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Monotonía, extremos y curvatura 2 Bachillerato PAU/EBAU: derivadas y ejercicios resueltos
Monotonía, extremos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión en 2 Bachillerato
Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.
Monotonía, extremos y curvatura forman el corazón del estudio de funciones. Aquí es donde la derivada deja de ser una cuenta mecánica y empieza a decirnos cómo se comporta una gráfica: dónde sube, dónde baja, dónde alcanza máximos o mínimos, dónde cambia la curvatura y dónde puede aparecer un punto de inflexión.
En clase muchos alumnos entienden la frase “derivamos e igualamos a cero”, pero luego se pierden con la tabla de signos, con la segunda derivada o con la diferencia entre máximo, mínimo e inflexión. Este recurso va justo a eso: ordenar el procedimiento y trabajarlo con ejemplos de examen.
Frontera del recurso: este bloque se centra en crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. No sustituye al recurso general de derivadas, ni al de recta tangente y normal, ni al de representación completa de funciones. Funciona como pieza intermedia clave antes de representación de funciones y optimización.
Si sabes derivar pero no sabes interpretar la derivada, este tema es el que necesitas trabajar. En Marlu Educativa lo explicamos con tablas de signos, ejemplos guiados y ejercicios tipo examen, porque aquí se decide buena parte del bloque de análisis.
Índice del recurso
- 1. Qué estudia la monotonía y la curvatura
- 2. Primera derivada y monotonía
- 3. Máximos y mínimos relativos
- 4. Segunda derivada y curvatura
- 5. Puntos de inflexión
- 6. Método completo paso a paso
- 7. Cómo hacer tablas de signos
- 8. Criterio de primera y segunda derivada
- 9. Errores frecuentes reales
- 10. Ejercicios resueltos paso a paso
- 11. Ejercicios para practicar
- 12. Soluciones rápidas
- 13. Simulacro tipo PAU/EBAU
- 14. Qué estudiar antes y después
- 15. Preguntas frecuentes
1. Qué estudia la monotonía y la curvatura
Cuando estudiamos una función en 2 Bachillerato, no basta con sustituir valores. Queremos saber cómo se comporta la gráfica. Para eso usamos derivadas.
Monotonía
Estudia dónde la función crece y dónde decrece. Se analiza con la primera derivada \(f'(x)\).
Extremos relativos
Son máximos y mínimos locales. Normalmente aparecen cerca de los puntos donde \(f'(x)=0\) o donde la derivada no existe.
Curvatura
Estudia si la gráfica es cóncava o convexa. Se analiza con la segunda derivada \(f''(x)\).
Puntos de inflexión
Son puntos donde cambia la curvatura. Suelen buscarse entre los valores que anulan \(f''(x)\).
2. Primera derivada y monotonía
La monotonía de una función se estudia mirando el signo de la primera derivada.
La razón es sencilla: si la derivada es positiva, la pendiente de la tangente es positiva y la gráfica sube. Si la derivada es negativa, la pendiente es negativa y la gráfica baja.
| Signo de \(f'(x)\) | Comportamiento | Lectura gráfica |
|---|---|---|
| \(f'(x)>0\) | Creciente | La gráfica sube de izquierda a derecha |
| \(f'(x)<0\) | Decreciente | La gráfica baja de izquierda a derecha |
| \(f'(x)=0\) | Punto crítico | Puede haber máximo, mínimo o nada especial |
Ojo con esto: que \(f'(a)=0\) no garantiza que haya máximo o mínimo. Hay que mirar si el signo de la derivada cambia al pasar por \(a\).
3. Máximos y mínimos relativos
Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer. Un mínimo relativo es un punto donde la función pasa de decrecer a crecer.
Ese cambio se mira en el signo de \(f'(x)\).
| Signo de \(f'\) antes | Signo de \(f'\) después | Conclusión |
|---|---|---|
| + | - | Máximo relativo |
| - | + | Mínimo relativo |
| + | + | No hay extremo |
| - | - | No hay extremo |
4. Segunda derivada y curvatura
La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente. En 2 Bachillerato la usamos para estudiar concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Según el libro o el profesor, a veces se intercambian las palabras cóncava y convexa por convenio visual. Para evitar líos, en examen conviene escribir el signo de la segunda derivada y describir la forma de la gráfica.
| Signo de \(f''(x)\) | Curvatura | Imagen mental |
|---|---|---|
| \(f''(x)>0\) | Convexa | Forma de cuenco hacia arriba |
| \(f''(x)<0\) | Cóncava | Forma de cuenco hacia abajo |
Lo importante no es memorizar una frase suelta, sino entender que el signo de \(f''\) marca la curvatura.
5. Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de curvatura. Es decir, pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
Los candidatos suelen salir resolviendo:
Pero, igual que antes, no basta con que \(f''(a)=0\). Hay que comprobar que la segunda derivada cambia de signo al pasar por \(a\).
6. Método completo paso a paso
Para estudiar monotonía, extremos y curvatura, el orden más seguro es este:
- Calcula el dominio. Antes de derivar como loco, mira dónde existe la función.
- Calcula la primera derivada \(f'(x)\).
- Resuelve \(f'(x)=0\). Esos valores son candidatos a extremos.
- Añade puntos donde \(f'\) no exista, si pertenecen al dominio de la función.
- Haz la tabla de signos de \(f'(x)\). Así obtienes crecimiento, decrecimiento y extremos.
- Calcula la segunda derivada \(f''(x)\).
- Resuelve \(f''(x)=0\). Esos valores son candidatos a puntos de inflexión.
- Haz la tabla de signos de \(f''(x)\). Así obtienes concavidad, convexidad e inflexión.
- Calcula las coordenadas de los puntos importantes. No basta con decir \(x=2\); hay que dar \(P(2,f(2))\).
- Revisa coherencia. Una función que crece y luego decrece debe tener un máximo entre medias si hay continuidad y derivabilidad adecuadas.
7. Cómo hacer tablas de signos sin perderse
La tabla de signos es el centro del tema. Para hacerla bien, no hace falta probar mil números. Hay que ordenar la recta real con los puntos críticos.
Ejemplo de tabla para \(f'(x)\)
Imagina que:
Los puntos críticos son:
Dividen la recta real en tres intervalos:
| Intervalo | Signo de \(x-1\) | Signo de \(x+2\) | Signo de \(f'(x)\) | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | - | - | + | Crece |
| \((-2,1)\) | - | + | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | + | + | Crece |
Por tanto, en \(x=-2\) hay máximo relativo, porque la función pasa de crecer a decrecer. En \(x=1\) hay mínimo relativo, porque pasa de decrecer a crecer.
8. Criterio de primera derivada y criterio de segunda derivada
Criterio de primera derivada
Es el más seguro para máximos y mínimos:
Criterio de segunda derivada
Si \(f'(a)=0\), podemos mirar \(f''(a)\):
Pero si:
el criterio no decide. Hay que volver a estudiar el signo de \(f'\) o analizar mejor la función.
9. Errores frecuentes reales de alumno
Confundir \(f\), \(f'\) y \(f''\)
\(f\) da valores de la función. \(f'\) estudia crecimiento y extremos. \(f''\) estudia curvatura e inflexión.
Decir extremo porque \(f'(a)=0\)
Puede haber extremo, pero hay que comprobar cambio de signo de \(f'\) o usar correctamente la segunda derivada.
Decir inflexión porque \(f''(a)=0\)
Hace falta cambio de signo de \(f''\). Si no cambia, no hay inflexión.
No calcular coordenadas
El extremo no es solo \(x=2\). El punto es \((2,f(2))\).
Olvidar el dominio
En racionales, logaritmos o raíces, el dominio cambia la tabla de signos.
No separar asíntotas o discontinuidades
Si un punto no pertenece al dominio, no puede ser extremo relativo de la función en ese punto.
Usar la segunda derivada para todo
La segunda derivada ayuda, pero no sustituye siempre a la tabla de signos.
No justificar intervalos
En PAU/EBAU no basta con poner flechas. Hay que indicar intervalos de crecimiento, decrecimiento y curvatura.
10. Ejercicios resueltos paso a paso
Los ejercicios van de polinomios sencillos a funciones racionales y exponenciales. La idea es que el método quede claro y no dependa de memorizar un caso concreto.
Ejercicio 1. Monotonía y extremos de una parábola
Enunciado. Estudia la monotonía y los extremos de:
Derivamos:
Buscamos puntos críticos:
Estudiamos el signo de \(f'\):
| Intervalo | Signo de \(f'(x)\) | Conclusión |
|---|---|---|
| \((-\infty,2)\) | - | Decrece |
| \((2,+\infty)\) | + | Crece |
Como pasa de decrecer a crecer, hay un mínimo relativo en \(x=2\).
Calculamos la coordenada:
Resultado. Decrece en \((-\infty,2)\), crece en \((2,+\infty)\) y tiene un mínimo relativo en \((2,-1)\).
