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Cónicas en 1.º de Bachillerato con ejercicios resueltos

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Circunferencia, parábola, elipse e hipérbola con sus elementos y ecuaciones para 1.º de Bachillerato
Cónicas 1.º Bachillerato · Marlu Educativa
Matemáticas I · 1.º de Bachillerato

Cónicas en 1.º de Bachillerato con ejercicios resueltos

Cuaderno de trabajo. 72 ejercicios resueltos · 12 propuestos · 18 figuras · simulacro final. Circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, con método, errores y comprobaciones.

En cónicas hay una tentación muy común: empezar a completar cuadrados antes de decidir qué curva tenemos delante y qué información aporta cada dato. Aquí trabajaremos en el orden que funciona: reconocer el modelo, traducir focos, directrices, vértices, asíntotas o puntos a sus parámetros y comprobar al final que la ecuación y el dibujo encajan.

Qué encontrarás aquí. Una unidad completa y modular sobre circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. En algunos centros se estudian las cuatro curvas y en otros parte del contenido aparece como ampliación. Se dejan fuera la rotación de ejes y la clasificación con término mixto xy. Los problemas de rectas, distancias, ángulos o circunferencias por tres puntos corresponden al recurso hermano de Geometría analítica, enlazado al final.
Base y prerrequisitosReconocimiento, completar cuadrados, centro, radio y lectura de modelos.
Según programaciónFocos, directrices, excentricidad y construcción de ecuaciones.
AmpliaciónPropiedades focales, lado recto y reconstrucciones más exigentes.
72 ejercicios resueltos
12 ejercicios propuestos
18 figuras didácticas
1 simulacro final
Ver índice

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Tipo examenLos ejercicios con fondo teja suave reúnen planteamientos frecuentes en controles y exámenes de 1.º de Bachillerato.

Cómo reconocer cada cónica

Base común · Reconocimiento

Aquí no compensa correr. Antes de completar cuadrados, mira la estructura. Si no aparece el término mixto xy, el número y el signo de los términos cuadrados dan una primera pista; la clasificación solo queda confirmada después de reducir la ecuación y comprobar que la curva existe.

Clasificación rigurosa. Dos cuadrados del mismo signo producen circunferencia o elipse real solo si, al reducir, el segundo miembro es positivo; si vale cero puede quedar un punto y si es negativo no hay puntos reales. Con signos opuestos hay hipérbola no degenerada cuando el segundo miembro normalizado no es cero; si queda cero pueden aparecer dos rectas secantes. El término xy exige rotar los ejes y queda fuera del alcance de este recurso.
Las cuatro cónicas principalesComparación visual de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola sobre ejes cartesianos. CircunferenciaParábolaElipseHipérbola mismo signocoeficientes igualesun solotérmino cuadradomismo signocoeficientes distintossignos opuestos
Una primera lectura de los términos cuadrados permite decidir qué modelo conviene utilizar. Esquema cualitativo, no a escala.
Mapa para reconocer una cónicaÁrbol de decisión según el número y el signo de los términos cuadrados. ¿Cuántos términos cuadrados hay? Uno Dos ParábolaEl otro eje aparece en primer grado Mismo signoCircunferencia o elipse Signos opuestosHipérbola Iguales → circunferencia Distintos → elipse
El término mixto xy y la rotación de ejes quedan fuera de este nivel. Esquema cualitativo, no a escala.
Una precaución importante. El signo por sí solo no basta si la ecuación no puede normalizarse con término independiente positivo. Después de clasificar hay que reducir y comprobar que la curva es real.

Modelos y elementos esenciales

Base común y contenidos según programación

Circunferencia

Conjunto de puntos cuya distancia a un centro fijo es constante: el radio.

Parábola

Conjunto de puntos que están a la misma distancia de un foco y de una directriz.

Elipse

La suma de las distancias de cada punto a los dos focos es constante e igual a 2a.

Hipérbola

El valor absoluto de la diferencia de las distancias a los focos es constante e igual a 2a.

Circunferencia
(x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
Centro C(h,k) y radio r
Parábola vertical
(x−h)2=4p(y−k)(x-h)^2=4p(y-k)
Foco (h,k+p) y directriz y=k−p
Elipse horizontal
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
a>b y c²=a²−b²
Hipérbola horizontal
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
c²=a²+b² y asíntotas y−k=±(b/a)(x−h)
Parábola horizontal con foco y directrizParábola que abre hacia la derecha, con vértice en el origen, foco sobre el eje horizontal y directriz vertical. FocoVérticeDirectriz
Parábola horizontal: al intercambiar x e y cambia el eje de apertura. Esquema cualitativo, no a escala.
Elipse vertical con ejes y focosElipse con eje mayor vertical, centro en el origen y dos focos situados sobre el eje vertical. F₁F₂Centro
Elipse vertical: el denominador mayor queda bajo el término en y. Esquema cualitativo, no a escala.
Condiciones y convenio de esta unidad. En una circunferencia, r > 0. En una parábola, p ≠ 0 es una distancia dirigida y usamos el convenio con coeficiente 4p; no debe mezclarse con manuales que nombran de otro modo el parámetro. En una elipse, a > b > 0. En una hipérbola, a > 0 y b > 0. Las fórmulas horizontales y verticales se obtienen intercambiando x e y.
Elementos de una circunferenciaCircunferencia con centro C, radio r y un punto P. C(h,k)P(x,y)r Ecuación reducida(x−h)²+(y−k)²=r²centro C(h,k) · radio r
La circunferencia aparece como transición desde la geometría analítica hacia el estudio de las cónicas. Esquema cualitativo, no a escala.
Elementos de una parábola verticalParábola vertical con vértice, foco, directriz y eje de simetría. V(h,k)F(h,k+p)directriz y=k−peje x=h Modelo vertical(x−h)²=4p(y−k)p>0 abre arriba · p<0 abajo
El signo de p indica el sentido de apertura y su valor sitúa foco y directriz. Esquema cualitativo, no a escala.
Elementos de una elipse horizontalElipse horizontal con centro, vértices, co-vértices y focos. CF₁F₂V₁V₂ ab Relación fundamentalc²=a²−b²a es siempre el semieje mayor
En la elipse los focos quedan dentro de la curva y la suma de distancias a ellos es constante. Esquema cualitativo, no a escala.
Elementos de una hipérbola horizontalHipérbola horizontal con centro, vértices, focos y asíntotas. CV₁V₂F₁F₂asíntotas Relación fundamentalc²=a²+b²los focos quedan fuera de los vértices
Las asíntotas orientan el dibujo y permiten reconstruir la ecuación cuando se conoce además un punto. Esquema cualitativo, no a escala.

Cómo obtener la ecuación sin tratar todos los casos igual

Base común · Método

Del enunciado a la ecuación de una cónicaSecuencia para elegir modelo, colocar datos, hallar parámetros y comprobar un punto. 1. Elegir modeloorientación y centroo vértice 2. Colocar datosh, k, a, b, c o psegún el caso 3. Hallar lo que faltausar c²=a²∓b²o sustituir un punto 4. Revisarcentro, aperturay punto dado No todos los ejercicios empiezan por completar cuadrados A veces la ecuación se construye desde focos, directrices, vértices, asíntotas, excentricidad o puntos.
La clave está en traducir la información geométrica al parámetro adecuado antes de operar. Esquema cualitativo, no a escala.

Desde una ecuación general

Agrupa los términos de x y de y, completa cuadrados, pasa la constante al otro miembro y normaliza hasta obtener 1.

Desde datos geométricos

Localiza centro o vértice, decide la orientación y traduce focos, directrices, vértices o asíntotas a los parámetros a, b, c o p.

Desde un punto de la curva

Escribe primero el modelo con el parámetro desconocido y sustituye el punto. Así se obtiene p, a² o b² sin adivinar.

