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Logaritmos y exponenciales 1 Bachillerato: funciones, ecuaciones y 100 ejercicios resueltos
Logaritmos y exponenciales 1 Bachillerato paso a paso
Los logaritmos y las exponenciales suelen atascarse por una razón muy sencilla: el alumno intenta resolver ecuaciones antes de entender qué significa cada símbolo. Si no se domina bien la potencia, la base, el exponente, el dominio y la relación entre una exponencial y un logaritmo, el tema se vuelve una lista de trucos.
En este recurso vamos a trabajarlo con calma. Primero se ordena la base algebraica, después se estudian las funciones exponenciales y logarítmicas, luego las propiedades y, al final, las ecuaciones y los problemas de crecimiento. No hace falta correr. En este tema, correr suele ser perder signos, dominios y soluciones.
Idea de profesor: una exponencial responde a la pregunta “qué valor tiene una potencia”. Un logaritmo responde a la pregunta contraria: “a qué exponente tengo que elevar la base”. Si esa idea queda clara, casi todo el tema empieza a encajar.
Preparar logaritmos y exponenciales con orden cambia mucho 1 Bachillerato
Este bloque conecta álgebra, potencias, funciones, dominio y problemas de crecimiento. En Marlu Educativa lo trabajamos con explicación paso a paso, ejercicios corregidos y revisión de errores reales, tanto en clases online de Bachillerato como en preparación de exámenes.
Qué trabaja este recurso y qué conviene estudiar aparte
Este recurso está pensado para 1 Bachillerato. No repite el bloque inicial de 4 ESO, donde se trabajan radicales, logaritmos sencillos y ecuaciones de primera evaluación. Aquí damos el salto natural: funciones exponenciales y logarítmicas, dominio, propiedades, ecuaciones y problemas tipo examen.
Base anterior
Potencias, radicales, simplificación algebraica, ecuaciones sencillas y primeras propiedades de logaritmos.
Centro de este recurso
Funciones exponenciales y logarítmicas de 1 Bachillerato, dominio, ecuaciones y problemas de crecimiento.
Lo que viene después
Estudio más completo de funciones, límites, derivadas y aplicaciones en 2 Bachillerato y PAU/EBAU.
Conviene separar bien este recurso de otros bloques: aquí no repetimos el repaso inicial de 4 ESO ni nos vamos a derivadas de 2 Bachillerato. Este recurso ocupa su sitio natural en 1 Bachillerato: entender exponenciales, logaritmos, dominio, ecuaciones y problemas.
Ruta lógica: álgebra → potencias → exponenciales → logaritmos → funciones
Primero se domina el álgebra básica, porque sin factorizar, despejar y manejar fracciones se pierden muchas ecuaciones. Después se revisan potencias, porque una exponencial no deja de ser una potencia donde la incógnita aparece en el exponente. A partir de ahí entra el logaritmo como operación inversa.
| Etapa | Qué debe saber el alumno | Error habitual |
|---|---|---|
| Álgebra | Factorizar, operar fracciones, despejar y comprobar soluciones | Resolver y olvidar restricciones |
| Potencias | Usar productos, cocientes y potencias de potencias | Sumar exponentes cuando no procede |
| Exponenciales | Reconocer \(f(x)=a^x\) | Tratar \(2^x\) como si fuera \(2x\) |
| Logaritmos | Pasar de \(\log_a b=c\) a \(a^c=b\) | Olvidar que el argumento debe ser positivo |
| Funciones | Interpretar dominio, crecimiento, cortes y asíntotas | Resolver sin entender la gráfica |
Método de profesor para no perderse en este tema
Antes de hacer cuentas conviene decidir qué tipo de ejercicio tenemos delante. En logaritmos y exponenciales se pierde mucho tiempo cuando el alumno empieza a transformar expresiones sin haber mirado si está ante una función, un dominio, una ecuación o un problema de crecimiento.
Si te piden dominio
No empieces a operar. Mira qué restricciones hay. En un logaritmo, el argumento debe ser positivo. En una fracción, el denominador no puede ser cero.
