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Campo gravitatorio de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU
Campo gravitatorio de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU
Teoría, fórmulas, esquemas y 70 ejercicios resueltos de campo y potencial, energía gravitatoria, órbitas, leyes de Kepler y satélites, con comprobación física y dimensional.
Para resolver bien los problemas de campo gravitatorio hay que distinguir desde el principio las magnitudes vectoriales de las escalares. La fuerza y el campo tienen dirección y sentido; el potencial y la energía se suman con su signo. En los problemas de satélites, la distancia se mide siempre desde el centro del astro y la gravedad actúa como fuerza centrípeta.
El tema se desarrolla desde la ley de gravitación universal hasta los problemas completos de PAU/EBAU. Cada solución separa los datos, el planteamiento físico, las ecuaciones, el cálculo, el resultado y la comprobación final, de modo que cada signo, cada distancia y cada unidad queden justificados.
Para repasar conjuntamente los tres campos puede consultarse Campos gravitatorio, eléctrico y magnético PAU/EBAU. La base de trabajo y energía se desarrolla en Dinámica, trabajo y energía de 1.º de Bachillerato, y la práctica global puede completarse con el examen tipo de Física PAU/EBAU resuelto.
Resumen del campo gravitatorio
Campo
Es una magnitud vectorial. Para una masa puntual, \(\vec g=-GM\vec r/r^3\). Apunta hacia la masa que lo crea.
Potencial
Es una magnitud escalar. Con cero en el infinito, \(V=-GM/r\). Para varias masas, se suman las contribuciones con su signo.
Energía
La energía potencial de una masa \(m\) es \(U=mV=-GMm/r\). El trabajo del campo cumple \(W_c=-\Delta U\).
Órbitas
En una órbita circular, \(v=\sqrt{GM/r}\), \(T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\) y \(E=-GMm/(2r)\).
En todos los problemas exteriores, la distancia \(r\) se mide desde el centro del astro. Si el enunciado proporciona una altura \(h\), debe utilizarse \(r=R+h\).
Constantes y unidades
| Magnitud | Símbolo | Valor | Unidad |
|---|---|---|---|
| Constante de gravitación | \(G\) | \(6{,}674\cdot10^{-11}\) | \(\mathrm{N\,m^2/kg^2}\) |
| Masa terrestre | \(M_T\) | \(5{,}972\cdot10^{24}\) | kg |
| Radio terrestre | \(R_T\) | \(6{,}371\cdot10^6\) | m |
| Masa lunar | \(M_L\) | \(7{,}342\cdot10^{22}\) | kg |
| Radio lunar | \(R_L\) | \(1{,}7374\cdot10^6\) | m |
| Masa solar | \(M_S\) | \(1{,}9885\cdot10^{30}\) | kg |
| Unidad astronómica | UA | \(1{,}496\cdot10^{11}\) | m |
Antes de sustituir, pasa los kilómetros a metros y las horas o los días a segundos. En las ecuaciones orbitales, un error de unidades puede quedar elevado al cuadrado o al cubo y alterar por completo el resultado.
Ley de gravitación universal
Dos masas puntuales se atraen con fuerzas de igual módulo y sentidos opuestos. Para cuerpos esféricos con distribución simétrica, la masa puede considerarse concentrada en el centro cuando se estudian puntos exteriores.
La fuerza es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. No debe confundirse la masa, medida en kilogramos, con el peso, que es una fuerza medida en newtons.
Campo gravitatorio
La intensidad del campo en un punto es la fuerza por unidad de masa de prueba.
Las unidades \(\mathrm{N/kg}\) y \(\mathrm{m/s^2}\) son equivalentes. El signo menos de la expresión vectorial indica que el campo apunta hacia la masa.
En la superficie
\(g_0=GM/R^2\). Si se conocen \(g_0\) y \(R\), puede hallarse la masa del planeta.
A una altura h
\(g_h=GM/(R+h)^2\). La altura no puede sustituirse directamente como distancia al centro.
Principio de superposición
Cuando actúan varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos individuales. El potencial, en cambio, se suma de forma escalar.
En una línea conviene fijar un eje y asignar signos a los campos. En el plano, se calculan componentes. La simetría permite anticipar cancelaciones antes de realizar operaciones.
Potencial y energía potencial
El potencial es negativo cuando se toma cero en el infinito. Al alejar una masa, el potencial y la energía potencial aumentan, es decir, se hacen menos negativos.
El campo puede ser nulo en un punto por cancelación vectorial y, sin embargo, el potencial no ser cero. Es una distinción habitual en los exámenes.
Trabajo y conservación de la energía
El trabajo gravitatorio no depende del camino seguido. Cerca de la superficie, cuando la altura es muy pequeña frente al radio terrestre, \(\Delta U\approx mgh\). Para grandes alturas debe usarse la expresión exacta.
Órbitas circulares
En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona exactamente la aceleración centrípeta.
Al subir de órbita, la velocidad circular disminuye, pero la energía mecánica aumenta porque se hace menos negativa.
Leyes de Kepler y satélites
Si varios cuerpos orbitan la misma masa central, la tercera ley establece
Un satélite geoestacionario debe tener el periodo de rotación sidérea terrestre, moverse en una órbita circular ecuatorial y hacerlo en el mismo sentido que la rotación. Un satélite con el mismo periodo pero en otro plano es geosíncrono, no geoestacionario.
Velocidad de escape
La velocidad de escape mínima se obtiene imponiendo energía mecánica total nula.
No depende de la masa del objeto lanzado. En un mismo radio cumple \(v_e=\sqrt{2}\,v_{orb}\).
Cambios de órbita
Para comparar dos órbitas circulares basta con utilizar sus energías mecánicas.
Una transferencia real suele realizarse mediante impulsos que colocan al satélite en una órbita elíptica intermedia. La diferencia entre las energías de dos órbitas circulares no equivale, por sí sola, al combustible necesario para realizar una maniobra concreta.
Gráficas de campo, potencial y energía
| Magnitud | Expresión exterior | Signo | Comportamiento al aumentar r |
|---|---|---|---|
| Módulo del campo | \(g=GM/r^2\) | Positivo como módulo | Disminuye rápidamente hacia cero |
| Potencial | \(V=-GM/r\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
| Energía potencial | \(U=-GMm/r\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
| Energía orbital circular | \(E=-GMm/(2r)\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
En dirección radial, \(\vec g=-dV/dr\,\hat r\). La pendiente del potencial determina el campo. Un potencial casi horizontal corresponde a un campo débil.
Método para resolver problemas de campo gravitatorio
- Dibuja la situación y fija el centro o los ejes de referencia.
- Convierte todas las distancias al Sistema Internacional.
- Distingue radio, altura y distancia entre centros.
- Decide si la magnitud buscada es vectorial o escalar.
- En superposición, estudia primero direcciones y sentidos.
- En órbitas circulares, iguala gravedad y aceleración centrípeta.
- En desplazamientos radiales, valora si conviene trabajo o conservación de la energía.
- Comprueba signo, unidades, orden de magnitud y comportamiento límite.
Una revisión rápida suele detectar los errores principales. El campo debe disminuir al aumentar la distancia, el potencial exterior debe ser negativo y una órbita más alta debe tener menor velocidad circular y mayor periodo.
