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Integrales PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso y áreas entre funciones

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Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Integrales PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso

Las integrales son uno de los bloques que más dudas generan en Matemáticas II. Muchos alumnos saben hacer una integral inmediata, pero se bloquean cuando aparece un cambio de variable, una integración por partes, una racional con logaritmo o arcotangente, una raíz, una integral trigonométrica o un área entre funciones.

En esta guía trabajamos integrales PAU/EBAU 2026 paso a paso, con ejercicios tipo examen y explicación clara. La idea no es hacer una lista de fórmulas sin sentido, sino aprender a reconocer qué técnica pide cada integral y cómo escribir el procedimiento para no perder puntos.

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Este recurso forma parte del bloque de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa y se relaciona directamente con el examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso.

El año del título identifica la convocatoria para la que se preparó esta edición. Las técnicas de integración, el teorema fundamental y el cálculo de áreas siguen siendo contenidos estables del bloque de análisis; si cambia algún criterio oficial, se revisará únicamente el apartado afectado.

La guía se centra en técnicas de integración, teorema fundamental y cálculo de áreas. Las derivadas se utilizan solo para reconocer estructuras o comprobar primitivas; su estudio completo se mantiene en el recurso específico de derivadas. Así cada pieza del bloque conserva una función clara y no repite lo que ya está explicado con profundidad en otra guía.

Qué vas a encontrar en esta guía

Idea clave para no perderse con integrales

En integrales el primer problema no suele ser calcular. El primer problema es elegir el método. Un alumno puede saber derivar bien y aun así equivocarse en integrales porque intenta aplicar una fórmula que no corresponde.

La elección del método suele aclararse con estas preguntas.

  • ¿Es una integral inmediata?
  • ¿Aparece una función y su derivada multiplicando?
  • ¿Hay un producto que sugiera integración por partes?
  • ¿Es una fracción racional que se puede descomponer?
  • ¿Aparece una forma tipo \(\frac{u'}{u}\) que lleva a logaritmo?
  • ¿Aparece una forma tipo \(\frac{1}{1+x^2}\) que lleva a arcotangente?
  • ¿Es una integral definida y tengo que aplicar el teorema fundamental?
  • ¿Estoy calculando área y debo tener cuidado con el signo?

En PAU/EBAU no basta con encontrar una primitiva. Si el ejercicio es de área, hay que mirar qué función va por encima. Si la función cambia de signo, hay que separar intervalos. Si se aplica cambio de variable o partes, hay que escribirlo con claridad.

Fórmulas básicas que conviene dominar

No se trata de memorizar sin entender. Se trata de reconocer patrones.

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1 \]
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \]
\[ \int e^x\,dx=e^x+C \]
\[ \int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C \]
\[ \int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C \]
\[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C \]
\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C \]
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,\qquad a>0 \]
\[ \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C, \qquad \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\cot x+C \]
\[ \int u\,dv=uv-\int v\,du \]
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f \]

Error típico. La constante \(C\) se olvida muchas veces en integrales indefinidas. En una integral definida no se escribe \(C\), pero en una primitiva general sí debe aparecer.

Ejercicio 1. Integrales inmediatas básicas

Calcula las siguientes integrales.

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx \]

Integración término a término

\[ \int 3x^2\,dx=x^3 \]
\[ \int -4x\,dx=-2x^2 \]
\[ \int 5\,dx=5x \]

Primitiva completa

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C \]

Resultado.

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C \]

Este tipo de integral es básica, pero es importante hacerla limpia porque aparece dentro de ejercicios más largos.

Ejercicio 2. Integral tipo logaritmo

Calcula

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx \]

Reconocimiento de la estructura

En el denominador aparece \(x^2+3\). Su derivada es \(2x\), que aparece en el numerador. Por tanto, estamos ante una integral del tipo

\[ \int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C \]

La función interior y su derivada

\[ u=x^2+3 \]
\[ u'=2x \]

Integración

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx=\ln|x^2+3|+C \]

Como \(x^2+3>0\) para todo \(x\), se puede escribir también sin valor absoluto.

Resultado.

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx=\ln(x^2+3)+C \]

Este patrón aparece con mucha frecuencia. Si el numerador coincide —o casi coincide— con la derivada del denominador, la forma logarítmica suele ser la adecuada.

