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Notación científica 2.º, 3.º y 4.º ESO: ejercicios resueltos paso a paso
Notación científica en ESO
Controlar la escala sin perderse entre ceros
La notación científica no consiste en mover la coma de memoria. Consiste en escribir un número de forma que su tamaño se vea, las operaciones resulten manejables y un error de signo o de exponente salte a la vista.
Empezaremos por la idea y el método. Después trabajaremos conversiones de escritura, operaciones, calculadora, orden de magnitud y aplicaciones breves de Física y Química.
Qué vas a aprender aquí
Qué representan el coeficiente y el exponente, y cómo anticipar si el número debe ser grande o pequeño.
Cómo multiplicar, dividir, sumar, restar y elevar potencias sin mezclar reglas.
Cómo revisar normalización, signo, orden de magnitud, precisión y unidades.
1. La idea y la forma normalizada
Un mismo número puede escribirse de muchas formas. La notación científica elige una forma estable que deja una sola cifra distinta de cero antes de la coma y separa el tamaño del número de sus cifras significativas.
El coeficiente
\(a\) conserva las cifras que describen el número. Puede ser positivo o negativo; por eso la condición correcta usa \(|a|\).
El exponente
\(n\) indica la escala. Si \(|x|\geq10\), el exponente es positivo; si \(0<|x|<1\), es negativo. Entre ambos queda el exponente cero.
El cero
El número 0 se escribe sencillamente como 0. No necesita una potencia de diez normalizada.
| Expresión | ¿Está normalizada? | Motivo |
|---|---|---|
| \(4{,}8\cdot10^7\) | Sí | \(|4{,}8|\) está entre 1 y 10. |
| \(-6{,}1\cdot10^{-4}\) | Sí | El signo no cambia la condición sobre el valor absoluto. |
| \(48\cdot10^6\) | No | El coeficiente tiene dos cifras antes de la coma. |
| \(0{,}48\cdot10^8\) | No | El valor absoluto del coeficiente es menor que 1. |
2. Método Marlu de cinco pasos
Decide si esperas un número grande, pequeño, positivo, negativo o cercano a uno.
Deja una sola cifra distinta de cero antes de la coma y conserva el signo.
Determina qué potencia de diez reconstruye el número original.
Producto, cociente, potencia, suma y resta no siguen el mismo tratamiento.
Comprueba coeficiente, signo, exponente, precisión, unidad y orden de magnitud.
3. Pasar de una escritura a otra
De decimal a científica
Coloca la coma para obtener un coeficiente normalizado y busca la potencia que permite volver al número original.
De científica a decimal
Multiplica el coeficiente por la potencia de diez. Un exponente negativo divide entre una potencia positiva.
Con números negativos
El signo del número se conserva. Solo cambia la forma de escribir su valor absoluto.
4. Operaciones con potencias de diez
La parte numérica y la potencia se trabajan por separado. Al final se vuelve a mirar el coeficiente, porque una operación correcta puede dejar un resultado que todavía no está normalizado.
| Operación | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | Multiplica coeficientes y suma exponentes. | \((2\cdot10^3)(4\cdot10^5)=8\cdot10^8\) |
| Cociente | Divide coeficientes y resta exponentes. | \(\dfrac{9\cdot10^7}{3\cdot10^2}=3\cdot10^5\) |
| Potencia | Eleva el coeficiente y multiplica el exponente. | \((3\cdot10^{-2})^2=9\cdot10^{-4}\) |
| Suma o resta | Iguala primero las potencias y opera después los coeficientes. | \(4{,}2\cdot10^5+0{,}3\cdot10^5=4{,}5\cdot10^5\) |
El producto intermedio es correcto, pero \(30\cdot10^7\) no está normalizado. El último paso forma parte de la operación.
5. Calculadora, escala y precisión
Leer y escribir la tecla EXP, EE o ×10ˣ
Las calculadoras no muestran siempre la misma tecla, pero la idea es la misma. La pantalla \(4{,}2\mathrm{E}{-6}\) representa \(4{,}2\cdot10^{-6}\). La letra E no es una unidad ni el número de Euler: separa el coeficiente del exponente.
