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Densidad, masa y volumen | Ejercicios resueltos ESO
La dificultad de la densidad casi nunca está en dividir. Está en leer bien la situación: distinguir masa y peso, unificar unidades, medir el volumen correcto y explicar si el resultado tiene sentido.
Trabaja el bloque que necesites: medida, cambios de unidades, volumen geométrico o lectura de una gráfica. El cuaderno y el solucionario permiten practicar y corregir por separado.
Índice de consulta y trabajo
Puedes leerlo seguido como una unidad o saltar directamente al punto que necesites.
Qué vas a aprender y cómo utilizar este recurso
Comprender
Interpretar la densidad como la cantidad de masa contenida en cada unidad de volumen.
Calcular
Elegir entre \(\rho=\dfrac{m}{V}\), \(m=\rho\cdot V\) y \(V=\dfrac{m}{\rho}\) sin memorizar tres fórmulas desconectadas.
Comprobar
Revisar unidades, orden de magnitud, signo y coherencia física antes de dar el ejercicio por terminado.
Si estás empezando, realiza primero la prueba inicial. Si ya conoces la teoría, consulta el método de siete pasos y pasa a los ejercicios resueltos. Para preparar un examen, completa después uno de los simulacros sin mirar las soluciones.
Volver al índicePrueba inicial de 24 preguntas
Responde sin calculadora siempre que puedas. La prueba no pretende ponerte una nota, sino localizar qué parte conviene repasar antes de comenzar los problemas de densidad.
- Convierte 0,45 kg a gramos.
- Convierte 250 mL a cm³.
- Convierte 2,5 dm³ a litros.
- Calcula el volumen de un cubo de lado 3 cm.
- Calcula el volumen de un prisma de 5 cm × 2 cm × 4 cm.
- ¿Qué magnitud se obtiene al dividir masa entre volumen?
- Escribe la fórmula de la densidad.
- Despeja la masa.
- Despeja el volumen.
- Una pieza de 100 g ocupa 50 cm³. Calcula su densidad.
- ¿Qué es más denso, 3 g·cm⁻³ o 2500 kg·m⁻³?
- ¿Qué volumen desplaza un objeto si el agua pasa de 40 mL a 55 mL?
- ¿Puede escribirse una densidad en g·cm⁻²?
- ¿Qué debe hacerse antes de sustituir si la masa está en kg y el volumen en cm³?
- Un objeto tiene menor densidad que el agua. ¿Qué tendencia presenta?
- ¿Masa y peso son la misma magnitud?
- ¿Qué lectura se usa como volumen de un objeto irregular?
- Convierte 1,2 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
- Convierte 900 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
- Una botella llena marca 380 g y vacía 80 g. ¿Cuál es la masa del líquido?
- ¿Qué operación inversa permite comprobar una densidad?
- ¿Por qué se lee una probeta a la altura de los ojos?
- Una densidad sale negativa. ¿Es aceptable en estos ejercicios?
- ¿Qué es mejor para identificar un material: una sola medida o varias medidas coherentes?
Corrección y ruta de repaso
- 450 g
- 250 cm³
- 2,5 L
- 27 cm³
- 40 cm³
- La densidad
- \(\rho=\dfrac{m}{V}\)
- \(m=\rho\cdot V\)
- \(V=\dfrac{m}{\rho}\)
- 2 g·cm⁻³
- 3 g·cm⁻³, porque equivale a 3000 kg·m⁻³
- 15 mL = 15 cm³
- No, porque cm² es superficie
- Unificar las unidades
- Tenderá a flotar en el modelo escolar
- No
- La diferencia entre el volumen final y el inicial
- 1200 kg·m⁻³
- 0,9 g·cm⁻³
- 300 g
- \(m\approx\rho\cdot V\)
- Para reducir el error de paralaje
- No; hay un error en datos, resta o cálculo
- Varias medidas coherentes y comparadas con valores de referencia
Fallos 1 a 5
Repasa conversiones básicas y cálculo de volúmenes.
Fallos 6 a 10
Trabaja el significado de densidad, los despejes y la identificación de la incógnita.
Fallos 11 a 16
Revisa unidades, desplazamiento de agua y diferencia entre masa y peso.
Fallos 17 a 24
Refuerza la interpretación experimental, la comprobación inversa y la calidad de la medida.
Orientación Con 20 o más aciertos puedes pasar directamente a los ejercicios resueltos. Entre 14 y 19, conviene leer la teoría y hacer los primeros modelos. Con menos de 14, trabaja primero unidades, volumen y despejes.
Qué significa realmente la densidad
La densidad compara dos magnitudes. Indica cuánta masa hay contenida en una determinada cantidad de volumen. Por eso dos objetos del mismo tamaño pueden tener masas muy diferentes, y dos objetos con la misma masa pueden ocupar volúmenes distintos.
Decir que un material tiene una densidad de 2,7 g·cm⁻³ significa que cada centímetro cúbico de ese material tiene una masa de 2,7 g, siempre que hablemos de una muestra homogénea y en condiciones comparables.
Mismo volumen
Si dos objetos ocupan el mismo volumen, el que tiene más masa es más denso.
Misma masa
Si dos objetos tienen la misma masa, el que ocupa menos volumen es más denso.
Comparar tamaño y densidad Un objeto grande no tiene por qué ser más denso que uno pequeño. Tamaño y densidad no son sinónimos.
Fórmula, magnitudes y despejes
Densidad
Se usa cuando conocemos masa y volumen.
Masa
Se usa cuando conocemos densidad y volumen.
Volumen
Se usa cuando conocemos masa y densidad.
| Símbolo | Magnitud | Unidades habituales | Unidad SI |
|---|---|---|---|
| ρ | Densidad | g·cm⁻³, g·mL⁻¹, kg·L⁻¹ | kg·m⁻³ |
| m | Masa | g, kg | kg |
| V | Volumen | cm³, mL, dm³, L, m³ | m³ |
El triángulo es una ayuda, no una explicación. En un examen conviene saber despejar. Así podrás trabajar aunque la fórmula aparezca escrita de otra manera.
Qué ecuación debo elegir
¿Piden densidad?
Necesitas masa y volumen.
¿Piden masa?
Necesitas densidad y volumen.
¿Piden volumen?
Necesitas masa y densidad.
Regla práctica Escribe primero la incógnita con su símbolo. Después elige la ecuación en la que esa incógnita queda sola.
Método Marlu de siete pasos
1Lee la pregunta y escribe la incógnita.
2Anota los datos con unidades.
3Unifica las unidades.
4Elige y despeja la ecuación.
5Sustituye con unidades.
6Calcula y redondea al final.
7Comprueba unidad, magnitud y coherencia física.
Comprobación inversa Si has calculado una densidad, multiplica \(\rho\cdot V\). Debes recuperar aproximadamente la masa inicial.
Masa y peso no son lo mismo
La masa mide la cantidad de materia y se expresa en kilogramos o gramos. El peso es una fuerza gravitatoria y se mide en newtons.
En los problemas de densidad utilizamos masa. Una balanza escolar nos proporciona una lectura de masa, aunque en el lenguaje cotidiano se diga pesar.
Error frecuente Escribir 300 N como dato de masa. Si el enunciado ofrece un peso en newtons, habría que obtener antes la masa.
Volumen, capacidad y equivalencias
El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. La capacidad indica cuánto puede contener un recipiente. En muchos problemas escolares se relacionan mediante equivalencias exactas.
| Equivalencia | Lectura útil |
|---|---|
| 1 dm³ = 1 L | Un cubo de 1 dm de arista tiene una capacidad de 1 litro. |
| 1 cm³ = 1 mL | El aumento de 1 mL en una probeta equivale a 1 cm³. |
| 1 m³ = 1000 L | Un metro cúbico contiene mil litros. |
Estas equivalencias conectan directamente con el cálculo de áreas y volúmenes en Geometría de 2.º ESO. Aquí se usan como herramienta, no como tema principal.
Unidades de densidad y conversiones
Las unidades más habituales en ESO son g·cm⁻³ para sólidos, g·mL⁻¹ para líquidos y kg·m⁻³ en el Sistema Internacional.
La equivalencia se entiende al convertir numerador y denominador, no como una regla aislada.
De g·cm⁻³ a kg·m⁻³
Multiplica por 1000.
2,7 g·cm⁻³ = 2700 kg·m⁻³
De kg·m⁻³ a g·cm⁻³
Divide entre 1000.
8960 kg·m⁻³ = 8,96 g·cm⁻³
Equivalencia especialmente útil 1 g·mL⁻¹ = 1 kg·L⁻¹. El valor numérico no cambia porque masa y volumen se multiplican por el mismo factor.
Comprobación dimensional
Las unidades permiten comprobar si el despeje tiene sentido. No son un adorno añadido al final.
Densidad
Masa
Volumen
Señal de alarma Si calculas una masa y la unidad final queda en cm³, el despeje o la sustitución están mal.
Volúmenes geométricos necesarios
Cuando el volumen no viene dado, puede calcularse a partir de las dimensiones. La fórmula geométrica debe resolverse antes de aplicar la densidad.
Prisma rectangular
Cubo
Cilindro
En un examen este detalle cuenta Si las dimensiones están en centímetros, el volumen queda en centímetros cúbicos. No escribas cm ni cm².
Objetos irregulares y desplazamiento de agua
Una piedra o una pieza con forma irregular no permite aplicar directamente una fórmula geométrica. Si puede sumergirse sin disolverse ni absorber agua, se mide el volumen desplazado.
En las medidas por desplazamiento, el objeto se sumerge por completo, sin disolverse, absorber líquido ni retener burbujas. La diferencia de lecturas corresponde entonces a su volumen.
Error típico Usar 47 mL como volumen del objeto. La lectura final incluye el agua inicial. Hay que restar.
Flotar, hundirse y densidad media
En un modelo escolar sencillo, un objeto menos denso que el líquido tiende a flotar y uno más denso tiende a hundirse.
ρ objeto < ρ líquido
El objeto tiende a flotar.
ρ objeto > ρ líquido
El objeto tiende a hundirse.
La forma y el aire encerrado pueden modificar la densidad media del conjunto. Por eso un barco de acero puede flotar aunque el acero macizo sea más denso que el agua.
Límite de este recurso Aquí usamos la comparación de densidades como interpretación básica. La presión, el empuje y el principio de Arquímedes requieren un estudio específico de fluidos.
