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Matemática financiera universitaria: interés compuesto, rentas, préstamos y amortización con ejercicios resueltos

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Matemática financiera universitaria: interés compuesto, rentas, préstamos y amortización con ejercicios resueltos

Guía universitaria para ADE, Economía, Finanzas, Contabilidad, Marketing y grados empresariales. Trabaja capitalización, actualización, tipos equivalentes, rentas, préstamos, cuadros de amortización, carencias, cancelaciones anticipadas y valoración de inversiones con problemas reales explicados paso a paso.

Matemática financiera · ADE · Economía · Rentas · Préstamos · Sistema francés · Amortización · VAN y TIR

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En Matemática Financiera, casi todo empieza por colocar bien el tiempo. Un capital de hoy no puede sumarse directamente con uno de dentro de tres años. Antes hay que llevarlos a una misma fecha. Cuando esa idea queda clara, las fórmulas dejan de parecer una colección arbitraria y empiezan a tener sentido.

1. El valor temporal del dinero

Dos capitales son financieramente equivalentes cuando, valorados en la misma fecha y con la misma ley financiera, producen el mismo valor. La fecha elegida se llama fecha focal.

hoy fecha focal futuro capitalizar → ← actualizar

2. Interés simple y compuesto

\[C_n=C_0(1+in)\qquad\text{interés simple}\]
\[C_n=C_0(1+i)^n\qquad\text{interés compuesto}\]

En interés simple, los intereses no se incorporan al capital. En interés compuesto, cada periodo empieza con un capital mayor porque los intereses anteriores también generan intereses.

3. Tipos nominales, efectivos y equivalentes

\[(1+i_a)=(1+i_m)^{12}=(1+i_t)^4\]

La equivalencia no se obtiene dividiendo siempre. Dividir el tipo anual entre doce solo es correcto cuando se trata de un tipo nominal convertible mensualmente.

Observación de profesor. Cuando un alumno mezcla tipo nominal y efectivo, el ejercicio puede parecer bien resuelto durante varias líneas y fallar desde el primer dato. Antes de operar, conviene escribir qué representa exactamente cada porcentaje.

4. Descuento y equivalencia financiera

\[D_c=Ndt,\qquad E=N-D_c\]
\[E=\frac{N}{1+it}\qquad\text{descuento racional simple}\]

En las ecuaciones de equivalencia todos los capitales deben trasladarse a una misma fecha. No se suman cantidades situadas en fechas distintas sin capitalizarlas o actualizarlas previamente.

5. Rentas financieras

\[S_n=R\frac{(1+i)^n-1}{i}\]
\[A_n=R\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\]

Estas expresiones corresponden a rentas constantes, temporales y pospagables. Si la renta es prepagable, el valor se multiplica por \(1+i\).

Pospagable RRRR Prepagable RRRR

6. Préstamos y sistema francés

\[A=P\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\]

En el sistema francés, la cuota es constante, pero su composición cambia. Al principio se pagan más intereses y se amortiza menos capital; con el tiempo ocurre lo contrario.

cuota 1cuota 2cuota 3cuota 4 amortizaciónintereses

Modelo completo de cuadro mensual

Antes de pasar a carencias y cancelaciones, conviene ver un cuadro mensual completo. La cuota permanece constante, los intereses disminuyen y la amortización de principal aumenta.

Cuadro de amortización mensual: préstamo de 12.000 € al 0,6 % mensual durante 12 meses
PeriodoCapital inicialInterésAmortizaciónCuotaCapital pendiente
112.000,00 €72,00 €967,43 €1.039,43 €11.032,57 €
211.032,57 €66,20 €973,23 €1.039,43 €10.059,34 €
310.059,34 €60,36 €979,07 €1.039,43 €9.080,27 €
49.080,27 €54,48 €984,95 €1.039,43 €8.095,32 €
58.095,32 €48,57 €990,86 €1.039,43 €7.104,47 €
67.104,47 €42,63 €996,80 €1.039,43 €6.107,67 €
76.107,67 €36,65 €1.002,78 €1.039,43 €5.104,88 €
85.104,88 €30,63 €1.008,80 €1.039,43 €4.096,09 €
94.096,09 €24,58 €1.014,85 €1.039,43 €3.081,23 €
103.081,23 €18,49 €1.020,94 €1.039,43 €2.060,29 €
112.060,29 €12,36 €1.027,07 €1.039,43 €1.033,23 €
121.033,23 €6,20 €1.033,23 €1.039,43 €0,00 €
capital inicial capital pendiente tiempo

7. Carencias y amortización anticipada

En una carencia parcial se pagan intereses y el capital no aumenta. En una carencia total no se paga nada y los intereses se añaden al principal. Una amortización anticipada puede utilizarse para reducir cuota o para reducir plazo.

