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Derivadas PAU/EBAU resueltas paso a paso

Publicado por

JOSE-MARIA

octubre 21, 2026

el mayo 9, 2026

Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas II · 2.º de Bachillerato y PAU

Derivadas PAU/EBAU resueltas paso a paso

Saber una tabla no basta cuando aparecen una raíz dentro de un logaritmo o un cociente elevado al cuadrado. Aquí aprenderás a leer la estructura, elegir las reglas en el orden correcto y comprobar dónde existe la derivada.

Desde el cociente incremental hasta las funciones compuestas, con soluciones desarrolladas y práctica para resolver sin ayuda. Los ejercicios de aplicaciones sirven de puente hacia sus monográficos, donde se trabajan con más profundidad.

58 modelos guiados24 prácticas con solución8 apartados de simulacroDos ediciones imprimibles

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58 modelos, 24 prácticas y 8 apartados de simulacro, todos resueltos. Funciones reales y ángulos en radianes.

Actividades para resolver · 24 prácticas y 8 apartados de simulacro

Nombre ____________________________________ Grupo __________

Qué aprenderás y cómo usar el cuaderno

Cálculo y justificación de derivadas de Matemáticas II. Las ampliaciones se señalan según la programación. Empieza por B1, repasa la cadena en B7 o comprueba tu autonomía en P1–P24.

El centro de esta guía es calcular y justificar derivadas. Incluye definición, dominio, reglas, composición, derivabilidad y segunda derivada. Las inversas trigonométricas, la derivación implícita y la función inversa están señaladas como ampliación: su exigencia depende de la programación y de las orientaciones de tu prueba.

Para empezar desde cero, sigue definición → formulario → B1. Si fallas con las compuestas, entra en B7. Para preparar un examen, intenta P1–P24 y el simulacro antes de consultar sus soluciones. No necesitas hacer todos los modelos en una sola sesión.

Los estudios completos de monotonía, curvatura y representación, la optimización y los problemas de tangentes tienen recursos propios. Aquí se conservan modelos de enlace para entender qué se hace con la derivada.

Método Marlu · estructura, dominio, cálculo y revisión

Escribe el dominio original. Denominadores no nulos, logaritmos de argumentos positivos y raíces reales. El dominio de la función y el de su derivada pueden ser distintos.
Lee la última operación. En un producto manda el producto; en un cociente, el cociente; en una función aplicada a otra, la cadena. Simplificar antes puede ahorrar una regla, sin recuperar valores excluidos.
Separa las capas. Nombra la función interior y deriva de fuera hacia dentro. Multiplica cada derivada interior que aparezca.
Opera con paréntesis. En el cociente resta el segundo producto completo. Simplifica cuando ya esté bien escrita la derivada.
Revisa lo que has respondido. ¿Te piden una función derivada, un número, una recta o un parámetro? Comprueba restricciones, signos y, si hay contexto, unidades.

Una comprobación en un punto puede descubrir un error, pero no demuestra una identidad para todos los valores. En los modelos se combina ese control con la regla o la transformación algebraica que justifica el cálculo.

De la secante a la derivada

El cociente incremental mide una variación media. Su límite, si existe y es finito, da la variación instantánea en un punto interior del dominio.

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Para $h\ne0$ la fracción es la pendiente de la secante entre $(a,f(a))$ y $(a+h,f(a+h))$ No se sustituye $h=0$ al empezar: primero se transforma la expresión y después se calcula el límite.

La derivada describe una pendiente local. La secante utiliza dos puntos; la tangente recoge el límite de esas pendientes.

Un número y una función distintos. $f'(a)$ es la pendiente en un punto. $f'(x)$ es la función que asigna esa pendiente a cada punto donde existe la derivada. Si $s(t)$ se mide en metros y $t$ en segundos, $s'(t)$ se mide en metros por segundo.

D1 La definición en una potencia

Modelo resuelto

Calcula $f^{\prime}(3)$ para $f(x)=x^2$ usando el cociente incremental.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$

La derivada es el límite de pendientes de secantes. Como $f(3)=9$

f^{\prime}(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-9}{h}.

Desarrollamos el cuadrado y cancelamos $h$ únicamente cuando $h\ne0$

\frac{9+6h+h^2-9}{h}=6+h.

Ahora sí tomamos el límite y obtenemos $f^{\prime}(3)=6$ La tangente tiene pendiente 6.

Comprobación.

Con la regla de la potencia, $f^{\prime}(x)=2x$ y $f^{\prime}(3)=6$ El cociente $6+h$ se acerca a 6 por ambos lados.

D2 Desarrollar y agrupar antes del límite

Modelo resuelto

Sea $f(x)=x^2+2x+3$ Halla $f^{\prime}(1)$ desde la definición.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$

Calculamos por separado el valor inicial y el valor incrementado.

f(1)=6,\qquad f(1+h)=6+4h+h^2.

En el numerador se resta el valor completo de la función.

f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}\frac{(6+4h+h^2)-6}{h}=\lim_{h\to0}(4+h)=4.

El factor $h$ se cancela antes de hacer $h=0$ no después.

Comprobación.

La regla habitual da $f^{\prime}(x)=2x+2$ que en 1 vale 4. Ambos métodos coinciden.

D3 Una raíz y su conjugado

Modelo resuelto

Para $f(x)=\sqrt{x+3}$ calcula $f^{\prime}(1)$ por definición.

Ver solución razonada

$D_f=[-3,+\infty)$ Derivable para $x>-3$

Como $f(1)=2$ el cociente es $\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$ La sustitución directa produce una indeterminación. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado.

\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\frac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\frac1{\sqrt{4+h}+2}.

La igualdad vale para $h\ne0$ próximo a 0. Por ello,

f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}\frac1{\sqrt{4+h}+2}=\frac14.

Comprobación.

La regla de la cadena da $f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{x+3}}$ para $x>-3$ En $x=1$ resulta $\frac14$ El punto 1 es interior del dominio.

D4 Restar fracciones en el cociente incremental

Modelo resuelto

Sea $f(x)=\frac1{x+3}$ Halla $f^{\prime}(1)$ mediante la definición.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R\setminus\{-3\}$

Tenemos $f(1)=\frac14$ y $f(1+h)=\frac1{4+h}$ Reducimos primero la diferencia de fracciones a un denominador común.

\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{4-(4+h)}{4(4+h)h}=\frac{-h}{4(4+h)h}.

Para $h\ne0$ y próximo a 0 queda $-\frac1{4(4+h)}$ luego

f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}\frac{-1}{4(4+h)}=-\frac1{16}.

Comprobación.

Con la regla de la potencia, $f^{\prime}(x)=-(x+3)^{-2}$ En 1 da $-\frac1{16}$ El signo negativo concuerda con el decrecimiento local.

D5 Definición con numerador cuadrático

Modelo resuelto

Calcula $f^{\prime}(1)$ para $f(x)=\frac{x^2+1}{x+3}$ utilizando el cociente incremental.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R\setminus\{-3\}$

Primero sustituimos con cuidado.

f(1)=\frac12,\qquad f(1+h)=\frac{2+2h+h^2}{4+h}.

La diferencia de fracciones exige multiplicar el primer numerador por 2.

\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{2(2+2h+h^2)-(4+h)}{2(4+h)h}.

El numerador es $3h+2h^2=h(3+2h)$ Para $h\ne0$

f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}\frac{3+2h}{2(4+h)}=\frac38.

Comprobación.

La regla del cociente da $f^{\prime}(x)=\frac{x^2+6x-1}{(x+3)^2}$ Sustituyendo 1 obtenemos $\frac6{16}=\frac38$

Formulario razonado · qué regla y con qué condiciones

En esta tabla $u$ y $v$ son funciones derivables en el punto de trabajo. Las fórmulas compuestas incluyen su derivada interior. Los argumentos trigonométricos se expresan en radianes.

Reglas de combinación
Operación	Derivada	Control
Constante y suma	$(k)'=0$ $(u+v)'=u'+v'$	El coeficiente constante multiplica a la derivada.
Producto	$(uv)'=u'v+uv'$	Se derivan los dos factores por turnos.
Cociente	$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$	$v\ne0$ El denominador queda al cuadrado.
Composición	$(g\circ u)'=g'(u)u'$	Repite la cadena para cada capa interior.

Potencias, exponenciales y logaritmos
Función	Derivada	Condiciones reales
$u^n$	$nu^{n-1}u'$	Para exponentes enteros negativos, $u\ne0$ Con exponentes no enteros hay que estudiar el dominio.
$\sqrt u$	$\frac{u'}{2\sqrt u}$	La fórmula vale donde $u>0$ Los ceros del radicando se estudian aparte.
$e^u$ y $a^u$	$e^u u'$ $a^u\ln(a)u'$	$a>0$ Si $a=1$ la función es constante.
$\ln u$ y $\ln\|u\|$	$\frac{u'}u$	$\ln u$ exige $u>0$ $\ln\|u\|$ exige $u\ne0$
$\log_a u$	$\frac{u'}{u\ln a}$	$a>0$ $a\ne1$ $u>0$

Trigonometría e inversas · según la programación
Función	Derivada	Control del dominio
$\sin u$ $\cos u$	$\cos(u)u'$ $-\sin(u)u'$	La derivada del coseno lleva signo menos.
$\tan u$	$\frac{u'}{\cos^2u}$	$\cos u\ne0$
$\sec u$	$\sec(u)\tan(u)u'$	$\cos u\ne0$
$\operatorname{cosec}u$ $\cot u$	$-\operatorname{cosec}(u)\cot(u)u'$ $-\operatorname{cosec}^2(u)u'$	$\sin u\ne0$
$\arcsin u$ $\arccos u$	$\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ $-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$	La función admite $\|u\|\le1$ Estas fórmulas se usan si $\|u\|<1$ en los puntos frontera se vuelve a la definición.
$\arctan u$	$\frac{u'}{1+u^2}$	No confundir inversa trigonométrica con recíproca.

Cuando dependen de x la base y el exponente

Para $y=u(x)^{v(x)}$ con $u>0$ toma logaritmos y deriva el producto $v\ln u$

\ln y=v\ln u,\qquad \frac{y'}y=v'\ln u+v\frac{u'}u.

y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).

Si el exponente es constante, usa la potencia. Si la base es constante positiva, usa la exponencial. La fórmula logarítmica describe la función real definida mediante $e^{v\ln u}$ sobre intervalos de base positiva.

Derivar otra vez no es elevar al cuadrado. $f''=(f')'$ Para cada derivación, vuelve a identificar la estructura y las condiciones. La derivación implícita y la de la inversa se practican en A14–A15 como ampliación.

B1–B6 · Preparar la función antes de derivar

Primero suma y potencias. Después raíces, simplificaciones y unidades. Mantén las exclusiones de la expresión original aunque se cancele un factor.