Densidades aproximadas de referencia
Los valores dependen de la temperatura, pureza y condiciones de medida. La tabla sirve para comparar órdenes de magnitud, no para sustituir una medida experimental.
| Sustancia o material | Densidad aproximada |
|---|---|
| Aire | 1,2 kg·m⁻³ |
| Etanol | 0,79 g·mL⁻¹ |
| Aceite vegetal | 0,90–0,92 g·mL⁻¹ |
| Agua | 1,00 g·mL⁻¹ |
| Aluminio | 2,70 g·cm⁻³ |
| Hierro | 7,87 g·cm⁻³ |
| Cobre | 8,96 g·cm⁻³ |
Identificar un material significa comprobar si el valor experimental es compatible con uno de referencia. Una pequeña diferencia puede deberse al redondeo; una diferencia grande exige revisar el procedimiento o considerar otro material.
Cómo medir densidad en el laboratorio
Sólido regular
- Mide la masa con una balanza.
- Mide sus dimensiones.
- Calcula el volumen geométrico.
- Aplica \(\rho=\dfrac{m}{V}\).
Sólido irregular
- Mide la masa.
- Anota el volumen inicial.
- Sumerge completamente el objeto.
- Resta volumen final menos inicial.
- Calcula la densidad.
Líquido
- Mide la masa del recipiente vacío.
- Añade un volumen conocido de líquido.
- Mide la masa del conjunto.
- Resta la masa del recipiente.
- Divide la masa del líquido entre su volumen.
Calidad de la medida Lee la probeta a la altura de los ojos, evita burbujas, seca el exterior del objeto y repite la medida cuando sea posible.
Gráfica masa–volumen: la densidad como pendiente
Una tabla de medidas no termina en la calculadora. Si representamos la masa en el eje vertical y el volumen en el horizontal, un material homogéneo produce una recta cuya pendiente es la densidad.
| Volumen V (cm³) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Masa m (g) | 0 | 27 | 54 | 81 | 108 |
Cómo leerla. Con los mismos ejes, unidades y escalas, una recta más inclinada representa mayor densidad. Para comparar gráficos distintos, calcula las pendientes en unidades coherentes. Un punto separado del resto pide revisar la medida; no debe borrarse sin repetir el experimento y justificar la decisión.
40 modelos resueltos: del cálculo a la investigación
Los 40 modelos avanzan desde el cálculo directo y los cambios de unidades hasta la lectura de gráficas, la medida experimental y los problemas integrados. Selecciona el nivel que corresponda a tu programación.
Densidad directa de un sólido
Enunciado Una pieza tiene una masa de 180 g y ocupa 60 cm³. Calcula su densidad.
Datos\(m=180\,\mathrm{g}\), \(V=60\,\mathrm{cm^3}\).
ModeloLa incógnita es la densidad, por tanto usamos \(\rho=\dfrac{m}{V}\).
Sustitución\(\rho=\dfrac{180\,\mathrm{g}}{60\,\mathrm{cm^3}}\)
Cálculo\(\rho=3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión La unidad final es masa por unidad de volumen. Además, 3 · 60 = 180, por lo que la comprobación inversa recupera la masa inicial.
Densidad de un líquido
Enunciado Una muestra de aceite tiene una masa de 273 g y un volumen de 300 mL. Calcula su densidad.
Datos\(m=273\,\mathrm{g}\), \(V=300\,\mathrm{mL}\).
Modelo\(\rho=\dfrac{m}{V}\)
Cálculo\(\rho=\dfrac{273\,\mathrm{g}}{300\,\mathrm{mL}}=0{,}91\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=0{,}91\,\mathrm{g\,mL^{-1}}}\)
Revisión El valor es menor que el del agua, lo que resulta compatible con el comportamiento habitual de muchos aceites.
Calcular la masa
Enunciado El aluminio tiene una densidad aproximada de 2,70 g·cm⁻³. ¿Qué masa tiene una pieza de 40 cm³?
Datos\(\rho=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\), \(V=40\,\mathrm{cm^3}\).
Despeje\(m=\rho\cdot V\)
Cálculo\(m=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\cdot40\,\mathrm{cm^3}=108\,\mathrm{g}\)
Resultado \(\boxed{m=108\,\mathrm{g}}\)
Revisión Las unidades cm³ se simplifican y queda una unidad de masa.
Calcular el volumen
Enunciado Una muestra de cobre tiene una masa de 448 g. Si su densidad es 8,96 g·cm⁻³, calcula su volumen.
Datos\(m=448\,\mathrm{g}\), \(\rho=8{,}96\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
Despeje\(V=\dfrac{m}{\rho}\)
Cálculo\(V=\dfrac{448\,\mathrm{g}}{8{,}96\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}=50\,\mathrm{cm^3}\)
Resultado \(\boxed{V=50\,\mathrm{cm^3}}\)
Al dividir una masa entre una densidad, queda una unidad de volumen:
\[\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g\,cm^{-3}}}=\mathrm{cm^3}\]Conversión de g·cm⁻³ a kg·m⁻³
Enunciado Convierte 2,7 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Equivalencias\(1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg}\) y \(1\,\mathrm{cm^3}=10^{-6}\,\mathrm{m^3}\).
Factor de conversión\(1\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=\dfrac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}}=10^3\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\)
Cálculo\(2{,}7\cdot10^3=2700\)
Resultado \(\boxed{2{,}7\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=2700\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}\)
Al convertir, el numerador pasa de gramos a kilogramos con un factor 10⁻³ y el denominador de centímetros cúbicos a metros cúbicos con un factor 10⁻⁶. El cociente aporta el factor 1000.
Conversión de kg·m⁻³ a g·cm⁻³
Enunciado Convierte 7870 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Equivalencia\(1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}=1\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Cálculo\(7870\div1000=7{,}87\)
Resultado \(\boxed{7870\,\mathrm{kg\,m^{-3}}=7{,}87\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión El resultado coincide con el orden de magnitud de la densidad del hierro.
Equivalencia entre g·mL⁻¹ y kg·L⁻¹
Enunciado Convierte 1,25 g·mL⁻¹ a kg·L⁻¹.
Equivalencias\(1000\,\mathrm{mL}=1\,\mathrm{L}\) y \(1000\,\mathrm{g}=1\,\mathrm{kg}\).
Interpretación1,25 g por cada mL equivalen a 1250 g por cada litro.
Conversión\(1250\,\mathrm{g\,L^{-1}}=1{,}25\,\mathrm{kg\,L^{-1}}\)
Resultado \(\boxed{1{,}25\,\mathrm{g\,mL^{-1}}=1{,}25\,\mathrm{kg\,L^{-1}}}\)
Revisión En estas dos unidades el valor numérico se conserva.
Equivalencia entre kg·L⁻¹ y g·mL⁻¹
Enunciado Convierte 0,84 kg·L⁻¹ a g·mL⁻¹.
Idea clave\(1\,\mathrm{kg\,L^{-1}}=1\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\).
ConversiónEl valor numérico no cambia.
Resultado \(\boxed{0{,}84\,\mathrm{kg\,L^{-1}}=0{,}84\,\mathrm{g\,mL^{-1}}}\)
Revisión La masa y el volumen cambian ambos por el mismo factor 1000.
Prisma rectangular
Enunciado Un bloque mide 5 cm × 4 cm × 3 cm y tiene una masa de 162 g. Calcula su densidad.
Volumen\(V=5\cdot4\cdot3=60\,\mathrm{cm^3}\)
Modelo\(\rho=\dfrac{m}{V}\)
Cálculo\(\rho=\dfrac{162\,\mathrm{g}}{60\,\mathrm{cm^3}}=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión El volumen queda en cm³ porque las tres dimensiones estaban expresadas en centímetros.
Cubo de lado conocido
Enunciado Un cubo de lado 4 cm tiene una masa de 128 g. Calcula su densidad.
Volumen\(V=a^3=4^3=64\,\mathrm{cm^3}\)
Cálculo\(\rho=\dfrac{128\,\mathrm{g}}{64\,\mathrm{cm^3}}=2\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión No debe usarse 4². El volumen de un cubo depende de tres dimensiones.
Cilindro
Enunciado Un cilindro de radio 2 cm y altura 5 cm tiene una masa de 169,56 g. Usa π = 3,14 y calcula su densidad.
Volumen\(V=\pi r^2h=3{,}14\cdot2^2\cdot5=62{,}8\,\mathrm{cm^3}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{169{,}56\,\mathrm{g}}{62{,}8\,\mathrm{cm^3}}=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión El radio se eleva al cuadrado. La altura no se eleva.
Densidad trabajando completamente en SI
Enunciado Un bloque mide 0,20 m × 0,10 m × 0,05 m y tiene una masa de 2,7 kg. Calcula su densidad en kg·m⁻³.
Volumen\(V=0{,}20\cdot0{,}10\cdot0{,}05=0{,}001\,\mathrm{m^3}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{2{,}7\,\mathrm{kg}}{0{,}001\,\mathrm{m^3}}=2700\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2700\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}\)
Revisión Trabajar completamente en el Sistema Internacional evita mezclar metros con centímetros.
Objeto irregular mediante desplazamiento de agua
Enunciado Una probeta contiene 35 mL de agua. Al introducir una piedra, el nivel sube a 47 mL. La piedra tiene una masa de 30 g. Calcula su densidad.
La medida se realiza con inmersión completa, sin disolución, absorción de agua ni burbujas retenidas.
Volumen desplazado\(V=47-35=12\,\mathrm{mL}=12\,\mathrm{cm^3}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{30\,\mathrm{g}}{12\,\mathrm{cm^3}}=2{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión El volumen del objeto es el aumento del nivel, no la lectura final de 47 mL.
Probeta con lecturas decimales
Enunciado El agua pasa de 22,5 mL a 29,0 mL al introducir una pieza de 52 g. Calcula la densidad.
La medida se realiza con inmersión completa, sin disolución, absorción de agua ni burbujas retenidas.
Volumen\(V=29{,}0-22{,}5=6{,}5\,\mathrm{mL}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{52\,\mathrm{g}}{6{,}5\,\mathrm{mL}}=8\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión Como 1 mL = 1 cm³, ambas unidades expresan el mismo valor numérico para esta medida.
Identificar un material por comparación
Enunciado Una pieza tiene 178 g de masa y 20 cm³ de volumen. Compárala con aluminio 2,70 g·cm⁻³, hierro 7,87 g·cm⁻³ y cobre 8,96 g·cm⁻³.
Densidad experimental\(\rho=\dfrac{178\,\mathrm{g}}{20\,\mathrm{cm^3}}=8{,}9\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Comparación8,9 está muy cerca de 8,96 y lejos de 2,70 y 7,87.
ConclusiónEl valor más próximo de la tabla es el del cobre.