Comprobación final

Comprueba el sentido de apertura, la posición de los focos, el mayor denominador y que cualquier punto dado verifica la ecuación.

Completar cuadrados no es el objetivo final. Es solo una herramienta para encontrar la forma reducida. En muchos ejercicios el trabajo principal consiste en interpretar correctamente los datos geométricos.
Si el planteamiento se atasca. Yo haría una pausa y escribiría cuatro datos: tipo de curva, orientación, centro o vértice y parámetro desconocido. Después, y no antes, elegiría la fórmula. Esa pequeña pausa evita buena parte de los errores de signo y de eje.

Clasificación y elección del modelo

Base común · Seis ejercicios de clasificación

1

Reconocer y reducir una circunferencia

Tipo examenEjemplo modelo

Clasifica y reduce la ecuación

x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0
Ejemplo modelo · Ver resolución y comprobación
Antes de hacer cuentas

Los dos términos cuadrados tienen el mismo signo y el mismo coeficiente. Completamos cuadrados por separado.

x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9
y2+4y=(y+2)2−4y^2+4y=(y+2)^2-4
(x−3)2+(y+2)2=25(x-3)^2+(y+2)^2=25

Es una circunferencia de centro C(3,−2)C(3,-2) y radio r=5r=5.

Comprobación. Control: el punto (8, −2) está a cinco unidades del centro y, al sustituirlo en la ecuación original, se obtiene 0.

2

Reconocer una elipse vertical

Clasifica y escribe en forma reducida

9x2+4y2−36=09x^2+4y^2-36=0
Ver resolución
9x2+4y2=369x^2+4y^2=36
x24+y29=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1

Los términos cuadrados tienen el mismo signo, pero sus coeficientes son distintos. Es una elipse. El mayor denominador está bajo y2y^2, por eso su eje mayor es vertical.

3

Reconocer una parábola desplazada

Tipo examen

Clasifica y obtén sus elementos principales

y2−8x+4y+12=0y^2-8x+4y+12=0
Ver resolución
Solo hay un cuadrado

Solo aparece un término cuadrado. Completamos el cuadrado en yy.

y2+4y=8x−12y^2+4y=8x-12
(y+2)2=8(x−1)(y+2)^2=8(x-1)

Comparando con (y−k)2=4p(x−h)(y-k)^2=4p(x-h), resulta V(1,−2)V(1,-2) y p=2p=2. El foco es F(3,−2)F(3,-2) y la directriz es x=−1x=-1.

4

Reconocer una hipérbola desde la ecuación general

Tipo examen

Reduce y clasifica

4x2−9y2−16x−18y−29=04x^2-9y^2-16x-18y-29=0
Ver resolución
Los signos deciden

Los términos cuadrados tienen signos opuestos. Agrupamos y completamos cuadrados.

4(x2−4x)−9(y2+2y)−29=04(x^2-4x)-9(y^2+2y)-29=0
4(x−2)2−9(y+1)2=364(x-2)^2-9(y+1)^2=36
(x−2)29−(y+1)24=1\frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{4}=1

Es una hipérbola horizontal de centro C(2,−1)C(2,-1).

5

Clasificación rápida por los términos cuadrados

Clasifica sin reducir completamente estas expresiones

A)3x2+3y2+⋯=0B)5x2+2y2+⋯=0A)\ 3x^2+3y^2+\cdots=0\qquad B)\ 5x^2+2y^2+\cdots=0
C)y2+⋯x+⋯=0D)4x2−7y2+⋯=0C)\ y^2+\cdots x+\cdots=0\qquad D)\ 4x^2-7y^2+\cdots=0
Ver resolución
Lectura rápida

En este nivel, y mientras no aparezca el término mixto xyxy, los términos cuadrados permiten hacer una primera clasificación:

  • A sugiere una circunferencia porque los dos cuadrados tienen el mismo signo y el mismo coeficiente.
  • B sugiere una elipse porque los cuadrados tienen el mismo signo y coeficientes distintos.
  • C sugiere una parábola porque solo aparece una variable elevada al cuadrado.
  • D sugiere una hipérbola porque los términos cuadrados tienen signos opuestos.

Después hay que reducir la ecuación y comprobar que la curva obtenida es real.

6

Elegir el modelo antes de calcular

Indica qué modelo usarías en cada caso: una curva con vértice y foco, otra con centro y dos focos interiores, y otra con dos asíntotas.

Ver resolución
Sin calcular todavía

Vértice y foco sugieren una parábola. Centro y dos focos interiores corresponden a una elipse. Dos asíntotas que guían dos ramas corresponden a una hipérbola. Esta decisión previa evita aplicar fórmulas de memoria sin interpretar el enunciado.

Circunferencia como caso particular

Base común · Circunferencia

Este bloque sirve de transición. Se trabajan centro, radio, forma reducida y pertenencia de puntos. Los problemas más amplios de circunferencia ligados a rectas y tres puntos continúan en Geometría analítica.

7

Centro y radio desde la forma reducida

Halla el centro y el radio de

(x+4)2+(y−1)2=36(x+4)^2+(y-1)^2=36
Ver resolución

Comparamos con (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.

h=−4,k=1,r=6h=-4,\qquad k=1,\qquad r=6

El centro es C(−4,1)C(-4,1) y el radio vale 6.

8

Completar cuadrados en una circunferencia

Tipo examen

Reduce la ecuación

x2+y2+8x−6y−11=0x^2+y^2+8x-6y-11=0
Ver resolución
x2+8x+y2−6y=11x^2+8x+y^2-6y=11
(x+4)2−16+(y−3)2−9=11(x+4)^2-16+(y-3)^2-9=11
(x+4)2+(y−3)2=36(x+4)^2+(y-3)^2=36

Centro C(−4,3)C(-4,3) y radio r=6r=6.

9

Ecuación a partir de centro y radio

Escribe la circunferencia de centro C(2,−3)C(2,-3) y radio 5.

Ver resolución

No hace falta desarrollar nada. Sustituimos directamente en el modelo.

(x−2)2+(y+3)2=25(x-2)^2+(y+3)^2=25

La suma de los cuadrados de las distancias horizontal y vertical al centro debe valer 525^2.

10

Punto interior, exterior o de la circunferencia

Estudia la posición de P(4,1)P(4,1) respecto de

(x−1)2+(y+1)2=13(x-1)^2+(y+1)^2=13
Ver resolución

Calculamos el cuadrado de la distancia al centro C(1,−1)C(1,-1).

CP2=(4−1)2+(1+1)2=9+4=13CP^2=(4-1)^2+(1+1)^2=9+4=13

Como coincide con r2=13r^2=13, el punto pertenece a la circunferencia.

11

Circunferencia que pasa por un punto

Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(2,−1)C(2,-1) que pasa por P(5,3)P(5,3).

Ver resolución
Primero, el radio

Primero obtenemos el radio con la distancia entre centro y punto.

r=(5−2)2+(3+1)2=9+16=5r=\sqrt{(5-2)^2+(3+1)^2}=\sqrt{9+16}=5
(x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25

La comprobación es inmediata al sustituir P(5,3)P(5,3).

12

Determinar un parámetro usando un punto

Calcula kk para que P(4,1)P(4,1) pertenezca a

(x−1)2+(y+2)2=k(x-1)^2+(y+2)^2=k
Ver resolución
El punto fija el parámetro

Sustituimos las coordenadas del punto.

k=(4−1)2+(1+2)2=9+9=18k=(4-1)^2+(1+2)^2=9+9=18

La ecuación queda (x−1)2+(y+2)2=18(x-1)^2+(y+2)^2=18.

13

Circunferencia determinada por los extremos de un diámetro

Tipo examen

Los extremos de un diámetro son A(−3,−1)A(-3,-1) y B(5,3)B(5,3). Obtén la ecuación.

Ver resolución
Empieza por el punto medio

El centro es el punto medio del diámetro.