B1 Derivar una suma término a término

Modelo de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=5x^4-3x^2+7x-11$

Ver solución razonada

La función y su derivada están definidas en $\mathbb R$

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. En cada potencia baja el exponente y resta uno. La constante desaparece porque no varía.

f'(x)=5\cdot4x^3-3\cdot2x+7\cdot1-0=20x^3-6x+7.

Comprobación.

En $x=0$ el cociente incremental es $5h^3-3h+7$ cuyo límite vale $7=f'(0)$ Comprueba también que el grado baja de 4 a 3.

B2 Denominadores como potencias negativas

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{4}{x^3}-\frac{2}{x}$ indicando los valores excluidos.

Ver solución razonada

Dominio de ambas expresiones, $\mathbb R\setminus\{0\}$

Es más directo escribir potencias que aplicar dos cocientes. El exponente negativo también baja multiplicando.

f(x)=4x^{-3}-2x^{-1}.

f'(x)=-12x^{-4}+2x^{-2}=\frac{2x^2-12}{x^4}.

Comprobación.

La identidad $x^3f(x)=4-2x^2$ da, al derivar, $3x^2f(x)+x^3f'(x)=-4x$ El resultado cumple esta igualdad y conserva la exclusión $x=0$

B3 Una raíz y el extremo del dominio

Modelo de elaboración propia

Calcula $f'(x)$ para $f(x)=\sqrt{x}$ Explica qué sucede en $x=0$

Ver solución razonada

Dominio de $f$ $[0,+\infty)$ La derivada real finita existe en $(0,+\infty)$

La raíz es una potencia de exponente $1/2$ En el interior del dominio,

f'(x)=\frac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad x>0.

En cero no puede sustituirse en esa fórmula. El cociente por la derecha es $\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}$ que tiende a $+\infty$ No hay derivada finita en cero.

Comprobación.

Para $x>0$ la identidad $f(x)^2=x$ exige $2f(x)f'(x)=1$ Se cumple con la derivada calculada. En $x=4$ la pendiente es $1/4$

B4 Simplificar sin rellenar un agujero

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ y determina si existe $f'(2)$

Ver solución razonada

Dominio original y de la derivada, $\mathbb R\setminus\{2\}$

Factoriza una diferencia de cubos antes de derivar.

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).

Por tanto, $f(x)=x^2+2x+4$ cuando $x\ne2$ y

f'(x)=2x+2,\qquad x\ne2.

No existe $f'(2)$ porque la función original ni siquiera está definida allí. El valor 6 corresponde a la derivada de la prolongación polinómica.

Comprobación.

Al derivar $(x-2)f(x)=x^3-8$ aparece $f(x)+(x-2)f'(x)=3x^2$ Sustituyendo las expresiones obtenidas se recupera $3x^2$ para $x\ne2$

B5 La raíz de un cuadrado es valor absoluto

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sqrt{x^2}$ Estudia expresamente $x=0$

Ver solución razonada

La función existe en $\mathbb R$ pero es derivable solo en $\mathbb R\setminus\{0\}$

Una raíz cuadrada devuelve un valor no negativo, de modo que $\sqrt{x^2}=|x|$ no $x$ para todo real.

f(x)=\begin{cases}-x,&x<0,\\x,&x\ge0.\end{cases}

f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x>0.\end{cases}

En cero, los cocientes incrementales laterales valen $-1$ y $1$ Al no coincidir, no existe la derivada.

Comprobación.

Para $x\ne0$ la cadena aplicada a la expresión inicial da $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}$ que coincide con los dos tramos. La fórmula no admite $x=0$

B6 De posición a velocidad instantánea

Modelo de elaboración propia

La posición de un móvil se modeliza por $s(t)=2t^3-3t^2+4t$ en metros, con $t$ en segundos y $0\le t\le4$ Calcula la velocidad instantánea a los 2 s.

Ver solución razonada

El modelo se usa en $[0,4]\ \mathrm s$ la derivada ordinaria se considera en su interior. El instante $t=2\ \mathrm s$ pertenece a él.

La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto del tiempo.

v(t)=s'(t)=6t^2-6t+4.

v(2)=6\cdot4-6\cdot2+4=16\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

El signo positivo indica movimiento en el sentido positivo del eje en ese instante.

Comprobación.

Como $s(2)=12\ \mathrm m$ la velocidad media entre $2$ y $2+h$ es $16+9h+2h^2$ en $\mathrm{m\,s^{-1}}$ y tiende a 16 cuando $h\to0$ Las unidades son longitud/tiempo.

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B7–B12 · Derivar por capas

La última operación marca el primer paso. En $\sqrt{1+e^{2x}}$ las capas son raíz, suma y exponencial. No se suma la derivada interior: se multiplica.

B7 Potencia de una función lineal

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=(3x-2)^5$

Ver solución razonada

Función y derivada definidas en $\mathbb R$

La operación exterior es elevar a la quinta. Se deriva esa potencia y se multiplica por la derivada de la expresión interior $u=3x-2$

u'=3,\qquad f'(x)=5(3x-2)^4\cdot3=15(3x-2)^4.

El factor 3 no desaparece: mide cómo cambia la variable interior.

Comprobación.

En $x=2/3$ el cociente incremental es $243h^4$ que tiende a cero. Coincide con $f'(2/3)=0$

B8 Una raíz con interior siempre positivo

Modelo de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=\sqrt{2x^2+5}$

Ver solución razonada

Ambas están definidas en $\mathbb R$ pues el radicando y el denominador son siempre positivos.

Primero deriva la raíz y después su interior. Como $2x^2+5>0$ no aparece ningún punto frontera.

f'(x)=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+5}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5}}.

Comprobación.

Al derivar la identidad $f(x)^2=2x^2+5$ resulta $2f(x)f'(x)=4x$ También se obtiene $f'(0)=0$ coherente con la simetría de la función.

B9 Cociente convertido en potencia compuesta

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{1}{(x^2+4)^3}$

Ver solución razonada

Dominio de ambas, $\mathbb R$ ya que $x^2+4$ nunca se anula.

Escribe $f(x)=(x^2+4)^{-3}$ Hay dos derivaciones encadenadas: la potencia exterior y el polinomio interior.

f'(x)=-3(x^2+4)^{-4}\cdot2x=-\frac{6x}{(x^2+4)^4}.

Comprobación.

La identidad $f(x)(x^2+4)^3=1$ tiene derivada cero. Al aplicar el producto y sustituir $f'$ los dos términos se cancelan. La derivada es impar, como corresponde a una función par.

B10 Exponencial con un cuadrado en el exponente

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=e^{1-2x^2}$

Ver solución razonada

La función y su derivada existen para todo $x\in\mathbb R$

La derivada de $e^u$ conserva la exponencial y multiplica por $u'$ Aquí $u=1-2x^2$ luego $u'=-4x$

f'(x)=-4x e^{1-2x^2}.

Comprobación.

Como $f>0$ podemos comprobar con $\ln f=1-2x^2$ Al derivar, $f'/f=-4x$ que coincide con el cociente de la respuesta y la función.

B11 Dos raíces encadenadas

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sqrt{1+\sqrt x}$ y precisa dónde vale la fórmula.

Ver solución razonada

Dominio de $f$ $[0,+\infty)$ de su derivada finita, $(0,+\infty)$

Se recorre la composición de fuera hacia dentro: raíz exterior, suma y raíz interior.

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{4\sqrt x\sqrt{1+\sqrt x}},\quad x>0.

En cero, el cociente incremental por la derecha, racionalizado, es $\frac{1}{\sqrt h(\sqrt{1+\sqrt h}+1)}$ que tiende a $+\infty$ No hay derivada finita.

Comprobación.

La igualdad $(f(x)^2-1)^2=x$ implica $4f(x)(f(x)^2-1)f'(x)=1$ para $x>0$ Al usar $f^2-1=\sqrt x$ se verifica la fórmula.

B12 Tres capas sin desarrollar el polinomio

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=e^{(2x+1)^3}$

Ver solución razonada

Función y derivada definidas en todo $\mathbb R$

La exponencial contiene una potencia, que a su vez contiene una función lineal. Multiplica las tres derivadas en ese orden.

f'(x)=e^{(2x+1)^3}\cdot3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2e^{(2x+1)^3}.

No hace falta desarrollar el cubo para derivar.

Comprobación.

La relación $\ln f=(2x+1)^3$ da $f'/f=6(2x+1)^2$ En $x=-1/2$ la pendiente es cero aunque la exponencial valga 1.

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B13–B18 · Productos, cocientes y composición

Un producto de funciones no se deriva multiplicando derivadas. Escribe las dos contribuciones antes de simplificar. En un cociente, agrupa con paréntesis todo lo que se resta.

B13 Producto y comprobación por desarrollo

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x^2+1)(2x^3-5x)$

Ver solución razonada

Dominio de la función y su derivada, $\mathbb R$

La derivada de un producto tiene dos sumandos. En el primero se deriva el primer factor; en el segundo, el otro.

f'(x)=2x(2x^3-5x)+(x^2+1)(6x^2-5).

f'(x)=10x^4-9x^2-5.

Comprobación.

Al desarrollar primero se obtiene $f(x)=2x^5-3x^3-5x$ Derivar esa suma produce el mismo polinomio. Multiplicar las dos derivadas habría dado otra expresión incorrecta.

B14 Producto con una exponencial compuesta

Modelo de elaboración propia

Deriva y factoriza $f(x)=(x^2+3)e^{2x}$

Ver solución razonada

Ambas expresiones existen para todo real.

Usa producto y, dentro del segundo término, cadena.

f'(x)=2xe^{2x}+(x^2+3)\cdot2e^{2x}.

La exponencial es factor común.

f'(x)=2e^{2x}(x^2+x+3).

Comprobación.

De $e^{-2x}f(x)=x^2+3$ se deduce $f'(x)-2f(x)=2xe^{2x}$ La respuesta factorizada satisface esta relación.

B15 Producto con raíz y exponente negativo

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sqrt x\,e^{-x}$ e indica el dominio de la derivada.

Ver solución razonada

Dominio de $f$ $[0,+\infty)$ Derivada finita para $x>0$

Para $x>0$ aplica el producto. La derivada de $e^{-x}$ lleva signo negativo.

f'(x)=\frac{e^{-x}}{2\sqrt x}-\sqrt x\,e^{-x}=\frac{e^{-x}(1-2x)}{2\sqrt x}.

En cero, $\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{e^{-h}}{\sqrt h}\to+\infty$ por la derecha. No existe derivada finita en ese extremo.

Comprobación.

Como $e^xf(x)=\sqrt x$ al derivar debe cumplirse $e^x(f+f')=1/(2\sqrt x)$ para $x>0$ La fórmula obtenida la cumple.

B16 Orden del numerador en un cociente

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}$

Ver solución razonada

Dominio de ambas, $\mathbb R$ pues $x^2+1>0$

Derivada del numerador por denominador menos numerador por derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado.

f'(x)=\frac{2(x^2+1)-(2x+3)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2-6x+2}{(x^2+1)^2}.

Comprobación.

