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Discusión de sistemas con parámetros 2 Bachillerato: Rouché-Frobenius, Gauss y ejercicios resueltos

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Marlu Educativa · Álgebra · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Discusión de sistemas con parámetros en 2 Bachillerato: teorema de Rouché-Frobenius y ejercicios resueltos

Discutir un sistema significa decidir cuántas soluciones tiene para cada valor del parámetro. La cuenta importa, pero el verdadero trabajo consiste en localizar los valores especiales, justificar los rangos y cerrar todos los casos sin dejar ninguno fuera.

Esta guía desarrolla el procedimiento como se escribiría en un examen: matriz de coeficientes, matriz ampliada, determinante por Sarrus cuando procede, estudio de los valores que lo anulan, rangos, clasificación y resolución de los casos compatibles.

Qué encontrarás aquí. El centro del recurso es la discusión con parámetros. La guía de sistemas de ecuaciones, Gauss y Cramer permite repasar los métodos de resolución; aquí damos el paso específico de comparar rangos y estudiar los valores especiales propios de 2.º de Bachillerato y PAU.

Si estás preparando este bloque para 2.º de Bachillerato o PAU/EBAU, también puedes trabajarlo con corrección individual en nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato.

Rouché-FrobeniusRangosGaussSarrusParámetrosSCD · SCI · SI14 ejercicios resueltos
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1. Qué significa discutir un sistema

Resolver un sistema es calcular sus incógnitas. Discutirlo es anterior: consiste en averiguar para qué valores del parámetro tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna.

Primero Se localizan los valores que pueden cambiar el rango.
Después Se estudia por separado cada valor especial.
Al final Se escribe una conclusión que cubra todos los valores.
La idea que ordena el tema. Para los valores que no anulan el determinante, el sistema cuadrado es SCD. El trabajo delicado empieza precisamente cuando el determinante vale cero.

2. Los tres tipos de sistema

ClasificaciónCondiciónSolucionesQué suele aparecer
SCD\(rg(A)=rg(A^*)=n\)UnaUn pivote por incógnita.
SCI\(rg(A)=rg(A^*)<n\)InfinitasAlguna variable queda libre.
SI\(rg(A)\neq rg(A^*)\)NingunaSurge una contradicción, por ejemplo \(0=3\).

El número de ecuaciones no decide por sí solo. Lo que importa es cuántas ecuaciones son realmente independientes y si los términos independientes respetan las mismas relaciones.

3. Matriz de coeficientes, matriz ampliada y rango

Para el sistema

\[\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\end{cases}\]
Matriz de coeficientes\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\]
Matriz ampliada\[A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3\end{array}\right)\]

El rango es el número de filas independientes después de escalonar, o el orden del mayor menor no nulo. En una matriz 3×3, un determinante no nulo garantiza rango 3. Si se anula, hay que buscar un menor de orden 2 o escalonar.

Una distinción esencial. Que \(rg(A)\) baje no basta para decidir. Si \(rg(A^*)\) baja de la misma manera, el sistema puede ser SCI; si la columna ampliada eleva el rango, será SI.

4. Teorema de Rouché-Frobenius

El teorema afirma que un sistema es compatible si y solo si la matriz de coeficientes y la ampliada tienen el mismo rango.

\[\boxed{rg(A)=rg(A^*)\Longleftrightarrow\text{el sistema es compatible}}\]

Una vez comprobada la compatibilidad, el rango común se compara con el número de incógnitas \(n\).

\[\begin{aligned}rg(A)=rg(A^*)=n&\Longrightarrow\text{SCD}\\rg(A)=rg(A^*)<n&\Longrightarrow\text{SCI}\\rg(A)\neq rg(A^*)&\Longrightarrow\text{SI}\end{aligned}\]
Cómo se justifica bien. No basta con escribir las siglas. Conviene mostrar el menor o las operaciones de fila que determinan cada rango y terminar con una frase completa.

