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Ecuaciones ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

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Ecuaciones ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

Las ecuaciones son una de las bases más importantes de las Matemáticas. Aparecen en ESO, Bachillerato, Matemáticas Sociales, Física, Química, PAU y también en los primeros cursos de universidad.

Este recurso está preparado para estudiar con calma y con orden. Empezamos por ecuaciones de primer grado, seguimos con paréntesis y fracciones, pasamos a segundo grado con la fórmula que se enseña habitualmente en clase, y después trabajamos ecuaciones bicuadradas, Ruffini, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y problemas aplicados.

La idea es que el alumno no solo vea el resultado, sino que entienda qué se está haciendo en cada paso y por qué se hace así.

Si después quieres seguir con álgebra, puedes continuar con nuestro bloque de sistemas de ecuaciones ejercicios resueltos. También puedes consultar las clases online de Matemáticas para Bachillerato o las clases online de Matemáticas, Física y Química.

ESO

Primer grado, paréntesis, denominadores, segundo grado, productos notables y problemas.

Bachillerato

Ruffini, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y parámetros.

PAU y materias aplicadas

Ecuaciones dentro de funciones, Física, Química, optimización y problemas económicos.

Cuando una ecuación se atasca, normalmente no falla la fórmula

Suele fallar un signo, un paréntesis, un denominador o la traducción del enunciado. En Marlu Educativa trabajamos las ecuaciones paso a paso, tanto en clases presenciales en Salamanca como en clases online para alumnos de toda España.

Puede solicitarse orientación desde la prematrícula de clases particulares, consultar las clases online o ver la opción de clases online por la mañana.

Índice clicable de ejercicios

  1. Diagnóstico inicial de ecuaciones
  2. Ecuación de primer grado sencilla
  3. Ecuación con paréntesis
  4. Ecuación con fracciones
  5. Ecuación con paréntesis y denominadores
  6. Ecuación de segundo grado con fórmula
  7. Segundo grado incompleta
  8. Discriminante y número de soluciones
  9. Problema que lleva a segundo grado
  10. Ecuación factorizada
  11. Ecuación bicuadrada
  12. Ecuación polinómica con Ruffini
  13. Ruffini con raíz doble
  14. Ecuación racional
  15. Ecuación racional con restricción
  16. Ecuación radical
  17. Ecuación radical con comprobación
  18. Ecuación exponencial
  19. Ecuación exponencial con cambio
  20. Ecuación logarítmica
  21. Ecuación con valor absoluto
  22. Ecuación con parámetro
  23. Problema de edades
  24. Problema económico
  25. Problema de mezclas
  26. Ecuación aplicada a Física
  27. Ecuación aplicada a Química
  28. Práctica final
  29. Errores frecuentes
  30. Recursos relacionados

Diagnóstico inicial de ecuaciones

Antes de resolver ejercicios conviene saber dónde suele estar el problema. Muchas veces el alumno no falla por no saber la fórmula, sino por llegar a ella con un signo mal puesto o un denominador mal eliminado.

Qué debe dominar un alumno

  • Quitar paréntesis sin cambiar signos incorrectamente.
  • Eliminar denominadores multiplicando toda la ecuación.
  • Agrupar términos con incógnita y términos numéricos.
  • Aplicar la fórmula de segundo grado con seguridad.
  • Distinguir cuándo hay dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real.
  • Usar Ruffini cuando aparece una ecuación polinómica.
  • Comprobar restricciones en racionales, radicales y logaritmos.
  • Traducir un problema de enunciado a una ecuación.

Bloque 1. Primer grado, paréntesis y fracciones

Este bloque es la base. Si aquí hay inseguridad, todo lo demás se complica.

Ejercicio 1. Ecuación de primer grado sencilla

Resuelve:

$$3x-5=16$$

Resolución

Pasamos el $-5$ al otro lado sumando.

$$3x=16+5$$
$$3x=21$$

Dividimos entre $3$.

$$x=7$$

Resultado. $x=7$

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Ejercicio 2. Ecuación con paréntesis

Resuelve:

$$2(x-3)+4=3x-5$$

Resolución

Quitamos el paréntesis multiplicando todo lo que hay dentro.

$$2x-6+4=3x-5$$
$$2x-2=3x-5$$

Pasamos las $x$ a un lado y los números al otro.

$$-2+5=3x-2x$$
$$3=x$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 3. Ecuación con fracciones

Resuelve:

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$$

Resolución

El mínimo común múltiplo de $2$ y $3$ es $6$. Multiplicamos toda la ecuación por $6$.

$$6\cdot\frac{x}{2}+6\cdot\frac{x}{3}=6\cdot10$$
$$3x+2x=60$$
$$5x=60$$
$$x=12$$

Resultado. $x=12$

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Ejercicio 4. Ecuación con paréntesis y denominadores

Resuelve:

$$\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=5$$

Resolución

Multiplicamos toda la ecuación por $6$.

$$2(x-1)+3(x+2)=30$$

Quitamos paréntesis.

$$2x-2+3x+6=30$$
$$5x+4=30$$
$$5x=26$$
$$x=\frac{26}{5}$$

Resultado. $x=\frac{26}{5}$

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Cuando hay denominadores. El error más habitual es multiplicar solo una parte. Hay que multiplicar toda la ecuación. Si este paso falla, conviene reforzarlo antes de pasar a segundo grado o sistemas. Puede pedirse orientación desde la prematrícula de Marlu Educativa.

