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Combinatoria 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Matemáticas B · 4.º ESO · ampliación opcional de Bachillerato
Combinatoria 4.º ESO: ejercicios resueltos paso a paso
Contar bien no consiste en recordar una lista de fórmulas. Consiste en decidir si el orden importa, si se puede repetir y si una condición obliga a separar casos. Este cuaderno construye ese método desde el principio de multiplicación hasta los problemas de examen.
Qué trabaja este cuaderno
La profundidad cambia según la modalidad y la programación del centro. Por eso la ampliación final se presenta como puente, no como contenido obligatorio común.
1. La idea clave de la combinatoria
La combinatoria sirve para contar posibilidades sin tener que escribirlas una por una. El problema es que no todos los recuentos son iguales. No es lo mismo ordenar a varias personas en una fila que elegir un grupo de alumnos. Tampoco es lo mismo formar una clave con repetición que formar un podio en el que una persona no puede aparecer dos veces.
Primera pregunta
¿Importa el orden?
Si A-B no es lo mismo que B-A, entonces el orden importa.
Segunda pregunta
¿Se pueden repetir elementos?
En una clave 2222 hay repetición. En un podio deportivo no se repite una persona.
Tercera pregunta
¿Uso todos los elementos o solo algunos?
Ordenar 7 libros no es lo mismo que escoger 3 libros de una lista de 7.
Regla práctica
Antes de escribir una fórmula, hay que traducir el enunciado. La mayoría de errores en combinatoria no son de cálculo, sino de interpretación.
| Situación | Orden | Repetición | Herramienta habitual |
|---|---|---|---|
| Crear una clave de 4 cifras | Importa | Puede repetirse | Variaciones con repetición |
| Elegir presidente, secretario y tesorero | Importa | No se repite | Variaciones sin repetición |
| Ordenar 7 libros en una estantería | Importa | Se usan todos | Permutaciones |
| Elegir 3 alumnos para un equipo | No importa | No se repite | Combinaciones |
| Formar un grupo con al menos 2 chicas | No importa | No se repite | Combinaciones por casos |
2. Mapa rápido para saber qué método usar
Este mapa es la parte más importante del tema. Si se usa bien, evita casi todos los errores habituales.
Ordeno todos los elementos distintos
Si se colocan todos los elementos distintos en fila, se ordenan libros o se usan todas las letras, aparecen permutaciones. Cuando hay elementos iguales, se aplican permutaciones con repetición.
Elijo algunos y el orden importa
Si se eligen cargos, puestos, claves, podios o posiciones diferentes, se usan variaciones.
Elijo algunos y el orden no importa
Si se forma un grupo, se eligen cartas a la vez o se seleccionan alumnos, se usan combinaciones.
Formo una secuencia ordenada y se permite repetir
Cada posición vuelve a tener todas las opciones disponibles. En ese caso aparece una potencia como n elevado a k.
Resumen que conviene memorizar
Ordenar todos los elementos distintos es permutación. Elegir algunos con orden es variación. Elegir algunos sin orden es combinación. Si se forma una secuencia ordenada y se permite repetir, cada posición vuelve a tener todas las opciones disponibles.
Que se permita repetir no basta para decidir. Si además el orden importa, se usan variaciones con repetición. Si el orden no importa y se permite repetir, aparecen las combinaciones con repetición, que se reservan para la ampliación opcional.
3. Multiplicar, sumar casos y contar con árboles
El principio de multiplicación se usa cuando una elección se realiza por etapas. Si una primera decisión puede hacerse de \(a\) formas y, para cada una de ellas, una segunda decisión puede hacerse de \(b\) formas, el número total de posibilidades es:
Si hay más etapas, se multiplican todas las posibilidades.
\[ a \cdot b \cdot c \cdot d \]1Menú de restaurante
Un restaurante ofrece 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿Cuántos menús distintos se pueden formar?
Hay 3 decisiones: primer plato, segundo plato y postre.
\[ 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24 \]Resultado: 24 menús distintos
2Ropa para una excursión
Marcos tiene 5 camisetas, 3 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas puede vestirse?
Resultado: 30 formas distintas
3Matrículas sencillas
Una matrícula está formada por 2 letras y 3 cifras. Si se pueden repetir letras y cifras, y usamos 26 letras y 10 cifras, ¿cuántas matrículas se pueden formar?
Resultado: 676000 matrículas
4Números de tres cifras con repetición
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar usando las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 si se pueden repetir?
Resultado: 125 números
5Números de tres cifras sin repetir
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetir ninguna cifra?
Para la primera cifra hay 5 opciones. Para la segunda quedan 4 y para la tercera quedan 3.
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]Resultado: 60 números
6Código con letras y números
Una clave tiene una letra seguida de 2 cifras. Se usan 20 letras posibles y las cifras del 0 al 9. Se permite repetir cifras. ¿Cuántas claves hay?
Resultado: 2000 claves
7Secuencia de colores
Un dispositivo puede mostrar rojo, verde o azul en cada una de sus 4 posiciones. ¿Cuántas secuencias distintas puede mostrar?
