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Traslaciones, giros y simetrías 3.º ESO | Ejercicios
Traslaciones, giros y simetrías en 3.º ESO con ejercicios resueltos
Aprende a mover figuras en el plano, calcular nuevas coordenadas y reconocer cada transformación con dibujos claros, ejemplos progresivos y práctica tipo examen.
1Qué son los movimientos en el plano
Una transformación geométrica asigna a cada punto de una figura otro punto del plano. En este tema trabajaremos traslaciones, giros y simetrías. Las tres son isometrías, porque conservan las distancias, los ángulos y el área.
Desplazar
Todos los puntos se mueven la misma distancia y en la misma dirección.
Rotar
Todos los puntos giran alrededor de un centro el mismo ángulo.
Reflejar
La figura se obtiene como si se mirara en un espejo o a través de un centro.
2Traslaciones
Una traslación queda determinada por un vector \(\vec v=(a,b)\). La componente \(a\) indica el desplazamiento horizontal y la componente \(b\), el desplazamiento vertical.
Un valor positivo de \(a\) desplaza hacia la derecha y uno negativo, hacia la izquierda. Del mismo modo, \(b\gt0\) indica un desplazamiento hacia arriba y \(b\lt0\), hacia abajo.
Ejemplo
Trasladamos el punto \(P(-2,3)\) mediante el vector \(\vec v=(5,-4)\).
3Giros
Un giro necesita un centro, un ángulo y un sentido. En 3.º ESO son especialmente útiles los giros de 90°, 180° y 270° alrededor del origen.
| Giro antihorario | Transformación |
|---|---|
| 90° | \((x,y)\rightarrow(-y,x)\) |
| 180° | \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\) |
| 270° | \((x,y)\rightarrow(y,-x)\) |
4Simetría axial
En una simetría axial, el eje actúa como un espejo. Cada punto y su simétrico quedan a la misma distancia del eje, sobre una perpendicular.
Respecto del eje X
Respecto del eje Y
Respecto de \(y=x\)
Respecto de \(y=-x\)
5Simetría central
La simetría central de centro \(O\) transforma cada punto \(P\) en otro punto \(P'\) de modo que \(O\) es el punto medio de \(PP'\). Equivale a un giro de 180°.
Si el centro es \(O(a,b)\), las nuevas coordenadas se obtienen duplicando las del centro y restando las del punto inicial.
6Cómo distinguir cada transformación
| Transformación | Dato principal | Orientación | Qué permanece |
|---|---|---|---|
| Traslación | Vector | Se conserva | Longitudes, ángulos y área |
| Giro | Centro, ángulo y sentido | Se conserva | Longitudes, ángulos y área |
| Simetría axial | Eje | Se invierte | Longitudes, ángulos y área |
| Simetría central | Centro | Se conserva | Longitudes, ángulos y área |
7Ejercicios resueltos
Los ejercicios avanzan desde transformaciones de puntos hasta composiciones sencillas y problemas visuales.
1Traslación de un punto
Traslada \(A(2,-1)\) mediante \(\vec v=(3,4)\).
Sumamos las componentes del vector a las coordenadas.
Resultado: \(A'(5,3)\).
2Traslación con componentes negativas
Traslada \(B(-4,5)\) mediante \((-2,-3)\).
Resultado: \(B'(-6,2)\).
3Hallar el vector de traslación
El punto \(P(1,2)\) se transforma en \(P'(6,-1)\). Calcula el vector.
Resultado: \(\vec v=(5,-3)\).
4Traslación de un triángulo
Traslada \(A(0,1)\), \(B(3,1)\) y \(C(1,4)\) mediante \((2,-2)\).
Aplicamos la misma suma a los tres vértices.
\(A'(2,-1)\), \(B'(5,-1)\), \(C'(3,2)\).
La forma y las longitudes no cambian.
5Composición de dos traslaciones
Aplica primero \((3,1)\) y después \((-2,4)\) al punto \(Q(1,-2)\).
Los vectores se suman.
Las dos traslaciones equivalen a una sola de vector \((1,5)\), y la imagen de \(Q\) es \(Q'(2,3)\).
6Giro de 90° antihorario
Gira \(P(4,1)\) 90° alrededor del origen.
Resultado: \(P'(-1,4)\).
7Giro de 180°
Gira \(A(-3,5)\) 180° alrededor del origen.
Resultado: \(A'(3,-5)\).
8Giro de 270° antihorario
Gira \(B(2,-6)\) 270° alrededor del origen.
Resultado: \(B'(-6,-2)\).