5. Procedimiento completo para un ejercicio con parámetros

  1. Escribir \(A\), \(A^*\) y el número de incógnitas.
  2. Si \(A\) es cuadrada, calcular \(D=\det(A)\) y factorizarlo.
  3. Separar los valores que cumplen \(D=0\).
  4. Para \(D\neq0\), concluir \(rg(A)=rg(A^*)=n\): el sistema es SCD.
  5. Sustituir cada valor especial en \(A\) y \(A^*\).
  6. Calcular los rangos por Gauss o mediante menores.
  7. Aplicar Rouché-Frobenius y clasificar.
  8. Resolver todos los casos compatibles si el enunciado lo pide.
  9. Comprobar que la conclusión incluye todos los valores del parámetro.
Presentación de examen. Una discusión queda incompleta si se escribe «para los demás valores, SCD» y no se estudian uno a uno los ceros del determinante.

6. Determinantes 3×3 por la regla de Sarrus

En este recurso, cuando aparezca una matriz 3×3, escribiremos los seis productos de Sarrus antes de simplificar.

\[\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]

Si \(D\neq0\), la matriz tiene rango 3 y el sistema es SCD. Si \(D=0\), el determinante ya no decide: se buscan menores de orden 2 o se hace Gauss.

Error frecuente. Un determinante nulo no significa automáticamente infinitas soluciones. Puede haber SCI o SI, según lo que ocurra con \(A^*\).

7. Discusión por Gauss

Gauss permite ver directamente pivotes, filas nulas y contradicciones. Las operaciones de fila deben escribirse porque forman parte de la justificación.

Fila nula\((0\;0\;0\mid0)\) no añade una ecuación independiente.
Contradicción\((0\;0\;0\mid c)\), con \(c\neq0\), hace incompatible el sistema.
PivotesSu número permite leer el rango después de separar los valores especiales.
Antes de dividir. Si aparece \((a-2)F_3\), el caso \(a=2\) se estudia aparte. Dividir directamente por \(a-2\) haría desaparecer precisamente el caso más interesante.

8. Cuándo entra Cramer

Cramer no sustituye la discusión. Se usa después, cuando ya sabemos que \(D\neq0\) y queremos resolver un caso SCD.

\[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D}\]

En los ejercicios resueltos mostraremos cada determinante completo antes de operar. Para practicar Cramer de forma sistemática, la guía de Gauss y Cramer desarrolla el método como bloque propio.

9. Errores que más puntos cuestan

Olvidar un valor especialHay que estudiar todos los ceros del determinante.
Confundir \(A\) y \(A^*\)La columna independiente puede convertir un SCI en SI.
Dividir sin separar casosNo se divide por una expresión que puede valer cero.
No resolver un SCILas variables libres deben aparecer en la familia de soluciones.
Usar Cramer con \(D=0\)En ese caso hay que estudiar rangos.
Dar solo siglasLa clasificación debe apoyarse en rangos o en una contradicción visible.

10. Ejercicios resueltos paso a paso

Los dos primeros fijan la lectura de rangos. A partir del tercero, el trabajo es el habitual de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU.

1Parámetro básico en un sistema 2×2

Discute y resuelve según \(a\):

\[\begin{cases}x+y=1\\ax+y=2\end{cases}\]

Las matrices y el determinante son

\[A=\begin{pmatrix}1&1\\a&1\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\a&1&2\end{array}\right),\qquad D=\begin{vmatrix}1&1\\a&1\end{vmatrix}=1-a\]

Caso \(a\neq1\)

Como \(D\neq0\), \(rg(A)=rg(A^*)=2\). Es SCD. Restamos \(a\) veces la primera ecuación a la segunda:

\[(ax+y)-a(x+y)=2-a\Longrightarrow(1-a)y=2-a\]
\[y=\frac{2-a}{1-a}=\frac{a-2}{a-1},\qquad x=1-y=\frac1{a-1}\]

Caso \(a=1\)

\[\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}\Longrightarrow 0=1\]

\(rg(A)=1\) y \(rg(A^*)=2\). Es SI.

