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Ejercicios resueltos probabilidad bayes sucesos distribucion normal
Biblioteca Marlu Educativa® · 2.º Bachillerato y PAU
Aprende a elegir el suceso, reconocer la condición y justificar cada cálculo. El cuaderno reúne ejercicios de Ciencias y Ciencias Sociales, con el desarrollo y la comprobación junto a cada enunciado.
84 ejercicios con solución y comprobación · Elaboración propia de Marlu Educativa. El formulario se imprime aparte.
Ficha de clase · 6 actividades · Nombre __________________ Grupo ______ Fecha ______
Formulario esencial · Sucesos, Bayes, binomial y normal · Dos folios de consulta
Elige qué necesitas practicar
Antes de sustituir los datos
- Escribe el suceso. «Al menos uno» es una unión; «ambos», una intersección; «sabiendo que» introduce una condición.
- Elige el modelo. Comprueba independencia, reposición y qué significa cada parámetro.
- Calcula e interpreta. Conserva decimales intermedios, redondea al final y responde a lo que se pregunta.
Formulario esencial de probabilidad
Las fórmulas de consulta ocupan dos folios al imprimir. Cada una indica qué permite calcular. La tabla completa de la normal queda como consulta aparte en esta página.
Ver el formulario: fórmulas esenciales y uso de la tabla normal
Sucesos, probabilidad total, Bayes y binomial
\(A^c\) significa que no ocurre \(A\). \(A\cap B\), que ocurren ambos. \(A\cup B\), que ocurre al menos uno.
1. Sucesos y complementarios
| Qué se pide | Fórmula |
|---|---|
| Casos equiprobables | \(P(A)=\text{casos favorables}/\text{casos posibles}\). Solo si todos los resultados tienen la misma probabilidad. |
| No ocurre A | \(P(A^c)=1-P(A)\) |
| A o B, incluidos ambos | \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
| Solo A / solo B | \(P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)\) \(P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\) |
| Ninguno | \(P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)\) |
| Exactamente uno | \(P(A)+P(B)-2P(A\cap B)\) |
| No ocurren ambos a la vez | \(P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)\) |
De Morgan. \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\) y \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\). No es lo mismo ninguno que no ambos.
2. Condicionada, intersección e independencia
| Sabiendo que ha ocurrido B | \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\), con \(P(B)>0\) |
|---|---|
| Complementario con la misma condición | \(P(A^c\mid B)=1-P(A\mid B)\), con \(P(B)>0\) |
| Sabiendo que no ocurre B | \(P(A\mid B^c)=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}\), con \(P(B)<1\) |
| Multiplicar por un camino | \(P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B)\). Las condicionadas requieren \(P(A)>0\) y \(P(B)>0\), respectivamente. |
| Independientes | \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Saber uno no cambia la probabilidad del otro, cuando la condición tiene probabilidad positiva. |
| Incompatibles | \(A\cap B=\varnothing\). Si ambos tienen probabilidad positiva, no son independientes. |
3. Probabilidad total y Bayes
Los grupos no se solapan y abarcan toda la población. Con dos grupos \(A,B\) y un resultado \(R\), escribimos
Si la población se reparte entre tres grupos \(A,B,C\), se añade \(P(C)P(R\mid C)\). Total reúne todos los caminos que terminan en \(R\).
Bayes pregunta por el grupo cuando ya conocemos el resultado. Si se conoce el resultado contrario, usa \(P(R^c\mid A)=1-P(R\mid A)\) en todos los grupos.
4. Binomial
\(X\sim B(n,p)\) cuenta éxitos en \(n\) ensayos independientes, con dos resultados y la misma probabilidad \(p\) en cada ensayo.
\(k=0,1,\ldots,n\), \(0!=1\). El coeficiente cuenta en qué ensayos aparecen los éxitos. Por ejemplo, \(\binom52=10\).
| Como máximo 2 | \(P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\) |
|---|---|
| Al menos 1 / al menos k | \(P(X\ge1)=1-(1-p)^n\) \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\) |
| Media, varianza y desviación | \(\mu=np,\quad \sigma^2=np(1-p),\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}\) |
Distribución normal y consulta de la tabla
Escribimos \(X\sim N(\mu,\sigma)\), con \(\sigma>0\): el segundo parámetro es la desviación típica. Para usar la tabla, tipifica primero
5. Probabilidades directas
| Por debajo de a | \(P(X\le a)=\Phi((a-\mu)/\sigma)\) |
|---|---|
| Por encima de a | \(P(X\ge a)=1-\Phi((a-\mu)/\sigma)\) |
| Entre a y b, con a < b | \(P(a\le X\le b)=\Phi((b-\mu)/\sigma)-\Phi((a-\mu)/\sigma)\) |
| Valor negativo / punto aislado | \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\). En una normal, \(P(X=a)=0\); incluir el extremo no cambia el área. |
6. Buscar un valor, un percentil o un parámetro
Si \(P(X\le x)=p\), busca \(z_p\) con \(\Phi(z_p)=p\). Después, \(x=\mu+\sigma z_p\).
| Queda un q por encima | Busca \(p=1-q\). Por ejemplo, si queda un 5 % por encima, busca \(p=0{,}95\). |
|---|---|
| Intervalo central de probabilidad c | Busca \(p=(1+c)/2\). Los extremos son \(\mu-\sigma z_p\) y \(\mu+\sigma z_p\). |
| Media o desviación desconocida | De \(x=\mu+\sigma z_p\): \(\mu=x-\sigma z_p\); \(\sigma=(x-\mu)/z_p\) si \(z_p\ne0\). Con dos datos, plantea las dos ecuaciones. |
7. Cómo se busca en la tabla
Lectura directa. Para \(z=1{,}23\), fila 1,2 y columna 0,03: \(\Phi(1{,}23)\approx0{,}8907\). Para \(-1{,}23\), resta a uno: \(0{,}1093\). Para una cola derecha, también se resta a uno.
Lectura inversa. Busca la probabilidad dentro de la tabla y recupera fila y columna. Para \(p=0{,}95\), interpolando entre 1,64 y 1,65 o con calculadora, \(z\approx1{,}645\); para \(p=0{,}05\), \(z\approx-1{,}645\). Usa la precisión y el procedimiento admitidos en tu prueba.
Comprueba el encabezado. Si la tabla da el área de 0 a z, para \(z\ge0\) se suma 0,5. Si da cola derecha, se resta a uno. En este cuaderno la tabla es acumulada izquierda.
8. De binomial a normal: corrección de continuidad
Para aproximar \(B(n,p)\), usa \(Y\sim N(np,\sqrt{np(1-p)})\). Comprueba el modelo y el criterio de tu convocatoria; un control habitual es \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).
| Binomial | Normal aproximada | Binomial | Normal aproximada |
|---|---|---|---|
| \(X\le k\) | \(Y\le k+0{,}5\) | \(X\lt k\) | \(Y\le k-0{,}5\) |
| \(X\ge k\) | \(Y\ge k-0{,}5\) | \(X\gt k\) | \(Y\ge k+0{,}5\) |
| \(X=k\) | \(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5\) | ||
| \(a\le X\le b\) | \(a-0{,}5\le Y\le b+0{,}5\) | ||
Las fórmulas de continuidad se aplican a valores del recorrido binomial. Si el suceso ya es imposible o seguro, su probabilidad exacta es 0 o 1. No se corrige la continuidad cuando X ya es normal.
Sucesos: unión, contrarios e independencia
Distingue «ninguno», «solo uno» y «no ambos», completa las cuatro regiones y comprueba si los datos permiten responder.
Ejercicio 1 · Aprobar al menos una asignatura
La probabilidad de aprobar Matemáticas es \(0{,}74\); la de aprobar Física, \(0{,}58\), y la de aprobar ambas, \(0{,}42\). Calcula la probabilidad de aprobar al menos una, de no aprobar ninguna y de aprobar solo Matemáticas.
Ver solución y comprobación
Sean \(M\) y \(F\) los sucesos de aprobar cada asignatura. Al menos una es \(M\cup F\); solo Matemáticas es \(M\cap F^c\).
Las cuatro regiones valen \(0{,}42\), \(0{,}32\), \(0{,}16\) y \(0{,}10\): son no negativas y suman uno.
Ejercicio 2 · Recuperar la intersección a partir de la unión
Sean \(P(A)=0{,}62\), \(P(B)=0{,}48\) y \(P(A\cup B)=0{,}82\). Calcula la probabilidad de ambos, de solo \(B\) y de que ocurra exactamente uno de los dos.
Ver solución y comprobación
Las dos partes anteriores no pueden ocurrir a la vez:
\[P(\text{exactamente uno})=0{,}34+0{,}20=0{,}54.\]También \(P(\text{exactamente uno})=P(A\cup B)-P(A\cap B)=0{,}82-0{,}28=0{,}54\).
Ejercicio 3 · Independientes, pero compatibles
Se sabe que \(P(A)=0{,}35\), \(P(B)=0{,}40\) y \(P(A\cap B)=0{,}14\). Decide si son independientes, si son incompatibles y calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno.
Ver solución y comprobación
Son independientes.
No son incompatibles, porque \(P(A\cap B)=0{,}14>0\): pueden ocurrir ambos.
La independencia de los complementarios da el mismo valor: \((1-0{,}35)(1-0{,}40)=0{,}65\cdot0{,}60=0{,}39\).
Ejercicio 4 · Cuatro regiones a partir de la independencia
Los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes, con \(P(A)=0{,}60\) y \(P(B)=0{,}25\). Calcula la probabilidad de ambos, de solo \(A\), de ninguno y de exactamente uno.
Ver solución y comprobación
Las cuatro regiones suman \(0{,}15+0{,}45+0{,}10+0{,}30=1\).
Ejercicio 5 · Incompatibles no significa complementarios
Los sucesos \(A\) y \(B\) son incompatibles y tienen probabilidades \(0{,}35\) y \(0{,}25\). Calcula la unión y la probabilidad de ninguno. Decide si son independientes y si son complementarios.
