Matemáticas, PAU y EBAU

Geometría 3D PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso

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Estudiante saturada con los apuntes
Marlu Educativa · Geometría analítica · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Geometría 3D PAU/EBAU 2026 resuelta paso a paso

La geometría del espacio deja de parecer una colección de fórmulas cuando se aprende a reconocer qué objeto tenemos delante. Una recta necesita un punto y una dirección; un plano, un punto y una normal; una distancia o un ángulo exige elegir los vectores adecuados.

Esta guía recorre el bloque completo como se trabajaría sobre el papel: construcción de rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos, áreas, volúmenes y problemas tipo PAU/EBAU resueltos sin saltos.

Una guía útil también después de 2026. El año del título identifica la convocatoria en la que se publicó y revisó este recurso. Los fundamentos de la geometría analítica —vectores, rectas, planos, posiciones relativas, distancias, ángulos, proyecciones, áreas y volúmenes— forman parte estable de Matemáticas II, por lo que la guía puede utilizarse en cursos posteriores. Si cambia algún criterio oficial de la PAU/EBAU, se actualizarán los apartados afectados.

Un único recorrido de geometría 3D. Las matrices, los determinantes y los sistemas aparecen aquí solo como herramientas para estudiar intersecciones o dependencia de vectores. Su desarrollo algebraico completo se mantiene en los recursos específicos, mientras esta página conserva una intención exclusivamente geométrica.

Si estás preparando Matemáticas II o la PAU/EBAU, puedes trabajar estos procedimientos con corrección individual en nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato.

VectoresRectas y planosPosiciones relativasDistancias y ángulosÁreas y volúmenes35 ejercicios resueltos
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Parte I

Vectores, rectas y planos: construir bien los objetos

Antes de estudiar posiciones o distancias hay que saber leer y construir cada objeto. Este primer bloque reúne las herramientas que se reutilizan en toda la geometría 3D.

Puntos y vectores

Dados \(A(x_A,y_A,z_A)\) y \(B(x_B,y_B,z_B)\), el vector que va de \(A\) a \(B\) se obtiene restando extremo menos origen:

\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\]
Módulo\[|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\]
Producto escalar\[\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\]
Perpendicularidad\[\vec u\cdot\vec v=0\]

Producto vectorial y producto mixto

Vectorial\[\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}\]

Produce un vector perpendicular a \(\vec u\) y \(\vec v\).

Mixto\[[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w\]

Su valor absoluto mide el volumen del paralelepípedo.

Ecuaciones de la recta

FormaEcuaciónQué se ve directamente
Vectorial\((x,y,z)=P+t\vec v\)Un punto y el vector director.
Paramétrica\(\{x=x_0+v_1t,\ y=y_0+v_2t,\ z=z_0+v_3t\}\)Cómo varía cada coordenada.
Continua\(\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}\)El punto y la dirección, si no hay componentes nulas.
Implícita\(r=\pi_1\cap\pi_2\)La recta como intersección de dos planos.

Ecuaciones del plano

Punto y normal\[\vec n\cdot\overrightarrow{PX}=0\]\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\]
Tres puntos

Se forman dos vectores del plano y se calcula

\[\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\]
Una lectura que evita muchos errores. Los coeficientes \(A,B,C\) de \(Ax+By+Cz+D=0\) forman un vector normal. En una recta paramétrica, los coeficientes del parámetro forman un vector director.
Recta y plano en el espacioEsquema de un plano con su vector normal y una recta determinada por un punto y un vector director. normal n Pdirector v plano π
Una recta se reconoce por su dirección; un plano, por su normal.

1Recta en forma paramétrica

Escribe la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \(A(1,-2,3)\) y tiene vector director \(\vec v=(2,1,-1)\).

Primer paso. Recordamos la forma de una recta en el espacio

\[ r:\ (x,y,z)=A+t\vec v \]

Como el punto es \(A(1,-2,3)\) y el vector director es \(\vec v=(2,1,-1)\), sustituimos directamente.

\[ r:\ (x,y,z)=(1,-2,3)+t(2,1,-1) \]

Segundo paso. Escribimos las ecuaciones paramétricas

\[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t \end{cases} \]

Resultado.

\[ r:\ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t \end{cases} \]

Este ejercicio es básico, pero es la puerta de entrada a casi toda la geometría 3D. Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director.