Resultado: si \(a\neq1\), SCD con \((x,y)=\left(1/(a-1),(a-2)/(a-1)\right)\). Si \(a=1\), SI.
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2Coeficientes proporcionales: SCI o SI

Discute según \(a\):

\[\begin{cases}x+y=2\\ax+ay=4\end{cases}\]
\[A^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\a&a&4\end{array}\right)\xrightarrow{F_2-aF_1}\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&4-2a\end{array}\right)\]

Caso \(a=2\)

La segunda fila queda nula.

\[rg(A)=rg(A^*)=1<2\Longrightarrow\text{SCI}\]

Tomando \(y=t\), resulta \(x=2-t\).

Caso \(a\neq2\)

La fila \((0\;0\mid4-2a)\) es una contradicción.

\[rg(A)=1\neq rg(A^*)=2\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: para \(a=2\), SCI con \((x,y)=(2-t,t)\). Para \(a\neq2\), SI.
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3Sistema simétrico con dos valores especiales

Discute y resuelve todos los casos compatibles:

\[\begin{cases}ax+y+z=1\\x+ay+z=1\\x+y+az=1\end{cases}\]

Aplicamos Sarrus al determinante de \(A\):

\[D=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a\cdot a\cdot a+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1-1\cdot a\cdot1-1\cdot1\cdot a-a\cdot1\cdot1\]
\[D=a^3+2-3a=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\]

Caso \(a\neq1,-2\)

\(D\neq0\), así que \(rg(A)=rg(A^*)=3\). Es SCD. Por simetría \(x=y=z\):

\[(a+2)x=1\Longrightarrow x=y=z=\frac1{a+2}\]

Caso \(a=1\)

\[\begin{cases}x+y+z=1\\x+y+z=1\\x+y+z=1\end{cases}\]
\[rg(A)=rg(A^*)=1<3\Longrightarrow\text{SCI}\]

Tomamos \(y=s\) y \(z=t\). Entonces \(x=1-s-t\).

Caso \(a=-2\)

Al sumar las tres ecuaciones, el lado izquierdo se anula:

\[0=3\Longrightarrow rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: SCD si \(a\neq1,-2\); SCI para \(a=1\), con \((x,y,z)=(1-s-t,s,t)\); SI para \(a=-2\).
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4Sistema triangular sin dividir antes de tiempo

Discute y resuelve cuando sea compatible:

\[\begin{cases}x+y+z=3\\y+az=2\\(a-1)z=1\end{cases}\]

Caso \(a\neq1\)

\[z=\frac1{a-1}\]
\[y=2-az=2-\frac{a}{a-1}=\frac{a-2}{a-1}\]
\[x=3-y-z=3-\frac{a-2}{a-1}-\frac1{a-1}=2\]

Hay tres pivotes, por tanto es SCD.

Caso \(a=1\)

\[(a-1)z=1\Longrightarrow0=1\]

Aparece una contradicción. Es SI.

Resultado: si \(a\neq1\), SCD con \((x,y,z)=\left(2,(a-2)/(a-1),1/(a-1)\right)\). Si \(a=1\), SI.
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5Parámetro en los términos independientes

Discute y resuelve el caso compatible:

\[\begin{cases}x+y+z=1\\x-y+z=2\\2x+2z=a\end{cases}\]

Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene una relación obligatoria:

\[(x+y+z)+(x-y+z)=1+2\Longrightarrow2x+2z=3\]

Caso \(a=3\)

La tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras.

