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Óptica geométrica de 2.º de Bachillerato

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Óptica geométrica 2º Bachillerato con lentes, espejos y trazado de rayos
Marlu Educativa · Biblioteca de Física2.º de Bachillerato · PAU/EBAU
Óptica geométrica · de la primera normal al problema de examen
Óptica geométrica de 2.º de Bachillerato

Espejos, lentes, instrumentos y ojo humano explicados como lo haríamos en clase: dibujando primero, cuidando los signos y terminando cada cuenta con una lectura física.

75problemas resueltos
43figuras vectoriales
6recorridos graduados
A4cuaderno imprimible
Abrir PDF A4Ir a los 75 problemas

Una advertencia de profesor. En óptica, una cuenta con signos perfectos puede describir el dibujo equivocado. Antes de escribir una fórmula, marca el sentido positivo, decide dónde están objeto e imagen y traza al menos dos rayos. Ese medio minuto suele ahorrar el ejercicio entero.

Qué encontrarás aquí y qué dejamos en la guía general

Este cuaderno trabaja a fondo

Reflexión y refracción necesarias para formar imágenes; espejos planos y esféricos; lentes delgadas convergentes y divergentes; potencia; combinaciones; lupa, cámara, telescopio, microscopio y corrección visual.

Cuando la pregunta sea ondulatoria

Interferencia, difracción, polarización, sonido, Doppler, espectro y dispersión como fenómeno ondulatorio permanecen en Ondas y óptica PAU/EBAU. Aquí la dispersión solo aparece cuando ayuda a interpretar un prisma.

Un método que cabe en el margen

1. Dibujaeje, normal y focos2. Fija signoss, s′, f y β3. Elige leySnell, lente o espejo4. Interpretarealidad, giro y tamaño
La resolución no empieza sustituyendo: empieza con un dibujo pequeño y un convenio de signos explícito.
  1. Dibuja el eje y la superficie. En refracción añade la normal; en lentes y espejos coloca focos y objeto.
  2. Declara el convenio. No uses signos aprendidos de memoria sin decir hacia dónde crece el eje.
  3. Predice la imagen. Real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor. Después calcula.
  4. Escribe unidades y una frase final. Un número sin interpretar no termina un problema de óptica.

El convenio que usamos de principio a fin

El eje horizontal es positivo hacia la derecha y la luz incidente llega desde la izquierda. En lentes, un objeto real tiene \(s<0\), una imagen real \(s'>0\), una convergente \(f'>0\) y una divergente \(f'<0\). En espejos, el objeto real también tiene \(s<0\); un cóncavo posee \(f<0\) y un convexo \(f>0\). Las fórmulas que siguen pertenecen a este convenio.

Lente delgada

\[\frac1{s\prime}-\frac1s=\frac1{f\prime},\qquad \beta=\frac{s\prime}{s}=\frac{y\prime}{y}\]

\(s'>0\): imagen real a la derecha. \(s'<0\): imagen virtual a la izquierda.

Espejo esférico

\[\frac1{s\prime}+\frac1s=\frac1f,\qquad f=\frac R2,\qquad \beta=-\frac{s\prime}{s}\]

En un cóncavo, imagen y foco reales quedan delante del espejo y llevan signo negativo.

FF′ objetoimagen
Lectura de signos en una lente convergente: objeto a la izquierda e imagen real a la derecha. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
F objetoimagen
Lectura de signos en un espejo cóncavo: objeto e imagen real quedan delante del espejo. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.

Relaciones esenciales, con la condición al lado

Antes de sustituir, comprueba que el modelo se ajusta al dibujo.
SituaciónRelaciónCondición que no se puede olvidar
Refracción\(n_1\sin i=n_2\sin r\)Ángulos medidos desde la normal.
Ángulo límite\(\sin\theta_c=n_2/n_1\)Solo si \(n_1>n_2\).
Lente delgada\(1/s'-1/s=1/f'\)Distancias cartesianas desde el centro óptico.
Espejo esférico\(1/s'+1/s=1/f\)Régimen paraxial; \(f=R/2\).
Potencia\(P=1/f'\)Focal en metros; potencia en dioptrías.
Profundidad aparente\(d_{ap}=d\,n_{obs}/n_{obj}\)Observación próxima a la normal.
normalmedio 1medio 2
Los ángulos de Snell siempre se miden desde la normal, nunca desde la superficie.
cristalinoretina
El sistema óptico del ojo ajusta su potencia para mantener la imagen sobre la retina.

75 problemas resueltos, ordenados para aprender a decidir

No están escritos con una frase repetida. Unos comienzan por el dibujo, otros por el aumento, otros por una condición de pantalla o por una predicción cualitativa. Así se parece más a una clase —y también a un examen real— que a una colección mecánica de sustituciones.

Problemas 1–12

Refracción, reflexión total, láminas y prismas

01

La imagen en un espejo plano

Enunciado. Una estudiante se coloca a 1,80 m de un espejo plano. ¿Dónde está su imagen, qué distancia la separa de ella y cómo cambia su tamaño?

Miremos primero la geometría. En un espejo plano la imagen queda a la misma distancia detrás del espejo que el objeto delante. Aquí no hace falta una ecuación de espejo curvo.

Cálculo

\[s'=+1{,}80\ \mathrm{m},\qquad d_{\text{persona-imagen}}=1{,}80+1{,}80=3{,}60\ \mathrm{m},\qquad \beta=+1\]
Conclusión. La imagen es virtual, derecha, del mismo tamaño y está 1,80 m detrás del espejo; persona e imagen quedan separadas 3,60 m.
Comprobación. Si ella avanza 20 cm, la imagen también avanza 20 cm desde el otro lado: la separación disminuye 40 cm.
02

Giro de un espejo y giro del rayo reflejado

Enunciado. Un espejo plano gira 7,0° mientras el rayo incidente mantiene su dirección. ¿Cuánto gira el rayo reflejado?

Lo que manda aquí. La normal gira con el espejo. El ángulo de reflexión cambia una vez por la normal y otra por la salida del rayo.

De la figura al número

\[\Delta\theta_{\text{reflejado}}=2\alpha=2\cdot7{,}0^\circ=14{,}0^\circ\]
Respuesta razonada. El rayo reflejado gira 14,0°.
Comprobación. Es un resultado angular: no depende de la distancia a la pantalla, aunque el desplazamiento observado en ella sí.
03

Del aire al vidrio

Enunciado. Un rayo llega desde el aire a un vidrio de índice 1,52 con 35,0° respecto de la normal. Calcula el ángulo refractado y la velocidad de la luz en el vidrio.

normalmedio 1medio 2
El rayo se acerca a la normal al entrar en el vidrio.

Antes de sustituir. El índice aumenta, de modo que el rayo debe acercarse a la normal. Esa predicción sirve para vigilar la calculadora.

Despeje

\[1{,}000\sin35{,}0^\circ=1{,}52\sin r\quad\Rightarrow\quad r=22{,}2^\circ\]
\[v=\frac{c}{n}=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}52}=1{,}97\cdot10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\]
Lo que entregaríamos. El rayo se refracta con 22,2° y avanza en el vidrio a 1,97·10⁸ m/s.
Comprobación. El ángulo ha disminuido, tal como exigía el paso a un medio de mayor índice.
04

Del vidrio al aire, todavía sin reflexión total

Enunciado. Desde un vidrio de índice 1,50 un rayo incide sobre el aire con 30,0°. Halla el ángulo de salida.

La pista del enunciado. Antes de invocar la reflexión total hay que comparar con el ángulo límite. A 30° aún existe rayo transmitido.

Ahora sí, la cuenta

\[1{,}50\sin30{,}0^\circ=1{,}000\sin r\quad\Rightarrow\quad r=48{,}6^\circ\]
Cierre. El rayo sale al aire con 48,6° respecto de la normal.
Comprobación. Al pasar al medio menos refringente se aleja de la normal; por eso 48,6° es coherente.
05

Ángulo límite y reflexión total

Enunciado. Una fibra de vidrio de índice 1,52 está rodeada de aire. Calcula el ángulo límite e indica qué sucede si un rayo interior llega con 47,0°.

reflexión totalnormalmedio 1medio 2
Con incidencia superior al ángulo límite, el rayo permanece en el vidrio.
Una decisión pequeña. El ángulo límite se define en el medio de mayor índice. El ángulo refractado correspondiente es 90°.

Camino corto

\[\sin\theta_c=\frac{1{,}000}{1{,}52}\quad\Rightarrow\quad\theta_c=41{,}1^\circ\]
\[47{,}0^\circ>41{,}1^\circ\quad\Rightarrow\quad\text{reflexión total interna}\]
Resultado físico. El ángulo límite es 41,1° y a 47,0° no aparece rayo refractado: toda la luz se refleja.
Comprobación. La reflexión total solo es posible al ir del medio de mayor índice al de menor índice.
06

Profundidad aparente de una piscina

Enunciado. Una piscina tiene 2,40 m de profundidad y está llena de agua de índice 1,333. Vista casi perpendicularmente desde el aire, ¿a qué profundidad parece estar el fondo?

Para visión próxima a la normal, la profundidad aparente se reduce en la razón entre índices.

\[d_{\mathrm{ap}}=d\,\frac{n_{\mathrm{aire}}}{n_{\mathrm{agua}}}=2{,}40\frac{1{,}000}{1{,}333}=1{,}80\ \mathrm{m}\]
Lectura de la imagen. El fondo parece estar a 1,80 m, unos 60 cm más arriba de su posición real.
Comprobación. El resultado debe ser menor que 2,40 m: desde el aire, el fondo se ve elevado.
07

Una marca bajo una capa de vidrio

Enunciado. Una marca está 6,00 cm por debajo de la cara superior de una placa de vidrio de índice 1,50. Se observa desde el aire casi sobre la normal. Determina su profundidad aparente.

Dibujo mental. Es el mismo fenómeno que en el agua, pero ahora el espesor real es el de la placa.

