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Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Las fracciones algebraicas son uno de los temas donde más alumnos empiezan a perder seguridad antes de Bachillerato. El problema casi nunca es una única cuenta. Lo que suele fallar es la base de álgebra, la factorización y la simplificación.
En este recurso vamos a trabajar desde cero simplificación, operaciones, productos, divisiones, ecuaciones racionales sencillas y errores típicos reales de examen.
Todo está explicado paso a paso, con muchos ejercicios resueltos y con ejemplos similares a los que suelen aparecer en clase, refuerzo y controles.
Una fracción algebraica es una expresión donde aparecen polinomios en el numerador o en el denominador.
Ejemplos:
[
La idea clave es que el denominador nunca puede valer cero.
Antes de empezar operaciones largas conviene revisar:
Muchos errores aparecen por no dominar esos bloques previos.
El dominio son los valores que puede tomar la variable.
En fracciones algebraicas:
[
Halla el dominio de:
[
El denominador no puede ser cero.
[
Dominio:
[
Halla el dominio de:
[
Dominio:
[
Halla el dominio de:
[
Factorizamos:
[
El denominador no puede valer cero.
[
Dominio:
[
Muchos alumnos simplifican antes de estudiar el dominio y pierden valores prohibidos.
El dominio se estudia siempre con la expresión original.
Para simplificar fracciones algebraicas hay que:
Simplifica:
[
Simplifica:
[
Simplifica:
[
Factorizamos:
[
Simplificamos:
[
Con:
[
Simplifica:
[
Sacamos factor común:
[
Con:
[
Simplifica:
[
Factorizamos:
[
Simplificamos:
[
Condiciones:
[
Nunca se simplifican términos separados.
Por ejemplo:
[
NO puede simplificarse tachando las (x).
En Marlu Educativa trabajamos este tipo de ejercicios paso a paso utilizando pizarra digital compartida. El alumno puede escribir al mismo tiempo que el profesor y corregir errores justo cuando aparecen.
Muchos alumnos utilizan tableta o iPad con lápiz para trabajar funciones, ecuaciones y álgebra de forma mucho más cómoda.
Para sumar o restar:
Calcula:
[
Tienen el mismo denominador.
[
Calcula:
[
Calcula:
[
Mínimo común denominador:
[
Calcula:
[
Calcula:
[
Denominador común:
[
Calcula:
[
Denominador común:
[
Condiciones:
[
Calcula y simplifica:
[
Factorizamos:
[
Denominador común:
[
No se puede simplificar más.
Condiciones:
[
Calcula:
[
Factorizamos:
[
Denominador común:
[
Simplificamos:
[
Condiciones originales:
[
Este error aparece muchísimo:
[
Eso está mal. Las fracciones algebraicas se suman con denominador común, igual que las fracciones numéricas.
La multiplicación suele ser más sencilla que la suma, pero exige factorizar antes de multiplicar para poder simplificar.
Regla:
[
En la división, se multiplica por la inversa:
[
Calcula:
[
Condición:
[
Calcula:
[
Factorizamos:
[
Simplificamos:
[
Condiciones:
[
Calcula:
[
Simplificamos (x+2) y una (x):
[
Condiciones:
[
Calcula:
[
Multiplicamos por la inversa:
[
Factorizamos:
[
Simplificamos:
[
Condiciones:
[
Calcula:
[
Factorizamos:
[
Escribimos la división como producto por la inversa:
[
Simplificamos todos los factores comunes.
[
Condiciones:
[
En multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas, casi siempre conviene no desarrollar. Es mejor factorizar y simplificar.
Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas.
El método general es:
Resuelve:
[
Resuelve:
[
Resuelve:
[
Condición:
[
Resuelve:
[
Condición:
[
Multiplicamos por (x):
[
Resuelve:
[
Condición:
[
Multiplicamos todo por (2x):
[
Resuelve:
[
Condición:
[
Resuelve:
[
Condición:
[
La solución es válida porque no anula el denominador.
Resuelve:
[
Condiciones:
[
Denominador común:
[
Multiplicamos toda la ecuación por ((x-3)(x+3)):
[
Las dos soluciones son válidas porque no son (3) ni (-3).
