Matemáticas, PAU y EBAU

Ejercicios resueltos probabilidad bayes sucesos distribucion normal

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Estudiante estudiando en verano
Marlu Educativa · Probabilidad · Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Probabilidad PAU/EBAU 2026 resuelta paso a paso

En probabilidad, la cuenta suele ser más sencilla que la lectura. Expresiones como «sabiendo que», «al menos uno», «entre los que han dado positivo» o «elegido entre los defectuosos» cambian el modelo y, con él, toda la solución.

Esta guía recorre el bloque completo como se resolvería sobre el papel: sucesos, condicionada, independencia, árboles, probabilidad total, Bayes, binomial y distribución normal. Los 22 ejercicios están desarrollados sin saltos y los más cercanos al formato PAU/EBAU aparecen señalados con un tono arena suave.

Una guía útil también después de 2026. El año identifica la convocatoria en la que se publicó y revisó el recurso. Los fundamentos del cálculo de probabilidades y de las distribuciones binomial y normal forman parte estable de Matemáticas II; si cambia algún criterio oficial, se actualizará el apartado afectado.

Probabilidad de 2.º de Bachillerato, con intención propia. Aquí se reúne el recorrido completo que necesita un alumno para reconocer y resolver problemas PAU. Los materiales de Estadística de ESO conservan su nivel descriptivo, mientras este recurso trabaja condicionada, Bayes y modelos probabilísticos con la profundidad propia de Matemáticas II.

Si estás preparando este bloque para 2.º de Bachillerato o PAU, también puedes trabajarlo con corrección individual en nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU.

Sucesos y condicionadaÁrboles y BayesBinomialNormal y tipificación22 ejercicios resueltos
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Probabilidad total

Tenemos varios caminos posibles y queremos la probabilidad global de un resultado.

Bayes

Conocemos el resultado final y buscamos de qué grupo o causa procede.

Binomial o normal

Reconocemos si contamos éxitos en ensayos independientes o trabajamos con una variable continua.

Fórmulas básicas y cómo reconocer el modelo

Unión de sucesos

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

Complementario

\[ P(A^c)=1-P(A) \]

Probabilidad condicionada

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Independencia

\[ A\ \text{y}\ B\ \text{son independientes} \Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]

Probabilidad total

\[ P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+\cdots+P(A_n)P(B\mid A_n) \]

Bayes

\[ P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)} \]

Normal y tipificación

\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Error típico. En probabilidad, la fórmula no es lo primero. Lo primero es saber qué significan los datos. Si el enunciado dice “sabiendo que”, casi siempre hay condicionada. Si dice “de los que han dado positivo”, suele aparecer Bayes. Si dice “al menos uno”, muchas veces conviene usar el complementario.

Ejercicio 1. Operaciones con sucesos

En un grupo de alumnos, la probabilidad de aprobar Matemáticas es \(0{,}74\), la de aprobar Física es \(0{,}58\) y la de aprobar ambas asignaturas es \(0{,}42\). Calcula la probabilidad de aprobar al menos una de las dos asignaturas y la probabilidad de no aprobar ninguna.

Primer paso. Identificamos los sucesos

Llamamos \(M\) al suceso aprobar Matemáticas y \(F\) al suceso aprobar Física.

\[ P(M)=0{,}74,\quad P(F)=0{,}58,\quad P(M\cap F)=0{,}42 \]
Diagrama de Venn de los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Física Dos círculos que se solapan. La intersección representa al alumnado que aprueba ambas asignaturas. MF M ∩ F0,42 solo Msolo F
La intersección se resta una vez al calcular la unión porque ya está incluida en los dos círculos.

Segundo paso. Calculamos aprobar al menos una

Aprobar al menos una significa aprobar Matemáticas o Física.

\[ P(M\cup F)=P(M)+P(F)-P(M\cap F) \]
\[ P(M\cup F)=0{,}74+0{,}58-0{,}42=0{,}90 \]

Tercer paso. Calculamos no aprobar ninguna

\[ P((M\cup F)^c)=1-P(M\cup F) \]
\[ P((M\cup F)^c)=1-0{,}90=0{,}10 \]

Resultado.

\[ P(M\cup F)=0{,}90 \]
\[ P(\text{no aprobar ninguna})=0{,}10 \]

Este ejercicio es básico, pero muy importante. Si no restamos la intersección, contamos dos veces a los alumnos que aprueban las dos asignaturas.