Una idea que conviene explicar despacio. Reducir plazo y reducir cuota no producen el mismo ahorro de intereses. Mantener la cuota y acortar el préstamo suele reducir más los intereses futuros, aunque la decisión completa depende de comisiones, liquidez y condiciones contractuales.

8. Valoración de inversiones, VAN, TIR y bonos

\[VAN=-I_0+\sum_{t=1}^n\frac{F_t}{(1+k)^t}\]

La TIR es el tipo que hace \(VAN=0\). En un bono, el precio es el valor actual de sus cupones más el valor actual del nominal que se recupera al vencimiento.

9. Cincuenta ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio resuelto 1. Interés simple: capital final

Se depositan 12.000 € al 4,5 % anual simple durante 18 meses. Calcula el capital final.

\[C_n=C_0(1+in)\]
\[n=\frac{18}{12}=1{,}5\]
\[C_n=12000(1+0{,}045\cdot1{,}5)\]
\[C_n=12.810,00\]

Resultado. El capital final es 12.810,00 €.

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Ejercicio resuelto 2. Interés simple: calcular el tipo

Un capital de 8.000 € se convierte en 8.720 € en dos años mediante interés simple. Calcula el tipo anual.

\[8720=8000(1+2i)\]
\[\frac{8720}{8000}=1+2i\]
\[i=\frac{1{,}09-1}{2}=0{,}045\]

Resultado. El tipo de interés simple es el 4,5 % anual.

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Ejercicio resuelto 3. Interés simple: calcular el tiempo

¿Cuánto tiempo necesita un capital de 5.000 € para convertirse en 5.750 € al 6 % simple anual?

\[5750=5000(1+0{,}06n)\]
\[1{,}15=1+0{,}06n\]
\[n=\frac{0{,}15}{0{,}06}=2{,}5\]

Resultado. Se necesitan 2,5 años, es decir, 2 años y 6 meses.

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Ejercicio resuelto 4. Capitalización compuesta

Se invierten 15.000 € al 3,2 % efectivo anual durante cinco años. Calcula el capital acumulado.

Aquí conviene fijarse en una palabra: efectivo. El interés de cada año se incorpora al capital y también produce intereses.

\[C_5=15000(1+0{,}032)^5\]
\[C_5=17.558,59\]

Resultado. El capital acumulado es 17.558,59 €.

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Ejercicio resuelto 5. Valor actual de un capital futuro

¿Qué cantidad debe invertirse hoy al 4 % compuesto anual para disponer de 25.000 € dentro de cuatro años?

\[C_0=\frac{C_4}{(1+i)^4}\]
\[C_0=\frac{25000}{1{,}04^4}\]
\[C_0=21.370,10\]

Resultado. Hay que invertir hoy 21.370,10 €.

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Ejercicio resuelto 6. Tipo efectivo implícito

Un capital de 10.000 € se transforma en 12.500 € en seis años. Calcula el tipo efectivo anual compuesto.

\[12500=10000(1+i)^6\]
\[1+i=\left(\frac{12500}{10000}\right)^{1/6}\]
\[i=0,037891\]

Resultado. El tipo efectivo anual es aproximadamente 3,789 %.

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Ejercicio resuelto 7. Tiempo necesario para duplicar un capital

Calcula cuántos años tarda en duplicarse un capital al 5 % efectivo anual.

\[2=(1{,}05)^n\]
\[n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\]
\[n=14,2067\]

Resultado. El capital tarda aproximadamente 14,21 años en duplicarse.

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Ejercicio resuelto 8. Tipo mensual equivalente a un tipo anual

Calcula el tipo efectivo mensual equivalente a un 6 % efectivo anual.

\[(1+i_m)^{12}=1{,}06\]
\[i_m=1{,}06^{1/12}-1\]
\[i_m=0,00486755\]

Resultado. El tipo mensual equivalente es aproximadamente 0,4868 %.

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Ejercicio resuelto 9. Tipo anual equivalente a un tipo mensual

Una cuenta remunera al 0,5 % efectivo mensual. Calcula el tipo efectivo anual equivalente.

\[i_a=(1+0{,}005)^{12}-1\]
\[i_a=0,06167781\]

Resultado. El tipo efectivo anual equivalente es 6,168 %.

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Ejercicio resuelto 10. Tipo nominal convertible mensualmente

Un producto anuncia un 6 % nominal anual convertible mensualmente. Calcula su tipo efectivo anual.

