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Presión y fluidos en 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Presión y fluidos en 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Hidrostática, presión atmosférica, principio de Pascal, manómetros, empuje de Arquímedes, flotación y una ampliación de dinámica de fluidos. El objetivo no es aprender una colección de fórmulas, sino saber representar cada situación y decidir qué fuerzas y presiones intervienen.
Menú rápido del recurso
En los problemas de fluidos casi nunca falla una cuenta complicada. Lo que suele fallar es algo anterior: confundir fuerza con presión, utilizar centímetros cuadrados como si fueran metros cuadrados, olvidar la presión atmosférica o dibujar mal el empuje. Por eso seguiremos siempre el mismo orden: identificar el sistema, pasar los datos al Sistema Internacional, representar las fuerzas y escribir después la relación física.
La primera parte está pensada para construir una base firme en 4.º ESO. La segunda aumenta la dificultad hasta el nivel de 1.º de Bachillerato con líquidos superpuestos, manómetros, fuerzas sobre superficies, cuerpos unidos mediante cuerdas y algunos problemas de continuidad y Bernoulli. Si todavía cuesta relacionar masa, volumen y densidad, conviene repasar antes el recurso de densidad, masa y volumen en ESO.
Índice
- Ideas previas
- Fórmulas y unidades
- Método de resolución
- Problemas resueltos de 4.º ESO
- Presión y superficie
- Presión hidrostática
- Principio de Pascal
- Vasos comunicantes y manómetros
- Arquímedes y flotación
- Ampliación de 1.º de Bachillerato
- Continuidad y Bernoulli
- 21 problemas intensivos
- 15 problemas propuestos
- Simulacro final
- Errores frecuentes
- Preguntas frecuentes
1. Ideas previas que conviene tener claras
Un fluido es una sustancia que puede fluir y adaptarse al recipiente. Los líquidos mantienen prácticamente su volumen; los gases, además, se comprimen y ocupan todo el recipiente. En este recurso trabajaremos principalmente con líquidos en reposo.
2. Fórmulas esenciales y unidades
La fuerza debe estar en newtons y el área en metros cuadrados.
Es presión manométrica. Si piden presión total: \(p_{\text{total}}=p_{\text{atm}}+\rho gh\).
En un sistema ideal, la presión se transmite por igual.
El volumen es el de fluido desalojado, no siempre el volumen total.
Para un fluido ideal e incompresible.
Se utilizará únicamente en la ampliación de Bachillerato.
| Magnitud | Símbolo | Unidad SI | Conversión útil |
|---|---|---|---|
| Presión | \(p\) | pascal, Pa | \(1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2\) |
| Área | \(A\) | \(\text{m}^2\) | \(1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2\) |
| Densidad | \(\rho\) | \(\text{kg/m}^3\) | agua: \(1000\ \text{kg/m}^3\) |
| Volumen | \(V\) | \(\text{m}^3\) | \(1\ \text{L}=10^{-3}\ \text{m}^3\) |
| Presión atmosférica | \(p_{atm}\) | Pa | \(1\ \text{atm}=101325\ \text{Pa}\) |
| Caudal | \(Q\) | \(\text{m}^3/\text{s}\) | \(1\ \text{m}^3/\text{s}=1000\ \text{L/s}\) |
Si estas conversiones todavía frenan el planteamiento, en factores de conversión y cambios de unidades se desarrolla el procedimiento completo. Para practicar cómo aislar una incógnita antes de sustituir números, puede utilizarse también la guía de fórmulas, despejes y unidades.
3. Método de resolución
- Dibuja el sistema. Señala alturas, superficies, pistones, líquidos y cuerpos.
- Escribe los datos con unidades. Convierte antes de sustituir.
- Decide qué se iguala. Puede ser una presión, el volumen desplazado o el equilibrio de fuerzas.
- Separa presión manométrica y presión absoluta. No añadas la atmosférica si el ejercicio no la pide.
- En cuerpos sumergidos, dibuja peso, empuje y tensión. Después aplica el equilibrio o calcula la fuerza resultante.
- Revisa la interpretación. Una presión negativa, un volumen sumergido mayor que el total o una fuerza sin sentido físico avisan de un error.
4. Problemas resueltos de 4.º ESO
Los primeros ejercicios construyen el lenguaje básico. Después aparecen problemas con varias etapas en los que hay que combinar presión, densidad y fuerzas.
Bloque A. Presión, fuerza y superficie
Una fuerza repartida sobre una superficie
Una máquina ejerce una fuerza perpendicular de \(600\ \text{N}\) sobre una placa de \(0{,}030\ \text{m}^2\). Calcula la presión y expresa el resultado también en kilopascales.
- La superficie ya está en unidades del SI.
- Aplicamos \(p=F/A\): \[p=\frac{600}{0{,}030}=20000\ \text{Pa}\]
- Como \(1\ \text{kPa}=1000\ \text{Pa}\), resulta \(20\ \text{kPa}\).
La presión no es 600 Pa: 600 es la fuerza. El área determina cómo se reparte.
¿Sobre qué cara produce más presión?
Un bloque de \(12\ \text{kg}\) mide \(20\times10\times5\ \text{cm}\). Calcula la presión que ejerce al apoyarlo sobre cada una de sus tres caras.
- El peso es \(P=mg=12\cdot9{,}8=117{,}6\ \text{N}\).
- Las áreas son \(0{,}20\cdot0{,}10=0{,}020\ \text{m}^2\), \(0{,}20\cdot0{,}05=0{,}010\ \text{m}^2\) y \(0{,}10\cdot0{,}05=0{,}005\ \text{m}^2\).
- Calculamos cada presión: \[p_1=\frac{117{,}6}{0{,}020}=5880\ \text{Pa}\] \[p_2=11760\ \text{Pa},\qquad p_3=23520\ \text{Pa}\]
El peso no cambia al girar el bloque. Solo cambia la superficie de apoyo.
Tacones y zapatillas deportivas
Una persona de \(60\ \text{kg}\) se apoya sobre dos tacones de \(1\ \text{cm}^2\) cada uno. Con unas zapatillas, el área total es \(300\ \text{cm}^2\). Compara las presiones.
- El peso es \(588\ \text{N}\).
- Tacones: \(A=2\ \text{cm}^2=2\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\). \[p_t=\frac{588}{2\cdot10^{-4}}=2{,}94\cdot10^6\ \text{Pa}\]
- Zapatillas: \(A=300\cdot10^{-4}=0{,}030\ \text{m}^2\). \[p_z=\frac{588}{0{,}030}=19600\ \text{Pa}\]
- La razón es \(p_t/p_z=150\).
Este resultado explica por qué una fuerza moderada puede marcar un suelo cuando se concentra en un área muy pequeña.
Fuerza ejercida por un pistón
En un pistón hay una presión de \(150\ \text{kPa}\). Su superficie es \(24\ \text{cm}^2\). Calcula la fuerza que ejerce el fluido.
- Convertimos: \(150\ \text{kPa}=150000\ \text{Pa}\) y \(24\ \text{cm}^2=0{,}0024\ \text{m}^2\).
- Despejamos \(F=pA\).
- \[F=150000\cdot0{,}0024=360\ \text{N}\]
La unidad confirma el despeje: \(\text{Pa}\cdot\text{m}^2=\text{N}\).
Bloque B. Presión hidrostática
Un buceador a 3,5 metros
Calcula la presión debida al agua y la presión total sobre un buceador a \(3{,}5\ \text{m}\) de profundidad. Toma \(\rho_{agua}=1000\ \text{kg/m}^3\) y \(p_{atm}=101325\ \text{Pa}\).
- Presión hidrostática: \[p_h=\rho gh=1000\cdot9{,}8\cdot3{,}5=34300\ \text{Pa}\]
- Presión total: \[p_{total}=101325+34300=135625\ \text{Pa}\]
Si el enunciado dice “debida al agua”, no se añade la atmosférica. Si pide presión total o absoluta, sí.
Profundidad a partir de la presión
Un sensor registra una presión manométrica de \(58{,}8\ \text{kPa}\) dentro del agua. ¿A qué profundidad está?
- Convertimos \(58{,}8\ \text{kPa}=58800\ \text{Pa}\).
- Despejamos la profundidad: \[h=\frac{p_h}{\rho g}\]
- \[h=\frac{58800}{1000\cdot9{,}8}=6{,}0\ \text{m}\]
La presión aumenta unos \(9{,}8\ \text{kPa}\) por cada metro de agua.