9Reconocer el ángulo de giro
El punto \((3,1)\) pasa a \((-3,-1)\). ¿Qué giro alrededor del origen se ha aplicado?
Ambas coordenadas cambian de signo. Esa es la regla de un giro de 180°.
Resultado: giro de 180°.
10Giro de un triángulo
Gira 90° en sentido antihorario los puntos \(A(1,1)\), \(B(4,1)\) y \(C(2,3)\).
Aplicamos \((x,y)\rightarrow(-y,x)\) a cada vértice.
La figura girada tiene vértices \(A'(-1,1)\), \(B'(-1,4)\) y \(C'(-3,2)\).
11Simetría respecto del eje X
Halla el simétrico de \(P(-5,2)\).
Resultado: \(P'(-5,-2)\).
12Simetría respecto del eje Y
Halla el simétrico de \(Q(4,-3)\).
Resultado: \(Q'(-4,-3)\).
13Simetría respecto de la recta \(y=x\)
Transforma \(A(2,5)\).
Respecto de \(y=x\), se intercambian las coordenadas.
Resultado: \(A'(5,2)\).
14Simetría central respecto del origen
Transforma \(B(-2,7)\).
El origen es el punto medio de \(BB'\).
15Centro de simetría
Los puntos \(P(1,5)\) y \(P'(7,-1)\) son simétricos respecto de un centro \(O\). Calcula \(O\).
El centro es el punto medio del segmento \(PP'\).
Resultado: el centro de simetría es \(O(4,2)\).
16Simetría central de un segmento
El segmento tiene extremos \(A(-1,2)\), \(B(3,4)\). Halla sus simétricos respecto del origen.
\(A'(1,-2)\) y \(B'(-3,-4)\).
El segmento conserva su longitud.
17Traslación seguida de simetría axial
Parte de \(P(1,2)\). Traslada por \((3,-1)\) y refleja después respecto del eje Y.
Tras la traslación se obtiene el punto \(R=(4,1)\).
Al reflejar respecto del eje Y cambia el signo de la abscisa.
Resultado final: \(S=(-4,1)\).
18Giro seguido de traslación
Gira \(A(2,1)\) 90° en sentido antihorario y después traslada por \((4,0)\).
El giro transforma \(A(2,1)\) en \((-1,2)\).
Después aplicamos la traslación: \((-1+4,2)=(3,2)\).
Resultado final: \((3,2)\).
19El orden importa
Compara en \(P(1,2)\) estas operaciones: traslación \((2,0)\) y simetría respecto del eje Y.
Primero trasladar y después reflejar: \((1,2)\to(3,2)\to(-3,2)\).
Primero reflejar y después trasladar: \((1,2)\to(-1,2)\to(1,2)\).
Los resultados son distintos.
20Transformación que conserva orientación
¿Qué transformaciones conservan la orientación de una figura?
Las traslaciones, los giros y la simetría central conservan la orientación. La simetría axial la invierte.
21Comprobar congruencia
Un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm se traslada. ¿Cuánto miden sus lados después?
Una traslación conserva las distancias.
Resultado: 3 cm, 4 cm y 5 cm.
22Área tras un giro
Un rectángulo de 6 cm por 4 cm gira 90°. Calcula su área después del giro.
El área sigue siendo 24 cm².
23Punto sobre el eje de simetría
¿Qué ocurre con el punto \((0,5)\) al reflejarlo respecto del eje Y?
Como el punto está sobre el eje Y, permanece fijo.
Resultado: \((0,5)\).
24Punto fijo en un giro
¿Qué punto permanece fijo al girar alrededor del origen?
El propio centro de giro.
Resultado: el origen \((0,0)\).
25Doble simetría respecto del mismo eje
Aplica dos veces la simetría respecto del eje X al punto \((3,-4)\).
Primera simetría: \((3,4)\).
Segunda simetría: \((3,-4)\).
Se recupera el punto inicial.
26Dos giros de 90°
Aplica dos giros de 90° antihorarios a \((2,3)\).
Primer giro: \((-3,2)\).
Segundo giro: \((-2,-3)\).
Equivale a un giro de 180°.
27Dos simetrías centrales
Aplica dos veces la simetría central respecto del origen a \((-6,1)\).
Primera: \((6,-1)\).
Segunda: \((-6,1)\).
Se recupera el punto inicial.
28Identificación visual
Una figura cambia de lado respecto de una recta y aparece invertida. ¿Qué transformación se ha aplicado?
La descripción corresponde a una simetría axial.
