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Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Una fracción algebraica no se domina tachando letras. Se domina cuando el alumno sabe qué valores están prohibidos, reconoce la factorización que necesita y conserva el dominio hasta la última línea.
El recorrido empieza en el puente habitual de 3.º ESO y llega al trabajo completo de 4.º: operaciones combinadas, fracciones complejas, ecuaciones racionales, soluciones que deben rechazarse y problemas donde la fracción nace del planteamiento.
Mapa del libro
Comprender
Aprender con modelos
Entrenar y comprobar
Antes de empezar: la base que de verdad hace falta
No es necesario volver a estudiar todo el álgebra, pero sí reconocer una factorización y operar con signos sin improvisar. El diagnóstico siguiente permite decidir en pocos minutos si se puede entrar directamente en el tema.
Si falla el lenguaje algebraico
Conviene recuperar primero álgebra de 2.º ESO: términos semejantes, distributiva y lectura de expresiones.
Si falla la factorización
El apoyo adecuado es polinomios, productos notables y factorización. Aquí se aplican esas técnicas; no se vuelve a enseñarlas desde cero.
Diagnóstico inicial: seis decisiones, no seis cuentas
Haz estas cuestiones sin mirar los modelos. Si el bloqueo aparece al factorizar, repara esa base; si aparece al conservar las restricciones, empieza por el método y vuelve después.
Indica los valores prohibidos de \(\frac{x^2-9}{x^2-x-6}\) sin simplificar todavía.
Factoriza por completo \(x^2-5x+6\) y \(4x^2-25\).
Simplifica \(\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}\) y conserva las restricciones de la expresión original.
Un alumno escribe \(\frac{x+5}{x}=5\). Explica el primer error y transforma correctamente la expresión.
Opera y simplifica \(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\). Anota primero las restricciones.
Resuelve \(\frac{x+1}{x-2}=2\) y comprueba que la solución pertenece al dominio.
Qué es una fracción algebraica y dónde está definida
Una fracción algebraica racional es un cociente de polinomios
El polinomio del denominador no puede ser el polinomio nulo y, además, para cada valor concreto de la variable debe cumplirse \(Q(x)\neq 0\). Los valores que anulan el denominador quedan fuera del conjunto de definición. Esta comprobación se hace sobre la expresión original, antes de cancelar ningún factor.
Restricciones y dominio
En una expresión algebraica suele hablarse de restricciones o valores prohibidos. Cuando la fracción define una función, esas mismas restricciones determinan su dominio. En ambos casos el cálculo es el mismo: se factoriza el denominador, se resuelve \(Q(x)=0\) y se excluyen las raíces reales obtenidas.
Que una fracción se simplifique hasta convertirse en un polinomio no recupera los valores eliminados al principio. Por ejemplo, si un factor \(x-a\) aparece arriba y abajo, la cancelación permite trabajar con una expresión más sencilla, pero el valor \(x=a\) continúa prohibido si anulaba el denominador original.
Volver al índiceQué se espera en 3.º ESO y qué se añade en 4.º ESO
Base sólida de 3.º ESO
Reconocer valores prohibidos, factorizar casos habituales, simplificar sin alterar el dominio y operar fracciones con uno o dos factores. Las primeras ecuaciones racionales deben conducir a una ecuación lineal y exigir una comprobación sencilla.
Profundización de 4.º ESO
Se incorporan denominadores con factores repetidos, cambios de signo como \(a-x=-(x-a)\), operaciones combinadas, divisores que pueden valer cero y ecuaciones que conducen a una cuadrática. También se razona sobre identidades, incompatibilidades y expresiones equivalentes con dominios diferentes.
La distribución exacta entre cursos puede variar ligeramente según la programación del centro. La diferencia importante no está en que las cuentas sean más largas, sino en el número de decisiones que el alumno debe coordinar sin perder restricciones ni cometer una cancelación falsa.
Volver al índiceUn procedimiento estable en seis pasos
- Leer la operación completa. Antes de calcular, conviene decidir si se pide simplificar, sumar, dividir o resolver una ecuación. Cada tarea exige un orden distinto.
- Anotar las restricciones originales. Se iguala a cero cada denominador y se excluyen sus raíces. Si hay una división, también se impide que la fracción divisora valga cero.
- Factorizar todo lo que pueda intervenir. Factor común, identidades notables y trinomios deben reconocerse antes de desarrollar productos innecesarios.
- Elegir la operación adecuada. En sumas y restas se construye un denominador común. En productos se multiplican factores. En divisiones se invierte la segunda fracción después de estudiar cuándo está definida y cuándo vale cero.
- Reducir y resolver sin perder información. Solo se cancelan factores completos. Las restricciones iniciales se mantienen aunque esos factores desaparezcan durante el cálculo.
- Comprobar la respuesta. Se revisan signos, factorizaciones y valores prohibidos. En una ecuación, cada solución candidata se contrasta con las restricciones y, cuando conviene, con la igualdad original.
| Situación | Primera decisión | Comprobación imprescindible |
|---|---|---|
| Simplificación | Factorizar numerador y denominador | Conservar los ceros del denominador original |
| Suma o resta | Factorizar denominadores y construir su mínimo común múltiplo | Aplicar el signo a todo el numerador que corresponda |
| Producto | Factorizar antes de multiplicar | Cancelar únicamente factores completos |
| División | Estudiar la segunda fracción y multiplicar por su inversa | Excluir también los valores que hacen cero al divisor |
| Ecuación racional | Anotar restricciones y eliminar denominadores con el mínimo común múltiplo | Descartar cualquier solución que anule un denominador original |
Cuándo se puede cancelar y cómo se opera
Cancelación legal e ilegal
Cancelar significa dividir numerador y denominador por el mismo factor no nulo. Por eso puede eliminarse un factor común completo
pero no se puede tachar una parte de una suma. En general, \(x\) no es factor del numerador \(x+3\), de modo que \(\frac{x+3}{x}\) no se reduce cancelando las dos letras. Si hace falta separar la fracción, se escribe \(\frac{x+3}{x}=1+\frac{3}{x}\), con \(x\neq 0\).
Suma y resta
Los numeradores solo pueden reunirse cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Si los denominadores son distintos, primero se factorizan y se forma su mínimo común múltiplo. Después se transforma cada fracción, se opera el numerador completo y se vuelve a factorizar por si el resultado admite una reducción.
La fórmula anterior es válida, aunque en ejercicios reales no siempre conviene usar directamente \(BD\). Cuando los denominadores comparten factores, el mínimo común múltiplo produce una expresión más corta y reduce el riesgo de errores.
Producto y división
En un producto interesa conservar la forma factorizada. Desarrollar antes de simplificar suele ocultar los factores comunes.
En una división hay una condición adicional. La segunda fracción tiene que estar definida y, además, no puede valer cero.
La condición \(C\neq 0\) no aparece por capricho: si \(C=0\), la segunda fracción vale cero y estaríamos intentando dividir entre cero.
Volver al índiceCuarenta y ocho modelos resueltos con una decisión distinta
Los primeros fijan el método de 3.º ESO; después aumenta el número de factores, operaciones y comprobaciones hasta llegar al nivel alto de 4.º. Cada modelo conserva las restricciones de la expresión original.
Restricciones y dominio
El dominio se decide antes de operar. Los factores que después desaparecen siguen dejando valores prohibidos.
La primera restricción
3.º ESOIndica el dominio de la fracción algebraica.
El numerador puede valer cero; el denominador, no. Por tanto imponemos:
De aquí resulta \(x\neq -5\). No hace falta resolver ninguna otra condición.
Resultado. Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\). Si se sustituye \(x=-5\), el denominador vale cero.
Dos valores prohibidos que no están a la vista
3.º ESOHalla el dominio. Conviene factorizar antes de responder.
Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen \(-5\):
El producto se anula cuando \(x=2\) o \(x=3\). Ambos valores quedan excluidos.
Resultado. Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{2,3\}\). Con cualquiera de los dos valores aparece una división entre cero.
El valor que no vuelve después de simplificar
3.º ESOSimplifica la expresión e indica su dominio.
La restricción se obtiene de la expresión original: \(x\neq3\). Después factorizamos la diferencia de cuadrados:
La simplificación es válida porque ya hemos supuesto \(x\neq3\). Cancelar el factor no recupera ese valor.
Resultado. \(C(x)=x+3\) para \(x\neq3\). En \(x=3\), la expresión original sigue sin existir.
Dominio común de una operación
3.º ESODetermina los valores admitidos antes de efectuar la resta.
Hay que revisar todos los denominadores. El segundo se factoriza:
El primer denominador prohíbe \(x=1\). El segundo prohíbe \(x=1\) y \(x=-2\). El dominio de la operación es la intersección de ambas condiciones.
