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Geometría 2 ESO: Pitágoras, semejanza, áreas y volúmenes con ejercicios resueltos
Geometría de 2.º ESO
Pitágoras, semejanza, superficies y volúmenes
Aprende a deducir una medida que falta, reconocer qué lados se corresponden y decidir qué superficies forman un cuerpo. Cada actividad incluye su desarrollo para que puedas revisar el procedimiento.
Longitudes indirectas, Tales, escalas, áreas compuestas y cuerpos. Los cálculos directos sirven de repaso; las razones trigonométricas quedan para cursos posteriores.
Método Marlu para resolver geometría
1. Leer y dibujar
Marca los datos, la incógnita y el ángulo recto si existe. Decide si buscas una longitud, un área o un volumen.
2. Relacionar y calcular
Iguala las unidades. Escribe la relación geométrica antes de sustituir y conserva las raíces o \(\pi\) hasta el final.
3. Revisar
Comprueba la unidad y una relación de control: lado mayor, proporción, contorno, superficie de las caras o capacidad disponible.
La guía se centra en longitudes indirectas, semejanza y cuerpos. Los ángulos y áreas elementales son un repaso breve. El reparto de contenidos entre cursos puede variar según la programación del centro.
Prueba inicial: 20 preguntas
Tiempo orientativo: 45 minutos. Resuelve primero sin abrir las respuestas. Deja los resultados con \(\pi\) en forma exacta, salvo que se pida una aproximación.
Diagnóstico 1. Complementario
Calcula el complementario de \(35^\circ\).
Ver solución razonada
\(55^\circ+35^\circ=90^\circ\).
Diagnóstico 2. Suplementario
Calcula el suplementario de \(128^\circ\).
Ver solución razonada
Diagnóstico 3. Tercer ángulo
Dos ángulos de un triángulo miden \(45^\circ\) y \(65^\circ\). Calcula el tercero.
Ver solución razonada
Diagnóstico 4. Reconocer un triángulo rectángulo
Un triángulo tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Es rectángulo?
Ver solución razonada
El lado mayor mide 5 cm. Aplicamos el recíproco de Pitágoras.
Las dos cantidades coinciden. El triángulo es rectángulo y la hipotenusa mide 5 cm.
Diagnóstico 5. Hipotenusa
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula la hipotenusa.
Ver solución razonada
Diagnóstico 6. Cateto
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm. Calcula el otro cateto.
Ver solución razonada
Diagnóstico 7. Diagonal del rectángulo
Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 cm por 12 cm.
Ver solución razonada
La diagonal es la hipotenusa del triángulo que forman dos lados consecutivos.
Diagnóstico 8. Lados correspondientes
Dos triángulos son semejantes. En el primero, dos lados miden 6 cm y 9 cm. El lado del segundo que corresponde al de 6 cm mide 10 cm. Calcula el correspondiente al de 9 cm.
Ver solución razonada
El segundo triángulo es mayor y ambos lados se multiplican por el mismo factor.
Diagnóstico 9. Escala 1:500
En un plano a escala 1:500, una distancia mide 3,2 cm. Calcula la distancia real.
Ver solución razonada
Diagnóstico 10. Circunferencia y círculo
Calcula la longitud de la circunferencia y el área de un círculo de radio 4 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 11. Área del triángulo
Calcula el área de un triángulo de base 10 cm y altura correspondiente 7 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 12. Área del trapecio
Un trapecio tiene bases de 12 cm y 8 cm y altura de 5 cm. Calcula su área.
Ver solución razonada
Diagnóstico 13. Perímetro del pentágono
Calcula el perímetro de un pentágono regular de lado 6 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 14. Volumen del prisma
Un prisma tiene área de base 24 cm² y altura perpendicular 10 cm. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Diagnóstico 15. Volumen del cilindro
Calcula el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 8 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 16. Volumen del cono
Calcula el volumen de un cono de radio 3 cm y altura perpendicular 12 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 17. Área de la esfera
Calcula el área de una esfera de radio 5 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 18. Volumen de la esfera
Calcula el volumen de una esfera de radio 5 cm.
Ver solución razonada
Diagnóstico 19. Área restante
De un rectángulo de 12 cm por 8 cm se recorta otro de 4 cm por 3 cm, situado por completo en su interior. Calcula el área restante.
Ver solución razonada
El resultado es positivo y menor que los 96 cm² iniciales.
Diagnóstico 20. De metros cuadrados a centímetros cuadrados
Convierte 2,5 m² en cm².
Ver solución razonada
Cada metro equivale a 100 cm. Al tratarse de una superficie, el factor se eleva al cuadrado.
Qué repasar después de la prueba inicial
El total de aciertos orienta, pero el tipo de error importa más. No es lo mismo olvidar una conversión que elegir una relación que no corresponde a la figura.
| Preguntas | Contenido que debes revisar |
|---|---|
| 1–3 y 13 | Repaso de ángulos y polígonos. |
| 4–7 | Pitágoras y lectura del triángulo rectángulo. |
| 8–9 | Correspondencias y unidades de la escala. |
| 10–12 y 19 | Fórmulas planas y descomposición de áreas. |
| 14–18 y 20 | Cuerpos, capacidad y potencias de las unidades. |
Si dominas los cálculos directos, empieza por los modelos de Tales, apotemas y recipientes. Si necesitas ayuda, corrige un bloque y vuelve a intentar sus preguntas sin consultar la respuesta.
Repaso breve de figuras y ángulos
Para seguir la guía necesitas reconocer triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, y distinguir base de altura. La altura se mide perpendicularmente a la base; puede quedar fuera de la figura.
Si el polígono es regular, cada ángulo interior mide \(S/n\). Desde cada vértice parten \(n-3\) diagonales y cada una se cuenta dos veces al recorrer todos los vértices: hay \(n(n-3)/2\) diagonales.
La clasificación de figuras y los cálculos con medidas directas se trabajan con más calma en Geometría de 1.º ESO: ángulos, perímetros y áreas. Aquí utilizaremos esas ideas para deducir medidas que no vienen dadas.
Pitágoras: reconocer el triángulo y elegir la operación
Los catetos \(a\) y \(b\) forman el ángulo recto. La hipotenusa \(c\) queda enfrente y es el lado mayor. La posición del dibujo no cambia sus nombres.
Primero iguala las unidades. Las sumas o restas bajo la raíz son de longitudes al cuadrado. Al extraer la raíz vuelves a una longitud; en este contexto se toma la raíz positiva.
La hipotenusa calculada debe superar a cada cateto. Un cateto calculado debe ser menor que la hipotenusa.
También permite comprobar si un triángulo es rectángulo
Ordena sus lados y llama \(c\) al mayor. Si las medidas forman un triángulo y \(a^2+b^2=c^2\), es rectángulo. Si no se cumple la igualdad, no lo es. En un triángulo isósceles, la altura trazada desde el vértice desigual divide la base en dos mitades: ahí aparecen dos triángulos rectángulos.
Tales, semejanza y escalas
Dos figuras son semejantes cuando conservan la forma: tienen iguales los ángulos correspondientes y sus longitudes correspondientes guardan una misma razón \(k\). Fija el sentido de esa razón antes de calcular.
Si \(k>1\), hay ampliación. Si \(0<k<1\), hay reducción. En triángulos basta comprobar dos ángulos iguales —criterio AA—, tres lados proporcionales —LLL— o dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual —LAL—.
Tales: lados que se corresponden
En el dibujo, \(B\) está en \(AD\), \(C\) está en \(AE\) y \(BC\parallel DE\). Los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes.
Una longitud desde \(A\) se compara con otra desde \(A\). Si el dato es el tramo \(BD\), primero calcula \(AD=AB+BD\). También puede escribirse \(AB/BD=AC/CE\), manteniendo el mismo tipo de tramo en ambos lados.
