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Integrales PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso y áreas entre funciones
MARLU EDUCATIVA® · BIBLIOTECA DE MATEMÁTICAS
Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAUIntegrales resueltas paso a paso
No necesitas una receta nueva para cada integral. Necesitas reconocer qué estructura se repite, preparar el integrando y comprobar que tu elección simplifica el problema. Aquí recorremos las familias de integración y sus aplicaciones, desde las primeras primitivas hasta áreas, volúmenes y preguntas con parámetros.
Cada método se trabaja con modelos guiados, variantes que cambian la apariencia y práctica para decidir sin ayudas. Los ejercicios son de elaboración propia. Las instrucciones del examen se contrastan con la documentación de tu comunidad.
La guía cubre primitivas, técnicas de integración, integral definida, teorema fundamental, áreas y volúmenes de revolución de Matemáticas II. El currículo de Bachillerato incluye estas aplicaciones, aunque las orientaciones PAU concretan su profundidad de forma distinta según el territorio.
Los métodos de esta guía permiten preparar el cálculo integral en cursos y convocatorias posteriores. Para comprobar la documentación de tu territorio, utiliza la guía PAU por comunidades. Las derivadas se emplean como herramienta de reconocimiento y comprobación; su desarrollo completo está en el recurso de derivadas.
Un recorrido para entender, practicar y comprobar
Método Marlu · una decisión que se pueda justificar
Integrar es reconstruir una derivada. La expresión puede cambiar de aspecto sin cambiar de familia. Por eso se decide por su estructura y no por la última fórmula que hayas memorizado.
| Fase | Qué haces y qué dejas escrito |
|---|---|
| Evidencia | Identifica si buscas una primitiva, un número, un área o un volumen. Comprueba el dominio antes de operar. |
| Análisis | Simplifica y localiza función interior, derivada, factores del denominador o geometría del recinto. |
| Síntesis | Elige una técnica que reduzca el problema y escribe el cambio, la descomposición o el planteamiento geométrico. |
| Revisión | Deriva la primitiva o contrasta signo, unidades y tamaño. Contesta exactamente a lo pedido. |
El orden de las preguntas evita intentos innecesarios
- Simplifica. Expande un producto útil, divide una fracción impropia o transforma raíces en potencias. No se integra una suma como si fuera un producto.
- Busca una composición. Si aparece \(u'(x)\) acompañando a una función de \(u(x)\), prepara ese patrón. Un factor constante se ajusta; un factor variable no se inventa.
- Si es racional, estudia sus factores. El grado decide si necesitas división y las raíces deciden la descomposición.
- Si hay un producto, valora partes. Elige u para que al derivarlo se simplifique y dv para que puedas integrarlo. Un producto, por sí solo, no obliga a usar partes.
- Si hay trigonometría, transforma lo justo. Una identidad puede dejar una inmediata; un factor impar puede aportar la derivada interior.
- En una aplicación, dibuja antes. El signo separa integral y área; la distancia al eje determina los radios de un volumen.
Simplificar sin perder el dominio original
Cancelar un factor reduce el cálculo, pero no recupera los puntos donde el integrando original no existía. Por ejemplo,
Una primitiva es \(x^2/2+x+C\) en cada intervalo separado por 1. La expresión obtenida se puede extender hasta ese punto, pero esa extensión no convierte en definida allí la fracción original. Conserva la restricción mientras respondes al problema.
Una familia, varias apariencias. \(\frac{2x}{x^2+3}\), \(\frac{3x^2}{x^3-2}\) y \(\frac{1}{x\ln x}\) comparten la estructura \(u'/u\). Sus dominios cambian, pero el motivo del logaritmo es el mismo.
Cuándo detener un método
Después de un cambio, la integral debe estar escrita en una sola variable. Después de partes, la restante debe ser más simple o formar un ciclo que puedas despejar. Si aumenta la dificultad sin dejar una estructura conocida, revisa la elección. Escribir u y du no basta para demostrar que el cambio funciona.
Primitiva, dominio y constante · la base del tema
F es primitiva de f en un intervalo si \(F'(x)=f(x)\) en él. Dos primitivas en un mismo intervalo difieren en una constante. Por eso \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\) representa una familia.
La constante tiene un motivo: al derivarla desaparece. Si F y G son primitivas de la misma función en un intervalo, \((F-G)'=0\); por tanto, F−G es constante en ese intervalo. Una condición inicial fija esa diferencia, pero solo en el intervalo al que pertenece el dato.
La comprobación se hace en el dominio del integrando. En \(1/x\), los intervalos quedan separados por cero y la constante puede ser distinta a cada lado. En \(\sqrt{x}\), el integrando existe para \(x\geq0\), pero la derivación ordinaria se comprueba en el interior \(x>0\), con extensión continua al extremo cuando corresponda.
Una condición inicial elige una sola primitiva
Si \(F'(x)=2x+1\) y \(F(0)=3\), primero integras y después determinas C.
La función buscada es \(F(x)=x^2+x+3\). Cumple tanto la derivada como el dato inicial.
La linealidad no se extiende a cualquier operación
En general, \(\int fg\,dx\neq(\int f\,dx)(\int g\,dx)\). Tampoco \(\int 1/f\,dx=1/(\int f\,dx)\). La fórmula correcta se decide reconociendo una derivada.
Formulario por estructuras, con sus condiciones
En las formas compuestas, u representa una función de x y u′ su derivada. Cada fórmula se usa en un intervalo donde las expresiones estén definidas.
Potencia
Comprueba el dominio real. Para exponentes reales generales, \(u>0\) es suficiente; exponentes enteros o racionales pueden permitir más valores.
Logaritmo
\(u\neq0\). Si sabes que \(u>0\), puedes omitir el valor absoluto.
Exponencial natural
Con \(u=kx+b\), resulta \(e^{kx+b}/k+C\) si \(k\neq0\). Si \(k=0\), la integral es \(e^b x+C\).
Exponencial de otra base
\(a>0\), \(a\neq1\). Si \(a=1\), integras u′ y obtienes \(u+C\).
Seno y coseno
Las constantes del ángulo forman parte de u′.
Tangente y cotangente
Excluye los ceros del denominador.
Logaritmos trigonométricos
Se reconocen escribiendo tangente y cotangente como cocientes.
Arcotangente
\(a>0\). Se ajustan coeficiente y argumento.
Arcoseno
\(a>0\) y \(|u|<a\). La raíz está en un denominador.
Partes
Derivada de un producto reorganizada para simplificar.
Barrow
En esta guía, f continua en \([a,b]\) y F una primitiva. No atravieses singularidades.
Área y volumen
Separa cambios de orden. \(R\geq r\geq0\) son distancias al eje. Si integras respecto de y, usa dy.
Inmediatas y cambio de variable · la misma idea
Una casi inmediata es una regla de la cadena leída al revés. Puedes reconocerla directamente o escribir \(u=g(x)\), \(du=g'(x)\,dx\). Las dos vías deben llegar al mismo resultado.
En \(x e^{x^2}\), el factor 2x que exige la derivada interior se ajusta sacando \(1/2\). En \(e^{x^2}\) sin ese factor, ese razonamiento no sirve: introducir 2x obliga a dividir por 2x, que no es constante y no desaparece.
El cambio transforma todo el integrando
En \(u=\sqrt{x}\), también \(x=u^2\) y \(dx=2u\,du\). En \(u=e^x\), \(dx=du/u\). Esos datos convierten algunas expresiones con raíces o exponenciales en racionales conocidas.
Control de una línea. Escribe u, du, la integral transformada y la vuelta a x. Si falta la justificación de un paso, la sustitución no está cerrada.
Modelo 1. Integrales inmediatas básicas
Dominio y alcance · Todo número real.
Calcula las siguientes integrales.
Integración término a término
Los números 3, −4 y 5 son constantes, de modo que pueden salir de cada integral. Al integrar por separado podrías escribir tres constantes; su suma vuelve a ser una constante arbitraria C. En la primitiva completa se deja una sola, no se eliminan todas.
Primitiva completa
Resultado.
Este tipo de integral es básica, pero es importante hacerla limpia porque aparece dentro de ejercicios más largos.
Comprobación por derivación
Modelo 2. Integral tipo logaritmo
Dominio y alcance · Todo número real, porque x²+3 es positivo.
Calcula
Reconocimiento de la estructura
En el denominador aparece \(x^2+3\). Su derivada es \(2x\), que aparece en el numerador. Por tanto, estamos ante una integral del tipo
La función interior y su derivada
Integración
Como \(x^2+3>0\) para todo \(x\), se puede escribir también sin valor absoluto.
Resultado.
Este patrón aparece con mucha frecuencia. Si el numerador coincide —o casi coincide— con la derivada del denominador, la forma logarítmica suele ser la adecuada.
Comprobación por derivación
Modelo 3. Integral tipo arcotangente
Dominio y alcance · Todo número real. En la fórmula general se toma a>0.
Calcula
Reconocimiento de la forma
Sabemos que
Pero aquí tenemos \(x^2+4\). Hay que prepararlo.
Ajuste del denominador
Entonces
El ajuste puede verse sin memorizar otra fórmula. Con \(t=x/2\), tenemos \(dx=2\,dt\). El cuatro del denominador y el dos del diferencial se combinan:
Al volver a x, el argumento es x/2 y el coeficiente exterior es 1/2. Ese medio es el producto \((1/4)\cdot2\): combina el denominador y el diferencial. Comprobar ambos evita confundir esta forma con \(1/(1+x^2)\).
Aplicación de la fórmula general
La fórmula útil es
Aquí \(a=2\).
Resultado.
Error típico. Muchos alumnos ponen directamente \(\arctan x\). Falta el ajuste del \(4\). Esa constante es justo la diferencia entre un resultado correcto y uno incompleto.
Comprobación por derivación
Modelo 4. Integral con raíz sencilla
Dominio y alcance · El integrando está definido para x≥−1; la comprobación por derivación se hace en x>−1.
Calcula
La raíz escrita como potencia
Integración de la potencia compuesta
Como la derivada de \(x+1\) es \(1\), la integral es directa.
Resultado.
Este tipo de integral parece sencilla, pero conviene escribir la raíz como potencia para evitar errores.
El coeficiente de x dentro de la raíz es lo que hace este caso directo. Si fuera \(\sqrt{3x+1}\), integrar la potencia produciría \((2/3)(3x+1)^{3/2}\), cuya derivada sería tres veces el integrando. Hay que dividir además entre 3:
La primitiva tiene extensión continua al extremo \(x=-1/3\). En cambio, para una expresión interior no lineal no se divide sin más por su derivada variable: hay que comprobar qué factor acompaña a la raíz, como en el modelo siguiente.
Comprobación por derivación
Modelo 5. Cambio de variable
Dominio y alcance · Todo número real, porque x²+1>0.
Calcula
Elección del cambio de variable
Dentro de la raíz aparece \(x^2+1\). Su derivada es \(2x\), que aparece multiplicando. Eso indica cambio de variable.
Sustitución
El factor \(2x\,dx\) se sustituye completo por du. No es necesario dividir entre 2x ni elegir \(x=\sqrt{u-1}\), lo que excluiría cero o una parte de la recta sin motivo. La regla de la cadena comprueba la primitiva para todos los x reales, aunque \(x^2+1\) tome el mismo valor en x y −x.
Integración
Regreso a la variable original
Resultado.
Este ejercicio es muy típico porque enseña la idea principal del cambio de variable. Dentro aparece una función y fuera aparece su derivada.
Comprobación por derivación
Modelo 21 · Derivada interior con una potencia negativa
Reconocimiento y dominio. El numerador es la derivada de la expresión que se eleva al cuadrado. Además, \(x^2+x+3=(x+1/2)^2+11/4>0\), de modo que el integrando está definido en toda la recta real.
Por qué este método. No hace falta desarrollar el denominador ni descomponer fracciones. La regla de la cadena permite tratar toda la expresión interior como una sola variable.
Resultado. El exponente del denominador baja de dos a uno y aparece un signo negativo. Ese signo procede de dividir por \(-1\) al integrar la potencia, no del cambio de variable.
Comprobación. Derivamos la expresión obtenida, conservando el factor interior.
La derivada reproduce exactamente el integrando. Este es el mismo patrón que \(\int f'(x)[f(x)]^n\,dx\) con \(n=-2\).
Modelo 22 · Logaritmo compuesto y puntos excluidos
Reconocimiento y dominio. El denominador es \(f(x)=x^3-2\) y el numerador es \(f'(x)=3x^2\). Debe excluirse \(x=\sqrt[3]{2}\), donde el denominador se anula.
Por qué este método. El cociente \(f'/f\) conduce a \(\ln|f|\). El valor absoluto permite trabajar tanto cuando el denominador es positivo como cuando es negativo.
Resultado. Esta familia de primitivas es válida por separado a la izquierda y a la derecha del punto excluido. Las constantes de esos dos intervalos pueden ser diferentes.
Comprobación. En cualquier intervalo donde \(x^3-2\ne0\), la derivada del logaritmo del valor absoluto conserva el signo del denominador.
Eliminar el valor absoluto sin declarar \(x>\sqrt[3]{2}\) dejaría fuera una parte del dominio original.
Modelo 23 · Una potencia del logaritmo
Reconocimiento y dominio. El integrando contiene una potencia de \(\ln x\) multiplicada por su derivada, \(1/x\). Trabajamos con \(x>0\), que es el dominio real del logaritmo.
Por qué este método. La parte que parece complicada se vuelve una potencia corriente al llamar \(u\) al logaritmo. Integrar por partes introduciría más trabajo sin aportar nada.
Resultado. La potencia se integra respecto a \(u\), no respecto a \(x\). No debe multiplicarse la respuesta por \(x\), porque \(dx/x\) ya ha pasado a ser \(du\).
Comprobación. La regla de la cadena devuelve el factor \(1/x\).
El mismo reconocimiento sirve para \((\ln x)^n/x\), siempre que la potencia y el dominio tengan sentido.
Modelo 24 · Exponencial compuesta con un factor pendiente
Reconocimiento y dominio. La exponencial lleva \(x^2\) en el exponente y aparece \(x\) delante. El integrando es continuo para todo \(x\) real.
Por qué este método. La derivada del exponente es \(2x\). Falta un factor dos, que se corrige con \(1/2\). El producto no exige partes cuando uno de sus factores es la derivada interior del otro.
Resultado. El factor \(1/2\) compensa exactamente el dos que aparece al derivar el exponente.
Comprobación. Al derivar la primitiva se cancelan los factores constantes.
Escribir solo \(e^{x^2}+C\) produciría el doble del integrando original.
Modelo 25 · Arcotangente con dos escalas
Reconocimiento y dominio. El denominador suma dos cuadrados y nunca se anula. La forma buscada es \(1+u^2\), cuya primitiva es \(\arctan u\).
Por qué este método. Hay que ajustar tanto el denominador como el diferencial. Sacar únicamente el nueve y olvidar que \(u=2x/3\) cambia \(dx\) es el error habitual.
Resultado. El factor exterior es el producto \((1/9)\cdot(3/2)\). La escala interior y ese factor deben comprobarse juntos.
Comprobación.
Modelo 26 · Arcoseno y dominio de la raíz
Reconocimiento y dominio. La raíz está en el denominador, por lo que debe ser estrictamente positiva. De \(25-4x^2>0\) resulta \(-5/2<x<5/2\).
Por qué este método. La diferencia de cuadrados bajo la raíz conduce al arcoseno al preparar \(\sqrt{1-u^2}\). El factor cinco sale de la raíz y el diferencial aporta otro ajuste.
Resultado. No queda un coeficiente exterior porque el dos del numerador, el diferencial y el cinco de la raíz se compensan. Los extremos del intervalo siguen excluidos.
Comprobación. En el dominio indicado, ambas raíces son positivas.
Modelo 27 · Una raíz que se elimina al cambiar de variable
Reconocimiento y dominio. La raíz aparece dos veces y una de ellas divide. Se requiere \(x>0\). Entonces \(1+\sqrt{x}>0\) y no hay otro punto excluido.