Cierre numérico

\[d_{\mathrm{ap}}=6{,}00\frac{1{,}000}{1{,}50}=4{,}00\ \mathrm{cm}\]
Así queda. La marca se ve a 4,00 cm de la superficie.
Comprobación. No se ha movido la marca; cambia el punto del que parecen proceder los rayos.
08

Desplazamiento lateral en una lámina

Enunciado. Una lámina de vidrio de 4,00 cm de espesor e índice 1,50 recibe un rayo desde el aire con 45,0°. Calcula el ángulo interior y el desplazamiento lateral del rayo emergente.

El paso que no saltaría. Las dos caras son paralelas: el rayo emerge paralelo al incidente, pero desplazado.

Signos y ecuaciones

\[\sin r=\frac{\sin45{,}0^\circ}{1{,}50}\quad\Rightarrow\quad r=28{,}1^\circ\]
\[D=e\,\frac{\sin(i-r)}{\cos r}=4{,}00\frac{\sin(45{,}0^\circ-28{,}1^\circ)}{\cos28{,}1^\circ}=1{,}32\ \mathrm{cm}\]
Resultado. El ángulo dentro del vidrio es 28,1° y el rayo sale desplazado 1,32 cm.
Comprobación. Que el rayo emergente sea paralelo no significa que siga la misma recta.
láminadesplazamiento lateral
Una lámina de caras paralelas cambia la trayectoria dentro del vidrio y desplaza la salida.
09

Prisma en desviación mínima

Enunciado. Un prisma equilátero tiene índice 1,50. Calcula su desviación mínima para luz monocromática.

δA
En la posición simétrica, los ángulos internos son iguales y la desviación es mínima.

El dato que ordena todo. En desviación mínima el camino es simétrico: dentro del prisma cada refracción forma A/2.

Operaciones

\[n=\frac{\sin\left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin(A/2)}\quad\Rightarrow\quad \delta_m=2\arcsin\!\left(n\sin\frac{A}{2}\right)-A\]
\[\delta_m=2\arcsin(1{,}50\sin30^\circ)-60^\circ=37{,}2^\circ\]
Lectura final. La desviación mínima es 37,2°.
Comprobación. El argumento del arco seno vale 0,75; está dentro del intervalo físico permitido.
10

Frecuencia y longitud de onda dentro del vidrio

Enunciado. Una luz de 600 nm en el vacío entra en un vidrio de índice 1,50. Halla su frecuencia, su velocidad y su longitud de onda en el vidrio.

Aquí está la clave. Al cruzar la superficie cambia la velocidad y cambia la longitud de onda. La frecuencia la fija la fuente y se conserva.

Cuenta limpia

\[f=\frac{c}{\lambda_0}=\frac{3{,}00\cdot10^8}{600\cdot10^{-9}}=5{,}00\cdot10^{14}\ \mathrm{Hz}\]
\[v=\frac{c}{n}=2{,}00\cdot10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \lambda=\frac{\lambda_0}{n}=400\ \mathrm{nm}\]
Valor pedido. En el vidrio: f = 5,00·10¹⁴ Hz, v = 2,00·10⁸ m/s y λ = 400 nm.
Comprobación. La frecuencia coincide a ambos lados; usar f/n sería un error conceptual.
11

Ángulo de Brewster

Enunciado. Calcula el ángulo de Brewster para luz que pasa del aire a un vidrio de índice 1,50 y comprueba la relación entre los rayos reflejado y refractado.

Primero situamos la imagen. En Brewster, la tangente del ángulo de incidencia es el cociente de índices.

Desarrollo

\[\tan\theta_B=\frac{1{,}50}{1{,}00}\quad\Rightarrow\quad\theta_B=56{,}3^\circ\]
\[r=90^\circ-\theta_B=33{,}7^\circ\]
Respuesta. El ángulo de Brewster es 56,3°; el refractado forma 33,7° y ambos rayos son perpendiculares.
Comprobación. La polarización asociada se estudia en la guía general de ondas y óptica; aquí solo usamos su geometría.
12

Qué color se desvía más

Enunciado. En una superficie aire-vidrio inciden con 40,0° un rayo azul, para el que n = 1,530, y uno rojo, para el que n = 1,510. Compara sus ángulos refractados.

Ambos parten con el mismo ángulo. El mayor índice debe producir el menor ángulo refractado.

\[r_{\mathrm{azul}}=\arcsin\!\left(\frac{\sin40^\circ}{1{,}530}\right)=24{,}84^\circ\]
\[r_{\mathrm{rojo}}=\arcsin\!\left(\frac{\sin40^\circ}{1{,}510}\right)=25{,}19^\circ\]
Conclusión. El azul se acerca 0,35° más a la normal que el rojo y, en un prisma, termina desviándose más.
Comprobación. No ha cambiado la frecuencia de cada color; cambia la respuesta del material a cada frecuencia.
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Problemas 13–23

Espejos planos y esféricos

13

Espejo cóncavo: objeto más allá del centro

Enunciado. Un espejo cóncavo tiene f = −20,0 cm y un objeto de 6,0 cm se coloca en s = −60,0 cm. Localiza y describe la imagen.

F objetoimagen
Objeto más allá del centro en un espejo cóncavo: imagen real, invertida y menor. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.

Miremos primero la geometría. Usamos el eje positivo hacia la derecha: objeto y foco del espejo cóncavo quedan a la izquierda y llevan signo negativo.

De la figura al número

\[\frac1{s'}+\frac1s=\frac1f\quad\Rightarrow\quad\frac1{s'}=-\frac1{20}+\frac1{60}=-\frac1{30}\]
\[s'=-30{,}0\ \mathrm{cm},\qquad \beta=-\frac{s'}s=-0{,}500,\qquad y'=-3{,}0\ \mathrm{cm}\]
Respuesta razonada. La imagen aparece 30,0 cm delante del espejo; es real, invertida y mide 3,0 cm.
Comprobación. El objeto está más allá de C y la imagen queda entre C y F, justo lo que muestra el trazado.
14

Espejo cóncavo usado como espejo de aumento

Enunciado. Un espejo cóncavo de f = −15,0 cm observa un objeto situado a 10,0 cm delante. Calcula la imagen.

Lo que manda aquí. El objeto está entre el foco y el espejo. Por eso esperamos una imagen virtual y derecha.

Despeje

\[\frac1{s'}-\frac1{10}=-\frac1{15}\quad\Rightarrow\quad s'=+30{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-\frac{30}{-10}=+3{,}00\]
Lo que entregaríamos. La imagen está 30,0 cm detrás del espejo, es virtual, derecha y tres veces mayor.
Comprobación. El signo positivo de s′ no anuncia una imagen real en este convenio de espejos: la sitúa detrás del espejo.
F objetoimagen
Al colocar el objeto dentro de la focal, las prolongaciones reflejadas forman una imagen aumentada. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.
15

Objeto en el centro de curvatura

Enunciado. Un espejo cóncavo tiene radio R = −40,0 cm. Sitúa un objeto en el centro de curvatura y determina la imagen.

Antes de sustituir. El foco está a la mitad del radio. En el centro de curvatura el trazado es simétrico.

Ahora sí, la cuenta

\[f=\frac R2=-20{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s=-40{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{s'}-\frac1{40}=-\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad s'=-40{,}0\ \mathrm{cm},\qquad\beta=-1\]
Cierre. La imagen se forma en C, es real, invertida y del mismo tamaño.
Comprobación. Que β valga −1 resume a la vez el tamaño igual y la inversión.
16

Foco y radio a partir de objeto e imagen

Enunciado. Un espejo cóncavo forma de un objeto situado a 30,0 cm una imagen real a 60,0 cm. Halla la focal, el radio y el aumento.

La pista del enunciado. Ambos puntos están delante del espejo: s = −30,0 cm y s′ = −60,0 cm.

Camino corto

\[\frac1f=-\frac1{60}-\frac1{30}=-\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad f=-20{,}0\ \mathrm{cm},\quad R=2f=-40{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-\frac{s'}s=-2{,}00\]
Resultado físico. El espejo tiene f = −20,0 cm, R = −40,0 cm y produce una imagen real dos veces mayor e invertida.
Comprobación. El radio no se confunde con la focal: para un espejo esférico paraxial, R = 2f.
17

Dónde colocar el objeto para triplicar la imagen

Enunciado. Un espejo cóncavo de f = −12,0 cm debe producir una imagen real tres veces mayor. Determina s y s′.

Una decisión pequeña. Imagen real e invertida implica β = −3. De β = −s′/s sale s′ = 3s.

Sustitución ordenada

\[\frac1{3s}+\frac1s=\frac1{-12}\quad\Rightarrow\quad\frac4{3s}=-\frac1{12}\]
\[s=-16{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s'=-48{,}0\ \mathrm{cm}\]
Lectura de la imagen. El objeto se coloca a 16,0 cm delante del espejo y la imagen aparece a 48,0 cm delante.
Comprobación. El objeto queda entre F y C; en esa zona un cóncavo da una imagen real ampliada.
18

Espejo convexo de vigilancia

Enunciado. Un espejo convexo tiene f = +20,0 cm. Un objeto está a 30,0 cm delante. Localiza la imagen y calcula el aumento.

En nuestro eje cartesiano el foco del convexo está detrás del espejo, de ahí f positiva.

\[\frac1{s'}-\frac1{30}=\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad s'=+12{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-\frac{12}{-30}=+0{,}400\]
Así queda. La imagen es virtual, derecha y reducida; queda 12,0 cm detrás del espejo.
Comprobación. Un espejo convexo no forma una imagen real de un objeto real: el signo y el dibujo coinciden.
F objetoimagen
El convexo amplía el campo visual a costa de reducir la imagen. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.
19

Del radio de un convexo a su imagen

Enunciado. El radio de un espejo convexo es +50,0 cm y el objeto está a 1,00 m delante. Calcula posición y aumento.

Dibujo mental. Pasamos todo a centímetros y recordamos que f = R/2.