Alturas mediante sombras
Las alturas son verticales y el suelo, horizontal. Las sombras se miden al mismo tiempo y en el mismo lugar, con la misma inclinación de los rayos solares. Esas condiciones permiten formar triángulos semejantes.
No basta con que aparezcan dos sombras: si cambian la hora o la inclinación del terreno, la proporción utilizada necesita una nueva justificación.
Escalas: primero longitudes en la misma unidad
Una escala \(1:n\) significa que una unidad del dibujo representa \(n\) unidades reales.
Una habitación de \(4\text{ m}\) mide \(400\text{ cm}\). A escala \(1:100\), se dibuja con \(400/100=4\text{ cm}\). Nunca compares directamente 4 m con 4 cm sin convertir.
Longitudes, áreas y volúmenes no cambian igual
Las reglas de área y volumen requieren figuras o cuerpos semejantes. Duplicar todas las longitudes multiplica el área por cuatro y el volumen por ocho. Duplicar solo una altura no es una ampliación semejante de todo el cuerpo.
Áreas compuestas, arcos y contornos
El perímetro mide la longitud del contorno; el área mide la superficie. Si hay huecos, el enunciado debe precisar si se cuenta solo el borde exterior o también el interior. En una figura compuesta, dibuja una separación auxiliar y decide si debes sumar una parte o restar un hueco.
El diámetro compartido entre rectángulo y semicírculo ayuda a calcular el radio, pero no pertenece al contorno exterior. Un error frecuente es sumarlo al perímetro aunque quede dentro de la figura.
Círculos y sectores
Las fórmulas del sector usan el ángulo central en grados. Para su perímetro, añade los dos radios al arco cuando \(0^\circ<\alpha<360^\circ\). Una circunferencia completa no tiene esos dos bordes radiales.
Radios, alturas y redondeo
Si dan el diámetro, divide entre dos antes de usar \(r^2\) o \(r^3\). Conserva \(\pi\) y las raíces durante el cálculo; aproxima al final. Las superficies se expresan en \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\) u otra unidad cuadrada.
En polígonos regulares, \(A=Pa/2\), donde \(a\) es la apotema. Si no viene dada, a veces puede deducirse con Pitágoras, como en el hexágono regular.
Cuerpos: desarrollos, superficies y volúmenes
Un poliedro tiene caras poligonales, aristas y vértices. Un prisma tiene dos bases paralelas e iguales; una pirámide tiene una base y caras laterales triangulares que se encuentran en un vértice.
En un poliedro convexo se cumple la relación de Euler \(v-e+f=2\). Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. Un prisma de base de \(n\) lados tiene \(2n\) vértices, \(3n\) aristas y \(n+2\) caras.
Desarrollar la superficie aclara qué hay que sumar
Un prisma recto se abre en dos bases y rectángulos laterales. En un cilindro circular recto, la superficie lateral se desarrolla como un rectángulo de lados \(2\pi r\) y \(h\).
La etiqueta de una lata utiliza solo el lateral. Para una caja o un recipiente abierto, cuenta únicamente las caras que existen. Un cilindro cerrado lleva dos bases; uno abierto por arriba lleva una.
Altura y generatriz de un cono
En un cono circular recto, la altura \(h\) es perpendicular a la base. La generatriz \(g\) recorre el lateral. La sección por el eje muestra el triángulo rectángulo que relaciona ambas longitudes con el radio.
El volumen utiliza \(h\); el área lateral utiliza \(g\). Intercambiarlas cambia el resultado aunque las dos medidas estén expresadas en centímetros.
Altura y apotema lateral de una pirámide regular
En una pirámide regular, \(a_b\) es la apotema de la base y \(a_l\), la altura de una cara lateral. La altura vertical \(h\) llega al centro de la base.
El área lateral es \(P_ba_l/2\). La apotema lateral no es la arista que une el vértice de la pirámide con una esquina de la base.
Volumen y capacidad
Prismas y cilindros tienen volumen \(A_bh\). En pirámides y conos de la misma base y altura, el volumen es la tercera parte, \(A_bh/3\). La altura se mide perpendicularmente a la base.
\(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\)
Para calcular la capacidad de un depósito usa sus dimensiones interiores. Una longitud se convierte con un factor lineal; en un área el factor se eleva al cuadrado y en un volumen, al cubo. El recurso sobre el sistema métrico decimal y sus conversiones permite repasar esos pasos sin interrumpir el estudio de geometría.
Formulario de geometría
\(P\) es perímetro, \(A\) área y \(V\) volumen. El subíndice \(b\) indica base; \(l\), lateral, y \(t\), total. La altura \(h\) es perpendicular a la base. En este formulario, los cilindros y conos son circulares rectos.
| Relación | Fórmula y condición |
|---|---|
| Pitágoras | \(c^2=a^2+b^2\). Solo en un triángulo rectángulo; \(c\) es la hipotenusa. |
| Tales | \(AB/AD=AC/AE=BC/DE\), con \(BC\parallel DE\), según el dibujo. |
| Semejanza | \(k=l^\prime/l\), \(\ P^\prime=kP\), \(\ A^\prime=k^2A\), \(\ V^\prime=k^3V\). |
| Escala \(1:n\) | \(l_{\mathrm{real}}=n\,l_{\mathrm{dibujo}}\). Expresa ambas en la misma unidad. |
| Figura | Perímetro o longitud | Área |
|---|---|---|
| Cuadrado, lado \(l\) | \(P=4l\) | \(A=l^2\) |
| Rectángulo, lados \(b,h\) | \(P=2(b+h)\) | \(A=bh\) |
| Triángulo, lados \(a,b,c\) | \(P=a+b+c\) | \(A=bh/2\) |
| Paralelogramo | \(P=2(a+b)\) | \(A=bh\) |
| Rombo | \(P=4l\) | \(A=Dd/2\) |
| Trapecio | Suma de los cuatro lados | \(A=(B+b)h/2\) |
| Polígono regular | \(P=nl\) | \(A=Pa/2\) |
| Círculo | \(L=2\pi r\) | \(A=\pi r^2\) |
| Sector de ángulo \(\alpha\) | \(L_{\mathrm{arco}}=\alpha\cdot2\pi r/360^\circ\) | \(A=\alpha\cdot\pi r^2/360^\circ\) |
| Corona circular | \(R>r\) | \(A=\pi(R^2-r^2)\) |
| Cuerpo | Superficie | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo, arista \(l\) | \(A_t=6l^2\) | \(V=l^3\) |
| Ortoedro, aristas \(a,b,c\) | \(A_t=2(ab+ac+bc)\) | \(V=abc\) |
| Prisma recto | \(A_l=P_bh\) \(A_t=A_l+2A_b\) | \(V=A_bh\) |
| Pirámide regular | \(A_l=P_ba_l/2\) \(A_t=A_l+A_b\) | \(V=A_bh/3\) |
| Cilindro cerrado | \(A_l=2\pi rh\) \(A_t=2\pi rh+2\pi r^2\) | \(V=\pi r^2h\) |
| Cono cerrado | \(A_l=\pi rg\) \(A_t=\pi rg+\pi r^2\) | \(V=\pi r^2h/3\) |
| Esfera | \(A=4\pi r^2\) | \(V=4\pi r^3/3\) |
| Semiesfera con base | \(A_{\mathrm{curva}}=2\pi r^2\) \(A_t=3\pi r^2\) | \(V=2\pi r^3/3\) |
En la pirámide regular, \(a_l^2=h^2+a_b^2\). En el cono recto, \(g^2=h^2+r^2\). Para cuerpos abiertos, cuenta las caras existentes en lugar de aplicar automáticamente el área total cerrada.