Dos puntos de una piscina profunda
¿Qué diferencia de presión existe entre un punto situado a \(2\ \text{m}\) y otro a \(9\ \text{m}\) bajo la superficie?
- La presión atmosférica actúa en ambos puntos y se cancela al restar.
- La diferencia de profundidad es \(\Delta h=9-2=7\ \text{m}\).
- \[\Delta p=\rho g\Delta h=1000\cdot9{,}8\cdot7=68600\ \text{Pa}\]
Para una diferencia de presiones en el mismo líquido basta con la diferencia de alturas.
Presión en un depósito de aceite
Un depósito contiene aceite de densidad \(800\ \text{kg/m}^3\). Calcula la presión manométrica a \(5\ \text{m}\) de profundidad y compárala con la del agua.
- \[p_{aceite}=800\cdot9{,}8\cdot5=39200\ \text{Pa}\]
- En agua, a la misma profundidad: \(p_{agua}=49000\ \text{Pa}\).
- El cociente es \(39200/49000=0{,}80\), igual al cociente de densidades.
A igual profundidad, el líquido más denso produce mayor presión.
Aceite sobre agua
Un recipiente abierto contiene \(2\ \text{m}\) de aceite de densidad \(800\ \text{kg/m}^3\) sobre \(3\ \text{m}\) de agua. Calcula la presión manométrica en el fondo.
- Cada capa aporta su propia presión.
- \[p=p_{aceite}+p_{agua}\]
- \[p=800\cdot9{,}8\cdot2+1000\cdot9{,}8\cdot3\]
- \[p=15680+29400=45080\ \text{Pa}\]
No se puede usar una densidad media sin justificarla. Es más seguro sumar la contribución de cada capa.
Fuerza sobre el fondo de un acuario
Un acuario tiene \(1{,}5\ \text{m}\) de agua y un fondo de \(0{,}60\ \text{m}^2\). Calcula la presión manométrica y la fuerza que el agua ejerce sobre el fondo.
- \[p=1000\cdot9{,}8\cdot1{,}5=14700\ \text{Pa}\]
- La presión es uniforme en el fondo horizontal.
- \[F=pA=14700\cdot0{,}60=8820\ \text{N}\]
La forma del recipiente no aparece: la presión a una profundidad depende de \(\rho\), \(g\) y \(h\).
Bloque C. Principio de Pascal y máquinas hidráulicas
Multiplicación de la fuerza
El pistón pequeño de una prensa tiene \(5\ \text{cm}^2\) y recibe \(120\ \text{N}\). El pistón grande tiene \(250\ \text{cm}^2\). Calcula la fuerza ideal obtenida.
- Como ambas áreas están en la misma unidad, se puede usar directamente su cociente.
- \[\frac{120}{5}=\frac{F_2}{250}\]
- \[F_2=120\cdot\frac{250}{5}=6000\ \text{N}\]
La fuerza se multiplica por 50, pero el pistón grande se desplaza 50 veces menos.
Levantar un automóvil
Un automóvil pesa \(14700\ \text{N}\). El pistón grande mide \(300\ \text{cm}^2\) y el pequeño \(6\ \text{cm}^2\). Calcula la presión necesaria y la fuerza mínima sobre el pistón pequeño.
- Convertimos \(A_2=0{,}030\ \text{m}^2\).
- \[p=\frac{14700}{0{,}030}=490000\ \text{Pa}\]
- El área pequeña es \(0{,}0006\ \text{m}^2\).
- \[F_1=pA_1=490000\cdot0{,}0006=294\ \text{N}\]
El elevador no crea energía. Reduce la fuerza necesaria a cambio de aumentar el recorrido del pistón pequeño.
¿Cuánto sube el pistón grande?
El pistón pequeño de \(4\ \text{cm}^2\) baja \(15\ \text{cm}\). El grande tiene \(120\ \text{cm}^2\). Calcula cuánto sube, suponiendo que el líquido es incompresible.
- El volumen desplazado es el mismo: \(A_1d_1=A_2d_2\).
- \[4\cdot15=120\cdot d_2\]
- \[d_2=\frac{60}{120}=0{,}50\ \text{cm}\]
No hace falta convertir las unidades porque áreas y desplazamientos se expresan en las mismas unidades a ambos lados.
La ventaja mecánica no regala energía
Una prensa ideal tiene una relación de áreas \(A_2/A_1=20\). Aplicamos \(200\ \text{N}\) y bajamos el pistón pequeño \(0{,}40\ \text{m}\). Calcula la fuerza de salida, el desplazamiento del pistón grande y el trabajo en ambos pistones.
- \[F_2=20F_1=4000\ \text{N}\]
- Por conservación del volumen, \(d_2=d_1/20=0{,}020\ \text{m}\).
- Trabajo de entrada: \(W_1=200\cdot0{,}40=80\ \text{J}\).
- Trabajo de salida: \(W_2=4000\cdot0{,}020=80\ \text{J}\).
En una máquina real el trabajo útil sería algo menor por rozamientos y pérdidas.
Bloque D. Vasos comunicantes, atmósfera y manómetros
Equilibrio entre aceite y agua
En un tubo en U abierto se vierte una columna de aceite de \(12{,}5\ \text{cm}\), de densidad \(800\ \text{kg/m}^3\), sobre agua. Calcula la diferencia de alturas de agua que equilibra esa columna.
- En dos puntos de una misma horizontal dentro del agua, las presiones son iguales.
- \[\rho_{aceite}gh_{aceite}=\rho_{agua}gh_{agua}\]
- La gravedad se simplifica: \[h_{agua}=\frac{800}{1000}\cdot12{,}5=10{,}0\ \text{cm}\]
La columna del líquido menos denso debe ser más alta para producir la misma presión.
Diferencia de presión entre dos recipientes
Un manómetro de mercurio conectado a dos recipientes muestra una diferencia de niveles de \(6{,}0\ \text{cm}\). Calcula la diferencia de presión. Toma \(\rho_{Hg}=13600\ \text{kg/m}^3\).
- Convertimos \(6{,}0\ \text{cm}=0{,}060\ \text{m}\).
- \[\Delta p=\rho_{Hg}g\Delta h\]
- \[\Delta p=13600\cdot9{,}8\cdot0{,}060=7996{,}8\ \text{Pa}\]
El lado donde el mercurio queda más bajo corresponde al recipiente de mayor presión.
Fuerza atmosférica sobre una ventana
Una ventana tiene \(1{,}20\ \text{m}^2\). Calcula la fuerza que la atmósfera ejerce sobre una de sus caras. Explica por qué la ventana no se rompe.
- \[F=p_{atm}A=101325\cdot1{,}20=121590\ \text{N}\]
- La fuerza es enorme, equivalente aproximadamente al peso de \(12{,}4\) toneladas.
- Sin embargo, el aire interior ejerce prácticamente la misma presión sobre la otra cara.
Lo importante para deformar la ventana es la diferencia de presiones, no la presión de un solo lado.
Altura de una columna de mercurio
Calcula qué altura de mercurio equilibra una atmósfera normal de \(101325\ \text{Pa}\).
- La presión de la columna es \(p=\rho gh\).
- \[h=\frac{101325}{13600\cdot9{,}8}=0{,}760\ \text{m}\]
- En milímetros, \(h=760\ \text{mm}\).
El valor conecta tres unidades habituales: atmósfera, pascal y milímetro de mercurio.
Bloque E. Empuje de Arquímedes y flotación
Volumen completamente sumergido
Un cuerpo de volumen \(0{,}0020\ \text{m}^3\) está completamente sumergido en agua. Calcula el empuje.
- Al estar completamente sumergido, el volumen desalojado coincide con el volumen del cuerpo.
- \[E=\rho gV=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0020=19{,}6\ \text{N}\]
El empuje depende del fluido y del volumen sumergido, no directamente de la masa del objeto.
Un cubo de diez centímetros
Un cubo de arista \(10\ \text{cm}\) se sumerge por completo en agua. Calcula su volumen en el SI y el empuje.
- La arista es \(0{,}10\ \text{m}\).
- \[V=(0{,}10)^3=0{,}0010\ \text{m}^3\]
- \[E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0010=9{,}8\ \text{N}\]
Diez centímetros de arista forman un litro de volumen.
¿Sube o baja?
Un objeto de \(3{,}0\ \text{kg}\) y volumen \(0{,}0040\ \text{m}^3\) se deja completamente sumergido en agua. Calcula peso, empuje y fuerza resultante inicial.