La identidad $(x^2+1)f(x)=2x+3$ da $(x^2+1)f'(x)+2xf(x)=2$ Sustituir la respuesta permite comprobar el signo menos y el cuadrado del denominador.

B17 Una exponencial dividida por una recta

Modelo de elaboración propia

Calcula y simplifica la derivada de $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$

Ver solución razonada

La función y su derivada existen en $\mathbb R\setminus\{2\}$

El denominador se anula en 2. Para el resto de reales, aplica el cociente y saca factor común en el numerador.

f'(x)=\frac{e^x(x-2)-e^x}{(x-2)^2}=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}.

Comprobación.

Escribir $f=e^x(x-2)^{-1}$ y usar producto da $e^x/(x-2)-e^x/(x-2)^2$ Al unificar denominadores se recupera la respuesta.

B18 Cociente, cadena y factorización

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{(x^2+1)^2}{3x-1}$ dejando el numerador factorizado.

Ver solución razonada

Dominio de ambas, $\mathbb R\setminus\{1/3\}$

El numerador necesita cadena, $N'=4x(x^2+1)$ y el denominador tiene derivada 3.

f'(x)=\frac{4x(x^2+1)(3x-1)-3(x^2+1)^2}{(3x-1)^2}.

Extrae $x^2+1$ y reduce lo que queda.

f'(x)=\frac{(x^2+1)(9x^2-4x-3)}{(3x-1)^2},\qquad x\ne\frac13.

Comprobación.

La identidad $(3x-1)f=(x^2+1)^2$ exige $3f+(3x-1)f'=4x(x^2+1)$ La respuesta cumple esta igualdad sin alterar la exclusión original.

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A1–A6 · Logaritmos, exponenciales y exponentes variables

Distingue base constante, exponente constante y ambos variables. Antes de tomar logaritmos, justifica la positividad. $\ln|u|$ y $\ln u$ comparten fórmula de derivación en sus dominios, pero no comparten dominio.

A1 Logaritmo de un valor absoluto

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\ln|x^2-4|$ e indica dónde es válida la derivada.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ Es derivable en todo su dominio.

Para $u\ne0$ $(\ln|u|)'=\frac{u'}{u}$ Si $u>0$ se deriva $\ln u$ si $u<0$ se deriva $\ln(-u)$ y los dos signos negativos se compensan. Aquí $u=x^2-4$ y $u'=2x$

f'(x)=\frac{2x}{x^2-4},\qquad x\ne-2,2.

No se impone $x^2-4>0$ el valor absoluto permite también $-2<x<2$

Comprobación.

En $-2<x<2$ $f(x)=\ln(4-x^2)$ Su derivada es $\frac{-2x}{4-x^2}=\frac{2x}{x^2-4}$ igual que fuera de ese intervalo.

A2 Logaritmo en una base distinta de e

Modelo de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=\log_3(2x+5)$

Ver solución razonada

$D_f=(-\frac52,+\infty)$ La derivada tiene el mismo dominio.

Cambiamos a logaritmo neperiano. El denominador $\ln3$ es una constante, no una función de $x$

f(x)=\frac{\ln(2x+5)}{\ln3},\qquad f'(x)=\frac{2}{(2x+5)\ln3}.

El factor 2 procede de derivar el argumento $2x+5$

Comprobación.

Al aumentar $x$ aumentan $2x+5$ y su logaritmo de base $3>1$ La derivada obtenida es positiva en todo el dominio, como exige esa monotonía.

A3 Base y exponente variables

Modelo de elaboración propia

Deriva $y=(2x-1)^{x^2}$ en el intervalo donde la base es positiva.

Ver solución razonada

Se estudia $x>\frac12$ dominio abierto natural de esta potencia real con base positiva.

No sirve la regla de una potencia con exponente constante. Para $x>\frac12$ tomamos logaritmos y usamos el producto.

\ln y=x^2\ln(2x-1),\qquad \frac{y'}{y}=2x\ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1}.

Multiplicamos por la función inicial.

y'=(2x-1)^{x^2}\left(2x\ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1}\right).

Comprobación.

En $x=1$ la base vale 1 y $y'(1)=2$ Se obtiene también derivando $e^{x^2\ln(2x-1)}$ Esta segunda escritura evita tratar $x^2$ como constante.

A4 Una potencia con exponente trigonométrico

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x+2)^{\sin x}$ para $x>-2$

Ver solución razonada

Se trabaja en $(-2,+\infty)$ con base estrictamente positiva.

La base y el exponente cambian. Como $x+2>0$ escribimos $\ln f=(\sin x)\ln(x+2)$

\frac{f'}{f}=\cos x\ln(x+2)+\frac{\sin x}{x+2}.

f'(x)=(x+2)^{\sin x}\left(\cos x\ln(x+2)+\frac{\sin x}{x+2}\right).

El primer sumando deriva el exponente; el segundo deriva la base dentro del logaritmo.

Comprobación.

En $x=0$ $f(0)=1$ y $f'(0)=\ln2$ La forma $e^{\sin x\ln(x+2)}$ da el mismo valor mediante la regla de la cadena.

A5 Un cociente positivo dentro de un logaritmo

Modelo de elaboración propia

Halla el dominio y la derivada de $f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

Ver solución razonada

$D_f=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ No se recuperan los puntos del intervalo excluido al simplificar la derivada.

El cociente debe ser positivo: numerador y denominador tienen el mismo signo. Resulta $x<-1$ o $x>1$ Con $u=\frac{x+1}{x-1}$

u'=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\frac2{(x-1)^2}.

f'=\frac{u'}{u}=-\frac2{(x-1)(x+1)}=-\frac2{x^2-1}.

No se puede escribir $\ln(x+1)-\ln(x-1)$ cuando ambos argumentos son negativos.

Comprobación.

En todo el dominio sí vale $f=\ln|x+1|-\ln|x-1|$ Derivar esta igualdad da $\frac1{x+1}-\frac1{x-1}=-\frac2{x^2-1}$

A6 Exponencial de base constante y argumento variable

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=3^{\sin x}$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ Es derivable para todo real.

La base 3 es constante. Para $a>0$ $(a^{u})'=a^{u}\ln(a)\,u'$ Aquí $u=\sin x$ y $u'=\cos x$

f'(x)=3^{\sin x}\ln3\cos x.

Se conserva la exponencial completa; no se resta 1 al exponente.

Comprobación.

La escritura $3^{\sin x}=e^{(\sin x)\ln3}$ confirma el factor $\ln3$ En $x=\frac\pi2$ $\cos x=0$ de modo que la tangente es horizontal.

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A7–A12 · Trigonometría e inversas

Usa radianes. Las funciones inversas trigonométricas de este bloque son ampliación según la programación. En los puntos donde el argumento del arco seno o del arco coseno vale $\pm1$ que falle la fórmula no decide por sí solo si la composición es derivable: hay que estudiar el punto.

A7 Producto trigonométrico y comprobación con una identidad

Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sin(3x)\cos(3x)$ Los argumentos están expresados en radianes.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ La derivada existe para todo real.

Aplicamos producto y cadena. El signo negativo viene de derivar el coseno.

f'(x)=3\cos^2(3x)-3\sin^2(3x).

Por la identidad del ángulo doble, puede compactarse como

f'(x)=3\cos(6x).

Comprobación.

La identidad $\sin(3x)\cos(3x)=\frac12\sin(6x)$ permite derivar directamente y da $\frac12\cdot6\cos(6x)$ el mismo resultado.

A8 Tangente de una función cuadrática

Modelo de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=\tan(x^2+1)$ e indica las exclusiones.

Ver solución razonada

$D_f=\{x\in\mathbb R:\cos(x^2+1)\ne0\}$ Equivale a excluir los reales que cumplen $x^2+1=\frac\pi2+k\pi$ $k\in\mathbb Z$

La tangente no existe cuando el coseno de su argumento es cero. Donde está definida, la cadena da

f'(x)=\frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}.

No debe confundirse $\tan(x^2+1)$ con $(\tan x)^2+1$ Son funciones diferentes.

Comprobación.

También se puede derivar la escritura $\frac{\sin u}{\cos u}$ con $u=x^2+1$ En el numerador aparece $2x(\cos^2u+\sin^2u)=2x$ por la identidad trigonométrica. Se recupera el mismo resultado.

A9 Arcoseno de una expresión afín

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{x-1}{2}\right)$ y distingue el dominio de la función del de su derivada ordinaria.

Ver solución razonada

$D_f=[-1,3]$ La derivada ordinaria existe en $(-1,3)$

El argumento debe estar entre −1 y 1: $-1\leq\frac{x-1}{2}\leq1$ luego $-1\leq x\leq3$ Para $-1<x<3$

f'(x)=\frac{\frac12}{\sqrt{1-\left(\frac{x-1}{2}\right)^2}}=\frac1{\sqrt{4-(x-1)^2}}.

En los extremos, la función existe, pero no tiene derivada ordinaria finita. La fórmula exige el argumento estrictamente entre −1 y 1.

Comprobación.

En $x=1$ el argumento es 0. La pendiente vale $\frac12$ producto de la pendiente 1 del arcoseno en 0 y el factor interior $\frac12$

A10 Arcocoseno y extremo del dominio

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\arccos(e^{-x})$ y analiza qué sucede al acercarse a $x=0$ por la derecha.

Ver solución razonada

$D_f=[0,+\infty)$ La derivada ordinaria existe para $x>0$

Como $e^{-x}>0$ la condición $-1\leq e^{-x}\leq1$ se reduce a $x\geq0$ Para $x>0$ los signos negativos de arcocoseno y de $e^{-x}$ se compensan.

f'(x)=\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}=\frac1{\sqrt{e^{2x}-1}}.

Al tender $x$ a $0^+$ esta pendiente tiende a $+\infty$ En el extremo no existe derivada ordinaria finita.

Comprobación.

La forma final es positiva en $x>0$ Concuerda con que $e^{-x}$ decrece y arcocoseno también es decreciente: la composición aumenta.

A11 Arcotangente con una simplificación que no borra el dominio

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\operatorname{arctg}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ¿La simplificación permite incluir $x=1$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ Es derivable exactamente en ese conjunto.

El cociente interior exige $x\ne1$ Su derivada es $-\frac2{(x-1)^2}$ Aplicamos la regla de arcotangente.

f'(x)=\frac{-\frac2{(x-1)^2}}{1+\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}.

f'(x)=\frac{-2}{(x-1)^2+(x+1)^2}=-\frac1{x^2+1},\quad x\ne1.

Aunque la expresión final existe en 1, la función inicial no está definida allí.

Comprobación.

Al acercarse a 1, el argumento tiende a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha. Los límites de $f$ son $-\frac\pi2$ y $\frac\pi2$ no existe una extensión continua en 1.

A12 Arcotangente con una raíz interior

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

Deriva $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x^2+1}$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ La raíz y todos los denominadores permanecen positivos.

La raíz existe y es positiva para todo real. Hay tres niveles: arcotangente, raíz y polinomio. Sea $u=\sqrt{x^2+1}$ entonces $u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

f'(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{1+(\sqrt{x^2+1})^2}=\frac{x}{(x^2+2)\sqrt{x^2+1}}.