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2Plano a partir de un punto y un vector normal

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto \(P(2,-1,3)\) y tiene vector normal \(\vec n=(1,2,-1)\).

Primer paso. Usamos la ecuación punto normal

Si un plano tiene vector normal \(\vec n=(A,B,C)\) y pasa por \(P(x_0,y_0,z_0)\), se cumple

\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

Segundo paso. Sustituimos los datos

\[ 1(x-2)+2(y+1)-1(z-3)=0 \]

Tercer paso. Simplificamos

\[ x-2+2y+2-z+3=0 \]
\[ x+2y-z+3=0 \]

Resultado.

\[ \pi:\ x+2y-z+3=0 \]

La comprobación es rápida. Si sustituimos \(P(2,-1,3)\), queda \(2+2(-1)-3+3=0\), por tanto el punto pertenece al plano.

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3Plano que pasa por tres puntos

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,1)\) y \(C(2,-1,4)\).

Primer paso. Construimos dos vectores del plano

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1) \]
\[ \overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,-1-0,4-2)=(1,-1,2) \]

Segundo paso. Calculamos un vector normal con el producto vectorial

\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \]
\[ \vec n= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec n=(1\cdot2-(-1)(-1),\ -[2\cdot2-(-1)\cdot1],\ 2(-1)-1\cdot1) \]
\[ \vec n=(2-1,\ -(4+1),\ -2-1) \]
\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

Tercer paso. Usamos el punto \(A(1,0,2)\)

\[ 1(x-1)-5(y-0)-3(z-2)=0 \]
\[ x-1-5y-3z+6=0 \]
\[ x-5y-3z+5=0 \]

Resultado.

\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]

Error típico. Para construir un plano con tres puntos no se hace una recta. Primero se forman dos vectores del plano y después se obtiene un vector normal con el producto vectorial.

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4Producto escalar, vectorial y mixto

Sean los vectores

\[ \vec u=(1,2,0),\quad \vec v=(2,-1,1),\quad \vec w=(0,1,3) \]

Calcula \(\vec u\cdot\vec v\), \(\vec u\times\vec v\) y el producto mixto \([\vec u,\vec v,\vec w]\).

Primer paso. Producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2(-1)+0\cdot1 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=2-2+0=0 \]

Como el producto escalar es cero, \(\vec u\) y \(\vec v\) son perpendiculares.

Segundo paso. Producto vectorial

\[ \vec u\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \vec u\times\vec v=(2\cdot1-0(-1),\ -[1\cdot1-0\cdot2],\ 1(-1)-2\cdot2) \]
\[ \vec u\times\vec v=(2,-1,-5) \]

Tercer paso. Producto mixto

\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=(2,-1,-5)\cdot(0,1,3) \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=2\cdot0+(-1)\cdot1+(-5)\cdot3 \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=-16 \]

Resultado.

\[ \vec u\cdot\vec v=0 \]
\[ \vec u\times\vec v=(2,-1,-5) \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=-16 \]

El producto escalar ayuda con perpendicularidad y ángulos. El producto vectorial ayuda a encontrar normales y áreas. El producto mixto ayuda con volúmenes y distancias entre rectas que se cruzan.

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5Recta que pasa por dos puntos

Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por \(A(1,-1,2)\) y \(B(4,1,-1)\).

Obtenemos el vector director

\[\vec v=\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,\ 1-(-1),\ -1-2)=(3,2,-3)\]

Ya tenemos un punto de la recta y una dirección. Usamos \(A\) como punto de paso.

Escribimos las tres formas

\[r:\ (x,y,z)=(1,-1,2)+t(3,2,-3)\]
\[r:\ \begin{cases}x=1+3t\\y=-1+2t\\z=2-3t\end{cases}\]
\[r:\ \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-3}\]

Las tres expresiones describen la misma recta.