Ver solución y comprobación
Como \(A\cap B=\varnothing\), no hay intersección que restar:
\[P(A\cup B)=0{,}35+0{,}25=0{,}60.\]No son complementarios: no cubren todo el espacio.
No son independientes.
Se puede repartir el espacio en tres regiones disjuntas de probabilidades \(0{,}35\), \(0{,}25\) y \(0{,}40\).
Ejercicio 6 · Un suceso y su contrario
Un suceso \(A\) tiene probabilidad \(0{,}36\) y \(B=A^c\). Halla \(P(B)\), \(P(A\cap B)\) y \(P(A\cup B)\). ¿Son independientes?
Ver solución y comprobación
Un suceso y su contrario no ocurren juntos y entre ambos cubren todos los resultados:
\[A\cap B=\varnothing,\qquad A\cup B=\Omega.\]Sus probabilidades son, respectivamente, \(0\) y \(1\).
No son independientes.
Los sucesos son complementarios e incompatibles, pero sus probabilidades positivas impiden la independencia.
Ejercicio 7 · Cuando un suceso está incluido en otro
Se cumple \(B\subseteq A\), \(P(A)=0{,}72\) y \(P(B)=0{,}28\). Calcula \(P(A\cup B)\), \(P(A\cap B^c)\) y \(P(A^c\cap B)\). Decide si \(A\) y \(B\) son independientes.
Ver solución y comprobación
Si ocurre \(B\), también ocurre \(A\). Por ello, \(A\cup B=A\) y \(A\cap B=B\):
\[P(A\cup B)=0{,}72,\qquad P(A\cap B)=0{,}28.\]No son independientes.
Las regiones posibles tienen probabilidades \(0{,}28\), \(0{,}44\) y \(0{,}28\), que suman uno.
Ejercicio 8 · De Morgan con una unión de contrarios
Sean \(P(A)=0{,}62\), \(P(B)=0{,}44\) y \(P(A^c\cup B^c)=0{,}78\). Calcula la intersección, la unión y la probabilidad de ninguno.
Ver solución y comprobación
Por De Morgan, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\):
\[P(A\cap B)=1-0{,}78=0{,}22.\]Las regiones de solo \(A\), solo \(B\), ambos y ninguno valen \(0{,}40\), \(0{,}22\), \(0{,}22\) y \(0{,}16\).
Ejercicio 9 · De ninguno a ambos
En una población, \(P(A)=0{,}58\), \(P(B)=0{,}47\) y \(P(A^c\cap B^c)=0{,}14\). Calcula la probabilidad de al menos uno, de ambos y de solo \(A\).
Ver solución y comprobación
Solo \(B\) vale \(0{,}28\); así, \(0{,}39+0{,}28+0{,}19+0{,}14=1\).
Ejercicio 10 · Distinguir solo A de solo B
Se sabe que \(P(A)=0{,}61\), \(P(B^c)=0{,}48\) y \(P(A\cap B^c)=0{,}26\). Calcula \(P(A\cap B)\), \(P(A^c\cap B)\) y \(P(A\cup B)\).
Ver solución y comprobación
Ahora se resta la intersección de \(B\), no de \(A\):
\[P(A^c\cap B)=0{,}52-0{,}35=0{,}17.\]La región de ninguno vale \(0{,}22\) y recupera \(P(B^c)=0{,}26+0{,}22=0{,}48\).
Ejercicio 11 · Leer una tabla de grupo y opinión
De \(200\) personas, \(80\) pertenecen al grupo \(G\); entre ellas, \(56\) están a favor de una propuesta. Entre las otras \(120\), hay \(54\) a favor. Sea \(F\) el suceso «estar a favor». Completa la tabla y calcula \(P(G\cup F)\), \(P(G^c\cap F)\) y si \(G\) y \(F\) son independientes.
Ver solución y comprobación
| Grupo | F | F contrario | Total |
|---|---|---|---|
| G | 56 | 24 | 80 |
| G contrario | 54 | 66 | 120 |
| Total | 110 | 90 | 200 |
No son independientes.
La unión excluye solo las \(66\) personas que no pertenecen a \(G\) ni están a favor: \(1-66/200=0{,}67\).
Ejercicio 12 · Completar una tabla con porcentajes
El \(64\%\) de una población estudia inglés, el \(30\%\) practica deporte y el \(22\%\) no hace ninguna de las dos actividades. Completa las cuatro regiones y calcula la probabilidad de hacer exactamente una. ¿Son independientes estudiar inglés y practicar deporte?
Ver solución y comprobación
Sean \(I\) y \(D\) los dos sucesos. La unión vale \(1-0{,}22=0{,}78\):
\[P(I\cap D)=0{,}64+0{,}30-0{,}78=0{,}16.\]| Región | Ambas | Solo inglés | Solo deporte | Ninguna |
|---|---|---|---|---|
| Porcentaje | 16 % | 48 % | 14 % | 22 % |
No son independientes.
Los porcentajes suman \(16+48+14+22=100\) y recuperan los dos datos iniciales.
Ejercicio 13 · Pasar de probabilidades a recuentos
Un grupo tiene \(240\) integrantes. El \(50\%\) pertenece a \(A\), el \(40\%\) a \(B\) y el \(25\%\) a ambos. Calcula cuántos pertenecen a cada una de las cuatro regiones y la probabilidad de pertenecer exactamente a uno.
Ver solución y comprobación
Solo \(A\): \(120-60=60\); solo \(B\): \(96-60=36\); ambos: \(60\); ninguno: \(240-60-36-60=84\).
Los cuatro recuentos suman \(60+36+60+84=240\); ninguna persona se cuenta dos veces.
Ejercicio 14 · Una probabilidad desconocida
Sean \(P(B)=0{,}42\), \(P(A\cap B)=0{,}18\) y \(P(A\cup B)=0{,}76\). Halla \(P(A)\), \(P(A^c\cap B)\) y la probabilidad de ninguno.
Ver solución y comprobación
Solo \(A\) vale \(0{,}34\), y \(0{,}34+0{,}24+0{,}18+0{,}24=1\).
Ejercicio 15 · Despejar una probabilidad usando independencia
Dos sucesos son independientes y verifican \(P(A)=2/3\), \(P(B)=p\) y \(P(A\cup B)=5/6\). Halla \(p\) y calcula \(P(A^c\cap B)\) y \(P(A^c\cap B^c)\).
Ver solución y comprobación
Las regiones de ambos, solo \(A\), solo \(B\) y ninguno valen \(1/3\), \(1/3\), \(1/6\) y \(1/6\).
Ejercicio 16 · Una intersección con parámetro
Sean \(P(A)=0{,}55\), \(P(B)=0{,}45\) y \(P(A\cap B)=t\). Determina los valores admisibles de \(t\), la probabilidad de exactamente uno en función de \(t\) y el valor que hace independientes a \(A\) y \(B\).
Ver solución y comprobación
Las cuatro regiones son \(t\), \(0{,}55-t\), \(0{,}45-t\) y \(t\). Todas son no negativas exactamente si
\[0\le t\le0{,}45.\]Está dentro del intervalo admisible.
Para \(t=0{,}2475\), las regiones son \(0{,}2475\), \(0{,}3025\), \(0{,}2025\) y \(0{,}2475\), que suman uno.
Ejercicio 17 · Una marginal con parámetro
Se conoce \(P(A)=t\), \(P(B)=0{,}40\) y \(P(A\cap B)=0{,}15\). Halla los valores admisibles de \(t\), expresa la unión en función de \(t\) y determina cuándo son independientes.
Ver solución y comprobación
Ambos: \(0{,}15\); solo \(A\): \(t-0{,}15\); solo \(B\): \(0{,}25\); ninguno: \(0{,}75-t\). Por tanto,
\[0{,}15\le t\le0{,}75.\]Es admisible, luego proporciona una solución válida.
Con \(t=0{,}375\), las regiones valen \(0{,}15\), \(0{,}225\), \(0{,}25\) y \(0{,}375\), y suman uno.
Ejercicio 18 · Detectar datos incompatibles entre sí
Un enunciado afirma que \(P(A)=0{,}42\), \(P(B)=0{,}31\) y \(P(A\cap B)=0{,}35\). Explica por qué esos datos son imposibles. Manteniendo las dos marginales, ¿qué valores podría tener la intersección?
Ver solución y comprobación
Como \(A\cap B\subseteq B\), debe cumplirse \(P(A\cap B)\le P(B)\). Aquí \(0{,}35>0{,}31\), luego los datos no pueden proceder de un mismo experimento.
La intersección no puede superar ninguna marginal:
\[P(A\cap B)\le\min(0{,}42,0{,}31)=0{,}31.\]Para una intersección \(x\), la región de ninguno vale \(1-0{,}42-0{,}31+x=0{,}27+x\). Basta exigir \(x\ge0\), de modo que
\[0\le P(A\cap B)\le0{,}31.\]El dato erróneo daría una probabilidad de solo \(B\) igual a \(0{,}31-0{,}35=-0{,}04\), lo que confirma la contradicción.
Ejercicio 19 · Lo que no permiten deducir dos marginales
Solo se conoce \(P(A)=0{,}50\) y \(P(B)=0{,}40\). Una solución da \(P(A\cup B)=0{,}70\). ¿Está justificado? Determina el intervalo posible de la unión y su valor si además se sabe que son independientes.
Ver solución y comprobación
Sin conocer la intersección, la unión no queda determinada. Si \(x=P(A\cap B)\),
\[P(A\cup B)=0{,}90-x.\]Las regiones no negativas permiten \(0\le x\le0{,}40\). Por ello,
\[0{,}50\le P(A\cup B)\le0{,}90.\]El resultado propuesto es posible, pero no se deduce de los datos iniciales.
Por ejemplo, \(x=0{,}10\) también es admisible y produce una unión de \(0{,}80\): las dos marginales no bastan.
Ejercicio 20 · Incompatibilidad con una probabilidad desconocida
Dos sucesos incompatibles cumplen \(P(A)=p\), \(P(B)=2p\), y la probabilidad de que no ocurra ninguno es \(0{,}25\). Halla \(p\), la probabilidad de exactamente uno y si son independientes.