Si la pirámide no es regular, suma las áreas de sus caras laterales por separado. En un prisma oblicuo, la fórmula lateral \(P_bh\) no es válida en general; la fórmula del volumen \(A_bh\) sí utiliza la altura perpendicular.
20 modelos resueltos paso a paso
Los dos primeros recuperan la base angular. A partir de ahí aparecen longitudes indirectas, semejanza, áreas compuestas y cuerpos. Las superficies se calculan por caras; los volúmenes, con la altura perpendicular a la base.
Modelo 1. Complementarios y suplementarios
Calcula el complementario de \(37^\circ\) y el suplementario de \(143^\circ\).
El complementario completa un ángulo recto; el suplementario completa un ángulo llano.
\(37^\circ+53^\circ=90^\circ\) y \(143^\circ+37^\circ=180^\circ\).
Modelo 2. Tercer ángulo de un triángulo
Dos ángulos de un triángulo miden \(48^\circ\) y \(67^\circ\). Calcula el tercero.
Los tres ángulos suman \(180^\circ\).
Modelo 3. Calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 cm y 24 cm. Calcula la hipotenusa.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Como buscamos ese lado, sumamos los cuadrados de los catetos.
\(25>24>7\) y \(7^2+24^2=25^2\). La longitud es positiva.
Modelo 4. Calcular un cateto
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 17 cm y un cateto de 8 cm. Calcula el otro cateto.
La hipotenusa ya es conocida. Despejamos el cuadrado del cateto que falta.
\(8^2+15^2=64+225=289=17^2\).
Modelo 5. Diagonal de un rectángulo
Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. Calcula la longitud de su diagonal.
La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos de catetos 15 cm y 8 cm.
La diagonal es mayor que cada lado y menor que su suma, 23 cm.
Modelo 6. Escalera apoyada en una pared
Una escalera recta de 5 m se apoya en una pared perpendicular al suelo horizontal. Su pie está a 3 m de la pared. ¿Qué altura alcanza?
La escalera es la hipotenusa. La altura buscada y la distancia a la pared son los catetos.
\(3^2+4^2=5^2\). La altura es menor que los 5 m de la escalera.
Modelo 7. Tales con segmentos identificados
Los puntos A, B y D están alineados en ese orden. A, C y E están alineados en otra recta y \(BC\parallel DE\). Se conocen \(AB=4\) cm, \(AD=6\) cm y \(AE=9\) cm. Calcula \(AC\).
Las paralelas hacen semejantes los triángulos ABC y ADE. Comparamos cada lado pequeño con su correspondiente grande.
\(AC/AE=6/9=2/3=AB/AD\). Además, \(AC<AE\), como exige la posición de los puntos.
Modelo 8. Altura de un árbol mediante sombras
En terreno horizontal, una persona de 1,6 m proyecta una sombra de 2 m. En el mismo instante, un árbol vertical proyecta una sombra de 7,5 m. Calcula su altura.
Los rayos solares llegan con la misma inclinación. Los triángulos de altura y sombra son semejantes.
La sombra del árbol es \(7{,}5/2=3{,}75\) veces la de la persona; su altura también es \(1{,}6\cdot3{,}75=6\) m.
Modelo 9. Distancia en un mapa
En un mapa a escala 1:25 000, dos pueblos están separados 6 cm. Calcula la distancia real que representa ese segmento.
La escala relaciona longitudes expresadas en la misma unidad.
Un centímetro representa 250 m; seis representan \(6\cdot250=1500\) m.
Modelo 10. Área de un triángulo
Un triángulo tiene base de 18 cm y altura perpendicular a esa base de 9 cm. Calcula su área.
La altura que se emplea debe corresponder a la base elegida.
Es la mitad del área de un rectángulo de base 18 cm y altura 9 cm.
Modelo 11. Área de un trapecio
Un trapecio tiene bases de 15 cm y 9 cm y altura de 6 cm. Calcula su área.
La base media es \((15+9)/2=12\) cm; \(12\cdot6=72\) cm².
Modelo 12. Hexágono regular y apotema
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de lado 5 cm.
Al unir el centro con los vértices aparecen seis triángulos equiláteros. La apotema divide uno de ellos en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 5 cm y cateto 2,5 cm.
La apotema es menor que el lado. Se mantiene el valor exacto hasta redondear el área al final.
Modelo 13. Circunferencia y área del círculo
Un círculo tiene radio 6 cm. Calcula su área y la longitud de su circunferencia.
La longitud lleva cm; el área, cm². El diámetro es 12 cm y también se cumple \(L=\pi d\).
Modelo 14. Área y perímetro de un semicírculo
Calcula el área y el perímetro de un semicírculo de radio 4 cm.
El área es la mitad de la del círculo. El contorno incluye media circunferencia y el diámetro.
\(4\pi\) cm es solo el arco. Para cerrar el contorno faltan los 8 cm del diámetro.
Modelo 15. Rectángulo y semicírculo
A un rectángulo de 14 cm por 10 cm se adosa exteriormente un semicírculo por su diámetro, que coincide con un lado de 10 cm. Las superficies no se superponen. Calcula el área de la figura.
El área total es mayor que 140 cm² porque hemos añadido superficie exterior.
Modelo 16. Superficie y volumen de una caja
Una caja rectangular cerrada se modeliza como un ortoedro de 8 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Calcula el área total y el volumen.
Las seis caras se agrupan en tres parejas de rectángulos iguales.
La superficie cuenta caras; el volumen multiplica tres longitudes. Por eso sus unidades son distintas.
Modelo 17. Volumen de una pirámide
Una pirámide tiene base cuadrada de lado 6 cm y altura perpendicular de 10 cm. Calcula su volumen.
El prisma con la misma base y altura tendría 360 cm³. La pirámide ocupa su tercera parte.
Modelo 18. Cilindro recto cerrado
Un cilindro recto cerrado tiene radio 4 cm y altura 10 cm. Calcula el área lateral, el área total y el volumen.
La superficie total incluye el lateral y dos bases circulares.
El área total supera al área lateral exactamente en el área de las dos bases, \(32\pi\) cm².
Modelo 19. Cono recto
Un cono recto tiene radio 3 cm, altura 4 cm y generatriz 5 cm. Calcula el área lateral, el área total y el volumen.
La generatriz se usa en la superficie lateral; la altura perpendicular, en el volumen.
Los datos cumplen \(3^2+4^2=5^2\). Al área lateral se añade una sola base.
Modelo 20. Superficie y volumen de la esfera
Calcula el área y el volumen de una esfera de radio 3 cm.
Coincide el coeficiente numérico, pero se miden magnitudes distintas. cm² y cm³ no son intercambiables.
6 modelos para aplicar varias ideas
En estos problemas hay que tomar una decisión antes de operar: completar una longitud, distinguir factores de escala, deducir una apotema o contar solo las caras que se fabrican.
Modelo 21. Reconocer el triángulo rectángulo y deducir otra altura
Una pieza triangular tiene lados de 20 cm, 21 cm y 29 cm. Comprueba si es un triángulo rectángulo y calcula la altura perpendicular al lado de 29 cm.
El lado mayor mide \(29\ \mathrm{cm}\). Para comprobar si hay un ángulo recto, comparamos su cuadrado con la suma de los otros dos.
Se cumple el recíproco de Pitágoras. Los lados de \(20\) y \(21\ \mathrm{cm}\) son catetos.
La altura pedida llega perpendicularmente al lado de \(29\ \mathrm{cm}\); no coincide con ninguno de los dos catetos.
Comprobación. \(\frac{29\cdot(420/29)}{2}=210\ \mathrm{cm^2}\), la misma área obtenida con los catetos.
