Monotonía, extremos y curvatura 2 Bachillerato PAU/EBAU: derivadas y ejercicios resueltos

El dominio es $\mathbb{R}$. Derivamos y buscamos dónde puede cambiar el signo de la derivada.

El factor 2 es positivo: el signo lo decide $x-2$.

En $x=2$, la función pasa de decrecer a crecer. Como $f(2)=-1$, tiene un mínimo relativo en $(2,-1)$, que también es absoluto. No hay máximos.

El dominio es $\mathbb{R}$. La derivada se factoriza y sus ceros dividen la recta en tres intervalos.

El cambio de $+$ a $-$ en $0$ da un máximo relativo, y el de $-$ a $+$ en $2$ da un mínimo relativo. Sus coordenadas son $(0,0)$ y $(2,-4)$, respectivamente.

Así, crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(2,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(0,2)$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Calculamos las dos primeras derivadas, pero esta vez el estudio se basa en la segunda.

La única candidata a inflexión es $x=1$, donde $f^{″}$ se anula. Falta comprobar el cambio de signo.

La función es continua en $1$ y cambia de curvatura al atravesarlo. Como $f(1)=-2$, el punto de inflexión es $(1,-2)$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Para la monotonía usamos la primera derivada.

Hay mínimos relativos en $(-\sqrt{2},-4)$ y $(\sqrt{2},-4)$, ambos absolutos, y un máximo relativo en $(0,0)$.

Para la curvatura calculamos $f^{″}(x)=12x^2-8$. Sus ceros son $x=\pm r$, donde $r=\sqrt{\frac{2}{3}}$.

En ambos ceros cambia el signo de $f^{″}$. Como $f(\pm r)=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{20}{9}$, los puntos de inflexión son $(-r,-\frac{20}{9})$ y $(r,-\frac{20}{9})$.

El denominador se anula en $1$, por lo que el dominio es $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ese valor divide el estudio en dos intervalos.

El denominador es positivo en todo punto del dominio y el numerador es negativo.

La función es estrictamente decreciente en cada uno de esos intervalos. No extendemos la conclusión al dominio entero: el criterio de la derivada se aplica en intervalos. El punto excluido $x=1$ tampoco puede ser un extremo de la función.

El dominio es $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Escribimos $f(x)=x+\frac{1}{x}$ para derivar.

La derivada se anula en $-1$ y $1$. El valor $0$ no es un punto de la función, pero también separa intervalos en la tabla.

En $-1$, el cambio de $+$ a $-$ da un máximo relativo en $(-1,-2)$. En $1$, el cambio de $-$ a $+$ da un mínimo relativo en $(1,2)$. En $0$ no hay extremo, porque no pertenece al dominio.

El dominio es $\mathbb{R}$. La derivada es $f^{\prime }(x)=3x^2$, que solo se anula en $x=0$. Para cualquier otro valor es positiva.

En $0$ no cambia el signo de la derivada, por lo que no hay máximo ni mínimo relativo. El crecimiento también se mantiene al pasar de un lado al otro: si $x<0<y$, entonces $f(x)<f(0)<f(y)$. Así, la función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$, aunque su derivada se anule en el origen.

El dominio es $\mathbb{R}$, y la función es continua y derivable tantas veces como se necesite. Calculamos

El único cero de $f^{″}$ es $0$. Comprobamos el signo a cada lado antes de afirmar que existe una inflexión.

La curvatura cambia en $0$, que pertenece al dominio, y $f(0)=0$. Hay un punto de inflexión en $(0,0)$. La tangente allí es horizontal porque $f^{\prime }(0)=0$, pero no hay extremo: $f^{\prime }$ es positiva a ambos lados.

El dominio es $\mathbb{R}$. Se cumple

En $0$, ambas derivadas se anulan. El criterio que clasifica un punto crítico mediante el signo de $f^{″}(0)$ queda inconcluso. Recurre al signo de $f^{\prime }$.