Si tomamos \(t=1\), obtenemos \((4,1,-1)=B\). La comprobación confirma que la dirección y los signos son correctos.

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6Plano que contiene una recta y un punto exterior

Halla el plano que contiene la recta

\[r:\ (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,-1)\]

y pasa por \(Q(2,1,3)\).

Elegimos dos vectores del plano

Uno es el director de la recta, \(\vec v=(1,1,-1)\). El otro une el punto \(P(1,0,2)\) de la recta con \(Q\):

\[\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1,1,1)\]

Calculamos un vector normal

\[\vec n=\vec v\times\overrightarrow{PQ}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}=(2,-2,0)\]

Podemos simplificar y tomar \(\vec n=(1,-1,0)\).

Construimos el plano con el punto \(P\)

\[1(x-1)-1(y-0)+0(z-2)=0\]
\[\boxed{\pi:\ x-y-1=0}\]

El punto \(Q\) verifica \(2-1-1=0\), y el director de \(r\) es perpendicular a la normal porque \((1,1,-1)\cdot(1,-1,0)=0\).

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7De ecuación continua a paramétrica

Pasa a forma vectorial y paramétrica la recta

\[\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{3}\]

Igualamos las tres fracciones a un parámetro

\[\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{3}=t\]

Despejamos las coordenadas

\[x-2=2t\Longrightarrow x=2+2t\]
\[y+1=-t\Longrightarrow y=-1-t\]
\[z-3=3t\Longrightarrow z=3+3t\]
\[r:\ (x,y,z)=(2,-1,3)+t(2,-1,3)\]

El punto es \(P(2,-1,3)\) y el vector director es \(\vec v=(2,-1,3)\).

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8De plano paramétrico a ecuación general

Obtén la ecuación general del plano

\[\pi:\ (x,y,z)=(1,0,2)+s(1,2,0)+t(0,1,1)\]

Calculamos una normal a partir de los dos directores

\[\vec n=(1,2,0)\times(0,1,1)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&2&0\\0&1&1\end{vmatrix}=(2,-1,1)\]

Usamos el punto \(P(1,0,2)\)

\[2(x-1)-(y-0)+(z-2)=0\]
\[2x-2-y+z-2=0\]
\[\boxed{\pi:\ 2x-y+z-4=0}\]

Los dos directores son perpendiculares a \((2,-1,1)\), y el punto \(P\) verifica la ecuación.

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9Dependencia de tres vectores con parámetro

Determina para qué valor de \(a\) son coplanarios

\[\vec u=(1,0,1),\qquad \vec v=(0,1,1),\qquad \vec w=(1,1,a)\]

Tres vectores son coplanarios cuando su producto mixto vale cero.

\[\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=(-1,-1,1)\]
\[[\vec u,\vec v,\vec w]=(-1,-1,1)\cdot(1,1,a)=a-2\]
\[a-2=0\Longrightarrow a=2\]
Los tres vectores son coplanarios únicamente para \(\boxed{a=2}\).
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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

10Plano, coplanaridad y parámetro

Dados \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,1)\), \(C(0,1,1)\) y \(D(1,1,a)\):

  1. Halla el plano que pasa por \(A,B,C\).
  2. Determina \(a\) para que \(D\) pertenezca al plano.
  3. Explica qué ocurre si \(a\neq2\).

Construimos el plano

\[\overrightarrow{AB}=(1,0,1),\qquad\overrightarrow{AC}=(0,1,1)\]
\[\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,-1,1)\]

Como el plano pasa por el origen:

\[\pi:\ -x-y+z=0\]

Imponemos que \(D\) pertenezca al plano

\[-1-1+a=0\Longrightarrow a=2\]

Interpretamos el resto de valores

Si \(a\neq2\), el punto \(D\) no pertenece al plano \(ABC\); los cuatro puntos forman un tetraedro de volumen no nulo.

