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Curso cero de Matemáticas para Ingeniería y Ciencias: de Bachillerato a la universidad

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Curso cero de Matemáticas para Ingeniería y Ciencias con álgebra, funciones, límites, derivadas, integrales, matrices y ejercicios resueltos
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Curso cero de Matemáticas para Ingeniería y Ciencias: de Bachillerato a la universidad

Guía de entrada a las matemáticas universitarias para alumnos que empiezan Ingeniería, Física, Química, Informática, Biotecnología, Farmacia, Arquitectura, Ciencia de Datos o grados científicos y técnicos. No es otro tema suelto: es diagnóstico, ruta de trabajo y entrenamiento real para llegar a primero con base.

Idea central. Muchos alumnos no suspenden primero porque sean incapaces. Suspenden porque llegan con huecos pequeños pero acumulados: fracciones, funciones, límites, derivadas, integrales, matrices, vectores, complejos y lectura de enunciados. Este curso cero está pensado para detectar esos huecos antes de que aparezcan en un parcial.
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Imprimir o guardar como PDFMatemáticas universitarias onlineClases online por la mañanaPrematrícula

1. Qué cambia de Bachillerato a la universidad

Menos repetición mecánica

En Bachillerato muchas tareas se entrenan por modelos. En universidad se mezclan ideas: una integral puede aparecer en Física, una matriz puede representar una transformación y una derivada puede ser una velocidad, una sensibilidad o una aproximación.

Más autonomía

El profesor universitario rara vez reconstruye fracciones, factorización, trigonometría, dominios, despejes o lectura gráfica. Eso debe llegar automatizado.

En BachilleratoEn universidadQué debe traer el alumno
Ejercicios por tema.Problemas mezclados.Elección de método.
Derivadas e integrales guiadas.Aplicaciones, modelos y varias variables.Reglas básicas automatizadas.
Matrices y sistemas.Álgebra lineal y transformaciones.Rango, sistemas y operaciones.
Vectores en geometría.Vectores en física, cálculo y álgebra.Producto escalar, vectorial e interpretación.

2. Prueba inicial de 30 ejercicios

Cómo usar esta prueba. No se trata de hacerla perfecta. Se trata de detectar si el alumno falla por contenido, por lentitud, por desorden o por falta de lectura.
  1. Fracciones.
  2. Factorización.
  3. Ecuación racional.
  4. Inecuación.
  5. Valor absoluto.
  6. Segundo grado.
  7. Sistema 2x2.
  8. Radicales.
  9. Logaritmos.
  10. Pendiente.
  11. Recta.
  12. Dominio.
  13. Composición.
  14. Límite por factorización.
  15. Límite por racionalización.
  16. Continuidad.
  17. Producto en derivadas.
  18. Cociente en derivadas.
  19. Tangente.
  20. Crecimiento.
  21. Integral inmediata.
  22. Cambio de variable.
  23. Área.
  24. Matrices.
  25. Determinantes.
  26. Rangos.
  27. Producto escalar.
  28. Producto vectorial.
  29. Complejos.
  30. Problema mixto.

3. Mapa de trabajo del curso cero

Basealgebra y despejesFuncionesdominio y modelosCalculolimites derivadas integralesUniversidadprimer cursoMatricessistemas y rangoVectoresgeometria y fisica

4. Bloques que deben estar dominados

Álgebra básica automatizada

Fracciones, potencias, raíces, factorización, ecuaciones, sistemas y despejes.

Funciones y gráficas

Dominio, composición, inversa, crecimiento, cortes y modelos.

Límites y continuidad

Indeterminaciones, factorización, racionalización, notables y continuidad.

Derivadas e integrales

Tangentes, extremos, optimización, primitivas, áreas y aplicaciones.

Matrices y sistemas

Operaciones, determinantes, rango, inversa y Rouché-Frobenius.

Vectores y complejos

Producto escalar, vectorial, rectas, planos y números complejos.

5. Plan de 6 semanas

SemanaTrabajoObjetivo
1Álgebra básica.Eliminar errores mecánicos.
2Funciones y gráficas.Leer modelos y dominios.
3Límites y continuidad.Entrar en cálculo sin bloqueo.
4Derivadas.Interpretar pendiente, crecimiento y optimización.
5Integrales.Trabajar áreas y aplicaciones.
6Matrices, vectores y complejos.Conectar con álgebra lineal y física.

6. 93 ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio resuelto 1. Fracciones que deben estar automatizadas

Simplifica \(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}+\frac{7}{12}\).

Paso 1. Denominador común.
\(\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\quad \frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)
Paso 2. Operar.
\(\frac{10-9+7}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Resultado: \(\frac{2}{3}\).

Ejercicio resuelto 2. Factorización esencial

Factoriza \(x^2-8x+15\).

Paso 1. Buscar dos números.

Suman \(-8\) y multiplican \(15\): \(-3\) y \(-5\).

Paso 2. Escribir factores.
\(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\)
Resultado: \((x-3)(x-5)\).

Ejercicio resuelto 3. Ecuación racional con restricción

Resuelve \(\frac{2x+1}{x-3}=5\), con \(x\ne3\).