Resultado. Se admite cualquier real salvo \(1\) y \(-2\).
Un denominador cuadrático puede no anularse
4.º ESOCompara el dominio de las dos fracciones.
Para todo número real, \(x^2\geq0\); por eso \(x^2+4>0\) y el denominador de \(F\) nunca se anula. En cambio:
El denominador de \(G\) se anula en \(x=2\) y \(x=-2\).
Resultado. \(D_F=\mathbb{R}\) y \(D_G=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
Una fracción dentro del denominador
4.º ESOHalla el dominio y simplifica.
La fracción interior exige \(x+1\neq0\), de modo que \(x\neq-1\). Además, esa fracción ocupa el denominador de la expresión completa y tampoco puede valer cero; por tanto \(x-2\neq0\).
Resultado. \(H(x)=\frac{x+1}{x-2}\), con \(x\neq-1,2\). El valor \(-1\) no debe perderse al invertir.
Equivalencia y simplificación
Simplificar es dividir por factores comunes, no borrar términos parecidos. La expresión reducida se interpreta siempre en el dominio original.
Factor común en numerador y denominador
3.º ESOSimplifica sin omitir la restricción.
Primero fijamos \(x\neq0\). Después sacamos factor común en el numerador:
Se ha simplificado el factor completo \(x\) y también el factor numérico 3.
Resultado. \(\frac{2(x-3)}{3}\), con \(x\neq0\). Para \(x=6\), ambas formas valen 2.
Diferencia de cuadrados frente a trinomio
3.º ESOSimplifica completamente.
Factorizamos cada polinomio con el método adecuado:
En la expresión original, \(x\neq4,-5\). Ahora sí podemos cancelar el factor \(x-4\):
Resultado. \(\frac{x+4}{x+5}\), conservando \(x\neq4,-5\).
Dos trinomios con un factor común
3.º ESOReduce la fracción a su forma irreducible.
En el numerador buscamos dos números que multipliquen 12 y sumen \(-7\). En el denominador usamos una diferencia de cuadrados:
Las restricciones proceden del denominador original: \(x\neq3,-3\).
Resultado. \(\frac{x-4}{x+3}\), con \(x\neq-3,3\).
Extraer un signo antes de cancelar
3.º ESOSimplifica prestando atención al orden de la resta.
El numerador no es \(3(x-1)\), sino su opuesto:
El denominador original excluye \(x=1\) y \(x=-1\).
Resultado. \(-\frac{3}{x+1}\), con \(x\neq-1,1\).
Un factor repetido solo se cancela una vez
4.º ESOSimplifica y explica por qué sigue quedando denominador.
Factorizamos el numerador y reconocemos un cuadrado perfecto en el denominador:
Solo hay una copia de \(x-4\) en el numerador, por eso se cancela una sola:
Resultado. \(\frac{x^2}{x-4}\), con \(x\neq4\).
Factorización por agrupación
4.º ESOSimplifica sin desarrollar el denominador.
Agrupamos los cuatro términos del numerador:
Como \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), el denominador original exige \(x\neq-1,1\). Para los demás valores:
Resultado. \(x-4\), con \(x\neq-1,1\).
Contenido numérico y dos factorizaciones
4.º ESOSimplifica por completo.
Antes de buscar factores algebraicos, extraemos el factor común 3:
El denominador original se anula en \(x=-\frac32\) y \(x=-1\). Cancelamos los factores comunes:
Resultado. \(\frac{2x-3}{x+1}\), con \(x\neq-\frac32,-1\).
Reconstruir el término que falta
4.º ESODetermina \(k\) para que la igualdad sea cierta para todo valor admitido de \(x\).
Para que pueda cancelarse \(x-3\), el numerador debe ser el producto:
Comparamos el coeficiente de \(x\) con \(x^2+kx-12\). Por tanto, \(k=1\). La igualdad se entiende siempre con \(x\neq3\).
Resultado. \(k=1\). Al sustituirlo, el numerador factoriza exactamente como \((x-3)(x+4)\).
Signos y errores de examen
Un signo mal colocado puede convertir un procedimiento correcto en otro problema. Aquí importa justificar el primer paso, no solo llegar a una fórmula final.
No se cancelan términos de una suma
3.º ESOUn alumno afirma que \(\frac{x+6}{x}=6\) porque ha tachado las dos \(x\). Localiza el error y escribe una forma equivalente correcta.
Solo pueden cancelarse factores que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador. En \(x+6\), la \(x\) es un término de una suma, no un factor común. Separamos la fracción:
Comprobación. Para \(x=2\), la expresión vale 4, no 6. El contraejemplo confirma que la cancelación propuesta era falsa.
Dos signos negativos que se compensan
3.º ESOSimplifica con cuidado.
Las expresiones \(2-x\) y \(x-2\) son opuestas:
Por tanto, para \(x\neq2\):
Resultado. La expresión vale 1 para \(x\neq2\). Con \(x=5\) se obtiene \(-(-3/3)=1\).
El exponente no afecta al mismo signo
3.º ESOSimplifica y explica la diferencia entre el numerador y el denominador.
En el numerador, el signo está dentro del paréntesis y también se eleva al cuadrado: \((-x)^2=x^2\). En el denominador, la potencia se calcula antes que el signo: \(-x^2=-(x^2)\).
Resultado. \(-1\), con \(x\neq0\). Para \(x=-3\), el cociente es \(9/(-9)=-1\).
Misma fórmula final, distinta función
4.º ESODecide si las expresiones definen la misma función.
La primera expresión se simplifica:
Las dos reglas dan el mismo resultado cuando \(x\neq2\). Sin embargo, \(B(2)=4\) y \(A(2)\) no existe. No tienen el mismo dominio y, por tanto, no son exactamente la misma función.
Conclusión. Son equivalentes en \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), pero no iguales como funciones definidas sobre sus dominios naturales.
Producto y división
En productos se factoriza antes de desarrollar. En divisiones también se estudia cuándo la fracción divisora vale cero.
Producto con tres restricciones distintas
3.º ESOMultiplica y simplifica.
Antes de cancelar, anotamos las restricciones de los denominadores originales: \(x\neq3,-2,-3\). Factorizamos:
Cancelamos factores completos y queda:
Resultado. \(\frac{x-3}{x+2}\), con \(x\neq-3,-2,3\).
Una división que se reduce a uno
3.º ESODivide, simplifica y conserva todas las restricciones.
Los denominadores originales exigen \(x\neq-2,-1\). Como dividimos entre \(\frac{x-2}{x+1}\), esa fracción tampoco puede valer cero; añadimos \(x\neq2\). Invertimos el divisor y factorizamos:
Resultado. 1, con \(x\neq-2,-1,2\). El valor 2 se excluye porque haría cero el divisor.
Signo, coeficientes y factores
3.º ESOSimplifica el producto.
La expresión original exige \(x\neq-2,0,2\). Descomponemos \(x^2-4\) y cancelamos factores:
El signo negativo no desaparece al simplificar los factores numéricos.
Resultado. \(-\frac{1}{2(x+2)}\), con \(x\neq-2,0,2\).
Producto con trinomio de coeficiente principal dos
4.º ESOFactoriza antes de multiplicar.
Las factorizaciones necesarias son:
Los valores prohibidos son \(x=-\frac52\) y \(x=3\). Al cancelar:
Resultado. \(\frac{2(2x-5)}{2x+5}\), con \(x\neq-\frac52,3\).
Cadena de tres fracciones
4.º ESOSimplifica la cadena sin perder ningún valor prohibido.
Las restricciones originales son \(x\neq-1,0,1,3\). Factorizamos todos los polinomios:
Se cancelan factores completos de distintas fracciones y queda:
Resultado. \(\frac{x-3}{x+1}\), manteniendo \(x\neq-1,0,1,3\).
El cero del divisor también está prohibido
4.º ESOEfectúa la división y justifica todas las restricciones.
La primera fracción exige \(x\neq-2,2\). El divisor tiene denominador \(x+2\) y, además, no puede ser cero; por eso \(x\neq1\). Invertimos y factorizamos:
Resultado. \(\frac{x+1}{x-2}\), con \(x\neq-2,1,2\).
Producto y cociente en una misma expresión
4.º ESOReduce la operación a una sola fracción.
Los denominadores prohíben \(x=-2,0,2,3\). El divisor tampoco puede valer cero, así que añadimos \(x\neq-3\). Factorizamos e invertimos la última fracción:
Resultado. \(\frac{2x}{x-2}\), con \(x\neq-3,-2,0,2,3\).
Encontrar el factor algebraico desconocido
4.º ESOHalla la fracción más sencilla \(Q(x)\) que completa la identidad.
