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Método de Newton-Raphson: teoría, pasos y ejercicios resueltos para universidad
Método de Newton-Raphson: teoría, pasos y ejercicios resueltos para universidad
El método de Newton-Raphson es uno de los algoritmos más importantes de los métodos numéricos. Permite aproximar soluciones de ecuaciones no lineales cuando no es posible, o no es práctico, despejar la incógnita de forma exacta.
En este recurso vamos a trabajar el método desde cero, pero con profundidad universitaria: interpretación geométrica, fórmula iterativa, condiciones de convergencia, elección del punto inicial, criterios de parada, errores habituales y ejercicios resueltos paso a paso. El objetivo no es solo aplicar una fórmula, sino entender por qué funciona y cuándo puede fallar.
Qué debe saber hacer un alumno al terminar este recurso
Debe ser capaz de transformar una ecuación en \(f(x)=0\), derivar correctamente, elegir un punto inicial razonable, construir la tabla de iteraciones, aplicar un criterio de parada, calcular errores y detectar situaciones en las que Newton-Raphson puede fallar.
Índice del recurso
- Idea del método
- Interpretación geométrica
- Fórmula de Newton-Raphson
- Algoritmo paso a paso
- Criterios de parada
- Convergencia y fallos
- Plantilla de tabla de iteraciones
- Ejercicios resueltos paso a paso
- Ejercicios propuestos con soluciones
- Simulacro universitario
- Errores frecuentes
- Recursos relacionados
1. Idea del método de Newton-Raphson
El problema de partida es resolver una ecuación de la forma:
En muchos casos, la ecuación no se puede resolver de forma exacta con métodos elementales. Por ejemplo:
El método de Newton-Raphson construye una sucesión de aproximaciones:
La idea es que cada nuevo valor \(x_{n+1}\) esté más cerca de una raíz de la función que el valor anterior \(x_n\), siempre que el punto inicial sea razonable y la función se comporte bien cerca de la raíz.
2. Interpretación geométrica
Supongamos que estamos en un punto \(x_n\). En ese punto, la función vale \(f(x_n)\) y la pendiente de la tangente es \(f'(x_n)\).
La recta tangente a \(f\) en \(x_n\) es:
Para encontrar dónde corta esa recta al eje \(x\), imponemos \(y=0\):
Despejando \(x\):
Ese nuevo valor se llama \(x_{n+1}\).
3. Fórmula de Newton-Raphson
La fórmula iterativa del método es:
donde:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(x_n\) | Aproximación actual. |
| \(x_{n+1}\) | Nueva aproximación. |
| \(f(x_n)\) | Valor de la función en la aproximación actual. |
| \(f'(x_n)\) | Valor de la derivada en la aproximación actual. |
4. Algoritmo paso a paso
1. Escribir la ecuación como \(f(x)=0\).
2. Calcular \(f'(x)\).
3. Elegir un punto inicial \(x_0\).
4. Aplicar \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\).
5. Repetir hasta que el cambio entre iteraciones sea pequeño o hasta que \(f(x_n)\) sea suficientemente cercano a cero.
6. Revisar que la aproximación obtenida tiene sentido.
Una forma de organizar el trabajo es hacer una tabla de iteraciones. En universidad, esto evita errores y permite justificar bien el proceso.
5. Criterios de parada
El método es iterativo, así que necesitamos decidir cuándo parar. Los criterios más habituales son:
Por cambio entre iteraciones
Se para cuando dos aproximaciones consecutivas cambian muy poco.
Por valor de la función
Se para cuando la función ya está muy cerca de cero.
También puede fijarse un número máximo de iteraciones para evitar bucles si el método no converge.
