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Polinomio de Taylor y resto de Lagrange en Universidad con 61 ejercicios resueltos
Marlu Educativa · Biblioteca universitaria
Cuaderno compacto de resolución, práctica y control del error
La versión imprimible comienza directamente en los ejercicios. La explicación teórica completa permanece en la edición web.
Aprende a elegir el centro y el grado, construir el polinomio y justificar la precisión.
Un polinomio de Taylor simplifica una función cerca de un punto. En los ejercicios verás qué desarrollo conviene usar, hasta qué grado hay que llegar y cómo comprobar que la aproximación cumple el error pedido.
Cómo está organizada esta guía
1. Qué aproxima un polinomio de Taylor
Un polinomio de Taylor no intenta copiar la función en todo su dominio. La reproduce alrededor de un punto \(a\): coincide con su valor, su pendiente, su curvatura y tantas derivadas como permita el grado elegido.
2. Fórmula de Taylor y notación
Si f posee derivadas hasta orden n en el centro a, su polinomio de Taylor de grado n es
La escritura compacta es
Cuando \(a=0\), se habla de polinomio de Maclaurin. No cambia el teorema; solo se simplifican las potencias.
3. Desarrollos fundamentales de Maclaurin
Estos desarrollos ahorran derivadas, pero hay que indicar la sustitución y conservar términos suficientes. Los puntos suspensivos describen una serie infinita; el polinomio de Taylor es solo su parte finita.
| Función | Desarrollo inicial | Validez de la serie |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(1+x+x^2/2!+x^3/3!+\cdots\) | Todo \(x\in\mathbb R\). |
| \(\sin x\) | \(x-x^3/3!+x^5/5!-\cdots\) | Todo \(x\in\mathbb R\). |
| \(\cos x\) | \(1-x^2/2!+x^4/4!-\cdots\) | Todo \(x\in\mathbb R\). |
| \(\ln(1+x)\) | \(x-x^2/2+x^3/3-\cdots\) | \(-1<x\le1\), con tratamiento del extremo. |
| \((1+x)^\alpha\) | \(1+\alpha x+\alpha(\alpha-1)x^2/2!+\cdots\) | \(|x|<1\) en el caso general. |
| \(1/(1-x)\) | \(1+x+x^2+x^3+\cdots\) | \(|x|<1\). |
| \(\arctan x\) | \(x-x^3/3+x^5/5-\cdots\) | \(|x|\le1\), con convergencia en los extremos. |
4. Resto de Lagrange y control del error
Sea un intervalo que contiene el centro a y el punto x. Si f tiene derivada continua de orden n+1 en ese intervalo, el teorema de Taylor garantiza
El resto de Lagrange adopta la forma
para algún punto \(\xi\) situado entre \(a\) y \(x\). Si se sabe que
en todo el intervalo, entonces
5. Cómo elegir el grado mínimo
Cuando se pide una precisión, el ejercicio se convierte en una desigualdad. El procedimiento correcto es aumentar \(n\) hasta que la cota sea menor que la tolerancia y comprobar que el grado anterior no sirve.
También hay que interpretar bien el lenguaje:
6. Método Marlu para resolver ejercicios de Taylor
No es lo mismo desarrollar en 0 que cerca de 1 o 2.
En límites, desarrolla hasta el primer término que no se cancela. En aproximaciones, usa la tolerancia.
Deriva cuando convenga y reutiliza desarrollos conocidos cuando simplifique el trabajo.
Elige un intervalo y una cota válida para la derivada de orden siguiente.
Conserva cifras de guarda hasta el resultado final.
Comprueba signo, tamaño, grado mínimo y relación con el centro.
61 ejercicios resueltos paso a paso
7. 61 ejercicios resueltos paso a paso
Los ejercicios están ordenados por dificultad. Los primeros fijan el procedimiento; los bloques de error desarrollan con detalle la elección de la cota y los ocho últimos reproducen preguntas universitarias de varios apartados, con justificación, cálculo y comprobación.
Bloque A · Construcción directa
Derivadas sucesivas, simetría y primeros desarrollos de Maclaurin.
Maclaurin de la exponencial hasta grado 4
Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 4 de \(f(x)=e^x\).
Modelo e idea clave. Todas las derivadas de la exponencial coinciden con la propia función y valen 1 en el origen.
Se calculan cinco datos: \(f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(4)}(0)=1\).
Cada derivada se divide entre su factorial; no se copian los coeficientes sin justificar.
Resultado. \(P_4(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24\).
Comprobación. El valor y las cuatro primeras derivadas de \(P_4\) en 0 coinciden con las de \(e^x\).
Maclaurin del seno hasta grado 5
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 5 de \(f(x)=\sin x\).
Modelo e idea clave. Las derivadas del seno se repiten cada cuatro pasos; las derivadas pares se anulan en 0.
La sucesión de derivadas es \(\sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x,\ldots\).
En el origen quedan los coeficientes de los términos de grado 1, 3 y 5.
Resultado. \(P_5(x)=x-x^3/6+x^5/120\).
Comprobación. El polinomio es impar, como la función seno.
Maclaurin del coseno hasta grado 6
Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 6 de \(f(x)=\cos x\).
Modelo e idea clave. Solo sobreviven las derivadas pares y sus signos alternan.
En 0 se obtiene \(1,0,-1,0,1,0,-1\) para las derivadas de orden 0 a 6.
Al dividir por los factoriales aparecen 2, 24 y 720 en los denominadores.
Resultado. \(P_6(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720\).
Comprobación. Es un polinomio par y cumple \(P_6(0)=1\).
Maclaurin de logaritmo natural
Calcula el polinomio de grado 4 de \(f(x)=\ln(1+x)\) alrededor de 0.