70 ejercicios resueltos paso a paso
Los ejercicios avanzan desde la fuerza gravitatoria y la superposición hasta problemas completos de potencial, energía, órbitas, leyes de Kepler, transferencias y escape.
Bloque 1. Fuerza, campo y gravedad superficial
Fuerza gravitatoria entre dos masas
Enunciado. Dos cuerpos de masas \(1200\ \mathrm{kg}\) y \(800\ \mathrm{kg}\) están separados \(2{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula el módulo de la fuerza gravitatoria entre ambos.
Datos e incógnitas
\(m_1=1200\ \mathrm{kg}\), \(m_2=800\ \mathrm{kg}\), \(r=2{,}50\ \mathrm{m}\). Se pide \(F\).
Planteamiento físico
Los cuerpos se consideran puntuales. La interacción es atractiva y actúa sobre la recta que une sus centros.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{1200\cdot800}{(2{,}50)^2}\]
\[F=1{,}03\cdot10^{-5}\ \mathrm{N}\]
Campo terrestre a 1200 km de altura
Enunciado. Calcula la intensidad del campo gravitatorio terrestre a \(1200\ \mathrm{km}\) sobre la superficie.
Datos e incógnitas
\(h=1{,}20\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(M_T=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\). Se pide \(g\).
Planteamiento físico
La distancia que entra en la ley del campo se mide desde el centro de la Tierra, no desde la superficie.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=6{,}371\cdot10^6+1{,}20\cdot10^6=7{,}571\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[g=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}972\cdot10^{24}}{(7{,}571\cdot10^6)^2}=6{,}95\ \mathrm{N/kg}\]
Peso de una sonda en Marte
Enunciado. Una sonda de \(450\ \mathrm{kg}\) se encuentra en la superficie de Marte. Calcula la gravedad marciana y el peso de la sonda.
Datos e incógnitas
\(m=450\ \mathrm{kg}\), \(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Primero se calcula el campo creado por Marte en su superficie. Después se aplica \(P=mg\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g_M=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{6{,}417\cdot10^{23}}{(3{,}3895\cdot10^6)^2}=3{,}73\ \mathrm{N/kg}\]
\[P=450\cdot3{,}73=1{,}68\cdot10^3\ \mathrm{N}\]
Campo a una distancia 2,5 veces el radio terrestre
Enunciado. ¿Cuánto vale el campo gravitatorio terrestre a una distancia del centro igual a \(2{,}5R_T\)?
Datos e incógnitas
\(r=2{,}5R_T\), \(g_0=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\). Se pide \(g(r)\).
Planteamiento físico
El campo varía con el inverso del cuadrado de la distancia. Resulta más rápido trabajar con una razón.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g=g_0\dfrac{R_T^2}{(2{,}5R_T)^2}=\dfrac{9{,}82}{6{,}25}\]
\[g=1{,}57\ \mathrm{N/kg}\]
Altura a la que el peso es el 60 %
Enunciado. Calcula la altura sobre la Tierra a la que un cuerpo pesa el \(60\,\%\) de lo que pesa en la superficie.
Datos e incógnitas
\(g_h=0{,}60g_0\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Se pide \(h\).
Planteamiento físico
La masa del cuerpo se simplifica. Se relacionan directamente los campos en la superficie y a la altura buscada.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[0{,}60=\dfrac{R_T^2}{(R_T+h)^2}\]
\[R_T+h=\dfrac{R_T}{\sqrt{0{,}60}}\]
\[h=R_T\left(\dfrac1{\sqrt{0{,}60}}-1\right)=1{,}85\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
Masa de un planeta a partir de g y R
Enunciado. En la superficie de un planeta, \(g=7{,}20\ \mathrm{N/kg}\) y su radio es \(4{,}80\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Determina su masa.
Datos e incógnitas
\(g=7{,}20\ \mathrm{N/kg}\), \(R=4{,}80\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Se pide \(M\).
Planteamiento físico
La gravedad superficial permite despejar directamente la masa del planeta.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[M=\dfrac{7{,}20(4{,}80\cdot10^6)^2}{6{,}674\cdot10^{-11}}\]
\[M=2{,}49\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Densidad media de un planeta
Enunciado. Un planeta esférico tiene radio \(7{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\) y gravedad superficial \(12{,}5\ \mathrm{N/kg}\). Calcula su masa y su densidad media.
Datos e incógnitas
\(R=7{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g=12{,}5\ \mathrm{N/kg}\). Se piden \(M\) y \(\rho\).
Planteamiento físico
Primero se obtiene la masa mediante el campo superficial. Después se divide por el volumen de la esfera.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[M=\dfrac{12{,}5(7{,}00\cdot10^6)^2}{6{,}674\cdot10^{-11}}=9{,}18\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
\[\rho=\dfrac{9{,}18\cdot10^{24}}{\frac43\pi(7{,}00\cdot10^6)^3}=6{,}39\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\]
Peso en la Tierra y en la Luna
Enunciado. Una persona tiene masa \(72\ \mathrm{kg}\). Calcula su peso en la Tierra y en la Luna y compara ambos valores.
Datos e incógnitas
\(m=72\ \mathrm{kg}\), \(g_T=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\), \(g_L=1{,}62\ \mathrm{N/kg}\).
Planteamiento físico
El peso es una fuerza y depende del campo local. La masa no cambia.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[P_T=72\cdot9{,}82=707\ \mathrm{N}\]
\[P_L=72\cdot1{,}62=117\ \mathrm{N}\]
\[\dfrac{P_L}{P_T}=0{,}165\]
Aproximación del campo a baja altura
Enunciado. Compara el valor exacto de \(g\) a \(100\ \mathrm{km}\) de altura con la aproximación \(g\approx g_0(1-2h/R_T)\).
Datos e incógnitas
\(h=1{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g_0=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\).
Planteamiento físico
La aproximación procede del desarrollo para \(h\ll R_T\). Se comparan ambos resultados y su diferencia relativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g_{ex}=9{,}52\ \mathrm{N/kg}\]
\[g_{ap}=9{,}51\ \mathrm{N/kg}\]
\[\text{diferencia relativa}\approx0{,}075\,\%\]
Bloque 2. Superposición, simetría y puntos de equilibrio
Campo y potencial en el punto medio
Enunciado. Dos masas iguales de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(2{,}0\ \mathrm{km}\). Calcula el campo y el potencial gravitatorio en el punto medio.
Datos e incógnitas
\(M_1=M_2=5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\), distancia a cada masa \(r=1000\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El campo es vectorial y los dos campos se cancelan. El potencial es escalar y las dos contribuciones negativas se suman.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\vec g=0\]
\[V=-2G\dfrac{M}{r}=-2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}0\cdot10^{12}}{1000}\]
\[V=-0{,}667\ \mathrm{J/kg}\]
Punto donde se anula el campo entre dos masas
Enunciado. Dos masas \(M_1=9{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(M_2=4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(10\ \mathrm{km}\). Halla el punto de la recta que las une donde el campo es nulo.
Datos e incógnitas
Se coloca \(M_1\) en \(x=0\), \(M_2\) en \(x=10\ \mathrm{km}\) y el punto a distancia \(x\) de \(M_1\).
