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Geometría 2 ESO: Pitágoras, semejanza, áreas y volúmenes con ejercicios resueltos
Un recurso completo para aprender a reconocer la figura, elegir la fórmula, trabajar con unidades y comprobar el resultado. Incluye prueba inicial, teoría esencial, 20 ejercicios desarrollados, 80 actividades, problemas tipo examen, dos simulacros y versión imprimible.
En geometría el error no suele empezar en la cuenta. Empieza un poco antes. El alumno ve una escalera, un plano, una figura compuesta o un depósito y no sabe qué dibujo hacer ni qué medida representa cada dato. Entonces prueba fórmulas hasta que alguna parece encajar. Aquí vamos a trabajar de otra manera. Primero entendemos la figura. Después decidimos qué relación sirve y, al final, revisamos si la unidad y el tamaño del resultado tienen sentido.
Un alumno puede saber de memoria que el área del triángulo es base por altura dividido entre dos y, sin embargo, utilizar como altura un lado inclinado. También puede calcular bien un volumen y escribir cm². Son errores pequeños en apariencia, pero revelan que falta una idea clara de lo que se está midiendo.
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1. Cómo trabajar la geometría sin aprender fórmulas a ciegas
- Dibuja o identifica la figura
- Marca todos los datos con sus unidades
- Decide qué longitud, superficie o volumen se pide
- Busca una relación que conecte los datos con la incógnita
- Calcula sin redondear demasiado pronto
- Escribe la unidad correcta
- Comprueba si el resultado puede ser razonable
¿Estoy midiendo una longitud, una superficie o un volumen? ¿La figura es simple o está formada por varias? ¿Me falta una medida que antes debo calcular con Pitágoras o semejanza?
2. Prueba inicial de geometría
Tiempo recomendado 45 minutos. No mires las soluciones hasta terminar. Utiliza π cuando no se indique una aproximación.
- Calcula el complementario de 35°
- Calcula el suplementario de 128°
- En un triángulo dos ángulos miden 45° y 65°. Calcula el tercero
- Decide si un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm es rectángulo
- Calcula la hipotenusa de un triángulo con catetos 6 cm y 8 cm
- Calcula un cateto si la hipotenusa mide 13 cm y el otro cateto 5 cm
- Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 cm por 12 cm
- Dos triángulos son semejantes. Un lado de 6 cm corresponde a otro de 10 cm. ¿Cuánto mide el lado que corresponde a 9 cm?
- En un plano a escala 1:500, una distancia mide 3,2 cm. Calcula la distancia real
- Calcula longitud y área de un círculo de radio 4 cm
- Calcula el área de un triángulo de base 10 cm y altura 7 cm
- Calcula el área de un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y altura 5 cm
- Calcula el perímetro de un pentágono regular de lado 6 cm
- Un prisma tiene área de base 24 cm² y altura 10 cm. Calcula el volumen
- Calcula el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 8 cm
- Calcula el volumen de un cono de radio 3 cm y altura 12 cm
- Calcula el área de una esfera de radio 5 cm
- Calcula el volumen de una esfera de radio 5 cm
- A un rectángulo de 12 cm por 8 cm se le quita otro de 4 cm por 3 cm. Calcula el área restante
- Convierte 2,5 m² a cm²
3. Corrección y diagnóstico
| N.º | Resultado | Bloque |
|---|---|---|
| 1 | 55° | Ángulos |
| 2 | 52° | Ángulos |
| 3 | 70° | Triángulos |
| 4 | Sí | Pitágoras |
| 5 | 10 cm | Pitágoras |
| 6 | 12 cm | Pitágoras |
| 7 | 15 cm | Pitágoras |
| 8 | 15 cm | Semejanza |
| 9 | 16 m | Escalas |
| 10 | 8π cm y 16π cm² | Círculo |
| 11 | 35 cm² | Áreas |
| 12 | 50 cm² | Áreas |
| 13 | 30 cm | Polígonos |
| 14 | 240 cm³ | Prismas |
| 15 | 72π cm³ | Cilindros |
| 16 | 36π cm³ | Conos |
| 17 | 100π cm² | Esfera |
| 18 | 500π/3 cm³ | Esfera |
| 19 | 84 cm² | Figuras compuestas |
| 20 | 25 000 cm² | Unidades |
La base es sólida. Conviene pasar a problemas compuestos y ejercicios tipo examen.
