Marlu Educativa, Matemáticas, PAU y EBAU

Áreas entre funciones 2 Bachillerato EBAU: integrales, recintos y ejercicios resueltos

Publicado por author-avatar
Marlu Educativa · Análisis · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Áreas entre funciones en 2 Bachillerato: integrales, rectas, parábolas, recintos y ejercicios tipo EBAU

Calcular un área entre funciones exige bastante más que encontrar una primitiva. Primero hay que reconocer el recinto, hallar sus puntos de corte, decidir qué gráfica queda por encima y comprobar si el planteamiento cambia dentro del intervalo.

La guía desarrolla ese recorrido tal como se escribiría sobre el papel: dibujo razonado, integral definida, sustitución ordenada de los extremos y revisión geométrica del resultado.

Para trabajar este bloque con seguimiento individual, puedes consultar nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU.

Áreas entre funciones Integrales definidas Rectas y parábolas Recintos sombreados 2 Bachillerato EBAU 20 ejercicios resueltos

Un recurso específico de áreas. Las técnicas generales de integración y el estudio completo de funciones se desarrollan en sus propias guías. Aquí se utilizan únicamente cuando ayudan a construir y medir correctamente un recinto.

Ver índice

Índice del recurso

Ir directamente a un ejercicio resuelto
12345678910 11121314151617181920

1. Qué significa calcular un área entre funciones

Cuando nos piden calcular el área encerrada entre dos funciones, nos están pidiendo medir una región del plano. Esa región suele estar limitada por las gráficas de dos funciones y, a veces, también por rectas verticales como \(x=0\), \(x=2\), \(x=a\) o \(x=b\).

La integral definida calcula área con signo. Si una función está por encima del eje \(x\), la integral sale positiva. Si está por debajo, sale negativa. Pero cuando hablamos de área geométrica, el resultado debe ser positivo.

Idea esencial. Una integral puede salir negativa; un área, no. Si aparece un valor negativo, se ha calculado una integral con signo, no la superficie geométrica.

En el caso de dos funciones, la idea es restar la de abajo a la de arriba:

\[ \text{área}=\int_a^b \left(\text{función superior}-\text{función inferior}\right)\,dx \]

La dificultad real no suele estar en integrar. Suele estar en decidir bien los límites, saber qué función va arriba y ver si el recinto se parte en varios trozos.

2. Fórmula básica del área entre dos funciones

Si \(f(x)\) está por encima de \(g(x)\) en el intervalo \([a,b]\), el área encerrada entre ambas curvas es:

\[ A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\,dx \]

Pero esa fórmula solo se puede usar directamente si \(f(x)\geq g(x)\) en todo el intervalo. Si se cruzan dentro del intervalo, hay que partir el área.

Ojo: no basta con poner los puntos de corte como límites. También hay que comprobar cuál de las dos funciones queda por encima en cada tramo.

Si \(f\) y \(g\) se cortan en \(x=a\) y \(x=b\), y entre esos valores \(f(x)\geq g(x)\), entonces:

\[ A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\,dx \]

Si ocurre al revés, se cambia el orden:

\[ A=\int_a^b \left(g(x)-f(x)\right)\,dx \]

3. Método completo tipo examen

Este orden permite que el planteamiento se entienda desde la primera línea y evita que una integral correcta termine asociada al recinto equivocado.

  1. Identificar las funciones. Escribe claramente \(f(x)\) y \(g(x)\).
  2. Calcular los puntos de corte. Se resuelve \(f(x)=g(x)\).
  3. Ordenar los límites. Si los cortes son \(x=a\) y \(x=b\), se escribe \(a
  4. Hacer un dibujo aproximado. No hace falta precisión milimétrica, pero sí un esquema que muestre el recinto.
  5. Determinar la función superior. Se puede probar un punto intermedio o mirar la forma de las gráficas.
  6. Plantear el área. Siempre superior menos inferior.
  7. Calcular la integral definida. Primitiva, sustitución de extremos y resta.
  8. Dar el resultado positivo. Si sale negativo, revisar el orden.
  9. Revisión final. El área debe tener sentido con el dibujo y con el tamaño del recinto.
Una solución completa incluye cortes claros, dibujo o explicación del recinto, integral bien planteada, primitiva correcta y resultado final con unidades cuadradas si el contexto las pide.

