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Optimización en 2 Bachillerato paso a paso: problemas tipo PAU/EBAU con derivadas

Q: ¿Qué es una restricción o ligadura?

Es la condición que impone el enunciado, como perímetro fijo, volumen fijo, área fija, material disponible, suma constante o punto perteneciente a una curva.

Q: ¿Por qué se usa la segunda derivada?

Porque al resolver f'(x)=0 obtenemos candidatos. La segunda derivada ayuda a decidir si el punto corresponde a un máximo o a un mínimo.

Publicado por

JOSE-MARIA

agosto 10, 2026

el junio 1, 2026

Optimización en 2 Bachillerato paso a paso: problemas tipo PAU/EBAU con derivadas

Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.

Los problemas de optimización tienen fama de difíciles, pero el obstáculo suele aparecer antes de derivar: hay que traducir correctamente el dibujo y decidir qué magnitud se quiere maximizar o minimizar.

En esta guía seguiremos siempre el mismo orden: dibujo de la situación, datos, función objetivo, restricción, dominio útil, derivada, punto crítico y comprobación final. Primero se plantea con calma; después se calcula.

Qué trabajaremos aquí. Aplicaremos las derivadas a problemas de máximos y mínimos con rectángulos, cajas, cilindros, vallas, distancias, costes, beneficios y figuras inscritas. El cálculo de derivadas y el estudio completo de funciones se repasan en sus recursos específicos.

Optimización 2 Bachillerato PAU/EBAU Derivadas Máximos y mínimos Problemas con dibujo

Si estás preparando Matemáticas de 2 Bachillerato o PAU/EBAU, optimización es un tema que conviene dominar con método. En nuestras clases online de Matemáticas de Bachillerato trabajamos el planteamiento, la justificación y la revisión completa del resultado.

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1. Qué significa optimizar

Optimizar significa buscar el mejor valor posible de algo: el área máxima, el coste mínimo, el volumen máximo, la distancia mínima, el beneficio máximo o el material mínimo. En Matemáticas de 2 Bachillerato, normalmente se hace con derivadas.

La idea básica es esta: el enunciado describe una situación con varias magnitudes. Una magnitud depende de otra. Nosotros tenemos que convertir la situación en una función de una sola variable y estudiar dónde alcanza máximo o mínimo.

\[ \text{Problema real} \longrightarrow \text{función de una variable} \longrightarrow \text{derivada} \longrightarrow \text{máximo o mínimo} \]

El paso delicado no es derivar. El paso delicado es construir la función. Si la función está mal, el ejercicio cae entero, aunque luego derives de maravilla.

Función objetivo y restricción

En optimización siempre hay dos ideas clave.

Función objetivo

Es lo que queremos maximizar o minimizar. Puede ser un área, un volumen, un coste, una distancia, un beneficio o una longitud.

Restricción o ligadura

Es la condición que impone el problema: perímetro fijo, volumen fijo, material disponible, punto sobre una curva, suma constante, área fija...

Por ejemplo, si el enunciado dice que un rectángulo tiene perímetro 40 y queremos área máxima, la función objetivo es el área \(A=x\cdot y\), y la restricción es \(2x+2y=40\).

Con la restricción despejamos una variable y dejamos la función objetivo en una sola variable. Esa es la jugada.

Idea que hay que tener muy clara: en optimización no se deriva hasta que la función depende de una sola variable. Si tienes \(A=x\cdot y\), todavía no puedes optimizar con una derivada de 2 Bachillerato. Primero necesitas usar la restricción.

Por qué aparece la segunda derivada

Cuando derivamos y resolvemos \(f'(x)=0\), encontramos candidatos. Pero un candidato puede ser máximo, mínimo o incluso nada especial si el contexto no acompaña. Por eso se revisa.

\[ f''(x_0)<0 \Rightarrow \text{máximo local} \] \[ f''(x_0)>0 \Rightarrow \text{mínimo local} \]

En problemas cerrados de Selectividad, muchas veces también hay que mirar el dominio útil y los extremos del intervalo. No basta con encontrar un número bonito.

2. Método de examen para problemas de optimización

Este método es el que conviene repetir siempre. Da igual que el problema sea de un rectángulo, una caja, un cilindro, una distancia o un coste. Cambian los datos, pero el esqueleto es el mismo.

Dibuja la situación. Aunque sea un dibujo sencillo. Un rectángulo mal entendido te cambia toda la función.
Nombra las variables. Usa \(x\), \(y\), \(r\), \(h\), lo que tenga sentido. No dejes magnitudes sin nombre.
Escribe la función objetivo. Área, volumen, coste, beneficio, distancia... exactamente lo que pide maximizar o minimizar.
Escribe la restricción. Perímetro fijo, suma fija, volumen fijo, punto sobre una curva, material disponible.
Despeja una variable. La función objetivo debe quedar con una sola variable.
Indica el dominio útil. No vale cualquier número. Longitudes, radios, alturas y áreas deben tener sentido.
Deriva y resuelve \(f'(x)=0\). Estos son los candidatos a máximo o mínimo.
Comprueba con \(f''(x)\) o con el estudio del signo. No basta con decir “por tanto máximo”. Hay que justificar.
Calcula todas las medidas pedidas. Si preguntan dimensiones, da \(x\) e \(y\), no solo el área.
Revisa unidades y sentido. Si una longitud sale negativa o mayor que el total disponible, algo falla.