Se usa $(\sqrt{x^2+1})^2=x^2+1$ por lo que el denominador exterior es $x^2+2$

Comprobación.

La función es par porque depende de $x^2$ Su derivada debe ser impar: el denominador es par y el numerador es $x$ como en la expresión obtenida. Además, $f'(0)=0$

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A13–A18 · Segunda derivada y casos frontera

Derivable implica continua, pero continua no implica derivable. Para una función continua en $a$ compara los límites finitos de los cocientes incrementales laterales. Una pendiente infinita no es una derivada real finita.

La implicación se entiende escribiendo $f(a+h)-f(a)=h\,\frac{f(a+h)-f(a)}h$ si el cociente tiene límite finito, la diferencia tiende a cero. La derivación implícita y la función inversa se señalan como ampliación.

A13 Derivada segunda y un punto estacionario sin extremo

Modelo de elaboración propia

Calcula $f'$ y $f''$ para $f(x)=(x^2+1)e^{-x}$ Decide si el punto estacionario $x=1$ es un extremo.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ Ambas derivadas existen en todo real.

Producto y factor común proporcionan una primera derivada útil para el signo.

f'(x)=e^{-x}(2x-x^2-1)=-e^{-x}(x-1)^2.

Derivamos otra vez el producto.

f''(x)=e^{-x}(x-1)^2-2e^{-x}(x-1)=e^{-x}(x-1)(x-3).

En $x=1$ $f'(1)=0$ pero $f'<0$ a ambos lados. Hay tangente horizontal sin máximo ni mínimo: la función sigue decreciendo.

Comprobación.

También $f''(1)=0$ de modo que el criterio de la segunda derivada no decide un extremo. El signo de $f'$ sí descarta el extremo, sin necesidad de hacer la representación completa.

A14 Derivación implícita en un punto

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

La curva $x^2+xy+y^2=7$ pasa por $(1,2)$ Calcula la pendiente de su tangente allí.

Ver solución razonada

La curva tiene puntos reales si $|x|\leq\sqrt{\frac{28}{3}}$ La fórmula de pendiente finita exige además $x+2y\ne0$ condición satisfecha en $(1,2)$

Tratamos $y$ como función de $x$ En el producto $xy$ la derivada es $y+xy'$ no solo $xy'$

2x+y+xy'+2yy'=0.

(x+2y)y'=-2x-y,\qquad y'=-\frac{2x+y}{x+2y}.

En $(1,2)$ el denominador vale 5 y no se anula. La pendiente pedida es $y'(1)=-\frac45$

Comprobación.

El punto cumple $1+2+4=7$ Cerca de él, la rama es $y=\frac{-x+\sqrt{28-3x^2}}2$ al derivarla en 1 también se obtiene $-\frac45$

A15 Derivada de una función inversa

Ampliación según la programación · Modelo de elaboración propia

Sea $f(x)=x^3+x$ y sea $g=f^{-1}$ Calcula $g'(2)$ sin despejar la inversa.

Ver solución razonada

$D_f=D_g=\mathbb R$ Como $f'$ nunca se anula, la inversa es derivable para todo real.

Primero buscamos la preimagen de 2. Como $f(1)=2$ se tiene $g(2)=1$ Además, $f'(x)=3x^2+1>0$ la función es estrictamente creciente. Sus límites son infinitos de signos opuestos, así que tiene inversa en todo $\mathbb R$

g'(2)=\frac1{f'(g(2))}=\frac1{f'(1)}=\frac14.

En el denominador se usa la preimagen 1, no el dato 2.

Comprobación.

Derivar $f(g(t))=t$ da $f'(g(t))g'(t)=1$ Para $t=2$ se verifica $4\cdot\frac14=1$ con denominador no nulo.

A16 Valor absoluto y derivadas laterales

Modelo de elaboración propia

Estudia la derivabilidad de $f(x)=|x^2-1|$ especialmente en $x=-1$ y $x=1$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ El dominio de la derivada es $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$

El signo de $x^2-1$ cambia en −1 y 1. Fuera de $[-1,1]$ $f=x^2-1$ dentro, $f=1-x^2$ Derivamos en los intervalos abiertos.

f'(x)=\begin{cases}2x,&x<-1\ \text{o}\ x>1,\\-2x,&-1<x<1.\end{cases}

En −1, las pendientes laterales son −2 y 2. En 1 son −2 y 2. En ninguno coinciden. La función es continua en ambos puntos y tiene esquinas, por lo que no es derivable allí.

Comprobación.

En $x=1$ $\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{|2h+h^2|}h$ Tiende a −2 si $h\to0^-$ y a 2 si $h\to0^+$ La definición confirma el fallo de derivabilidad.

A17 Tangente vertical y cúspide

Modelo de elaboración propia

Compara en 0 la derivabilidad de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ y $g(x)=\sqrt[3]{x^2}$ Las raíces cúbicas se toman en los reales.

Ver solución razonada

$D_f=D_g=\mathbb R$ Las derivadas finitas existen en $\mathbb R\setminus\{0\}$

Ambas funciones son continuas en 0 y valen 0. Usamos los cocientes incrementales, sin sustituir en una fórmula con denominador cero.

\frac{f(h)-f(0)}h=\frac1{(\sqrt[3]h)^2}\longrightarrow+\infty.

Los dos lados tienen pendiente infinita positiva: $f$ presenta tangente vertical, sin derivada finita en 0.

\frac{g(h)-g(0)}h=\frac1{\sqrt[3]h}.

Para $g$ el límite izquierdo es $-\infty$ y el derecho $+\infty$ Hay una cúspide y tampoco existe derivada finita. Fuera de 0,

f'(x)=\frac1{3(\sqrt[3]x)^2},\qquad g'(x)=\frac2{3\sqrt[3]x}.

Comprobación.

Los cocientes incrementales y las derivadas cercanas tienen los mismos signos laterales. Esos signos distinguen la tangente vertical que atraviesa el punto de la cúspide con cambio de sentido.

A18 Extender una función y derivarla en el punto recuperado

Modelo de elaboración propia

Para $x\geq-1$ y $x\ne0$ sea $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ Define $F(0)=k$ con $F=f$ en el resto del dominio. Halla $k$ para que la extensión sea derivable en 0 y calcula $F'(0)$

Ver solución razonada

$D_f=[-1,+\infty)\setminus\{0\}$ Para la extensión, $D_F=[-1,+\infty)$ su derivada ordinaria finita existe en $(-1,+\infty)$

Racionalizamos para $x\ne0$ sin definir todavía el valor excluido.

f(x)=\frac1{\sqrt{1+x}+1}.

La continuidad en 0 exige $k=\frac12$ Con ese valor, $F$ coincide con esta última expresión también en 0. Su denominador es positivo y la raíz tiene argumento positivo cerca de 0, así que podemos derivar.

F'(x)=-\frac1{2\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+1)^2},\quad x>-1.

F'(0)=-\frac18.

Si $k\ne\frac12$ falta continuidad y no puede haber derivabilidad.

Comprobación.

La definición confirma la pendiente. Racionalizando una vez más, $\frac{F(h)-\frac12}{h}=-\frac1{2(\sqrt{1+h}+1)^2}\to-\frac18$ El límite se calcula con $h\ne0$

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T1–T3 · Teoremas y aproximación local

Rolle. Si $f$ es continua en $[a,b]$ derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ existe $c\in(a,b)$ con $f\prime(c)=0$

Valor medio. Con las mismas hipótesis de continuidad y derivabilidad, sin exigir extremos iguales, existe $c\in(a,b)$ tal que $f\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ Son afirmaciones de existencia: no dicen que el punto sea único. Contrasta su exigencia en tu programación.

T1 Rolle: comprobar antes de resolver

Modelo de elaboración propia

Comprueba si puede aplicarse Rolle a $f(x)=x^3-3x$ en $[-\sqrt3,\sqrt3]$ y halla todos los puntos que garantiza.

Ver solución razonada

$f$ es polinómica, definida y derivable en $\mathbb R$

Un polinomio es continuo en el intervalo cerrado y derivable en su interior. Además, $f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=0$ Se cumplen las tres hipótesis de Rolle.

f\prime(x)=3x^2-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1,1.

Ambos pertenecen a $(-\sqrt3,\sqrt3)$ Rolle garantiza al menos uno; en este caso hay dos, $c=-1$ y $c=1$

Comprobación.

$f\prime(-1)=f\prime(1)=0$ En cambio, que $g(x)=|x|$ tome el mismo valor en los extremos de $[-1,1]$ no permite aplicar Rolle: falla la derivabilidad en 0.

T2 Valor medio: igualar la pendiente secante

Modelo de elaboración propia

Aplica el teorema del valor medio a $f(x)=\ln x$ en $[1,e]$ Calcula el punto $c$ cuya tangente es paralela a la secante de los extremos.

Ver solución razonada

$f(x)=\ln x$ es continua y derivable en $(0,+\infty)$

El logaritmo es continuo en $[1,e]$ y derivable en $(1,e)$ La pendiente secante vale

\frac{f(e)-f(1)}{e-1}=\frac1{e-1}.

El teorema garantiza $c\in(1,e)$ con esa derivada.

f\prime(c)=\frac1c=\frac1{e-1}\quad\Longrightarrow\quad c=e-1.

Comprobación.

Como $2<e<3$ se cumple $1<e-1<e$ La pendiente de la tangente es la pendiente secante, y el punto está dentro del intervalo exigido.

T3 Aproximación lineal y sentido del error

Modelo de elaboración propia

Aproxima $\sqrt{4{,}04}$ mediante la recta tangente a $f(x)=\sqrt x$ en $a=4$ Explica si la aproximación es exacta y si queda por encima o por debajo.

Ver solución razonada

$f(x)=\sqrt x$ con $x\ge0$ es derivable para $x>0$

La aproximación lineal usa $f(a+\Delta x)\approx f(a)+f\prime(a)\Delta x$ Aquí $f(4)=2$ $f\prime(4)=\frac14$ y $\Delta x=0{,}04$

\sqrt{4{,}04}\approx2+\frac14\cdot0{,}04=2{,}01.

Es una aproximación, no una igualdad. Como $f\prime\prime(x)=-\frac1{4x^{3/2}}<0$ para $x>0$ la gráfica es cóncava y queda por debajo de su tangente.

Comprobación.

El número aproximado es positivo y $2{,}01^2=4{,}0401>4{,}04$ Por tanto $2{,}01>\sqrt{4{,}04}$ en acuerdo con la concavidad. No se garantizan cifras exactas adicionales sin estimar el error.

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Diez modelos de aplicación y ampliación

Aquí compruebas cómo se utiliza la derivada; los bancos especializados de tangentes, parámetros, extremos y optimización amplían cada aplicación.