Paso 1. Multiplicar.
\(2x+1=5(x-3)\)
Paso 2. Resolver.
\(2x+1=5x-15\Rightarrow 16=3x\)
Paso 3. Comprobar.
\(x=\frac{16}{3}\ne3\)
Resultado: \(x=\frac{16}{3}\).

Ejercicio resuelto 4. Inecuación con paréntesis

Resuelve \(4(x-2)+3\le 2x+9\).

Paso 1. Desarrollar.
\(4x-8+3\le2x+9\)
Paso 2. Agrupar.
\(2x\le14\)
Paso 3. Dividir.
\(x\le7\)
Resultado: \(x\le7\).

Ejercicio resuelto 5. Valor absoluto

Resuelve \(|3x-2|=10\).

Paso 1. Dos casos.
\(3x-2=10\quad\text{o}\quad 3x-2=-10\)
Paso 2. Resolver.
\(x=4\quad\text{o}\quad x=-\frac{8}{3}\)
Resultado: \(x=4\) o \(x=-\frac{8}{3}\).

Ejercicio resuelto 6. Segundo grado completa

Resuelve \(3x^2-5x-2=0\).

Paso 1. Discriminante.
\(\Delta=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=49\)
Paso 2. Soluciones.
\(x=\frac{5\pm7}{6}\)
Resultado: \(x=2\) y \(x=-\frac13\).

Ejercicio resuelto 7. Sistema por reducción

Resuelve \(\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}\).

Paso 1. Sumar ecuaciones.
\(3x=9\Rightarrow x=3\)
Paso 2. Sustituir.
\(3-y=1\Rightarrow y=2\)
Resultado: \((x,y)=(3,2)\).

Ejercicio resuelto 8. Radicales

Simplifica \(\sqrt{75}-\sqrt{12}+2\sqrt{27}\).

Paso 1. Extraer factores.
\(\sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3\)
Paso 2. Operar.
\(5\sqrt3-2\sqrt3+6\sqrt3=9\sqrt3\)
Resultado: \(9\sqrt3\).

Ejercicio resuelto 9. Logaritmo exponencial

Resuelve \(\log_3(x+2)=4\).

Paso 1. Forma exponencial.
\(x+2=3^4=81\)
Paso 2. Resolver.
\(x=79\)
Resultado: \(x=79\).

Ejercicio resuelto 10. Parámetro en ecuación

Calcula \(a\) para que \(x=3\) sea solución de \(ax-4=11\).

Paso 1. Sustituir.
\(3a-4=11\)
Paso 2. Resolver.
\(3a=15\Rightarrow a=5\)
Resultado: \(a=5\).

Ejercicio resuelto 11. Despeje universitario básico

Despeja \(t\) en \(s=s_0+vt\).

Paso 1. Aislar el término con t.
\(s-s_0=vt\)
Paso 2. Dividir.
\(t=\frac{s-s_0}{v}\)
Resultado: \(t=\frac{s-s_0}{v}\).

Ejercicio resuelto 12. Despeje con raíz

Despeja \(v\) en \(E=\frac12mv^2\), con \(v\ge0\).

Paso 1. Multiplicar por 2.
\(2E=mv^2\)
Paso 2. Dividir y hacer raíz.
\(v=\sqrt{\frac{2E}{m}}\)
Resultado: \(v=\sqrt{\frac{2E}{m}}\).

Ejercicio resuelto 13. Pendiente y lectura gráfica

Calcula la pendiente de la recta que pasa por \((2,2)\) y \((6,10)\).

Paso 1. Fórmula.
\(m=\frac{10-2}{6-2}=2\)
Paso 2. Interpretación.

La pendiente mide cuánto cambia la salida por cada unidad que avanza la entrada.

Resultado: \(m=2\).

Ejercicio resuelto 14. Recta punto-pendiente

Halla la recta de pendiente \(4\) que pasa por \((1,1)\).

Paso 1. Modelo.
\(y-1=4(x-1)\)
Paso 2. Ordenar.
\(y=4x+-3\)
Resultado: \(y=4x+-3\).

Ejercicio resuelto 15. Dominio con denominador

Calcula el dominio de \(f(x)=\frac{1}{x^2-36}\).

Paso 1. Excluir ceros.
\(x^2-36=0\Rightarrow x=\pm 6\)
Resultado: \(\mathbb R\setminus\{-6,6\}\).

Ejercicio resuelto 16. Dominio con raíz

Calcula el dominio de \(f(x)=\sqrt{6-x}\).

Paso 1. Radicando no negativo.
\(6-x\ge0\Rightarrow x\le 6\)
Resultado: \(( -\infty,6]\).

Ejercicio resuelto 17. Pendiente y lectura gráfica

Calcula la pendiente de la recta que pasa por \((6,10)\) y \((10,18)\).

Paso 1. Fórmula.
\(m=\frac{18-10}{10-6}=2\)
Paso 2. Interpretación.

La pendiente mide cuánto cambia la salida por cada unidad que avanza la entrada.

Resultado: \(m=2\).

Ejercicio resuelto 18. Recta punto-pendiente

Halla la recta de pendiente \(8\) que pasa por \((1,9)\).

Paso 1. Modelo.
\(y-9=8(x-1)\)
Paso 2. Ordenar.
\(y=8x+1\)
Resultado: \(y=8x+1\).