4. Cómo dibujar y sombrear el recinto

En muchos ejercicios de áreas, el dibujo no es decorativo. Es lo que te permite no equivocarte de función superior. En el examen, un dibujo limpio transmite control.

Área encerrada entre la recta y igual a dos x y la parábola y igual a x al cuadrado Las gráficas se cortan en x igual a cero y x igual a dos. La recta queda por encima de la parábola entre ambos puntos y la zona comprendida entre ellas aparece sombreada en color arena. xy 012 y = 2x y = x² recinto
Entre (x=0) y (x=2), la recta (y=2x) queda por encima de la parábola (y=x^2). El área se plantea como (int_0^2(2x-x^2),dx).

El dibujo no sustituye al cálculo, pero permite comprobarlo. Los cortes marcan los extremos del intervalo y el sombreado confirma qué función debe restarse en primer lugar.

5. Cómo calcular puntos de corte

Los puntos de corte se calculan igualando las funciones:

\[ f(x)=g(x) \]

Si una función es una recta y otra una parábola, normalmente aparece una ecuación de segundo grado. Por ejemplo:

\[ f(x)=x^2,\quad g(x)=2x \]

Igualamos:

\[ x^2=2x \] \[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

Los límites del área son \(0\) y \(2\). Después todavía falta decidir qué función está arriba.

6. Cómo saber qué función va arriba

Una vez calculados los cortes, se toma un punto intermedio y se comparan los valores de las funciones.

Con \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=2x\), los cortes son \(0\) y \(2\). Tomamos, por ejemplo, \(x=1\):

\[ f(1)=1^2=1 \] \[ g(1)=2\cdot1=2 \]

Como \(g(1)>f(1)\), en el intervalo \([0,2]\) la recta \(g(x)=2x\) está por encima de la parábola \(f(x)=x^2\).

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \]
En una solución escrita. Indicar “probamos \(x=1\)” justifica con claridad por qué se resta en ese orden.

7. Cuándo hay que partir el área en varios tramos

Hay que partir el área cuando la función que va arriba cambia dentro del intervalo. Esto ocurre si las gráficas se cruzan en un punto interior del intervalo o si el recinto viene limitado por más de dos cortes.

La forma correcta es:

\[ A=\int_a^c (\text{superior}-\text{inferior})\,dx + \int_c^b (\text{superior}-\text{inferior})\,dx \]

donde \(c\) es el punto donde cambia el orden de las funciones.

Regla sencilla: si al probar puntos en dos intervalos distintos cambia la función superior, el área se parte.

8. Caso estrella: área entre una recta y una parábola

Es el caso más típico. Aparece muchísimo porque obliga a hacer cortes, interpretar el dibujo e integrar un polinomio sencillo.

Ejemplo base:

\[ y=x^2,\quad y=2x \]

Cortes:

\[ x^2=2x \Rightarrow x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\), la recta está por encima:

\[ 2x>x^2 \quad \text{en } (0,2) \]

Área:

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=4-\frac83=\frac{12-8}{3}=\frac43 \]

Resultado: el área encerrada es \(\frac43\) unidades cuadradas.

9. Área entre dos parábolas

Con dos parábolas, el método no cambia. Lo delicado es que los puntos de corte pueden salir fraccionarios o que una parábola esté arriba solo en un tramo.