Planteamiento físico
Entre las masas, los campos tienen sentidos opuestos. El punto debe quedar más cerca de la masa menor.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{\sqrt{M_1}}{x}=\dfrac{\sqrt{M_2}}{d-x}\]
\[\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{10-x}\]
\[3(10-x)=2x\Rightarrow x=6{,}0\ \mathrm{km}\]
Campo y potencial en un punto interior
Enunciado. Con las masas del ejercicio anterior, calcula el campo y el potencial en el punto situado a \(4{,}0\ \mathrm{km}\) de \(M_1\).
Datos e incógnitas
\(r_1=4000\ \mathrm{m}\), \(r_2=6000\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El campo de \(M_1\) apunta hacia la izquierda y el de \(M_2\) hacia la derecha. El potencial se suma con signo negativo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g_1=3{,}75\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2},\qquad g_2=7{,}42\cdot10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g=3{,}01\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\ \text{hacia }M_1\]
\[V=-0{,}195\ \mathrm{J/kg}\]
Superposición vectorial en el plano
Enunciado. Una masa \(3{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((0,0)\), otra de \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((3000,0)\ \mathrm{m}\) y el punto \(P\) en \((0,4000)\ \mathrm{m}\). Calcula \(\vec g(P)\) y \(V(P)\).
Datos e incógnitas
Las distancias son \(r_1=4000\ \mathrm{m}\) y \(r_2=5000\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Cada vector campo apunta desde \(P\) hacia la masa que lo crea. Se suman componentes cartesianas.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\vec g_1=(0,-1{,}25\cdot10^{-5})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec g_2=(6{,}41\cdot10^{-6},-8{,}54\cdot10^{-6})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec g=(6{,}41\cdot10^{-6},-2{,}11\cdot10^{-5})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[|\vec g|=2{,}20\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2},\qquad V=-0{,}103\ \mathrm{J/kg}\]
Tres masas en los vértices de un cuadrado
Enunciado. Tres masas iguales de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan tres vértices de un cuadrado de lado \(2000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el cuarto vértice.
Datos e incógnitas
Dos masas están a distancia \(a\) y una a distancia \(a\sqrt{2}\).
Planteamiento físico
Por simetría, las componentes horizontal y vertical tienen el mismo módulo y apuntan hacia el interior del cuadrado.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g_x=g_y=-4{,}52\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
\[|\vec g|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}=6{,}39\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
Campo en el vértice de un triángulo equilátero
Enunciado. Dos masas iguales de \(6{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están en los extremos de la base de un triángulo equilátero de lado \(3000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el tercer vértice.
Datos e incógnitas
Cada masa produce un campo de módulo \(g_1=GM/a^2\).
Planteamiento físico
Las componentes horizontales se cancelan y las verticales, dirigidas hacia la base, se suman.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[g=2\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot6{,}0\cdot10^{12}}{(3000)^2}\sin60^\circ\]
\[g=7{,}71\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
Campo y potencial en el centro de un triángulo
Enunciado. Tres masas iguales de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un triángulo equilátero de lado \(6000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en su centro.
Datos e incógnitas
La distancia del centro a cada vértice es \(r=a/\sqrt{3}\).
Planteamiento físico
Los tres vectores campo se cancelan por simetría. El potencial suma tres contribuciones iguales.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=\dfrac{6000}{\sqrt{3}}=3464\ \mathrm{m}\]
\[V=-3\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{2{,}0\cdot10^{12}}{3464}=-0{,}116\ \mathrm{J/kg}\]
Trabajo en un campo creado por dos masas
Enunciado. Dos masas \(8{,}0\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}\) y \(2{,}0\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}\) están en \(x=0\) y \(x=10\ \mathrm{km}\). Calcula el trabajo del campo al mover una masa de \(500\ \mathrm{kg}\) desde \(x=3\ \mathrm{km}\) hasta \(x=7\ \mathrm{km}\).
Datos e incógnitas
\(m=500\ \mathrm{kg}\). Se necesitan los potenciales inicial y final.
Planteamiento físico
El trabajo del campo depende solo de los extremos porque el campo gravitatorio es conservativo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V_i=-1{,}971\ \mathrm{J/kg},\qquad V_f=-1{,}208\ \mathrm{J/kg}\]
\[W_c=500(-1{,}971+1{,}208)=-3{,}81\cdot10^2\ \mathrm{J}\]
¿Puede anularse el potencial gravitatorio?
Enunciado. Varias masas positivas crean un campo gravitatorio. Razona si puede existir un punto finito en el que el potencial total sea cero tomando \(V=0\) en el infinito.
Datos e incógnitas
Para cada masa positiva, \(V_i=-GM_i/r_i\).
Planteamiento físico
El potencial es escalar. Todas las contribuciones de masas positivas tienen signo negativo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
Para cualquier punto finito, todas las distancias \(r_i\) son positivas y cada término es negativo.
Por tanto, \(V<0\) en todo punto finito y solo tiende a cero cuando todas las distancias tienden a infinito.
Punto de campo nulo entre la Tierra y la Luna
Enunciado. Ignorando la rotación del sistema, calcula el punto de la línea Tierra-Luna donde los campos gravitatorios se anulan. Usa \(d=3{,}844\cdot10^8\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(M_T=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\), \(M_L=7{,}342\cdot10^{22}\ \mathrm{kg}\).
Planteamiento físico
Entre ambos astros los campos tienen sentidos opuestos. Se igualan sus módulos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[x=\dfrac{d\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}\]
\[x=3{,}460\cdot10^8\ \mathrm{m}\]
\[d-x=3{,}84\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
Fuerza neta sobre una masa situada entre otras dos
Enunciado. Una masa de \(1000\ \mathrm{kg}\) está a \(4000\ \mathrm{m}\) de una masa de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) situada a su izquierda y a \(6000\ \mathrm{m}\) de otra de \(8{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) situada a su derecha. Calcula la fuerza neta.
Datos e incógnitas
Las dos fuerzas son colineales y de sentidos opuestos.
Planteamiento físico
Se calculan por separado los módulos y se resta la menor de la mayor.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F_{izq}=2{,}09\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
\[F_{der}=1{,}48\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
\[F_{net}=6{,}03\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\ \text{hacia la izquierda}\]
Cuatro masas en un cuadrado
Enunciado. Cuatro masas iguales de \(3{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(4000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en el centro.
Datos e incógnitas
La distancia del centro a cada vértice es \(r=a/\sqrt{2}\).
Planteamiento físico
Los cuatro campos se cancelan por simetría. El potencial suma cuatro términos iguales.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=2828\ \mathrm{m}\]
\[V=-4\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{3{,}0\cdot10^{12}}{2828}=-0{,}283\ \mathrm{J/kg}\]
Fuerza vectorial sobre una masa de prueba
Enunciado. Una masa de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((0,0)\), otra de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((3000,0)\ \mathrm{m}\), y una masa de prueba de \(200\ \mathrm{kg}\) en \((0,4000)\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza resultante.
