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Cifras significativas y errores de medida en Física y Química: redondeo, notación científica y ejercicios resueltos
Cifras significativas y errores de medida
Medir bien antes de calcular
Una calculadora puede devolver ocho decimales y, aun así, la respuesta estar mal escrita. Esta guía enseña a reconocer qué precisión permiten los datos, redondear sin perder información y explicar con rigor el error y la incertidumbre.
Trabajaremos el lenguaje común que aparece en problemas de Física, Química y laboratorio. La notación científica completa, los cambios de unidades y cada aplicación temática continúan en sus recursos propios.
Qué vas a aprender y hasta dónde llegamos
Leer la medida
Distinguir un dato medido de un número exacto y separar resolución, precisión, exactitud, error e incertidumbre.
Operar con criterio
Contar cifras significativas, conservar cifras de guarda y elegir la regla adecuada según la operación.
Comunicar el resultado
Escribir número, unidad e incertidumbre con posiciones decimales coherentes, sin prometer una precisión inexistente.
1. Método Marlu para no inventar precisión
Antes de redondear hay que saber qué clase de dato tenemos y qué operación estamos haciendo. El orden evita casi todos los errores de este tema.
Lee lo que realmente se conoce. Anota valores, unidades, instrumento, resolución, incertidumbre declarada y si cada número es medido, definido o un recuento exacto.
Elige la regla que corresponde. No se trata igual una suma que un producto. Si el problema da incertidumbres, no las reemplaces por una simple cuenta de cifras.
Calcula con cifras de guarda. Conserva el resultado interno de la calculadora y redondea una sola vez, al final de la cadena matemática.
Comprueba cómo lo comunicas. Revisa unidad, orden de magnitud y posición decimal. El valor y su incertidumbre deben hablar el mismo idioma.
- Subraya los datos medidos y separa los números exactos.
- Comprueba las unidades y convierte antes de operar cuando sea necesario.
- Marca el dato que limita la precisión.
- Calcula sin redondear resultados intermedios.
- Redondea el resultado final y conserva los ceros que informan.
- Escribe una frase que explique si el resultado es coherente.
2. Qué dice realmente una medida
Una medida no es un número desnudo. Es el resultado de comparar una magnitud con una unidad mediante un procedimiento y un instrumento. Por eso siempre tiene un límite de conocimiento.
| Concepto | Qué significa | Qué no permite afirmar |
|---|---|---|
| Resolución | Menor cambio que el instrumento puede mostrar o distinguir. | No es automáticamente la incertidumbre total de la medida. |
| Precisión | Grado de concordancia entre medidas repetidas. | Una serie muy agrupada no tiene por qué estar cerca del valor de referencia. |
| Exactitud | Proximidad a un valor de referencia aceptado. | No se deduce solo observando cuántos decimales hay. |
| Error de medida | Diferencia entre el valor medido y un valor de referencia. | Si no hay referencia, no siempre puede conocerse. |
| Incertidumbre | Parámetro que expresa la dispersión razonablemente atribuible al resultado. | No significa equivocación ni desaparece por escribir más cifras. |
| Cifras significativas | Dígitos que comunican la precisión con la que se expresa un valor. | No sustituyen la evaluación experimental de la incertidumbre. |
Números medidos y números exactos
Una longitud de 12,4 cm es una medida. En cambio, 12 alumnos es un recuento exacto. También son exactos los factores definidos, como \(1\ \text{km}=1000\ \text{m}\). Los números exactos no limitan las cifras significativas del resultado.
3. Cómo contar cifras significativas
Se empieza por el primer dígito distinto de cero y se conserva todo lo que, según la escritura del dato, informa sobre su precisión.
| Caso | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Dígitos no nulos | Siempre cuentan. | 3,47 tiene 3 cifras significativas. |
| Ceros iniciales | Solo sitúan la coma; no cuentan. | 0,00450 tiene 3: 4, 5 y el cero final. |
| Ceros interiores | Cuentan cuando están entre dígitos significativos. | 1005 tiene 4. |
| Ceros finales con coma decimal | Cuentan porque expresan precisión. | 12,30 tiene 4. |
| Ceros finales en un entero | Pueden ser ambiguos sin contexto. | 1200 no revela por sí solo si tiene 2, 3 o 4. |
| Notación científica | Solo se cuentan las cifras de la mantisa. | \(1,200\cdot10^3\) tiene 4. |
La notación científica no es un adorno. En números terminados en cero, deja escrita la precisión sin necesidad de explicaciones adicionales. Su práctica completa aparece enlazada en la ruta de estudio final.