Resultado: 81 secuencias
8Heladería
Una heladería ofrece 4 sabores, 2 tipos de cucurucho y la opción de añadir o no añadir chocolate. ¿Cuántas elecciones distintas hay?
Resultado: 16 elecciones distintas
Principio de adición
Cuando los casos son incompatibles, se cuentan por separado y se suman. Si una clave empieza por vocal o por consonante, ningún resultado pertenece a los dos casos a la vez.
Contar mediante el complementario
Expresiones como al menos uno suelen ser más cortas si se cuentan todos los resultados y se restan los que no cumplen la condición.
4. Factorial y permutaciones
El factorial aparece cuando queremos ordenar elementos. Se escribe \(n!\) y significa multiplicar todos los números naturales desde \(n\) hasta 1.
Las permutaciones se usan cuando queremos ordenar todos los elementos.
Dos detalles que conviene fijar
Por convenio, \(0!=1\). Si hay \(n\) elementos y algunos se repiten, las ordenaciones indistinguibles deben dividirse:
Los valores \(n_1,\ldots,n_r\) son las multiplicidades de cada clase de elementos iguales y cumplen \(n_1+\cdots+n_r=n\). Los factores \(1!\) pueden omitirse.
9Ordenar libros
¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 libros distintos en una estantería?
Resultado: 720 formas
10Fila de alumnos
En una clase hay 8 alumnos para hacerse una foto en fila. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
Resultado: 40320 formas
11Ordenar letras distintas
¿Cuántas palabras distintas, aunque no tengan significado, se pueden formar con las letras A, B, C, D?
Resultado: 24 palabras
12Dos libros juntos
Se quieren ordenar 5 libros distintos, pero dos libros concretos deben estar juntos. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Los dos libros juntos se tratan como un bloque. Hay 4 objetos para ordenar: el bloque y los otros 3 libros.
\[ 4! = 24 \]Dentro del bloque, los dos libros pueden cambiar de orden.
\[ 2! = 2 \] \[ 4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48 \]Resultado: 48 formas
13Primero fijo
Se ordenan 7 personas en una fila, pero una persona concreta debe ir la primera. ¿Cuántas ordenaciones son posibles?
La primera posición ya está ocupada. Quedan 6 personas para ordenar.
\[ 6! = 720 \]Resultado: 720 ordenaciones
14Palabra MAMA
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra MAMA?
Hay 4 letras. La M se repite 2 veces y la A se repite 2 veces.
\[ \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 \]Resultado: 6 palabras distintas
15Palabra CASAS
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra CASAS?
Hay 5 letras. La A se repite 2 veces y la S se repite 2 veces.
\[ \frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30 \]Resultado: 30 palabras distintas
16Palabra MATEMATICA
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra MATEMATICA?
La palabra tiene 10 letras. La M aparece 2 veces, la A aparece 3 veces y la T aparece 2 veces.
\[ \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} \] \[ \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{24} = 151200 \]Resultado: 151200 palabras distintas
17Las vocales de BANANA juntas
¿Cuántas ordenaciones distintas de BANANA mantienen juntas las tres letras A?
Tratamos AAA como un bloque. Quedan cuatro objetos: AAA, B, N y N. Como las dos N son iguales:
Resultado: 12 ordenaciones.
Comprobación: el bloque de vocales ocupa una sola posición y la repetición de N evita contar dos veces la misma palabra.
18Ordenar una palabra sin letras repetidas
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra BALON?
Todas las letras son distintas.
\[ 5! = 120 \]Resultado: 120 palabras distintas
5. Variaciones con y sin repetición
Las variaciones se usan cuando se eligen algunos elementos y el orden importa. La diferencia está en si se pueden repetir o no.
Variaciones sin repetición
Se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\). Importa el orden y no se repiten.
\[ V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]Variaciones con repetición
Se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\). Importa el orden y se pueden repetir.
\[ VR_{n,k} = n^k \]19Podio de una carrera
En una carrera participan 10 corredores. ¿De cuántas formas puede formarse el podio de oro, plata y bronce?
Importa el orden y no se repiten corredores.
\[ V_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]Resultado: 720 podios
20Presidente, secretario y tesorero
En una clase de 25 alumnos se eligen presidente, secretario y tesorero. Ningún alumno puede ocupar dos cargos. ¿Cuántas elecciones posibles hay?
Resultado: 13800 elecciones
21Contraseña numérica
Una contraseña tiene 4 cifras. Se pueden repetir cifras. ¿Cuántas contraseñas se pueden formar?
Resultado: 10000 contraseñas
22Contraseña sin repetir
Una contraseña tiene 4 cifras distintas. ¿Cuántas contraseñas se pueden formar usando las cifras del 0 al 9?
Resultado: 5040 contraseñas
23Clave de letras con repetición
Con las letras A, B, C, D, E y F, ¿cuántas claves de 3 letras se pueden formar si se permite repetir?