- \[P=mg=3{,}0\cdot9{,}8=29{,}4\ \text{N}\]
- \[E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0040=39{,}2\ \text{N}\]
- \[F_R=E-P=39{,}2-29{,}4=9{,}8\ \text{N}\]
Su densidad media es \(750\ \text{kg/m}^3\), menor que la del agua.
Un cuerpo más denso que el agua
Un objeto de \(5{,}0\ \text{kg}\) ocupa \(0{,}0030\ \text{m}^3\). Se sumerge completamente en agua y se suelta. Determina el sentido y el módulo de la fuerza resultante inicial.
- \(P=5{,}0\cdot9{,}8=49\ \text{N}\).
- \(E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0030=29{,}4\ \text{N}\).
- \[F_R=P-E=49-29{,}4=19{,}6\ \text{N}\]
El cuerpo se hunde porque su densidad media, \(1667\ \text{kg/m}^3\), supera la del agua.
Lectura de un dinamómetro bajo el agua
Un cuerpo de \(4{,}0\ \text{kg}\) y volumen \(1{,}5\ \text{L}\) cuelga de un dinamómetro y se sumerge completamente en agua. ¿Qué marcará?
- Convertimos \(1{,}5\ \text{L}=0{,}0015\ \text{m}^3\).
- \[P=39{,}2\ \text{N},\qquad E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0015=14{,}7\ \text{N}\]
- En equilibrio, \(T+E=P\), luego: \[T=P-E=24{,}5\ \text{N}\]
El peso real no cambia. La lectura disminuye porque el fluido aporta una fuerza hacia arriba.
Identificar un material mediante el peso aparente
Un cuerpo pesa \(58{,}8\ \text{N}\) en el aire y \(39{,}2\ \text{N}\) completamente sumergido en agua. Calcula su volumen y su densidad.
- La pérdida aparente de peso es el empuje: \(E=58{,}8-39{,}2=19{,}6\ \text{N}\).
- \[V=\frac{E}{\rho g}=\frac{19{,}6}{1000\cdot9{,}8}=0{,}0020\ \text{m}^3\]
- La masa es \(m=P/g=58{,}8/9{,}8=6{,}0\ \text{kg}\).
- \[\rho_c=\frac{m}{V}=\frac{6{,}0}{0{,}0020}=3000\ \text{kg/m}^3\]
Esta es una forma indirecta de medir el volumen de un cuerpo irregular.
Fracción sumergida de un bloque de madera
Un bloque de madera de densidad \(600\ \text{kg/m}^3\) y volumen \(0{,}050\ \text{m}^3\) flota en agua. Calcula su masa, su peso y el volumen sumergido.
- \[m=\rho_cV=600\cdot0{,}050=30\ \text{kg}\]
- \[P=30\cdot9{,}8=294\ \text{N}\]
- Al flotar, \(E=P\): \[1000\cdot9{,}8\cdot V_s=294\]
- \[V_s=0{,}030\ \text{m}^3\]
Para un cuerpo homogéneo que flota, la fracción sumergida es \(\rho_c/\rho_f\).
Parte visible de un iceberg
La densidad del hielo es \(920\ \text{kg/m}^3\) y la del agua de mar \(1025\ \text{kg/m}^3\). ¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg queda sumergido y qué porcentaje emerge?
- En flotación: \[\frac{V_s}{V}=\frac{\rho_{hielo}}{\rho_{mar}}\]
- \[\frac{V_s}{V}=\frac{920}{1025}=0{,}8976\]
- Porcentaje sumergido: \(89{,}8\%\). Porcentaje visible: \(100-89{,}8=10{,}2\%\).
El porcentaje se obtiene con densidades; no hace falta conocer el tamaño del iceberg.
Una plataforma flotante
Una plataforma de \(2{,}0\ \text{m}^2\) y \(0{,}20\ \text{m}\) de espesor tiene densidad media \(600\ \text{kg/m}^3\). ¿Qué masa máxima puede añadirse antes de que la superficie superior llegue al agua?
- Volumen total: \(V=2{,}0\cdot0{,}20=0{,}40\ \text{m}^3\).
- Masa de la plataforma: \(m_p=600\cdot0{,}40=240\ \text{kg}\).
- Justo antes de hundirse por completo puede desalojar \(0{,}40\ \text{m}^3\), equivalente a \(400\ \text{kg}\) de agua.
- \[m_{carga}=400-240=160\ \text{kg}\]
En una situación real habría que dejar un margen de seguridad y evitar que el agua alcance la parte superior.
Cuánta agua desplaza una caja flotante
Una caja cerrada de masa \(12\ \text{kg}\) flota en agua. Sin conocer sus dimensiones, calcula el volumen de agua que desplaza.
- Al flotar, el empuje iguala al peso.
- \[\rho_{agua}gV_s=mg\]
- La gravedad se simplifica: \[V_s=\frac{m}{\rho_{agua}}=\frac{12}{1000}=0{,}012\ \text{m}^3\]
Todo cuerpo que flota desplaza una masa de fluido igual a su propia masa.
5. Ampliación para 1.º de Bachillerato
En esta parte no cambia la Física básica, pero sí la exigencia del planteamiento. Será necesario combinar geometría, equilibrio de fuerzas, líquidos de diferente densidad y relaciones entre presión, velocidad y altura.
Peso aparente de una esfera de aluminio
Una esfera maciza de aluminio, de radio \(5{,}0\ \text{cm}\) y densidad \(2700\ \text{kg/m}^3\), se sumerge por completo en agua. Calcula su volumen, masa, peso, empuje y peso aparente.
- Radio en el SI: \(r=0{,}050\ \text{m}\).
- \[V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi(0{,}050)^3=5{,}236\cdot10^{-4}\ \text{m}^3\]
- \[m=\rho_{Al}V=2700\cdot5{,}236\cdot10^{-4}=1{,}414\ \text{kg}\]
- \[P=13{,}85\ \text{N},\qquad E=1000\cdot9{,}8\cdot5{,}236\cdot10^{-4}=5{,}13\ \text{N}\]
- \[P_{aparente}=P-E=8{,}72\ \text{N}\]
Aunque la esfera es de aluminio, el empuje se calcula con la densidad del agua.
Volumen sumergido de un bloque
Un bloque homogéneo de densidad \(750\ \text{kg/m}^3\) y volumen \(0{,}0080\ \text{m}^3\) flota en aceite de densidad \(800\ \text{kg/m}^3\). Calcula la fracción y el volumen sumergidos.
- En equilibrio, \(\rho_f gV_s=\rho_c gV\).
- \[\frac{V_s}{V}=\frac{750}{800}=0{,}9375\]
- \[V_s=0{,}9375\cdot0{,}0080=0{,}0075\ \text{m}^3\]
Solo emerge un 6,25 % porque las densidades del bloque y del aceite son bastante próximas.
Mantener sumergido un bloque ligero
Un bloque de densidad \(600\ \text{kg/m}^3\) y volumen \(0{,}020\ \text{m}^3\) se mantiene completamente sumergido en agua mediante una cuerda unida al fondo. Calcula la tensión.
- El empuje es \(E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}020=196\ \text{N}\).
- La masa es \(m=600\cdot0{,}020=12\ \text{kg}\), de modo que \(P=117{,}6\ \text{N}\).
- La cuerda tira hacia abajo. En equilibrio: \[E=P+T\]
- \[T=196-117{,}6=78{,}4\ \text{N}\]
La dirección de la tensión depende de dónde esté anclada la cuerda. Aquí no puede dibujarse hacia arriba.
Sostener un objeto más denso que el agua
Un cuerpo de densidad \(1200\ \text{kg/m}^3\) y volumen \(0{,}0050\ \text{m}^3\) se mantiene sumergido mediante una cuerda desde arriba. Calcula la tensión.
- \[P=\rho_cVg=1200\cdot0{,}0050\cdot9{,}8=58{,}8\ \text{N}\]
- \[E=1000\cdot0{,}0050\cdot9{,}8=49{,}0\ \text{N}\]
- Ahora tensión y empuje actúan hacia arriba: \[T+E=P\]
- \[T=P-E=9{,}8\ \text{N}\]
Comparar este ejercicio con el anterior ayuda más que memorizar un signo para la tensión.
Un cuerpo entre aceite y agua
Un cuerpo de volumen \(0{,}010\ \text{m}^3\) y densidad \(900\ \text{kg/m}^3\) queda en equilibrio en la interfaz entre aceite de \(800\ \text{kg/m}^3\) y agua de \(1000\ \text{kg/m}^3\). Está totalmente rodeado de líquido. Calcula qué volumen queda en cada uno.