Ejercicio resuelto 19. Dominio con denominador

Calcula el dominio de \(f(x)=\frac{1}{x^2-100}\).

Paso 1. Excluir ceros.
\(x^2-100=0\Rightarrow x=\pm 10\)
Resultado: \(\mathbb R\setminus\{-10,10\}\).

Ejercicio resuelto 20. Dominio con raíz

Calcula el dominio de \(f(x)=\sqrt{10-x}\).

Paso 1. Radicando no negativo.
\(10-x\ge0\Rightarrow x\le 10\)
Resultado: \(( -\infty,10]\).

Ejercicio resuelto 21. Pendiente y lectura gráfica

Calcula la pendiente de la recta que pasa por \((10,18)\) y \((14,26)\).

Paso 1. Fórmula.
\(m=\frac{26-18}{14-10}=2\)
Paso 2. Interpretación.

La pendiente mide cuánto cambia la salida por cada unidad que avanza la entrada.

Resultado: \(m=2\).

Ejercicio resuelto 22. Recta punto-pendiente

Halla la recta de pendiente \(12\) que pasa por \((1,17)\).

Paso 1. Modelo.
\(y-17=12(x-1)\)
Paso 2. Ordenar.
\(y=12x+5\)
Resultado: \(y=12x+5\).

Ejercicio resuelto 23. Dominio con denominador

Calcula el dominio de \(f(x)=\frac{1}{x^2-196}\).

Paso 1. Excluir ceros.
\(x^2-196=0\Rightarrow x=\pm 14\)
Resultado: \(\mathbb R\setminus\{-14,14\}\).

Ejercicio resuelto 24. Dominio con raíz

Calcula el dominio de \(f(x)=\sqrt{14-x}\).

Paso 1. Radicando no negativo.
\(14-x\ge0\Rightarrow x\le 14\)
Resultado: \(( -\infty,14]\).

Ejercicio resuelto 25. Límite por sustitución

Calcula \(\lim_{x\to 2}(x^2+2x)\).

Paso 1. Sustituir.
\(2^2+2\cdot 2=8\)
Resultado: \(8\).

Ejercicio resuelto 26. Límite factorizando

Calcula \(\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\).

Paso 1. Factorizar.
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\)
Paso 2. Simplificar.
\(\lim_{x\to 3}(x+3)=6\)
Resultado: \(6\).

Ejercicio resuelto 27. Límite racionalizando

Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).

Paso 1. Racionalizar.
\(\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 2. Simplificar.
\(\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 3. Sustituir.
\(\frac12\)
Resultado: \(\frac12\).

Ejercicio resuelto 28. Límite en infinito

Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{2x^2-5}\).

Paso 1. Comparar grados.

Tienen el mismo grado. Mandan los coeficientes principales.

Paso 2. Resultado.
\(\frac{5}{2}\)
Resultado: \(\frac{5}{2}\).

Ejercicio resuelto 29. Continuidad por trozos

Calcula \(a\) para que \(f(x)=x+a\) si \(x<1\), y \(f(x)=6x\) si \(x\ge1\), sea continua.

Paso 1. Límite izquierdo.
\(1+a\)
Paso 2. Valor derecho.
\(6\)
Paso 3. Igualar.
\(1+a=6\Rightarrow a=5\)
Resultado: \(a=5\).

Ejercicio resuelto 30. Límite por sustitución

Calcula \(\lim_{x\to 7}(x^2+2x)\).

Paso 1. Sustituir.
\(7^2+2\cdot 7=63\)
Resultado: \(63\).

Ejercicio resuelto 31. Límite factorizando

Calcula \(\lim_{x\to 8}\frac{x^2-64}{x-8}\).

Paso 1. Factorizar.
\(x^2-64=(x-8)(x+8)\)
Paso 2. Simplificar.
\(\lim_{x\to 8}(x+8)=16\)
Resultado: \(16\).

Ejercicio resuelto 32. Límite racionalizando

Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).

Paso 1. Racionalizar.
\(\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 2. Simplificar.
\(\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 3. Sustituir.
\(\frac12\)
Resultado: \(\frac12\).

Ejercicio resuelto 33. Límite en infinito

Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{10x^2+1}{2x^2-10}\).

Paso 1. Comparar grados.

Tienen el mismo grado. Mandan los coeficientes principales.

Paso 2. Resultado.
\(\frac{10}{2}\)
Resultado: \(\frac{10}{2}\).

Ejercicio resuelto 34. Continuidad por trozos

Calcula \(a\) para que \(f(x)=x+a\) si \(x<1\), y \(f(x)=11x\) si \(x\ge1\), sea continua.

Paso 1. Límite izquierdo.
\(1+a\)
Paso 2. Valor derecho.
\(11\)
Paso 3. Igualar.
\(1+a=11\Rightarrow a=10\)
Resultado: \(a=10\).

Ejercicio resuelto 35. Límite por sustitución

Calcula \(\lim_{x\to 12}(x^2+2x)\).

Paso 1. Sustituir.
\(12^2+2\cdot 12=168\)
Resultado: \(168\).

Ejercicio resuelto 36. Límite factorizando

Calcula \(\lim_{x\to 13}\frac{x^2-169}{x-13}\).