Modelo 22. Tales: un tramo y la longitud completa
En el triángulo ADE, B está entre A y D y C está entre A y E. El segmento BC es paralelo a DE. Se conocen AB = 4,8 cm, BD = 3,2 cm y AC = 6,3 cm. Calcula AE y CE.
Primero calculamos la longitud completa de la primera secante.
Como \(BC\parallel DE\), los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes. Comparamos los lados que parten de \(A\).
Comprobación. \(\frac{AB}{BD}=\frac{4{,}8}{3{,}2}=1{,}5\) y \(\frac{AC}{CE}=\frac{6{,}3}{4{,}2}=1{,}5\). Los tramos correspondientes también son proporcionales.
Modelo 23. Una ampliación cambia longitudes, áreas y volúmenes
Una caja cerrada tiene forma de prisma recto de base cuadrada, con lado de base de 5 cm y altura de 10 cm. Se fabrica otra caja semejante aumentando todas sus longitudes un 20 %. Calcula el perímetro de la nueva base, el área exterior y el volumen.
Un aumento del \(20\,\%\) en cada longitud corresponde al factor \(k=1{,}20\).
El perímetro se multiplica por \(k\), el área por \(k^2\) y el volumen por \(k^3\).
Comprobación. La nueva base tiene lado \(6\ \mathrm{cm}\) y la altura es \(12\ \mathrm{cm}\). Así, \(A'=2\cdot6^2+4\cdot6\cdot12=360\ \mathrm{cm^2}\) y \(V'=6^2\cdot12=432\ \mathrm{cm^3}\).
El área aumenta un \(44\,\%\) y el volumen un \(72{,}8\,\%\), aunque cada longitud haya aumentado solo un \(20\,\%\).
Modelo 24. Pirámide: altura y apotema lateral
Una pirámide regular tiene base cuadrada de lado 14 cm y altura de 24 cm. Calcula la apotema lateral, el área total y el volumen.
La altura llega al centro de la base. Desde el centro hasta el punto medio de un lado hay \(14/2=7\ \mathrm{cm}\). Este segmento y la altura forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la apotema lateral \(a_{\mathrm{l}}\).
Comprobación. La apotema \(25\ \mathrm{cm}\) es mayor que la altura \(24\ \mathrm{cm}\). El volumen es la tercera parte del prisma con la misma base y altura: \(196\cdot24/3=1568\ \mathrm{cm^3}\).
Modelo 25. Un recipiente cilíndrico abierto y su coste
Se fabrica un recipiente cilíndrico sin tapa, con radio interior de 30 cm y altura de 80 cm. La chapa cuesta 12 €/m². Desprecia el grosor, las uniones y los recortes. Calcula la superficie de chapa y su coste.
El recipiente necesita la superficie lateral y una sola base.
Comprobación. Al convertir desde \(\mathrm{cm^2}\) a \(\mathrm{m^2}\) dividimos entre \(10000\). Añadir una segunda base cobraría una tapa que no se fabrica.
Modelo 26. Capacidad y nivel del agua
Un depósito rectangular tiene medidas interiores de 1,5 m de largo, 80 cm de ancho y 1 m de alto. Contiene 180 L y se añaden otros 420 L. Calcula su capacidad total, comprueba si rebosa y averigua la altura del agua.
Primero expresamos las longitudes en metros y el volumen de agua en metros cúbicos.
No rebosa porque \(600<1200\). Para hallar el nivel del agua usamos \(V=A_{\mathrm{b}}\cdot h\).
Comprobación. Hay \(600\ \mathrm{L}\) de una capacidad de \(1200\ \mathrm{L}\): el depósito está a la mitad. Como sus paredes son verticales, el agua alcanza la mitad de su altura.
80 actividades para practicar y corregir
Elige el bloque que necesitas. Las actividades básicas sirven de repaso; no es necesario repetirlas si ya las resuelves con seguridad. En cada respuesta tienes los pasos y la unidad final.
Los conos y cilindros son circulares rectos. Se indica expresamente cuándo un prisma es recto o una pirámide es regular.
Soluciones junto a cada actividad
1–10 · Ángulos y polígonos · repaso
Actividad 1. Complementarios
Calcula el complementario de 37°
Ver solución razonada
Los ángulos complementarios suman 90°.
\(x=90^\circ-37^\circ=53^\circ\)
37° + 53° = 90°.
Actividad 2. Suplementarios
Calcula el suplementario de 143°
Ver solución razonada
Los ángulos suplementarios suman 180°.
\(x=180^\circ-143^\circ=37^\circ\)
143° + 37° = 180°.
Actividad 3. Ángulo de un triángulo
En un triángulo dos ángulos miden 48° y 67°. Calcula el tercero
Ver solución razonada
La suma de los tres ángulos es 180°.
\(x=180^\circ-(48^\circ+67^\circ)=65^\circ\)
48° + 67° + 65° = 180°.
Actividad 4. Triángulo isósceles
Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual de 40°. Calcula los otros dos
Ver solución razonada
Los dos ángulos de la base son iguales.
\(2x+40^\circ=180^\circ\)
\(x=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\)
Los otros dos ángulos miden 70° y 70°.
Actividad 5. Ángulo de un cuadrilátero
Tres ángulos de un cuadrilátero miden 85°, 110° y 95°. Calcula el cuarto
Ver solución razonada
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°.
\(x=360^\circ-(85^\circ+110^\circ+95^\circ)=70^\circ\)
Actividad 6. Ángulo interior regular
Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular
Ver solución razonada
En un polígono regular de n lados se reparte por igual la suma (n−2)·180°.
\(\alpha=\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ\)
Actividad 7. Ángulo interior regular
Calcula cada ángulo interior de un octógono regular
Ver solución razonada
En un octógono regular los ocho ángulos interiores son iguales.
\(\alpha=\frac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=135^\circ\)
Actividad 8. Ángulo exterior regular
Calcula cada ángulo exterior de un pentágono regular
Ver solución razonada
Se toma el ángulo exterior adyacente al interior. Los cinco exteriores suman una vuelta.
\(\beta=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\)
El interior mide 180° − 72° = 108°.
Actividad 9. Diagonales
Calcula el número de diagonales de un pentágono
Ver solución razonada
Cada vértice se une a n−3 vértices no consecutivos. Se divide entre dos para no contar cada diagonal dos veces.
\(d=\frac{5(5-3)}{2}=5\)
Actividad 10. Diagonales
Calcula el número de diagonales de un decágono
Ver solución razonada
Aplicamos la misma cuenta para los diez vértices.
\(d=\frac{10(10-3)}{2}=35\)
11–20 · Pitágoras y longitudes indirectas
Actividad 11. Hipotenusa
Catetos 9 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa
Ver solución razonada
Los catetos forman el ángulo recto. La hipotenusa se obtiene sumando sus cuadrados.
\(c^2=9^2+12^2=225\)
\(c=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}\)
15 cm es mayor que cada cateto.
Actividad 12. Hipotenusa
Catetos 5 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa
Ver solución razonada
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
\(c^2=5^2+12^2=169\)
\(c=13\ \mathrm{cm}\)
Actividad 13. Cateto
Hipotenusa 10 cm y cateto 6 cm. Calcula el otro cateto
Ver solución razonada
Restamos al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido.
\(x^2=10^2-6^2=64\)
\(x=8\ \mathrm{cm}\)
6² + 8² = 10².
Actividad 14. Cateto
Hipotenusa 25 cm y cateto 7 cm. Calcula el otro cateto
Ver solución razonada
La hipotenusa es 25 cm. El cateto buscado debe ser menor.
\(x^2=25^2-7^2=576\)
\(x=24\ \mathrm{cm}\)
7² + 24² = 25².