Ejemplo:

\[ f(x)=4-x^2,\quad g(x)=x^2 \]

Cortes:

\[ 4-x^2=x^2 \] \[ 2x^2=4 \] \[ x^2=2 \] \[ x=-\sqrt2,\quad x=\sqrt2 \]

En \(x=0\):

\[ f(0)=4,\quad g(0)=0 \]

Luego \(f\) está por encima.

\[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \left((4-x^2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} (4-2x^2)\,dx \]

Como la función \(4-2x^2\) es par, podemos hacer:

\[ A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2} \] \[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{2(\sqrt2)^3}{3}\right) \]

Como \((\sqrt2)^3=2\sqrt2\):

\[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right) = 2\cdot\frac{8\sqrt2}{3} = \frac{16\sqrt2}{3} \]

Resultado: el área encerrada es \(\frac{16\sqrt2}{3}\) unidades cuadradas.

10. Casos más difíciles que conviene dominar

Para dominar el tema no basta con repetir el caso de una recta y una parábola. En PAU/EBAU aparecen también recintos partidos, parámetros, simetrías y funciones no polinómicas.

Área con eje \(x\)

Se calcula el área entre una función y el eje horizontal. Hay que vigilar si la función cambia de signo.

Área entre función y rectas verticales

El recinto no siempre se cierra con cortes entre funciones. A veces el intervalo lo da el enunciado.

Área partida

Si la función superior cambia, se separa en varias integrales.

Área con parámetro

Puede pedirse que un área valga cierto número y haya que hallar un parámetro.

Área con simetría

Si el integrando es par, se puede integrar de \(0\) a \(a\) y multiplicar por 2.

Área con logaritmos o exponenciales

No es lo primero, pero conviene verlo si se quiere preparar bien el bloque completo.

11. Errores frecuentes reales

No igualar las funciones

Sin puntos de corte no sabes realmente los límites del recinto.

Restar al revés

El área se plantea como superior menos inferior, no como “la primera menos la segunda”.

No hacer dibujo

El dibujo evita errores de orden, de tramos y de interpretación del recinto.

Olvidar partir el área

Si la función superior cambia, una sola integral no sirve.

Dar un área negativa

Una integral puede ser negativa. Un área geométrica debe ser positiva.

Integrar bien y plantear mal

Es el fallo más peligroso: las cuentas parecen correctas, pero el área no corresponde al recinto.

No ordenar los límites

Si los cortes son \(2\) y \(-1\), el intervalo es \([-1,2]\).

No revisar el resultado

El número final debe tener sentido con el tamaño del dibujo.

12. Ejercicios resueltos paso a paso

Los ejercicios avanzan desde recintos polinómicos sencillos hasta funciones exponenciales, logarítmicas, radicales y casos con parámetro. En todos se mantiene el mismo hilo: cortes, orden de las funciones, integral y comprobación.

Ejercicio 1. Área entre \(y=x^2\) y \(y=2x\)

Enunciado. Calcula el área encerrada entre:

\[ y=x^2,\quad y=2x \]

1. Cortes.

\[ x^2=2x \] \[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

2. Función superior. Probamos \(x=1\):

\[ x^2=1,\quad 2x=2 \]

La recta \(y=2x\) queda por encima de la parábola \(y=x^2\).

3. Área.

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=4-\frac83=\frac43 \]

Resultado: \(A=\frac43\) unidades cuadradas.

Ejercicio 2. Área entre \(y=4-x^2\) y el eje \(x\)

El eje \(x\) es la recta \(y=0\).

1. Cortes con el eje \(x\).

\[ 4-x^2=0 \] \[ x^2=4 \] \[ x=-2,\quad x=2 \]

Entre \(-2\) y \(2\), la parábola \(4-x^2\) está por encima del eje \(x\).

\[ A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx \]

Como \(4-x^2\) es par:

\[ A=2\int_0^2(4-x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=2\left(8-\frac83\right) = 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{32}{3}\) unidades cuadradas.