El nivel es suficiente, aunque uno o dos bloques necesitan práctica.
Hay lagunas en Pitágoras, semejanza, áreas o unidades. Trabaja primero esos apartados.
Conviene reconstruir la base con dibujos y ejercicios guiados antes de memorizar más fórmulas.
4. Ángulos, triángulos y polígonos
Dos ángulos son complementarios si suman 90° y suplementarios si suman 180°. Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° y los de un cuadrilátero suman 360°.
Antes de calcular un ángulo, decide si estás dentro de un triángulo, alrededor de un punto, sobre una recta o dentro de un polígono. La suma que debes utilizar depende de esa situación.
5. Teorema de Pitágoras
El teorema solo se aplica a triángulos rectángulos.
Si se busca un cateto, se resta el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa.
La hipotenusa no es el lado que aparece inclinado en el dibujo. Es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el mayor.
6. Teorema de Thales, semejanza y escalas
Dos figuras semejantes tienen la misma forma. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Escalas
Una escala 1:500 significa que 1 unidad en el dibujo representa 500 unidades reales.
Antes de montar una proporción, escribe qué lados se corresponden. Si cambias el orden en una fracción, debes mantenerlo también en la otra.
7. Perímetros y áreas de figuras planas
El perímetro mide el contorno. El área mide la superficie interior. Por eso el perímetro se expresa en unidades lineales y el área en unidades cuadradas.
Figuras compuestas
Una figura compuesta se descompone en figuras conocidas. Después se suman o restan áreas. No hace falta buscar una fórmula nueva para cada dibujo.
Dibuja líneas auxiliares, nombra cada parte y calcula por separado. Al final, comprueba que no has contado dos veces una zona ni has olvidado un hueco.
Circunferencia y círculo
8. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
El área total mide toda la superficie exterior. El volumen mide el espacio ocupado. En prismas y cilindros, el volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. En pirámides y conos aparece la división entre tres.
El área se expresa en cm², m² o unidades cuadradas. El volumen se expresa en cm³, m³ o unidades cúbicas. Los litros miden capacidad y se relacionan con el volumen mediante 1 dm³ = 1 L.
9. Tabla de fórmulas de geometría
| Figura | Perímetro o área | Volumen |
|---|---|---|
| Cuadrado | P = 4 · lado · A = lado² | - |
| Rectángulo | P = 2 · (base + altura) · A = base · altura | - |
| Triángulo | A = base · altura / 2 | - |
| Paralelogramo | A = base · altura | - |
| Rombo | A = diagonal mayor · diagonal menor / 2 | - |
| Trapecio | A = (base mayor + base menor) · altura / 2 | - |
| Polígono regular | A = perímetro · apotema / 2 | - |
| Círculo | L = 2πr · A = πr² | - |
| Prisma | A_total = A_lateral + 2A_base | V = A_base · h |
| Pirámide | A_total = A_lateral + A_base | V = A_base · h / 3 |
| Cilindro | A_lateral = 2πrh · A_total = 2πr(h + r) | V = πr²h |
| Cono | A_lateral = πrg · A_total = πr(g + r) | V = πr²h / 3 |
| Esfera | A = 4πr² | V = 4πr³ / 3 |
10. Veinte ejercicios resueltos paso a paso
1. Ángulos complementarios y suplementarios
Calcula el complementario de 37° y el suplementario de 143°.
Resultado 53° y 37°
2. Ángulo desconocido de un triángulo
Dos ángulos de un triángulo miden 48° y 67°.
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
Resultado 65°
3. Hipotenusa mediante Pitágoras
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 cm y 24 cm.
La hipotenusa debe ser el lado mayor. El resultado es coherente.
Resultado 25 cm
4. Cálculo de un cateto
La hipotenusa mide 17 cm y un cateto mide 8 cm.
