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Estadística ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso
Empieza por tablas, media, posición y dispersión. Después, si lo incluye tu temario, continúa con una selección de normal e intervalos que permite entender el paso a Bachillerato.
El núcleo es la estadística descriptiva unidimensional. La normal y la inferencia se conservan como puentes: la práctica intensiva continúa en sus recursos específicos.
Índice de trabajo
Elige el recorrido según tu temario
Antes de calcular, identifica la variable y qué se pide: describir los datos de un grupo o estimar un parámetro de una población. Revisa después el valor, las unidades y la interpretación. Un resultado correcto no sustituye la conclusión que pide el problema.
Fórmulas descriptivas esenciales
Llama \(N\) al número total de datos y \(f_i\) a la frecuencia absoluta de cada valor. Ordena los datos antes de buscar mediana o cuartiles.
| Medida | Cálculo o decisión |
|---|---|
| Frecuencias | \(h_i=f_i/N\). Acumula las absolutas hasta cada valor para obtener \(F_i\) y usa \(H_i=F_i/N\). |
| Media | \(\overline{x}=(x_1+\cdots+x_N)/N\). Con frecuencias: \(\overline{x}=(x_1f_1+\cdots+x_kf_k)/N\). |
| Mediana y moda | Mediana: dato central, o media de los dos centrales si hay un número par. Moda: valor o valores con mayor frecuencia. |
| Rango y cuartiles | \(R=x_{\max}-x_{\min}\); \(RIC=Q_3-Q_1\). El convenio de cuartiles debe indicarse. |
| Varianza descriptiva | \(\sigma^2=\big[(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_N-\overline{x})^2\big]/N\). Con frecuencias, cada cuadrado se pondera por su frecuencia. |
| Desviación y variación relativa | \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\); \(CV=(\sigma/\overline{x})\cdot100\%\) cuando la media es positiva y el cero de la escala tiene sentido. |
En una tabla, comprueba que las frecuencias absolutas suman N y las relativas suman 1. En un gráfico, lee la escala y distingue categorías separadas de intervalos contiguos.
Centro y frecuencias · elegir e interpretar
Usa el mismo conjunto de datos para decidir qué resume cada medida. La media pondera todos los valores; la mediana depende del orden; la moda cuenta repeticiones.
Media y mediana ante un tiempo extremo
ESO · interpretación
Cinco sesiones de lectura duran 4, 5, 6, 7 y 28 minutos. Calcula la media y la mediana. Compáralas con las que se obtendrían si la última sesión durase 8 minutos en lugar de 28. ¿Qué medida resume mejor la duración central? ¿Cuál permite recuperar el tiempo total?
Los datos están ordenados. La mediana es el tercero, porque hay cinco sesiones.
En la comparación con una última sesión de 8 minutos:
La sesión de 28 minutos aumenta la media, mientras la mediana conserva el centro en 6 minutos. Para describir una duración central poco sensible a ese valor extremo, resulta más representativa la mediana; para repartir el tiempo total entre cinco sesiones, se utiliza la media.
En la serie original, \(5\cdot10=50\) minutos, el tiempo total. Las cinco duraciones observadas se conservan; la segunda serie es una comparación, no una corrección de datos.
Media conjunta de dos grupos de tamaño distinto
ESO · media ponderada
En el mismo examen, un grupo de 12 alumnos obtiene una media de 5 y otro grupo de 18 alumnos obtiene una media de 8. Calcula la media de los 30 alumnos y explica por qué no basta con hacer \((5+8)/2\).
Cada media representa a un número distinto de alumnos. Recuperamos primero la suma de las notas de cada grupo:
La media de 5 y 8 daría 6,5 y trataría los dos grupos como si tuvieran el mismo tamaño. Los pesos correctos son 12/30 y 18/30.
El resultado está entre 5 y 8 y más cerca de 8, que corresponde al grupo más numeroso.
Mediana con un número impar de datos y dos modas
ESO · posición y frecuencia
Ordena, si hace falta, los datos \(1,2,2,3,4,4,5,6,9\) y calcula la mediana y todas las modas.
Los nueve datos ya están ordenados. La posición central es \((9+1)/2=5\).
Ningún valor aparece más de dos veces. Por tanto, las modas son 2 y 4: la distribución es bimodal.
Hay cuatro datos antes y cuatro después del quinto. Que 4 sea mediana y una de las modas no obliga a que ambas medidas coincidan en otras series.
