{-2}\) | \(4{,}74\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(1{,}213412175783\) | \(8{,}74\cdot10^{-4}\) | \(2{,}78\cdot10^{-6}\) |
| 4 | \(1{,}213411662762\) | \(5{,}13\cdot10^{-7}\) | \(9{,}58\cdot10^{-13}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}2134116627;\,1{,}2134116628\bigr)\). \(f^{\prime}>0\) y \(f(1)<0<f(2)\) prueban existencia y unicidad.
Práctica 4. Una ecuación exponencial
Aplica Newton a \(e^x-3=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\) y \(f^{\prime}(x)=e^x>0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(2{,}82\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}103638323514\) | \(1{,}04\cdot10^{-1}\) | \(1{,}51\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}098624898047\) | \(5{,}01\cdot10^{-3}\) | \(3{,}78\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(1{,}098612288748\) | \(1{,}26\cdot10^{-5}\) | \(2{,}38\cdot10^{-10}\) |
| 4 | \(1{,}098612288668\) | \(7{,}95\cdot10^{-11}\) | \(9{,}48\cdot10^{-21}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}0986122886;\,1{,}0986122887\bigr)\). \(e^x=3\Longleftrightarrow x=\ln3\) comprueba la solución analíticamente.
Práctica 5. Una ecuación logarítmica
Aplica Newton a \(\ln x-1=0\) desde \(x_0=2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Se exige \(x_n>0\) en todos los pasos; los valores de la tabla permanecen en el dominio.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(2{,}000000000000\) | — | \(3{,}07\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(2{,}613705638880\) | \(6{,}14\cdot10^{-1}\) | \(3{,}92\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(2{,}716243926356\) | \(1{,}03\cdot10^{-1}\) | \(7{,}50\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(2{,}718281064358\) | \(2{,}04\cdot10^{-3}\) | \(2{,}81\cdot10^{-7}\) |
| 4 | \(2{,}718281828459\) | \(7{,}64\cdot10^{-7}\) | \(3{,}95\cdot10^{-14}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(2{,}7182818284;\,2{,}7182818285\bigr)\). \(\ln x=1\Longleftrightarrow x=e\) comprueba la solución analíticamente.
Práctica 6. Dos raíces simétricas
Aplica Newton a \(x^2-\cos x=0\) desde \(x_0=0{,}8\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
La función es real y par; desde \(x_0=0{,}8\) se busca la raíz positiva.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(0{,}800000000000\) | — | \(5{,}67\cdot10^{-2}\) |
| 1 | \(0{,}824470434030\) | \(2{,}45\cdot10^{-2}\) | \(8{,}06\cdot10^{-4}\) |
| 2 | \(0{,}824132376563\) | \(3{,}38\cdot10^{-4}\) | \(1{,}53\cdot10^{-7}\) |
| 3 | \(0{,}824132312303\) | \(6{,}43\cdot10^{-8}\) | \(5{,}53\cdot10^{-15}\) |
La primera parada corresponde a \(x_3\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(0{,}8241323123;\,0{,}8241323124\bigr)\). Una raíz satisface \(|x|\le1\). En \((0,1]\), \(f^{\prime}=2x+\sin x>0\); por paridad hay exactamente dos raíces opuestas.
Práctica 7. Una ecuación trigonométrica creciente
Aplica Newton a \(x-\sin x-\tfrac12=0\) desde \(x_0=1{,}5\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
La actualización requiere \(1-\cos x_n\ne0\); todos los valores calculados la cumplen.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}500000000000\) | — | \(2{,}51\cdot10^{-3}\) |
| 1 | \(1{,}497304300355\) | \(2{,}70\cdot10^{-3}\) | \(3{,}62\cdot10^{-6}\) |
| 2 | \(1{,}497300389104\) | \(3{,}91\cdot10^{-6}\) | \(7{,}63\cdot10^{-12}\) |
| 3 | \(1{,}497300389096\) | \(8{,}23\cdot10^{-12}\) | \(3{,}38\cdot10^{-23}\) |
La primera parada corresponde a \(x_3\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}4973003890;\,1{,}4973003891\bigr)\). \(f^{\prime}=1-\cos x\ge0\) y sus ceros son aislados: \(f\) es estrictamente creciente y tiene una sola raíz.