Ejercicio 3. Integral tipo arcotangente

Calcula

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx \]

Reconocimiento de la forma

Sabemos que

\[ \int \frac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan t+C \]

Pero aquí tenemos \(x^2+4\). Hay que prepararlo.

Ajuste del denominador

\[ x^2+4=4\left(\frac{x^2}{4}+1\right)=4\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+1\right) \]

Entonces

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx=\int \frac{1}{4\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)}\,dx \]

Aplicación de la fórmula general

La fórmula útil es

\[ \int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C \]

Aquí \(a=2\).

Resultado.

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C \]

Error típico. Muchos alumnos ponen directamente \(\arctan x\). Falta el ajuste del \(4\). Esa constante es justo la diferencia entre un resultado correcto y uno incompleto.

Ejercicio 4. Integral con raíz sencilla

Calcula

\[ \int \sqrt{x+1}\,dx \]

La raíz escrita como potencia

\[ \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2} \]

Integración de la potencia compuesta

Como la derivada de \(x+1\) es \(1\), la integral es directa.

\[ \int (x+1)^{1/2}\,dx=\frac{(x+1)^{3/2}}{3/2}+C \]
\[ \frac{1}{3/2}=\frac{2}{3} \]

Resultado.

\[ \int \sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C \]

Este tipo de integral parece sencilla, pero conviene escribir la raíz como potencia para evitar errores.

Ejercicio 5. Cambio de variable

Calcula

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx \]

Elección del cambio de variable

Dentro de la raíz aparece \(x^2+1\). Su derivada es \(2x\), que aparece multiplicando. Eso indica cambio de variable.

\[ u=x^2+1 \]
\[ du=2x\,dx \]

Sustitución

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx=\int \sqrt{u}\,du \]
\[ \int \sqrt{u}\,du=\int u^{1/2}\,du \]

Integración

\[ \int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}u^{3/2}+C \]

Regreso a la variable original

\[ \frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}+C \]

Resultado.

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx=\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}+C \]

Este ejercicio es muy típico porque enseña la idea principal del cambio de variable. Dentro aparece una función y fuera aparece su derivada.

Ejercicio 6. Integración por partes

Calcula

\[ \int x e^x\,dx \]

Fórmula de integración por partes

\[ \int u\,dv=u v-\int v\,du \]

Elección de \(u\) y \(dv\)

Tomamos

\[ u=x,\quad dv=e^x\,dx \]

Entonces

\[ du=dx,\quad v=e^x \]

Aplicación de la fórmula

\[ \int x e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx \]
\[ \int x e^x\,dx=x e^x-e^x+C \]

Resultado.

\[ \int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C \]

Error típico. En integración por partes, la elección de \(u\) es clave. En productos con polinomio por exponencial, suele convenir tomar como \(u\) el polinomio.

Ejercicio 7. Integral por partes con logaritmo

Calcula

\[ \int \ln x\,dx \]

El logaritmo como primer factor

Aunque parezca que no hay producto, podemos escribir

\[ \int \ln x\,dx=\int 1\cdot \ln x\,dx \]

Elección de \(u\) y \(dv\)

Tomamos

\[ u=\ln x,\quad dv=dx \]

Entonces

\[ du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=x \]

Aplicación de integración por partes

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx \]
\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx \]
\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C \]

Resultado.

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C \]

Esta integral es muy habitual como ejemplo de partes porque no parece un producto, pero realmente se resuelve tratándola como \(1\cdot\ln x\).

Ejercicio 8. Integral racional con raíces simples

Calcula

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx \]

Factorización del denominador

\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]

Descomposición en fracciones simples

Buscamos \(A\) y \(B\) tales que

\[ \frac{3x+5}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \]

Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\).

\[ 3x+5=A(x+1)+B(x-1) \]

Desarrollamos.

\[ 3x+5=Ax+A+Bx-B \]
\[ 3x+5=(A+B)x+(A-B) \]

Igualamos coeficientes.

\[ A+B=3 \]
\[ A-B=5 \]

Sumamos las ecuaciones.

\[ 2A=8 \]
\[ A=4 \]

Entonces

\[ 4+B=3 \]
\[ B=-1 \]

Integración

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx= \int \left(\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx \]
\[ =4\ln|x-1|-\ln|x+1|+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx=4\ln|x-1|-\ln|x+1|+C \]

El interés de este ejercicio está en que reúne factorización, fracciones simples y logaritmos en un mismo desarrollo.