Ver solución y comprobación
Al ser incompatibles, la unión es la suma y coincide con exactamente uno:
\[p+2p=0{,}75\quad\Longrightarrow\quad p=0{,}25,\qquad P(\text{exactamente uno})=0{,}75.\]No son independientes.
Las regiones de solo \(A\), solo \(B\) y ninguno valen \(0{,}25\), \(0{,}50\) y \(0{,}25\).
Ejercicio 21 · Tarjetas numeradas: unión e independencia
Se elige al azar una de doce tarjetas numeradas del \(1\) al \(12\), todas equiprobables. Sea \(A\): «número par» y \(B\): «múltiplo de tres». Calcula la probabilidad de al menos uno y de ninguno. ¿Son independientes?
Ver solución y comprobación
Hay seis pares, cuatro múltiplos de tres y dos números de ambos tipos: \(6\) y \(12\).
\[P(A)=\frac6{12}=\frac12,\quad P(B)=\frac4{12}=\frac13,\quad P(A\cap B)=\frac2{12}=\frac16.\]Son independientes.
Las tarjetas fuera de ambos sucesos son \(1,5,7,11\): cuatro entre doce, como se había obtenido.
Ejercicio 22 · La independencia también hay que comprobarla en dados
Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras de forma independiente. Sean \(A\): «el primer dado es par» y \(B\): «la suma es al menos nueve». Calcula \(P(A\cap B)\), estudia si \(A\) y \(B\) son independientes y halla \(P(A\cup B)\).
Ver solución y comprobación
Hay \(18\) resultados de \(A\). Las sumas \(9,10,11,12\) aportan \(4+3+2+1=10\) resultados de \(B\).
Si el primer dado es \(2\), no hay casos; si es \(4\), hay dos; si es \(6\), hay cuatro:
\[P(A\cap B)=\frac6{36}=\frac16\ne\frac{18}{36}\cdot\frac{10}{36}=\frac5{36}.\]Los dados son independientes, pero estos dos sucesos no lo son.
Los casos favorables a la unión son \(18\) con el primer dado par y otros \(4\) con el primer dado impar y suma al menos nueve: \(18+4=22\).
Probabilidad condicionada y extracciones
La condición cambia el grupo de referencia. Con reposición y sin ella, escribe las probabilidades de cada etapa antes de multiplicar.
Ejercicio 23 · Leer una tabla con la condición correcta
Una encuesta recoge estos datos de 120 estudiantes. Se elige uno al azar. Calcula la probabilidad de que use transporte público sabiendo que cursa Ciencias y la de que curse Ciencias sabiendo que usa transporte público. ¿Son independientes esos dos sucesos?
| Modalidad | Usa transporte público | No lo usa | Total |
|---|---|---|---|
| Ciencias | 36 | 18 | 54 |
| Humanidades | 24 | 42 | 66 |
| Total | 60 | 60 | 120 |
Ver solución y comprobación
Sean \(C\) el suceso «cursa Ciencias» y \(T\), «usa transporte público». En \(P(T\mid C)\), solo contamos los 54 estudiantes de Ciencias.
\[P(T\mid C)=\frac{36}{54}=\frac{2}{3}.\]Ahora el grupo de referencia lo forman los 60 usuarios del transporte público. De ellos, 36 cursan Ciencias.
\[P(C\mid T)=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}.\]Los sucesos no son independientes. Conocer la modalidad cambia la probabilidad de usar ese transporte.
También \(P(C\cap T)=36/120=3/10\), mientras que \(P(C)P(T)=(54/120)(60/120)=9/40\). Los resultados son distintos.
Ejercicio 24 · Sabiendo que ha ocurrido al menos uno
Sean \(P(A)=0{,}62\), \(P(B)=0{,}38\) y \(P(A\cap B)=0{,}28\). Se sabe que ha ocurrido al menos uno de los dos sucesos. Calcula la probabilidad de que hayan ocurrido ambos y la de que haya ocurrido exactamente uno.
Ver solución y comprobación
La información recibida es \(A\cup B\). Su probabilidad será el denominador de las dos respuestas.
\[P(A\cup B)=0{,}62+0{,}38-0{,}28=0{,}72.\]El suceso \(A\cap B\) está incluido en \(A\cup B\).
\[P(A\cap B\mid A\cup B)=\frac{0{,}28}{0{,}72}=\frac{7}{18}.\]Dentro de la unión, lo que no pertenece a la intersección corresponde a exactamente uno.
\[P(\text{exactamente uno}\mid A\cup B)=\frac{0{,}72-0{,}28}{0{,}72}=\frac{11}{18}.\]Una vez conocida la unión, «ambos» y «exactamente uno» son las dos posibilidades excluyentes: \(7/18+11/18=1\).
Ejercicio 25 · Dos dados con una suma conocida
Se lanzan de forma independiente dos dados equilibrados, uno rojo y otro azul. Se sabe que la suma es 8. Calcula la probabilidad de que el dado rojo muestre un 5 y la de que alguno de los dos muestre un 5.
Ver solución y comprobación
Los pares indican primero el resultado rojo y después el azul. De los 36 pares equiprobables, solo estos cumplen la condición:
\[(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2).\]Los cinco siguen siendo equiprobables al condicionar por la suma.
Solo el par (5,3) tiene un 5 en el dado rojo.
\[P(\text{rojo igual a }5\mid\text{suma }8)=\frac{1}{5}.\]Sirven (3,5) y (5,3). No puede salir un 5 en ambos porque la suma sería 10.
\[P(\text{algún }5\mid\text{suma }8)=\frac{2}{5}.\]Por simetría, el dado azul tiene probabilidad \(1/5\) de mostrar un 5 bajo esa condición. Los dos casos son incompatibles y suman \(2/5\).
Ejercicio 26 · Revisar la independencia al recibir información
Se lanza un dado equilibrado. Sean \(A\) «sale un número par» y \(B\) «sale un múltiplo de 3». Comprueba si son independientes. Después se informa de que no ha salido el 1. ¿Siguen siendo independientes dentro de los resultados que quedan?
Ver solución y comprobación
Tenemos \(A=\{2,4,6\}\), \(B=\{3,6\}\) y \(A\cap B=\{6\}\).
\[P(A)=\frac12,\qquad P(B)=\frac13,\qquad P(A\cap B)=\frac16=\frac12\cdot\frac13.\]Por tanto, al principio sí son independientes.
Sea \(C\) «no sale el 1». Quedan cinco caras equiprobables: 2, 3, 4, 5 y 6.
\[P(A\mid C)=\frac35,\qquad P(B\mid C)=\frac25,\qquad P(A\cap B\mid C)=\frac15.\]Con la información nueva ya no son independientes. La comprobación debe hacerse dentro del grupo condicionado.
Entre los múltiplos de 3 posibles, 3 y 6, la mitad son pares. Ese \(1/2\) no coincide con los \(3/5\) de pares que hay entre las cinco caras permitidas.
Ejercicio 27 · Dos bolas rojas sin devolver la primera
Una urna contiene 7 bolas rojas y 5 azules. Se extraen dos al azar, sin reposición y con todas las bolas disponibles equiprobables. Calcula la probabilidad de obtener dos rojas y la de que la segunda sea roja sabiendo que la primera ha sido azul.
Ver solución y comprobación
Si la primera es roja, quedan 6 rojas entre 11 bolas. Multiplicamos las probabilidades de ese camino:
\[P(R_1\cap R_2)=\frac{7}{12}\cdot\frac{6}{11}=\frac{7}{22}.\]Una primera azul deja intactas las 7 rojas. El total baja a 11.
\[P(R_2\mid A_1)=\frac{7}{11}.\]Si la primera hubiera sido roja, tendríamos \(P(R_2\mid R_1)=6/11\), no \(7/11\). Las extracciones no son independientes.
Tras una primera azul, las dos ramas siguientes suman \(7/11+4/11=1\); tras una roja, \(6/11+5/11=1\).
Ejercicio 28 · El efecto de devolver la bola
Una urna contiene 7 bolas blancas y 3 negras. Se extraen dos al azar. Calcula la probabilidad de obtener colores distintos y la de que la segunda sea blanca sabiendo que la primera es negra. Resuelve primero sin reposición y después devolviendo la primera bola antes de la segunda extracción.
Ver solución y comprobación
Los colores distintos corresponden a los caminos \(BN\) y \(NB\). La segunda extracción usa nueve bolas.
\[P(\text{distintos})=\frac{7}{10}\cdot\frac39+\frac{3}{10}\cdot\frac79=\frac{7}{15}.\]\[P(B_2\mid N_1)=\frac79.\]Al devolver la bola, la composición vuelve a ser la inicial. La segunda extracción es independiente de la primera.
\[P(\text{distintos})=\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{10}+\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{21}{50}.\]\[P(B_2\mid N_1)=\frac{7}{10}.\]Sin reposición, una primera negra deja más proporción de blancas: \(7/9>7/10\). No se pueden conservar los denominadores 10 cuando la bola no se devuelve.
Los complementarios «mismo color» valen \(8/15\) sin reposición y \(29/50\) con ella. Cada pareja de probabilidades suma uno.
Ejercicio 29 · Un orden concreto y todos los órdenes
Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen tres al azar y sin reposición. Calcula la probabilidad del orden roja, azul, roja y la de obtener exactamente dos rojas, sea cual sea el orden.
Ver solución y comprobación
En el camino \(RAR\), quedan dos azules tras la primera extracción y dos rojas tras la segunda.
\[P(RAR)=\frac35\cdot\frac24\cdot\frac23=\frac15.\]Exactamente dos rojas puede ocurrir por RRA, RAR o ARR. Los tres caminos son disjuntos.
\[P(\text{dos rojas})=\frac15+\frac15+\frac15=\frac35.\]Tres rojas tiene probabilidad \(1/10\) y exactamente una roja, \(3/10\). No pueden salir tres azules. Así, \(1/10+3/5+3/10=1\).