El valor de referencia más próximo es el del cobre. La comparación orienta hacia ese material, pero no lo identifica con certeza: habría que considerar las condiciones y la incertidumbre de las medidas.
Mismo volumen y distinta masa
Cada uno de dos cubos ocupa 25 cm³. El cubo A tiene 50 g de masa y el B tiene 175 g. ¿Cuál es más denso?
Cubo A\(\rho_A=\dfrac{50}{25}=2\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Cubo B\(\rho_B=\dfrac{175}{25}=7\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Comparación\(7>2\)
Resultado El cubo B es más denso.
Revisión Con el mismo volumen, el objeto de mayor masa tiene mayor densidad.
Misma masa y distinto volumen
Enunciado Dos objetos tienen una masa de 120 g. El primero ocupa 40 cm³ y el segundo 80 cm³. Compara sus densidades.
Objeto 1\(\rho_1=\dfrac{120}{40}=3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Objeto 2\(\rho_2=\dfrac{120}{80}=1{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
InterpretaciónEl primer objeto concentra la misma masa en la mitad de volumen.
Resultado El objeto 1 es más denso.
Revisión Con la misma masa, el menor volumen corresponde a la mayor densidad.
Predecir si un objeto flota
Enunciado Un material tiene densidad 0,84 g·cm⁻³. Predice qué ocurrirá al colocarlo en agua de densidad aproximada 1,00 g·cm⁻³.
Comparación\(0{,}84<1{,}00\)
CriterioEn el modelo escolar, un cuerpo menos denso que el líquido tiende a flotar.
Resultado Tenderá a flotar.
Revisión La comparación se hace entre densidades, no entre masas aisladas.
Unidades mezcladas
Enunciado Una pieza tiene una masa de 0,72 kg y un volumen de 250 cm³. Calcula su densidad en g·cm⁻³.
Conversión\(0{,}72\,\mathrm{kg}=720\,\mathrm{g}\)
Cálculo\(\rho=\dfrac{720\,\mathrm{g}}{250\,\mathrm{cm^3}}=2{,}88\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=2{,}88\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
La unidad del cociente debe corresponder a las unidades utilizadas. Para expresar el resultado en g·cm⁻³, puedes convertir primero la masa a gramos o convertir al final la densidad obtenida.
Volumen expresado en dm³
Enunciado Un líquido tiene una masa de 3,6 kg y ocupa 4 dm³. Calcula su densidad en kg·L⁻¹.
Equivalencia\(1\,\mathrm{dm^3}=1\,\mathrm{L}\)
Cálculo\(\rho=\dfrac{3{,}6\,\mathrm{kg}}{4\,\mathrm{L}}=0{,}9\,\mathrm{kg\,L^{-1}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=0{,}9\,\mathrm{kg\,L^{-1}}}\)
Revisión La equivalencia exacta entre dm³ y litro evita conversiones innecesarias.
Masa de aire en una habitación
Enunciado El aire de una habitación ocupa 50 m³ y tiene una densidad aproximada de 1,2 kg·m⁻³. Calcula su masa.
Modelo\(m=\rho\cdot V\)
Cálculo\(m=1{,}2\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\cdot50\,\mathrm{m^3}=60\,\mathrm{kg}\)
Resultado \(\boxed{m=60\,\mathrm{kg}}\)
Revisión Aunque el aire sea poco denso, un volumen grande puede contener una masa apreciable.
Masa de líquido en una botella
Enunciado Una botella contiene 750 mL de un líquido de densidad 1,08 g·mL⁻¹. ¿Qué masa de líquido contiene?
Modelo\(m=\rho\cdot V\)
Cálculo\(m=1{,}08\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\cdot750\,\mathrm{mL}=810\,\mathrm{g}\)
Resultado \(\boxed{m=810\,\mathrm{g}}\)
Revisión Las unidades mL se simplifican y queda una masa expresada en gramos.
Restar la masa del recipiente
Enunciado Un frasco vacío tiene una masa de 85 g. Lleno con 200 mL de líquido marca 255 g. Calcula la densidad del líquido.
Masa del líquido\(m=255-85=170\,\mathrm{g}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{170\,\mathrm{g}}{200\,\mathrm{mL}}=0{,}85\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\)
Resultado \(\boxed{\rho=0{,}85\,\mathrm{g\,mL^{-1}}}\)
Usar 255 g incluye la masa del recipiente y no corresponde al volumen medido del líquido. Debe restarse primero la tara.
Densidad media de un objeto hueco
Enunciado Una esfera hueca tiene una masa de 540 g y ocupa exteriormente 300 cm³. Calcula su densidad media.
Modelo\(\rho_{\mathrm{media}}=\dfrac{m_{\mathrm{total}}}{V_{\mathrm{exterior}}}\)
Cálculo\(\rho_{\mathrm{media}}=\dfrac{540}{300}=1{,}8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho_{\mathrm{media}}=1{,}8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión La densidad media de un objeto hueco puede ser menor que la densidad del material de sus paredes.
Detectar una fórmula invertida
Enunciado Un alumno afirma que una pieza de 240 g y 80 cm³ tiene una densidad de 0,33 g·cm⁻³. Revisa el cálculo.
Cálculo correcto\(\rho=\dfrac{240\,\mathrm{g}}{80\,\mathrm{cm^3}}=3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Error probableEl alumno calculó \(V/m\) en lugar de \(m/V\).
Comprobación mental\(3\cdot80=240\)
Resultado \(\boxed{\rho=3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
El cociente invertido \(80/240\) tendría unidades cm³/g, no g/cm³. La comprobación \(3\cdot80=240\) recupera la masa inicial.
Elegir la ecuación adecuada
Enunciado Se conocen ρ = 7,5 g·cm⁻³ y m = 300 g. ¿Qué magnitud falta y qué ecuación se usa?
LecturaSe conocen densidad y masa, por tanto falta el volumen.
Despeje\(V=\dfrac{m}{\rho}\)
Cálculo\(V=\dfrac{300\,\mathrm{g}}{7{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}=40\,\mathrm{cm^3}\)
Resultado \(\boxed{V=40\,\mathrm{cm^3}}\)
Revisión La elección de fórmula debe hacerse antes de sustituir números.
Arista de un cubo a partir de masa y densidad
Enunciado Un cubo tiene una masa de 216 g y una densidad de 1 g·cm⁻³. Calcula la longitud de su arista.
Volumen\(V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{216}{1}=216\,\mathrm{cm^3}\)
Cubo\(V=a^3\Rightarrow a=\sqrt[3]{216}\)
Cálculo\(a=6\,\mathrm{cm}\)
Resultado \(\boxed{a=6\,\mathrm{cm}}\)
Revisión La comprobación 6³ = 216 reconstruye el volumen obtenido.
Masa de un cilindro
Enunciado Un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm está hecho de un material de densidad 2 g·cm⁻³. Usa π = 3,14 y calcula su masa.
Volumen\(V=3{,}14\cdot3^2\cdot10=282{,}6\,\mathrm{cm^3}\)
Masa\(m=\rho\cdot V=2\cdot282{,}6=565{,}2\,\mathrm{g}\)
Resultado \(\boxed{m=565{,}2\,\mathrm{g}}\)
Revisión La unidad cm³ se simplifica al multiplicar por g·cm⁻³.
Depósito rectangular con agua
Enunciado Un depósito interior mide 80 cm × 50 cm × 40 cm y se llena con agua. Calcula el volumen en litros y la masa aproximada del agua.
Volumen\(V=80\cdot50\cdot40=160000\,\mathrm{cm^3}\)
Conversión\(160000\,\mathrm{cm^3}=160\,\mathrm{L}\)
Masa del agua\(m\approx1\,\mathrm{kg\,L^{-1}}\cdot160\,\mathrm{L}=160\,\mathrm{kg}\)
Resultado \(\boxed{V=160\,\mathrm{L}\quad\text{y}\quad m\approx160\,\mathrm{kg}}\)
Revisión Para el agua, el valor en litros coincide aproximadamente con la masa en kilogramos.
Comparación entre agua dulce y agua salada
Enunciado Un objeto tiene densidad 1,02 g·cm⁻³. ¿Se comportará igual en agua dulce de 1,00 g·cm⁻³ que en una disolución salina de 1,10 g·cm⁻³?
Agua dulce\(1{,}02>1{,}00\Rightarrow\text{ tiende a hundirse}\)
Disolución salina\(1{,}02<1{,}10\Rightarrow\text{ tiende a flotar}\)
Resultado Se hunde en agua dulce y flota en la disolución salina.
Revisión El comportamiento depende de comparar la densidad del objeto con la del líquido.
Comprobar si una pieza puede ser de aluminio
Enunciado Una pieza de masa 96 g hace subir el agua de 50 mL a 62 mL. Calcula su densidad y decide si podría ser de aluminio puro.
La medida se realiza con inmersión completa, sin disolución, absorción de agua ni burbujas retenidas.
Volumen\(V=62-50=12\,\mathrm{cm^3}\)
Densidad\(\rho=\dfrac{96\,\mathrm{g}}{12\,\mathrm{cm^3}}=8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Comparación\(8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\not\approx2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado No es compatible con aluminio puro.
Revisión Una diferencia tan grande no puede atribuirse únicamente al redondeo de la probeta.
Promedio de varias medidas
Enunciado Tres medidas de la masa de una muestra son 49,8 g, 50,1 g y 50,0 g. Su volumen es 20,0 cm³. Estima la densidad usando la masa media.
Masa media\(\overline m=(49{,}8+50{,}1+50{,}0)/3\approx49{,}9667\,\mathrm g\)
Densidad\(\rho=\dfrac{(49{,}8+50{,}1+50{,}0)/3}{20{,}0}\approx2{,}49833\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Redondeo\(\rho\approx2{,}50\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\)
Resultado \(\boxed{\rho\approx2{,}50\,\mathrm{g\,cm^{-3}}}\)
Revisión Repetir medidas y promediar reduce el efecto de pequeñas variaciones aleatorias.
La pendiente de una gráfica masa–volumen
Enunciado. Para un mismo material se han medido los pares (20 cm³, 54 g), (40 cm³, 108 g) y (60 cm³, 162 g). Calcula la densidad a partir de la pendiente y predice la masa de 75 cm³.
Lectura. En una gráfica con el volumen en el eje horizontal y la masa en el vertical, la pendiente es \(\Delta m/\Delta V\).
Cálculo. \(\rho=(162-54)/(60-20)=108/40=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\). Después, \(m=\rho V=2{,}70\cdot75=202{,}5\,\mathrm{g}\).