3. Plantillas típicas de optimización en PAU/EBAU

Hay muchos enunciados posibles, pero en el fondo se repiten ciertos modelos. Si reconoces el modelo, el ejercicio deja de parecer una sorpresa.

Modelo típico	Función objetivo	Restricción habitual	Detalle que suele fallar
Rectángulo de área máxima con perímetro fijo	\(A=x\cdot y\)	\(2x+2y=P\)	Olvidar que hay dos lados de cada medida.
Valla junto a un río o pared	\(A=x\cdot y\)	\(x+2y=L\)	Poner \(2x+2y\) cuando un lado no necesita valla.
Rectángulo inscrito en círculo o semicircunferencia	\(A=2xy\) o \(A=4xy\)	\(x^2+y^2=r^2\)	No distinguir semiancho y ancho total.
Rectángulo bajo una parábola	\(A=2x\cdot y\)	\(y=f(x)\)	Olvidar que el ancho puede ser \(2x\).
Caja sin tapa recortando esquinas	\(V=x(L-2x)(A-2x)\)	Medidas de la cartulina	Dominio: \(0
Cilindro de volumen fijo con material mínimo	\(S=2\pi r^2+2\pi rh\)	\(\pi r^2h=V\)	Despejar mal \(h\).
Dos números con suma fija	Producto, suma de cuadrados u otra expresión	\(x+y=S\)	No comprobar si se pide máximo o mínimo.
Punto de una curva más cercano a otro punto	\(d^2=(x-a)^2+(f(x)-b)^2\)	El punto está en \(y=f(x)\)	Minimizar distancia al cuadrado para evitar raíz.
Coste, ingreso y beneficio	\(B(x)=I(x)-C(x)\)	Dominio económico	Confundir ingreso con beneficio.
Cartel o ventana con márgenes	Área total o coste	Área impresa fija o perímetro fijo	No distinguir zona útil y zona total.

4. Dibujos y restricciones: aquí se gana medio ejercicio

En optimización, el dibujo no es adorno. Es parte del razonamiento. No hace falta ser arquitecto; basta con representar qué mide cada variable y qué restricción impone el problema.

Valla junto a un río o una pared

La restricción típica es:

\[ x+2y=L \]

El área suele ser:

\[ A=x\cdot y \]

Rectángulo inscrito en una circunferencia

Si \((x,y)\) es el vértice del primer cuadrante, el rectángulo completo suele tener base \(2x\) y altura \(2y\). Por tanto:

\[ A=4xy \] \[ x^2+y^2=r^2 \]

Caja sin tapa recortando esquinas

Si la cartulina mide \(L\) por \(A\), y se recortan cuadrados de lado \(x\), el volumen de la caja es:

\[ V(x)=x(L-2x)(A-2x) \]

Cilindro con volumen fijo

Para cilindro cerrado:

\[ V=\pi r^2h \] \[ S=2\pi r^2+2\pi rh \]

Rectángulo bajo una parábola

La altura la da la propia función:

\[ y=f(x) \]

Si el rectángulo es simétrico respecto del eje \(y\), la base total es \(2x\), luego:

\[ A(x)=2x\cdot f(x) \]

5. Errores frecuentes en optimización

Derivar demasiado pronto

Si todavía hay dos variables, no toca derivar. Primero se usa la restricción.

No dibujar

Sin dibujo se confunden lados, radios, alturas, semianchos y restricciones. El dibujo evita muchos desastres.

No indicar el dominio

Una longitud no puede ser negativa. En cajas, radios o rectángulos, el dominio físico importa.

Confundir máximo y mínimo

Resolver \(f'(x)=0\) no basta. Hay que comprobar si el punto da máximo o mínimo.

Olvidar la segunda medida

Muchos alumnos encuentran \(x\), pero no calculan \(y\), \(h\), \(r\) o el valor máximo pedido.

No revisar unidades

Si optimizas área, el resultado debe estar en unidades cuadradas. Si optimizas volumen, en unidades cúbicas.

6. Problemas resueltos paso a paso

Estos problemas cubren los modelos más habituales de optimización en 2 Bachillerato y PAU/EBAU. Algunos parecen parecidos, pero no son iguales. Fíjate en la restricción: ahí está la clave.

Ejercicio 1. Rectángulo de área máxima con perímetro fijo

Enunciado. Entre todos los rectángulos de perímetro 40 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima.

Vamos por partes. La situación es un rectángulo de lados \(x\) e \(y\). Queremos maximizar el área.

\[ A=x\cdot y \]

La restricción viene del perímetro:

\[ 2x+2y=40 \]

Simplificamos:

\[ x+y=20 \] \[ y=20-x \]

Sustituimos en el área:

\[ A(x)=x(20-x)=20x-x^2 \]

Dominio útil: \(0

Derivamos:

\[ A'(x)=20-2x \]

Igualamos a cero:

\[ 20-2x=0 \] \[ x=10 \]

Calculamos \(y\):

\[ y=20-10=10 \]

Comprobamos con la segunda derivada:

\[ A''(x)=-2<0 \]

Por tanto, hay máximo.