Signos y ecuaciones

\[f=+25{,}0\ \mathrm{cm},\qquad \frac1{s'}-\frac1{100}=\frac1{25}\]
\[s'=+20{,}0\ \mathrm{cm},\qquad\beta=+0{,}200\]
Resultado. La imagen queda 20,0 cm detrás del espejo y mide la quinta parte del objeto.
Comprobación. El resultado 0 < β < 1 es el esperado para un convexo.
20

Espejo de maquillaje con aumento 2,5

Enunciado. Un espejo cóncavo de f = −18,0 cm debe dar una imagen derecha 2,50 veces mayor. ¿A qué distancia se coloca el rostro?

El paso que no saltaría. Una imagen derecha y aumentada en un cóncavo es virtual: β = +2,50 y s′ = −2,50s.

Operaciones

\[\frac1{-2{,}50s}+\frac1s=\frac1{-18}\quad\Rightarrow\quad\frac{0{,}60}{s}=-\frac1{18}\]
\[s=-10{,}8\ \mathrm{cm},\qquad s'=+27{,}0\ \mathrm{cm}\]
Lectura final. El rostro debe situarse a 10,8 cm del espejo; la imagen virtual queda 27,0 cm detrás.
Comprobación. La distancia objeto es menor que |f|, condición necesaria para verse aumentado y derecho.
21

Altura de la imagen en un cóncavo

Enunciado. Un objeto de 4,0 cm está a 75,0 cm de un espejo cóncavo de f = −25,0 cm. Calcula la imagen completa.

El dato que ordena todo. Primero se localiza la imagen; la altura llega después mediante el aumento.

Cuenta limpia

\[\frac1{s'}-\frac1{75}=-\frac1{25}\quad\Rightarrow\quad s'=-37{,}5\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-\frac{-37{,}5}{-75{,}0}=-0{,}500,\qquad y'=-2{,}0\ \mathrm{cm}\]
Valor pedido. La imagen es real, invertida, de 2,0 cm y está a 37,5 cm delante del espejo.
Comprobación. La mitad de altura corresponde a |β| = 0,5; el signo menos solo fija la orientación.
22

Reconstruir un espejo a partir de una fotografía

Enunciado. Un objeto de 5,0 cm, situado a 80,0 cm de un espejo, produce una imagen real invertida de 2,0 cm. Halla s′, f y R.

Aquí está la clave. La fotografía da el aumento: β = y′/y = −0,400.

Desarrollo

\[-0{,}400=-\frac{s'}{-80{,}0}\quad\Rightarrow\quad s'=-32{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1f=-\frac1{32}-\frac1{80}=-0{,}04375\ \mathrm{cm^{-1}}\]
\[f=-22{,}9\ \mathrm{cm},\qquad R=-45{,}7\ \mathrm{cm}\]
Respuesta. El espejo es cóncavo: s′ = −32,0 cm, f = −22,9 cm y R = −45,7 cm.
Comprobación. La imagen real ya obligaba a descartar un espejo convexo para un objeto real.
23

Imagen del Sol y tamaño del disco

Enunciado. Un espejo cóncavo de radio 60,0 cm forma la imagen del Sol. Si su diámetro angular es 0,53°, ¿dónde aparece la imagen y qué diámetro tiene?

F objetoimagen
Los rayos solares llegan prácticamente paralelos y convergen en el foco. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.

Primero situamos la imagen. El Sol está, a efectos ópticos, en el infinito. Su imagen cae en el foco y el tamaño lineal se obtiene con el ángulo en radianes.

Cálculo

\[|f|=\frac{|R|}{2}=30{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[d\simeq |f|\,\theta=30{,}0\left(0{,}53\frac{\pi}{180}\right)=0{,}278\ \mathrm{cm}=2{,}78\ \mathrm{mm}\]
Conclusión. La imagen real se forma a 30,0 cm delante del espejo y el disco mide aproximadamente 2,78 mm.
Comprobación. Para ángulos pequeños, tan θ ≈ θ; usar 0,53 sin convertir a radianes daría un tamaño absurdo.
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Problemas 24–39

Lentes convergentes

24

Lente convergente: imagen real y menor

Enunciado. Una lente convergente de f′ = +20,0 cm recibe un objeto de 8,0 cm situado en s = −60,0 cm. Determina posición, orientación y altura de la imagen.

Con el objeto más allá de 2F esperamos una imagen real entre F′ y 2F′. La ecuación debe confirmar ese dibujo.

\[\frac1{s'}-\frac1s=\frac1{f'}\quad\Rightarrow\quad\frac1{s'}+\frac1{60}=\frac1{20}\]
\[s'=+30{,}0\ \mathrm{cm},\qquad\beta=\frac{s'}s=-0{,}500,\qquad y'=-4{,}0\ \mathrm{cm}\]
Respuesta razonada. La imagen se forma 30,0 cm a la derecha; es real, invertida y mide 4,0 cm.
Comprobación. La posición 20 < s′ < 40 cm concuerda con el objeto situado más allá de 2F.
FF′ objetoimagen
Objeto más allá de dos focales: imagen real, invertida y reducida. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
25

Una lupa sencilla

Enunciado. Una lente convergente de f′ = +15,0 cm observa un objeto colocado a 10,0 cm. Localiza la imagen y calcula el aumento lateral.

FF′ objetoimagen
La lente actúa como lupa porque el objeto está entre la lente y F. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
Miremos primero la geometría. El objeto está dentro de la distancia focal; la imagen no puede recogerse en una pantalla.

Despeje

\[\frac1{s'}+\frac1{10}=\frac1{15}\quad\Rightarrow\quad s'=-30{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=\frac{-30}{-10}=+3{,}00\]
Lo que entregaríamos. La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor; se ve a 30,0 cm a la izquierda de la lente.
Comprobación. Los rayos reales salen divergentes; solo sus prolongaciones hacia atrás se cruzan.
26

Objeto a tres focales

Enunciado. Una lente convergente tiene f′ = +10,0 cm. Se coloca un objeto de 5,0 cm a 30,0 cm de ella. Halla la imagen.

Lo que manda aquí. Es una situación útil para entrenar el signo de s: un objeto real a la izquierda lleva s = −30,0 cm.

Ahora sí, la cuenta

\[\frac1{s'}+\frac1{30}=\frac1{10}\quad\Rightarrow\quad s'=+15{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-0{,}500,\qquad y'=-2{,}50\ \mathrm{cm}\]
Cierre. La imagen es real, invertida, de 2,50 cm y queda 15,0 cm a la derecha.
Comprobación. A tres focales del objeto corresponde una imagen a una focal y media, no en el foco exacto.
27

Proyectar una imagen dos veces mayor

Enunciado. Una lente convergente de f′ = +12,0 cm debe formar una imagen real con aumento β = −2,00. Calcula dónde colocar el objeto y la pantalla.

FF′ objetoimagen
Una imagen real doble exige colocar el objeto entre F y 2F. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.

Antes de sustituir. De β = s′/s sale s′ = −2s. Esa relación elimina una incógnita antes de usar la ecuación de la lente.

Camino corto

\[\frac1{-2s}-\frac1s=\frac1{12}\quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{2s}=\frac1{12}\]
\[s=-18{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s'=+36{,}0\ \mathrm{cm}\]
Resultado físico. El objeto va a 18,0 cm de la lente y la pantalla a 36,0 cm al otro lado.
Comprobación. La distancia total objeto-pantalla es 54,0 cm, mayor que 4f = 48,0 cm; por eso la proyección es posible.
28

Imagen virtual cuatro veces mayor

Enunciado. Una lente convergente de f′ = +10,0 cm debe utilizarse como lupa con aumento lateral +4,00. Determina s y s′.

La pista del enunciado. Objeto e imagen virtual están a la izquierda: s y s′ son negativos, mientras β es positivo.

Sustitución ordenada

\[s'=4s,\qquad \frac1{4s}-\frac1s=\frac1{10}\]
\[-\frac3{4s}=\frac1{10}\quad\Rightarrow\quad s=-7{,}50\ \mathrm{cm},\qquad s'=-30{,}0\ \mathrm{cm}\]
Lectura de la imagen. El objeto se coloca a 7,50 cm; la imagen virtual aparece a 30,0 cm y es cuatro veces mayor.
Comprobación. El objeto queda dentro de la focal, como corresponde al uso de lupa.
29

Focal desconocida a partir de una pantalla

Enunciado. Un objeto situado a 24,0 cm de una lente produce una imagen nítida en una pantalla situada 48,0 cm al otro lado. Calcula f′, potencia y aumento.

Una decisión pequeña. Pantalla significa imagen real: s = −24,0 cm y s′ = +48,0 cm.

Cierre numérico

\[\frac1{f'}=\frac1{48}+\frac1{24}=\frac1{16}\ \mathrm{cm^{-1}}\]
\[f'=+16{,}0\ \mathrm{cm},\qquad P=\frac1{0{,}160}=+6{,}25\ \mathrm{D},\qquad\beta=-2{,}00\]
Así queda. La lente es convergente, de 16,0 cm y +6,25 D; la imagen es real, invertida y doble.
Comprobación. La potencia se calcula con la focal en metros, no en centímetros.
30

De dioptrías a una imagen

Enunciado. Una lente de +5,00 D recibe un objeto de 3,0 cm situado a 30,0 cm. Determina la imagen.

Primero convertimos potencia en focal. El signo positivo ya identifica una lente convergente.

\[f'=\frac1P=\frac1{5{,}00}=0{,}200\ \mathrm{m}\]
\[\frac1{s'}-\frac1{-0{,}300}=\frac1{0{,}200}\quad\Rightarrow\quad s'=+0{,}600\ \mathrm{m}\]
\[\beta=-2{,}00,\qquad y'=-6{,}0\ \mathrm{cm}\]
Resultado. La imagen se proyecta a 60,0 cm, es invertida y mide 6,0 cm.
Comprobación. El objeto está entre f y 2f; por eso la imagen real sale más allá de 2f y aumentada.
FF′ objetoimagen
Una lente de +5 D tiene una focal de 20 cm. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
31

Elegir la lente de un proyector

Enunciado. Una diapositiva de 2,0 cm debe proyectarse con 1,20 m de altura en una pantalla situada 3,00 m de la lente. Calcula la posición de la diapositiva y la focal necesaria.