Resultado: 216 claves
24Clave de letras sin repetir
Con las letras A, B, C, D, E y F, ¿cuántas claves de 3 letras distintas se pueden formar?
Resultado: 120 claves
25Números pares de tres cifras
¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin repetir?
La última cifra debe ser 2, 4 o 6. Hay 3 opciones. Después quedan 5 opciones para la primera cifra y 4 para la segunda.
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]Resultado: 60 números pares
26Números mayores que 500
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos números de tres cifras mayores que 500 se pueden formar sin repetir?
La cifra de las centenas puede ser 5, 6 o 7. Hay 3 opciones.
\[ 3 \cdot 6 \cdot 5 = 90 \]Resultado: 90 números
27Números de cuatro cifras con cero
¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin repetir?
La primera cifra no puede ser 0. Hay 6 opciones para la primera posición. Después quedan 6, 5 y 4 opciones.
\[ 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 720 \]Resultado: 720 números
28Números terminados en 5
¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si deben terminar en 5?
La última cifra está fijada. Para la primera cifra no se puede usar 0 ni 5.
\[ 6 \cdot 6 \cdot 5 = 180 \]Resultado: 180 números
29Secuencias de colores sin repetir
Se forma una secuencia de 4 colores usando 6 colores disponibles, sin repetir. ¿Cuántas secuencias hay?
Resultado: 360 secuencias
30Secuencias de colores con repetición
Se forma una secuencia de 4 colores usando 6 colores disponibles, permitiendo repetir. ¿Cuántas secuencias hay?
Resultado: 1296 secuencias
31Clave mixta
Una clave está formada por 2 letras seguidas de 3 cifras. Se usan 24 letras y 10 cifras. Las letras no se pueden repetir, pero las cifras sí. ¿Cuántas claves pueden formarse?
Resultado: 552000 claves
32Matrícula con primera letra vocal
Una matrícula tiene 3 letras y 2 cifras. Las letras no se repiten y las cifras sí. La primera letra debe ser vocal. Se usan 5 vocales, 21 consonantes y 10 cifras. ¿Cuántas matrículas pueden formarse?
La primera letra tiene 5 opciones. Después quedan 25 letras para la segunda posición y 24 para la tercera. Las cifras se pueden repetir.
\[ 5 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 10 \cdot 10 = 300000 \]Resultado: 300000 matrículas
6. Combinaciones y números combinatorios
Las combinaciones se usan cuando se eligen algunos elementos y el orden no importa. Si formar un grupo con Ana, Luis y Marta es lo mismo que formar un grupo con Marta, Ana y Luis, entonces estamos ante combinaciones.
Idea importante
Si el orden no importa, no se usan variaciones. Se usan combinaciones. Este es probablemente el error más común en 4.º ESO.
33Equipo de alumnos
De una clase de 12 alumnos se eligen 3 para representar al grupo. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?
Resultado: 220 equipos
34Elegir libros
Una alumna tiene 9 libros y quiere llevarse 4 de vacaciones. ¿De cuántas formas puede elegirlos?
Resultado: 126 formas
35Grupo de trabajo
En una clase de 20 alumnos se quieren formar grupos de 5 alumnos. ¿Cuántos grupos distintos de 5 alumnos pueden formarse?
Resultado: 15504 grupos
36Seleccionar problemas
Un profesor propone 10 problemas y el alumno debe escoger 6 para entregar. ¿De cuántas formas puede elegirlos?
Resultado: 210 formas
37Comité con chicos y chicas
En un grupo hay 8 chicas y 6 chicos. Se quiere formar un comité de 4 personas con 2 chicas y 2 chicos. ¿Cuántos comités pueden formarse?
Resultado: 420 comités
38Cartas de una baraja
De una baraja de 40 cartas se sacan 3 cartas a la vez. ¿Cuántos grupos distintos de 3 cartas pueden salir?
Resultado: 9880 grupos
39Equipos con dos alumnos incompatibles
En una clase de 18 alumnos, dos alumnos concretos no pueden estar juntos en el mismo equipo. ¿Cuántos equipos de 4 alumnos pueden formarse?
Primero calculamos todos los equipos posibles de 4 alumnos.
\[ C_{18,4} = 3060 \]Ahora restamos los equipos en los que están juntos los dos alumnos concretos. Si esos dos ya están dentro, faltan 2 alumnos entre los otros 16.
\[ C_{16,2} = 120 \] \[ 3060 - 120 = 2940 \]Resultado: 2940 equipos
40Grupo con alumnado de las dos clases
En una actividad participan 7 alumnos de 4.º A y 5 de 4.º B. ¿Cuántos grupos de 4 contienen al menos una persona de cada clase?
Contamos todos los grupos y restamos los formados solo por A o solo por B.
Resultado: 455 grupos.
Comprobación: ningún grupo restante está formado por alumnado de una sola clase.
41Grupo con al menos 3 chicas
En una clase hay 10 chicas y 8 chicos. Se quiere formar un grupo de 4 personas con al menos 3 chicas. ¿Cuántos grupos pueden formarse?