Modelo e idea clave. Las derivadas sucesivas producen factoriales y signos alternos.
La función vale 0 en el origen.
Para \(k\ge1\), al dividir \(f^{(k)}(0)\) entre \(k!\) queda \((-1)^{k-1}/k\).
Resultado. \(P_4(x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4\).
Comprobación. El término constante es 0, igual que \(\ln 1\).
Maclaurin de la raíz cuadrada
Obtén el polinomio de grado 4 de \(f(x)=\sqrt{1+x}\).
Modelo e idea clave. Se utiliza la derivación de una potencia o los coeficientes binomiales generalizados.
Los coeficientes se forman multiplicando \(\alpha(\alpha-1)\cdots\) con \(\alpha=1/2\).
Es importante conservar los signos: a partir del término cuadrático aparecen alternados.
Resultado. \(P_4(x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-5x^4/128\).
Comprobación. La derivada inicial del polinomio es \(1/2\), igual que la de \(\sqrt{1+x}\) en 0.
Polinomio de la función geométrica
Calcula el Maclaurin de grado 5 de \(f(x)=1/(1-x)\).
Modelo e idea clave. Las derivadas en 0 valen \(k!\), por lo que todos los coeficientes son 1.
Puede comprobarse derivando o multiplicando el polinomio por \(1-x\).
El producto es \(1-x^6\), de modo que la diferencia con la función empieza en orden 6.
Resultado. \(P_5(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\).
Comprobación. Se verifica \((1-x)P_5(x)=1-x^6\).
Maclaurin del arcotangente
Obtén el polinomio de grado 5 de \(f(x)=\arctan x\).
Modelo e idea clave. Se parte de \(f'(x)=1/(1+x^2)\) y se integra el desarrollo correspondiente.
La constante de integración es 0 porque \(\arctan 0=0\).
Integrar término a término evita calcular derivadas largas del arcotangente.
Resultado. \(P_5(x)=x-x^3/3+x^5/5\).
Comprobación. Al derivar \(P_5\) se recupera \(1-x^2+x^4\), el desarrollo esperado de \(1/(1+x^2)\).
Producto de una variable por la exponencial
Calcula el polinomio de grado 4 de \(f(x)=xe^x\) en el origen.
Modelo e idea clave. Se multiplica por \(x\) el desarrollo de \(e^x\) y se corta en el grado pedido.
Para obtener grado 4 basta conocer \(e^x\) hasta grado 3.
Multiplicar por \(x\) desplaza un grado todos los términos.
Resultado. \(P_4(x)=x+x^2+x^3/2+x^4/6\).
Comprobación. El término constante debe ser 0 porque \(f(0)=0\).
Exponencial decreciente
Obtén el Maclaurin de grado 4 de \(f(x)=e^{-x}\).
Modelo e idea clave. Se sustituye \(x\) por \(-x\) en el desarrollo de la exponencial.
Los términos pares conservan el signo y los impares lo cambian.
No hace falta volver a calcular todas las derivadas.
Resultado. \(P_4(x)=1-x+x^2/2-x^3/6+x^4/24\).
Comprobación. La pendiente inicial es -1, coherente con \(f'(0)=-1\).
Maclaurin del coseno hiperbólico
Calcula el polinomio de grado 6 de \(f(x)=\cosh x\).
Modelo e idea clave. Se usa \(\cosh x=(e^x+e^{-x})/2\); los términos impares se cancelan.
Al sumar los desarrollos de \(e^x\) y \(e^{-x}\) desaparecen los términos impares.
Después se divide entre 2.
Resultado. \(P_6(x)=1+x^2/2+x^4/24+x^6/720\).
Comprobación. El polinomio es par y todos sus coeficientes no nulos son positivos.
Bloque B · Centros distintos del origen
Taylor alrededor de puntos elegidos para facilitar el cálculo.
Taylor de logaritmo centrado en 1
Obtén el polinomio de Taylor de grado 3 de \(f(x)=\ln x\) centrado en \(a=1\).
Modelo e idea clave. Se escribe todo en potencias de \(x-1\).
En \(x=1\), la función vale 0 y las derivadas valen \(1,-1,2\) para órdenes 1, 2 y 3.
Al dividir por \(1!,2!,3!\) aparecen los coeficientes \(1,-1/2,1/3\).
Resultado. \(P_3(x)=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3\).
Comprobación. Sustituir \(x=1\) da 0 y confirma el centro.
Taylor de raíz cuadrada centrado en 4
Calcula el polinomio de grado 2 de \(f(x)=\sqrt{x}\) alrededor de \(a=4\).
Modelo e idea clave. El centro se elige porque la raíz y sus derivadas son sencillas en 4.
El término cuadrático es \(f^{(2)}(4)(x-4)^2/2\).
Por eso \((-1/32)/2=-1/64\).
Resultado. \(P_2(x)=2+(x-4)/4-(x-4)^2/64\).
Comprobación. La aproximación es exacta en \(x=4\) y tiene allí la misma pendiente.
Taylor de la exponencial centrado en 1
Obtén el polinomio de grado 3 de \(e^x\) alrededor de \(a=1\).
Modelo e idea clave. Todas las derivadas valen \(e\) en el centro.
Se factoriza \(e\) para que la estructura quede visible.
El resto empezará en una potencia cuarta de \(x-1\).
Resultado. \(P_3(x)=e[1+(x-1)+(x-1)^2/2+(x-1)^3/6]\).
Comprobación. En \(x=1\) se obtiene \(P_3(1)=e\).
Seno centrado en pi medios
Calcula el polinomio de Taylor de grado 4 de \(\sin x\) alrededor de \(a=\pi/2\).