Actividad 15. Diagonal de un rectángulo
Calcula la diagonal de un rectángulo de 6 cm por 8 cm
Ver solución razonada
La diagonal es la hipotenusa del triángulo formado por dos lados contiguos.
\(d^2=6^2+8^2=100\)
\(d=10\ \mathrm{cm}\)
Actividad 16. Diagonal de un cuadrado
Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm
Ver solución razonada
Los dos catetos miden 7 cm.
\(d^2=7^2+7^2=98\)
\(d=\sqrt{98}=7\sqrt2\ \mathrm{cm}\)
Actividad 17. Escalera y altura
Una escalera de 13 m se apoya en una pared perpendicular a un suelo horizontal; su pie está a 5 m de la pared. Calcula la altura de apoyo.
Ver solución razonada
La escalera es la hipotenusa. La altura de apoyo y la separación a la pared son los catetos.
\(h^2=13^2-5^2=144\)
\(h=12\ \mathrm{m}\)
5² + 12² = 13².
Actividad 18. Cable y diagonal
Un cable forma un triángulo rectángulo con catetos 8 m y 15 m. Calcula su longitud
Ver solución razonada
El cable corresponde a la hipotenusa.
\(L^2=8^2+15^2=289\)
\(L=17\ \mathrm{m}\)
17 m es mayor que 15 m y menor que 8 m + 15 m.
Actividad 19. Lado de un rombo
Un rombo tiene diagonales 16 cm y 30 cm. Calcula su lado
Ver solución razonada
Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente por sus puntos medios.
\(\frac{16}{2}=8\ \mathrm{cm},\qquad\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}\)
\(l^2=8^2+15^2=289\)
\(l=17\ \mathrm{cm}\)
Actividad 20. Altura de un isósceles
Un triángulo isósceles tiene lados iguales de 13 cm y base 10 cm. Calcula la altura
Ver solución razonada
La altura trazada al lado desigual divide la base en dos segmentos de 5 cm.
\(h^2=13^2-5^2=144\)
\(h=12\ \mathrm{cm}\)
La altura es menor que los lados iguales de 13 cm.
21–30 · Tales, semejanza y escalas
Actividad 21. Razón de semejanza
Dos triángulos semejantes tienen razón pequeño/grande 3/5. Si un lado pequeño mide 6 cm, calcula el correspondiente grande
Ver solución razonada
Mantenemos el orden pequeño/grande en ambos cocientes.
\(\frac{6}{x}=\frac35\)
\(3x=30\quad\Longrightarrow\quad x=10\ \mathrm{cm}\)
Actividad 22. Razón de semejanza
La razón pequeño/grande es 4/7. Si el lado grande mide 21 cm, calcula el pequeño
Ver solución razonada
El lado pequeño es 4/7 del lado grande.
\(x=21\cdot\frac47=12\ \mathrm{cm}\)
12/21 = 4/7.
Actividad 23. Sombras
Una persona de 1,8 m proyecta una sombra de 1,5 m. En ese mismo momento, sobre suelo horizontal, un poste vertical proyecta una sombra de 6 m. Calcula su altura.
Ver solución razonada
A la misma hora y con suelo horizontal, las alturas y sus sombras son lados correspondientes de triángulos semejantes.
\(\frac{h}{6}=\frac{1{,}8}{1{,}5}\)
\(h=6\cdot\frac{1{,}8}{1{,}5}=7{,}2\ \mathrm{m}\)
La sombra del poste es cuatro veces la de la persona; su altura también.
Actividad 24. Escala y distancia real
En un mapa 1:50 000, una distancia mide 4 cm. Calcula la real
Ver solución razonada
La escala 1:50 000 significa que 1 cm del mapa representa 50 000 cm reales.
\(L=4\cdot50\,000=200\,000\ \mathrm{cm}\)
\(L=2\,000\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{km}\)
Actividad 25. Escala y distancia dibujada
En un plano 1:200, una longitud real mide 6 m. Calcula su medida en el plano
Ver solución razonada
Pasamos la longitud real a centímetros antes de dividir por 200.
\(6\ \mathrm{m}=600\ \mathrm{cm}\)
\(l=\frac{600}{200}=3\ \mathrm{cm}\)
Actividad 26. Escala de una maqueta
Una maqueta está a escala 1:25. Una pieza mide 12 cm. Calcula la longitud real
Ver solución razonada
Cada centímetro de la maqueta representa 25 cm reales.
\(L=12\cdot25=300\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{m}\)
Actividad 27. Proporción
Resuelve 3/5 = x/20
Ver solución razonada
Multiplicamos en cruz y despejamos.
\(3\cdot20=5x\)
\(x=\frac{60}{5}=12\)
12/20 = 3/5.
Actividad 28. Proporción
Resuelve 8/12 = 10/x
Ver solución razonada
El denominador x debe ser distinto de cero.
\(8x=12\cdot10\)
\(x=\frac{120}{8}=15\)
8/12 = 10/15 = 2/3.
Actividad 29. Ampliación de lados
Un triángulo de lados 4, 6 y 8 se amplía con factor 1,5. Calcula los nuevos lados
Ver solución razonada
La misma razón lineal multiplica cada lado.
\(4\cdot1{,}5=6,\qquad6\cdot1{,}5=9\)
\(8\cdot1{,}5=12\)
Los lados resultan 6, 9 y 12 en las mismas unidades que los datos.
Actividad 30. Razón de áreas
Dos figuras semejantes tienen razón lineal mayor/menor igual a 2. Si el área menor es 18 cm², calcula la mayor.
Ver solución razonada
Si se duplican las longitudes, las áreas se multiplican por el cuadrado de la razón.
\(\frac{A_{\mathrm{mayor}}}{A_{\mathrm{menor}}}=2^2=4\)
\(A_{\mathrm{mayor}}=18\cdot4=72\ \mathrm{cm}^2\)
31–50 · Perímetros y áreas planas
Actividad 31. Cuadrado
Cuadrado de lado 9 cm. Calcula perímetro y área
Ver solución razonada
El perímetro mide el contorno; el área, la superficie.
\(P=4\cdot9=36\ \mathrm{cm}\)
\(A=9^2=81\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 32. Rectángulo
Rectángulo de 12 cm por 7 cm. Calcula perímetro y área
Ver solución razonada
Se suman los cuatro lados para el perímetro y se multiplican base y altura para el área.
\(P=2(12+7)=38\ \mathrm{cm}\)
\(A=12\cdot7=84\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 33. Área triangular
Triángulo de base 14 cm y altura 9 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
La altura es perpendicular a la base.
\(A=\frac{14\cdot9}{2}=63\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 34. Área del paralelogramo
Paralelogramo de base 11 cm y altura 6 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
Se multiplica la base por su altura perpendicular.
\(A=11\cdot6=66\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 35. Área del rombo
Rombo de diagonales 18 cm y 10 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
El área es la mitad del producto de las diagonales.
\(A=\frac{18\cdot10}{2}=90\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 36. Área del trapecio
Trapecio de bases 16 cm y 10 cm y altura 7 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
Multiplicamos la semisuma de las bases paralelas por la altura.
\(A=\frac{16+10}{2}\cdot7=91\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 37. Hexágono y apotema
Hexágono regular de lado 6 cm. Calcula perímetro y área
Ver solución razonada
El hexágono regular se divide en seis triángulos equiláteros. La apotema es la altura de uno de ellos.
\(P=6\cdot6=36\ \mathrm{cm}\)
\(a=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3\ \mathrm{cm}\)
\(A=\frac{36\cdot3\sqrt3}{2}=54\sqrt3\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 38. Círculo con radio
Círculo de radio 5 cm. Calcula longitud y área
Ver solución razonada
La longitud corresponde a la circunferencia.
