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Logaritmos y exponenciales 1 Bachillerato: funciones, ecuaciones y 100 ejercicios resueltos
Marlu Educativa · Matemáticas I · 1.º de Bachillerato
Logaritmos y exponenciales 1 Bachillerato paso a paso
Una guía completa para entender las funciones, elegir el método adecuado y resolver ecuaciones sin saltarse el dominio ni la comprobación final.
Los logaritmos y las exponenciales empiezan a resultar manejables cuando se entiende qué pregunta responde cada uno. Una exponencial permite calcular una potencia; un logaritmo busca precisamente el exponente. A partir de esa relación se ordenan las propiedades, las gráficas y las ecuaciones.
En esta guía no se da por supuesto el paso que suele atascar al al estudiar. Primero se escriben las condiciones, después se explica por qué elegimos un método y, al final, se comprueba el resultado. Las cien propuestas sirven para practicar; los veintidós modelos desarrollados muestran cómo debería quedar una solución completa de examen.
Si este bloque forma parte de una preparación más amplia, puede trabajarse también dentro de las clases online de Matemáticas de Bachillerato, manteniendo el mismo orden: entender, practicar y corregir.
Qué vas a trabajar y qué base necesitas
El punto de partida son las potencias, los radicales y el álgebra elemental que ya conoces de 4.º ESO. Desde ahí avanzaremos hacia las funciones exponenciales y logarítmicas de 1.º de Bachillerato: dominio, propiedades, ecuaciones y problemas tipo examen.
Base anterior
Potencias, radicales, simplificación algebraica, ecuaciones sencillas y primeras propiedades de logaritmos.
Trabajo central
Funciones exponenciales y logarítmicas de 1 Bachillerato, dominio, ecuaciones y problemas de crecimiento.
Lo que viene después
Estudio más completo de funciones, límites, derivadas y aplicaciones en 2 Bachillerato y PAU/EBAU.
Si una operación algebraica te frena, conviene repasarla antes de seguir. Y cuando termines este cuaderno, el paso siguiente será integrar estas dos familias en el estudio general de funciones. Aquí nos quedamos, deliberadamente, en el tramo que necesitas para dominar exponenciales y logaritmos.
Ruta lógica: álgebra → potencias → exponenciales → logaritmos → funciones
Primero se domina el álgebra básica, porque sin factorizar, despejar y manejar fracciones se pierden muchas ecuaciones. Después se revisan potencias, porque una exponencial no deja de ser una potencia donde la incógnita aparece en el exponente. A partir de ahí entra el logaritmo como operación inversa.
| Etapa | Qué necesitas saber | Error habitual |
|---|---|---|
| Álgebra | Factorizar, operar fracciones, despejar y comprobar soluciones | Resolver y olvidar restricciones |
| Potencias | Usar productos, cocientes y potencias de potencias | Sumar exponentes cuando no procede |
| Exponenciales | Reconocer \(f(x)=a^x\) | Tratar \(2^x\) como si fuera \(2x\) |
| Logaritmos | Pasar de \(\log_a b=c\) a \(a^c=b\) | Olvidar que el argumento debe ser positivo |
| Funciones | Interpretar dominio, crecimiento, cortes y asíntotas | Resolver sin entender la gráfica |
Cómo elegir el método sin perderse en este tema
Antes de hacer cuentas conviene decidir qué tipo de ejercicio tenemos delante. En logaritmos y exponenciales se pierde mucho tiempo si se empiezan a transformar expresiones sin haber mirado si está ante una función, un dominio, una ecuación o un problema de crecimiento.
Si te piden dominio
No empieces a operar. Mira qué restricciones hay. En un logaritmo, el argumento debe ser positivo. En una fracción, el denominador no puede ser cero.
Si te piden resolver
Primero apunta condiciones. Después transforma la ecuación. Al final comprueba. Esa última línea evita perder puntos por una solución que no cumple las condiciones iniciales.
Si aparece una exponencial
Busca primero bases comunes. Si no aparecen, entonces sí tiene sentido usar logaritmos.
Si hay un problema de crecimiento
Traduce el porcentaje a tanto por uno. El 5% no es 5, es 0,05. Parece una tontería, pero es uno de los fallos más repetidos.
| Lo que ves | Qué debes pensar | Primer paso sensato |
|---|---|---|
| \(\log(x-3)\) | Hay restricción de dominio | Escribir \(x-3>0\) |
| \(2^{x+1}=32\) | Conviene buscar misma base | Escribir \(32=2^5\) |
| \(5^x=13\) | No hay potencia exacta sencilla | Tomar logaritmos |
| \(\log x+\log(x-2)\) | Hay que juntar logaritmos, pero con dominio | Escribir \(x>0\) y \(x-2>0\) |
| \(N(t)=N_0(1+r)^t\) | Modelo exponencial de crecimiento | Pasar el porcentaje a tanto por uno |
Cuando un ejercicio mezcla logaritmos y ecuaciones, no conviene “quitar logaritmos” a ojo. Primero se fija el dominio, luego se aplican las propiedades, después se resuelve la ecuación algebraica y al final se comprueba. Mantener ese orden evita la mayoría de los errores.