Frecuencias acumuladas para responder a una revisión de páginas
ESO · tablas e interpretación
Al revisar doce páginas se cuentan estas erratas: \(0,1,1,1,2,2,3,4,4,4,5,5\). Construye la tabla de frecuencias absolutas \(f_i\), relativas \(h_i\) y acumuladas \(F_i,H_i\). ¿Qué fracción de páginas tiene hasta dos erratas? ¿Y más de tres?
Hay \(n=12\) páginas. En cada fila, \(h_i=f_i/12\); las acumuladas suman desde el primer valor hasta el de esa fila.
| Erratas \(x_i\) | \(f_i\) | \(h_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(1/12\) | 1 | \(1/12\) |
| 1 | 3 | \(3/12=1/4\) | 4 | \(4/12=1/3\) |
| 2 | 2 | \(2/12=1/6\) | 6 | \(6/12=1/2\) |
| 3 | 1 | \(1/12\) | 7 | \(7/12\) |
| 4 | 3 | \(3/12=1/4\) | 10 | \(10/12=5/6\) |
| 5 | 2 | \(2/12=1/6\) | 12 | 1 |
Las frecuencias absolutas suman 12 y las relativas, 1. Las páginas con 4 o 5 erratas son \(3+2=5\), lo que confirma \(5/12\).
Una frecuencia desconocida a partir de la media
ESO · álgebra aplicada a datos
En una tabla, los valores \(1,2,3,4\) tienen frecuencias \(2,a,5,3\), respectivamente. La media es 2,5. Calcula \(a\) y el número total de datos.
| Valor \(x_i\) | Frecuencia \(f_i\) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | \(a\) |
| 3 | 5 |
| 4 | 3 |
La frecuencia obtenida es un entero positivo. Como las frecuencias son no negativas, \(10+a\) no puede anularse.
Posición, dispersión y gráficos
Los modelos de cuartiles, transformación de medidas y variación relativa profundizan en la descriptiva. La lectura crítica de barras sirve para revisar una presentación engañosa; el histograma de amplitudes desiguales es una ampliación para Bachillerato.
Cuartiles y diagrama de caja con un dato atípico
ESO avanzada · Bachillerato
Los datos ordenados son \(1,2,3,4,5,6,7,8,25\). Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico. Usa las medianas de las dos mitades excluyendo el dato central cuando el total es impar. Representa un diagrama de caja con la regla de Tukey: es atípico un dato situado fuera de \([Q_1-1{,}5\,RIC;\ Q_3+1{,}5\,RIC]\).
La mediana es el quinto dato, 5. Lo excluimos al formar las mitades: \(1,2,3,4\) y \(6,7,8,25\).
El valor 25 supera 15 y se marca como atípico. Los bigotes terminan en los valores observados extremos que no son atípicos: 1 y 8. La caja va de 2,5 a 7,5 y la mediana se sitúa en 5.
El máximo observado es 25, pero el bigote superior es 8. La clasificación como atípico describe su posición en esta serie; por sí sola no demuestra que el dato sea erróneo. Otros convenios de cuartiles pueden dar cifras distintas: aquí se aplica el indicado.
Varianza y efecto de transformar todas las medidas
ESO avanzada · Bachillerato
Cuatro medidas, en centímetros, son \(1,2,2,5\). Calcula la media, la varianza descriptiva y la desviación típica. Después transforma sus valores mediante \(y=2x+3\), con \(x\) e \(y\) expresados en centímetros, y estudia cómo cambian esas tres medidas. Usa el divisor \(n\), no \(n-1\).
Los nuevos valores son \(5,7,7,13\).
Sumar 3 a todos los valores desplaza la media y no cambia las desviaciones respecto de ella. Multiplicar por 2 duplica la desviación típica y cuadruplica la varianza.
La varianza lleva unidades al cuadrado; la desviación típica mantiene las unidades originales.
Variación absoluta y relativa en dos formatos de envases
ESO avanzada · Bachillerato
Un formato A de envases tiene masa media de 500 g y desviación típica de 15 g. Otro formato B tiene media de 200 g y desviación típica de 10 g. ¿Cuál presenta más dispersión absoluta? ¿Y más dispersión relativa?
En términos absolutos se comparan las desviaciones típicas: \(15>10\), así que A tiene mayor dispersión en gramos. Para comparar con el tamaño medio del envase, usamos el coeficiente de variación:
B presenta mayor dispersión relativa, aunque su desviación típica absoluta sea menor.
Comparamos la misma magnitud, la masa, con un cero significativo y medias positivas. El coeficiente es adimensional: las unidades de gramos se cancelan.