Por qué este método. Elegir \(u=\sqrt{x}\) elimina las dos raíces a la vez. Conviene escribir \(x=u^2\) antes de transformar el diferencial.
Resultado. Se puede omitir el valor absoluto porque \(1+\sqrt{x}\) siempre es positivo. La cancelación de \(u\) está justificada por \(u>0\).
Comprobación.
Modelo 28 · Raíz, división y arcotangente
Reconocimiento y dominio. El integrando está definido para \(x\ge0\). Resolvemos y derivamos en el intervalo abierto \(x>0\), y después podemos extender la primitiva de forma continua al extremo cero.
Por qué este método. Con \(u=\sqrt{x}\), el numerador y el diferencial producen \(u^2\). La nueva fracción es impropia y se simplifica antes de integrar.
Resultado. Una sustitución puede conducir a dos primitivas conocidas. Aquí la división separa una constante y una forma de arcotangente.
Comprobación. Para \(x>0\),
La expresión de la primitiva tiene límite finito cuando \(x\to0^+\), aunque los dos sumandos usados en su derivación se hayan escrito solo para \(x>0\).
Modelo 29 · Cambio exponencial y fracciones simples
Reconocimiento y dominio. La variable aparece dentro de una exponencial. El denominador es siempre positivo, por lo que el dominio es toda la recta real.
Por qué este método. Con \(u=e^x\), el diferencial es \(dx=du/u\), no \(du\). Ese factor transforma la integral en una fracción racional de raíces simples.
La descomposición se obtiene sin memorizarla. Si escribimos \(1/[u(1+u)]=A/u+B/(1+u)\), el numerador común debe cumplir \(1=A(1+u)+Bu=A+(A+B)u\). Así, \(A=1\) y \(B=-1\). El cambio exponencial no acaba el problema: lo convierte en una racional que se resuelve con la misma comparación de coeficientes de los modelos siguientes.
Resultado. Los dos logaritmos se escriben sin valor absoluto porque \(u>0\). Además, \(\ln(e^x)=x\) permite regresar directamente a la variable original.
Comprobación.
Este modelo combina dos decisiones ya conocidas, sustitución y descomposición, sin introducir una fórmula nueva.
Doce decisiones · reconoce antes de resolver
Elige el método y explica el indicio. Después comprueba tu decisión. Aquí entrenas reconocimiento, no rapidez de cálculo.
Decisión 1
Comprobar el método
Expande a x²−1 y aplica linealidad.
Decisión 2
Comprobar el método
Logaritmo compuesto; el ajuste de la derivada del denominador es constante.
Decisión 3
Comprobar el método
Arcotangente escalada; el cuadrático es positivo.
Decisión 4
Comprobar el método
Diferencia de cuadrados y logaritmos, con dominio que excluye ±√7.
Decisión 5
Comprobar el método
Compuesta de potencia, con u=x²+7; la raíz no implica arcoseno.
Decisión 6
Comprobar el método
Arcoseno escalado, con |x|<√7.
Decisión 7
Comprobar el método
Cambio u=ln x, para x>0; 1/x aporta la derivada interior.
Decisión 8
Comprobar el método
Partes con u=ln x y dv=x dx; no hay una composición directa.
Decisión 9
Comprobar el método
División de polinomios: es una fracción impropia.
Decisión 10
Comprobar el método
Identidad de ángulo doble, no el cuadrado de una primitiva.
Decisión 11
Comprobar el método
Función impar y continua en intervalo simétrico: integral cero.
Decisión 12
Comprobar el método
No aplicar Barrow atravesando cero. El diagnóstico de ampliación es una impropia divergente.
Partes · elegir para reducir
La derivada \((uv)'=u'v+uv'\) se reorganiza en la fórmula de partes. La técnica cambia una integral por otra; conviene cuando la nueva es más manejable.
Para ver de dónde sale el signo menos, integra la derivada de un producto y separa sus sumandos:
Las igualdades entre primitivas se entienden con sus constantes. En el cálculo se reúne una sola constante al final. Aquí \(du=u'(x)\,dx\) y \(dv=v'(x)\,dx\): son las dos partes del mismo producto original, no factores elegidos al margen de él.
| Forma | Elección útil | Qué mejora |
|---|---|---|
| \(x^n e^{kx}\), \(k\neq0\) | Polinomio en u, exponencial en dv | Baja el grado para enteros \(n\geq0\). |
| Polinomio por seno o coseno | Polinomio en u | La derivación reduce el trabajo. |
| \(\ln x\) o \(x^n\ln x\) | Logaritmo en u | Su derivada se convierte en una fracción. |
| \(\arctan x\) | \(u=\arctan x\), \(dv=dx\) | Aparece una derivada racional. |
| \(e^x\cos x\) | Dos pasos y despeje | La integral reaparece y se cierra un ciclo. |
No uses la tabla a ciegas. Para \(\ln x/x\), el cambio \(u=\ln x\) resuelve directamente; partes añade trabajo innecesario.
Repetir no es lo mismo que cerrar un ciclo
En partes repetidas, un polinomio de grado dos se reduce a grado uno y después a constante. En las cíclicas, llama I a la integral inicial, reúne sus términos cuando reaparece y despeja. Una solución que conserve I sin resolver no está terminada. Los ciclos se señalan como profundización.
Modelo 6. Integración por partes
Dominio y alcance · Todo número real.
Calcula
Fórmula de integración por partes
Elección de \(u\) y \(dv\)
Tomamos
Entonces
Esta elección reduce el trabajo: u=x pasa a du=dx y desaparece el polinomio de la integral restante. Si invirtiéramos las elecciones, \(u=e^x\) y \(dv=x\,dx\), quedaría una integral con \(x^2e^x\), de grado mayor. Las dos elecciones respetan la fórmula, pero la primera simplifica y la segunda complica.
Aplicación de la fórmula
Resultado.
Error típico. En integración por partes, la elección de \(u\) es clave. En productos con polinomio por exponencial, suele convenir tomar como \(u\) el polinomio.
Comprobación por derivación
Modelo 7. Integral por partes con logaritmo
Dominio y alcance · x>0, dominio del logaritmo real.
Calcula
El logaritmo como primer factor
Aunque parezca que no hay producto, podemos escribir
Elección de \(u\) y \(dv\)
Tomamos
Entonces
Aplicación de integración por partes
Resultado.
Esta integral es muy habitual como ejemplo de partes porque no parece un producto, pero realmente se resuelve tratándola como \(1\cdot\ln x\).
El término −x tiene una función concreta. La derivada de \(x\ln x\) es \(\ln x+1\), porque se deriva un producto. Restar x elimina ese uno:
Así puedes reconstruir la corrección si olvidas el resultado, en lugar de memorizar \(x\ln x-x\) como una fórmula aislada.
Comprobación por derivación
Modelo 30 · Por partes con una potencia y un logaritmo
Reconocimiento y dominio. Es un producto de una potencia y un logaritmo, definido para \(x>0\). No aparece la derivada \(1/x\) que permitiría integrar como potencia de \(\ln x\).
Por qué este método. Al derivar \(\ln x\) se obtiene \(1/x\), que simplifica el factor \(x^2\) de la primitiva de \(x\). Esa elección hace más sencilla la integral restante.
Resultado. El segundo término corrige la derivada extra que generaría el producto \((x^2/2)\ln x\). En partes, ese término restante no se puede omitir.
Comprobación.
Modelo 31 · Por partes y frecuencia trigonométrica
Reconocimiento y dominio. El integrando es un producto de una función lineal y una trigonométrica, continuo en toda la recta real.
Por qué este método. Derivar \(x\) elimina el polinomio. Integrar el coseno exige dividir por dos, pues su argumento es \(2x\).
Resultado. El signo positivo del último término procede de dos negativos, el de la fórmula de partes y el de la primitiva del seno.
Comprobación.
Modelo 32 · Por partes con un logaritmo dividido
Reconocimiento y dominio. Es el producto \((\ln x)x^{-2}\), con dominio \(x>0\). El factor que acompaña al logaritmo es \(1/x^2\), no su derivada \(1/x\).
Por qué este método. Derivamos el logaritmo e integramos la potencia negativa. La integral restante vuelve a ser una potencia de \(x\).
Resultado. Conviene reunir los dos términos para comprobarlos con una sola derivada. El signo de la integral restante era positivo, pero su primitiva es negativa.
Comprobación.
Modelo 33 · Por partes con una función inversa trigonométrica
Reconocimiento y dominio. Aunque se vea un solo factor, podemos escribir \(1\cdot\arctan x\). La función está definida para cualquier número real.
Por qué este método. La derivada de la arcotangente es racional. Elegimos \(u=\arctan x\) para que la integral que quede después de partes pueda reconocerse como un logaritmo compuesto.
La derivada de \(1+x^2\) es \(2x\). Por tanto, la integral restante es la mitad de un logaritmo.
Resultado. El logaritmo no necesita valor absoluto porque \(1+x^2>0\). Partes ha convertido una inversa trigonométrica en un patrón racional conocido.
Comprobación.
Modelo 34 · Por partes dos veces con una función trigonométrica
Reconocimiento y dominio. Un polinomio de grado dos multiplica al seno. El integrando es continuo para todo \(x\) real.
Por qué este método. Derivamos el polinomio en cada aplicación de partes. Su grado baja de dos a uno y después a cero, de modo que el proceso termina.
En la integral restante elegimos \(u=x\) y \(dv=\cos x\,dx\). Ahora \(du=dx\) y \(v=\sin x\).
Resultado. La repetición no constituye un método distinto. Es la misma elección que reduce el grado del polinomio hasta agotar el producto.
Comprobación. Agrupamos las cancelaciones para no perder los signos.
Modelo 35 · Por partes cíclica
Profundización. La exigencia de este procedimiento depende de la programación y de los modelos de cada territorio. Es útil para ampliar la técnica de partes sin convertirlo en una obligación general de la PAU.
Reconocimiento y dominio. Exponencial y trigonométrica se mantienen al derivar o integrar. No hay un factor que desaparezca. El integrando es continuo en toda la recta real.
Por qué este método. Dos aplicaciones de partes hacen reaparecer la integral inicial. En ese punto se despeja, en lugar de repetir indefinidamente. Escribimos las relaciones intermedias sin constantes y añadimos una sola al finalizar.
Primero tomamos \(u=e^x\), \(dv=\cos x\,dx\), y llamamos \(J\) a la integral restante.
Para \(J\), elegimos \(u=e^x\) y \(dv=\sin x\,dx\), de modo que \(v=-\cos x\).
Resultado. La aparición de \(I\) en ambos miembros no es un fracaso del método. Permite resolver una ecuación lineal para la primitiva, con la constante final correspondiente.
Comprobación.
Racionales · el denominador organiza el trabajo
Una racional es un cociente \(P/Q\) de polinomios y su dominio excluye los ceros de Q. Si \(\deg P\geq\deg Q\), divide primero. El cociente se integra como polinomio y el resto forma una fracción propia.
- Factoriza en el dominio real.
- Escribe todos los términos; cada potencia de un factor repetido necesita su término.
- Multiplica por el denominador común e iguala coeficientes, o usa valores convenientes.
- Integra y comprueba recomponiendo la fracción o derivando.
Por qué se pueden usar los ceros del denominador para hallar coeficientes
Después de multiplicar por el denominador común, queda una igualdad entre polinomios. Esa identidad puede evaluarse también en las raíces del denominador, porque ya no contiene fracciones. Se usan esos valores para calcular A, B y los demás coeficientes; no se está evaluando allí el integrando, que continúa sin estar definido en esos puntos.
Si un factor es cuadrático irreducible, su numerador necesita dos coeficientes, Bx+C. Un numerador constante impondría una restricción que la fracción original no tiene. En cada término, el grado del numerador debe ser menor que el del factor correspondiente.
| Factor | Descomposición | Primitiva habitual |
|---|---|---|
| \(x-a\) | \(\frac A{x-a}\) | Logaritmo con valor absoluto. |
| \((x-a)^m\) | \(\frac{A_1}{x-a}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}\) | Logaritmo en potencia uno; potencias en las demás. |
| Cuadrático irreducible | Numerador lineal Bx+C | Separa derivada del denominador y resto. |
| Cuadrático repetido | Numerador lineal en cada potencia | Los casos que necesitan reducciones extensas quedan fuera del recorrido básico. |
Un cuadrático puede llevar a métodos diferentes
Si el último término es positivo, la parte con numerador constante conduce a una arcotangente. La parte proporcional a la derivada del denominador produce logaritmo. Si es cero, hay raíz doble. Si es negativo, hay dos raíces reales y aparecen fracciones simples o una diferencia de cuadrados, que lleva a logaritmos. No conviertas cualquier cuadrático en una arcotangente.
Separar el numerador sin adivinar
El primer término acompaña a la derivada del denominador. El resto se trata según el signo del cuadrado completado. Así se explica que una sola integral produzca logaritmo y arcotangente.
Modelo 8. Integral racional con raíces simples
Dominio y alcance · Se excluyen las raíces del denominador, x=1 y x=−1. La constante puede variar entre intervalos.
Calcula
Factorización del denominador
Descomposición en fracciones simples
Buscamos \(A\) y \(B\) tales que
Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\).
Desarrollamos.
Igualamos coeficientes.
Sumamos las ecuaciones.
Entonces
Integración
Resultado.
El interés de este ejercicio está en que reúne factorización, fracciones simples y logaritmos en un mismo desarrollo.
Comprueba primero la descomposición. Los coeficientes obtenidos deben reconstruir el numerador original:
Es además la derivada de \(4\ln|x-1|-\ln|x+1|\). La igualdad vale en los tres intervalos \(( -\infty,-1)\), \((-1,1)\) y \((1,\infty)\); los valores excluidos no se recuperan por escribir logaritmos.
Modelo 9. Integral racional con raíz múltiple
Dominio y alcance · Se excluye x=1. Cada lado admite su propia constante.
Calcula
Planteamiento de las fracciones simples
Como el denominador tiene una raíz doble, escribimos
Multiplicamos por \((x-1)^2\).
Desarrollamos.
Igualamos coeficientes.
Como \(A=2\), queda
Integración de cada término
La primera integral da logaritmo.
La segunda se escribe como potencia.
Resultado.
Error típico. Si aparece \((x-1)^2\), no basta con poner solo \(\frac{A}{x-1}\). Hay que incluir también \(\frac{B}{(x-1)^2}\).
Revisión del signo de la potencia negativa. La derivada de \(-5(x-1)^{-1}\) es \(+5(x-1)^{-2}\). Por tanto,
La forma \(A/(x-1)+B/(x-1)^2\) también explica por qué hay dos términos: al recomponer, el primero produce una parte lineal y el segundo permite ajustar la constante del numerador.
Modelo 10. Integral racional con logaritmo y arcotangente
Dominio y alcance · Ambos denominadores son estrictamente positivos; dominio real completo.
Calcula
Lectura del denominador
El denominador es
Su derivada es
El numerador es \(x+1\), justo la mitad de la derivada del denominador.
Patrón logarítmico
Resultado.
Ahora vemos un caso parecido pero con arcotangente.
Calcula
Cuadrado completo
Entonces
Forma arcotangente
Resultado.
Este bloque es importante porque enseña dos salidas distintas. Si aparece la derivada del denominador, suele salir logaritmo. Si aparece un cuadrado más uno, aparece arcotangente.
Mismo denominador, dos derivadas diferentes. En los dos resultados anteriores,
El numerador decide qué parte se reconoce. Para un numerador lineal que combine esas dos estructuras, se separan sus contribuciones, como se desarrolla en el modelo 43. Tener un cuadrático positivo en el denominador no obliga a que toda la primitiva sea una arcotangente.
Modelo 39 · Fracción impropia antes de integrar
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^3+2x^2+3}{x^2+1}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. Es una función racional definida en \(\mathbb R\), porque \(x^2+1>0\). El numerador tiene mayor grado que el denominador. Antes de buscar una fórmula, dividimos los polinomios.