La función pasa de decrecer a crecer. Por ello $(0,0)$ es un mínimo relativo estricto. También es el único mínimo absoluto, porque $x^4\ge 0=f(0)$ para todo $x$, con igualdad solo en $x=0$.

La función está definida en todo $\mathbb{R}$. Su derivada se anula en un único punto.

Como la exponencial es estrictamente creciente y $e^0=1$, la derivada es negativa para $x<0$ y positiva para $x>0$.

La función decrece hasta $0$ y crece después. Como estos intervalos cubren todo el dominio salvo ese punto, $f(0)=1$ es el menor valor de la función: hay un mínimo relativo y absoluto en $(0,1)$.

El logaritmo restringe el dominio a $(0,+\mathrm{\infty })$. En ese intervalo,

El denominador es positivo en todo el dominio. El signo de $f^{\prime }$ depende solo de $x-1$, y su único cero es $x=1$. El punto $0$ queda fuera del dominio; no es un candidato a extremo.

Hay un mínimo relativo y absoluto en $(1,1)$, pues $f(1)=1$. La monotonía cubre todo el dominio: cualquier punto distinto de $1$ tiene un valor mayor. No hay máximos relativos.

El dominio es $\mathbb{R}$ para cualquier $a$, y la derivada existe en todos sus puntos. Por eso, ser crítico en $1$ exige $f^{\prime }(1)=0$.

Obtenemos $a=-3$. Para clasificar el punto hay que sustituir ese valor en la función y en sus derivadas.

La primera derivada no cambia de signo en $1$, de modo que el punto crítico no es máximo ni mínimo. La segunda sí cambia de signo, y $f(1)=1$: hay una inflexión en $(1,1)$ con tangente horizontal $y=1$.

El dominio que estudiamos es $[-1,4]$. Escribimos el valor absoluto según el signo de $x-1$:

La pendiente es $-1$ a la izquierda de 1 y $+1$ a la derecha. Así, decrece en $[-1,1]$ y crece en $[1,4]$. En $x=1$ hay un mínimo absoluto, $f(1)=0$, aunque la derivada no exista.

Para el máximo comparamos también los extremos del intervalo: $f(-1)=2$ y $f(4)=3$. El máximo absoluto es 3 y se alcanza en $x=4$.

El teorema de Fermat exige derivabilidad en el punto interior donde hay un extremo. Aquí las pendientes laterales son distintas, por lo que no podemos exigir $f^{\prime }(1)=0$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Como $f(x)=-x^2$ para $x<0$ y $f(x)=x^2$ para $x\ge 0$, las derivadas fuera del origen son

En el origen usamos la definición: $\frac{f(h)-f(0)}{h}=|h|\to 0$, por lo que $f^{\prime }(0)=0$. La primera derivada es positiva en ambos lados. La función es estrictamente creciente en toda la recta y no tiene máximos ni mínimos.

Para derivar $f^{\prime }$ en 0, sus cocientes laterales valen $-2$ y 2. No existe $f^{″}(0)$, pero sí cambia la curvatura: $(0,0)$ es un punto de inflexión.

El dominio es $\mathbb{R}$ para todo $a$. La derivada es

Si $a<0$. El factor $x^2-a$ siempre es positivo. La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0]$ y crece en $[0,+\mathrm{\infty })$. Tiene un mínimo absoluto en $(0,0)$.

Si $a=0$. Queda $f_a^{\prime }(x)=4x^3$, con el mismo cambio de signo y el mismo mínimo. Aunque $f_a^{″}(0)=0$, el signo de la primera derivada sí decide.

Si $a>0$. Los puntos estacionarios son $-\sqrt{a}$, 0 y $\sqrt{a}$.

