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Representación de funciones 2 Bachillerato ejercicios resueltos con derivadas y asíntotas
Representación de funciones 2 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso
Recurso avanzado de Matemáticas de 2 Bachillerato para aprender a representar funciones con dominio, cortes con los ejes, simetrías, límites, asíntotas, derivadas, crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión y dibujo final.
Trabajamos funciones de nivel alto como \(\frac{e^x}{x}\), \(\frac{\ln x}{x}\), \(x^2e^x\), funciones racionales, logarítmicas, exponenciales y combinaciones habituales en exámenes de Bachillerato y preparación PAU.
Clases online de Matemáticas Clases online por la mañanaEste recurso está elaborado por José María de Marlu Educativa para alumnos que ya no necesitan solo calcular derivadas sueltas, sino entender cómo se construye el dibujo completo de una función.
En representación de funciones, el error habitual es hacer muchas cuentas sin interpretar nada. Una buena representación exige orden: primero dominio y límites, después asíntotas, luego derivadas, crecimiento, extremos, concavidad y finalmente una gráfica coherente.
En las clases online de Marlu Educativa este bloque se trabaja muy bien con pizarra digital compartida, porque permite ir construyendo la gráfica paso a paso mientras se corrige el razonamiento.
Índice
1. Método completo para representar funciones
Para representar una función de 2 Bachillerato conviene seguir siempre el mismo orden. No es una cuestión estética: el orden evita errores y permite que la gráfica final tenga sentido.
- Dominio
- Cortes con los ejes
- Simetrías si son evidentes
- Límites en puntos problemáticos y en infinito
- Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas
- Primera derivada
- Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
- Segunda derivada
- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
- Tabla de valores si hace falta
- Dibujo final coherente
Consejo de clase: antes de derivar, mira el dominio y las asíntotas. Muchas gráficas se entienden ya desde ahí. La derivada confirma y precisa el comportamiento, pero no debe ser el primer paso automático.
2. Derivadas que vas a usar
En este tipo de funciones aparecen derivadas de exponenciales, logaritmos, potencias, cocientes y productos.
Exponencial
\[ (e^x)'=e^x \]Logaritmo
\[ (\ln x)'=\frac{1}{x} \]Potencia
\[ (x^n)'=nx^{n-1} \]Producto
\[ (uv)'=u'v+uv' \]Cociente
\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]Cadena
\[ (g(x))'=g'(x) \]Cuando hay composición, se multiplica por la derivada de dentro.
Ejercicio rápido 1
Deriva:
\[ f(x)=x^2e^x \]Es un producto:
\[ u=x^2,\quad v=e^x \] \[ u'=2x,\quad v'=e^x \] \[ f'(x)=2xe^x+x^2e^x \] \[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f'(x)=e^x x(x+2) \]Ejercicio rápido 2
Deriva:
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x} \]3. Límites y asíntotas
Las asíntotas indican cómo se comporta la función cerca de valores prohibidos o cuando \(x\) tiende a infinito.
Asíntota vertical
Suele aparecer cuando el denominador se anula y la función se dispara.
\[ x=a \]Asíntota horizontal
Aparece si la función se acerca a un valor fijo cuando \(x\) tiende a infinito.
\[ y=b \]Asíntota oblicua
Aparece cuando la función se acerca a una recta inclinada.
\[ y=mx+n \]En funciones con \(e^x\), hay que recordar que \(e^x\) tiende a 0 cuando \(x\to-\infty\), pero crece sin límite cuando \(x\to+\infty\).
En funciones con \(\ln x\), el dominio empieza en \(x>0\), y \(\ln x\to-\infty\) cuando \(x\to0^+\).
4. Representar \(f(x)=\frac{e^x}{x}\)
Esta función es muy buena para practicar dominio, asíntota vertical, asíntota horizontal por la izquierda, derivada por cociente y extremo relativo.
Estudio completo
Función:
\[ f(x)=\frac{e^x}{x} \]Dominio
El denominador no puede ser cero.
\[ D=\mathbb{R}-\{0\} \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\) porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
No hay corte con el eje \(x\), porque \(e^x\) nunca vale cero.
Asíntotas
En \(x=0\):
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{x}=-\infty \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{x}=+\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) y el cociente tiende a 0.
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x}=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), la función crece sin límite.