6. Convergencia y fallos del método
Newton-Raphson puede converger muy rápido, incluso con convergencia cuadrática cerca de una raíz simple. Pero no es un método infalible. Puede fallar o comportarse mal si el punto inicial no es adecuado.
| Situación | Qué puede pasar | Qué hacer |
|---|---|---|
| \(f'(x_n)=0\) | La fórmula no se puede aplicar. | Elegir otro punto inicial o cambiar de método. |
| \(f'(x_n)\) muy pequeña | El salto puede ser muy grande. | Revisar el punto inicial. |
| Raíz múltiple | La convergencia suele ser más lenta. | Usar más iteraciones o modificar el método. |
| Punto inicial lejos de la raíz | Puede converger a otra raíz o no converger. | Localizar antes un intervalo con cambio de signo. |
7. Plantilla de tabla de iteraciones
Una tabla limpia para presentar el método puede tener esta forma:
| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | \(|x_{n+1}-x_n|\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \(x_0\) | \(f(x_0)\) | \(f'(x_0)\) | \(x_1\) | \(|x_1-x_0|\) |
| 1 | \(x_1\) | \(f(x_1)\) | \(f'(x_1)\) | \(x_2\) | \(|x_2-x_1|\) |
8. Cómo elegir el punto inicial \(x_0\)
La elección de \(x_0\) no es un detalle menor. En un ejercicio universitario, una buena elección del punto inicial puede hacer que el método converja en pocas iteraciones. Una mala elección puede hacer que el método salte a otra raíz, oscile o directamente no se pueda aplicar.
1. Si se puede, localiza antes un intervalo \([a,b]\) donde haya cambio de signo: \(f(a)\cdot f(b)<0\).
2. Mira si la función tiene varias raíces. Si las tiene, el punto inicial condiciona a cuál converge el método.
3. Evita puntos donde \(f'(x)\) sea cero o muy pequeña.
4. Si hay una gráfica, elige un punto cercano a la raíz y donde la tangente no sea casi horizontal.
5. Si el método se aleja mucho o produce valores absurdos, no insistas: cambia \(x_0\) o usa un método más robusto como bisección.
Regla de aula
Antes de aplicar Newton-Raphson, conviene comprobar al menos el signo de la función en dos puntos cercanos. No garantiza todo, pero evita aplicar el método a ciegas.
9. Error absoluto, error relativo y tolerancia
En métodos numéricos no basta con obtener un número. Hay que saber con qué precisión lo aceptamos. Por eso se usan criterios de error.
Error absoluto aproximado
Mide cuánto cambia la aproximación entre dos iteraciones consecutivas.
Error relativo aproximado
Compara el cambio con el tamaño de la aproximación obtenida.
Si el enunciado pide una tolerancia \(10^{-5}\), una forma razonable de parar es exigir:
También puede pedirse:
10. Newton-Raphson frente a bisección y secante
| Método | Ventaja | Inconveniente | Cuándo conviene |
|---|---|---|---|
| Newton-Raphson | Muy rápido cerca de una raíz simple. | Necesita derivada y puede fallar con mal \(x_0\). | Cuando la derivada es manejable y tenemos una buena aproximación inicial. |
| Bisección | Muy robusto si hay cambio de signo. | Más lento. | Cuando queremos asegurar convergencia en un intervalo. |
| Secante | No necesita derivada explícita. | Puede ser menos estable que bisección. | Cuando derivar es incómodo pero tenemos dos aproximaciones iniciales. |
11. Ejercicios resueltos paso a paso
En cada ejemplo se intenta mantener la misma lógica: primero se define la función, después se calcula la derivada, luego se escribe la fórmula de Newton-Raphson para ese caso concreto y, por último, se hacen las iteraciones. Este orden es importante en universidad porque permite justificar el procedimiento y detectar errores.
Cuando el ejercicio lo requiere, se añade también dominio, criterio de parada, comprobación de la derivada o interpretación del comportamiento del método.
Ejercicio resuelto 1. Aproximar \( \sqrt{2} \) con Newton-Raphson
Usa Newton-Raphson para aproximar \( \sqrt{2} \), partiendo de \(x_0=1\).
Para calcular \( \sqrt{2} \), resolvemos:
Por tanto:
Revisión. El valor conocido de \( \sqrt{2} \) es aproximadamente \(1,4142\). La aproximación es coherente.
Ejercicio resuelto 2. Resolver \(x^3-x-1=0\)
Aproxima una raíz de \(x^3-x-1=0\) partiendo de \(x_0=1,3\).