Ejercicio 30 · Tres extracciones y el complementario
Una bolsa contiene 5 fichas rojas y 3 azules. Se sacan tres al azar, sin devolverlas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una roja y la de obtener exactamente una roja.
Ver solución y comprobación
No obtener ninguna roja significa sacar las tres azules. Es un único camino:
\[P(AAA)=\frac38\cdot\frac27\cdot\frac16=\frac{1}{56}.\]\[P(\text{al menos una roja})=1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56}.\]Los órdenes ARA y AAR también dan \(5/56\). En los tres caminos se multiplican los numeradores 5, 3 y 2 y los denominadores 8, 7 y 6.
La roja puede ocupar la primera, la segunda o la tercera posición.
\[P(\text{exactamente una roja})=\frac{5}{56}+\frac{5}{56}+\frac{5}{56}=\frac{15}{56}.\]Las tres rojas tienen probabilidad \(10/56\) y exactamente dos rojas, \(30/56\). Junto con los otros casos: \((1+15+30+10)/56=1\).
Ejercicio 31 · Tres cargos distintos, sin repetir personas
Un equipo está formado por 4 personas de la sección A y 6 de la sección B. Se sortean, en este orden, presidencia, secretaría y vocalía entre las personas que aún no han salido. Calcula la probabilidad de que la presidencia sea de A y los otros dos cargos de B. Si ya se sabe que la presidencia es de A y la secretaría de B, ¿qué probabilidad hay de que la vocalía sea de A?
Ver solución y comprobación
No se puede asignar más de un cargo a la misma persona. Los totales bajan de 10 a 9 y a 8.
\[P(ABB)=\frac{4}{10}\cdot\frac69\cdot\frac58=\frac16.\]Tras elegir una persona de A y una de B, quedan 3 de A y 5 de B. La condición ya está dada: no volvemos a multiplicar por su probabilidad.
\[P(\text{vocalía de A}\mid\text{presidencia de A y secretaría de B})=\frac38.\]El primer cálculo describe tres elecciones desde el principio. El segundo empieza después de conocer las dos primeras y solo considera las ocho personas restantes.
Bajo la condición, la vocalía es de A con probabilidad \(3/8\) y de B con \(5/8\). Son las dos posibilidades y suman uno.
Ejercicio 32 · Las dos primeras personas son de cursos distintos
Hay 5 estudiantes de primero y 3 de segundo. Se eligen tres al azar, uno detrás de otro y sin repetir. Calcula la probabilidad de que los dos primeros sean de cursos distintos y el tercero de primero. Después calcula la probabilidad de que el tercero sea de primero sabiendo que los dos anteriores son de cursos distintos.
Ver solución y comprobación
Escribimos \(P\) para primero y \(S\) para segundo. Los caminos pedidos son \(PSP\) y \(SPP\).
\[P(PSP)=\frac58\cdot\frac37\cdot\frac46=\frac{5}{28},\]\[P(SPP)=\frac38\cdot\frac57\cdot\frac46=\frac{5}{28}.\]Si los dos primeros son de cursos distintos, ha salido uno de cada curso, en cualquier orden. Quedan 4 de primero y 2 de segundo.
\[P(\text{tercero de primero}\mid\text{dos primeros distintos})=\frac46=\frac23.\]La condición tiene probabilidad \((5/8)(3/7)+(3/8)(5/7)=15/28\). El cociente \((5/14)/(15/28)=2/3\) confirma el recuento de los seis estudiantes restantes.
Probabilidad total y Bayes: grupos, tablas y urnas
La probabilidad total reúne los caminos del resultado observado. Bayes conserva los del origen que se pregunta y divide por ese total.
Ejercicio 33 · Defectos de dos fábricas
Una empresa recibe el 60 % de sus piezas de A y el 40 % de B. En A es defectuoso el 3 % y en B el 7 %. Se elige una pieza al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuosa y, si lo es, la de que proceda de B.
Ver solución y comprobación
\(D\) significa «pieza defectuosa». Las procedencias A y B son excluyentes y reúnen todas las piezas.
El denominador reúne todos los casos del suceso observado; el numerador conserva los de \(B\).
\[P(B\mid D)=\frac{P(B)P(D\mid B)}{P(D)}=\frac{0{,}4\cdot0{,}07}{0{,}046}=\frac{14}{23}\approx0{,}6087.\]Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(D\) son \(\frac{9}{23}\), \(\frac{14}{23}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 34 · Procedencia de una pieza sin defecto
El 70 % de unas piezas procede del taller A y el 30 % del taller B. Sus porcentajes de defectos son el 4 % y el 10 %, respectivamente. Elegida una pieza al azar, calcula la probabilidad de que no sea defectuosa y la de que proceda de A sabiendo que no tiene defecto.
Ver solución y comprobación
\(D\) es «pieza defectuosa». Usamos el complementario dentro de cada grupo:
\[P(D^c\mid A)=0{,}96,\qquad P(D^c\mid B)=0{,}9.\]Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(D^c\) son \(\frac{112}{157}\), \(\frac{45}{157}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 35 · Una entrega que llega tarde
Una mensajería utiliza la ruta A en el 45 % de sus envíos y la B en el 55 %. Se retrasa el 8 % de los envíos de A y el 4 % de los de B. Calcula la probabilidad de retraso y la de haber utilizado A si el envío ha llegado tarde.
Ver solución y comprobación
\(R\) es «el envío se retrasa». Un retraso puede proceder de cualquiera de las dos rutas.
La probabilidad total queda entre las de las procedencias: \(0{,}04\le 0{,}058\le 0{,}08\). Los pesos de los grupos suman uno.
Ejercicio 36 · Pago con tarjeta o en efectivo
En una tienda, el 65 % de las compras se paga con tarjeta y el resto en efectivo. Se devuelve el 6 % de las compras con tarjeta y el 2 % de las pagadas en efectivo. Calcula la probabilidad de devolución y la de que una compra devuelta se hubiera pagado en efectivo.
Ver solución y comprobación
\(T\) y \(E\) indican la forma de pago; \(V\), que se devuelve la compra. Cada compra pertenece a una sola forma de pago.
El resultado recupera la probabilidad conjunta: \(\frac{7}{46}\cdot \frac{23}{500}=\frac{7}{1000}\), igual al producto del peso del grupo por su tasa.
Ejercicio 37 · Suspensos de dos grupos
El 40 % del alumnado de un centro pertenece al grupo A y el 60 % al B. Aprueba una prueba el 85 % de A y el 70 % de B. Calcula la probabilidad de suspender y la de pertenecer a B sabiendo que se ha suspendido.
Ver solución y comprobación
\(S\) es «suspender la prueba». Usamos el complementario dentro de cada grupo:
\[P(S\mid A)=0{,}15,\qquad P(S\mid B)=0{,}3.\]Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(S\) son \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{4}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 38 · Tres máquinas y todas las procedencias
Las máquinas A, B y C fabrican el 20 %, el 30 % y el 50 % de las piezas de una fábrica. Son defectuosas el 1 %, el 3 % y el 4 % de sus respectivas producciones. Calcula la probabilidad de defecto y las tres probabilidades de procedencia si se encuentra un defecto.
Ver solución y comprobación
\(D\) es «pieza defectuosa». Se suman tres caminos excluyentes, uno por máquina.
El denominador reúne todos los casos del suceso observado; el numerador conserva los de \(C\).
\[P(C\mid D)=\frac{P(C)P(D\mid C)}{P(D)}=\frac{0{,}5\cdot0{,}04}{0{,}031}=\frac{20}{31}\approx0{,}6452.\]\[P(A\mid D)=\frac{2}{31}\approx0{,}0645,\qquad P(B\mid D)=\frac{9}{31}\approx0{,}2903.\]Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(D\) son \(\frac{2}{31}\), \(\frac{9}{31}\), \(\frac{20}{31}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 39 · Becas en tres centros
El 30 % de un conjunto de estudiantes procede del centro A, el 45 % del B y el 25 % del C. Obtiene una beca el 20 % de A, el 12 % de B y el 8 % de C. Se elige un estudiante al azar. Calcula la probabilidad de que tenga beca y la de proceder de A si tiene beca.
Ver solución y comprobación
\(K\) significa «obtener beca». Las proporciones de cada centro se refieren al conjunto completo de estudiantes.
El resultado recupera la probabilidad conjunta: \(\frac{30}{67}\cdot \frac{67}{500}=\frac{3}{50}\), igual al producto del peso del grupo por su tasa.
Ejercicio 40 · Un libro en lengua extranjera
El 35 % de los libros de una biblioteca está en la sala A, el 40 % en la B y el 25 % en la C. Está escrito en lengua extranjera el 10 % de A, el 25 % de B y el 40 % de C. Se elige un libro al azar entre todos los de la biblioteca. Calcula la probabilidad de que sea de lengua extranjera y, si lo es, la de estar en C.
Ver solución y comprobación
\(L\) indica «libro en lengua extranjera». Elegir entre todos los libros conserva los pesos de las tres salas.
Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(L\) son \(\frac{7}{47}\), \(\frac{20}{47}\), \(\frac{20}{47}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 41 · De una tabla a la probabilidad condicionada
En un curso hay 180 alumnos. La tabla recoge su grupo y si han aprobado. Elegido un alumno al azar, calcula la probabilidad de aprobar, la de pertenecer a B sabiendo que ha aprobado y la de aprobar sabiendo que pertenece a B.
| Grupo | Aprueba | Suspende | Total |
|---|---|---|---|
| A | 42 | 18 | 60 |
| B | 54 | 66 | 120 |
| Total | 96 | 84 | 180 |
Ver solución y comprobación
Sea \(E\) el suceso «aprobar». Sin condición se consideran los 180 alumnos:
\[P(E)=\frac{96}{180}=\frac{8}{15}\approx0{,}5333.\]Ahora el grupo de referencia tiene 96 alumnos, de los que 54 pertenecen a B:
\[P(B\mid E)=\frac{54}{96}=\frac{9}{16}=0{,}5625.\]Al invertir la condición, el denominador cambia a los 120 alumnos de B:
\[P(E\mid B)=\frac{54}{120}=\frac{9}{20}=0{,}45.\]Las dos condicionadas no coinciden: \(9/16\ne9/20\). Comparten los 54 casos del numerador, pero no el grupo sobre el que se calcula la probabilidad.