C=(−3+52,−1+32)=(1,1)C=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(1,1)

El radio es la distancia desde el centro a cualquiera de los extremos.

r2=(−3−1)2+(−1−1)2=16+4=20r^2=(-3-1)^2+(-1-1)^2=16+4=20
(x−1)2+(y−1)2=20(x-1)^2+(y-1)^2=20

El radio vale 252\sqrt5.

Circunferencia determinada por un diámetroLos puntos A y B son extremos de un diámetro. El centro es su punto medio.A(-3,-1)B(5,3)C(1,1)C es el punto medio de AB
El centro de una circunferencia es el punto medio de cualquier diámetro. Esquema cualitativo, no a escala.
14

Circunferencia tangente al eje X

Halla la circunferencia de centro C(−2,4)C(-2,4) tangente al eje X.

Ver resolución

No busques una fórmula nueva: La distancia del centro al eje X es 4, por tanto el radio es r=4r=4.

(x+2)2+(y−4)2=16(x+2)^2+(y-4)^2=16

El punto de tangencia es (−2,0)(-2,0).

15

Elegir un parámetro para fijar el radio

Calcula kk para que la circunferencia

x2+y2−6x+4y+k=0x^2+y^2-6x+4y+k=0

tenga radio 3.

Ver resolución
Completa y mira qué queda

Completamos cuadrados.

(x−3)2+(y+2)2=13−k(x-3)^2+(y+2)^2=13-k

Como el radio debe ser 3, imponemos r2=9r^2=9.

13−k=9⇒k=413-k=9\Rightarrow k=4

La circunferencia resultante tiene centro C(3,−2)C(3,-2).

16

Circunferencia real, puntual o sin puntos reales

Tipo examen

Estudia según λ\lambda la ecuación

x2+y2+2x−4y+λ=0x^2+y^2+2x-4y+\lambda=0
Ver resolución
(x+1)2+(y−2)2=5−λ(x+1)^2+(y-2)^2=5-\lambda

El segundo miembro representa r2r^2.

  • Si λ<5\lambda<5, hay una circunferencia real.
  • Si λ=5\lambda=5, queda un único punto, el centro (−1,2)(-1,2).
  • Si λ>5\lambda>5, no hay puntos reales.
17

Comparar puntos con el radio

Para la circunferencia x2+y2=25x^2+y^2=25, clasifica A(3,4)A(3,4), B(1,1)B(1,1) y D(6,0)D(6,0).

Ver resolución

Comparamos x2+y2x^2+y^2 con 2525.

A:32+42=25A:\ 3^2+4^2=25
B:12+12=2<25B:\ 1^2+1^2=2<25
D:62+02=36>25D:\ 6^2+0^2=36>25

A pertenece a la circunferencia, B es interior y D es exterior.

Puntos interior, exterior y perteneciente a una circunferenciaUna circunferencia de radio cinco centrada en el origen contiene un punto interior, uno sobre la curva y uno exterior.A sobre la curvaB interiorD exterior
La comparación con el cuadrado del radio evita calcular raíces innecesarias. Esquema cualitativo, no a escala.

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Parábolas: foco, directriz, vértice y ecuación

Según programación · Parábola

La parábola es la cónica donde más cambia el procedimiento según los datos. Conviene distinguir desde el principio si el eje es vertical u horizontal.

18

Foco y directriz de una parábola horizontal

Ejemplo modelo

Obtén los elementos de

y2=12xy^2=12x
Ejemplo modelo · Ver resolución y comprobación
El coeficiente 4p

Aquí la lectura es directa. Comparamos con y2=4pxy^2=4px.

4p=12⇒p=34p=12\Rightarrow p=3

Vértice V(0,0)V(0,0), foco F(3,0)F(3,0), directriz x=−3x=-3 y apertura hacia la derecha.

Comprobación. Control: el punto (3, 6) cumple la ecuación; su distancia al foco (3, 0) y a la directriz x = −3 es 6.

19

Parábola vertical que abre hacia abajo

Estudia

x2=−8yx^2=-8y
Ver resolución
4p=−8⇒p=−24p=-8\Rightarrow p=-2

El vértice es V(0,0)V(0,0). Como p<0p<0, abre hacia abajo. El foco es F(0,−2)F(0,-2) y la directriz y=2y=2.

20

Parábola vertical trasladada

Tipo examen

Halla vértice, foco y directriz de

(x−2)2=12(y+1)(x-2)^2=12(y+1)
Ver resolución
4p=12⇒p=34p=12\Rightarrow p=3

Vértice V(2,−1)V(2,-1), foco F(2,2)F(2,2), directriz y=−4y=-4 y eje de simetría x=2x=2.

21

Parábola horizontal trasladada

Estudia

(y+3)2=−16(x−1)(y+3)^2=-16(x-1)
Ver resolución
4p=−16⇒p=−44p=-16\Rightarrow p=-4

Vértice V(1,−3)V(1,-3). Abre hacia la izquierda. Foco F(−3,−3)F(-3,-3), directriz x=5x=5 y eje y=−3y=-3.

22

Ecuación desde vértice y foco

Tipo examen

Halla la parábola de vértice V(0,0)V(0,0) y foco F(0,4)F(0,4).

Ver resolución
La distancia da p

El foco está cuatro unidades por encima del vértice, por lo que p=4p=4. Usamos el modelo vertical.

x2=4py=16yx^2=4p\,y=16y

La directriz correspondiente es y=−4y=-4.

23

Ecuación desde foco y directriz

Halla la parábola de foco F(2,0)F(2,0) y directriz x=−2x=-2.

Ver resolución

Antes de escribir la ecuación, sitúa el vértice. El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz sobre el eje horizontal, por tanto V(0,0)V(0,0) y p=2p=2.

y2=4px=8xy^2=4p\,x=8x
24

Foco y directriz desplazados

Obtén la ecuación de la parábola de foco F(−1,3)F(-1,3) y directriz y=1y=1.

Ver resolución
Equidistancia antes que fórmula

El eje es vertical. El vértice está a igual distancia del foco y de la directriz.

V=(−1,2),p=1V=(-1,2),\qquad p=1
(x+1)2=4(y−2)(x+1)^2=4(y-2)

La apertura es hacia arriba.

25

Vértice y un punto en una parábola vertical

La parábola tiene vértice V(2,−1)V(2,-1), eje vertical y pasa por P(4,1)P(4,1). Halla su ecuación.

Ver resolución
El punto entra al final

Partimos de (x−2)2=4p(y+1)(x-2)^2=4p(y+1) y sustituimos el punto.

(4−2)2=4p(1+1)(4-2)^2=4p(1+1)
4=8p⇒p=124=8p\Rightarrow p=\frac12
(x−2)2=2(y+1)(x-2)^2=2(y+1)
26

Vértice y un punto en una parábola horizontal

La parábola tiene vértice V(−1,2)V(-1,2), eje horizontal y pasa por P(3,0)P(3,0).

Ver resolución
Un modelo horizontal

Usamos (y−2)2=4p(x+1)(y-2)^2=4p(x+1).

(0−2)2=4p(3+1)(0-2)^2=4p(3+1)
4=16p⇒p=144=16p\Rightarrow p=\frac14
(y−2)2=x+1(y-2)^2=x+1

Abre hacia la derecha porque p>0p>0.

27

Completar cuadrados en una parábola vertical

Tipo examen

Reduce y estudia

x2−6x−8y+1=0x^2-6x-8y+1=0
Ver resolución
x2−6x=8y−1x^2-6x=8y-1
(x−3)2=8(y+1)(x-3)^2=8(y+1)

Vértice V(3,−1)V(3,-1), p=2p=2, foco F(3,1)F(3,1) y directriz y=−3y=-3.