Función exponencial
Una función exponencial básica tiene la forma:
La variable está en el exponente. Ese detalle es el que distingue \(a^x\) de una potencia ordinaria como \(x^2\). Si \(a>1\), la función es creciente; si \(0<a<1\), es decreciente.
Su dominio es \(\mathbb{R}\), su recorrido es \((0,+\infty)\), pasa por \((0,1)\) y tiene asíntota horizontal \(y=0\). La gráfica se acerca al eje X, pero no lo corta.
La exponencial siempre es positiva. Por eso una ecuación como \(2^x=-3\) no tiene solución real, sin necesidad de empezar a operar.
Función logarítmica
La función logarítmica básica tiene la forma:
El argumento debe ser positivo. En \(f(x)=\log_a x\), el dominio es \((0,+\infty)\), el recorrido es \(\mathbb{R}\), la gráfica pasa por \((1,0)\) y tiene asíntota vertical en \(x=0\).
Si \(a>1\), la función es creciente; si \(0<a<1\), es decreciente. La base cambia el sentido de la gráfica, pero no su dominio, su recorrido ni el punto \((1,0)\).
Las funciones \(y=a^x\) e \(y=\log_a x\) son inversas. Por eso sus gráficas son simétricas respecto de la recta \(y=x\): el punto \((0,1)\) de la exponencial se corresponde con \((1,0)\) en la logarítmica.
Definición de logaritmo
Se lee así: el logaritmo en base \(a\) de \(b\) es \(c\) si al elevar \(a\) a \(c\) obtenemos \(b\).
Condiciones obligatorias: para que \(\log_a b\) exista en números reales debe cumplirse \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b>0\).
Propiedades de los logaritmos
Las propiedades permiten transformar productos, cocientes y potencias, pero no sustituyen al dominio. Antes de separar un logaritmo hay que asegurarse de que las expresiones que van a quedar como argumentos son positivas.
| Propiedad | Fórmula | Cómo interpretarla |
|---|---|---|
| Producto | \(\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\) | El producto se convierte en suma, con \(M>0\) y \(N>0\). |
| Cociente | \(\log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N\) | El cociente se convierte en resta, con \(M>0\) y \(N>0\). |
| Potencia | \(\log_a(M^k)=k\log_a M\) | El exponente pasa delante multiplicando cuando \(M>0\). |
| Base | \(\log_a a=1\) | Porque \(a^1=a\). |
| Unidad | \(\log_a 1=0\) | Porque \(a^0=1\). |
| Cambio de base | \(\log_a b=\frac{\log b}{\log a}\) | Permite usar la calculadora aunque la base no aparezca como tecla. |
No existe una propiedad que permita separar \(\log_a(M+N)\). Los logaritmos transforman productos, cocientes y potencias; una suma dentro del argumento debe mantenerse como está.
Dominio de funciones con logaritmos y exponenciales
En una expresión \(\log(g(x))\), la condición es siempre:
Si hay varios logaritmos, todos sus argumentos deben ser positivos a la vez. Si además hay fracciones, raíces o denominadores, se añaden sus condiciones.
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente. Los métodos principales son escribir la misma base, hacer un cambio de variable o tomar logaritmos.
| Tipo | Ejemplo | Método |
|---|---|---|
| Misma base | \(2^{x+1}=16\) | Escribir todo como potencia de 2. |
| Cambio de variable | \(3^{2x}-4\cdot3^x+3=0\) | Llamar \(t=3^x\). |
| Con logaritmos | \(5^x=12\) | Tomar logaritmos y despejar. |
Ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica hay dos pasos que no se pueden saltar: primero se escribe el dominio y después se resuelve. Al final se comprueba, porque al manipular logaritmos pueden aparecer soluciones que no valen.
Dominio: \(x>1\). Después:
Como el dominio exige \(x>1\), solo sirve \(x=3\).
Problemas de crecimiento y decrecimiento
Las funciones exponenciales aparecen en problemas de población, interés compuesto, bacterias, depreciación o sustancias que se reducen con el tiempo.
Si \(a>1\), hay crecimiento. Si \(0<a<1\), hay decrecimiento. Con porcentajes:
El porcentaje se escribe en tanto por uno. Por ejemplo, \(5\%\) se escribe \(0,05\).
Errores típicos de examen
Error 1
Escribir \(\log(x+y)=\log x+\log y\). No es una propiedad válida.
Error 2
Resolver sin dominio. El argumento del logaritmo debe ser positivo.
Error 3
Confundir \(2^x\) con \(2x\). No se comportan igual.
Error 4
Usar \(5\) en vez de \(0,05\) para representar el \(5\%\).