Ejercicio 42 · Reconstruir el árbol a partir de cantidades
Una empresa revisa 500 componentes. De los 200 fabricados por A, 10 son defectuosos; de los 300 fabricados por B, 12 son defectuosos. Escribe las probabilidades de procedencia y de defecto en cada procedencia. Calcula después la probabilidad de defecto y la de proceder de A si un componente es defectuoso.
Ver solución y comprobación
Hay \(10+12=22\) defectuosos. El cálculo directo da \(P(D)=22/500=0{,}044\) y \(P(A\mid D)=10/22=5/11\).
Ejercicio 43 · Elegir una urna no es elegir una bola
La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 azules; la B, 2 rojas y 8 azules. Compara dos experimentos. En el primero se elige una urna al azar, ambas con la misma probabilidad, y se extrae una bola. En el segundo se mezclan las 15 bolas y se elige una al azar. En cada experimento calcula la probabilidad de roja y la de que una bola roja proceda de A.
Ver solución y comprobación
La urna A aporta cinco de las quince bolas. Ya no se elige cada urna con probabilidad 1/2:
\[P(R)=\frac5{15}=\frac13,\qquad P(A\mid R)=\frac35.\]En el primer experimento, cada bola de A pesa más que cada bola de B porque hay menos bolas en A. Al mezclar, todas las bolas tienen la misma probabilidad.
En la mezcla, el árbol correcto da \((5/15)(3/5)+(10/15)(2/10)=5/15\). Cambiar el mecanismo de elección cambia las probabilidades.
Ejercicio 44 · Tres urnas con elección desigual
Se elige la urna A con probabilidad 0,5, la B con 0,3 y la C con 0,2. La proporción de bolas rojas es 2/5 en A, 3/4 en B y 1/2 en C. Tras elegir la urna se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de roja y la de haber elegido B si sale roja.
Ver solución y comprobación
\(R\) es «extraer una bola roja». Las probabilidades de la primera elección son las del enunciado, no las cantidades de bolas.
La probabilidad total queda entre las de las procedencias: \(0{,}4\le 0{,}525\le 0{,}75\). Los pesos de los grupos suman uno.
Bayes con varias etapas y probabilidades desconocidas
Las extracciones, los traslados y las condiciones inversas exigen decidir qué cambia en cada camino.
Ejercicio 45 · Dos extracciones con reposición
Se elige al azar una de dos urnas, A o B. A contiene 4 bolas rojas y 2 azules, y B contiene 2 rojas y 4 azules. Se extraen dos bolas devolviendo la primera antes de sacar la segunda. Calcula la probabilidad de obtener dos rojas y la de haber elegido A sabiendo que ambas son rojas.
Ver solución y comprobación
Sea \(H\) el suceso «las dos bolas son rojas». La reposición mantiene la composición en la segunda extracción.
\[P(H\mid A)=\frac46\cdot\frac46=\frac{4}{9},\qquad P(H\mid B)=\frac26\cdot\frac26=\frac{1}{9}.\]La probabilidad de que la urna sea B, conocidas las dos rojas, es \(\frac{1}{5}\). Ambas procedencias suman uno. Dos rojas son más probables en A, por eso su probabilidad final supera 1/2.
Ejercicio 46 · Dos extracciones sin reposición
Se elige al azar una de dos urnas, A o B. A contiene 4 bolas rojas y 2 azules, y B contiene 2 rojas y 4 azules. Se extraen dos bolas sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de obtener dos rojas y la de haber elegido A sabiendo que ambas son rojas.
Ver solución y comprobación
Sea \(H\) el suceso «las dos bolas son rojas». Sin reposición, en la segunda extracción quedan cinco bolas y una roja menos si la primera era roja.
\[P(H\mid A)=\frac46\cdot\frac35=\frac{2}{5},\qquad P(H\mid B)=\frac26\cdot\frac15=\frac{1}{15}.\]La probabilidad de que la urna sea B, conocidas las dos rojas, es \(\frac{1}{7}\). Ambas procedencias suman uno. La segunda extracción usa 5 como denominador, no 6.
Ejercicio 47 · Trasladar una bola y buscar su color
La urna A contiene 3 bolas blancas y 2 negras; la B, 2 blancas y 4 negras. Se pasa al azar una bola de A a B y después se extrae al azar una bola de B. Calcula la probabilidad de que esta última sea blanca y la de que la bola trasladada fuera blanca si la extraída de B es blanca.
Ver solución y comprobación
Sea \(T\) «trasladar una blanca» y \(W\) «extraer después una blanca de B». Tras el traslado, B tiene siempre siete bolas:
\[P(T)=\frac35,\quad P(T^c)=\frac25,\quad P(W\mid T)=\frac37,\quad P(W\mid T^c)=\frac27.\]La parte que corresponde a trasladar una negra es \((2/5)(2/7)=4/35\). Condicionada a extraer blanca, su probabilidad es \(4/13\), complementaria de \(9/13\).
Ejercicio 48 · La primera extracción decide la urna siguiente
La urna A contiene 2 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola de A. Si es roja, se devuelve a A y se extrae otra de A. Si es azul, se deja fuera y la segunda bola se extrae de B, que contiene 4 rojas y 2 azules. Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja y la de que la primera fuera azul si la segunda es roja.
Ver solución y comprobación
Sean \(R_1\) y \(R_2\) los sucesos «roja en la primera» y «roja en la segunda». Cada color inicial determina una urna:
\[P(R_1)=\frac25,\quad P(R_2\mid R_1)=\frac25,\quad P(R_2\mid R_1^c)=\frac46.\]La primera roja y la segunda roja tienen probabilidad \(4/25\). Entre las segundas rojas representan \((4/25)/(14/25)=2/7\); el resto es \(5/7\).
Ejercicio 49 · Un aviso del control de calidad
Un lote tiene un 5 % de piezas defectuosas. Un control emite un aviso en el 90 % de las piezas defectuosas, pero también en el 4 % de las correctas. Calcula la probabilidad de aviso y la de que una pieza sea defectuosa sabiendo que ha dado aviso.
Ver solución y comprobación
\(D\) es «pieza defectuosa» y \(V\), «el control emite aviso». Un aviso puede ser correcto o proceder de una pieza sin defecto.
El denominador reúne todos los casos del suceso observado; el numerador conserva los de \(D\).
\[P(D\mid V)=\frac{P(D)P(V\mid D)}{P(V)}=\frac{0{,}05\cdot0{,}9}{0{,}083}=\frac{45}{83}\approx0{,}5422.\]Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(V\) son \(\frac{45}{83}\), \(\frac{38}{83}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 50 · Un resultado negativo del control
En una producción hay un 8 % de piezas defectuosas. Un aparato señala defecto en el 95 % de las defectuosas y en el 6 % de las correctas. Calcula la probabilidad de que no señale defecto y la de que una pieza sea realmente correcta si el aparato no señala defecto.
Ver solución y comprobación
\(D\) es «pieza defectuosa» y \(V\), «el aparato señala defecto». Usamos el complementario dentro de cada grupo:
\[P(V^c\mid D)=0{,}05,\qquad P(V^c\mid D^c)=0{,}94.\]La probabilidad total queda entre las de las procedencias: \(0{,}05\le 0{,}8688\le 0{,}94\). Los pesos de los grupos suman uno.
Ejercicio 51 · Una inscripción que no continúa
El 55 % de los inscritos elige el curso A y el 45 % el B. Continúa hasta el final el 80 % de A y el 90 % de B. Calcula la probabilidad de abandonar antes del final y la de estar inscrito en A sabiendo que se ha abandonado.
Ver solución y comprobación
\(F\) es «continuar hasta el final». Usamos el complementario dentro de cada grupo:
\[P(F^c\mid A)=0{,}2,\qquad P(F^c\mid B)=0{,}1.\]El resultado recupera la probabilidad conjunta: \(\frac{22}{31}\cdot \frac{31}{200}=\frac{11}{100}\), igual al producto del peso del grupo por su tasa.
Ejercicio 52 · Hallar una proporción con Bayes
Una empresa compra piezas a A y B. En A es defectuoso el 2 % y en B el 8 %. Entre las piezas defectuosas, la mitad procede de A. Calcula qué proporción de todas las piezas se compra a A.
Ver solución y comprobación
Sea \(D\) «pieza defectuosa» y \(x=P(A)\), con \(0\le x\le1\). Entonces \(P(B)=1-x\) y
\[P(D)=0{,}02x+0{,}08(1-x).\]El denominador es positivo para todo valor admisible de x. Multiplicamos y despejamos:
\[0{,}04x=0{,}02x+0{,}08-0{,}08x\quad\Longrightarrow\quad0{,}10x=0{,}08.\]Se compra a A el 80 % de las piezas.
Con esos pesos, A aporta \(0{,}8\cdot0{,}02=0{,}016\) defectuosas y B aporta \(0{,}2\cdot0{,}08=0{,}016\). Cada procedencia representa la mitad de los defectos.
Ejercicio 53 · Hallar el peso de una ruta con la probabilidad total
Una empresa utiliza dos rutas. En A se retrasa el 10 % de los envíos y en B el 4 %. La probabilidad global de retraso es 0,064. Calcula qué proporción de envíos sigue A y la de que un envío retrasado haya seguido B.
Ver solución y comprobación
Sea \(R\) «retraso» y \(x=P(A)\); el resto sigue B:
\[0{,}064=0{,}10x+0{,}04(1-x)=0{,}04+0{,}06x.\]Por tanto, \(P(B)=0{,}6\). Los dos pesos son admisibles y suman uno.
Los retrasos de A aportan \(0{,}4\cdot0{,}10=0{,}04\) y los de B, \(0{,}024\). Se recupera el total \(0{,}064\), y las probabilidades posteriores son \(5/8\) y \(3/8\).