Control. Los tres cocientes \(m/V\) valen 2,70; los datos son compatibles con un material homogéneo.
Comparar dos materiales por sus rectas
Enunciado. La recta de A cumple \(m=2{,}7V\) y la de B, \(m=7{,}8V\), con m en gramos y V en cm³. Decide qué material es más denso y calcula la masa de 30 cm³ de cada uno.
Interpretación. El coeficiente de V es la pendiente y, por tanto, la densidad. B es más denso porque 7,8 > 2,7.
Predicción. \(m_A=2{,}7\cdot30=81\,\mathrm{g}\) y \(m_B=7{,}8\cdot30=234\,\mathrm{g}\).
Control. A igual volumen, el material de mayor densidad debe tener mayor masa.
Detectar un dato anómalo antes de promediar
Enunciado. Una pieza de 54,0 g da cuatro medidas de volumen: 19,9; 20,1; 25,8 y 20,0 cm³. Señala el dato que debe repetirse y estima la densidad con las medidas coherentes.
Decisión. 25,8 cm³ se aparta claramente del grupo y no debe mezclarse sin más con las otras lecturas. Primero se repetiría esa medida.
Estimación. \(\bar V=(19{,}9+20{,}1+20{,}0)/3=20{,}0\,\mathrm{cm^3}\). Así, \(\rho=54{,}0/20{,}0=2{,}70\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
Criterio. Un dato no se elimina porque incomode: se identifica, se justifica y se vuelve a medir.
Volumen de un objeto que flota usando un lastre
Enunciado. Una pieza de 12 g flota en agua. La probeta marca 45 mL; con el lastre solo completamente sumergido, 52 mL; y con el mismo lastre y la pieza totalmente sumergidos, sin burbujas, 67 mL. Calcula el volumen y la densidad de la pieza. Toma la densidad del agua como aproximadamente 1,00 g·cm⁻³.
Corrección del lastre. El volumen de la pieza es la diferencia entre las dos lecturas que contienen el mismo lastre: \(V=67-52=15\,\mathrm{cm^3}\).
Densidad. \(\rho=12/15=0{,}80\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
Control. El valor menor que 1 g·cm⁻³ es coherente con que la pieza flotara en agua.
Densidad media de una pieza compuesta
Enunciado. Una pieza está formada por 30 cm³ de aluminio (2,70 g·cm⁻³) y 20 cm³ de hierro (7,80 g·cm⁻³). Supón que los volúmenes se suman. Calcula su densidad media.
Masas parciales. \(m_1=2{,}70\cdot30=81\,\mathrm{g}\) y \(m_2=7{,}80\cdot20=156\,\mathrm{g}\).
Conjunto. \(m_T=237\,\mathrm{g}\), \(V_T=50\,\mathrm{cm^3}\) y \(\rho_{media}=237/50=4{,}74\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
Control. La densidad media queda entre las dos densidades de partida.
Calibrar un frasco con agua
Enunciado. Un frasco vacío tiene una masa de 82 g. Lleno hasta una marca con agua tiene 332 g; lleno hasta la misma marca con otro líquido, 302 g. Toma \(\rho_{agua}=1{,}00\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\) y calcula la densidad del líquido.
Calibración. La masa de agua es \(332-82=250\,\mathrm{g}\); por tanto, el volumen hasta la marca es 250 mL.
Líquido. Su masa es \(302-82=220\,\mathrm{g}\) y \(\rho=220/250=0{,}88\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\).
Control. Se resta el mismo recipiente en las dos medidas; nunca se usa la masa total como masa del líquido.
Densidad de una esfera a partir del diámetro
Enunciado. Una esfera maciza tiene 4,0 cm de diámetro y una masa de 268 g. Usa \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) y \(\pi=3{,}14\). Calcula su densidad.
Geometría. El radio es 2,0 cm, no 4,0 cm.
Densidad. Conservamos el valor del volumen sin redondearlo en la calculadora.
El radio se eleva al cubo; el valor calculado de la densidad se redondea a dos decimales.
Cómo cambia la masa al ampliar un cuerpo
Enunciado. Un cubo de 2 cm de arista, hecho de un material de 2,70 g·cm⁻³, tiene 21,6 g de masa. ¿Qué masa tendrá otro cubo del mismo material cuya arista sea 6 cm?
Escala. La arista se multiplica por 3, de modo que el volumen se multiplica por \(3^3=27\).
Cálculo. El nuevo volumen es \(6^3=216\,\mathrm{cm^3}\) y \(m=2{,}70\cdot216=583{,}2\,\mathrm{g}\).
Control. \(21{,}6\cdot27=583{,}2\); los dos caminos coinciden.
120 ejercicios para clase: técnica, aplicación y transferencia
Los 120 ejercicios se organizan por técnica y dificultad. Intenta primero la resolución y contrasta después el procedimiento en el solucionario.
A. Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 120 g y un volumen de 40 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 225 g y un volumen de 75 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 84 g y un volumen de 35 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 390 g y un volumen de 150 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 96 g y un volumen de 32 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 455 g y un volumen de 50 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 72 g y un volumen de 90 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 615 g y un volumen de 250 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 144 g y un volumen de 60 cm³. Calcula su densidad.
Una muestra tiene una masa de 52,5 g y un volumen de 25 cm³. Calcula su densidad.
B. Calcular la masa
La densidad es 2,7 g·cm⁻³ y el volumen 25 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 7,8 g·cm⁻³ y el volumen 40 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 0,8 g·cm⁻³ y el volumen 250 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 1,05 g·cm⁻³ y el volumen 600 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 8,9 g·cm⁻³ y el volumen 15 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 2,4 g·cm⁻³ y el volumen 75 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 0,92 g·cm⁻³ y el volumen 500 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 1,2 g·cm⁻³ y el volumen 80 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 4,5 g·cm⁻³ y el volumen 36 cm³. Calcula la masa.
La densidad es 3,25 g·cm⁻³ y el volumen 20 cm³. Calcula la masa.
C. Calcular el volumen
La masa es 270 g y la densidad 2,7 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 780 g y la densidad 7,8 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 160 g y la densidad 0,8 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 525 g y la densidad 1,05 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 178 g y la densidad 8,9 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 360 g y la densidad 2,4 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 460 g y la densidad 0,92 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 96 g y la densidad 1,2 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 162 g y la densidad 4,5 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
La masa es 65 g y la densidad 3,25 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
D. Unidades y conversiones
Convierte 0,75 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Convierte 3,4 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Convierte 8,96 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Convierte 1250 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Convierte 2700 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Convierte 500 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Convierte 1,18 g·mL⁻¹ a kg·L⁻¹.
Convierte 0,84 kg·L⁻¹ a g·mL⁻¹.
Convierte 2,5 L a cm³.
Convierte 0,004 m³ a litros.
E. Volúmenes geométricos
Un bloque de 6 cm × 5 cm × 2 cm tiene una masa de 150 g. Calcula su densidad.
Un cubo de lado 5 cm tiene una masa de 250 g. Calcula su densidad.
Un prisma de 10 cm × 4 cm × 3 cm tiene densidad 1,5 g·cm⁻³. Calcula su masa.
Un cubo de lado 3 cm tiene densidad 8 g·cm⁻³. Calcula su masa.
Un cilindro de radio 2 cm y altura 10 cm tiene masa 251,2 g. Usa π = 3,14 y calcula su densidad.
Un cilindro de radio 1 cm y altura 20 cm tiene densidad 2,5 g·cm⁻³. Usa π = 3,14 y calcula su masa.
Un bloque mide 0,5 m × 0,2 m × 0,1 m y tiene masa 27 kg. Calcula su densidad.
Un depósito tiene dimensiones interiores de 60 cm × 40 cm × 30 cm. Calcula su capacidad en litros.
Un cubo ocupa 125 cm³. Calcula su arista.
Un prisma de 8 cm × 5 cm × 2 cm está hecho de un material de 7,5 g·cm⁻³. Calcula su masa.
F. Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 20 mL a 32 mL al introducir un objeto de 36 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 45 mL a 60 mL al introducir un objeto de 75 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 12,5 mL a 18,5 mL al introducir un objeto de 24 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 80 mL a 95 mL al introducir un objeto de 120 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 30 mL a 42 mL al introducir un objeto de 54 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 100 mL a 112,5 mL al introducir un objeto de 50 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 5 mL a 13 mL al introducir un objeto de 64 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 22 mL a 30 mL al introducir un objeto de 40 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 65 mL a 71 mL al introducir un objeto de 48 g. Calcula su densidad.
El agua pasa de 40,5 mL a 52,5 mL al introducir un objeto de 84 g. Calcula su densidad.
G. Líquidos y recipientes
Un recipiente vacío tiene una masa de 120 g y lleno con 250 mL de líquido marca 345 g. Calcula la densidad del líquido.
Una botella contiene 600 mL de un líquido de densidad 1,05 g·mL⁻¹. Calcula la masa del líquido.
Un líquido de densidad 0,80 kg·L⁻¹ ocupa 3 L. Calcula su masa.
Un frasco vacío tiene una masa de 90 g y, con 300 mL de líquido, su masa es 360 g. Calcula la densidad del líquido.
Una probeta contiene 125 mL de un líquido de densidad 1,20 g·mL⁻¹. Calcula su masa.
Un líquido de 420 g tiene densidad 0,84 g·mL⁻¹. Calcula su volumen.
Un depósito contiene 75 L de un líquido de densidad 1,04 kg·L⁻¹. Calcula la masa.
Una botella de 1,5 L contiene aceite de densidad 0,92 kg·L⁻¹. Calcula la masa.
La masa de un recipiente es 720 g cuando está lleno y 120 g cuando está vacío. Contiene 500 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
Un líquido de densidad 1,18 g·mL⁻¹ tiene una masa de 295 g. Calcula su volumen.
H. Interpretación y razonamiento
Dos objetos tienen el mismo volumen. A tiene el doble de masa que B. Compara sus densidades.
Dos objetos tienen la misma masa. A ocupa el doble de volumen que B. Compara sus densidades.
Un objeto de 0,95 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento.
Un objeto de 1,20 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento.
¿Por qué una bola hueca de acero puede flotar aunque el acero sea más denso que el agua?
Un alumno usa cm² como unidad de volumen. Explica el error.
¿Qué magnitud mide una balanza?
¿Qué magnitud es el peso?
¿Por qué conviene leer una probeta a la altura de los ojos?
Una densidad calculada resulta negativa. ¿Es físicamente aceptable en estos ejercicios?
I. Problemas mixtos
Una pieza de 0,54 kg ocupa 200 cm³. Calcula su densidad en g·cm⁻³.