29Baldosa decorativa
Una baldosa se repite desplazándose 20 cm horizontalmente hacia la derecha. ¿Qué transformación genera el patrón?
El patrón se obtiene mediante una traslación horizontal. Si medimos las coordenadas en centímetros, el vector es \((20,0)\).
30Rosetón
Una figura se repite cuatro veces alrededor de un centro. ¿Cuál es el menor ángulo de giro?
Resultado: 90°.
8Ejercicios propuestos
- Traslada \(A(-3,4)\) mediante el vector \((6,-2)\).
- Calcula el vector que transforma \(P(2,-1)\) en \(P'(-4,5)\).
- Traslada el triángulo \(A(1,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,2)\) mediante \((-3,4)\).
- Gira \((5,-2)\) 90° antihorario.
- Gira \((-1,7)\) 180°.
- Gira \((3,4)\) 270° antihorario.
- Halla el simétrico de \((6,-3)\) respecto del eje X.
- Halla el simétrico de \((-2,8)\) respecto del eje Y.
- Refleja \((4,1)\) respecto de la recta \(y=x\).
- Halla el simétrico central de \((7,-5)\) respecto del origen.
- Calcula el centro de simetría de \(A(-2,6)\) y \(A'(8,-4)\).
- Aplica a \((2,3)\) una traslación \((-1,4)\) y después una simetría respecto del eje X.
- Desde \(P(1,2)\), compara estos dos órdenes: trasladar por \((3,-1)\) y girar después 90° en sentido antihorario; o girar primero y aplicar después la misma traslación.
- Explica por qué una simetría axial conserva el área.
- Indica qué puntos permanecen fijos en una simetría respecto del eje X.
- Determina el menor giro que genera una figura con simetría rotacional de orden 6.
- Dibuja una figura que tenga simetría axial pero no simetría central.
- Dibuja una figura que tenga simetría central y dos ejes de simetría.
Comprobar los resultados
1. \(A'(3,2)\)
2. \(\vec v=(-6,6)\)
3. \(A'(-2,4)\), \(B'(1,4)\), \(C'(-1,6)\)
4. \((2,5)\)
5. \((1,-7)\)
6. \((4,-3)\)
7. \((6,3)\)
8. \((2,8)\)
9. \((1,4)\)
10. \((-7,5)\)
11. \(O(3,1)\)
12. \((1,-7)\)
13. Trasladar y girar da \((-1,4)\); girar y trasladar da \((1,0)\).
14. Conserva el área porque es una isometría y mantiene todas las longitudes.
15. Permanecen fijos todos los puntos del eje X, es decir, los puntos \((x,0)\).
16. \(360^\circ/6=60^\circ\)
17. Por ejemplo, un triángulo isósceles que no sea equilátero.
18. Por ejemplo, un rectángulo que no sea cuadrado.
9Errores frecuentes
Confundir semejanza y congruencia. Las isometrías no cambian el tamaño. La figura transformada es congruente con la original.
Cambiar el signo equivocado. Respecto del eje X cambia la ordenada. Respecto del eje Y cambia la abscisa.
Olvidar el sentido del giro. Un giro de 90° horario no produce las mismas coordenadas que uno antihorario.
Aplicar una transformación distinta a cada vértice. Todos los puntos de la figura deben seguir la misma regla.
Suponer que el orden no importa. En una composición, cambiar el orden suele cambiar el resultado.
10Qué conviene estudiar antes y después
Este recurso se centra únicamente en los movimientos de figuras en el plano. No repite el cálculo de áreas, la semejanza ni el teorema de Pitágoras; utiliza esa base para estudiar cómo cambia la posición de una figura sin alterar su forma ni su tamaño.
Base geométrica
Geometría de 1.º ESO permite repasar ángulos, polígonos, perímetros y áreas.
Paso intermedio
Geometría de 2.º ESO desarrolla Pitágoras, semejanza, escalas, cuerpos y volúmenes.
Continuación
Matemáticas B de 4.º ESO amplía la geometría y la conecta con álgebra, funciones y trigonometría.
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11Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una traslación y un giro?
En una traslación todos los puntos se desplazan la misma distancia y en la misma dirección. En un giro todos rotan alrededor de un centro un mismo ángulo.
¿La simetría central equivale a un giro?
Sí. Una simetría central respecto de un punto equivale a un giro de 180° alrededor de ese punto.
¿Qué transformaciones invierten la orientación?
La simetría axial. Las traslaciones, los giros y la simetría central conservan la orientación.
¿Pueden cambiar el área o los lados?
No. Traslaciones, giros y simetrías son isometrías y conservan todas las distancias y el área.
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