Práctica 8. Un salto inicial fuera del intervalo
Aplica Newton a \(x^4-5x+1=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Dominio real; se evita \(4x_n^3-5=0\). El primer paso es \(x_1=-2\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(3{,}00\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(-2{,}000000000000\) | \(3{,}00\cdot10^{0}\) | \(2{,}70\cdot10^{1}\) |
| 2 | \(-1{,}270270270270\) | \(7{,}30\cdot10^{-1}\) | \(9{,}96\cdot10^{0}\) |
| 3 | \(-0{,}516032007459\) | \(7{,}54\cdot10^{-1}\) | \(3{,}65\cdot10^{0}\) |
| 4 | \(0{,}141859359165\) | \(6{,}58\cdot10^{-1}\) | \(2{,}91\cdot10^{-1}\) |
| 5 | \(0{,}200214268453\) | \(5{,}84\cdot10^{-2}\) | \(5{,}36\cdot10^{-4}\) |
| 6 | \(0{,}200322065645\) | \(1{,}08\cdot10^{-4}\) | \(2{,}80\cdot10^{-9}\) |
| 7 | \(0{,}200322066208\) | \(5{,}63\cdot10^{-10}\) | \(7{,}63\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_7\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(0{,}2003220662;\,0{,}2003220663\bigr)\). La única abscisa crítica es \(\sqrt[3]{5/4}\), donde hay un mínimo negativo. Existen dos raíces positivas; desde este inicio se obtiene la menor.
Práctica 9. La otra raíz de la cuártica
Aplica Newton a \(x^4-5x+1=0\) desde \(x_0=1{,}7\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Dominio real; se evita \(4x_n^3-5=0\). Este inicio selecciona la raíz mayor.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}700000000000\) | — | \(8{,}52\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}641844116844\) | \(5{,}82\cdot10^{-2}\) | \(5{,}73\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}637331950632\) | \(4{,}51\cdot10^{-3}\) | \(3{,}29\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(1{,}637305776295\) | \(2{,}62\cdot10^{-5}\) | \(1{,}10\cdot10^{-8}\) |
| 4 | \(1{,}637305775418\) | \(8{,}78\cdot10^{-10}\) | \(1{,}24\cdot10^{-17}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}6373057754;\,1{,}6373057755\bigr)\). La única abscisa crítica es \(\sqrt[3]{5/4}\), donde hay un mínimo negativo. Las dos raíces positivas son \(0{,}200322\ldots\) y \(1{,}637306\ldots\).
Práctica 10. La raíz ya está en el punto inicial
Para \(f(x)=x^3\) y \(x_0=0\), decide si hace falta iterar y explica qué ocurriría al aplicar directamente la fórmula de Newton.
Ver solución y comprobación
El punto inicial ya es la raíz exacta. El algoritmo debe comprobar el residuo y detenerse antes de dividir.
Para \(x_n\ne0\) se puede simplificar \(N(x_n)=2x_n/3\); esa simplificación no legitima calcular el cociente original en \(0\).
Práctica 11. Cuatro pasos hacia una raíz doble
Para \(f(x)=(x-2)^2\) y \(x_0=3\), calcula exactamente cuatro iteraciones del Newton estándar e identifica el tipo de convergencia.
Ver solución y comprobación
La raíz es doble y la convergencia es lineal, con razón \(1/2\).
Práctica 12. Seleccionar la raíz 1
Aplica Newton a \(x^3-6x^2+11x-6=0\) desde \(x_0=0{,}8\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\); el inicio determina a qué raíz conduce Newton.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(0{,}800000000000\) | — | \(5{,}28\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(0{,}959036144578\) | \(1{,}59\cdot10^{-1}\) | \(8{,}70\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}997702350054\) | \(3{,}87\cdot10^{-2}\) | \(4{,}61\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(0{,}999992123433\) | \(2{,}29\cdot10^{-3}\) | \(1{,}58\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(0{,}999999999907\) | \(7{,}88\cdot10^{-6}\) | \(1{,}86\cdot10^{-10}\) |
| 5 | \(1{,}000000000000\) | \(9{,}31\cdot10^{-11}\) | \(2{,}60\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_5\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
La factorización verifica las raíces \(1,2,3\). Esta sucesión converge a \(1\).