Un eje truncado cambia la apariencia de las barras
ESO · lectura crítica de gráficos
Una biblioteca registra 20 préstamos el lunes y 24 el martes. Un gráfico dibuja las barras desde el valor 18 del eje vertical: sus alturas visibles son 2 y 6 unidades. Compara esas alturas con los préstamos reales, calcula el incremento absoluto y porcentual y propone una representación que permita comparar las alturas sin esa distorsión.
La longitud visible de la segunda barra es triple, pero los préstamos aumentan un 20 %. El corte del eje exagera visualmente la comparación por alturas. Para representar las frecuencias proporcionalmente, dibujamos ambas barras desde cero y conservamos una escala vertical común.
El gráfico truncado debe señalar su corte. Esa advertencia ayuda a leerlo, pero sus alturas visibles siguen sin ser proporcionales a los valores completos.
Histograma con intervalos de distinta amplitud
Bachillerato · ampliación de descriptiva
Las edades de veinte personas se agrupan así: \([10,20)\), 4 personas; \([20,30)\), 8 personas; \([30,50)\), 8 personas. Construye el histograma usando densidad de frecuencia. Explica por qué las dos últimas barras no tienen la misma altura, indica qué intervalos tienen mayor frecuencia y calcula una media aproximada.
Cuando las amplitudes son distintas, la altura se calcula como frecuencia dividida entre amplitud. De ese modo, el área de cada rectángulo representa su frecuencia.
| Intervalo (años) | Amplitud | \(f_i\) | Densidad | Marca |
|---|---|---|---|---|
| \([10,20)\) | 10 | 4 | 0,4 | 15 |
| \([20,30)\) | 10 | 8 | 0,8 | 25 |
| \([30,50)\) | 20 | 8 | 0,4 | 40 |
Las densidades se expresan en personas por año. Las dos últimas clases tienen la misma frecuencia, 8; la tercera ocupa el doble de anchura y necesita la mitad de altura. Las clases de mayor frecuencia son \([20,30)\) y \([30,50)\), empatadas; la mayor densidad corresponde a \([20,30)\).
Las áreas recuperan las frecuencias. La media es aproximada porque emplea marcas de clase, no las edades individuales.
Puente a Bachillerato · distribución normal
En este recurso escribimos \(X\sim N(\mu,\sigma)\) con \(\sigma>0\) como desviación típica, no como varianza. Tipificar mide la distancia a la media en unidades de esa desviación.
En una tabla acumulada, \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) es el área a la izquierda. La fila da la parte entera y la primera cifra decimal; la columna aporta la segunda decimal. Al ser continua, usar < o ≤ no cambia la probabilidad.
Distribución normal y tipificación
Puente de Bachillerato
Se modelan aproximadamente las notas de una prueba mediante una normal de media \(6,5\) y desviación típica \(1,2\). Calcula el valor tipificado correspondiente a \(x=8\).
Usamos la normal como modelo aproximado de las notas: sus colas no representan literalmente valores posibles fuera de la escala de calificación.
La nota 8 está 1,25 desviaciones típicas por encima de la media.
Probabilidad en una normal
Puente de Bachillerato
Una variable \(X\) sigue una normal \(N(100,15)\). Calcula aproximadamente \(P(X<130)\).
El segundo parámetro es la desviación típica, \(\sigma=15\).
Con una tabla acumulada por la izquierda se lee la fila 2,0 y la columna 0,00. La probabilidad es aproximadamente el 97,72 %.
Puente de estimación · media y proporción
Esta selección introduce intervalos, error y tamaño muestral. Se supone muestreo aleatorio e independencia; en una población finita, si la fracción muestreada no es pequeña, el modelo puede necesitar una corrección. Para medias se emplea σ poblacional conocida y normalidad de la población o una aproximación justificada por el tamaño muestral. Para proporciones se comprueban recuentos suficientes de ambos resultados.
El nivel de confianza describe el procedimiento de construcción de intervalos en muestreos repetidos. No significa que ese porcentaje de los datos individuales esté dentro del intervalo. Estos modelos usan \(z_{0{,}975}\approx1{,}96\) para el 95 %.
Intervalo de confianza para una media
Puente de Bachillerato
En una muestra de \(100\) alumnos, la media de horas de estudio semanales es \(12\). Se sabe que la desviación típica poblacional es \(4\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media.
Suponemos una muestra aleatoria e independiente. La desviación típica poblacional es conocida; con \(n=100\) usamos la aproximación normal de la media muestral.