Ejercicios clave explicados paso a paso
Antes del bloque de 100 ejercicios, conviene detenerse en varios modelos que suelen decidir el examen. El resultado importa, pero también el razonamiento que permite llegar a él y comprobarlo.
Ejercicio clave 1. Dominio de \(f(x)=\log\left(\frac{x-2}{x+1}\right)\)
El logaritmo existe si su argumento es positivo. Por tanto, no basta con pedir que numerador y denominador existan; hay que estudiar el signo del cociente completo.
Los puntos que separan intervalos son \(x=-1\) y \(x=2\). Probamos signos o razonamos: el cociente es positivo cuando numerador y denominador tienen el mismo signo.
Resultado: \(D=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)\)
Ejercicio clave 2. Resuelve \(2^{2x}-5\cdot2^x+4=0\)
Este es el típico ejercicio que parece difícil hasta que se reconoce la estructura. Como \(2^{2x}=(2^x)^2\), hacemos:
La ecuación queda:
Volvemos a la variable original:
Resultado: \(x=0\) y \(x=2\)
Ejercicio clave 3. Resuelve \(\log(x-1)+\log(x+2)=\log 10\)
Dominio primero. Este paso no es decoración, es parte del ejercicio.
Ahora juntamos los logaritmos en una sola expresión:
Si los logaritmos tienen la misma base y ambos argumentos son positivos, igualamos argumentos.
Las soluciones algebraicas son \(x=-4\) y \(x=3\), pero el dominio exige \(x>1\).
Resultado: \(x=3\)
Ejercicio clave 4. Resuelve \(3^x=11\)
No podemos escribir \(11\) como potencia exacta sencilla de \(3\). Aquí sí conviene usar logaritmos.
Resultado: \(x=\frac{\log 11}{\log 3}\)
Ejercicio clave 5. Resuelve \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\)
Dominio:
Restar logaritmos equivale a logaritmo de un cociente:
Pasamos a forma exponencial:
Resultado: \(x=2\). Cumple el dominio.
Ejercicio clave 6. Resuelve \(\log(x^2-9)=1\)
Primero dominio:
Ahora pasamos a forma exponencial. Si \(\log\) es decimal:
Ambas soluciones cumplen el dominio, porque \(\sqrt{19}>3\).
Resultado: \(x=-\sqrt{19}\) y \(x=\sqrt{19}\)
Ejercicio clave 7. Estudia \(f(x)=\log(4-x)\)
Este tipo de función desconcierta porque el dominio va hacia la izquierda. El argumento debe ser positivo:
La asíntota vertical aparece donde el argumento se hace cero:
El recorrido es todo \(\mathbb{R}\). Además, la función es decreciente: al aumentar \(x\), el valor de \(4-x\) disminuye y, con él, también disminuye su logaritmo.
Para hallar el corte con el eje Y, sustituimos \(x=0\):
El corte con el eje X se obtiene igualando la función a cero:
Resultado: dominio \((-\infty,4)\), recorrido \(\mathbb{R}\), función decreciente, asíntota vertical \(x=4\), corte con Y en \((0,\log4)\) y corte con X en \((3,0)\).
Ejercicio clave 8. Una cantidad crece un 6% anual. ¿Cuánto tarda en duplicarse?
Si crece un \(6\%\), el factor anual es \(1,06\). Duplicarse significa multiplicarse por \(2\).
Tomamos logaritmos:
Resultado: tarda aproximadamente \(11,90\) años
Ejercicio clave 9. Estudia \(f(x)=2^{x-1}-3\)
Partimos de la gráfica de \(y=2^x\). El término \(x-1\) la desplaza una unidad hacia la derecha y el \(-3\) la baja tres unidades. El dominio sigue siendo todo \(\mathbb{R}\).
Como \(2^{x-1}>0\) para cualquier \(x\), se cumple
Por eso, el recorrido es \((-3,+\infty)\) y la asíntota horizontal es \(y=-3\). La función continúa siendo creciente porque la base \(2\) es mayor que \(1\).
Calculamos el corte con el eje Y sustituyendo \(x=0\):
Para hallar el corte con el eje X, igualamos a cero:
Resultado: dominio \(\mathbb{R}\), recorrido \((-3,+\infty)\), asíntota \(y=-3\), corte con Y en \((0,-5/2)\) y corte con X en \((1+\log_2 3,0)\).
Ejercicio clave 10. Estudia \(g(x)=\log_2(x+1)-2\)
Empezamos por el dominio. El argumento del logaritmo debe ser positivo:
Cuando \(x\) se acerca a \(-1\) por la derecha, el argumento se acerca a cero. La asíntota vertical es, por tanto, \(x=-1\). El recorrido es todo \(\mathbb{R}\) y la función es creciente porque la base \(2\) es mayor que \(1\).