Modelo y por qué funciona. La división separa una parte polinómica y una fracción propia. Después, la derivada de \(x^2+1\) permite reconocer un logaritmo y el término restante conduce a una arcotangente.
La división da cociente \(x+2\) y resto \(-x+1\). Lo comprobamos multiplicando, \((x+2)(x^2+1)+(-x+1)=x^3+2x^2+3\).
Para construir el cociente, el primer término es \(x^3/x^2=x\). Restar \(x(x^2+1)\) al numerador deja \(2x^2-x+3\). Ahora \(2x^2/x^2=2\); restar \(2(x^2+1)\) deja \(-x+1\). Ese resto tiene grado uno, menor que el grado dos del divisor, y la división termina.
\[\frac{x^3+2x^2+3}{x^2+1}=x+2-\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}.\]Integramos por separado. En el tercer término falta el factor 2 de la derivada del denominador, por eso aparece \(-1/2\).
\[\int\left(x+2-\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac12\ln(x^2+1)+\arctan x+C.\]
Resultado. \(F(x)=x^2/2+2x-\ln(x^2+1)/2+\arctan x+C\), válido en todo \(\mathbb R\). No hacen falta barras de valor absoluto en el logaritmo, porque su argumento es positivo.
Comprobación. \(F'(x)=x+2-x/(x^2+1)+1/(x^2+1)\). Al poner denominador común recuperamos exactamente \((x^3+2x^2+3)/(x^2+1)\).
Transferencia. Una racional impropia no necesita un método nuevo. La división la convierte en una suma de patrones conocidos.
Modelo 40 · Tres factores lineales distintos
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{2x^2+3x+1}{x(x-1)(x+2)}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. La fracción es propia y el denominador ya está factorizado en tres factores lineales distintos. Excluimos \(x=-2,0,1\).
Modelo. Asociamos una fracción simple a cada factor. La identidad se obtiene después de multiplicar por el denominador común.
\[\frac{2x^2+3x+1}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2},\qquad 2x^2+3x+1=A(x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1).\]En la identidad polinómica podemos usar los ceros de los factores, aunque la función original no esté definida allí. Con \(x=0\), \(1=-2A\), de modo que \(A=-1/2\). Con \(x=1\), \(6=3B\), luego \(B=2\). Con \(x=-2\), \(3=6C\), luego \(C=1/2\).
Cada término tiene la forma \(1/(x-a)\), cuya primitiva es \(\ln|x-a|\).
\[\int\left(-\frac{1}{2x}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2(x+2)}\right)dx=-\frac12\ln|x|+2\ln|x-1|+\frac12\ln|x+2|+C.\]
Resultado. \(F(x)=-\ln|x|/2+2\ln|x-1|+\ln|x+2|/2+C\). La constante se elige de forma independiente en cada intervalo del dominio.
Comprobación. Derivar los tres logaritmos devuelve \(-1/(2x)+2/(x-1)+1/[2(x+2)]\). Su numerador común es \(-(x-1)(x+2)/2+2x(x+2)+x(x-1)/2=2x^2+3x+1\).
Modelo 41 · Un factor lineal repetido
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. Tenemos una fracción propia con un factor simple \(x\) y otro doble \((x-1)^2\). El dominio es \(\mathbb R\setminus\{0,1\}\).
Modelo y elección. Un factor repetido de orden 2 exige las dos potencias en la descomposición, aunque algún coeficiente termine siendo cero.
\[\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}.\]Multiplicamos por \(x(x-1)^2\) y comparamos coeficientes.
\[x^2+1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx=(A+B)x^2+(-2A-B+C)x+A.\]El término independiente da \(A=1\). De \(A+B=1\) sale \(B=0\). Finalmente, \(-2A-B+C=0\) da \(C=2\).
El factor doble se integra como una potencia, no como un logaritmo.
\[\int\left(\frac1x+2(x-1)^{-2}\right)dx=\ln|x|-\frac{2}{x-1}+C.\]
Resultado. \(F(x)=\ln|x|-2/(x-1)+C\), en cada intervalo que no atraviese 0 ni 1.
Comprobación. \(F'(x)=1/x+2/(x-1)^2\). Al reunir las fracciones, el numerador es \((x-1)^2+2x=x^2+1\).
Error a evitar. \(\int (x-1)^{-2}dx\) no es \(\ln|x-1|\). La regla del logaritmo corresponde al exponente \(-1\).
Modelo 42 · Factor lineal y cuadrático irreducible
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. \(x^2+1\) no tiene raíces reales. Solo excluimos \(x=1\).
Modelo. Encima del factor lineal ponemos una constante. Encima del factor cuadrático irreducible ponemos un polinomio de grado 1, \(Bx+C\), porque su numerador debe poder representar tanto la parte proporcional a la derivada del denominador como la parte restante.
\[\frac1{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.\]La identidad es \(1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)\). Comparando coeficientes, \(A+B=0\), \(C-B=0\) y \(A-C=1\). Obtenemos \(A=1/2\) y \(B=C=-1/2\).
La resolución del sistema sigue un orden corto: \(A+B=0\) da \(B=-A\), y \(C-B=0\) da \(C=B=-A\). En \(A-C=1\) queda entonces \(2A=1\). No son tres números elegidos por tanteo: la identidad obliga a que sean \(1/2,-1/2,-1/2\).
Separamos el numerador lineal del segundo término. La parte con \(x\) da un logaritmo y la constante da una arcotangente.
\[\int\left(\frac1{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}-\frac1{2(x^2+1)}\right)dx=\frac12\ln|x-1|-\frac14\ln(x^2+1)-\frac12\arctan x+C.\]
Resultado. La expresión anterior es una primitiva en \(( -\infty,1)\) y en \((1,\infty)\), con constantes independientes.
Comprobación. La derivada es \(1/[2(x-1)]-(x+1)/[2(x^2+1)]\). Con denominador común, el numerador queda \([x^2+1-(x+1)(x-1)]/2=1\).
Modelo 43 · Ajustar el numerador y completar el cuadrado
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{3x+2}{x^2+2x+5}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. El denominador es \((x+1)^2+4>0\), así que la función está definida en todo \(\mathbb R\). Su derivada es \(2x+2\), cercana al numerador pero no proporcional a él.
Modelo y por qué. Escribimos el numerador como una parte proporcional a \(2x+2\) y un resto constante. Separamos así un logaritmo y una arcotangente.
- Como \(3x+2=\frac32(2x+2)-1\), \[\int\frac{3x+2}{x^2+2x+5}dx=\frac32\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx-\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}.\]
El primer término es \(\frac32\ln(x^2+2x+5)\). Para el segundo ponemos \(u=(x+1)/2\), luego \(dx=2\,du\).
\[\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}=\frac12\int\frac{du}{1+u^2}=\frac12\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right).\]
Resultado. \(F(x)=\frac32\ln(x^2+2x+5)-\frac12\arctan((x+1)/2)+C\).
Comprobación. La derivada del término con arcotangente es \(-1/(x^2+2x+5)\). Sumada a \(3(x+1)/(x^2+2x+5)\), produce \((3x+2)/(x^2+2x+5)\).
Transferencia. No hace falta factorizar un cuadrático que no tiene raíces reales. Ajustar su derivada y completar el cuadrado revela los dos patrones útiles.
Modelo 44 · Diferencia de cuadrados, resultado logarítmico
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int\frac{dx}{9-x^2}\).
Reconocimiento y dominio. \(9-x^2=(3-x)(3+x)\) tiene dos raíces reales. Excluimos \(x=-3\) y \(x=3\). El signo menos entre cuadrados cambia la familia de integración.
Modelo. Descomponemos en fracciones simples. La arcotangente aparecería en un denominador \(9+x^2\), no en este.
Buscamos \(A/(3-x)+B/(3+x)\). Al multiplicar por \(9-x^2\), \(1=A(3+x)+B(3-x)\). De aquí \(A=B=1/6\).
\[\frac1{9-x^2}=\frac16\left(\frac1{3-x}+\frac1{3+x}\right).\]En \(3-x\) la derivada es \(-1\). Respetar ese signo da
\[\int\frac{dx}{9-x^2}=\frac16\bigl(-\ln|3-x|+\ln|3+x|\bigr)+C=\frac16\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right|+C.\]
Resultado. La primitiva es válida en cada uno de los intervalos \(( -\infty,-3)\), \((-3,3)\) y \((3,\infty)\).
Comprobación. Al derivar obtenemos \(\frac16[1/(3+x)+1/(3-x)]=\frac16[6/(9-x^2)]=1/(9-x^2)\).
Decisión que debes conservar. Una suma de cuadrados positiva conduce a arcotangente. Una diferencia de cuadrados con raíces reales admite fracciones simples y logaritmos.
Trigonometría · transformar para reconocer
Potencia impar y potencia par
En \(\sin^m x\cos^n x\), con exponentes enteros no negativos, una potencia impar permite reservar un seno o coseno para du y transformar el resto. Si ambas potencias son pares, el ángulo doble suele reducirlas. Son criterios, no la promesa de resolver cualquier producto en un paso.
En \(\sin x\cos x\), puedes usar \(u=\sin x\) o \(u=\cos x\). Las primitivas \(\frac12\sin^2x\) y \(-\frac12\cos^2x\) difieren en \(1/2\). Ambas son correctas: la constante absorbe la diferencia.
El argumento cuenta. \(\int\cos(3x)\,dx=\frac13\sin(3x)+C\). El factor compensa la derivada interior. Revisa lo mismo en arcotangentes y arcoseno escalados.
Cuando las dos potencias son pares: reduce antes de integrar
En \(\int\sin^2x\cos^2x\,dx\), no queda un seno o un coseno aislado que aporte directamente el diferencial. Usa primero \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) y después la identidad del cuadrado del seno.
El segundo ángulo doble convierte 2x en 4x; el factor 1/4 al integrar el coseno explica el denominador 32. La derivada del resultado es \((1-\cos4x)/8=\sin^2x\cos^2x\). El patrón es el del modelo 36, aplicado después de una transformación adicional. El dominio es todo número real.
Modelo 11. Integral trigonométrica típica
Dominio y alcance · Todo número real.
Calcula
Cambio de variable
Tomamos
Entonces
Volvemos a \(x\).
Resultado.
También podría resolverse con \(u=\cos x\), obteniendo una expresión equivalente.
Comprobación por derivación
Modelo 36 · Cuadrado del seno e identidad de ángulo doble
Reconocimiento y dominio. Tenemos una potencia par del seno sin un factor coseno que actúe como derivada interior. El integrando está definido en toda la recta real.
Por qué este método. La identidad de ángulo doble convierte el cuadrado en una constante y un coseno. Usar \(u=\sin x\) directamente dejaría un diferencial que no aparece en el integrando.
Resultado. El factor \(1/4\) combina el medio de la identidad con el medio que exige integrar \(\cos(2x)\).
Comprobación.
El cuadrado del seno no se integra elevando la potencia como si \(\sin x\) fuera la variable independiente.
Modelo 37 · Potencia impar que deja preparado el diferencial
Reconocimiento y dominio. La potencia del seno es impar. Podemos reservar un factor \(\sin x\), que será la derivada de \(\cos x\) salvo el signo. El integrando está definido para todo número real.
Por qué este método. Transformamos los dos senos restantes mediante \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Así todos los factores, excepto el diferencial, quedan expresados en coseno.
El signo del cambio afecta a toda la integral. Al desarrollar la expresión en u, se ve cada potencia por separado:
Por eso el término cúbico queda negativo y el término de grado cinco queda positivo. Si se reservara el seno pero se mantuviera \(\sin^2x\) sin transformarlo, quedarían mezcladas las variables x y u; la sustitución todavía estaría incompleta.
Resultado. Reservar un seno hace posible el cambio de variable. La elección depende de la paridad de las potencias, no de memorizar esta integral concreta.
Comprobación.
Modelo 38 · Cuadrado de la tangente y dominio por intervalos
Reconocimiento y dominio. La tangente no está definida cuando \(\cos x=0\). Se excluyen los puntos \(x=\pi/2+k\pi\), con \(k\) entero.
Por qué este método. La identidad \(1+\tan^2x=1/\cos^2x\) transforma el integrando en la derivada de la tangente menos una constante.
Resultado. La fórmula vale en cada intervalo comprendido entre dos puntos excluidos consecutivos. No conecta una primitiva a través de las discontinuidades y la constante puede cambiar entre intervalos.
Comprobación.
La comprobación también muestra por qué \(\tan^3x/3\) no sirve. Su derivada incluiría un factor adicional \(1/\cos^2x\).
Tres formas que completan la base
Arcoseno, división de una racional y partes repetidas conectan con el formulario y las decisiones anteriores. Se mantienen los modelos 18–20 para que puedas compararlos con las nuevas variantes.
Modelo 18. Integral inmediata de tipo arcoseno
Dominio y alcance · −3<x<3; los extremos anulan la raíz del denominador.
Calcula
Reconocimiento de la forma
En la fórmula general siguiente se toma \(a>0\) y \(|x|<a\). La raíz está en el denominador y debe ser estrictamente positiva. Elegir el valor positivo de a permite sacar \(\sqrt{a^2}=a\) de la raíz, sin introducir un signo incorrecto.
El denominador tiene la estructura \(\sqrt{a^2-x^2}\). En este caso, \(a^2=9\) y, por tanto, \(a=3\).
Resultado.
La comprobación por derivación devuelve exactamente \(1/\sqrt{9-x^2}\). Esa revisión rápida también confirma que el factor \(1/3\) queda incorporado en la fórmula.
El ajuste queda dentro de la raíz. En \(-3<x<3\),
El 1/3 de la regla de la cadena se cancela con el 1/3 que sale de la raíz del denominador. En la arcotangente del modelo 3 sí quedaba un coeficiente exterior; ambas escalas se obtienen transformando o derivando, no intercambiando sus fórmulas.
Modelo 19. Fracción racional impropia
Dominio y alcance · Se excluye x=1. Primitivas por intervalos.
Calcula
División antes de integrar
Para obtener el cociente, divide primero \(x^2\) entre x: el primer término es x. Al restar \(x(x-1)=x^2-x\), queda \(x+1\). El siguiente término del cociente es 1; al restar \(x-1\), queda el resto 2. De ahí sale la identidad siguiente, con cociente x+1 y resto 2.
El grado del numerador es mayor que el del denominador. Antes de pensar en fracciones simples, la división de polinomios permite escribir
Integración de los términos
Resultado.
La dificultad está en reconocer que la fracción es impropia. Una vez hecha la división, la integral queda reducida a términos inmediatos.
Recomposición al derivar.
El resto de la división se conserva entero en la parte logarítmica. La comprobación recupera la fracción inicial y mantiene excluido x=1.
Modelo 20. Integración por partes dos veces
Dominio y alcance · Todo número real.
Calcula
Primera aplicación de partes
La elección \(u=x^2\) y \(dv=e^x\,dx\) reduce el grado del polinomio.
Segunda aplicación de partes
Para la integral restante, \(u=x\) y \(dv=e^x\,dx\).
Resultado.
Al derivar \(e^x(x^2-2x+2)\), los términos intermedios se cancelan y queda \(x^2e^x\). Es una comprobación especialmente útil cuando la fórmula de partes se aplica más de una vez.
Comprueba de una vez las dos aplicaciones de partes. Deriva el producto agrupado en lugar de revisar los sumandos por separado:
La suma del polinomio y su derivada cancela los términos que ya no deben quedar. Un signo incorrecto en cualquiera de las dos aplicaciones impediría esa cancelación.
Integral definida · número, signo y propiedades
La integral definida acumula valores con signo. Con f continua en \([a,b]\) y F primitiva, Barrow calcula \(F(b)-F(a)\). La constante se cancela y el resultado es un número.
Estas propiedades se usan cuando las integrales están definidas. Una singularidad no desaparece por invertir límites ni por dividir el intervalo.