Hay mínimos absolutos en $(\pm \sqrt{a},-a^2)$ y un máximo relativo en $(0,0)$. Para ningún valor de $a$ existe máximo absoluto, porque $f_a(x)\to +\mathrm{\infty }$ cuando $|x|\to +\mathrm{\infty }$.

Los ceros de la derivada son $-2$ y 1. El factor $(x-1{)}^2$ es positivo salvo en 1, así que el signo depende de $x+2$.

Hay un mínimo absoluto en $x=-2$. En $x=1$, la derivada se anula sin cambiar de signo y no hay extremo. La función es estrictamente creciente desde $-2$ en adelante y no tiene máximos.

Para la curvatura derivamos la expresión conocida:

Es positiva en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y $(1,+\mathrm{\infty })$, y negativa en $(-1,1)$. Por ello, hay inflexión en $x=-1$ y $x=1$. La de 1 tiene tangente horizontal; la de $-1$, pendiente $f^{\prime }(-1)=4$. Sin un valor de $f$, no podemos dar las ordenadas de esos puntos.

La función es continua y derivable en toda $\mathbb{R}$. Su derivada verifica

Lagrange permite concluir primero que es no decreciente: para cualquier $s<t$, el incremento es $f(t)-f(s)=f^{\prime }(c)(t-s)\ge 0$, con algún $c\in (s,t)$.

Para obtener crecimiento estricto hace falta un paso más. Los ceros $2k\pi$ son aislados, así que dentro de cualquier $(s,t)$ podemos elegir $u<v$ con $f^{\prime }>0$ en todo $(u,v)$. Aplicando Lagrange en $[u,v]$, se cumple $f(v)>f(u)$. Como ya sabemos que es no decreciente,

Por tanto, $f(s)<f(t)$. Los puntos estacionarios son $(2k\pi ,2k\pi )$, pero ninguno es un máximo o un mínimo.

El polinomio es continuo en el intervalo cerrado y acotado $[-2,3]$. Por Weierstrass, alcanza máximo y mínimo absolutos. Para encontrarlos hay que comparar los candidatos, no solo citar el teorema.

La derivada es positiva en $(-2,-1)$, negativa en $(-1,1)$ y positiva en $(1,3)$. Hay un máximo relativo interior en $(-1,2)$ y un mínimo relativo interior en $(1,-2)$.

El mínimo absoluto es $-2$ y se alcanza tanto en $x=-2$ como en $x=1$. El máximo absoluto es 18 y se alcanza en $x=3$. El máximo relativo interior no es el máximo absoluto.

El dominio del problema es el intervalo abierto $(0,2)$. Su derivada es $f^{\prime }(x)=2(x-1)$: la función decrece en $(0,1]$ y crece en $[1,2)$. Tiene un mínimo absoluto en $x=1$, donde $f(1)=0$.

Como $-1<x-1<1$, se cumple $0\le f(x)<1$. Los valores se aproximan a 1 cuando $x\to 0^{+}$ o $x\to 2^{-}$, pero $f(x)=1$ exigiría $x=0$ o $x=2$, y ambos están excluidos.

El supremo es 1, sin máximo absoluto. No podemos aplicar Weierstrass a este intervalo, porque no es cerrado. Que no se cumplan sus hipótesis tampoco implica ausencia de todos los extremos: el mínimo sí existe.

El tiempo físico cumple $t\ge 0$. El cociente del exponente es adimensional. Derivando respecto al tiempo,

La masa crece en todo el intervalo físico. Su tasa de acumulación es positiva, pero va disminuyendo: la masa aumenta cada vez más despacio.

Para encontrar el instante pedido igualamos la primera derivada a la tasa indicada. Tras dividir por $1\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$,

Se obtiene $t=30\ln 10\mathrm{s}\approx 69,08\mathrm{s}$. Después de ese instante, $m^{\prime }(t)$ sigue siendo positiva, por lo que la masa continúa aumentando. El signo negativo de $m^{″}$ describe el descenso de la tasa, no una pérdida de masa.