Caso 1: 3 chicas y 1 chico.
\[ C_{10,3} \cdot C_{8,1} = 120 \cdot 8 = 960 \]Caso 2: 4 chicas.
\[ C_{10,4} = 210 \] \[ 960 + 210 = 1170 \]Resultado: 1170 grupos
42Grupo con como máximo 1 chico
En una clase hay 9 chicas y 7 chicos. Se quiere formar un grupo de 4 personas con como máximo 1 chico. ¿Cuántos grupos pueden formarse?
Caso 1: 0 chicos y 4 chicas.
\[ C_{9,4} = 126 \]Caso 2: 1 chico y 3 chicas.
\[ C_{7,1} \cdot C_{9,3} = 7 \cdot 84 = 588 \] \[ 126 + 588 = 714 \]Resultado: 714 grupos
43Preguntas obligatorias
Un examen tiene 12 preguntas y el alumno debe contestar 8. Las 3 primeras son obligatorias. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas que contesta?
Las 3 primeras ya están elegidas. Faltan 5 preguntas más entre las otras 9.
\[ C_{9,5} = C_{9,4} = 126 \]Resultado: 126 formas
44Sentarse alternando dos grupos
Cuatro chicas y cuatro chicos se sientan en una fila alternando. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?
Hay dos patrones: empieza una chica o empieza un chico. Dentro de cada patrón, las chicas se ordenan de \(4!\) formas y los chicos también.
Resultado: 1152 colocaciones.
Comprobación: los dos patrones son incompatibles y por eso se suman mediante el factor 2.
45Elegir 4 alumnos
De 15 alumnos se eligen 4 para acompañar al profesor a una actividad. No hay cargos distintos. ¿Cuántas elecciones son posibles?
Resultado: 1365 elecciones
46Elegir 4 cartas
De una baraja española de 40 cartas se eligen 4 cartas a la vez. ¿Cuántos grupos distintos pueden salir?
Resultado: 91390 grupos
47Comisión con al menos 3 de ciencias
En una clase hay 12 alumnos de ciencias y 10 de letras. Se quiere formar una comisión de 5 alumnos con al menos 3 de ciencias. ¿Cuántas comisiones pueden formarse?
Caso 1: 3 de ciencias y 2 de letras.
\[ C_{12,3} \cdot C_{10,2} = 220 \cdot 45 = 9900 \]Caso 2: 4 de ciencias y 1 de letras.
\[ C_{12,4} \cdot C_{10,1} = 495 \cdot 10 = 4950 \]Caso 3: 5 de ciencias.
\[ C_{12,5} = 792 \] \[ 9900 + 4950 + 792 = 15642 \]Resultado: 15642 comisiones
48Elegir equipo y después capitán
De 12 jugadores se forma un equipo de 5 y, entre los elegidos, se nombra un capitán. ¿Cuántas elecciones completas pueden hacerse?
Primero se elige el grupo sin orden. Después se elige uno de sus cinco integrantes como capitán.
Resultado: 3960 elecciones.
Comprobación: aquí se combinan una elección sin orden y una decisión posterior con cinco opciones.
49Al menos 2 chicas
En una clase hay 9 chicas y 7 chicos. Se quiere formar un grupo de 4 personas con al menos 2 chicas. ¿Cuántos grupos pueden formarse?
Caso 1: 2 chicas y 2 chicos.
\[ C_{9,2} \cdot C_{7,2} = 36 \cdot 21 = 756 \]Caso 2: 3 chicas y 1 chico.
\[ C_{9,3} \cdot C_{7,1} = 84 \cdot 7 = 588 \]Caso 3: 4 chicas.
\[ C_{9,4} = 126 \] \[ 756 + 588 + 126 = 1470 \]Resultado: 1470 grupos
50Códigos que contienen alguna repetición
Se forman códigos de cuatro posiciones con 6 símbolos. ¿Cuántos contienen al menos un símbolo repetido?
Es más corto contar todos los códigos y restar los que tienen los cuatro símbolos distintos.
Resultado: 936 códigos.
Comprobación: códigos con repetición y códigos sin repetición forman juntos el total \(6^4\).
7. Problemas mezclados tipo examen
En un examen no suele venir indicado si hay que usar variaciones, permutaciones o combinaciones. La clave es leer y justificar el tipo de recuento.
51Bandera de tres franjas
Se quiere diseñar una bandera con 3 franjas horizontales usando 5 colores disponibles. No se puede repetir color. ¿Cuántas banderas distintas pueden hacerse?
Importa el orden y no se repiten colores.
\[ V_{5,3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]Resultado: 60 banderas
52Bandera con repetición
Se quiere diseñar una bandera con 3 franjas horizontales usando 5 colores disponibles. Ahora sí se puede repetir color. ¿Cuántas banderas distintas pueden hacerse?
Resultado: 125 banderas
53Delegado y subdelegado
En una clase de 22 alumnos se eligen delegado y subdelegado. ¿Cuántas elecciones posibles hay?