Resultado. El rectángulo de área máxima es un cuadrado de lado 10 cm. El área máxima es \(100\ \text{cm}^2\).

Revisión. Con perímetro fijo, el rectángulo de mayor área es el cuadrado. El resultado tiene sentido.

Ejercicio 2. Valla junto a un río: tres lados de valla

Enunciado. Se dispone de 120 m de valla para cerrar un terreno rectangular junto a un río. El lado junto al río no necesita valla. ¿Qué dimensiones hacen máxima el área?

Este es un clásico. Ojo: no hay cuatro lados de valla. Solo se vallan tres lados.

Llamamos \(x\) al lado paralelo al río y \(y\) a cada lado perpendicular.

\[ A=x\cdot y \]

La restricción de valla es:

\[ x+2y=120 \]

Despejamos:

\[ x=120-2y \]

Sustituimos en el área:

\[ A(y)=y(120-2y)=120y-2y^2 \]

Dominio útil: \(0

Derivamos:

\[ A'(y)=120-4y \]

Igualamos a cero:

\[ 120-4y=0 \] \[ y=30 \]

Entonces:

\[ x=120-2\cdot30=60 \]

Segunda derivada:

\[ A''(y)=-4<0 \]

Resultado. Las dimensiones son \(60\ \text{m}\) junto al río y \(30\ \text{m}\) en los lados perpendiculares. El área máxima es \(1800\ \text{m}^2\).

Error que conviene evitar. Si se escribe \(2x+2y=120\), se está vallando también el lado del río y se resuelve un problema distinto.

Ejercicio 3. Rectángulo inscrito en una circunferencia

Enunciado. Halla el rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 5 cm, con lados paralelos a los ejes.

Tomamos el centro de la circunferencia como origen. Si el vértice del rectángulo en el primer cuadrante es \((x,y)\), entonces el rectángulo completo tiene base \(2x\) y altura \(2y\).

\[ A=2x\cdot2y=4xy \]

La restricción viene de la circunferencia:

\[ x^2+y^2=25 \]

Despejamos \(y\):

\[ y=\sqrt{25-x^2} \]

Función área:

\[ A(x)=4x\sqrt{25-x^2} \]

Podemos maximizar \(A\), pero es más cómodo maximizar \(A^2\), porque \(A\) es positiva y el máximo está en el mismo punto.

\[ A^2=16x^2(25-x^2)=400x^2-16x^4 \]

Llamamos \(F(x)=400x^2-16x^4\). Derivamos:

\[ F'(x)=800x-64x^3=64x\left(\frac{25}{2}-x^2\right) \]

Como \(x>0\), queda:

\[ x^2=\frac{25}{2} \] \[ x=\frac{5}{\sqrt2} \]

Entonces:

\[ y=\sqrt{25-\frac{25}{2}}=\frac{5}{\sqrt2} \]

Comprobación:

\[ F''(x)=800-192x^2 \] \[ F''\left(\frac{5}{\sqrt2}\right)=800-192\cdot\frac{25}{2}<0 \]

Hay máximo.

Resultado. El rectángulo de área máxima es un cuadrado. Sus lados miden \(5\sqrt2\ \text{cm}\).

Ejercicio 4. Rectángulo de área máxima bajo una parábola

Enunciado. Halla el rectángulo de área máxima con base sobre el eje \(x\), simétrico respecto del eje \(y\), e inscrito bajo la parábola \(y=12-x^2\).

El vértice superior derecho del rectángulo es \((x,y)\). Como el rectángulo es simétrico, su base completa mide \(2x\) y su altura mide \(y\).

La parábola da la restricción:

\[ y=12-x^2 \]

Función objetivo:

\[ A=2x\cdot y \]

Sustituimos:

\[ A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3 \]

Dominio útil: \(0

Derivamos:

\[ A'(x)=24-6x^2 \]

Igualamos a cero:

\[ 24-6x^2=0 \] \[ x^2=4 \] \[ x=2 \]

Calculamos la altura:

\[ y=12-2^2=8 \]

Segunda derivada:

\[ A''(x)=-12x \] \[ A''(2)=-24<0 \]

Resultado. El rectángulo de área máxima tiene base \(4\) y altura \(8\). El área máxima es \(32\) unidades cuadradas.

Ojo. Muchos alumnos ponen base \(x\) en vez de \(2x\). Ese es el fallo típico cuando la figura es simétrica.

Ejercicio 5. Caja abierta recortando cuadrados

Enunciado. De una cartulina de \(30\ \text{cm}\) por \(20\ \text{cm}\) se recortan cuadrados iguales en las esquinas y se pliegan los lados para formar una caja sin tapa. ¿Qué lado deben tener los cuadrados para que el volumen sea máximo?

Llamamos \(x\) al lado de cada cuadrado recortado. Entonces la altura de la caja será \(x\).