El punto \(D\) es coplanario con \(A,B,C\) únicamente para \(\boxed{a=2}\).
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Parte II

Posiciones relativas e intersecciones

Dos objetos geométricos pueden coincidir, cortarse, ser paralelos o, en el caso de dos rectas del espacio, cruzarse sin llegar a tocarse. La clasificación debe justificarse con direcciones, normales y sistemas.

ObjetosPrimera comprobaciónDecisión final
Recta y plano\(\vec v\cdot\vec n\)Si no es cero, son secantes. Si es cero, comprobamos un punto: contenida o paralela.
Dos planosProporcionalidad de \(\vec n_1,\vec n_2\)No proporcionales: secantes. Proporcionales: coincidentes o paralelos.
Dos rectasProporcionalidad de directoresSi no son proporcionales, resolvemos el sistema o usamos el producto mixto para distinguir secantes y cruzadas.
Dos caminos válidos. El sistema de parámetros permite buscar un punto común. El producto mixto \([\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]\) permite saber si dos rectas no paralelas son coplanarias: si vale cero, se cortan; si no, se cruzan.
Posiciones relativas de recta y planoTres esquemas muestran una recta secante, una recta paralela y una recta contenida en un plano. secante paralela contenida
Un mismo producto escalar separa primero el caso secante de los dos casos paralelos.

11Posición relativa de una recta y un plano

Estudia la posición relativa de la recta

\[ r:\ \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t \end{cases} \]

y el plano

\[ \pi:\ x+y-z+1=0 \]

Primer paso. Sustituimos la recta en el plano

Para saber si la recta corta al plano, está contenida en él o es paralela, sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano.

\[ (1+t)+(2-t)-(3+2t)+1=0 \]

Segundo paso. Simplificamos

\[ 1+t+2-t-3-2t+1=0 \]
\[ 1-2t=0 \]
\[ t=\frac{1}{2} \]

Tercer paso. Calculamos el punto de corte

\[ x=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \]
\[ y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \]
\[ z=3+2\cdot\frac{1}{2}=4 \]

Resultado.

La recta corta al plano en el punto

\[ P\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},4\right) \]

Cuando al sustituir aparece un único valor de \(t\), la recta corta al plano en un punto. Si apareciera una identidad, estaría contenida. Si apareciera una contradicción, sería paralela al plano.

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12Posición relativa de dos rectas

Estudia la posición relativa de las rectas

\[ r:\ \begin{cases} x=1+t\\ y=2+t\\ z=1-t \end{cases} \]
\[ s:\ \begin{cases} x=3+2\lambda\\ y=4+2\lambda\\ z=-1-2\lambda \end{cases} \]

Primer paso. Comparamos los vectores directores

La recta \(r\) tiene vector director

\[ \vec u=(1,1,-1) \]

La recta \(s\) tiene vector director

\[ \vec v=(2,2,-2) \]

Observamos que

\[ \vec v=2\vec u \]

Por tanto, las rectas son paralelas o coincidentes.

Segundo paso. Comprobamos si un punto de una recta pertenece a la otra

Tomamos el punto de \(r\) cuando \(t=0\).

\[ A=(1,2,1) \]

Comprobamos si puede pertenecer a \(s\).

\[ 1=3+2\lambda \]
\[ 2\lambda=-2 \]
\[ \lambda=-1 \]

Probamos en la segunda coordenada.

\[ y=4+2(-1)=2 \]

Probamos en la tercera coordenada.

\[ z=-1-2(-1)=1 \]

Coincide.

Resultado.

Las rectas son coincidentes.

Error típico. Que los vectores directores sean proporcionales no significa automáticamente que las rectas sean la misma. Primero sabemos que son paralelas o coincidentes. Después hay que comprobar un punto.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

13Dos rectas con parámetro: secantes o cruzadas

Estudia según \(a\) la posición relativa de

\[r:\ (x,y,z)=t(1,1,0)\]
\[s:\ (x,y,z)=(1,0,a)+\lambda(0,1,1)\]

Comprobamos las direcciones

\(\vec u=(1,1,0)\) y \(\vec v=(0,1,1)\) no son proporcionales. Por tanto, las rectas serán secantes o cruzadas.