Ejercicio 2. Monotonía y extremos de una cúbica
Enunciado. Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de:
Derivamos:
Puntos críticos:
Tabla de signos:
| Intervalo | Signo de \(x\) | Signo de \(x-2\) | Signo de \(f'\) | Conclusión |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | - | - | + | Crece |
| \((0,2)\) | + | - | - | Decrece |
| \((2,+\infty)\) | + | + | + | Crece |
En \(x=0\), \(f'\) pasa de positivo a negativo. Hay máximo relativo.
En \(x=2\), \(f'\) pasa de negativo a positivo. Hay mínimo relativo.
Coordenadas:
Resultado. Crece en \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\), decrece en \((0,2)\), máximo relativo en \((0,0)\) y mínimo relativo en \((2,-4)\).
Ejercicio 3. Curvatura y punto de inflexión de una cúbica
Enunciado. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de:
Calculamos la segunda derivada.
Candidatos a inflexión:
Estudiamos el signo de \(f''\):
| Intervalo | Signo de \(f''(x)\) | Curvatura |
|---|---|---|
| \((-\infty,1)\) | - | Cóncava |
| \((1,+\infty)\) | + | Convexa |
Como cambia el signo de la segunda derivada, hay punto de inflexión en \(x=1\).
Coordenada:
Resultado. Cóncava en \((-\infty,1)\), convexa en \((1,+\infty)\), punto de inflexión en \((1,-2)\).
Ejercicio 4. Estudio completo de monotonía, extremos y curvatura
Enunciado. Estudia monotonía, extremos, curvatura e inflexión de:
Primera derivada
Puntos críticos:
El signo de \(f'(x)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\) queda:
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((-\infty,-\sqrt2)\) | - | Decrece |
| \((-\sqrt2,0)\) | + | Crece |
| \((0,\sqrt2)\) | - | Decrece |
| \((\sqrt2,+\infty)\) | + | Crece |
Conclusión de extremos:
Coordenadas:
Segunda derivada
Candidatos a inflexión:
El signo de \(f''\) es positivo fuera del intervalo y negativo dentro:
Hay cambio de curvatura en ambos valores.
Resultado. Mínimos relativos en \((-\sqrt2,-4)\) y \((\sqrt2,-4)\), máximo relativo en \((0,0)\), y puntos de inflexión en \(x=\pm\sqrt{\frac23}\).
Ejercicio 5. Función racional con dominio y asíntota
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Dominio:
Derivamos usando cociente:
Como \((x-1)^2>0\) para todo \(x\neq1\), tenemos:
Resultado. La función es decreciente en \((-\infty,1)\) y en \((1,+\infty)\).
Ejercicio 6. Racional con extremos relativos
Enunciado. Estudia la monotonía y extremos de:
Primero simplificamos:
Dominio:
Derivada:
Puntos críticos:
Además, \(x=0\) no pertenece al dominio, pero separa intervalos.
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | + | Crece |
| \((-1,0)\) | - | Decrece |
| \((0,1)\) | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | Crece |
En \(x=-1\), pasa de crecer a decrecer: máximo relativo.
En \(x=1\), pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo.
Coordenadas:
Resultado. Máximo relativo en \((-1,-2)\), mínimo relativo en \((1,2)\). Aunque visualmente pueda sorprender, en cada rama del dominio la clasificación local es correcta.
Ejercicio 7. Función con punto crítico que no es extremo
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Derivada:
Punto crítico:
Pero \(3x^2\) es positivo para todo \(x\neq0\). Por tanto:
No hay cambio de signo.
Resultado. La función es creciente en todo \(\mathbb{R}\) y no tiene máximo ni mínimo relativo en \(x=0\).
Más adelante, con la segunda derivada, veremos que \((0,0)\) es un punto de inflexión.
Ejercicio 8. Punto de inflexión sin extremo
Enunciado. Estudia la curvatura de:
Primera y segunda derivada:
Candidato a inflexión:
Signo de \(f''\):
Hay cambio de curvatura.
Resultado. La función tiene un punto de inflexión en \((0,0)\). No tiene extremo en ese punto.
Ejercicio 9. Segunda derivada no decide el extremo
Enunciado. Estudia si \(f(x)=x^4\) tiene extremo en \(x=0\).
Derivamos:
Punto crítico:
Segunda derivada:
El criterio de la segunda derivada no decide. Estudiamos el signo de \(f'\):
Pasa de decrecer a crecer.
Resultado. Hay mínimo relativo y absoluto en \((0,0)\).
Ejercicio 10. Exponencial con monotonía sencilla
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Derivamos:
Punto crítico:
Signo:
Por tanto, decrece en \((-\infty,0)\) y crece en \((0,+\infty)\). Hay mínimo relativo en \(x=0\).