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\Longrightarrow\text{SCI}\]

Restando la segunda ecuación de la primera:

\[2y=-1\Longrightarrow y=-\frac12\]

Tomamos \(z=t\). De \(x+y+z=1\):

\[x=1+\frac12-t=\frac32-t\]

Caso \(a\neq3\)

Las dos primeras ecuaciones obligan a que \(2x+2z=3\), mientras la tercera exige \(2x+2z=a\).

\[rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: para \(a=3\), SCI con \((x,y,z)=\left(3/2-t,-1/2,t\right)\). Para \(a\neq3\), SI.
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6Discusión completa y resolución por Cramer

Discute el sistema según \(a\) y resuélvelo por Cramer para \(a=0\):

\[\begin{cases}ax+y+z=2\\x+y+z=3\\x-y+az=0\end{cases}\]

La matriz de coeficientes y su determinante son

\[A=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&1&1\\1&-1&a\end{pmatrix}\]

Aplicamos Sarrus sin saltar ninguno de los seis productos:

\[\begin{aligned}D&=a\cdot1\cdot a+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot(-1)\\&\quad-1\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot a-a\cdot1\cdot(-1)\\&=a^2+1-1-1-a+a=a^2-1\\&=(a-1)(a+1)\end{aligned}\]

Caso \(a\neq1,-1\)

Como \(D\neq0\), se cumple \(rg(A)=rg(A^*)=3\). El sistema es SCD.

Caso \(a=1\)

Las dos primeras ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo y distinto término independiente:

\[x+y+z=2,\qquad x+y+z=3\Longrightarrow0=1\]

En \(A\) quedan dos filas independientes, mientras que la contradicción eleva el rango de la ampliada:

\[rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]

Caso \(a=-1\)

La primera ecuación es \(-x+y+z=2\). La tercera, multiplicada por \(-1\), exigiría \(-x+y+z=0\):

\[-x+y+z=2,\qquad -x+y+z=0\Longrightarrow0=2\]
\[rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]

Resolución pedida para \(a=0\)

En este caso \(D=-1\neq0\), de modo que Cramer sí se puede aplicar.

\[D=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=-1\]

Para \(x\), sustituimos la primera columna por los términos independientes:

\[\begin{aligned}D_x&=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&1&1\\0&-1&0\end{vmatrix}\\&=2\cdot1\cdot0+1\cdot1\cdot0+1\cdot3\cdot(-1)\\&\quad-1\cdot1\cdot0-1\cdot3\cdot0-2\cdot1\cdot(-1)=-1\end{aligned}\]

Para \(y\), sustituimos la segunda columna:

\[\begin{aligned}D_y&=\begin{vmatrix}0&2&1\\1&3&1\\1&0&0\end{vmatrix}\\&=0\cdot3\cdot0+2\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot0\\&\quad-1\cdot3\cdot1-2\cdot1\cdot0-0\cdot1\cdot0=-1\end{aligned}\]

Para \(z\), sustituimos la tercera columna:

\[\begin{aligned}D_z&=\begin{vmatrix}0&1&2\\1&1&3\\1&-1&0\end{vmatrix}\\&=0\cdot1\cdot0+1\cdot3\cdot1+2\cdot1\cdot(-1)\\&\quad-2\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot0-0\cdot3\cdot(-1)=-1\end{aligned}\]
\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{-1}{-1}=1,\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-1}=1\]
\[z=\frac{D_z}{D}=\frac{-1}{-1}=1\]
Resultado: SCD si \(a\neq\pm1\); SI si \(a=1\) o \(a=-1\). Para \(a=0\), la solución es \((1,1,1)\).
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7Gauss con un factor que puede anularse

Discute y resuelve según \(a\):

\[\begin{cases}x+y+z=2\\x+ay+z=3\\x+y+az=4\end{cases}\]

Restamos la primera fila a las otras dos:

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\1&a&1&3\\1&1&a&4\end{array}\right)\xrightarrow[\,F_3-F_1\,]{\,F_2-F_1\,}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&a-1&0&1\\0&0&a-1&2\end{array}\right)\]

Caso \(a\neq1\)

Hay tres pivotes. Es SCD. Resolvemos de abajo arriba:

\[z=\frac2{a-1},\qquad y=\frac1{a-1}\]
\[x=2-y-z=2-\frac1{a-1}-\frac2{a-1}=\frac{2a-5}{a-1}\]

Caso \(a=1\)

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&0&0&1\\0&0&0&2\end{array}\right)\]

Aparecen contradicciones. \(rg(A)=1\) y \(rg(A^*)=2\), por lo que el sistema es SI.

