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Derivadas PAU/EBAU resueltas paso a paso

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ALUMNO PASANDO CLASES DE MATEMÁTICAS ONLINE ESO

Derivadas PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso

Las derivadas son uno de los bloques más importantes de Matemáticas II en Bachillerato y en la PAU/EBAU. No basta con saber derivar de memoria. En un examen real hay que leer bien la función, decidir qué herramienta usar, estudiar signos, justificar crecimiento, encontrar extremos y escribir el resultado con orden.

En esta guía resolvemos ejercicios tipo de derivadas PAU/EBAU paso a paso, con especial atención a los errores que más puntos hacen perder. Trabajaremos recta tangente, crecimiento y extremos, continuidad y derivabilidad con parámetros, optimización, logaritmos, exponenciales, límites con L'Hôpital y un caso de nivel alto, una función del tipo \(y=f(x)^x\).

Este recurso forma parte del bloque de preparación de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa. Si quieres ver un examen completo, puedes consultar también nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso.

Qué vas a encontrar en esta guía

  • Recta tangente a una función
  • Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
  • Continuidad y derivabilidad con parámetros \(a\) y \(b\)
  • Optimización con enunciado real
  • Funciones con logaritmo neperiano
  • Funciones con exponencial
  • Derivada de una función del tipo \(y=f(x)^x\)
  • Límites con L'Hôpital
  • Errores frecuentes en derivadas PAU/EBAU

Idea clave para no perderse con derivadas

Muchos alumnos saben derivar funciones sueltas, pero se bloquean cuando el ejercicio mezcla varias cosas. Eso es normal. En PAU/EBAU las derivadas no aparecen solo como una operación mecánica. Aparecen dentro de problemas donde hay que interpretar.

La rutina que conviene automatizar es esta.

  • Primero se identifica el dominio de la función si el ejercicio lo necesita.
  • Después se calcula la derivada con calma, sin saltarse signos ni paréntesis.
  • Luego se iguala \(f'(x)=0\) cuando buscamos extremos o cambios de crecimiento.
  • Se estudia el signo de \(f'(x)\) en intervalos.
  • Finalmente se interpreta el resultado con una frase clara.

Si \(f'(x)>0\), la función crece. Si \(f'(x)<0\), decrece. Si la derivada cambia de positiva a negativa, aparece un máximo. Si cambia de negativa a positiva, aparece un mínimo.

Fórmulas de derivadas que conviene dominar

Estas fórmulas aparecen continuamente en Matemáticas II. No hace falta recitarlas sin entenderlas, pero sí reconocerlas rápido.

\[ \frac{d}{dx}x^n=n x^{n-1} \]
\[ (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v' \]
\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \]
\[ (e^u)'=e^u\cdot u' \]
\[ (\ln u)'=\frac{u'}{u} \]

Error típico. Muchos fallos no vienen de no saber la fórmula, sino de aplicarla sin paréntesis. En derivadas de cocientes, productos o funciones compuestas, un signo mal colocado puede arrastrar todo el ejercicio.

Ejercicio 1. Recta tangente a una función

Halla la ecuación de la recta tangente a la función

\[ f(x)=x^3-3x^2+2 \]

en el punto de abscisa \(x=1\).

Primer paso. Calculamos el punto de tangencia

La abscisa ya la conocemos. Falta la ordenada.

\[ f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=1-3+2=0 \]

El punto de tangencia es \((1,0)\).

Segundo paso. Calculamos la derivada

\[ f'(x)=3x^2-6x \]

La pendiente de la tangente en \(x=1\) es

\[ f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1=3-6=-3 \]

Tercer paso. Usamos la ecuación punto pendiente

\[ y-y_0=m(x-x_0) \]

Sustituimos \(m=-3\), \(x_0=1\), \(y_0=0\).

\[ y-0=-3(x-1) \]
\[ y=-3x+3 \]

Resultado. La recta tangente es \(y=-3x+3\).

La comprobación rápida es sencilla. La recta pasa por \(x=1\), \(y=0\), y su pendiente coincide con la derivada de la función en ese punto.