Práctica 13. Seleccionar la raíz 2
Aplica Newton a \(x^3-6x^2+11x-6=0\) desde \(x_0=2{,}2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\); el inicio determina a qué raíz conduce Newton.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(2{,}200000000000\) | — | \(1{,}92\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}981818181818\) | \(2{,}18\cdot10^{-1}\) | \(1{,}82\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(2{,}000012032970\) | \(1{,}82\cdot10^{-2}\) | \(1{,}20\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(2{,}000000000000\) | \(1{,}20\cdot10^{-5}\) | \(3{,}48\cdot10^{-15}\) |
| 4 | \(2{,}000000000000\) | \(3{,}48\cdot10^{-15}\) | \(8{,}46\cdot10^{-44}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
La factorización verifica las raíces \(1,2,3\). Esta sucesión converge a \(2\).
Práctica 14. Seleccionar la raíz 3
Aplica Newton a \(x^3-6x^2+11x-6=0\) desde \(x_0=3{,}2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\); el inicio determina a qué raíz conduce Newton.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(3{,}200000000000\) | — | \(5{,}28\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(3{,}040963855422\) | \(1{,}59\cdot10^{-1}\) | \(8{,}70\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(3{,}002297649946\) | \(3{,}87\cdot10^{-2}\) | \(4{,}61\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(3{,}000007876567\) | \(2{,}29\cdot10^{-3}\) | \(1{,}58\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(3{,}000000000093\) | \(7{,}88\cdot10^{-6}\) | \(1{,}86\cdot10^{-10}\) |
| 5 | \(3{,}000000000000\) | \(9{,}31\cdot10^{-11}\) | \(2{,}60\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_5\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
La factorización verifica las raíces \(1,2,3\). Esta sucesión converge a \(3\).
Práctica 15. Una exponencial decreciente
Aplica Newton a \(e^{-x}-x=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\) y \(f^{\prime}(x)=-e^{-x}-1<0\): hay una única raíz real.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(6{,}32\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(0{,}537882842740\) | \(4{,}62\cdot10^{-1}\) | \(4{,}61\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}566986991405\) | \(2{,}91\cdot10^{-2}\) | \(2{,}45\cdot10^{-4}\) |
| 3 | \(0{,}567143285989\) | \(1{,}56\cdot10^{-4}\) | \(6{,}93\cdot10^{-9}\) |
| 4 | \(0{,}567143290410\) | \(4{,}42\cdot10^{-9}\) | \(5{,}54\cdot10^{-18}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(0{,}5671432904;\,0{,}5671432905\bigr)\). \(f(0)=1>0\), \(f(1)<0\) y \(f^{\prime}<0\) comprueban la unicidad.
Práctica 16. La ecuación del punto fijo del coseno
Aplica Newton a \(\cos x-x=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\). La función es estrictamente decreciente y tiene una única raíz.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(4{,}60\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(0{,}750363867840\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) | \(1{,}89\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}739112890911\) | \(1{,}13\cdot10^{-2}\) | \(4{,}65\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(0{,}739085133385\) | \(2{,}78\cdot10^{-5}\) | \(2{,}85\cdot10^{-10}\) |
| 4 | \(0{,}739085133215\) | \(1{,}70\cdot10^{-10}\) | \(1{,}07\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(0{,}7390851332;\,0{,}7390851333\bigr)\). \(f(0)>0>f(1)\) encierra la raíz. La derivada es no positiva y solo se anula en puntos aislados.