Ejercicio 9. Integral racional con raíz múltiple

Calcula

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx \]

Planteamiento de las fracciones simples

Como el denominador tiene una raíz doble, escribimos

\[ \frac{2x+3}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2} \]

Multiplicamos por \((x-1)^2\).

\[ 2x+3=A(x-1)+B \]

Desarrollamos.

\[ 2x+3=Ax-A+B \]
\[ 2x+3=Ax+(B-A) \]

Igualamos coeficientes.

\[ A=2 \]
\[ B-A=3 \]

Como \(A=2\), queda

\[ B-2=3 \]
\[ B=5 \]

Integración de cada término

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx= \int \left(\frac{2}{x-1}+\frac{5}{(x-1)^2}\right)\,dx \]

La primera integral da logaritmo.

\[ \int \frac{2}{x-1}\,dx=2\ln|x-1| \]

La segunda se escribe como potencia.

\[ \int \frac{5}{(x-1)^2}\,dx=\int 5(x-1)^{-2}\,dx \]
\[ \int 5(x-1)^{-2}\,dx=-\frac{5}{x-1} \]

Resultado.

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx=2\ln|x-1|-\frac{5}{x-1}+C \]

Error típico. Si aparece \((x-1)^2\), no basta con poner solo \(\frac{A}{x-1}\). Hay que incluir también \(\frac{B}{(x-1)^2}\).

Ejercicio 10. Integral racional con logaritmo y arcotangente

Calcula

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx \]

Lectura del denominador

El denominador es

\[ x^2+2x+2 \]

Su derivada es

\[ 2x+2=2(x+1) \]

El numerador es \(x+1\), justo la mitad de la derivada del denominador.

Patrón logarítmico

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx= \frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,dx \]
\[ =\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx= \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C \]

Ahora vemos un caso parecido pero con arcotangente.

Calcula

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx \]

Cuadrado completo

\[ x^2+2x+2=(x+1)^2+1 \]

Entonces

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx= \int \frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx \]

Forma arcotangente

\[ \int \frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx=\arctan(x+1)+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx=\arctan(x+1)+C \]

Este bloque es importante porque enseña dos salidas distintas. Si aparece la derivada del denominador, suele salir logaritmo. Si aparece un cuadrado más uno, aparece arcotangente.

Ejercicio 11. Integral trigonométrica típica

Calcula

\[ \int \sin x \cos x\,dx \]

Cambio de variable

Tomamos

\[ u=\sin x \]
\[ du=\cos x\,dx \]

Entonces

\[ \int \sin x\cos x\,dx=\int u\,du \]
\[ \int u\,du=\frac{u^2}{2}+C \]

Volvemos a \(x\).

\[ \frac{u^2}{2}+C=\frac{\sin^2 x}{2}+C \]

Resultado.

\[ \int \sin x\cos x\,dx=\frac{\sin^2 x}{2}+C \]

También podría resolverse con \(u=\cos x\), obteniendo una expresión equivalente.

Ejercicio 12. Teorema fundamental del cálculo

Calcula la derivada de la función

\[ F(x)=\int_1^x (t^3+2t)\,dt \]

Reconocimiento del teorema fundamental

Si

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt \]

entonces

\[ F'(x)=f(x) \]

Aplicación del resultado

En este caso,

\[ f(t)=t^3+2t \]

Por tanto,

\[ F'(x)=x^3+2x \]

Resultado.

\[ F'(x)=x^3+2x \]

Atención. No hace falta calcular primero la integral completa si solo piden \(F'(x)\). El teorema fundamental permite derivar directamente.

Ejercicio 13. Teorema fundamental con límite superior compuesto

Calcula la derivada de

\[ F(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{1+t^3}\,dt \]

El límite superior compuesto

Ahora el límite superior es \(x^2\). Por tanto, hay que aplicar la regla de la cadena.