Resultado 15 cm
5. Diagonal de un rectángulo
Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho.
Resultado 17 cm
6. Escalera apoyada en una pared
Una escalera de 5 m tiene el pie situado a 3 m de la pared. Calcula la altura que alcanza.
La escalera es la hipotenusa porque queda frente al ángulo recto.
Resultado 4 m
7. Teorema de Thales
Dos segmentos correspondientes miden 4 cm y 6 cm. En la otra transversal, el segmento mayor mide 9 cm. Calcula el menor.
Resultado 6 cm
8. Altura de un árbol mediante sombras
Una persona de 1,6 m proyecta una sombra de 2 m. En el mismo momento, un árbol proyecta una sombra de 7,5 m.
Resultado 6 m
9. Escala de un mapa
En un mapa a escala 1:25 000, dos pueblos están separados 6 cm.
Resultado 1,5 km
10. Área de un triángulo
Un triángulo tiene base 18 cm y altura 9 cm.
Resultado 81 cm²
11. Área de un trapecio
Las bases miden 15 cm y 9 cm, y la altura 6 cm.
Resultado 72 cm²
12. Hexágono regular
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de lado 5 cm.
Un hexágono regular se divide en seis triángulos equiláteros. Su apotema mide 5√3/2 cm.
Resultado Perímetro 30 cm y área 75√3/2 cm²
13. Longitud y área de un círculo
Calcula la longitud y el área de un círculo de radio 6 cm.
Resultado 12π cm y 36π cm²
14. Semicírculo
Calcula el área y el perímetro de un semicírculo de radio 4 cm.
Para el perímetro hay que sumar el arco y el diámetro.
Resultado Área 8π cm² y perímetro 4π + 8 cm
15. Figura compuesta
Un rectángulo de 14 cm por 10 cm tiene adosado un semicírculo cuyo diámetro mide 10 cm.
Resultado 140 + 12,5π cm², aproximadamente 179,27 cm²
16. Prisma rectangular
Una caja mide 8 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto.
Resultado Volumen 120 cm³ y área total 158 cm²
17. Pirámide de base cuadrada
La base es un cuadrado de lado 6 cm y la altura de la pirámide mide 10 cm.
Resultado 120 cm³
18. Cilindro
Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm.
Resultado Volumen 160π cm³ y área total 112π cm²
19. Cono
Un cono tiene radio 3 cm, altura 4 cm y generatriz 5 cm.
Resultado Volumen 12π cm³ y área total 24π cm²
20. Esfera
Calcula el área y el volumen de una esfera de radio 3 cm.
Resultado Área 36π cm² y volumen 36π cm³
11. Ochenta ejercicios para practicar
Intenta resolverlos sin mirar la tabla final. En los ejercicios con π, deja primero el resultado exacto y después aproxima si se pide.
Ángulos y polígonos
- Calcula el complementario de 37°
- Calcula el suplementario de 143°
- En un triángulo dos ángulos miden 48° y 67°. Calcula el tercero
- Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual de 40°. Calcula los otros dos
- Tres ángulos de un cuadrilátero miden 85°, 110° y 95°. Calcula el cuarto
- Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular
- Calcula cada ángulo interior de un octógono regular
- Calcula cada ángulo exterior de un pentágono regular
- Calcula el número de diagonales de un pentágono
- Calcula el número de diagonales de un decágono