Buscamos un punto común

\[\begin{cases}t=1\\t=\lambda\\0=a+\lambda\end{cases}\]

Las dos primeras ecuaciones obligan a \(t=\lambda=1\). La tercera queda

\[0=a+1\Longrightarrow a=-1\]

Si \(a=-1\), son secantes y se cortan en \(P(1,1,0)\). Si \(a\neq-1\), no son paralelas ni se cortan: son rectas cruzadas.

La misma conclusión se obtiene con \([\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=a+1\): el producto mixto solo se anula para \(a=-1\).

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14Intersección de dos planos

Estudia la posición de los planos y halla su recta de intersección:

\[\pi_1:\ x+y+z=2,\qquad \pi_2:\ x-y+z=0\]

Comparamos las normales

\[\vec n_1=(1,1,1),\qquad \vec n_2=(1,-1,1)\]

No son proporcionales, luego los planos son secantes.

Resolvemos el sistema dejando una variable libre

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[2y=2\Longrightarrow y=1\]

En cualquiera de los planos queda \(x+z=1\). Tomamos \(z=t\), de modo que \(x=1-t\).

\[r=\pi_1\cap\pi_2:\ (x,y,z)=(1,1,0)+t(-1,0,1)\]

El director \((-1,0,1)\) es perpendicular a las dos normales, como debe ocurrir en la recta común.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

15Tres planos con una recta común

Estudia la posición relativa de

\[\pi_1:x+y+z=1,\quad \pi_2:x-y+z=1,\quad \pi_3:2x+2z=2\]

Observamos la relación entre las ecuaciones

\[\pi_1+\pi_2:\ 2x+2z=2\]

La tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras. Por tanto, no añade una condición independiente.

Hallamos la intersección

Restando \(\pi_2\) de \(\pi_1\):

\[2y=0\Longrightarrow y=0\]

Entonces \(x+z=1\). Tomamos \(z=t\), de donde \(x=1-t\).

\[\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,0,1)\]

Los tres planos son distintos, pero comparten una misma recta.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

16Recta y plano con tres casos según el parámetro

Estudia según \(a\) la posición de

\[r_a:\ (x,y,z)=(2,a-1,0)+t(1,a^2-2,0)\]
\[\pi:\ x+y+z-2=0\]

Comparamos director y normal

\[\vec v_a\cdot\vec n=(1,a^2-2,0)\cdot(1,1,1)=a^2-1\]

Caso \(a\neq1,-1\)

El producto no es cero, por tanto la recta es secante. Sustituimos la recta en el plano:

\[(a-1)+t(a^2-1)=0\]
\[t=-\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}=-\frac1{a+1}\]

El punto de corte es

\[P_a\left(\frac{2a+1}{a+1},\frac1{a+1},0\right)\]

Caso \(a=1\)

El director es paralelo al plano y el punto \(P=(2,0,0)\) verifica la ecuación. La recta está contenida.

Caso \(a=-1\)

El director es paralelo al plano, pero \(P=(2,-2,0)\) no pertenece a él. La recta es paralela exterior.

Secante si \(a\neq\pm1\), contenida si \(a=1\) y paralela exterior si \(a=-1\).
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17Tres planos dependientes de un parámetro

Estudia la intersección común de

\[\pi_1:x+y+z=1,\quad \pi_2:2x+2y+2z=2,\quad \pi_3:x+y+az=1\]

La segunda ecuación es siempre el doble de la primera.

Caso \(a\neq1\)

Restamos \(\pi_1\) de \(\pi_3\):

\[(a-1)z=0\Longrightarrow z=0\]

Queda \(x+y=1\). Tomando \(y=t\):

\[(x,y,z)=(1-t,t,0)\]

Caso \(a=1\)

Las tres ecuaciones representan el mismo plano \(x+y+z=1\).

Si \(a\neq1\), los tres planos comparten una recta. Si \(a=1\), los tres coinciden.
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18Recta dada como intersección de dos planos

Halla la forma paramétrica de

\[r:\begin{cases}x+y+z=1\\x-y+z=1\end{cases}\]

y estudia su posición respecto de \(\sigma:x+z=1\).