Simplificamos primero el factor conocido:
Para transformar su denominador \(x+1\) en \(x-1\), elegimos:
El primer factor conserva \(x\neq-1,2\) y la fracción buscada añade \(x\neq1\).
Comprobación. \(\frac{x+2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}\) para \(x\neq-1,1,2\). El valor \(x=-2\) sí está admitido y hace que ambos lados valgan cero.
Suma y resta
El denominador común se construye con los factores necesarios, sin multiplicar por expresiones redundantes.
Resta con denominador común
3.º ESOEfectúa y simplifica.
Como los denominadores ya coinciden, restamos los numeradores manteniendo el paréntesis:
La restricción es \(x\neq4\).
Resultado. \(\frac{2x+7}{x-4}\), con \(x\neq4\). El signo menos afecta a los dos términos del segundo numerador.
Dos denominadores lineales distintos
3.º ESOReduce a una sola fracción.
El mínimo común denominador es \(x(x+1)\). Las restricciones son \(x\neq0,-1\):
No hay ningún factor común que pueda cancelarse.
Resultado. \(\frac{2-x}{x(x+1)}\), con \(x\neq-1,0\).
Un denominador ya contiene al otro
3.º ESOSuma las fracciones usando el mínimo denominador común.
Factorizamos \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). El segundo denominador ya contiene al primero, de modo que no necesitamos multiplicarlos de nuevo:
Se excluyen \(x=-2,2\).
Resultado. \(\frac{x+5}{x^2-4}\), con \(x\neq-2,2\).
Denominadores opuestos
3.º ESOSimplifica sin multiplicar denominadores innecesariamente.
Los denominadores son opuestos, porque \(3-x=-(x-3)\). Reescribimos la primera fracción:
La expresión solo está definida para \(x\neq3\).
Resultado. \(-\frac{3}{x-3}\), con \(x\neq3\).
Restar después de factorizar
4.º ESOReduce a una sola fracción irreducible.
Factorizamos el denominador cuadrático:
El denominador común es el propio trinomio factorizado:
Se excluyen \(x=3\) y \(x=-2\).
Resultado. \(-\frac{x+3}{(x-3)(x+2)}\), con \(x\neq-2,3\).
Tres fracciones y una simplificación final
4.º ESOSimplifica la operación.
El denominador común es \(x(x+1)\), con \(x\neq0,-1\):
La cancelación final es válida solo tras sumar los numeradores.
Resultado. \(\frac{2}{x+1}\), conservando \(x\neq-1,0\).
Una suma que esconde una cancelación
4.º ESOReduce la expresión.
Usamos \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) como denominador común:
Factorizamos el numerador y simplificamos:
Resultado. \(\frac{2}{x-3}\), con \(x\neq-3,3\).
Dos cocientes casi simétricos
4.º ESOResta y factoriza el numerador obtenido.
El denominador común es \(x(x-1)\), con \(x\neq0,1\):
Aplicamos diferencia de cuadrados o desarrollamos con cuidado:
Resultado. \(\frac{2x-1}{x(x-1)}\), con \(x\neq0,1\).
Operaciones combinadas y fracciones complejas
El orden de las operaciones y las restricciones de los denominadores completos son tan importantes como la simplificación.
Fracción compleja con denominadores numérico y algebraico
4.º ESOSimplifica la fracción compleja.
Necesitamos \(x\neq0\). Además, el denominador completo no puede ser cero: \(\frac1x-\frac12\neq0\), lo que excluye \(x=2\). Reducimos numerador y denominador por separado:
Resultado. \(\frac{x+2}{2-x}\), con \(x\neq0,2\).
Fracción compleja con dos variables
4.º ESOSimplifica e indica las condiciones sobre \(x\) e \(y\).
Las fracciones interiores exigen \(x\neq0\) e \(y\neq0\). El denominador de la fracción compleja tampoco puede anularse, así que \(\frac1x\neq\frac1y\), es decir, \(x\neq y\). Ahora:
Resultado. \(\frac{x+y}{y-x}\), con \(x\neq0\), \(y\neq0\) y \(x\neq y\).
Primero restar, después multiplicar
4.º ESORespeta el orden de las operaciones y simplifica.
Las restricciones originales son \(x\neq-2,2,3\). Dentro del paréntesis usamos \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\):
Multiplicamos por la última fracción:
Resultado. \(\frac5{x+2}\), conservando \(x\neq-2,2,3\).
Reconocer la misma fracción antes de dividir
4.º ESOSimplifica la expresión completa.
Se excluyen \(x=-2,2\). El divisor nunca vale cero en los reales porque \(x^2+4>0\). Reducimos el paréntesis:
Estamos dividiendo una fracción no nula entre sí misma:
Resultado. 1, con \(x\neq-2,2\).
Una identidad con dos restricciones
4.º ESOSimplifica y explica por qué el resultado no permite cualquier valor.
Las fracciones interiores exigen \(x\neq0\). El denominador completo se transforma en:
Como ese denominador no puede ser cero, también se excluye \(x=1\). Para los demás valores:
Resultado. 1, con \(x\neq0,1\). Una constante como resultado no borra las restricciones de la expresión original.
Identidad racional de examen
4.º ESOSimplifica justificando cada restricción.
Las fracciones originales excluyen \(x=-1,1\). Además, el divisor \(\frac{4x}{x^2-1}\) no puede valer cero, de modo que \(x\neq0\). En el numerador:
Numerador y denominador coinciden y son no nulos en el dominio:
Resultado. 1, con \(x\neq-1,0,1\).
Resolver ecuaciones racionales y comprobar las soluciones
Si el obstáculo está en resolver la ecuación que queda después de eliminar denominadores, puede repasarse el método general en ecuaciones de ESO y Bachillerato. En este capítulo el trabajo específico son las restricciones, el mínimo común múltiplo y la validación final.
Una ecuación racional de interés en este nivel contiene la incógnita en algún denominador. El procedimiento comienza con las restricciones. Después se multiplica toda la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores, no solo los términos que resulten cómodos. Así desaparecen las fracciones y queda una ecuación polinómica.
En 3.º ESO la ecuación resultante suele ser lineal. En 4.º ESO puede ser cuadrática, contener varios denominadores o conducir a casos especiales. El cálculo no termina al hallar las raíces: una candidata que anule cualquier denominador original debe descartarse. También puede ocurrir que no quede ninguna solución o que la igualdad sea cierta para todos los valores permitidos por las restricciones.
Comprobación final. Una solución es válida únicamente si pertenece al conjunto de definición y satisface la igualdad original. Sustituirla en la ecuación inicial es la forma más segura de cerrar un caso dudoso.
Ecuaciones racionales
Cada raíz obtenida es todavía una candidata. Solo se acepta después de compararla con las restricciones originales.
Ecuación racional con una solución
3.º ESOResuelve y comprueba.
La ecuación exige \(x\neq2\). Multiplicamos por \(x-2\), que no es cero en el dominio:
Comprobación. \(\frac{5+1}{5-2}=\frac63=2\). La solución \(x=5\) pertenece al dominio.
Ecuación racional con dos soluciones
4.º ESOResuelve la ecuación.
Las restricciones son \(x\neq-1,1\). Multiplicamos por \(4(x-1)(x+1)\):
Factorizamos:
Así obtenemos \(x=-\frac13\) o \(x=3\).
Resultado. \(x=-\frac13,3\). Ninguna solución está excluida; al sustituir, ambos miembros valen \(3/4\).
La única candidata está excluida
4.º ESOResuelve sin aceptar automáticamente la raíz obtenida.
La restricción inicial es \(x\neq1\). En ese dominio podemos simplificar:
La ecuación reducida propone \(x=1\), pero ese valor anula el denominador original. Por tanto, no puede aceptarse.
Resultado. La ecuación no tiene solución. Sustituir \(x=1\) en la expresión original produce \(0/0\), que no está definido.
Ecuación racional que es una identidad parcial
4.º ESOClasifica y resuelve.
El denominador obliga a \(x\neq2\). Para cualquier otro valor:
La igualdad se reduce a \(x+2=x+2\), que es verdadera en todo el dominio.
Resultado. Infinitas soluciones: todos los números reales salvo \(x=2\).
Problemas de modelización
La fracción aparece porque una tasa, un tiempo o una proporción depende de una cantidad desconocida. Primero se interpreta y después se opera.
Dos máquinas trabajando a la vez
4.º ESOUna impresora tarda 6 minutos más que otra en completar un lote. Trabajando juntas terminan el lote en 4 minutos. ¿Cuánto tarda cada impresora por separado?