28

Completar cuadrados en una parábola horizontal

Reduce

y2+4y+12x+16=0y^2+4y+12x+16=0
Ver resolución
y2+4y=−12x−16y^2+4y=-12x-16
(y+2)2=−12(x+1)(y+2)^2=-12(x+1)

Vértice V(−1,−2)V(-1,-2), p=−3p=-3, foco F(−4,−2)F(-4,-2) y directriz x=2x=2.

29

Determinar p con un punto

La parábola y2=4pxy^2=4px pasa por P(2,4)P(2,4). Halla pp y la ecuación.

Ver resolución
El punto decide p
42=4p⋅24^2=4p\cdot2
16=8p⇒p=216=8p\Rightarrow p=2
y2=8xy^2=8x

El foco es F(2,0)F(2,0).

30

Extremos del lado recto

Halla los extremos del lado recto de

x2=12yx^2=12y
Ver resolución

Frena un momento: el lado recto pasa por el foco. Aquí 4p=124p=12, luego p=3p=3. El lado recto pasa por el foco F(0,3)F(0,3) y es perpendicular al eje. Sus extremos tienen abscisas ±2p\pm2p.

A=(−6,3),B=(6,3)A=(-6,3),\qquad B=(6,3)

La longitud total del lado recto es 4p=124p=12.

31

Ecuación desde vértice y directriz

Una parábola tiene vértice V(2,−1)V(2,-1) y directriz x=5x=5. Halla su ecuación.

Ver resolución
La directriz fija p

La directriz de una parábola horizontal es x=h−px=h-p.

5=2−p⇒p=−35=2-p\Rightarrow p=-3
(y+1)2=−12(x−2)(y+1)^2=-12(x-2)

El signo negativo indica apertura hacia la izquierda.

32

Perfil de un reflector parabólico

Tipo examen

La sección de un reflector tiene forma parabólica. Su vértice está en el origen, abre hacia arriba y, a 4 unidades del eje, alcanza una profundidad de 2 unidades. Halla la ecuación y la posición del foco.

Ver resolución

Yo en este ejercicio empezaría por el dibujo. Tomamos el vértice como origen. La parábola tiene eje vertical, por lo que usamos x2=4pyx^2=4py. El punto P(4,2)P(4,2) pertenece a la curva.

42=4p⋅24^2=4p\cdot2
16=8p⇒p=216=8p\Rightarrow p=2
x2=8yx^2=8y

El foco está en F(0,2)F(0,2). En un reflector ideal, esa posición es la que concentra los rayos que llegan paralelos al eje.

Perfil de un reflector parabólicoParábola con vértice en el origen, punto de la curva cuatro coma dos y foco en cero coma dos.V(0,0)F(0,2)P(4,2)profundidad 2semianchura 4
El dibujo convierte la profundidad y la semianchura en un punto de la parábola. Esquema cualitativo, no a escala.
33

Vértice y un punto en una parábola horizontal

Una parábola horizontal tiene vértice V(−1,2)V(-1,2) y pasa por P(3,6)P(3,6). Obtén su ecuación.

Ver resolución
Misma idea, ahora horizontal

Usamos (y−2)2=4p(x+1)(y-2)^2=4p(x+1) y sustituimos el punto.

(6−2)2=4p(3+1)(6-2)^2=4p(3+1)
16=16p⇒p=116=16p\Rightarrow p=1
(y−2)2=4(x+1)(y-2)^2=4(x+1)

El foco es F(0,2)F(0,2) y la directriz x=−2x=-2.

34

Ecuación desde la longitud del lado recto

Una parábola con vértice en el origen abre hacia arriba y su lado recto mide 12 unidades. Halla la ecuación.

Ver resolución
De 4p a la ecuación

La longitud del lado recto es |4p||4p|.

4p=12⇒p=34p=12\Rightarrow p=3
x2=12yx^2=12y

El foco es F(0,3)F(0,3) y los extremos del lado recto son (−6,3)(-6,3) y (6,3)(6,3).

35

Determinar un parámetro a partir del vértice

Calcula kk para que

x2−4x−8y+k=0x^2-4x-8y+k=0

tenga vértice V(2,−1)V(2,-1).

Ver resolución
La ordenada del vértice
(x−2)2=8(y−k−48)(x-2)^2=8\left(y-\frac{k-4}{8}\right)

La ordenada del vértice es (k−4)8(k-4)/8. Imponemos que valga −1-1.

k−48=−1⇒k=−4\frac{k-4}{8}=-1\Rightarrow k=-4

La ecuación queda (x−2)2=8(y+1)(x-2)^2=8(y+1).

36

Modelizar un arco parabólico

Tipo examen

Un arco mide 8 m de ancho en el suelo y alcanza 4 m de altura en el centro. Sitúa el origen en el punto medio del suelo y halla su ecuación.

Ver resolución
Coloca el origen en el vértice

El vértice es V(0,4)V(0,4) y el arco pasa por (4,0)(4,0) y (−4,0)(-4,0). Escribimos x2=4p(y−4)x^2=4p(y-4).

16=4p(0−4)⇒p=−116=4p(0-4)\Rightarrow p=-1
x2=−4(y−4)x^2=-4(y-4)

De forma explícita, y=4−x24y=4-\frac{x^2}{4}.

Arco parabólicoArco de ocho metros de anchura y cuatro metros de altura modelizado por una parábola que abre hacia abajo.(-4,0)(4,0)V(0,4)anchura 8 maltura 4 m
La elección de ejes convierte los datos geométricos del arco en puntos de la parábola. Esquema cualitativo, no a escala.

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Elipses: semiejes, focos y excentricidad

Según programación · Elipse

En una elipse, aa representa siempre el semieje mayor, aunque se encuentre bajo x2x^2 o bajo y2y^2. Los focos se calculan con c2=a2−b2c^2=a^2-b^2.

37

Elementos de una elipse horizontal

Ejemplo modelo

Estudia

x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
Ejemplo modelo · Ver resolución y comprobación
a=5,b=3,c=25−9=4a=5,\qquad b=3,\qquad c=\sqrt{25-9}=4

Centro C(0,0)C(0,0), vértices (±5,0)(\pm5,0), co-vértices (0,±3)(0,\pm3), focos (±4,0)(\pm4,0) y excentricidad e=45e=4/5.

Comprobación. Control: (5, 0) es un vértice y cumple la ecuación; además, 4² + 3² = 5² confirma la relación focal.

38

Elementos de una elipse vertical

Estudia

x29+y225=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1
Ver resolución

El mayor denominador está bajo y2y^2, por tanto el eje mayor es vertical.

a=5,b=3,c=4a=5,\quad b=3,\quad c=4

Vértices (0,±5)(0,\pm5), co-vértices (±3,0)(\pm3,0) y focos (0,±4)(0,\pm4).

39

Elipse trasladada con focos enteros

Tipo examen

Halla sus elementos

(x−2)216+(y+1)27=1\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{7}=1
Ver resolución
a=4,b=7,c=16−7=3a=4,\qquad b=\sqrt7,\qquad c=\sqrt{16-7}=3

Centro C(2,−1)C(2,-1), vértices (6,−1)(6,-1) y (−2,−1)(-2,-1), focos (5,−1)(5,-1) y (−1,−1)(-1,-1).

40

Ecuación desde los semiejes

Halla la elipse centrada en el origen con semieje horizontal 6 y semieje vertical 4.

Ver resolución
Dos datos, una ecuación

El eje mayor es horizontal, de modo que a=6a=6 y b=4b=4.

x236+y216=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1
41

Ecuación desde vértices y co-vértices

Los vértices son (±5,0)(\pm5,0) y los co-vértices (0,±3)(0,\pm3).

Ver resolución
Los extremos dan los semiejes

La elipse está centrada en el origen y su eje mayor es horizontal.

a=5,b=3a=5,\qquad b=3
x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
42

Ecuación desde focos y vértices

Tipo examen

Los focos son (±4,0)(\pm4,0) y los vértices (±5,0)(\pm5,0). Halla la ecuación.