Bloque 2. Segundo grado, discriminante y problemas

En España la ecuación de segundo grado se trabaja con la fórmula general. Es importante saber aplicarla sin perder signos.

Fórmula de segundo grado

Para una ecuación de la forma:

$$ax^2+bx+c=0$$

con $a≠0$, las soluciones son:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

La expresión $b^2-4ac$ se llama discriminante.

Ejercicio 5. Ecuación de segundo grado con fórmula

Resuelve:

$$2x^2-7x+3=0$$

Resolución

Identificamos los coeficientes.

$$a=2, \quad b=-7, \quad c=3$$

Aplicamos la fórmula.

$$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}$$
$$x=\frac{7\pm5}{4}$$

Primera solución:

$$x=\frac{7+5}{4}=3$$

Segunda solución:

$$x=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$$

Resultado. $x=3$ y $x=\frac{1}{2}$

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Ejercicio 6. Ecuación de segundo grado incompleta

Resuelve:

$$3x^2-27=0$$

Resolución

$$3x^2=27$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm3$$

Resultado. $x=3$ y $x=-3$

Cuando aparece $x^2=9$, hay dos soluciones. No debe escribirse solo $x=3$.

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Ejercicio 7. Discriminante y número de soluciones

Estudia cuántas soluciones reales tiene:

$$x^2+4x+8=0$$

Resolución

Calculamos el discriminante.

$$b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot8$$
$$16-32=-16$$

Como el discriminante es negativo, no hay soluciones reales.

Resultado. La ecuación no tiene soluciones reales.

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Ejercicio 8. Problema que lleva a segundo grado

El área de un rectángulo es $48 cm^2$. El largo mide $4 cm$ más que el ancho. Calcula las dimensiones.

Resolución

Sea $x$ el ancho. Entonces el largo es $x+4$.

$$x(x+4)=48$$
$$x^2+4x-48=0$$

Aplicamos la fórmula.

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-48)}}{2}$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{208}}{2}$$
$$x=-2\pm2\sqrt{13}$$

Como una longitud no puede ser negativa, tomamos:

$$x=-2+2\sqrt{13}$$

El largo es:

$$x+4=2+2\sqrt{13}$$

Resultado. Ancho $-2+2\sqrt{13} cm$ y largo $2+2\sqrt{13} cm$

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Ejercicio 9. Ecuación factorizada

Resuelve:

$$(2x-1)(x+4)=0$$

Resolución

Un producto es cero si alguno de sus factores es cero.

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$
$$x+4=0 \Rightarrow x=-4$$

Resultado. $x=\frac{1}{2}$ y $x=-4$

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Ejercicio 10. Ecuación bicuadrada

Resuelve:

$$x^4-13x^2+36=0$$

Resolución

Hacemos el cambio:

$$t=x^2$$

La ecuación queda:

$$t^2-13t+36=0$$
$$(t-4)(t-9)=0$$
$$t=4 \quad \text{o} \quad t=9$$

Deshacemos el cambio.

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$$

Resultado. $x=-3$, $x=-2$, $x=2$ y $x=3$

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Segundo grado y bicuadradas. Estos ejercicios suelen aparecer en 4º ESO y Bachillerato. Si el alumno falla signos, raíces o discriminantes, el problema se arrastra después a funciones y sistemas. Puede reforzarse desde las clases online o desde las clases online de Matemáticas para Bachillerato.

Bloque 3. Ruffini y ecuaciones polinómicas

Ruffini permite factorizar polinomios cuando encontramos una raíz entera. Es muy útil en 4º ESO y Bachillerato.

Ejercicio 11. Ecuación polinómica con Ruffini

Resuelve:

$$x^3-6x^2+11x-6=0$$

Resolución

Probamos raíces enteras entre los divisores de $6$:

$$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$$

Con $x=1$:

$$1-6+11-6=0$$

Por tanto, $x=1$ es raíz y $x-1$ es factor.