Práctica 17. Controlar la rama de la tangente
Aplica Newton a \(\tan x-x-1=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
Se trabaja en \((0,\pi/2)\) y se exige \(\tan x_n\ne0\). La tabla conserva esa rama.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(4{,}43\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}182473238940\) | \(1{,}82\cdot10^{-1}\) | \(2{,}62\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}138634958109\) | \(4{,}38\cdot10^{-2}\) | \(2{,}94\cdot10^{-2}\) |
| 3 | \(1{,}132372768838\) | \(6{,}26\cdot10^{-3}\) | \(4{,}78\cdot10^{-4}\) |
| 4 | \(1{,}132267753974\) | \(1{,}05\cdot10^{-4}\) | \(1{,}30\cdot10^{-7}\) |
| 5 | \(1{,}132267725273\) | \(2{,}87\cdot10^{-8}\) | \(9{,}74\cdot10^{-15}\) |
La primera parada corresponde a \(x_5\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}1322677252;\,1{,}1322677253\bigr)\). En cada rama entre polos, \(f^{\prime}=\tan^2x\ge0\) y los límites son \(-\infty\) y \(+\infty\): hay una raíz por rama, y aquí se obtiene la de \((0,\pi/2)\).
Práctica 18. Una incógnita positiva con logaritmo
Aplica Newton a \(x+\ln x-3=0\) desde \(x_0=2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Se exige \(x_n>0\); en ese dominio \(f^{\prime}(x)=1+1/x>0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(2{,}000000000000\) | — | \(3{,}07\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(2{,}204568546293\) | \(2{,}05\cdot10^{-1}\) | \(4{,}90\cdot10^{-3}\) |
| 2 | \(2{,}207939227901\) | \(3{,}37\cdot10^{-3}\) | \(1{,}17\cdot10^{-6}\) |
| 3 | \(2{,}207940031569\) | \(8{,}04\cdot10^{-7}\) | \(6{,}62\cdot10^{-14}\) |
La primera parada corresponde a \(x_3\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(2{,}2079400315;\,2{,}2079400316\bigr)\). \(f^{\prime}>0\) y \(f(2)<0<f(3)\) prueban que la raíz positiva es única.
Práctica 19. Una ecuación con dos raíces reales
Aplica Newton a \(x^2+e^x-4=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\). Desde \(x_0=1\) se obtiene la raíz positiva.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(2{,}82\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}059707788085\) | \(5{,}97\cdot10^{-2}\) | \(8{,}51\cdot10^{-3}\) |
| 2 | \(1{,}058007813443\) | \(1{,}70\cdot10^{-3}\) | \(7{,}06\cdot10^{-6}\) |
| 3 | \(1{,}058006401092\) | \(1{,}41\cdot10^{-6}\) | \(4{,}87\cdot10^{-12}\) |
| 4 | \(1{,}058006401091\) | \(9{,}74\cdot10^{-13}\) | \(2{,}32\cdot10^{-24}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}0580064010;\,1{,}0580064011\bigr)\). \(f^{\prime\prime}=2+e^x>0\), \(f(0)=-3\) y los límites positivos en ambos extremos prueban que hay dos raíces. La otra es aproximadamente \(-1{,}964636\).
Práctica 20. Tolerancia de parada y error real
Se pide un error absoluto menor que \(10^{-6}\). Distingue una tolerancia práctica de parada de una cota que certifique ese error y propón un control válido.
Ver solución y comprobación
Después de actualizar, se calcula \(\Delta_{n+1}\). Un incremento pequeño y un residuo pequeño son controles útiles, pero por sí solos no garantizan \(|x_{n+1}-\alpha|<10^{-6}\).
Si la raíz \(\alpha\) y \(x_{n+1}\) están en un intervalo \(I\), con \(f\in C^1(I)\), donde \(|f^{\prime}(t)|\ge m_0>0\), el teorema del valor medio da:
Otra opción es conservar un intervalo que encierre la raíz y detener bisección cuando su semianchura sea menor que \(10^{-6}\), devolviendo el punto medio del intervalo. Añadir siempre controles de dominio, denominador y máximo de iteraciones.