Ejercicio 54 · Corregir una condición invertida
El 30 % de las reservas de un alojamiento se hace por la plataforma A y el 70 % por B. Se cancela el 12 % de las reservas de A y el 3 % de las de B. Un alumno afirma que, si una reserva está cancelada, la probabilidad de que proceda de A es 0,12. Explica el error y calcula esa probabilidad.
Ver solución y comprobación
Sea \(C\) «cancelación». El dato es \(P(C\mid A)=0{,}12\): probabilidad de cancelar entre las reservas de A. Se pide \(P(A\mid C)\), cuya referencia son todas las reservas canceladas.
En un modelo de 1 000 reservas habría 36 canceladas de A y 21 de B. De las 57 cancelaciones, \(36/57=12/19\) proceden de A, no el 12 %.
Distribución binomial: probabilidades y parámetros
Cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad. Traduce primero «exactamente», «como máximo» y «al menos».
Ejercicio 55 · Exactamente cinco aciertos
Un alumno responde seis preguntas independientes. En cada una acierta con probabilidad \(0{,}8\). Calcula la probabilidad de acertar exactamente cinco.
Ver solución y comprobación
\(X\) cuenta los aciertos. Hay seis ensayos independientes, con dos resultados y probabilidad constante, por lo que \(X\sim B(6,0{,}8)\).
Cinco aciertos implican un fallo, que puede ocupar cualquiera de las seis posiciones. Cada orden tiene probabilidad \(0{,}8^5\cdot0{,}2\).
La probabilidad es aproximadamente \(0{,}3932\), un \(39{,}32\%\).
Los seis órdenes son incompatibles y tienen la misma probabilidad; su suma coincide con el cálculo binomial.
Ejercicio 56 · Como máximo dos éxitos
Se realizan 12 ensayos independientes, con probabilidad de éxito \(0{,}25\) en cada uno. Si \(X\) cuenta los éxitos, calcula \(P(X\le2)\).
Ver solución y comprobación
\(X\sim B(12,0{,}25)\). Se incluyen cero, uno y dos éxitos.
El coeficiente del caso de dos éxitos es \(\binom{12}{2}=12\cdot11/2=66\).
\[P(X=0)=0{,}75^{12}\approx0{,}0316764,\]\[P(X=1)=12\cdot0{,}25\cdot0{,}75^{11}\approx0{,}1267054,\]\[P(X=2)=66\cdot0{,}25^2\cdot0{,}75^{10}\approx0{,}2322932.\]El complementario es \(P(X\ge3)\approx0{,}6093\); ambos resultados suman uno.
Ejercicio 57 · Al menos dos alumnos
Ocho alumnos resuelven un ejercicio de forma independiente. Cada uno lo resuelve correctamente con probabilidad \(0{,}3\). Calcula la probabilidad de que al menos dos lo resuelvan bien.
Ver solución y comprobación
\(X\sim B(8,0{,}3)\). En lugar de sumar los casos de dos a ocho, excluimos cero y uno.
La probabilidad de cero o uno es \(0{,}25529833\); junto con la de al menos dos completa uno.
Ejercicio 58 · Entre tres y cinco, ambos incluidos
Sea \(X\sim B(10,0{,}4)\). Calcula la probabilidad de obtener entre tres y cinco éxitos, incluyendo ambos extremos.
Ver solución y comprobación
También se obtiene restando las acumuladas \(P(X\le5)-P(X\le2)\).
Ejercicio 59 · Media, varianza y desviación típica
Se repite diez veces, de forma independiente, una prueba con probabilidad de éxito \(0{,}2\). Halla la media, la varianza y la desviación típica del número \(X\) de éxitos.
Ver solución y comprobación
El número de pruebas es fijo y la probabilidad no cambia, de modo que \(X\sim B(10,0{,}2)\).
La media es de dos éxitos por cada grupo de diez pruebas; no significa que siempre se obtengan dos.
\(\sigma^2=1{,}6\) y \((\sqrt{1{,}6})^2=1{,}6\); la media queda entre el mínimo cero y el máximo diez.
Ejercicio 60 · Hallar la probabilidad de éxito
Una variable \(X\sim B(4,p)\) cumple \(P(X=0)=0{,}6561\). Halla \(p\), la media y la desviación típica.
Ver solución y comprobación
Como \(0\le1-p\le1\), tomamos la raíz no negativa:
\[1-p=0{,}9\quad\Longrightarrow\quad p=0{,}1.\]Al sustituir \(p=0{,}1\), se recupera \(P(X=0)=0{,}9^4=0{,}6561\).
Ejercicio 61 · Número mínimo de piezas que revisar
Cada pieza es defectuosa con probabilidad \(0{,}02\), de forma independiente. ¿Cuántas hay que revisar como mínimo para que la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa sea igual o superior a \(0{,}90\)?
Ver solución y comprobación
Si se revisan \(n\) piezas, no encontrar ninguna tiene probabilidad \(0{,}98^n\).
\[1-0{,}98^n\ge0{,}90\quad\Longleftrightarrow\quad0{,}98^n\le0{,}10.\]Al dividir entre el logaritmo negativo cambia el sentido de la desigualdad.
Hay que revisar 114 piezas.
Con 113 piezas la probabilidad es \(0{,}8980\), menor que \(0{,}90\); con 114 es \(0{,}9001\), que ya alcanza el objetivo.
Distribución normal: áreas, percentiles y parámetros
En este cuaderno \(N(\mu,\sigma)\) utiliza la desviación típica como segundo parámetro. Tipifica, identifica el área y vuelve a las unidades del enunciado.
Ejercicio 62 · Probabilidad a la izquierda y a la derecha
Las puntuaciones de una prueba siguen \(X\sim N(70,8)\), con desviación típica 8 puntos. Calcula \(P(X<78)\) y \(P(X>78)\).
Ver solución y comprobación
Las dos áreas suman uno y la mayor queda a la izquierda de un corte situado por encima de la media.
Ejercicio 63 · Un valor tipificado negativo
Sea \(X\sim N(64,8)\), con desviación típica 8. Calcula \(P(X<52)\) utilizando una tabla que solo contiene valores positivos de \(z\).
Ver solución y comprobación
El corte 76 está a la misma distancia de la media por el otro lado, por lo que \(P(X>76)\) tiene la misma probabilidad.
Ejercicio 64 · Un intervalo que cruza la media
El peso \(X\) de unos paquetes sigue \(N(500,40)\), en gramos, con desviación típica 40 g. Calcula la probabilidad de que un paquete pese entre 460 g y 540 g.
Ver solución y comprobación
Con una tabla de cuatro decimales: \(2\cdot0{,}8413-1=0{,}6826\). La diferencia procede del redondeo.
Las dos colas que quedan fuera suman aproximadamente \(0{,}3173\); la probabilidad de un extremo aislado es cero.
Ejercicio 65 · Intervalos a un solo lado de la media
Sea \(X\sim N(64,8)\), con desviación típica 8. Calcula \(P(72<X<84)\) y \(P(44<X<56)\).
Ver solución y comprobación
Los intervalos son simétricos respecto de 64. Con tabla de cuatro decimales sale \(0{,}9938-0{,}8413=0{,}1525\); con más precisión se obtiene \(0{,}1524456\), que se redondea a \(0{,}1524\).
Ejercicio 66 · Dos colas y número esperado de rechazos
La longitud de una pieza sigue \(N(500,4)\), en milímetros, con desviación típica 4 mm. Se acepta si mide entre 492 mm y 508 mm. Calcula la probabilidad de rechazo y el número esperado de rechazadas entre 2000 piezas con esa distribución.
Ver solución y comprobación
Se esperan unas 91 piezas rechazadas; no se afirma que el lote tenga exactamente esa cantidad.
La probabilidad de aceptación es aproximadamente \(0{,}9545\); aceptación y rechazo suman uno.
Ejercicio 67 · El diez por ciento inferior
Una medida \(X\), expresada en centímetros, sigue \(N(160,12)\), con desviación típica 12 cm. Halla el valor que deja por debajo al \(10\%\) de las observaciones.
Ver solución y comprobación
Buscamos acumulada izquierda \(0{,}10\). El cuantil es negativo: \(z\approx-1{,}281552\). Con tabla positiva se busca \(0{,}90\) y se cambia el signo.
El corte queda por debajo de la media; al tipificarlo se recupera una acumulada próxima a \(0{,}10\).
Ejercicio 68 · Seleccionar al grupo con mayor puntuación
Las puntuaciones siguen \(N(100,15)\), con desviación típica 15 puntos. ¿Qué corte selecciona al \(2{,}5\%\) con mayor puntuación?
Ver solución y comprobación
Para \(0{,}975\), la tabla da \(z\approx1{,}96\). No se busca \(0{,}025\) en la parte positiva.
\(1-\Phi(1{,}96)\approx0{,}0250\), la cola superior que se quería seleccionar.
Ejercicio 69 · El noventa por ciento central
Sea \(X\sim N(50,6)\), con desviación típica 6 unidades. Halla el intervalo simétrico respecto de la media que contiene el \(90\%\) central.
Ver solución y comprobación
Queda un \(10\%\) fuera: \(5\%\) en cada cola. El extremo superior tiene acumulada \(0{,}95\).
El intervalo es aproximadamente \([40{,}13,59{,}87]\).
Los extremos están a la misma distancia de 50 y la diferencia de acumuladas es \(0{,}95-0{,}05=0{,}90\).
Ejercicio 70 · Media desconocida
Una variable normal \(X\) tiene desviación típica 6. Una tabla de cuatro decimales da \(P(X<72)\approx0{,}9332\). Estima la media \(\mu\).
Ver solución y comprobación
La acumulada \(0{,}9332\) corresponde a \(z\approx1{,}5\).
Con \(\mu=63\), \(\Phi((72-63)/6)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}9331928\), que se redondea a \(0{,}9332\).
Ejercicio 71 · Desviación típica desconocida
Una variable normal \(X\) tiene media 50. Una tabla de cuatro decimales da \(P(X<62)\approx0{,}9332\). Estima la desviación típica \(\sigma\).
Ver solución y comprobación
Para esa acumulada, \(z\approx1{,}5\).