Ejercicio 2. Crecimiento, decrecimiento y extremos

Estudia el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos de la función

\[ f(x)=x^3-6x^2+9x+1 \]

Primer paso. Derivamos

\[ f'(x)=3x^2-12x+9 \]
\[ f'(x)=3(x^2-4x+3) \]
\[ f'(x)=3(x-1)(x-3) \]

Segundo paso. Igualamos la derivada a cero

\[ 3(x-1)(x-3)=0 \]

Por tanto, los puntos críticos son

\[ x=1 \]
\[ x=3 \]

Tercer paso. Estudiamos el signo de la derivada

Los intervalos son

\[ (-\infty,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty) \]

Si \(x=0\)

\[ f'(0)=3(0-1)(0-3)>0 \]

Si \(x=2\)

\[ f'(2)=3(2-1)(2-3)<0 \]

Si \(x=4\)

\[ f'(4)=3(4-1)(4-3)>0 \]

La función crece en \((-\infty,1)\), decrece en \((1,3)\) y vuelve a crecer en \((3,+\infty)\).

En \(x=1\), la derivada pasa de positiva a negativa. Hay un máximo relativo.

\[ f(1)=1-6+9+1=5 \]

En \(x=3\), la derivada pasa de negativa a positiva. Hay un mínimo relativo.

\[ f(3)=27-54+27+1=1 \]

Resultado. La función crece en \((-\infty,1)\) y \((3,+\infty)\), decrece en \((1,3)\), tiene un máximo relativo en \((1,5)\) y un mínimo relativo en \((3,1)\).

Este tipo de ejercicio es muy PAU/EBAU porque mezcla cálculo mecánico, estudio de signos e interpretación. Si falta una de esas tres partes, la respuesta queda incompleta.

Ejercicio 3. Hallar a y b para que una función sea continua y derivable

Determina los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=1\).

\[ f(x)=ax+b \quad \text{si } x<1 \]
\[ f(x)=x^2\ln x+e^{x-1} \quad \text{si } x\geq 1 \]

Nos piden que la función sea continua y derivable en \(x=1\). Esto significa dos cosas. Primero debe ser continua. Después deben coincidir las derivadas laterales.

Primer paso. Condición de continuidad

Por la izquierda usamos la primera rama.

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a\cdot1+b=a+b \]

Por la derecha usamos la segunda rama.

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1^2\ln1+e^{1-1} \]

Como \(\ln1=0\) y \(e^0=1\), queda

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0+1=1 \]

Para que sea continua, ambos valores deben coincidir.

\[ a+b=1 \]

Segundo paso. Condición de derivabilidad

Por la izquierda, la función es \(f(x)=ax+b\), luego su derivada es

\[ f'_-(1)=a \]

Por la derecha, derivamos

\[ f(x)=x^2\ln x+e^{x-1} \]

Para derivar \(x^2\ln x\), usamos la regla del producto.

\[ (x^2\ln x)'=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x} \]
\[ (x^2\ln x)'=2x\ln x+x \]

Además,

\[ (e^{x-1})'=e^{x-1} \]

Por tanto, la derivada de la segunda rama es

\[ f'(x)=2x\ln x+x+e^{x-1} \]

Calculamos en \(x=1\).

\[ f'_+(1)=2\cdot1\cdot\ln1+1+e^0 \]
\[ f'_+(1)=0+1+1=2 \]

Para que sea derivable, las derivadas laterales deben coincidir.

\[ a=2 \]

Tercer paso. Calculamos b

Usamos la ecuación de continuidad.

\[ a+b=1 \]

Sustituimos \(a=2\).

\[ 2+b=1 \]
\[ b=-1 \]

Resultado. Para que la función sea continua y derivable en \(x=1\), debe cumplirse \(a=2\) y \(b=-1\).

Comprobación. Con \(a=2\) y \(b=-1\), la rama izquierda vale \(2x-1\). En \(x=1\), da \(1\), igual que la rama derecha. Además, su derivada vale \(2\), igual que la derivada de \(x^2\ln x+e^{x-1}\) en \(x=1\). Por tanto, continuidad y derivabilidad quedan verificadas.

Error típico PAU/EBAU. En estos ejercicios no basta con hallar \(a\) y \(b\) de cualquier manera. Hay que escribir claramente la condición de continuidad y la condición de derivabilidad. Si el razonamiento no aparece, se pierden puntos aunque el resultado final sea correcto.