Sea \(t\) el tiempo de la impresora rápida; la lenta tarda \(t+6\). En un minuto realizan, respectivamente, \(1/t\) y \(1/(t+6)\) del lote:
Multiplicamos por \(4t(t+6)\):
Las raíces son 6 y \(-4\), pero un tiempo no puede ser negativo.
Resultado. La impresora rápida tarda 6 minutos y la lenta 12 minutos. Juntas hacen \(1/6+1/12=1/4\) del lote por minuto.
Viaje de ida y vuelta con velocidades distintas
4.º ESOUn vehículo recorre 120 km de ida y 120 km de vuelta. En el regreso circula 20 km/h más rápido y el tiempo total de conducción es 5 h. Calcula las dos velocidades.
Sea \(v\) la velocidad de ida. La de vuelta es \(v+20\). Usamos \(t=d/v\):
Multiplicamos por \(v(v+20)\) y ordenamos:
Las candidatas son 40 y \(-12\) km/h; descartamos la negativa.
Resultado. 40 km/h en la ida y 60 km/h en la vuelta. Los tiempos son 3 h y 2 h, que suman 5 h.
Dimensiones de un rectángulo a partir del área
3.º ESOUn rectángulo tiene 96 cm² de área y su largo mide 4 cm más que su ancho. Calcula sus dimensiones planteando una relación racional.
Sea \(x\) el ancho, con \(x>0\). Como área entre ancho da largo:
Multiplicamos por \(x\) y resolvemos:
Las raíces son 8 y \(-12\). La segunda no representa una longitud.
Resultado. Ancho 8 cm y largo 12 cm. La comprobación de área es \(8\cdot12=96\) cm².
Cambiar una proporción al añadir resultados
4.º ESOTras corregir una primera tanda de exámenes, habían aprobado \(3/5\) del total. Se corrigen 10 exámenes más y 8 están aprobados. Entonces la proporción global de aprobados pasa a ser \(2/3\). ¿Cuántos exámenes formaban la primera tanda?
Sea \(n\) el número inicial de exámenes. En la primera tanda hay \(3n/5\) aprobados. Después hay \(n+10\) exámenes y \(3n/5+8\) aprobados:
Multiplicamos por \(15(n+10)\) o efectuamos productos cruzados:
Resultado. La primera tanda tenía 20 exámenes y 12 aprobados. Después hay 30 exámenes y 20 aprobados; \(20/30=2/3\).
Ejercicios para clase: práctica graduada y sin relleno
Cuarenta y ocho tareas independientes. Algunas son breves porque aíslan una decisión delicada; las de nivel alto combinan restricciones, factorización, operaciones y comprobación. Las respuestas no aparecen junto al enunciado.
Dominio, factorización y equivalencia
Determina todos los valores prohibidos de \(E(x)=\frac{x+4}{(x^2-5x+6)(x+1)}\). Factoriza el denominador y explica por qué las restricciones deben escribirse antes de simplificar cualquier expresión.
Factoriza \(x^2-9\), \(x^2+x-6\) y \(x^2-6x+9\). A partir de las factorizaciones, escribe el mínimo común denominador y reúne todos los valores prohibidos.
Factoriza por completo: a) \(x^3-4x\); b) \(2x^2+7x+3\); c) \(x^2-10x+25\). Indica qué procedimiento has usado en cada caso.
Compara \(F(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\) y \(G(x)=x+3\). Simplifica \(F\), indica el dominio de cada expresión y decide si representan exactamente la misma función.
Un alumno afirma que \(\frac{x+5}{x+2}=\frac{5}{2}\) porque ha cancelado la letra \(x\). Localiza el error, da un contraejemplo numérico y explica cuándo sí es posible cancelar.
Halla \(k\) para que \(\frac{x^2+kx-18}{x-3}\) pueda reducirse a un polinomio. Escribe el polinomio resultante y conserva la restricción de la expresión original.
Una fracción tenía denominador \((x-2)(x+5)\) y, al simplificar, quedó \(\frac{x+4}{x-2}\). Determina el numerador mónico de segundo grado más sencillo que pudo tener y precisa el dominio de la fracción original.
Simplifica \(\frac{x+2}{x^2-1}:\frac{x^2-4}{x-1}\). Antes de operar, reúne las restricciones de los denominadores y los valores que hacen cero la fracción divisora.
Simplificación con dominio
Simplifica \(\frac{x^2-16}{4-x}\) y conserva su restricción. Explica de dónde aparece el signo negativo del resultado.
Factoriza, simplifica y escribe el dominio original de \(\frac{x^2+x-6}{x^2-4x+4}\cdot\frac{x-2}{x+3}\).
Estudia si puede simplificarse \(\frac{2x^2-5x-3}{4x^2-9}\). Factoriza numerador y denominador y escribe las restricciones.
Simplifica, si es posible, \(\frac{(x-1)^2-9}{x^2+x-6}\). No confundas factores parecidos con factores iguales.
Reduce \(\frac{x^2-2x-8}{x^2-16}\) y expresa con claridad qué valores siguen prohibidos después de cancelar.
Factoriza, calcula y simplifica \(\frac{6x^2-x-2}{4x^2-9}\cdot\frac{2x+3}{3x-2}\). Da el resultado junto con todas las restricciones de partida.
Simplifica por completo \(\frac{x^3-4x}{x^2+4x+4}\) y comprueba que no has perdido la restricción original.
Reduce \(\frac{9-x^2}{x^2-6x+9}\). Escribe el resultado de dos formas equivalentes y señala el único valor prohibido.
Sumas y restas algebraicas
Opera y simplifica \(\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+1}\). Escribe primero el denominador común y las restricciones.
Simplifica \(\frac{x}{x-3}+\frac{6}{3-x}\). Explica por qué no hace falta construir un denominador de grado dos.
Calcula \(\frac{2}{x+2}+\frac{3x}{x^2-4}\). Factoriza antes de buscar el denominador común.
Reduce \(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\) sin desarrollar más de lo necesario.
Opera \(\frac{1}{3x+1}+\frac{2}{x-5}-\frac{3}{(3x+1)(x-5)}\) y deja el resultado en una sola fracción irreducible.
Calcula \(\frac{2}{x-2}-\frac{3}{(x-2)^2}+\frac{1}{x+2}\). Factoriza el numerador final si es posible.
Simplifica \(\frac{x}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}\). Conserva las restricciones aunque el numerador final sea muy sencillo.
Opera \(\frac{4x+3}{(3x-2)(x+5)}-\frac{1}{3x-2}+\frac{1}{x+5}\). Indica por qué el dominio no puede leerse únicamente en la fracción final.
Productos, cocientes y operaciones combinadas
Simplifica \(\frac{x^2-9}{x^2-x-6}\cdot\frac{x^2-4x+3}{x^2-1}\) y escribe el dominio completo de la expresión original.
Factoriza y reduce \(\frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}\cdot\frac{x-3}{2x+5}\). No olvides los valores excluidos por factores que desaparecen.
Calcula \(\frac{x^2-1}{x^2-4x+3}:\frac{x+1}{x-3}\). Reúne por separado las restricciones de los denominadores y la condición de que el divisor no sea cero.
Simplifica \(\frac{x^2-4}{x^2+x-6}:\frac{x-2}{x+3}\) y justifica el dominio del resultado a partir de la expresión completa.
Reduce \(\frac{x^2-4}{x^2-x-2}\cdot\frac{x^2+3x+2}{x^2+2x}\) y conserva todos los valores excluidos de la expresión original.
Simplifica \(\left(\frac1{x-1}+\frac1{x+1}\right)\cdot\frac{x^2-1}{2x}\). Estudia las restricciones antes de efectuar ninguna cancelación.
Opera \(\left(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+1}\right):\frac{x^2-x+4}{x+1}\). Comprueba que la fracción divisora nunca vale cero en los números reales admitidos.
Simplifica \(\displaystyle\frac{\frac2{x-1}-\frac1{x+1}}{\frac3{x^2-1}}\) y especifica su dominio.
Fracciones complejas, errores y parámetros
Reduce \(\displaystyle\frac{\frac1{x-2}+\frac1{x+2}}{\frac{x}{x^2-4}}\). Justifica por qué aparece una restricción que no procede de ningún denominador.
Simplifica \(\displaystyle\frac{\frac{x+1}{x-1}-1}{\frac{x+1}{x-1}+1}\). Determina también cuándo se anula el denominador completo de la fracción compleja.
Calcula \(\displaystyle\frac{\frac{x^2-9}{x-3}}{\frac{x^2+x-6}{x+3}}\) sin perder ninguna restricción de la expresión original.
Una alumna escribe \(\frac{x^2+4}{x+2}=x+2\) tras dividir numerador y denominador término a término. Localiza el primer paso inválido y expresa correctamente la fracción mediante división de polinomios.