Resultado: si \(a\neq1\), SCD con \((x,y,z)=\left((2a-5)/(a-1),1/(a-1),2/(a-1)\right)\). Si \(a=1\), SI.
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8Un sistema compatible indeterminado para todo \(a\)

Discute y resuelve:

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\x+y+az=1\end{cases}\]

La segunda ecuación es siempre el doble de la primera. Restamos la primera a la tercera:

\[(x+y+az)-(x+y+z)=1-1\Longrightarrow(a-1)z=0\]

Caso \(a\neq1\)

Se obtiene \(z=0\). Queda \(x+y=1\), así que hay una variable libre:

\[y=t,\qquad x=1-t,\qquad z=0\]
\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\Longrightarrow\text{SCI}\]

Caso \(a=1\)

Las tres ecuaciones son proporcionales. Solo queda \(x+y+z=1\):

\[y=s,\qquad z=t,\qquad x=1-s-t\]
\[rg(A)=rg(A^*)=1<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
Resultado: SCI para todo \(a\). Si \(a\neq1\), \((x,y,z)=(1-t,t,0)\); si \(a=1\), \((x,y,z)=(1-s-t,s,t)\).
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9Los tres resultados posibles en un mismo ejercicio

Discute y resuelve todos los casos compatibles:

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+2z=3-a\\x+y+az=1\end{cases}\]

Por Sarrus:

\[\begin{aligned}D&=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&2\\1&1&a\end{vmatrix}\\&=1\cdot a\cdot a+1\cdot2\cdot1+1\cdot2\cdot1\\&\quad-1\cdot a\cdot1-1\cdot2\cdot a-1\cdot2\cdot1\\&=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)\end{aligned}\]

Hacemos operaciones que no dividen por el parámetro:

\[F_2-2F_1:\ (a-2)y=1-a,\qquad F_3-F_1:\ (a-1)z=0\]

Caso \(a\neq1,2\)

\(D\neq0\): es SCD.

\[z=0,\qquad y=\frac{1-a}{a-2},\qquad x=1-y=\frac{2a-3}{a-2}\]

Caso \(a=1\)

Las relaciones dan \(y=0\) y \(0=0\). Tomamos \(z=t\):

\[(x,y,z)=(1-t,0,t),\qquad rg(A)=rg(A^*)=2<3\]

Es SCI.

Caso \(a=2\)

\[0\cdot y=-1\Longrightarrow0=-1\]

Es SI: \(rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\).

Resultado: SCD si \(a\neq1,2\); SCI para \(a=1\), con \((1-t,0,t)\); SI para \(a=2\).
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10El parámetro decide la compatibilidad

Discute y resuelve el caso compatible:

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=a\end{cases}\]

Restamos \(2F_1\) a \(F_2\) y \(3F_1\) a \(F_3\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&a-3\end{array}\right)\]

Caso \(a=3\)

Solo queda una ecuación independiente:

\[rg(A)=rg(A^*)=1<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[(x,y,z)=(1-s-t,s,t)\]

Caso \(a\neq3\)

La última fila representa \(0=a-3\), una contradicción.

\[rg(A)=1\neq rg(A^*)=2\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: para \(a=3\), SCI con \((x,y,z)=(1-s-t,s,t)\). Para \(a\neq3\), SI.
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11Sistema homogéneo: nunca puede ser incompatible

Discute y resuelve según \(a\):

\[\begin{cases}ax+y+z=0\\x+ay+z=0\\x+y+az=0\end{cases}\]