Un error muy habitual es llamar TAE al 6 % directamente. El 6 % es nominal; el tipo de cada mes es 0,06/12.

\[i_m=\frac{0{,}06}{12}=0{,}005\]
\[i_a=(1+0{,}005)^{12}-1\]
\[i_a=0,06167781\]

Resultado. El tipo efectivo anual es aproximadamente 6,168 %.

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Ejercicio resuelto 11. Tipo trimestral equivalente

Calcula el tipo efectivo trimestral equivalente a un 8 % efectivo anual.

\[(1+i_t)^4=1{,}08\]
\[i_t=1{,}08^{1/4}-1\]
\[i_t=0,01942655\]

Resultado. El tipo trimestral equivalente es aproximadamente 1,943 %.

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Ejercicio resuelto 12. Rentabilidad real e inflación

Una inversión ofrece un 5,5 % anual y la inflación es del 2,8 %. Calcula la rentabilidad real exacta.

\[1+i_{\text{real}}=\frac{1+i}{1+\pi}\]
\[i_{\text{real}}=\frac{1{,}055}{1{,}028}-1\]
\[i_{\text{real}}=0,02626459\]

Resultado. La rentabilidad real es aproximadamente 2,626 %.

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Ejercicio resuelto 13. Descuento comercial simple

Se descuenta un efecto de nominal 20.000 € que vence dentro de 120 días. El descuento comercial es del 5 % anual, con año comercial de 360 días.

\[D=Ndt\]
\[D=20000\cdot0{,}05\cdot\frac{120}{360}\]
\[D=333,33\]
\[E=N-D\]

Resultado. El descuento es 333,33 € y el efectivo recibido es 19.666,67 €.

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Ejercicio resuelto 14. Descuento racional simple

Resuelve el ejercicio anterior utilizando descuento racional al 5 % simple anual.

\[E=\frac{N}{1+it}\]
\[E=\frac{20000}{1+0{,}05\cdot120/360}\]
\[E=19.672,13\]
\[D_r=N-E\]

Resultado. El efectivo es 19.672,13 € y el descuento racional es 327,87 €.

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Ejercicio resuelto 15. Comparar descuento comercial y racional

Compara los resultados de los dos ejercicios anteriores.

\[D_c=333,33\]
\[D_r=327,87\]
\[D_c-D_r=5,46\]

Resultado. Con el mismo nominal, plazo y porcentaje, el descuento comercial es mayor porque se calcula sobre el nominal, no sobre el efectivo.

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Ejercicio resuelto 16. Sustituir dos capitales por uno equivalente

Se deben pagar 3.000 € hoy y 5.000 € dentro de dos años. Sustituye ambos pagos por uno único dentro de un año, usando un 4 % compuesto anual.

La fecha focal será el final del primer año. Llevamos cada capital hasta esa fecha.

\[X=3000(1{,}04)+\frac{5000}{1{,}04}\]
\[X=7.927,69\]

Resultado. El pago equivalente dentro de un año es 7.927,69 €.

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Ejercicio resuelto 17. Valor actual de varias deudas

Calcula el valor actual de tres pagos: 2.000 € dentro de seis meses, 3.000 € dentro de un año y 4.000 € dentro de dos años, al 5 % efectivo anual.

\[VA=\frac{2000}{1{,}05^{0{,}5}}+\frac{3000}{1{,}05}+\frac{4000}{1{,}05^2}\]
\[VA=8.437,06\]

Resultado. El valor actual conjunto es 8.437,06 €.

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Ejercicio resuelto 18. Dividir una deuda en dos pagos iguales

Una deuda actual de 12.000 € se sustituye por dos pagos iguales al final del primer y del segundo año. El tipo es el 6 % efectivo anual.

\[12000=\frac{X}{1{,}06}+\frac{X}{1{,}06^2}\]
\[X=\frac{12000}{1/1{,}06+1/1{,}06^2}\]
\[X=6.545,24\]

Resultado. Cada pago debe ser de 6.545,24 €.

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Ejercicio resuelto 19. Valor final de una renta mensual

Se ingresan 200 € al final de cada mes durante 36 meses en una cuenta al 0,4 % efectivo mensual. Calcula el capital final.

\[S_{36}=200\frac{(1{,}004)^{36}-1}{0{,}004}\]
\[S_{36}=7.727,62\]

Resultado. El capital final es 7.727,62 €.