La desviación es positiva y \(\Phi(12/8)=\Phi(1{,}5)\) reproduce el dato a cuatro decimales.
Ejercicio 72 · Percentil con tabla o con calculadora
Las puntuaciones siguen \(N(100,15)\), con desviación típica 15 puntos. Halla la puntuación que deja por debajo al \(85\%\). Distingue la precisión de una tabla y la de una función inversa.
Ver solución y comprobación
Con función inversa, \(z\approx1{,}036433\). Si la tabla obliga a elegir centésimas, la lectura más próxima es \(z\approx1{,}04\).
Ambos son valores aproximados, obtenidos con distinta precisión.
\(\Phi(1{,}036433)\approx0{,}85\); la lectura \(\Phi(1{,}04)\approx0{,}8508\) explica la pequeña diferencia.
Aproximación normal y corrección de continuidad
Ajusta los extremos enteros antes de tipificar y comprueba si la aproximación está justificada.
Ejercicio 73 · Como máximo y más de un valor
Sea \(X\sim B(160,0{,}4)\), con ensayos independientes. Aproxima mediante una normal \(P(X\le70)\) y \(P(X>70)\).
Ver solución y comprobación
\(np=64\) y \(n(1-p)=96\) son suficientemente grandes para el criterio orientativo habitual. Usamos \(Y\sim N(64,\sqrt{38{,}4})\).
Los enteros hasta 70 se representan hasta 70,5; los mayores que 70 empiezan a partir de esa misma frontera.
\[z=\frac{70{,}5-64}{\sqrt{38{,}4}}\approx1{,}048933.\]La binomial exacta da aproximadamente \(0{,}8528\) y \(0{,}1472\); las dos probabilidades de cada cálculo suman uno.
Ejercicio 74 · Exactamente un valor y al menos el siguiente
Sea \(X\sim B(400,0{,}3)\), con ensayos independientes. Aproxima \(P(X=120)\) y \(P(X\ge121)\) mediante una normal.
Ver solución y comprobación
\(np=120\) y \(n(1-p)=280\). Usamos \(Y\sim N(120,\sqrt{84})\).
La binomial exacta da \(0{,}0435\) y \(0{,}4754\), aproximadamente; para un valor exacto se usa una franja, no la probabilidad de un punto normal.
Ejercicio 75 · Intervalo inclusivo e intervalo estricto
Sea \(X\sim B(200,0{,}6)\), con ensayos independientes. Aproxima \(P(110\le X\le130)\) y \(P(110<X<130)\).
Ver solución y comprobación
\(np=120\), \(n(1-p)=80\) y \(np(1-p)=48\). Usamos \(Y\sim N(120,\sqrt{48})\).
El primer intervalo incluye 110 y 130. El segundo solo incluye los enteros de 111 a 129.
\[110\le X\le130\ \rightsquigarrow\ 109{,}5<Y<130{,}5,\]\[110<X<130\ \rightsquigarrow\ 110{,}5<Y<129{,}5.\]La binomial exacta da aproximadamente \(0{,}8706\) y \(0{,}8299\); el intervalo más amplio tiene mayor probabilidad.
Ejercicio 76 · Un número grande de ensayos no basta
Sea \(X\sim B(200,0{,}002)\), con ensayos independientes. ¿Es adecuada la aproximación normal solo porque \(n=200\)? Calcula \(P(X=0)\) y compárala con la aproximación que utiliza la frontera 0,5.
Ver solución y comprobación
El número esperado de éxitos es demasiado pequeño para el criterio habitual. No basta con mirar \(n\).
Como \(X\) no es negativa, \(X=0\) equivale a \(X\le0\). La aproximación con continuidad sería:
\[P(X\le0)\approx\Phi\!\left(\frac{0{,}5-0{,}4}{\sqrt{0{,}3992}}\right)\approx0{,}5629.\]La diferencia es grande. Se conserva el cálculo binomial exacto.
La diferencia entre ambos resultados es aproximadamente \(0{,}1072\); el fallo del criterio inicial ya advertía de que la aproximación sería poco fiable.
8 ejercicios finales para resolver y comprobar
Resuelve cada problema antes de abrir la solución. Estas ocho actividades son de elaboración propia y combinan decisiones habituales de Bachillerato y PAU.
Ejercicio 77 · Tres alarmas independientes: al menos una y exactamente dos
En una prueba, tres alarmas se activan con probabilidades \(P(A)=0{,}40\), \(P(B)=0{,}50\) y \(P(C)=0{,}60\). Sus activaciones son mutuamente independientes. Calcula la probabilidad de que se active al menos una, de que se activen exactamente dos y de que se haya activado \(A\) sabiendo que se ha activado al menos una.
Ver solución y comprobación
Sea \(U=A\cup B\cup C\). Ninguna se activa si fallan las tres; la independencia permite multiplicar:
\[P(U^c)=0{,}60\cdot0{,}50\cdot0{,}40=0{,}12.\]\[P(U)=1-0{,}12=0{,}88.\]Estas tres alternativas son incompatibles:
\[P(\text{exactamente dos})=0{,}08+0{,}12+0{,}18=0{,}38.\]Si se activa \(A\), ya se cumple \(U\). Por tanto, \(A\cap U=A\):
\[P(A\mid U)=\frac{P(A\cap U)}{P(U)}=\frac{0{,}40}{0{,}88}=\frac5{11}\approx0{,}4545.\]Ninguna, exactamente una, exactamente dos y las tres tienen probabilidades \(0{,}12\), \(0{,}38\), \(0{,}38\) y \(0{,}12\): suman uno.
Ejercicio 78 · Control de calidad con dos defectos posibles
Se revisan \(500\) piezas. Hay \(40\) con defecto \(A\), \(25\) con defecto \(B\) y \(55\) con al menos uno de los dos. Calcula cuántas tienen ambos, cuántas exactamente uno y cuántas no tienen ninguno. Si se escoge una pieza al azar, ¿son independientes los dos defectos?
Ver solución y comprobación
Las piezas de solo \(A\) son \(40-10=30\); las de solo \(B\), \(25-10=15\).
\[N(\text{exactamente uno})=30+15=45,\qquad N(\text{ninguno})=500-55=445.\]Los defectos no son independientes.
Los recuentos de las cuatro regiones son \(10\), \(30\), \(15\) y \(445\), que suman las \(500\) piezas.
Ejercicio 79 · Al menos una no significa que sea la primera
Una caja contiene 6 tornillos y 4 tuercas. Se extraen dos piezas al azar, sin reposición. Sabiendo que al menos una es un tornillo, calcula la probabilidad de que las dos sean tornillos. ¿Sería la misma probabilidad si se supiera, en cambio, que la primera pieza es un tornillo?
Ver solución y comprobación
El complementario de «al menos un tornillo» es «dos tuercas».
\[P(\text{al menos un tornillo})=1-\frac{4}{10}\cdot\frac39=\frac{13}{15}.\]Dos tornillos cumplen necesariamente la condición.
\[P(TT)=\frac{6}{10}\cdot\frac59=\frac13.\]\[P(TT\mid\text{al menos un tornillo})=\frac{1/3}{13/15}=\frac{5}{13}.\]Si sabemos que la primera es un tornillo, quedan 5 tornillos entre 9 piezas. No es la misma condición que en el apartado anterior.
\[P(T_2\mid T_1)=\frac59\ne\frac{5}{13}.\]Hay \(10\cdot9=90\) parejas ordenadas equiprobables. Cumplen la primera condición \(30+24+24=78\), y 30 son TT. Así, \(30/78=5/13\).
Ejercicio 80 · Condicionar por al menos una persona de un grupo
En un grupo hay 6 personas que hablan inglés y 4 que no lo hablan. Se eligen tres al azar, en orden y sin repetir. Se sabe que entre las dos primeras hay al menos una que habla inglés. Calcula la probabilidad de que la tercera también hable inglés.
Ver solución y comprobación
Sean \(I\) «habla inglés» y \(N\) «no lo habla». La condición \(C\) excluye únicamente que las dos primeras sean \(NN\).
\[P(C)=1-\frac{4}{10}\cdot\frac39=\frac{13}{15}.\]Los caminos que cumplen C y terminan en I son III, INI y NII. Cada probabilidad se calcula actualizando las personas que quedan.
\[P(III)=\frac{6}{10}\cdot\frac59\cdot\frac48=\frac16,\]\[P(INI)=\frac{6}{10}\cdot\frac49\cdot\frac58=\frac16,\]\[P(NII)=\frac{4}{10}\cdot\frac69\cdot\frac58=\frac16.\]\[P(C\cap I_3)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac12.\]No basta con retirar una persona de cada grupo: también es posible que las dos primeras hablen inglés.
Si las dos primeras hablan inglés, quedan \(4/8\) de personas que lo hablan; si solo una lo habla, quedan \(5/8\). La respuesta \(15/26\) está entre esos dos valores, como debe ocurrir.
Ejercicio 81 · La tasa más alta no siempre domina la procedencia
Tres almacenes A, B y C preparan el 75 %, el 20 % y el 5 % de unos pedidos. Llega con algún daño el 2 % de A, el 4 % de B y el 10 % de C. Se recibe un pedido dañado. Calcula la probabilidad de que proceda de cada almacén y decide cuál es el origen más probable.
Ver solución y comprobación
\(D\) significa «pedido dañado». Para decidir la procedencia no basta con comparar las tasas de daño; también cuenta cuántos pedidos prepara cada almacén.
A es el origen más probable, aunque su porcentaje de daño sea el menor.
Las probabilidades de procedencia una vez conocido \(D\) son \(\frac{15}{28}\), \(\frac{2}{7}\), \(\frac{5}{28}\). Suman \(1\); el numerador de cada una es su parte del total.
Ejercicio 82 · Al menos una cara con una moneda elegida al azar
Se elige una de dos monedas con la misma probabilidad. La moneda A da cara con probabilidad 1/2 y la B con probabilidad 3/4. Se lanza dos veces la moneda elegida; fijada la moneda, los lanzamientos son independientes. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara y la de haber elegido B si ha salido al menos una cara.