Al dividir por Ruffini queda:

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$$

Factorizamos el segundo grado.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
$$(x-1)(x-2)(x-3)=0$$

Resultado. $x=1$, $x=2$ y $x=3$

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Ejercicio 12. Ruffini con raíz doble

Resuelve:

$$x^3-4x^2+5x-2=0$$

Resolución

Probamos $x=1$.

$$1-4+5-2=0$$

Luego $x=1$ es raíz.

Dividiendo por Ruffini:

$$x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)$$

Factorizamos.

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
$$(x-1)^2(x-2)=0$$

Resultado. $x=1$ es raíz doble y $x=2$ es otra raíz.

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Bloque 4. Racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas

En estas ecuaciones hay que resolver, pero también revisar condiciones. No todo resultado obtenido durante el cálculo tiene por qué ser válido.

Ejercicio 13. Ecuación racional

Resuelve:

$$\frac{2}{x-1}+1=\frac{5}{x-1}$$

Resolución

Primero anotamos la restricción:

$$x\neq1$$

Multiplicamos por $x-1$.

$$2+(x-1)=5$$
$$x+1=5$$
$$x=4$$

Como $4$ no anula el denominador, la solución es válida.

Resultado. $x=4$

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Ejercicio 14. Ecuación racional con restricción

Resuelve:

$$\frac{x+2}{x-3}=2$$

Resolución

Restricción:

$$x\neq3$$

Multiplicamos por $x-3$.

$$x+2=2(x-3)$$
$$x+2=2x-6$$
$$8=x$$

Como $8\neq3$, la solución es válida.

Resultado. $x=8$

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Ejercicio 15. Ecuación radical

Resuelve:

$$\sqrt{x+5}=x-1$$

Resolución

Como una raíz cuadrada no puede dar un número negativo, necesitamos:

$$x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1$$

Elevamos al cuadrado.

$$x+5=(x-1)^2$$
$$x+5=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$(x-4)(x+1)=0$$
$$x=4 \quad \text{o} \quad x=-1$$

Por la condición inicial, solo vale $x=4$. Además, al sustituir se cumple.

Resultado. $x=4$

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Ejercicio 16. Ecuación radical con comprobación

Resuelve:

$$\sqrt{2x+3}=x$$

Resolución

Debe cumplirse $x\ge0$, porque la raíz es no negativa.

Elevamos al cuadrado.

$$2x+3=x^2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$(x-3)(x+1)=0$$
$$x=3 \quad \text{o} \quad x=-1$$

Como $x\ge0$, solo puede valer $x=3$. Comprobamos:

$$\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt9=3$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 17. Ecuación exponencial

Resuelve:

$$2^{x+1}=16$$

Resolución

Escribimos $16$ como potencia de $2$.

$$16=2^4$$
$$2^{x+1}=2^4$$

Como las bases son iguales, igualamos exponentes.

$$x+1=4$$
$$x=3$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 18. Ecuación exponencial con cambio

Resuelve:

$$4^x-5\cdot2^x+4=0$$

Resolución

Como $4^x=(2^x)^2$, hacemos el cambio:

$$t=2^x$$

La ecuación queda:

$$t^2-5t+4=0$$
$$(t-1)(t-4)=0$$
$$t=1 \quad \text{o} \quad t=4$$

Deshacemos el cambio.

$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

Resultado. $x=0$ y $x=2$

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Ejercicio 19. Ecuación logarítmica

Resuelve. Tomamos logaritmo decimal.

$$\log(x-1)=2$$

Resolución

Primero revisamos el dominio.

$$x-1>0 \Rightarrow x>1$$

Pasamos a forma exponencial.

$$x-1=10^2$$
$$x-1=100$$
$$x=101$$

Cumple el dominio.

Resultado. $x=101$

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Ejercicio 20. Ecuación con valor absoluto

Resuelve:

$$|2x-3|=5$$

Resolución

Un valor absoluto vale $5$ si lo de dentro vale $5$ o $-5$.

$$2x-3=5$$
$$2x=8$$
$$x=4$$

Segundo caso:

$$2x-3=-5$$
$$2x=-2$$
$$x=-1$$

Resultado. $x=4$ y $x=-1$

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Ejercicio 21. Ecuación con parámetro

Resuelve según el valor de $a$:

$$ax=6$$

Resolución

Si $a\neq0$, podemos dividir entre $a$.

$$x=\frac{6}{a}$$

Si $a=0$, la ecuación queda:

$$0x=6$$

Eso es imposible.

Resultado. Si $a\neq0$, $x=\frac{6}{a}$. Si $a=0$, no tiene solución.

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Racionales, radicales y logaritmos. En estos ejercicios hay que comprobar. A veces el cálculo da un número, pero ese número no sirve por el dominio o por la raíz. Este punto se trabaja con detalle en las clases online de Matemáticas para Bachillerato.