Datos e incógnitas
La fuerza es \(\vec F=m\vec g\). Las distancias son \(4000\ \mathrm{m}\) y \(5000\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se calcula primero el campo total por componentes y después se multiplica por la masa de prueba.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\vec g=(3{,}20\cdot10^{-6}\hat\imath-2{,}51\cdot10^{-5}\hat\jmath)\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec F=(6{,}41\cdot10^{-4}\hat\imath-5{,}03\cdot10^{-3}\hat\jmath)\ \mathrm{N}\]
\[|\vec F|=5{,}07\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\]
Bloque 3. Potencial, trabajo y conservación de la energía
Potencial terrestre a 2000 km de altura
Enunciado. Calcula el potencial gravitatorio creado por la Tierra a \(2000\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(h=2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r=R_T+h=8{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El potencial es energía potencial por unidad de masa y se toma cero en el infinito.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=-6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}972\cdot10^{24}}{8{,}371\cdot10^6}\]
\[V=-4{,}76\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\]
Energía para elevar una carga hasta 1000 km
Enunciado. Calcula el aumento de energía potencial al elevar lentamente una carga de \(250\ \mathrm{kg}\) desde la superficie terrestre hasta \(1000\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(m=250\ \mathrm{kg}\), \(r_i=R_T\), \(r_f=R_T+1{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En un traslado lento, la energía aportada por el agente externo coincide con el aumento de energía potencial.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta U=6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot250\left(\dfrac1{6{,}371\cdot10^6}-\dfrac1{7{,}371\cdot10^6}\right)\]
\[\Delta U=2{,}12\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Trabajo del campo durante una caída radial
Enunciado. Una masa de \(600\ \mathrm{kg}\) cae desde \(2000\ \mathrm{km}\) hasta \(500\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula el trabajo realizado por el campo gravitatorio.
Datos e incógnitas
\(r_i=R_T+2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r_f=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El trabajo del campo es el opuesto de la variación de energía potencial.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[W_c=6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot600\left(\dfrac1{6{,}871\cdot10^6}-\dfrac1{8{,}371\cdot10^6}\right)\]
\[W_c=6{,}24\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Velocidad de caída desde una distancia 3R
Enunciado. Un objeto parte del reposo a una distancia \(3R_T\) del centro terrestre y cae radialmente hasta la superficie. Despreciando la atmósfera, calcula su velocidad de llegada.
Datos e incógnitas
\(r_i=3R_T\), \(r_f=R_T\), \(v_i=0\).
Planteamiento físico
Se conserva la energía mecánica. La masa del objeto se simplifica.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_f=\sqrt{2GM_T\left(\dfrac1{R_T}-\dfrac1{3R_T}\right)}\]
\[v_f=9{,}13\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad para alcanzar una altura igual al radio terrestre
Enunciado. ¿Con qué velocidad mínima debe lanzarse verticalmente un cuerpo desde la superficie para llegar con velocidad nula a una distancia \(2R_T\) del centro?
Datos e incógnitas
\(r_i=R_T\), \(r_f=2R_T\), \(v_f=0\).
Planteamiento físico
La energía cinética inicial se transforma en aumento de energía potencial.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_0=\sqrt{\dfrac{GM_T}{R_T}}\]
\[v_0=7{,}91\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Lanzamiento desde la Luna hasta 3R
Enunciado. Calcula la velocidad inicial necesaria para que un cuerpo lanzado desde la superficie lunar alcance una distancia máxima \(3R_L\) del centro.
Datos e incógnitas
\(M_L=7{,}342\cdot10^{22}\ \mathrm{kg}\), \(R_L=1{,}7374\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se aplica conservación de la energía entre la superficie y el punto de velocidad nula.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_0=1{,}94\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Energía total y tipo de trayectoria
Enunciado. Un vehículo de \(1200\ \mathrm{kg}\) se mueve a \(9{,}0\ \mathrm{km/s}\) a \(500\ \mathrm{km}\) de altura sobre la Tierra. Calcula sus energías cinética, potencial y total e indica si está gravitatoriamente ligado.
Datos e incógnitas
\(m=1200\ \mathrm{kg}\), \(v=9000\ \mathrm{m/s}\), \(r=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El signo de la energía mecánica específica permite decidir si la trayectoria es ligada.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[K=4{,}86\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-6{,}96\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-2{,}10\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Comprobación de escape a una distancia 2R
Enunciado. Un cuerpo se encuentra a \(2R_T\) del centro terrestre con velocidad \(6{,}0\ \mathrm{km/s}\). Determina si puede escapar.
Datos e incógnitas
\(r=2R_T\), \(v=6000\ \mathrm{m/s}\).
Planteamiento físico
Se compara la velocidad dada con la velocidad de escape local o, de forma equivalente, se calcula la energía específica.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_e=7{,}91\ \mathrm{km/s}\]
\[\varepsilon=-1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\]
Relación numérica entre campo y potencial
Enunciado. Calcula la variación del potencial terrestre entre la superficie y un punto \(10\ \mathrm{km}\) más alto. Compara \(\Delta V/\Delta r\) con el valor del campo en el punto medio.
Datos e incógnitas
\(\Delta r=1{,}00\cdot10^4\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En dirección radial, el campo cumple \(\vec g=-dV/dr\,\hat r\). Para un intervalo pequeño, el cociente incremental aproxima la derivada.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta V=9{,}8041\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}\]
\[\dfrac{\Delta V}{\Delta r}=9{,}8041\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g\left(R_T+\dfrac{\Delta r}{2}\right)=9{,}8041\ \mathrm{m/s^2}\]
Validez de la aproximación mgh
Enunciado. Una masa de \(80\ \mathrm{kg}\) se eleva \(50\ \mathrm{m}\) cerca de la superficie terrestre. Compara el incremento exacto de energía potencial con \(mgh\).
Datos e incógnitas
\(m=80\ \mathrm{kg}\), \(h=50\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La expresión \(mgh\) supone que el campo es prácticamente constante durante el ascenso.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta U_{ex}=39277{,}8\ \mathrm{J}\]
\[\Delta U_{ap}=39278{,}1\ \mathrm{J}\]
\[\text{diferencia relativa}=7{,}85\cdot10^{-4}\,\%\]
Bloque 4. Órbitas circulares y energía orbital
Velocidad y periodo de una órbita baja
Enunciado. Un satélite describe una órbita circular a \(400\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y su periodo.
Datos e incógnitas
\(h=4{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(r=R_T+h=6{,}771\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La gravedad proporciona la aceleración centrípeta.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=7{,}67\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[T=5{,}545\cdot10^3\ \mathrm{s}=92{,}4\ \mathrm{min}\]
Órbita terrestre a 1200 km
Enunciado. Calcula la velocidad y el periodo de un satélite en órbita circular a \(1200\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(r=7{,}571\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Al aumentar el radio orbital, la velocidad disminuye y el periodo aumenta.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=7{,}26\ \mathrm{km/s}\]
\[T=6{,}556\cdot10^3\ \mathrm{s}=109{,}3\ \mathrm{min}\]
Radio orbital a partir del periodo
Enunciado. Un satélite terrestre tiene un periodo de \(2{,}50\ \mathrm{h}\). Calcula el radio de la órbita y la altura sobre la superficie.
Datos e incógnitas
\(T=2{,}50\cdot3600=9000\ \mathrm{s}\).