Para el corte con el eje Y, sustituimos \(x=0\):
Para el corte con el eje X, igualamos a cero y pasamos a forma exponencial:
Resultado: dominio \((-1,+\infty)\), recorrido \(\mathbb{R}\), asíntota \(x=-1\), corte con Y en \((0,-2)\) y corte con X en \((3,0)\).
Ejercicio clave 11. Resuelve \(3^x+3^{x+1}=108\)
Los dos términos no se suman directamente, pero sí tienen el factor común \(3^x\). Reescribimos el segundo:
Sustituimos y sacamos factor común:
Dividimos entre \(4\) y escribimos \(27\) como potencia de \(3\):
La comprobación es inmediata: \(3^3+3^4=27+81=108\).
Resultado: \(x=3\).
Ejercicio clave 12. Resuelve \(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3\)
Antes de juntar los logaritmos escribimos las dos condiciones:
Las dos deben cumplirse a la vez, de modo que el dominio queda reducido a \(x>3\).
Aplicamos la propiedad del producto y pasamos a forma exponencial:
Desarrollamos y resolvemos la ecuación de segundo grado:
El valor \(x=-1\) no pertenece al dominio y se descarta. Para \(x=5\), los argumentos son \(4\) y \(2\), y \(\log_2 4+\log_2 2=2+1=3\).
Resultado: \(x=5\).
Si al resolver una ecuación logarítmica aparece una solución que no cumple el dominio, se descarta. No es una decisión opcional: el logaritmo ni siquiera existe para ese valor.
Ejercicios tipo examen de 1.º de Bachillerato
En un control de 1.º de Bachillerato no basta con llegar al resultado: también hay que dejar claro el dominio, justificar la transformación utilizada y comprobar las soluciones cuando sea necesario.
Los cinco primeros ejercicios están desarrollados por completo. A continuación quedan otros cinco de dificultad semejante para trabajar sin el apoyo de la solución. Así se puede estudiar primero el modelo y comprobar después si el procedimiento se ha entendido de verdad.
Primera parte. Cinco modelos resueltos paso a paso
Modelo de examen 1. Propiedades de los logaritmos
Sabiendo que \(\log 2=a\) y \(\log 3=b\), expresa \(\log\left(\frac{72}{5}\right)\) en función de \(a\) y \(b\).
Conviene descomponer \(72\) en potencias de \(2\) y de \(3\):
Aplicamos las propiedades del producto, del cociente y de la potencia:
Falta escribir \(\log5\) con los datos del enunciado. Como \(5=\frac{10}{2}\), resulta
Sustituimos y reducimos términos semejantes:
Resultado: \(\displaystyle \log\left(\frac{72}{5}\right)=4a+2b-1\).
Modelo de examen 2. Ecuación exponencial con cambio de variable
Resuelve la ecuación
La clave es observar que \(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\). Hacemos el cambio
La ecuación exponencial se convierte en una ecuación de segundo grado:
Factorizamos:
Por tanto, \(t=1\) o \(t=3\). Volvemos a la variable \(x\):
Ambos valores verifican la ecuación inicial.
Resultado: \(x=0\) y \(x=1\).
Modelo de examen 3. Ecuación logarítmica con dominio
Resuelve
Antes de operar, imponemos que los tres argumentos sean positivos:
La condición más restrictiva es \(x>1\). Dentro de ese dominio podemos juntar los logaritmos del primer miembro:
Como los logaritmos tienen la misma base y sus argumentos son positivos, igualamos los argumentos:
En el dominio \(x>1\), el factor \(x+2\) no puede ser cero. Dividimos entre él:
Comprobamos: \(\log3+\log6=\log18\) y \(\log(3\cdot4+6)=\log18\).
Resultado: \(x=4\).
Modelo de examen 4. Estudio de una función exponencial
Estudia el dominio, el recorrido, la monotonía, la asíntota y los cortes con los ejes de
La potencia \(2^{x-1}\) existe y es positiva para cualquier número real. Por tanto, el dominio es \(\mathbb{R}\). Además, como \(2^{x-1}>0\), se cumple \(f(x)<3\), de modo que el recorrido es \((-\infty,3)\).
Cuando \(x\to-\infty\), la potencia \(2^{x-1}\to0\) y la función se aproxima a \(3\). La asíntota horizontal es \(y=3\). Como \(2^{x-1}\) es creciente y aparece con signo negativo, \(f\) es decreciente.
Corte con el eje Y:
Corte con el eje X:
Resultado: dominio \(\mathbb{R}\), recorrido \((-\infty,3)\), función decreciente, asíntota \(y=3\), corte con Y en \((0,5/2)\) y corte con X en \((1+\log_2 3,0)\).
Modelo de examen 5. Crecimiento exponencial e interpretación
Se depositan \(1500\) euros en una cuenta que aumenta un \(4\%\) cada año. ¿A partir de qué año completo el capital supera los \(2000\) euros?