Práctica 21. Un inicio poco favorable que converge
Aplica Newton a \(\cos x+x=0\) desde \(x_0=2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\). El primer salto es grande porque \(1-\sin2\approx0{,}090703\); aun así, esta sucesión converge.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(2{,}000000000000\) | — | \(1{,}58\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(-15{,}462053258499\) | \(1{,}75\cdot10^{1}\) | \(1{,}64\cdot10^{1}\) |
| 2 | \(-2{,}247115748950\) | \(1{,}32\cdot10^{1}\) | \(2{,}87\cdot10^{0}\) |
| 3 | \(-0{,}632939653426\) | \(1{,}61\cdot10^{0}\) | \(1{,}73\cdot10^{-1}\) |
| 4 | \(-0{,}741862415144\) | \(1{,}09\cdot10^{-1}\) | \(4{,}65\cdot10^{-3}\) |
| 5 | \(-0{,}739086831395\) | \(2{,}78\cdot10^{-3}\) | \(2{,}84\cdot10^{-6}\) |
| 6 | \(-0{,}739085133216\) | \(1{,}70\cdot10^{-6}\) | \(1{,}07\cdot10^{-12}\) |
| 7 | \(-0{,}739085133215\) | \(6{,}37\cdot10^{-13}\) | \(1{,}50\cdot10^{-25}\) |
La primera parada corresponde a \(x_7\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(-0{,}7390851333;\,-0{,}7390851332\bigr)\). \(f^{\prime}=1-\sin x\ge0\) y sus ceros son aislados: la raíz es única. Por paridad del coseno, es la opuesta a la de \(\cos x-x=0\).
Práctica 22. Cambio absoluto entre iteraciones
Calcula el cambio absoluto entre \(x_3=2{,}094568\) y \(x_4=2{,}094551\). ¿Es necesariamente el error respecto de la raíz?
Ver solución y comprobación
Es la diferencia entre dos aproximaciones. El error verdadero sería \(|x_4-\alpha|\); para conocerlo hace falta la raíz o una cota justificada.
Práctica 23. Cambio relativo entre iteraciones
Con \(x_n=1{,}732143\) y \(x_{n+1}=1{,}732051\), calcula el cambio relativo aproximado usando como denominador la nueva aproximación. Exprésalo también en porcentaje.
Ver solución y comprobación
El denominador es no nulo. Se mide un cambio relativo entre iteraciones, no el error relativo verdadero respecto de la raíz.
Práctica 24. Una derivada pequeña exige contexto
Explica por qué una derivada pequeña puede producir problemas en Newton y por qué su tamaño, aislado, no basta para diagnosticar un fallo.
Ver solución y comprobación
Si el denominador es pequeño frente al numerador, el salto puede ser grande y salir del dominio o del intervalo de interés. Hay que examinar el cociente y la escala del problema.
Por ejemplo, \(f(x)=10^{-12}(x-1)\) tiene derivada pequeña, pero desde cualquier \(x_0\) Newton da \(x_1=1\) en un paso. Multiplicar una función por una constante no cambia la actualización exacta.
Práctica 25. La garantía de bisección
Explica cuándo bisección puede ser preferible a Newton y qué hipótesis sostienen su garantía de convergencia.
Ver solución y comprobación
Estas hipótesis aseguran una raíz y permiten conservar un cambio de signo en intervalos anidados. Bisección no necesita derivadas.
Aquí \(c_k\) es el punto medio del intervalo después de \(k\) divisiones. Newton suele ser más rápido cerca de una raíz simple, con suficiente regularidad y un inicio adecuado; desde un inicio arbitrario puede fallar.
Práctica 26. Un ciclo exacto de periodo dos
Aplica Newton a \(f(x)=x^3-2x+2\) desde \(x_0=0\). Calcula los dos primeros pasos y deduce el comportamiento de toda la sucesión.
Ver solución y comprobación
Hay un ciclo exacto de periodo dos. Además \(f(0)=2\) y \(f(1)=1\): ninguno de sus puntos es raíz. Conviene cambiar de inicio o usar un método con intervalo.
Práctica 27. Tres pasos del Newton estándar
Para \(f(x)=(x-3)^2\), calcula las tres primeras iteraciones del Newton estándar desde \(x_0=5\) y determina cómo cambia el error.
Ver solución y comprobación
Cada paso divide el error por dos: convergencia lineal hacia la raíz doble \(3\).
Práctica 28. Newton modificado con multiplicidad conocida
Para \(f(x)=(x-3)^2\), aplica Newton modificado con multiplicidad conocida \(m=2\) desde \(x_0=5\). Comprueba cuándo debe detenerse.
Ver solución y comprobación
Se alcanza la raíz exacta en una actualización. Se detiene antes de intentar otro cociente: en la raíz, el numerador y la derivada son cero.