Simetría con sus condiciones
Necesitas intervalo simétrico e integrando integrable. \(1/x\) entre −1 y 1 no da cero como integral definida ordinaria: no está definida en cero. Un polinomio impar continuo sí permite usar la propiedad.
Cambiar variable y límites
Con \(u=g(x)\), transforma los extremos a \(g(a)\) y \(g(b)\). Si vuelves primero a x, conserva los extremos originales. Nunca evalúes una primitiva escrita en u con límites que aún representan x.
Valor medio
Para una función continua, queda entre mínimo y máximo. El valor medio de \(x^2\) entre 0 y 3 es \((1/3)\cdot9=3\), entre 0 y 9. Este control ayuda a detectar errores sin repetir la integral.
Una cota permite revisar un resultado antes de repetir el cálculo
Si \(m\leq f(x)\leq M\) para todo \(x\in[a,b]\), con \(a<b\), la comparación de integrales da
Se comparan f con las dos funciones constantes, cuya integral es altura por anchura. El resultado debe quedar entre esas dos acumulaciones. La regla también vale si f toma valores negativos: se compara la integral con signo, sin convertirla automáticamente en un área.
Teorema fundamental · derivar sin hallar la primitiva
Si f es continua, \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) satisface \(F'(x)=f(x)\). t es la variable de integración y x pertenece al límite.
Por qué la derivada recupera el integrando
Al pasar de x a x+h, la función acumulada añade precisamente la integral del pequeño intervalo nuevo. Su cociente incremental es
Si f es continua en x, los valores que se acumulan en ese intervalo se acercan a \(f(x)\) cuando h tiende a cero. El cociente tiende a \(f(x)\) tanto por la derecha como por la izquierda. Esa es la conexión entre la acumulación y la derivada; no depende de haber encontrado una fórmula explícita para F.
Comprueba continuidad de f en los intervalos recorridos y derivabilidad de los límites. El signo menos procede del límite inferior. No necesitas una primitiva elemental conocida de f para aplicar este resultado.
Acumulación no significa siempre crecimiento
Como \(F'=f\), la acumulada crece donde f es positiva y decrece donde f es negativa. Sus extremos se estudian con el cambio de signo de f, no con el signo de F. El modelo 55 desarrolla esta conexión.
Modelo 12. Teorema fundamental del cálculo
Dominio y alcance · La función integrando es continua para todo valor real; se cumplen las hipótesis del teorema fundamental.
Calcula la derivada de la función
Reconocimiento del teorema fundamental
Si
entonces
Aplicación del resultado
En este caso,
Por tanto,
Resultado.
Atención. No hace falta calcular primero la integral completa si solo piden \(F'(x)\). El teorema fundamental permite derivar directamente.
La integral ya elige una función concreta: \(F(1)=0\), porque sus dos límites coinciden. No se añade una constante arbitraria a la función dada. El teorema dice que esta función es una primitiva de \(x^3+2x\); el límite inferior fija cuál de todas las primitivas se ha elegido.
Modelo 13. Teorema fundamental con límite superior compuesto
Dominio y alcance · El integrando es continuo en los intervalos recorridos y el límite superior es derivable.
Calcula la derivada de
La raíz \(\sqrt{1+t^3}\) existe para \(t\geq-1\). En este ejercicio, \(x^2\geq0\), así que cada intervalo de integración \([0,x^2]\) queda dentro de \(t\geq0\), donde el integrando es continuo. Por eso F está definida para todos los x reales, incluidos los negativos.
El límite superior compuesto
Ahora el límite superior es \(x^2\). Por tanto, hay que aplicar la regla de la cadena.
Si
entonces
Identificación de cada parte
Sustitución en la regla de la cadena
Resultado.
El ejercicio combina el teorema fundamental con la regla de la cadena. Es breve, aunque exige identificar con precisión la función exterior y el límite superior.
Control sin integrar. Como el límite superior depende de \(x^2\), \(F(-x)=F(x)\): F es par. Su derivada debe ser impar, y \(2x\sqrt{1+x^6}\) lo es. Además, \(F'(0)=0\). Estos dos controles detectan la omisión del factor 2x de la regla de la cadena.
Áreas · la geometría decide los tramos
Una integral puede ser negativa; el área geométrica no. Entre función y eje X se integra \(|f|\); entre curvas, \(|f-g|\). Para quitar el valor absoluto necesitas el signo en cada tramo.
- Dibuja un esquema y comprueba dominio.
- Halla los cortes que delimitan el recinto. Si el enunciado da límites, conserva esos extremos aunque no sean puntos de corte.
- Determina superior e inferior mediante un punto interior o una justificación de signo.
- Integra superior menos inferior y suma áreas positivas.
- Revisa unidades cuadradas y tamaño.
Un punto de prueba determina el signo de todo un tramo cuando has comprobado que la diferencia es continua y no se anula dentro de él. Si cambiara de signo, tendría que pasar por cero. Por eso primero se buscan los cruces y después se prueba un punto de cada intervalo; comprobar un punto sin haber localizado todos los cruces no basta.
Comparar curvas solo en los extremos no demuestra su orden interior. Pueden cruzarse entre ellos. Resuelve la igualdad y estudia el signo de la diferencia.
En funciones a trozos, añade los puntos donde cambia la definición a los cruces. Un parámetro puede modificar el recinto: estudia sus condiciones antes de escribir una única fórmula.
Un recinto con una tangente: obtén la recta antes del área
Calcula el área encerrada por \(y=x^2\), su tangente en x=1 y la vertical x=0. La tangente es una frontera; primero necesitas su ecuación. Como \(f(1)=1\) y \(f'(1)=2\), se obtiene:
La parábola y la tangente coinciden solo en x=1, porque \(x^2=2x-1\) equivale a \((x-1)^2=0\). La vertical x=0 cierra el recinto por el otro lado. En todo [0,1], la diferencia \(x^2-(2x-1)=(x-1)^2\) es no negativa: la parábola queda arriba.
El área es \(1/3\) de unidad cuadrada. Que la recta sea negativa en parte del intervalo no cambia el planteamiento: las fronteras son las dos curvas, y su separación es siempre no negativa. No buscamos dos puntos de corte distintos cuando el enunciado ya proporciona la tercera frontera.
Modelo 14. Integral definida y área bajo una curva
Dominio y alcance · Integrando continuo en [0,2]. El resultado representa unidades cuadradas.
Calcula
Primitiva
En la línea anterior se ha elegido una primitiva sin constante para aplicar Barrow. Si escribieras \(G(x)=x^3/3+x+C\), al restar los extremos aparecería \(\bigl(8/3+2+C\bigr)-\bigl(0+C\bigr)\) y C se cancelaría. La integral definida no es una familia de funciones: aquí da un único número.
Evaluación en los límites
Resultado.
Como \(x^2+1\) es positiva, esta integral definida coincide con el área bajo la curva entre \(x=0\) y \(x=2\).
Modelo 15. Área entre una recta y una parábola
Dominio y alcance · Ambas curvas son continuas en [−1,2]. El área se expresa en unidades cuadradas.
Calcula el área encerrada entre la recta
y la parábola
Puntos de corte
Igualamos ambas funciones.
Por tanto, los puntos de corte tienen abscisas
Orden de las funciones
Tomamos un punto intermedio, por ejemplo \(x=0\).
Recta.
Parábola.
La recta está por encima de la parábola en el intervalo \([-1,2]\).
La prueba del punto interior funciona porque ya se han hallado los únicos cruces. También puedes justificar el orden directamente con la factorización:
Los dos factores son positivos en el interior, y uno de ellos se anula en cada extremo. La diferencia no cambia de signo dentro del recinto; el orden elegido es válido en todo el intervalo.
Planteamiento del área
Cálculo de la integral
Aplicamos los límites.
Valor en \(x=2\).
Valor en \(x=-1\).
Restamos.
Resultado.
Error típico. En áreas entre funciones no se integra sin más. Primero hay que saber qué función está por encima. Si se cambia el orden, puede salir un área negativa.
Modelo 16. Área entre una función exponencial y una recta
Dominio y alcance · Ambas funciones son continuas en [0,1]. El área se expresa en unidades cuadradas.
Calcula el área encerrada entre las funciones
y
en el intervalo \([0,1]\).
Orden de las funciones
En \(x=0\), ambas funciones valen \(1\).
En \(x=1\), tenemos
Para demostrar el orden en todo el intervalo, define \(h(x)=e^x-1-x\). Se cumple \(h(0)=0\) y \(h^{\prime}(x)=e^x-1>0\) para \(0\lt x\leq1\). Por tanto, \(h(x)>0\) en ese tramo y \(e^x\) queda por encima de \(1+x\). En x=0 coinciden.
Los extremos 0 y 1 proceden del intervalo del enunciado. Las curvas coinciden en 0, pero no en 1: el recinto se cierra a la derecha con la vertical \(x=1\). No hay que buscar otro cruce para sustituir un límite que ya se ha dado.
Planteamiento del área
Integración
Evaluación en los límites
Valor en \(x=1\).
Valor en \(x=0\).
Restamos.
Resultado.
En este caso coinciden exponenciales, integral definida y área entre funciones. La interpretación de cuál está por encima forma parte esencial del planteamiento.
Modelo 17. Área cuando la función cambia de signo
Dominio y alcance · La función es continua en [0,2]. El área geométrica se expresa en unidades cuadradas.
Calcula el área comprendida entre la función
y el eje \(X\) en el intervalo \([0,2]\).
Corte con el eje X
En el intervalo \([0,2]\), el corte importante es
Signo de la función
En \([0,1)\), por ejemplo en \(x=0\),
La función es negativa.
En \((1,2]\), por ejemplo en \(x=2\),
La función es positiva.
Área separada por intervalos
Como el área no puede ser negativa, escribimos
Cálculo de la integral
Una primitiva es
Primer tramo.
Como el área en ese tramo es positiva, tomamos
Segundo tramo.
Suma de las áreas
Resultado.
Error típico PAU/EBAU. Si una función cambia de signo, la integral definida puede compensar áreas positivas y negativas. Para calcular área real, hay que separar los tramos.
Compara las dos preguntas posibles. Sin cambiar signos, la integral definida sería
El área geométrica es \(2/3+4/3=2\). Tomar el valor absoluto del resultado final, \(|2/3|\), tampoco recupera el área: la cancelación ya ha ocurrido. Se aplica el valor absoluto al integrando, o se corrige el signo de cada tramo antes de sumarlos.
Modelo 45 · Cambio de variable con límites nuevos
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx\).
Reconocimiento y dominio. El integrando es continuo en \([0,1]\). El numerador es la derivada de \(1+x^2\).
Modelo. Con \(u=1+x^2\), \(du=2x\,dx\). Una vez cambiada la variable también debemos cambiar los límites, porque ya vamos a integrar respecto de \(u\).
- En \(x=0\), \(u=1\). En \(x=1\), \(u=2\).
- La integral pasa a \[\int_1^2\frac{du}{u}=[\ln u]_1^2=\ln2-\ln1=\ln2.\]
Resultado. \(\ln2\approx0{,}6931\). En una integral definida el resultado es un número y no añadimos \(C\).
Comprobación por otra vía. En la variable original, una primitiva es \(\ln(1+x^2)\), cuya derivada es \(2x/(1+x^2)\). Barrow da \(\ln(1+1^2)-\ln(1+0^2)=\ln2\). Además, en \([0,1]\) el integrando está entre 0 y 1, por lo que el resultado debe estar entre 0 y 1.
Error a evitar. No escribir \([\ln u]_0^1\). Esos eran valores de \(x\), no de \(u\).
Modelo 46 · Simetría de una suma par e impar
Enunciado. Calcula \(\displaystyle\int_{-2}^2(x^3+x^2)\,dx\).
Reconocimiento y dominio. Es un polinomio continuo en \(\mathbb R\), integrado en un intervalo simétrico. \(x^3\) es impar y \(x^2\) es par. La suma completa no es ni par ni impar.
Modelo y razón. Usamos linealidad antes de aplicar simetría. Las aportaciones opuestas de la función impar se cancelan. Las de la función par se suman.
- \[\int_{-2}^2(x^3+x^2)dx=\int_{-2}^2x^3dx+\int_{-2}^2x^2dx=0+2\int_0^2x^2dx.\]
- Integramos la parte par, \[2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=2\cdot\frac83=\frac{16}{3}.\]
Resultado. \(16/3\). Es una integral con signo. No debe identificarse automáticamente con el área total, porque \(x^3+x^2\) es negativa en \((-2,-1)\).
Comprobación con Barrow. Una primitiva es \(x^4/4+x^3/3\). En 2 vale \(4+8/3\) y en \(-2\) vale \(4-8/3\). La diferencia es \(16/3\).
Modelo 47 · Derivar una integral con dos límites variables
Enunciado. Sea \(\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}\ln(1+t^2)\,dt\). Halla \(F'(x)\).
Reconocimiento y dominio. La variable de integración es \(t\). Los dos límites dependen de \(x\). Como \(\ln(1+t^2)\) es continua para todo \(t\), \(F\) está definida y es derivable en \(\mathbb R\), incluso cuando el límite superior es menor que el inferior.
Modelo. El teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena dan \(\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)\). No necesitamos encontrar una primitiva explícita.
- El extremo superior es \(b(x)=x^2\), de modo que su contribución es \(\ln(1+(x^2)^2)\cdot2x=2x\ln(1+x^4)\).
- El extremo inferior es \(a(x)=x\). Su contribución se resta y vale \(\ln(1+x^2)\cdot1\).
Resultado. \(F'(x)=2x\ln(1+x^4)-\ln(1+x^2)\).
Comprobación de la estructura. Definimos \(G(s)=\int_0^s\ln(1+t^2)dt\), para la que \(G'(s)=\ln(1+s^2)\). Entonces \(F(x)=G(x^2)-G(x)\) y su derivada reproduce el resultado. En \(x=1\), \(F(1)=0\), pero \(F'(1)=\ln2\). Que los límites coincidan en un punto no obliga a que la derivada allí sea cero.
Modelo 48 · Área entre curvas con cambio de posición
Enunciado. Calcula el área comprendida entre \(y=x\) y \(y=x^3\) en \([-1,1]\).
Reconocimiento y dominio. Ambas funciones son continuas. Las intersecciones satisfacen \(x=x^3\), es decir, \(x(x^2-1)=0\). Son \(x=-1,0,1\). El cruce en 0 obliga a revisar qué curva está arriba en cada parte.
Modelo y por qué. El área es \(\int|x-x^3|dx\). En \((-1,0)\), \(x^3>x\). En \((0,1)\), \(x>x^3\). Por tanto, partimos la integral en el cambio de signo.
El orden de las curvas también se justifica sin depender del dibujo: \(x-x^3=x(1-x^2)\). Dentro de \((-1,1)\), el factor \(1-x^2\) es positivo, así que la diferencia tiene el signo de x. A la izquierda se integra \(x^3-x\), y a la derecha \(x-x^3\), para que las dos alturas sean no negativas.
- \[A=\int_{-1}^0(x^3-x)dx+\int_0^1(x-x^3)dx.\]
- La primera zona da \([x^4/4-x^2/2]_{-1}^0=1/4\). La segunda da \([x^2/2-x^4/4]_0^1=1/4\).
Resultado. \(A=1/2\) unidades cuadradas.
Comprobación por simetría. Las dos regiones tienen la misma área. Así, \(A=2\int_0^1(x-x^3)dx=2(1/2-1/4)=1/2\). En cambio, \(\int_{-1}^1(x-x^3)dx=0\), porque su integrando es impar. Ese cero expresa cancelación de signos, no ausencia de área.
Modelo 49 · Una función definida por tramos
Enunciado. Para \(f(x)=x\) si \(0\leq x\leq1\) y \(f(x)=2-x\) si \(1<x\leq2\), calcula \(\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx\) e interpreta el resultado.
Reconocimiento y dominio. La función está definida en \([0,2]\). Los dos tramos toman el valor 1 en la unión, de modo que la gráfica es continua y no presenta salto en \(x=1\).