- Llamamos \(x\) al volumen situado en agua. En aceite queda \(V-x\).
- Igualamos peso y suma de empujes: \[900gV=1000gx+800g(V-x)\]
- Simplificamos: \[900V=800V+200x\]
- \[x=\frac{100V}{200}=0{,}5V=0{,}0050\ \text{m}^3\]
La densidad del cuerpo está justo a mitad entre las densidades de los líquidos; por eso el reparto resulta simétrico.
Medir la densidad mediante el volumen desplazado
Un hidrómetro de masa \(80\ \text{g}\) desplaza \(80\ \text{cm}^3\) en agua y \(100\ \text{cm}^3\) en un líquido desconocido. Determina su densidad. Si el tallo tiene sección \(1{,}0\ \text{cm}^2\), calcula cuánto aumenta la profundidad de inmersión.
- En ambos líquidos flota y desplaza una masa de líquido igual a \(80\ \text{g}\).
- \[\rho_x=\frac{80\ \text{g}}{100\ \text{cm}^3}=0{,}80\ \text{g/cm}^3=800\ \text{kg/m}^3\]
- El volumen adicional es \(100-80=20\ \text{cm}^3\).
- \[\Delta h=\frac{\Delta V}{A}=\frac{20}{1{,}0}=20\ \text{cm}\]
En el líquido menos denso necesita desplazar más volumen para obtener el mismo empuje.
Dos columnas en equilibrio
En un tubo en U, una columna de agua de \(25\ \text{cm}\) equilibra una columna de un líquido desconocido de \(30\ \text{cm}\). Ambas superficies están sometidas a la atmósfera. Calcula la densidad desconocida.
- Igualamos presiones a la altura común de separación: \[\rho_{agua}gh_{agua}=\rho_xgh_x\]
- \[\rho_x=1000\cdot\frac{25}{30}=833{,}3\ \text{kg/m}^3\]
La columna desconocida es más alta, luego su líquido debe ser menos denso que el agua.
Presión absoluta de un gas
Un recipiente con gas se conecta a un manómetro de mercurio abierto a la atmósfera. El mercurio queda \(12\ \text{cm}\) más alto en el brazo abierto, lo que indica que el gas tiene mayor presión. Calcula la presión absoluta del gas.
- La diferencia manométrica es: \[\Delta p=13600\cdot9{,}8\cdot0{,}12=15993{,}6\ \text{Pa}\]
- Como el gas tiene mayor presión: \[p_g=p_{atm}+\Delta p\]
- \[p_g=101325+15993{,}6=117318{,}6\ \text{Pa}\]
Antes de sumar o restar hay que interpretar qué lado empuja más al mercurio.
Fondo bajo una capa de aceite y otra de agua
Un depósito abierto tiene \(1{,}0\ \text{m}\) de aceite sobre \(2{,}0\ \text{m}\) de agua. El fondo horizontal mide \(1{,}5\ \text{m}^2\). Calcula la presión manométrica y la fuerza sobre el fondo.
- \[p=800\cdot9{,}8\cdot1{,}0+1000\cdot9{,}8\cdot2{,}0\]
- \[p=7840+19600=27440\ \text{Pa}\]
- \[F=pA=27440\cdot1{,}5=41160\ \text{N}\]
La presión atmosférica no se suma porque se ha pedido la fuerza debida a los líquidos, no la fuerza absoluta exterior.
Fuerza sobre una compuerta vertical
Una compuerta rectangular vertical de \(1{,}2\ \text{m}\) de ancho y \(2{,}0\ \text{m}\) de alto tiene su borde superior en la superficie del agua. Calcula la fuerza hidrostática resultante y la profundidad de su punto de aplicación.
- La presión aumenta linealmente desde cero hasta el borde inferior. La presión media coincide con la presión a la profundidad del centro, \(h_c=1{,}0\ \text{m}\).
- Área: \(A=1{,}2\cdot2{,}0=2{,}4\ \text{m}^2\).
- \[F=\rho gh_cA=1000\cdot9{,}8\cdot1{,}0\cdot2{,}4=23520\ \text{N}\]
- Para un rectángulo que comienza en la superficie, el centro de presiones está a \(2H/3\): \[h_p=\frac{2\cdot2{,}0}{3}=1{,}33\ \text{m}\]
La fuerza no actúa en el centro geométrico, porque la parte inferior soporta mayor presión.
Una prensa real con pérdidas
Una prensa tiene pistones de \(8\ \text{cm}^2\) y \(400\ \text{cm}^2\). Se aplican \(250\ \text{N}\) al pequeño. Calcula la presión transmitida, la fuerza ideal y la fuerza útil si el rendimiento es del 80 %.
- \(A_1=8\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\).
- \[p=\frac{250}{8\cdot10^{-4}}=312500\ \text{Pa}\]
- La razón de áreas es \(400/8=50\), por lo que \(F_{ideal}=250\cdot50=12500\ \text{N}\).
- \[F_{útil}=0{,}80\cdot12500=10000\ \text{N}\]
El rendimiento se aplica a la salida útil, no a la razón geométrica de áreas.
Bloque F. Continuidad y Bernoulli
En esta parte aparece de nuevo la energía mecánica. Quien necesite reforzar ese paso puede enlazar con dinámica, trabajo, potencia y energía en 1.º de Bachillerato.
Velocidad en un estrechamiento
El agua circula a \(2{,}0\ \text{m/s}\) por una tubería de diámetro \(6{,}0\ \text{cm}\) que se estrecha hasta \(3{,}0\ \text{cm}\). Calcula la nueva velocidad.
- Para una sección circular, \(A\) es proporcional a \(d^2\).
- \[A_1v_1=A_2v_2\quad\Rightarrow\quad v_2=v_1\frac{d_1^2}{d_2^2}\]
- \[v_2=2{,}0\left(\frac{6{,}0}{3{,}0}\right)^2=8{,}0\ \text{m/s}\]
Reducir el diámetro a la mitad reduce el área a la cuarta parte, no a la mitad.
Litros por segundo en una tubería
Por una tubería de diámetro interior \(4{,}0\ \text{cm}\) circula agua a \(3{,}0\ \text{m/s}\). Calcula el caudal en \(\text{m}^3/\text{s}\) y en litros por segundo.
- Radio: \(r=0{,}020\ \text{m}\).
- \[A=\pi r^2=\pi(0{,}020)^2=1{,}257\cdot10^{-3}\ \text{m}^2\]
- \[Q=Av=1{,}257\cdot10^{-3}\cdot3{,}0=3{,}77\cdot10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\]
- Multiplicando por 1000: \(Q=3{,}77\ \text{L/s}\).
Conviene conservar alguna cifra intermedia en el área para no acumular error de redondeo.
Presión y velocidad en una tubería
En una tubería horizontal, el agua pasa de \(2{,}0\ \text{m/s}\) a \(6{,}0\ \text{m/s}\). En la primera sección la presión es \(220\ \text{kPa}\). Calcula la presión en la segunda sección, despreciando pérdidas.
- Como las alturas son iguales, los términos \(\rho gh\) se cancelan.
- \[p_1+\frac12\rho v_1^2=p_2+\frac12\rho v_2^2\]
- \[p_2=p_1+\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)\]
- \[p_2=220000+500(4-36)=204000\ \text{Pa}\]
En una tubería horizontal ideal, donde el fluido circula más rápido la presión estática es menor.
Velocidad de salida por un orificio
Un depósito grande contiene agua. Un pequeño orificio está \(5{,}0\ \text{m}\) por debajo de la superficie. Calcula la velocidad ideal de salida.
- En la superficie y en la salida actúa la presión atmosférica, por lo que se cancela.
- La velocidad de descenso de la superficie es despreciable por ser el depósito mucho más ancho.
- \[v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot5{,}0}=9{,}90\ \text{m/s}\]
Es la misma rapidez que adquiriría un cuerpo al caer idealmente una altura de cinco metros.
Diferencia de presión en un estrechamiento
Una tubería horizontal tiene una sección ancha cuatro veces mayor que la estrecha. El agua circula a \(1{,}5\ \text{m/s}\) en la sección ancha. Calcula la velocidad en la estrecha y la diferencia de presión.
- Continuidad: \[v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1=4\cdot1{,}5=6{,}0\ \text{m/s}\]
- Bernoulli horizontal: \[p_1-p_2=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2)\]
- \[p_1-p_2=500(36-2{,}25)=16875\ \text{Pa}\]
La sección ancha tiene mayor presión estática y menor velocidad.