4. Redondear sin recortar
Redondear significa sustituir un número por otro próximo con menos cifras, manteniendo la mejor aproximación permitida por la regla elegida.
- Localiza la última cifra que vas a conservar.
- Mira únicamente la primera cifra que se elimina.
- Si es menor que 5, la cifra conservada no cambia.
- Si es 5 o mayor, aumenta una unidad.
- Escribe los ceros necesarios para que la precisión quede visible.
El caso \(999,5\) muestra por qué los ceros no sobran. \(1,00\cdot10^3\) conserva tres cifras significativas; escribir simplemente 1000 volvería a ocultar la precisión.
5. Qué regla usar en cada operación
No existe una única receta para todas las cuentas. En suma y resta importa la posición decimal; en producto y cociente, el número de cifras significativas.
| Operación | Qué limita el resultado | Ejemplo | Resultado comunicado |
|---|---|---|---|
| Suma o resta | La posición decimal menos precisa. | \(12,45+3,2=15,65\ \text{g}\) | \(15,7\ \text{g}\) |
| Producto o cociente | El menor número de cifras significativas. | \(2,4\cdot3,15=7,56\ \text{m}^2\) | \(7,6\ \text{m}^2\) |
| Potencias y raíces | Se aplica el criterio de productos, salvo tratamiento explícito de incertidumbres. | \(r=2,30\ \text{cm}\), \(A=\pi r^2\) | \(A=16,6\ \text{cm}^2\) |
| Cadena de operaciones | Se anotan las limitaciones intermedias, pero se redondea al final. | \((12,45+3,2)/2,50\) | \(6,26\), con cifras de guarda |
Los factores de conversión definidos son exactos. Por ejemplo, \(1000\ \text{m}/1\ \text{km}\) no reduce la precisión de una velocidad. Si necesitas repasar la cadena completa, usa el recurso de factores de conversión y cambios de unidades.
6. Error e incertidumbre no son lo mismo
El error compara una medida con un valor de referencia. La incertidumbre acompaña al resultado y expresa la duda razonable sobre la medida, incluso cuando el valor verdadero no se conoce.
- El error \(e\) conserva el signo y permite saber si la medida queda por encima o por debajo de la referencia.
- El error absoluto \(E_a\) es positivo y tiene la misma unidad que la magnitud.
- El error relativo no tiene unidad y permite comparar medidas de tamaños distintos.
- El error porcentual es el error relativo expresado en tanto por ciento.
7. Medidas repetidas y propagación elemental
Qué aporta repetir
Cuando se mide varias veces en condiciones comparables, la media resume el centro de los datos y la dispersión informa de su variabilidad.
En ESO y Bachillerato pueden usarse, según el enunciado o el protocolo, la semidispersión, la desviación media o la desviación estándar. No son intercambiables. El ejercicio debe indicar cuál corresponde.
Una propagación sencilla para Bachillerato
Si el problema pide una estimación máxima lineal y las incertidumbres son pequeñas, puede usarse este modelo elemental:
8. Cómo presentar un resultado experimental
Un resultado con incertidumbre se escribe de modo que el valor y la incertidumbre terminen en la misma posición decimal.
- Redondea la incertidumbre a una cifra significativa.
- Como convención habitual, conserva dos si su primera cifra es 1 o 2 y el protocolo lo admite.
- Redondea el valor medido hasta la misma posición decimal que la incertidumbre.
- Escribe una sola unidad, fuera del paréntesis.
| Cálculo interno | Comunicación final | Motivo |
|---|---|---|
| \((7,426\pm0,083)\ \text{V}\) | \((7,43\pm0,08)\ \text{V}\) | La incertidumbre termina en centésimas. |
| \((0,8724\pm0,0168)\ \text{g}\) | \((0,872\pm0,017)\ \text{g}\) | Se conservan dos cifras en una incertidumbre que empieza por 1. |
| \((12,408\pm0,3)\ \text{cm}\) | \((12,4\pm0,3)\ \text{cm}\) | No se justifican milésimas en el valor. |
9. Dónde aparecen en Física y Química
| Situación | Modelo | Decisión que importa |
|---|---|---|
| Densidad | \(\rho=m/V\) | Unidades compatibles y menor número de cifras significativas, si no se dan incertidumbres. |
| Velocidad media | \(v=\Delta x/\Delta t\) | No usar más precisión que la permitida por posición y tiempo. |
| Cantidad de sustancia | \(n=m/M\) | Distinguir masa medida de masa molar o constante proporcionada. |
| Concentración | \(c=n/V\) | Convertir el volumen y redondear solo después de completar la cadena. |
| Gas ideal | \(PV=nRT\) | Temperatura en kelvin, unidades coherentes y condiciones declaradas. |
| pH | \(\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]\) | Las cifras significativas de la concentración se reflejan en los decimales del pH. |
La densidad es una aplicación especialmente útil porque obliga a combinar medida, unidades y cociente. Su desarrollo completo aparece enlazado en la ruta de estudio final.