Ver resolución
c=4,a=5c=4,\qquad a=5
b2=a2−c2=25−16=9b^2=a^2-c^2=25-16=9
x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
43

Elipse trasladada desde sus extremos

Los vértices son (2,7)(2,7) y (2,−3)(2,-3), y un co-vértice es (5,2)(5,2).

Ver resolución
El punto medio primero

El centro es el punto medio de los vértices.

C=(2,2),a=5,b=3C=(2,2),\qquad a=5,\qquad b=3

El eje mayor es vertical.

(x−2)29+(y−2)225=1\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{25}=1
44

Ecuación desde la excentricidad

Una elipse horizontal centrada en el origen tiene a=10a=10 y excentricidad e=35e=3/5.

Ver resolución
e=ca⇒c=ae=10⋅35=6e=\frac ca\Rightarrow c=ae=10\cdot\frac35=6
b2=a2−c2=100−36=64b^2=a^2-c^2=100-36=64
x2100+y264=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1
45

Semieje desconocido a partir de un punto

Una elipse horizontal centrada en el origen tiene a=5a=5 y pasa por P(3,2)P(3,2). Halla bb.

Ver resolución
El punto completa el modelo
3225+22b2=1\frac{3^2}{25}+\frac{2^2}{b^2}=1
925+4b2=1⇒4b2=1625\frac{9}{25}+\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow \frac{4}{b^2}=\frac{16}{25}
b2=254b^2=\frac{25}{4}
x225+y2254=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{25/4}=1

El semieje menor es b=52b=5/2.

46

Determinar un denominador

Halla BB para que P(2,3)P(2,3) pertenezca a

x216+y2B=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{B}=1
Ver resolución
416+9B=1\frac4{16}+\frac9B=1
9B=34⇒B=12\frac9B=\frac34\Rightarrow B=12
x216+y212=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1
47

Completar cuadrados en una elipse horizontal

Tipo examen

Reduce

4x2+9y2−16x+18y−11=04x^2+9y^2-16x+18y-11=0
Ver resolución
4(x2−4x)+9(y2+2y)=114(x^2-4x)+9(y^2+2y)=11
4(x−2)2+9(y+1)2=364(x-2)^2+9(y+1)^2=36
(x−2)29+(y+1)24=1\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}=1

Centro C(2,−1)C(2,-1), a=3a=3, b=2b=2 y c=5c=\sqrt5.

48

Completar cuadrados en una elipse vertical

Reduce

9x2+4y2+18x−16y−11=09x^2+4y^2+18x-16y-11=0
Ver resolución
9(x2+2x)+4(y2−4y)=119(x^2+2x)+4(y^2-4y)=11
9(x+1)2+4(y−2)2=369(x+1)^2+4(y-2)^2=36
(x+1)24+(y−2)29=1\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{9}=1

Centro C(−1,2)C(-1,2) y eje mayor vertical.

49

Propiedad focal de la elipse

Un punto PP pertenece a la elipse x225+y29=1x^2/25+y^2/9=1. ¿Cuánto vale PF1+PF2PF_1+PF_2?

Ver resolución

Aquí las cuentas sobran. En toda elipse la suma de distancias a los focos es constante e igual a 2a2a.

PF1+PF2=2a=10PF_1+PF_2=2a=10

No hace falta conocer las coordenadas concretas del punto.

50

Ecuación desde los focos y la longitud del eje mayor

Tipo examen

Los focos son F1(−4,0)F_1(-4,0) y F2(4,0)F_2(4,0), y el eje mayor mide 10. Halla la elipse.

Ver resolución
La longitud del eje da a

El centro es el origen, c=4c=4 y 2a=102a=10, por tanto a=5a=5.

b2=a2−c2=25−16=9b^2=a^2-c^2=25-16=9
x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1

Los vértices son (±5,0)(\pm5,0) y los co-vértices (0,±3)(0,\pm3).

Elipse con focos y vérticesElipse horizontal de semieje mayor cinco, semieje menor tres y focos situados a cuatro unidades del centro.F₁(-4,0)F₂(4,0)V₁V₂
En la elipse, los focos quedan entre el centro y los vértices. Esquema cualitativo, no a escala.
51

Elipse vertical trasladada desde vértices y un co-vértice

Una elipse tiene centro C(2,−1)C(2,-1), vértices (2,5)(2,5) y (2,−7)(2,-7), y pasa por el co-vértice (5,−1)(5,-1). Obtén su ecuación.

Ver resolución
Distancias desde el centro

La distancia del centro a cada vértice es a=6a=6. La distancia al co-vértice es b=3b=3. Como el eje mayor es vertical:

(x−2)29+(y+1)236=1\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{36}=1
c=36−9=33c=\sqrt{36-9}=3\sqrt3

Los focos son F1,2(2,−1±33)F_{1,2}(2,-1\pm3\sqrt3).

52

Construir una elipse con excentricidad y semieje menor

Una elipse horizontal está centrada en el origen, tiene excentricidad e=35e=3/5 y semieje menor b=4b=4. Halla su ecuación.

Ver resolución
Combina e con la relación focal

Como c=ea=3a5c=ea=3a/5 y b2=a2−c2b^2=a^2-c^2:

16=a2−9a225=16a22516=a^2-\frac{9a^2}{25}=\frac{16a^2}{25}
a=5,c=3a=5,\qquad c=3
x225+y216=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1
53

Dos ordenadas para una misma abscisa

Halla los puntos de la elipse

x236+y220=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1

cuya abscisa es x=3x=3.

Ver resolución
Aparecen dos puntos
936+y220=1\frac{9}{36}+\frac{y^2}{20}=1
y220=34⇒y2=15\frac{y^2}{20}=\frac34\Rightarrow y^2=15

Se obtienen dos puntos simétricos respecto del eje X:

(3,15)(3,−15)(3,\sqrt{15})\qquad (3,-\sqrt{15})
Dos puntos simétricos de una elipsePara una abscisa dada aparecen dos valores opuestos de la ordenada en una elipse centrada en el origen.P₁(3,√15)P₂(3,-√15)misma x, dos valores de y
La simetría de la elipse explica que aparezcan dos ordenadas opuestas. Esquema cualitativo, no a escala.
54

Elipse inscrita en un rectángulo

Tipo examen

Una elipse está centrada en C(−1,2)C(-1,2) y es tangente a las rectas x=−6x=-6, x=4x=4, y=−1y=-1 e y=5y=5. Obtén su ecuación.

Ver resolución
El rectángulo ya da los semiejes

Las rectas verticales están a 5 unidades del centro, de modo que el semieje horizontal vale a=5a=5. Las rectas horizontales están a 3 unidades, por lo que el semieje vertical vale b=3b=3.

(x+1)225+(y−2)29=1\frac{(x+1)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1

Los puntos de tangencia son (−6,2)(-6,2), (4,2)(4,2), (−1,−1)(-1,-1) y (−1,5)(-1,5).

Elipse inscrita en un rectánguloElipse centrada en menos uno coma dos, tangente a los cuatro lados de un rectángulo de semiejes cinco y tres.C(-1,2)x=-6x=4y=5y=-1
Las distancias del centro a los lados del rectángulo son los dos semiejes. Esquema cualitativo, no a escala.

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Hipérbolas: ramas, focos y asíntotas

Ampliación frecuente · Hipérbola

El término positivo señala la dirección de apertura. Las asíntotas permiten dibujar la curva y, junto con un punto, pueden determinar por completo la ecuación.

55

Elementos de una hipérbola horizontal

Ejemplo modelo

Estudia

x216−y29=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1
Ejemplo modelo · Ver resolución y comprobación
a=4,b=3,c=16+9=5a=4,\qquad b=3,\qquad c=\sqrt{16+9}=5

Vértices (±4,0)(\pm4,0), focos (±5,0)(\pm5,0) y asíntotas y=±34xy=\pm\frac34x.