E1 Una recta tangente

Modelo resuelto

Halla la tangente a $f(x)=x^3-3x^2+2$ en el punto de abscisa $x=1$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$

Necesitamos el punto y la pendiente. Evaluamos $f(1)=1-3+2=0$ y derivamos $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$ Así, $P=(1,0)$ y $m=f^{\prime}(1)=-3$

La ecuación punto-pendiente proporciona la recta pedida.

y-f(1)=f^{\prime}(1)(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=-3x+3.

Comprobación.

La recta pasa por $(1,0)$ y tiene pendiente $-3=f^{\prime}(1)$ Además, $f(x)-(-3x+3)=(x-1)^3$ cuyo valor y derivada se anulan en 1.

Para profundizar: Rectas tangente y normal: más casos geométricos.

E2 El signo de la derivada y los extremos

Modelo resuelto

Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos relativos de $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$

Derivamos y factorizamos para estudiar el signo.

f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).

Los puntos críticos son 1 y 3. La derivada es positiva en $(-\infty,1)$ negativa en $(1,3)$ y positiva en $(3,+\infty)$ La función crece, decrece y vuelve a crecer, respectivamente.

El cambio $+\to-$ da un máximo relativo en $(1,5)$ pues $f(1)=5$ El cambio $-\to+$ da un mínimo relativo en $(3,1)$ pues $f(3)=1$

Comprobación.

Con $f^{\prime\prime}(x)=6x-12$ resulta $f^{\prime\prime}(1)=-6<0$ y $f^{\prime\prime}(3)=6>0$ en acuerdo con el estudio de signos. No son extremos absolutos en todo $\mathbb R$

E3 Continuidad y derivabilidad con parámetros

Modelo resuelto

Determina $a,b$ para que sea continua y derivable en 1 la función

f(x)=\begin{cases}ax+b,&x<1,\\x^2\ln x+e^{x-1},&x\ge1.\end{cases}

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ porque el logaritmo solo aparece en la rama $x\ge1$

Continuidad. La rama derecha y el valor en 1 valen $1$ La izquierda tiende a $a+b$ de modo que $a+b=1$

Derivabilidad. Una vez asegurada la continuidad, las derivadas de las ramas se prolongan hasta la unión. Por la izquierda, $f^{\prime}_-(1)=a$ Por la derecha derivamos el producto y la exponencial.

(x^2\ln x+e^{x-1})^{\prime}=2x\ln x+x+e^{x-1}.

Al evaluar en 1, $f^{\prime}_+(1)=0+1+1=2$ Igualar las pendientes da $a=2$ y $a+b=1$ proporciona $b=-1$

Comprobación.

Con $a=2,b=-1$ ambos límites de la función valen 1. Los cocientes incrementales laterales tienen límite 2, luego $f^{\prime}(1)=2$ Todas las ramas están definidas en sus tramos.

Para profundizar: Derivabilidad con parámetros y sistemas de condiciones.

E4 Optimización de un área

Modelo resuelto

Un rectángulo tiene perímetro 40 m. Halla las dimensiones que hacen máxima su área.

Ver solución razonada

Longitudes positivas. Variable numérica $x\in(0,20)$ con lados medidos en metros.

Llamamos $x,y$ a las medidas de los lados en metros. La restricción es $2x+2y=40$ por lo que $y=20-x$ Debe cumplirse $0<x<20$

Escribimos el área, en metros cuadrados, con una sola variable.

A(x)=x(20-x)=20x-x^2.

A^{\prime}(x)=20-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=10.

La derivada es positiva antes de 10 y negativa después. El área aumenta y luego disminuye en todo el intervalo permitido: se trata del máximo absoluto.

Así, $y=10$ Las dimensiones son 10 m por 10 m y el área máxima es 100 m².

Comprobación.

El perímetro es $2\cdot10+2\cdot10=40$ m. También $A(x)=100-(x-10)^2\le100$ lo que confirma el máximo global sin depender solo de $A^{\prime\prime}(10)<0$

Para profundizar: Plantear y justificar otros problemas de optimización.

E5 Logaritmo, producto y crecimiento

Modelo resuelto

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de $f(x)=x\ln x-x$

Ver solución razonada

$D_f=(0,+\infty)$

El logaritmo obliga a trabajar con $x>0$ Derivamos el producto completo y después restamos la derivada de $x$

f^{\prime}(x)=\ln x+x\frac1x-1=\ln x.

La única raíz es $x=1$ Como $\ln x<0$ para $0<x<1$ y $\ln x>0$ para $x>1$ la función decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\infty)$

El cambio de signo da un mínimo en $(1,-1)$ pues $f(1)=-1$ Es también el mínimo absoluto de la función en su dominio.

Comprobación.

La segunda derivada es $f^{\prime\prime}(x)=\frac1x>0$ la pendiente aumenta en todo el dominio, de acuerdo con el cambio de negativa a positiva en 1.

E6 Exponencial y factor común

Modelo resuelto

Halla los extremos relativos de $f(x)=x^2e^{-x}$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$

Aplicamos producto y cadena. La derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$

f^{\prime}(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}x(2-x).

El factor exponencial siempre es positivo. Los puntos críticos son $x=0$ y $x=2$ y el signo depende solo de $x(2-x)$

En $(-\infty,0)$ $f^{\prime}<0$ En $(0,2)$ $f^{\prime}>0$ En $(2,+\infty)$ $f^{\prime}<0$

Hay un mínimo relativo en $(0,0)$ y un máximo relativo en $\left(2,\frac4{e^2}\right)$

Comprobación.

Como $x^2e^{-x}\ge0$ el mínimo en 0 es absoluto. El máximo en 2 es solo relativo: $f(x)\to+\infty$ cuando $x\to-\infty$

E7 Base variable y exponente variable

Modelo resuelto

Deriva $y=(x^2+1)^x$

Ver solución razonada

$D_y=\mathbb R$ con $x^2+1>0$

La base es positiva para todo real. Podemos tomar logaritmos y convertir la potencia en un producto.

\ln y=x\ln(x^2+1).

Derivamos ambos miembros respecto a $x$ a la izquierda hay una función compuesta y a la derecha, un producto.

\frac{y^{\prime}}y=\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}.

Multiplicamos por $y$ y recuperamos su expresión.

y^{\prime}=(x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right).

Comprobación.

La escritura equivalente $y=e^{x\ln(x^2+1)}$ lleva al mismo resultado por la regla de la cadena. En $x=0$ $y=1$ e $y^{\prime}=0$

E8 Arctangente de un cociente

Ampliación según la programación · Modelo resuelto

Deriva $f(x)=\arctan\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)$

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$

Tomamos $u(x)=\frac{x^2-1}{2x}$ El cociente da

u^{\prime}(x)=\frac{2x\cdot2x-2(x^2-1)}{4x^2}=\frac{x^2+1}{2x^2}.

La derivada de arctangente compuesta es $\frac{u^{\prime}}{1+u^2}$ El denominador admite una simplificación decisiva.

1+u^2=\frac{4x^2+(x^2-1)^2}{4x^2}=\frac{(x^2+1)^2}{4x^2}.

f^{\prime}(x)=\frac{x^2+1}{2x^2}\cdot\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac2{x^2+1},\qquad x\ne0.

Comprobación.

También $u(x)=\frac12(x-x^{-1})$ permite obtener $u^{\prime}=\frac12(1+x^{-2})$ La derivada simplificada no recupera el valor excluido $x=0$ la función original no está definida allí.

E9 Arcoseno y frontera del dominio

Ampliación según la programación · Modelo resuelto

Estudia el dominio y deriva $g(x)=\arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

Ver solución razonada

$D_g=[0,+\infty)$ Derivada finita en $(0,+\infty)$

El argumento debe pertenecer a $[-1,1]$ y $x\ne-1$ Como $(x+1)^2>0$

\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\le1\quad\Longleftrightarrow\quad(x-1)^2\le(x+1)^2\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge0.

Así, $D_g=[0,+\infty)$ Para $x>0$ ponemos $u=\frac{x-1}{x+1}$

u^{\prime}=\frac2{(x+1)^2},\qquad1-u^2=\frac{4x}{(x+1)^2}.

Como $x+1>0$ la raíz es $\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$ Por la cadena,

g^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^2}}=\frac1{(x+1)\sqrt{x}},\qquad x>0.

Comprobación.

En $x=0$ $g(0)=-\frac\pi2$ pero no existe derivada finita. Para $x\ge0$ $g(x)=2\arctan\sqrt{x}-\frac\pi2$ su cociente incremental derecho en 0 tiende a $+\infty$ No se debe confundir estar definida con ser derivable.

E10 Un logaritmo trigonométrico

Ampliación según la programación · Modelo resuelto

Deriva y simplifica $h(x)=x\sec x+\ln|\csc x-\cot x|$

Ver solución razonada

$D_h=\mathbb R\setminus\{\frac{k\pi}2:k\in\mathbb Z\}$

Se requiere $\sin x\ne0$ y $\cos x\ne0$ El argumento $\csc x-\cot x=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ no se anula allí: si $\cos x=1$ también $\sin x=0$ ya excluido.

En el primer sumando aplicamos la regla del producto.

(x\sec x)^{\prime}=\sec x+x\sec x\tan x.

Para el logaritmo, $(\ln|v|)^{\prime}=\frac{v^{\prime}}v$ con $v\ne0$

v^{\prime}=-\csc x\cot x+\csc^2x=\csc x(\csc x-\cot x).

El cociente $\frac{v^{\prime}}v$ se reduce a $\csc x$ Por tanto,

h^{\prime}(x)=\sec x+x\sec x\tan x+\csc x.

Comprobación.

La identidad $\csc x-\cot x=\tan\frac x2$ válida en el dominio original, confirma $(\ln|\tan\frac x2|)^{\prime}=\csc x$ Se conservan todas las exclusiones aunque el logaritmo admita otra forma.

Cuatro límites con L’Hôpital

La regla de L’Hôpital transforma límites de cocientes, no deriva un cociente mediante la regla habitual. Antes de usarla, verifica la forma indeterminada $0/0$ o $\infty/\infty$ las hipótesis de derivabilidad en el entorno considerado y que el denominador derivado no se anule allí. Si existe el límite del cociente de derivadas en las condiciones del teorema, permite concluir el original. Los productos se transforman antes.

No se usa para evitar una sustitución ordinaria ni se impone cuando hay una simplificación directa. Su inclusión en la prueba depende de las orientaciones aplicables.

L1 Un límite que expresa una derivada

Modelo resuelto

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}$

Ver solución razonada

$x>0$ y $x\ne1$ en el cociente.

La sustitución produce $\frac00$ Numerador y denominador son derivables cerca de 1 y la derivada del denominador no se anula. Podemos aplicar L’Hôpital.

\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\frac1x}{1}=1.

Se derivan por separado numerador y denominador: no se usa la regla de la derivada de un cociente.

Comprobación.

Es la definición de $(\ln x)^{\prime}$ en 1, porque $\ln1=0$ Por tanto, el límite también vale $\frac11=1$ sin L’Hôpital.