Si te piden resolver
Primero apunta condiciones. Después transforma la ecuación. Al final comprueba. Esta última línea evita muchos suspensos tontos.
Si aparece una exponencial
Busca primero bases comunes. Si no aparecen, entonces sí tiene sentido usar logaritmos.
Si hay un problema de crecimiento
Traduce el porcentaje a tanto por uno. El 5% no es 5, es 0,05. Parece una tontería, pero es uno de los fallos más repetidos.
| Lo que ves | Qué debes pensar | Primer paso sensato |
|---|---|---|
| \(\log(x-3)\) | Hay restricción de dominio | Escribir \(x-3>0\) |
| \(2^{x+1}=32\) | Conviene buscar misma base | Escribir \(32=2^5\) |
| \(5^x=13\) | No hay potencia exacta sencilla | Tomar logaritmos |
| \(\log x+\log(x-2)\) | Hay que juntar logaritmos, pero con dominio | Escribir \(x>0\) y \(x-2>0\) |
| \(N(t)=N_0(1+r)^t\) | Modelo exponencial de crecimiento | Pasar el porcentaje a tanto por uno |
Consejo de clase: cuando un ejercicio mezcla logaritmos y ecuaciones, no intentes “quitar logaritmos” a ojo. Primero dominio, luego propiedades, después ecuación algebraica y al final comprobación. Ese orden es el que salva el ejercicio.
Función exponencial
Una función exponencial básica tiene la forma:
Si \(a>1\), la función es creciente. Si \(0 La exponencial nunca vale cero. Esta frase tan simple evita muchos errores en ecuaciones y en gráficas.
Función logarítmica
La función logarítmica básica tiene la forma:
El logaritmo solo existe cuando el argumento es positivo. En \(f(x)=\log_a x\), el dominio es \((0,+\infty)\), el recorrido es \(\mathbb{R}\) y hay una asíntota vertical en \(x=0\).
Definición de logaritmo
Se lee así: el logaritmo en base \(a\) de \(b\) es \(c\) si al elevar \(a\) a \(c\) obtenemos \(b\).
Condiciones obligatorias: para que \(\log_a b\) exista en números reales debe cumplirse \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b>0\).
Propiedades de los logaritmos
Las propiedades no son frases para memorizar sin pensar. Son reglas para transformar productos, cocientes y potencias, siempre respetando el dominio.
| Propiedad | Fórmula | Comentario de profesor |
|---|---|---|
| Producto | \(\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\) | El producto se convierte en suma. |
| Cociente | \(\log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N\) | El cociente se convierte en resta. |
| Potencia | \(\log_a(M^k)=k\log_a M\) | El exponente baja multiplicando. |
| Base | \(\log_a a=1\) | Porque \(a^1=a\). |
| Unidad | \(\log_a 1=0\) | Porque \(a^0=1\). |
| Cambio de base | \(\log_a b=\frac{\log b}{\log a}\) | Útil con calculadora. |
No existe una propiedad que diga \(\log_a(M+N)=\log_a M+\log_a N\). Este fallo aparece muchísimo en exámenes.
Dominio de funciones con logaritmos y exponenciales
En una expresión \(\log(g(x))\), la condición es siempre:
Si hay varios logaritmos, todos sus argumentos deben ser positivos a la vez. Si además hay fracciones, raíces o denominadores, se añaden sus condiciones.
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente. Los métodos principales son escribir la misma base, hacer un cambio de variable o tomar logaritmos.
| Tipo | Ejemplo | Método |
|---|---|---|
| Misma base | \(2^{x+1}=16\) | Escribir todo como potencia de 2. |
| Cambio de variable | \(3^{2x}-4\cdot3^x+3=0\) | Llamar \(t=3^x\). |
| Con logaritmos | \(5^x=12\) | Tomar logaritmos y despejar. |
Ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica hay dos pasos que no se pueden saltar: primero se escribe el dominio y después se resuelve. Al final se comprueba, porque al manipular logaritmos pueden aparecer soluciones que no valen.
Dominio: \(x>1\). Después:
Como el dominio exige \(x>1\), solo sirve \(x=3\).