Modelo. Partimos en el punto donde cambia la expresión. Cada fórmula se integra únicamente en su intervalo. Como \(f(x)\geq0\), la integral coincide con el área bajo la gráfica.
- \[\int_0^2f(x)dx=\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)dx.\]
- El primer tramo da \([x^2/2]_0^1=1/2\). El segundo da \([2x-x^2/2]_1^2=2-3/2=1/2\).
Resultado. La integral vale 1. El área es 1 unidad cuadrada.
Comprobación geométrica. Los segmentos forman un triángulo con base 2 y altura 1, cuya área es \(2\cdot1/2=1\). Además, una primitiva continua puede escribirse como \(H(x)=x^2/2\) en \([0,1]\) y \(H(x)=2x-x^2/2-1\) en \((1,2]\). La constante \(-1\) hace coincidir los valores en la unión, y \(H(2)-H(0)=1\).
Volúmenes de revolución · del recinto a los radios
Al girar un recinto, una sección perpendicular al eje es un disco o una arandela en los casos trabajados aquí. Se integra el área de esa sección, no la función que dibuja la curva. Si las coordenadas representan longitudes, el volumen queda en unidades cúbicas.
Los radios son distancias
Respecto de \(y=c\), la distancia desde \(y=f(x)\) es \(|f(x)-c|\). Respecto de \(x=c\), desde \(x=g(y)\) es \(|g(y)-c|\). El exterior es la distancia mayor, no siempre la función situada arriba.
Si un recinto atraviesa el eje, una sección puede barrer un disco con regiones solapadas. No apliques automáticamente una resta de cuadrados: dibuja la sección y determina qué distancias cubre.
Una sección que cruza el eje. Imagina una sección vertical que va desde \(y=-1\) hasta \(y=2\) y gira alrededor de OX. Al girar, el segmento recorre todas las distancias entre 0 y 2: forma un disco de radio 2 y área \(4\pi\), sin hueco interior. Restar \(\pi(2^2-1^2)\) eliminaría una zona que sí está cubierta.
En general, si una sección es un solo segmento vertical y contiene el eje de giro, el radio interior es cero y el exterior es la mayor distancia de sus extremos al eje. Si la sección completa queda a un lado del eje, las distancias menor y mayor determinan una arandela. Estudia por separado los tramos donde cambia esa situación.
Girar alrededor de OY exige releer el recinto
Expresa x en función de y y usa dy. También cambian los extremos: ahora son alturas. Los modelos 50–53 permiten trabajar discos y arandelas en ambos ejes sin introducir el método de cascarones.
Chequeo dimensional. Radio al cuadrado tiene unidades de superficie. Integrar respecto de una longitud produce volumen. En \(\pi\int f(x)\,dx\), f tendría que representar el cuadrado de un radio o el área de sección dividida entre π.
Si cambia el eje de giro, vuelve a medir los radios
Considera la región entre \(y=3+\sqrt x\) y \(y=3\), para \(0\leq x\leq4\). Si gira alrededor de la recta y=3, el borde inferior coincide con el eje. No hay hueco: \(r=0\), y la distancia del borde superior al eje es \(R=(3+\sqrt x)-3=\sqrt x\).
Si esa misma región gira alrededor de OX, los radios son \(R=3+\sqrt x\) y \(r=3\), como en la práctica 45. Se obtiene un sólido con hueco:
Ambos resultados se expresan en unidades cúbicas. El recinto es el mismo; la distancia al eje y la sección que gira son distintas. La fórmula de discos o arandelas se decide después de medir esas distancias.
Modelo 50 · Discos al girar alrededor del eje OX
Enunciado. La región limitada por \(y=\sqrt{x}\), el eje OX y las rectas \(x=0\), \(x=4\) gira alrededor del eje OX. Calcula el volumen.
Reconocimiento y dominio. \(\sqrt{x}\) está definida para \(x\geq0\) y es no negativa en \([0,4]\). Una sección perpendicular al eje de giro es un disco de radio \(r(x)=\sqrt{x}\).
Modelo y justificación. Sumamos áreas de discos, \(\pi r(x)^2\), a lo largo del eje OX. El radio se eleva al cuadrado antes de integrar.
- \[V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^4x\,dx.\]
- Con una primitiva \(x^2/2\), \[V=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.\]
Resultado. \(V=8\pi\) unidades cúbicas.
Comprobación geométrica. Al despejar \(x=y^2\), el sólido es un paraboloide de longitud 4 y radio máximo 2. Su volumen es la mitad del cilindro que lo contiene, \(\frac12\pi\cdot2^2\cdot4=8\pi\). También coincide con \(\int_0^4\pi x\,dx\), pues el área de la sección aumenta linealmente de 0 a \(4\pi\).
Error a evitar. \(\pi\int\sqrt{x}\,dx\) no suma áreas de discos y no es una fórmula de volumen.
Modelo 51 · Arandelas entre dos curvas, giro alrededor de OX
Enunciado. Calcula el volumen generado al girar alrededor del eje OX la región entre \(y=x\) y \(y=x^2\), para \(0\leq x\leq1\).
Reconocimiento y dominio. Las curvas se cortan cuando \(x=x^2\), en 0 y 1. Dentro del intervalo, \(0\leq x^2\leq x\). La región no llega al eje OX salvo en el extremo 0, así que las secciones son arandelas.
Modelo. El radio exterior es \(R(x)=x\) y el interior \(r(x)=x^2\). Restamos las áreas de los discos, no los radios antes de elevarlos al cuadrado.
- \[V=\pi\int_0^1\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)dx=\pi\int_0^1(x^2-x^4)dx.\]
- \[V=\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}.\]
Resultado. \(V=2\pi/15\) unidades cúbicas.
Comprobación por diferencia de sólidos. El giro de la región bajo \(y=x\) produce un cono de radio y altura 1, con volumen \(\pi/3\). El sólido bajo \(y=x^2\) tiene volumen \(\pi\int_0^1x^4dx=\pi/5\). Su diferencia es \(2\pi/15\), positiva y menor que \(\pi/3\).
Error a evitar. \((R-r)^2\) no es \(R^2-r^2\). El grosor de la arandela no es su radio.
Modelo 52 · La misma región, ahora alrededor de OY
Enunciado. Gira alrededor del eje OY la región entre \(y=x\) y \(y=x^2\), para \(0\leq x\leq1\), y calcula el volumen.
Reconocimiento y dominio. El eje de giro es vertical. Para usar arandelas tomamos secciones horizontales y expresamos \(x\) en función de \(y\). En esta región, \(0\leq y\leq1\), \(x=y\) y \(x=\sqrt y\).
Modelo y razón. A una altura fija \(y\), la región va desde \(x=y\) hasta \(x=\sqrt y\). Las distancias al eje OY son los radios. Por tanto, \(R(y)=\sqrt y\) y \(r(y)=y\).
Podemos recuperar ese intervalo horizontal desde la descripción original del recinto, \(x^2\leq y\leq x\) con \(x\geq0\). La desigualdad \(y\leq x\) exige \(x\geq y\), mientras que \(x^2\leq y\) exige \(x\leq\sqrt y\). Por tanto, a cada altura \(0\leq y\leq1\), el segmento que gira es \([y,\sqrt y]\). De ahí salen los dos radios y los límites en y.
- \[V=\pi\int_0^1\left((\sqrt y)^2-y^2\right)dy=\pi\int_0^1(y-y^2)dy.\]
- \[V=\pi\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^1=\pi\left(\frac12-\frac13\right)=\frac\pi6.\]
Resultado. \(V=\pi/6\) unidades cúbicas. Cambiar el eje de giro cambia el sólido y el volumen.
Comprobación por diferencia de sólidos. El disco exterior, de radio \(\sqrt y\), genera un paraboloide de volumen \(\pi/2\). Los discos interiores de radio \(y\) forman un cono de volumen \(\pi/3\). La diferencia \(\pi/2-\pi/3=\pi/6\) confirma el cálculo.
Error a evitar. Usar \(\pi\int(x^2-x^4)dx\) aquí repetiría el giro alrededor de OX del modelo anterior.
Modelo 53 · Radio exterior constante y radio interior variable
Enunciado. La región limitada por \(y=2\), \(y=x\) y \(x=0\) gira alrededor del eje OX. Calcula su volumen.
Reconocimiento y dominio. \(y=2\) y \(y=x\) se cortan en \(x=2\). Para \(x\in[0,2]\), la región queda entre \(y=x\) y \(y=2\). Al girar se obtiene una arandela de radio exterior 2 e interior \(x\).
Modelo. La sección tiene área \(\pi(2^2-x^2)\). Al avanzar de 0 a 2, el hueco aumenta y la arandela disminuye.
- \[V=\pi\int_0^2(4-x^2)dx.\]
- \[V=\pi\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\pi\left(8-\frac83\right)=\frac{16\pi}{3}.\]
Resultado. \(V=16\pi/3\) unidades cúbicas.
Comprobación geométrica. El sólido es un cilindro de radio 2 y longitud 2 al que se le resta un cono con el mismo radio y altura. El volumen es \(\pi\cdot2^2\cdot2-\frac13\pi\cdot2^2\cdot2=8\pi-8\pi/3=16\pi/3\).
Transferencia. El radio siempre es la distancia al eje de giro. Un límite horizontal constante proporciona un radio constante y una integral especialmente sencilla.
Conectar ideas · parámetros, acumulación y límites
El reto de un ejercicio combinado está en ordenar las decisiones. Un parámetro determina el recinto; una función acumulada se estudia por su derivada; una singularidad exige comprobar existencia de la integral.
Los ciclos de partes y el diagnóstico de impropias se señalan como profundización. La guía no pretende sustituir un curso universitario de cambios trigonométricos generales, cascarones, fórmulas de reducción o funciones especiales. No se fuerza una receta cuando no se reconoce una primitiva elemental.
De una tasa a una cantidad: desplazamiento y distancia
Un móvil tiene velocidad \(v(t)=2t-2\) m/s entre t=0 s y t=2 s. La velocidad es negativa antes de t=1 s y positiva después. La integral de v calcula el desplazamiento con signo:
El móvil termina en la posición de partida, pero se ha movido. Para calcular la distancia total necesitas integrar la rapidez \(|v|\) y separar donde cambia el signo.
La misma separación aparece en el área del modelo 17. Multiplicar una velocidad por un intervalo de tiempo produce longitud: \((\mathrm{m/s})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m}\). Si además te dan \(s(0)=s_0\), la posición es \(s(t)=s_0+t^2-2t\); la condición inicial fija la constante que la integral definida no necesita.
Modelo 54 · Área con parámetro y condición geométrica
Enunciado. Para \(a>0\), calcula el área encerrada por \(y=a-x^2\) y el eje OX. Encuentra el valor de \(a\) que hace que el área sea \(32/3\) unidades cuadradas.
Reconocimiento y dominio. La parábola está definida en \(\mathbb R\). Corta el eje OX en \(x=\pm\sqrt a\) y queda por encima de él entre esos puntos. Los límites también dependen del parámetro.
Modelo y orden. Primero expresamos el área en función de \(a\). Después imponemos el dato. La simetría permite integrar solo la mitad derecha y duplicar.
Durante la integración respecto de x, a es una constante. Por eso \(\int a\,dx=ax\). Solo después de aplicar los límites se trata el área como función del parámetro. En el extremo \(x=\sqrt a\), \(ax=a\sqrt a=a^{3/2}\) y \(x^3=(\sqrt a)^3=a^{3/2}\). Las dos apariciones de la misma potencia permiten reducir toda la expresión a un múltiplo de \(a^{3/2}\).
- \[A(a)=2\int_0^{\sqrt a}(a-x^2)dx=2\left[ax-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt a}=2\left(a\sqrt a-\frac{a^{3/2}}3\right)=\frac43a^{3/2}.\]
- La condición da \(\frac43a^{3/2}=\frac{32}{3}\), así que \(a^{3/2}=8\). Como \(a>0\), \(a=8^{2/3}=4\).
Resultado. \(A(a)=4a^{3/2}/3\) unidades cuadradas y el parámetro buscado es \(a=4\).
Comprobación. Con \(a=4\), las intersecciones son \(-2\) y 2, y \(\int_{-2}^2(4-x^2)dx=[4x-x^3/3]_{-2}^2=32/3\). Además, \(A'(a)=2\sqrt a>0\), por lo que el área aumenta estrictamente y la solución positiva es única.
Modelo 55 · Función acumulada, crecimiento y extremos
Enunciado. Sea \(\displaystyle F(x)=\int_0^x(t^2-1)\,dt\). Obtén su expresión y estudia crecimiento, decrecimiento y extremos.
Reconocimiento y dominio. El integrando es continuo en \(\mathbb R\), por lo que \(F\) está definida para todo \(x\). Si \(x<0\), el sentido de integración se invierte. Eso no impide definir la función.
Modelo. El teorema fundamental da directamente \(F'(x)=x^2-1\). El crecimiento de una acumulación depende del signo de lo que se está acumulando, no del signo de \(F(x)\).
Por ejemplo, en \(x=-1/2\) la acumulación ya vale \(F(-1/2)=11/24>0\), pero \(F'(-1/2)=-3/4<0\): su valor es positivo y está disminuyendo. El valor acumulado informa de lo ocurrido desde el origen; la derivada informa de la variación en ese punto. Son dos preguntas diferentes sobre la misma función.
- Por Barrow, \[F(x)=\left[\frac{t^3}{3}-t\right]_0^x=\frac{x^3}{3}-x.\]
Los puntos críticos cumplen \(x^2-1=0\), luego \(x=-1,1\). \(F'(x)>0\) si \(x<-1\) o \(x>1\), y \(F'(x)<0\) si \(-1<x<1\).
En \(-1\) la derivada pasa de positiva a negativa, así que hay un máximo relativo con \(F(-1)=2/3\). En 1 pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo con \(F(1)=-2/3\).
Resultado. Crece en \(( -\infty,-1)\) y \((1,\infty)\), decrece en \((-1,1)\), tiene máximo relativo en \((-1,2/3)\) y mínimo relativo en \((1,-2/3)\). No hay extremos absolutos en \(\mathbb R\).
Comprobación. Derivar la expresión explícita produce \(x^2-1\). La condición inicial se cumple, \(F(0)=0\). Además, \(F''(-1)=-2<0\) y \(F''(1)=2>0\) confirman los tipos de extremo.
Modelo 56 · Diagnóstico de una singularidad antes de aplicar Barrow
Enunciado. Un alumno escribe \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=[-1/x]_{-1}^1=-2\). Explica por qué el cálculo no es válido.
Reconocimiento y dominio. \(1/x^2\) no está definida en \(x=0\), un punto interior del intervalo. Es positiva a ambos lados y crece sin límite al acercarnos a 0. No cumple las hipótesis de continuidad que permiten aplicar Barrow directamente en todo \([-1,1]\).
Modelo diagnóstico. Este apartado es una ampliación para reconocer el límite de la regla, no una integral definida ordinaria. Si se interpreta como integral impropia, hay que separar la singularidad y comprobar cada límite por separado.
- En el lado izquierdo, para \(\varepsilon>0\), \[\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{-1}^{-\varepsilon}=\frac1\varepsilon-1\longrightarrow+\infty.\]
- En el lado derecho, \[\int_{\varepsilon}^1\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{\varepsilon}^1=\frac1\varepsilon-1\longrightarrow+\infty.\]
Resultado. La integral impropia diverge a \(+\infty\). No existe un valor finito y \(-2\) no es un área ni una integral válida de esta función en ese intervalo.
Comprobación. Al retirar solo la franja \((-\varepsilon,\varepsilon)\), la suma de las dos partes es \(2/\varepsilon-2\), siempre positiva para \(0<\varepsilon<1\) y sin cota al reducir \(\varepsilon\). El resultado negativo del alumno ya contradice la positividad del integrando.
Regla que sí pertenece al método general. Antes de usar una primitiva en los extremos, revisa si el integrando tiene singularidades dentro del intervalo. La fórmula de Barrow no autoriza a atravesarlas.