Estimamos la media poblacional de horas semanales. Al repetir el muestreo con este procedimiento, aproximadamente el 95 % de los intervalos cubriría esa media; no se habla del 95 % de alumnos.
Error máximo de estimación
Puente de Bachillerato
Una muestra tiene tamaño \(n=64\), desviación típica poblacional \(\sigma=12\) y nivel de confianza del \(95\%\). Calcula el error máximo.
Con muestreo aleatorio e independiente, desviación típica poblacional conocida y la aproximación normal para la media:
El margen de error se expresa en las mismas unidades que la variable. No es una desviación típica individual.
Tamaño muestral para una media
Puente de Bachillerato
Queremos estimar una media con desviación típica poblacional \(\sigma=10\), confianza del \(95\%\) y error máximo \(E=2\). Calcula el tamaño mínimo de la muestra.
Planificamos una muestra aleatoria e independiente bajo el modelo normal para la media, con desviación típica poblacional conocida.
Se elige el entero superior para no superar el margen objetivo en el modelo empleado.
Intervalo de confianza para una proporción
Puente de Bachillerato
En una muestra de \(400\) personas, \(240\) afirman usar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la proporción.
Suponemos muestreo aleatorio e independencia. Hay 240 respuestas afirmativas y 160 negativas: los dos recuentos permiten la aproximación normal habitual de la proporción.
El intervalo estima la proporción poblacional: del 55,2 % al 64,8 %, con un margen aproximado de 4,8 puntos porcentuales y un nivel de confianza del 95 %. El 60 % es la proporción de la muestra.
Tamaño muestral para una proporción
Puente de Bachillerato
Queremos estimar una proporción con confianza del \(95\%\) y error máximo \(0,04\). Si no conocemos una estimación previa de \(p\), calcula el tamaño mínimo de la muestra.
Para planificar sin una estimación previa se utiliza el máximo de \(p(1-p)\), que es \(0{,}25\) cuando \(p=0{,}5\). Suponemos muestreo aleatorio e independiente y el margen normal aproximado.
El error objetivo de 0,04 equivale a cuatro puntos porcentuales. La elección conservadora evita infravalorar el tamaño por desconocer p.
Problema tipo PAU completo
Puente de Bachillerato
Una empresa quiere estimar el gasto medio mensual de sus clientes. En una muestra de \(81\) clientes obtiene una media de \(120\) euros. Se sabe que la desviación típica poblacional es \(18\) euros. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) e interpreta el resultado.
Suponemos una muestra aleatoria e independiente; \(\sigma=18\) euros es poblacional y conocida. Para \(n=81\) usamos la aproximación normal de la media.
Con este procedimiento obtenemos una estimación por intervalo del gasto medio poblacional, con un nivel de confianza aproximado del 95 %. No significa que el 95 % de clientes gaste entre esos extremos.
Comprobamos el centro y la semiamplitud del intervalo:
Interpretación de resultados estadísticos
Puente de Bachillerato
Un intervalo de confianza para una proporción es \((0{,}32;\ 0{,}40)\). Explica qué significa y cuál es el error máximo.
El intervalo estima una proporción poblacional entre el 32 % y el 40 %, con el nivel de confianza que se haya utilizado. Como no se indica, no podemos atribuirle un 95 % ni afirmar que sea una cota segura del parámetro.
La estimación central es el 36 % y el margen es de cuatro puntos porcentuales. No es un error relativo del 4 %.
Ocho prácticas para comprobar el recorrido
Intenta la tarea antes de abrir la solución. La ruta de descriptiva utiliza las cuatro primeras. Las cuatro últimas corresponden a la ruta de Bachillerato y a las condiciones del modelo estadístico indicado.
Calcula la media de \(5,7,9,10,14\).
Ver solución y comprobación
La media queda entre el menor dato, 5, y el mayor, 14.
Calcula mediana y moda de \(2,3,3,4,6,8,8,8,10\).
Ver solución y comprobación
Los nueve datos ya están ordenados. La mediana ocupa la posición \((9+1)/2=5\).
El valor 8 aparece tres veces; ningún otro dato se repite tanto.
Diez tiempos de espera, en minutos, son \(2,2,3,3,3,4,6,6,6,7\). Construye una tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. ¿Qué fracción de las esperas dura como máximo 4 minutos? ¿Y entre 3 y 6 minutos, incluidos ambos extremos?