Si

\[ F(x)=\int_a^{g(x)} f(t)\,dt \]

entonces

\[ F'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \]

Identificación de cada parte

\[ f(t)=\sqrt{1+t^3} \]
\[ g(x)=x^2 \]
\[ g'(x)=2x \]

Sustitución en la regla de la cadena

\[ F'(x)=\sqrt{1+(x^2)^3}\cdot 2x \]
\[ F'(x)=2x\sqrt{1+x^6} \]

Resultado.

\[ F'(x)=2x\sqrt{1+x^6} \]

El ejercicio combina el teorema fundamental con la regla de la cadena. Es breve, aunque exige identificar con precisión la función exterior y el límite superior.

Ejercicio 14. Integral definida y área bajo una curva

Calcula

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx \]
Área bajo la curva x al cuadrado más uno La región comprendida entre la curva y igual a x al cuadrado más uno, el eje X y las rectas x igual a cero y x igual a dos aparece sombreada. x y 0 2 y = x² + 1 A = 14/3
La función es positiva en todo el intervalo; por eso la integral definida coincide con el área sombreada.

Primitiva

\[ \int (x^2+1)\,dx=\frac{x^3}{3}+x \]

Evaluación en los límites

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2 \]
\[ =\left(\frac{2^3}{3}+2\right)-\left(\frac{0^3}{3}+0\right) \]
\[ =\frac{8}{3}+2=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=\frac{14}{3} \]

Resultado.

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx=\frac{14}{3} \]

Como \(x^2+1\) es positiva, esta integral definida coincide con el área bajo la curva entre \(x=0\) y \(x=2\).

Ejercicio 15. Área entre una recta y una parábola

Calcula el área encerrada entre la recta

\[ y=x+2 \]

y la parábola

\[ y=x^2 \]
Área entre la recta y igual a x más dos y la parábola y igual a x al cuadrado La recta queda por encima de la parábola entre sus puntos de corte de abscisas menos uno y dos. La región comprendida entre ambas aparece sombreada. x y −1 2 y = x + 2 y = x² A = 9/2
Los puntos de corte delimitan la región. Entre \(x=-1\) y \(x=2\), la recta está por encima de la parábola.

Puntos de corte

Igualamos ambas funciones.

\[ x^2=x+2 \]
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]

Por tanto, los puntos de corte tienen abscisas

\[ x=-1,\quad x=2 \]

Orden de las funciones

Tomamos un punto intermedio, por ejemplo \(x=0\).

Recta.

\[ 0+2=2 \]

Parábola.

\[ 0^2=0 \]

La recta está por encima de la parábola en el intervalo \([-1,2]\).

Planteamiento del área

\[ A=\int_{-1}^{2} \left[(x+2)-x^2\right]\,dx \]
\[ A=\int_{-1}^{2} (-x^2+x+2)\,dx \]

Cálculo de la integral

\[ \int (-x^2+x+2)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x \]

Aplicamos los límites.

\[ A=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2} \]

Valor en \(x=2\).

\[ -\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}+2\cdot2=-\frac{8}{3}+2+4 \]
\[ -\frac{8}{3}+6=\frac{10}{3} \]

Valor en \(x=-1\).

\[ -\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \]
\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6}=-\frac{7}{6} \]

Restamos.

\[ A=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) \]
\[ A=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2} \]

Resultado.

\[ A=\frac{9}{2} \]

Error típico. En áreas entre funciones no se integra sin más. Primero hay que saber qué función está por encima. Si se cambia el orden, puede salir un área negativa.

Ejercicio 16. Área entre una función exponencial y una recta

Calcula el área encerrada entre las funciones

\[ f(x)=e^x \]

y

\[ g(x)=1+x \]

en el intervalo \([0,1]\).

Área entre la exponencial y la recta en el intervalo de cero a uno Las funciones y igual a e elevado a x e y igual a uno más x coinciden en cero. La exponencial queda por encima de la recta hasta x igual a uno y la región entre ambas aparece sombreada. x y 0 1 y = eˣ y = 1 + x A = e − 5/2
La zona es pequeña, pero positiva: \(e^x\) y \(1+x\) coinciden en \(x=0\), y la exponencial queda por encima para \(0<x\leq1\).

Orden de las funciones

En \(x=0\), ambas funciones valen \(1\).

\[ e^0=1,\quad 1+0=1 \]

En \(x=1\), tenemos

\[ e^1=e,\quad 1+1=2 \]

Como \(e>2\), la función \(e^x\) queda por encima de \(1+x\) en el intervalo \([0,1]\).