Ejercicio 3. Área entre \(y=4-x^2\) y \(y=x^2\)

1. Cortes.

\[ 4-x^2=x^2 \] \[ 2x^2=4 \] \[ x^2=2 \] \[ x=\pm\sqrt2 \]

2. Superior. En \(x=0\), \(4-x^2=4\) y \(x^2=0\). La función superior es \(4-x^2\).

\[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left((4-x^2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2} \] \[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right) = \frac{16\sqrt2}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{16\sqrt2}{3}\) unidades cuadradas.

Revisión. El integrando \(4-2x^2\) es no negativo entre los dos cortes y el resultado es positivo, como exige el recinto sombreado.
Ejercicio 4. Área entre \(y=x+2\) y \(y=x^2\)

1. Cortes.

\[ x+2=x^2 \] \[ x^2-x-2=0 \] \[ (x-2)(x+1)=0 \] \[ x=-1,\quad x=2 \]

2. Superior. Probamos \(x=0\):

\[ x+2=2,\quad x^2=0 \]

La recta está por encima.

\[ A=\int_{-1}^{2}\left((x+2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \]

Evaluamos:

\[ F(2)=\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}=2+4-\frac83=\frac{10}{3} \] \[ F(-1)=\frac12-2+\frac13=\frac{3-12+2}{6}=-\frac76 \] \[ A=\frac{10}{3}-\left(-\frac76\right)=\frac{20}{6}+\frac76=\frac{27}{6}=\frac92 \]

Resultado: \(A=\frac92\) unidades cuadradas.

Revisión. La diferencia \(x+2-x^2\) se anula en los extremos y es positiva entre \(-1\) y \(2\), de modo que el orden de la resta es correcto.
Ejercicio 5. Área entre \(y=x^2-1\) y el eje \(x\) en \([-2,2]\)

Este ejercicio es importante porque la función cambia de signo. Una sola integral daría el área con signo y compensaría zonas que deben sumarse por separado.

1. Cortes con el eje.

\[ x^2-1=0 \] \[ x=-1,\quad x=1 \]

En \([-2,-1]\) y \([1,2]\), la función es positiva. En \([-1,1]\), la función es negativa.

\[ A=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_1^2(x^2-1)\,dx+2\int_0^1(1-x^2)\,dx \]

Calculamos:

\[ 2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 = 2\left(\frac83-2-\frac13+1\right) = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac83 \] \[ 2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(1-\frac13\right) = \frac43 \] \[ A=\frac83+\frac43=4 \]

Resultado: \(A=4\) unidades cuadradas.

Revisión. Las dos zonas exteriores son iguales y también se ha contado la zona central situada bajo el eje. No se ha producido ninguna compensación de signos.
Qué conviene recordar. Si la función cruza el eje, el área se parte. Integrar directamente de \(-2\) a \(2\) daría área con signo, no área total.
Ejercicio 6. Área entre \(y=x^2-2x\) y \(y=0\)

1. Cortes con el eje.

\[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\):

\[ 1^2-2\cdot1=-1 \]

La parábola está por debajo del eje \(x\). Por tanto, el área es:

\[ A=\int_0^2(0-(x^2-2x))\,dx \] \[ A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=\left(4-\frac83\right)-0=\frac43 \]

Resultado: \(A=\frac43\) unidades cuadradas.

Ejercicio 7. Área entre \(y=3x\) y \(y=x^2+2x\)

1. Cortes.

\[ 3x=x^2+2x \] \[ x^2-x=0 \] \[ x(x-1)=0 \] \[ x=0,\quad x=1 \]

2. Superior. En \(x=\frac12\):

\[ 3x=\frac32 \] \[ x^2+2x=\frac14+1=\frac54 \]

La recta \(3x\) está por encima.

\[ A=\int_0^1(3x-(x^2+2x))\,dx \] \[ A=\int_0^1(x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12-\frac13=\frac16 \]

Resultado: \(A=\frac16\) unidades cuadradas.