Ver solución y comprobación
| Tiempo \(x_i\) (min) | \(f_i\) | \(h_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 0,2 | 2 | 0,2 |
| 3 | 3 | 0,3 | 5 | 0,5 |
| 4 | 1 | 0,1 | 6 | 0,6 |
| 5 | 0 | 0 | 6 | 0,6 |
| 6 | 3 | 0,3 | 9 | 0,9 |
| 7 | 1 | 0,1 | 10 | 1 |
La fila de 5 minutos tiene frecuencia cero y no aumenta la acumulada. Para el segundo apartado, también sirve restar las esperas de hasta 2 minutos a las de hasta 6: \((9-2)/10=0{,}7\).
Calcula la varianza y desviación típica de \(3,5,7,9\).
Ver solución y comprobación
Usamos la varianza descriptiva, con divisor \(n=4\).
La varianza se expresa en unidades al cuadrado; la desviación típica, en las mismas unidades que los datos.
Si \(X\sim N(50,10)\), calcula el valor tipificado para \(x=65\).
Ver solución y comprobación
En este cuaderno, el segundo parámetro de \(N(50,10)\) es la desviación típica: \(\sigma=10\).
El valor 65 está una desviación típica y media por encima de la media.
En una muestra de \(64\) personas, la media es \(30\) y \(\sigma=8\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\).
Ver solución y comprobación
La desviación típica poblacional es conocida. Aplicamos el modelo normal y las condiciones de muestreo indicadas en el bloque de intervalos.
El intervalo estima la media poblacional; no indica dónde están el 95 % de los datos individuales.
En una muestra de \(500\) personas, \(300\) responden afirmativamente. Calcula \(\hat p\).
Ver solución y comprobación
El 60 % de las personas de la muestra responde afirmativamente. Es una proporción muestral.
Calcula el tamaño muestral para estimar una media con \(\sigma=12\), \(E=3\) y confianza del \(95\%\).
Ver solución y comprobación
Se supone muestreo aleatorio e independiente y el modelo normal para la media, con \(\sigma=12\) poblacional conocida.
Se elige el entero superior. Bajo el modelo empleado, con 62 datos el error es aproximadamente 2,99; con 61, aproximadamente 3,01, que supera el límite de 3.
Comprobaciones antes de entregar
Qué se está describiendo
Distingue un conjunto de datos observado de un parámetro de la población. La media muestral y la media poblacional no son el mismo objeto.
Frecuencias y acumuladas
El total se obtiene sumando frecuencias absolutas. La frecuencia acumulada hasta un valor incluye ese valor.
Convenios
Ordena los datos y declara el procedimiento de cuartiles. No cambies entre divisor n y n−1 sin cambiar también la finalidad del cálculo.
Gráficos
Un histograma representa intervalos contiguos. Si las amplitudes son distintas, la altura debe corresponder a densidad de frecuencia para que las áreas representen frecuencias.
Normal
En este cuaderno el segundo parámetro es σ. Tipifica conservando el signo; comprueba qué área ofrece la tabla.
Intervalos y tamaños
Un margen de proporción de 0,04 son cuatro puntos porcentuales. El tamaño mínimo se redondea siempre al entero superior; comprueba el modelo y sus hipótesis.
El siguiente recurso depende de lo que necesites practicar
Elige la continuación que corresponda a tu curso y al temario. No necesitas recorrer todas las rutas para estudiar la descriptiva.
Cuando necesitas corregir el procedimiento
En Marlu Educativa trabajamos la lectura de datos, la elección del cálculo y la interpretación final. Indica tu curso, el temario que estás preparando y una disponibilidad compatible con tus clases para consultar el apoyo online adecuado.
Consultar apoyo online de MatemáticasPreguntas frecuentes
¿Qué parte corresponde a ESO?
Empieza por los modelos 1–5 y 9 y las prácticas 1–4. Los modelos 6–8 profundizan en descriptiva; el 10 amplía el histograma a intervalos desiguales. Selecciona esas ampliaciones según tu programación. La normal y los intervalos se estudian en la ruta de Bachillerato.
¿Por qué pueden salir cuartiles distintos en dos libros?
Existen varios convenios para calcular los cuartiles. El modelo 6 excluye la mediana central al formar las dos mitades y calcula la mediana de cada una. En una prueba aplica el procedimiento que se haya establecido en clase.
¿Cuándo se divide entre n y cuándo entre n menos uno?
Aquí la varianza descriptiva resume los datos y divide entre n. La cuasivarianza muestral divide entre n menos uno cuando se utiliza para estimar la varianza poblacional. Son tareas distintas y no deben intercambiarse sin justificarlo.