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2} \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2} \]Como \(e^x>0\) y \(x^2>0\), el signo depende de \(x-1\).
\[ f'(x)<0\quad si\quad x<1 \] \[ f'(x)>0\quad si\quad x>1 \]Teniendo en cuenta que \(x=0\) no pertenece al dominio:
\[ decrece\ en\ (-\infty,0)\cup(0,1) \] \[ crece\ en\ (1,+\infty) \]Extremo relativo
\[ f'(x)=0 \] \[ x=1 \] \[ f(1)=e \]Hay un mínimo relativo en:
\[ (1,e) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=e^x\frac{x-1}{x^2} \]Derivando se obtiene:
\[ f''(x)=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3} \]Como \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\), el signo depende de \(x^3\).
\[ f''(x)<0\quad si\quad x<0 \] \[ f''(x)>0\quad si\quad x>0 \]Cóncava hacia abajo en \((-\infty,0)\) y hacia arriba en \((0,+\infty)\). No hay punto de inflexión porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
5. Representar \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)
Esta función es clásica porque combina logaritmo, dominio restringido, asíntota vertical, asíntota horizontal y un máximo relativo muy importante.
Estudio completo
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x} \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Además, el denominador \(x\) no puede ser cero, pero eso ya queda excluido.
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
Corte con el eje \(x\):
\[ \frac{\ln x}{x}=0 \] \[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Asíntotas
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}=-\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), el logaritmo crece mucho más despacio que \(x\).
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \]Asíntota horizontal:
\[ y=0 \]Derivada primera
\[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2} \] \[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} \]Como \(x^2>0\), el signo depende de \(1-\ln x\).
\[ 1-\ln x=0 \] \[ \ln x=1 \] \[ x=e \]Crecimiento:
\[ crece\ en\ (0,e) \] \[ decrece\ en\ (e,+\infty) \]Máximo relativo
\[ f(e)=\frac{\ln e}{e} \] \[ f(e)=\frac{1}{e} \]Máximo relativo:
\[ (e,\frac{1}{e}) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} \]Derivando:
\[ f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3} \]Punto de inflexión:
\[ 2\ln x-3=0 \] \[ \ln x=\frac{3}{2} \] \[ x=e^{3/2} \]El punto de inflexión es:
\[ \left(e^{3/2},\frac{3}{2e^{3/2}}\right) \]6. Representar \(f(x)=x^2e^x\)
Esta función no tiene asíntotas verticales, pero es muy interesante porque mezcla potencia y exponencial. Es perfecta para practicar producto, crecimiento, extremos y concavidad.
Estudio completo
\[ f(x)=x^2e^x \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Cortes con los ejes
\[ x^2e^x=0 \]Como \(e^x\neq0\), entonces:
\[ x^2=0 \] \[ x=0 \]Corte con ambos ejes:
\[ (0,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2e^x=+\infty \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) más rápido de lo que crece \(x^2\).
\[ \lim_{x\to-\infty}x^2e^x=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Derivada primera
\[ f'(x)=2xe^x+x^2e^x \] \[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f'(x)=e^x x(x+2) \]Como \(e^x>0\), el signo depende de:
\[ x(x+2) \]Puntos críticos:
\[ x=-2,\quad x=0 \]Signo:
\[ f'(x)>0\quad en\quad (-\infty,-2) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (-2,0) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (0,+\infty) \]Extremos
\[ f(-2)=(-2)^2e^{-2}=\frac{4}{e^2} \]Máximo relativo:
\[ (-2,\frac{4}{e^2}) \] \[ f(0)=0 \]Mínimo relativo:
\[ (0,0) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f''(x)=e^x(x^2+2x)+e^x(2x+2) \] \[ f''(x)=e^x(x^2+4x+2) \]Puntos de inflexión:
\[ x^2+4x+2=0 \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} \] \[ x=-2\pm\sqrt{2} \]7. Funciones con exponenciales, logaritmos y productos mixtos
En 2 Bachillerato aparecen con frecuencia funciones donde se mezclan exponenciales, logaritmos, potencias y cocientes. No son funciones para resolver de memoria. Hay que leerlas con método.
Las más habituales son de este estilo:
\[ f(x)=e^x\ln x \] \[ f(x)=x\ln x \] \[ f(x)=\frac{e^x}{x^2} \] \[ f(x)=\frac{\ln x}{x^2} \] \[ f(x)=x^2\ln x \]La clave está en no precipitarse. Primero dominio, después límites, luego derivadas y por último dibujo.
En estas funciones hay dos ideas que conviene recordar siempre.
El logaritmo manda en el dominio:
\[ \ln x\quad exige\quad x>0 \]La exponencial siempre es positiva:
\[ e^x>0 \]Esto simplifica muchísimo el estudio del signo de la derivada.