Ejercicio 4. Optimización con enunciado real

Se quiere construir un rectángulo de perímetro \(40\) m. Determina las dimensiones que hacen máxima su área.

Primer paso. Planteamos las variables

Llamamos \(x\) a un lado del rectángulo y \(y\) al otro.

\[ 2x+2y=40 \]
\[ x+y=20 \]
\[ y=20-x \]

Segundo paso. Escribimos el área en función de una sola variable

El área del rectángulo es

\[ A=x\cdot y \]

Sustituimos \(y=20-x\).

\[ A(x)=x(20-x) \]
\[ A(x)=20x-x^2 \]

Tercer paso. Derivamos e igualamos a cero

\[ A'(x)=20-2x \]
\[ 20-2x=0 \]
\[ x=10 \]

Cuarto paso. Calculamos la otra dimensión

\[ y=20-10=10 \]

Como \(A(x)=20x-x^2\) es una parábola cóncava hacia abajo, el punto crítico corresponde a un máximo.

Resultado. El área máxima se obtiene con un rectángulo de \(10\) m por \(10\) m. Es decir, con un cuadrado.

En problemas de optimización, el error habitual es derivar antes de haber escrito bien la función que se quiere maximizar o minimizar. Primero se plantea. Luego se deriva.

Ejercicio 5. Función con logaritmo neperiano

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

\[ f(x)=x\ln x-x \]

Primer paso. Dominio

Como aparece \(\ln x\), necesitamos \(x>0\). Por tanto, el dominio es

\[ (0,+\infty) \]

Segundo paso. Derivamos

Tenemos un producto \(x\ln x\).

\[ (x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} \]
\[ (x\ln x)'=\ln x+1 \]

Entonces

\[ f'(x)=\ln x+1-1=\ln x \]

Tercer paso. Igualamos la derivada a cero

\[ \ln x=0 \]
\[ x=1 \]

Cuarto paso. Estudiamos el signo

Si \(0

Si \(x>1\), entonces \(\ln x>0\), por tanto la función crece.

La derivada pasa de negativa a positiva en \(x=1\), luego hay un mínimo relativo.

\[ f(1)=1\cdot\ln1-1=-1 \]

Resultado. La función decrece en \((0,1)\), crece en \((1,+\infty)\) y tiene un mínimo relativo en \((1,-1)\).

Este ejercicio es muy útil porque mezcla tres ideas importantes. Dominio por logaritmo, derivada de un producto y estudio de signos de \(\ln x\).

Ejercicio 6. Función con exponencial

Halla los extremos relativos de la función

\[ f(x)=x^2e^{-x} \]

Primer paso. Derivamos con la regla del producto

\[ f'(x)=2x e^{-x}+x^2(-e^{-x}) \]
\[ f'(x)=2x e^{-x}-x^2 e^{-x} \]

Segundo paso. Sacamos factor común

\[ f'(x)=e^{-x}(2x-x^2) \]
\[ f'(x)=e^{-x}x(2-x) \]

Tercer paso. Igualamos a cero

\[ e^{-x}x(2-x)=0 \]

La exponencial \(e^{-x}\) nunca vale cero. Por tanto, los puntos críticos son

\[ x=0 \]
\[ x=2 \]

Cuarto paso. Estudiamos el signo

Como \(e^{-x}\) siempre es positivo, el signo depende de \(x(2-x)\).

En \((-\infty,0)\), la derivada es negativa.

En \((0,2)\), la derivada es positiva.

En \((2,+\infty)\), la derivada es negativa.

En \(x=0\), la derivada pasa de negativa a positiva. Hay un mínimo relativo.

\[ f(0)=0 \]

En \(x=2\), la derivada pasa de positiva a negativa. Hay un máximo relativo.

\[ f(2)=2^2e^{-2}=4e^{-2}=\frac{4}{e^2} \]

Resultado. La función tiene un mínimo relativo en \((0,0)\) y un máximo relativo en \(\left(2,\frac{4}{e^2}\right)\).

Este tipo de función es muy buena para entrenar PAU/EBAU porque obliga a combinar producto, exponencial, factorización y signo de la derivada.