Una muestra de 1,6 kg tiene densidad 800 kg·m⁻³. Calcula su volumen en m³ y litros.
Un material de 5 g·cm⁻³ ocupa 0,2 dm³. Calcula su masa.
Una pieza de 96 g hace subir la probeta de 18 mL a 30 mL. ¿Es compatible con un material de 8 g·cm⁻³?
Una habitación contiene 36 kg de aire con densidad 1,2 kg·m⁻³. Calcula el volumen.
Un cubo de lado 10 cm tiene masa 7,8 kg. Calcula la densidad en g·cm⁻³.
Una barra mide 20 cm × 2 cm × 1 cm y su densidad es 8,9 g·cm⁻³. Calcula la masa.
Un objeto de 300 g tiene densidad 2,5 g·cm⁻³. Al introducirlo en una probeta con 100 mL, ¿qué lectura final se espera si queda totalmente sumergido?
Un bloque de 2,7 kg ocupa 1 dm³. Expresa su densidad en kg·L⁻¹, g·cm⁻³ y kg·m⁻³.
Un objeto de 1,02 g·cm⁻³ se coloca en agua dulce y en agua salada de 1,10 g·cm⁻³. Describe el comportamiento.
J. Medida experimental y revisión
Tres masas medidas son 49,8 g, 50,1 g y 50,0 g. Calcula la masa media.
Una probeta marca 25,0 mL y después 31,5 mL. ¿Qué volumen tiene el objeto?
Una medida de densidad da 2,68 g·cm⁻³ y otra 2,72 g·cm⁻³. ¿Son coherentes entre sí?
Una pieza tiene densidad medida 8,9 g·cm⁻³. ¿Con qué material de la tabla es más compatible?
Una pieza tiene densidad 2,6 g·cm⁻³. ¿Puede afirmarse con certeza que es aluminio?
Explica dos precauciones al medir el volumen por desplazamiento.
¿Por qué conviene secar el exterior del objeto antes de pesarlo?
¿Qué mejora aporta repetir una medida tres veces?
¿Qué debe hacerse si el objeto flota y no puede sumergirse por sí solo?
¿Por qué no conviene redondear en cada paso intermedio?
K. Gráficas y datos experimentales
Una muestra homogénea da los pares (V, m): (10 cm³, 27 g), (25 cm³, 67,5 g) y (40 cm³, 108 g). Calcula la pendiente de la gráfica m frente a V e interprétala.
Explica por qué la gráfica ideal de masa frente a volumen de un material homogéneo pasa por el origen y es una recta.
Dos rectas masa–volumen tienen pendientes 0,92 g·cm⁻³ y 7,87 g·cm⁻³. ¿Cuál corresponde al material más denso? ¿Qué masa tiene 50 cm³ de cada material?
En una gráfica masa–volumen, 30 cm³ corresponden a 81 g. Si la relación es lineal y pasa por el origen, predice la masa de 55 cm³.
Una tabla de un mismo material contiene (15 cm³, 40,5 g), (25 cm³, 67,5 g) y (?, 108 g). Completa el volumen que falta.
Se miden tres muestras: (20 cm³, 54 g), (30 cm³, 81 g) y (40 cm³, 124 g). ¿Son compatibles con un único material homogéneo? Justifica con los cocientes m/V.
Para una misma pieza se obtienen volúmenes de 12,0; 12,1; 18,4 y 11,9 cm³. ¿Qué lectura investigarías primero y qué harías antes de descartarla?
Una pieza de 78,0 g desplaza 10,0; 9,8 y 10,2 mL en tres ensayos. Calcula el volumen medio y la densidad.
Una práctica da \(\rho=(2{,}68\pm0{,}05)\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\). Decide si es compatible con aluminio de referencia 2,70 g·cm⁻³ y explica qué no permite concluir.
Diseña un procedimiento para decidir si cinco piezas de distinto tamaño están hechas del mismo material. Indica magnitudes, gráfica y criterio de decisión.
L. Problemas integrados de aula
La probeta marca 30 mL. Con un lastre marca 36 mL y con el mismo lastre más un objeto flotante totalmente sumergido marca 51 mL. Si el objeto tiene 10,5 g, calcula su densidad.
Una pieza reúne 40 cm³ de un material de 2,5 g·cm⁻³ y 10 cm³ de otro de 8,0 g·cm⁻³. Supón volúmenes aditivos. Calcula la masa total y la densidad media.
Un frasco vacío tiene 65 g y, lleno hasta una marca con agua, 265 g. Con otro líquido hasta la misma marca tiene 225 g. Calcula el volumen de la marca y la densidad del líquido. Toma \(\rho_{\mathrm{agua}}\approx1{,}00\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\).
Una esfera de radio 1,5 cm tiene una masa de 113,0 g. Usa \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) y \(\pi=3{,}14\). Calcula su densidad.
Una caja cerrada tiene 1,8 kg de masa y un volumen exterior de 3,0 L. Calcula su densidad media en kg·L⁻¹ y predice su comportamiento inicial en agua.
Dos cubos macizos y homogéneos son del mismo material y están en las mismas condiciones. La arista del segundo es el doble que la del primero, cuya masa es 45 g. Sin conocer la densidad, calcula la masa del segundo y justifica.
Una pieza tiene densidad 1,08 g·cm⁻³. Se introduce primero en agua dulce y después en una disolución salina de 1,15 g·cm⁻³. Describe y justifica qué ocurre en cada caso.
Se mezclan 200 mL de un líquido de 0,80 g·mL⁻¹ y 300 mL de otro de 1,20 g·mL⁻¹. Suponiendo que los volúmenes se suman, calcula la densidad de la mezcla.
Un recipiente estanco tiene volumen exterior 12 L y masa 3 kg. En el modelo de densidad media, ¿qué masa de carga puede llevar para que la densidad del conjunto no supere 1,00 kg·L⁻¹?
Una pieza de 81,0 g hace subir el agua de 50,0 a 80,0 mL. La tabla ofrece aluminio 2,70 g·cm⁻³, hierro 7,87 y cobre 8,96. Calcula, compara y redacta una conclusión prudente.
Solucionario razonado de los 120 ejercicios
Cada respuesta conserva el código del cuaderno. Los ejercicios mecánicos muestran la relación esencial; los problemas de datos y transferencia explican la decisión completa.
A. Cálculo directo de densidad
P1 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 120 g y un volumen de 40 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=3\cdot40\,\mathrm{g}=120\,\mathrm{g}\).
P2 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 225 g y un volumen de 75 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=3\cdot75\,\mathrm{g}=225\,\mathrm{g}\).
P3 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 84 g y un volumen de 35 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=2{,}4\cdot35\,\mathrm{g}=84\,\mathrm{g}\).
P4 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 390 g y un volumen de 150 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=2{,}6\cdot150\,\mathrm{g}=390\,\mathrm{g}\).
P5 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 96 g y un volumen de 32 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=3\cdot32\,\mathrm{g}=96\,\mathrm{g}\).
P6 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 455 g y un volumen de 50 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=9{,}1\cdot50\,\mathrm{g}=455\,\mathrm{g}\).
P7 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 72 g y un volumen de 90 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=0{,}8\cdot90\,\mathrm{g}=72\,\mathrm{g}\).
P8 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 615 g y un volumen de 250 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=2{,}46\cdot250\,\mathrm{g}=615\,\mathrm{g}\).
P9 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 144 g y un volumen de 60 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=2{,}4\cdot60\,\mathrm{g}=144\,\mathrm{g}\).
P10 · Cálculo directo de densidad
Una muestra tiene una masa de 52,5 g y un volumen de 25 cm³. Calcula su densidad.
Comprobación: \(\rho V=2{,}1\cdot25\,\mathrm{g}=52{,}5\,\mathrm{g}\).
B. Calcular la masa
P11 · Calcular la masa
La densidad es 2,7 g·cm⁻³ y el volumen 25 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{67{,}5}{2{,}7}\,\mathrm{cm^3}=25\,\mathrm{cm^3}\).
P12 · Calcular la masa
La densidad es 7,8 g·cm⁻³ y el volumen 40 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{312}{7{,}8}\,\mathrm{cm^3}=40\,\mathrm{cm^3}\).
P13 · Calcular la masa
La densidad es 0,8 g·cm⁻³ y el volumen 250 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{200}{0{,}8}\,\mathrm{cm^3}=250\,\mathrm{cm^3}\).
P14 · Calcular la masa
La densidad es 1,05 g·cm⁻³ y el volumen 600 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{630}{1{,}05}\,\mathrm{cm^3}=600\,\mathrm{cm^3}\).
P15 · Calcular la masa
La densidad es 8,9 g·cm⁻³ y el volumen 15 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{133{,}5}{8{,}9}\,\mathrm{cm^3}=15\,\mathrm{cm^3}\).
P16 · Calcular la masa
La densidad es 2,4 g·cm⁻³ y el volumen 75 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{180}{2{,}4}\,\mathrm{cm^3}=75\,\mathrm{cm^3}\).
P17 · Calcular la masa
La densidad es 0,92 g·cm⁻³ y el volumen 500 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{460}{0{,}92}\,\mathrm{cm^3}=500\,\mathrm{cm^3}\).
P18 · Calcular la masa
La densidad es 1,2 g·cm⁻³ y el volumen 80 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{96}{1{,}2}\,\mathrm{cm^3}=80\,\mathrm{cm^3}\).
P19 · Calcular la masa
La densidad es 4,5 g·cm⁻³ y el volumen 36 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{162}{4{,}5}\,\mathrm{cm^3}=36\,\mathrm{cm^3}\).
P20 · Calcular la masa
La densidad es 3,25 g·cm⁻³ y el volumen 20 cm³. Calcula la masa.
Comprobación: \(\frac{m}{\rho}=\frac{65}{3{,}25}\,\mathrm{cm^3}=20\,\mathrm{cm^3}\).
C. Calcular el volumen
P21 · Calcular el volumen
La masa es 270 g y la densidad 2,7 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=2{,}7\cdot100\,\mathrm{g}=270\,\mathrm{g}\).
P22 · Calcular el volumen
La masa es 780 g y la densidad 7,8 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=7{,}8\cdot100\,\mathrm{g}=780\,\mathrm{g}\).
P23 · Calcular el volumen
La masa es 160 g y la densidad 0,8 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=0{,}8\cdot200\,\mathrm{g}=160\,\mathrm{g}\).
P24 · Calcular el volumen
La masa es 525 g y la densidad 1,05 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=1{,}05\cdot500\,\mathrm{g}=525\,\mathrm{g}\).