La base de la caja tendrá dimensiones:

\[ 30-2x,\qquad 20-2x \]

Función volumen:

\[ V(x)=x(30-2x)(20-2x) \]

Dominio útil:

\[ 0

Desarrollamos:

\[ V(x)=x(600-100x+4x^2)=600x-100x^2+4x^3 \]

Derivamos:

\[ V'(x)=600-200x+12x^2 \]

Igualamos a cero:

\[ 12x^2-200x+600=0 \]

Dividimos entre 4:

\[ 3x^2-50x+150=0 \]

Resolvemos:

\[ x=\frac{50\pm\sqrt{2500-1800}}{6} \] \[ x=\frac{50\pm10\sqrt7}{6} \] \[ x=\frac{25\pm5\sqrt7}{3} \]

De los dos valores, solo sirve el que está entre 0 y 10:

\[ x=\frac{25-5\sqrt7}{3}\approx3.92 \]

Segunda derivada:

\[ V''(x)=-200+24x \]

En \(x\approx3.92\):

\[ V''(3.92)<0 \]

Por tanto, hay máximo.

Resultado. Los cuadrados deben tener lado \(\frac{25-5\sqrt7}{3}\ \text{cm}\), aproximadamente \(3.92\ \text{cm}\).

Ejercicio 6. Cilindro cerrado de volumen fijo con material mínimo

Enunciado. Se quiere fabricar una lata cilíndrica cerrada de volumen \(V=1000\ \text{cm}^3\). Halla la relación entre radio y altura para que el área de material sea mínima.

Para un cilindro cerrado:

\[ S=2\pi r^2+2\pi rh \]

La restricción de volumen es:

\[ \pi r^2h=1000 \]

Despejamos \(h\):

\[ h=\frac{1000}{\pi r^2} \]

Sustituimos en el área:

\[ S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{1000}{\pi r^2} \] \[ S(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r} \]

Dominio: \(r>0\).

Derivamos:

\[ S'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2} \]

Igualamos a cero:

\[ 4\pi r=\frac{2000}{r^2} \] \[ 4\pi r^3=2000 \]

Más importante que el valor exacto es la relación con la altura. Como \(4\pi r^3=2000\), dividimos entre \(\pi r^2\):

\[ 4r=\frac{2000}{\pi r^2}=2h \]

Por tanto:

\[ h=2r \]

Segunda derivada:

\[ S''(r)=4\pi+\frac{4000}{r^3}>0 \]

Hay mínimo.

Resultado. Para gastar el mínimo material en un cilindro cerrado de volumen fijo, la altura debe ser igual al diámetro: \(h=2r\).

Ejercicio 7. Dos números con suma fija y producto máximo

Enunciado. De entre todos los pares de números positivos cuya suma es 30, halla los que tienen producto máximo.

Llamamos \(x\) a un número e \(y\) al otro.

\[ x+y=30 \] \[ y=30-x \]

Función objetivo:

\[ P=xy \]

Sustituimos:

\[ P(x)=x(30-x)=30x-x^2 \]

Dominio: \(0

Derivamos:

\[ P'(x)=30-2x \]

Igualamos a cero:

\[ 30-2x=0 \] \[ x=15 \]

Entonces:

\[ y=30-15=15 \]

Segunda derivada:

\[ P''(x)=-2<0 \]

Resultado. El producto máximo se obtiene con \(15\) y \(15\). Producto máximo: \(225\).

Revisión. Cuando se busca un producto máximo con suma fija aparecen dos números iguales, pero en el examen hay que justificarlo mediante la función y su derivada.

Ejercicio 8. Suma de cuadrados mínima con suma fija

Enunciado. Halla dos números cuya suma sea 20 y cuya suma de cuadrados sea mínima.

Llamamos \(x\) e \(y\) a los números.

\[ x+y=20 \] \[ y=20-x \]

Función objetivo:

\[ S=x^2+y^2 \]

Sustituimos:

\[ S(x)=x^2+(20-x)^2 \]

Desarrollamos:

\[ S(x)=x^2+400-40x+x^2=2x^2-40x+400 \]

Derivamos:

\[ S'(x)=4x-40 \]

Igualamos a cero:

\[ 4x-40=0 \] \[ x=10 \]

Entonces \(y=10\).

Segunda derivada:

\[ S''(x)=4>0 \]

Resultado. La suma de cuadrados mínima se obtiene con \(10\) y \(10\).

Ejercicio 9. Punto de una parábola más cercano a un punto

Enunciado. Halla el punto de la parábola \(y=x^2\) más cercano al punto \((0,3)\).

Un punto de la parábola tiene la forma \((x,x^2)\).

La distancia al punto \((0,3)\) es:

\[ d=\sqrt{(x-0)^2+(x^2-3)^2} \]

Para evitar la raíz, minimizamos la distancia al cuadrado:

\[ F(x)=x^2+(x^2-3)^2 \]

Desarrollamos:

\[ F(x)=x^2+x^4-6x^2+9=x^4-5x^2+9 \]

Derivamos:

\[ F'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5) \]

Igualamos a cero:

\[ 2x(2x^2-5)=0 \]

Candidatos:

\[ x=0,\qquad x=\pm\sqrt{\frac52} \]

Segunda derivada:

\[ F''(x)=12x^2-10 \]

En \(x=0\), \(F''(0)=-10<0\), luego no es mínimo.

En \(x^2=5/2\):

\[ F''=12\cdot\frac52-10=30-10=20>0 \]

Hay mínimos.