Planteamiento físico
Se despeja el radio en la expresión del periodo orbital.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=9{,}35\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[h=9{,}35\cdot10^6-6{,}371\cdot10^6=2{,}98\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
Masa de un planeta mediante una órbita
Enunciado. Un satélite describe una órbita circular de radio \(1{,}20\cdot10^7\ \mathrm{m}\) en \(4{,}00\ \mathrm{h}\). Calcula la masa del planeta.
Datos e incógnitas
\(r=1{,}20\cdot10^7\ \mathrm{m}\), \(T=14400\ \mathrm{s}\).
Planteamiento físico
La tercera ley de Kepler para una masa central dominante permite despejar \(M\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[M=\dfrac{4\pi^2(1{,}20\cdot10^7)^3}{6{,}674\cdot10^{-11}(14400)^2}\]
\[M=4{,}93\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Masa terrestre a partir de la órbita lunar
Enunciado. Usa el radio medio de la órbita lunar \(3{,}844\cdot10^8\ \mathrm{m}\) y el periodo \(27{,}32\ \mathrm{días}\) para estimar la masa de la Tierra.
Datos e incógnitas
\(T=27{,}32\cdot86400=2{,}360\cdot10^6\ \mathrm{s}\).
Planteamiento físico
Se trata la Tierra como masa central y la órbita lunar como aproximadamente circular.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[M_T\approx6{,}03\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Energías de un satélite en órbita circular
Enunciado. Un satélite de \(800\ \mathrm{kg}\) orbita la Tierra a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula sus energías cinética, potencial y mecánica.
Datos e incógnitas
\(m=800\ \mathrm{kg}\), \(r=7{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En una órbita circular se cumplen relaciones directas entre las tres energías.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[K=2{,}16\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-4{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-2{,}16\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Demostración numérica de K igual a |U|/2
Enunciado. Un satélite de \(500\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular a \(600\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula \(K\) y \(U\) y comprueba su relación.
Datos e incógnitas
\(r=R_T+6{,}00\cdot10^5=6{,}971\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La fuerza gravitatoria es centrípeta, de donde \(mv^2=GM_Tm/r\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[K=1{,}43\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-2{,}86\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\dfrac{K}{|U|}=0{,}500\]
Momento angular orbital
Enunciado. Un satélite de \(650\ \mathrm{kg}\) se mueve en una órbita circular a \(900\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y el módulo de su momento angular respecto al centro terrestre.
Datos e incógnitas
\(m=650\ \mathrm{kg}\), \(r=7{,}271\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En una órbita circular, \(\vec r\) y \(\vec v\) son perpendiculares.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=7{,}40\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[L=650\cdot7{,}40\cdot10^3\cdot7{,}271\cdot10^6=3{,}50\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}\]
Aceleración centrípeta y campo gravitatorio
Enunciado. Un satélite orbita a \(1500\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y comprueba que la aceleración centrípeta coincide con el campo gravitatorio local.
Datos e incógnitas
\(r=R_T+1{,}50\cdot10^6=7{,}871\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La igualdad entre ambas aceleraciones es precisamente la condición de órbita circular.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=7{,}12\ \mathrm{km/s}\]
\[a_c=6{,}434\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g=6{,}434\ \mathrm{m/s^2}\]
Satélite alrededor de Marte
Enunciado. Calcula la velocidad y el periodo de un satélite circular a \(400\ \mathrm{km}\) sobre Marte.
Datos e incógnitas
\(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r=3{,}7895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se aplican las ecuaciones orbitales con los datos de Marte.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=3{,}36\ \mathrm{km/s}\]
\[T=7{,}082\cdot10^3\ \mathrm{s}=118{,}0\ \mathrm{min}\]
Órbita baja alrededor de la Luna
Enunciado. Un satélite se encuentra a \(100\ \mathrm{km}\) sobre la superficie lunar. Calcula su velocidad y su periodo.
Datos e incógnitas
\(r=R_L+1{,}00\cdot10^5=1{,}8374\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se considera la Luna esférica y la órbita circular.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=1{,}63\ \mathrm{km/s}\]
\[T=7{,}069\cdot10^3\ \mathrm{s}=117{,}8\ \mathrm{min}\]
Cambio de radio de R a 2R
Enunciado. Compara la velocidad y el periodo de dos órbitas circulares de radios \(R\) y \(2R\) alrededor del mismo planeta.
Datos e incógnitas
Se piden las razones \(v_2/v_1\) y \(T_2/T_1\).
Planteamiento físico
Para una misma masa central, \(v\propto r^{-1/2}\) y \(T\propto r^{3/2}\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{v_2}{v_1}=0{,}707\]
\[\dfrac{T_2}{T_1}=2{,}83\]
Comparación de órbitas con r2 igual a 3r1
Enunciado. Dos satélites orbitan el mismo planeta con radios \(r_1\) y \(r_2=3r_1\). Calcula las razones de velocidades y periodos.
Datos e incógnitas
\(r_2/r_1=3\).
Planteamiento físico
Se aplican las leyes de escala orbital.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac1{\sqrt{3}}=0{,}577\]
\[\dfrac{T_2}{T_1}=3\sqrt{3}=5{,}20\]
Energía para elevar una órbita circular
Enunciado. Un satélite de \(1200\ \mathrm{kg}\) pasa de una órbita circular a \(500\ \mathrm{km}\) de altura a otra circular a \(2000\ \mathrm{km}\). Calcula el aumento de energía mecánica.
Datos e incógnitas
\(r_1=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(r_2=R_T+2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La energía total de una órbita circular es \(-GMm/(2r)\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta E=6{,}24\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Primer impulso de una transferencia elíptica
Enunciado. Un satélite de \(900\ \mathrm{kg}\) pasa desde una órbita circular de \(300\ \mathrm{km}\) a una elipse de transferencia cuyo apogeo está a \(2000\ \mathrm{km}\). Calcula la energía aportada y el incremento de velocidad en el primer impulso.
Datos e incógnitas
\(r_1=R_T+300\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\). El semieje de la elipse es \(a=(r_1+r_2)/2\).
Planteamiento físico
La energía específica de una órbita elíptica es \(-GM/(2a)\). La velocidad en el perigeo se obtiene con la ecuación vis-viva.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta E_1=E_{tr}-E_{circ}=3{,}04\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
\[\Delta v_1=v_p-v_{circ}=4{,}25\cdot10^2\ \mathrm{m/s}\]
Bloque 5. Kepler, satélites estacionarios y escape
Tercera ley de Kepler sin datos absolutos
Enunciado. El radio orbital de un satélite se multiplica por cuatro alrededor del mismo planeta. ¿Por qué factor cambia el periodo?
Datos e incógnitas
\(r_2=4r_1\).
Planteamiento físico
La tercera ley de Kepler establece \(T^2\propto r^3\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{T_2}{T_1}=4^{3/2}=8\]
Periodo orbital de Venus
Enunciado. La distancia media de Venus al Sol es \(0{,}723\) veces la distancia Tierra-Sol. Estima su periodo orbital en días suponiendo órbitas circulares.
Datos e incógnitas
\(a_V/a_T=0{,}723\), \(T_T=365{,}25\ \mathrm{días}\).