Planteamiento del área

\[ A=\int_0^1 \left(e^x-(1+x)\right)\,dx \]
\[ A=\int_0^1 (e^x-1-x)\,dx \]

Integración

\[ \int (e^x-1-x)\,dx=e^x-x-\frac{x^2}{2} \]

Evaluación en los límites

\[ A=\left[e^x-x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \]

Valor en \(x=1\).

\[ e^1-1-\frac{1^2}{2}=e-1-\frac{1}{2}=e-\frac{3}{2} \]

Valor en \(x=0\).

\[ e^0-0-\frac{0^2}{2}=1 \]

Restamos.

\[ A=e-\frac{3}{2}-1=e-\frac{5}{2} \]

Resultado.

\[ A=e-\frac{5}{2} \]

En este caso coinciden exponenciales, integral definida y área entre funciones. La interpretación de cuál está por encima forma parte esencial del planteamiento.

Ejercicio 17. Área cuando la función cambia de signo

Calcula el área comprendida entre la función

\[ f(x)=x^2-1 \]

y el eje \(X\) en el intervalo \([0,2]\).

Área de una función que cambia de signo La función y igual a x al cuadrado menos uno queda bajo el eje X entre cero y uno y sobre el eje X entre uno y dos. Las dos regiones se muestran separadas. x y 0 1 2 y = x² − 1 A₁ A₂
La integral cambia de signo en \(x=1\). El área geométrica se obtiene sumando por separado las dos regiones, ambas con valor positivo.

Corte con el eje X

\[ x^2-1=0 \]
\[ (x-1)(x+1)=0 \]

En el intervalo \([0,2]\), el corte importante es

\[ x=1 \]

Signo de la función

En \([0,1]\), por ejemplo en \(x=0\),

\[ f(0)=0^2-1=-1 \]

La función es negativa.

En \([1,2]\), por ejemplo en \(x=2\),

\[ f(2)=2^2-1=3 \]

La función es positiva.

Área separada por intervalos

Como el área no puede ser negativa, escribimos

\[ A=-\int_0^1 (x^2-1)\,dx+\int_1^2 (x^2-1)\,dx \]

Cálculo de la integral

Una primitiva es

\[ \int (x^2-1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x \]

Primer tramo.

\[ \int_0^1 (x^2-1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 \]
\[ =\left(\frac{1}{3}-1\right)-0=-\frac{2}{3} \]

Como el área en ese tramo es positiva, tomamos

\[ -\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3} \]

Segundo tramo.

\[ \int_1^2 (x^2-1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 \]
\[ =\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right) \]
\[ =\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3} \]

Suma de las áreas

\[ A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2 \]

Resultado.

\[ A=2 \]

Error típico PAU/EBAU. Si una función cambia de signo, la integral definida puede compensar áreas positivas y negativas. Para calcular área real, hay que separar los tramos.

Tres casos que completan el nivel PAU/EBAU

Los ejercicios anteriores cubren el núcleo del tema. Quedan tres formas clásicas que conviene reconocer porque exigen una decisión distinta: una raíz asociada al arcoseno, una fracción racional que primero necesita división y una integración por partes que debe repetirse.

Ejercicio 18. Integral inmediata de tipo arcoseno

Calcula

\[ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\,dx \]

Reconocimiento de la forma

El denominador tiene la estructura \(\sqrt{a^2-x^2}\). En este caso, \(a^2=9\) y, por tanto, \(a=3\).

\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\,dx =\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C \]

La comprobación por derivación devuelve exactamente \(1/\sqrt{9-x^2}\). Esa revisión rápida también confirma que el factor \(1/3\) queda incorporado en la fórmula.

Ejercicio 19. Fracción racional impropia

Calcula

\[ \int \frac{x^2+1}{x-1}\,dx \]

División antes de integrar

El grado del numerador es mayor que el del denominador. Antes de pensar en fracciones simples, la división de polinomios permite escribir

\[ x^2+1=(x-1)(x+1)+2 \]
\[ \frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1} \]

Integración de los términos

\[ \int \left(x+1+\frac{2}{x-1}\right)dx =\frac{x^2}{2}+x+2\ln|x-1|+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{x^2+1}{x-1}\,dx =\frac{x^2}{2}+x+2\ln|x-1|+C \]

La dificultad está en reconocer que la fracción es impropia. Una vez hecha la división, la integral queda reducida a términos inmediatos.