Los puntos son:

\[ \left(\sqrt{\frac52},\frac52\right), \qquad \left(-\sqrt{\frac52},\frac52\right) \]

Resultado. Hay dos puntos de la parábola igualmente cercanos a \((0,3)\), simétricos respecto del eje \(y\).

Ejercicio 10. Cartel con área impresa fija y márgenes

Enunciado. Un cartel debe tener una zona impresa de \(300\ \text{cm}^2\). Los márgenes laterales son de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Halla las dimensiones de la zona impresa para que el área total del cartel sea mínima.

Llamamos \(x\) al ancho de la zona impresa e \(y\) al alto de la zona impresa.

Restricción:

\[ xy=300 \] \[ y=\frac{300}{x} \]

El cartel completo mide \(x+4\) de ancho y \(y+6\) de alto.

Función objetivo:

\[ A=(x+4)(y+6) \]

Sustituimos:

\[ A(x)=(x+4)\left(\frac{300}{x}+6\right) \]

Desarrollamos:

\[ A(x)=300+6x+\frac{1200}{x}+24 \] \[ A(x)=324+6x+\frac{1200}{x} \]

Dominio: \(x>0\).

Derivamos:

\[ A'(x)=6-\frac{1200}{x^2} \]

Igualamos a cero:

\[ 6=\frac{1200}{x^2} \] \[ x^2=200 \] \[ x=10\sqrt2 \]

Calculamos \(y\):

\[ y=\frac{300}{10\sqrt2}=15\sqrt2 \]

Segunda derivada:

\[ A''(x)=\frac{2400}{x^3}>0 \]

Hay mínimo.

Resultado. La zona impresa debe medir \(10\sqrt2\ \text{cm}\) de ancho y \(15\sqrt2\ \text{cm}\) de alto.

Ejercicio 11. Beneficio máximo con ingreso y coste

Enunciado. Una empresa vende \(x\) unidades de un producto. Su ingreso viene dado por \(I(x)=80x-x^2\), y su coste por \(C(x)=20x+100\). Halla cuántas unidades debe vender para maximizar el beneficio.

El beneficio no es el ingreso. El beneficio es:

\[ B(x)=I(x)-C(x) \]

Sustituimos:

\[ B(x)=80x-x^2-(20x+100) \] \[ B(x)=-x^2+60x-100 \]

Derivamos:

\[ B'(x)=-2x+60 \]

Igualamos a cero:

\[ -2x+60=0 \] \[ x=30 \]

Segunda derivada:

\[ B''(x)=-2<0 \]

Hay máximo.

Resultado. Debe vender 30 unidades para maximizar el beneficio.

Beneficio máximo:

\[ B(30)=-900+1800-100=800 \]

Ejercicio 12. Rectángulo de área máxima con diagonal fija

Enunciado. Entre todos los rectángulos con diagonal de 10 cm, halla el de área máxima.

Llamamos \(x\) e \(y\) a los lados del rectángulo.

Función objetivo:

\[ A=xy \]

Restricción por Pitágoras:

\[ x^2+y^2=100 \]

Despejamos:

\[ y=\sqrt{100-x^2} \]

Área:

\[ A(x)=x\sqrt{100-x^2} \]

Como \(A>0\), maximizamos \(A^2\):

\[ F(x)=A^2=x^2(100-x^2)=100x^2-x^4 \]

Derivamos:

\[ F'(x)=200x-4x^3=4x(50-x^2) \]

Como \(x>0\):

\[ x^2=50 \] \[ x=5\sqrt2 \]

Entonces:

\[ y=\sqrt{100-50}=5\sqrt2 \]

Resultado. El rectángulo de área máxima es un cuadrado de lado \(5\sqrt2\ \text{cm}\).

Ejercicio 13. Minimizar coste de una valla con precios distintos

Enunciado. Se quiere cerrar un terreno rectangular de área \(600\ \text{m}^2\). Dos lados opuestos cuestan 10 €/m y los otros dos cuestan 20 €/m. Halla las dimensiones que minimizan el coste.

Llamamos \(x\) a los lados que cuestan 10 €/m e \(y\) a los lados que cuestan 20 €/m.

Restricción de área:

\[ xy=600 \] \[ y=\frac{600}{x} \]

Coste total:

\[ C=2\cdot10x+2\cdot20y=20x+40y \]

Sustituimos:

\[ C(x)=20x+40\cdot\frac{600}{x}=20x+\frac{24000}{x} \]

Dominio: \(x>0\).

Derivamos:

\[ C'(x)=20-\frac{24000}{x^2} \]

Igualamos a cero:

\[ 20=\frac{24000}{x^2} \] \[ x^2=1200 \] \[ x=20\sqrt3 \]

Calculamos:

\[ y=\frac{600}{20\sqrt3}=\frac{30}{\sqrt3}=10\sqrt3 \]

Segunda derivada:

\[ C''(x)=\frac{48000}{x^3}>0 \]

Resultado. Las dimensiones son \(20\sqrt3\ \text{m}\) para los lados baratos y \(10\sqrt3\ \text{m}\) para los lados caros.

Ejercicio 14. Número positivo con suma de número e inverso mínima

Enunciado. Halla el número positivo \(x\) para el que \(x+\frac{9}{x}\) es mínimo.