Paso 1. Factorizar.
\(x^2-169=(x-13)(x+13)\)
Paso 2. Simplificar.
\(\lim_{x\to 13}(x+13)=26\)
Resultado: \(26\).

Ejercicio resuelto 37. Límite racionalizando

Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).

Paso 1. Racionalizar.
\(\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 2. Simplificar.
\(\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\)
Paso 3. Sustituir.
\(\frac12\)
Resultado: \(\frac12\).

Ejercicio resuelto 38. Límite en infinito

Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{15x^2+1}{2x^2-15}\).

Paso 1. Comparar grados.

Tienen el mismo grado. Mandan los coeficientes principales.

Paso 2. Resultado.
\(\frac{15}{2}\)
Resultado: \(\frac{15}{2}\).

Ejercicio resuelto 39. Derivada polinómica

Deriva \(f(x)=2x^3-2x+1\).

Paso 1. Regla de la potencia.
\(f^{\prime}(x)=6x^2-2\)
Resultado: \(f^{\prime}(x)=6x^2-2\).

Ejercicio resuelto 40. Derivada de producto

Deriva \(f(x)=x^3e^x\).

Paso 1. Producto.
\(f^{\prime}(x)=3x^2e^x+x^3e^x\)
Paso 2. Factorizar.
\(f^{\prime}(x)=e^x(3x^2+x^3)\)
Resultado: \(e^x(3x^2+x^3)\).

Ejercicio resuelto 41. Derivada de cociente

Deriva \(f(x)=\frac{x+4}{x-4}\).

Paso 1. Cociente.
\(f^{\prime}(x)=\frac{(x-4)-(x+4)}{(x-4)^2}\)
Paso 2. Simplificar.
\(f^{\prime}(x)=\frac{-8}{(x-4)^2}\)
Resultado: \(-\frac{8}{(x-4)^2}\).

Ejercicio resuelto 42. Recta tangente

Halla la tangente a \(f(x)=x^2+5x\) en \(x=1\).

Paso 1. Punto.
\(f(1)=6\)
Paso 2. Pendiente.
\(f^{\prime}(x)=2x+5,\quad f^{\prime}(1)=7\)
Paso 3. Recta.
\(y-6=7(x-1)\)
Resultado: \(y-6=7(x-1)\).

Ejercicio resuelto 43. Optimización elemental

Un rectángulo tiene perímetro \(28\). Expresa el área si un lado es \(x\).

Paso 1. Relación.
\(2x+2y=28\Rightarrow y=14-x\)
Paso 2. Área.
\(A(x)=x(14-x)\)
Paso 3. Máximo.
\(A^{\prime}(x)=14-2x\Rightarrow x={14\over 2}\)
Resultado: El máximo se alcanza con \(x=y=\frac{14}{2}\).

Ejercicio resuelto 44. Derivada polinómica

Deriva \(f(x)=7x^3-2x+1\).

Paso 1. Regla de la potencia.
\(f^{\prime}(x)=21x^2-2\)
Resultado: \(f^{\prime}(x)=21x^2-2\).

Ejercicio resuelto 45. Derivada de producto

Deriva \(f(x)=x^8e^x\).

Paso 1. Producto.
\(f^{\prime}(x)=8x^7e^x+x^8e^x\)
Paso 2. Factorizar.
\(f^{\prime}(x)=e^x(8x^7+x^8)\)
Resultado: \(e^x(8x^7+x^8)\).

Ejercicio resuelto 46. Derivada de cociente

Deriva \(f(x)=\frac{x+9}{x-9}\).

Paso 1. Cociente.
\(f^{\prime}(x)=\frac{(x-9)-(x+9)}{(x-9)^2}\)
Paso 2. Simplificar.
\(f^{\prime}(x)=\frac{-18}{(x-9)^2}\)
Resultado: \(-\frac{18}{(x-9)^2}\).

Ejercicio resuelto 47. Recta tangente

Halla la tangente a \(f(x)=x^2+10x\) en \(x=1\).

Paso 1. Punto.
\(f(1)=11\)
Paso 2. Pendiente.
\(f^{\prime}(x)=2x+10,\quad f^{\prime}(1)=12\)
Paso 3. Recta.
\(y-11=12(x-1)\)
Resultado: \(y-11=12(x-1)\).

Ejercicio resuelto 48. Optimización elemental

Un rectángulo tiene perímetro \(38\). Expresa el área si un lado es \(x\).

Paso 1. Relación.
\(2x+2y=38\Rightarrow y=19-x\)
Paso 2. Área.
\(A(x)=x(19-x)\)
Paso 3. Máximo.
\(A^{\prime}(x)=19-2x\Rightarrow x={19\over 2}\)
Resultado: El máximo se alcanza con \(x=y=\frac{19}{2}\).

Ejercicio resuelto 49. Derivada polinómica

Deriva \(f(x)=12x^3-2x+1\).

Paso 1. Regla de la potencia.
\(f^{\prime}(x)=36x^2-2\)
Resultado: \(f^{\prime}(x)=36x^2-2\).

Ejercicio resuelto 50. Derivada de producto

Deriva \(f(x)=x^13e^x\).

Paso 1. Producto.
\(f^{\prime}(x)=13x^12e^x+x^13e^x\)
Paso 2. Factorizar.
\(f^{\prime}(x)=e^x(13x^12+x^13)\)
Resultado: \(e^x(13x^12+x^13)\).