Ejercicio 8. Área entre \(y=6-x^2\) y \(y=x+2\)

1. Cortes.

\[ 6-x^2=x+2 \] \[ x^2+x-4=0 \]

Aplicamos fórmula:

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} \]

2. Superior. En \(x=0\):

\[ 6-x^2=6,\quad x+2=2 \]

La parábola \(6-x^2\) está por encima.

3. Área.

\[ A=\int_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}} \left((6-x^2)-(x+2)\right)\,dx \] \[ A=\int_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}} (4-x-x^2)\,dx \]

Este resultado se puede dejar planteado si el ejercicio pide planteamiento, pero si pide calcular, se evalúa la primitiva:

\[ F(x)=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \]

El cálculo exacto es más largo. Una forma elegante es completar cuadrado:

\[ 4-x-x^2=\frac{17}{4}-\left(x+\frac12\right)^2 \]

Con \(u=x+\frac12\), los límites pasan a \(-\frac{\sqrt{17}}{2}\) y \(\frac{\sqrt{17}}{2}\):

\[ A=\int_{-\frac{\sqrt{17}}{2}}^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \left(\frac{17}{4}-u^2\right)\,du \] \[ A=2\int_0^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \left(\frac{17}{4}-u^2\right)\,du \] \[ A=2\left[\frac{17}{4}u-\frac{u^3}{3}\right]_0^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \] \[ A=2\left(\frac{17\sqrt{17}}{8}-\frac{17\sqrt{17}}{24}\right) = 2\cdot\frac{34\sqrt{17}}{24} = \frac{17\sqrt{17}}{6} \]

Resultado: \(A=\frac{17\sqrt{17}}{6}\) unidades cuadradas.

Revisión. Al completar el cuadrado, el integrando queda como \(\frac{17}{4}-u^2\), que es no negativo entre los límites transformados.
Ejercicio 9. Área entre dos curvas que obligan a pensar el orden

Calcula el área encerrada entre:

\[ y=x^2-4x,\quad y=-x \]

1. Cortes.

\[ x^2-4x=-x \] \[ x^2-3x=0 \] \[ x(x-3)=0 \] \[ x=0,\quad x=3 \]

2. Superior. En \(x=1\):

\[ x^2-4x=1-4=-3 \] \[ -x=-1 \]

La recta \(y=-x\) está por encima.

\[ A=\int_0^3\left((-x)-(x^2-4x)\right)\,dx \] \[ A=\int_0^3(-x^2+3x)\,dx \] \[ A=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = -9+\frac{27}{2} = \frac92 \]

Resultado: \(A=\frac92\) unidades cuadradas.

Ejercicio 10. Área limitada por \(y=x^3\), \(y=x\) en \([-1,1]\)

Este es un caso muy bueno porque las funciones se cruzan dentro del intervalo.

1. Cortes.

\[ x^3=x \] \[ x^3-x=0 \] \[ x(x^2-1)=0 \] \[ x=-1,\quad x=0,\quad x=1 \]

Hay que partir en \([-1,0]\) y \([0,1]\).

En \(x=-\frac12\):

\[ x^3=-\frac18,\quad x=-\frac12 \]

Arriba está \(x^3\).

En \(x=\frac12\):

\[ x=\frac12,\quad x^3=\frac18 \]

Arriba está \(x\).

\[ A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx \] \[ A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\left(\frac12-\frac14\right) = \frac12 \]

Resultado: \(A=\frac12\) unidades cuadradas.

Revisión. Los dos recintos son simétricos respecto del origen. Cada uno mide \(\frac14\), por lo que el área total es \(\frac12\).
Ejercicio 11. Área entre \(y=e^x\) y \(y=1\) en \([0,1]\)

En \([0,1]\), \(e^x\geq1\), por tanto:

\[ A=\int_0^1(e^x-1)\,dx \] \[ A=\left[e^x-x\right]_0^1 \] \[ A=(e-1)-(1-0)=e-2 \]

Resultado: \(A=e-2\) unidades cuadradas.