Escala y orden de magnitud
El exponente permite comparar escalas con rapidez. En muchos ejercicios de ESO se llama orden de magnitud a la potencia \(10^n\) que aparece en la escritura normalizada. En estimaciones más estrictas se pide la potencia de diez más cercana.
Escala de la escritura
Para \(7{,}8\cdot10^4\), la escala indicada por la notación es \(10^4\).
Potencia más cercana
Como 78000 está más cerca de 100000 que de 10000, la potencia más cercana es \(10^5\).
Qué responder
Lee la definición usada en el enunciado o en clase. Si no se especifica, indica el criterio seguido.
Cifras significativas y unidades
La notación científica hace visible la precisión, pero no decide por sí sola cuántas cifras deben conservarse. Para redondear medidas y resultados conviene continuar con cifras significativas y errores de medida.
Tampoco cambia una unidad. Escribir \(5600000\ \mathrm{g}=5{,}6\cdot10^6\ \mathrm{g}\) solo cambia la escritura. Para expresarlo en kilogramos hay que aplicar una equivalencia; ese procedimiento se desarrolla en factores de conversión y cambios de unidades.
6. Diez modelos razonados
Los primeros desarrollan el procedimiento completo. Después se acortan los pasos rutinarios y se conserva la decisión que realmente puede provocar el error.
Escribe 67 300 000 en notación científica
Lectura. El número es positivo y mucho mayor que 10, de modo que esperamos un exponente positivo.
Coeficiente. Dejamos una cifra distinta de cero antes de la coma: 6,73. Para volver al número inicial hay que multiplicar por diez millones.
Escribe 0,000000452 en notación científica
Lectura. El número está entre 0 y 1. El coeficiente será 4,52 y la potencia tendrá exponente negativo.
Escribe -0,00081 en notación científica
Trabajamos primero con el valor absoluto y conservamos el signo. Como \(0{,}00081=8{,}1\cdot10^{-4}\), resulta:
Escribe \(7{,}025\cdot10^{-5}\) como número decimal
Multiplicar por \(10^{-5}\) equivale a dividir entre 100000. Escribimos los ceros necesarios sin eliminar ninguna cifra del coeficiente.
Normaliza \(0{,}034\cdot10^9\)
El coeficiente 0,034 es demasiado pequeño. Como \(0{,}034=3{,}4\cdot10^{-2}\), combinamos las potencias.
Ordena \(8{,}9\cdot10^{-6}\), \(1{,}2\cdot10^{-5}\) y \(4{,}1\cdot10^{-6}\)
Igualamos la escala para que la comparación sea directa: \(1{,}2\cdot10^{-5}=12\cdot10^{-6}\).
Calcula \((6{,}0\cdot10^4)(3{,}0\cdot10^{-7})\)
Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes. La última igualdad normaliza 18.
Calcula \(\dfrac{7{,}2\cdot10^{-3}}{2{,}4\cdot10^5}\)
Calcula \(3{,}8\cdot10^6+4{,}5\cdot10^5\)
Antes de sumar, escribimos los dos términos con \(10^6\).
¿Qué distancia recorre la luz en \(1{,}20\cdot10^2\ \mathrm{s}\)?
Usamos \(c=3{,}00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\) y \(d=c\cdot t\). Las unidades confirman que segundos se cancelan.
7. Dieciocho ejercicios graduados
Escribe el paso decisivo, no solo el resultado. En las operaciones, deja visible cómo tratas los exponentes y normaliza antes de terminar.
Nivel 1 · Leer y transformar
- Escribe 5 430 000 en notación científica.
- Escribe 0,000072 en notación científica.
- Escribe -0,0000063 en notación científica.
- Escribe \(8{,}04\cdot10^3\) como número decimal.
- Escribe \(1{,}27\cdot10^{-4}\) como número decimal.
- Normaliza \(48\cdot10^{-3}\).
Nivel 2 · Comparar y operar
- Normaliza \(0{,}065\cdot10^8\).
- Ordena de menor a mayor \(4{,}2\cdot10^{-7}\), \(9\cdot10^{-8}\) y \(1{,}1\cdot10^{-6}\).