Aplicación contextual · longitud con fórmula suministrada
Esta aplicación es de elaboración propia. Algunas preguntas proporcionan una fórmula para aplicar técnicas conocidas; su exigencia se contrasta con el modelo de tu convocatoria.
Se da \(L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\). Calcula la longitud de \(f(x)=x/2\) entre 0 y 2.
El segmento une (0,0) y (2,1). Pitágoras da \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\) unidades de longitud. Fórmula y geometría coinciden.
48 ejercicios para reconocer, elegir y comprobar
Intenta cada ejercicio antes de abrir su solución. Las primeras prácticas separan los patrones; después tendrás que combinar decisiones. Los dos mini-simulacros finales son de elaboración propia y reúnen cálculo de primitivas y aplicaciones geométricas.
En las integrales indefinidas, la constante C puede ser distinta en cada intervalo conexo del dominio. En las áreas y los volúmenes, las coordenadas se expresan en una misma unidad de longitud.
Nivel 1 · Simplificación y patrones inmediatos
Antes de elegir una fórmula, simplifica y revisa qué valores admite el integrando.
Práctica 01 · Simplificar antes de integrar
Calcula \(\displaystyle\int\bigl[(x+3)^2-x(x+6)\bigr]\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Expande los dos productos. La apariencia cuadrática oculta una constante.
Pasos decisivos. \[(x+3)^2-x(x+6)=x^2+6x+9-x^2-6x=9.\] Por tanto, \(\int9\,dx=9x+C\).
Resultado. \(9x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. \((9x+C)^{\prime}=9\), que coincide con el integrando simplificado.
Práctica 02 · Dividir cada término por la misma potencia
Calcula \(\displaystyle\int\frac{4x^3-6x^2+2x}{x}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. La división término a término convierte la fracción en un polinomio.
Pasos decisivos. \[\frac{4x^3-6x^2+2x}{x}=4x^2-6x+2\quad(x\ne0).\] Integra cada sumando con la regla de la potencia.
Resultado. \(\frac43x^3-3x^2+2x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne0\). La fórmula se usa por separado en \((-\infty,0)\) y \((0,\infty)\).
Comprobación. La derivada es \(4x^2-6x+2\). Simplificar no incorpora el punto \(x=0\) al dominio original.
Práctica 03 · Raíces y exponentes negativos
Calcula \(\displaystyle\int\left(\frac5{\sqrt x}-\frac2{x^2}+3\sqrt x\right)\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Escribe cada término como una potencia de x.
Pasos decisivos. \[5x^{-1/2}-2x^{-2}+3x^{1/2}.\] Los exponentes de las primitivas son \(1/2,-1,3/2\). Divide cada coeficiente por el nuevo exponente.
Resultado. \(10\sqrt x+\frac2x+2x^{3/2}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x>0\), por la raíz en el denominador.
Comprobación. \(\left(10\sqrt x+2/x+2x^{3/2}\right)^{\prime}=5/\sqrt x-2/x^2+3\sqrt x\).
Práctica 04 · Dos bases exponenciales
Calcula \(\displaystyle\int\left(e^{3x}+4\cdot2^x\right)\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Distingue la derivada del exponente 3x y la fórmula de la exponencial de base 2.
Pasos decisivos. \[\int e^{3x}dx=\frac13e^{3x},\qquad\int2^x dx=\frac{2^x}{\ln2}.\]
Resultado. \(\frac13e^{3x}+\frac{4\cdot2^x}{\ln2}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. Al derivar, el 3 cancela el factor \(1/3\), y \(\ln2\) cancela el denominador de la segunda primitiva.
Práctica 05 · Logaritmo con ajuste de coeficiente
Calcula \(\displaystyle\int\frac3{2x-5}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El denominador es lineal y su derivada vale 2. Compensa ese factor.
Pasos decisivos. \[\frac3{2x-5}=\frac32\frac2{2x-5}.\] Aplica \(\int u^{\prime}/u\,dx=\ln|u|+C\).
Resultado. \(\frac32\ln|2x-5|+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne5/2\). Cada intervalo separado por \(5/2\) tiene su constante.
Comprobación. \(\left(\frac32\ln|2x-5|\right)^{\prime}=\frac32\frac2{2x-5}=\frac3{2x-5}\).
Práctica 06 · Normalizar una arcotangente
Calcula \(\displaystyle\int\frac6{9+4x^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Reconoce \(1+u^2\) después de extraer el factor 9.
Pasos decisivos. Con \(u=2x/3\), \(dx=3\,du/2\). Así, \[\int\frac6{9+4x^2}dx=\int\frac{1}{1+u^2}\,du.\]
Resultado. \(\arctan(2x/3)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\), pues \(9+4x^2>0\).
Comprobación. \(\bigl(\arctan(2x/3)\bigr)^{\prime}=\frac{2/3}{1+4x^2/9}=\frac6{9+4x^2}\).
Práctica 07 · Arcoseno y raíz de un cuadrado
Calcula \(\displaystyle\int\frac2{\sqrt{16-4x^2}}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Extrae la raíz del factor 4 antes de usar la fórmula del arcoseno.
Pasos decisivos. \[\frac2{\sqrt{16-4x^2}}=\frac1{\sqrt{4-x^2}}.\] La forma es \(1/\sqrt{a^2-x^2}\), con \(a=2\).
Para ver el ajuste del arcoseno, pon \(u=x/2\). Entonces \(dx=2\,du\) y, en el dominio indicado, \(\sqrt{4-x^2}=2\sqrt{1-u^2}\). Los factores dos se cancelan:
La raíz del factor cuatro es dos, no cuatro. Este es el paso que permite reconocer la fórmula normalizada.
Resultado. \(\arcsin(x/2)+C\)
Dominio e hipótesis. \(-2\lt x\lt 2\). Los extremos anulan el denominador.
Comprobación. \(\bigl(\arcsin(x/2)\bigr)^{\prime}=\frac{1/2}{\sqrt{1-x^2/4}}=1/\sqrt{4-x^2}\) en este intervalo.
Práctica 08 · Frecuencias trigonométricas distintas
Calcula \(\displaystyle\int\bigl(\sin(2x)+3\cos(4x)\bigr)\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Integra cada término y divide por la derivada de su argumento.
Pasos decisivos. \[\int\sin(2x)dx=-\frac12\cos(2x),\qquad\int3\cos(4x)dx=\frac34\sin(4x).\]
Resultado. \(-\frac12\cos(2x)+\frac34\sin(4x)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. La regla de la cadena devuelve \(\sin(2x)+3\cos(4x)\), incluidos los signos.
Nivel 2 · Función interior y cambio de variable
Busca la derivada de lo que hay dentro. Ajustar un coeficiente suele evitar un método más largo.
Práctica 09 · Exponencial de un polinomio
Calcula \(\displaystyle\int x e^{2x^2+1}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. La derivada del exponente contiene el factor x que aparece fuera.
Pasos decisivos. \(u=2x^2+1\), \(du=4x\,dx\). Entonces \[\int x e^{2x^2+1}dx=\frac14\int e^u du.\]
Resultado. \(\frac14e^{2x^2+1}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. \(\left(e^{2x^2+1}/4\right)^{\prime}=e^{2x^2+1}\cdot4x/4=xe^{2x^2+1}\).
Práctica 10 · Un cociente que es logaritmo
Calcula \(\displaystyle\int\frac{3x^2-2}{x^3-2x+4}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Compara el numerador con la derivada del denominador antes de factorizar.
Pasos decisivos. \(u=x^3-2x+4\), \(du=(3x^2-2)dx\). Así, \[\int\frac{3x^2-2}{x^3-2x+4}dx=\int\frac1u du.\]
Resultado. \(\ln|x^3-2x+4|+C\)
Dominio e hipótesis. \(x^3-2x+4\ne0\). La constante puede variar entre los intervalos del dominio.
Comprobación. La derivada del logaritmo es exactamente el numerador dividido por el denominador original.
Práctica 11 · Potencia de coseno con su derivada
Calcula \(\displaystyle\int\sin x\cos^3x\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Elige el coseno como función interior. Su derivada introduce un signo negativo.
Pasos decisivos. \(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\). Por tanto, \[\int\sin x\cos^3x\,dx=-\int u^3du=-u^4/4+C.\]
Resultado. \(-\frac14\cos^4x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. \(\left(-\cos^4x/4\right)^{\prime}=-(4\cos^3x)(-\sin x)/4=\sin x\cos^3x\).
Práctica 12 · Raíz en el denominador
Calcula \(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El numerador acompaña a la derivada de lo que hay dentro de la raíz.
Pasos decisivos. \(u=x^2+5\), \(du=2x\,dx\). Entonces \[\int\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}dx=\frac12\int u^{-1/2}du=\sqrt u+C.\]
Resultado. \(\sqrt{x^2+5}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\), porque \(x^2+5>0\).
Comprobación. \(\bigl(\sqrt{x^2+5}\bigr)^{\prime}=2x/(2\sqrt{x^2+5})\).
Práctica 13 · Un logaritmo tratado como variable
Calcula \(\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. La derivada de ln x es el otro factor del integrando.
Pasos decisivos. \(u=\ln x\), \(du=dx/x\). La integral se reduce a \(\int u\,du=u^2/2+C\).
Resultado. \(\frac12(\ln x)^2+C\)
Dominio e hipótesis. \(x>0\).
Comprobación. \(\bigl((\ln x)^2/2\bigr)^{\prime}=\ln x\cdot1/x\).
Práctica 14 · Arcotangente de una función compuesta
Calcula \(\displaystyle\int\frac{2x}{1+x^4}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El denominador es \(1+(x^2)^2\). La derivada de x² ya está en el numerador.
Pasos decisivos. \(u=x^2\), \(du=2x\,dx\). Por tanto, \[\int\frac{2x}{1+x^4}dx=\int\frac1{1+u^2}du.\]
Resultado. \(\arctan(x^2)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. \(\bigl(\arctan(x^2)\bigr)^{\prime}=2x/(1+x^4)\).
Práctica 15 · Raíz con una derivada de signo contrario
Calcula \(\displaystyle\int3x^2\sqrt{7-x^3}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Elige como variable la expresión situada bajo la raíz y conserva el signo de su derivada.
Pasos decisivos. \(u=7-x^3\), \(du=-3x^2dx\). Así, \[\int3x^2\sqrt{7-x^3}dx=-\int u^{1/2}du=-\frac23u^{3/2}+C.\]
Resultado. \(-\frac23(7-x^3)^{3/2}+C\)
Dominio e hipótesis. El integrando es real para \(x\le\sqrt[3]7\). La primitiva se deriva en \(x\lt \sqrt[3]7\) y tiene extensión continua al extremo.
Comprobación. \(\left[-\frac23(7-x^3)^{3/2}\right]^{\prime}=-\frac23\frac32\sqrt{7-x^3}(-3x^2)=3x^2\sqrt{7-x^3}\).
Práctica 16 · Exponencial y denominador al cuadrado
Calcula \(\displaystyle\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Elige el denominador sin elevar al cuadrado como variable.
Pasos decisivos. \(u=1+e^x\), \(du=e^xdx\). Entonces \[\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx=\int u^{-2}du=-u^{-1}+C.\]
Resultado. \(-\frac1{1+e^x}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\), porque \(1+e^x>0\).
Comprobación. La derivada de \(-(1+e^x)^{-1}\) es \((1+e^x)^{-2}e^x\).
Nivel 3 · Integración por partes
Elige el factor que mejora al derivarlo. Las tres últimas prácticas profundizan en partes reiteradas o cíclicas.
Práctica 17 · Partes con exponencial compuesta
Calcula \(\displaystyle\int xe^{2x}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El polinomio se simplifica al derivarlo. Elige \(u=x\) y \(dv=e^{2x}dx\).
Pasos decisivos. \(du=dx\), \(v=e^{2x}/2\). Por partes, \[I=\frac x2e^{2x}-\frac12\int e^{2x}dx=\frac x2e^{2x}-\frac14e^{2x}+C.\]
El producto no contiene la derivada de x en un lugar que elimine la exponencial. Si se eligiera \(u=e^{2x}\), habría que escribir \(x=(\ln u)/2\) y aparecería un logaritmo. En partes, en cambio, derivar \(u=x\) lo convierte en 1 y la integral restante es una exponencial inmediata. Ese descenso de dificultad justifica la elección.
Resultado. \(e^{2x}\left(\frac x2-\frac14\right)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. El producto da \(e^{2x}(x-1/2)+e^{2x}/2=xe^{2x}\).
Práctica 18 · Partes con una frecuencia trigonométrica
Calcula \(\displaystyle\int x\cos(3x)\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Elige \(u=x\), \(dv=\cos(3x)dx\).
Pasos decisivos. \(du=dx\), \(v=\sin(3x)/3\). Entonces \[I=\frac{x\sin(3x)}3-\frac13\int\sin(3x)dx=\frac{x\sin(3x)}3+\frac{\cos(3x)}9+C.\]
Resultado. \(\frac{x\sin(3x)}3+\frac{\cos(3x)}9+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. Al derivar aparecen \(\sin(3x)/3+x\cos(3x)-\sin(3x)/3\); los términos ajenos se cancelan.
Práctica 19 · Partes con polinomio y logaritmo
Calcula \(\displaystyle\int x\ln(2x)\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Conviene derivar el logaritmo e integrar el polinomio.
Pasos decisivos. \(u=\ln(2x)\), \(du=dx/x\), \(dv=x\,dx\), \(v=x^2/2\). Así, \[I=\frac{x^2}2\ln(2x)-\frac12\int x\,dx.\]
La regla de la cadena da \((\ln(2x))'=2/(2x)=1/x\). El factor dos se cancela dentro de esa derivada; no queda \(2/x\). En la integral restante, \((x^2/2)(1/x)=x/2\), de modo que \(-\int v\,du=-\frac12\int x\,dx=-x^2/4\). Así se llega al segundo término de la respuesta.
Resultado. \(\frac{x^2}2\ln(2x)-\frac{x^2}4+C\)
Dominio e hipótesis. \(x>0\).
Comprobación. La derivada vale \(x\ln(2x)+x/2-x/2=x\ln(2x)\).
Práctica 20 · Partes con potencia negativa
Calcula \(\displaystyle\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Elige \(u=\ln x\) y \(dv=x^{-2}dx\). Integra la potencia con cuidado.
Pasos decisivos. \(du=dx/x\), \(v=-1/x\). Entonces \[I=-\frac{\ln x}{x}+\int\frac1{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+C.\]
Resultado. \(-\frac{\ln x+1}{x}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x>0\).
Comprobación. \(\left[-(\ln x+1)/x\right]^{\prime}=-1/x^2+(\ln x+1)/x^2=\ln x/x^2\).
Práctica 21 · Partes cuando solo aparece una función
Calcula \(\displaystyle\int\arctan x\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Escribe la función como \(1\cdot\arctan x\). Su derivada produce una racional sencilla.
Pasos decisivos. \(u=\arctan x\), \(dv=dx\), \(v=x\). Entonces \[I=x\arctan x-\int\frac x{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C.\]
Para la integral que queda, escribe \(w=1+x^2\), \(dw=2x\,dx\). Así, \(x\,dx=dw/2\) y
Se mantiene el signo menos de la fórmula de partes. La arcotangente inicial no se integra con la fórmula de su derivada: primero se transforma mediante partes y después se reconoce este logaritmo.
Resultado. \(x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. La derivada es \(\arctan x+x/(1+x^2)-x/(1+x^2)=\arctan x\).
Práctica 22 · Dos aplicaciones consecutivas de partes
Profundización 1
Calcula \(\displaystyle\int x^2\sin x\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Deriva el polinomio en dos aplicaciones sucesivas.
Pasos decisivos. Primero, \(u=x^2\), \(dv=\sin x\,dx\), de donde \[I=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx.\] En la integral restante, \(\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x\).