Resultado: 462 elecciones
54Dos representantes sin cargos
En una clase de 22 alumnos se eligen 2 representantes sin cargos distintos. ¿Cuántas elecciones posibles hay?
Resultado: 231 elecciones
55Bolas ordenadas
Una bolsa contiene 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se extraen 3 bolas sin devolverlas y se colocan en fila. ¿Cuántos resultados ordenados pueden obtenerse?
Resultado: 504 resultados
56Bolas a la vez
Una bolsa contiene 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se extraen 3 bolas a la vez. ¿Cuántos grupos distintos pueden obtenerse?
Resultado: 84 grupos
57Preguntas obligatorias
Un examen tiene 10 preguntas. El alumno debe contestar 6, pero las dos primeras son obligatorias. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas?
Las dos primeras ya están elegidas. Faltan 4 preguntas entre las 8 restantes.
\[ C_{8,4} = 70 \]Resultado: 70 formas
58Preguntas excluidas
Un examen tiene 12 preguntas. El alumno debe elegir 5, pero no quiere contestar dos preguntas concretas. ¿De cuántas formas puede elegir?
Solo puede elegir entre las otras 10 preguntas.
\[ C_{10,5} = 252 \]Resultado: 252 formas
59Libros por géneros
Se tienen 7 novelas, 4 libros de poesía y 3 libros de teatro. ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 novelas, 1 libro de poesía y 1 libro de teatro?
Resultado: 252 formas
60Helados sin orden
Una heladería tiene 12 sabores. ¿De cuántas formas pueden elegirse 3 sabores distintos para una tarrina si no importa el orden?
Resultado: 220 formas
61Helados con orden
Una heladería tiene 12 sabores. ¿De cuántas formas pueden colocarse 3 bolas distintas en un cucurucho, si importa cuál va abajo, en medio y arriba?
Resultado: 1320 formas
62Candado
Un candado tiene 5 ruedas. Cada rueda puede mostrar una cifra del 0 al 9. ¿Cuántas claves posibles tiene el candado?
Resultado: 100000 claves
63Palabra ANANA
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra ANANA?
La A aparece 3 veces y la N aparece 2 veces.
\[ \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{12} = 10 \]Resultado: 10 palabras
64Palabra CAMAMA
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra CAMAMA?
La A aparece 3 veces y la M aparece 2 veces.
\[ \frac{6!}{3! \cdot 2!} = \frac{720}{12} = 60 \]Resultado: 60 palabras
65Dos personas juntas
Se sientan 6 personas en una fila. Dos personas concretas quieren sentarse juntas. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
Las dos personas juntas se tratan como un bloque. Hay 5 elementos para ordenar y dentro del bloque pueden cambiar de orden.
\[ 5! \cdot 2! = 120 \cdot 2 = 240 \]Resultado: 240 formas
66Dos personas separadas
Se sientan 5 personas en una fila. Dos personas concretas no quieren sentarse juntas. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
Total de formas:
\[ 5! = 120 \]Formas en que sí están juntas:
\[ 4! \cdot 2! = 48 \] \[ 120 - 48 = 72 \]Resultado: 72 formas
67Método de huecos para evitar posiciones consecutivas
Cuatro alumnos y tres profesores se sientan en fila. ¿De cuántas formas pueden colocarse si no puede haber dos profesores juntos?
Ordenamos primero a los cuatro alumnos. Generan cinco huecos: antes, entre ellos y después. Elegimos tres huecos distintos para los profesores y los ordenamos.
Resultado: 1440 colocaciones.
Comprobación: al ocupar como máximo un profesor por hueco, nunca quedan dos juntos.
68Incluir dos símbolos mediante inclusión-exclusión
¿Cuántos códigos de cinco cifras contienen al menos un 0 y al menos un 1? En un código se permite empezar por 0.
Partimos de todos los códigos. Restamos los que no tienen 0 y los que no tienen 1, y sumamos los que no tienen ninguno porque se habían restado dos veces.
Resultado: 14 670 códigos.
Comprobación: es un recuento por inclusión-exclusión, no una probabilidad.
69Exactamente uno de dos alumnos
En una clase de 14 alumnos se forma un grupo de 5. Dos alumnos concretos no quieren coincidir, pero exactamente uno de los dos debe estar en el grupo. ¿Cuántos grupos pueden formarse?
Elegimos 1 de esos 2 alumnos y luego 4 de los otros 12.
\[ C_{2,1} \cdot C_{12,4} \] \[ 2 \cdot 495 = 990 \]Resultado: 990 grupos
70Al menos uno de dos alumnos
En una clase de 14 alumnos se forma un grupo de 5. Dos alumnos concretos quieren que al menos uno de ellos esté en el grupo. ¿Cuántos grupos pueden formarse?
Calculamos todos los grupos y restamos los grupos en los que no está ninguno de los dos.
\[ C_{14,5} - C_{12,5} \] \[ 2002 - 792 = 1210 \]Resultado: 1210 grupos
8. Ampliación opcional para Bachillerato
En Castilla y León la combinatoria aparece expresamente en Matemáticas I. En 2.º puede volver a utilizarse dentro de probabilidad, pero la profundidad cambia de un centro a otro y también según la modalidad. Por eso estos dos modelos quedan fuera del recorrido principal de 4.º ESO.