Ejercicio 2. Probabilidad condicionada

En una academia, el \(62\%\) de los alumnos prepara Matemáticas y el \(38\%\) prepara Física. Además, el \(28\%\) prepara ambas asignaturas. Si se elige un alumno que prepara Matemáticas, calcula la probabilidad de que también prepare Física.

Primer paso. Traducimos la frase clave

La frase “si se elige un alumno que prepara Matemáticas” indica condición. Nos piden

\[ P(F\mid M) \]

Segundo paso. Aplicamos la fórmula

\[ P(F\mid M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)} \]
\[ P(F\mid M)=\frac{0{,}28}{0{,}62}=0{,}4516 \]

Resultado.

\[ P(F\mid M)=0{,}4516 \]

Aproximadamente, \(45{,}16\%\).

Error típico. No es lo mismo \(P(F\mid M)\) que \(P(M\mid F)\). El suceso que aparece después de la barra es la condición.

Ejercicio 3. Independencia de sucesos

Sean dos sucesos \(A\) y \(B\) tales que \(P(A)=0{,}35\), \(P(B)=0{,}40\) y \(P(A\cap B)=0{,}14\). Estudia si son independientes.

Primer paso. Recordamos la condición

\[ A\ \text{y}\ B\ \text{independientes} \Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]

Segundo paso. Calculamos el producto

\[ P(A)\cdot P(B)=0{,}35\cdot0{,}40=0{,}14 \]

Tercer paso. Comparamos

\[ P(A\cap B)=0{,}14 \]
\[ P(A)\cdot P(B)=0{,}14 \]

Resultado.

Los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes.

Independiente no significa incompatible. Dos sucesos incompatibles no pueden ocurrir a la vez. Dos sucesos independientes sí pueden tener intersección.

Estructura habitual de examen

Ejercicio 4. Diagrama de árbol sin reemplazamiento

Una bolsa contiene 5 bolas verdes y 3 rojas. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos sean del mismo color y la probabilidad de que salga al menos una roja.

Primer paso. Organizamos el árbol

Diagrama de árbol de dos extracciones sin reemplazamiento Desde la bolsa inicial salen las ramas verde y roja; cada una se divide de nuevo y muestra las probabilidades condicionadas. inicio 5/83/8 V R 4/73/75/72/7 VRVR VVVRRVRR
En cada camino se multiplican probabilidades. Al no devolver la primera bola, en la segunda extracción quedan siete bolas.

Segundo paso. Calculamos mismo color

Mismo color significa dos verdes o dos rojas.

\[ P(VV)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56} \]
\[ P(RR)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56} \]
\[ P(\text{mismo color})=\frac{20}{56}+\frac{6}{56}=\frac{26}{56}=\frac{13}{28} \]

Tercer paso. Calculamos al menos una roja

Al menos una roja es más cómodo con el complementario. El complementario es que no salga ninguna roja, es decir, que salgan dos verdes.

\[ P(\text{al menos una roja})=1-P(VV) \]
\[ P(\text{al menos una roja})=1-\frac{20}{56}=\frac{36}{56}=\frac{9}{14} \]

Resultado.

\[ P(\text{mismo color})=\frac{13}{28} \]
\[ P(\text{al menos una roja})=\frac{9}{14} \]

Error típico. Como no hay reemplazamiento, después de la primera extracción cambian el numerador y el denominador.

Ejercicio 5. Árbol con dos etapas y complementario

Un alumno tiene probabilidad \(0{,}85\) de entregar una tarea cada semana. Consideramos 4 semanas independientes. Calcula la probabilidad de que entregue al menos una tarea.