Modelo e idea clave. Con \(h=x-\pi/2\), se tiene \(\sin x=\cos h\).
El cambio de variable transforma el problema en el desarrollo del coseno en 0.
No aparecen términos impares porque la función es simétrica respecto al máximo local.
Resultado. \(P_4(x)=1-(x-\pi/2)^2/2+(x-\pi/2)^4/24\).
Comprobación. La derivada del polinomio se anula en \(x=\pi/2\), como corresponde a un máximo.
Taylor de la función inversa centrado en 2
Obtén el polinomio de grado 3 de \(f(x)=1/x\) alrededor de \(a=2\).
Modelo e idea clave. Se puede derivar o escribir \(1/x=\frac12[1+(x-2)/2]^{-1}\).
La forma geométrica deja ver los signos alternos y las potencias de 2.
Cada nuevo término multiplica al anterior por \(-(x-2)/2\).
Resultado. \(P_3(x)=1/2-(x-2)/4+(x-2)^2/8-(x-2)^3/16\).
Comprobación. En el centro se recupera \(1/2\).
Taylor exacto de un polinomio cúbico
Desarrolla \(f(x)=x^3\) alrededor de \(a=1\) hasta grado 3.
Modelo e idea clave. Un polinomio de grado 3 coincide exactamente con su Taylor de grado 3.
Se aplica el binomio de Newton.
La cuarta derivada es 0, por lo que no queda resto.
Resultado. \(x^3=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3\).
Comprobación. La igualdad es exacta para todo \(x\), no solo cerca de 1.
Taylor de logaritmo centrado en 2
Calcula el polinomio de grado 2 de \(f(x)=\ln x\) alrededor de \(a=2\).
Modelo e idea clave. Se evalúan función, primera y segunda derivada en 2.
El coeficiente cuadrático es \((-1/4)/2=-1/8\).
El desarrollo sirve para valores próximos a 2.
Resultado. \(P_2(x)=\ln2+(x-2)/2-(x-2)^2/8\).
Comprobación. En \(x=2\), el polinomio vale exactamente \(\ln2\).
Taylor de una función racional centrado en 1
Obtén el polinomio de grado 3 de \(f(x)=1/(1+x)\) alrededor de \(a=1\).
Modelo e idea clave. Se escribe el denominador como \(2+(x-1)\).
Se usa la misma estructura geométrica que en el ejercicio anterior.
El cociente \((x-1)/2\) es pequeño cerca del centro.
Resultado. \(P_3(x)=1/2-(x-1)/4+(x-1)^2/8-(x-1)^3/16\).
Comprobación. El valor central es \(1/(1+1)=1/2\).
Bloque C · Sustitución, productos y cocientes
Cómo obtener desarrollos nuevos sin empezar siempre desde cero.
Desarrollo de una exponencial compuesta
Obtén el Maclaurin de grado 5 de \(e^{2x}\).
Modelo e idea clave. Se sustituye \(x\) por \(2x\) en el desarrollo de \(e^x\).
Cada término es \((2x)^k/k!\).
Por ejemplo, \((2x)^5/120=4x^5/15\).
Resultado. \(P_5(x)=1+2x+2x^2+4x^3/3+2x^4/3+4x^5/15\).
Comprobación. La derivada inicial es 2, igual que la de \(e^{2x}\).
Desarrollo de seno triple
Calcula el Maclaurin de grado 5 de \(\sin(3x)\).
Modelo e idea clave. Se sustituye \(x\) por \(3x\) en el seno.
Se simplifican por separado los coeficientes cúbico y quíntico.
La función sigue siendo impar.
Resultado. \(P_5(x)=3x-9x^3/2+81x^5/40\).
Comprobación. El coeficiente lineal 3 coincide con \(f'(0)=3\).
Desarrollo de un logaritmo compuesto
Obtén el Maclaurin de grado 4 de \(\ln(1-2x)\).
Modelo e idea clave. Se sustituye \(u=-2x\) en el desarrollo de \(\ln(1+u)\).
Los signos no alternan después de la sustitución porque las potencias de \(-2x\) compensan el signo original.
Conviene hacer la sustitución término a término.
Resultado. \(P_4(x)=-2x-2x^2-8x^3/3-4x^4\).
Comprobación. La pendiente inicial es -2, coherente con \(f'(0)=-2\).
Raíz cuadrada con cambio de escala
Calcula el Maclaurin de grado 3 de \(\sqrt{1-3x}\).
Modelo e idea clave. Se utiliza el desarrollo de \((1+u)^{1/2}\) con \(u=-3x\).
El término lineal es \((-3x)/2\).
Los dos términos siguientes son negativos al sustituir en los coeficientes binomiales.
Resultado. \(P_3(x)=1-3x/2-9x^2/8-27x^3/16\).
Comprobación. La derivada inicial es -3/2, igual que la derivada de la función.
Producto de exponencial y coseno
Obtén el Maclaurin de grado 5 de \(e^x\cos x\).
Modelo e idea clave. Se multiplican los dos desarrollos y se conservan únicamente los términos hasta grado 5.
Los términos de grado 2 se cancelan.
Al agrupar cuidadosamente los productos se obtienen los coeficientes \(-1/3,-1/6,-1/30\).
Resultado. \(P_5(x)=1+x-x^3/3-x^4/6-x^5/30\).
Comprobación. Derivar la función en 0 da 1, por eso el coeficiente lineal es 1.
Desarrollo de seno de x dividido por x
Calcula el Maclaurin de grado 6 de \(\sin x/x\), entendiendo su prolongación continua en 0.