Comprobación. Control: (4, 0) cumple la ecuación y las pendientes ±3/4 corresponden a las diagonales del rectángulo auxiliar.

56

Elementos de una hipérbola vertical

Estudia

y225−x29=1\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1
Ver resolución
a=5,b=3,c=34a=5,\qquad b=3,\qquad c=\sqrt{34}

Vértices (0,±5)(0,\pm5), focos (0,±34)(0,\pm\sqrt{34}) y asíntotas y=±53xy=\pm\frac53x.

57

Hipérbola trasladada

Tipo examen

Halla centro, vértices, focos y asíntotas de

(x−1)29−(y+2)216=1\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{16}=1
Ver resolución
a=3,b=4,c=5a=3,\qquad b=4,\qquad c=5

Centro C(1,−2)C(1,-2), vértices (4,−2)(4,-2) y (−2,−2)(-2,-2), focos (6,−2)(6,-2) y (−4,−2)(-4,-2).

y+2=±43(x−1)y+2=\pm\frac43(x-1)
58

Ecuación desde vértices y asíntotas

Tipo examen

Una hipérbola centrada en el origen tiene vértices (±4,0)(\pm4,0) y asíntotas y=±32xy=\pm\frac32x.

Ver resolución

Los vértices ya han hecho media tarea. Es horizontal, por tanto a=4a=4. La pendiente de las asíntotas es bab/a.

ba=32⇒b=6\frac ba=\frac32\Rightarrow b=6
x216−y236=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1
59

Ecuación desde focos y vértices

Los focos son (0,±5)(0,\pm5) y los vértices (0,±3)(0,\pm3).

Ver resolución
El eje vertical se ve en los datos

La hipérbola es vertical.

a=3,c=5,b2=c2−a2=16a=3,\qquad c=5,\qquad b^2=c^2-a^2=16
y29−x216=1\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1
60

Ecuación desde la excentricidad

Una hipérbola horizontal tiene a=4a=4 y excentricidad e=54e=5/4.

Ver resolución
c=ae=4⋅54=5c=ae=4\cdot\frac54=5
b2=c2−a2=25−16=9b^2=c^2-a^2=25-16=9
x216−y29=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1
61

Parámetro a partir de un punto

Una hipérbola horizontal centrada en el origen tiene a=3a=3 y pasa por P(5,4)P(5,4). Halla bb.

Ver resolución
259−16b2=1\frac{25}{9}-\frac{16}{b^2}=1
16b2=169⇒b2=9\frac{16}{b^2}=\frac{16}{9}\Rightarrow b^2=9
x29−y29=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1
62

Completar cuadrados en una hipérbola horizontal

Tipo examen

Reduce

4x2−9y2−8x−36y−68=04x^2-9y^2-8x-36y-68=0
Ver resolución
4(x2−2x)−9(y2+4y)=684(x^2-2x)-9(y^2+4y)=68
4(x−1)2−9(y+2)2=364(x-1)^2-9(y+2)^2=36
(x−1)29−(y+2)24=1\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{4}=1
63

Completar cuadrados en una hipérbola vertical

Reduce

−9x2+4y2+18x+16y−29=0-9x^2+4y^2+18x+16y-29=0
Ver resolución
−9(x2−2x)+4(y2+4y)=29-9(x^2-2x)+4(y^2+4y)=29
4(y+2)2−9(x−1)2=364(y+2)^2-9(x-1)^2=36
(y+2)29−(x−1)24=1\frac{(y+2)^2}{9}-\frac{(x-1)^2}{4}=1
64

Asíntotas y un punto

Tipo examen

Una hipérbola horizontal centrada en el origen tiene asíntotas y=±2xy=\pm2x y pasa por P(3,4)P(3,4).

Ver resolución

Aprovecha primero las asíntotas. Si ba=2b/a=2, entonces b2=4a2b^2=4a^2. Sustituimos el punto en el modelo.

9a2−164a2=1\frac9{a^2}-\frac{16}{4a^2}=1
5a2=1⇒a2=5,b2=20\frac5{a^2}=1\Rightarrow a^2=5,\qquad b^2=20
x25−y220=1\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1
65

Hipérbola trasladada desde vértices y focos

Los vértices son (5,−1)(5,-1) y (−1,−1)(-1,-1), y los focos (7,−1)(7,-1) y (−3,−1)(-3,-1).

Ver resolución
Centro y distancias

El centro es C(2,−1)C(2,-1).

a=3,c=5,b2=25−9=16a=3,\qquad c=5,\qquad b^2=25-9=16
(x−2)29−(y+1)216=1\frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{16}=1
66

Hipérbola rectangular

Halla la hipérbola rectangular centrada en el origen con vértices (±4,0)(\pm4,0).

Ver resolución
Si a = b

En una hipérbola rectangular a=ba=b. Como los vértices dan a=4a=4, también b=4b=4.

x216−y216=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1

Sus asíntotas son y=±xy=\pm x.

67

Centro, asíntotas y un punto en una hipérbola trasladada

Tipo examen

La hipérbola tiene centro C(1,−2)C(1,-2), asíntotas y+2=±12(x−1)y+2=\pm\frac12(x-1) y pasa por P(6,−12)P(6,-\frac12).

Ver resolución
Traslada antes de sustituir

Es horizontal y ba=12b/a=1/2, por tanto b2=a24b^2=a^2/4. Sustituimos el punto.

(6−1)2a2−(−12+2)2a24=1\frac{(6-1)^2}{a^2}-\frac{\left(-\frac12+2\right)^2}{a^2/4}=1
25a2−9a2=1⇒a2=16,b2=4\frac{25}{a^2}-\frac9{a^2}=1\Rightarrow a^2=16,\qquad b^2=4
(x−1)216−(y+2)24=1\frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{4}=1
68

Ecuación desde un vértice y una asíntota

Una hipérbola horizontal centrada en el origen tiene un vértice en (3,0)(3,0) y una asíntota y=2x3y=2x/3. Halla su ecuación.

Ver resolución
Vértice y pendiente

El vértice proporciona a=3a=3. En una hipérbola horizontal, las pendientes de las asíntotas son ±ba\pm b/a.

ba=23⇒b=2\frac{b}{a}=\frac23\Rightarrow b=2
x29−y24=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
Hipérbola determinada por vértice y asíntotasHipérbola horizontal de vértices tres y menos tres y asíntotas de pendientes dos tercios y menos dos tercios.V₂(3,0)V₁(-3,0)y=2x/3y=-2x/3
Los vértices fijan a y la pendiente de las asíntotas determina b. Esquema cualitativo, no a escala.
69

Ecuación desde focos y asíntotas

Los focos son (±5,0)(\pm5,0) y las asíntotas y=±4x3y=\pm4x/3. Obtén la hipérbola.

Ver resolución
Dos relaciones, dos incógnitas

Tenemos c=5c=5 y ba=43b/a=4/3, por lo que b=4a3b=4a/3.

25=a2+b2=a2+16a29=25a2925=a^2+b^2=a^2+\frac{16a^2}{9}=\frac{25a^2}{9}
a=3,b=4a=3,\qquad b=4
x29−y216=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1
70

Comprobar un punto y reconocer la rama

Comprueba si P(5,94)P(5,9/4) pertenece a

x216−y29=1\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1

e indica la rama.

Ver resolución
2516−(94)29=2516−916=1\frac{25}{16}-\frac{(9/4)^2}{9}=\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1

La cuenta dura una línea. El punto pertenece a la hipérbola. Como x=5>0x=5>0, está en la rama derecha.

71

Hipérbola vertical trasladada

Tipo examen

Una hipérbola tiene centro C(−2,1)C(-2,1), vértices (−2,4)(-2,4) y (−2,−2)(-2,-2), y asíntotas de pendiente ±32\pm3/2. Halla su ecuación.