Problemas de crecimiento y decrecimiento
Las funciones exponenciales aparecen en problemas de población, interés compuesto, bacterias, depreciación o sustancias que se reducen con el tiempo.
Si \(a>1\), hay crecimiento. Si \(0 El porcentaje se escribe en tanto por uno. Por ejemplo, \(5\%\) se escribe \(0,05\).
Errores típicos de examen
Error 1
Escribir \(\log(x+y)=\log x+\log y\). No es una propiedad válida.
Error 2
Resolver sin dominio. El argumento del logaritmo debe ser positivo.
Error 3
Confundir \(2^x\) con \(2x\). No se comportan igual.
Error 4
Usar \(5\) en vez de \(0,05\) para representar el \(5\%\).
Ejercicios clave explicados con más detalle
Antes del bloque de 100 ejercicios, vamos a parar en varios modelos que suelen decidir el examen. Aquí no interesa solo el resultado. Interesa ver la manera de pensar.
Ejercicio clave 1. Dominio de \(f(x)=\log\left(\frac{x-2}{x+1}\right)\)
El logaritmo existe si su argumento es positivo. Por tanto, no basta con pedir que numerador y denominador existan; hay que estudiar el signo del cociente completo.
Los puntos que separan intervalos son \(x=-1\) y \(x=2\). Probamos signos o razonamos: el cociente es positivo cuando numerador y denominador tienen el mismo signo.
Resultado: \(D=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)\)
Ejercicio clave 2. Resuelve \(2^{2x}-5\cdot2^x+4=0\)
Este es el típico ejercicio que parece difícil hasta que se reconoce la estructura. Como \(2^{2x}=(2^x)^2\), hacemos:
La ecuación queda:
Volvemos a la variable original:
Resultado: \(x=0\) y \(x=2\)
Ejercicio clave 3. Resuelve \(\log(x-1)+\log(x+2)=\log 10\)
Dominio primero. Este paso no es decoración, es parte del ejercicio.
Ahora juntamos los logaritmos en una sola expresión:
Si los logaritmos tienen la misma base y ambos argumentos son positivos, igualamos argumentos.
Las soluciones algebraicas son \(x=-4\) y \(x=3\), pero el dominio exige \(x>1\).
Resultado: \(x=3\)
Ejercicio clave 4. Resuelve \(3^x=11\)
No podemos escribir \(11\) como potencia exacta sencilla de \(3\). Aquí sí conviene usar logaritmos.
Resultado: \(x=\frac{\log 11}{\log 3}\)
Ejercicio clave 5. Resuelve \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\)
Dominio:
Restar logaritmos equivale a logaritmo de un cociente:
Pasamos a forma exponencial:
Resultado: \(x=2\). Cumple el dominio.
Ejercicio clave 6. Resuelve \(\log(x^2-9)=1\)
Primero dominio:
Ahora pasamos a forma exponencial. Si \(\log\) es decimal:
Ambas soluciones cumplen el dominio, porque \(\sqrt{19}>3\).
Resultado: \(x=-\sqrt{19}\) y \(x=\sqrt{19}\)
Ejercicio clave 7. Estudia \(f(x)=\log(4-x)\)
Este tipo de función desconcierta porque el dominio va hacia la izquierda. El argumento debe ser positivo:
La asíntota vertical aparece donde el argumento se hace cero:
Resultado: dominio \((-\infty,4)\), asíntota vertical \(x=4\)
Ejercicio clave 8. Una cantidad crece un 6% anual. ¿Cuánto tarda en duplicarse?
Si crece un \(6\%\), el factor anual es \(1,06\). Duplicarse significa multiplicarse por \(2\).
Tomamos logaritmos:
Resultado: tarda aproximadamente \(11,90\) años
Revisión de examen: si al resolver una ecuación logarítmica aparece una solución que no cumple el dominio, se descarta. No es una opinión, es una condición de existencia.
100 ejercicios resueltos de logaritmos y exponenciales
Los ejercicios están ordenados de menos a más. No se trata de hacerlos como una lista mecánica, sino de reconocer el tipo de ejercicio y revisar el resultado.