Ejercicio 12. Área entre \(y=\ln x\) y el eje \(x\) en \([1,e]\)

En \([1,e]\), \(\ln x\geq0\). Por tanto:

\[ A=\int_1^e \ln x\,dx \]

Usamos integración por partes:

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x \]

Entonces:

\[ A=\left[x\ln x-x\right]_1^e \] \[ A=(e\cdot1-e)-(1\cdot0-1) \] \[ A=0-(-1)=1 \]

Resultado: \(A=1\) unidad cuadrada.

Revisión. Como \(\ln x\geq0\) en \([1,e]\), la integral definida coincide directamente con el área geométrica.
Ejercicio 13. Área entre \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x\) en \([0,1]\)

En \([0,1]\), se cumple \(\sqrt{x}\geq x\).

\[ A=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx \] \[ A=\int_0^1(x^{1/2}-x)\,dx \] \[ A=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \] \[ A=\frac23-\frac12=\frac16 \]

Resultado: \(A=\frac16\) unidades cuadradas.

Ejercicio 14. Área con rectas verticales \(x=0\) y \(x=3\)

Calcula el área entre \(y=6-x\), \(y=x\), \(x=0\) y \(x=3\).

Las funciones se cruzan cuando:

\[ 6-x=x \Rightarrow x=3 \]

En \([0,3]\), \(6-x\) está por encima de \(x\).

\[ A=\int_0^3((6-x)-x)\,dx \] \[ A=\int_0^3(6-2x)\,dx \] \[ A=\left[6x-x^2\right]_0^3 \] \[ A=18-9=9 \]

Resultado: \(A=9\) unidades cuadradas.

Ejercicio 15. Área entre \(y=x^2\), \(y=0\), \(x=1\) y \(x=3\)

La función \(x^2\) está por encima del eje \(x\) en \([1,3]\).

\[ A=\int_1^3 x^2\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 \] \[ A=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{26}{3}\) unidades cuadradas.

Ejercicio 16. Área entre \(y=x^2-4\) y el eje \(x\) en \([-3,3]\)

1. Cortes.

\[ x^2-4=0 \Rightarrow x=-2,\quad x=2 \]

En \([-3,-2]\) y \([2,3]\), la función es positiva. En \([-2,2]\), es negativa.

\[ A=\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx+\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-4)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_2^3(x^2-4)\,dx+\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx \]

Calculamos:

\[ 2\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3 = 2\left(9-12-\frac83+8\right) = 2\cdot\frac73 = \frac{14}{3} \] \[ \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3} \] \[ A=\frac{14}{3}+\frac{32}{3}=\frac{46}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{46}{3}\) unidades cuadradas.

Revisión. Se han sumado tres aportaciones positivas: dos exteriores iguales y una central. El valor total debe superar necesariamente el área central \(\frac{32}{3}\).
Ejercicio 17. Área entre \(y=x^2\) y \(y=4x-x^2\)

1. Cortes.

\[ x^2=4x-x^2 \] \[ 2x^2-4x=0 \] \[ 2x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\):

\[ x^2=1,\quad 4x-x^2=3 \]

Superior: \(4x-x^2\).

\[ A=\int_0^2((4x-x^2)-x^2)\,dx \] \[ A=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx \] \[ A=\left[2x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2 = 8-\frac{16}{3} = \frac83 \]

Resultado: \(A=\frac83\) unidades cuadradas.

Ejercicio 18. Área entre \(y=x^3\) y \(y=0\) en \([-1,2]\)

La función \(x^3\) cambia de signo en \(x=0\), así que el área se parte.

\[ A=\int_{-1}^{0}(-x^3)\,dx+\int_0^2 x^3\,dx \] \[ A=\left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 \] \[ A=\frac14+4=\frac{17}{4} \]

Resultado: \(A=\frac{17}{4}\) unidades cuadradas.