FF′ objetoimagen
En un proyector, el objeto queda muy cerca de F y la imagen real muy lejos. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.

Dibujo mental. La imagen de pantalla es invertida: β = −120/2 = −60.

Operaciones

\[s=\frac{s'}{\beta}=\frac{3{,}00}{-60}=-0{,}0500\ \mathrm{m}\]
\[\frac1{f'}=\frac1{3{,}00}-\frac1{-0{,}0500}=20{,}33\ \mathrm{m^{-1}}\]
\[f'=0{,}0492\ \mathrm{m}=4{,}92\ \mathrm{cm}\]
Lectura final. La diapositiva se coloca a 5,00 cm y se necesita una lente convergente de focal aproximada 4,92 cm.
Comprobación. La diapositiva queda apenas más lejos que el foco; así se logra un aumento grande en una pantalla lejana.
32

Una cámara enfoca a dos metros

Enunciado. Una cámara usa un objetivo de f′ = 50,0 mm para fotografiar a una persona de 1,80 m situada a 2,00 m. Calcula la distancia objetivo-sensor y la altura de la imagen.

El paso que no saltaría. No igualamos sin más s′ a f′: el objeto no está en el infinito, aunque esté relativamente lejos.

Cuenta limpia

\[\frac1{s'}+\frac1{2{,}00}=\frac1{0{,}0500}\quad\Rightarrow\quad s'=0{,}05128\ \mathrm{m}\]
\[\beta=\frac{0{,}05128}{-2{,}00}=-0{,}02564\]
\[y'=-0{,}02564\cdot1{,}80=-0{,}0462\ \mathrm{m}\]
Valor pedido. El sensor debe quedar a 51,3 mm del objetivo y la imagen mide 4,62 cm, invertida.
Comprobación. La distancia al sensor es ligeramente mayor que 50,0 mm, como ocurre al enfocar algo finito.
FF′ objetoimagen
El sensor se desplaza un poco más allá del foco para enfocar un objeto cercano. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
33

Cuánto se desplaza el objetivo al enfocar

Enunciado. Un objetivo de 35,0 mm pasa de enfocar el infinito a enfocar un objeto situado a 10,0 m. ¿Cuánto debe separarse del sensor?

El dato que ordena todo. Al infinito, s′ = f′. Para 10,0 m calculamos la nueva distancia imagen y restamos.

Desarrollo

\[\frac1{s'}+\frac1{10{,}0}=\frac1{0{,}0350}\quad\Rightarrow\quad s'=0{,}035123\ \mathrm{m}\]
\[\Delta=s'-f'=0{,}000123\ \mathrm{m}=0{,}123\ \mathrm{mm}\]
Respuesta. El objetivo debe alejarse del sensor aproximadamente 0,123 mm.
Comprobación. El pequeño recorrido explica por qué, para objetos lejanos, s′ se aproxima mucho a f′.
34

Reconocer una lente por sus distancias

Enunciado. Un objeto está a 25,0 cm de una lente y su imagen real aparece a 1,00 m. Determina la focal, la potencia y el aumento.

Aquí está la clave. La pantalla fija s′ positivo. Mantenemos todas las distancias en metros para obtener directamente dioptrías.

Cálculo

\[\frac1{f'}=\frac1{1{,}00}-\frac1{-0{,}250}=5{,}00\ \mathrm{m^{-1}}\]
\[f'=+0{,}200\ \mathrm{m},\qquad P=+5{,}00\ \mathrm{D},\qquad\beta=-4{,}00\]
Conclusión. Es una lente convergente de +5,00 D; la imagen es real, invertida y cuatro veces mayor.
Comprobación. Una lente divergente no podría formar esta imagen real de un objeto real sin ayuda de otro sistema.
35

Una imagen virtual permite hallar la focal

Enunciado. Un objeto está en s = −12,0 cm y una lente forma una imagen virtual en s′ = −24,0 cm. Calcula la focal y el aumento.

Primero situamos la imagen. Aunque imagen y objeto estén al mismo lado, la ecuación cartesiana no cambia.

De la figura al número

\[\frac1{f'}=-\frac1{24}-\left(-\frac1{12}\right)=\frac1{24}\ \mathrm{cm^{-1}}\]
\[f'=+24{,}0\ \mathrm{cm},\qquad\beta=\frac{-24}{-12}=+2{,}00\]
Respuesta razonada. La lente es convergente, de focal 24,0 cm, y produce una imagen virtual derecha doble.
Comprobación. El objeto está dentro de la focal: |s| = 12 cm < 24 cm.
36

Método de Bessel

Enunciado. Objeto y pantalla están separados 100 cm. Hay dos posiciones de una lente que enfocan y esas posiciones distan 60 cm. Calcula la focal.

Cuando D > 4f aparecen dos posiciones conjugadas. Bessel evita medir por separado s y s′.

\[f'=\frac{D^2-d^2}{4D}=\frac{100^2-60^2}{4\cdot100}=16{,}0\ \mathrm{cm}\]
Lo que entregaríamos. La distancia focal de la lente es 16,0 cm.
Comprobación. Se cumple D = 100 cm > 4f = 64 cm, así que las dos posiciones son físicamente posibles.
37

Mover el objeto cinco centímetros

Enunciado. Una lente de f′ = +10,0 cm forma inicialmente la imagen de un objeto situado a 30,0 cm. El objeto se acerca hasta 25,0 cm. Compara las dos posiciones de imagen y los aumentos.

Miremos primero la geometría. Resolvemos dos veces con el mismo signo de focal; lo que cambia es s.

Ahora sí, la cuenta

\[s_1=-30{,}0\ \mathrm{cm}:\quad s'_1=+15{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_1=-0{,}500\]
\[s_2=-25{,}0\ \mathrm{cm}:\quad s'_2=+16{,}7\ \mathrm{cm},\quad\beta_2=-0{,}667\]
Cierre. Al acercar el objeto 5,0 cm, la imagen se aleja 1,7 cm y aumenta de la mitad a dos tercios del tamaño.
Comprobación. Mientras el objeto siga fuera de 2F o entre F y 2F, la imagen continúa siendo real e invertida.
38

Focal a partir del tamaño proyectado

Enunciado. Un objeto de 3,0 cm produce una imagen de −9,0 cm en una pantalla a 90,0 cm de la lente. Halla la posición del objeto y la focal.

Lo que manda aquí. El cociente de alturas da β = −3,00 y permite encontrar s sin tantear.

Camino corto

\[\beta=\frac{y'}y=-3{,}00=\frac{s'}s\quad\Rightarrow\quad s=-30{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{f'}=\frac1{90}-\frac1{-30}=\frac4{90}\quad\Rightarrow\quad f'=+22{,}5\ \mathrm{cm}\]
Resultado físico. El objeto está a 30,0 cm de la lente y la focal vale 22,5 cm.
Comprobación. El objeto queda entre F y 2F; por eso la imagen aparece aumentada más allá de 2F.
39

Una lente biconvexa dentro del agua

Enunciado. Una lente biconvexa simétrica de vidrio n = 1,50 tiene radios +20,0 cm y −20,0 cm. Calcula su potencia en aire y sumergida en agua de n = 1,333.

FF′ objetoimagen
La misma curvatura tiene menos potencia cuando el medio exterior se parece al vidrio. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.

Antes de sustituir. La forma no cambia, pero sí el contraste de índices. En agua la lente debe converger mucho menos.

Sustitución ordenada

\[P_{\mathrm{aire}}=(1{,}50-1)\left(\frac1{0{,}200}-\frac1{-0{,}200}\right)=+5{,}00\ \mathrm{D}\]
\[n_{\mathrm{rel}}=\frac{1{,}50}{1{,}333}=1{,}125,\qquad P_{\mathrm{agua}}=(1{,}125-1)(5-(-5))=+1{,}25\ \mathrm{D}\]
\[f'_{\mathrm{agua}}=0{,}800\ \mathrm{m}\]
Lectura de la imagen. La lente pasa de +5,00 D en aire a unas +1,25 D en agua; su focal aumenta de 20,0 a 80,0 cm.
Comprobación. El resultado confirma la idea física: al disminuir la diferencia de índices, la desviación en cada cara se debilita.
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Problemas 40–48

Lentes divergentes y corrección de la miopía

40

Lente divergente con objeto lejano

Enunciado. Una lente divergente de f′ = −20,0 cm recibe un objeto situado a 60,0 cm. Determina la imagen y el aumento.

La pista del enunciado. Para un objeto real, la divergente produce una imagen virtual entre la lente y su foco objeto.

Cierre numérico

\[\frac1{s'}+\frac1{60}=-\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad s'=-15{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=\frac{-15}{-60}=+0{,}250\]
Así queda. La imagen es virtual, derecha y cuatro veces menor; queda 15,0 cm a la izquierda.
Comprobación. Se cumple |s′| < |f′|, rasgo habitual de una divergente con objeto real.
FF′ objetoimagen
La lente divergente abre los rayos; sus prolongaciones se cortan delante de la lente. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
41

Objeto cercano a una lente divergente

Enunciado. Una lente de f′ = −15,0 cm tiene un objeto a 10,0 cm. Calcula s′ y β.

Una decisión pequeña. Acercar el objeto aumenta la imagen virtual, pero no la convierte en real.

Signos y ecuaciones

\[\frac1{s'}+\frac1{10}=-\frac1{15}\quad\Rightarrow\quad s'=-6{,}00\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=+0{,}600\]
Resultado. La imagen queda a 6,00 cm delante de la lente, es derecha y mide el 60 % del objeto.
Comprobación. El aumento sigue por debajo de uno: la divergente aún reduce.
42

De potencia negativa a posición de imagen

Enunciado. Una lente de −4,00 D observa un objeto a 50,0 cm. Calcula la posición y el tamaño relativo de la imagen.