Ejercicio resuelto 51. Derivada de cociente

Deriva \(f(x)=\frac{x+14}{x-14}\).

Paso 1. Cociente.
\(f^{\prime}(x)=\frac{(x-14)-(x+14)}{(x-14)^2}\)
Paso 2. Simplificar.
\(f^{\prime}(x)=\frac{-28}{(x-14)^2}\)
Resultado: \(-\frac{28}{(x-14)^2}\).

Ejercicio resuelto 52. Recta tangente

Halla la tangente a \(f(x)=x^2+15x\) en \(x=1\).

Paso 1. Punto.
\(f(1)=16\)
Paso 2. Pendiente.
\(f^{\prime}(x)=2x+15,\quad f^{\prime}(1)=17\)
Paso 3. Recta.
\(y-16=17(x-1)\)
Resultado: \(y-16=17(x-1)\).

Ejercicio resuelto 53. Optimización elemental

Un rectángulo tiene perímetro \(48\). Expresa el área si un lado es \(x\).

Paso 1. Relación.
\(2x+2y=48\Rightarrow y=24-x\)
Paso 2. Área.
\(A(x)=x(24-x)\)
Paso 3. Máximo.
\(A^{\prime}(x)=24-2x\Rightarrow x={24\over 2}\)
Resultado: El máximo se alcanza con \(x=y=\frac{24}{2}\).

Ejercicio resuelto 54. Derivada polinómica

Deriva \(f(x)=17x^3-2x+1\).

Paso 1. Regla de la potencia.
\(f^{\prime}(x)=51x^2-2\)
Resultado: \(f^{\prime}(x)=51x^2-2\).

Ejercicio resuelto 55. Derivada de producto

Deriva \(f(x)=x^18e^x\).

Paso 1. Producto.
\(f^{\prime}(x)=18x^17e^x+x^18e^x\)
Paso 2. Factorizar.
\(f^{\prime}(x)=e^x(18x^17+x^18)\)
Resultado: \(e^x(18x^17+x^18)\).

Ejercicio resuelto 56. Integral polinómica

Calcula \(\int (2x^2-4x+1)dx\).

Paso 1. Integrar término a término.
\(\frac{2}{3}x^3-2x^2+x+C\)
Resultado: \(\frac{2}{3}x^3-2x^2+x+C\).

Ejercicio resuelto 57. Integral logarítmica

Calcula \(\int \frac{3}{x}dx\).

Paso 1. Regla.
\(3\ln|x|+C\)
Resultado: \(3\ln|x|+C\).

Ejercicio resuelto 58. Cambio de variable

Calcula \(\int 4x^{3}\cos(x^4)dx\).

Paso 1. Cambio.
\(u=x^4,\quad du=4x^3dx\)
Paso 2. Integrar.
\(\sin u+C\)
Paso 3. Volver.
\(\sin(x^4)+C\)
Resultado: \(\sin(x^4)+C\).

Ejercicio resuelto 59. Integral definida

Calcula \(\int_0^1 (5x+1)dx\).

Paso 1. Primitiva.
\(\frac{5}{2}x^2+x\)
Paso 2. Evaluar.
\(\frac{5}{2}+1\)
Resultado: \(\frac{5}{2}+1\).

Ejercicio resuelto 60. Área entre curvas

Calcula el área entre \(y=x\) y \(y=x^2\) en \([0,1]\).

Paso 1. Curva superior.

En ese intervalo, \(x\ge x^2\).

Paso 2. Integral.
\(A=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16\)
Resultado: \(\frac16\).

Ejercicio resuelto 61. Integral polinómica

Calcula \(\int (7x^2-4x+1)dx\).

Paso 1. Integrar término a término.
\(\frac{7}{3}x^3-2x^2+x+C\)
Resultado: \(\frac{7}{3}x^3-2x^2+x+C\).

Ejercicio resuelto 62. Integral logarítmica

Calcula \(\int \frac{8}{x}dx\).

Paso 1. Regla.
\(8\ln|x|+C\)
Resultado: \(8\ln|x|+C\).

Ejercicio resuelto 63. Cambio de variable

Calcula \(\int 9x^{8}\cos(x^9)dx\).

Paso 1. Cambio.
\(u=x^9,\quad du=9x^8dx\)
Paso 2. Integrar.
\(\sin u+C\)
Paso 3. Volver.
\(\sin(x^9)+C\)
Resultado: \(\sin(x^9)+C\).

Ejercicio resuelto 64. Integral definida

Calcula \(\int_0^1 (10x+1)dx\).

Paso 1. Primitiva.
\(\frac{10}{2}x^2+x\)
Paso 2. Evaluar.
\(\frac{10}{2}+1\)
Resultado: \(\frac{10}{2}+1\).

Ejercicio resuelto 65. Área entre curvas

Calcula el área entre \(y=x\) y \(y=x^2\) en \([0,1]\).

Paso 1. Curva superior.

En ese intervalo, \(x\ge x^2\).

Paso 2. Integral.
\(A=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16\)
Resultado: \(\frac16\).

Ejercicio resuelto 66. Integral polinómica

Calcula \(\int (12x^2-4x+1)dx\).