Teorema de Pitágoras
- Catetos 9 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa
- Catetos 5 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa
- Hipotenusa 10 cm y cateto 6 cm. Calcula el otro cateto
- Hipotenusa 25 cm y cateto 7 cm. Calcula el otro cateto
- Calcula la diagonal de un rectángulo de 6 cm por 8 cm
- Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm
- Una escalera mide 13 m y su pie está a 5 m de la pared. Calcula la altura
- Un cable forma un triángulo rectángulo con catetos 8 m y 15 m. Calcula su longitud
- Un rombo tiene diagonales 16 cm y 30 cm. Calcula su lado
- Un triángulo isósceles tiene lados iguales de 13 cm y base 10 cm. Calcula la altura
Thales, semejanza y escalas
- Dos triángulos semejantes tienen razón pequeño/grande 3/5. Si un lado pequeño mide 6 cm, calcula el correspondiente grande
- La razón pequeño/grande es 4/7. Si el lado grande mide 21 cm, calcula el pequeño
- Una persona de 1,8 m proyecta una sombra de 1,5 m. Un poste proyecta 6 m. Calcula su altura
- En un mapa 1:50 000, una distancia mide 4 cm. Calcula la real
- En un plano 1:200, una longitud real mide 6 m. Calcula su medida en el plano
- Una maqueta está a escala 1:25. Una pieza mide 12 cm. Calcula la longitud real
- Resuelve 3/5 = x/20
- Resuelve 8/12 = 10/x
- Un triángulo de lados 4, 6 y 8 se amplía con factor 1,5. Calcula los nuevos lados
- Dos figuras semejantes tienen razón lineal 2. Si el área menor es 18 cm², calcula la mayor
Perímetros y áreas planas
- Cuadrado de lado 9 cm. Calcula perímetro y área
- Rectángulo de 12 cm por 7 cm. Calcula perímetro y área
- Triángulo de base 14 cm y altura 9 cm. Calcula el área
- Paralelogramo de base 11 cm y altura 6 cm. Calcula el área
- Rombo de diagonales 18 cm y 10 cm. Calcula el área
- Trapecio de bases 16 cm y 10 cm y altura 7 cm. Calcula el área
- Hexágono regular de lado 6 cm. Calcula perímetro y área
- Círculo de radio 5 cm. Calcula longitud y área
- Círculo de diámetro 14 cm. Calcula longitud y área
- Semicírculo de radio 6 cm. Calcula área y perímetro
- Cuarto de círculo de radio 8 cm. Calcula área y perímetro
- Corona circular de radios 8 cm y 5 cm. Calcula el área
- Rectángulo de 15 cm por 10 cm al que se quita un cuadrado de 4 cm de lado. Calcula el área
- Rectángulo de 12 cm por 10 cm al que se quita otro de 5 cm por 4 cm. Calcula el área
- Un círculo de radio 5 cm está dentro de un cuadrado de lado 10 cm. Calcula el área exterior al círculo
- Sector circular de 90° y radio 6 cm. Calcula área y arco
- Sector circular de 120° y radio 9 cm. Calcula área y arco
- Triángulo equilátero de lado 8 cm. Calcula el área
- Pentágono regular de perímetro 35 cm y apotema 4,8 cm. Calcula el área
- Un rectángulo de 10 cm por 6 cm lleva adosado un semicírculo de diámetro 6 cm. Calcula el área total
Áreas de cuerpos geométricos
- Cubo de arista 4 cm. Calcula el área total
- Ortoedro de 8 cm por 5 cm por 3 cm. Calcula el área total