La focal es negativa y conviene trabajar desde el principio en metros.

\[f'=\frac1{-4{,}00}=-0{,}250\ \mathrm{m}\]
\[\frac1{s'}-\frac1{-0{,}500}=-4{,}00\quad\Rightarrow\quad s'=-0{,}1667\ \mathrm{m}\]
\[\beta=+0{,}333\]
Lectura final. La imagen virtual está a 16,7 cm y mide un tercio del objeto.
Comprobación. La potencia y la focal tienen signos concordantes; mezclar centímetros y dioptrías sería el fallo típico.
43

Identificar una lente divergente por sus medidas

Enunciado. Un objeto se encuentra a 30,0 cm de una lente y su imagen virtual a 12,0 cm del mismo lado. Calcula f′ y P.

Dibujo mental. La imagen virtual fija s′ = −12,0 cm; el objeto real lleva s = −30,0 cm.

Cuenta limpia

\[\frac1{f'}=-\frac1{12}-\left(-\frac1{30}\right)=-\frac1{20}\ \mathrm{cm^{-1}}\]
\[f'=-20{,}0\ \mathrm{cm},\qquad P=-5{,}00\ \mathrm{D}\]
Valor pedido. Es una lente divergente de focal −20,0 cm y potencia −5,00 D.
Comprobación. No basta con que la imagen sea virtual para identificarla: una convergente también puede darla si el objeto está dentro de f. Aquí manda la focal calculada.
44

Altura de la imagen en una divergente

Enunciado. Un objeto de 6,0 cm está a 54,0 cm de una lente divergente de f′ = −18,0 cm. Halla posición y altura de la imagen.

El paso que no saltaría. La reducción se obtiene después de localizar s′.

Desarrollo

\[\frac1{s'}+\frac1{54}=-\frac1{18}\quad\Rightarrow\quad s'=-13{,}5\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=\frac{-13{,}5}{-54}=+0{,}250,\qquad y'=+1{,}50\ \mathrm{cm}\]
Respuesta. La imagen virtual está a 13,5 cm y es derecha, de 1,50 cm.
Comprobación. El signo positivo de y′ refleja que la imagen conserva la orientación.
45

Diseñar una reducción de 0,40

Enunciado. Con una lente divergente de f′ = −12,0 cm se desea una imagen derecha cuyo tamaño sea el 40 % del objeto. Calcula s y s′.

FF′ objetoimagen
Una divergente produce una imagen derecha y reducida entre O y F′. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
El dato que ordena todo. Como β = +0,400, s′ = 0,400s; ambos valores deben salir negativos.

Cálculo

\[\frac1{0{,}400s}-\frac1s=\frac1{-12}\quad\Rightarrow\quad\frac{1{,}50}{s}=-\frac1{12}\]
\[s=-18{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s'=-7{,}20\ \mathrm{cm}\]
Conclusión. El objeto se coloca a 18,0 cm y la imagen virtual queda a 7,20 cm.
Comprobación. El trazado sitúa la imagen entre la lente y el foco, justo donde indican los signos.
46

Corrección de una miopía con punto remoto a 50 cm

Enunciado. Una persona miope solo enfoca con nitidez hasta 50,0 cm. ¿Qué potencia deben tener sus gafas para ver objetos lejanos?

Aquí está la clave. Para un objeto en el infinito, la gafa debe formar una imagen virtual en el punto remoto del ojo.

De la figura al número

\[s=-\infty,\qquad s'=-0{,}500\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad P=\frac1{s'}-\frac1s=-2{,}00\ \mathrm{D}\]
Respuesta razonada. Se necesita una lente divergente de −2,00 D.
Comprobación. El signo negativo es inevitable: la gafa debe reducir la convergencia antes de que la luz entre en el ojo.
47

Ver a cinco metros con una miopía moderada

Enunciado. El punto remoto de un ojo miope está a 80,0 cm. Calcula la potencia de una gafa pegada al ojo para ver nítido un objeto situado a 5,00 m.

Primero situamos la imagen. La lente debe ofrecer al ojo una imagen virtual en −0,800 m del objeto real situado en −5,00 m.

Despeje

\[P=\frac1{s'}-\frac1s=\frac1{-0{,}800}-\frac1{-5{,}00}=-1{,}05\ \mathrm{D}\]
Lo que entregaríamos. La potencia necesaria es aproximadamente −1,05 D.
Comprobación. Para mirar al infinito harían falta −1,25 D; a cinco metros la corrección puede ser algo menor.
48

Qué cambia al acercar el objeto a una divergente

Enunciado. Una lente divergente tiene f′ = −20,0 cm. Compara la imagen para objetos situados a 60,0 cm y 30,0 cm.

La comparación gana claridad si calculamos s′ y β en los dos casos, sin repetir toda la explicación.

\[s_1=-60\ \mathrm{cm}:\quad s'_1=-15{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_1=0{,}250\]
\[s_2=-30\ \mathrm{cm}:\quad s'_2=-12{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_2=0{,}400\]
Cierre. Al acercar el objeto, la imagen virtual se acerca 3,0 cm a la lente y crece del 25 % al 40 % del objeto.
Comprobación. Sigue siendo derecha, virtual y menor en ambos casos.
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Problemas 49–58

Sistemas ópticos, instrumentos y ojo

49

Dos lentes delgadas en contacto

Enunciado. Una lente de +5,00 D se coloca en contacto con otra de −2,00 D. Calcula la potencia y la focal equivalentes.

Miremos primero la geometría. En contacto se suman las potencias, no las focales.

Camino corto

\[P_{\mathrm{eq}}=P_1+P_2=+5{,}00-2{,}00=+3{,}00\ \mathrm{D}\]
\[f'_{\mathrm{eq}}=\frac1{P_{\mathrm{eq}}}=0{,}333\ \mathrm{m}\]
Resultado físico. El conjunto es convergente, de +3,00 D y focal 33,3 cm.
Comprobación. Una lente divergente puede debilitar al sistema sin volverlo necesariamente divergente.
50

Dos lentes separadas: imagen intermedia

Enunciado. Dos lentes convergentes de focales 10,0 cm y 20,0 cm están separadas 30,0 cm. Un objeto se sitúa 30,0 cm a la izquierda de la primera. Halla la imagen final y el aumento total.

Lo que manda aquí. La imagen de la primera lente se convierte en objeto para la segunda; hay que cambiar el origen de distancias al pasar de una lente a otra.

Sustitución ordenada

\[L_1:\quad s_1=-30{,}0\ \mathrm{cm},\quad s'_1=+15{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_1=-0{,}500\]
\[L_2:\quad s_2=15{,}0-30{,}0=-15{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{s'_2}+\frac1{15}=\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad s'_2=-60{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_2=+4{,}00\]
\[\beta_{\mathrm{total}}=\beta_1\beta_2=-2{,}00\]
Lectura de la imagen. La imagen final es virtual, queda 60,0 cm a la izquierda de la segunda lente y es invertida y doble respecto del objeto inicial.
Comprobación. El signo de la imagen intermedia no se transporta sin más: para L₂, su posición se mide desde L₂.
L₁L₂imagen intermedia
La primera imagen sirve de objeto para la segunda lente; cada etapa tiene su propio origen.
51

Aumento aproximado de un microscopio

Enunciado. Un microscopio tiene objetivo de 0,80 cm, ocular de 4,00 cm y longitud de tubo 16,0 cm. Estima su aumento angular para visión relajada, tomando 25 cm como distancia próxima convencional.

objetivoocularimagen intermedia real
El objetivo crea una imagen intermedia aumentada; el ocular la observa como una lupa.

Antes de sustituir. En el modelo escolar, el objetivo aporta aproximadamente L/f_obj y el ocular 25 cm/f_oc.

Cierre numérico

\[M\simeq\frac{L}{f_{\mathrm{obj}}}\frac{25\ \mathrm{cm}}{f_{\mathrm{oc}}}=\frac{16{,}0}{0{,}80}\frac{25}{4{,}00}=20\cdot6{,}25=125\]
Así queda. El aumento angular aproximado es 125×.
Comprobación. Es una estimación para lentes delgadas y ajuste relajado; no describe aberraciones ni apertura.
52

Telescopio astronómico de Kepler

Enunciado. Un telescopio tiene objetivo de 80,0 cm y ocular de 4,00 cm. Calcula el aumento angular y la longitud del tubo en ajuste normal.

La pista del enunciado. En un telescopio de Kepler ambas lentes son convergentes y los focos coinciden.

Signos y ecuaciones

\[M=-\frac{f'_{\mathrm{obj}}}{f'_{\mathrm{oc}}}=-\frac{80{,}0}{4{,}00}=-20{,}0\]
\[L=f'_{\mathrm{obj}}+f'_{\mathrm{oc}}=84{,}0\ \mathrm{cm}\]
Resultado. El telescopio aumenta 20 veces, invierte la imagen y mide 84,0 cm entre lentes.
Comprobación. El signo menos del aumento indica inversión, no un tamaño negativo.
objetivoocular
En el ajuste normal, la imagen intermedia está en el foco del ocular y la salida es paralela.
53

Telescopio de Galileo

Enunciado. Un anteojo de Galileo usa un objetivo de +60,0 cm y un ocular de −3,00 cm. Calcula aumento y separación en ajuste normal.

Una decisión pequeña. El ocular divergente mantiene la imagen derecha y acorta el instrumento.

Operaciones

\[M=-\frac{f'_{\mathrm{obj}}}{f'_{\mathrm{oc}}}=-\frac{+60{,}0}{-3{,}00}=+20{,}0\]
\[L=f'_{\mathrm{obj}}+f'_{\mathrm{oc}}=60{,}0-3{,}00=57{,}0\ \mathrm{cm}\]
Lectura final. El anteojo aumenta 20 veces, da imagen derecha y tiene 57,0 cm de longitud óptica.
Comprobación. El ocular negativo cambia a la vez el signo del aumento y la longitud del tubo.
54

Aumento angular de una lupa

Enunciado. Una lupa tiene f′ = +5,00 cm. Calcula su aumento angular para ojo relajado y para imagen final en el punto próximo de 25 cm.