Ver solución y comprobación
Sea \(H\) «obtener al menos una cara». Su complementario es obtener dos cruces:
\[P(H\mid A)=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34,\qquad P(H\mid B)=1-\left(\frac14\right)^2=\frac{15}{16}.\]La probabilidad de obtener dos cruces es \((1/2)(1/4)+(1/2)(1/16)=5/32\), complementaria de \(27/32\). Entre los resultados con alguna cara, la moneda A representa \(4/9\) y B, \(5/9\).
Ejercicio 83 · De una normal al número de personas
Las puntuaciones de diez personas son independientes y siguen la misma distribución \(N(70,8)\), con desviación típica 8 puntos. Halla la probabilidad de que exactamente dos superen 78 puntos y la de que al menos una los supere.
Ver solución y comprobación
Si \(Y\) es ese número, \(Y\sim B(10,q)\): hay diez personas independientes y el mismo corte para todas.
\[P(Y=2)=\binom{10}{2}q^2(1-q)^8\approx0{,}2844.\]Se conserva el valor de \(q\) sin redondear durante el cálculo; si se usa \(q=0{,}1587\) de una tabla, las últimas cifras pueden variar.
Ejercicio 84 · Hallar media y desviación con dos datos
Una puntuación sigue \(N(\mu,\sigma)\), con \(\sigma>0\). Se conoce \(P(X\le60)\approx0{,}1587\) y \(P(X\le90)\approx0{,}9772\), redondeadas a cuatro decimales. Estima \(\mu\) y \(\sigma\).
Ver solución y comprobación
Las acumuladas sugieren \(z\approx-1\) y \(z\approx2\), respectivamente.
Con esos parámetros, \(\Phi(-1)\approx0{,}1587\) y \(\Phi(2)\approx0{,}9772\); ambas cifras coinciden con la tabla.
Consultar la tabla completa de la normal: acumulada izquierda
\(\Phi(z)=P(Z\le z)\), para \(Z\sim N(0,1)\). Se suma el valor de la fila al de la columna. Cada celda muestra una probabilidad redondeada a cuatro decimales.
| z | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,2 | 0,5793 | 0,5832 | 0,5871 | 0,5910 | 0,5948 | 0,5987 | 0,6026 | 0,6064 | 0,6103 | 0,6141 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 | 0,6255 | 0,6293 | 0,6331 | 0,6368 | 0,6406 | 0,6443 | 0,6480 | 0,6517 |
| 0,4 | 0,6554 | 0,6591 | 0,6628 | 0,6664 | 0,6700 | 0,6736 | 0,6772 | 0,6808 | 0,6844 | 0,6879 |
| 0,5 | 0,6915 | 0,6950 | 0,6985 | 0,7019 | 0,7054 | 0,7088 | 0,7123 | 0,7157 | 0,7190 | 0,7224 |
| 0,6 | 0,7257 | 0,7291 | 0,7324 | 0,7357 | 0,7389 | 0,7422 | 0,7454 | 0,7486 | 0,7517 | 0,7549 |
| 0,7 | 0,7580 | 0,7611 | 0,7642 | 0,7673 | 0,7704 | 0,7734 | 0,7764 | 0,7794 | 0,7823 | 0,7852 |
| 0,8 | 0,7881 | 0,7910 | 0,7939 | 0,7967 | 0,7995 | 0,8023 | 0,8051 | 0,8078 | 0,8106 | 0,8133 |
| 0,9 | 0,8159 | 0,8186 | 0,8212 | 0,8238 | 0,8264 | 0,8289 | 0,8315 | 0,8340 | 0,8365 | 0,8389 |
| 1,0 | 0,8413 | 0,8438 | 0,8461 | 0,8485 | 0,8508 | 0,8531 | 0,8554 | 0,8577 | 0,8599 | 0,8621 |
| 1,1 | 0,8643 | 0,8665 | 0,8686 | 0,8708 | 0,8729 | 0,8749 | 0,8770 | 0,8790 | 0,8810 | 0,8830 |
| 1,2 | 0,8849 | 0,8869 | 0,8888 | 0,8907 | 0,8925 | 0,8944 | 0,8962 | 0,8980 | 0,8997 | 0,9015 |
| 1,3 | 0,9032 | 0,9049 | 0,9066 | 0,9082 | 0,9099 | 0,9115 | 0,9131 | 0,9147 | 0,9162 | 0,9177 |
| 1,4 | 0,9192 | 0,9207 | 0,9222 | 0,9236 | 0,9251 | 0,9265 | 0,9279 | 0,9292 | 0,9306 | 0,9319 |
| 1,5 | 0,9332 | 0,9345 | 0,9357 | 0,9370 | 0,9382 | 0,9394 | 0,9406 | 0,9418 | 0,9429 | 0,9441 |
| 1,6 | 0,9452 | 0,9463 | 0,9474 | 0,9484 | 0,9495 | 0,9505 | 0,9515 | 0,9525 | 0,9535 | 0,9545 |
| 1,7 | 0,9554 | 0,9564 | 0,9573 | 0,9582 | 0,9591 | 0,9599 | 0,9608 | 0,9616 | 0,9625 | 0,9633 |
| 1,8 | 0,9641 | 0,9649 | 0,9656 | 0,9664 | 0,9671 | 0,9678 | 0,9686 | 0,9693 | 0,9699 | 0,9706 |
| 1,9 | 0,9713 | 0,9719 | 0,9726 | 0,9732 | 0,9738 | 0,9744 | 0,9750 | 0,9756 | 0,9761 | 0,9767 |
| 2,0 | 0,9772 | 0,9778 | 0,9783 | 0,9788 | 0,9793 | 0,9798 | 0,9803 | 0,9808 | 0,9812 | 0,9817 |
| 2,1 | 0,9821 | 0,9826 | 0,9830 | 0,9834 | 0,9838 | 0,9842 | 0,9846 | 0,9850 | 0,9854 | 0,9857 |
| 2,2 | 0,9861 | 0,9864 | 0,9868 | 0,9871 | 0,9875 | 0,9878 | 0,9881 | 0,9884 | 0,9887 | 0,9890 |
| 2,3 | 0,9893 | 0,9896 | 0,9898 | 0,9901 | 0,9904 | 0,9906 | 0,9909 | 0,9911 | 0,9913 | 0,9916 |
| 2,4 | 0,9918 | 0,9920 | 0,9922 | 0,9925 | 0,9927 | 0,9929 | 0,9931 | 0,9932 | 0,9934 | 0,9936 |
| 2,5 | 0,9938 | 0,9940 | 0,9941 | 0,9943 | 0,9945 | 0,9946 | 0,9948 | 0,9949 | 0,9951 | 0,9952 |
| 2,6 | 0,9953 | 0,9955 | 0,9956 | 0,9957 | 0,9959 | 0,9960 | 0,9961 | 0,9962 | 0,9963 | 0,9964 |
| 2,7 | 0,9965 | 0,9966 | 0,9967 | 0,9968 | 0,9969 | 0,9970 | 0,9971 | 0,9972 | 0,9973 | 0,9974 |
| 2,8 | 0,9974 | 0,9975 | 0,9976 | 0,9977 | 0,9977 | 0,9978 | 0,9979 | 0,9979 | 0,9980 | 0,9981 |
| 2,9 | 0,9981 | 0,9982 | 0,9982 | 0,9983 | 0,9984 | 0,9984 | 0,9985 | 0,9985 | 0,9986 | 0,9986 |
| 3,0 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9988 | 0,9988 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9990 | 0,9990 |
| 3,1 | 0,9990 | 0,9991 | 0,9991 | 0,9991 | 0,9992 | 0,9992 | 0,9992 | 0,9992 | 0,9993 | 0,9993 |
| 3,2 | 0,9993 | 0,9993 | 0,9994 | 0,9994 | 0,9994 | 0,9994 | 0,9994 | 0,9995 | 0,9995 | 0,9995 |
| 3,3 | 0,9995 | 0,9995 | 0,9995 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9996 | 0,9997 |
| 3,4 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9997 | 0,9998 |
Para un valor negativo: \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\). Para una cola derecha: \(P(Z\ge z)=1-\Phi(z)\). El formulario explica la lectura directa e inversa.
Errores que conviene detectar
- \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\) tienen grupos de referencia distintos.
- Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva no son independientes.
- Una binomial necesita ensayos independientes y probabilidad constante; extraer sin reposición suele cambiarla.
- La tabla incluida da el área acumulada a la izquierda. Para una cola derecha se resta a uno.
- Al tipificar se divide entre la desviación típica. La continuidad se corrige al aproximar una variable discreta por una normal.
Una ruta de repaso
Si fallan las operaciones, empieza por sucesos. Después distingue condicionada, total y Bayes. Trabaja binomial y normal por separado antes de aproximar una con la otra. Termina con los ocho ejercicios finales y compara tu planteamiento con la solución.
Preguntas frecuentes
¿Hay que aplicar Bayes siempre que aparece «sabiendo que»?
No. Esa expresión indica una probabilidad condicionada. Bayes resulta útil cuando los datos describen el resultado desde cada origen y se pregunta por el origen después de conocer el resultado.
¿Qué representa el segundo parámetro de la normal?
En este cuaderno N(μ,σ) usa la desviación típica. Algunos textos escriben N(μ,σ²), con la varianza. Comprueba la convención del enunciado.
¿Dónde se explica cómo usar la tabla normal?
En el segundo folio del formulario: lectura por fila y columna, valores negativos, consulta inversa y cambio a la variable original. La tabla completa está disponible como consulta desplegable en esta página.
¿Los ejercicios son exámenes oficiales?
Son actividades de elaboración propia de Marlu Educativa. En una prueba oficial, consulta los contenidos, las tablas, las normas de calculadora y los criterios de tu convocatoria.
Alcance del cuaderno
Ejercicios de elaboración propia para Ciencias y Ciencias Sociales. El núcleo se ha contrastado con orientaciones y materiales PAU de Castilla y León y otras comunidades. Cada convocatoria determina los contenidos exigibles y los medios de cálculo permitidos.
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