Modelo e idea clave. Se divide entre \(x\) el desarrollo del seno.
El término \(x\) del seno se convierte en 1.
La aparente indeterminación desaparece al simplificar el desarrollo.
Resultado. \(P_6(x)=1-x^2/6+x^4/120-x^6/5040\).
Comprobación. El valor límite en 0 es 1, que coincide con el término constante.
Desarrollo de uno menos coseno entre x cuadrado
Obtén el Maclaurin de grado 4 de \((1-\cos x)/x^2\).
Modelo e idea clave. Se resta el desarrollo del coseno y después se divide por \(x^2\).
La cancelación del término constante obliga a conservar suficientes términos del coseno.
Para llegar a grado 4 en el cociente hace falta desarrollar el coseno hasta grado 6.
Resultado. \(P_4(x)=1/2-x^2/24+x^4/720\).
Comprobación. El término constante proporciona el límite conocido \(1/2\).
Logaritmo de un cociente simétrico
Obtén el Maclaurin hasta grado 7 de \(\ln((1+x)/(1-x))\).
Modelo e idea clave. Se resta \(\ln(1-x)\) de \(\ln(1+x)\).
Los términos pares se cancelan y los impares se duplican.
La estructura impar es coherente con \(f(-x)=-f(x)\).
Resultado. \(P_7(x)=2x+2x^3/3+2x^5/5+2x^7/7\).
Comprobación. Solo aparecen potencias impares.
Función racional con x cuadrado
Calcula el Maclaurin de grado 8 de \(1/(1+x^2)\).
Modelo e idea clave. Se usa la forma geométrica con razón \(-x^2\).
Cada término aumenta dos grados.
El producto \((1+x^2)P_8(x)=1+x^{10}\) confirma el truncamiento.
Resultado. \(P_8(x)=1-x^2+x^4-x^6+x^8\).
Comprobación. La función y el polinomio son pares.
Bloque D · Aproximaciones numéricas
Evaluación práctica con control del redondeo.
Aproximación de e elevado a 0,1
Aproxima \(e^{0,1}\) con el polinomio de Maclaurin de grado 3.
Modelo e idea clave. Se evalúa \(P_3(x)=1+x+x^2/2+x^3/6\) en \(x=0,1\).
La suma es \(1+0,1+0,005+0,0001666667\).
Se conserva una cifra más de las necesarias durante el cálculo.
Resultado. \(e^{0,1}\approx1,105166667\).
Comprobación. El valor real es aproximadamente 1,105170918; el error es \(4,25\cdot10^{-6}\).
Aproximación de una exponencial decreciente
Aproxima \(e^{-0,2}\) con el polinomio de grado 4.
Modelo e idea clave. Se usa el desarrollo alterno de \(e^{-x}\).
Los términos son \(1,-0,2,0,02,-0,001333333,0,000066667\).
La suma da \(0,818733333\).
Resultado. \(e^{-0,2}\approx0,818733333\).
Comprobación. El valor real es 0,818730753; el error es aproximadamente \(2,58\cdot10^{-6}\).
Aproximación de logaritmo próximo a 1
Aproxima \(\ln(1,05)\) con el polinomio de grado 3 de \(\ln(1+x)\).
Modelo e idea clave. Aquí \(x=0,05\), un incremento pequeño.
Se obtiene \(0,05-0,00125+0,0000416667\).
La suma es \(0,0487916667\).
Resultado. \(\ln(1,05)\approx0,048791667\).
Comprobación. El valor real es 0,048790164; el error es \(1,50\cdot10^{-6}\).
Aproximación de raíz cuadrada
Aproxima \(\sqrt{1,02}\) usando el polinomio de grado 3 de \(\sqrt{1+x}\).
Modelo e idea clave. Se toma \(x=0,02\), por lo que las potencias decrecen muy deprisa.
La suma es \(1+0,01-0,00005+0,0000005=1,0099505\).
No se redondea antes del último paso.
Resultado. \(\sqrt{1,02}\approx1,0099505\).
Comprobación. El error real es aproximadamente \(6,16\cdot10^{-9}\).
Aproximación de seno
Aproxima \(\sin(0,2)\) con el polinomio de grado 5.
Modelo e idea clave. Se sustituyen radianes en el Maclaurin del seno.
Los términos correctores son \(-0,001333333\) y \(0,000002667\).
La suma da \(0,198669333\).
Resultado. \(\sin(0,2)\approx0,198669333\).
Comprobación. El error real es de unas \(2,54\cdot10^{-9}\).
Aproximación de coseno
Aproxima \(\cos(0,3)\) con el polinomio de grado 6.
Modelo e idea clave. Se usa el desarrollo par del coseno.
La suma es \(1-0,045+0,0003375-0,0000010125\).
El resultado es \(0,9553364875\).
Resultado. \(\cos(0,3)\approx0,955336488\).
Comprobación. El error real es aproximadamente \(1,63\cdot10^{-9}\).
Aproximación de arcotangente
Aproxima \(\arctan(0,25)\) con el polinomio de grado 5.
Modelo e idea clave. Se aplica \(x-x^3/3+x^5/5\).
Los términos son \(0,25,-0,005208333,0,000195313\).
La suma da \(0,244986979\).
Resultado. \(\arctan(0,25)\approx0,244986979\).
Comprobación. El error real es aproximadamente \(8,32\cdot10^{-6}\).
Aproximación de una raíz cúbica
Aproxima \(\sqrt[3]{1,03}\) con un polinomio binomial de grado 3.
Modelo e idea clave. Se usa \((1+x)^{1/3}\) con \(x=0,03\).
La suma es \(1,009901667\).