10. Diez modelos guiados de elaboración propia
No se repite la misma cuenta cambiando números. Cada modelo introduce una decisión que suele modificar la respuesta.
Contar solo lo que comunica precisión
Enunciado. Indica las cifras significativas de 0,00450, 1005, 1200 y \(1,200\cdot10^3\).
- Evidencia. Los ceros iniciales solo colocan la coma; los interiores cuentan; los finales dependen de cómo se escriba el dato.
- Análisis. 1200 no contiene una marca inequívoca de precisión.
- Resultado. 0,00450 tiene 3; 1005 tiene 4; 1200 es ambiguo; \(1,200\cdot10^3\) tiene 4.
Por qué 1000 puede necesitar ceros escritos
Enunciado. Redondea 999,5 a tres cifras significativas con el convenio escolar del recurso.
El primer dígito eliminado es 5, así que 999 aumenta y cambia el orden de magnitud escrito. La forma \(1,00\cdot10^3\) conserva las tres cifras pedidas.
Decimales en la suma, cifras en el producto
Suma. \(12,45\ \text{g}+3,2\ \text{g}=15,65\ \text{g}\). Manda la décima, por lo que se comunica \(15,7\ \text{g}\).
Producto. \(2,4\ \text{m}\cdot3,15\ \text{m}=7,56\ \text{m}^2\). Manda el dato con dos cifras significativas, por lo que se comunica \(7,6\ \text{m}^2\).
El factor de unidades no roba precisión
Enunciado. Convierte \(72,0\ \text{km/h}\) a m/s.
El signo informa; el valor absoluto compara
Enunciado. Una longitud de referencia es 25,00 cm y se mide 24,60 cm. Calcula error, error absoluto y error porcentual.
Valor e incertidumbre terminan juntos
Enunciado. Un cálculo produce \(7,426\ \text{V}\) y una incertidumbre de \(0,083\ \text{V}\). Exprésalo con la convención indicada.
La incertidumbre se redondea a una cifra significativa y termina en centésimas. El valor se redondea hasta esa misma posición.
Media y semidispersión cuando el enunciado la pide
Enunciado. Se obtienen 12,42; 12,38; 12,40 y 12,44 cm. Calcula la media y usa la semidispersión como incertidumbre escolar.
Área de un rectángulo con incertidumbres máximas
Enunciado. Para \(L=(12,4\pm0,1)\ \text{cm}\) y \(a=(5,0\pm0,1)\ \text{cm}\), estima el área y su incertidumbre con el modelo lineal máximo.
Redondeando la incertidumbre y el valor hasta la misma posición:
Una división con unidad compuesta
Enunciado. Una muestra tiene masa \(45,6\ \text{g}\) y volumen \(12,0\ \text{cm}^3\). Calcula la densidad.
Una cadena química sin redondeos intermedios
Enunciado. Se disuelven \(5,85\ \text{g}\) de NaCl, con \(M=58,44\ \text{g/mol}\), hasta \(250,0\ \text{mL}\). Calcula la concentración molar.
La masa tiene tres cifras significativas, menos que los demás datos. Por tanto:
Cómo cerrar una respuesta de examen
Una solución sólida no necesita un discurso largo. Sí necesita dejar visible la cadena de decisiones.
- Datos. Qué valores son medidos, cuáles exactos y en qué unidades están.
- Modelo. Fórmula o definición y motivo de uso.
- Cálculo. Operación con cifras de guarda.
- Resultado. Redondeo, unidad e incertidumbre si corresponde.
- Revisión. Orden de magnitud y coherencia con la precisión de los datos.
11. Práctica final graduada · 18 ejercicios
Haz un primer intento sin abrir las soluciones. La ayuda disminuye de un bloque a otro: reconocer, operar y transferir.
A. Leer y decidir
- Cuenta las cifras significativas de 0,00340.
- Explica por qué 1200 es ambiguo si no se aporta contexto.
- Cuenta las cifras significativas de 1200,0.
- Cuenta las cifras significativas de 1002.
- Cuenta las cifras significativas de \(4,500\cdot10^3\).
- En una clase hay exactamente 12 alumnos. Explica por qué ese 12 no limita una división posterior.
B. Redondear y operar
- Redondea 3,4567 a tres cifras significativas.
- Redondea 0,004567 a dos cifras significativas.