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Ejercicio resuelto 20. Valor actual de una renta

Una renta paga 500 € al final de cada mes durante 24 meses. El tipo es 0,5 % mensual. Calcula su valor actual.

\[A_{24}=500\frac{1-(1{,}005)^{-24}}{0{,}005}\]
\[A_{24}=11.281,43\]

Resultado. El valor actual de la renta es 11.281,43 €.

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Ejercicio resuelto 21. Cuota de ahorro para alcanzar un objetivo

Se quieren reunir 15.000 € en cuatro años mediante aportaciones mensuales al final de cada mes. La cuenta rinde un 0,3 % mensual.

\[15000=R\frac{(1{,}003)^{48}-1}{0{,}003}\]
\[R=15000\frac{0{,}003}{(1{,}003)^{48}-1}\]
\[R=291,01\]

Resultado. La aportación mensual necesaria es 291,01 €.

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Ejercicio resuelto 22. Renta prepagable: valor final

Se aportan 250 € al principio de cada mes durante 24 meses, al 0,4 % mensual. Calcula el valor final.

Al ser prepagable, cada aportación capitaliza un periodo más que en la renta pospagable.

\[S_{\text{pre}}=250\frac{(1{,}004)^{24}-1}{0{,}004}(1{,}004)\]
\[S_{\text{pre}}=6.309,41\]

Resultado. El valor final es 6.309,41 €.

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Ejercicio resuelto 23. Renta trimestral prepagable: valor actual

Una renta paga 700 € al principio de cada trimestre durante 12 trimestres. El tipo efectivo trimestral es 1,2 %.

\[VA_{\text{pre}}=700\frac{1-(1{,}012)^{-12}}{0{,}012}(1{,}012)\]
\[VA_{\text{pre}}=7.873,26\]

Resultado. El valor actual es 7.873,26 €.

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Ejercicio resuelto 24. Renta diferida

Se recibirán 1.000 € anuales durante cinco años. El primer pago llegará al final del tercer año. El tipo es 4 %.

Este es uno de esos ejercicios en los que la línea temporal evita casi todos los errores. Primero valoramos la renta en el instante 2 y después la descontamos hasta hoy.

\[VA_2=1000\frac{1-(1{,}04)^{-5}}{0{,}04}\]
\[VA_0=\frac{VA_2}{1{,}04^2}\]
\[VA_0=4.115,96\]

Resultado. El valor actual es 4.115,96 €.

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Ejercicio resuelto 25. Perpetuidad pospagable

Una inversión genera 1.200 € al final de cada año indefinidamente. El tipo de descuento es 5 %.

\[VA=\frac{R}{i}\]
\[VA=\frac{1200}{0{,}05}=24000\]

Resultado. El valor actual de la perpetuidad es 24.000 €.

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Ejercicio resuelto 26. Perpetuidad prepagable

Resuelve el ejercicio anterior si el primer pago de 1.200 € se recibe hoy.

\[VA_{\text{pre}}=R+\frac{R}{i}\]
\[VA_{\text{pre}}=1200+24000=25200\]

Resultado. El valor actual es 25.200 €.

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Ejercicio resuelto 27. Perpetuidad creciente

Se espera recibir 1.000 € dentro de un año y que el pago crezca un 2 % anual para siempre. El tipo de descuento es 6 %.

\[VA=\frac{R_1}{i-g}\]
\[VA=\frac{1000}{0{,}06-0{,}02}=25000\]

Resultado. El valor actual es 25.000 €.

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Ejercicio resuelto 28. Renta creciente temporal

Se recibirán 1.000 € dentro de un año y cinco pagos en total, creciendo un 2 % anual. El tipo de descuento es 6 %.

\[VA=R_1\frac{1-\left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i-g}\]
\[VA=1000\frac{1-\left(\frac{1{,}02}{1{,}06}\right)^5}{0{,}06-0{,}02}\]
\[VA=4.374,16\]

Resultado. El valor actual de la renta creciente es 4.374,16 €.

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Ejercicio resuelto 29. Fondo de ahorro para renovar maquinaria

Una empresa quiere reunir 50.000 € en cinco años para renovar maquinaria. Hará aportaciones mensuales al final de cada mes a un 0,35 % mensual.

\[50000=R\frac{(1{,}0035)^{60}-1}{0{,}0035}\]
\[R=750,35\]

Resultado. La aportación mensual necesaria es 750,35 €.

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Ejercicio resuelto 30. Plan de ahorro a diez años

Una persona aporta 150 € al final de cada mes durante diez años, a un 0,4 % mensual. Calcula el capital acumulado.

\[S=150\frac{(1{,}004)^{120}-1}{0{,}004}\]
\[S=23.044,79\]

Resultado. El capital acumulado es 23.044,79 €.