Vaciado ideal por un conducto
La superficie de un depósito está \(1{,}8\ \text{m}\) por encima de una salida circular de diámetro \(1{,}5\ \text{cm}\). Calcula la velocidad y el caudal ideales.
- \[v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot1{,}8}=5{,}94\ \text{m/s}\]
- Radio de salida: \(r=0{,}0075\ \text{m}\).
- \[A=\pi r^2=1{,}767\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\]
- \[Q=Av=1{,}767\cdot10^{-4}\cdot5{,}94=1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\]
El caudal real sería menor debido a la contracción del chorro y a las pérdidas de energía.
Bloque flotante, fuerza de inmersión y presión del depósito
Un cubo de arista \(20\ \text{cm}\) y densidad \(700\ \text{kg/m}^3\) flota en agua. Calcula su volumen, masa, porcentaje sumergido y la fuerza vertical hacia abajo necesaria para mantenerlo completamente sumergido. Si el fondo está a \(1{,}2\ \text{m}\), calcula también la presión manométrica en él.
- \[V=(0{,}20)^3=0{,}0080\ \text{m}^3,\qquad m=700\cdot0{,}0080=5{,}6\ \text{kg}\]
- Al flotar: \(V_s/V=700/1000=0{,}70\). Se sumerge el 70 %.
- Peso: \(P=5{,}6\cdot9{,}8=54{,}88\ \text{N}\).
- Completamente sumergido: \[E=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0080=78{,}40\ \text{N}\]
- Para el equilibrio, la fuerza adicional debe compensar el exceso de empuje: \[F=E-P=23{,}52\ \text{N}\]
- En el fondo: \[p=1000\cdot9{,}8\cdot1{,}2=11760\ \text{Pa}\]
El ejercicio reúne geometría, densidad, flotación, equilibrio de fuerzas y presión hidrostática sin mezclar sus fórmulas.
Bloque G. Veintiún problemas intensivos de 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Esta tanda final reúne situaciones de examen en las que ya no basta con reconocer una fórmula. Hay que decidir qué presiones se suman, interpretar desniveles, representar las fuerzas y combinar continuidad con Bernoulli. Los primeros ejercicios consolidan contenidos de 4.º ESO y los últimos forman una ampliación seria para 1.º de Bachillerato.
Presión y fuerza en el fondo de un depósito
Un depósito abierto contiene, de arriba abajo, \(0{,}40\ \text{m}\) de gasolina de densidad \(720\ \text{kg/m}^3\), \(0{,}70\ \text{m}\) de aceite de densidad \(850\ \text{kg/m}^3\) y \(1{,}60\ \text{m}\) de agua. El fondo tiene un área de \(0{,}80\ \text{m}^2\). Calcula la presión manométrica, la presión absoluta y la fuerza debida a los líquidos.
- Cada capa aporta una presión \(\rho gh\). No se puede utilizar una densidad media sin justificarla.
- \[p_m=720\cdot9{,}8\cdot0{,}40+850\cdot9{,}8\cdot0{,}70+1000\cdot9{,}8\cdot1{,}60\]
- \[p_m=2822{,}4+5831+15680=24333{,}4\ \text{Pa}\]
- La presión absoluta incluye la atmosférica: \[p_{abs}=101325+24333{,}4=125658{,}4\ \text{Pa}\]
- La fuerza manométrica sobre el fondo es \[F=p_mA=24333{,}4\cdot0{,}80=19466{,}7\ \text{N}\]
La capa de agua aporta la mayor parte de la presión porque es la más densa y la más profunda.
Fuerza resultante y centro de presiones
Una compuerta rectangular vertical de \(1{,}40\ \text{m}\) de ancho y \(2{,}00\ \text{m}\) de alto tiene su borde superior a \(0{,}50\ \text{m}\) bajo la superficie del agua. Calcula la fuerza hidrostática resultante y la profundidad a la que actúa.
- El centro geométrico está a \[h_c=0{,}50+\frac{2{,}00}{2}=1{,}50\ \text{m}\]
- El área es \(A=1{,}40\cdot2{,}00=2{,}80\ \text{m}^2\). Por tanto, \[F=\rho gh_cA=1000\cdot9{,}8\cdot1{,}50\cdot2{,}80=41160\ \text{N}\]
- Para una superficie plana vertical, \[h_p=h_c+\frac{I_G}{h_cA}\] donde \(I_G=bH^3/12\).
- \[I_G=\frac{1{,}40\cdot(2{,}00)^3}{12}=0{,}933\ \text{m}^4\] \[h_p=1{,}50+\frac{0{,}933}{1{,}50\cdot2{,}80}=1{,}72\ \text{m}\]
El punto de aplicación queda por debajo del centro geométrico porque la presión aumenta con la profundidad.
El pistón grande está más abajo
En una máquina hidráulica llena de aceite de densidad \(900\ \text{kg/m}^3\), el pistón pequeño tiene \(5{,}0\ \text{cm}^2\) y recibe una fuerza de \(180\ \text{N}\). El pistón grande, de \(250\ \text{cm}^2\), está \(0{,}50\ \text{m}\) más abajo. Calcula la fuerza ideal sobre el pistón grande.
- Convertimos el área pequeña: \(A_1=5{,}0\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\).
- La presión bajo el pistón pequeño es \[p_1=\frac{180}{5{,}0\cdot10^{-4}}=360000\ \text{Pa}\]
- Al bajar \(0{,}50\ \text{m}\), la presión aumenta: \[p_2=p_1+\rho gh=360000+900\cdot9{,}8\cdot0{,}50=364410\ \text{Pa}\]
- Como \(A_2=250\cdot10^{-4}=0{,}0250\ \text{m}^2\), \[F_2=p_2A_2=364410\cdot0{,}0250=9110{,}25\ \text{N}\]
Si ambos pistones estuvieran a la misma altura saldrían \(9{,}00\ \text{kN}\). El desnivel produce un pequeño aumento coherente.
Trabajo útil de un elevador hidráulico
Un elevador tiene pistones de \(6{,}0\ \text{cm}^2\) y \(300\ \text{cm}^2\). Se aplican \(220\ \text{N}\) y el rendimiento es del 82 %. Calcula la fuerza útil, la masa máxima que puede sostener y cuánto sube el pistón grande cuando el pequeño baja \(18\ \text{cm}\).
- La razón de áreas es \(300/6=50\).
- \[F_{ideal}=220\cdot50=11000\ \text{N}\] \[F_{util}=0{,}82\cdot11000=9020\ \text{N}\]
- La masa máxima se obtiene de \(F_{util}=mg\): \[m=\frac{9020}{9{,}8}=920{,}4\ \text{kg}\]
- El líquido desplazado conserva su volumen: \[A_1d_1=A_2d_2\quad\Rightarrow\quad d_2=\frac{6}{300}\cdot18=0{,}36\ \text{cm}\]
La ganancia de fuerza se paga con un desplazamiento mucho menor del pistón grande.
Agua y mercurio en el mismo manómetro
Un gas está conectado a un manómetro abierto que contiene agua y mercurio. Desde el gas hasta la interfaz con el mercurio se descienden \(20\ \text{cm}\) de agua. En el brazo abierto, la superficie del mercurio está \(8{,}0\ \text{cm}\) por encima de esa interfaz. Calcula la presión absoluta del gas.
- Elegimos como referencia la interfaz. Llegando desde el gas, la presión aumenta por la columna de agua: \[p_{int}=p_g+\rho_ag h_ag\]
- Llegando desde el brazo abierto, la presión en la misma interfaz es \[p_{int}=p_{atm}+\rho_{Hg}gh_{Hg}\]
- Igualamos ambas expresiones y despejamos: \[p_g=p_{atm}+\rho_{Hg}gh_{Hg}-\rho_ag h_ag\]
- \[p_g=101325+13600\cdot9{,}8\cdot0{,}080-1000\cdot9{,}8\cdot0{,}20\] \[p_g=110027{,}4\ \text{Pa}\]
Recorrer el manómetro de un extremo al otro evita aprender signos de memoria: al bajar se suma \(\rho gh\) y al subir se resta.
Diferencia pequeña de presiones
Dos puntos de una tubería de agua, situados a la misma altura, se conectan mediante un manómetro invertido cuyo líquido superior es aceite de densidad \(800\ \text{kg/m}^3\). La diferencia entre las interfaces es \(25\ \text{cm}\). Calcula la diferencia de presión entre los puntos.