Coordenada:
Resultado. Mínimo relativo en \((0,1)\).
Ejercicio 11. Logaritmo con dominio
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Dominio:
Derivada:
Como el dominio es \(x>0\), el denominador es positivo. El signo depende de \(x-1\).
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((0,1)\) | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | Crece |
Hay mínimo relativo en \(x=1\).
Resultado. Decrece en \((0,1)\), crece en \((1,+\infty)\), mínimo en \((1,1)\).
Ejercicio 12. Función con parámetro y extremo en un punto
Enunciado. Halla \(a\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) tenga un punto crítico en \(x=1\).
Un punto crítico exige:
Derivamos:
Imponemos:
Resultado. \(a=-3\).
Si el enunciado pidiera que fuese máximo o mínimo, habría que estudiar además el cambio de signo o la segunda derivada.
11. Ejercicios para practicar
Hazlos con tablas de signos. No te quedes solo en resolver \(f'(x)=0\) o \(f''(x)=0\).
Nivel 1. Monotonía y extremos
- Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de \(f(x)=x^2-6x+5\).
- Estudia la monotonía de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Estudia los extremos de \(f(x)=x^4-2x^2\).
- Estudia la monotonía de \(f(x)=\frac{x-2}{x+1}\).
- Estudia crecimiento y decrecimiento de \(f(x)=x+\frac{4}{x}\).
Nivel 2. Curvatura e inflexión
- Estudia concavidad, convexidad e inflexión de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=x^4-4x^2\).
- Estudia los puntos de inflexión de \(f(x)=x^5\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=e^x-x^2\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=x^3-3x\).
Nivel 3. Tipo examen
- Estudia monotonía, extremos, curvatura e inflexión de \(f(x)=x^3-3x+2\).
- Estudia monotonía y extremos de \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\).
- Halla \(a\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) tenga extremo relativo en \(x=1\), y clasifica el extremo.
- Estudia los intervalos de crecimiento y concavidad de \(f(x)=\ln x-x\).
- Estudia completamente \(f(x)=x^4-4x^3\) en cuanto a monotonía, extremos y curvatura.
12. Soluciones rápidas
Estas soluciones son para comprobar. En examen, lo importante es justificar con derivadas y tablas de signos.
| Ejercicio | Resultado orientativo | Clave |
|---|---|---|
| 1 | Mínimo en \(x=3\) | \(f'(x)=2x-6\) |
| 2 | Críticos \(x=1,3\) | \(f'(x)=3x^2-12x+9\) |
| 3 | Críticos \(x=0,\pm1\) | Tabla de signos de \(f'\) |
| 4 | Decrece o crece según signo de derivada | Separar \(x=-1\) |
| 5 | Críticos \(x=\pm2\) | Dominio \(x\neq0\) |
| 6 | Inflexión en \(x=2\) | \(f''(x)=6x-12\) |
| 7 | Inflexiones \(x=\pm\sqrt{1/3}\) | Resolver \(f''=0\) |
| 8 | Inflexión en \(x=0\) | Cambia el signo de \(f''\) |
| 9 | Requiere estudiar \(e^x-2\) | Segunda derivada |
| 10 | Inflexión en \(x=0\) | \(f''(x)=6x\) |
| 11 | Críticos \(x=\pm1\), inflexión \(x=0\) | Ejercicio típico |
| 12 | Separar dominio y asíntota | Racional con \(x=1\) |
| 13 | \(a=-3\) | Imponer \(f'(1)=0\) |
| 14 | Dominio \(x>0\) | No olvidar logaritmo |
| 15 | Críticos \(x=0,3\) | Derivada factorizada |
13. Simulacro tipo PAU/EBAU
Tiempo recomendado: 60 minutos.
Instrucción: justifica con derivadas, puntos críticos y tablas de signos. No des solo el resultado final.
- Estudia monotonía y extremos relativos de: \[ f(x)=x^3-6x^2+9x+1 \]
- Estudia concavidad, convexidad y puntos de inflexión de: \[ f(x)=x^4-4x^2 \]
- Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de: \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x} \]
- Halla el valor de \(a\) para que: \[ f(x)=x^3+ax^2+3x \] tenga un punto crítico en \(x=1\), y decide si es máximo, mínimo o ninguno.