Un alumno afirma que \(\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{x+3}=\frac{2}{3x+2}\). Localiza el primer error, calcula la suma correctamente y da su dominio.
Una alumna afirma que \(H(x)=\left(\frac3{x-4}-\frac2{x+1}\right)^{-1}=\frac{x-4}{3}-\frac{x+1}{2}\). Explica el error, reduce \(H\) a una sola fracción y determina su dominio completo.
Halla \(k\) para que \(\frac2{x-1}+\frac{k}{x+1}\) sea equivalente a \(\frac{5x-1}{x^2-1}\). Obtén el valor comparando coeficientes y conserva el dominio.
Halla \(k\) para que \(\frac{2x^2+kx-15}{2x+5}\) se reduzca exactamente a \(x-3\). Comprueba tu valor multiplicando los dos factores.
Ecuaciones racionales y modelización
Resuelve \(\frac2{x-1}+\frac1{x+1}=1\). Escribe las restricciones, obtén la ecuación polinómica y comprueba que las soluciones son admisibles.
Resuelve y clasifica \(\frac{x^2-5x+6}{x-2}=x-3+\frac4{x+1}\). Estudia el dominio antes de decidir si la ecuación puede tener solución.
Estudia \(\frac{x+1}{x-2}-\frac3{x-2}=1\). Decide si tiene una solución, ninguna o infinitas y expresa correctamente el conjunto solución.
Resuelve \(\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=2\). Explica por qué la ecuación resultante es lineal aunque al eliminar denominadores aparezcan términos \(x^2\).
Resuelve \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{10}{x+2}\) y comprueba las dos soluciones en el dominio.
Resuelve \(\frac{x^2-x-2}{x-2}=x^2-1\). Factoriza antes de operar y revisa cada raíz en la ecuación original.
Un grupo iba a repartir por igual el alquiler de un local, de 600 €. Antes de pagar, 4 personas se dan de baja y no aportan nada; por ello, cada participante restante paga 5 € más de lo previsto. ¿Cuántas personas había al principio y cuántas pagan finalmente? Plantea las condiciones del contexto y comprueba las cuotas.
Una cuadrilla A completaría sola una obra en \(x\) días y una cuadrilla B necesitaría 4 días menos. A trabaja sola durante 2 días; entonces se incorpora B y, 3 días después, la obra queda terminada. Calcula cuánto tardaría cada cuadrilla por separado, establece las condiciones del contexto y comprueba las fracciones de trabajo.
Dos modelos de examen completos
El modelo A comprueba el puente entre 3.º y 4.º ESO. El modelo B corresponde a un 4.º ESO exigente: hay que escoger la factorización, coordinar varias operaciones y justificar si una solución es válida.
Modelo A · Consolidación y transición
55 minutos · 10 puntos · desarrollo y justificación obligatorios
- A01 · 1 punto.
Factoriza y determina el dominio de \(\frac{x^2-4x+3}{x^2+x-6}\). Decide si la fracción puede simplificarse.
- A02 · 1 punto.
Simplifica \(\frac{x^2-25}{5-x}\) y conserva el dominio original.
- A03 · 1 punto.
Calcula y reduce \(\frac2{x-3}+\frac1{x+2}\).
- A04 · 1 punto.
Factoriza y simplifica \(\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}\cdot\frac{x+2}{x-1}\), indicando todas las restricciones.
- A05 · 1 punto.
Simplifica \(\frac{x+4}{x-2}:\frac{x^2-16}{x^2-4}\) y determina el dominio completo.
- A06 · 1 punto.
Reduce \(\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{4}\).
- A07 · 1 punto.
Resuelve y comprueba \(\frac{x+4}{x-1}-\frac{x-2}{x-1}=3\).
- A08 · 1 punto.
Un alumno escribe \(\frac{x^2-9}{x-3}=x\) porque cancela los treses. Identifica el error y da la simplificación correcta con su dominio.
- A09 · 1 punto.
Una actividad tiene un coste fijo de 360 € y añade 8 € por participante. Si asisten \(x\) estudiantes, el coste individual es \(\frac{360+8x}{x}\). ¿Cuántos deben asistir para que cada uno pague 20 €? Interpreta el dominio.
- A10 · 1 punto.
Sean \(F(x)=\frac1{x-4}+\frac2{x+3}\), \(G(x)=\frac{3x-5}{x^2-x-12}\) y \(H(x)=\frac{(3x-5)(x-1)}{(x^2-x-12)(x-1)}\). Simplifica cuando proceda, determina el dominio natural de cada expresión y decide qué pares definen exactamente la misma función y cuáles solo coinciden en su dominio común.
Modelo B · Dominio de 4.º ESO
60 minutos · 10 puntos · desarrollo y justificación obligatorios
- B01 · 1 punto.
Factoriza \(x^2-4\), \((x-2)^2\) y \(x^2+x-2\). Escribe su mínimo común denominador y todos los valores prohibidos.
- B02 · 1 punto.
Simplifica \(\frac{4-x^2}{x^2-4x+4}\), indicando el dominio.
- B03 · 1 punto.
Opera \(\frac2{x-1}-\frac1{x+1}+\frac4{x^2-1}\) y simplifica.
- B04 · 1 punto.
Reduce \(\displaystyle\frac{\frac2{x-1}-\frac1{x+2}}{1+\frac4{x-1}}\) y determina el dominio de la expresión completa antes de cancelar.
- B05 · 1 punto.
Simplifica \(\frac{x^2-9}{x^2-4}:\frac{x^2+x-6}{(x-2)^2}\). Reúne las restricciones de los denominadores y los ceros del divisor antes de cancelar.
- B06 · 1 punto.
Resuelve \(\frac1{x-2}+\frac3{x+2}=1\) y comprueba las soluciones.
- B07 · 1 punto.
Resuelve \(\frac{x+3}{x-1}=\frac8{x^2-1}\). Establece primero el dominio y comprueba en la ecuación inicial cada candidata obtenida.
- B08 · 1 punto.
Determina \(k\) para que \(x=2\) sea solución de \(\frac{k}{x+1}+\frac2{x-1}=3\). Con el valor obtenido, resuelve la ecuación completa y comprueba sus soluciones.
- B09 · 1 punto.
Un tubo de entrada llenaría por sí solo un depósito en \(x\) horas. Un desagüe vaciaría el depósito lleno en \(x+5\) horas. Con ambos abiertos desde el inicio, el depósito se llena en 30 horas. Calcula los dos tiempos, indica las condiciones del contexto y comprueba el ritmo neto.
- B10 · 1 punto.
Ana afirma que \(E=\frac{x^2-4}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}\) exige \(x\ne-2,2\). Bruno opera y, como obtiene una fracción cuyo denominador solo contiene \(x+2\), elimina la restricción \(x\ne2\). Decide quién tiene razón y simplifica \(E\).
Solucionario razonado para el profesor y la corrección
Los códigos coinciden con el cuaderno. Se muestra una vía completa y legible, con las restricciones antes de operar y la validación final cuando la ecuación puede producir una raíz prohibida.
Diagnóstico inicial
Restricciones antes de tocar la fracción
Factorizamos solo el denominador: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Por tanto, los valores prohibidos son \(x=3\) y \(x=-2\).
Restricciones: \(x\neq3,-2\).
Dos factorizaciones necesarias
En el primer trinomio buscamos dos números que sumen \(-5\) y multipliquen \(6\):
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]
El segundo polinomio es una diferencia de cuadrados:
\[4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\]
Simplificar sin recuperar valores
La forma factorizada es
\[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+3}{x-2}\]
El factor \(x-3\) se cancela, pero \(x=3\) no vuelve al dominio.
Resultado: \(\frac{x+3}{x-2}\), con \(x\neq2,3\).
Una cancelación que no existe
La letra \(x\) no es factor de todo el numerador \(x+5\), de modo que no puede cancelarse. Separando los dos sumandos:
\[\frac{x+5}{x}=\frac{x}{x}+\frac{5}{x}=1+\frac{5}{x},\qquad x\neq0\]
Denominador común factorizado
Las restricciones son \(x\neq2,-2\). El denominador común es \((x-2)(x+2)\):
\[\frac{x+2+x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x}{x^2-4}\]
No hay factores comunes que puedan cancelarse.
Ecuación racional con control final
Primero, \(x\neq2\). Multiplicamos por \(x-2\):
\[x+1=2(x-2)\Rightarrow x+1=2x-4\Rightarrow x=5\]
El valor \(5\) está permitido y en la igualdad original produce \(6/3=2\).