- En un manómetro invertido el líquido manométrico es menos denso que el de la tubería.
- Para tomas a la misma altura, \[|p_A-p_B|=(\rho_{agua}-\rho_{aceite})gh\]
- \[|p_A-p_B|=(1000-800)\cdot9{,}8\cdot0{,}25=490\ \text{Pa}\]
La diferencia es pequeña porque depende de la diferencia de densidades, no de la densidad completa del agua.
Volumen sumergido en aceite y en agua
Un cuerpo de volumen \(0{,}012\ \text{m}^3\) y densidad \(900\ \text{kg/m}^3\) queda completamente sumergido en la interfaz entre aceite de densidad \(750\ \text{kg/m}^3\) y agua. Calcula el volumen situado en cada líquido.
- Llamamos \(V_a\) al volumen en aceite y \(V_w\) al volumen en agua: \[V_a+V_w=0{,}012\]
- El peso se equilibra con la suma de los dos empujes. Al cancelar \(g\): \[900\cdot0{,}012=750V_a+1000V_w\]
- Sustituimos \(V_a=0{,}012-V_w\): \[10{,}8=750(0{,}012-V_w)+1000V_w\] \[1{,}8=250V_w\quad\Rightarrow\quad V_w=0{,}0072\ \text{m}^3\]
- \[V_a=0{,}012-0{,}0072=0{,}0048\ \text{m}^3\]
Debe quedar más volumen en el agua, porque su mayor densidad aporta más empuje por cada litro desplazado.
Hasta dónde puede cargarse un cilindro
Un cilindro de base \(0{,}030\ \text{m}^2\), altura \(0{,}50\ \text{m}\) y densidad \(600\ \text{kg/m}^3\) flota verticalmente en agua. Calcula la altura sumergida sin carga, la altura sumergida al colocar \(4{,}0\ \text{kg}\) encima y la carga máxima antes de quedar cubierto.
- El volumen total es \(V=0{,}030\cdot0{,}50=0{,}015\ \text{m}^3\) y la masa del cilindro es \(m_c=600\cdot0{,}015=9{,}0\ \text{kg}\).
- Sin carga, la masa de agua desalojada es \(9{,}0\ \text{kg}\): \[h_s=\frac{V_s}{A}=\frac{9/1000}{0{,}030}=0{,}30\ \text{m}\]
- Con \(4{,}0\ \text{kg}\), la masa total es \(13\ \text{kg}\): \[h_s=\frac{13/1000}{0{,}030}=0{,}433\ \text{m}\]
- Justo antes de cubrirse desplaza \(0{,}015\ \text{m}^3\) de agua, equivalentes a \(15\ \text{kg}\). La carga máxima es \(15-9=6\ \text{kg}\).
Con \(4\ \text{kg}\) todavía emergen \(6{,}7\ \text{cm}\), de modo que el resultado es físicamente posible.
Una pieza densa sostenida dentro del agua
Una pieza de densidad \(2400\ \text{kg/m}^3\) y volumen \(3{,}5\ \text{L}\) está completamente sumergida en agua y sostenida por un cable desde arriba. Calcula la tensión. Si el cable se rompe, calcula la aceleración inicial de la pieza, despreciando el rozamiento.
- El volumen es \(V=3{,}5\cdot10^{-3}\ \text{m}^3\) y la masa \[m=\rho V=2400\cdot3{,}5\cdot10^{-3}=8{,}4\ \text{kg}\]
- El peso y el empuje valen \[P=8{,}4\cdot9{,}8=82{,}32\ \text{N}\] \[E=1000\cdot9{,}8\cdot3{,}5\cdot10^{-3}=34{,}30\ \text{N}\]
- En equilibrio, \(T+E=P\): \[T=82{,}32-34{,}30=48{,}02\ \text{N}\]
- Al romperse el cable, la resultante inicial es \(P-E=48{,}02\ \text{N}\) hacia abajo: \[a=\frac{48{,}02}{8{,}4}=5{,}72\ \text{m/s}^2\]
La aceleración es menor que \(g\) porque el empuje continúa actuando después de romperse el cable.
Tres lecturas de un dinamómetro
Un sólido pesa \(49{,}0\ \text{N}\) en el aire, \(29{,}4\ \text{N}\) completamente sumergido en agua y \(33{,}32\ \text{N}\) en un líquido desconocido. Calcula el volumen y la densidad del sólido y la densidad del líquido.
- La masa del sólido es \(m=49{,}0/9{,}8=5{,}0\ \text{kg}\).
- En agua, la pérdida aparente de peso es el empuje: \[E_a=49{,}0-29{,}4=19{,}6\ \text{N}\] \[V=\frac{E_a}{\rho_ag}=\frac{19{,}6}{1000\cdot9{,}8}=0{,}0020\ \text{m}^3\]
- La densidad del sólido es \[\rho_s=\frac{5{,}0}{0{,}0020}=2500\ \text{kg/m}^3\]
- En el líquido desconocido, \(E_x=49{,}0-33{,}32=15{,}68\ \text{N}\): \[\rho_x=\frac{15{,}68}{9{,}8\cdot0{,}0020}=800\ \text{kg/m}^3\]
El dinamómetro marca más en el líquido desconocido que en agua, luego ese líquido debe ser menos denso. El cálculo lo confirma.
Volumen emergido y carga máxima de un bloque de hielo
Un bloque de hielo de volumen \(120\ \text{m}^3\) y densidad \(917\ \text{kg/m}^3\) flota en agua de mar de densidad \(1025\ \text{kg/m}^3\). Calcula el volumen sumergido, el volumen emergido y la masa máxima que podría añadirse antes de sumergirlo por completo.
- En flotación, \(\rho_{mar}V_sg=\rho_{hielo}Vg\): \[V_s=\frac{917}{1025}\cdot120=107{,}36\ \text{m}^3\]
- El volumen emergido es \[V_e=120-107{,}36=12{,}64\ \text{m}^3\]
- Al quedar completamente sumergido puede desplazar como máximo una masa de agua de mar igual a \(1025\cdot120\). La carga adicional máxima es \[m_c=(1025-917)\cdot120=12960\ \text{kg}\]
Aproximadamente el 10,5 % del volumen queda fuera del agua, un orden de magnitud razonable para el hielo marino.
Tiempo de descenso del nivel de un depósito
Un depósito cilíndrico de sección horizontal \(1{,}20\ \text{m}^2\) se vacía idealmente por un orificio de \(3{,}0\ \text{cm}^2\) situado en el fondo. Calcula el tiempo necesario para que el nivel baje de \(2{,}0\ \text{m}\) a \(0{,}50\ \text{m}\).
- La velocidad de salida cambia con la altura: \(v=\sqrt{2gh}\). Por eso no se puede calcular el tiempo usando una velocidad constante.
- La conservación de volumen conduce a \[A\frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2gh}\]
- Al integrar entre \(h_1\) y \(h_2\): \[t=\frac{2A}{a\sqrt{2g}}\left(\sqrt{h_1}-\sqrt{h_2}\right)\]
- Con \(a=3{,}0\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\): \[t=\frac{2\cdot1{,}20}{3{,}0\cdot10^{-4}\sqrt{19{,}6}}\left(\sqrt2-\sqrt{0{,}50}\right)\] \[t\approx1277\ \text{s}=21{,}3\ \text{min}\]
El nivel desciende cada vez más despacio porque la velocidad de salida disminuye al reducirse la altura de agua.
Un orificio con coeficiente de descarga
Un depósito mantiene una altura constante de agua de \(2{,}50\ \text{m}\) sobre un orificio circular de \(2{,}0\ \text{cm}\) de diámetro. El coeficiente de descarga es \(C_d=0{,}62\). Calcula el caudal real y el tiempo necesario para recoger \(1{,}50\ \text{m}^3\).
- La velocidad ideal es \[v_i=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot2{,}50}=7{,}0\ \text{m/s}\]
- El área del orificio es \[a=\pi(0{,}010)^2=3{,}142\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\]
- El caudal real vale \[Q=C_da v_i=0{,}62\cdot3{,}142\cdot10^{-4}\cdot7{,}0=1{,}364\cdot10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\]
- \[t=\frac{1{,}50}{1{,}364\cdot10^{-3}}=1100\ \text{s}=18{,}3\ \text{min}\]
El coeficiente reduce el caudal ideal. No debe aplicarse otra vez al tiempo.