P25 · Calcular el volumen
La masa es 178 g y la densidad 8,9 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=8{,}9\cdot20\,\mathrm{g}=178\,\mathrm{g}\).
P26 · Calcular el volumen
La masa es 360 g y la densidad 2,4 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=2{,}4\cdot150\,\mathrm{g}=360\,\mathrm{g}\).
P27 · Calcular el volumen
La masa es 460 g y la densidad 0,92 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=0{,}92\cdot500\,\mathrm{g}=460\,\mathrm{g}\).
P28 · Calcular el volumen
La masa es 96 g y la densidad 1,2 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=1{,}2\cdot80\,\mathrm{g}=96\,\mathrm{g}\).
P29 · Calcular el volumen
La masa es 162 g y la densidad 4,5 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=4{,}5\cdot36\,\mathrm{g}=162\,\mathrm{g}\).
P30 · Calcular el volumen
La masa es 65 g y la densidad 3,25 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
Comprobación: \(\rho V=3{,}25\cdot20\,\mathrm{g}=65\,\mathrm{g}\).
D. Unidades y conversiones
P31 · Unidades y conversiones
Convierte 0,75 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Comprobación: \(750/1000=0{,}75\).
P32 · Unidades y conversiones
Convierte 3,4 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Comprobación: \(3400/1000=3{,}4\).
P33 · Unidades y conversiones
Convierte 8,96 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Comprobación: \(8960/1000=8{,}96\).
P34 · Unidades y conversiones
Convierte 1250 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Comprobación: \(1{,}25\cdot1000=1250\).
P35 · Unidades y conversiones
Convierte 2700 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Comprobación: \(2{,}7\cdot1000=2700\).
P36 · Unidades y conversiones
Convierte 500 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Comprobación: \(0{,}5\cdot1000=500\).
P37 · Unidades y conversiones
Convierte 1,18 g·mL⁻¹ a kg·L⁻¹.
Comprobación: \(1{,}18\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm L}=\frac{1180\,\mathrm g}{1000\,\mathrm{mL}}=1{,}18\,\mathrm{g\,mL^{-1}}\).
P38 · Unidades y conversiones
Convierte 0,84 kg·L⁻¹ a g·mL⁻¹.
Comprobación: \(1000/1000=1\).
P39 · Unidades y conversiones
Convierte 2,5 L a cm³.
Comprobación: \(\frac{2500\,\mathrm{cm^3}}{1000\,\mathrm{cm^3\,L^{-1}}}=2{,}5\,\mathrm{L}\).
P40 · Unidades y conversiones
Convierte 0,004 m³ a litros.
Comprobación: \(\frac{4\,\mathrm{L}}{1000\,\mathrm{L\,m^{-3}}}=0{,}004\,\mathrm{m^3}\).
E. Volúmenes geométricos
P41 · Volúmenes geométricos
Un bloque de 6 cm × 5 cm × 2 cm tiene una masa de 150 g. Calcula su densidad.
Comprobación: \(2{,}5\cdot60\,\mathrm{g}=150\,\mathrm{g}\).
P42 · Volúmenes geométricos
Un cubo de lado 5 cm tiene una masa de 250 g. Calcula su densidad.
Comprobación: \(2\cdot125\,\mathrm{g}=250\,\mathrm{g}\).
P43 · Volúmenes geométricos
Un prisma de 10 cm × 4 cm × 3 cm tiene densidad 1,5 g·cm⁻³. Calcula su masa.
Comprobación: \(\frac{m}{V}=\frac{180}{120}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=1{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
P44 · Volúmenes geométricos
Un cubo de lado 3 cm tiene densidad 8 g·cm⁻³. Calcula su masa.
Comprobación: \(\frac{m}{V}=\frac{216}{27}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=8\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
P45 · Volúmenes geométricos
Un cilindro de radio 2 cm y altura 10 cm tiene masa 251,2 g. Usa π = 3,14 y calcula su densidad.
Comprobación: \(2\cdot125{,}6\,\mathrm{g}=251{,}2\,\mathrm{g}\).
P46 · Volúmenes geométricos
Un cilindro de radio 1 cm y altura 20 cm tiene densidad 2,5 g·cm⁻³. Usa π = 3,14 y calcula su masa.
Comprobación: \(\frac{m}{V}=\frac{157}{62{,}8}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=2{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
P47 · Volúmenes geométricos
Un bloque mide 0,5 m × 0,2 m × 0,1 m y tiene masa 27 kg. Calcula su densidad.
Comprobación: \(2700\cdot0{,}01\,\mathrm{kg}=27\,\mathrm{kg}\).
P48 · Volúmenes geométricos
Un depósito tiene dimensiones interiores de 60 cm × 40 cm × 30 cm. Calcula su capacidad en litros.
Comprobación: \(72\cdot1000\,\mathrm{cm^3}=72000\,\mathrm{cm^3}\).
P49 · Volúmenes geométricos
Un cubo ocupa 125 cm³. Calcula su arista.
Comprobación: \((5\,\mathrm{cm})^3=125\,\mathrm{cm^3}\).
P50 · Volúmenes geométricos
Un prisma de 8 cm × 5 cm × 2 cm está hecho de un material de 7,5 g·cm⁻³. Calcula su masa.
Comprobación: \(\frac{m}{V}=\frac{600}{80}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}=7{,}5\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\).
F. Objetos irregulares y probeta
P51 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 20 mL a 32 mL al introducir un objeto de 36 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(3\cdot12\,\mathrm{g}=36\,\mathrm{g}\).
P52 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 45 mL a 60 mL al introducir un objeto de 75 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(5\cdot15\,\mathrm{g}=75\,\mathrm{g}\).
P53 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 12,5 mL a 18,5 mL al introducir un objeto de 24 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(4\cdot6\,\mathrm{g}=24\,\mathrm{g}\).
P54 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 80 mL a 95 mL al introducir un objeto de 120 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(8\cdot15\,\mathrm{g}=120\,\mathrm{g}\).
P55 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 30 mL a 42 mL al introducir un objeto de 54 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(4{,}5\cdot12\,\mathrm{g}=54\,\mathrm{g}\).
P56 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 100 mL a 112,5 mL al introducir un objeto de 50 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(4\cdot12{,}5\,\mathrm{g}=50\,\mathrm{g}\).
P57 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 5 mL a 13 mL al introducir un objeto de 64 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(8\cdot8\,\mathrm{g}=64\,\mathrm{g}\).
P58 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 22 mL a 30 mL al introducir un objeto de 40 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(5\cdot8\,\mathrm{g}=40\,\mathrm{g}\).
P59 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 65 mL a 71 mL al introducir un objeto de 48 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(8\cdot6\,\mathrm{g}=48\,\mathrm{g}\).
P60 · Objetos irregulares y probeta
El agua pasa de 40,5 mL a 52,5 mL al introducir un objeto de 84 g. Calcula su densidad.
Con el objeto completamente sumergido:
Comprobación: \(7\cdot12\,\mathrm{g}=84\,\mathrm{g}\).
G. Líquidos y recipientes
P61 · Líquidos y recipientes
Un recipiente vacío tiene una masa de 120 g y lleno con 250 mL de líquido marca 345 g. Calcula la densidad del líquido.
La masa del recipiente no forma parte de la masa del líquido. Se recuperan los 225 g al multiplicar 0,90 g/mL por 250 mL.
P62 · Líquidos y recipientes
Una botella contiene 600 mL de un líquido de densidad 1,05 g·mL⁻¹. Calcula la masa del líquido.
La densidad ya corresponde al líquido y el volumen está en mL; no hay que restar ninguna tara.
P63 · Líquidos y recipientes
Un líquido de densidad 0,80 kg·L⁻¹ ocupa 3 L. Calcula su masa.
P64 · Líquidos y recipientes
Un frasco vacío tiene una masa de 90 g y, con 300 mL de líquido, su masa es 360 g. Calcula la densidad del líquido.
P65 · Líquidos y recipientes
Una probeta contiene 125 mL de un líquido de densidad 1,20 g·mL⁻¹. Calcula su masa.
P66 · Líquidos y recipientes
Un líquido de 420 g tiene densidad 0,84 g·mL⁻¹. Calcula su volumen.
Comprobación:0,84·500=420 g.
P67 · Líquidos y recipientes
Un depósito contiene 75 L de un líquido de densidad 1,04 kg·L⁻¹. Calcula la masa.
P68 · Líquidos y recipientes
Una botella de 1,5 L contiene aceite de densidad 0,92 kg·L⁻¹. Calcula la masa.
P69 · Líquidos y recipientes
La masa de un recipiente es 720 g cuando está lleno y 120 g cuando está vacío. Contiene 500 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
P70 · Líquidos y recipientes
Un líquido de densidad 1,18 g·mL⁻¹ tiene una masa de 295 g. Calcula su volumen.
El producto 1,18·250=295 g comprueba el volumen.
H. Interpretación y razonamiento
P71 · Interpretación y razonamiento
Dos objetos tienen el mismo volumen. A tiene el doble de masa que B. Compara sus densidades.
A igual volumen, duplicar la masa duplica la densidad.
P72 · Interpretación y razonamiento
Dos objetos tienen la misma masa. A ocupa el doble de volumen que B. Compara sus densidades.
A igual masa, ocupar el doble de volumen reduce la densidad a la mitad.
P73 · Interpretación y razonamiento
Un objeto de 0,95 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento.
En el modelo de comparación de densidades, tenderá a flotar en agua.
P74 · Interpretación y razonamiento
Un objeto de 1,20 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento.
En el modelo de comparación de densidades, tenderá a hundirse.
P75 · Interpretación y razonamiento
¿Por qué una bola hueca de acero puede flotar aunque el acero sea más denso que el agua?
Importa la densidad media de toda la bola: masa total dividida por volumen exterior. Si está cerrada y conserva aire, esa densidad media puede ser menor que la del agua, aunque el acero macizo sea más denso.
P76 · Interpretación y razonamiento
Un alumno usa cm² como unidad de volumen. Explica el error.
El cm² mide superficie. Un volumen ocupa tres dimensiones y se expresa en cm³, o en otra unidad de volumen equivalente.
P77 · Interpretación y razonamiento
¿Qué magnitud mide una balanza?
Una balanza mide masa, que se expresa en kg o en g. El peso es una fuerza y se expresa en newtons.
P78 · Interpretación y razonamiento
¿Qué magnitud es el peso?
El peso es la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo. Se mide en newtons (N), no en gramos ni kilogramos.
P79 · Interpretación y razonamiento
¿Por qué conviene leer una probeta a la altura de los ojos?