Ejercicio resuelto 3. Resolver \( \cos x-x=0 \)
Aproxima la solución de \( \cos x=x \) partiendo de \(x_0=0,7\).
Escribimos la ecuación como:
Revisión. Si sustituimos, \( \cos(0,739085)\approx0,739085 \).
Ejercicio resuelto 4. Resolver \(e^{-x}-x=0\)
Aplica Newton-Raphson a \(e^{-x}-x=0\), con \(x_0=0,5\).
Ejercicio resuelto 5. Resolver \(x^2-5=0\)
Aproxima \( \sqrt{5} \) con \(x_0=2\).
Ejercicio resuelto 6. Resolver \( \ln x + x - 2=0 \)
Aproxima una raíz de \( \ln x+x-2=0 \), con \(x_0=1,5\).
La función solo está definida para \(x>0\).
Ejercicio resuelto 7. Resolver \(x e^x-1=0\)
Aproxima una raíz de \(xe^x-1=0\), con \(x_0=0,5\).
Ejercicio resuelto 8. Resolver \(x^3-2x-5=0\)
Aproxima una raíz de \(x^3-2x-5=0\), con \(x_0=2\).
Ejercicio resuelto 9. Estudiar un caso con derivada cero
Intenta aplicar Newton-Raphson a \(f(x)=x^3\) con \(x_0=0\).
Ejercicio resuelto 10. Raíz múltiple y convergencia lenta
Aplica Newton-Raphson a \(f(x)=(x-1)^2\), partiendo de \(x_0=2\).
Revisión. En raíces múltiples, Newton-Raphson pierde rapidez. Este ejemplo es muy útil para entender por qué no basta con decir “aplico la fórmula”.
Ejercicio resuelto 11. Newton-Raphson con criterio de parada
Aproxima la raíz de \(f(x)=x^2-3\) con \(x_0=2\), parando cuando \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\).
Ejercicio resuelto 12. Comparar signo y punto inicial
La ecuación \(x^3-4x+1=0\) tiene varias raíces reales. Aplica Newton-Raphson con \(x_0=0\) para aproximar una de ellas.
Revisión. Al haber varias raíces, el punto inicial condiciona a cuál de ellas converge el método.
Ejercicio resuelto 11. Tabla completa con criterio de parada \(10^{-5}\)
Resuelve \(x^2-3=0\) con \(x_0=2\), parando cuando \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | \(|x_{n+1}-x_n|\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2,000000 | 1,000000 | 4,000000 | 1,750000 | 0,250000 |
| 1 | 1,750000 | 0,062500 | 3,500000 | 1,732143 | 0,017857 |
| 2 | 1,732143 | 0,000319 | 3,464286 | 1,732051 | 0,000092 |
| 3 | 1,732051 | aprox. 0 | 3,464102 | 1,732051 | menor que \(10^{-5}\) |
Ejercicio resuelto 12. Varias raíces y elección de \(x_0\)
La ecuación \(x^3-4x+1=0\) tiene varias raíces reales. Aplica Newton-Raphson con \(x_0=0\).
Revisión. Al haber varias raíces, un punto inicial distinto puede llevar a otra solución. Este es un ejemplo típico para entender que \(x_0\) importa.
Ejercicio resuelto 13. Un caso en el que Newton oscila
Estudia qué ocurre al aplicar Newton-Raphson a \(f(x)=x^3-2x+2\), partiendo de \(x_0=0\).
Ejercicio resuelto 14. Newton modificado para raíz múltiple
Para \(f(x)=(x-1)^2\), la raíz \(x=1\) es doble. Compara el Newton estándar con el Newton modificado para multiplicidad \(m=2\).
Con \(x_0=2\):
Como \(m=2\):
Ejercicio resuelto 15. Error absoluto y relativo
En un proceso de Newton se obtienen \(x_3=1,4142157\) y \(x_4=1,4142136\). Calcula el error absoluto aproximado y el error relativo aproximado.