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Ejercicio resuelto 31. Préstamo francés: cuota constante

Se solicita un préstamo de 20.000 € al 5 % efectivo anual, amortizable mediante cinco cuotas anuales constantes.

\[A=P\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\]
\[A=20000\frac{0{,}05}{1-(1{,}05)^{-5}}\]
\[A=4.619,50\]

Resultado. La cuota anual es 4.619,50 €.

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Ejercicio resuelto 32. Interés y amortización de la primera cuota

Con el préstamo del ejercicio anterior, descompón la primera cuota en intereses y amortización.

\[I_1=20000\cdot0{,}05=1000\]
\[A_1=\text{cuota}-I_1\]
\[A_1=3.619,50\]

Resultado. La primera cuota contiene 1.000,00 € de intereses y 3.619,50 € de amortización.

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Ejercicio resuelto 33. Cuadro completo de amortización anual

Construye el cuadro de un préstamo de 10.000 € al 4 % anual, amortizable en cuatro cuotas constantes.

\[A=10000\frac{0{,}04}{1-(1{,}04)^{-4}}\]
\[A=2.754,90\]

En cada periodo, primero se calculan los intereses sobre el capital pendiente; después, la diferencia entre cuota e intereses amortiza principal.

Cuadro de amortización anual: préstamo de 10.000 € al 4 % durante 4 años
PeriodoCapital inicialInterésAmortizaciónCuotaCapital pendiente
110.000,00 €400,00 €2.354,90 €2.754,90 €7.645,10 €
27.645,10 €305,80 €2.449,10 €2.754,90 €5.196,00 €
35.196,00 €207,84 €2.547,06 €2.754,90 €2.648,94 €
42.648,94 €105,96 €2.648,94 €2.754,90 €0,00 €

Resultado. La cuota anual constante es 2.754,90 €.

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Ejercicio resuelto 34. Capital pendiente después de varias cuotas

En el préstamo de 20.000 € al 5 % durante cinco años, calcula el capital pendiente justo después de pagar la segunda cuota.

\[C_2=20000(1{,}05)^2-A\frac{(1{,}05)^2-1}{0{,}05}\]
\[C_2=12.580,03\]

Resultado. El capital pendiente después de la segunda cuota es 12.580,03 €.

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Ejercicio resuelto 35. Método prospectivo del capital pendiente

Comprueba el capital pendiente anterior valorando, en el instante 2, las tres cuotas que todavía faltan.

\[C_2=A\frac{1-(1{,}05)^{-3}}{0{,}05}\]
\[C_2=12.580,03\]

El método retrospectivo mira lo ocurrido; el prospectivo mira lo que queda. Si ambos están bien planteados, deben coincidir.

Resultado. El capital pendiente vuelve a ser 12.580,03 €.

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Ejercicio resuelto 36. Cancelación anticipada total de una hipoteca

Una hipoteca de 150.000 € se amortiza en 240 meses al 0,25 % mensual. Calcula la cuota y el capital pendiente después de 24 cuotas.

\[A=150000\frac{0{,}0025}{1-(1{,}0025)^{-240}}\]
\[A=831,90\]
\[C_{24}=150000(1{,}0025)^{24}-A\frac{(1{,}0025)^{24}-1}{0{,}0025}\]
\[C_{24}=138.713,37\]

Resultado. La cuota es 831,90 € y el capital pendiente tras 24 pagos es 138.713,37 €, antes de posibles comisiones.

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Ejercicio resuelto 37. Amortización parcial reduciendo la cuota

Después de 24 cuotas se amortizan anticipadamente 10.000 €. Se mantiene el plazo restante y el tipo. Calcula la nueva cuota.

\[C'_{24}=138.713,37-10000=128.713,37\]
\[A'=C'_{24}\frac{0{,}0025}{1-(1{,}0025)^{-216}}\]
\[A'=771,92\]

Resultado. La nueva cuota mensual es 771,92 €.

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Ejercicio resuelto 38. Amortización parcial reduciendo el plazo

En la misma hipoteca, se amortizan 10.000 € después de 24 cuotas, pero se mantiene la cuota original. Calcula el nuevo plazo restante.

\[C'_{24}=C_{24}-10000\]
\[C'_{24}=A\frac{1-(1+i)^{-n'}}{i}\]
\[n'=-\frac{\ln\left(1-\frac{iC'_{24}}{A}\right)}{\ln(1+i)}\]
\[n'=195,8747\]

Resultado. Quedan aproximadamente 195,87 meses, en lugar de 216.