Por Sarrus:

\[\begin{aligned}D&=a\cdot a\cdot a+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1\\&\quad-1\cdot a\cdot1-1\cdot1\cdot a-a\cdot1\cdot1\\&=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\end{aligned}\]

Caso \(a\neq1,-2\)

Como \(D\neq0\), el sistema es SCD. Al ser homogéneo, su única solución es

\[(x,y,z)=(0,0,0)\]

Caso \(a=1\)

Las tres ecuaciones se reducen a \(x+y+z=0\). Hay dos variables libres:

\[(x,y,z)=(-s-t,s,t),\qquad rg(A)=rg(A^*)=1<3\]

Es SCI.

Caso \(a=-2\)

Restamos la primera ecuación de la segunda y de la tercera:

\[3x-3y=0\Longrightarrow x=y,\qquad 3x-3z=0\Longrightarrow x=z\]

Tomando \(x=t\):

\[(x,y,z)=(t,t,t),\qquad rg(A)=rg(A^*)=2<3\]

Es SCI.

Resultado: si \(a\neq1,-2\), SCD con la solución trivial. Para \(a=1\) y \(a=-2\), SCI con las familias indicadas.
Comprobación rápida. Un sistema homogéneo siempre admite la solución nula. Por eso solo puede ser SCD o SCI, nunca SI.
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12Tres ecuaciones y dos incógnitas

Discute y resuelve según \(a\):

\[\begin{cases}x+y=1\\2x-y=0\\3x=a\end{cases}\]

Como el sistema no es cuadrado, escalonamos la matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\2&-1&0\\3&0&a\end{array}\right)\xrightarrow[\,F_3-3F_1\,]{\,F_2-2F_1\,}\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\0&-3&-2\\0&-3&a-3\end{array}\right)\]

Restamos la segunda fila a la tercera:

\[F_3-F_2\Longrightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\0&-3&-2\\0&0&a-1\end{array}\right)\]

Caso \(a=1\)

Hay dos pivotes para dos incógnitas:

\[rg(A)=rg(A^*)=2=n\Longrightarrow\text{SCD}\]
\[-3y=-2\Longrightarrow y=\frac23,\qquad x=1-y=\frac13\]

Caso \(a\neq1\)

La última fila representa \(0=a-1\), que es imposible.

\[rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: para \(a=1\), SCD con \((x,y)=(1/3,2/3)\). Para \(a\neq1\), SI.
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13Dos parámetros en un sistema 2×2

Discute según \(a\) y \(b\), y resuelve todos los casos compatibles:

\[\begin{cases}ax+y=1\\x+ay=b\end{cases}\]
\[D=\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}=a^2-1=(a-1)(a+1)\]

Caso \(a\neq1,-1\)

El sistema es SCD. Aplicamos Cramer escribiendo primero cada determinante:

\[D_x=\begin{vmatrix}1&1\\b&a\end{vmatrix}=a-b,\qquad D_y=\begin{vmatrix}a&1\\1&b\end{vmatrix}=ab-1\]
\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{a-b}{a^2-1},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{ab-1}{a^2-1}\]

Caso \(a=1\)

\[\begin{cases}x+y=1\\x+y=b\end{cases}\]

Si \(b=1\), las ecuaciones coinciden y es SCI: \((x,y)=(1-t,t)\). Si \(b\neq1\), es SI.

Caso \(a=-1\)

\[\begin{cases}-x+y=1\\x-y=b\end{cases}\]

La segunda ecuación, multiplicada por \(-1\), es \(-x+y=-b\). Solo es compatible si \(b=-1\).

Para \(b=-1\), es SCI:

\[(x,y)=(t,t+1)\]

Para \(b\neq-1\), es SI.