Resuelve:
[
Condición:
[
Restamos (x) en ambos lados:
[
Esto es imposible.
La ecuación no tiene solución.
No basta con resolver. Hay que comprobar que la solución no anula ningún denominador.
Si una solución hace que aparezca división entre cero, se descarta.
No se puede tachar una (x) si no es factor común completo.
El denominador nunca puede ser cero.
Los productos notables deben reconocerse con seguridad.
Las fracciones se suman con denominador común.
En una división de fracciones hay que multiplicar por la inversa.
En ecuaciones racionales, una solución puede ser prohibida.
Incorrecto:
[
No se puede tachar la (x), porque (x+5) es una suma.
Correcto:
[
Cuando un alumno empieza a trabajar bien fracciones algebraicas, normalmente mejora también en ecuaciones, funciones racionales, dominio y Bachillerato. Es un tema pequeño en apariencia, pero muy importante como puente.
Intenta resolver estos ejercicios en limpio antes de mirar la solución. Están ordenados de menor a mayor dificultad.
Halla el dominio:
[
Simplifica:
[
Con:
[
Simplifica:
[
Con:
[
Calcula:
[
Con:
[
Calcula:
[
Denominador común:
[
Condiciones:
[
Calcula:
[
Condiciones:
[
Calcula:
[
Condiciones:
[
Resuelve:
[
Resuelve:
[
Resuelve:
[
Es normal. Este tema mezcla muchos bloques a la vez: álgebra, factorización, productos notables, ecuaciones y dominio. Por eso conviene trabajarlo con orden.
En Marlu Educativa ayudamos a preparar Matemáticas de ESO y Bachillerato con ejercicios guiados, pizarra compartida y explicación paso a paso.
Las fracciones algebraicas conectan directamente con otros bloques importantes de Matemáticas. Para avanzar con seguridad, conviene reforzar estos recursos.
Base necesaria para entender letras, expresiones algebraicas, monomios y polinomios.
Imprescindible para simplificar fracciones algebraicas y trabajar productos notables.
Las ecuaciones racionales se entienden mucho mejor si antes se dominan las ecuaciones básicas.
Las fracciones algebraicas aparecen después en funciones racionales y dominio de funciones.
Recurso puente para estudiar dominio, racionales, raíces, cortes y representación gráfica.
Otro bloque clave para reforzar álgebra y preparar bien 4 ESO y Bachillerato.
Más ejercicios y explicaciones de Matemáticas, Física y Química preparados por Marlu Educativa.
Nuevos recursos, ejercicios resueltos y materiales para ESO, Bachillerato y PAU.
Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
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Índice del recurso
1. Qué son las fracciones algebraicas
frac{x+2}{x-5}
]
[
frac{3x^2-1}{2x+7}
]
[