- Estudia monotonía, extremos y curvatura de: \[ f(x)=e^x-x \]
Criterio de corrección
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Dominio | 1 punto | Especialmente en racionales, raíces y logaritmos |
| Primera derivada | 2 puntos | Cálculo correcto y factorización |
| Monotonía | 2 puntos | Tabla de signos de \(f'\) |
| Extremos | 2 puntos | Clasificación y coordenadas |
| Segunda derivada | 1,5 puntos | Cálculo y candidatos a inflexión |
| Curvatura e inflexión | 1,5 puntos | Tabla de signos de \(f''\) y conclusión |
Diagnóstico rápido si te equivocas
Has dicho máximo o mínimo solo porque \(f'(a)=0\). Falta mirar el cambio de signo de \(f'\) o aplicar bien el criterio de segunda derivada.
Has dicho punto de inflexión solo porque \(f''(a)=0\). Falta comprobar cambio de signo de \(f''\).
Tu tabla de signos no coincide con la gráfica mental. Revisa la factorización de la derivada. Ahí suele estar el fallo.
Has olvidado coordenadas. En extremos e inflexiones hay que dar el punto completo \((a,f(a))\), no solo el valor de \(x\).
Has incluido un punto que no pertenece al dominio. En racionales y logaritmos, esto pasa mucho. Primero dominio, luego derivadas.
14. Qué estudiar antes y después
Este recurso debe quedar dentro del clúster de análisis de 2 Bachillerato. No debe quedar aislado, porque conecta de forma directa con derivadas, recta tangente, representación de funciones y optimización.
Base previa
Antes de este recurso conviene dominar límites y continuidad 2 Bachillerato PAU/EBAU, porque el dominio, las discontinuidades y los intervalos influyen en el estudio de una función.
Derivabilidad con parámetros
Si el ejercicio mezcla funciones a trozos, parámetros y derivabilidad, el recurso natural es derivabilidad con parámetros en 2 Bachillerato. Si la URL todavía no está publicada, revisar en WordPress antes de enlazar.
Recta tangente y normal
La interpretación de la derivada como pendiente se trabaja en recta tangente y normal en 2 Bachillerato. Es un recurso hermano muy cercano a este.
Representación de funciones
Después de monotonía, extremos y curvatura, el paso más natural es representación de funciones 2 Bachillerato, donde todo esto se integra con dominio, cortes, asíntotas y gráfica.
Optimización
Los extremos también aparecen en problemas de optimización 2 Bachillerato PAU/EBAU, donde se busca maximizar o minimizar una función construida desde un enunciado.
Página madre PAU
Este recurso debe enlazar desde Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, dentro del bloque de análisis.
Clases online
Si el alumno necesita trabajar análisis con continuidad, derivadas y estudio de funciones, puede consultar Matemáticas online Bachillerato y PAU.
Biblioteca de recursos
Este post debe estar incorporado en recursos educativos, dentro del bloque de Matemáticas Bachillerato y PAU/EBAU.
Prematrícula
Para organizar clases presenciales en Salamanca u online, el enlace natural es prematrícula.
Monotonía, extremos y curvatura son el puente entre derivar y entender una gráfica. Cuando el alumno domina las tablas de signos y sabe interpretar \(f'\) y \(f''\), la representación de funciones y la optimización dejan de ser una colección de trucos.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender cómo se usan la primera y la segunda derivada para estudiar crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
15. Preguntas frecuentes sobre monotonía, extremos y curvatura
¿Cómo se estudia la monotonía de una función?
Se estudia con la primera derivada. Si \(f'(x)>0\), la función crece. Si \(f'(x)<0\), la función decrece.
¿Cuándo hay un máximo relativo?
Hay un máximo relativo cuando la función pasa de crecer a decrecer. En la tabla de signos, eso se ve cuando \(f'\) cambia de positivo a negativo.
¿Cuándo hay un mínimo relativo?
Hay un mínimo relativo cuando la función pasa de decrecer a crecer. En la tabla de signos, eso se ve cuando \(f'\) cambia de negativo a positivo.
¿Para qué sirve la segunda derivada?
La segunda derivada sirve para estudiar la curvatura de la función y para ayudar a clasificar extremos en algunos casos.
¿Cuándo hay un punto de inflexión?
Hay un punto de inflexión cuando la función cambia de curvatura. Normalmente se buscan candidatos resolviendo \(f''(x)=0\), pero después hay que comprobar que \(f''\) cambia de signo.
¿Basta con que \(f'(a)=0\) para que haya extremo?
No. Que \(f'(a)=0\) solo indica un punto crítico. Para que haya extremo debe cambiar el signo de \(f'\), o debe aplicarse correctamente otro criterio válido.
¿Basta con que \(f''(a)=0\) para que haya inflexión?
No. Es necesario que la segunda derivada cambie de signo al pasar por \(a\).