Un aumento anual del \(4\%\) corresponde al factor \(1,04\). El capital al cabo de \(t\) años es
Buscamos cuándo se alcanza el valor \(2000\). Primero resolvemos la igualdad que marca el umbral:
Tomamos logaritmos en ambos miembros:
El umbral se alcanza entre el séptimo y el octavo año. Como se pregunta por años completos, comprobamos los dos valores enteros cercanos:
Resultado: el capital supera los \(2000\) euros por primera vez al completar el octavo año.
Segunda parte. Cinco modelos paralelos con solución guiada
Intenta cada ejercicio sin mirar la solución. Después abre el desarrollo y compara el orden de tus pasos, no solo el resultado.
Propuesta 1. Propiedades
Sabiendo que \(\log2=a\) y \(\log3=b\), expresa \(\log\left(\frac{54}{5}\right)\) en función de \(a\) y \(b\). Escribe cada propiedad que utilices.
Ver solución paso a paso
1. Descomponemos: \(54=2\cdot3^3\).
2. Expresamos \(\log5\): como \(5=10/2\), \(\log5=1-a\).
Resultado: \(2a+3b-1\).
Propuesta 2. Ecuación exponencial
Resuelve \(25^x-6\cdot5^x+5=0\). Indica el cambio de variable y comprueba las soluciones obtenidas.
Ver solución paso a paso
1. Cambio: \(t=5^x>0\).
2. Volvemos a \(x\): \(5^x=1\Rightarrow x=0\) y \(5^x=5\Rightarrow x=1\).
Comprobación: ambos valores anulan la ecuación inicial.
Resultado: \(x=0\) y \(x=1\).
Propuesta 3. Ecuación logarítmica
Resuelve \(\log(x-2)+\log(x+1)=\log(4x+4)\). Escribe primero el dominio y comprueba el resultado en la ecuación inicial.
Ver solución paso a paso
1. Dominio: \(x-2>0\), \(x+1>0\) y \(4x+4>0\). La condición conjunta es \(x>2\).
2. Igualamos argumentos: dentro del dominio, \(x+1\neq0\), así que \(x-2=4\).
Resultado: \(x=6\), que cumple el dominio.
Propuesta 4. Estudio de una función
Estudia el dominio, el recorrido, la monotonía, la asíntota y los cortes con los ejes de \(g(x)=2^{x+1}-4\). Haz después un esbozo razonado de la gráfica.
Ver solución paso a paso
1. Dominio y recorrido: dominio \(\mathbb{R}\). Como \(2^{x+1}>0\), el recorrido es \((-4,+\infty)\).
2. Comportamiento: es creciente y su asíntota horizontal es \(y=-4\).
Resultado: corta a los ejes en \((0,-2)\) y \((1,0)\).
Propuesta 5. Sistema con logaritmos
Resuelve el sistema \(\log_2x+\log_2y=4\), \(x-y=6\). Anota las condiciones \(x>0\), \(y>0\) antes de transformar la primera ecuación.
Ver solución paso a paso
1. Condiciones: \(x>0\) e \(y>0\).
2. Sustituimos: de \(x-y=6\) obtenemos \(x=y+6\).
El valor negativo no cumple las condiciones. Para \(y=2\), \(x=8\).
Resultado: \((x,y)=(8,2)\).
100 ejercicios resueltos de logaritmos y exponenciales
Los ejercicios están ordenados de menos a más. No se trata de hacerlos como una lista mecánica, sino de reconocer el tipo de ejercicio y revisar el resultado.