Ejercicio 4
Representa de forma razonada:
\[ f(x)=e^x\ln x \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Por tanto:
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
Corte con el eje \(x\):
\[ e^x\ln x=0 \]Como \(e^x\neq0\), debe cumplirse:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \]Corte:
\[ (1,0) \]Límites y comportamiento
Cuando \(x\to0^+\), \(\ln x\to-\infty\) y \(e^x\to1\).
\[ \lim_{x\to0^+}e^x\ln x=-\infty \]Cuando \(x\to+\infty\), tanto \(e^x\) como \(\ln x\) crecen.
\[ \lim_{x\to+\infty}e^x\ln x=+\infty \]Derivada primera
Aplicamos la regla del producto:
\[ f'(x)=(e^x)'\ln x+e^x(\ln x)' \] \[ f'(x)=e^x\ln x+e^x\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=e^x\left(\ln x+\frac{1}{x}\right) \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x\ln x+1)}{x} \]Como \(e^x>0\) y \(x>0\), el signo depende de:
\[ x\ln x+1 \]La ecuación \(x\ln x+1=0\) no se resuelve con técnicas elementales de 2 Bachillerato. Para representar la función, basta con razonar el signo.
En \(0
En \(x>1\), \(\ln x>0\), luego:
La función es creciente en todo su dominio:
La función empieza bajando hacia \(-\infty\) cuando \(x\to0^+\), corta el eje \(x\) en \(x=1\) y después crece hacia \(+\infty\).
Conclusión gráfica
Ejercicio 5
Estudia y representa:
\[ f(x)=x\ln x \]Dominio
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ x\ln x=0 \]Como \(x>0\), entonces:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites
Este límite es muy importante:
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \]La función se acerca al origen, aunque \(x=0\) no pertenezca al dominio.
\[ \lim_{x\to+\infty}x\ln x=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=\ln x+1 \]Punto crítico:
\[ \ln x+1=0 \] \[ \ln x=-1 \] \[ x=e^{-1} \] \[ x=\frac{1}{e} \]Crecimiento y decrecimiento
\[ f'(x)<0\quad en\quad (0,\frac{1}{e}) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (\frac{1}{e},+\infty) \]La función decrece primero y crece después.
Mínimo relativo
\[ f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\left(\frac{1}{e}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot(-1) \] \[ f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e} \]Mínimo:
\[ \left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right) \]Segunda derivada
\[ f''(x)=\frac{1}{x} \]Como \(x>0\):
\[ f''(x)>0 \]La función es convexa en todo su dominio y no tiene punto de inflexión.
Ejercicio 6
Estudia:
\[ f(x)=\frac{e^x}{x^2} \]Dominio
El denominador no puede ser cero.
\[ D=\mathbb{R}-\{0\} \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
No hay corte con el eje \(x\), porque \(e^x\) nunca vale cero.
Asíntotas
En \(x=0\):
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) y \(x^2\to+\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^2}=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to+\infty\):
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \]Derivada primera
Escribimos:
\[ f(x)=e^x x^{-2} \] \[ f'(x)=e^x x^{-2}+e^x(-2)x^{-3} \] \[ f'(x)=e^x\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right) \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3} \]Signo de la derivada
Como \(e^x>0\), el signo depende de:
\[ \frac{x-2}{x^3} \]Intervalos:
\[ (-\infty,0),\quad (0,2),\quad (2,+\infty) \]En \((-\infty,0)\), numerador negativo y denominador negativo, luego:
\[ f'(x)>0 \]En \((0,2)\), numerador negativo y denominador positivo:
\[ f'(x)<0 \]En \((2,+\infty)\):
\[ f'(x)>0 \]Extremo relativo
\[ x=2 \] \[ f(2)=\frac{e^2}{4} \]Hay un mínimo relativo en:
\[ \left(2,\frac{e^2}{4}\right) \]Conclusión gráfica
La función crece en \((-\infty,0)\), baja desde \(+\infty\) hasta el mínimo en \((0,2)\) y después vuelve a crecer.
Ejercicio 7
Estudia:
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x^2} \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Por tanto:
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites y asíntotas
Cuando \(x\to0^+\):
\[ \ln x\to-\infty \] \[ x^2\to0^+ \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x^2}=-\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), \(x^2\) crece más rápido que \(\ln x\).