B1Combinaciones con repetición
Una heladería permite elegir cuatro bolas entre seis sabores. Se pueden repetir sabores y no importa el orden. ¿Cuántas elecciones diferentes hay?
Es una elección sin orden en la que se permite repetir.
Resultado: 126 elecciones.
No se usa \(6^4\), porque chocolate-vainilla-fresa-limón representa la misma elección en cualquier orden.
B2Permutaciones circulares
Siete personas se sientan alrededor de una mesa redonda. Si dos colocaciones obtenidas mediante un giro se consideran iguales, ¿cuántas distribuciones hay?
Fijamos una persona como referencia y ordenamos las otras seis alrededor de ella.
Resultado: 720 distribuciones.
La referencia elimina las siete copias que aparecen al girar una misma colocación.
Dos identidades útiles
La primera expresa una simetría. La segunda es la regla de Pascal y permite construir cada fila del triángulo a partir de la anterior.
9. Ejercicios para practicar combinatoria
Esta parte está pensada para practicar antes de mirar la solución. Lo importante es escribir junto a cada ejercicio si se trata de multiplicación, permutación, variación, variación con repetición o combinación.
Ejercicios 1 a 10
- Una persona tiene 4 camisetas, 5 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas puede vestirse?
- Un código tiene 3 letras. Se usan 24 letras y se puede repetir. ¿Cuántos códigos hay?
- Un código tiene 3 letras. Se usan 24 letras y no se puede repetir. ¿Cuántos códigos hay?
- ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos?
- ¿De cuántas formas se pueden colocar 7 alumnos en fila?
- En una carrera participan 9 corredores. ¿De cuántas formas puede formarse el podio?
- De 16 alumnos se eligen 3 representantes sin cargos distintos. ¿Cuántas elecciones hay?
- De 16 alumnos se eligen delegado, subdelegado y secretario. ¿Cuántas elecciones hay?
- Una clave tiene 4 cifras distintas. Se usan las cifras del 0 al 9. ¿Cuántas claves hay?
- ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 si se puede repetir?
Ejercicios 11 a 20
- ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4 y 5?
- ¿Cuántos números pares de tres cifras distintas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
- Una alumna debe elegir 4 libros de una lista de 11. ¿Cuántas elecciones puede hacer?
- Una alumna elige 5 libros de una lista de 12 y los coloca ordenados en una balda. ¿Cuántas posibilidades hay?
- ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de CASA?
- ¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de SALAS?
- En un grupo hay 8 chicos y 7 chicas. Se quiere formar un grupo de 4 personas con 2 chicos y 2 chicas. ¿Cuántos grupos hay?
- En un grupo hay 7 chicas y 8 chicos. Se quiere formar un grupo de 4 personas con al menos 3 chicas. ¿Cuántos grupos hay?
- En un grupo hay 7 chicas y 8 chicos. Se quiere formar un grupo de 4 personas con como máximo 1 chico. ¿Cuántos grupos hay?
- Un examen tiene 11 preguntas. El alumno debe contestar 7 y las tres primeras son obligatorias. ¿De cuántas formas puede elegir?
Ejercicios 21 a 30
- Un examen tiene 14 preguntas. El alumno debe elegir 6, pero no puede contestar dos preguntas concretas. ¿De cuántas formas puede elegir?
- Se sientan 7 personas en fila. Dos personas concretas quieren sentarse juntas. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
- Se sientan 7 personas en fila. Dos personas concretas no quieren sentarse juntas. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
- De 13 personas se eligen presidente, secretario y tesorero. ¿Cuántas elecciones hay?
- De 9 frutas distintas se eligen 3 para una cesta. ¿Cuántas cestas distintas pueden hacerse?
- De 9 frutas distintas se eligen 3 y se colocan ordenadas en una fila. ¿Cuántas posibilidades hay?
- Se forma una secuencia de 5 colores usando 7 colores disponibles, sin repetir. ¿Cuántas secuencias hay?
- Se forma una secuencia de 5 colores usando 7 colores disponibles, permitiendo repetir. ¿Cuántas secuencias hay?
- De una baraja española de 40 cartas se sacan 2 cartas a la vez. ¿Cuántos grupos distintos pueden salir?
- De una baraja española de 40 cartas se sacan 2 cartas una detrás de otra sin devolverlas. Si importa el orden, ¿cuántos resultados hay?
Antes de mirar las respuestas
Revisa siempre estas tres preguntas:
- ¿Estoy formando un grupo o una lista ordenada?
- ¿Puede repetirse algún elemento?
- ¿Hay alguna condición que obligue a separar casos?