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Ejercicio resuelto 39. Carencia total

Un préstamo de 100.000 € al 4 % anual concede un año de carencia total. Después se amortiza en nueve cuotas anuales constantes.

En carencia total no se pagan ni intereses ni principal. Los intereses se capitalizan.

\[C_1=100000(1{,}04)=104000\]
\[A=104000\frac{0{,}04}{1-(1{,}04)^{-9}}\]
\[A=13.987,27\]

Resultado. Después de la carencia, la cuota anual es 13.987,27 €.

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Ejercicio resuelto 40. Carencia parcial

Resuelve el caso anterior si durante el primer año solo se pagan intereses y después se amortiza el principal en nueve años.

\[I_1=100000\cdot0{,}04=4000\]

Como se pagan los intereses, el capital sigue siendo 100.000 € al terminar la carencia.

\[A=100000\frac{0{,}04}{1-(1{,}04)^{-9}}\]
\[A=13.449,30\]

Resultado. Durante la carencia se pagan 4.000 €; después, la cuota anual es 13.449,30 €.

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Ejercicio resuelto 41. Préstamo con pago final

Se reciben 30.000 € al 5 % anual. Se pagan 6.000 € al final de cada uno de los cuatro primeros años y un pago final en el quinto.

\[30000(1{,}05)^5=6000\left((1{,}05)^4+(1{,}05)^3+(1{,}05)^2+1{,}05\right)+B\]
\[B=11.134,66\]

Resultado. El pago final debe ser 11.134,66 €.

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Ejercicio resuelto 42. Revisión del tipo de una hipoteca

Una hipoteca de 120.000 € a 20 años comienza al 3 % nominal anual con pagos mensuales. Tras cinco años, el tipo pasa al 4 % nominal y se recalcula la cuota para los 15 años restantes.

\[i_1=\frac{0{,}03}{12}\]
\[A_1=665,52\]
\[C_{60}=96.370,52\]
\[i_2=\frac{0{,}04}{12}\]
\[A_2=712,84\]

Resultado. La cuota pasa de 665,52 € a 712,84 €.

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Ejercicio resuelto 43. Financiación de un vehículo

Un vehículo cuesta 30.000 €. Se entregan 6.000 € y se financian 24.000 € durante cinco años al 6 % nominal anual, con cuotas mensuales.

\[i_m=\frac{0{,}06}{12}=0{,}005\]
\[A=24000\frac{0{,}005}{1-(1{,}005)^{-60}}\]
\[A=463,99\]
\[\text{Desembolso total}=6000+60A=33.839,23\]

Resultado. La cuota mensual es 463,99 €; el desembolso total, sin otros gastos, es 33.839,23 €.

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Ejercicio resuelto 44. Comparar dos ofertas de financiación

Para financiar 20.000 € durante 48 meses, la oferta A aplica un 4 % nominal anual y una comisión inicial de 300 €. La oferta B aplica un 4,4 % nominal sin comisión. Compara el desembolso total.

\[A_A=451,58,\qquad A_B=455,17\]
\[T_A=48A_A+300=21.975,89\]
\[T_B=48A_B=21.848,15\]

Este cálculo compara desembolsos nominales. Para una comparación completa habría que incorporar todos los gastos y calcular el coste efectivo.

Resultado. La oferta A suma 21.975,89 €; la B, 21.848,15 €. En estas condiciones, resulta más barata la oferta B.

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Ejercicio resuelto 45. Valor actual neto de una inversión

Un proyecto exige 30.000 € hoy y genera 8.000 € al final de cada año durante cinco años. El tipo de descuento es 6 %.

\[VAN=-30000+8000\frac{1-(1{,}06)^{-5}}{0{,}06}\]
\[VAN=3.698,91\]

Resultado. El VAN es 3.698,91 €. Al ser positivo, el proyecto supera la rentabilidad exigida.

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Ejercicio resuelto 46. Tasa interna de retorno

Una inversión exige 10.000 € hoy y devuelve 6.000 € al final de cada uno de los dos próximos años. Calcula la TIR.

\[0=-10000+\frac{6000}{1+r}+\frac{6000}{(1+r)^2}\]

Multiplicamos por \((1+r)^2\) y resolvemos la ecuación cuadrática.

\[10000(1+r)^2-6000(1+r)-6000=0\]
\[r=0,13066239\]

Resultado. La TIR es aproximadamente 13,066 %.

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Ejercicio resuelto 47. Valor de un bono

Un bono de nominal 1.000 € paga un cupón anual del 4 % y vence dentro de cinco años. Si el mercado exige un 5 %, calcula su precio.

\[P=40\frac{1-(1{,}05)^{-5}}{0{,}05}+\frac{1000}{1{,}05^5}\]
\[P=956,71\]

Como el cupón es inferior a la rentabilidad exigida, el bono cotiza por debajo de su nominal.