Ejercicio 19. Área con parámetro sencillo

Halla \(a>0\) para que el área bajo \(y=x\) entre \(0\) y \(a\) sea 8.

\[ A=\int_0^a x\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{a^2}{2} \]

Imponemos:

\[ \frac{a^2}{2}=8 \] \[ a^2=16 \] \[ a=4 \]

Resultado: \(a=4\).

Revisión. La región es un triángulo de base \(4\) y altura \(4\), por lo que su área también se comprueba con \(\frac12\cdot4\cdot4=8\).
Ejercicio 20. Área entre \(y=ax\) y \(y=x^2\) entre sus cortes

Sea \(a>0\). Calcula el área encerrada entre:

\[ y=ax,\quad y=x^2 \]

1. Cortes.

\[ ax=x^2 \] \[ x(a-x)=0 \] \[ x=0,\quad x=a \]

En \((0,a)\), la recta \(ax\) queda por encima de \(x^2\).

\[ A=\int_0^a(ax-x^2)\,dx \] \[ A=\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a \] \[ A=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6} \]

Resultado: \(A=\frac{a^3}{6}\) unidades cuadradas.

Revisión. Para \(a>0\), la diferencia \(ax-x^2=x(a-x)\) es no negativa en \([0,a]\); por tanto, la expresión obtenida representa un área positiva.
Este caso reúne recta, parábola, parámetro y área en una sola expresión que después puede utilizarse para imponer un valor concreto.

13. Ejercicios para practicar

Antes de integrar, localiza los cortes y bosqueja el recinto. Así cada integral responde a una zona concreta y no a una resta elegida de memoria.

Nivel 1. Rectas, parábolas y eje \(x\)

  1. Calcula el área entre \(y=x^2\) y \(y=3x\).
  2. Calcula el área entre \(y=9-x^2\) y el eje \(x\).
  3. Calcula el área entre \(y=x+1\) y \(y=x^2-1\).
  4. Calcula el área entre \(y=2x\) y \(y=x^2+x\).
  5. Calcula el área limitada por \(y=x^2\), el eje \(x\), \(x=1\) y \(x=4\).

Nivel 2. Recintos con más lectura

  1. Calcula el área entre \(y=4-x^2\) y \(y=2-x\).
  2. Calcula el área entre \(y=x^2-4x\) y \(y=-2x\).
  3. Calcula el área entre \(y=x^3\) y \(y=x\) en \([-1,1]\).
  4. Calcula el área entre \(y=x^2-1\) y el eje \(x\) en \([-2,2]\).
  5. Calcula el área entre \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x^2\) en \([0,1]\).

Nivel 3. Tipo EBAU

  1. Calcula el área encerrada entre \(y=x^2\) y \(y=4x-x^2\).
  2. Calcula el área limitada por \(y=e^x\), \(y=1\), \(x=0\) y \(x=2\).
  3. Calcula el área entre \(y=\ln x\), el eje \(x\), \(x=1\) y \(x=e^2\).
  4. Calcula el área encerrada entre \(y=x^2-2x\) y \(y=-x\).
  5. Halla \(a>0\) para que el área entre \(y=ax\) y \(y=x^2\) sea \(\frac{32}{3}\).

14. Simulacro tipo EBAU

Tiempo recomendado: 70 minutos.

Instrucción: en cada ejercicio deben aparecer puntos de corte, dibujo o descripción del recinto, función superior, integral planteada y resultado final positivo.

  1. Calcula el área encerrada entre: \[ y=x^2,\quad y=2x \]
  2. Calcula el área entre: \[ y=4-x^2,\quad y=x^2 \]
  3. Calcula el área limitada por: \[ y=x^2-1,\quad y=0,\quad x=-2,\quad x=2 \]
  4. Calcula el área encerrada entre: \[ y=x^3,\quad y=x \]
  5. Sea \(a>0\). Calcula el área encerrada entre \(y=ax\) y \(y=x^2\). Después halla \(a\) para que dicha área valga \(\frac{9}{2}\).