L2 L’Hôpital dos veces

Modelo resuelto

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

Ver solución razonada

El cociente está definido para $x\ne0$

Hay indeterminación $\frac00$ Las funciones son derivables cerca de 0 y $2x\ne0$ para $x\ne0$ Después de la primera aplicación todavía aparece $\frac00$

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}.

Comprobamos otra vez las condiciones: el nuevo denominador tiene derivada 2, no nula. Aplicamos la regla por segunda vez.

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.

Comprobación.

Como comprobación adicional, el desarrollo local $e^x=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)$ produce el mismo límite. Esta comprobación no es necesaria si aún no se han estudiado desarrollos.

L3 Logaritmo y diferencia de cuadrados

Modelo resuelto

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1}$

Ver solución razonada

$x>0$ y $x\ne1$

Al sustituir obtenemos $\frac00$ Cerca de 1, las dos funciones son derivables y $(x^2-1)^{\prime}=2x\ne0$ Por L’Hôpital,

\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{\frac1x}{2x}=\lim_{x\to1}\frac1{2x^2}=\frac12.

Comprobación.

Otra vía consiste en factorizar $x^2-1=(x-1)(x+1)$ El producto $\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac1{x+1}$ tiende a $1\cdot\frac12$ como en L1.

L4 Transformar un producto antes de L’Hôpital

Modelo resuelto

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x$

Ver solución razonada

$x>0$ con aproximación exclusivamente por la derecha.

La forma $0\cdot(-\infty)$ no permite usar directamente L’Hôpital. Primero convertimos el producto en cociente.

x\ln x=\frac{\ln x}{\frac1x}.

Es una indeterminación $\frac{-\infty}{+\infty}$ Para $x>0$ ambas funciones son derivables y el denominador tiene derivada $-\frac1{x^2}\ne0$ El cociente de derivadas se simplifica a $-x$

\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.

Comprobación.

Para $0<x<1$ $x\ln x<0$ El límite cero se alcanza desde abajo. No se ha sustituido en un producto indeterminado: se han verificado antes las condiciones del cociente.

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P1–P24 · Resuelve antes de consultar

Escribe el dominio y decide la primera regla. Usa la pista solo si estás bloqueado. Después compara el primer paso diferente, corrige y vuelve a intentar el ejercicio sin mirar.

P1 Potencias y un término recíproco

Práctica de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=2x^5-5x^2+\frac4x$ e indica dónde es válida.

Una pista antes de resolver

Escribe el cociente como una potencia de exponente negativo.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{0\}$

En su dominio, $\frac4x=4x^{-1}$ Derivamos cada sumando y mantenemos el signo del exponente.

f\prime(x)=10x^4-10x-4x^{-2}=10x^4-10x-\frac4{x^2}.

Comprobación.

El término $4x^{-1}$ da $-4x^{-2}$ no $4x^{-2}$ Tanto la función como su derivada excluyen $x=0$

P2 Una raíz cúbica y un punto singular

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ para $x\ne0$ y decide si existe $f\prime(0)$

Una pista antes de resolver

La función está definida en cero, pero eso no garantiza una derivada finita.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ La derivada existe en $\mathbb R\setminus\{0\}$

Para $x\ne0$ la potencia real $x^{2/3}$ se deriva como

f\prime(x)=\frac23x^{-1/3}=\frac2{3\sqrt[3]x}.

En cero usamos la definición, sin sustituir en una fórmula que divide por cero.

\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{\sqrt[3]{h^2}}h=\frac1{\sqrt[3]h}.

El cociente tiende a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha. No existe una derivada finita en cero.

Comprobación.

La derivada es negativa para $x<0$ y positiva para $x>0$ coherente con la cúspide de $|x|^{2/3}$

P3 Simplificar sin recuperar un valor prohibido

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ ¿Puede afirmarse que esta función tiene derivada en $x=2$

Una pista antes de resolver

Factoriza una diferencia de cubos antes de aplicar el cociente.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{2\}$

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).

Para $x\ne2$ la función coincide con $x^2+2x+4$ por lo que

f\prime(x)=2x+2,\qquad x\ne2.

La función dada no está definida en $2$ No tiene allí derivada, aunque la fórmula polinómica $2x+2$ sí permita calcular un número.

Comprobación.

La regla del cociente da el mismo resultado en el dominio original. El límite de $f$ en $2$ es $12$ pero asignarle ese valor definiría una función ampliada distinta.

P4 Exponente negativo y cadena

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac1{(5x-2)^3}$

Una pista antes de resolver

Primero reconoce la potencia de toda la expresión $5x-2$

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{\frac25\}$

Escribimos $f(x)=(5x-2)^{-3}$ La función exterior es una potencia y la interior tiene derivada $5$

f\prime(x)=-3(5x-2)^{-4}\cdot5=-\frac{15}{(5x-2)^4}.

Comprobación.

El denominador de la derivada es positivo en cada punto permitido; por tanto, la derivada es negativa. El factor $5$ procede de derivar el interior.

P5 Raíz y extremo del dominio

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\sqrt{4-3x}$ y distingue el dominio de la función del de su derivada.

Una pista antes de resolver

La raíz puede valer cero, pero la fórmula de su derivada la lleva al denominador.

Ver solución razonada

$D_f=(-\infty,\frac43]$ mientras $D_{f\prime}=(-\infty,\frac43)$

La condición $4-3x\ge0$ da $x\le\frac43$ En el interior del dominio aplicamos la cadena.

f\prime(x)=\frac{-3}{2\sqrt{4-3x}},\qquad x<\frac43.

En el extremo $\frac43$ la función vale cero, pero la derivada ordinaria no existe. El cociente incremental por la izquierda diverge a $-\infty$

Comprobación.

Cuando $x$ se acerca a $\frac43$ por la izquierda, el denominador tiende a cero positivo y la pendiente se hace negativa sin cota.

P6 Una potencia con interior cuadrático

Práctica de elaboración propia

Calcula $f\prime(x)$ para $f(x)=(x^2+2x)^4$ sin desarrollar la cuarta potencia.

Una pista antes de resolver

La derivada del interior no es una constante.

Ver solución razonada

Función y derivada están definidas en $\mathbb R$

f\prime(x)=4(x^2+2x)^3(2x+2)=8(x+1)(x^2+2x)^3.

Se deriva la potencia y se multiplica por $2x+2$ derivada del interior. Desarrollar el polinomio antes de derivar sería posible, pero añade operaciones innecesarias.

Comprobación.

En $x=-1$ la derivada se anula porque lo hace la derivada interior. En $x=0$ y $x=-2$ se anula por el factor elevado al cubo.

P7 Exponencial de una función trigonométrica

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=e^{\operatorname{sen}(2x)}$ con el ángulo medido en radianes.

Una pista antes de resolver

Hay tres capas: exponencial, seno y argumento lineal.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

La exponencial conserva su expresión y se multiplica por la derivada del exponente.

f\prime(x)=e^{\operatorname{sen}(2x)}\cos(2x)\cdot2=2e^{\operatorname{sen}(2x)}\cos(2x).

Comprobación.

En $x=0$ resulta $f\prime(0)=2$ Omitir el último factor daría $1$ incompatible con la derivada de $\operatorname{sen}(2x)$ en cero.

P8 Una propiedad del logaritmo ahorra una cadena

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\ln\sqrt{1+x^2}$ Justifica antes que la expresión es real para todo $x$

Una pista antes de resolver

La raíz es positiva y puede escribirse como una potencia.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

Como $1+x^2\ge1$ la raíz es estrictamente positiva. Podemos aplicar la propiedad del logaritmo.

f(x)=\frac12\ln(1+x^2).

f\prime(x)=\frac12\cdot\frac{2x}{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}.

Comprobación.

La función es par y su derivada es impar. Además, $f\prime(0)=0$ coherente con su simetría y suavidad en el origen.

P9 Producto con logaritmo desplazado

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x^2+1)\ln(x+2)$

Una pista antes de resolver

Deriva un factor cada vez y conserva el otro.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=(-2,+\infty)$

El logaritmo exige $x+2>0$ La regla del producto produce dos términos.

f\prime(x)=2x\ln(x+2)+(x^2+1)\frac1{x+2}.

No puede sustituirse la derivada de un producto por el producto de las derivadas.

Comprobación.

En $x=-1$ el primer término desaparece porque $\ln1=0$ y queda $f\prime(-1)=2$

P10 Producto y factor común

Práctica de elaboración propia

Deriva y factoriza el resultado de $f(x)=(x-1)e^{3x}$

Una pista antes de resolver

La exponencial aparece en los dos términos de la derivada.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

f\prime(x)=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2).

El $3$ viene de la cadena. Sacar factor común permite leer el signo sin desarrollar más.

Comprobación.

Como $e^{3x}>0$ la derivada solo se anula cuando $3x-2=0$ es decir, en $x=\frac23$

P11 Cociente con denominador siempre positivo

Práctica de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=\frac{2x+1}{x^2+4}$ y simplifica el numerador.

Una pista antes de resolver

Escribe primero los dos productos del numerador, respetando el orden.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

f\prime(x)=\frac{2(x^2+4)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+4)^2}.

f\prime(x)=\frac{-2x^2-2x+8}{(x^2+4)^2}.

El cuadrado afecta al denominador completo, y el signo menos afecta al segundo producto completo.

Comprobación.

En $x=0$ la fórmula da $f\prime(0)=\frac12$ La función no tiene exclusiones reales porque $x^2+4>0$

P12 Cociente trigonométrico e identidad

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x}$ con $x$ en radianes.

Una pista antes de resolver

Tras derivar, utiliza $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$

Ver solución razonada

Se excluyen $x=(2k+1)\pi$ con $k\in\mathbb Z$ tanto de $f$ como de $f\prime$

f\prime(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)+\operatorname{sen}^2x}{(1+\cos x)^2}.

El numerador es $\cos x+1$ por la identidad fundamental. En el dominio se puede cancelar ese factor.

f\prime(x)=\frac1{1+\cos x}.

Comprobación.

La derivada es positiva en todos los puntos del dominio. En $x=0$ vale $\frac12$ coherente con $f(x)=\operatorname{tg}(\frac x2)$ donde está definida.

P13 Logaritmo de un valor absoluto

Práctica de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=\ln|x^2-9|$ e indica las restricciones.

Una pista antes de resolver

Para $u\ne0$ la derivada de $\ln|u|$ es $\frac{u\prime}{u}$

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$

El valor absoluto permite argumentos interiores negativos, pero nunca cero. En cada intervalo del dominio,

f\prime(x)=\frac{2x}{x^2-9}.

Si $|x|<3$ también podemos escribir $f(x)=\ln(9-x^2)$ Su derivada, $\frac{-2x}{9-x^2}$ es la misma expresión.

Comprobación.

Las dos formas coinciden en $(-3,3)$ En los intervalos exteriores se deriva $\ln(x^2-9)$ obteniendo de nuevo el mismo cociente.