El término cúbico es pequeño, pero mejora dos cifras respecto a la aproximación lineal.
Resultado. \(\sqrt[3]{1,03}\approx1,009901667\).
Comprobación. El error real es aproximadamente \(3,26\cdot10^{-8}\).
Aproximación de un cociente
Aproxima \(1/1,04\) con un polinomio geométrico de grado 4.
Modelo e idea clave. Se escribe \(1/1,04=1/(1+0,04)\).
La suma es \(0,96153856\).
La razón es pequeña y el siguiente término ya es del orden de \(10^{-7}\).
Resultado. \(1/1,04\approx0,96153856\).
Comprobación. El valor real es 0,961538462; el error es \(9,85\cdot10^{-8}\).
Bloque E · Resto de Lagrange y cotas
No basta con aproximar: hay que justificar cuánto puede valer el error.
Cota de error para e elevado a 0,2
Acota el error al aproximar \(e^{0,2}\) mediante \(P_3\).
Modelo e idea clave. El resto de Lagrange usa una cota de la cuarta derivada en \([0,\,0{,}2]\).
Como \(e^t\) crece, el máximo del intervalo está en \(t=0,2\).
La cota numérica es \(8,14\cdot10^{-5}\).
Resultado. \(|R_3(0,2)|<8,15\cdot10^{-5}\).
Comprobación. El error real es aproximadamente \(6,94\cdot10^{-5}\), menor que la cota obtenida.
Cota de error para seno de 0,4
Acota el error de \(P_5\) al aproximar \(\sin(0,4)\).
Modelo e idea clave. La sexta derivada del seno tiene valor absoluto menor o igual que 1.
Se calcula \(0,4^6=0,004096\) y \(6!=720\).
La división da \(5,69\cdot10^{-6}\).
Resultado. \(|R_5(0,4)|\le5,69\cdot10^{-6}\).
Comprobación. La cota no necesita conocer el valor exacto del seno.
Cota de error para coseno de 0,5
Acota el error al usar el polinomio de grado 4 de \(\cos x\) en \(x=0,5\).
Modelo e idea clave. Todas las derivadas trigonométricas tienen módulo menor o igual que 1.
Se obtiene \(0,03125/120\).
La cota es \(2,6042\cdot10^{-4}\).
Resultado. \(|R_4(0,5)|\le2,61\cdot10^{-4}\).
Comprobación. Es una cota segura, aunque el primer término no nulo omitido sea de grado 6.
Cota de error para logaritmo
Acota el error de \(P_3\) al aproximar \(\ln(1,1)\).
Modelo e idea clave. Para \(f(x)=\ln(1+x)\), la cuarta derivada tiene módulo \(6/(1+x)^4\).
En \([0,\,0{,}1]\), el denominador es al menos 1, así que puede tomarse \(M=6\).
La cota es \(2,5\cdot10^{-5}\).
Resultado. \(|R_3(0,1)|\le2,5\cdot10^{-5}\).
Comprobación. La elección de \(M\) es sencilla y válida en todo el intervalo.
Cota de error para raíz cuadrada
Acota el error al aproximar \(\sqrt{1,04}\) con el polinomio de grado 2 de \(\sqrt{1+x}\).
Modelo e idea clave. La tercera derivada es \(3/[8(1+x)^{5/2}]\).
En \([0,\,0{,}04]\) el máximo se alcanza en 0, por eso \(M=3/8\).
El resultado es \(4,0\cdot10^{-6}\).
Resultado. \(|R_2(0,04)|\le4\cdot10^{-6}\).
Comprobación. La cota muestra que tres términos bastan para cinco decimales razonables.
Resto exacto de una aproximación geométrica
Acota el error de \(1+x+x^2+x^3+x^4\) para calcular \(1/(1-x)\) en \(x=0,2\).
Modelo e idea clave. En una suma geométrica finita el resto puede escribirse exactamente.
El numerador es \(0,00032\).
Dividir entre \(0,8\) da el error exacto, no solo una cota.
Resultado. El error es exactamente \(0,0004\).
Comprobación. La suma truncada vale 1,2496 y el valor exacto es 1,25.
Cota específica para arcotangente
Acota el error al aproximar \(\arctan(0,3)\) por \(x-x^3/3+x^5/5\).
Modelo e idea clave. En este desarrollo alterno, los términos disminuyen para \(|x|<1\); el error queda por debajo del siguiente término.
Se calcula \(0,3^7=0,0002187\).
Al dividir entre 7 resulta \(3,1243\cdot10^{-5}\).
Resultado. \(|R_5(0,3)|\le3,13\cdot10^{-5}\).
Comprobación. La cota es compatible con la disminución de los términos del desarrollo.
Cota para e elevado a 0,5
Acota el error de \(P_4\) al aproximar \(e^{0,5}\).
Modelo e idea clave. La quinta derivada es \(e^x\) y su máximo en el intervalo es \(e^{0,5}\).
La fracción \(0,5^5/120\) vale aproximadamente \(2,6042\cdot10^{-4}\).
Multiplicar por \(e^{0,5}\) da \(4,2935\cdot10^{-4}\).
Resultado. \(|R_4(0,5)|<4,30\cdot10^{-4}\).
Comprobación. La cota aumenta respecto al coseno porque las derivadas de la exponencial superan 1.
Cota para logaritmo por debajo de 1
Acota el error del polinomio de grado 4 al calcular \(\ln(0,9)=\ln(1-0,1)\).
Modelo e idea clave. En el intervalo \([-0{,}1,\,0]\), la quinta derivada alcanza su mayor módulo en \(x=-0,1\).
Al simplificar queda \(0,1^5/(5\cdot0,9^5)\).