La segunda aplicación también debe dejar escrita su elección: \(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\), \(du=dx\), \(v=\sin x\). Entonces
Esta expresión completa sustituye a la integral restante y se multiplica por dos: \(I=-x^2\cos x+2(x\sin x+\cos x)\). La segunda ronda termina porque ya no queda un polinomio multiplicando al seno.
Resultado. \(-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. Al derivar, los términos \(-2x\cos x\) y \(2x\cos x\), y también \(2\sin x\) y \(-2\sin x\), se cancelan. Queda \(x^2\sin x\).
Práctica 23 · Partes reiteradas hasta agotar el polinomio
Profundización 1
Calcula \(\displaystyle\int x^3e^{-x}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Tres derivaciones reducen el grado del polinomio. En cada integración de \(e^{-x}\) aparece un signo negativo.
Pasos decisivos. Si \(I_n=\int x^ne^{-x}dx\), partes da \(I_n=-x^ne^{-x}+nI_{n-1}\). Aplica esta relación con \(n=3,2,1\), partiendo de \(I_0=-e^{-x}\).
La relación se obtiene con \(u=x^n\) y \(dv=e^{-x}dx\): \(du=nx^{n-1}dx\), \(v=-e^{-x}\). El menos de partes y el menos de v dejan \(+nI_{n-1}\). La cadena completa, omitiendo las constantes intermedias que se reúnen al final, es
Los coeficientes 3, 6 y 6 proceden de sustituir la etapa anterior; no son una nueva fórmula que haya que memorizar.
Resultado. \(-e^{-x}(x^3+3x^2+6x+6)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. Con \(P=x^3+3x^2+6x+6\), la derivada de \(-e^{-x}P\) es \(e^{-x}(P-P^{\prime})=x^3e^{-x}\).
Práctica 24 · Partes cíclicas y despeje de la integral
Profundización 1
Calcula \(\displaystyle\int e^{2x}\sin x\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Dos aplicaciones de partes devuelven la integral inicial. Llama I a esa integral para poder despejarla.
Pasos decisivos. Sea \(J=\int e^{2x}\cos x\,dx\). Por partes, \[I=\frac12e^{2x}\sin x-\frac12J,\qquad J=\frac12e^{2x}\cos x+\frac12I.\] Sustituye J en la primera igualdad. Resulta \(5I/4=e^{2x}\sin x/2-e^{2x}\cos x/4\), salvo una constante que se incorpora al final.
Al sustituir J, conserva el paréntesis completo antes de distribuir \(-1/2\):
El término \(-I/4\) pasa al primer miembro como \(+I/4\). Dividir por \(5/4\) equivale a multiplicar por \(4/5\). La aparición de I permite cerrar el ciclo; repetir partes una tercera vez solo repetiría lo ya obtenido.
Resultado. \(\frac{e^{2x}}5(2\sin x-\cos x)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. La derivada es \(e^{2x}[2(2\sin x-\cos x)+2\cos x+\sin x]/5=e^{2x}\sin x\).
Nivel 4 · Racionales y descomposición
Compara grados, divide si hace falta y clasifica los factores del denominador.
Práctica 25 · Racional impropia con resto cuadrático
Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^3+2x^2+1}{x^2+1}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El grado del numerador es mayor. Divide antes de buscar un logaritmo o una arcotangente.
Pasos decisivos. \[x^3+2x^2+1=(x+2)(x^2+1)-x-1.\] Así, el integrando es \(x+2-x/(x^2+1)-1/(x^2+1)\).
La división puede construirse en dos restas: quitar \(x(x^2+1)\) al numerador deja \(2x^2-x+1\); quitar después \(2(x^2+1)\) deja \(-x-1\). Como ese resto tiene grado menor que el divisor, el cociente es \(x+2\). Al integrar \(-x/(x^2+1)\), se escribe \(-\frac12(2x)/(x^2+1)\): el factor \(-1/2\) procede del numerador, mientras que \(-1/(x^2+1)\) aporta \(-\arctan x\).
Resultado. \(\frac{x^2}2+2x-\frac12\ln(x^2+1)-\arctan x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\).
Comprobación. La derivada es \(x+2-x/(x^2+1)-1/(x^2+1)\), cuyo denominador común reconstruye el numerador original.
Práctica 26 · Dos factores lineales simples
Calcula \(\displaystyle\int\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Usa un coeficiente constante para cada factor lineal del denominador.
Pasos decisivos. \[\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}=\frac A{x-2}+\frac B{x+1}.\] Igualar numeradores da \(A+B=5\), \(A-2B=-1\). Por tanto, \(A=3\), \(B=2\).
También se pueden hallar los coeficientes usando la identidad polinómica \(5x-1=A(x+1)+B(x-2)\). Con \(x=2\) queda \(9=3A\), y con \(x=-1\) queda \(-6=-3B\). Se evalúa esta identidad después de eliminar denominadores, no la fracción original en sus puntos excluidos. Los coeficientes quedan así fijados y cada factor lineal produce su logaritmo.
Resultado. \(3\ln|x-2|+2\ln|x+1|+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne-1,2\), con una constante en cada intervalo del dominio.
Comprobación. La derivada es \(3/(x-2)+2/(x+1)=(5x-1)/[(x-2)(x+1)]\).
Práctica 27 · Un factor lineal repetido
Calcula \(\displaystyle\int\frac{x+2}{(x-1)^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Escribe el numerador en función de x−1. Eso evita un sistema innecesario.
Pasos decisivos. \[x+2=(x-1)+3,\qquad\frac{x+2}{(x-1)^2}=\frac1{x-1}+\frac3{(x-1)^2}.\] El primer término da un logaritmo y el segundo, una potencia de exponente −2.
Resultado. \(\ln|x-1|-\frac3{x-1}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne1\).
Comprobación. La derivada es \(1/(x-1)+3/(x-1)^2=(x+2)/(x-1)^2\).
Práctica 28 · Factor simple y factor doble
Calcula \(\displaystyle\int\frac1{x(x+1)^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Incluye todas las potencias del factor repetido en la descomposición.
Pasos decisivos. Plantea \(A/x+B/(x+1)+D/(x+1)^2\). La identidad \(1=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Dx\) da \(A=1\), \(B=-1\), \(D=-1\). Por tanto, \[\frac1{x(x+1)^2}=\frac1x-\frac1{x+1}-\frac1{(x+1)^2}.\]
Desarrolla la identidad antes de comparar:
El término constante da \(A=1\). El coeficiente de \(x^2\), que es cero en el primer miembro, exige \(A+B=0\), por lo que \(B=-1\). Finalmente, \(2A+B+D=0\) da \(D=-1\). Al integrar el último término, \(-\int(x+1)^{-2}dx=1/(x+1)\): sus dos signos negativos se compensan.
Resultado. \(\ln|x|-\ln|x+1|+\frac1{x+1}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne-1,0\).
Comprobación. La derivada vuelve a \(1/x-1/(x+1)-1/(x+1)^2\); al sumar las fracciones el numerador es 1.
Práctica 29 · Logaritmo más arcotangente desplazada
Calcula \(\displaystyle\int\frac{4x+7}{x^2+4x+8}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Separa un múltiplo de la derivada del denominador y completa el cuadrado para el resto.
Pasos decisivos. \[4x+7=2(2x+4)-1,\qquad x^2+4x+8=(x+2)^2+4.\] La integral es \(2\ln(x^2+4x+8)-\int1/[(x+2)^2+4]dx\).
Para el resto, usa \(u=(x+2)/2\). Entonces \(x+2=2u\), \(dx=2du\) y \((x+2)^2+4=4(1+u^2)\). Por eso
El signo menos ya estaba en el resto del numerador y permanece delante de esta primitiva. El dos que aparece fuera del logaritmo y el medio que aparece fuera de la arcotangente tienen orígenes distintos.
Resultado. \(2\ln(x^2+4x+8)-\frac12\arctan\left(\frac{x+2}2\right)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\), pues el denominador es siempre positivo.
Comprobación. La derivada del primer término es \((4x+8)/(x^2+4x+8)\); la del segundo es \(-1/(x^2+4x+8)\).
Práctica 30 · Un factor lineal y un cuadrático irreducible
Calcula \(\displaystyle\int\frac1{(x-1)(x^2+1)}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El factor cuadrático necesita un numerador lineal. No uses una sola constante sobre x²+1.
Pasos decisivos. \[\frac1{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1/2}{x-1}+\frac{-x/2-1/2}{x^2+1}.\] Se obtiene al igualar \(1=A(x^2+1)+(Bx+D)(x-1)\), con \(A=1/2\), \(B=D=-1/2\). Integra los tres patrones resultantes.
Al expandir el numerador común se obtiene
De \(A+B=0\) sale \(B=-A\); de \(D-B=0\), \(D=B=-A\); y de \(A-D=1\), \(A=1/2\). Se integran por separado \(1/[2(x-1)]\), \(-x/[2(x^2+1)]\) y \(-1/[2(x^2+1)]\). El término con x necesita ajustar \(2x\), de donde sale \(-1/4\) delante del logaritmo; el término constante da \(-1/2\) delante de la arcotangente.
Resultado. \(\frac12\ln|x-1|-\frac14\ln(x^2+1)-\frac12\arctan x+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne1\).
Comprobación. La derivada da la descomposición anterior. Su numerador común es \(\frac12(x^2+1)-\frac12(x+1)(x-1)=1\).
Práctica 31 · Impropia con denominador repetido
Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^2+3}{(x-2)^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Expresa el numerador en potencias de x−2 para separar la parte polinómica.
Pasos decisivos. \[x^2+3=(x-2)^2+4(x-2)+7.\] El integrando se convierte en \(1+4/(x-2)+7/(x-2)^2\).
Resultado. \(x+4\ln|x-2|-\frac7{x-2}+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\ne2\).
Comprobación. La derivada es \(1+4/(x-2)+7/(x-2)^2\), y el numerador común recupera x²+3.
Práctica 32 · División y cuadrado completo en la misma integral
Calcula \(\displaystyle\int\frac{2x^2+3x+4}{x^2+x+1}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Divide primero. Después separa la derivada del denominador y el resto constante.
Pasos decisivos. \[\frac{2x^2+3x+4}{x^2+x+1}=2+\frac{x+2}{x^2+x+1},\qquad x+2=\frac12(2x+1)+\frac32.\] Como \(x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4\), \(\int1/(x^2+x+1)dx=2\arctan((2x+1)/\sqrt3)/\sqrt3\).
El resto después de dividir es \(x+2\); escribirlo como \((2x+1)/2+3/2\) separa el patrón logarítmico. Para el otro término, pon \(u=(2x+1)/\sqrt3\). Así, \(dx=\sqrt3\,du/2\) y
Como este resto estaba multiplicado por \(3/2\), su coeficiente final es \((3/2)(2/\sqrt3)=\sqrt3\). La división, el ajuste del numerador y la normalización son tres decisiones conocidas, aplicadas en ese orden.
Resultado. \(2x+\frac12\ln(x^2+x+1)+\sqrt3\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\). El cuadrático tiene mínimo 3/4.
Comprobación. La derivada es \(2+(2x+1)/[2(x^2+x+1)]+3/[2(x^2+x+1)]\), que recombina el integrando original.
Nivel 5 · Definidas, teorema fundamental y áreas
Decide si se pide una integral con signo, una derivada o un área geométrica.
Práctica 33 · Definida con sustitución de los límites
Calcula \(\displaystyle\int_0^{\ln2}\frac{e^x}{1+e^x}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El cambio u=1+eˣ simplifica la integral. Cambia también los dos límites.
Pasos decisivos. \(du=e^xdx\). Para \(x=0\), \(u=2\); para \(x=\ln2\), \(u=3\). Por tanto, \[\int_0^{\ln2}\frac{e^x}{1+e^x}dx=\int_2^3\frac1u du=\ln3-\ln2.\]
Resultado. \(\ln(3/2)\)
Dominio e hipótesis. El integrando es continuo en \([0,\ln2]\).
Comprobación. El resultado es positivo. Además, \(1/2\le e^x/(1+e^x)\le2/3\), de modo que debe estar entre \((\ln2)/2\) y \(2\ln2/3\), como ocurre.
Práctica 34 · Simetría antes de calcular
Calcula \(\displaystyle\int_{-2}^2\frac{x^3}{1+x^2}\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. Comprueba si el integrando es par o impar y si el intervalo es simétrico.
Pasos decisivos. \(f(-x)=-f(x)\), porque el numerador cambia de signo y el denominador no. Las contribuciones de \([-2,0]\) y \([0,2]\) son opuestas.
Resultado. \(0\)
Dominio e hipótesis. El denominador es positivo y la función es continua en \([-2,2]\).
Comprobación. Una primitiva es \(x^2/2-\ln(1+x^2)/2\). Al evaluarla en −2 y 2 se obtiene el mismo valor. Integral cero no significa área geométrica cero.
Práctica 35 · Teorema fundamental con los dos límites variables
Sea \(F(x)=\displaystyle\int_x^{x^2+1}\sqrt{1+t^2}\,dt\). Calcula \(F^{\prime}(x)\) sin resolver la integral.
Ver solución razonada
Elección del método. Aplica el teorema fundamental a ambos límites y la regla de la cadena a cada uno.
Pasos decisivos. Para \(\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt\), \(F^{\prime}=f(b(x))b^{\prime}-f(a(x))a^{\prime}\). Aquí \(a=x\), \(a^{\prime}=1\), \(b=x^2+1\) y \(b^{\prime}=2x\).
Para justificar la fórmula, define \(G(s)=\int_0^s\sqrt{1+t^2}\,dt\). El teorema fundamental da \(G'(s)=\sqrt{1+s^2}\), y la integral original es \(F(x)=G(x^2+1)-G(x)\). Al derivar, cada extremo produce su regla de la cadena: \(G'(x^2+1)\cdot2x-G'(x)\cdot1\). El signo menos procede de restar la acumulación hasta el extremo inferior; no depende de cuál de los dos extremos sea mayor en un punto.
Resultado. \(F^{\prime}(x)=2x\sqrt{1+(x^2+1)^2}-\sqrt{1+x^2}\)
Dominio e hipótesis. \(x\in\mathbb R\). El integrando es continuo en todos los intervalos que aparecen.
Comprobación. En \(x=0\), el límite superior no se mueve a primer orden, pero el inferior sí. Por eso \(F^{\prime}(0)=-1\), de acuerdo con la fórmula.
Práctica 36 · Valor absoluto y cambio de expresión
Calcula \(\displaystyle\int_0^2|x-1|\,dx\).
Ver solución razonada
Elección del método. El valor absoluto cambia de expresión donde x−1 cambia de signo.
Pasos decisivos. \[|x-1|=\begin{cases}1-x,&0\le x\le1,\\x-1,&1\le x\le2.\end{cases}\] Así, \(\int_0^1(1-x)dx=1/2\) y \(\int_1^2(x-1)dx=1/2\).
Resultado. \(1\)
Dominio e hipótesis. El integrando es continuo en \([0,2]\), aunque no sea derivable en x=1.
Comprobación. Son dos triángulos de base 1 y altura 1. Sus áreas suman \(1/2+1/2=1\).
Práctica 37 · Área entre dos curvas que se cortan
Calcula el área limitada por \(y=x^2\) y \(y=2x\).
Ver solución razonada
Elección del método. Encuentra los cortes y comprueba cuál función queda por encima entre ellos.
Pasos decisivos. Los cortes satisfacen \(x^2=2x\), luego \(x=0,2\). En \((0,2)\), \(2x-x^2=x(2-x)>0\). Por tanto, \[A=\int_0^2(2x-x^2)dx=\left[x^2-\frac{x^3}3\right]_0^2.\]
Resultado. \(A=4/3\) unidades cuadradas.
Dominio e hipótesis. La región está comprendida entre \(x=0\) y \(x=2\).
Comprobación. El área es positiva. La sustitución \(x=1+u\) convierte el integrando en \(1-u^2\) sobre \([-1,1]\) y produce el mismo 4/3.