Velocidades a partir de una lectura de mercurio
Un Venturi horizontal conduce agua. Los diámetros de las secciones son \(6{,}0\ \text{cm}\) y \(3{,}0\ \text{cm}\). Un manómetro diferencial de mercurio conectado entre ambas marca \(12\ \text{cm}\). Calcula las velocidades y el caudal.
- La lectura del manómetro proporciona \[p_1-p_2=(\rho_{Hg}-\rho_a)gh=(13600-1000)\cdot9{,}8\cdot0{,}12=14817{,}6\ \text{Pa}\]
- Por continuidad, al reducirse el diámetro a la mitad el área queda dividida entre cuatro: \[v_2=4v_1\]
- Bernoulli horizontal da \[p_1-p_2=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2)=500(16v_1^2-v_1^2)=7500v_1^2\]
- \[v_1=\sqrt{\frac{14817{,}6}{7500}}=1{,}41\ \text{m/s},\qquad v_2=5{,}62\ \text{m/s}\]
- \[Q=\pi(0{,}030)^2\cdot1{,}41=3{,}97\cdot10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\]
La lectura del mercurio no es directamente \(\rho_{Hg}gh\), porque en ambas ramas también hay agua.
La tubería se estrecha y asciende
El agua pasa de una sección a otra situada \(2{,}0\ \text{m}\) más arriba. La primera sección tiene el doble de área que la segunda. Las presiones son \(260\ \text{kPa}\) y \(210\ \text{kPa}\). Calcula las velocidades, despreciando pérdidas.
- Continuidad: \[A_1v_1=A_2v_2\quad\Rightarrow\quad v_2=2v_1\]
- Tomamos \(z_2-z_1=2{,}0\ \text{m}\) y aplicamos Bernoulli: \[p_1-p_2=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2)+\rho g(z_2-z_1)\]
- \[50000=500(4v_1^2-v_1^2)+1000\cdot9{,}8\cdot2{,}0\] \[50000=1500v_1^2+19600\]
- \[v_1=4{,}50\ \text{m/s},\qquad v_2=9{,}00\ \text{m/s}\]
La caída de presión se reparte entre aumentar la velocidad y ganar altura.
Presión en el punto más alto
Un sifón de diámetro constante descarga agua \(4{,}0\ \text{m}\) por debajo de la superficie de un depósito. Su punto más alto está \(1{,}5\ \text{m}\) por encima de la superficie. Calcula la velocidad ideal y la presión absoluta en el punto más alto.
- Entre la superficie y la salida, ambas a presión atmosférica y con velocidad despreciable en el depósito: \[v=\sqrt{2g\cdot4{,}0}=8{,}85\ \text{m/s}\]
- Entre la superficie y la parte alta del sifón: \[p_{atm}=p_s+\frac12\rho v^2+\rho g(1{,}5)\]
- \[p_s=101325-\frac12\cdot1000\cdot(8{,}85)^2-1000\cdot9{,}8\cdot1{,}5\] \[p_s\approx47425\ \text{Pa}\]
En la cumbre la presión es inferior a la atmosférica. Este resultado explica por qué existe un límite práctico para la altura de un sifón.
Tiempo de trasvase con pérdidas
Un sifón de \(2{,}5\ \text{cm}\) de diámetro descarga \(3{,}0\ \text{m}\) por debajo de la superficie del depósito. Para representar las pérdidas se toma un coeficiente global \(C=0{,}75\) aplicado al caudal ideal. Calcula el caudal real y el tiempo para trasvasar \(200\ \text{L}\), suponiendo constante el nivel.
- \[v_i=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot3{,}0}=7{,}67\ \text{m/s}\]
- El área del tubo es \[A=\pi(0{,}0125)^2=4{,}909\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\]
- \[Q=CAv_i=0{,}75\cdot4{,}909\cdot10^{-4}\cdot7{,}67=2{,}82\cdot10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\]
- Como \(200\ \text{L}=0{,}200\ \text{m}^3\), \[t=\frac{0{,}200}{2{,}82\cdot10^{-3}}=70{,}9\ \text{s}\]
El nivel constante es una simplificación. Si descendiera de forma apreciable, también disminuiría el caudal.
Elevar agua con rendimiento conocido
Una bomba eleva \(15\ \text{L/s}\) de agua a una altura de \(18\ \text{m}\). Su rendimiento es del 72 %. Calcula la potencia hidráulica comunicada al agua y la potencia eléctrica que debe recibir.
- El caudal es \(Q=0{,}015\ \text{m}^3/\text{s}\).
- La potencia útil es la energía potencial ganada cada segundo: \[P_h=\rho gQH=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}015\cdot18=2646\ \text{W}\]
- El rendimiento cumple \(\eta=P_h/P_{entrada}\): \[P_{entrada}=\frac{2646}{0{,}72}=3675\ \text{W}\]
La potencia de entrada debe ser mayor que la útil. Invertir la expresión del rendimiento daría un resultado imposible.
Presión, velocidad y desnivel en una impulsión
Una bomba toma agua de un depósito abierto y la entrega por una tubería situada \(12\ \text{m}\) más arriba, con velocidad \(4{,}0\ \text{m/s}\) y presión manométrica \(120\ \text{kPa}\). El caudal es \(8{,}0\ \text{L/s}\), el rendimiento del 75 % y se desprecia el rozamiento. Calcula la altura de bomba y la potencia de entrada.
- En la superficie del depósito, \(p_1=0\) manométrica y \(v_1\approx0\). La altura que debe aportar la bomba es \[H_b=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+(z_2-z_1)\]
- \[H_b=\frac{120000}{1000\cdot9{,}8}+\frac{4{,}0^2}{2\cdot9{,}8}+12=25{,}06\ \text{m}\]
- Con \(Q=0{,}0080\ \text{m}^3/\text{s}\), \[P_h=\rho gQH_b=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}0080\cdot25{,}06=1964{,}7\ \text{W}\]
- \[P_{entrada}=\frac{1964{,}7}{0{,}75}=2619{,}6\ \text{W}\]
La bomba no solo vence el desnivel. También crea presión y proporciona energía cinética al agua.
Dos depósitos unidos por una conducción
Se bombean \(12\ \text{L/s}\) de agua desde un depósito abierto hasta otro cuya superficie está \(20\ \text{m}\) más alta. Las pérdidas de carga de la conducción equivalen a \(4{,}5\ \text{m}\) de agua. Si el rendimiento es del 68 %, calcula la potencia mínima de entrada.
- En las superficies de ambos depósitos la presión es atmosférica y la velocidad es despreciable. La bomba debe aportar \[H_b=20+4{,}5=24{,}5\ \text{m}\]
- El caudal es \(Q=0{,}012\ \text{m}^3/\text{s}\).
- \[P_h=\rho gQH_b=1000\cdot9{,}8\cdot0{,}012\cdot24{,}5=2881{,}2\ \text{W}\]
- \[P_{entrada}=\frac{2881{,}2}{0{,}68}=4237\ \text{W}\]
Ignorar las pérdidas conduciría a elegir una bomba insuficiente, aunque el desnivel geométrico estuviera bien calculado.
Potencia de bomba y diseño de una boquilla
Una bomba consume \(5{,}0\ \text{kW}\) y trabaja con un rendimiento del 70 % para impulsar \(12\ \text{L/s}\) de agua desde un depósito abierto hasta una boquilla situada \(10\ \text{m}\) más arriba. Las pérdidas equivalen a \(4{,}0\ \text{m}\) de agua. La salida está a presión atmosférica. Calcula la velocidad del chorro y el diámetro interior de la boquilla.
- La potencia hidráulica es \[P_h=\eta P_{entrada}=0{,}70\cdot5000=3500\ \text{W}\]
- La altura aportada por la bomba vale \[H_b=\frac{P_h}{\rho gQ}=\frac{3500}{1000\cdot9{,}8\cdot0{,}012}=29{,}76\ \text{m}\]
- Parte de esa altura se emplea en subir el agua y vencer las pérdidas. El resto se transforma en velocidad: \[\frac{v^2}{2g}=29{,}76-10-4{,}0=15{,}76\ \text{m}\] \[v=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot15{,}76}=17{,}57\ \text{m/s}\]
- Por \(Q=Av\), \[A=\frac{0{,}012}{17{,}57}=6{,}83\cdot10^{-4}\ \text{m}^2\]
- Para una sección circular, \[d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=0{,}0295\ \text{m}=2{,}95\ \text{cm}\]
La comprobación energética cierra el problema: los \(29{,}76\ \text{m}\) de bomba se reparten en \(10\ \text{m}\) de desnivel, \(4\ \text{m}\) de pérdidas y \(15{,}76\ \text{m}\) de energía cinética.