Son dos ajustes distintos; conviene no mezclar sus fórmulas.

\[M_{\infty}=\frac{25}{f'}=\frac{25}{5{,}00}=5{,}00\]
\[M_{25}=1+\frac{25}{f'}=1+5=6{,}00\]
Valor pedido. La lupa proporciona 5× con ojo relajado y 6× si la imagen final se acomoda a 25 cm.
Comprobación. El segundo ajuste exige acomodación y por eso ofrece algo más de aumento.
55

Hipermetropía y lectura a 25 cm

Enunciado. Una persona tiene su punto próximo a 50,0 cm. ¿Qué potencia necesita para leer un texto situado a 25,0 cm con las gafas pegadas al ojo?

cristalinoretina
La lente de la gafa crea una imagen virtual dentro de la zona que el ojo puede acomodar.
Dibujo mental. La gafa debe formar una imagen virtual del texto en el punto próximo de la persona.

Desarrollo

\[s=-0{,}250\ \mathrm{m},\qquad s'=-0{,}500\ \mathrm{m}\]
\[P=\frac1{s'}-\frac1s=-2{,}00-(-4{,}00)=+2{,}00\ \mathrm{D}\]
Respuesta. Se necesita una lente convergente de +2,00 D.
Comprobación. El signo positivo permite que un objeto a 25 cm se presente al ojo como si estuviera a 50 cm.
56

Presbicia con punto próximo a un metro

Enunciado. El punto próximo de una persona está a 1,00 m. Calcula la adición para leer a 25,0 cm.

El paso que no saltaría. El planteamiento es igual al anterior, pero la imagen virtual debe quedar ahora a un metro.

Cálculo

\[P=\frac1{-1{,}00}-\frac1{-0{,}250}=-1{,}00+4{,}00=+3{,}00\ \mathrm{D}\]
Conclusión. La adición necesaria es +3,00 D.
Comprobación. Un punto próximo más alejado exige mayor potencia convergente para la misma distancia de lectura.
57

Miopía con punto remoto a 80 cm

Enunciado. Una persona no enfoca más allá de 80,0 cm. Determina la potencia de las gafas para mirar al infinito.

El dato que ordena todo. Los rayos paralelos deben salir de la gafa como si procedieran del punto remoto.

De la figura al número

\[s=-\infty,\qquad s'=-0{,}800\ \mathrm{m},\qquad P=\frac1{s'}=-1{,}25\ \mathrm{D}\]
Respuesta razonada. La corrección para lejos es −1,25 D.
Comprobación. La lente es divergente y produce una imagen virtual en el límite de visión nítida del ojo.
58

Cuánta acomodación añade el ojo

Enunciado. Modelamos un ojo con retina a 17,0 mm de su sistema óptico. Compara la potencia necesaria para enfocar el infinito y un objeto a 25,0 cm.

Aquí está la clave. La retina fija s′. El ojo modifica su potencia para conservar allí la imagen.

Despeje

\[P_{\infty}=\frac1{0{,}0170}=58{,}8\ \mathrm{D}\]
\[P_{25}=\frac1{0{,}0170}-\frac1{-0{,}250}=58{,}8+4{,}00=62{,}8\ \mathrm{D}\]
Lo que entregaríamos. El modelo exige 58,8 D al infinito y 62,8 D a 25 cm: la acomodación añade 4,00 D.
Comprobación. La cifra absoluta depende del modelo reducido del ojo; la diferencia de 4 D es la idea central.
cristalinoretina
El cristalino aumenta la potencia para que la imagen de un objeto cercano siga cayendo en la retina.
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Problemas 59–75

Modelos globales tipo PAU/EBAU de elaboración propia

59

Modelo PAU: una lupa y una nueva lente de proyección

Enunciado. Una lupa de f′ = +12,0 cm observa un insecto de 3,0 cm situado a 7,50 cm. a) Localiza y describe la imagen. b) En un segundo montaje se quiere proyectar una imagen de 15,0 cm en una pantalla situada a 75,0 cm de la lente. Determina dónde colocar el insecto y qué focal debe tener esa nueva lente.

FF′ objetoimagen
Primer apartado: la lupa da una imagen virtual, derecha y aumentada. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.

Primero situamos la imagen. En el primer apartado la imagen es virtual; en el segundo, la pantalla impone una imagen real e invertida. Son dos montajes distintos y cada uno debe resolverse con sus propias distancias.

Ahora sí, la cuenta

\[\text{a)}\quad \frac1{s'}+\frac1{7{,}50}=\frac1{12{,}0}\quad\Rightarrow\quad s'=-20{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=\frac{-20{,}0}{-7{,}50}=+2{,}667,\qquad y'=+8{,}00\ \mathrm{cm}\]
\[\text{b)}\quad\beta=-\frac{15{,}0}{3{,}0}=-5{,}00,\qquad s=\frac{75{,}0}{-5}=-15{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{f'}=\frac1{75}-\frac1{-15}=0{,}0800\ \mathrm{cm^{-1}}\quad\Rightarrow\quad f'=+12{,}5\ \mathrm{cm}\]
Cierre. Con la lupa, la imagen es virtual, derecha, de 8,00 cm y está a 20,0 cm del mismo lado. En el montaje de proyección, el insecto va a 15,0 cm y se necesita una lente de focal +12,5 cm.
Comprobación. La pantalla obliga a que s′ sea positivo. Esa condición distingue el segundo montaje del uso de lupa y evita reutilizar sin pensar la distancia de 7,50 cm.
60

Modelo PAU: proyector de aula

Enunciado. Una lente de f′ = +8,00 cm proyecta una diapositiva de 1,50 cm sobre una pantalla situada a 2,00 m. Determina la posición de la diapositiva y el tamaño de la imagen.

La pantalla fija s′ = +2,00 m. Despejamos s antes de calcular el aumento.

\[\frac1{-s}=\frac1{0{,}0800}-\frac1{2{,}00}=12{,}0\ \mathrm{m^{-1}}\quad\Rightarrow\quad s=-0{,}0833\ \mathrm{m}\]
\[\beta=\frac{2{,}00}{-0{,}0833}=-24{,}0,\qquad y'=-24{,}0\cdot1{,}50=-36{,}0\ \mathrm{cm}\]
Resultado físico. La diapositiva se coloca a 8,33 cm; la imagen invertida mide 36,0 cm.
Comprobación. El objeto está solo 3,3 mm más lejos que el foco, razón del gran aumento.
FF′ objetoimagen
La pantalla obliga a que los rayos converjan en una imagen real. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.
61

Modelo PAU: profundidad y dirección de un rayo

Enunciado. Un objeto está en el fondo de un depósito de agua de profundidad desconocida. Desde arriba parece estar a 1,50 m. a) Halla la profundidad real con n = 1,333. b) Si un rayo llega a la superficie con 30,0° desde el agua, calcula su ángulo en el aire.

normalmedio 1medio 2
Un rayo que sale del agua se aparta de la normal.

Miremos primero la geometría. El primer apartado usa visión casi normal; el segundo necesita Snell. No conviene aplicar la fórmula de profundidad aparente a un rayo oblicuo cualquiera.

Sustitución ordenada

\[d=d_{\mathrm{ap}}\frac{n_{\mathrm{agua}}}{n_{\mathrm{aire}}}=1{,}50\cdot1{,}333=2{,}00\ \mathrm{m}\]
\[1{,}333\sin30{,}0^\circ=\sin r\quad\Rightarrow\quad r=41{,}8^\circ\]
Lectura de la imagen. La profundidad real es 2,00 m y el rayo sale con 41,8° respecto de la normal.
Comprobación. El rayo se aleja de la normal al entrar en el aire, como exige el descenso de índice.
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Modelo PAU: espejo cóncavo y pantalla

Enunciado. Un objeto de 4,0 cm produce en un espejo cóncavo una imagen real de 12,0 cm situada a 90,0 cm delante. Calcula la posición del objeto, la focal y el radio.

Lo que manda aquí. La imagen es invertida, por tanto y′ = −12,0 cm y β = −3,00.

Cierre numérico

\[-3{,}00=-\frac{s'}s=-\frac{-90{,}0}{s}\quad\Rightarrow\quad s=-30{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1f=-\frac1{90}-\frac1{30}=-\frac2{45}\quad\Rightarrow\quad f=-22{,}5\ \mathrm{cm},\qquad R=-45{,}0\ \mathrm{cm}\]
Así queda. El objeto está a 30,0 cm, la focal es −22,5 cm y el radio −45,0 cm.
Comprobación. El objeto queda entre F y C; la imagen real aumentada aparece más allá de C.
F objetoimagen
Un cóncavo produce una imagen real triple cuando el objeto está entre F y C. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.
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Modelo PAU: un prisma como refractómetro

Enunciado. Un prisma de ángulo A = 60,0° presenta una desviación mínima de 40,0° para luz de 550 nm en el vacío. Calcula el índice, la velocidad y la longitud de onda dentro del prisma.

δA
La posición de mínima desviación convierte la medida angular en una medida del índice.

Antes de sustituir. La desviación mínima proporciona directamente el índice; después usamos v = c/n y λ = λ₀/n.

Signos y ecuaciones

\[n=\frac{\sin[(A+\delta_m)/2]}{\sin(A/2)}=\frac{\sin50{,}0^\circ}{\sin30{,}0^\circ}=1{,}532\]
\[v=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}532}=1{,}96\cdot10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad\lambda=\frac{550}{1{,}532}=359\ \mathrm{nm}\]
Resultado. El prisma tiene n = 1,532; dentro de él v = 1,96·10⁸ m/s y λ = 359 nm.
Comprobación. La frecuencia no se ha pedido porque no cambia al atravesar la superficie.
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Modelo PAU: gafas para distintas distancias

Enunciado. El punto remoto de una persona miope está a 1,20 m. a) Calcula la corrección para mirar al infinito. b) Con esas gafas, ¿dónde queda la imagen virtual de un objeto situado a 4,00 m?