Ejercicio resuelto 16. Problema aplicado: equilibrio de una ecuación no lineal
Una magnitud \(x\) viene dada por la ecuación \(x+\ln x=3\), con \(x>0\). Aproxima la solución usando Newton-Raphson con \(x_0=2\).
El dominio exige \(x>0\).
12. Simulacro universitario: Newton-Raphson
Este bloque sirve para comprobar si el método se domina de verdad. No basta con calcular: hay que justificar función, derivada, punto inicial, iteraciones y criterio de parada.
Simulacro
1. Resolver \(x^3-2=0\) con \(x_0=1\) hasta que \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\).
2. Resolver \(\cos x-x=0\) con \(x_0=1\).
3. Aplicar Newton a \(f(x)=x^3-2x+2\) con \(x_0=0\) y explicar qué ocurre.
4. Calcular el error absoluto aproximado entre dos iteraciones consecutivas dadas.
5. Comparar brevemente Newton-Raphson con bisección para una ecuación no lineal.
1. \(x\approx1,259921\).
2. \(x\approx0,739085\).
3. Oscila entre 0 y 1; no converge con ese punto inicial.
4. Se usa \(E_a=|x_{n+1}-x_n|\).
5. Newton es más rápido cerca de la raíz, pero bisección es más robusto si hay cambio de signo.
13. 35 ejercicios propuestos con soluciones
Aplica Newton-Raphson a \(x^2-7=0\), con \(x_0=3\), y aproxima \(\sqrt7\).
Solución: \(x\approx2,645751\).
Resuelve \(x^3-2=0\), con \(x_0=1\).
Solución: \(x\approx1,259921\).
Resuelve \(x^3+x-3=0\), con \(x_0=1\).
Solución: \(x\approx1,213412\).
Resuelve \(e^x-3=0\), con \(x_0=1\).
Solución: \(x\approx1,098612\).
Resuelve \(\ln x-1=0\), con \(x_0=2\).
Solución: \(x\approx2,718282\).
Resuelve \(x^2-\cos x=0\), con \(x_0=0,8\).
Solución aproximada: \(x\approx0,824132\).
Resuelve \(x-\sin x-0,5=0\), con \(x_0=1,5\).
Solución aproximada: \(x\approx1,497300\).
Aplica Newton-Raphson a \(x^4-5x+1=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx0,201640\).
Aplica Newton-Raphson a \(x^4-5x+1=0\), con \(x_0=1,7\).
Solución aproximada: \(x\approx1,644484\).
Estudia por qué no conviene elegir \(x_0=0\) para \(f(x)=x^3\).
Solución: porque \(f'(0)=0\) y la fórmula no se puede aplicar.
Para \(f(x)=(x-2)^2\), con \(x_0=3\), calcula cuatro iteraciones.
Solución: \(3,\ 2,5,\ 2,25,\ 2,125,\ 2,0625\). Convergencia lenta a \(2\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=0,8\).
Solución: converge a la raíz \(x=1\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=2,2\).
Solución: converge a la raíz \(x=2\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=3,2\).
Solución: converge a la raíz \(x=3\).
Resuelve \(e^{-x}-x=0\), con \(x_0=1\).
Solución: \(x\approx0,567143\).
Resuelve \(\cos x-x=0\), con \(x_0=1\).
Solución: \(x\approx0,739085\).
Resuelve \(\tan x-x-1=0\), con \(x_0=1\), tomando la raíz positiva cercana.
Solución aproximada: \(x\approx1,132268\).
Resuelve \(x+\ln x=3\), con \(x_0=2\).
Solución aproximada: \(x\approx2,207940\).
Resuelve \(x^2+e^x-4=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx1,073728\).
Explica qué criterio de parada usarías si se pide precisión de \(10^{-6}\).
Solución orientativa: usar \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\), \(|f(x_n)|<10^{-6}\), o ambos.
Aplica Newton-Raphson a \(x^4-5x+1=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx0,201640\).
Aplica Newton-Raphson a \(x^4-5x+1=0\), con \(x_0=1,7\).
Solución aproximada: \(x\approx1,644484\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=0,8\).