Ver resolución
Forma vertical trasladada

Los vértices están en dirección vertical y a=3a=3. Para una hipérbola vertical, la pendiente de las asíntotas es ±ab\pm a/b.

ab=32⇒b=2\frac{a}{b}=\frac32\Rightarrow b=2
(y−1)29−(x+2)24=1\frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x+2)^2}{4}=1
Hipérbola vertical trasladadaHipérbola vertical de centro menos dos coma uno, con vértices por encima y debajo del centro y asíntotas oblicuas.C(-2,1)V₁(-2,4)V₂(-2,-2)
El término positivo bajo y indica que las ramas se abren hacia arriba y hacia abajo. Esquema cualitativo, no a escala.
72

Verificar la propiedad focal de la hipérbola

En la hipérbola

x29−y216=1\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1

comprueba la diferencia de distancias focales para P(5,163)P(5,16/3).

Ver resolución
Comprueba la diferencia de distancias

Como a=3a=3, b=4b=4 y c=5c=5, los focos son F1(−5,0)F_1(-5,0) y F2(5,0)F_2(5,0).

PF1=102+(163)2=343PF_1=\sqrt{10^2+\left(\frac{16}{3}\right)^2}=\frac{34}{3}
PF2=163PF_2=\frac{16}{3}
|PF1−PF2|=183=6=2a|PF_1-PF_2|=\frac{18}{3}=6=2a

La diferencia de distancias a los focos es constante.

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12 ejercicios propuestos

Práctica autónoma · Nivel mixto

Intenta primero decidir el modelo y justificar cada parámetro. Las respuestas sirven para comprobar, no para sustituir el procedimiento.

  1. Reduce y estudia x2+y2−4x+10y+13=0x^2+y^2-4x+10y+13=0.
  2. Halla la parábola de vértice V(1,2)V(1,2) y foco F(1,−1)F(1,-1).
  3. Obtén foco y directriz de (y−2)2=20(x+1)(y-2)^2=20(x+1).
  4. Una parábola vertical con vértice en el origen pasa por (4,2)(4,2). Halla su ecuación.
  5. Estudia la elipse x249+y225=1x^2/49+y^2/25=1.
  6. Halla la elipse centrada en el origen con focos (±3,0)(\pm3,0) y vértices (±5,0)(\pm5,0).
  7. Reduce 4x2+9y2+8x−36y+4=04x^2+9y^2+8x-36y+4=0.
  8. Calcula la suma de distancias focales en la elipse (x−1)236+(y+2)220=1(x-1)^2/36+(y+2)^2/20=1.
  9. Estudia la hipérbola x236−y213=1x^2/36-y^2/13=1.
  10. Halla la hipérbola vertical con vértices (0,±4)(0,\pm4) y focos (0,±5)(0,\pm5).
  11. Reduce 9x2−4y2+18x+16y−43=09x^2-4y^2+18x+16y-43=0.
  12. Una hipérbola horizontal tiene centro (2,1)(2,1), vértice (5,1)(5,1) y asíntota de pendiente 434/3.
Pistas y soluciones desarrolladas
Resultados orientativos

  1. Idea clave. Completa x² − 4x = (x − 2)² − 4 e y² + 10y = (y + 5)² − 25. Al compensar las constantes queda 16 en el segundo miembro. Desarrollar la forma reducida recupera la ecuación inicial.

    (x−2)2+(y+5)2=16(x-2)^2+(y+5)^2=16, centro (2,−5)(2,-5), radio 4.

  2. Idea clave. El foco está tres unidades por debajo del vértice: p = −3 y, con nuestro convenio, 4p = −12. La parábola abre hacia abajo, su eje es x = 1 y la directriz queda en y = 5.

    (x−1)2=−12(y−2)(x-1)^2=-12(y-2).

  3. Idea clave. Compara con la forma horizontal: h = −1, k = 2 y 4p = 20, de modo que p = 5. El foco se desplaza cinco unidades a la derecha del vértice y la directriz cinco a la izquierda.

    p=5p=5, foco (4,2)(4,2), directriz x=−6x=-6.

  4. Idea clave. Usa x² = 4py y sustituye el punto (4, 2): 16 = 8p, luego p = 2. Así, el foco es (0, 2), la directriz y = −2 y el punto dado verifica la ecuación final.

    x2=8yx^2=8y.

  5. Idea clave. Lee a² = 49 y b² = 25; por tanto a = 7 y b = 5. Con c² = a² − b² resulta c = 2√6; los vértices son (±7, 0) y los co-vértices (0, ±5).

    a=7a=7, b=5b=5, c=26c=2\sqrt6, focos (±26,0)(\pm2\sqrt6,0).

  6. Idea clave. Los vértices dan a = 5 y los focos c = 3. Entonces b² = a² − c² = 16 y el eje mayor es horizontal. La relación 25 − 16 = 9 confirma los focos dados.

    x225+y216=1x^2/25+y^2/16=1.

  7. Idea clave. Agrupa 4(x² + 2x) + 9(y² − 4y) = −4. Al completar cuadrados resulta 4(x + 1)² + 9(y − 2)² = 36; divide entre 36 para normalizar. El centro es (−1, 2).

    (x+1)29+(y−2)24=1(x+1)^2/9+(y-2)^2/4=1.

  8. Idea clave. La suma de distancias de cualquier punto de una elipse a sus focos es 2a. Aquí a² = 36, luego a = 6 y la suma constante vale 12; no depende del punto elegido.

    2a=122a=12.

  9. Idea clave. Lee a² = 36 y b² = 13. En una hipérbola c² = a² + b², por lo que c = 7. Los vértices son (±6, 0) y las asíntotas tienen pendientes ±√13/6.

    a=6a=6, b=13b=\sqrt{13}, c=7c=7, focos (±7,0)(\pm7,0).

  10. Idea clave. Los vértices dan a = 4 y los focos c = 5; así b² = c² − a² = 9. Como el eje transverso es vertical, las asíntotas tienen pendientes ±a/b = ±4/3.

    y216−x29=1y^2/16-x^2/9=1.

  11. Idea clave. Agrupa 9(x² + 2x) − 4(y² − 4y) = 43. Al completar cuadrados queda 9(x + 1)² − 4(y − 2)² = 36; divide entre 36. El centro es (−1, 2).

    (x+1)24−(y−2)29=1(x+1)^2/4-(y-2)^2/9=1.

  12. Idea clave. Del centro al vértice hay a = 3. En la forma horizontal la pendiente b/a = 4/3, de modo que b = 4. Traslada el modelo al centro (2, 1); el vértice dado verifica la ecuación.

    (x−2)29−(y−1)216=1(x-2)^2/9-(y-1)^2/16=1.

Simulacro final

Evaluación · 10 puntos

Tiempo recomendado: 80 minutos. Puntuación total: 10 puntos. Justifica la clasificación, muestra los pasos de completar cuadrados cuando proceda y dibuja un croquis con los elementos principales. Para usarlo como examen, imprime estas páginas antes de abrir la corrección.