Primer paso. Entendemos “al menos una”

Al menos una tarea significa una, dos, tres o cuatro tareas. Es más rápido usar el complementario.

\[ P(\text{al menos una})=1-P(\text{ninguna}) \]

Segundo paso. Calculamos no entregar una semana

\[ P(\text{no entregar})=1-0{,}85=0{,}15 \]

Tercer paso. Calculamos ninguna en 4 semanas

Como las semanas se consideran independientes

\[ P(\text{ninguna})=0{,}15^4=0{,}00050625 \]

Cuarto paso. Calculamos al menos una

\[ P(\text{al menos una})=1-0{,}00050625=0{,}99949375 \]

Resultado.

\[ P(\text{al menos una})=0{,}99949375 \]

Cuando aparece “al menos una”, el complementario suele ahorrar mucho trabajo.

Ejercicio 6. Teorema de la probabilidad total

Una academia tiene alumnos de tres niveles. El \(35\%\) son de ESO, el \(40\%\) de Bachillerato y el \(25\%\) de universidad. La probabilidad de superar una prueba inicial es \(0{,}68\), \(0{,}74\) y \(0{,}82\), respectivamente. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar supere la prueba.

Primer paso. Escribimos los grupos

\[ P(E)=0{,}35,\quad P(B)=0{,}40,\quad P(U)=0{,}25 \]
\[ P(A\mid E)=0{,}68,\quad P(A\mid B)=0{,}74,\quad P(A\mid U)=0{,}82 \]

Segundo paso. Aplicamos probabilidad total

\[ P(A)=P(E)P(A\mid E)+P(B)P(A\mid B)+P(U)P(A\mid U) \]
\[ P(A)=0{,}35\cdot0{,}68+0{,}40\cdot0{,}74+0{,}25\cdot0{,}82 \]
\[ P(A)=0{,}238+0{,}296+0{,}205=0{,}739 \]

Resultado.

\[ P(A)=0{,}739 \]

La probabilidad de superar la prueba es \(73{,}9\%\).

Este es el patrón típico de probabilidad total. Hay varios grupos y queremos una probabilidad global.

Tipo PAU/EBAU

Ejercicio 7. Bayes con resultado positivo

Una prueba detecta correctamente una enfermedad en el \(96\%\) de los enfermos y da positivo en el \(5\%\) de los sanos. En una población, el \(3\%\) tiene la enfermedad. Si una persona da positivo, calcula la probabilidad de que realmente esté enferma.

Primer paso. Definimos sucesos

Llamamos \(E\) a estar enfermo y \(+\) a dar positivo.

\[ P(E)=0{,}03,\quad P(E^c)=0{,}97 \]
\[ P(+\mid E)=0{,}96,\quad P(+\mid E^c)=0{,}05 \]

Segundo paso. Calculamos la probabilidad de positivo

\[ P(+)=P(E)P(+\mid E)+P(E^c)P(+\mid E^c) \]
\[ P(+)=0{,}03\cdot0{,}96+0{,}97\cdot0{,}05 \]
\[ P(+)=0{,}0288+0{,}0485=0{,}0773 \]

Tercer paso. Aplicamos Bayes

\[ P(E\mid +)=\frac{P(E)P(+\mid E)}{P(+)} \]
\[ P(E\mid +)=\frac{0{,}03\cdot0{,}96}{0{,}0773}=0{,}3726 \]

Resultado.

\[ P(E\mid +)=0{,}3726 \]

Aproximadamente, \(37{,}26\%\).

Error típico. La sensibilidad de la prueba \(P(+\mid E)\) no es lo mismo que la probabilidad de estar enfermo si se ha dado positivo \(P(E\mid +)\).

Tipo PAU/EBAU

Ejercicio 8. Bayes con máquinas y piezas defectuosas

Una empresa fabrica piezas en tres máquinas. La máquina \(M_1\) produce el \(45\%\), \(M_2\) el \(35\%\) y \(M_3\) el \(20\%\). Las tasas de piezas defectuosas son \(1{,}5\%\), \(3\%\) y \(5\%\), respectivamente. Si una pieza elegida al azar es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de \(M_3\).