Práctica 29. Un polinomio de grado cinco
Aplica Newton a \(x^5-x-1=0\) desde \(x_0=1{,}2\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Dominio real; la actualización exige \(5x_n^4-1\ne0\), condición cumplida en la tabla.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}200000000000\) | — | \(2{,}88\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}169222886422\) | \(3{,}08\cdot10^{-2}\) | \(1{,}60\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(1{,}167311020061\) | \(1{,}91\cdot10^{-3}\) | \(5{,}83\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(1{,}167303978357\) | \(7{,}04\cdot10^{-6}\) | \(7{,}89\cdot10^{-10}\) |
| 4 | \(1{,}167303978261\) | \(9{,}52\cdot10^{-11}\) | \(1{,}44\cdot10^{-19}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}1673039782;\,1{,}1673039783\bigr)\). Con \(a=5^{-1/4}\), el máximo local cumple \(f(-a)=4a/5-1<0\) y el mínimo también es negativo. Por ello solo hay una raíz real.
Práctica 30. Una exponencial con término cuadrático
Aplica Newton a \(e^{-x}+x^2-2=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\). Desde \(x_0=1\) se obtiene la raíz positiva.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(6{,}32\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}387300163220\) | \(3{,}87\cdot10^{-1}\) | \(1{,}74\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}318246435363\) | \(6{,}91\cdot10^{-2}\) | \(5{,}38\cdot10^{-3}\) |
| 3 | \(1{,}315976250086\) | \(2{,}27\cdot10^{-3}\) | \(5{,}84\cdot10^{-6}\) |
| 4 | \(1{,}315973777799\) | \(2{,}47\cdot10^{-6}\) | \(6{,}93\cdot10^{-12}\) |
| 5 | \(1{,}315973777796\) | \(2{,}93\cdot10^{-12}\) | \(9{,}75\cdot10^{-24}\) |
La primera parada corresponde a \(x_5\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}3159737777;\,1{,}3159737778\bigr)\). \(f^{\prime\prime}=e^{-x}+2>0\), \(f(0)=-1\) y los límites positivos en ambos extremos prueban que hay dos raíces. La otra es \(-0{,}537274\ldots\).
Práctica 31. Logaritmo y cuadrado
Aplica Newton a \(\ln x+x^2-4=0\) desde \(x_0=1{,}8\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
Se exige \(x_n>0\); además \(1/x+2x>0\) en todo el dominio.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}800000000000\) | — | \(1{,}72\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(1{,}841441711655\) | \(4{,}14\cdot10^{-2}\) | \(1{,}46\cdot10^{-3}\) |
| 2 | \(1{,}841097082414\) | \(3{,}45\cdot10^{-4}\) | \(1{,}01\cdot10^{-7}\) |
| 3 | \(1{,}841097058450\) | \(2{,}40\cdot10^{-8}\) | \(4{,}90\cdot10^{-16}\) |
La primera parada corresponde a \(x_3\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}8410970584;\,1{,}8410970585\bigr)\). \(f^{\prime}>0\) en \((0,\infty)\), y \(f\) pasa de \(-\infty\) a \(+\infty\): hay una sola raíz.
Práctica 32. Un coseno con coeficiente dos
Aplica Newton a \(2\cos x-x=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
Dominio real; los valores calculados mantienen \(-2\sin x_n-1\ne0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(8{,}06\cdot10^{-2}\) |
| 1 | \(1{,}030043367560\) | \(3{,}00\cdot10^{-2}\) | \(4{,}80\cdot10^{-4}\) |
| 2 | \(1{,}029866535253\) | \(1{,}77\cdot10^{-4}\) | \(1{,}61\cdot10^{-8}\) |
| 3 | \(1{,}029866529322\) | \(5{,}93\cdot10^{-9}\) | \(1{,}81\cdot10^{-17}\) |
La primera parada corresponde a \(x_3\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}0298665293;\,1{,}0298665294\bigr)\). Toda raíz está en \([-2,2]\). En \([-2,0]\) el mínimo se alcanza en un extremo y ambos valores son positivos; en \([0,2]\), \(f^{\prime}<0\). La raíz positiva es única.