6. Quince problemas propuestos sin resolver
Estos problemas no incluyen resultados ni pistas intermedias. Conviene dibujar cada situación, escribir todos los datos en el Sistema Internacional y revisar las unidades antes de utilizar la calculadora.
Presión sobre una placa
Nivel 4.º ESO. Una pieza ejerce una fuerza perpendicular de \(450\ \text{N}\) sobre una placa de \(75\ \text{cm}^2\). Calcula la presión en pascales y kilopascales. Determina qué fuerza sería necesaria para duplicar la presión sin modificar el área.
Las tres caras de una caja
Nivel 4.º ESO. Una caja maciza de \(18\ \text{kg}\) mide \(40\times25\times15\ \text{cm}\). Calcula la presión sobre el suelo en cada orientación, ordénalas de menor a mayor y justifica la relación entre área y presión.
Presión en un lago
Nivel 4.º ESO. Un submarinista pasa de \(4{,}0\ \text{m}\) a \(13{,}0\ \text{m}\) de profundidad en agua dulce. Calcula la presión manométrica y absoluta en ambos puntos y el aumento de presión experimentado.
Tres capas de líquido
Nivel 4.º ESO. Un recipiente abierto contiene \(0{,}80\ \text{m}\) de gasolina de densidad \(720\ \text{kg/m}^3\), \(1{,}20\ \text{m}\) de aceite de densidad \(850\ \text{kg/m}^3\) y \(2{,}0\ \text{m}\) de agua. Calcula la presión manométrica y absoluta en el fondo.
Diseño de un elevador hidráulico
Nivel 4.º ESO. Se desea levantar un vehículo de \(1200\ \text{kg}\) aplicando como máximo \(250\ \text{N}\) sobre un pistón de \(5{,}0\ \text{cm}^2\). Calcula el área mínima del pistón grande y su diámetro si es circular.
Fuerza y desplazamiento en una prensa
Nivel 4.º ESO. Los pistones de una prensa miden \(12\ \text{cm}^2\) y \(300\ \text{cm}^2\). Sobre el pequeño se aplican \(180\ \text{N}\) y se desplaza \(25\ \text{cm}\). Calcula la fuerza ideal de salida, el desplazamiento del pistón grande y el trabajo transmitido.
Líquido desconocido en un tubo en U
Nivel 4.º ESO. Una columna de \(18\ \text{cm}\) de un líquido desconocido equilibra \(14\ \text{cm}\) de agua. Calcula su densidad y explica, antes de operar, si debe ser mayor o menor que la del agua.
Mercurio y presión atmosférica
Nivel 4.º ESO. Un barómetro indica \(735\ \text{mmHg}\). Calcula la presión atmosférica en pascales y kilopascales. Compara el resultado con una atmósfera normal y determina la diferencia porcentual.
Peso aparente y densidad
Nivel 1.º Bachillerato. Un cuerpo pesa \(78{,}4\ \text{N}\) en el aire, \(49{,}0\ \text{N}\) en agua y \(54{,}88\ \text{N}\) en un líquido desconocido. Calcula el volumen del cuerpo, su densidad y la densidad del líquido.
Cilindro flotante con una carga
Nivel 1.º Bachillerato. Un cilindro de base \(0{,}040\ \text{m}^2\), altura \(0{,}50\ \text{m}\) y densidad \(650\ \text{kg/m}^3\) flota verticalmente en agua. Calcula la altura sumergida. Después se coloca una masa de \(90\ \text{kg}\) encima: determina la nueva altura sumergida y decide si continúa flotando sin cubrirse por completo.
Cuerpo entre aceite y agua
Nivel 1.º Bachillerato. Una pieza de volumen \(6{,}0\ \text{L}\) y densidad \(920\ \text{kg/m}^3\) queda completamente rodeada de líquido en la interfaz entre aceite de \(780\ \text{kg/m}^3\) y agua. Calcula el volumen situado en cada fluido.
Compuerta vertical sumergida
Nivel 1.º Bachillerato. Una compuerta rectangular de \(1{,}5\ \text{m}\) de ancho y \(2{,}4\ \text{m}\) de alto tiene su borde superior a \(0{,}80\ \text{m}\) bajo la superficie del agua. Calcula la presión en los bordes superior e inferior y la fuerza hidrostática resultante.
Estrechamiento con diferencia de altura
Nivel 1.º Bachillerato. El agua circula por una tubería desde una sección de \(30\ \text{cm}^2\) situada a cierta altura hasta otra de \(10\ \text{cm}^2\) situada \(1{,}5\ \text{m}\) más arriba. En la primera, \(v_1=2{,}0\ \text{m/s}\) y \(p_1=250\ \text{kPa}\). Calcula la velocidad y la presión en la segunda, despreciando pérdidas.
Orificio y volumen recogido
Nivel 1.º Bachillerato. Un pequeño orificio circular de diámetro \(2{,}0\ \text{cm}\) está \(3{,}2\ \text{m}\) por debajo de la superficie de un depósito grande. Calcula la velocidad ideal de salida, el caudal y el volumen que saldría en \(45\ \text{s}\) si la altura se mantuviera constante.
Problema completo de flotación y presión
Nivel 1.º Bachillerato. Un bloque hueco de volumen exterior \(0{,}030\ \text{m}^3\) y masa \(18\ \text{kg}\) flota en agua dentro de un depósito de \(2{,}0\ \text{m}\) de profundidad. Calcula el volumen sumergido y el porcentaje emergido. Determina qué masa debe introducirse dentro para que quede sumergido el 90 % y calcula la presión manométrica en el fondo.
7. Simulacro de 60 minutos
Para realizar un examen equilibrado, resuelve sin consultar la teoría los problemas propuestos 2, 4, 6, 9 y 13. Puntúa cada uno sobre dos puntos. La presentación debe incluir dibujo, datos en el SI, ecuaciones, sustitución con unidades y una frase final que interprete el resultado.
| Criterio | Puntuación orientativa |
|---|---|
| Representación y elección del modelo físico | 2 puntos |
| Unidades y conversiones | 2 puntos |
| Ecuaciones y despejes | 2 puntos |
| Cálculo numérico | 2 puntos |
| Interpretación, sentido de fuerzas y revisión | 2 puntos |
8. Errores frecuentes y revisión final
9. Recursos para continuar
Los fluidos combinan herramientas que ya aparecen en otros temas. Si alguna dificultad está en la base matemática o en las unidades, conviene resolverla antes de repetir problemas de memoria.
10. Preguntas frecuentes
¿La presión hidrostática depende de la forma del recipiente?
No. A una profundidad determinada depende de la densidad del líquido, la gravedad y la profundidad vertical. La forma sí puede cambiar el área y, por tanto, la fuerza total sobre una superficie.
¿Cuándo hay que sumar la presión atmosférica?
Cuando se pide presión absoluta o total. Si se pide presión manométrica, presión debida al líquido o diferencia de presiones entre puntos sometidos a la misma atmósfera, no se suma.
¿El empuje es igual al peso del cuerpo?
Solo cuando el cuerpo flota o permanece en equilibrio sin otras fuerzas verticales. El empuje siempre es igual al peso del fluido desalojado.
¿Por qué una prensa hidráulica multiplica la fuerza?
Porque la misma presión actúa sobre un pistón de mayor superficie. A cambio, el pistón grande recorre una distancia menor. En una máquina ideal se conserva el trabajo.
¿Cómo sé si un objeto flota?
Comparando su densidad media con la del fluido. Si es menor, asciende y puede flotar parcialmente; si es mayor, tiende a hundirse; si es igual, puede quedar en equilibrio completamente sumergido.
¿Continuidad y Bernoulli entran siempre en 1.º de Bachillerato?
No necesariamente. Depende de la programación del centro. Por eso aparecen como ampliación separada de la hidrostática, Pascal y Arquímedes.
Cuando el planteamiento sigue siendo la parte difícil
En las clases de Física online de Marlu trabajamos con un método estable: dibujo, fuerzas, unidades, ecuaciones y revisión. Si encaja con lo que necesitas, puedes solicitar disponibilidad.
Consultar disponibilidad en Marlu EducativaJosé María · Profesor de Matemáticas, Física y Química · Marlu Educativa
Recurso elaborado y revisado ejercicio por ejercicio. Última revisión: 20 de julio de 2026.