Primer paso. Escribimos los datos

\[ P(M_1)=0{,}45,\quad P(M_2)=0{,}35,\quad P(M_3)=0{,}20 \]
\[ P(D\mid M_1)=0{,}015,\quad P(D\mid M_2)=0{,}03,\quad P(D\mid M_3)=0{,}05 \]

Segundo paso. Calculamos la probabilidad de defecto

\[ P(D)=0{,}45\cdot0{,}015+0{,}35\cdot0{,}03+0{,}20\cdot0{,}05 \]
\[ P(D)=0{,}00675+0{,}0105+0{,}01=0{,}02725 \]

Tercer paso. Aplicamos Bayes

\[ P(M_3\mid D)=\frac{P(M_3)P(D\mid M_3)}{P(D)} \]
\[ P(M_3\mid D)=\frac{0{,}20\cdot0{,}05}{0{,}02725}=0{,}3670 \]

Resultado.

\[ P(M_3\mid D)=0{,}3670 \]

Aproximadamente, \(36{,}70\%\).

Este problema es de Bayes porque ya sabemos que la pieza es defectuosa y queremos averiguar de qué máquina procede.

Ejercicio 9. Tabla de contingencia

En un grupo de 240 alumnos, 150 estudian Matemáticas, 110 estudian Física y 70 estudian ambas. Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que estudie Física sabiendo que estudia Matemáticas, la probabilidad de que estudie solo Matemáticas y la probabilidad de que no estudie ninguna de las dos.

Primer paso. Pasamos los datos a probabilidades

\[ P(M)=\frac{150}{240} \]
\[ P(F)=\frac{110}{240} \]
\[ P(M\cap F)=\frac{70}{240} \]

Segundo paso. Física sabiendo Matemáticas

\[ P(F\mid M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)} \]
\[ P(F\mid M)=\frac{70/240}{150/240}=\frac{70}{150}=0{,}4667 \]

Tercer paso. Solo Matemáticas

\[ P(M\cap F^c)=\frac{150-70}{240}=\frac{80}{240}=0{,}3333 \]

Cuarto paso. Ninguna de las dos

Primero calculamos cuántos estudian al menos una.

\[ 150+110-70=190 \]

Por tanto, no estudian ninguna

\[ 240-190=50 \]
\[ P(\text{ninguna})=\frac{50}{240}=0{,}2083 \]

Resultado.

\[ P(F\mid M)=0{,}4667 \]
\[ P(\text{solo Matemáticas})=0{,}3333 \]
\[ P(\text{ninguna})=0{,}2083 \]

Ejercicio 10. Binomial exacta

La probabilidad de acertar una pregunta tipo test es \(0{,}8\). Un alumno responde 6 preguntas independientes. Calcula la probabilidad de acertar exactamente 5.

Primer paso. Identificamos la binomial

\[ X\sim B(6,0{,}8) \]

Segundo paso. Aplicamos la fórmula

\[ P(X=5)=\binom{6}{5}(0{,}8)^5(0{,}2)^1 \]

Tercer paso. Calculamos

\[ P(X=5)=6\cdot0{,}32768\cdot0{,}2=0{,}393216 \]

Resultado.

\[ P(X=5)=0{,}393216 \]

Usamos binomial porque hay un número fijo de preguntas, dos resultados posibles en cada una y la misma probabilidad de éxito.

Tipo PAU/EBAU

Ejercicio 11. Binomial con al menos dos éxitos

La probabilidad de que un alumno resuelva correctamente un ejercicio concreto es \(0{,}3\). Se eligen 8 alumnos de forma independiente. Calcula la probabilidad de que al menos 2 lo resuelvan bien.

Primer paso. Identificamos la variable

\[ X\sim B(8,0{,}3) \]

Nos piden

\[ P(X\ge2) \]

Segundo paso. Usamos el complementario

\[ P(X\ge2)=1-P(X<2) \]
\[ P(X\ge2)=1-[P(X=0)+P(X=1)] \]

Tercer paso. Calculamos \(P(X=0)\) y \(P(X=1)\)

\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^8=0{,}057648 \]
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}3)^1(0{,}7)^7=0{,}197650 \]

Cuarto paso. Calculamos

\[ P(X\ge2)=1-(0{,}057648+0{,}197650)=0{,}744702 \]

Resultado.

\[ P(X\ge2)=0{,}744702 \]

Error típico. “Al menos 2” incluye 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Por eso suele ser más rápido usar el complementario.