Bloque 5. Problemas aplicados

En los problemas, la parte difícil no siempre es resolver la ecuación. Muchas veces lo difícil es plantearla bien.

Ejercicio 22. Problema de edades

Dentro de $5$ años, la edad de un padre será el triple que la de su hijo. Actualmente el padre tiene $35$ años. ¿Qué edad tiene ahora el hijo?

Resolución

Sea $x$ la edad actual del hijo.

Dentro de $5$ años, el hijo tendrá $x+5$ y el padre tendrá $40$.

$$40=3(x+5)$$
$$40=3x+15$$
$$25=3x$$
$$x=\frac{25}{3}$$

Resultado. El hijo tiene $\frac{25}{3}$ años, es decir, $8$ años y $4$ meses.

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Ejercicio 23. Problema económico

Una tienda compra un producto por $40 euros$ y lo vende con un beneficio del $25%$. ¿A qué precio lo vende?

Resolución

El $25%$ de $40$ euros es:

$$0,25\cdot40=10$$

Precio de venta:

$$40+10=50$$

Resultado. Lo vende por 50 euros.

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Ejercicio 24. Problema de mezclas

Se mezclan $4$ litros de una disolución al $20%$ con cierta cantidad de otra disolución al $50%$. Se quiere obtener una mezcla al $35%$. ¿Cuántos litros de la segunda disolución hay que añadir?

Resolución

Sea $x$ la cantidad de disolución al $50%$.

Soluto de la primera disolución:

$$0,20\cdot4=0,8$$

Soluto de la segunda:

$$0,50x$$

La mezcla final tiene $4+x$ litros y concentración $35%$.

$$0,8+0,50x=0,35(4+x)$$
$$0,8+0,50x=1,4+0,35x$$
$$0,15x=0,6$$
$$x=4$$

Resultado. Hay que añadir $4$ litros de la disolución al $50%$.

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Ejercicio 25. Ecuación aplicada a Física

Un móvil tiene posición $s=5+3t$. ¿En qué instante alcanza la posición $s=26 m$?

Resolución

Sustituimos $s$ por $26$.

$$26=5+3t$$
$$21=3t$$
$$t=7$$

Resultado. Alcanza la posición a los $7 s$.

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Ejercicio 26. Ecuación aplicada a Química

Se disuelven $n$ moles de soluto en $0,5 L$ de disolución. Si la molaridad es $0,8 mol/L$, calcula $n$.

Resolución

Usamos la fórmula de la molaridad.

$$M=\frac{n}{V}$$

Sustituimos.

$$0,8=\frac{n}{0,5}$$
$$n=0,8\cdot0,5$$
$$n=0,4$$

Resultado. Hay $0,4 mol$ de soluto.

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Práctica final

Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los casos más habituales.

Ejercicios finales sin resolver

  1. Resuelve $4x-7=21$
  2. Resuelve $3(x-2)=2x+5$
  3. Resuelve $\frac{x}{4}+\frac{x}{2}=9$
  4. Resuelve $x^2-9x+20=0$
  5. Resuelve $x^4-10x^2+9=0$
  6. Resuelve $\frac{3}{x+2}=1$
  7. Resuelve $\sqrt{x+1}=x-1$
  8. Resuelve $3^{x-1}=27$
  9. Resuelve $x^3-7x+6=0$ usando Ruffini
  10. Una función de beneficio es $B(x)=-x^2+12x-20$. Halla cuándo el beneficio es cero
Ver soluciones finales
  1. $x=7$
  2. $x=11$
  3. $x=12$
  4. $x=4$ y $x=5$
  5. $x=-3$, $x=-1$, $x=1$ y $x=3$
  6. $x=1$
  7. $x=3$
  8. $x=4$
  9. $x=1$, $x=2$ y $x=-3$
  10. $x=2$ y $x=10$

Errores frecuentes en ecuaciones

  • Cambiar un término de lado sin cambiar el signo.
  • Quitar paréntesis multiplicando solo el primer término.
  • Multiplicar por el denominador solo una parte de la ecuación.
  • Olvidar que $x^2=9$ tiene dos soluciones.
  • Usar la fórmula de segundo grado con el signo de $b$ cambiado.
  • No mirar el discriminante antes de interpretar las soluciones.
  • Aplicar Ruffini sin comprobar que el número probado es raíz.
  • No revisar restricciones en ecuaciones racionales.
  • Elevar al cuadrado en radicales y no comprobar después.
  • Resolver bien el cálculo y contestar mal el problema de enunciado.

Dominar ecuaciones mejora todo el rendimiento matemático

Las ecuaciones están detrás de sistemas, funciones, problemas de Física, cálculos de Química, optimización y Matemáticas Sociales. Por eso conviene trabajarlas bien, con orden y sin saltarse pasos.

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