Planteamiento físico
Para dos planetas que orbitan el mismo astro se cumple \(T^2/a^3=\text{constante}\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[T_V=365{,}25(0{,}723)^{3/2}=224{,}5\ \mathrm{días}\]
Órbita areostacionaria
Enunciado. Calcula el radio y la altura de una órbita estacionaria alrededor de Marte. Usa el periodo de rotación marciano \(24{,}6229\ \mathrm{h}\).
Datos e incógnitas
\(T=24{,}6229\cdot3600\ \mathrm{s}\), \(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Para permanecer sobre el mismo meridiano, la órbita debe ser circular, ecuatorial, directa y tener el mismo periodo que la rotación.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=2{,}043\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h=1{,}704\cdot10^7\ \mathrm{m}=17040\ \mathrm{km}\]
Órbita geoestacionaria con día sidéreo
Enunciado. Calcula el radio, la altura y la velocidad de un satélite geoestacionario usando el día sidéreo terrestre \(T=86164\ \mathrm{s}\).
Datos e incógnitas
\(T=86164\ \mathrm{s}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La órbita geoestacionaria es una órbita geosíncrona circular, ecuatorial y en el sentido de rotación terrestre.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=4{,}216\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h=3{,}579\cdot10^7\ \mathrm{m}=35792\ \mathrm{km}\]
\[v=3{,}075\ \mathrm{km/s}\]
Velocidad de escape de Marte
Enunciado. Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte.
Datos e incógnitas
\(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La velocidad mínima corresponde a llegar al infinito con velocidad final nula.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_e=5{,}03\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad de escape desde 500 km de altura
Enunciado. Calcula la velocidad de escape terrestre desde un punto situado a \(500\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(r=R_T+5{,}00\cdot10^5=6{,}871\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La expresión de escape depende de la distancia al centro desde la que parte el objeto.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_e=1{,}077\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=10{,}77\ \mathrm{km/s}\]
Impulso ideal para escapar desde una órbita
Enunciado. Un satélite se mueve en una órbita circular terrestre a \(400\ \mathrm{km}\) de altura. ¿Qué incremento tangencial instantáneo de velocidad necesita, idealmente, para alcanzar la velocidad de escape en ese punto?
Datos e incógnitas
\(r=R_T+400\ \mathrm{km}\).
Planteamiento físico
En el mismo radio, la velocidad de escape es \(\sqrt{2}\) veces la circular.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_c=7{,}67\ \mathrm{km/s}\]
\[v_e=10{,}85\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v=3{,}18\ \mathrm{km/s}\]
Relación general entre velocidad orbital y de escape
Enunciado. Demuestra la relación entre la velocidad de escape y la velocidad circular en un mismo radio.
Datos e incógnitas
Se comparan las dos expresiones para una misma masa central y un mismo \(r\).
Planteamiento físico
La velocidad circular procede del equilibrio centrípeto y la de escape de la energía total nula.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{v_e}{v_c}=\sqrt{2}\]
Velocidad de escape del Sol a la distancia terrestre
Enunciado. Calcula la velocidad de escape del campo solar a una distancia de \(1\ \mathrm{UA}\).
Datos e incógnitas
\(M_S=1{,}9885\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\), \(r=1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se calcula la velocidad necesaria para que la energía específica respecto al Sol sea nula.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_e=4{,}21\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=42{,}1\ \mathrm{km/s}\]
Bloque 6. Problemas completos tipo PAU/EBAU
Planeta extrasolar a partir de radio y gravedad
Enunciado. Un exoplaneta tiene radio \(1{,}50R_T\) y gravedad superficial \(18{,}0\ \mathrm{N/kg}\). Calcula su masa en kilogramos y en masas terrestres, y su velocidad de escape.
Datos e incógnitas
\(R=1{,}50R_T=9{,}557\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g=18{,}0\ \mathrm{N/kg}\).
Planteamiento físico
La masa se obtiene de la gravedad superficial. Después puede usarse \(v_e=\sqrt{2gR}\), equivalente a la fórmula con \(GM\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[M=2{,}46\cdot10^{25}\ \mathrm{kg}=4{,}12M_T\]
\[v_e=1{,}85\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=18{,}5\ \mathrm{km/s}\]
Problema completo de órbita y cambio de energía
Enunciado. Un planeta tiene masa \(4M_T\) y radio \(1{,}20R_T\). Un satélite de \(700\ \mathrm{kg}\) orbita a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad, periodo y energía mecánica. Después determina la energía necesaria para llevarlo a una órbita circular a \(5000\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(M=4M_T\), \(R=1{,}20R_T\), \(m=700\ \mathrm{kg}\), \(r_1=R+1000\ \mathrm{km}\), \(r_2=R+5000\ \mathrm{km}\).
Planteamiento físico
Primero se resuelve la órbita inicial. Después se comparan las energías mecánicas de las dos órbitas circulares.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_1=13{,}58\ \mathrm{km/s}\]
\[T_1=4{,}000\cdot10^3\ \mathrm{s}=66{,}7\ \mathrm{min}\]
\[E_1=-6{,}45\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\Delta E=2{,}04\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Campo, potencial y trabajo con dos masas
Enunciado. Una masa de \(6{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((-3000,0)\ \mathrm{m}\) y otra de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((4000,0)\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en el origen. Después determina el trabajo del campo al trasladar una masa de \(100\ \mathrm{kg}\) desde el origen hasta el punto \((0,3000)\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
En el origen, las dos contribuciones al campo son colineales y de sentidos opuestos. Para el trabajo se necesitan los potenciales inicial y final.
Planteamiento físico
El campo se suma vectorialmente. El potencial se suma como escalar y el trabajo del campo depende únicamente de los extremos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
En el origen
\[g_1=4{,}449\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{hacia la izquierda}\]
\[g_2=8{,}343\cdot10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{hacia la derecha}\]
\[\vec g_P=-3{,}615\cdot10^{-5}\,\hat\imath\ \mathrm{m/s^2}\]
\[V_P=-G\left(\dfrac{6{,}0\cdot10^{12}}{3000}+\dfrac{2{,}0\cdot10^{12}}{4000}\right)=-0{,}16685\ \mathrm{J/kg}\]
En \(Q=(0,3000)\ \mathrm{m}\), las distancias son \(4243\ \mathrm{m}\) y \(5000\ \mathrm{m}\)
\[V_Q=-0{,}12108\ \mathrm{J/kg}\]
\[W_c=100(-0{,}16685+0{,}12108)=-4{,}58\ \mathrm{J}\]
Punto de campo nulo, potencial y estabilidad
Enunciado. Dos masas de \(9{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(10\ \mathrm{km}\). Calcula el punto interior donde el campo se anula, el potencial en ese punto y razona si el equilibrio de una masa de prueba sería estable.
Datos e incógnitas
Sea \(x\) la distancia desde la masa mayor. La distancia a la menor es \(d-x\).
Planteamiento físico
Entre las masas, los campos tienen sentidos opuestos. El potencial no se anula porque las dos aportaciones son negativas.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{10000-x}\]
\[x=6000\ \mathrm{m},\qquad d-x=4000\ \mathrm{m}\]
\[V=-6{,}674\cdot10^{-11}\left(\dfrac{9{,}0\cdot10^{12}}{6000}+\dfrac{4{,}0\cdot10^{12}}{4000}\right)\]
\[V=-0{,}16685\ \mathrm{J/kg}\]
Si la masa se desplaza ligeramente hacia una de las masas, la atracción de la masa más próxima aumenta y la aleja todavía más del punto de equilibrio.