\(L=2\pi\cdot5=10\pi\ \mathrm{cm}\)
\(A=\pi\cdot5^2=25\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 39. Círculo con diámetro
Círculo de diámetro 14 cm. Calcula longitud y área
Ver solución razonada
Primero calculamos el radio.
\(r=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{cm}\)
\(L=\pi\cdot14=14\pi\ \mathrm{cm}\)
\(A=\pi\cdot7^2=49\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 40. Semicírculo y contorno
Semicírculo de radio 6 cm. Calcula área y perímetro
Ver solución razonada
El área es media área circular. El perímetro incluye el arco y el diámetro.
\(A=\frac{\pi\cdot6^2}{2}=18\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(P=\pi\cdot6+2\cdot6=(6\pi+12)\ \mathrm{cm}\)
El diámetro forma parte del borde de la figura.
Actividad 41. Cuarto de círculo
Cuarto de círculo de radio 8 cm. Calcula área y perímetro
Ver solución razonada
El perímetro incluye un cuarto de circunferencia y dos radios.
\(A=\frac{\pi\cdot8^2}{4}=16\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(P=\frac{2\pi\cdot8}{4}+2\cdot8\)
\(P=(4\pi+16)\ \mathrm{cm}\)
Actividad 42. Corona circular
Corona circular de radios 8 cm y 5 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
Restamos el círculo interior del exterior.
\(A=\pi(8^2-5^2)=39\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 43. Área con recorte
Rectángulo de 15 cm por 10 cm al que se quita un cuadrado de 4 cm de lado. Calcula el área
Ver solución razonada
El cuadrado retirado está completamente contenido en el rectángulo.
\(A=15\cdot10-4^2=134\ \mathrm{cm}^2\)
134 cm² es menor que los 150 cm² iniciales.
Actividad 44. Área con recorte
Rectángulo de 12 cm por 10 cm al que se quita otro de 5 cm por 4 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
Restamos el área del rectángulo retirado.
\(A=12\cdot10-5\cdot4=100\ \mathrm{cm}^2\)
100 + 20 = 120 cm².
Actividad 45. Cuadrado menos círculo
Un círculo de radio 5 cm está dentro de un cuadrado de lado 10 cm. Calcula el área exterior al círculo
Ver solución razonada
Restamos el círculo inscrito al cuadrado.
\(A=10^2-\pi\cdot5^2\)
\(A=(100-25\pi)\ \mathrm{cm}^2\)
Como π < 4, el área restante es positiva.
Actividad 46. Sector de 90 grados
Sector circular de 90° y radio 6 cm. Calcula área y arco
Ver solución razonada
90° es la cuarta parte de una vuelta. Área y arco son la cuarta parte de los del círculo.
\(A=\frac{90}{360}\pi\cdot6^2=9\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(L_{\mathrm{arco}}=\frac{90}{360}\,2\pi\cdot6=3\pi\ \mathrm{cm}\)
Se pide el arco, que no incluye los dos radios.
Actividad 47. Sector de 120 grados
Sector circular de 120° y radio 9 cm. Calcula área y arco
Ver solución razonada
120° es un tercio de una vuelta.
\(A=\frac{120}{360}\pi\cdot9^2=27\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(L_{\mathrm{arco}}=\frac{120}{360}\,2\pi\cdot9=6\pi\ \mathrm{cm}\)
Actividad 48. Equilátero y altura
Triángulo equilátero de lado 8 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
La altura divide la base en dos partes de 4 cm.
\(h=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3\ \mathrm{cm}\)
\(A=\frac{8\cdot4\sqrt3}{2}=16\sqrt3\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 49. Polígono regular
Un pentágono regular tiene perímetro 35 cm y apotema aproximadamente 4,8 cm. Estima su área.
Ver solución razonada
La apotema de 4,8 cm es una medida aproximada. Usamos el perímetro y esa apotema para estimar el área.
\(A\approx\frac{35\cdot4{,}8}{2}=84\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 50. Figura adosada
Un rectángulo de 10 cm por 6 cm lleva adosado un semicírculo de diámetro 6 cm. Calcula el área total
Ver solución razonada
Las dos piezas solo comparten el lado de unión. Sumamos sus áreas.
\(r=\frac62=3\ \mathrm{cm}\)
\(A=10\cdot6+\frac{\pi\cdot3^2}{2}\)
\(A=\left(60+\frac{9\pi}{2}\right)\ \mathrm{cm}^2\)
51–65 · Superficies de cuerpos
Actividad 51. Área del cubo
Cubo de arista 4 cm. Calcula el área total
Ver solución razonada
Un cubo tiene seis caras cuadradas iguales.
\(A_T=6\cdot4^2=96\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 52. Área del ortoedro
Ortoedro de 8 cm por 5 cm por 3 cm. Calcula el área total
Ver solución razonada
Hay dos caras de cada uno de los tres tipos.
\(A_T=2(8\cdot5+8\cdot3+5\cdot3)\)
\(A_T=2(40+24+15)=158\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 53. Área de un prisma recto
Prisma recto de base cuadrada de lado 4 cm y altura 10 cm. Calcula el área total.
Ver solución razonada
Sumamos las dos bases y las cuatro caras laterales.
\(A_B=4^2=16\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_L=(4\cdot4)\cdot10=160\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=2\cdot16+160=192\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 54. Área de un prisma triangular recto
Prisma recto triangular cuya base tiene lados 5, 5 y 6 cm y altura de 4 cm sobre el lado de 6 cm. La altura del prisma es 10 cm. Calcula el área total.
Ver solución razonada
El perímetro de la base determina la superficie lateral del prisma recto.
\(A_B=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \mathrm{cm}^2\)
\(P_B=5+5+6=16\ \mathrm{cm}\)
\(A_L=16\cdot10=160\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=2\cdot12+160=184\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 55. Áreas del cilindro
Cilindro de radio 3 cm y altura 7 cm. Calcula área lateral y total
Ver solución razonada
El desarrollo lateral es un rectángulo de base 2πr y altura h. Añadimos las dos bases.
\(A_L=2\pi\cdot3\cdot7=42\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=42\pi+2\pi\cdot3^2=60\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 56. Áreas del cilindro
Cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm. Calcula área lateral y total
Ver solución razonada
Calculamos primero el área lateral y después añadimos las bases.
\(A_L=2\pi\cdot5\cdot12=120\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=120\pi+2\pi\cdot5^2=170\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 57. Áreas del cono
Cono de radio 3 cm y generatriz 5 cm. Calcula área lateral y total
Ver solución razonada
La superficie lateral del cono circular recto utiliza la generatriz, no la altura.
\(A_L=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=15\pi+\pi\cdot3^2=24\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 58. Áreas del cono
Cono de radio 6 cm y generatriz 10 cm. Calcula área lateral y total
Ver solución razonada
Añadimos una sola base circular al área lateral.
\(A_L=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=60\pi+\pi\cdot6^2=96\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 59. Área esférica
Esfera de radio 4 cm. Calcula el área
Ver solución razonada
La superficie de una esfera es cuatro veces el área de un círculo de su radio.
\(A=4\pi\cdot4^2=64\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 60. Semiesfera abierta o cerrada
Semiesfera de radio 3 cm. Calcula área curva y área total con la base
Ver solución razonada
El área curva es media área esférica. El área total con la base suma un círculo.
\(A_{\mathrm{curva}}=2\pi\cdot3^2=18\pi\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=18\pi+\pi\cdot3^2=27\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 61. Área de una pirámide regular
Pirámide regular de base cuadrada de lado 6 cm y apotema lateral 5 cm. Calcula el área total.