Bloque A. Definición y cálculo directo
| Número | Ejercicio | Solución | Comentario |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\log_2 32\) | \(5\) | Porque \(2^5=32\) |
| 2 | \(\log_3 \frac{1}{27}\) | \(-3\) | Porque \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) |
| 3 | \(\log_5 125\) | \(3\) | Porque \(125=5^3\) |
| 4 | \(\log_{10} 0,001\) | \(-3\) | Porque \(0,001=10^{-3}\) |
| 5 | \(\log_4 64\) | \(3\) | Porque \(4^3=64\) |
| 6 | \(\log_2 \frac{1}{8}\) | \(-3\) | Porque \(\frac18=2^{-3}\) |
| 7 | \(\log_7 1\) | \(0\) | Toda base válida elevada a cero da uno |
| 8 | \(\log_9 9\) | \(1\) | Porque \(9^1=9\) |
| 9 | \(\log_{1/2} 8\) | \(-3\) | Porque \((1/2)^{-3}=8\) |
| 10 | \(\log_3 \sqrt{3}\) | \(\frac12\) | Porque \(\sqrt3=3^{1/2}\) |
| 11 | \(\log_6 216\) | \(3\) | Porque \(6^3=216\) |
| 12 | \(\log_{10} 100000\) | \(5\) | Porque \(100000=10^5\) |
Bloque B. Propiedades de logaritmos
| Número | Ejercicio | Solución | Restricción o comentario |
|---|---|---|---|
| 13 | Expande \(\log(5x^2)\) | \(\log 5+2\log|x|\) | Con \(x\neq 0\) |
| 14 | Expande \(\log_2\left(\frac{x^3}{4y}\right)\) | \(3\log_2 x-2-\log_2y\) | Con \(x>0, y>0\) |
| 15 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\log x+\log 3-\log 2\) | \(\log\left(\frac{3x}{2}\right)\) | Con \(x>0\) |
| 16 | Expande \(\log(xy)\) | \(\log x+\log y\) | Con \(x>0, y>0\) |
| 17 | Expande \(\log\left(\frac{x}{y^2}\right)\) | \(\log x-2\log y\) | Con \(x>0, y>0\) |
| 18 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(2\log x+\log 5\) | \(\log(5x^2)\) | Con \(x>0\) |
| 19 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\log a-\log b+\log c\) | \(\log\left(\frac{ac}{b}\right)\) | Con argumentos positivos |
| 20 | Expande \(\log_3(27x)\) | \(3+\log_3 x\) | Con \(x>0\) |
| 21 | Expande \(\log_5\left(\frac{25}{x}\right)\) | \(2-\log_5 x\) | Con \(x>0\) |
| 22 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(\frac12\log x+\log y\) | \(\log(y\sqrt{x})\) | Con \(x>0,y>0\) |
| 23 | Expande \(\ln(e^2x^4)\) | \(2+4\ln x\) | Con \(x>0\) |
| 24 | Quita logaritmos dejando una sola expresión \(3\log x-\log(x+1)\) | \(\log\left(\frac{x^3}{x+1}\right)\) | Con \(x>0\) |
Bloque C. Dominio
| Número | Función | Condición | Dominio |
|---|---|---|---|
| 25 | \(\log(x-4)\) | \(x-4>0\) | \((4,+\infty)\) |
| 26 | \(\log(2x+5)\) | \(2x+5>0\) | \(\left(-\frac52,+\infty\right)\) |
| 27 | \(\log(x^2-16)\) | \(x^2-16>0\) | \((-\infty,-4)\cup(4,+\infty)\) |
| 28 | \(\log\left(\frac{x-1}{x+2}\right)\) | \(\frac{x-1}{x+2}>0\) | \((-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\) |
| 29 | \(\log(7-x)\) | \(7-x>0\) | \((-\infty,7)\) |
| 30 | \(\log(3x-6)\) | \(3x-6>0\) | \((2,+\infty)\) |
| 31 | \(\log(x^2+1)\) | \(x^2+1>0\) | \(\mathbb{R}\) |