Radio, masa y densidad de un planeta con datos indirectos
Enunciado. La gravedad superficial de un planeta es \(8{,}0\ \mathrm{m/s^2}\). Un satélite describe una órbita circular a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura con velocidad \(5{,}77\ \mathrm{km/s}\). Calcula el radio, la masa y la densidad media del planeta.
Datos e incógnitas
\(g_0=8{,}0\ \mathrm{m/s^2}\), \(h=1{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(v=5{,}77\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\).
Planteamiento físico
La misma cantidad \(GM\) aparece en la gravedad superficial y en la condición de órbita circular.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
Al eliminar \(GM\)
\[g_0R^2=v^2(R+h)\]
\[R=\dfrac{v^2+\sqrt{v^4+4g_0v^2h}}{2g_0}=4{,}995\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[M=\dfrac{g_0R^2}{G}=2{,}99\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
\[\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=5{,}73\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\]
Altura donde la gravedad se reduce a la mitad
Enunciado. Calcula la altura sobre la Tierra a la que el campo gravitatorio vale la mitad que en la superficie. Si un satélite describe allí una órbita circular, calcula su velocidad y su periodo.
Datos e incógnitas
\(g(r)=g_0/2\), \(r=R_T+h\).
Planteamiento físico
La gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia al centro. Una vez obtenido el radio, se aplican las ecuaciones orbitales.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=\sqrt2\,R_T\]
\[h=(\sqrt2-1)R_T=2{,}64\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[v=6{,}65\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[T=8{,}512\cdot10^3\ \mathrm{s}=141{,}9\ \mathrm{min}\]
Lanzamiento radial, altura máxima y velocidad de regreso
Enunciado. Un cuerpo se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con velocidad \(9{,}00\ \mathrm{km/s}\). Despreciando la atmósfera, calcula la altura máxima y la velocidad que tendrá al regresar a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura.
Datos e incógnitas
\(v_0=9000\ \mathrm{m/s}\), \(r_0=R_T\). En la altura máxima, \(v=0\).
Planteamiento físico
La energía mecánica se conserva durante todo el movimiento radial. En un mismo radio, el módulo de la velocidad es igual durante la subida y la bajada.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac1{r_{max}}=\dfrac1{R_T}-\dfrac{v_0^2}{2GM_T}\]
\[r_{max}=1{,}807\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h_{max}=r_{max}-R_T=1{,}170\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
Para \(r=R_T+1000\ \mathrm{km}\)
\[v=\sqrt{v_0^2+2GM_T\left(\dfrac1r-\dfrac1{R_T}\right)}=8{,}00\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Caída desde cuatro radios terrestres
Enunciado. Una cápsula de \(250\ \mathrm{kg}\) parte del reposo a una distancia \(4R_T\) del centro terrestre y cae radialmente hasta la superficie. Calcula su velocidad de llegada y el trabajo realizado por el campo.
Datos e incógnitas
\(r_i=4R_T\), \(r_f=R_T\), \(v_i=0\), \(m=250\ \mathrm{kg}\).
Planteamiento físico
La pérdida de energía potencial se transforma en energía cinética. El trabajo del campo coincide con el aumento de energía cinética.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_f=\sqrt{\dfrac{3GM_T}{2R_T}}=9{,}69\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[W_c=\frac12\cdot250\cdot(9{,}687\cdot10^3)^2=1{,}17\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Órbita completa con energías y momento angular
Enunciado. Un satélite de \(1200\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular a \(800\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad, periodo, energía cinética, energía potencial, energía mecánica y momento angular respecto al centro terrestre.
Datos e incógnitas
\(m=1200\ \mathrm{kg}\), \(r=R_T+8{,}00\cdot10^5=7{,}171\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En una órbita circular, la gravedad proporciona la aceleración centrípeta y permite obtener relaciones directas entre las energías.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=7{,}455\ \mathrm{km/s},\qquad T=6044\ \mathrm{s}=100{,}7\ \mathrm{min}\]
\[K=3{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-6{,}67\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-3{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[L=6{,}42\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}\]
Satélite geoestacionario con energía orbital
Enunciado. Un satélite geoestacionario de \(1500\ \mathrm{kg}\) utiliza el día sidéreo terrestre \(T=86164\ \mathrm{s}\). Calcula el radio orbital, la altura, la velocidad y sus tres energías.
Datos e incógnitas
\(m=1500\ \mathrm{kg}\), \(T=86164\ \mathrm{s}\).
Planteamiento físico
El periodo fija el radio. La condición geoestacionaria exige además órbita circular, ecuatorial y directa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=4{,}216\cdot10^7\ \mathrm{m},\qquad h=3{,}579\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[v=3{,}075\ \mathrm{km/s}\]
\[K=7{,}09\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
\[U=-1{,}418\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-7{,}09\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Comparación completa de dos órbitas terrestres
Enunciado. Un satélite de \(900\ \mathrm{kg}\) pasa de una órbita circular a \(500\ \mathrm{km}\) de altura a otra a \(2000\ \mathrm{km}\). Compara velocidades, periodos y energías mecánicas, y calcula el aumento de energía.
Datos e incógnitas
\(r_1=R_T+500\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\), \(m=900\ \mathrm{kg}\).
Planteamiento físico
Una órbita más alta tiene menor velocidad, mayor periodo y mayor energía mecánica, aunque esta siga siendo negativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_1=7{,}616\ \mathrm{km/s},\qquad T_1=94{,}47\ \mathrm{min}\]
\[v_2=6{,}900\ \mathrm{km/s},\qquad T_2=127{,}04\ \mathrm{min}\]
\[E_1=-2{,}610\cdot10^{10}\ \mathrm{J},\qquad E_2=-2{,}143\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\Delta E=E_2-E_1=4{,}68\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Transferencia de Hohmann completa
Enunciado. Calcula los dos incrementos de velocidad, el incremento total y el tiempo de transferencia ideal para pasar de una órbita terrestre circular a \(300\ \mathrm{km}\) de altura a otra a \(2000\ \mathrm{km}\).
Datos e incógnitas
\(r_1=R_T+300\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\), \(a=(r_1+r_2)/2\).
Planteamiento físico
El primer impulso convierte la órbita circular baja en una elipse de transferencia. El segundo impulso, aplicado en el apogeo, circulariza la órbita alta.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_{c1}=7{,}730\ \mathrm{km/s},\qquad v_p=8{,}155\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_1=0{,}425\ \mathrm{km/s}\]
\[v_a=6{,}499\ \mathrm{km/s},\qquad v_{c2}=6{,}900\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_2=0{,}402\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_{total}=0{,}827\ \mathrm{km/s}\]
\[t_{tr}=\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM_T}}=3246\ \mathrm{s}=54{,}1\ \mathrm{min}\]
Escape desde una órbita circular
Enunciado. Un satélite de \(1000\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular terrestre a \(700\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula el incremento tangencial mínimo de velocidad y la energía ideal que debe recibir para escapar.
Datos e incógnitas
\(m=1000\ \mathrm{kg}\), \(r=R_T+700\ \mathrm{km}\).