La línea de visión debe quedar a la altura del nivel que se lee. Mirar desde arriba o desde abajo desplaza la posición aparente del menisco y produce error de paralaje.
P80 · Interpretación y razonamiento
Una densidad calculada resulta negativa. ¿Es físicamente aceptable en estos ejercicios?
No. En estos materiales, la masa y el volumen son positivos; su cociente también debe serlo. Revisa el orden de la resta de volúmenes, los datos y la operación.
I. Problemas mixtos
P81 · Problemas mixtos
Una pieza de 0,54 kg ocupa 200 cm³. Calcula su densidad en g·cm⁻³.
P82 · Problemas mixtos
Una muestra de 1,6 kg tiene densidad 800 kg·m⁻³. Calcula su volumen en m³ y litros.
P83 · Problemas mixtos
Un material de 5 g·cm⁻³ ocupa 0,2 dm³. Calcula su masa.
P84 · Problemas mixtos
Una pieza de 96 g hace subir la probeta de 18 mL a 30 mL. ¿Es compatible con un material de 8 g·cm⁻³?
Sí: el valor coincide con el de referencia propuesto. No identifica por sí solo la composición de la pieza.
P85 · Problemas mixtos
Una habitación contiene 36 kg de aire con densidad 1,2 kg·m⁻³. Calcula el volumen.
P86 · Problemas mixtos
Un cubo de lado 10 cm tiene masa 7,8 kg. Calcula la densidad en g·cm⁻³.
P87 · Problemas mixtos
Una barra mide 20 cm × 2 cm × 1 cm y su densidad es 8,9 g·cm⁻³. Calcula la masa.
P88 · Problemas mixtos
Un objeto de 300 g tiene densidad 2,5 g·cm⁻³. Al introducirlo en una probeta con 100 mL, ¿qué lectura final se espera si queda totalmente sumergido?
P89 · Problemas mixtos
Un bloque de 2,7 kg ocupa 1 dm³. Expresa su densidad en kg·L⁻¹, g·cm⁻³ y kg·m⁻³.
P90 · Problemas mixtos
Un objeto de 1,02 g·cm⁻³ se coloca en agua dulce y en agua salada de 1,10 g·cm⁻³. Describe el comportamiento.
Tenderá a hundirse en agua dulce y a flotar en el líquido salado. Se compara siempre con la densidad del líquido concreto.
J. Medida experimental y revisión
P91 · Medida experimental y revisión
Tres masas medidas son 49,8 g, 50,1 g y 50,0 g. Calcula la masa media.
Ese es el redondeo aritmético a centésimas. Si se exige mantener la resolución de 0,1 g de las lecturas, la comunicación final sería 50,0 g.
P92 · Medida experimental y revisión
Una probeta marca 25,0 mL y después 31,5 mL. ¿Qué volumen tiene el objeto?
P93 · Medida experimental y revisión
Una medida de densidad da 2,68 g·cm⁻³ y otra 2,72 g·cm⁻³. ¿Son coherentes entre sí?
Los valores son próximos, pero esa diferencia no basta para asegurar que sean compatibles experimentalmente. Hace falta conocer la resolución o las incertidumbres de las medidas y compararlas con la diferencia.
P94 · Medida experimental y revisión
Una pieza tiene densidad medida 8,9 g·cm⁻³. ¿Con qué material de la tabla es más compatible?
Entre los materiales de la tabla, el valor más próximo es el del cobre, 8,96 g/cm³. La proximidad orienta la identificación, pero no demuestra por sí sola que sea cobre puro.
P95 · Medida experimental y revisión
Una pieza tiene densidad 2,6 g·cm⁻³. ¿Puede afirmarse con certeza que es aluminio?
No. El resultado 2,6 g/cm³ no identifica por sí solo un material. Está próximo a la referencia del aluminio, 2,70 g/cm³, pero para afirmar compatibilidad dentro del error hay que conocer las incertidumbres; aquí no se indican.
P96 · Medida experimental y revisión
Explica dos precauciones al medir el volumen por desplazamiento.
Dos precauciones son leer la probeta a la altura de los ojos y evitar burbujas adheridas. Además, el objeto debe estar completamente sumergido para que el aumento de volumen represente su volumen total.
P97 · Medida experimental y revisión
¿Por qué conviene secar el exterior del objeto antes de pesarlo?
El agua adherida también tiene masa. Si no se seca el exterior, la balanza registra objeto más agua, en lugar de la masa del objeto solo.
P98 · Medida experimental y revisión
¿Qué mejora aporta repetir una medida tres veces?
Repetir permite observar la variación entre lecturas y calcular un promedio menos sensible a fluctuaciones. No elimina por sí solo un error sistemático de la balanza o de la probeta.
P99 · Medida experimental y revisión
¿Qué debe hacerse si el objeto flota y no puede sumergirse por sí solo?
Puede utilizarse un lastre: se mide primero el nivel con el lastre sumergido y después con el mismo lastre y el objeto totalmente sumergidos. La diferencia entre esas dos lecturas corresponde al objeto; así se descuenta el volumen auxiliar.
P100 · Medida experimental y revisión
¿Por qué no conviene redondear en cada paso intermedio?
Cada redondeo introduce una pequeña diferencia. Si se redondea varias veces, esas diferencias pueden acumularse; conserva cifras durante el cálculo y redondea la respuesta final según la precisión pedida.
K. Gráficas y datos experimentales
P101 · Pendiente de una tabla
Una muestra homogénea da los pares (V, m): (10 cm³, 27 g), (25 cm³, 67,5 g) y (40 cm³, 108 g). Calcula la pendiente de la gráfica m frente a V e interprétala.
La pendiente de m frente a V representa la densidad. Los tres cocientes m/V dan 2,70 g/cm³.
P102 · Recta que pasa por el origen
Explica por qué la gráfica ideal de masa frente a volumen de un material homogéneo pasa por el origen y es una recta.
Para el mismo material y condiciones, la densidad es constante. Por eso la masa es proporcional al volumen y la pendiente es ρ. En el modelo ideal, V=0 implica m=0, de modo que la recta pasa por el origen.
P103 · Comparación de pendientes
Dos rectas masa–volumen tienen pendientes 0,92 g·cm⁻³ y 7,87 g·cm⁻³. ¿Cuál corresponde al material más denso? ¿Qué masa tiene 50 cm³ de cada material?
La segunda recta corresponde al material más denso: tiene mayor pendiente.
P104 · Predicción por proporcionalidad
En una gráfica masa–volumen, 30 cm³ corresponden a 81 g. Si la relación es lineal y pasa por el origen, predice la masa de 55 cm³.
P105 · Dato ausente en una serie
Una tabla de un mismo material contiene (15 cm³, 40,5 g), (25 cm³, 67,5 g) y (?, 108 g). Completa el volumen que falta.
P106 · Comprobar homogeneidad de datos
Se miden tres muestras: (20 cm³, 54 g), (30 cm³, 81 g) y (40 cm³, 124 g). ¿Son compatibles con un único material homogéneo? Justifica con los cocientes m/V.
El tercer dato no mantiene la misma proporción exacta. Antes de concluir que es otro material, revisa esa muestra y repite la medida; una comparación experimental completa necesita considerar las incertidumbres.
P107 · Dato anómalo
Para una misma pieza se obtienen volúmenes de 12,0; 12,1; 18,4 y 11,9 cm³. ¿Qué lectura investigarías primero y qué harías antes de descartarla?
Investigaría primero 18,4 cm³, alejado de las otras tres lecturas próximas a 12 cm³. Revisaría burbujas, inmersión y paralaje, y repetiría el ensayo antes de descartarlo.
P108 · Promedio y densidad
Una pieza de 78,0 g desplaza 10,0; 9,8 y 10,2 mL en tres ensayos. Calcula el volumen medio y la densidad.
P109 · Compatibilidad con un material
Una práctica da \(\rho=(2{,}68\pm0{,}05)\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\). Decide si es compatible con aluminio de referencia 2,70 g·cm⁻³ y explica qué no permite concluir.
La referencia 2,70 está incluida, por lo que es compatible con el intervalo experimental indicado. Esa coincidencia no prueba la composición: otros materiales o aleaciones podrían dar una densidad próxima.
P110 · Diseño de una investigación
Diseña un procedimiento para decidir si cinco piezas de distinto tamaño están hechas del mismo material. Indica magnitudes, gráfica y criterio de decisión.
Mide la masa y el volumen de cada pieza en las mismas condiciones. Representa m frente a V y comprueba si los puntos son compatibles, dentro de sus incertidumbres, con una recta próxima al origen y una pendiente común. Esa pendiente es la densidad.
Una densidad común hace que las piezas sean compatibles con el mismo material; no demuestra una composición química idéntica.
L. Problemas integrados de aula
P111 · Objeto flotante y lastre
La probeta marca 30 mL. Con un lastre marca 36 mL y con el mismo lastre más un objeto flotante totalmente sumergido marca 51 mL. Si el objeto tiene 10,5 g, calcula su densidad.
Se resta la lectura que ya contiene el lastre, no la lectura del agua sola. El resultado es menor que la referencia del agua, coherente con un objeto flotante.
P112 · Pieza compuesta
Una pieza reúne 40 cm³ de un material de 2,5 g·cm⁻³ y 10 cm³ de otro de 8,0 g·cm⁻³. Supón volúmenes aditivos. Calcula la masa total y la densidad media.
No se hace una media aritmética de las dos densidades: los volúmenes de material son distintos.
P113 · Frasco calibrado
Un frasco vacío tiene 65 g y, lleno hasta una marca con agua, 265 g. Con otro líquido hasta la misma marca tiene 225 g. Calcula el volumen de la marca y la densidad del líquido. Toma \(\rho_{\mathrm{agua}}\approx1{,}00\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\).
Tomamos la referencia aproximada del agua ρ=1,00 g/mL.
P114 · Esfera maciza
Una esfera de radio 1,5 cm tiene una masa de 113,0 g. Usa \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) y \(\pi=3{,}14\). Calcula su densidad.
La densidad es aproximadamente 8,0 g/cm³ con las dos cifras significativas del radio. Si se solicita redondear a dos decimales, se escribe 8,00 g/cm³.
P115 · Objeto hueco y densidad media
Una caja cerrada tiene 1,8 kg de masa y un volumen exterior de 3,0 L. Calcula su densidad media en kg·L⁻¹ y predice su comportamiento inicial en agua.
Es menor que 1,00 kg/L, referencia del agua. En este modelo tenderá a flotar mientras permanezca cerrada, mantenga su volumen exterior y no entre agua.