| 32 | \(\log(9-x^2)\) | \(9-x^2>0\) | \((-3,3)\) |
| 33 | \(\frac{1}{\log(x-2)}\) | \(x-2>0\), \(\log(x-2)\neq0\) | \((2,3)\cup(3,+\infty)\) |
| 34 | \(\log(x-1)+\log(5-x)\) | \(x-1>0\), \(5-x>0\) | \((1,5)\) |
| 35 | \(\log(x^2-4x+3)\) | \((x-1)(x-3)>0\) | \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) |
| 36 | \(\sqrt{\log x}\) | \(\log x\geq0\) | \([1,+\infty)\) |
Bloque D. Función exponencial
| Número | Función | Dominio | Recorrido | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| 37 | \(2^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 38 | \(\left(\frac13\right)^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Decreciente |
| 39 | \(3^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 40 | \(2^x+3\) | \(\mathbb{R}\) | \((3,+\infty)\) | Creciente |
| 41 | \(2^{x-1}\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) | Creciente |
| 42 | \(-2^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((-\infty,0)\) | Decreciente |
| 43 | \(5-3^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((-\infty,5)\) | Decreciente |
| 44 | \(4^x-2\) | \(\mathbb{R}\) | \((-2,+\infty)\) | Creciente |
| 45 | \(\left(\frac14\right)^x+1\) | \(\mathbb{R}\) | \((1,+\infty)\) | Decreciente |
| 46 | \(3^{x+2}-4\) | \(\mathbb{R}\) | \((-4,+\infty)\) | Creciente |
Bloque E. Función logarítmica
| Número | Función | Dominio | Asíntota | Comentario |
|---|---|---|---|---|
| 47 | \(\log_2 x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Creciente |
| 48 | \(\log_3(x-2)\) | \((2,+\infty)\) | \(x=2\) | Creciente |
| 49 | \(\log(x+4)\) | \((-4,+\infty)\) | \(x=-4\) | Creciente |
| 50 | \(\log(5-x)\) | \((-\infty,5)\) | \(x=5\) | Decreciente |
| 51 | \(\log_2 x+3\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Creciente |
| 52 | \(-\log x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Decreciente |
| 53 | \(\log(x^2)\) | \(\mathbb{R}-\{0\}\) | \(x=0\) | Dos ramas |
| 54 | \(\log(x^2-1)\) | \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) | \(x=-1, x=1\) | Dos ramas |
| 55 | \(\log_2(2x)\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | \(\log_2(2x)=1+\log_2 x\) |
| 56 | \(\log_{1/2}x\) | \((0,+\infty)\) | \(x=0\) | Decreciente |
Bloque F. Ecuaciones exponenciales
| Número | Ecuación | Solución | Método |
|---|---|---|---|
| 57 | \(2^{x+1}=16\) | \(x=3\) | Misma base |
| 58 | \(3^{2x-1}=81\) | \(x=\frac52\) | Misma base |
| 59 | \(5^x=17\) | \(x=\frac{\log17}{\log 5}\) | Logaritmos |
| 60 | \(4^x-5\cdot2^x+4=0\) | \(x=0, x=2\) | Cambio \(t=2^x\) |
| 61 | \(2^x=64\) | \(x=6\) | Misma base |
| 62 | \(3^{x+2}=27\) | \(x=1\) | Misma base |
| 63 | \(10^{2x}=1000\) | \(x=\frac32\) | Misma base |
| 64 | \(\left(\frac12\right)^x=8\) | \(x=-3\) | Misma base |
| 65 | \(7^x=20\) | \(x=\frac{\log 20}{\log7}\) | Logaritmos |