Función objetivo:

\[ f(x)=x+\frac{9}{x} \]

Dominio: \(x>0\).

Derivamos:

\[ f'(x)=1-\frac{9}{x^2} \]

Igualamos a cero:

\[ 1=\frac{9}{x^2} \] \[ x^2=9 \] \[ x=3 \]

Segunda derivada:

\[ f''(x)=\frac{18}{x^3}>0 \]

Resultado. El mínimo se alcanza en \(x=3\), y el valor mínimo es \(3+\frac93=6\).

Ejercicio 15. Rectángulo inscrito en un semicírculo

Enunciado. Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 6, con la base sobre el diámetro. Halla sus dimensiones para que el área sea máxima.

Tomamos el semicírculo superior de centro el origen:

\[ x^2+y^2=36,\qquad y\ge0 \]

Si el vértice superior derecho del rectángulo es \((x,y)\), la base del rectángulo mide \(2x\) y la altura mide \(y\).

\[ A=2xy \]

Restricción:

\[ y=\sqrt{36-x^2} \]

Área:

\[ A(x)=2x\sqrt{36-x^2} \]

Maximizamos \(A^2\):

\[ F(x)=4x^2(36-x^2)=144x^2-4x^4 \]

Derivamos:

\[ F'(x)=288x-16x^3=16x(18-x^2) \]

Como \(x>0\):

\[ x^2=18 \] \[ x=3\sqrt2 \]

Altura:

\[ y=\sqrt{36-18}=3\sqrt2 \]

Base total:

\[ 2x=6\sqrt2 \]

Resultado. Base \(6\sqrt2\) y altura \(3\sqrt2\).

7. Bloque tipo PAU/EBAU: enunciados con lectura fina

En PAU/EBAU no siempre te dicen “maximiza esta función”. Muchas veces te cuentan una situación y tienes que construirla. Estos ejercicios están escritos con ese espíritu.

Tipo PAU 1. Parcela junto a una pared

Enunciado. Se quieren vallar tres lados de una parcela rectangular, aprovechando una pared como cuarto lado. Se dispone de 80 m de valla. Calcula las dimensiones de la parcela de área máxima.

Es el mismo modelo que el río: solo se vallan tres lados.

\[ x+2y=80,\qquad A=xy \]

Despejamos \(x=80-2y\) y sustituimos:

\[ A(y)=y(80-2y)=80y-2y^2 \]

Derivada:

\[ A'(y)=80-4y \]

Igualamos:

\[ y=20,\qquad x=40 \]

Segunda derivada:

\[ A''(y)=-4<0 \]

Resultado. Dimensiones \(40\ \text{m}\) por \(20\ \text{m}\). Área máxima \(800\ \text{m}^2\).

Tipo PAU 2. Función de beneficio con precio dependiente de la demanda

Enunciado. Una empresa vende \(x\) unidades de un producto. El precio por unidad viene dado por \(p(x)=100-x\), y el coste total es \(C(x)=20x+400\). Halla el número de unidades que maximiza el beneficio.

Ingreso:

\[ I(x)=x\cdot p(x)=x(100-x)=100x-x^2 \]

Beneficio:

\[ B(x)=I(x)-C(x) \] \[ B(x)=100x-x^2-(20x+400) \] \[ B(x)=-x^2+80x-400 \]

Derivamos:

\[ B'(x)=-2x+80 \]

Igualamos a cero:

\[ x=40 \]

Segunda derivada:

\[ B''(x)=-2<0 \]

Resultado. El beneficio máximo se obtiene vendiendo 40 unidades.

Tipo PAU 3. Área máxima con un lado sobre una recta

Enunciado. Se quiere construir un rectángulo en el primer cuadrante, con un vértice en el origen, lados sobre los ejes y el vértice opuesto sobre la recta \(2x+y=12\). Halla el rectángulo de área máxima.

El vértice opuesto es \((x,y)\). El área es:

\[ A=xy \]

La restricción la da la recta:

\[ 2x+y=12 \] \[ y=12-2x \]

Sustituimos:

\[ A(x)=x(12-2x)=12x-2x^2 \]

Dominio: \(0

Derivada:

\[ A'(x)=12-4x \]

Punto crítico:

\[ x=3,\qquad y=12-6=6 \]

Segunda derivada:

\[ A''(x)=-4<0 \]

Resultado. Base \(3\), altura \(6\), área máxima \(18\).

Tipo PAU 4. Minimizar distancia desde un punto a una recta con cálculo

Enunciado. Halla el punto de la recta \(y=2x+1\) más cercano al punto \((3,0)\).

Un punto de la recta es \((x,2x+1)\).

Minimizamos la distancia al cuadrado al punto \((3,0)\):

\[ F(x)=(x-3)^2+(2x+1)^2 \]

Desarrollamos:

\[ F(x)=x^2-6x+9+4x^2+4x+1 \] \[ F(x)=5x^2-2x+10 \]

Derivamos:

\[ F'(x)=10x-2 \]

Igualamos a cero:

\[ x=\frac15 \]

Entonces:

\[ y=2\cdot\frac15+1=\frac75 \]

Segunda derivada:

\[ F''(x)=10>0 \]

Resultado. El punto más cercano es \(\left(\frac15,\frac75\right)\).