P14 Logaritmo en base distinta de e

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\log_3(5-x^2)$

Una pista antes de resolver

Aplica cambio de base o recuerda el factor $\ln3$

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=(-\sqrt5,\sqrt5)$

El argumento debe ser positivo: $5-x^2>0$ Por cambio de base,

f(x)=\frac{\ln(5-x^2)}{\ln3},\qquad f\prime(x)=\frac{-2x}{(5-x^2)\ln3}.

Comprobación.

La función es par y su derivada es impar. La constante $\ln3$ queda en el denominador; no se deriva como si dependiera de $x$

P15 Exponencial de base constante

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=2^{x\cos x}$ con $x$ en radianes.

Una pista antes de resolver

El exponente es un producto, pero la base es constante.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

Para $a^{u(x)}$ con $a>0$ la derivada es $a^{u(x)}\ln(a)u\prime(x)$ Aquí

(x\cos x)\prime=\cos x-x\operatorname{sen}x.

f\prime(x)=2^{x\cos x}\ln2\,(\cos x-x\operatorname{sen}x).

Comprobación.

En $x=0$ la derivada vale $\ln2$ No aparece una derivada de la base, pues el número $2$ es constante.

P16 Base y exponente variables

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x+2)^{x-1}$ en el intervalo real de base positiva.

Una pista antes de resolver

Toma logaritmos y deriva un producto.

Ver solución razonada

El intervalo de trabajo es $(-2,+\infty)$ La fórmula corresponde a la definición real $e^{(x-1)\ln(x+2)}$

Trabajamos con $x>-2$ donde $f>0$ Al tomar logaritmos,

\ln f=(x-1)\ln(x+2).

\frac{f\prime}f=\ln(x+2)+\frac{x-1}{x+2}.

f\prime(x)=(x+2)^{x-1}\left(\ln(x+2)+\frac{x-1}{x+2}\right).

Comprobación.

En $x=1$ $f=1$ y $f\prime=\ln3$ Se han derivado tanto el exponente como la base.

P17 Una potencia cuya base es un logaritmo

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=(\ln x)^{\sqrt x}$ en el intervalo donde la base es estrictamente positiva.

Una pista antes de resolver

Antes de tomar logaritmos de la función, exige $\ln x>0$

Ver solución razonada

La expresión y su derivada se estudian aquí en $(1,+\infty)$ no se aplica la fórmula en el extremo $1$

La condición de base positiva da $x>1$ Escribimos

\ln f=\sqrt x\,\ln(\ln x).

\frac{f\prime}f=\frac{\ln(\ln x)}{2\sqrt x}+\frac1{\sqrt x\,\ln x}.

f\prime(x)=(\ln x)^{\sqrt x}\left(\frac{\ln(\ln x)}{2\sqrt x}+\frac1{\sqrt x\,\ln x}\right).

Comprobación.

En $x=e$ la base vale $1$ $f(e)=1$ y queda $f\prime(e)=\frac1{\sqrt e}$ El primer término desaparece porque $\ln1=0$

P18 Arctangente de una función afín

Práctica de elaboración propia

Calcula $f\prime(x)$ para $f(x)=\operatorname{arctg}(2x+1)$

Una pista antes de resolver

El numerador es la derivada del argumento.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

f\prime(x)=\frac2{1+(2x+1)^2}.

Se aplica $(\operatorname{arctg}u)\prime=\frac{u\prime}{1+u^2}$ La arctangente admite cualquier argumento real y el denominador nunca se anula.

Comprobación.

En $x=-\frac12$ el argumento vale cero y la derivada es $2$ Además, la derivada es positiva en toda la recta.

P19 Arcoseno y dos extremos excluidos de la derivada

Práctica de elaboración propia

Deriva $f(x)=\operatorname{arcsen}(1-2x)$ y determina dónde existe su derivada.

Una pista antes de resolver

El argumento del arcoseno puede llegar a $-1$ y $1$ pero su derivada no admite esos extremos.

Ver solución razonada

$D_f=[0,1]$ mientras $D_{f\prime}=(0,1)$

La condición $-1\le1-2x\le1$ equivale a $0\le x\le1$ En el interior,

f\prime(x)=\frac{-2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}=-\frac1{\sqrt{x(1-x)}}.

En $0$ y $1$ la función está definida, pero no tiene derivada ordinaria finita; las pendientes laterales divergen.

Comprobación.

En $x=\frac12$ la derivada vale $-2$ y es negativa en todo $(0,1)$ Esto concuerda con el argumento decreciente y el arcoseno creciente.

P20 Derivar dos veces un producto

Práctica de elaboración propia

Calcula $f\prime(x)$ y $f\prime\prime(x)$ para $f(x)=x^2e^x$

Una pista antes de resolver

Tras la primera derivación, conserva la forma factorizada.

Ver solución razonada

$f$ $f\prime$ y $f\prime\prime$ están definidas en $\mathbb R$

f\prime(x)=e^x(x^2+2x).

Volvemos a aplicar la regla del producto a esta expresión.

f\prime\prime(x)=e^x(x^2+2x)+e^x(2x+2)=e^x(x^2+4x+2).

Comprobación.

En cero, $f\prime(0)=0$ y $f\prime\prime(0)=2$ Derivar dos veces no equivale a elevar al cuadrado la primera derivada.

P21 Unión suave con dos parámetros

Práctica de elaboración propia

Determina $a$ y $b$ para que sea derivable en cero la función

f(x)=\begin{cases}x^2+ax+b,&x<0,\\e^{2x},&x\ge0.\end{cases}

Una pista antes de resolver

Resuelve primero la continuidad y después la igualdad de las pendientes laterales.

Ver solución razonada

La función tiene dominio $\mathbb R$ Con $a=2$ y $b=1$ es derivable en toda la recta.

En cero, $f(0)=1$ La continuidad exige $b=1$ Con ese valor, el cociente incremental izquierdo es $\frac{h^2+ah+1-1}h=h+a$ cuyo límite vale $a$ Por la derecha, $(e^{2x})\prime=2e^{2x}$ y el límite de la pendiente vale $2$ Por tanto,

a=2,\qquad b=1,\qquad f\prime(0)=2.

Comprobación.

Con esos parámetros, ambas ramas se unen en $(0,1)$ y sus pendientes tienden a $2$ Igualar pendientes sin imponer antes $b=1$ no demostraría derivabilidad.

P22 Continuidad sin derivabilidad

Práctica de elaboración propia

Halla $k$ para que la función sea continua en $1$ Decide después si es derivable en ese punto.

f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\k,&x=1,\\2+3(x-1),&x>1.\end{cases}

Una pista antes de resolver

Simplifica la primera rama en su intervalo y compara las dos pendientes.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ Con $k=2$ la derivada existe en $\mathbb R\setminus\{1\}$

Para $x<1$ la primera rama es $x+1$ Ambos límites laterales en $1$ valen $2$ así que la continuidad exige $k=2$ Con ese valor, los cocientes incrementales laterales son

\frac{f(1+h)-f(1)}h=\begin{cases}1,&h<0,\\3,&h>0.\end{cases}

Sus límites son distintos. La función es continua para $k=2$ pero no es derivable en $1$ Ningún otro valor de $k$ puede hacerla derivable, porque faltaría continuidad.

Comprobación.

Las ramas llegan al mismo punto, pero con pendientes $1$ y $3$ Aparece un punto anguloso, no un salto.

P23 La tasa de cambio lleva unidades

Práctica de elaboración propia

El volumen de agua de un depósito se modeliza por $V(t)=900-30t+0{,}5t^2$ en litros, con $t$ en minutos y $0\le t\le10$ Calcula la tasa instantánea a los $6$ minutos. Explica su signo y exprésala también en unidades del SI.

Una pista antes de resolver

La derivada de un volumen respecto del tiempo es un caudal con signo.

Ver solución razonada

El modelo se utiliza únicamente para $0\le t\le10\ \mathrm{min}$ La tasa pedida corresponde a un instante interior de ese intervalo.

V\prime(t)=-30+t,\qquad V\prime(6)=-24\ \mathrm{L\,min^{-1}}.

El depósito pierde volumen a razón instantánea de $24$ litros por minuto. La derivada es negativa; el caudal de salida, expresado como magnitud, es positivo.

-24\ \mathrm{L\,min^{-1}}=-\frac{24\cdot10^{-3}}{60}\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}=-4\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.

Comprobación.

Los valores $V(7)=714{,}5\ \mathrm L$ y $V(5)=762{,}5\ \mathrm L$ dan una variación de $-48\ \mathrm L$ en $2\ \mathrm{min}$ La tasa media es $-24\ \mathrm{L\,min^{-1}}$ igual a la tasa en el instante central. La coincidencia es exacta por ser un modelo cuadrático.

P24 El valor absoluto cambia la fórmula

Práctica de elaboración propia

Calcula la derivada de $f(x)=|x^2-4|$ donde exista y estudia los puntos $x=-2$ y $x=2$

Una pista antes de resolver

Decide dónde $x^2-4$ es positivo y dónde es negativo.

Ver solución razonada

$D_f=\mathbb R$ pero $D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$

La expresión dentro del valor absoluto cambia de signo en $-2$ y $2$ Fuera de $[-2,2]$ $f=x^2-4$ y $f\prime(x)=2x$ En $(-2,2)$ $f=4-x^2$ y $f\prime(x)=-2x$

En $-2$ las pendientes laterales son $-4$ y $4$ en $2$ también son $-4$ y $4$ Como no coinciden, no existe la derivada en ninguno de los dos puntos.

Comprobación.

La función es continua en $\pm2$ pues ambas ramas valen cero allí. La falta de derivabilidad procede de los cambios de pendiente, no de discontinuidades.

S1–S8 · Simulacro de 10 puntos

Modelo de elaboración propia, no examen oficial. Recomendación de trabajo: 60 minutos. La puntuación exige el planteamiento, el cálculo y las condiciones; un resultado correcto sin justificación no permite valorar el proceso completo.

S1 Una fórmula simplificada no rellena el hueco

1,0 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Deriva $f(x)=\frac{x^2-6x+9}{x-3}$ Indica su dominio y razona si existe $f\prime(3)$

Una pista antes de resolver

Busca un cuadrado perfecto en el numerador.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R\setminus\{3\}$

El numerador es $(x-3)^2$ Para $x\ne3$ queda $f(x)=x-3$ y, por tanto, $f\prime(x)=1$ La función original no está definida en $3$ así que no existe $f\prime(3)$

Comprobación.

La función ampliada que añadiera $f(3)=0$ sí sería derivable allí con derivada $1$ pero esa ampliación no forma parte de la función dada.

Reparto orientativo. 0,25 dominio; 0,50 simplificación y derivada; 0,25 justificación del valor excluido.

S2 Composición con dos ramas del dominio

1,25 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Determina el dominio de $f(x)=\sqrt{1+\ln(x^2)}$ y calcula su derivada en el interior de ese dominio.

Una pista antes de resolver

Impón a la vez las condiciones del logaritmo y de la raíz.