Bloque A. Definición y cálculo directo
| Número | Ejercicio | Solución | Comentario |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\log_2 32\) | \(5\) | Porque \(2^5=32\) |
| 2 | \(\log_3 \frac{1}{27}\) | \(-3\) | Porque \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) |
| 3 | \(\log_5 125\) | \(3\) | Porque \(125=5^3\) |
| 4 | \(\log_{10} 0,001\) | \(-3\) | Porque \(0,001=10^{-3}\) |
| 5 | \(\log_4 64\) | \(3\) | Porque \(4^3=64\) |
| 6 | \(\log_2 \frac{1}{8}\) | \(-3\) | Porque \(\frac18=2^{-3}\) |
| 7 | \(\log_7 1\) | \(0\) | Toda base válida elevada a cero da uno |
| 8 | \(\log_9 9\) | \(1\) | Porque \(9^1=9\) |
| 9 | \(\log_{1/2} 8\) | \(-3\) | Porque \((1/2)^{-3}=8\) |
| 10 | \(\log_3 \sqrt{3}\) | \(\frac12\) | Porque \(\sqrt3=3^{1/2}\) |
| 11 | \(\log_6 216\) | \(3\) | Porque \(6^3=216\) |
| 12 | \(\log_{10} 100000\) | \(5\) | Porque \(100000=10^5\) |
Bloque B. Propiedades de logaritmos
| Número | Ejercicio | Solución | Restricción o comentario |
|---|---|---|---|
| 13 | Expande \(\log(5x^2)\) | \(\log 5+2\log|x|\) | Con \(x\neq 0\) |
| 14 | Expande \(\log_2\left(\frac{x^3}{4y}\right)\) | \(3\log_2|x|-2-\log_2|y|\) | Con \(xy>0\) |
| 15 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\log x+\log 3-\log 2\) | \(\log\left(\frac{3x}{2}\right)\) | Con \(x>0\) |
| 16 | Expande \(\log(xy)\) | \(\log|x|+\log|y|\) | Con \(xy>0\) |
| 17 | Expande \(\log\left(\frac{x}{y^2}\right)\) | \(\log x-2\log|y|\) | Con \(x>0, y\neq0\) |
| 18 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(2\log x+\log 5\) | \(\log(5x^2)\) | Con \(x>0\) |
| 19 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\log a-\log b+\log c\) | \(\log\left(\frac{ac}{b}\right)\) | Con argumentos positivos |
| 20 | Expande \(\log_3(27x)\) | \(3+\log_3 x\) | Con \(x>0\) |
| 21 | Expande \(\log_5\left(\frac{25}{x}\right)\) | \(2-\log_5 x\) | Con \(x>0\) |
| 22 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\frac12\log x+\log y\) | \(\log(y\sqrt{x})\) | Con \(x>0,y>0\) |
| 23 | Expande \(\ln(e^2x^4)\) | \(2+4\ln|x|\) | Con \(x\neq0\) |
| 24 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(3\log x-\log(x+1)\) | \(\log\left(\frac{x^3}{x+1}\right)\) | Con \(x>0\) |
Bloque C. Dominio
| Número | Función | Condición | Dominio |
|---|---|---|---|
| 25 | \(\log(x-4)\) | \(x-4>0\) | \((4,+\infty)\) |
| 26 | \(\log(2x+5)\) | \(2x+5>0\) | \(\left(-\frac52,+\infty\right)\) |
| 27 | \(\log(x^2-16)\) | \(x^2-16>0\) | \((-\infty,-4)\cup(4,+\infty)\) |
| 28 | \(\log\left(\frac{x-1}{x+2}\right)\) | \(\frac{x-1}{x+2}>0\) | \((-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\) |
| 29 | \(\log(7-x)\) | \(7-x>0\) | \((-\infty,7)\) |
| 30 | \(\log(3x-6)\) | \(3x-6>0\) | \((2,+\infty)\) |
| 31 | \(\log(x^2+1)\) | \(x^2+1>0\) | \(\mathbb{R}\) |
| 32 | \(\log(9-x^2)\) | \(9-x^2>0\) | \((-3,3)\) |
| 33 | \(\frac{1}{\log(x-2)}\) | \(x-2>0\), \(\log(x-2)\neq0\) | \((2,3)\cup(3,+\infty)\) |
| 34 | \(\log(x-1)+\log(5-x)\) | \(x-1>0\), \(5-x>0\) | \((1,5)\) |
| 35 | \(\log(x^2-4x+3)\) | \((x-1)(x-3)>0\) | \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) |
| 36 | \(\sqrt{\log x}\) | \(\log x\geq0\) | \([1,+\infty)\) |
Bloque D. Función exponencial
| Número | Función | Dominio | Recorrido | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| 37 | \(2^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 38 | \(\left(\frac13\right)^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Decreciente |
| 39 | \(3^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 40 | \(2^x+3\) | \(\mathbb{R}\) | \((3,+\infty)\) | Creciente |
| 41 | \(2^{x-1}\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 42 | \(-2^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((-\infty,0)\) | Decreciente |
| 43 | \(5-3^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((-\infty,5)\) | Decreciente |
| 44 | \(4^x-2\) | \(\mathbb{R}\) | \((-2,+\infty)\) | Creciente |
| 45 | \(\left(\frac14\right)^x+1\) | \(\mathbb{R}\) | \((1,+\infty)\) | Decreciente |
| 46 | \(3^{x+2}-4\) | \(\mathbb{R}\) | \((-4,+\infty)\) | Creciente |
Bloque E. Función logarítmica
| Número | Función | Dominio | Asíntota | Comentario |
|---|---|---|---|---|