La pista del enunciado. La misma lente que lleva el infinito al punto remoto colocará los objetos finitos algo más cerca del ojo.

Operaciones

\[\text{a)}\quad P=\frac1{-1{,}20}=-0{,}833\ \mathrm{D}\]
\[\text{b)}\quad \frac1{s'}-\frac1{-4{,}00}=-0{,}833\quad\Rightarrow\quad s'=-0{,}923\ \mathrm{m}\]
Lectura final. La corrección es −0,833 D y el objeto a 4,00 m se presenta al ojo como una imagen virtual a 0,923 m.
Comprobación. La imagen cae dentro del punto remoto de 1,20 m, de modo que el ojo puede enfocarla.
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Modelo PAU: convergente seguida de divergente

Enunciado. Una lente de +10,0 cm y otra de −20,0 cm están separadas 25,0 cm. Un objeto se sitúa 30,0 cm a la izquierda de la primera. Localiza la imagen final y calcula el aumento total.

+10 cm−20 cm
La imagen intermedia de la convergente actúa como objeto real para la divergente.
Una decisión pequeña. Resolvemos la primera etapa, trasladamos la imagen al origen de la segunda y solo entonces usamos su focal negativa.

Cuenta limpia

\[L_1:\quad s_1=-30{,}0\ \mathrm{cm}\Rightarrow s'_1=+15{,}0\ \mathrm{cm},\quad\beta_1=-0{,}500\]
\[L_2:\quad s_2=15{,}0-25{,}0=-10{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{s'_2}+\frac1{10}=-\frac1{20}\quad\Rightarrow\quad s'_2=-6{,}67\ \mathrm{cm},\quad\beta_2=+0{,}667\]
\[\beta_{\mathrm{total}}=-0{,}333\]
Valor pedido. La imagen final es virtual, está 6,67 cm a la izquierda de la segunda lente y es invertida y tres veces menor que el objeto inicial.
Comprobación. La divergente no borra la inversión creada por la primera; su aumento lateral es positivo.
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Modelo PAU: espejo convexo de tráfico

Enunciado. Un espejo convexo de f = +30,0 cm observa un vehículo de 1,80 m situado a 3,00 m. Calcula posición y altura de la imagen.

La gran distancia del objeto sugiere una imagen próxima al foco, pero aún debemos calcularla.

\[\frac1{s'}-\frac1{300}=\frac1{30}\quad\Rightarrow\quad s'=+27{,}27\ \mathrm{cm}\]
\[\beta=-\frac{27{,}27}{-300}=+0{,}0909\]
\[y'=0{,}0909\cdot1{,}80=0{,}164\ \mathrm{m}\]
Respuesta. La imagen virtual queda 27,3 cm detrás del espejo y mide 16,4 cm, derecha.
Comprobación. La fuerte reducción permite abarcar un campo amplio, motivo de uso en cruces y aparcamientos.
F objetoimagen
El convexo reduce mucho un vehículo lejano y amplía el campo visual. El trazo discontinuo señala una prolongación, no un rayo que atraviese el espejo.
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Problema global: reconstruir la lente y cambiar el montaje

Enunciado. Un objeto de 4,0 cm está a 18,0 cm de una lente y forma una imagen virtual derecha de 12,0 cm. a) Identifica la lente y calcula s′, f′ y P. b) ¿Dónde colocar el mismo objeto para obtener una imagen real tres veces mayor? ¿Dónde va la pantalla?

FF′ objetoimagen
Segundo montaje: el objeto entre F y 2F produce una imagen real triple más allá de 2F. Esquema cartesiano; las proporciones se han ajustado para que se lea bien.

Dibujo mental. El tamaño da el aumento en ambos apartados. La diferencia de signo entre imagen virtual y real decide la geometría.

Cálculo

\[\text{a)}\quad\beta=+3{,}00,\quad s'=\beta s=3(-18)=-54{,}0\ \mathrm{cm}\]
\[\frac1{f'}=-\frac1{54}-\left(-\frac1{18}\right)=\frac1{27}\quad\Rightarrow\quad f'=+27{,}0\ \mathrm{cm},\quad P=+3{,}70\ \mathrm{D}\]
\[\text{b)}\quad\beta=-3{,}00,\quad s'=-3s\]
\[\frac1{-3s}-\frac1s=\frac1{27}\quad\Rightarrow\quad s=-36{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s'=+108\ \mathrm{cm}\]
Conclusión. Es una lente convergente de f′ = 27,0 cm y +3,70 D. Para una imagen real triple, el objeto va a 36,0 cm y la pantalla a 108 cm.
Comprobación. La misma lente actúa como lupa dentro de la focal y como proyector cuando el objeto se sitúa entre F y 2F.
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Modelo PAU: el índice escondido en el ángulo límite

Enunciado. Un material transparente limita con el aire. El rayo refractado sale rozando la superficie cuando el ángulo interior es 38,7°. Calcula el índice del material, la velocidad de la luz en él y decide qué ocurre para una incidencia interior de 45,0°.

El paso que no saltaría. El rayo rasante nos está dando el ángulo límite. Basta leer el dibujo en el sentido correcto: la luz parte del material y llega al aire.

De la figura al número

\[n\sin38{,}7^\circ=1{,}000\sin90^\circ\quad\Rightarrow\quad n=\frac1{\sin38{,}7^\circ}=1{,}60\]
\[v=\frac{c}{n}=\frac{3{,}00\cdot10^8}{1{,}60}=1{,}88\cdot10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\]
\[45{,}0^\circ>38{,}7^\circ\quad\Rightarrow\quad\text{reflexión total interna}\]
Respuesta razonada. El índice es 1,60, la rapidez vale 1,88·10⁸ m/s y a 45,0° ya no emerge luz al aire.
Comprobación. El índice es mayor que uno y el ángulo de 45° supera al límite; las dos lecturas físicas encajan con el cálculo.
38,7°r = 90°airematerial
En el ángulo límite, el rayo refractado forma 90° con la normal y avanza pegado a la superficie.
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Modelo PAU: un prisma que gira el haz noventa grados

Enunciado. Un rayo entra perpendicularmente por un cateto de un prisma rectángulo isósceles de índice 1,52, rodeado de aire. Explica su recorrido, comprueba qué sucede en la hipotenusa y determina la desviación total.

45°reflexión total45°
La reflexión total en la hipotenusa convierte un avance horizontal en una salida vertical.

El dato que ordena todo. La entrada normal no desvía el rayo. Al alcanzar la hipotenusa, la geometría del prisma fija una incidencia de 45°; ahí se decide todo.

Despeje

\[\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{1{,}000}{1{,}52}\right)=41{,}1^\circ\]
\[i=45{,}0^\circ>\theta_c\quad\Rightarrow\quad\text{reflexión total}\]
\[\delta=90{,}0^\circ\]
Lo que entregaríamos. El haz entra sin desviarse, se refleja totalmente en la hipotenusa y sale perpendicularmente por el otro cateto; su dirección ha girado 90,0°.
Comprobación. No se ha aplicado Snell con un seno mayor que uno: primero se comprobó la condición de reflexión total.
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Modelo PAU: reconstruir la lente desde objeto e imagen

Enunciado. En un banco óptico, un objeto de 2,0 cm situado 24,0 cm a la izquierda de una lente produce sobre una pantalla una imagen invertida de 6,0 cm a 72,0 cm a la derecha. Identifica la lente, calcula su focal y su potencia y explica cómo localizarías los focos en el trazado.

Aquí está la clave. Pantalla e inversión significan imagen real. La lente tiene que ser convergente y el aumento permite comprobar las dos distancias antes de buscar la focal.

Ahora sí, la cuenta

\[\beta=\frac{-6{,}0}{2{,}0}=-3{,}00=\frac{+72{,}0}{-24{,}0}\]
\[\frac1{f'}=\frac1{72}-\frac1{-24}=\frac1{18}\quad\Rightarrow\quad f'=+18{,}0\ \mathrm{cm},\qquad P=+5{,}56\ \mathrm{D}\]
Cierre. Se trata de una lente convergente de focal 18,0 cm y potencia +5,56 D. En el dibujo, F′ aparece donde corta el eje la prolongación del rayo emergente que llegó paralelo; F queda simétrico al otro lado.
Comprobación. El objeto está entre F y 2F y la imagen más allá de 2F: por eso resulta real, invertida y tres veces mayor.
FF′objetoimagen
El par objeto–imagen permite reconstruir la focal sin memorizar un dibujo de caso.
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Modelo PAU: tamaño impuesto entre objeto y pantalla

Enunciado. Un objeto luminoso de 8,0 mm y una pantalla están separados 1,80 m. Se coloca entre ambos una lente que forma una imagen nítida de 32,0 mm. Determina las distancias objeto y pantalla respecto de la lente, la focal y el tipo de lente.

8 mm32 mmobjeto y pantalla separados 1,80 m
Cuando el tamaño y la separación están fijados, el aumento decide dónde debe ir la lente.

Primero situamos la imagen. La imagen recogida en pantalla es real e invertida. Su tamaño fija |β| = 4 y la separación total aporta la segunda ecuación.