Ejercicio 12. Distribución normal directa y tipificación

Las puntuaciones de una prueba siguen una distribución normal de media 70 y desviación típica 8. Calcula la probabilidad de obtener menos de 78 puntos.

\[ X\sim N(70,8) \]

Primer paso. Planteamos la probabilidad

\[ P(X<78) \]

Segundo paso. Tipificamos

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]
\[ Z=\frac{78-70}{8}=1 \]

Tercer paso. Buscamos en la tabla

\[ P(X<78)=P(Z<1)=0{,}8413 \]

Resultado.

\[ P(X<78)=0{,}8413 \]

Error típico. La tabla normal se usa con \(Z\), no con \(X\). Antes de mirar la tabla hay que tipificar.

Ejercicio 13. Distribución normal entre dos valores

El peso de unos paquetes sigue una distribución normal de media 500 g y desviación típica 40 g. Calcula la probabilidad de que un paquete pese entre 460 g y 540 g.

\[ X\sim N(500,40) \]

Primer paso. Tipificamos los extremos

\[ Z_1=\frac{460-500}{40}=-1 \]
\[ Z_2=\frac{540-500}{40}=1 \]

Segundo paso. Pasamos a normal típica

\[ P(460\lt X\lt540)=P(-1\lt Z\lt1) \]
Distribución normal con el intervalo central sombreado Campana normal centrada en 500 gramos. Se sombrea el área comprendida entre 460 y 540 gramos. 460500540 P(460 < X < 540)
La probabilidad pedida es el área central comprendida entre una desviación típica por debajo y una por encima de la media.

Tercer paso. Usamos la tabla

\[ P(-1\lt Z\lt1)=P(Z<1)-P(Z<-1) \]
\[ P(-1\lt Z\lt1)=0{,}8413-0{,}1587=0{,}6826 \]

Resultado.

\[ P(460\lt X\lt540)=0{,}6826 \]

Ejercicio 14. Distribución normal con probabilidad superior

El tiempo de resolución de un ejercicio sigue una normal de media 18 minutos y desviación típica 2,5 minutos. Calcula la probabilidad de tardar más de 21 minutos.

\[ X\sim N(18,2{,}5) \]

Primer paso. Planteamos

\[ P(X>21) \]

Segundo paso. Tipificamos

\[ Z=\frac{21-18}{2{,}5}=1{,}2 \]

Tercer paso. Usamos el complementario

\[ P(X>21)=P(Z>1{,}2) \]
\[ P(Z>1{,}2)=1-P(Z<1{,}2) \]
\[ P(Z>1{,}2)=1-0{,}8849=0{,}1151 \]

Resultado.

\[ P(X>21)=0{,}1151 \]

Cuando piden “mayor que”, normalmente la tabla nos obliga a usar el complementario.

Ejercicio 15. Percentil en una distribución normal

Las puntuaciones de una prueba siguen una normal de media 100 y desviación típica 15. Calcula la puntuación que deja por debajo aproximadamente al \(85\%\) de los alumnos.

\[ X\sim N(100,15) \]

Primer paso. Planteamos el percentil

Buscamos \(k\) tal que

\[ P(X\lt k)=0{,}85 \]

Segundo paso. Buscamos el valor de \(z\)

En la tabla normal, el valor que deja aproximadamente \(0{,}85\) por debajo es

\[ z=1{,}04 \]

Tercer paso. Deshacemos la tipificación

\[ z=\frac{k-\mu}{\sigma} \]
\[ 1{,}04=\frac{k-100}{15} \]
\[ k-100=15{,}6 \]
\[ k=115{,}6 \]

Resultado.

\[ k=115{,}6 \]

Este ejercicio es muy típico porque no se pide una probabilidad, sino el valor que corresponde a una probabilidad dada.

Ejercicio 16. Normal con media desconocida

Una variable \(X\) sigue una distribución normal con desviación típica 6. Se sabe que

\[ P(X<72)=0{,}9332 \]

Halla la media \(\mu\).

Primer paso. Relacionamos con la normal típica

Sabemos por la tabla que

\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]

Por tanto, el valor \(X=72\) corresponde a \(Z=1{,}5\).