Práctica 33. Conservar el dominio del logaritmo
En una ecuación real que contiene \(\ln x\), explica qué debe comprobarse en el inicio y en cada nuevo iterado. ¿Basta comenzar con \(x_0>0\)?
Ver solución y comprobación
Un inicio positivo es necesario, pero no garantiza que Newton conserve el dominio. Para \(f(x)=\ln x-1\):
El siguiente logaritmo real no existe. Si un paso sale del dominio, se debe proteger el intervalo o reducir el paso antes de continuar.
Práctica 34. Elegir el inicio con una raíz cuadrada
Para \(f(x)=\sqrt{x}-2\), distingue el dominio de la función del requisito para iniciar Newton. Determina qué valores de \(x_0\) permiten mantener válida toda la iteración ordinaria.
Ver solución y comprobación
La función admite \(x_0=0\), pero Newton estándar necesita \(x_0>0\). La actualización se simplifica a:
Por tanto, \(0<x_0<16\) da \(0<x_1\le4\); después la sucesión crece hacia \(4\) porque \(N(x)-x=2\sqrt{x}(2-\sqrt{x})>0\) en \((0,4)\).
Si \(x_0=16\), se obtiene \(x_1=0\) y la siguiente derivada no existe; si \(x_0>16\), el primer paso es negativo. \(x_0=4\) ya es la raíz exacta.
Práctica 35. Resolver una ecuación con raíz cuadrada
Aplica Newton a \(\sqrt{x}-2=0\) desde \(x_0=5\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado.
Ver solución y comprobación
\(D_f=[0,\infty)\), pero la derivada y la actualización ordinaria necesitan \(x_n>0\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(5{,}000000000000\) | — | \(2{,}36\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(3{,}944271909999\) | \(1{,}06\cdot10^{0}\) | \(1{,}40\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(3{,}999804534748\) | \(5{,}55\cdot10^{-2}\) | \(4{,}89\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(3{,}999999997612\) | \(1{,}95\cdot10^{-4}\) | \(5{,}97\cdot10^{-10}\) |
| 4 | \(4{,}000000000000\) | \(2{,}39\cdot10^{-9}\) | \(8{,}91\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
\(\sqrt{x}=2\Longleftrightarrow x=4\); no hay más raíces reales.
Simulacro universitario: cinco preguntas
Modelo propio para comprobar el procedimiento y la interpretación. No corresponde a una convocatoria oficial. Justifica las restricciones, la parada y el significado de los números obtenidos.
Simulacro 1. Newton con una parada fijada
Resuelve \(x^3-2=0\) con \(x_0=1\) hasta que \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\). Identifica la primera iteración que cumple el criterio y comprueba la aproximación.
Ver solución y comprobación
Los iterados son positivos, de modo que el denominador no se anula.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(1{,}00\cdot10^{0}\) |
| 1 | \(1{,}333333333333\) | \(3{,}33\cdot10^{-1}\) | \(3{,}70\cdot10^{-1}\) |
| 2 | \(1{,}263888888889\) | \(6{,}94\cdot10^{-2}\) | \(1{,}90\cdot10^{-2}\) |
| 3 | \(1{,}259933493450\) | \(3{,}96\cdot10^{-3}\) | \(5{,}93\cdot10^{-5}\) |
| 4 | \(1{,}259921050018\) | \(1{,}24\cdot10^{-5}\) | \(5{,}85\cdot10^{-10}\) |
| 5 | \(1{,}259921049895\) | \(1{,}23\cdot10^{-10}\) | \(5{,}71\cdot10^{-20}\) |
La primera parada es \(x_5\). Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(1{,}2599210498;\,1{,}2599210499\bigr)\).
Simulacro 2. Una ecuación trigonométrica
Aplica Newton a \(\cos x-x=0\) desde \(x_0=1\). Detén en la primera actualización que cumpla \(\Delta_{n+1}=|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprueba el resultado. Trabaja en radianes.