Resultado. El precio teórico es 956,71 €.

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Ejercicio resuelto 48. Coste efectivo de un préstamo con comisión

Una persona recibe realmente 9.700 € y devuelve 12 cuotas mensuales de 900 €. Calcula el tipo mensual implícito y su equivalente anual.

\[9700=900\frac{1-(1+i_m)^{-12}}{i_m}\]

La ecuación se resuelve numéricamente.

\[i_m=0,01692599\]
\[i_a=(1+i_m)^{12}-1=0,22312873\]

Resultado. El coste efectivo es aproximadamente 1,693 % mensual y 22,313 % anual.

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Ejercicio resuelto 49. Objetivo de ahorro ajustado por inflación

Un bien cuesta hoy 30.000 € y se espera que su precio aumente un 2,5 % anual. Se comprará dentro de ocho años. ¿Qué aportación mensual al 0,4 % permite reunir el importe necesario?

\[C_8=30000(1{,}025)^8\]
\[C_8=36.552,09\]
\[C_8=R\frac{(1{,}004)^{96}-1}{0{,}004}\]
\[R=313,07\]

Resultado. El precio esperado es 36.552,09 € y la aportación mensual necesaria es 313,07 €.

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Ejercicio resuelto 50. Ecuación financiera mixta

En la fecha actual se dispone de 5.000 €. Dentro de dos años se recibirá otra cantidad de 3.000 €, pero dentro de cuatro años habrá que pagar 2.000 €. Calcula el capital equivalente al final del tercer año, al 4 %.

Llevamos cada capital a la fecha focal, el final del tercer año.

\[X=5000(1{,}04)^3+3000(1{,}04)-\frac{2000}{1{,}04}\]
\[X=6.821,24\]

Resultado. El capital equivalente en el año 3 es 6.821,24 €.

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10. Quince ejercicios propuestos con soluciones

Hay pocos ejercicios propuestos de forma deliberada: están seleccionados para comprobar si se reconoce el modelo sin copiar el procedimiento del ejemplo inmediatamente anterior.

  1. 1. Calcula el capital final de 9.000 € al 3,5 % compuesto durante cuatro años.

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    10.327,71 €

  2. 2. Calcula el valor actual de 18.000 € que se cobrarán dentro de cinco años al 4,5 %.

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    14.444,12 €

  3. 3. Obtén el tipo anual efectivo equivalente a un 0,6 % mensual.

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    7,442 %

  4. 4. Descuenta comercialmente un efecto de 15.000 € a 90 días, al 6 %, usando año de 360 días.

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    Descuento: 225,00 €. Efectivo: 14.775,00 €.

  5. 5. Sustituye 4.000 € hoy y 6.000 € dentro de dos años por un único pago dentro de un año, al 5 %.

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    9.914,29 €

  6. 6. Calcula el valor final de 300 € mensuales durante 24 meses al 0,45 % mensual.

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    7.585,19 €

  7. 7. Calcula el valor actual de una renta de 800 € anuales durante seis años al 4 %.

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    4.193,71 €

  8. 8. Calcula el valor actual de una perpetuidad de 1.500 € al 6 %.

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    25.000,00 €.

  9. 9. Determina la cuota anual de un préstamo de 15.000 € al 5 % durante cuatro años.

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    4.230,18 €

  10. 10. En el préstamo anterior, calcula los intereses de la primera cuota.

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    750,00 €.

  11. 11. Calcula el capital pendiente después de la tercera cuota de un préstamo de 25.000 € al 4 % durante seis años.

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    13.234,54 €

  12. 12. Un préstamo de 80.000 € al 3,6 % nominal se paga mensualmente durante 15 años. Calcula la cuota.

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    575,84 €

  13. 13. Calcula el VAN de una inversión de 20.000 € que produce 5.000 € anuales durante cinco años, al 5 %.

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    1.647,38 €

  14. 14. Un bono de 1.000 € paga cupón del 6 % y vence en cuatro años. Si el mercado exige 5 %, calcula su precio.

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    1.035,46 €

  15. 15. Un artículo cuesta hoy 12.000 € y sube un 3 % anual. Calcula su precio esperado dentro de seis años.

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    14.328,63 €

11. Dos simulacros universitarios

Simulacro 1. Capitalización, tipos y rentas

Tiempo recomendado: 90 minutos.