Camino corto

\[\beta=-4{,}00=\frac{s'}s\quad\Rightarrow\quad s'=4|s|\]
\[|s|+s'=1{,}80\quad\Rightarrow\quad |s|=0{,}360\ \mathrm{m},\qquad s'=1{,}440\ \mathrm{m}\]
\[f'=\frac{|s|s'}{|s|+s'}=\frac{0{,}360\cdot1{,}440}{1{,}800}=0{,}288\ \mathrm{m}\]
Resultado físico. La lente es convergente, de focal 28,8 cm. Se sitúa a 36,0 cm del objeto y a 1,44 m de la pantalla.
Comprobación. Las distancias suman 1,80 m y su cociente es cuatro; ambas condiciones del montaje quedan satisfechas.
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Un espejo que permita verse de cuerpo entero

Enunciado. Una persona mide 1,76 m y sus ojos están a 1,64 m del suelo. Calcula la altura mínima y la colocación de un espejo plano para verse completa. ¿Depende el resultado de la distancia a la que se sitúe?

Aquí manda la ley de la reflexión, no la distancia persona–espejo. El borde inferior queda a mitad de camino entre los ojos y los pies; el superior, entre los ojos y la cabeza.

\[h_{\mathrm{inf}}=\frac{1{,}64+0}{2}=0{,}820\ \mathrm{m}\]
\[h_{\mathrm{sup}}=\frac{1{,}64+1{,}76}{2}=1{,}700\ \mathrm{m}\]
\[H_{\mathrm{espejo}}=1{,}700-0{,}820=0{,}880\ \mathrm{m}=\frac{1{,}76}{2}\]
Lectura de la imagen. El espejo mínimo mide 0,88 m y debe ir desde 0,82 hasta 1,70 m sobre el suelo. Estas medidas no cambian al alejarse o acercarse.
Comprobación. La altura obtenida es exactamente la mitad de la persona, resultado general para un espejo plano vertical.
0,88 mpersonaespejo mínimo
Los rayos que llegan al ojo desde cabeza y pies se reflejan justo en los extremos del espejo mínimo.
73

Dos lentes: la segunda recibe un objeto virtual

Enunciado. Dos lentes convergentes de focales +10,0 cm y +15,0 cm están separadas 20,0 cm. Un objeto se coloca 15,0 cm a la izquierda de la primera. Localiza la imagen final y calcula el aumento total.

L₁L₂objeto virtual de L₂
La segunda lente intercepta un haz convergente: el objeto que recibe está a su derecha y es virtual.

Miremos primero la geometría. La primera lente intentaría formar su imagen 30,0 cm a la derecha, diez centímetros más allá de la segunda. Por eso, para L₂ los rayos llegan convergiendo y el objeto es virtual: s₂ es positivo.

Cierre numérico

\[L_1:\quad s_1=-15{,}0\ \mathrm{cm},\qquad s'_1=+30{,}0\ \mathrm{cm},\qquad\beta_1=-2{,}00\]
\[L_2:\quad s_2=+10{,}0\ \mathrm{cm},\qquad \frac1{s'_2}-\frac1{10}=\frac1{15}\quad\Rightarrow\quad s'_2=+6{,}00\ \mathrm{cm}\]
\[\beta_2=\frac{6}{10}=+0{,}600,\qquad\beta_{\mathrm{total}}=-1{,}20\]
Así queda. La imagen final es real, aparece 6,00 cm a la derecha de L₂ y es invertida y 1,20 veces mayor que el objeto inicial.
Comprobación. Si se hubiera escrito s₂ = −10 cm por rutina, se habría ignorado que los rayos ya llegaban convergiendo hacia un punto situado detrás de L₂.
74

La distancia entre la gafa y el ojo también cuenta

Enunciado. Una persona miope tiene el punto remoto a 50,0 cm del ojo. Sus gafas se apoyan a 2,0 cm por delante. Calcula la potencia necesaria para ver objetos lejanos y compárala con la de una lente de contacto.

Lo que manda aquí. La imagen virtual debe caer en el punto remoto del ojo. Desde la gafa, ese punto no está a 50 cm, sino a 48 cm.

Signos y ecuaciones

\[s=-\infty,\qquad s'=-0{,}480\ \mathrm{m},\qquad P_{\mathrm{gafa}}=\frac1{s'}=-2{,}08\ \mathrm{D}\]
\[P_{\mathrm{contacto}}=\frac1{-0{,}500}=-2{,}00\ \mathrm{D}\]
Resultado. La gafa necesita aproximadamente −2,08 D; una lente de contacto, situada prácticamente sobre el ojo, necesitaría −2,00 D.
Comprobación. La gafa queda más lejos del punto remoto y por eso su potencia negativa debe tener un módulo ligeramente mayor.
cristalinoretina
La posición de la lente correctora cambia la distancia a la que debe formar la imagen virtual.
75

Modelo PAU: estimar la focal con una fotografía de la Luna

Enunciado. La Luna tiene un diámetro angular de 0,533°. Una cámara forma sobre el sensor una imagen lunar de 4,65 mm. Estima la distancia focal del objetivo, su potencia y la posición del sensor al enfocar al infinito.

0,533°sensorf′
Un objeto muy lejano envía rayos casi paralelos y queda enfocado en el plano focal del objetivo.
Antes de sustituir. Para un objeto astronómico, la imagen se forma prácticamente en el plano focal. Como el ángulo es pequeño, el tamaño cumple y′ ≈ f′θ, con θ en radianes.

Operaciones

\[\theta=0{,}533\frac{\pi}{180}=9{,}30\cdot10^{-3}\ \mathrm{rad}\]
\[f'\simeq\frac{y'}{\theta}=\frac{4{,}65\cdot10^{-3}}{9{,}30\cdot10^{-3}}=0{,}500\ \mathrm{m},\qquad P=\frac1{f'}=+2{,}00\ \mathrm{D}\]
Lectura final. La focal es aproximadamente 0,500 m y la potencia +2,00 D. El sensor debe situarse a unos 50,0 cm detrás del objetivo.
Comprobación. La imagen mide pocos milímetros pese al enorme tamaño real de la Luna: lo que fija la imagen es su diámetro angular.
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Errores que cuestan puntos aunque la calculadora funcione

Medir desde la superficie

En Snell, incidencia y refracción se miden desde la normal. Si el enunciado da el ángulo con la superficie, primero toma su complementario.

Cambiar de signos a mitad

Un convenio coherente puede dar una solución correcta; mezclar dos convenios en la misma línea no.

Llamar real a toda imagen positiva

El significado del signo depende de la fórmula y del eje declarado. Añade siempre la frase “se puede / no se puede proyectar”.

Confundir aumento con potencia

\(\beta\) no tiene unidades y compara tamaños; \(P\) se mide en dioptrías y describe la convergencia de una lente.

Olvidar la imagen intermedia

En dos lentes, la primera imagen es el objeto de la segunda. Su distancia debe volver a medirse desde la segunda lente.

Dibujar un rayo atravesando el espejo

Detrás del espejo solo se trazan prolongaciones discontinuas. Los rayos reales permanecen delante.

La segunda vuelta: apunta la decisión, no solo el fallo

Marca un bloque cuando puedas resolverlo sin mirar el ejemplo. En la última columna escribe algo concreto —“medí desde la superficie”, “cambié el signo de s′”, “olvidé que había pantalla”—; eso es lo que merece una repetición.

Registro breve para volver a los ejercicios que de verdad lo necesitan.
RecorridoPrimera vueltaSegunda vueltaDecisión que quiero fijar
1–12 · Refracción y prismas□□ 
13–23 · Espejos□□ 
24–39 · Convergentes□□ 
40–48 · Divergentes□□ 
49–58 · Instrumentos y ojo□□ 
59–75 · Modelos PAU□□ 

Ya no se trata de memorizar seis dibujos

Si sabes colocar signos, anticipar el tipo de imagen y leer el aumento, puedes reconstruir cualquier caso sin depender de una lámina aprendida de memoria.

Ondas y óptica PAU/EBAUVuelve aquí para interferencia, difracción, polarización, sonido y el marco ondulatorio.Examen tipo de FísicaMezcla óptica con los demás bloques cuando ya no quieras pistas de tema.Biblioteca MarluContinúa por la ruta completa de recursos educativos.

¿Te sale la cuenta, pero no sabes qué dibujo elegir?

En clase trabajamos precisamente esa decisión: leer el enunciado, fijar signos y justificar el tipo de imagen antes de operar.

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Preguntas frecuentes

¿Una lente convergente siempre da una imagen real?

No. Si el objeto está dentro de la distancia focal, la imagen es virtual, derecha y aumentada.

¿Una lente divergente puede proyectar por sí sola la imagen de un objeto real?

No. Con un objeto real forma una imagen virtual, derecha y reducida. En un sistema de varias lentes puede recibir un objeto virtual y la situación cambia.

¿Qué significa que una imagen sea virtual?

Que los rayos no se cruzan realmente en ese punto: parecen proceder de él al prolongarlos hacia atrás. Por eso no se recoge en una pantalla.

¿Por qué hay dos fórmulas distintas para lente y espejo?

Porque la refracción atraviesa la lente y la reflexión invierte el sentido de propagación. Ambas expresiones son coherentes con el eje cartesiano declarado.

¿Los problemas son exámenes oficiales?

No. Son ejercicios originales de Marlu Educativa diseñados con formato, decisiones y dificultad habituales de PAU/EBAU.

La última mirada antes de entregar

No hace falta rehacer el problema. Recorre estas seis preguntas con el dibujo delante; si una respuesta no encaja, ahí está casi siempre el fallo.

  1. ¿He medido los ángulos desde la normal? Si venían dados respecto de la superficie, ya he tomado el complementario.
  2. ¿Mi eje y mis signos están escritos? Quien corrige debe poder seguir el convenio sin adivinarlo.
  3. ¿La imagen calculada cabe en el dibujo? Real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor.
  4. ¿La pantalla manda? Si aparece una pantalla, la imagen que llega a ella tiene que ser real.
  5. ¿He cambiado el origen en un sistema de lentes? La imagen intermedia se mide de nuevo desde la segunda lente.
  6. ¿He cerrado con una frase física? Posición, orientación, tamaño y posibilidad de proyectarla: cuatro datos, no solo un número.

Biblioteca Marlu Educativa. Recurso revisado por el equipo académico y editorial de Marlu Educativa, conforme al Método Marlu y con coordinación docente de José María.

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