La cota es \(3,387\cdot10^{-6}\).
Resultado. \(|R_4(-0,1)|<3,39\cdot10^{-6}\).
Comprobación. Aquí no sería correcto tomar \(M=24\), porque el denominador baja de 1.
Bloque F · Grado mínimo para una precisión
Problemas del tipo “error menor que 0,00011” y tolerancias similares.
Grado mínimo para aproximar e elevado a 0,2
Determina el menor grado del polinomio de Maclaurin que garantiza un error inferior a \(10^{-6}\) al aproximar \(e^{0,2}\). Calcula después la aproximación.
Para \(f(x)=e^x\), todas las derivadas son \(e^x\). En el intervalo \([0,0{,}2]\),
Por tanto,
No alcanza la tolerancia.
Sí alcanza la tolerancia.
Resultado. El grado mínimo garantizado es \(5\) y \(e^{0,2}\approx1,221402667\), con error inferior a \(1,09\cdot10^{-7}\).
Criterio de examen. La palabra «mínimo» queda justificada porque se ha probado que el grado 4 falla y el grado 5 funciona.
Precisión 0,00011 para seno de 0,4
Determina el polinomio de menor grado que permite aproximar \(\sin(0,4)\) con error menor que \(0,00011\). Indica también qué ocurre si se usa el resto de Lagrange de forma general.
Los términos no nulos del seno son
El polinomio lineal deja como primer término omitido \(x^3/6\), mientras que el polinomio de grado 3 deja como primer término omitido \(x^5/120\).
El grado 1 no sirve.
Por tanto, el polinomio de grado 3 sí garantiza la precisión:
Resultado. El menor grado algebraico es \(3\). Se obtiene \(\sin(0,4)\approx0,389333333\), con error garantizado menor que \(8,54\cdot10^{-5}\).
Matiz importante. Con la cota general de Lagrange \(M=1\), puede hablarse de Taylor de orden 4; ese Taylor coincide algebraicamente con \(P_3\) porque el coeficiente de grado 4 es cero. Para responder a «menor grado», la respuesta correcta es grado 3.
Grado mínimo para coseno de 0,3
Determina el menor grado del polinomio de Maclaurin que garantiza un error inferior a \(10^{-8}\) al aproximar \(\cos(0,3)\).
Solo tiene sentido probar grados pares, porque los coeficientes impares son cero.
El primer término no incluido sería el de grado 6:
El grado 4 falla.
El primer término no incluido sería el de grado 8:
El grado 6 funciona y, como el grado par anterior falla, es mínimo.
Resultado. El grado mínimo es \(6\) y \(\cos(0,3)\approx0,955336488\), con error inferior a \(1,63\cdot10^{-9}\).
Criterio de examen. Una aplicación mecánica de Lagrange con orden 7 produce el mismo polinomio, pero no debe ocultar que su grado algebraico efectivo es 6.
Grado mínimo para logaritmo de 1,1
Determina el menor grado que asegura un error menor que \(10^{-7}\) al calcular \(\ln(1,1)\) mediante el desarrollo de \(\ln(1+x)\).
Para \(x=0,1\), los términos alternan y decrecen. El error queda acotado por el primer término omitido:
No basta.
Sí basta.
Resultado. El grado mínimo es \(6\) y \(\ln(1,1)\approx0,095310167\), con error menor que \(1,43\cdot10^{-8}\).
Grado mínimo para e elevado a menos 0,1
Determina el menor grado que garantiza error menor que \(10^{-8}\) en la aproximación de \(e^{-0,1}\).
El centro es 0 y el punto es \(-0,1\). En \([-0,1,0]\), \(e^t\le1\), así que puede tomarse \(M=1\).
Falla.
Funciona.
Resultado. El grado mínimo es \(5\) y \(e^{-0,1}\approx0,904837417\).
Número de términos para arcotangente de 0,2
Determina hasta qué grado debe desarrollarse \(\arctan x\) para aproximar \(\arctan(0,2)\) con error menor que \(10^{-8}\). Calcula el valor aproximado.
Para \(0<x<1\), el error es menor que el primer término omitido.
Después del término de grado 7, el siguiente es
Después del término de grado 9, el siguiente es
Resultado. Se necesitan cinco términos no nulos, hasta grado \(9\). Así, \(\arctan(0,2)\approx0,197395562\).
Grado mínimo en una aproximación geométrica
Determina el menor grado para aproximar \(1/(1-0,15)\) con error menor que \(10^{-6}\). Usa el resto exacto de la suma geométrica.
En \(x=0,15\),
No sirve.
Sí sirve.
Resultado. El grado mínimo es \(7\). El valor aproximado es \(1,176470286\), con error exacto inferior a \(3,02\cdot10^{-7}\).
Grado mínimo para coseno de 0,6
Determina el menor grado que garantiza error inferior a \(10^{-7}\) al aproximar \(\cos(0,6)\). Calcula la aproximación obtenida.
El desarrollo del coseno contiene potencias \(0,2,4,6,8,\ldots\). Tras el grado 6, el primer término omitido es el de grado 8.
No basta.
Sí basta.
Resultado. El grado mínimo es \(8\) y \(\cos(0,6)\approx0,825335616\).
Bloque G · Tipo examen: límites y modelos científicos
Cuatro problemas universitarios de varios apartados: orden necesario, cancelaciones, error absoluto, error relativo y decisión sobre la precisión.
Examen universitario: Taylor y límite con exponencial
Sea \(f(x)=e^x\).
- Obtén su polinomio de Maclaurin hasta orden 4.
- Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}\).
- Explica por qué no basta desarrollar solamente hasta grado 2.