- Calcula \((2{,}5\cdot10^6)(4\cdot10^{-3})\).
- Calcula \(\dfrac{9\cdot10^{-5}}{3\cdot10^2}\).
- Calcula \(6{,}2\cdot10^4+7{,}5\cdot10^3\).
- Calcula \(5{,}0\cdot10^{-3}-8{,}0\cdot10^{-4}\).
Nivel 3 · Transferir el método
- Calcula \((3\cdot10^{-4})^2\).
- Calcula \(\dfrac{6\cdot10^7}{1{,}5\cdot10^{-2}}\).
- Una calculadora muestra 7,25E-9. Escríbelo en notación científica y como número decimal.
- Una bacteria mide \(2{,}3\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}\) y otra \(8{,}0\cdot10^{-7}\ \mathrm{m}\). ¿Cuántas veces es mayor la primera?
- La distancia media Tierra-Sol es \(1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\) y la distancia media Tierra-Luna es \(3{,}84\cdot10^8\ \mathrm{m}\). Calcula su cociente.
- Una cantidad de \(0{,}25\ \mathrm{mol}\) contiene \(0{,}25\cdot6{,}022\cdot10^{23}\) partículas. Expresa el resultado con dos cifras significativas.
Ver soluciones razonadas de los 18 ejercicios
- El coeficiente es 5,43 y hacen falta seis potencias de diez: \(5\,430\,000=5{,}43\cdot10^6\).
- El número es menor que 1: \(0{,}000072=7{,}2\cdot10^{-5}\).
- Se conserva el signo: \(-0{,}0000063=-6{,}3\cdot10^{-6}\).
- \(8{,}04\cdot10^3=8{,}04\cdot1000=8040\).
- \(1{,}27\cdot10^{-4}=0{,}000127\). El exponente negativo produce un número menor que 1.
- \(48\cdot10^{-3}=4{,}8\cdot10\cdot10^{-3}=4{,}8\cdot10^{-2}\).
- \(0{,}065\cdot10^8=6{,}5\cdot10^{-2}\cdot10^8=6{,}5\cdot10^6\).
- Con la misma escala, \(9\cdot10^{-8}<42\cdot10^{-8}<110\cdot10^{-8}\). Por tanto, \(9\cdot10^{-8}<4{,}2\cdot10^{-7}<1{,}1\cdot10^{-6}\).
- \((2{,}5\cdot4)\cdot10^{6-3}=10\cdot10^3=1\cdot10^4\).
- \(\dfrac{9}{3}\cdot10^{-5-2}=3\cdot10^{-7}\).
- \(6{,}2\cdot10^4+0{,}75\cdot10^4=6{,}95\cdot10^4\).
- \(5{,}0\cdot10^{-3}-0{,}8\cdot10^{-3}=4{,}2\cdot10^{-3}\).
- \((3\cdot10^{-4})^2=3^2\cdot10^{-8}=9\cdot10^{-8}\).
- \(\dfrac{6}{1{,}5}\cdot10^{7-(-2)}=4\cdot10^9\).
- 7,25E-9 significa \(7{,}25\cdot10^{-9}=0{,}00000000725\).
- \(\dfrac{2{,}3\cdot10^{-6}}{8{,}0\cdot10^{-7}}=\dfrac{23}{8}=2{,}875\). Con dos cifras significativas, la primera es \(2{,}9\) veces mayor.
- \(\dfrac{1{,}496}{3{,}84}\cdot10^{11-8}=3{,}8958\cdot10^2\). El cociente es aproximadamente \(3{,}90\cdot10^2\), unas 390 veces.
- \(0{,}25\cdot6{,}022\cdot10^{23}=1{,}5055\cdot10^{23}\). Con dos cifras significativas, \(1{,}5\cdot10^{23}\) partículas.
8. Prueba final de seis cuestiones
Resuélvela sin mirar los modelos. Cada cuestión vale un punto: se valora el procedimiento, la notación normalizada y la comprobación cuando corresponda.
- Escribe -94 600 000 en notación científica.
- Normaliza \(0{,}0072\cdot10^9\).