Práctica 38 · Área con dos lóbulos y signo alterno
Calcula el área comprendida entre \(y=x^3-x\) y el eje X en \([-1,1]\).
Ver solución razonada
Elección del método. La simetría reduce el cálculo, pero primero identifica el signo en cada mitad.
Pasos decisivos. Los ceros son \(-1,0,1\). La función es positiva en \((-1,0)\) y negativa en \((0,1)\). Por simetría, \[A=2\int_0^1(x-x^3)dx=2\left[\frac{x^2}2-\frac{x^4}4\right]_0^1.\]
Resultado. \(A=1/2\) unidades cuadradas.
Dominio e hipótesis. La región se limita al intervalo \([-1,1]\).
Comprobación. Cada lóbulo tiene área 1/4. La integral con signo en todo el intervalo es cero, pero el área total es 1/2.
Práctica 39 · Un parámetro determinado por un área
Para \(k>0\), la parábola \(y=k-x^2\) y el eje X encierran una región. Expresa su área en función de k y determina k si el área vale 36 unidades cuadradas.
Ver solución razonada
Elección del método. Los límites de integración dependen del parámetro. Calcula primero los cortes.
Pasos decisivos. \(k-x^2=0\) da \(x=\pm\sqrt k\). Por simetría, \[A(k)=2\int_0^{\sqrt k}(k-x^2)dx=2\left[kx-\frac{x^3}3\right]_0^{\sqrt k}=\frac43k^{3/2}.\] Si \(A=36\), \(k^{3/2}=27\) y \(k=27^{2/3}=9\).
Al evaluar en \(\sqrt k\), la primera contribución es \(k\sqrt k=k^{3/2}\), y la segunda es \((\sqrt k)^3/3=k^{3/2}/3\). Su diferencia vale \(2k^{3/2}/3\), que se duplica por simetría. Para despejar, \(k^{3/2}=27\) equivale a \((\sqrt k)^3=27\); como \(k>0\), \(\sqrt k=3\) y \(k=9\). Solo después se fijan los cortes \(-3\) y 3.
Resultado. \(A(k)=\frac43k^{3/2}\) y \(k=9\).
Dominio e hipótesis. \(k>0\). Para k=9 los cortes son x=−3 y x=3.
Comprobación. \(A(9)=\frac43\cdot27=36\). Como \(A^{\prime}(k)=2\sqrt k>0\), la solución positiva es única.
Práctica 40 · Área de una función definida a trozos
Calcula el área entre el eje X y \(f(x)=\begin{cases}x+1,&-1\le x\le0,\\1-x^2,&0\lt x\le1.\end{cases}\)
Ver solución razonada
Elección del método. Parte la integral donde cambia la fórmula. Ambas expresiones son no negativas en sus intervalos.
Pasos decisivos. \[A=\int_{-1}^0(x+1)dx+\int_0^1(1-x^2)dx=\left[\frac{x^2}2+x\right]_{-1}^0+\left[x-\frac{x^3}3\right]_0^1.\] Las contribuciones son 1/2 y 2/3.
Resultado. \(A=7/6\) unidades cuadradas.
Dominio e hipótesis. \(-1\le x\le1\). Las dos expresiones coinciden en x=0, así que f es continua allí.
Comprobación. El primer tramo es un triángulo de área 1/2. El segundo integra una curva no negativa y aporta 2/3. No se aplica una sola fórmula a todo el intervalo.
Nivel 6 · Volúmenes por discos y arandelas
Dibuja el eje de giro, identifica radios y elige la variable perpendicular al eje.
Práctica 41 · Discos alrededor del eje X
La región bajo \(y=\sqrt{x+2}\), sobre el eje X y entre \(x=0\) y \(x=2\), gira una vuelta completa alrededor del eje X. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. Cada sección perpendicular al eje X es un disco. Su radio es y, por lo que hay que elevar la función al cuadrado.
Pasos decisivos. \[V=\pi\int_0^2\bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^2dx=\pi\int_0^2(x+2)dx=\pi\left[\frac{x^2}2+2x\right]_0^2.\]
Resultado. \(V=6\pi\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le x\le2\). Los radios son reales y positivos.
Comprobación. El volumen queda entre los de cilindros con radios \(\sqrt2\) y 2 y altura 2, es decir entre 4π y 8π. El valor 6π cumple esa condición.
Práctica 42 · Arandelas entre una recta y una parábola
La región limitada por \(y=2x\) y \(y=x^2\) gira alrededor del eje X. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. En 0≤x≤2 la recta está arriba y ambas curvas son no negativas. Los radios exterior e interior son 2x y x².
Pasos decisivos. Los cortes son x=0 y x=2. La sección es una arandela, de área \(\pi[(2x)^2-(x^2)^2]\). Así, \[V=\pi\int_0^2(4x^2-x^4)dx=\pi\left[\frac43x^3-\frac15x^5\right]_0^2.\]
La altura del segmento vertical es \(2x-x^2\), útil para el área plana de la región. Al girar, ese segmento barre desde la distancia \(x^2\) hasta la distancia \(2x\) al eje. Su sección tiene área \(\pi(2x)^2-\pi(x^2)^2\); elevar al cuadrado la diferencia \(2x-x^2\) construiría otro disco y eliminaría el hueco. Antes de operar, debe quedar clara la sección que se está sumando.
Resultado. \(V=64\pi/15\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le x\le2\). El radio exterior nunca es menor que el interior.
Comprobación. La evaluación da \(\pi(32/3-32/5)=64\pi/15\). La expresión de la sección, \(\pi x^2(4-x^2)\), es no negativa en el intervalo.
Práctica 43 · Discos con integración respecto de y
La región entre \(x=0\), \(x=y^2\), \(y=0\) y \(y=1\) gira alrededor del eje Y. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. Las secciones perpendiculares al eje Y son horizontales. El radio es x=y² y la variable de integración es y.
Pasos decisivos. \[V=\pi\int_0^1(y^2)^2dy=\pi\int_0^1y^4dy=\pi\left[\frac{y^5}5\right]_0^1.\]
Resultado. \(V=\pi/5\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le y\le1\).
Comprobación. El máximo radio es 1 y la altura es 1. El sólido cabe en un cilindro de volumen π, y π/5 es menor que π.
Práctica 44 · Arandelas alrededor del eje Y
La región limitada por \(x=3y\) y \(x=y^2\) gira alrededor del eje Y. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. Usa radios horizontales y límites en y. En 0≤y≤3, 3y es el radio exterior y y², el interior.
Pasos decisivos. Los cortes satisfacen \(y^2=3y\), luego \(y=0,3\). Por tanto, \[V=\pi\int_0^3\bigl[(3y)^2-(y^2)^2\bigr]dy=\pi\left[3y^3-\frac15y^5\right]_0^3.\]
Resultado. \(V=162\pi/5\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le y\le3\). Las dos fronteras están a la derecha del eje de giro.
Comprobación. \(V=\pi(81-243/5)=162\pi/5\). La sección \(\pi y^2(9-y^2)\) nunca es negativa.
Práctica 45 · Arandela con radio interior constante
La región entre \(y=3+\sqrt x\), \(y=3\), \(x=0\) y \(x=4\) gira alrededor del eje X. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. Existe un hueco central de radio 3. Resta las áreas de los discos, no los radios antes de elevar al cuadrado.
Pasos decisivos. \[(3+\sqrt x)^2-3^2=6\sqrt x+x.\] Así, \[V=\pi\int_0^4(6\sqrt x+x)dx=\pi\left[4x^{3/2}+\frac{x^2}2\right]_0^4.\]
La recta \(y=3\) no es el eje de giro: el giro se hace alrededor de \(y=0\). Por eso el radio interior vale 3 y el exterior, \(3+\sqrt x\). Desarrollar el cuadrado da \(9+6\sqrt x+x\), y la resta del disco interior elimina solo el 9. La altura \(\sqrt x\) del recinto sería un radio si se girara alrededor de \(y=3\), que sería un sólido diferente.
Resultado. \(V=40\pi\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le x\le4\).
Comprobación. \(4\cdot4^{3/2}+4^2/2=32+8=40\). Usar solo \((\sqrt x)^2\) olvidaría la distancia de la región al eje de giro.
Práctica 46 · Arandela horizontal con raíz
La región entre \(x=1\), \(x=\sqrt{y+1}\), \(y=0\) y \(y=3\) gira alrededor del eje Y. Calcula el volumen.
Ver solución razonada
Elección del método. El radio exterior es √(y+1) y el radio interior, 1. Trabaja directamente con y.
Pasos decisivos. \[V=\pi\int_0^3\left[\bigl(\sqrt{y+1}\bigr)^2-1^2\right]dy=\pi\int_0^3y\,dy=\pi\left[\frac{y^2}2\right]_0^3.\]
Resultado. \(V=9\pi/2\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. \(0\le y\le3\). El radio exterior es al menos 1.
Comprobación. El área de la sección crece linealmente de 0 a 3π. Su valor medio es 3π/2 y, multiplicado por la altura 3, da 9π/2.
Nivel 7 · Dos mini-simulacros de elaboración propia
Resuelve ambos apartados sin consultar las soluciones y comprueba después el método elegido.
Práctica 47 · Mini-simulacro 1 · Sustitución y volumen
Mini-simulacro de elaboración propia. a) Calcula \(\displaystyle\int(2x+1)e^{x^2+x}\,dx\). b) Calcula el volumen al girar alrededor del eje X la región bajo \(y=e^{x/2}\), sobre el eje X y entre \(x=0\) y \(x=\ln3\).
Ver solución razonada
Elección del método. En a), reconoce una función compuesta acompañada de su derivada. En b), modeliza el volumen antes de integrar.
Pasos decisivos. a) \(u=x^2+x\), \(du=(2x+1)dx\). Luego \(\int(2x+1)e^{x^2+x}dx=\int e^u\,du\).
b) El radio del disco es \(e^{x/2}\); su cuadrado es \(e^x\). Por tanto, \[V=\pi\int_0^{\ln3}e^xdx=\pi[e^x]_0^{\ln3}=\pi(3-1).\]
Resultado. a) \(e^{x^2+x}+C\). b) \(V=2\pi\) unidades cúbicas.
Dominio e hipótesis. a) \(x\in\mathbb R\). b) \(0\le x\le\ln3\).
Comprobación. a) \((e^{x^2+x})^{\prime}=(2x+1)e^{x^2+x}\). b) Los radios son positivos. El volumen integra el área \(\pi e^x\), no la longitud \(e^{x/2}\).
Práctica 48 · Mini-simulacro 2 · Logaritmo y área con tres tramos
Mini-simulacro de elaboración propia. a) Calcula \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx\). b) Calcula el área comprendida entre \(y=x^2-4\) y el eje X en \([-3,3]\).
Ver solución razonada
Elección del método. En a), compara el numerador con la derivada del denominador. En b), divide en todos los cambios de signo.
Pasos decisivos. a) \((x^2+2x+5)^{\prime}=2x+2\), así que la fracción es la mitad del patrón logarítmico.
b) La función se anula en \(x=\pm2\), es negativa entre los cortes y positiva en los extremos del intervalo. Por simetría, \[A=2\int_0^2(4-x^2)dx+2\int_2^3(x^2-4)dx=\frac{32}3+\frac{14}3.\]
En el apartado b), las dos primitivas se evalúan en intervalos distintos:
La simetría duplica cada aportación, no cambia sus signos. La franja central aporta \(32/3\) y los dos extremos aportan \(14/3\). En el segundo tramo, conservar el paréntesis al restar el valor del extremo inferior evita perder el signo.
Resultado. a) \(\frac12\ln(x^2+2x+5)+C\). b) \(A=46/3\) unidades cuadradas.
Dominio e hipótesis. a) \(x\in\mathbb R\), pues \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0\). b) \(-3\le x\le3\).
Comprobación. a) La derivada es \((2x+2)/[2(x^2+2x+5)]\). b) El área central es 32/3 y los dos extremos aportan juntos 14/3. La integral con signo vale −6, lo que confirma que no puede sustituir al área.
Una hoja para localizar el error y mejorar
Anota el primer paso que cambió la solución: dominio, elección, ajuste, cálculo o interpretación. Repite después de corregir ese punto.
| Ejercicio | Método elegido | Error a corregir | Segundo intento |
|---|---|---|---|
Autocorrección. Una primitiva necesita método, cálculo, dominio y derivada coherentes. Una aplicación añade recinto o radios, planteamiento y unidades. Si la cifra coincide pero la elección no está justificada, conserva la tarea como pendiente de explicación.
Errores frecuentes en integrales PAU/EBAU
- Olvidar la constante \(C\) en integrales indefinidas.
- Aplicar cambio de variable sin que aparezca la derivada de la función interior.
- Elegir mal \(u\) en integración por partes.
- No descomponer bien una fracción racional.
- Olvidar el valor absoluto en logaritmos como \(\ln|x-a|\).
- Confundir una integral tipo logaritmo con una tipo arcotangente.
- Calcular un área sin mirar qué función está por encima.
- No separar intervalos cuando una función cambia de signo.
- No aplicar la regla de la cadena en el teorema fundamental con límite superior compuesto.
Cómo estudiar integrales para PAU/EBAU
La forma más eficaz de estudiar integrales no es hacer ejercicios al azar. Conviene agrupar por técnicas y aprender a reconocer el tipo de integral antes de empezar.
- Integrales inmediatas y potencias como base.
- Formas tipo \(\frac{u'}{u}\), que llevan a logaritmo.
- Formas asociadas a arcotangente y arco seno.
- Cambio de variable.
- Integración por partes, incluida la aplicación repetida.
- Racionales propias e impropias, con raíces simples y múltiples.
- Integrales definidas, teorema fundamental y áreas.
Ese orden evita estudiar de forma caótica. Muchos bloqueos aparecen porque el alumno intenta resolver una integral por fuerza, sin reconocer antes el patrón.
Clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU/EBAU
En MARLU EDUCATIVA® trabajamos integrales con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores frecuentes. La clave no es hacer muchas integrales sin dirección, sino aprender a reconocer el método adecuado y justificar cada paso.
También ofrecemos clases online por la mañana para alumnos que rinden mejor en una franja más tranquila o necesitan preparar Matemáticas II, Física o Química con más concentración.
Preguntas frecuentes sobre integrales PAU/EBAU
Qué integrales suelen aparecer en PAU/EBAU
Suelen aparecer integrales inmediatas, cambio de variable, integración por partes, racionales sencillas, integrales con logaritmos, arcotangente, exponenciales, trigonométricas, integrales definidas y áreas entre funciones.
Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida
La integral indefinida busca una familia de primitivas y lleva constante \(C\). La integral definida calcula un valor numérico entre dos límites y no lleva constante \(C\).
Cuándo aparece un logaritmo en una integral
Suele aparecer cuando tenemos una fracción del tipo \(\frac{u'}{u}\). En ese caso, la integral es \(\ln|u|+C\).
Cuándo aparece una arcotangente
Suele aparecer cuando tenemos una expresión relacionada con \(\frac{1}{1+x^2}\) o con \(\frac{1}{x^2+a^2}\).
Qué es lo más importante en áreas entre funciones
Lo más importante es saber qué función está por encima y cuáles son los puntos de corte. Si la función cambia de signo o las curvas se cruzan, hay que separar intervalos.
En qué ayuda el teorema fundamental del cálculo
Permite relacionar derivadas e integrales. Si \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), entonces \(F'(x)=f(x)\). Si el límite superior es \(g(x)\), hay que multiplicar por \(g'(x)\).
¿Los volúmenes y todos los métodos se exigen igual en toda España?
Los volúmenes de revolución forman parte del currículo de Matemáticas II. La profundidad de racionales, cambios, partes y aplicaciones se concreta en las orientaciones de cada territorio. Los apartados de profundización de esta guía no se presentan como exigencia idéntica en todas las PAU.
Recursos relacionados para completar el bloque de análisis
Entender la estructura. Elegir con criterio. Comprobar cada paso.
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