Resultado: SCD si \(a\neq\pm1\). Para \((a,b)=(1,1)\) o \((-1,-1)\), SCI. Si \(a=1,b\neq1\), o \(a=-1,b\neq-1\), SI.
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14Modelo PAU con dos parámetros

Discute según \(a\) y \(b\), y resuelve los casos compatibles especiales:

\[\begin{cases}ax+y+z=1\\x+ay+z=1\\x+y+az=b\end{cases}\]

Aplicamos Sarrus:

\[\begin{aligned}D&=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}\\&=a\cdot a\cdot a+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1\\&\quad-1\cdot a\cdot1-1\cdot1\cdot a-a\cdot1\cdot1\\&=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\end{aligned}\]

Caso \(a\neq1,-2\)

\(D\neq0\), luego \(rg(A)=rg(A^*)=3\). Es SCD para cualquier \(b\).

Restamos las dos primeras ecuaciones:

\[(a-1)(x-y)=0\Longrightarrow x=y\]

Como \(a\neq1\), escribimos \(x=y=u\). Las ecuaciones primera y tercera quedan

\[(a+1)u+z=1,\qquad 2u+az=b\]

De la primera, \(z=1-(a+1)u\). Sustituimos en la segunda:

\[2u+a\bigl[1-(a+1)u\bigr]=b\]
\[-(a-1)(a+2)u=b-a\Longrightarrow u=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)}\]

Por tanto,

\[x=y=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)},\qquad z=\frac{b(a+1)-2}{(a-1)(a+2)}\]

Caso \(a=1\)

Las tres filas de coeficientes son iguales:

\[\begin{gathered}x+y+z=1\\x+y+z=1\\x+y+z=b\end{gathered}\]

Si \(b=1\), es SCI:

\[(x,y,z)=(1-s-t,s,t)\]

Si \(b\neq1\), la tercera ecuación contradice a las dos primeras y es SI.

Caso \(a=-2\)

Al sumar las tres ecuaciones, los coeficientes de las incógnitas se anulan:

\[0=1+1+b=2+b\]

La compatibilidad exige \(b=-2\). En ese caso, \(rg(A)=rg(A^*)=2<3\), así que es SCI.

Restamos la primera ecuación de la segunda:

\[3x-3y=0\Longrightarrow x=y\]

La primera ecuación da \(-2x+y+z=1\). Como \(y=x\), queda \(x=z-1\). Tomando \(z=t\):

\[(x,y,z)=(t-1,t-1,t)\]

Si \(b\neq-2\), es SI.

Resultado: si \(a\neq1,-2\), SCD para todo \(b\). Si \(a=1\), SCI cuando \(b=1\) y SI en otro caso. Si \(a=-2\), SCI cuando \(b=-2\) y SI en otro caso.
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11. Práctica graduada

Estos ejercicios permiten comprobar si el método está asentado. Conviene escribir en cada uno \(A\), \(A^*\), los valores especiales, los rangos y la conclusión.

Nivel 1 · Lectura de compatibilidad. Discute \(\{x+y=1,\; ax+y=3\}\) y resuelve el caso compatible.
Nivel 1 · Dos parámetros. Discute \(\{x-y=2,\; ax+y=b\}\) según \(a\) y \(b\).
Nivel 2 · Parámetro en la ampliada. Discute \(\{x+y+z=2,\;2x+2y+2z=4,\;x+y+z=a\}\).
Nivel 2 · Sistema homogéneo. Discute \(\{ax+y=0,\;x+ay=0\}\) y da todas las familias de soluciones.
Nivel 3 · Dos valores especiales. Discute \(\{ax+y+z=0,\;x+ay+z=0,\;x+y+az=0\}\) sin consultar el ejercicio resuelto.
Nivel 3 · Dos parámetros. Discute \(\{ax+y=2,\;x+ay=b\}\) y resuelve los casos compatibles.