Tipo PAU 5. Optimización con una función dada en un intervalo

Enunciado. Halla el máximo y el mínimo absolutos de \(f(x)=x^3-3x^2+1\) en el intervalo \([0,3]\).

Aquí no hay dibujo geométrico, pero sí optimización en intervalo cerrado. Hay que mirar puntos críticos y extremos.

Derivamos:

\[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) \]

Puntos críticos:

\[ x=0,\qquad x=2 \]

En intervalo cerrado miramos \(x=0\), \(x=2\) y \(x=3\).

\[ f(0)=1 \] \[ f(2)=8-12+1=-3 \] \[ f(3)=27-27+1=1 \]

Resultado. Máximo absoluto \(1\), en \(x=0\) y \(x=3\). Mínimo absoluto \(-3\), en \(x=2\).

8. Ejercicios para practicar

Estos ejercicios están separados por nivel. Hazlos con el método completo: dibujo, función objetivo, restricción, derivada, comprobación y resultado.

Básicos

Entre todos los rectángulos de perímetro 60 cm, halla el de área máxima.
Dos números positivos suman 50. Halla los que tienen producto máximo.
Dos números suman 18. Halla los que minimizan la suma de sus cuadrados.
Maximiza \(A(x)=x(10-x)\) en \(0
Minimiza \(f(x)=x+\frac{16}{x}\) para \(x>0\).

Intermedios

Se valla una parcela rectangular junto a una pared con 90 m de valla. Halla el área máxima.
Un rectángulo tiene diagonal 12 cm. Halla el de área máxima.
Halla el rectángulo de área máxima bajo \(y=9-x^2\), simétrico respecto del eje \(y\).
Se recortan cuadrados en una cartulina de 40 cm por 25 cm para hacer una caja sin tapa. Plantea la función volumen.
Una empresa tiene beneficio \(B(x)=-2x^2+120x-500\). Halla el número de unidades que maximiza el beneficio.

Tipo PAU/EBAU

Un cilindro cerrado tiene volumen fijo \(V\). Demuestra que el material mínimo se consigue cuando \(h=2r\).
Un cartel tiene zona impresa fija y márgenes dados. Plantea la función de área total.
Halla el punto de \(y=x^2\) más cercano a \((0,4)\).
Halla el punto de \(y=3x-2\) más cercano a \((1,5)\).
Un rectángulo se inscribe en una semicircunferencia de radio 10. Halla sus dimensiones de área máxima.

Para nota

Construye un problema de optimización donde la función objetivo sea un volumen y la restricción sea un área fija.
Explica por qué en algunos problemas se maximiza \(A^2\) en vez de \(A\).
Busca un ejemplo donde \(f'(x)=0\) no dé máximo ni mínimo absoluto porque el dominio manda.
Resuelve un problema de beneficio máximo donde el precio dependa linealmente de la demanda.
Plantea un problema de rectángulo inscrito en una circunferencia y resuélvelo para radio \(r\).

9. Soluciones rápidas para corregir

Número	Resultado	Comentario
1	Cuadrado de lado 15 cm	Con perímetro fijo, máximo área en el cuadrado.
2	25 y 25	Producto máximo con suma fija.
3	9 y 9	Suma de cuadrados mínima.
4	\(x=5\), máximo \(25\)	Parábola cóncava.
5	\(x=4\), mínimo \(8\)	Segunda derivada positiva.
6	Lado paralelo a pared 45 m, laterales 22,5 m	Restricción \(x+2y=90\).
7	Cuadrado de lado \(6\sqrt2\)	Diagonal fija.
8	\(x=\sqrt3\), base \(2\sqrt3\), altura 6	Área \(2x(9-x^2)\).
9	\(V(x)=x(40-2x)(25-2x)\)	Dominio \(0
10	\(x=30\)	\(B'(x)=-4x+120\).
11	\(h=2r\)	Resultado clásico del cilindro cerrado.
12	\(A=(x+\text{márgenes})(y+\text{márgenes})\)	Usar área impresa fija.
13	\(x=\pm\sqrt{7/2}\), \(y=7/2\)	Minimizar distancia al cuadrado.
14	\(\left(11/5,23/5\right)\)	Minimizar \(F(x)=(x-1)^2+(3x-7)^2\).
15	Base \(10\sqrt2\), altura \(5\sqrt2\)	Semicírculo de radio 10.

10. Simulacro final de optimización

Tiempo recomendado: 75 minutos.

Instrucciones: cada ejercicio debe incluir dibujo o descripción de variables, función objetivo, restricción, derivada, comprobación con segunda derivada o signo, y resultado con unidades si procede.

Entre todos los rectángulos de perímetro 48 cm, halla el de área máxima.
Con 100 m de valla se quiere cerrar una parcela rectangular junto a un río. Halla las dimensiones de área máxima.
Halla el rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 8.
Halla el rectángulo de área máxima bajo \(y=16-x^2\), simétrico respecto del eje \(y\).
Se recorta una caja sin tapa de una cartulina de 36 cm por 24 cm. Plantea la función volumen.
Una empresa tiene \(I(x)=90x-x^2\) y \(C(x)=30x+200\). Halla el beneficio máximo.
Halla el punto de \(y=x^2\) más cercano a \((0,5)\).
Minimiza \(f(x)=2x+\frac{18}{x}\), con \(x>0\).
Halla dos números que sumen 40 y cuyo producto sea máximo.
Explica por qué no se puede derivar \(A=xy\) directamente si \(x\) e \(y\) no están relacionadas todavía por una restricción.