Ejercicio 7. Derivada de una función del tipo \(y=f(x)^x\)

Este es un caso de nivel alto. No se resuelve como una potencia normal ni como una exponencial simple. Cuando la base depende de \(x\) y el exponente también depende de \(x\), conviene usar logaritmos.

Deriva la función

\[ y=(x^2+1)^x \]

Primer paso. Tomamos logaritmos

\[ \ln y=\ln\left((x^2+1)^x\right) \]

Usamos la propiedad del logaritmo.

\[ \ln y=x\ln(x^2+1) \]

Segundo paso. Derivamos implícitamente

\[ \frac{y'}{y}=\ln(x^2+1)+x\cdot\frac{2x}{x^2+1} \]
\[ \frac{y'}{y}=\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1} \]

Tercer paso. Despejamos \(y'\)

\[ y'=y\left(\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right) \]

Como \(y=(x^2+1)^x\), sustituimos.

\[ y'=(x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right) \]

Resultado.

\[ y'=(x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right) \]

Atención. No se puede derivar \((x^2+1)^x\) como si fuera simplemente \(x^n\). Tampoco se puede derivar como si fuera solo \(e^x\). Es una función con base variable y exponente variable, por eso usamos derivación logarítmica.

Fórmula general para \(y=f(x)^x\)

Si \(f(x)>0\), podemos derivar

\[ y=f(x)^x \]

tomando logaritmos.

\[ \ln y=x\ln(f(x)) \]

Derivamos.

\[ \frac{y'}{y}=\ln(f(x))+x\frac{f'(x)}{f(x)} \]

Multiplicamos por \(y\).

\[ y'=f(x)^x\left(\ln(f(x))+x\frac{f'(x)}{f(x)}\right) \]

Esta fórmula no hace falta memorizarla si entiendes el procedimiento. Lo importante es reconocer cuándo hay que usar logaritmos.

Límites con L'Hôpital en PAU/EBAU

Los límites también aparecen muy unidos al bloque de derivadas. En algunos ejercicios, cuando aparece una indeterminación del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\), puede utilizarse la regla de L'Hôpital si el temario y el criterio del profesor lo permiten.

Idea clave. L'Hôpital no se aplica porque sí. Primero hay que comprobar la indeterminación. Si al sustituir no aparece \(0/0\) o \(\infty/\infty\), no se debe usar directamente.

Límite 1. Logaritmo neperiano cerca de 1

Calcula

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} \]

Sustituimos.

\[ \frac{\ln1}{1-1}=\frac{0}{0} \]

Tenemos una indeterminación \(0/0\). Aplicamos L'Hôpital.

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{1/x}{1} \]
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x}=1 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1 \]

Límite 2. Exponencial y desarrollo inicial

Calcula

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} \]

Sustituimos.

\[ \frac{e^0-1-0}{0^2}=\frac{0}{0} \]

Aplicamos L'Hôpital una primera vez.

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} \]

Volvemos a sustituir.

\[ \frac{e^0-1}{2\cdot0}=\frac{0}{0} \]

Sigue habiendo indeterminación. Aplicamos L'Hôpital una segunda vez.

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{2} \]

Sustituimos.

\[ \frac{e^0}{2}=\frac{1}{2} \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2} \]

Límite 3. Logaritmo y diferencia de cuadrados

Calcula

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \]

Sustituimos.

\[ \frac{\ln1}{1^2-1}=\frac{0}{0} \]

Aplicamos L'Hôpital.

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} = \lim_{x\to1}\frac{1/x}{2x} \]
\[ \frac{1/x}{2x}=\frac{1}{2x^2} \]

Sustituimos.

\[ \frac{1}{2\cdot1^2}=\frac{1}{2} \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1}=\frac{1}{2} \]

También podría hacerse factorizando \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) y usando el límite anterior. En PAU/EBAU conviene conocer varias formas, porque no siempre el camino más largo es el más seguro.

Límite 4. Producto \(x\ln x\)

Calcula

\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x \]

Cuando \(x\to0^+\), se cumple que \(x\to0\) y \(\ln x\to-\infty\). Aparece una indeterminación del tipo \(0\cdot(-\infty)\).

No podemos aplicar L'Hôpital directamente porque no tenemos un cociente. Transformamos el producto.