Segundo paso. Tipificamos

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]
\[ 1{,}5=\frac{72-\mu}{6} \]

Tercer paso. Despejamos

\[ 9=72-\mu \]
\[ \mu=63 \]

Resultado.

\[ \mu=63 \]
Tipo PAU/EBAU

Ejercicio 17. Aproximación normal a la binomial

En una población, el \(45\%\) de los estudiantes usa una plataforma digital de estudio. Se eligen 200 estudiantes al azar. Aproxima la probabilidad de que al menos 100 usen la plataforma.

Primer paso. Identificamos la binomial

\[ X\sim B(200,0{,}45) \]

Segundo paso. Aproximamos por una normal

\[ \mu=np=200\cdot0{,}45=90 \]
\[ \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot0{,}45\cdot0{,}55}=\sqrt{49{,}5}=7{,}04 \]

Tercer paso. Corrección por continuidad

Al menos 100 significa \(X\ge100\). Con corrección por continuidad usamos

\[ P(X\ge100)\approx P(Y>99{,}5) \]

Cuarto paso. Tipificamos

\[ Z=\frac{99{,}5-90}{7{,}04}=1{,}35 \]

Quinto paso. Calculamos

\[ P(Y>99{,}5)=P(Z>1{,}35) \]
\[ P(Z>1{,}35)=1-P(Z<1{,}35) \]
\[ P(Z>1{,}35)=1-0{,}9115=0{,}0885 \]

Resultado.

\[ P(X\ge100)\approx0{,}0885 \]

Error típico. Al pasar de binomial a normal conviene aplicar corrección por continuidad. Aquí \(X\ge100\) se transforma en \(Y>99{,}5\).

Simulacro de bloque PAU/EBAU

Ejercicio 18. Problema completo tipo PAU/EBAU

Una academia tiene alumnos en modalidad online y presencial. El \(60\%\) está en modalidad online y el \(40\%\) en modalidad presencial. En la modalidad online aprueba una prueba inicial el \(75\%\), y en la modalidad presencial aprueba el \(68\%\).

Entre los alumnos aprobados, las notas siguen aproximadamente una distribución normal de media 7,1 y desviación típica 0,9.

Calcula

  • La probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe la prueba inicial.
  • Si un alumno ha aprobado, la probabilidad de que sea de modalidad online.
  • Entre los aprobados, la probabilidad de obtener más de 8,5.

Primer paso. Probabilidad total de aprobar

Llamamos \(O\) a modalidad online, \(P\) a modalidad presencial y \(A\) a aprobar.

\[ P(O)=0{,}60,\quad P(P)=0{,}40 \]
\[ P(A\mid O)=0{,}75,\quad P(A\mid P)=0{,}68 \]
\[ P(A)=P(O)P(A\mid O)+P(P)P(A\mid P) \]
\[ P(A)=0{,}60\cdot0{,}75+0{,}40\cdot0{,}68 \]
\[ P(A)=0{,}45+0{,}272=0{,}722 \]

Segundo paso. Bayes

Nos piden la probabilidad de que sea online sabiendo que ha aprobado.

\[ P(O\mid A)=\frac{P(O)P(A\mid O)}{P(A)} \]
\[ P(O\mid A)=\frac{0{,}60\cdot0{,}75}{0{,}722} \]
\[ P(O\mid A)=0{,}6233 \]

Tercer paso. Distribución normal entre los aprobados

\[ X\sim N(7{,}1,0{,}9) \]

Queremos

\[ P(X>8{,}5) \]

Tipificamos.

\[ Z=\frac{8{,}5-7{,}1}{0{,}9}=1{,}56 \]
\[ P(X>8{,}5)=P(Z>1{,}56)=1-P(Z<1{,}56) \]
\[ P(X>8{,}5)=1-0{,}9406=0{,}0594 \]

Resultado.

\[ P(A)=0{,}722 \]
\[ P(O\mid A)=0{,}6233 \]
\[ P(X>8{,}5)=0{,}0594 \]

Este ejercicio junta tres estructuras muy habituales de examen. Primero probabilidad total, después Bayes y finalmente distribución normal con tipificación.