Dominio, factorización y equivalencia
Restricciones antes de tocar la expresión
Factorizamos \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). El denominador es \((x-2)(x-3)(x+1)\), de modo que \(x\ne2,3,-1\). Estos valores quedan fuera desde el principio porque anulan el denominador; una cancelación posterior nunca podría recuperarlos.
Denominador común con un factor repetido
Se obtiene \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\) y \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). El mínimo común denominador toma cada factor con su mayor exponente: \((x-3)^2(x+3)(x-2)\). Las restricciones son \(x\ne3,-3,2\).
Tres factorizaciones que exigen métodos distintos
a) Sacamos factor común y aplicamos diferencia de cuadrados: \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). b) Buscamos dos factores: \(2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\). c) Es un trinomio cuadrado perfecto: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\).
Misma fórmula simplificada, distinto dominio
Como \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), resulta \(F(x)=x+3\), pero solo cuando \(x\ne3\). En cambio, \(G\) está definida para todo número real. Coinciden en todos los valores del dominio de \(F\), aunque no son la misma función si se conserva el dominio natural de cada una.
Por qué no se cancelan sumandos
La cancelación solo se aplica a factores que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador, no a términos de una suma. Por ejemplo, para \(x=1\), la fracción vale \(\frac{6}{3}=2\), no \(\frac52\). Aquí no existe ningún factor común que pueda eliminarse y, además, debe mantenerse \(x\ne-2\).
Parámetro y divisibilidad de un polinomio
Para que \(x-3\) sea factor del numerador, este debe anularse en \(x=3\): \(9+3k-18=0\), luego \(k=3\). Entonces \(x^2+3x-18=(x-3)(x+6)\) y la expresión se reduce a \(x+6\), siempre con \(x\ne3\).
Reconstruir el numerador perdido
Para desaparecer, el factor \(x+5\) debe estar también en el numerador. El numerador pedido es \((x+4)(x+5)=x^2+9x+20\). La fracción original es \(\frac{(x+4)(x+5)}{(x-2)(x+5)}\), equivalente a \(\frac{x+4}{x-2}\) solo para \(x\ne-5,2\).
División y conjunto completo de restricciones
Los denominadores excluyen \(x=-1,1\). Además, la fracción divisora vale cero en \(x=-2,2\), y no se puede dividir entre cero. Factorizando e invirtiendo la segunda fracción:
\[\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{(x+1)(x-2)}.\]
Resultado válido para \(x\ne-2,-1,1,2\).
Simplificación con dominio
Cambio de signo oculto
El numerador es \((x-4)(x+4)\) y \(4-x=-(x-4)\). Por tanto:
\[\frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)}=-(x+4),\qquad x\ne4.\]
El signo negativo procede de escribir \(4-x\) como el opuesto de \(x-4\).
Producto que se reduce a uno
Factorizamos \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\) y \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Entonces:
\[\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x+3}=1.\]
El resultado es \(1\), pero la expresión original exige \(x\ne2,-3\).
Reconocer una fracción ya irreducible
Se tiene \(2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)\) y \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\). No hay factores comunes, por lo que la fracción ya es irreducible. Las restricciones son \(x\ne\frac32,-\frac32\).
Factorizar antes de decidir
En el numerador aplicamos diferencia de cuadrados: \((x-1)^2-9=(x-4)(x+2)\). El denominador es \((x+3)(x-2)\). No existe ningún factor común, así que queda:
\[\frac{(x-4)(x+2)}{(x+3)(x-2)},\qquad x\ne-3,2.\]
Trinomio frente a diferencia de cuadrados
Factorizamos \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\) y \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Cancelamos el factor \(x-4\):
\[\frac{x+2}{x+4},\qquad x\ne4,-4.\]
Aunque \(x-4\) desaparezca, \(x=4\) continúa fuera del dominio original.
Producto con factores lineales no mónicos
Factorizamos \(6x^2-x-2=(3x-2)(2x+1)\) y \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\). Los denominadores originales exigen \(x\ne-\frac32,\frac23,\frac32\). Entonces:
\[\frac{(3x-2)(2x+1)}{(2x-3)(2x+3)}\cdot\frac{2x+3}{3x-2}=\frac{2x+1}{2x-3}.\]
Las restricciones \(x=-\frac32\) y \(x=\frac23\) siguen vigentes aunque sus factores desaparezcan.
Factor común y diferencia de cuadrados
Factorizamos \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\) y \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Se cancela un factor \(x+2\):
\[\frac{x(x-2)}{x+2},\qquad x\ne-2.\]
El orden de los factores importa en el signo
Tenemos \(9-x^2=-(x-3)(x+3)\) y \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Por tanto:
\[ -\frac{x+3}{x-3}=\frac{x+3}{3-x},\qquad x\ne3.\]
Las dos formas son equivalentes porque \(3-x=-(x-3)\).
Sumas y restas algebraicas
Suma con denominadores lineales distintos
Las restricciones son \(x\ne2,-1\) y el denominador común es \((x-2)(x+1)\). Entonces:
\[\frac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}.\]
Denominadores opuestos
Como \(3-x=-(x-3)\), la segunda fracción es \(-\frac6{x-3}\). Por tanto:
\[\frac{x}{x-3}-\frac6{x-3}=\frac{x-6}{x-3},\qquad x\ne3.\]
Los denominadores solo difieren en el signo, así que ya son esencialmente el mismo factor.
Un denominador ya contiene al otro
Como \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), las restricciones son \(x\ne-2,2\). Llevamos la primera fracción al denominador factorizado:
\[\frac{2(x-2)+3x}{(x-2)(x+2)}=\frac{5x-4}{x^2-4}.\]
Diferencia simétrica
Con \(x\ne-1,1\), usamos el denominador \(x^2-1\):
\[\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x^2-1}=\frac{4x}{x^2-1}.\]
En el numerador puede reconocerse directamente una diferencia de cuadrados: \((x+1)^2-(x-1)^2=4x\).
Tres fracciones y un denominador factorizado
Las restricciones son \(x\ne-\frac13,5\). El mínimo común denominador es \((3x+1)(x-5)\), de modo que:
\[\frac{x-5+2(3x+1)-3}{(3x+1)(x-5)}=\frac{7x-6}{(3x+1)(x-5)}.\]
Como \(7x-6\) no comparte ningún factor con el denominador, la fracción es irreducible.
Suma con un factor repetido
Con \(x\ne-2,2\), el denominador común es \((x-2)^2(x+2)\). El numerador queda:
\[2(x-2)(x+2)-3(x+2)+(x-2)^2=3x^2-7x-10.\]
Como \(3x^2-7x-10=(3x-10)(x+1)\), el resultado es \(\frac{(3x-10)(x+1)}{(x-2)^2(x+2)}\).
Tres términos que se reducen a una constante
Para \(x\ne-1,1\), llevamos todo a \(x^2-1\):
\[\frac{x+(x+1)-2(x-1)}{x^2-1}=\frac{3}{x^2-1}.\]
La reducción del numerador no altera el dominio de partida.
Una simplificación que oculta un valor prohibido
Las restricciones originales son \(x\ne\frac23,-5\). Con denominador común \((3x-2)(x+5)\):
\[\frac{4x+3-(x+5)+(3x-2)}{(3x-2)(x+5)}=\frac{2(3x-2)}{(3x-2)(x+5)}=\frac{2}{x+5}.\]
El valor \(x=\frac23\) ya no aparece en el denominador final, pero sigue prohibido porque anulaba denominadores de la expresión inicial.
Productos, cocientes y operaciones combinadas
Producto con cuatro restricciones distintas
Factorizamos:
\[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+2)(x+1)}.\]
Las restricciones proceden de los denominadores iniciales: \(x\ne3,-2,1,-1\).
Producto con factores no evidentes
Como \(2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\) y \(x^2-9=(x-3)(x+3)\):
\[\frac{(2x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x-3}{2x+5}=\frac{2x+1}{2x+5}.\]
El resultado es válido para \(x\ne-3,3,-\frac52\).
Dividir exige estudiar también el numerador del divisor
Los denominadores excluyen \(x=1,3\). La fracción divisora se anula en \(x=-1\), que también debe excluirse. Entonces:
\[\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)}\cdot\frac{x-3}{x+1}=1.\]
Resultado \(1\), válido para \(x\ne-1,1,3\).
Cociente con una exclusión doble
El denominador de la primera fracción excluye \(x=-3,2\); el denominador del divisor excluye \(x=-3\). Además, el divisor se anula en \(x=2\), valor que ya estaba excluido. Al operar:
\[\frac{(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)}\cdot\frac{x+3}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}.\]
Resultado válido para \(x\ne-3,2\).