  1. Reduce y estudia 1,5 puntosx2+y2+6x−4y−12=0x^2+y^2+6x-4y-12=0.
  2. Halla la parábola de foco 1,5 puntosF(2,3)F(2,3) y directriz y=−1y=-1.
  3. Una elipse centrada en el origen tiene vértices 1,75 puntos(±6,0)(\pm6,0) y pasa por (3,3)(3,3). Obtén su ecuación y sus focos.
  4. Reduce 1,5 puntos4x2+9y2−16x+36y+16=04x^2+9y^2-16x+36y+16=0.
  5. Una hipérbola centrada en 1,75 puntos(1,−1)(1,-1) tiene vértices (5,−1)(5,-1), (−3,−1)(-3,-1) y focos (6,−1)(6,-1), (−4,−1)(-4,-1). Obtén su ecuación y sus asíntotas.
  6. Clasifica y reduce 2 puntos9x2−16y2+18x+64y−199=09x^2-16y^2+18x+64y-199=0.
Criterios y puntuación por ejercicio del simulacro
EjercicioPuntosQué se valora
1. Circunferencia1,5Clasificación, cuadrados completos, centro, radio y control.
2. Parábola1,5Vértice, parámetro dirigido, ecuación y coherencia foco-directriz.
3. Elipse desde un punto1,75Elección del modelo, cálculo de b, focos y sustitución de control.
4. Elipse general1,5Completar cuadrados, normalizar, elementos y croquis.
5. Hipérbola desde datos1,75Parámetros, ecuación, asíntotas y comprobación de vértices.
6. Hipérbola general2Clasificación, reducción, centro, elementos y asíntotas.
Ver corrección del simulacro

  1. Circunferencia.

    (x+3)2+(y−2)2=25(x+3)^2+(y-2)^2=25

    Centro C(−3,2)C(-3,2) y radio 55.

    Desarrollo y control. Completa x² + 6x = (x + 3)² − 9 e y² − 4y = (y − 2)² − 4. Al sustituir (2, 2), punto situado a cinco unidades del centro, la ecuación original da 0.

  2. Parábola. El vértice es el punto medio entre el foco y la directriz, por lo que V(2,1)V(2,1) y p=2p=2.

    (x−2)2=8(y−1)(x-2)^2=8(y-1)

    Desarrollo y control. El vértice está a igual distancia del foco y de la directriz: dist(V, F) = 2 y dist(V, y = −1) = 2. La apertura es hacia arriba porque p es positivo.

  3. Elipse. a=6a=6. Al sustituir (3,3)(3,3):

    936+9b2=1⇒b2=12\frac9{36}+\frac9{b^2}=1\Rightarrow b^2=12
    x236+y212=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{12}=1

    Como c2=36−12=24c^2=36-12=24, los focos son (±26,0)(\pm2\sqrt6,0).

    Desarrollo y control. El punto dado verifica 9/36 + 9/12 = 1. Además, c² = 36 − 12 = 24 confirma los focos obtenidos.

  4. Elipse trasladada.

    (x−2)29+(y+2)24=1\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1

    Centro C(2,−2)C(2,-2), semiejes a=3a=3, b=2b=2 y focos (2±5,−2)(2\pm\sqrt5,-2).

    Desarrollo y control. Agrupa 4(x² − 4x) + 9(y² + 4y) + 16 = 0; tras completar cuadrados resulta 4(x − 2)² + 9(y + 2)² = 36. Sustituir cualquiera de los vértices devuelve 1 en la forma reducida.

  5. Hipérbola horizontal. Centro C(1,−1)C(1,-1), a=4a=4, c=5c=5 y b=3b=3.

    (x−1)216−(y+1)29=1\frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1
    y+1=±34(x−1)y+1=\pm\frac34(x-1)

    Desarrollo y control. Los vértices están a cuatro unidades del centro y los focos a cinco; por eso a = 4, c = 5 y b = 3. Las asíntotas pasan por el centro y tienen pendientes ±3/4.

  6. Hipérbola horizontal trasladada.

    (x+1)216−(y−2)29=1\frac{(x+1)^2}{16}-\frac{(y-2)^2}{9}=1

    Centro C(−1,2)C(-1,2), vértices (3,2)(3,2), (−5,2)(-5,2), focos (4,2)(4,2), (−6,2)(-6,2) y asíntotas y−2=±34(x+1)y-2=\pm\frac34(x+1).

    Desarrollo y control. Agrupa 9(x² + 2x) − 16(y² − 4y) − 199 = 0; al completar cuadrados se obtiene 9(x + 1)² − 16(y − 2)² = 144. El término positivo confirma la apertura horizontal.

Errores frecuentes

Poner a bajo x porque sí

En la elipse, a representa el semieje mayor. En la hipérbola, representa el semieje transverso. No se asigna automáticamente por aparecer primero o por estar bajo x.

Confundir las relaciones focales

Elipse c²=a²−b². Hipérbola c²=a²+b².

El signo que se pierde al completar cuadrados

Lo que se añade dentro del paréntesis debe compensarse fuera con el coeficiente correspondiente.

Dejar la ecuación a medio reducir

La forma reducida de elipses e hipérbolas debe tener 1 en el segundo miembro.

Dibujar la parábola en el eje equivocado

Si se eleva x al cuadrado, el eje es vertical. Si se eleva y, el eje es horizontal.

Dar por bueno el resultado sin volver al punto

Cuando la ecuación se obtiene usando un punto, conviene volver a sustituirlo al final.

Mezclar los convenios 4p y 2p

En esta unidad usamos el modelo con 4p. Si un manual define de otro modo el parámetro, hay que traducir la notación antes de usar foco o directriz.

Los signos coinciden, así que será una elipse… ¿seguro?

La igualdad de signos no basta: después de reducir hay que mirar si el segundo miembro es positivo, cero o negativo y detectar casos degenerados.

Usar b/a en una hipérbola vertical

En la forma vertical las pendientes de las asíntotas son ±a/b. El cociente se invierte respecto de la forma horizontal.

Confiar en un dibujo sin escala

El croquis sirve para orientar la solución, no para medir. Los datos se comprueban siempre en la ecuación y se rotulan los esquemas cualitativos.

Qué estudiar antes y después

Las cónicas se entienden mejor cuando el álgebra y la geometría analítica están bien conectadas. Esta ruta permite repasar la base, profundizar en las curvas y continuar después con otros contenidos de Bachillerato.

Geometría analítica de 1.º de Bachillerato Vectores, rectas, distancias, ángulos y circunferencias ligadas a rectas o varios puntos. Repaso de Matemáticas I Álgebra, trigonometría, geometría y funciones para cerrar lagunas antes de comenzar 2.º. Biblioteca de recursos Marlu Recursos ordenados de Matemáticas, Física y Química para elegir el siguiente cuaderno con sentido.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se reconoce una cónica a partir de su ecuación?

Si no aparece el término mixto xy, un solo término cuadrado suele indicar una parábola. Dos términos cuadrados con el mismo signo orientan hacia una circunferencia o una elipse, y los signos opuestos hacia una hipérbola. La clasificación se confirma al reducir la ecuación y comprobar que la curva es real.

¿Cuándo hay que completar cuadrados?

Cuando la ecuación está desarrollada y aparecen términos lineales en x o en y. Completar cuadrados permite localizar el centro o el vértice y pasar a la forma reducida.

¿Todos los ejercicios de cónicas consisten en completar cuadrados?

No. También se construyen ecuaciones desde focos, directrices, vértices, asíntotas, excentricidad, semiejes o puntos de la curva.

¿Cuál es la diferencia entre c en una elipse y en una hipérbola?

En la elipse se cumple c²=a²−b² y los focos quedan dentro. En la hipérbola se cumple c²=a²+b² y los focos quedan más lejos del centro que los vértices.

¿Qué conviene estudiar en geometría analítica y qué se trabaja aquí?

Aquí se estudian las curvas cónicas y sus ecuaciones. Los vectores, las rectas, las distancias, los ángulos y los problemas de circunferencia ligados a rectas o tres puntos se desarrollan en Geometría analítica de 1.º de Bachillerato.

¿Se estudian las cónicas en todos los centros?

No con la misma profundidad. Algunos centros trabajan las cuatro curvas y otros solo circunferencia y parábola o las presentan como ampliación.

Cuando conviene trabajar el procedimiento juntos

Hay ejercicios de cónicas en los que una explicación a tiempo evita media página de cuentas mal orientadas. En el apoyo online de Marlu leemos el dato geométrico, elegimos el modelo, hacemos el cálculo y comprobamos la ecuación antes de pasar al siguiente ejercicio.

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José María · Profesor de Matemáticas, Física y Química en Marlu Educativa
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