10. Soluciones de los ejercicios para practicar
| Ejercicio | Tipo de recuento | Resultado |
|---|---|---|
| 1 | Principio de multiplicación | \(4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\) |
| 2 | Variación con repetición | \(24^3 = 13824\) |
| 3 | Variación sin repetición | \(24 \cdot 23 \cdot 22 = 12144\) |
| 4 | Permutación | \(5! = 120\) |
| 5 | Permutación | \(7! = 5040\) |
| 6 | Variación sin repetición | \(9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\) |
| 7 | Combinación | \(C_{16,3} = 560\) |
| 8 | Variación sin repetición | \(16 \cdot 15 \cdot 14 = 3360\) |
| 9 | Variación sin repetición | \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\) |
| 10 | Principio de multiplicación | \(5 \cdot 6 \cdot 6 = 180\) |
| 11 | Principio de multiplicación | \(5 \cdot 5 \cdot 4 = 100\) |
| 12 | Separación de casos | \(30 + 75 = 105\) |
| 13 | Combinación | \(C_{11,4} = 330\) |
| 14 | Variación sin repetición | \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 95040\) |
| 15 | Permutación con repetición | \(4!/2! = 12\) |
| 16 | Permutación con repetición | \(5!/(2! \cdot 2!) = 30\) |
| 17 | Combinaciones por partes | \(C_{8,2} \cdot C_{7,2} = 588\) |
| 18 | Suma de casos | \(C_{7,3} \cdot C_{8,1} + C_{7,4} = 315\) |
| 19 | Suma de casos | \(C_{7,4} + C_{8,1} \cdot C_{7,3} = 315\) |
| 20 | Combinación | \(C_{8,4}=70\) |
| 21 | Combinación | \(C_{12,6}=924\) |
| 22 | Bloque de dos personas juntas | \(6!\cdot2!=1440\) |
| 23 | Total menos juntas | \(7!-6!\cdot2!=3600\) |
| 24 | Variación sin repetición | \(13 \cdot 12 \cdot 11 = 1716\) |
| 25 | Combinación | \(C_{9,3} = 84\) |
| 26 | Variación sin repetición | \(9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\) |
| 27 | Variación sin repetición | \(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) |
| 28 | Variación con repetición | \(7^5=16807\) |
| 29 | Combinación | \(C_{40,2} = 780\) |
| 30 | Variación sin repetición | \(40 \cdot 39 = 1560\) |
En un grupo de cuatro personas, pedir al menos tres chicas equivale a pedir como máximo un chico. Por eso los ejercicios 18 y 19 conducen a los mismos casos y al mismo resultado.
Ojo con los ejercicios 25 y 26
En los dos aparecen 9 frutas y se eligen 3. En el ejercicio 25 se forma una cesta y el orden no importa. En el ejercicio 26 se colocan ordenadas y el orden sí importa.
11. Errores frecuentes en combinatoria
Estos son errores reales muy habituales en 4.º ESO. Conviene revisarlos antes de un examen, porque suelen explicar la mayoría de fallos.
Error 1. Usar variaciones cuando el orden no importa
Si se elige un grupo de alumnos, el orden no importa. En ese caso se usan combinaciones.
Error 2. Olvidar que el 0 no puede ir delante
En números de varias cifras, si empieza por 0, realmente deja de tener esas cifras.
Error 3. Separar casos sin comprobar si hace falta
Expresiones como al menos o como máximo pueden resolverse separando casos, pero a veces el complementario es más corto. Conviene comparar ambos caminos antes de calcular.
Error 4. Confundir con repetición y sin repetición
En claves puede repetirse si el enunciado lo permite. En personas, cargos y podios normalmente no.
Error 5. Dividir por factorial cuando no toca
Solo se divide por factorial cuando se está corrigiendo un exceso de ordenaciones repetidas.
Error 6. No distinguir elegir y colocar
Elegir 3 libros no es lo mismo que elegir 3 libros y colocarlos ordenados.
Error 7. Leer a la vez como si hubiera orden
Si se sacan cartas a la vez, normalmente el orden no importa.
Error 8. No tratar como bloque a elementos que van juntos
Si dos personas deben ir juntas, se tratan como un solo bloque y después se ordenan dentro del bloque.
Error 9. Restar mal los casos prohibidos
Cuando dos elementos no pueden ir juntos, suele ser más fácil calcular el total y restar los casos en los que sí van juntos.
Error 10. Pensar que todas las fórmulas valen para todo
En combinatoria la fórmula viene después de entender el enunciado, no antes.
Comprobación final
Si el resultado parece demasiado grande o demasiado pequeño, revisa si has contado con orden o sin orden. Esa diferencia suele multiplicar o dividir el resultado por un factorial.
12. Examen final de combinatoria
Este examen final sirve para comprobar si el tema está realmente entendido. No basta con acertar el número final: en cada ejercicio hay que justificar si importa el orden, si hay repetición y si se deben separar casos.
Instrucciones
Tiempo recomendado: 35 a 45 minutos.
Puntuación orientativa: 10 puntos.
Cada ejercicio debe incluir planteamiento, operación y resultado final.
E1Códigos de acceso
Un código está formado por 2 letras y 3 cifras. Se usan 20 letras y 10 cifras. Las letras no se pueden repetir, pero las cifras sí. ¿Cuántos códigos pueden formarse?