Producto con tres pares de factores cancelables
Factorizamos todos los polinomios:
\[\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\cdot\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x+2}{x}.\]
Los denominadores originales se anulan en \(x=2,-1,0,-2\). Por tanto, el resultado es \(\frac{x+2}{x}\) con \(x\ne-2,-1,0,2\).
Suma y producto que se compensan
Las fracciones de la suma exigen \(x\ne-1,1\) y el último denominador exige \(x\ne0\). La suma es \(\frac{2x}{x^2-1}\), por tanto:
\[\frac{2x}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2x}=1.\]
Resultado \(1\), con \(x\ne-1,0,1\).
La misma expresión aparece solo en el numerador
Las restricciones iniciales son \(x\ne2,-1\). La expresión entre paréntesis vale:
\[\frac{x(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2-x+4}{(x-2)(x+1)}.\]
El polinomio \(x^2-x+4\) tiene discriminante \(1-16=-15\), así que el divisor no se anula en \(\mathbb R\). Al multiplicar por su recíproca obtenemos \(\frac1{x-2}\), con \(x\ne-1,2\).
Fracción compleja con cancelación global
Los denominadores excluyen \(x=-1,1\); la fracción divisora no se anula porque su numerador es \(3\). En el numerador de la fracción compleja:
\[\frac{2(x+1)-(x-1)}{x^2-1}=\frac{x+3}{x^2-1}.\]
Por tanto, \(\frac{x+3}{x^2-1}:\frac3{x^2-1}=\frac{x+3}{3}\), con \(x\ne-1,1\).
Fracciones complejas, errores y parámetros
Fracción compleja con un cero prohibido
Los denominadores excluyen \(x=-2,2\). Además, el divisor \(\frac{x}{x^2-4}\) vale cero en \(x=0\), por lo que también se excluye. Como la suma superior es \(\frac{2x}{x^2-4}\), resulta:
\[\frac{2x}{x^2-4}:\frac{x}{x^2-4}=2.\]
Resultado \(2\), con \(x\ne-2,0,2\).
Cociente entre suma y diferencia
Primero, \(x\ne1\). La parte superior es \(\frac2{x-1}\) y la inferior es \(\frac{2x}{x-1}\), que se anula en \(x=0\). Así:
\[\frac{2}{x-1}:\frac{2x}{x-1}=\frac1x,\qquad x\ne0,1.\]
Cociente de expresiones ya simplificables
La primera fracción exige \(x\ne3\) y se reduce a \(x+3\). La segunda exige \(x\ne-3\), se reduce a \(x-2\) y, como actúa de divisor, también obliga a \(x\ne2\). Por tanto:
\[\frac{x+3}{x-2},\qquad x\ne-3,2,3.\]
Cancelar términos conduce a una identidad falsa
El primer paso falso sería dividir por separado dos sumas: \(\frac{x^2+4}{x+2}\ne\frac{x^2}{x}+\frac42\). No existe un factor común completo que pueda cancelarse. Dividimos: \(x^2+4=(x+2)(x-2)+8\). Así:
\[\frac{x^2+4}{x+2}=x-2+\frac8{x+2},\qquad x\ne-2.\]
Un contraejemplo basta para desmontar la igualdad propuesta: en \(x=1\), la fracción original vale \(\frac53\), mientras que \(x+2=3\).
No se suman numeradores y denominadores por separado
No se suman numeradores y denominadores por separado. Las restricciones son \(x\ne\frac12,-3\) y el denominador común es \((2x-1)(x+3)\):
\[\frac{x+3+(2x-1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{3x+2}{(2x-1)(x+3)}.\]
Por ejemplo, en \(x=0\) la suma original vale \(-\frac23\), mientras que la expresión propuesta vale \(1\).
El recíproco de una diferencia no se reparte
El recíproco de una diferencia no es la diferencia de los recíprocos. Primero:
\[\frac3{x-4}-\frac2{x+1}=\frac{3(x+1)-2(x-4)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+11}{(x-4)(x+1)}.\]
Por ello:
\[H(x)=\frac{(x-4)(x+1)}{x+11}.\]
Los denominadores interiores excluyen \(x=4,-1\), y la expresión interior se anula en \(x=-11\), donde no tiene recíproco. Dominio: \(\mathbb R\setminus\{-11,-1,4\}\).
Parámetro en una suma de fracciones
Con denominador \(x^2-1\), el numerador del primer miembro es \(2(x+1)+k(x-1)=(2+k)x+(2-k)\). Al compararlo con \(5x-1\), se obtiene \(2+k=5\) y \(2-k=-1\). Las dos ecuaciones dan \(k=3\). La equivalencia vale para \(x\ne-1,1\).
Ajustar un coeficiente a una simplificación dada
Si el cociente es \(x-3\), el numerador debe ser \((2x+5)(x-3)\). Al multiplicar:
\[(2x+5)(x-3)=2x^2-x-15.\]
Por comparación, \(k=-1\). La expresión se reduce a \(x-3\), con \(x\ne-\frac52\).
Ecuaciones racionales y modelización
Ecuación racional con dos soluciones irracionales
Las restricciones son \(x\ne-1,1\). Multiplicamos por \(x^2-1\): \(2(x+1)+(x-1)=x^2-1\). Queda \(x^2-3x-2=0\), luego:
\[x=\frac{3\pm\sqrt{17}}2.\]
Ninguna de las dos soluciones es \(-1\) ni \(1\), así que ambas son válidas.
Una ecuación incompatible en todo su dominio
Las restricciones son \(x\ne2,-1\). Como \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), el primer miembro se reduce a \(x-3\) en el dominio. La igualdad exigiría:
\[x-3=x-3+\frac4{x+1}\quad\Longrightarrow\quad\frac4{x+1}=0.\]
Una fracción con numerador \(4\) nunca vale cero. La ecuación es incompatible y su conjunto solución es \(S=\varnothing\).
Identidad con dominio restringido
La restricción es \(x\ne2\). El primer miembro se reduce a \(\frac{x-2}{x-2}=1\), de modo que la igualdad se cumple para todo valor admitido. Hay infinitas soluciones: \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Una cuadrática que desaparece al operar
Con \(x\ne-1,1\), multiplicamos por \(x^2-1\):
\[(x+2)(x+1)+(x-4)(x-1)=2(x^2-1).\]
Al desarrollar, \(2x^2-2x+6=2x^2-2\); los términos cuadráticos se cancelan y queda \(-2x=-8\), por lo que \(x=4\), valor permitido.
Ecuación racional cuadrática con dos raíces válidas
Las restricciones son \(x\ne1,-2\). Multiplicando por \((x-1)(x+2)\):
\[(x+1)(x+2)=10(x-1).\]
De aquí resulta \(x^2-7x+12=0=(x-3)(x-4)\). Las soluciones son \(x=3\) y \(x=4\); ambas respetan las restricciones. En \(x=3\), los dos miembros valen \(2\); en \(x=4\), valen \(\frac53\).
Dos raíces algebraicas, una sola solución
La restricción es \(x\ne2\). Como \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), la ecuación queda \(x+1=x^2-1\). Entonces \(x^2-x-2=0\), con raíces \(x=2\) y \(x=-1\). Se descarta \(2\) por estar prohibida. La única solución es \(x=-1\).
Reparto de coste tras cuatro bajas
Sea \(x\) el número inicial. Debe cumplirse \(x\in\mathbb N\) y \(x>4\). La cuota prevista era \(\frac{600}{x}\) y la final \(\frac{600}{x-4}\), así que:
\[\frac{600}{x-4}-\frac{600}{x}=5.\]
Multiplicando por \(x(x-4)\): \(2400=5x(x-4)\), de donde \(x^2-4x-480=0=(x-24)(x+20)\). Se descarta \(-20\). Había 24 personas y pagan 20; las cuotas son 25 € y 30 €, diferencia 5 €.
Trabajo escalonado de dos cuadrillas
Los tiempos deben ser positivos y \(x-4>0\), de modo que \(x>4\). A trabaja 5 días en total y B trabaja 3:
\[\frac5x+\frac3{x-4}=1.\]
Multiplicando por \(x(x-4)\): \(5(x-4)+3x=x(x-4)\), es decir, \(x^2-12x+20=0=(x-10)(x-2)\). La candidata \(2\) incumple \(x>4\). Así, A tardaría 10 días y B 6; A realiza \(5/10=1/2\) y B \(3/6=1/2\).
Examen A · Consolidación
Dominio y factorización inicial
\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) y \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). No hay factores comunes. La fracción queda \(\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-2)}\), con \(x\ne-3,2\).
Diferencia de cuadrados y signo
\(x^2-25=(x-5)(x+5)\) y \(5-x=-(x-5)\). Por tanto, el resultado es \(-(x+5)\), con \(x\ne5\).