Ver solución razonada
Las cuatro caras laterales tienen la misma altura de 5 cm.
\(A_B=6^2=36\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_L=\frac{(4\cdot6)\cdot5}{2}=60\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=36+60=96\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 62. Área de una pirámide regular
Pirámide regular de base cuadrada de lado 8 cm y apotema lateral 6 cm. Calcula el área total.
Ver solución razonada
La apotema lateral es la altura de cada cara triangular.
\(A_B=8^2=64\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_L=\frac{(4\cdot8)\cdot6}{2}=96\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=64+96=160\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 63. Área de un prisma hexagonal recto
Prisma recto de base hexagonal regular, lado 3 cm, apotema 3√3/2 cm y altura 10 cm. Calcula el área total.
Ver solución razonada
Calculamos el área de la base y añadimos la superficie lateral.
\(P_B=6\cdot3=18\ \mathrm{cm}\)
\(A_B=\frac{18\cdot(3\sqrt3/2)}{2}=\frac{27\sqrt3}{2}\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_L=18\cdot10=180\ \mathrm{cm}^2\)
\(A_T=(180+27\sqrt3)\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 64. Área total del cilindro
Cilindro de diámetro 10 cm y altura 8 cm. Calcula el área total
Ver solución razonada
Primero obtenemos el radio a partir del diámetro.
\(r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}\)
\(A_T=2\pi\cdot5\cdot8+2\pi\cdot5^2\)
\(A_T=130\pi\ \mathrm{cm}^2\)
Actividad 65. Área total del cono
Cono de diámetro 8 cm y generatriz 10 cm. Calcula el área total
Ver solución razonada
El radio es la mitad del diámetro. La generatriz ya está dada.
\(r=\frac82=4\ \mathrm{cm}\)
\(A_T=\pi\cdot4\cdot10+\pi\cdot4^2\)
\(A_T=56\pi\ \mathrm{cm}^2\)
66–80 · Volúmenes y capacidad
Actividad 66. Volumen del cubo
Cubo de arista 5 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
Multiplicamos las tres dimensiones iguales.
\(V=5^3=125\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 67. Volumen del ortoedro
Ortoedro de 9 cm por 4 cm por 3 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El volumen es el producto de largo, ancho y altura.
\(V=9\cdot4\cdot3=108\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 68. Volumen de un prisma
Prisma de área de base 24 cm² y altura 7 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
La fórmula usa el área de la base y la altura perpendicular a ella.
\(V=24\cdot7=168\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 69. Volumen de un prisma triangular
Prisma recto triangular. Su base es un triángulo de base 8 cm y altura 5 cm, y la altura del prisma es 12 cm. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Primero calculamos el área triangular. Después la multiplicamos por la altura del prisma.
\(A_B=\frac{8\cdot5}{2}=20\ \mathrm{cm}^2\)
\(V=20\cdot12=240\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 70. Volumen de una pirámide
Pirámide cuadrada de lado de base 6 cm y altura 10 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El volumen es la tercera parte del de un prisma con la misma base y altura.
\(A_B=6^2=36\ \mathrm{cm}^2\)
\(V=\frac{36\cdot10}{3}=120\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 71. Volumen de una pirámide
Pirámide de área de base 45 cm² y altura 8 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El área de la base ya está dada.
\(V=\frac{45\cdot8}{3}=120\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 72. Volumen del cilindro
Cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El área de la base circular se multiplica por la altura.
\(V=\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 73. Volumen del cilindro
Cilindro de diámetro 8 cm y altura 6 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
Usamos el radio, no el diámetro.
\(r=\frac82=4\ \mathrm{cm}\)
\(V=\pi\cdot4^2\cdot6=96\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 74. Volumen del cono
Cono de radio 3 cm y altura 12 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El cono ocupa la tercera parte del cilindro de la misma base y altura.
\(V=\frac{\pi\cdot3^2\cdot12}{3}=36\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 75. Volumen del cono
Cono de diámetro 10 cm y altura 9 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
Primero pasamos del diámetro al radio.
\(r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}\)
\(V=\frac{\pi\cdot5^2\cdot9}{3}=75\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 76. Volumen de la esfera
Esfera de radio 3 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
Aplicamos la fórmula de volumen, con el radio elevado al cubo.
\(V=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 77. Volumen de la esfera
Esfera de diámetro 10 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
El diámetro de 10 cm corresponde a un radio de 5 cm.
\(r=5\ \mathrm{cm}\)
\(V=\frac43\pi\cdot5^3=\frac{500\pi}{3}\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 78. Volumen de una semiesfera
Semiesfera de radio 6 cm. Calcula el volumen
Ver solución razonada
Tomamos la mitad del volumen de una esfera del mismo radio.
\(V=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot6^3=144\pi\ \mathrm{cm}^3\)
Actividad 79. Volumen y litros
Un depósito rectangular tiene dimensiones interiores de 2 m, 1,5 m y 1,2 m. Calcula su capacidad en litros.
Ver solución razonada
Usamos las dimensiones interiores útiles del depósito. Cada metro cúbico equivale a 1000 litros.
\(V=2\cdot1{,}5\cdot1{,}2=3{,}6\ \mathrm{m}^3\)
\(C=3{,}6\cdot1000=3600\ \mathrm{L}\)
Actividad 80. Cilindro y litros
Un depósito cilíndrico tiene radio interior de 0,5 m y altura útil de 2 m. Calcula su capacidad en litros.
Ver solución razonada
El radio y la altura útiles se expresan en metros. Después convertimos el volumen a litros.
\(V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2=0{,}5\pi\ \mathrm{m}^3\)
\(C=0{,}5\pi\cdot1000=500\pi\ \mathrm{L}\)
\(C\approx1571\ \mathrm{L}\)
La aproximación final se ha redondeado al litro.
10 problemas tipo examen
Problemas de elaboración propia para practicar; no pertenecen a un examen oficial. Resuelve primero con la solución cerrada. En los problemas de contexto, interpreta el resultado antes de darlo por terminado.
Problema 1. Baldosas y cota mínima por superficie
Un aula rectangular mide 8,4 m por 6,5 m. Las baldosas son cuadradas de 50 cm de lado. Calcula el área del aula y la cota mínima de baldosas por superficie, sin contar pérdidas. Explica por qué la compra real depende de los cortes.
Ver solución razonada
Convertimos el lado de la baldosa a metros antes de comparar superficies.
Hacen falta al menos 219 baldosas por superficie. Esa cota no garantiza que una colocación concreta permita aprovechar todos los recortes. El plan de corte y las pérdidas pueden aumentar la compra.
Problema 2. Longitud de una rampa
Una rampa recta salva una altura vertical de 1,2 m y ocupa 3,5 m sobre el suelo horizontal. Calcula su longitud.
Ver solución razonada
La rampa es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
\(3{,}7>3{,}5\): el tramo inclinado es más largo que su proyección horizontal.
Problema 3. Plano de una vivienda
En un plano a escala 1:100, una habitación rectangular mide 4,8 cm por 3,6 cm. Calcula sus dimensiones y su área reales.
Ver solución razonada
Las longitudes se multiplican por 100 al mantener la misma unidad; las áreas se multiplicarían por \(100^2\), nunca por 100.
Problema 4. Césped alrededor de un estanque
Un jardín rectangular de 20 m por 12 m contiene por completo un estanque circular de radio 3 m. Calcula la superficie de césped.
Ver solución razonada
El resultado es menor que los 240 m² del jardín y mayor que cero.
Problema 5. Pista en forma de corona circular
Una pista ocupa una corona circular de radios 25 m y 20 m. Calcula su área.
Ver solución razonada
Se restan las áreas de dos círculos. \(\pi(25-20)^2\) calcularía un círculo distinto.