- Prisma cuadrado de lado de base 4 cm y altura 10 cm. Calcula el área total
- Prisma triangular cuya base tiene lados 5, 5 y 6 cm, altura del triángulo 4 cm y longitud 10 cm. Calcula el área total
- Cilindro de radio 3 cm y altura 7 cm. Calcula área lateral y total
- Cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm. Calcula área lateral y total
- Cono de radio 3 cm y generatriz 5 cm. Calcula área lateral y total
- Cono de radio 6 cm y generatriz 10 cm. Calcula área lateral y total
- Esfera de radio 4 cm. Calcula el área
- Semiesfera de radio 3 cm. Calcula área curva y área total con la base
- Pirámide cuadrada de base 6 cm y apotema lateral 5 cm. Calcula el área total
- Pirámide cuadrada de base 8 cm y apotema lateral 6 cm. Calcula el área total
- Prisma hexagonal regular de lado 3 cm, apotema 3√3/2 cm y altura 10 cm. Calcula el área total
- Cilindro de diámetro 10 cm y altura 8 cm. Calcula el área total
- Cono de diámetro 8 cm y generatriz 10 cm. Calcula el área total
Volúmenes y capacidad
- Cubo de arista 5 cm. Calcula el volumen
- Ortoedro de 9 cm por 4 cm por 3 cm. Calcula el volumen
- Prisma de área de base 24 cm² y altura 7 cm. Calcula el volumen
- Prisma triangular de base 8 cm, altura del triángulo 5 cm y longitud 12 cm. Calcula el volumen
- Pirámide cuadrada de lado de base 6 cm y altura 10 cm. Calcula el volumen
- Pirámide de área de base 45 cm² y altura 8 cm. Calcula el volumen
- Cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm. Calcula el volumen
- Cilindro de diámetro 8 cm y altura 6 cm. Calcula el volumen
- Cono de radio 3 cm y altura 12 cm. Calcula el volumen
- Cono de diámetro 10 cm y altura 9 cm. Calcula el volumen
- Esfera de radio 3 cm. Calcula el volumen
- Esfera de diámetro 10 cm. Calcula el volumen
- Semiesfera de radio 6 cm. Calcula el volumen
- Depósito rectangular de 2 m por 1,5 m por 1,2 m. Calcula capacidad en litros
- Depósito cilíndrico de radio 0,5 m y altura 2 m. Calcula capacidad en litros
12. Soluciones de los 80 ejercicios
| N.º | Resultado | Bloque |
|---|---|---|
| 1 | 53° | Ángulos |
| 2 | 37° | Ángulos |
| 3 | 65° | Triángulos |
| 4 | 70° y 70° | Triángulos |
| 5 | 70° | Polígonos |
| 6 | 120° | Polígonos |
| 7 | 135° | Polígonos |
| 8 | 72° | Polígonos |
| 9 | 5 | Polígonos |
| 10 | 35 | Polígonos |
| 11 | 15 cm | Pitágoras |
| 12 | 13 cm | Pitágoras |
| 13 | 8 cm | Pitágoras |
| 14 | 24 cm | Pitágoras |
| 15 | 10 cm | Pitágoras |
| 16 | 7√2 cm | Pitágoras |
| 17 | 12 m | Pitágoras |
| 18 | 17 m | Pitágoras |
| 19 | 17 cm | Pitágoras |
| 20 | 12 cm | Pitágoras |
| 21 | 10 cm | Semejanza |
| 22 | 12 cm | Semejanza |
| 23 | 7,2 m | Semejanza |
| 24 | 2 km | Escalas |
| 25 | 3 cm | Escalas |
| 26 | 3 m | Escalas |
| 27 | 12 | Thales |
| 28 | 15 | Thales |
| 29 | 6, 9 y 12 | Semejanza |
| 30 | 72 cm² | Semejanza |
| 31 | 36 cm y 81 cm² | Áreas |
| 32 | 38 cm y 84 cm² | Áreas |
| 33 | 63 cm² | Áreas |
| 34 | 66 cm² | Áreas |
| 35 | 90 cm² | Áreas |
| 36 | 91 cm² | Áreas |
| 37 | 36 cm y 54√3 cm² | Áreas |