Tipo PAU/EBAU · urnas encadenadas

Ejercicio 19. Traspaso de una bola entre dos urnas

La urna \(A\) contiene 3 bolas blancas y 2 negras. La urna \(B\) contiene 2 blancas y 4 negras. Se elige al azar una bola de \(A\), se pasa a \(B\) y, después, se extrae una bola de \(B\).

Calcula la probabilidad de que la bola extraída de \(B\) sea blanca. Si la bola extraída de \(B\) ha sido blanca, calcula la probabilidad de que la bola trasladada también fuese blanca.

Traspaso de una bola de la urna A a la urna B La urna A contiene tres bolas blancas y dos negras. La urna B contiene dos blancas y cuatro negras. Una flecha indica el traslado y otra la extracción final. Urna AUrna B traslado extracción 3 blancas · 2 negras2 blancas · 4 negras
El contenido de la urna \(B\) depende del color trasladado; por eso primero se separan los dos caminos.

Primer apartado. Probabilidad de extraer blanca de \(B\)

Llamamos \(T_B\) al suceso «la bola trasladada es blanca», \(T_N\) a «la trasladada es negra» y \(E_B\) a «la extraída de la urna \(B\) es blanca».

\[P(T_B)=\frac35,\qquad P(T_N)=\frac25\]

Si se traslada una blanca, la urna \(B\) queda con 3 blancas y 4 negras. Si se traslada una negra, queda con 2 blancas y 5 negras.

\[P(E_B\mid T_B)=\frac37,\qquad P(E_B\mid T_N)=\frac27\]

Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

\[P(E_B)=P(T_B)P(E_B\mid T_B)+P(T_N)P(E_B\mid T_N)\]
\[P(E_B)=\frac35\cdot\frac37+\frac25\cdot\frac27=\frac9{35}+\frac4{35}=\frac{13}{35}\]

Segundo apartado. Bayes después de observar una bola blanca

Ahora conocemos el resultado final y buscamos qué traslado lo produjo:

\[P(T_B\mid E_B)=\frac{P(T_B)P(E_B\mid T_B)}{P(E_B)}\]
\[P(T_B\mid E_B)=\frac{\frac35\cdot\frac37}{\frac{13}{35}}=\frac{\frac9{35}}{\frac{13}{35}}=\frac9{13}\]

La probabilidad de extraer una bola blanca es \(\frac{13}{35}\). Si la extraída ha sido blanca, la probabilidad de que también fuese blanca la trasladada es \(\frac9{13}\).

Conviene distinguir las dos preguntas. En la primera se suman todos los caminos que terminan en blanca. En la segunda ya sabemos que el resultado fue blanco y aplicamos Bayes.

Tipo PAU/EBAU · parámetro

Ejercicio 20. Probabilidad desconocida e independencia

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos independientes tales que

\[P(A)=\frac23,\qquad P(B)=p,\qquad P(A\cup B)=\frac56\]

Halla \(p\) y calcula \(P(A^c\cap B)\).

Primer paso. Usamos la unión

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Como \(A\) y \(B\) son independientes,

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac23p\]

Sustituimos sin saltar la ecuación intermedia:

\[\frac56=\frac23+p-\frac23p\]
\[\frac56-\frac23=\frac13p\]
\[\frac16=\frac13p\qquad\Longrightarrow\qquad p=\frac12\]

Segundo paso. Calculamos \(P(A^c\cap B)\)

Si \(A\) y \(B\) son independientes, también lo son \(A^c\) y \(B\).

\[P(A^c)=1-\frac23=\frac13\]
\[P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)=\frac13\cdot\frac12=\frac16\]

\[P(B)=p=\frac12,\qquad P(A^c\cap B)=\frac16\]

Nivel alto · binomial inversa

Ejercicio 21. Número mínimo de ensayos

La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es \(0{,}02\). Las piezas se consideran independientes. ¿Cuál es el número mínimo de piezas que hay que revisar para que la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa sea igual o superior a \(0{,}90\)?