Problema 6. Capacidad de un depósito rectangular
Un depósito tiene dimensiones interiores de 2,5 m por 1,8 m por 1,2 m. Calcula su capacidad en litros.
Ver solución razonada
\(1\ \mathrm{m}^3=1000\ \mathrm{L}\). Se utilizan dimensiones interiores para obtener la capacidad.
Problema 7. Etiqueta de una lata
Una lata cilíndrica recta tiene radio 4 cm y altura 12 cm. Calcula el área de una etiqueta que cubra exactamente el lateral, sin solaparse.
Ver solución razonada
Al desplegar el lateral aparece un rectángulo de base igual a la longitud de la circunferencia y altura igual a la de la lata.
La etiqueta cubre solo el lateral. No se suman las dos bases.
Problema 8. Volumen de un cono
Un recipiente se modeliza como un cono de radio interior 3 cm y altura perpendicular 10 cm. Calcula su volumen interior.
Ver solución razonada
Equivale a unos 94,25 mL porque \(1\ \mathrm{cm}^3=1\ \mathrm{mL}\).
Problema 9. Pelota esférica
Una pelota se modeliza como una esfera de diámetro 22 cm. Calcula su área y su volumen.
Ver solución razonada
Las fórmulas emplean el radio, 11 cm. Sustituir 22 cm multiplicaría el área por 4 y el volumen por 8.
Problema 10. Altura de un edificio
En terreno horizontal, un poste vertical de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. En el mismo instante, un edificio vertical proyecta una sombra de 18 m. Calcula la altura del edificio.
Ver solución razonada
La sombra del edificio es 9 veces la del poste, y su altura también es \(9\cdot1{,}5=13{,}5\) m.
Dos simulacros con soluciones desarrolladas
Son pruebas de elaboración propia. Intenta todos los apartados antes de abrir las respuestas. En cada ejercicio, comprueba si has elegido bien el modelo, operado sin errores y escrito la unidad correspondiente.
Simulacro 1 · 45 minutos
Pregunta 1. Ángulo de un triángulo
Calcula el ángulo que falta en un triángulo con \(52^\circ\) y \(71^\circ\).
Ver solución razonada
Pregunta 2. Hipotenusa
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 15 cm.
Ver solución razonada
\(17^2=8^2+15^2\).
Pregunta 3. Sombras
En terreno horizontal, una persona de 1,7 m proyecta una sombra de 2 m y un árbol vertical proyecta otra de 8 m en el mismo instante. Calcula la altura del árbol.
Ver solución razonada
La sombra y la altura del árbol son 4 veces las de la persona.
Pregunta 4. Trapecio
Calcula el área de un trapecio de bases 14 cm y 8 cm y altura 5 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 5. Círculo
Calcula el área de un círculo de radio 7 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 6. Cubo
Calcula el área total de un cubo de arista 6 cm.
Ver solución razonada
El cubo tiene seis caras cuadradas iguales.
Pregunta 7. Cilindro
Calcula el volumen de un cilindro de radio 4 cm y altura 9 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 8. De metros cúbicos a litros
Convierte 1,8 m³ a litros.
Ver solución razonada
Simulacro 2 · 50 minutos
Pregunta 1. Diagonal del rectángulo
Calcula la diagonal de un rectángulo de 12 cm por 16 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 2. Escala de un mapa
En un mapa a escala 1:20 000, una distancia mide 7,5 cm. Calcula la distancia real representada.
Ver solución razonada
Pregunta 3. Rombo
Calcula el área de un rombo de diagonales 24 cm y 10 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 4. Corona circular
Calcula el área de una corona circular de radios 10 cm y 6 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 5. Pirámide
Una pirámide tiene base cuadrada de lado 9 cm y altura perpendicular 12 cm. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Pregunta 6. Superficie total de un cilindro
Calcula el área total de un cilindro recto cerrado de radio 5 cm y altura 7 cm.
Ver solución razonada
Hay dos bases: añaden \(50\pi\) cm² al lateral.
Pregunta 7. Volumen de una esfera
Calcula el volumen de una esfera de radio 4 cm.
Ver solución razonada
Pregunta 8. Depósito cilíndrico
Un depósito cilíndrico tiene radio interior de 1 m y altura interior de 2,5 m. Calcula su capacidad en litros.
Ver solución razonada
Se multiplica el volumen en m³ por 1000, y se redondea al litro al final.
Seguimiento de los intentos
| Bloque o ejercicio | Primer intento | Corrección necesaria | Segundo intento |
|---|---|---|---|
| Pitágoras | □ | Modelo / cálculo / unidad | □ |
| Semejanza y escala | □ | Correspondencia / conversión | □ |
| Áreas y cuerpos | □ | Caras / altura / capacidad | □ |
Errores que cambian el resultado
| Si has hecho esto | Revísalo así |
|---|---|
| Aplicar Pitágoras por la forma del dibujo. | Localiza y justifica el ángulo recto. |
| Sumar para hallar un cateto. | La hipotenusa es el lado mayor; despeja antes de sustituir. |
| Comparar un tramo con una longitud completa. | Marca los extremos de cada segmento en la proporción de Tales. |
| Multiplicar un área por la razón lineal. | En figuras semejantes utiliza \(k^2\); en volúmenes, \(k^3\). |
| Tomar un lado inclinado como altura. | La altura llega perpendicularmente a la base. |
| Contar una unión entre piezas como borde. | Recorre el contorno que se pide; una unión interior entre dos piezas no es un borde de la figura. |
| Usar la generatriz en el volumen de un cono. | El volumen necesita altura vertical; el área lateral, generatriz. |
| Calcular dos bases para un recipiente sin tapa. | Enumera las superficies que realmente existen. |
| Convertir \(\text{cm}^2\) como si fueran cm. | Eleva al cuadrado el factor lineal; al cubo para volúmenes. |
| Redondear cada operación. | Conserva \(\pi\), raíces y cifras de calculadora hasta el resultado final. |
Revisión final
Antes de entregar, revisa tres cosas: qué relación geométrica has utilizado y por qué; qué magnitud representa el resultado; y qué comprobación independiente puedes hacer. Por ejemplo, sustituir en Pitágoras, recuperar la razón de semejanza o comparar el agua con la capacidad del recipiente.
Qué repasar y cómo continuar
El cálculo con medidas dadas y las conversiones tienen sus recursos de apoyo en los apartados anteriores. En esta guía el paso nuevo consiste en deducir medidas, relacionar figuras semejantes y organizar las superficies y volúmenes.
Cuando tu programación llegue a 4.º ESO o a Bachillerato, puedes ampliar la resolución de triángulos con razones trigonométricas y problemas de trigonometría. Esa ampliación no es necesaria para resolver las actividades de esta guía.
Preguntas frecuentes
¿Qué contenidos trabaja esta guía de 2.º ESO?
Longitudes indirectas con Pitágoras, Tales y semejanza, escalas, áreas compuestas, cuerpos, superficies y volúmenes. Los contenidos básicos aparecen como repaso; la distribución por cursos depende de la programación del centro.
¿Cuándo puedo aplicar Pitágoras?
En un triángulo rectángulo, para relacionar sus dos catetos y la hipotenusa. También puedes comprobar si un triángulo es rectángulo comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos.
¿Qué diferencia hay entre altura, apotema lateral y generatriz?
La altura es perpendicular a la base y se utiliza en el volumen. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de una cara triangular. La generatriz de un cono circular recto es una longitud del lateral.
¿Todas las actividades tienen solución?
Sí. Las 20 preguntas iniciales, los 26 modelos, las 80 actividades, los 10 problemas y las 16 preguntas de los dos simulacros incluyen desarrollo o justificación.
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