| 47 | \(\log_2 x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Creciente |
| 48 | \(\log_3(x-2)\) | \((2,+\infty)\) | \(x=2\) | Creciente |
| 49 | \(\log(x+4)\) | \((-4,+\infty)\) | \(x=-4\) | Creciente |
| 50 | \(\log(5-x)\) | \((-\infty,5)\) | \(x=5\) | Decreciente |
| 51 | \(\log_2 x+3\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Creciente |
| 52 | \(-\log x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Decreciente |
| 53 | \(\log(x^2)\) | \(\mathbb{R}-\{0\}\) | \(x=0\) | Dos ramas |
| 54 | \(\log(x^2-1)\) | \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) | \(x=-1, x=1\) | Dos ramas |
| 55 | \(\log_2(2x)\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | \(\log_2(2x)=1+\log_2 x\) |
| 56 | \(\log_{1/2}x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Decreciente |
Bloque F. Ecuaciones exponenciales
| Número | Ecuación | Solución | Método |
|---|---|---|---|
| 57 | \(2^{x+1}=16\) | \(x=3\) | Misma base |
| 58 | \(3^{2x-1}=81\) | \(x=\frac52\) | Misma base |
| 59 | \(5^x=17\) | \(x=\frac{\log17}{\log 5}\) | Logaritmos |
| 60 | \(4^x-5\cdot2^x+4=0\) | \(x=0, x=2\) | Cambio \(t=2^x\) |
| 61 | \(2^x=64\) | \(x=6\) | Misma base |
| 62 | \(3^{x+2}=27\) | \(x=1\) | Misma base |
| 63 | \(10^{2x}=1000\) | \(x=\frac32\) | Misma base |
| 64 | \(\left(\frac12\right)^x=8\) | \(x=-3\) | Misma base |
| 65 | \(7^x=20\) | \(x=\frac{\log 20}{\log7}\) | Logaritmos |
| 66 | \(2^{x+3}=5\) | \(x=\frac{\log 5}{\log 2}-3\) | Logaritmos |
| 67 | \(3^x+3^{x+1}=108\) | \(x=3\) | Factor común \(3^x\) |
| 68 | \(2^{2x}-6\cdot2^x+8=0\) | \(x=1, x=2\) | Cambio \(t=2^x\) |
| 69 | \(9^x-10\cdot3^x+9=0\) | \(x=0, x=2\) | Cambio \(t=3^x\) |
| 70 | \(e^{2x}=7\) | \(x=\frac{\ln7}{2}\) | Neperiano |
| 71 | \(4^x=2^{x+3}\) | \(x=3\) | Misma base |
| 72 | \(3^{x-1}=\frac19\) | \(x=-1\) | Misma base |
Bloque G. Ecuaciones logarítmicas
| Número | Ecuación | Dominio | Solución |
|---|---|---|---|
| 73 | \(\log_2 x=5\) | \(x>0\) | \(x=32\) |
| 74 | \(\log(x-1)=2\) | \(x>1\) | \(x=101\) |
| 75 | \(\log_3(x+2)+\log_3(x-2)=2\) | \(x>2\) | \(x=\sqrt{13}\) |
| 76 | \(\log x+\log(x-3)=1\) | \(x>3\) | \(x=5\) |
| 77 | \(\log_5 x=2\) | \(x>0\) | \(x=25\) |
| 78 | \(\log_2(x-3)=4\) | \(x>3\) | \(x=19\) |
| 79 | \(\log(x+4)=0\) | \(x>-4\) | \(x=-3\) |
| 80 | \(\log_3(x+1)=\log_3 7\) | \(x>-1\) | \(x=6\) |
| 81 | \(\log(x-2)+\log 5=\log 20\) | \(x>2\) | \(x=6\) |
| 82 | \(\log_2 x+\log_2 4=5\) | \(x>0\) | \(x=8\) |
| 83 | \(\log(x^2)=2\) | \(x\neq0\) | \(x=-10, x=10\) |
| 84 | \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\) | \(x>1\) | \(x=3\) |
| 85 | \(\log_3(x^2-5)=2\) | \(x^2-5>0\) | \(x=\pm\sqrt{14}\) |
| 86 | \(\log(x+2)-\log x=\log 3\) | \(x>0\) | \(x=1\) |
| 87 | \(2\log x=\log49\) | \(x>0\) | \(x=7\) |
| 88 | \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\) | \(x>0\) | \(x=2\) |
| 89 | \(\log_4(x-1)=\frac12\) | \(x>1\) | \(x=3\) |
| 90 | \(\ln x=3\) | \(x>0\) | \(x=e^3\) |
Bloque H. Problemas de crecimiento y decrecimiento
| Número | Situación | Modelo | Resultado |
|---|---|---|---|
| 91 | 500 bacterias se duplican cada hora durante 6 horas | \(500\cdot2^6\) | \(32000\) |
| 92 | 2000 euros crecen al 4% anual durante 5 años | \(2000\cdot1,04^5\) | \(\approx2433,31\) |
| 93 | 15000 euros pierden el 12% anual durante 3 años | \(15000\cdot0,88^3\) | \(\approx10222,08\) |
| 94 | 240 g se reducen a la mitad cada 8 h durante 24 h | \(240\left(\frac12\right)^3\) | \(30\) g |
| 95 | 1000 euros al 3% anual durante 4 años | \(1000\cdot1,03^4\) | \(\approx1125,51\) |
| 96 | 800 bacterias se triplican cada hora durante 4 horas | \(800\cdot3^4\) | \(64800\) |
| 97 | 5000 euros pierden el 10% anual durante 2 años | \(5000\cdot0,9^2\) | \(4050\) |
| 98 | Una población de 200 crece un 6% durante 7 años | \(200\cdot1,06^7\) | \(\approx300,73\) |
| 99 | Un cultivo pasa de 100 a 1600 duplicándose cada día | \(100\cdot2^t=1600\) | \(t=4\) |
| 100 | Un móvil de 900 euros pierde el 20% anual durante 3 años | \(900\cdot0,8^3\) | \(460,8\) |
Simulacro final tipo examen
Hazlo sin mirar las soluciones. Después corrige y apunta si el error ha sido de dominio, de propiedad, de potencia o de planteamiento.