Suma de fracciones algebraicas
Con \(x\ne3,-2\): \(\frac{2(x+2)+(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{3x+1}{(x-3)(x+2)}\).
Producto completamente simplificable
\[\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x-1}=1.\]
Los denominadores originales excluyen \(x=-2,-1,1\).
División con ceros del divisor
Los denominadores excluyen \(x=2,-2\) y el divisor se anula en \(x=4,-4\). Al invertir y factorizar:
\[\frac{x+4}{x-2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)}=\frac{x+2}{x-4}.\]
Dominio \(x\ne-4,-2,2,4\).
Operación combinada con resultado unidad
Para \(x\ne-2,2\), la diferencia vale \(\frac4{x^2-4}\). Al multiplicar por \(\frac{x^2-4}{4}\) se obtiene \(1\), manteniendo las dos restricciones.
Ecuación racional lineal
La restricción es \(x\ne1\). El primer miembro queda \(\frac6{x-1}\), así que \(6=3(x-1)\), \(x-1=2\) y \(x=3\). Comprobación en la ecuación original: \(\frac72-\frac12=\frac62=3\). La solución es válida.
Revisar una cancelación ilegal
No se cancelan cifras que forman parte de sumas o diferencias. Se factoriza \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), de modo que la fracción se reduce a \(x+3\), con \(x\ne3\).
Coste individual de una actividad
Debe cumplirse \(x\in\mathbb N\) y \(x>0\). Resolvemos \(\frac{360+8x}{x}=20\): \(360+8x=20x\), \(360=12x\), \(x=30\). Se comprueba \(360/30+8=12+8=20\) € por estudiante.
Equivalencia en cadena y dominios
Como \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\):
\[F(x)=\frac{x+3+2(x-4)}{(x-4)(x+3)}=\frac{3x-5}{x^2-x-12}=G(x).\]
Además, \(H(x)=G(x)\) tras cancelar \(x-1\), pero solo para \(x\ne1\). Por tanto, \(\operatorname{Dom}F=\operatorname{Dom}G=\mathbb R\setminus\{-3,4\}\) y \(\operatorname{Dom}H=\mathbb R\setminus\{-3,1,4\}\). Así, \(F\) y \(G\) son la misma función. En cambio, \(H\) coincide con ellas en su propio dominio, pero no es la misma función con dominio natural; por ejemplo, \(F(1)=G(1)=\frac16\) y \(H(1)\) no está definida.
Examen B · Dominio y transferencia
Mínimo común denominador avanzado
Los factores son \((x-2)(x+2)\), \((x-2)^2\) y \((x+2)(x-1)\). El mínimo común denominador es \((x-2)^2(x+2)(x-1)\). Las restricciones son \(x\ne-2,1,2\).
Factorización y cambio de signo
\(4-x^2=-(x-2)(x+2)\) y \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Por tanto, queda \(-\frac{x+2}{x-2}\), con \(x\ne2\).
Tres fracciones en una sola
Para \(x\ne-1,1\), usamos \(x^2-1\):
\[\frac{2(x+1)-(x-1)+4}{x^2-1}=\frac{x+7}{x^2-1}.\]
Fracción compleja y divisor nulo
Los denominadores internos excluyen \(x=1,-2\). Además, el denominador completo es \(1+\frac4{x-1}=\frac{x+3}{x-1}\), que se anula en \(x=-3\). En el numerador:
\[\frac2{x-1}-\frac1{x+2}=\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}.\]
Por tanto:
\[\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}:\frac{x+3}{x-1}=\frac{x+5}{(x+2)(x+3)},\]
con \(x\ne-3,-2,1\).
Cociente y restricciones del divisor
La primera fracción excluye \(x=-2,2\) y el denominador del divisor excluye \(x=2\). Además, \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\); el divisor se anula en \(x=-3\), mientras que \(x=2\) ya estaba prohibido. Entonces:
\[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x-2)^2}{(x+3)(x-2)}=\frac{x-3}{x+2}.\]
Resultado válido para \(x\ne-3,-2,2\).
Ecuación cuadrática con dos soluciones admisibles
Las restricciones son \(x\ne-2,2\). Multiplicando por \(x^2-4\): \((x+2)+3(x-2)=x^2-4\). Queda \(x^2-4x=0\), luego \(x=0\) o \(x=4\). Ambas soluciones están permitidas y verifican la ecuación.
Raíz prohibida al eliminar denominadores
Las restricciones son \(x\ne-1,1\). Para los valores admitidos, multiplicamos por \((x-1)(x+1)\):
\[(x+3)(x+1)=8.\]
Entonces \(x^2+4x-5=0=(x-1)(x+5)\): \(x=1\) o \(x=-5\). Se descarta \(1\). Para \(x=-5\), \(\frac{-2}{-6}=\frac13\) y \(\frac8{25-1}=\frac13\). Por tanto, \(S=\{-5\}\).
Parámetro y resolución completa
El dominio exige \(x\ne-1,1\). Al imponer \(x=2\), \(\frac{k}{3}+2=3\), por lo que \(k=3\). La ecuación queda \(\frac3{x+1}+\frac2{x-1}=3\). Multiplicando por \(x^2-1\):
\[3(x-1)+2(x+1)=3(x^2-1),\]
y \(3x^2-5x-2=0=(3x+1)(x-2)\). Las soluciones son \(x=-\frac13\) y \(x=2\), ambas admitidas. Para \(-\frac13\): \(\frac92-\frac32=3\); para \(2\): \(1+2=3\).
Llenado con un desagüe abierto
Los tiempos deben ser positivos; en particular, \(x>0\). El ritmo de salida se resta:
\[\frac1x-\frac1{x+5}=\frac1{30}.\]
Como el lado izquierdo es \(\frac5{x(x+5)}\), resulta \(x(x+5)=150\), es decir, \(x^2+5x-150=0=(x-10)(x+15)\). Se descarta \(-15\). El tubo llena solo en 10 h y el desagüe vacía solo en 15 h; \(\frac1{10}-\frac1{15}=\frac1{30}\).
Resultado simplificado frente a dominio original
Ana conserva correctamente el dominio original: \(x\ne-2,2\). Para esos valores admitidos, \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\). Entonces:
\[E=x+2+\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x+2)^2+x-2}{x+2}=\frac{x^2+5x+2}{x+2}.\]
Aunque el denominador final no muestre \(x-2\), el valor \(x=2\) continúa prohibido.
Cinco errores que conviene detectar a tiempo
1. Simplificar términos en vez de factores
Una letra dentro de una suma no puede tacharse. Antes de cancelar, numerador y denominador deben aparecer como productos.
2. Calcular las restricciones demasiado tarde
Si se estudia el dominio después de simplificar, puede desaparecer precisamente el factor que señalaba un valor prohibido.
3. Sumar también los denominadores
Las fracciones se transforman a un denominador común. Sumar numeradores y denominadores por separado no conserva su valor.
4. Invertir sin estudiar el divisor
En una división no basta con excluir los ceros de los denominadores. También se excluyen los valores que hacen cero el numerador de la fracción divisora.
5. Aceptar todas las raíces obtenidas
Eliminar denominadores puede producir una candidata prohibida. Cada raíz debe compararse con las restricciones y comprobarse en la ecuación original cuando exista alguna duda.
Cuando las fracciones ya están dominadas
El siguiente paso no es añadir otra página de cuentas iguales, sino usar el dominio y la expresión racional para interpretar funciones.
Volver al índicePreguntas frecuentes
¿Qué valores deben excluirse en una fracción algebraica?
Los que anulan cualquier denominador de la expresión original. En una división también se excluyen los valores que hacen cero la fracción divisora.
¿Puede volver al dominio un valor después de cancelar un factor?
No. La simplificación produce una expresión equivalente solo para los valores donde la original estaba definida.
¿Por qué no se pueden tachar letras dentro de una suma?
Porque cancelar significa dividir numerador y denominador por un factor común completo. Un término de una suma no es un factor de toda la expresión.
¿Qué diferencia hay entre 3.º y 4.º ESO en este libro?
3.º ESO trabaja el puente de restricciones, factorización y simplificación. En 4.º se desarrollan las operaciones completas, las fracciones complejas y las ecuaciones racionales.
¿Cómo se corrige una ecuación racional?
Primero se comprueba el planteamiento y el mínimo común múltiplo. Después se revisa la ecuación resultante y, por último, se compara cada candidata con las restricciones originales.
Cuando el atasco no está en una sola cuenta
A veces el error visible está en una fracción, pero la causa está en la factorización, los signos o el orden de las operaciones. En clase se puede localizar ese primer paso y reconstruir el método sin acumular ejercicios al azar.