| 66 | \(2^{x+3}=5\) | \(x=\frac{\log 5}{\log 2}-3\) | Logaritmos |
| 67 | \(3^x+3^{x+1}=108\) | \(x=3\) | Factor común \(3^x\) |
| 68 | \(2^{2x}-6\cdot2^x+8=0\) | \(x=1, x=2\) | Cambio \(t=2^x\) |
| 69 | \(9^x-10\cdot3^x+9=0\) | \(x=0, x=2\) | Cambio \(t=3^x\) |
| 70 | \(e^{2x}=7\) | \(x=\frac{\ln7}{2}\) | Neperiano |
| 71 | \(4^x=2^{x+3}\) | \(x=3\) | Misma base |
| 72 | \(3^{x-1}=\frac19\) | \(x=-1\) | Misma base |
Bloque G. Ecuaciones logarítmicas
| Número | Ecuación | Dominio | Solución |
|---|---|---|---|
| 73 | \(\log_2 x=5\) | \(x>0\) | \(x=32\) |
| 74 | \(\log(x-1)=2\) | \(x>1\) | \(x=101\) |
| 75 | \(\log_3(x+2)+\log_3(x-2)=2\) | \(x>2\) | \(x=\sqrt{13}\) |
| 76 | \(\log x+\log(x-3)=1\) | \(x>3\) | \(x=5\) |
| 77 | \(\log_5 x=2\) | \(x>0\) | \(x=25\) |
| 78 | \(\log_2(x-3)=4\) | \(x>3\) | \(x=19\) |
| 79 | \(\log(x+4)=0\) | \(x>-4\) | \(x=-3\) |
| 80 | \(\log_3(x+1)=\log_3 7\) | \(x>-1\) | \(x=6\) |
| 81 | \(\log(x-2)+\log 5=\log 20\) | \(x>2\) | \(x=6\) |
| 82 | \(\log_2 x+\log_2 4=5\) | \(x>0\) | \(x=8\) |
| 83 | \(\log(x^2)=2\) | \(x\neq0\) | \(x=-10, x=10\) |
| 84 | \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\) | \(x>1\) | \(x=3\) |
| 85 | \(\log_3(x^2-5)=2\) | \(x^2-5>0\) | \(x=\pm\sqrt{14}\) |
| 86 | \(\log(x+2)-\log x=\log 3\) | \(x>0\) | \(x=1\) |
| 87 | \(2\log x=\log49\) | \(x>0\) | \(x=7\) |
| 88 | \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\) | \(x>0\) | \(x=2\) |
| 89 | \(\log_4(x-1)=\frac12\) | \(x>1\) | \(x=3\) |
| 90 | \(\ln x=3\) | \(x>0\) | \(x=e^3\) |
Bloque H. Problemas de crecimiento y decrecimiento
| Número | Situación | Modelo | Resultado |
|---|---|---|---|
| 91 | 500 bacterias se duplican cada hora durante 6 horas | \(500\cdot2^6\) | \(32000\) |
| 92 | 2000 euros crecen al 4% anual durante 5 años | \(2000\cdot1,04^5\) | \(\approx2433,31\) |
| 93 | 15000 euros pierden el 12% anual durante 3 años | \(15000\cdot0,88^3\) | \(\approx10222,08\) |
| 94 | 240 g se reducen a la mitad cada 8 h durante 24 h | \(240\left(\frac12\right)^3\) | \(30\) g |
| 95 | 1000 euros al 3% anual durante 4 años | \(1000\cdot1,03^4\) | \(\approx1125,51\) |
| 96 | 800 bacterias se triplican cada hora durante 4 horas | \(800\cdot3^4\) | \(64800\) |
| 97 | 5000 euros pierden el 10% anual durante 2 años | \(5000\cdot0,9^2\) | \(4050\) |
| 98 | Una población de 200 crece un 6% durante 7 años | \(200\cdot1,06^7\) | \(\approx300,73\) |
| 99 | Un cultivo pasa de 100 a 1600 duplicándose cada día | \(100\cdot2^t=1600\) | \(t=4\) |
| 100 | Un móvil de 900 euros pierde el 20% anual durante 3 años | \(900\cdot0,8^3\) | \(460,8\) |
Simulacro final tipo examen
Hazlo sin mirar las soluciones. Después corrige y apunta si el error ha sido de dominio, de propiedad, de potencia o de planteamiento.