Ver solución razonada

$D_f=(-\infty,-e^{-1/2}]\cup[e^{-1/2},+\infty)$ La derivada existe con los dos extremos excluidos.

El logaritmo exige $x\ne0$ y la raíz exige $1+\ln(x^2)\ge0$ Esto equivale a $x^2\ge e^{-1}$ es decir, $|x|\ge e^{-1/2}$ Para la derivada finita, la desigualdad debe ser estricta.

f\prime(x)=\frac1{2\sqrt{1+\ln(x^2)}}\cdot\frac{2x}{x^2}=\frac1{x\sqrt{1+\ln(x^2)}}.

Comprobación.

La función es par y la derivada impar. En $\pm e^{-1/2}$ la función está definida, pero la pendiente lateral tiene magnitud infinita; la derivada ordinaria finita no existe.

Reparto orientativo. 0,50 dominio; 0,50 cadena completa; 0,25 dominio de la derivada y extremos.

S3 Derivar y leer el signo sin resolver ecuaciones

1,25 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x^2+1)e^{-2x}$ y demuestra que su derivada es negativa para todo $x$ real.

Una pista antes de resolver

Factoriza la exponencial y completa un cuadrado.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

f\prime(x)=2xe^{-2x}-2(x^2+1)e^{-2x}=-2e^{-2x}(x^2-x+1).

La exponencial es positiva y

x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0.

Por tanto, $f\prime(x)<0$ para todo $x\in\mathbb R$

Comprobación.

No hay ceros de la derivada. En $x=0$ el resultado da $f\prime(0)=-2$ coherente con el signo demostrado.

Reparto orientativo. 0,50 producto y cadena; 0,25 factorización; 0,50 justificación global del signo.

S4 Logaritmo de un cociente y signos

1,25 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Halla el dominio y la derivada de $f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ Justifica cualquier separación de logaritmos que utilices.

Una pista antes de resolver

El cociente debe ser positivo, pero sus dos términos pueden ser negativos.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

La tabla de signos del argumento da $x<-1$ o $x>1$ En ambos intervalos podemos escribir

f(x)=\ln|x+1|-\ln|x-1|.

f\prime(x)=\frac1{x+1}-\frac1{x-1}=-\frac2{x^2-1}.

Escribir $\ln(x+1)-\ln(x-1)$ eliminaría indebidamente el intervalo $x<-1$ donde los dos logaritmos individuales no son reales.

Comprobación.

La cadena aplicada directamente al cociente produce el mismo resultado. En los dos intervalos permitidos, $x^2-1>0$ por lo que la derivada es negativa.

Reparto orientativo. 0,50 dominio; 0,50 derivada; 0,25 justificación de los valores absolutos.

S5 Una potencia de base y exponente variables

1,25 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Deriva $f(x)=(x^2+3)^{\operatorname{sen}x}$ con $x$ en radianes.

Una pista antes de resolver

La base es positiva. Toma logaritmos sin perder la derivada del exponente.

Ver solución razonada

$D_f=D_{f\prime}=\mathbb R$

Como $x^2+3>0$ la función se define en toda la recta mediante una exponencial. Entonces

\ln f=\operatorname{sen}x\,\ln(x^2+3).

\frac{f\prime}f=\cos x\,\ln(x^2+3)+\frac{2x\operatorname{sen}x}{x^2+3}.

f\prime=(x^2+3)^{\operatorname{sen}x}\left(\cos x\,\ln(x^2+3)+\frac{2x\operatorname{sen}x}{x^2+3}\right).

Comprobación.

En $x=0$ la función vale $1$ y su derivada vale $\ln3$ Ambos términos de la derivación logarítmica se han conservado antes de evaluar.

Reparto orientativo. 0,25 base positiva; 0,50 logaritmo y producto; 0,50 despeje completo de la derivada.

S6 Segunda derivada trigonométrica

1,0 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Calcula $f\prime\prime(x)$ para $f(x)=\operatorname{sen}^2(3x)$ con ángulos en radianes.

Una pista antes de resolver

Una identidad de ángulo doble simplifica la primera derivada.

Ver solución razonada

La función y ambas derivadas están definidas en $\mathbb R$

f\prime(x)=2\operatorname{sen}(3x)\cos(3x)\cdot3=3\operatorname{sen}(6x).

f\prime\prime(x)=18\cos(6x).

El factor $6$ de la segunda cadena no puede omitirse.

Comprobación.

La forma equivalente $f(x)=\frac{1-\cos(6x)}2$ conduce a las mismas dos derivadas.

Reparto orientativo. 0,50 primera derivada; 0,50 segunda derivada con los factores de cadena.

S7 Recta tangente a una composición

1,5 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Halla la ecuación de la recta tangente a $f(x)=\ln(x^2+1)$ en el punto de abscisa $1$

Una pista antes de resolver

Necesitas el valor de la función y el de su derivada en la misma abscisa.

Ver solución razonada

La función es derivable en toda $\mathbb R$ porque $x^2+1>0$

f(1)=\ln2,\qquad f\prime(x)=\frac{2x}{x^2+1},\qquad f\prime(1)=1.

La recta pasa por $(1,\ln2)$ y tiene pendiente $1$ Su ecuación es

y-\ln2=x-1,\qquad y=x-1+\ln2.

Comprobación.

Al sustituir $x=1$ la recta da $y=\ln2$ Su pendiente coincide con $f\prime(1)$ de modo que se cumplen las dos condiciones de tangencia.

Reparto orientativo. 0,50 punto; 0,50 derivada y pendiente; 0,50 ecuación y comprobación.

S8 Un parámetro que impone tangente horizontal

1,5 puntos · Modelo tipo examen de elaboración propia

Para $f_a(x)=ax^2+\ln x$ determina $a$ de modo que la tangente en $x=2$ sea horizontal. Decide con justificación si ese punto es un extremo relativo.

Una pista antes de resolver

Una tangente horizontal impone una derivada nula; aún falta clasificar el punto.

Ver solución razonada

La función y sus dos primeras derivadas se estudian en $(0,+\infty)$

f_a\prime(x)=2ax+\frac1x,\qquad f_a\prime(2)=4a+\frac12=0.

De aquí, $a=-\frac18$ Para este valor,

f_a\prime\prime(x)=-\frac14-\frac1{x^2},\qquad f_a\prime\prime(2)=-\frac12<0.

El criterio de la segunda derivada permite concluir que $x=2$ es un máximo relativo estricto, con ordenada $\ln2-\frac12$

Comprobación.

Con $a=-\frac18$ $f_a\prime(x)=\frac{4-x^2}{4x}$ Es positiva para $0<x<2$ y negativa para $x>2$ lo que confirma el máximo por cambio de signo.

Reparto orientativo. 0,50 condición y parámetro; 0,50 clasificación justificada; 0,50 ordenada y comprobación.

Autocorrección. En cada apartado reserva aproximadamente un cuarto de su puntuación a dominio y estrategia, la mitad al desarrollo y el resto a resultado y comprobación. Es una pauta de estudio del cuaderno, no un criterio oficial de una comunidad.

Errores que conviene detectar antes de entregar

Olvidar una capa. En $(\ln(1+x^2))^3$ aparecen potencia, logaritmo y polinomio. El resultado incluye los factores $3(\ln(1+x^2))^2$ $\frac1{1+x^2}$ y $2x$

Derivar un producto como producto de derivadas. $(x\sin x)'=\sin x+x\cos x$ no $\cos x$ El primer término recoge la variación del factor $x$

Perder una restricción tras cancelar. $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ solo para $x\ne1$ La derivada de la función original no existe en un punto donde la función ni siquiera está definida.

Concluir extremo por $f\prime(a)=0$ Es una condición necesaria para un extremo interior derivable, no suficiente. $x^3$ tiene derivada cero en 0 y sigue creciendo a ambos lados.

Confundir continuidad con derivabilidad. $|x|$ es continua en 0, pero sus pendientes laterales son −1 y 1. También hay funciones con extremo en un punto no derivable.

Aplicar fórmulas en un borde sin comprobar. Si una raíz o una inversa trigonométrica produce denominador cero, analiza el cociente incremental. La fórmula habitual no resuelve ese caso.

Usar L’Hôpital sin indeterminación. Primero sustituye o calcula los límites de numerador y denominador. $0/k$ con $k\ne0$ ya vale cero.

Una hoja de control para mejorar el siguiente intento

Anota el primer error concreto: dominio, regla, capa interior, signo, simplificación o interpretación. No basta con escribir «me equivoqué».

Seguimiento de la práctica y del simulacro
Bloque	Primer intento	Corrección	Segundo intento y error a evitar
P1–P4
P5–P8
P9–P12
P13–P16
P17–P20
P21–P24
S1–S4
S5–S8

Del cálculo a la interpretación

Marco de estudio y procedencia

El cuaderno trabaja herramientas de Matemáticas II y una base compartida con Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Las ampliaciones están señaladas y deben contrastarse con la programación del centro.

Currículo básico de Bachillerato · Real Decreto 243/2022.
Orientaciones oficiales de Matemáticas II de Andalucía, curso 2026–2027, como referencia concreta de una comunidad.

Los modelos y simulacros se presentan como material didáctico de Marlu, no como exámenes oficiales ni como una reproducción de libros de texto. Las fuentes oficiales orientan el marco curricular; no son la procedencia de los ejercicios propuestos.

Trabajamos contigo el paso que falta

En Marlu Educativa® revisamos tus ejercicios de Matemáticas de Bachillerato y PAU en una pizarra digital compartida: estructura, desarrollo y comprobación, según el temario de tu centro. Clases online para alumnado de toda España.

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Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre derivar en un punto y hallar la función derivada?

La derivada en un punto es un número que expresa una pendiente o tasa instantánea. La función derivada asigna esa pendiente a los puntos donde existe. Si la fórmula es válida en ese punto, deriva y evalúa. En puntos de unión o frontera, comprueba los cocientes incrementales laterales; usa la definición cuando se pida.

¿Cuándo uso la regla de la cadena?

Cuando una función actúa sobre otra. Identifica la función exterior y multiplica su derivada por la de la interior. Si hay varias capas, repite el proceso en cada una.

¿El dominio de la función y de la derivada siempre coincide?

No. Una función puede estar definida y ser continua en un punto sin ser derivable allí. Los valores absolutos, raíces y funciones a trozos permiten comprobarlo con cocientes incrementales laterales.

¿Se exige todo este contenido en todas las pruebas de PAU?

No. El cuaderno se centra en Matemáticas II e incluye ampliaciones señaladas. Contrasta la selección y el formato con la programación de tu centro y las orientaciones oficiales de tu comunidad. Los simulacros son propios.

¿Qué incluye cada versión imprimible?

El cuaderno resuelto incluye los 58 modelos, las 24 prácticas y los 8 apartados del simulacro con sus soluciones. La versión de actividades contiene las 24 prácticas y los 8 apartados, sin soluciones y con espacio de trabajo.

¿Cómo guardo el cuaderno como PDF?

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