P116 · Escala y masa
Dos cubos macizos y homogéneos son del mismo material y están en las mismas condiciones. La arista del segundo es el doble que la del primero, cuya masa es 45 g. Sin conocer la densidad, calcula la masa del segundo y justifica.
P117 · Dos líquidos
Una pieza tiene densidad 1,08 g·cm⁻³. Se introduce primero en agua dulce y después en una disolución salina de 1,15 g·cm⁻³. Describe y justifica qué ocurre en cada caso.
Tenderá a hundirse en agua dulce y a flotar en la disolución salina. La densidad del líquido cambia la comparación.
P118 · Mezcla con volúmenes aditivos
Se mezclan 200 mL de un líquido de 0,80 g·mL⁻¹ y 300 mL de otro de 1,20 g·mL⁻¹. Suponiendo que los volúmenes se suman, calcula la densidad de la mezcla.
P119 · Carga máxima y densidad media
Un recipiente estanco tiene volumen exterior 12 L y masa 3 kg. En el modelo de densidad media, ¿qué masa de carga puede llevar para que la densidad del conjunto no supere 1,00 kg·L⁻¹?
La carga límite del modelo es 9 kg: la masa total sería 12 kg y la densidad media igualaría a la del agua. Se mantiene el volumen exterior del recipiente estanco.
P120 · Conclusión experimental completa
Una pieza de 81,0 g hace subir el agua de 50,0 a 80,0 mL. La tabla ofrece aluminio 2,70 g·cm⁻³, hierro 7,87 y cobre 8,96. Calcula, compara y redacta una conclusión prudente.
La densidad coincide con la referencia de aluminio y se separa de las de hierro y cobre. Es compatible con aluminio, pero una medida de densidad no demuestra por sí sola la composición.
Dos exámenes completos con corrección docente
Cada prueba está pensada para 45–50 minutos y suma 10 puntos. Son modelos de elaboración propia, con el formato y las decisiones habituales de una prueba de 2.º o 3.º ESO.
Simulacro A · Base y procedimiento
45–50 minutos · 10 puntos · elaboración propia
Convierte 1,35 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Una muestra de 240 g ocupa 80 cm³. Calcula su densidad.
Un material de densidad 2,5 g·cm⁻³ ocupa 60 cm³. Calcula la masa.
Una pieza de 540 g tiene densidad 9 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
El agua pasa de 25 mL a 41 mL al introducir una pieza de 64 g. Calcula la densidad. Supón que la pieza queda completamente sumergida, sin burbujas, y no absorbe ni se disuelve en el líquido.
Un bloque mide 5 cm × 4 cm × 2 cm y tiene masa 108 g. Calcula la densidad.
Explica por qué no puede usarse cm² como unidad de volumen.
Un objeto de 0,88 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento. Toma la densidad del agua aproximadamente igual a 1,00 g·cm⁻³ y utiliza el modelo básico de comparación de densidades.
Una balanza marca 90 g con una botella vacía y 360 g cuando contiene 300 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
Un cilindro de radio 2 cm y altura 5 cm tiene densidad 3 g·cm⁻³. Usa π = 3,14 y calcula la masa.
Corrección del simulacro A
Convierte 1,35 g·cm⁻³ a kg·m⁻³.
Una muestra de 240 g ocupa 80 cm³. Calcula su densidad.
Un material de densidad 2,5 g·cm⁻³ ocupa 60 cm³. Calcula la masa.
Una pieza de 540 g tiene densidad 9 g·cm⁻³. Calcula el volumen.
El agua pasa de 25 mL a 41 mL al introducir una pieza de 64 g. Calcula la densidad. Supón que la pieza queda completamente sumergida, sin burbujas, y no absorbe ni se disuelve en el líquido.
La diferencia de lecturas corresponde solo a la pieza completamente sumergida.
Un bloque mide 5 cm × 4 cm × 2 cm y tiene masa 108 g. Calcula la densidad.
Explica por qué no puede usarse cm² como unidad de volumen.
El centímetro cuadrado mide superficie, mientras que el centímetro cúbico mide volumen:
\[\begin{aligned}\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}&=\mathrm{cm^2}\\\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}&=\mathrm{cm^3}\end{aligned}\]Un objeto de 0,88 g·cm⁻³ se coloca en agua. Predice su comportamiento. Toma la densidad del agua aproximadamente igual a 1,00 g·cm⁻³ y utiliza el modelo básico de comparación de densidades.
En el modelo básico indicado, el objeto flota.
Una balanza marca 90 g con una botella vacía y 360 g cuando contiene 300 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
Los 90 g del recipiente no forman parte de la masa del líquido.
Un cilindro de radio 2 cm y altura 5 cm tiene densidad 3 g·cm⁻³. Usa π = 3,14 y calcula la masa.
Simulacro B · Aplicación y razonamiento
45–50 minutos · 10 puntos · elaboración propia
Convierte 920 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Una pieza de 0,675 kg ocupa 250 cm³. Calcula la densidad en g·cm⁻³.
Un depósito de 0,08 m³ contiene un líquido de densidad 850 kg·m⁻³. Calcula la masa.
Un cubo tiene masa 512 g y densidad 1 g·cm⁻³. Calcula su arista.
Una probeta pasa de 50,0 mL a 57,5 mL con un objeto de 60 g. Calcula la densidad. Supón que el objeto queda completamente sumergido, sin burbujas, y no absorbe ni se disuelve en el líquido.
Compara un objeto de 1,05 g·cm⁻³ en agua dulce y en un líquido de 1,20 g·cm⁻³. Toma la densidad del agua dulce aproximadamente igual a 1,00 g·cm⁻³ y utiliza el modelo básico de comparación de densidades.
Un cilindro de radio 3 cm y altura 8 cm tiene masa 452,16 g. Usa π = 3,14 y calcula la densidad.
Una barra de 10 cm × 2 cm × 1,5 cm tiene densidad 7,8 g·cm⁻³. Calcula la masa.
Una balanza marca 140 g con un frasco vacío y 665 g cuando contiene 500 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
Explica dos comprobaciones que harías antes de entregar un problema de densidad.
Corrección del simulacro B
Convierte 920 kg·m⁻³ a g·cm⁻³.
Una pieza de 0,675 kg ocupa 250 cm³. Calcula la densidad en g·cm⁻³.
Un depósito de 0,08 m³ contiene un líquido de densidad 850 kg·m⁻³. Calcula la masa.
Un cubo tiene masa 512 g y densidad 1 g·cm⁻³. Calcula su arista.
Una probeta pasa de 50,0 mL a 57,5 mL con un objeto de 60 g. Calcula la densidad. Supón que el objeto queda completamente sumergido, sin burbujas, y no absorbe ni se disuelve en el líquido.
Compara un objeto de 1,05 g·cm⁻³ en agua dulce y en un líquido de 1,20 g·cm⁻³. Toma la densidad del agua dulce aproximadamente igual a 1,00 g·cm⁻³ y utiliza el modelo básico de comparación de densidades.
Las tres densidades se comparan en g·cm⁻³, bajo el modelo básico indicado.
Un cilindro de radio 3 cm y altura 8 cm tiene masa 452,16 g. Usa π = 3,14 y calcula la densidad.
Una barra de 10 cm × 2 cm × 1,5 cm tiene densidad 7,8 g·cm⁻³. Calcula la masa.
Una balanza marca 140 g con un frasco vacío y 665 g cuando contiene 500 mL de líquido. Calcula la densidad del líquido.
Explica dos comprobaciones que harías antes de entregar un problema de densidad.
- Comprobar que las unidades corresponden a las magnitudes: una masa en g y un volumen en cm³ producen una densidad en g·cm⁻³.
- Verificar la relación original mediante la operación inversa. Si se ha obtenido \(\rho=m/V\), el producto \(\rho V\) debe recuperar la masa \(m\).
Errores frecuentes que bajan nota
Invertir la fórmula
La densidad es masa dividida entre volumen, no volumen entre masa.
Mezclar unidades
No combines kg con cm³ si después escribes g·cm⁻³ sin convertir.
Confundir volumen final
En la probeta, el objeto ocupa la diferencia entre lecturas.
Usar cm²
La superficie no puede ocupar el lugar de un volumen.
Olvidar el recipiente
Para líquidos, resta la masa del frasco vacío.
Redondear demasiado pronto
Conserva cifras durante el cálculo y redondea en el resultado.
Dar un número sin unidad
El valor aislado no identifica la magnitud.
No interpretar
Una densidad negativa o desproporcionada obliga a revisar.
Revisión final antes de entregar
- He identificado qué me piden.
- He escrito todos los datos con unidades.
- He convertido las unidades antes de operar.
- He elegido y despejado la fórmula correcta.
- He calculado el volumen geométrico o desplazado correctamente.
- He incluido la unidad final.
- He comprobado el resultado mediante la operación inversa o una comparación razonable.
- He explicado la conclusión cuando preguntan si flota, se hunde o qué material puede ser.
Resumen de una línea Leer, unificar, despejar, calcular y comprobar. Ese orden evita la mayoría de los errores.
Una ruta breve para continuar
Cuatro enlaces bastan: dos consolidan las herramientas, uno conecta la densidad con la materia y otro abre el bloque de fluidos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la densidad?
La densidad se calcula dividiendo la masa entre el volumen: \(\rho=\dfrac{m}{V}\).
¿Cómo se despeja la masa?
Multiplicando densidad por volumen: \(m=\rho\cdot V\).
¿Cómo se despeja el volumen?
Dividiendo masa entre densidad: \(V=\dfrac{m}{\rho}\).
¿Por qué 1 g·cm⁻³ equivale a 1000 kg·m⁻³?
Porque 1 g son 10⁻³ kg y 1 cm³ son 10⁻⁶ m³. Al dividir se obtiene 10³ kg·m⁻³.
¿Cómo se calcula el volumen de un objeto irregular?
Se sumerge en una probeta y se resta el volumen inicial al volumen final.
¿Qué diferencia hay entre masa y peso?
La masa mide cantidad de materia y se expresa en kg. El peso es una fuerza y se expresa en N.
¿Un objeto menos denso que el agua siempre flota?
En el modelo escolar tiende a flotar. En situaciones reales también influyen la forma, el aire atrapado, la tensión superficial y si absorbe agua.
¿Qué unidad de densidad conviene usar?
Depende de los datos. En sólidos y líquidos escolares se usan mucho g·cm⁻³ y g·mL⁻¹. En el Sistema Internacional se usa kg·m⁻³.
Cuando el problema no es la fórmula
En las clases online de Física trabajamos la lectura del enunciado, las unidades y la comprobación hasta que el alumno puede explicar por qué su resultado es correcto.