- Redondea 999,9 a tres cifras significativas y evita la ambigüedad.
- Calcula \(4,002\ \text{m}+12,1\ \text{m}+0,34\ \text{m}\).
- Calcula \(25,00\ \text{mL}-3,4\ \text{mL}\).
- Calcula el trabajo \(W=Fd\) para \(F=12,5\ \text{N}\) y \(d=3,20\ \text{m}\).
C. Aplicar y justificar
- Calcula la densidad para \(m=7,25\ \text{g}\) y \(V=2,0\ \text{cm}^3\).
- Calcula los moles contenidos en \(0,250\ \text{L}\) de una disolución \(0,200\ \text{mol/L}\).
- Calcula la velocidad para \(\Delta x=1,20\cdot10^2\ \text{m}\) y \(\Delta t=9,8\ \text{s}\).
- Para \(x_{\text{ref}}=9,810\ \text{m/s}^2\) y \(x_{\text{medido}}=9,700\ \text{m/s}^2\), calcula error, error absoluto y error porcentual.
- Medida A: error absoluto 0,2 cm en 10,0 cm. Medida B: error absoluto 1,0 cm en 100,0 cm. Decide cuál tiene menor error relativo.
- Expresa correctamente \((7,426\pm0,083)\ \text{V}\) con la convención del recurso.
Ver soluciones razonadas de los 18 ejercicios
- 0,00340 tiene 3 cifras significativas: 3, 4 y el cero final.
- Los ceros finales de un entero sin coma ni notación científica no indican por sí solos hasta dónde se midió. Puede escribirse \(1,2\cdot10^3\), \(1,20\cdot10^3\) o \(1,200\cdot10^3\) según la precisión.
- 1200,0 tiene 5 cifras significativas. La coma y el cero final hacen explícita la precisión.
- 1002 tiene 4 cifras significativas; los ceros interiores cuentan.
- \(4,500\cdot10^3\) tiene 4 cifras significativas, las de la mantisa.
- 12 alumnos es un recuento exacto. No es una medida aproximada y no limita la precisión de un cociente.
- \(3,4567\approx3,46\). Se conservan tres cifras y la siguiente es 6.
- \(0,004567\approx0,0046\). Los ceros iniciales no cuentan.
- \(999,9\approx1,00\cdot10^3\). La notación científica conserva tres cifras sin ambigüedad.
- \(4,002+12,1+0,34=16,442\ \text{m}\approx16,4\ \text{m}\). Manda la décima.
- \(25,00-3,4=21,60\ \text{mL}\approx21,6\ \text{mL}\). Manda la décima.
- \(W=12,5\cdot3,20=40,0\ \text{J}\). Los dos datos tienen tres cifras significativas y N·m = J.
- \(\rho=7,25/2,0=3,625\ \text{g/cm}^3\approx3,6\ \text{g/cm}^3\). El volumen limita el resultado a dos cifras; el resultado correcto conserva solo dos cifras significativas.
- \(n=cV=0,200\cdot0,250=0,0500\ \text{mol}\). El cero final conserva tres cifras significativas.
- \(v=(1,20\cdot10^2)/9,8=12,244\ldots\ \text{m/s}\approx12\ \text{m/s}\). El tiempo limita a dos cifras.
- \(e=9,700-9,810=-0,110\ \text{m/s}^2\); \(E_a=0,110\ \text{m/s}^2\); \(E_{\%}=0,110/9,810\cdot100=1,12\,\%\).
- A tiene \(E_r=0,2/10,0=0,020=2,0\,\%\). B tiene \(E_r=1,0/100,0=0,010=1,0\,\%\). B tiene menor error relativo aunque su error absoluto sea mayor.
- La incertidumbre queda en \(0,08\ \text{V}\) y el valor termina en centésimas: \((7,43\pm0,08)\ \text{V}\).
12. Mini-simulacro de medida y precisión
Tiempo orientativo. 35 minutos. En cada cuestión identifica el dato que limita la precisión, muestra el cálculo y termina con una comprobación.
- Calcula \((12,45+3,2)/2,50\) conservando cifras de guarda y justifica el resultado final.
- Los tiempos de un proceso son 4,8; 4,9; 5,0 y 4,9 s. Calcula la media y, si el enunciado pide semidispersión, expresa el resultado.
- Una muestra tiene \(m=45,6\ \text{g}\) y \(V=12,0\ \text{cm}^3\). Calcula la densidad con la precisión adecuada.
- Se disuelven \(5,85\ \text{g}\) de NaCl, \(M=58,44\ \text{g/mol}\), hasta \(250,0\ \text{mL}\). Calcula la concentración molar sin redondear los moles antes de tiempo.