  1. Capitaliza 18.000 € durante cinco años al 3,8 % efectivo anual.
  2. Calcula el valor actual de 30.000 € pagaderos dentro de seis años al 4,2 %.
  3. Obtén el tipo mensual equivalente a un 7 % efectivo anual.
  4. Calcula la TAE de un 5,4 % nominal convertible mensualmente.
  5. Sustituye 4.000 € dentro de un año y 7.000 € dentro de tres años por un pago único dentro de dos años, al 5 %.
  6. Calcula el valor final de 250 € mensuales durante cuatro años al 0,35 % mensual.
  7. Calcula el valor actual de una renta de 1.200 € anuales durante ocho años al 4 %.
  8. Calcula el valor actual de una perpetuidad creciente cuyo primer pago es 900 €, crecimiento 1,5 % y descuento 5 %.
Soluciones orientativas

1. 21.689,99 €. 2. 23.437,70 €. 3. 0,5654 %. 4. 5,536 %. 5. 10.866,67 €. 6. 13.042,12 €. 7. 8.079,29 €. 8. 25.714,29 €.

Simulacro 2. Préstamos, amortización e inversión

Tiempo recomendado: 100 minutos.

  1. Calcula la cuota anual de un préstamo de 40.000 € al 5 % durante seis años.
  2. Descompón la primera cuota en intereses y amortización.
  3. Calcula el capital pendiente después de la tercera cuota.
  4. Si después de la tercera cuota se amortizan 5.000 €, calcula la nueva cuota manteniendo el plazo.
  5. Explica la diferencia entre carencia total y parcial.
  6. Calcula el VAN de una inversión de 50.000 € que genera 13.000 € anuales durante cinco años, al 6 %.
  7. Valora un bono de nominal 1.000 €, cupón 5 %, vencimiento 6 años y rentabilidad exigida 4 %.
  8. Explica por qué comparar solo la cuota de dos préstamos puede llevar a una conclusión equivocada.
Soluciones orientativas

1. 7.880,70 €. 2. Intereses: 2.000 €; amortización: 5.880,70 €. 3. 21.461,10 €. 4. 6.044,66 €. 5. En la total se capitalizan intereses; en la parcial se pagan y el principal se mantiene. 6. 4.760,73 €. 7. 1.052,42 €. 8. La cuota no incorpora por sí sola plazo, comisiones, gastos ni coste efectivo total.

12. Errores frecuentes

  • Sumar capitales situados en fechas distintas sin llevarlos a una fecha focal.
  • Confundir tipo nominal con tipo efectivo.
  • Dividir un tipo efectivo anual entre doce para obtener el mensual.
  • Usar una renta pospagable cuando los pagos se realizan al principio.
  • Descontar una renta diferida un periodo de más o de menos.
  • Calcular intereses sobre el capital inicial en todas las cuotas de un préstamo francés.
  • Confundir cuota con amortización de principal.
  • Olvidar que una carencia total aumenta la deuda.
  • Comparar préstamos solo por la cuota mensual.
  • Interpretar una TIR alta sin comprobar el VAN, el riesgo y la estructura de los flujos.

13. Ruta dentro del clúster universitario

14. Preguntas frecuentes

¿Este recurso sirve solo para ADE y Economía?

No. También es útil en Finanzas y Contabilidad, Marketing, Comercio, Turismo, Relaciones Laborales, Matemáticas Empresariales y asignaturas cuantitativas de otros grados.

¿Hay que memorizar todas las fórmulas?

Conviene conocer su estructura, pero lo importante es reconocer la línea temporal y el tipo de operación. Un alumno que entiende cuándo capitaliza y cuándo actualiza necesita memorizar bastante menos.

¿Por qué aparecen tantos tipos de interés?

Porque los contratos pueden expresar tipos mensuales, trimestrales, nominales o efectivos. Antes de utilizar una fórmula, el tipo y el periodo de los pagos deben estar expresados en la misma unidad temporal.

¿Un cuadro de amortización puede cambiar por redondeos?

Sí. En la práctica, las entidades redondean cada cuota y cada interés a céntimos. Por eso la última cuota puede ajustarse ligeramente para dejar el capital pendiente exactamente en cero.

Trabajar Matemática Financiera con método

En Matemática Financiera, los fallos suelen empezar antes de la calculadora: una fecha mal colocada, un tipo que no corresponde al periodo o una renta interpretada al revés. En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online con pizarra compartida, ejercicios del temario real y seguimiento paso a paso, también en horario de mañana.

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Autoría y revisión. Recurso elaborado por José María · Marlu Educativa. Material de apoyo para ADE, Economía, Finanzas, Contabilidad y primeros cursos universitarios.

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