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{1/x} \]

Ahora tenemos una indeterminación del tipo \(\frac{-\infty}{+\infty}\).

Aplicamos L'Hôpital.

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} \]

Simplificamos.

\[ \frac{1/x}{-1/x^2}=-x \]

Por tanto

\[ \lim_{x\to0^+}(-x)=0 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \]

Estos límites son muy buenos para preparar Matemáticas II porque obligan a revisar continuidad, derivadas, logaritmos, exponenciales e indeterminaciones. No son ejercicios largos, pero sí separan al alumno que aplica una receta del alumno que entiende lo que está haciendo.

Errores frecuentes en derivadas PAU/EBAU

  • Olvidar el dominio en funciones con logaritmos, raíces o cocientes.
  • Confundir \(f(x)=0\) con \(f'(x)=0\).
  • No estudiar el signo de la derivada después de hallar los puntos críticos.
  • Derivar productos como si fueran sumas.
  • Perder signos en la derivada de un cociente.
  • Aplicar L'Hôpital sin comprobar antes la indeterminación.
  • Empezar la derivabilidad sin haber comprobado antes la continuidad.
  • No interpretar el resultado con una frase final clara.

Cómo estudiar derivadas para PAU/EBAU

La forma más eficaz de estudiar derivadas no es hacer veinte ejercicios al azar. Es entrenar tipos de ejercicio. Primero funciones polinómicas. Después racionales. Luego logaritmos y exponenciales. Finalmente problemas con parámetro, optimización, límites y funciones más exigentes.

  • Dominar derivadas básicas y compuestas.
  • Practicar rectas tangentes hasta hacerlas sin dudar.
  • Trabajar crecimiento, decrecimiento y extremos con tabla de signos.
  • Hacer problemas de optimización con dibujo o esquema previo.
  • Revisar funciones con \(\ln x\) y \(e^x\), porque suelen mezclar varias reglas.
  • Entrenar continuidad y derivabilidad con parámetros \(a\) y \(b\).
  • Practicar límites con indeterminaciones y L'Hôpital.
  • Entrenar algún ejercicio de nivel alto, como \(y=f(x)^x\), para ganar seguridad.

Si estás preparando Matemáticas II, también puedes repasar el bloque completo con nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso, donde aparecen derivadas, integrales, álgebra, geometría y probabilidad.

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En Marlu Educativa trabajamos las derivadas con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores. La idea no es que el alumno memorice una lista de fórmulas, sino que aprenda a leer el ejercicio, elegir el método correcto y justificar cada paso con seguridad.

Si necesitas preparar Matemáticas II PAU/EBAU, reforzar derivadas, integrales, funciones, sistemas, límites o probabilidad, puedes consultar nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU.

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Preguntas frecuentes sobre derivadas PAU/EBAU

Qué ejercicios de derivadas suelen aparecer en PAU/EBAU

Los más habituales son recta tangente, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, optimización, continuidad y derivabilidad, representación de funciones, límites y problemas donde aparecen logaritmos o exponenciales.

Qué es lo que más puntos hace perder en derivadas

Los errores más frecuentes son olvidar el dominio, derivar mal una función compuesta, no estudiar el signo de la derivada, no comprobar la continuidad en funciones a trozos y no interpretar el resultado.

Cómo sé si una función tiene máximo o mínimo

Primero se calcula \(f'(x)\), después se resuelve \(f'(x)=0\) y luego se estudia el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos. Si la derivada pasa de positiva a negativa, hay máximo. Si pasa de negativa a positiva, hay mínimo.

Qué se hace primero en continuidad y derivabilidad

Primero se comprueba la continuidad. Si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en ese punto. Después se igualan las derivadas laterales.

Cuándo puedo usar L'Hôpital

Se puede usar cuando el límite presenta una indeterminación del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\), siempre que el criterio del curso lo permita. Antes de aplicarlo hay que sustituir y comprobar la indeterminación.

Por qué se usan logaritmos para derivar \(y=f(x)^x\)

Porque la base y el exponente dependen de \(x\). No es una potencia normal ni una exponencial simple. Tomar logaritmos permite bajar el exponente y aplicar derivación implícita.

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Artículo elaborado por Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que preparan Matemáticas II PAU/EBAU.

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