- Para \([\mathrm{H_3O^+}]=2,5\cdot10^{-3}\ \text{mol/L}\), calcula el pH y aplica la regla de los logaritmos.
- Un alumno mide 32 mL con una probeta graduada cada 1 mL y escribe \((32,000\pm0,001)\ \text{mL}\). Explica qué afirmaciones no están justificadas.
Ver solución y criterios de autocorrección del simulacro
- La suma interna es 15,65 y está limitada a décimas. Se conserva como cifra de guarda: \(15,65/2,50=6,26\). El resultado se comunica como 6,26; redondear la suma a 15,7 antes de dividir produciría 6,28 y añadiría error de redondeo.
- \(\bar{t}=(4,8+4,9+5,0+4,9)/4=4,9\ \text{s}\). La semidispersión es \((5,0-4,8)/2=0,1\ \text{s}\). Resultado: \(t=(4,9\pm0,1)\ \text{s}\).
- \(\rho=45,6/12,0=3,80\ \text{g/cm}^3\). Tres cifras significativas.
- \(n=5,85/58,44=0,100102\ldots\ \text{mol}\); \(V=0,2500\ \text{L}\); \(c=n/V=0,400410\ldots\ \text{mol/L}\approx0,400\ \text{mol/L}\).
- \(\mathrm{pH}=-\log(2,5\cdot10^{-3})=2,60205\ldots\). Como la concentración tiene dos cifras significativas, el pH se expresa con dos decimales: \(\mathrm{pH}=2,60\).
- La lectura 32,000 mL atribuye una resolución que la escala no ofrece. Tampoco puede fijarse una incertidumbre de 0,001 mL solo a partir de una probeta graduada cada 1 mL. Deben respetarse la resolución, el procedimiento de lectura y la incertidumbre establecida por el protocolo o el instrumento.
Autocorrección. Reserva 1 punto por clasificar los datos, 1 por elegir la regla, 1 por el cálculo, 1 por la unidad y precisión final y 1 por la comprobación. Total: 30 puntos.
| Bloque | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error que no repetiré |
|---|---|---|---|---|
| Lectura de cifras | ||||
| Redondeo | ||||
| Operaciones | ||||
| Error | ||||
| Incertidumbre | ||||
| Simulacro |
Errores frecuentes y revisión final
- Confundir número de decimales con número de cifras significativas.
- Contar los ceros iniciales o borrar ceros finales que sí comunican precisión.
- Tratar un entero terminado en cero como si su precisión fuera evidente.
- Aplicar la regla de suma a un producto, o la de productos a una suma.
- Redondear cada resultado intermedio.
- Dejar que un recuento exacto o una conversión definida limite el resultado.
- Confundir error absoluto, error relativo e incertidumbre.
- Tomar la resolución como incertidumbre total sin comprobar el protocolo.
- Creer que muchas medidas agrupadas garantizan exactitud.
- Escribir valor e incertidumbre con posiciones decimales distintas.
- Dar un porcentaje sin indicar el valor de referencia.
- Presentar un resultado sin unidad ni interpretación.
- ¿He distinguido datos medidos, exactos y definidos?
- ¿He usado la regla correspondiente a la operación?
- ¿He redondeado solo al final?
- ¿Valor e incertidumbre terminan en la misma posición?
- ¿La unidad y el orden de magnitud tienen sentido?
Preguntas frecuentes
¿1200 tiene dos o cuatro cifras significativas?
Sin contexto puede ser ambiguo. La forma segura es usar notación científica: \(1,2\cdot10^3\) tiene dos y \(1,200\cdot10^3\) tiene cuatro.
¿Un cero final puede ser importante?
Sí. En 3,80 el cero final indica que el valor se ha expresado hasta centésimas y que hay tres cifras significativas.
¿Por qué en las sumas no cuento cifras significativas?
Porque una suma combina posiciones absolutas. Lo que limita es la posición decimal menos precisa. En productos y cocientes se comparan precisiones relativas y se usa el número de cifras significativas.
¿Resolución e incertidumbre son iguales?
No necesariamente. La resolución es una característica del instrumento; la incertidumbre considera las fuentes relevantes del resultado y depende también del procedimiento.
¿Precisión y exactitud significan lo mismo?
No. La precisión describe la concordancia entre medidas repetidas. La exactitud describe la proximidad a un valor de referencia.
¿Qué hago si el profesor da una regla distinta?
Sigue el convenio indicado en el enunciado o por el laboratorio y escríbelo. Las reglas simplificadas deben entenderse dentro de su contexto.
Ruta de estudio
Cuando el resultado sale, pero no está bien comunicado
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