| 38 | 10π cm y 25π cm² | Círculo |
| 39 | 14π cm y 49π cm² | Círculo |
| 40 | 18π cm² y 6π + 12 cm | Círculo |
| 41 | 16π cm² y 4π + 16 cm | Círculo |
| 42 | 39π cm² | Círculo |
| 43 | 134 cm² | Compuestas |
| 44 | 100 cm² | Compuestas |
| 45 | 100 - 25π cm² | Compuestas |
| 46 | 9π cm² y 3π cm | Sectores |
| 47 | 27π cm² y 6π cm | Sectores |
| 48 | 16√3 cm² | Áreas |
| 49 | 84 cm² | Áreas |
| 50 | 60 + 4,5π cm² | Compuestas |
| 51 | 96 cm² | Superficies |
| 52 | 158 cm² | Superficies |
| 53 | 192 cm² | Superficies |
| 54 | 184 cm² | Superficies |
| 55 | 42π cm² y 60π cm² | Superficies |
| 56 | 120π cm² y 170π cm² | Superficies |
| 57 | 15π cm² y 24π cm² | Superficies |
| 58 | 60π cm² y 96π cm² | Superficies |
| 59 | 64π cm² | Superficies |
| 60 | 18π cm² y 27π cm² | Superficies |
| 61 | 96 cm² | Superficies |
| 62 | 160 cm² | Superficies |
| 63 | 180 + 27√3 cm² | Superficies |
| 64 | 130π cm² | Superficies |
| 65 | 56π cm² | Superficies |
| 66 | 125 cm³ | Volúmenes |
| 67 | 108 cm³ | Volúmenes |
| 68 | 168 cm³ | Volúmenes |
| 69 | 240 cm³ | Volúmenes |
| 70 | 120 cm³ | Volúmenes |
| 71 | 120 cm³ | Volúmenes |
| 72 | 90π cm³ | Volúmenes |
| 73 | 96π cm³ | Volúmenes |
| 74 | 36π cm³ | Volúmenes |
| 75 | 75π cm³ | Volúmenes |
| 76 | 36π cm³ | Volúmenes |
| 77 | 500π/3 cm³ | Volúmenes |
| 78 | 144π cm³ | Volúmenes |
| 79 | 3 600 L | Capacidad |
| 80 | 500π L ≈ 1 570,8 L | Capacidad |
13. Diez problemas tipo examen
1. Suelo de un aula
Un aula rectangular mide 8,4 m por 6,5 m. Se colocan baldosas cuadradas de 50 cm de lado. Calcula el área y el número mínimo de baldosas.
Resultado Área 54,6 m². Cada baldosa 0,25 m². Se necesitan 219 baldosas como mínimo.
2. Rampa
Una rampa salva una altura de 1,2 m y ocupa 3,5 m en horizontal. Calcula su longitud.
Resultado √(1,2² + 3,5²) = 3,7 m.
3. Plano de una vivienda
En un plano a escala 1:100, una habitación mide 4,8 cm por 3,6 cm. Calcula sus dimensiones y área reales.
Resultado 4,8 m por 3,6 m. Área 17,28 m².
4. Jardín compuesto
Un jardín rectangular de 20 m por 12 m contiene un estanque circular de radio 3 m. Calcula el área de césped.
Resultado 240 - 9π m² ≈ 211,73 m².
5. Pista circular
Una pista es una corona circular de radios 25 m y 20 m. Calcula su área.
Resultado 225π m² ≈ 706,86 m².
6. Depósito prismático
Un depósito mide 2,5 m por 1,8 m por 1,2 m. Calcula su capacidad en litros.
Resultado 5,4 m³ = 5 400 L.
7. Etiqueta de una lata
Una lata cilíndrica tiene radio 4 cm y altura 12 cm. Calcula el área de la etiqueta lateral.
Resultado 2πrh = 96π cm² ≈ 301,59 cm².
8. Cono de helado
Un cono tiene radio 3 cm y altura 10 cm. Calcula el volumen.
Resultado 30π cm³ ≈ 94,25 cm³.
9. Pelota
Una pelota esférica tiene diámetro 22 cm. Calcula su área y volumen.
Resultado Área 484π cm². Volumen 5324π/3 cm³.
10. Altura por sombras
Un poste de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Un edificio proyecta una sombra de 18 m. Calcula la altura.
Resultado 13,5 m.