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=0 \]Asíntota horizontal:
\[ y=0 \]Derivada primera
Escribimos:
\[ f(x)=\ln x\cdot x^{-2} \] \[ f'(x)=\frac{1}{x}x^{-2}+\ln x\cdot(-2)x^{-3} \] \[ f'(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3} \] \[ f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^3} \]Como \(x>0\), \(x^3>0\). El signo depende de:
\[ 1-2\ln x \]Punto crítico:
\[ 1-2\ln x=0 \] \[ \ln x=\frac{1}{2} \] \[ x=\sqrt e \]Crecimiento y decrecimiento
\[ f'(x)>0\quad en\quad (0,\sqrt e) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (\sqrt e,+\infty) \]Máximo relativo
\[ f(\sqrt e)=\frac{\ln(\sqrt e)}{(\sqrt e)^2} \] \[ f(\sqrt e)=\frac{\frac{1}{2}}{e} \] \[ f(\sqrt e)=\frac{1}{2e} \]Máximo:
\[ \left(\sqrt e,\frac{1}{2e}\right) \]Ejercicio 8
Estudia:
\[ f(x)=x^2\ln x \]Dominio
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ x^2\ln x=0 \]Como \(x^2>0\), debe ser:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0 \] \[ \lim_{x\to+\infty}x^2\ln x=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=2x\ln x+x^2\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=2x\ln x+x \] \[ f'(x)=x(2\ln x+1) \]Como \(x>0\), el signo depende de:
\[ 2\ln x+1 \]Punto crítico:
\[ 2\ln x+1=0 \] \[ \ln x=-\frac{1}{2} \] \[ x=e^{-1/2} \] \[ x=\frac{1}{\sqrt e} \]Crecimiento
\[ f'(x)<0\quad en\quad (0,\frac{1}{\sqrt e}) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (\frac{1}{\sqrt e},+\infty) \]Mínimo relativo
\[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^2\ln\left(\frac{1}{\sqrt e}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=\frac{1}{e}\left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=-\frac{1}{2e} \]Mínimo:
\[ \left(\frac{1}{\sqrt e},-\frac{1}{2e}\right) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=x(2\ln x+1) \] \[ f''(x)=2\ln x+1+2 \] \[ f''(x)=2\ln x+3 \]Punto de inflexión:
\[ 2\ln x+3=0 \] \[ \ln x=-\frac{3}{2} \] \[ x=e^{-3/2} \]Punto de inflexión:
\[ \left(e^{-3/2},e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right) \] \[ \left(e^{-3/2},-\frac{3}{2e^3}\right) \]Ejercicio 9
Estudia:
\[ f(x)=\frac{x}{e^x} \]Forma equivalente
\[ f(x)=xe^{-x} \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Corte con los ejes
\[ f(0)=0 \]Corte:
\[ (0,0) \]Límites
Cuando \(x\to+\infty\), la exponencial domina al numerador:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0 \]Asíntota horizontal por la derecha:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0^+\) y \(x\to-\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^x}=-\infty \]Derivada primera
\[ f(x)=xe^{-x} \] \[ f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x}) \] \[ f'(x)=e^{-x}(1-x) \]Como \(e^{-x}>0\), el signo depende de:
\[ 1-x \] \[ f'(x)>0\quad si\quad x<1 \] \[ f'(x)<0\quad si\quad x>1 \]Máximo relativo
\[ x=1 \] \[ f(1)=\frac{1}{e} \]Máximo:
\[ (1,\frac{1}{e}) \]Ejercicio 10
Estudia:
\[ f(x)=e^{-x}(x^2-1) \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Cortes con los ejes
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=e^0(0^2-1)=-1 \] \[ (0,-1) \]Cortes con el eje \(x\):
\[ e^{-x}(x^2-1)=0 \]Como \(e^{-x}\neq0\):
\[ x^2-1=0 \] \[ x=-1,\quad x=1 \] \[ (-1,0),\quad (1,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}(x^2-1)=0 \]Asíntota horizontal por la derecha:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\) y \(x^2-1\to+\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}e^{-x}(x^2-1)=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=(-e^{-x})(x^2-1)+e^{-x}(2x) \] \[ f'(x)=e^{-x}[-(x^2-1)+2x] \] \[ f'(x)=e^{-x}(-x^2+2x+1) \]Como \(e^{-x}>0\), estudiamos:
\[ -x^2+2x+1=0 \] \[ x^2-2x-1=0 \] \[ x=1\pm\sqrt2 \]Con esos valores se organizan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
\[ f'(x)<0\quad en\quad (-\infty,1-\sqrt2) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (1-\sqrt2,1+\sqrt2) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (1+\sqrt2,+\infty) \]Hay un mínimo relativo en \(x=1-\sqrt2\) y un máximo relativo en \(x=1+\sqrt2\).
Estas funciones no se estudian para hacer cuentas largas sin sentido. Se estudian para aprender a reconocer comportamientos: cuándo domina la exponencial, cuándo manda el logaritmo, dónde hay restricciones y cómo las derivadas construyen la gráfica.
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