| Ejercicio | Enunciado | Solución corta |
|---|---|---|
| 1 | Calcula \(\log_2 128\) | \(7\) |
| 2 | Expande \(\log\left(\frac{x^2y}{5}\right)\) | \(2\log|x|+\log y-\log 5\), con \(x\neq0,y>0\) |
| 3 | Dominio de \(\log(4-x)\) | \((-\infty,4)\) |
| 4 | Resuelve \(2^{x+2}=32\) | \(x=3\) |
| 5 | Resuelve \(3^{2x}-10\cdot3^x+9=0\) | \(x=0, x=2\) |
| 6 | Resuelve \(\log(x-1)=1\) | \(x=11\) |
| 7 | Resuelve \(\log x+\log(x-1)=\log6\) | \(x=3\) |
| 8 | Estudia \(f(x)=\log(x+2)\) | Dominio \((-2,+\infty)\), asíntota \(x=-2\) |
| 9 | 1000 euros crecen al 5% durante 6 años | \(1000\cdot1,05^6\approx1340,10\) |
| 10 | 80 g se reducen a la mitad cada 4 h. ¿Cuánto queda tras 12 h? | \(10\) g |
Revisión final: si fallas en dominios, vuelve al bloque de dominio antes de hacer más ecuaciones. Si fallas en exponenciales, revisa potencias. Si fallas en problemas, revisa el factor de crecimiento o decrecimiento.
Diagnóstico final: qué debes revisar según el error que cometes
Este bloque es muy útil después de corregir el simulacro. No todos los fallos significan lo mismo. A veces el problema no está en los logaritmos, sino en potencias, álgebra o lectura del enunciado.
| Si fallas en... | Probablemente debes revisar... | Qué hacer ahora |
|---|---|---|
| Pasar de \(\log_a b=c\) a forma exponencial | Definición de logaritmo | Practicar 10 ejercicios solo de equivalencia |
| Dominios de logaritmos | Inecuaciones y signo de expresiones | Escribir siempre argumento \(>0\) |
| Ecuaciones exponenciales con \(2^{2x}\) | Cambio de variable | Usar \(t=2^x\) y recordar que \(t>0\) |
| Ecuaciones logarítmicas con varias soluciones | Comprobación final | Volver al dominio y descartar las que no valen |
| Problemas de crecimiento | Porcentajes | Pasar \(r\%\) a \(r/100\) |
Dominar este tema no consiste en saberse muchas propiedades de memoria. Consiste en reconocer el tipo de ejercicio, escribir las condiciones, elegir el método y revisar el resultado. Esa es la diferencia entre que algo “suene” y saber hacerlo de verdad.
Cuando el problema no es practicar más, sino saber por dónde empezar
En 1.º de Bachillerato es frecuente entender cada propiedad por separado y bloquearse cuando aparecen juntas en una ecuación. Una explicación guiada permite localizar el paso exacto que falla y reconstruirlo con calma. Para quienes estudian mejor en esa franja, también existe la opción de trabajar online por la mañana.
Matemáticas online para BachilleratoPreguntas frecuentes sobre logaritmos y exponenciales en 1 Bachillerato
¿Qué diferencia hay entre una exponencial y un logaritmo?
La exponencial calcula una potencia. El logaritmo pregunta por el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número.
¿Por qué el argumento de un logaritmo tiene que ser positivo?
Porque en números reales el logaritmo \(\log_a b\) solo está definido cuando \(b>0\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\).
¿Se puede hacer \(\log(x+y)=\log x+\log y\)?
No. Esa propiedad no existe. Los logaritmos convierten productos en sumas y cocientes en restas.
¿Qué es lo más importante en ecuaciones logarítmicas?
Primero escribir el dominio. Después aplicar propiedades y resolver. Al final, comprobar que la solución cumple las condiciones iniciales.
¿Este cuaderno sustituye al estudio general de funciones?
No. Este cuaderno prepara la parte exponencial y logarítmica. Después conviene estudiar funciones de forma más amplia: dominio, cortes, crecimiento, asíntotas e interpretación gráfica.
Recurso elaborado por José María, Marlu Educativa. Matemáticas, Física y Química para ESO, Bachillerato, PAU/EBAU y primeros cursos universitarios.