Planteamiento físico
En el mismo punto, la velocidad de escape es \(\sqrt2\) veces la circular. La energía mínima aportada eleva la energía mecánica desde su valor orbital negativo hasta cero.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_c=7{,}508\ \mathrm{km/s}\]
\[v_e=10{,}618\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v=3{,}110\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta E=2{,}82\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Interpretación conjunta de las gráficas gravitatorias
Enunciado. Para la Tierra, compara el campo \(g\), el potencial \(V\), la energía potencial de una masa de \(500\ \mathrm{kg}\) y la energía mecánica de una órbita circular en los radios \(R_T\), \(2R_T\) y \(4R_T\). Explica la forma de sus gráficas.
Datos e incógnitas
\(m=500\ \mathrm{kg}\). Se estudian tres distancias al centro.
Planteamiento físico
El campo decrece como \(1/r^2\), mientras que el potencial, la energía potencial y la energía orbital circular varían como \(1/r\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
| Radio | g | V | U para 500 kg | E circular |
|---|---|---|---|---|
| \(R_T\) | \(9{,}82\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-6{,}26\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-3{,}13\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) | \(-1{,}56\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) |
| \(2R_T\) | \(2{,}45\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-3{,}13\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-1{,}56\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) | \(-7{,}82\cdot10^9\ \mathrm{J}\) |
| \(4R_T\) | \(0{,}614\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-1{,}56\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-7{,}82\cdot10^9\ \mathrm{J}\) | \(-3{,}91\cdot10^9\ \mathrm{J}\) |
Errores frecuentes
Usar h en lugar de R+h
La ley gravitatoria utiliza la distancia al centro. Una altura de \(500\ \mathrm{km}\) no significa \(r=500\ \mathrm{km}\).
Sumar campos como escalares
El campo es vectorial. Deben estudiarse dirección y sentido antes de sumar módulos.
Confundir campo y potencial
El campo puede anularse por simetría mientras el potencial sigue siendo negativo.
Olvidar el signo de U
Con cero en el infinito, \(U=-GMm/r\). Una energía más alta puede seguir siendo negativa.
Aplicar mgh a grandes alturas
La expresión \(mgh\) solo es una aproximación local. Para satélites debe usarse el potencial exacto.
Usar solo energía potencial en una órbita
Un satélite circular también tiene energía cinética. Su energía total es \(-GMm/(2r)\).
Confundir periodo y altura
Primero se obtiene el radio orbital con Kepler y después se resta el radio del planeta.
Suponer que una órbita más alta es más rápida
En órbita circular ocurre lo contrario. Al aumentar \(r\), la velocidad disminuye.
8 ejercicios propuestos
- Calcula la altura sobre la Tierra a la que el campo vale \(0{,}49g_0\).
- Un planeta tiene radio \(5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m}\) y velocidad de escape \(8{,}0\ \mathrm{km/s}\). Halla su masa.
- Determina el radio y la altura de una órbita terrestre circular de periodo \(3{,}0\ \mathrm{h}\).
- Calcula el aumento de energía potencial de una masa de \(100\ \mathrm{kg}\) al pasar de la superficie terrestre a \(500\ \mathrm{km}\) de altura.
- Un satélite orbita la Luna a \(200\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad y periodo.
- Dos masas \(16\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(9\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(5\ \mathrm{km}\). Halla el punto interior donde se anula el campo.
- Cuatro masas de \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(3000\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial en el centro.
- Un satélite de \(500\ \mathrm{kg}\) orbita la Tierra a \(800\ \mathrm{km}\). Calcula \(K\), \(U\) y \(E\).
Resultados de los ejercicios propuestos
- \(h\approx2{,}73\cdot10^6\ \mathrm{m}=2730\ \mathrm{km}\).
- \(M\approx2{,}40\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\).
- \(r\approx1{,}056\cdot10^7\ \mathrm{m}\), \(h\approx4{,}19\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
- \(\Delta U\approx4{,}55\cdot10^8\ \mathrm{J}\).
- \(v\approx1{,}59\ \mathrm{km/s}\), \(T\approx127{,}6\ \mathrm{min}\).
- \(2{,}857\ \mathrm{km}\) desde la masa mayor y \(2{,}143\ \mathrm{km}\) desde la menor.
- \(V\approx-0{,}503\ \mathrm{J/kg}\).
- \(K\approx1{,}39\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\), \(U\approx-2{,}78\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\), \(E\approx-1{,}39\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\).
Simulacro final de campo gravitatorio
Problema 1. Campo y potencial
Dos masas \(M\) y \(4M\) están separadas una distancia \(d\). Determina el punto interior donde el campo es nulo y calcula el potencial en ese punto. Explica por qué el potencial no se anula.
Problema 2. Satélite terrestre
Un satélite de masa \(m\) orbita a una altura \(h\). Obtén velocidad, periodo, energías cinética, potencial y total. Después calcula la energía necesaria para trasladarlo a una órbita circular de radio doble.
Problema 3. Lanzamiento radial
Un cuerpo se lanza desde la superficie de un planeta de masa \(M\) y radio \(R\). Deduce la velocidad necesaria para alcanzar una altura \(R\) y compárala con la velocidad de escape.
Problema 4. Datos orbitales
Un satélite tiene periodo \(T\) y radio orbital \(r\). Deduce la masa del planeta. Si además se conoce su radio \(R\), calcula la gravedad superficial y la velocidad de escape.
En la corrección se valora el esquema, la distancia utilizada, la elección de magnitudes vectoriales o escalares, el planteamiento, las unidades y la interpretación del signo de la energía.
Recursos relacionados de Física
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre campo gravitatorio y fuerza?
El campo es la fuerza por unidad de masa. Depende de la masa que crea el campo y del punto estudiado. La fuerza sobre un cuerpo se obtiene con \(\vec F=m\vec g\).
¿Por qué el potencial gravitatorio es negativo?
Porque se toma cero en el infinito y hay que aportar energía para separar una masa del astro hasta una distancia infinita.
¿Puede ser cero el campo y no ser cero el potencial?
Sí. El campo es vectorial y puede cancelarse. El potencial es escalar y las contribuciones de masas positivas son negativas.
¿Por qué un satélite no cae sobre la Tierra?
Está cayendo continuamente, pero su velocidad tangencial hace que la superficie terrestre se curve bajo su trayectoria al mismo ritmo.
¿Una órbita más alta tiene más o menos energía?
Tiene mayor energía mecánica, aunque su velocidad circular sea menor. La energía es menos negativa.
¿La velocidad de escape depende de la masa del objeto?
No. La masa se simplifica al aplicar conservación de la energía.
¿Cuándo puede usarse mgh?
Cuando el cambio de altura es pequeño frente al radio del planeta y el campo puede considerarse constante.
¿Qué distingue a un satélite geoestacionario?
Además de tener el periodo de rotación terrestre, su órbita debe ser circular, ecuatorial y directa.
Preparación de Física de 2.º de Bachillerato y PAU
Si conoces las fórmulas pero dudas al elegir la distancia, el signo de la energía o el modelo orbital, resulta más eficaz trabajar el procedimiento completo con ejercicios corregidos.
Consultar prematrícula y disponibilidad