- Ordena de menor a mayor \(6\cdot10^{-4}\), \(4\cdot10^{-5}\) y \(8\cdot10^{-6}\).
- Calcula \(\dfrac{(3\cdot10^5)(8\cdot10^{-3})}{4\cdot10^2}\).
- Calcula \(4{,}50\cdot10^6-7{,}0\cdot10^5\).
- Una muestra contiene \(2{,}50\cdot10^{22}\) partículas de masa \(3{,}00\cdot10^{-23}\ \mathrm{g}\) cada una. Calcula la masa total.
Ver soluciones de la prueba final
- \(-94\,600\,000=-9{,}46\cdot10^7\).
- \(0{,}0072\cdot10^9=7{,}2\cdot10^{-3}\cdot10^9=7{,}2\cdot10^6\).
- \(8\cdot10^{-6}<4\cdot10^{-5}<6\cdot10^{-4}\).
- \(\dfrac{3\cdot8}{4}\cdot10^{5-3-2}=6\cdot10^0=6\).
- \(4{,}50\cdot10^6-0{,}70\cdot10^6=3{,}80\cdot10^6\).
- \((2{,}50\cdot10^{22})(3{,}00\cdot10^{-23}\ \mathrm{g})=7{,}50\cdot10^{-1}\ \mathrm{g}=0{,}750\ \mathrm{g}\).
9. Hoja de seguimiento
Marca el punto exacto en el que apareció el error. Es más útil escribir “sumé exponentes en una suma” que anotar simplemente “me equivoqué”.
| Bloque | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error que no repetiré |
|---|---|---|---|---|
| Transformar | ||||
| Normalizar | ||||
| Operar | ||||
| Calculadora y escala | ||||
| Aplicaciones |
10. Errores que conviene detectar
Decidir el signo por una frase
Comprueba qué potencia reconstruye el número. Así no dependes de recordar derecha o izquierda.
Olvidar el valor absoluto
En números negativos, el coeficiente también puede ser negativo. La condición se aplica a \(|a|\).
Dejar 23 delante de la potencia
\(23\cdot10^4\) conserva el valor, pero no es una escritura normalizada.
Sumar exponentes al sumar
Primero se igualan las potencias. Los exponentes se suman únicamente en productos.
Introducir dos veces el diez
EXP o EE ya representa “por diez elevado a”. No escribas otro factor 10 delante.
Mirar solo la forma
Un resultado normalizado puede seguir siendo absurdo. Revisa escala, precisión, unidad y contexto.
11. Ruta para continuar
Elige el siguiente paso según el punto en el que aparezca la dificultad.
Cuando la dificultad aparece dentro de otro problema
En Matemáticas, Física y Química, la notación científica suele aparecer mezclada con unidades, fórmulas y datos experimentales. En las clases localizamos el paso exacto que falla y trabajamos el procedimiento completo con el temario real del alumno.
Ver clases particulares online12. Preguntas frecuentes
¿Qué condición debe cumplir el coeficiente?
En una escritura normalizada distinta de cero, debe cumplirse \(1\leq|a|<10\). El valor absoluto permite incluir también los números negativos.
¿Cómo sé si el exponente es positivo o negativo?
Busca la potencia que reconstruye el número. Los números de valor absoluto mayor o igual que 10 necesitan normalmente exponente positivo; los comprendidos entre 0 y 1 necesitan exponente negativo.
¿Cómo se escribe el cero en notación científica?
Se escribe simplemente 0. No necesita una forma normalizada con coeficiente entre 1 y 10.
¿Se suman los exponentes al sumar dos números?
No. Primero se expresan ambos números con la misma potencia de diez y después se suman o restan los coeficientes.
¿Qué significa la letra E en la calculadora?
Separa el coeficiente del exponente. Por ejemplo, 4,2E-6 equivale a \(4{,}2\cdot10^{-6}\).
¿Orden de magnitud y exponente significan siempre lo mismo?
No siempre. Algunos ejercicios llaman orden de magnitud a la potencia de la escritura normalizada y otros piden la potencia de diez más cercana. Conviene indicar qué criterio se está usando.