14. Dos simulacros de geometría
Simulacro 1
Tiempo recomendado 45 minutos
- Calcula el ángulo que falta en un triángulo con 52° y 71°
- Calcula la hipotenusa de un triángulo de catetos 8 cm y 15 cm
- Una persona de 1,7 m proyecta una sombra de 2 m. Un árbol proyecta 8 m. Calcula su altura
- Calcula el área de un trapecio de bases 14 cm y 8 cm y altura 5 cm
- Calcula el área de un círculo de radio 7 cm
- Calcula el área total de un cubo de arista 6 cm
- Calcula el volumen de un cilindro de radio 4 cm y altura 9 cm
- Convierte 1,8 m³ a litros
Soluciones breves
57° · 17 cm · 6,8 m · 55 cm² · 49π cm² · 216 cm² · 144π cm³ · 1 800 L
Simulacro 2
Tiempo recomendado 50 minutos
- Calcula la diagonal de un rectángulo de 12 cm por 16 cm
- En una escala 1:20 000, una distancia mide 7,5 cm. Calcula la distancia real
- Calcula el área de un rombo de diagonales 24 cm y 10 cm
- Calcula el área de una corona circular de radios 10 cm y 6 cm
- Una pirámide tiene base cuadrada de lado 9 cm y altura 12 cm. Calcula el volumen
- Calcula el área total de un cilindro de radio 5 cm y altura 7 cm
- Calcula el volumen de una esfera de radio 4 cm
- Un depósito cilíndrico de radio 1 m y altura 2,5 m. Calcula capacidad en litros
Soluciones breves
20 cm · 1,5 km · 120 cm² · 64π cm² · 324 cm³ · 120π cm² · 256π/3 cm³ · 2 500π L ≈ 7 854 L
15. Errores reales de alumno
- Aplicar Pitágoras en un triángulo que no es rectángulo
- Tomar como hipotenusa el lado que parece inclinado
- Comparar lados que no son correspondientes en figuras semejantes
- Olvidar transformar centímetros en metros antes de calcular
- Confundir perímetro con área
- Usar como altura un lado oblicuo
- Olvidar el diámetro al calcular el perímetro de un semicírculo
- Sumar áreas cuando hay que restar un hueco
- Utilizar la generatriz como altura de un cono
- Expresar un volumen en cm²
- Redondear π demasiado pronto
- No comprobar si el resultado cabe dentro de la figura
Si aumentamos todas las longitudes al doble, los perímetros se duplican, las áreas se multiplican por cuatro y los volúmenes por ocho. Esta idea permite detectar muchos resultados imposibles.
16. Revisión final antes de entregar un ejercicio
- ¿He identificado la figura correctamente?
- ¿He dibujado o marcado los datos?
- ¿Las unidades son compatibles?
- ¿Pitágoras se aplica realmente a un triángulo rectángulo?
- ¿Los lados de la proporción son correspondientes?
- ¿La altura es perpendicular a la base?
- ¿He calculado radio o diámetro correctamente?
- ¿La figura compuesta exige sumar o restar?
- ¿El resultado es longitud, área o volumen?
- ¿La unidad final es lineal, cuadrada o cúbica?
17. Clases online de Matemáticas y prematrícula
Este recurso puede utilizarse de forma autónoma. Cuando el alumno entiende las fórmulas pero no sabe plantear los problemas, conviene trabajar con corrección individual y revisar cómo dibuja, cómo elige el método y cómo justifica cada paso.
En la biblioteca de recursos de Marlu Educativa están organizados los materiales de Matemáticas por curso. Para continuar con otra línea de trabajo de ESO también puede consultarse el recurso de Estadística resuelta paso a paso.
18. Preguntas frecuentes
¿Qué contenidos de geometría se estudian en 2.º de ESO?
Ángulos, triángulos, Pitágoras, Thales, semejanza, escalas, perímetros, áreas de figuras planas, cuerpos geométricos, áreas y volúmenes.
¿Cómo sé si debo usar Pitágoras?
Debe existir un triángulo rectángulo y conocerse dos de sus lados. Si el triángulo no tiene un ángulo de 90°, no se puede aplicar directamente.
¿Cuál es la diferencia entre área y volumen?
El área mide superficie y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide espacio ocupado y se expresa en unidades cúbicas.
¿Este recurso sirve para preparar 3.º de ESO?
Sí. Pitágoras, semejanza, áreas, escalas y volúmenes continúan utilizándose en cursos posteriores.
¿Se puede guardar como PDF?
Sí. El botón superior abre la impresión del navegador y permite seleccionar Guardar como PDF.
La geometría se vuelve mucho más sencilla cuando el alumno deja de buscar una fórmula de inmediato y aprende a mirar la figura. Dibujar bien, nombrar los datos y revisar las unidades es casi siempre la mitad del ejercicio.
Recurso elaborado desde la experiencia diaria con alumnos de ESO. Está pensado para que el estudiante entienda qué está midiendo, justifique cada paso y pueda comprobar sus propios resultados.
Última revisión junio de 2026