Cómo repartir los puntos del simulacro

Parte Puntuación Qué se valora
Puntos de corte 2 puntos Igualar funciones y resolver correctamente
Dibujo o descripción del recinto 1,5 puntos Saber qué zona se está calculando
Función superior e inferior 2 puntos Restar en el orden correcto
Integral planteada 1,5 puntos Límites correctos y separación en tramos si hace falta
Cálculo de la integral 2 puntos Primitiva y evaluación correcta
Resultado y revisión 1 punto Área positiva y coherente con el dibujo

Diagnóstico rápido si fallas áreas

Te sale negativa. Has restado al revés o has calculado integral con signo. Revisa función superior menos función inferior.

Te falta un trozo de área. Seguramente la función cambia de signo o cambia la curva superior. Hay que partir el intervalo.

No sabes los límites. Igualar funciones es obligatorio. Sin cortes, el área está en el aire.

Las cuentas son correctas pero el resultado no tiene sentido. Mira el dibujo. A veces el planteamiento está mal aunque la integral esté bien hecha.

Te confundes con el eje \(x\). Recuerda que el eje \(x\) es \(y=0\). Si la función queda debajo, el área se calcula como \(0-f(x)\).

15. Recursos relacionados de Análisis

Las áreas reúnen varias herramientas, pero aquí cada enlace cumple una función concreta: preparar las primitivas, interpretar las gráficas o practicar el bloque dentro de un examen completo.

Integrales PAU/EBAU resueltas

Para repasar primitivas y técnicas de integración antes de centrarse en la geometría del recinto.

Abrir el recurso de integrales
Representación de funciones

Para estudiar dominio, cortes, asíntotas y forma de las gráficas cuando el recinto no se reconoce de inmediato.

Abrir representación de funciones
Examen completo de Matemáticas II

Para practicar un ejercicio de áreas junto con el resto de bloques habituales de PAU/EBAU.

Ver el examen resuelto

La integral es el último paso, no el primero. Una buena solución empieza reconociendo el recinto y termina comprobando que el valor obtenido encaja con el dibujo. Ese orden es lo que convierte una cuenta correcta en una respuesta completa.

Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de 2 Bachillerato que necesitan dominar áreas entre funciones con integrales definidas, recintos, rectas, parábolas, funciones más difíciles y ejercicios tipo EBAU explicados paso a paso.

16. Preguntas frecuentes sobre áreas entre funciones

¿Cómo se calcula el área entre dos funciones?

Se calculan los puntos de corte, se determina qué función está por encima y se integra superior menos inferior entre los límites correspondientes.

¿Por qué el área debe salir positiva?

Porque el área geométrica mide superficie. Si una integral sale negativa, se ha calculado área con signo o se ha restado en el orden contrario.

¿Cuándo hay que partir el área?

Hay que partirla cuando la función superior cambia o cuando la función cruza el eje y se está calculando área total respecto al eje \(x\).

¿Qué hago si no sé qué función va arriba?

Después de calcular los puntos de corte, toma un punto intermedio y compara los valores de las funciones.

¿Es obligatorio hacer dibujo?

No siempre es obligatorio, pero es muy recomendable. En examen ayuda a plantear bien el área y transmite claridad al corrector.

¿Qué pasa si el ejercicio da rectas verticales como \(x=a\) y \(x=b\)?

Entonces esos valores suelen ser los límites de integración. Aun así, hay que comprobar qué función está por encima en ese intervalo.

¿Qué diferencia hay entre integral definida y área?

La integral definida puede tener signo. El área geométrica siempre es positiva y puede requerir partir el intervalo.

Último post
Ley de Ohm ESO y Bachillerato: circuitos, Kirchhoff y 50 ejercicios resueltos
Back to list
Siguiente Determinantes 2 Bachillerato: ejercicios resueltos tipo EBAU Castilla y León