Ejercicio 20. Integración por partes dos veces

Calcula

\[ \int x^2e^x\,dx \]

Primera aplicación de partes

La elección \(u=x^2\) y \(dv=e^x\,dx\) reduce el grado del polinomio.

\[ du=2x\,dx,\qquad v=e^x \]
\[ \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx \]

Segunda aplicación de partes

Para la integral restante, \(u=x\) y \(dv=e^x\,dx\).

\[ \int xe^x\,dx=xe^x-e^x \]
\[ \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C \]

Resultado.

\[ \int x^2e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C \]

Al derivar \(e^x(x^2-2x+2)\), los términos intermedios se cancelan y queda \(x^2e^x\). Es una comprobación especialmente útil cuando la fórmula de partes se aplica más de una vez.

Errores frecuentes en integrales PAU/EBAU

  • Olvidar la constante \(C\) en integrales indefinidas.
  • Aplicar cambio de variable sin que aparezca la derivada de la función interior.
  • Elegir mal \(u\) en integración por partes.
  • No descomponer bien una fracción racional.
  • Olvidar el valor absoluto en logaritmos como \(\ln|x-a|\).
  • Confundir una integral tipo logaritmo con una tipo arcotangente.
  • Calcular un área sin mirar qué función está por encima.
  • No separar intervalos cuando una función cambia de signo.
  • No aplicar la regla de la cadena en el teorema fundamental con límite superior compuesto.

Cómo estudiar integrales para PAU/EBAU

La forma más eficaz de estudiar integrales no es hacer ejercicios al azar. Conviene agrupar por técnicas y aprender a reconocer el tipo de integral antes de empezar.

  • Integrales inmediatas y potencias como base.
  • Formas tipo \(\frac{u'}{u}\), que llevan a logaritmo.
  • Formas asociadas a arcotangente y arco seno.
  • Cambio de variable.
  • Integración por partes, incluida la aplicación repetida.
  • Racionales propias e impropias, con raíces simples y múltiples.
  • Integrales definidas, teorema fundamental y áreas.

Ese orden evita estudiar de forma caótica. Muchos bloqueos aparecen porque el alumno intenta resolver una integral por fuerza, sin reconocer antes el patrón.

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En Marlu Educativa trabajamos integrales con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores frecuentes. La clave no es hacer muchas integrales sin dirección, sino aprender a reconocer el método adecuado y justificar cada paso.

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Preguntas frecuentes sobre integrales PAU/EBAU

Qué integrales suelen aparecer en PAU/EBAU

Suelen aparecer integrales inmediatas, cambio de variable, integración por partes, racionales sencillas, integrales con logaritmos, arcotangente, exponenciales, trigonométricas, integrales definidas y áreas entre funciones.

Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida

La integral indefinida busca una familia de primitivas y lleva constante \(C\). La integral definida calcula un valor numérico entre dos límites y no lleva constante \(C\).

Cuándo aparece un logaritmo en una integral

Suele aparecer cuando tenemos una fracción del tipo \(\frac{u'}{u}\). En ese caso, la integral es \(\ln|u|+C\).

Cuándo aparece una arcotangente

Suele aparecer cuando tenemos una expresión relacionada con \(\frac{1}{1+x^2}\) o con \(\frac{1}{x^2+a^2}\).

Qué es lo más importante en áreas entre funciones

Lo más importante es saber qué función está por encima y cuáles son los puntos de corte. Si la función cambia de signo o las curvas se cruzan, hay que separar intervalos.

En qué ayuda el teorema fundamental del cálculo

Permite relacionar derivadas e integrales. Si \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), entonces \(F'(x)=f(x)\). Si el límite superior es \(g(x)\), hay que multiplicar por \(g'(x)\).

Recursos relacionados para completar el bloque de análisis

Estos tres destinos amplían exactamente lo que queda fuera de esta guía: la derivación, un examen completo y la página central de Matemáticas II y PAU/EBAU.

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