Ver solución y comprobación
\(D_f=\mathbb R\). La función es estrictamente decreciente y tiene una única raíz.
| \(n\) | \(x_n\) | \(\Delta_n=|x_n-x_{n-1}|\) | \(|f(x_n)|\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1{,}000000000000\) | — | \(4{,}60\cdot10^{-1}\) |
| 1 | \(0{,}750363867840\) | \(2{,}50\cdot10^{-1}\) | \(1{,}89\cdot10^{-2}\) |
| 2 | \(0{,}739112890911\) | \(1{,}13\cdot10^{-2}\) | \(4{,}65\cdot10^{-5}\) |
| 3 | \(0{,}739085133385\) | \(2{,}78\cdot10^{-5}\) | \(2{,}85\cdot10^{-10}\) |
| 4 | \(0{,}739085133215\) | \(1{,}70\cdot10^{-10}\) | \(1{,}07\cdot10^{-20}\) |
La primera parada corresponde a \(x_4\). Los valores internos se han conservado sin redondear.
Comprobación independiente por bisección: \(\alpha\in\bigl(0{,}7390851332;\,0{,}7390851333\bigr)\). \(f(0)>0>f(1)\) encierra la raíz. La derivada es no positiva y solo se anula en puntos aislados.
Simulacro 3. Diagnosticar un ciclo
Aplica Newton a \(f(x)=x^3-2x+2\) desde \(x_0=0\). Calcula los dos primeros pasos y deduce el comportamiento de toda la sucesión.
Ver solución y comprobación
Hay un ciclo exacto de periodo dos. Además \(f(0)=2\) y \(f(1)=1\): ninguno de sus puntos es raíz. Conviene cambiar de inicio o usar un método con intervalo.
Simulacro 4. Interpretar el cambio absoluto
Calcula el cambio absoluto entre \(x_3=2{,}094568\) y \(x_4=2{,}094551\). ¿Es necesariamente el error respecto de la raíz?
Ver solución y comprobación
Es la diferencia entre dos aproximaciones. El error verdadero sería \(|x_4-\alpha|\); para conocerlo hace falta la raíz o una cota justificada.
Simulacro 5. Elegir entre rapidez y garantía
Para \(x^3-2=0\), compara Newton desde \(x_0=1\) con bisección en \([1,2]\). Explica qué garantiza cada método y qué cota ofrece el punto medio tras \(k\) divisiones del intervalo.
Ver solución y comprobación
La función es continua y \(f(1)=-1<0<f(2)=6\). Bisección conserva una raíz encerrada; tras \(k\) divisiones:
Newton usa \(f^{\prime}(x)=3x^2\) y suele converger cuadráticamente cerca de esta raíz simple. Desde \(x_0=1\) se obtiene \(x_1=4/3>\sqrt[3]2\). A partir de ahí, la función es creciente y convexa: las tangentes cortan el eje entre la raíz y el iterado anterior. La sucesión permanece por encima de la raíz y decrece hacia ella; esa rapidez local no garantiza convergencia desde cualquier inicio.
Bisección resulta adecuada cuando se necesita conservar un intervalo certificado. Se puede combinar: mantener el intervalo y aceptar Newton solo cuando su paso sea admisible.
Errores que cambian la solución
- Confundir una raíz exacta con un fallo: si la función vale cero, termina antes de dividir por la derivada.
- Usar grados en las funciones trigonométricas o derivar incorrectamente.
- Evaluar un logaritmo o una raíz fuera del dominio después de un salto.
- Redondear cada iteración a las cifras del resultado y perder cifras útiles.
- Identificar un cambio pequeño entre iteraciones con una cota demostrada del error.
- Dar por convergente una sucesión que alterna entre dos valores, o aplicar una fórmula con derivada nula.
Antes de entregar: comprueba la ecuación original, el dominio, la raíz a la que has llegado y la condición exacta que permite detener el cálculo.
Seguimiento de la práctica
Anota el número del ejercicio y el paso que necesites corregir. Repítelo después sin consultar la solución y comprueba si has evitado el mismo error.
| Ejercicio | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error a evitar |
|---|---|---|---|---|
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
Para continuar el estudio
El recurso termina en las raíces de ecuaciones escalares. Los sistemas no lineales de varias variables y las ecuaciones diferenciales necesitan otros procedimientos.
Un repaso de base de Bachillerato y PAU antes de construir la iteración.
La aproximación polinómica y sus cotas se desarrollan en su recurso específico.