Qué debe incluir una solución completa

Bloque	Puntuación	Qué se valora
Traducción del enunciado	2 puntos	Dibujo, variables, función objetivo y restricción.
Construcción de la función	2 puntos	Función de una sola variable y dominio coherente.
Cálculo diferencial	2 puntos	Derivada correcta y resolución de \(f'(x)=0\).
Comprobación	2 puntos	Segunda derivada, signo o comparación en intervalo.
Resultado final	2 puntos	Medidas pedidas, unidades y sentido del resultado.

11. Diagnóstico de errores

Lo que ocurre: el alumno escribe \(A=xy\) y deriva como si \(y\) fuera constante.

Qué suele haber detrás: no ha entendido que antes debe usar la restricción para dejar una sola variable.

Cómo corregirlo: repetir siempre el orden: función objetivo, restricción, despeje, sustitución.

Lo que ocurre: encuentra un punto crítico y lo llama máximo sin comprobar.

Qué suele haber detrás: usa la derivada como receta, no como herramienta de estudio.

Cómo corregirlo: mirar \(f''(x)\), estudiar el signo de \(f'\) o comparar con extremos si el intervalo es cerrado.

Lo que ocurre: el resultado da una longitud negativa o imposible.

Qué suele haber detrás: no se ha escrito el dominio útil.

Cómo corregirlo: antes de derivar, escribir las condiciones: \(x>0\), \(y>0\), \(r>0\), \(x

Lo que ocurre: confunde ingreso y beneficio.

Qué suele haber detrás: no distingue \(I(x)\), \(C(x)\) y \(B(x)\).

Cómo corregirlo: escribir siempre \(B(x)=I(x)-C(x)\).

Lo que ocurre: en rectángulos inscritos usa \(x\) como base cuando en realidad es semibase.

Qué suele haber detrás: el dibujo no está bien marcado.

Cómo corregirlo: señalar en el dibujo si el ancho total es \(x\), \(2x\), \(L-2x\) o \(r\).

12. Qué estudiar antes y después

La optimización forma parte del bloque de análisis, pero exige combinar varias destrezas: derivar con seguridad, interpretar el signo de la derivada y traducir una situación geométrica o económica a una función de una sola variable.

Derivadas y comprobación

Si el cálculo todavía no es fluido, conviene repasar las reglas y los procedimientos de derivación. Aquí las utilizamos como herramienta; el planteamiento seguirá siendo la parte decisiva.

Monotonía y extremos

Para justificar por qué un punto crítico produce un máximo o un mínimo, resulta útil dominar el estudio del crecimiento, los extremos y la curvatura.

Representación de funciones

El estudio completo reúne dominio, asíntotas, crecimiento y curvatura. Es el complemento natural para comprender la función obtenida en cada problema.

Preparación completa de la PAU

Para situar optimización dentro del examen completo, conviene revisar la estructura general de Matemáticas II y el resto de bloques de la prueba.

Optimización se aprende resolviendo problemas con orden. Cuando se comprende la función objetivo, la restricción y la comprobación final, el tema deja de parecer una colección de trucos. Si el horario habitual no encaja, también puede consultarse la disponibilidad de clases online por la mañana.

Recurso preparado por José María, Marlu Educativa. Material de Matemáticas de 2 Bachillerato para aprender el método, practicar modelos habituales de examen y preparar la PAU/EBAU con una base sólida.

13. Preguntas frecuentes sobre optimización en 2 Bachillerato

¿Qué es un problema de optimización?

Es un problema donde se busca el valor máximo o mínimo de una magnitud: área, volumen, coste, beneficio, distancia o material. En 2 Bachillerato se resuelve normalmente construyendo una función y usando derivadas.

¿Cuál es el paso más importante en optimización?

El paso más importante es construir bien la función objetivo usando la restricción del problema. Si esa función queda mal, todo lo que viene después pierde sentido.

¿Qué es una restricción o ligadura?

Es la condición que impone el enunciado: perímetro fijo, volumen fijo, área fija, material disponible, suma constante o punto perteneciente a una curva.

¿Por qué se usa la segunda derivada?

Porque al resolver \(f'(x)=0\) obtenemos candidatos. La segunda derivada ayuda a decidir si el punto corresponde a un máximo o a un mínimo.

¿Qué problemas de optimización suelen caer en PAU/EBAU?

Los más habituales son rectángulos de área máxima, vallas junto a una pared o río, cajas sin tapa, cilindros de volumen fijo, rectángulos inscritos en curvas, costes mínimos, beneficios máximos y distancias mínimas a curvas.

¿Se puede aprobar optimización memorizando fórmulas?

Memorizar ayuda poco si no se entiende el planteamiento. Lo importante es saber leer el enunciado, dibujar, elegir variables, escribir la función objetivo y usar la restricción.