Paso 1. Integrar término a término.
\(\frac{12}{3}x^3-2x^2+x+C\)
Resultado: \(\frac{12}{3}x^3-2x^2+x+C\).

Ejercicio resuelto 67. Integral logarítmica

Calcula \(\int \frac{13}{x}dx\).

Paso 1. Regla.
\(13\ln|x|+C\)
Resultado: \(13\ln|x|+C\).

Ejercicio resuelto 68. Cambio de variable

Calcula \(\int 14x^{13}\cos(x^14)dx\).

Paso 1. Cambio.
\(u=x^14,\quad du=14x^13dx\)
Paso 2. Integrar.
\(\sin u+C\)
Paso 3. Volver.
\(\sin(x^14)+C\)
Resultado: \(\sin(x^14)+C\).

Ejercicio resuelto 69. Integral definida

Calcula \(\int_0^1 (15x+1)dx\).

Paso 1. Primitiva.
\(\frac{15}{2}x^2+x\)
Paso 2. Evaluar.
\(\frac{15}{2}+1\)
Resultado: \(\frac{15}{2}+1\).

Ejercicio resuelto 70. Área entre curvas

Calcula el área entre \(y=x\) y \(y=x^2\) en \([0,1]\).

Paso 1. Curva superior.

En ese intervalo, \(x\ge x^2\).

Paso 2. Integral.
\(A=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16\)
Resultado: \(\frac16\).

Ejercicio resuelto 71. Determinante 2x2

Calcula \(\det\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}\).

Paso 1. Fórmula.
\(2\cdot3-1\cdot2=4\)
Resultado: \(4\).

Ejercicio resuelto 72. Sistema lineal

Resuelve \(\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}\).

Paso 1. Sumar.
\(2x=8\Rightarrow x=4\)
Paso 2. Sustituir.
\(y=6-4=2\)
Resultado: \((x,y)=(4,2)\).

Ejercicio resuelto 73. Rango por dependencia

Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&4\\2&8\end{pmatrix}\).

Paso 1. Dependencia.

La segunda fila es el doble de la primera.

Paso 2. Conclusión.
\(\operatorname{rg}=1\)
Resultado: Rango \(1\).

Ejercicio resuelto 74. Autovalores de matriz diagonal

Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}5&0\\0&-5\end{pmatrix}\).

Paso 1. Matriz diagonal.

Los autovalores son las entradas diagonales.

Resultado: \(5\) y \(-5\).

Ejercicio resuelto 75. Determinante 2x2

Calcula \(\det\begin{pmatrix}6&1\\2&3\end{pmatrix}\).

Paso 1. Fórmula.
\(6\cdot3-1\cdot2=16\)
Resultado: \(16\).

Ejercicio resuelto 76. Sistema lineal

Resuelve \(\begin{cases}x+y=10\\x-y=6\end{cases}\).

Paso 1. Sumar.
\(2x=16\Rightarrow x=8\)
Paso 2. Sustituir.
\(y=10-8=2\)
Resultado: \((x,y)=(8,2)\).

Ejercicio resuelto 77. Rango por dependencia

Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&8\\2&16\end{pmatrix}\).

Paso 1. Dependencia.

La segunda fila es el doble de la primera.

Paso 2. Conclusión.
\(\operatorname{rg}=1\)
Resultado: Rango \(1\).

Ejercicio resuelto 78. Autovalores de matriz diagonal

Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}9&0\\0&-9\end{pmatrix}\).

Paso 1. Matriz diagonal.

Los autovalores son las entradas diagonales.

Resultado: \(9\) y \(-9\).

Ejercicio resuelto 79. Determinante 2x2

Calcula \(\det\begin{pmatrix}10&1\\2&3\end{pmatrix}\).

Paso 1. Fórmula.
\(10\cdot3-1\cdot2=28\)
Resultado: \(28\).

Ejercicio resuelto 80. Sistema lineal

Resuelve \(\begin{cases}x+y=14\\x-y=10\end{cases}\).

Paso 1. Sumar.
\(2x=24\Rightarrow x=12\)
Paso 2. Sustituir.
\(y=14-12=2\)
Resultado: \((x,y)=(12,2)\).

Ejercicio resuelto 81. Rango por dependencia

Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&12\\2&24\end{pmatrix}\).

Paso 1. Dependencia.

La segunda fila es el doble de la primera.

Paso 2. Conclusión.
\(\operatorname{rg}=1\)
Resultado: Rango \(1\).

Ejercicio resuelto 82. Autovalores de matriz diagonal

Halla los autovalores de \(\begin{pmatrix}13&0\\0&-13\end{pmatrix}\).

Paso 1. Matriz diagonal.

Los autovalores son las entradas diagonales.

Resultado: \(13\) y \(-13\).

Ejercicio resuelto 83. Módulo de un vector

Calcula el módulo de \((2,3)\).

Paso 1. Fórmula.
\(\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
Resultado: \(\sqrt{13}\).

Ejercicio resuelto 84. Producto escalar

Calcula \((3,1,-1)\cdot(2,0,3)\).

Paso 1. Operar.
\(3\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot3=3\)
Resultado: \(3\).

Ejercicio resuelto 85. Plano con normal

Halla el plano que pasa por \((1,0,4)\) con normal \((2,1,-1)\).