| Ejercicio | Enunciado | Solución corta |
|---|---|---|
| 1 | Calcula \(\log_2 128\) | \(7\) |
| 2 | Expande \(\log\left(\frac{x^2y}{5}\right)\) | \(2\log x+\log y-\log 5\), con \(x>0,y>0\) |
| 3 | Dominio de \(\log(4-x)\) | \((-\infty,4)\) |
| 4 | Resuelve \(2^{x+2}=32\) | \(x=3\) |
| 5 | Resuelve \(3^{2x}-10\cdot3^x+9=0\) | \(x=0, x=2\) |
| 6 | Resuelve \(\log(x-1)=1\) | \(x=11\) |
| 7 | Resuelve \(\log x+\log(x-1)=\log6\) | \(x=3\) |
| 8 | Estudia \(f(x)=\log(x+2)\) | Dominio \((-2,+\infty)\), asíntota \(x=-2\) |
| 9 | 1000 euros crecen al 5% durante 6 años | \(1000\cdot1,05^6\approx1340,10\) |
| 10 | 80 g se reducen a la mitad cada 4 h. ¿Cuánto queda tras 12 h? | \(10\) g |
Revisión final: si fallas en dominios, vuelve al bloque de dominio antes de hacer más ecuaciones. Si fallas en exponenciales, revisa potencias. Si fallas en problemas, revisa el factor de crecimiento o decrecimiento.
Diagnóstico final: qué debes revisar según el error que cometes
Este bloque es muy útil después de corregir el simulacro. No todos los fallos significan lo mismo. A veces el problema no está en los logaritmos, sino en potencias, álgebra o lectura del enunciado.
| Si fallas en... | Probablemente debes revisar... | Qué hacer ahora |
|---|---|---|
| Pasar de \(\log_a b=c\) a forma exponencial | Definición de logaritmo | Practicar 10 ejercicios solo de equivalencia |
| Dominios de logaritmos | Inecuaciones y signo de expresiones | Escribir siempre argumento \(>0\) |
| Ecuaciones exponenciales con \(2^{2x}\) | Cambio de variable | Usar \(t=2^x\) y recordar que \(t>0\) |
| Ecuaciones logarítmicas con varias soluciones | Comprobación final | Volver al dominio y descartar las que no valen |
| Problemas de crecimiento | Porcentajes | Pasar \(r\%\) a \(r/100\) |
Cierre de profesor: dominar este tema no consiste en saberse muchas propiedades de memoria. Consiste en mirar el tipo de ejercicio, escribir las condiciones, elegir el método y revisar el resultado. Esa es la diferencia entre “me suena” y “lo sé hacer”.
Recursos relacionados para seguir estudiando
Este tema se entiende mejor cuando se coloca dentro del camino completo: base algebraica, potencias, exponenciales, logaritmos y funciones.
Base anterior
Matemáticas 4 ESO primera evaluación: radicales, logaritmos y ecuaciones
Útil si fallan potencias, radicales o los primeros logaritmos.
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¿Necesitas preparar logaritmos, exponenciales o funciones con más seguridad?
En 1 Bachillerato es muy frecuente que el alumno entienda una parte del tema, pero falle al mezclar propiedades, dominios y ecuaciones. Ahí una explicación ordenada cambia mucho.
Preguntas frecuentes sobre logaritmos y exponenciales en 1 Bachillerato
¿Qué diferencia hay entre una exponencial y un logaritmo?
La exponencial calcula una potencia. El logaritmo pregunta por el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número.
¿Por qué el argumento de un logaritmo tiene que ser positivo?
Porque en números reales el logaritmo \(\log_a b\) solo está definido cuando \(b>0\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\).
¿Se puede hacer \(\log(x+y)=\log x+\log y\)?
No. Esa propiedad no existe. Los logaritmos convierten productos en sumas y cocientes en restas.
¿Qué es lo más importante en ecuaciones logarítmicas?
Primero escribir el dominio. Después aplicar propiedades y resolver. Al final, comprobar que la solución cumple las condiciones iniciales.
¿Este recurso sustituye al bloque de funciones?
No. Este recurso prepara la parte exponencial y logarítmica. Después conviene estudiar funciones de forma más amplia: dominio, cortes, crecimiento, asíntotas e interpretación gráfica.
Recurso elaborado por José María, Marlu Educativa. Matemáticas, Física y Química para ESO, Bachillerato, PAU/EBAU y primeros cursos universitarios.