Primer paso. Usamos el complementario

Si se revisan \(n\) piezas, la probabilidad de que ninguna sea defectuosa es \(0{,}98^n\). Por tanto,

\[P(\text{al menos una defectuosa})=1-0{,}98^n\]

Segundo paso. Planteamos la desigualdad

\[1-0{,}98^n\ge 0{,}90\]
\[0{,}98^n\le 0{,}10\]

Tercer paso. Aplicamos logaritmos

\[n\ln(0{,}98)\le \ln(0{,}10)\]

Como \(\ln(0{,}98)\) es negativo, al dividir cambia el sentido de la desigualdad:

\[n\ge\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}98)}\approx113{,}97\]

El número de piezas debe ser entero y tiene que cumplir la condición. Redondeamos hacia arriba:

Hay que revisar como mínimo 114 piezas.

Dos detalles dan el ejercicio. «Al menos una» invita a usar el complementario y «número mínimo» obliga a redondear hacia arriba, no al entero más cercano.

Tipo PAU/EBAU · normal inversa

Ejercicio 22. Normal con desviación típica desconocida

Una variable \(X\) sigue una distribución normal de media \(50\) y desviación típica desconocida \(\sigma\). Se sabe que

\[P(X<62)=0{,}9332\]

Halla \(\sigma\).

Primer paso. Leemos la tabla al revés

En la normal típica,

\[P(Z<1{,}50)=0{,}9332\]

Por tanto, el valor \(X=62\) corresponde a \(Z=1{,}50\).

Segundo paso. Tipificamos

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
\[1{,}50=\frac{62-50}{\sigma}=\frac{12}{\sigma}\]

Tercer paso. Despejamos

\[1{,}50\sigma=12\]
\[\sigma=\frac{12}{1{,}50}=8\]

La desviación típica es \(\sigma=8\).

La desviación típica debe ser positiva. Además, \(62\) está \(12\) unidades por encima de la media y eso equivale a \(1{,}5\) desviaciones típicas: \(12/1{,}5=8\).

Errores frecuentes en probabilidad PAU/EBAU

  • Confundir \(P(A\mid B)\) con \(P(B\mid A)\).
  • No restar la intersección al calcular \(P(A\cup B)\).
  • Confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles.
  • No cambiar las probabilidades cuando hay extracciones sin reemplazamiento.
  • Usar Bayes cuando solo se pide probabilidad total.
  • Usar probabilidad total sin ponderar por el porcentaje de cada grupo.
  • No usar complementario en expresiones como “al menos uno”.
  • Usar la tabla normal sin tipificar.
  • Olvidar el complementario cuando piden “mayor que”.
  • No aplicar corrección por continuidad al aproximar una binomial por una normal.

Cómo preparar este bloque sin mezclar los modelos

Conviene estudiar por familias de problemas. Primero sucesos y condicionada; después árboles, probabilidad total y Bayes; por último binomial y normal. Cuando esas tres familias están claras, los enunciados mixtos dejan de parecer distintos entre sí.

Una comprobación rápida antes de calcular. Define los sucesos, señala qué probabilidad está condicionada y decide si los caminos se suman o se multiplican. En binomial, identifica \(n\), \(p\) y el número de éxitos; en normal, escribe \(\mu\), \(\sigma\) y la zona que representa la pregunta.

Preguntas frecuentes sobre probabilidad PAU/EBAU

Qué ejercicios de probabilidad suelen aparecer en PAU/EBAU

Son habituales los problemas de sucesos, condicionada, árboles, probabilidad total, Bayes, binomial, normal, percentiles y aproximación normal a la binomial.

Cuándo se usa la probabilidad total y cuándo Bayes

La probabilidad total reúne todos los caminos que terminan en un resultado. Bayes parte de ese resultado ya observado y pregunta de qué camino procede.

Cómo se tipifica una distribución normal

Se resta la media y se divide entre la desviación típica: \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\). El dibujo de la zona ayuda a decidir si hay que usar un complementario.

Qué significa aproximar una binomial por una normal

Consiste en sustituir una binomial con muchos ensayos por una normal de media \(np\) y desviación típica \(\sqrt{npq}\), aplicando la corrección por continuidad cuando corresponda.

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