frac{x^2-9}{x^2-4x+4}
]
2. Dominio básico de una fracción algebraica
text{denominador}neq0
]
Ejercicio 1
f(x)=frac{3}{x-4}
]
x-4neq0
]
[
xneq4
]
D=mathbb{R}-{4}
]
Ejercicio 2
f(x)=frac{x+1}{x^2-9}
]
[
x^2-9neq0
]
[
(x-3)(x+3)neq0
]
[
xneq3
]
[
xneq-3
]
D=mathbb{R}-{-3,3}
]
Ejercicio 3
f(x)=frac{2x-5}{x^2+x-6}
]
x^2+x-6=(x+3)(x-2)
]
xneq-3
]
[
xneq2
]
D=mathbb{R}-{-3,2}
]
Error típico
3. Simplificación de fracciones algebraicas
Ejercicio 4
frac{6x}{3}
]
[
frac{6x}{3}=2x
]
Ejercicio 5
frac{4x^2}{2x}
]
[
frac{4x^2}{2x}=2x
]
Ejercicio 6
frac{x^2-9}{x-3}
]
x^2-9=(x-3)(x+3)
]
[
frac{(x-3)(x+3)}{x-3}
]
x+3
]
xneq3
]
Ejercicio 7
frac{x^2+5x}{x}
]
x(x+5)
]
[
frac{x(x+5)}{x}
]
[
x+5
]
xneq0
]
Ejercicio 8
frac{x^2-4}{x^2-2x}
]
x^2-4=(x-2)(x+2)
]
[
x^2-2x=x(x-2)
]
[
frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}
]
frac{x+2}{x}
]
xneq0
]
[
xneq2
]
frac{x+2}{x}
]
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4. Suma y resta de fracciones algebraicas
Ejercicio 9
frac{x}{3}+frac{2x}{3}
]
frac{x+2x}{3}
]
[
frac{3x}{3}
]
[
x
]
Ejercicio 10
frac{x}{2}+frac{1}{2}
]
[
frac{x+1}{2}
]
Ejercicio 11
frac{x}{4}+frac{3}{2}
]
4
]
[
frac{x}{4}+frac{6}{4}
]
[
frac{x+6}{4}
]
Ejercicio 12
frac{x}{x+1}+frac{2}{x+1}
]
[
frac{x+2}{x+1}
]
Ejercicio 13
frac{1}{x}+frac{1}{x+2}
]
x(x+2)
]
[
frac{x+2+x}{x(x+2)}
]
[
frac{2x+2}{x(x+2)}
]
[
frac{2(x+1)}{x(x+2)}
]
Ejercicio 14
frac{3}{x-1}-frac{2}{x+1}
]
(x-1)(x+1)
]
[
frac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}
]
[
frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)}
]
[
frac{x+5}{(x-1)(x+1)}
]
xneq1
]
[
xneq-1
]
Ejercicio 15
frac{x}{x-2}+frac{4}{x^2-4}
]
x^2-4=(x-2)(x+2)
]
(x-2)(x+2)
]
[
frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+frac{4}{(x-2)(x+2)}
]
[
frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x+2)}
]
xneq2
]
[
xneq-2
]
Ejercicio 16
frac{2x}{x^2-1}-frac{1}{x+1}
]
x^2-1=(x-1)(x+1)
]
[
frac{2x}{(x-1)(x+1)}-frac{1}{x+1}
]
(x-1)(x+1)
]
[
frac{2x-(x-1)}{(x-1)(x+1)}
]
[
frac{2x-x+1}{(x-1)(x+1)}
]
[
frac{x+1}{(x-1)(x+1)}
]
frac{1}{x-1}
]
xneq1
]
[
xneq-1
]
Error frecuente en sumas
frac{1}{x}+frac{1}{x+2}=frac{2}{2x+2}
]
5. Multiplicación y división de fracciones algebraicas
frac{A}{B}cdotfrac{C}{D}=frac{Acdot C}{Bcdot D}
]
frac{A}{B}:frac{C}{D}=frac{A}{B}cdotfrac{D}{C}
]
Ejercicio 17
frac{3x}{5}cdotfrac{10}{x}
]
[
frac{3xcdot10}{5x}
]
[
frac{30x}{5x}
]
[
6
]
xneq0
]
Ejercicio 18
frac{x^2-9}{x+3}cdotfrac{2}{x-3}
]
x^2-9=(x-3)(x+3)
]
[
frac{(x-3)(x+3)}{x+3}cdotfrac{2}{x-3}
]
2
]
xneq-3
]
[
xneq3
]
Ejercicio 19
frac{x^2-4}{x^2}cdotfrac{x}{x+2}
]
[
x^2-4=(x-2)(x+2)
]
[
frac{(x-2)(x+2)}{x^2}cdotfrac{x}{x+2}