Al dividir entre \(x^3\),
Al hacer \(x\to0\), los términos que contienen \(x\) desaparecen.
Resultado. El límite vale \(1/6\).
Justificación. Un desarrollo hasta grado 2 dejaría el numerador como \(O(x^3)\), pero no mostraría el coeficiente del término cúbico, que es precisamente el que determina el límite.
Examen universitario: límite trigonométrico con cancelaciones
Calcula
mediante desarrollos de Taylor e indica hasta qué orden es necesario desarrollar cada función.
El denominador es \(x^3\), por lo que necesitamos conocer el primer término no nulo del numerador hasta orden 3:
Resultado. El límite vale \(1/3\).
Criterio de examen. El seno se desarrolla hasta el término cúbico y el coseno hasta el cuadrático, porque después se multiplica por \(x\).
Examen universitario: crecimiento biológico y control del error
Una población se modeliza mediante \(N(t)=1200e^{0,02t}\).
- Aproxima \(N(3)\) usando Taylor de grado 2 para la exponencial.
- Obtén una cota del error absoluto y del error relativo.
- Determina el menor grado que garantiza un error absoluto inferior a \(0,01\) individuos en el modelo continuo.
En \([0,0{,}06]\), puede tomarse \(M=e^{0,06}\):
Al dividir por el valor exacto \(1200e^{0,06}\), la cota relativa se simplifica:
El grado 2 no sirve porque su cota es mayor que 0,01. Para grado 3:
Resultado. Con grado 2, \(N(3)\approx1274,16\), con error absoluto inferior a \(0,04588\). Para garantizar error menor que \(0,01\), el grado mínimo es \(3\).
Examen universitario: modelo geológico exponencial
En un modelo simplificado aparece la magnitud \(P=50e^{-0,08}\) MPa.
- Calcula una aproximación usando el polinomio de grado 3.
- Acota el error en MPa.
- Determina el menor grado que garantiza un error inferior a \(10^{-5}\) MPa.
En \([-0,08,0]\), \(e^t\le1\), por lo que \(M=1\):
El grado 3 falla porque \(8,53\cdot10^{-5}>10^{-5}\). Para grado 4:
Resultado. Con grado 3, \(P\approx46,15573333\ \mathrm{MPa}\). Para garantizar un error menor que \(10^{-5}\ \mathrm{MPa}\), el grado mínimo es \(4\).
Interpretación. El signo del exponente exige que el factor sea menor que 1 y, por tanto, que la magnitud calculada sea menor que 50 MPa.
Bloque H · Tipo examen: aproximación y precisión garantizada
Cuatro problemas integrados con construcción del polinomio, grado mínimo, comparación de métodos y redacción completa del resultado.
Examen universitario: logaritmo, aproximación y garantía
- Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 4 de \(\ln(1+x)\).
- Úsalo para aproximar \(\ln(1,08)\).
- Demuestra que el error es menor que \(10^{-6}\).
- Compara la cota con el error real.
Para \(k\ge1\), \(f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!\). Por tanto,
La quinta derivada es \(24/(1+x)^5\). En \([0,0{,}08]\), su módulo máximo es 24:
El error real es menor que la cota, como debe ocurrir.
Resultado. \(\ln(1,08)\approx0,076960427\) y la precisión \(10^{-6}\) queda garantizada.
Examen universitario: grado mínimo y cálculo de e elevado a 0,35
Determina el grado mínimo que garantiza un error menor que \(10^{-7}\) para \(e^{0,35}\). Calcula la aproximación y señala cuántos decimales quedan garantizados.
Falla.
Funciona.
Para justificar el redondeo conviene comprobar que todo el intervalo posible queda al mismo lado del punto de redondeo. Como los términos restantes son positivos y, desde el primero omitido, el cociente entre términos es como máximo \(0,35/9\),
Todo el intervalo redondea a \(1,4190675\); quedan garantizados siete decimales correctamente redondeados.
Resultado. El grado mínimo es \(7\) y \(e^{0,35}\approx1,4190675\) con siete decimales seguros.
Examen universitario: comparación de dos aproximaciones del seno
Para aproximar \(\sin(0,7)\), compara los polinomios de grados 3 y 5.
- Calcula ambas aproximaciones.
- Obtén cotas de Lagrange.
- Calcula los errores reales.
- Cuantifica la mejora conseguida al pasar de grado 3 a grado 5.
Usando \(\sin(0,7)=0,6442176872\ldots\),
El error real se reduce aproximadamente por un factor 85.
Resultado. El grado 5 proporciona una mejora muy clara y ambos errores reales quedan por debajo de sus respectivas cotas.
Interpretación. Las cotas son garantías; no tienen por qué coincidir con el error real ni ser especialmente ajustadas.
Examen universitario: decaimiento y precisión de 10 elevado a menos 9
En un modelo de decaimiento aparece el factor \(e^{-0,12}\).
- Determina el grado mínimo que garantiza error menor que \(10^{-9}\).
- Calcula el factor aproximado.
- Si una cantidad inicial vale 250 unidades, aproxima la cantidad final y acota su error.
En \([-0,12,0]\), \(e^t\le1\). Por tanto,
No alcanza la tolerancia.
Sí la alcanza.
La cota del error se multiplica también por 250:
Resultado. El grado mínimo es \(6\). El factor es \(0,8869204368\) y la cantidad final es aproximadamente \(221,73010920\), con error inferior a \(1,78\cdot10^{-8}\).
8. Práctica final
Práctica final · 12 ejercicios
Haz primero un intento sin abrir las soluciones. En los problemas de precisión, no basta con encontrar un grado que funcione: comprueba el grado anterior para justificar que es mínimo.