Paso 1. Ecuación.
\(2(x-1)+y-(z-4)=0\)
Paso 2. Ordenar.
\(2x+y-z+2=0\)
Resultado: \(2x+y-z+2=0\).

Ejercicio resuelto 86. Producto de complejos

Calcula \((5+i)(1-2i)\).

Paso 1. Distribuir.
\(5-25i+i-2i^2=7+(-9)i\)
Resultado: \(7+(-9)i\).

Ejercicio resuelto 87. Problema mixto de entrada

Calcula la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=6\).

Paso 1. Punto.
\(f(6)=36\)
Paso 2. Pendiente.
\(f^{\prime}(x)=2x,\quad f^{\prime}(6)=12\)
Paso 3. Recta.
\(y-36=12(x-6)\)
Resultado: \(y-36=12(x-6)\).

Ejercicio resuelto 88. Módulo de un vector

Calcula el módulo de \((7,8)\).

Paso 1. Fórmula.
\(\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}\)
Resultado: \(\sqrt{113}\).

Ejercicio resuelto 89. Producto escalar

Calcula \((8,1,-1)\cdot(2,0,8)\).

Paso 1. Operar.
\(8\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot8=8\)
Resultado: \(8\).

Ejercicio resuelto 90. Plano con normal

Halla el plano que pasa por \((1,0,9)\) con normal \((2,1,-1)\).

Paso 1. Ecuación.
\(2(x-1)+y-(z-9)=0\)
Paso 2. Ordenar.
\(2x+y-z+7=0\)
Resultado: \(2x+y-z+7=0\).

Ejercicio resuelto 91. Producto de complejos

Calcula \((10+i)(1-2i)\).

Paso 1. Distribuir.
\(10-210i+i-2i^2=12+(-19)i\)
Resultado: \(12+(-19)i\).

Ejercicio resuelto 92. Problema mixto de entrada

Calcula la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=11\).

Paso 1. Punto.
\(f(11)=121\)
Paso 2. Pendiente.
\(f^{\prime}(x)=2x,\quad f^{\prime}(11)=22\)
Paso 3. Recta.
\(y-121=22(x-11)\)
Resultado: \(y-121=22(x-11)\).

Ejercicio resuelto 93. Módulo de un vector

Calcula el módulo de \((12,13)\).

Paso 1. Fórmula.
\(\sqrt{12^2+13^2}=\sqrt{313}\)
Resultado: \(\sqrt{313}\).

7. 50 ejercicios propuestos con soluciones

Ejercicio propuesto 1

Simplifica \(\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\).

Solución: \(\frac{4}{6}\).

Ejercicio propuesto 2

Factoriza \(x^2-6x+9\).

Solución: \((x-3)^2\).

Ejercicio propuesto 3

Calcula \(\lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}\).

Solución: \(8\).

Ejercicio propuesto 4

Deriva \(f(x)=5x^3+x\).

Solución: \(f^{\prime}(x)=15x^2+1\).

Ejercicio propuesto 5

Calcula \(\int 6x^{5}dx\).

Solución: \(x^6+C\).

Ejercicio propuesto 6

Calcula \(\det\begin{pmatrix}7&1\\0&2\end{pmatrix}\).

Solución: \(14\).

Ejercicio propuesto 7

Resuelve \(x+y=8,\ x-y=2\).

Solución: \(x=\frac{10}{2},\ y=\frac{6}{2}\).

Ejercicio propuesto 8

Calcula el módulo de \((9,0,9)\).

Solución: \(9\sqrt2\).

Ejercicio propuesto 9

Calcula \((10+i)(1-i)\).

Solución: \(11+(-9)i\).

Ejercicio propuesto 10

Halla la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=11\).

Solución: \(y-121=22(x-11)\).

Ejercicio propuesto 11

Simplifica \(\frac{12}{6}+\frac{1}{3}\).

Solución: \(\frac{14}{6}\).

Ejercicio propuesto 12

Factoriza \(x^2-26x+169\).

Solución: \((x-13)^2\).

Ejercicio propuesto 13

Calcula \(\lim_{x\to 14}\frac{x^2-196}{x-14}\).

Solución: \(28\).

Ejercicio propuesto 14

Deriva \(f(x)=15x^3+x\).

Solución: \(f^{\prime}(x)=45x^2+1\).

Ejercicio propuesto 15

Calcula \(\int 16x^{15}dx\).

Solución: \(x^16+C\).

Ejercicio propuesto 16

Calcula \(\det\begin{pmatrix}17&1\\0&2\end{pmatrix}\).

Solución: \(34\).

Ejercicio propuesto 17

Resuelve \(x+y=18,\ x-y=2\).

Solución: \(x=\frac{20}{2},\ y=\frac{16}{2}\).

Ejercicio propuesto 18

Calcula el módulo de \((19,0,19)\).

Solución: \(19\sqrt2\).

Ejercicio propuesto 19

Calcula \((20+i)(1-i)\).

Solución: \(21+(-19)i\).

Ejercicio propuesto 20

Halla la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=21\).

Solución: \(y-441=42(x-21)\).

Ejercicio propuesto 21

Simplifica \(\frac{22}{6}+\frac{1}{3}\).

Solución: \(\frac{24}{6}\).