12. Orientación de soluciones

EjercicioValores que separan los casosClasificación
1\(a=1\)SCD si \(a\neq1\); SI si \(a=1\).
2\(a=-1\), y comparación \(b=-2\)Si \(a\neq-1\), SCD; si \(a=-1,b=-2\), SCI; si \(a=-1,b\neq-2\), SI.
3\(a=2\)SCI si \(a=2\); SI en otro caso.
4\(a=1,-1\)SCD si \(a\neq\pm1\); SCI para \(a=\pm1\).
5\(a=1,-2\)SCD si \(a\neq1,-2\); SCI en los dos valores especiales.
6\(a=1,-1\), junto con \(b\)SCD si \(a\neq\pm1\); SCI para \((a,b)=(1,2)\) o \((-1,-2)\); SI en los demás casos especiales.

La tabla solo orienta la clasificación. La práctica completa consiste en justificar los rangos y escribir las soluciones de cada caso compatible.

13. Modelo de examen

Problema 1. Discute y resuelve \(\{mx+y+z=1,\;x+my+z=1,\;x+y+mz=1\}\).
Problema 2. Discute según \(a\) y \(b\) el sistema \(\{ax+y=1,\;x+ay=b\}\). Resuelve todos los casos compatibles.
Problema 3. Discute por Gauss \(\{x+y+z=2,\;x+ay+z=3,\;x+y+az=4\}\) y resuelve cuando sea posible.
Problema 4. Discute el sistema homogéneo \(\{ax+y+z=0,\;x+ay+z=0,\;x+y+az=0\}\) e interpreta por qué nunca puede ser incompatible.

En una solución bien presentada se ve el determinante o el escalonamiento, se separan todos los valores especiales, se comparan los rangos y se resuelven los casos compatibles. Una conclusión final evita que algún caso quede implícito.

14. Recursos relacionados para seguir el bloque

Esta guía se ocupa de la discusión con parámetros. Para reforzar las herramientas previas o continuar el bloque, estos recursos encajan de forma directa:

Sistemas, Gauss y Cramer

Repaso general de los métodos de resolución antes de entrar en la discusión por rangos.

Abrir la guía de sistemas
Matrices, determinantes y rango

Práctica específica de las herramientas algebraicas que sostienen Rouché-Frobenius.

Repasar matrices y determinantes
Preparación de Matemáticas II

Visión de conjunto del temario y del trabajo habitual en PAU/EBAU.

Ver la preparación PAU/EBAU

15. Preguntas frecuentes sobre discusión de sistemas

¿Qué significa discutir un sistema?

Significa estudiar cuántas soluciones tiene según los valores de un parámetro. No es solo resolver: hay que clasificarlo como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius?

Un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Si ese rango común es igual al número de incógnitas, hay solución única; si es menor, hay infinitas.

¿Cuándo un sistema es SCD?

Cuando \(rg(A)=rg(A^*)=n\), siendo \(n\) el número de incógnitas. El sistema tiene una única solución.

¿Cuándo un sistema es SCI?

Cuando \(rg(A)=rg(A^*)

¿Cuándo un sistema es incompatible?

Cuando \(rg(A)\neq rg(A^*)\). En el escalonamiento suele aparecer una contradicción del tipo \(0=c\), con \(c\neq0\).

¿Cuándo se puede usar la regla de Cramer?

Cuando el sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Cramer resuelve un caso SCD, pero no sustituye el estudio de los valores que anulan el determinante.

¿Por qué se estudian aparte los ceros del determinante?

Porque en esos valores puede bajar el rango de la matriz de coeficientes. Según lo que ocurra con la ampliada, pueden aparecer infinitas soluciones o ninguna.

¿Qué diferencia hay entre \(A\) y \(A^*\)?

\(A\) contiene los coeficientes de las incógnitas. \(A^*\) añade la columna de términos independientes, que puede elevar el rango y hacer incompatible el sistema.

Recurso elaborado por José María · Marlu Educativa. Material de Matemáticas de 2.º de Bachillerato y preparación PAU/EBAU, desarrollado para que cada decisión de la discusión pueda seguirse y justificarse sobre el papel.

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