- Obtén el Maclaurin de grado 6 de \(e^{-2x}\).
- Calcula el Taylor de grado 3 de \(\sqrt{x}\) centrado en \(a=9\).
- Desarrolla \(\ln(1+3x)\) hasta grado 5.
- Aproxima \(\cos(0,15)\) con un polinomio de grado 4.
- Aproxima \(\sqrt{0,98}\) con Taylor de grado 3 alrededor de 1.
- Acota mediante Lagrange el error de \(P_4\) al aproximar \(e^{0,3}\).
- Determina el grado mínimo para calcular \(e^{-0,25}\) con error menor que \(10^{-7}\).
- Determina el grado mínimo para aproximar \(\sin(0,5)\) con error menor que \(5\cdot10^{-6}\).
- Calcula \(\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x)/x^2\).
- Calcula \(\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2\).
- Compara los grados 2 y 4 para aproximar \(\sqrt{1,1}\), con cota y error real.
- En el modelo \(C(t)=80e^{-0,03t}\), aproxima \(C(2)\) y encuentra el grado mínimo que garantiza error menor que 0,001.
Ver las 12 soluciones razonadas
1. Exponencial compuesta
Sustituimos \(u=-2x\) en \(e^u\) y conservamos hasta grado 6.
Comprobación. El coeficiente lineal es \(-2=f'(0)\).
2. Raíz centrada en 9
Con \(h=x-9\), se obtiene \(f(9)=3\), \(f'(9)=1/6\), \(f''(9)=-1/108\) y \(f'''(9)=1/648\).
3. Logaritmo compuesto
Sustituimos \(u=3x\) en \(\ln(1+u)\).
4. Coseno de 0,15
Por tanto, \(\cos(0,15)\approx0,988771094\).
5. Raíz de 0,98
Tomamos \(x=-0,02\) en \(\sqrt{1+x}\).
6. Cota para \(e^{0,3}\)
En \([0,0{,}3]\), la quinta derivada queda acotada por \(M=e^{0,3}\).
7. Grado mínimo para \(e^{-0,25}\)
En \([-0,25,0]\), puede tomarse \(M=1\).
Resultado. El grado mínimo es 6.
8. Grado mínimo para \(\sin(0,5)\)
Usamos el resto de una serie alternada. El grado 3 falla y el grado 5 funciona.
Resultado. El menor grado algebraico es 5.
9. Límite logarítmico
Al dividir entre \(x^2\) y hacer \(x\to0\), el límite vale \(-1/2\).
10. Límite trigonométrico
El límite vale \(1/2\).
11. Comparación de grados para \(\sqrt{1,1}\)
Con Lagrange, \(|R_2|\le6,25\cdot10^{-5}\) y \(|R_4|\le2,74\cdot10^{-7}\). Como \(\sqrt{1,1}=1,048808848\ldots\), los errores reales son aproximadamente \(5,88\cdot10^{-5}\) y \(2,54\cdot10^{-7}\). El grado 4 reduce el error unas 231 veces.
12. Modelo exponencial
El exponente \(u=-0,03\cdot2=-0,06\) es adimensional.
Resultado. El grado mínimo garantizado es 3 y \(C(2)\approx75,34112\).
Hoja de seguimiento
Marca el bloque trabajado y escribe un único error concreto que no quieras repetir.
| Bloque | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error a evitar |
|---|---|---|---|---|
| A · Construcción | ||||
| B · Centros | ||||
| C · Transformaciones | ||||
| D · Aproximaciones | ||||
| E · Cotas | ||||
| F · Grado mínimo | ||||
| G · Examen |
9. Errores frecuentes
Taylor es la herramienta adecuada cuando buscamos una aproximación local y queremos controlar el error. Si el ejercicio pregunta por convergencia, series numéricas o radio de convergencia, el siguiente paso es estudiar sucesiones y series.
10. Cómo continuar en Matemáticas universitarias
Si necesitas reforzar funciones, límites y derivadas, empieza por el curso cero. Después de Taylor, sucesiones y series es la continuación más directa. Newton-Raphson y ecuaciones diferenciales permiten aplicar estas ideas en otros problemas universitarios.
11. Preguntas frecuentes
¿Taylor y Maclaurin son lo mismo?
Maclaurin es el caso particular del polinomio de Taylor centrado en \(a=0\).
¿Qué diferencia hay entre un polinomio y una serie de Taylor?
El polinomio es una suma finita determinada por las derivadas en el centro. La serie es infinita y solo representa a la función donde converge y el resto tiende a 0.
¿Qué diferencia hay entre error real y cota del error?
El error real es \(|f(x)-P_n(x)|\). La cota es una garantía calculada sin necesitar el valor exacto de \(f(x)\); puede ser mayor que el error real.
¿Cómo se demuestra que el grado es mínimo?
Se comprueba que un grado cumple la tolerancia y que el grado algebraico anterior no la cumple. Si hay coeficientes nulos, hay que distinguir orden de Taylor y grado efectivo.
¿Cuándo conviene centrar el desarrollo fuera de 0?
Cuando el valor que se desea aproximar está más cerca de otro punto con derivadas sencillas, como \(\ln x\) alrededor de 1 o \(\sqrt{x}\) alrededor de 4 o 9.
¿Siempre se usa el resto de Lagrange?
No. Lagrange es una herramienta general. En desarrollos alternados con términos decrecientes puede usarse la cota por el primer término omitido, siempre que se justifiquen sus condiciones.
¿Sirve para ciencias e ingenierías?
Sí. Es especialmente útil cuando una exponencial, un logaritmo o una función trigonométrica se evalúa en un parámetro adimensional pequeño y se necesita conocer la precisión.