]
frac{x-2}{x}
]
xneq0
]
[
xneq-2
]
Ejercicio 20
frac{x+1}{x-2}:frac{x^2-1}{x-2}
]
frac{x+1}{x-2}cdotfrac{x-2}{x^2-1}
]
x^2-1=(x-1)(x+1)
]
[
frac{x+1}{x-2}cdotfrac{x-2}{(x-1)(x+1)}
]
frac{1}{x-1}
]
xneq2
]
[
xneq1
]
[
xneq-1
]
Ejercicio 21
frac{x^2-6x+9}{x^2-9}:frac{x-3}{x+3}
]
x^2-6x+9=(x-3)^2
]
[
x^2-9=(x-3)(x+3)
]
frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}cdotfrac{x+3}{x-3}
]
1
]
xneq3
]
[
xneq-3
]
6. Ecuaciones racionales sencillas
Ejercicio 22
frac{x}{3}=5
]
[
x=15
]
Ejercicio 23
frac{x+1}{2}=4
]
[
x+1=8
]
[
x=7
]
Ejercicio 24
frac{2}{x}=1
]
xneq0
]
[
2=x
]
[
x=2
]
Ejercicio 25
frac{x+3}{x}=2
]
xneq0
]
x+3=2x
]
[
3=x
]
[
x=3
]
Ejercicio 26
frac{1}{x}+frac{1}{2}=1
]
xneq0
]
2+x=2x
]
[
2=x
]
[
x=2
]
Ejercicio 27
frac{3}{x-1}=2
]
xneq1
]
[
3=2(x-1)
]
[
3=2x-2
]
[
5=2x
]
[
x=frac{5}{2}
]
Ejercicio 28
frac{x}{x+2}=3
]
xneq-2
]
[
x=3(x+2)
]
[
x=3x+6
]
[
-2x=6
]
[
x=-3
]
Ejercicio 29
frac{2}{x-3}+frac{1}{x+3}=1
]
xneq3
]
[
xneq-3
]
(x-3)(x+3)
]
2(x+3)+(x-3)=(x-3)(x+3)
]
[
2x+6+x-3=x^2-9
]
[
3x+3=x^2-9
]
[
x^2-3x-12=0
]
[
x=frac{3pmsqrt{9+48}}{2}
]
[
x=frac{3pmsqrt{57}}{2}
]
Ejercicio 30
frac{x+1}{x-2}=1
]
xneq2
]
[
x+1=x-2
]
1=-2
]
Error típico en ecuaciones racionales
7. Errores frecuentes en fracciones algebraicas
Simplificar términos
Olvidar el dominio
Factorizar mal
Sumar denominadores
Dividir sin invertir
No comprobar soluciones
Ejemplo de error muy común
frac{x+5}{x}=5
]
frac{x+5}{x}=1+frac{5}{x}
]
8. Simulacro tipo examen
Ejercicio 31
f(x)=frac{x+2}{x-7}
]
[
x-7neq0
]
[
xneq7
]
[
D=mathbb{R}-{7}
]
Ejercicio 32
frac{x^2-16}{x-4}
]
[
x^2-16=(x-4)(x+4)
]
[
frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4
]
xneq4
]
Ejercicio 33
frac{x^2+3x}{x^2}
]
[
x^2+3x=x(x+3)
]
[
frac{x(x+3)}{x^2}
]
[
frac{x+3}{x}
]
xneq0
]
Ejercicio 34
frac{1}{x}+frac{2}{x}
]
[
frac{3}{x}
]
xneq0
]
Ejercicio 35
frac{2}{x}+frac{3}{x+1}
]
x(x+1)
]
[
frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}
]
[
frac{2x+2+3x}{x(x+1)}
]
[
frac{5x+2}{x(x+1)}
]
xneq0
]
[
xneq-1
]
Ejercicio 36
frac{x^2-1}{x+1}cdotfrac{3}{x-1}
]
[
x^2-1=(x-1)(x+1)
]
[
frac{(x-1)(x+1)}{x+1}cdotfrac{3}{x-1}
]
[
3
]
xneq-1
]
[
xneq1
]
Ejercicio 37
frac{x^2-4x+4}{x^2-4}:frac{x-2}{x+2}
]
[
x^2-4x+4=(x-2)^2
]
[
x^2-4=(x-2)(x+2)
]
[
frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}cdotfrac{x+2}{x-2}
]
[
1
]
xneq2
]
[
xneq-2
]
Ejercicio 38
frac{x+2}{3}=5
]
[
x+2=15
]
[
x=13
]
Ejercicio 39
frac{5}{x}=2
]
[
xneq0
]
[
5=2x
]
[
x=frac{5}{2}
]
Ejercicio 40
frac{x}{x-1}=2
]
[
xneq1
]
[
x=2(x-1)
]
[
x=2x-2
]
[
x=2
]
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