Solución: converge a \(x=1\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=2,2\).
Solución: converge a \(x=2\).
Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\), con \(x_0=3,2\).
Solución: converge a \(x=3\).
Resuelve \(\cos x+x=0\), con \(x_0=2\).
Solución aproximada: \(x\approx2,028758\).
Resuelve \(x^2+e^x-4=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx1,073728\).
Resuelve \(x+\ln x=3\), con \(x_0=2\).
Solución aproximada: \(x\approx2,207940\).
Resuelve \(x-\sin x-0,5=0\), con \(x_0=1,5\).
Solución aproximada: \(x\approx1,497300\).
Resuelve \(x^2-\cos x=0\), con \(x_0=0,8\).
Solución aproximada: \(x\approx0,824132\).
Calcula el error absoluto si \(x_4=2,094551\) y \(x_3=2,094568\).
Solución: \(E_a=0,000017\).
Calcula el error relativo aproximado si \(x_{n}=1,732143\) y \(x_{n+1}=1,732051\).
Solución aproximada: \(E_r\approx5,31\cdot10^{-5}\).
Explica por qué Newton-Raphson puede fallar si \(f'(x_n)\) es muy pequeña.
Solución orientativa: porque el cociente \(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) puede hacerse muy grande y provocar un salto descontrolado.
Explica por qué bisección puede ser preferible a Newton en algunos problemas.
Solución orientativa: porque bisección garantiza convergencia si hay continuidad y cambio de signo en el intervalo.
Propón un criterio de parada para trabajar con precisión \(10^{-6}\).
Solución orientativa: parar cuando \(|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}\) y comprobar que \(|f(x_{n+1})|\) también es pequeño.
Indica qué ocurre si se aplica Newton a \(f(x)=x^3-2x+2\) con \(x_0=0\).
Solución: oscila entre 0 y 1; no converge.
Para \(f(x)=(x-3)^2\), con \(x_0=5\), escribe las tres primeras iteraciones del Newton estándar.
Solución: \(x_1=4,\ x_2=3,5,\ x_3=3,25\).
Para \(f(x)=(x-3)^2\), aplica Newton modificado con multiplicidad \(m=2\) desde \(x_0=5\).
Solución: llega a \(x=3\) en una iteración.
Resuelve \(x^5-x-1=0\), con \(x_0=1,2\).
Solución aproximada: \(x\approx1,167304\).
Resuelve \(e^{-x}+x^2-2=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx1,187117\).
Resuelve \(\ln x+x^2-4=0\), con \(x_0=1,8\).
Solución aproximada: \(x\approx1,840029\).
Resuelve \(2\cos x-x=0\), con \(x_0=1\).
Solución aproximada: \(x\approx1,029867\).
Explica por qué no debe elegirse un \(x_0\) fuera del dominio si aparece \(\ln x\).
Solución orientativa: porque \(\ln x\) solo está definido para \(x>0\).
En \(f(x)=\sqrt{x}-2\), ¿qué restricción debe cumplir \(x_0\)?
Solución: debe cumplirse \(x_0\ge 0\), y además conviene evitar valores donde la derivada cause problemas.
Resuelve \(\sqrt{x}-2=0\), con \(x_0=5\).
Solución: \(x=4\).
14. Errores frecuentes
No derivar correctamente
Un error en \(f'(x)\) arruina todas las iteraciones. La derivada debe calcularse y revisarse antes de empezar.
Elegir mal \(x_0\)
Un punto inicial lejano puede llevar a otra raíz o provocar divergencia.
Dividir por una derivada pequeña
Si \(f'(x_n)\) es muy pequeña, el salto puede ser enorme y poco estable.
Redondear demasiado pronto
Conviene conservar varios decimales durante las iteraciones y redondear solo el resultado final.
No comprobar \(f(x_n)\)
Una aproximación puede parecer estable, pero hay que comprobar que realmente deja la función cerca de cero.
Olvidar el dominio
En funciones con logaritmos, raíces o cocientes, el dominio condiciona qué valores puede tomar \(x_n\).
15. Recursos relacionados
Métodos numéricos
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