Ejercicio propuesto 22

Factoriza \(x^2-46x+529\).

Solución: \((x-23)^2\).

Ejercicio propuesto 23

Calcula \(\lim_{x\to 24}\frac{x^2-576}{x-24}\).

Solución: \(48\).

Ejercicio propuesto 24

Deriva \(f(x)=25x^3+x\).

Solución: \(f^{\prime}(x)=75x^2+1\).

Ejercicio propuesto 25

Calcula \(\int 26x^{25}dx\).

Solución: \(x^26+C\).

Ejercicio propuesto 26

Calcula \(\det\begin{pmatrix}27&1\\0&2\end{pmatrix}\).

Solución: \(54\).

Ejercicio propuesto 27

Resuelve \(x+y=28,\ x-y=2\).

Solución: \(x=\frac{30}{2},\ y=\frac{26}{2}\).

Ejercicio propuesto 28

Calcula el módulo de \((29,0,29)\).

Solución: \(29\sqrt2\).

Ejercicio propuesto 29

Calcula \((30+i)(1-i)\).

Solución: \(31+(-29)i\).

Ejercicio propuesto 30

Halla la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=31\).

Solución: \(y-961=62(x-31)\).

Ejercicio propuesto 31

Simplifica \(\frac{32}{6}+\frac{1}{3}\).

Solución: \(\frac{34}{6}\).

Ejercicio propuesto 32

Factoriza \(x^2-66x+1089\).

Solución: \((x-33)^2\).

Ejercicio propuesto 33

Calcula \(\lim_{x\to 34}\frac{x^2-1156}{x-34}\).

Solución: \(68\).

Ejercicio propuesto 34

Deriva \(f(x)=35x^3+x\).

Solución: \(f^{\prime}(x)=105x^2+1\).

Ejercicio propuesto 35

Calcula \(\int 36x^{35}dx\).

Solución: \(x^36+C\).

Ejercicio propuesto 36

Calcula \(\det\begin{pmatrix}37&1\\0&2\end{pmatrix}\).

Solución: \(74\).

Ejercicio propuesto 37

Resuelve \(x+y=38,\ x-y=2\).

Solución: \(x=\frac{40}{2},\ y=\frac{36}{2}\).

Ejercicio propuesto 38

Calcula el módulo de \((39,0,39)\).

Solución: \(39\sqrt2\).

Ejercicio propuesto 39

Calcula \((40+i)(1-i)\).

Solución: \(41+(-39)i\).

Ejercicio propuesto 40

Halla la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=41\).

Solución: \(y-1681=82(x-41)\).

Ejercicio propuesto 41

Simplifica \(\frac{42}{6}+\frac{1}{3}\).

Solución: \(\frac{44}{6}\).

Ejercicio propuesto 42

Factoriza \(x^2-86x+1849\).

Solución: \((x-43)^2\).

Ejercicio propuesto 43

Calcula \(\lim_{x\to 44}\frac{x^2-1936}{x-44}\).

Solución: \(88\).

Ejercicio propuesto 44

Deriva \(f(x)=45x^3+x\).

Solución: \(f^{\prime}(x)=135x^2+1\).

Ejercicio propuesto 45

Calcula \(\int 46x^{45}dx\).

Solución: \(x^46+C\).

Ejercicio propuesto 46

Calcula \(\det\begin{pmatrix}47&1\\0&2\end{pmatrix}\).

Solución: \(94\).

Ejercicio propuesto 47

Resuelve \(x+y=48,\ x-y=2\).

Solución: \(x=\frac{50}{2},\ y=\frac{46}{2}\).

Ejercicio propuesto 48

Calcula el módulo de \((49,0,49)\).

Solución: \(49\sqrt2\).

Ejercicio propuesto 49

Calcula \((50+i)(1-i)\).

Solución: \(51+(-49)i\).

Ejercicio propuesto 50

Halla la tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=51\).

Solución: \(y-2601=102(x-51)\).

8. Errores frecuentes al empezar primero

No dominar fracciones

Un error pequeño de signo o denominador destruye ejercicios largos.

Derivar sin interpretar

La derivada puede ser pendiente, velocidad, sensibilidad o aproximación.

Confundir límite y valor

Una función puede no estar definida en un punto y tener límite.

No revisar dominios

Raíces, logaritmos y denominadores mandan antes de operar.

Usar matrices como recetas

Rango, determinante e inversa tienen interpretación.

Separar demasiado materias

En universidad, cálculo, álgebra, física y geometría aparecen mezclados.

9. Ruta hacia otros recursos Marlu

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10. Preguntas frecuentes

¿Es solo para Ingeniería?

No. También sirve para Física, Química, Biotecnología, Informática, Farmacia, Arquitectura, Ciencia de Datos y grados científicos.

¿Cuándo conviene hacerlo?

Verano, septiembre o primeras semanas de curso. También funciona como plan de rescate si el primer cuatrimestre empieza mal.

¿Sustituye una asignatura universitaria?

No. Prepara la base para que la asignatura universitaria no empiece cuesta arriba.

Preparar el salto a la universidad con método

El paso de Bachillerato a Ingeniería, Ciencias o grados técnicos no se resuelve memorizando más fórmulas. Se resuelve ordenando la base, detectando huecos y entrenando problemas mezclados.

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