Resultado: 380000 códigos
E2Representantes sin cargos
En una clase de 24 alumnos se eligen 4 representantes sin cargos distintos. ¿Cuántos grupos de representantes pueden formarse?
Resultado: 10626 grupos
E3Cargos de clase
En esa misma clase de 24 alumnos se eligen delegado, subdelegado, secretario y portavoz. Ningún alumno puede ocupar dos cargos. ¿Cuántas elecciones posibles hay?
Resultado: 255024 elecciones
E4Números pares de cuatro cifras
¿Cuántos números pares de cuatro cifras distintas pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?
Separamos según la última cifra.
Caso 1. Termina en 0: \(7\cdot6\cdot5=210\).
Caso 2. Termina en 2, 4 o 6: \(3\cdot6\cdot6\cdot5=540\).
Resultado: 750 números.
E5Grupo mixto
En un grupo hay 10 chicas y 9 chicos. Se quiere formar un equipo de 5 personas con exactamente 3 chicas. ¿Cuántos equipos pueden formarse?
Resultado: 4320 equipos
E6Grupo con al menos 4 chicas
En el mismo grupo de 10 chicas y 9 chicos, se quiere formar un equipo de 5 personas con al menos 4 chicas. ¿Cuántos equipos pueden formarse?
Caso 1: 4 chicas y 1 chico.
\[ C_{10,4} \cdot C_{9,1} = 210 \cdot 9 = 1890 \]Caso 2: 5 chicas.
\[ C_{10,5} = 252 \] \[ 1890 + 252 = 2142 \]Resultado: 2142 equipos
E7Letras repetidas en ESTADISTICA
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no significado, pueden formarse con las letras de ESTADISTICA?
Hay 11 letras. A, I, S y T aparecen dos veces cada una.
Resultado: 2 494 800 palabras distintas.
E8Personas juntas
Se sientan 7 personas en una fila. Dos personas concretas deben sentarse juntas. ¿De cuántas formas pueden colocarse?
Las dos personas juntas forman un bloque. Hay 6 elementos para ordenar, y dentro del bloque hay 2 órdenes posibles.
\[ 6! \cdot 2! = 720 \cdot 2 = 1440 \]Resultado: 1440 formas
E9Mano con exactamente dos reyes
De una baraja española de 40 cartas se eligen 5 a la vez. ¿Cuántas manos contienen exactamente dos reyes?
Elegimos 2 de los 4 reyes y 3 de las otras 36 cartas.
Resultado: 42 840 manos.
E10Cartas con orden
De una baraja española de 40 cartas se extraen 3 cartas una detrás de otra sin devolverlas. Si importa el orden de salida, ¿cuántos resultados posibles hay?
Resultado: 59280 resultados
Corrección orientativa
9 a 10 puntos: domina la lectura del enunciado y distingue bien los casos.
7 a 8 puntos: entiende el tema, pero debe revisar condiciones y casos con más calma.
5 a 6 puntos: necesita practicar la diferencia entre variaciones y combinaciones.
Menos de 5 puntos: conviene volver al mapa de decisión y rehacer ejercicios básicos antes de seguir.
Preguntas frecuentes sobre combinatoria
¿Qué es lo más importante para resolver ejercicios de combinatoria?
Lo más importante es decidir si importa el orden y si se pueden repetir elementos. Esa decisión suele ser más importante que la fórmula.
¿Cuándo se usan variaciones?
Se usan variaciones cuando se eligen algunos elementos y el orden importa. Por ejemplo, elegir primero, segundo y tercer puesto en una carrera.
¿Cuándo se usan combinaciones?
Se usan combinaciones cuando se eligen algunos elementos y el orden no importa. Por ejemplo, formar un grupo de 3 alumnos.
¿Cuándo se usan permutaciones?
Se usan permutaciones cuando se ordenan todos los elementos. Por ejemplo, ordenar 6 libros distintos en una estantería.
¿Qué diferencia hay entre variaciones y combinaciones?
En las variaciones importa el orden. En las combinaciones no importa. Esa diferencia cambia mucho el resultado.
¿Por qué aparece el factorial?
El factorial aparece porque cuenta formas de ordenar elementos. Por ejemplo, \(5!\) cuenta las formas de ordenar 5 objetos distintos.
¿Cuál es el error más frecuente en combinatoria?
El error más frecuente es usar variaciones cuando en realidad el orden no importa. En esos casos hay que usar combinaciones.
Combinatoria: pensar antes de calcular
La combinatoria puede parecer un tema de fórmulas, pero en realidad es un tema de lectura y razonamiento. Dos ejercicios con números parecidos pueden resolverse de forma completamente distinta si cambia una sola palabra: grupo, orden, cargo, clave, a la vez, con repetición o sin repetición.
Por eso conviene estudiar este bloque con calma, resolviendo ejercicios variados y revisando siempre el tipo de recuento. Cuando se entiende esa diferencia, los cálculos se vuelven mucho más seguros.
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