Resolvemos las dos ecuaciones

Al restarlas obtenemos \(2y=0\), luego \(y=0\). Entonces \(x+z=1\).

Tomamos \(z=t\), por lo que \(x=1-t\).

\[r:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,0,1)\]

Comparamos con el tercer plano

Todos los puntos de \(r\) cumplen \(x+z=(1-t)+t=1\).

La recta \(r\) está contenida en el plano \(\sigma\).
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19Plano que contiene la intersección de otros dos

Halla el plano que contiene la recta común de

\[\pi_1:x+y+z-1=0,\qquad \pi_2:x-y+z-3=0\]

y pasa por \(Q(0,0,0)\).

Escribimos el haz de planos

\[(x+y+z-1)+\lambda(x-y+z-3)=0\]

Imponemos el paso por \(Q\)

\[-1-3\lambda=0\Longrightarrow\lambda=-\frac13\]

Sustituimos y multiplicamos por 3:

\[3(x+y+z-1)-(x-y+z-3)=0\]
\[2x+4y+2z=0\]
\[\boxed{\pi:\ x+2y+z=0}\]
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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

20Familia de planos: coincidencia, paralelismo y valor no válido

Estudia según \(a\) la posición de

\[\pi_a:\ ax+ay+az-1=0,\qquad \sigma:x+y+z-1=0\]

Caso \(a=0\)

La primera ecuación sería \(-1=0\). No representa ningún plano.

Caso \(a=1\)

Las dos ecuaciones son idénticas. Los planos coinciden.

Caso \(a\neq0,1\)

Las normales \((a,a,a)\) y \((1,1,1)\) son proporcionales. Al dividir la primera ecuación por \(a\):

\[x+y+z-\frac1a=0\]

Como \(1/a\neq1\), los planos tienen la misma dirección pero son distintos.

Para \(a=1\) coinciden; para \(a\neq0,1\) son paralelos distintos; para \(a=0\), \(\pi_a\) no está definida como plano.
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Parte III

Ángulos, distancias, perpendicularidad y proyecciones

En esta parte conviene separar dos preguntas. Para hallar un ángulo se comparan direcciones; para hallar una distancia se busca la longitud del segmento perpendicular más corto. Esa distinción evita buena parte de los errores de geometría métrica.

Ángulos en el espacio

ÁnguloVectores que se comparanFórmula
Entre dos rectasSus vectores directores \(\vec u\) y \(\vec v\)\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
Entre una recta y un planoEl director \(\vec v\) y la normal \(\vec n\)\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec v\|\,\|\vec n\|}\)
Entre dos planosSus normales \(\vec n_1\) y \(\vec n_2\)\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{\|\vec n_1\|\,\|\vec n_2\|}\)

El valor absoluto proporciona el ángulo agudo. Es el que se pide habitualmente cuando el enunciado habla del ángulo entre dos rectas, entre una recta y un plano o entre dos planos.

Distancias que hay que reconocer

De un punto a un plano
\[d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]
De un punto a una recta
\[d(P,r)=\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec v\|}{\|\vec v\|}\]
Entre planos paralelos

Se toma un punto de uno de ellos y se calcula su distancia al otro. Si están normalizados con los mismos coeficientes:

\[d(\pi_1,\pi_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]
Entre rectas cruzadas
\[d(r,s)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{\|\vec u\times\vec v\|}\]

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Sea \(P(x_0,y_0,z_0)\) y \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\), con \(\vec n=(A,B,C)\). El pie de la perpendicular es

\[H=P-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\,\vec n\]

Una vez hallado \(H\), el punto simétrico \(P'\) queda al otro lado del plano a la misma distancia:

\[P'=2H-P\]
Distancia y proyección ortogonal de un punto sobre un plano Un punto P, su proyección H sobre un plano y el punto simétrico P prima. P H P′ π distancia mínima
La distancia se mide sobre la perpendicular. El punto \(H\) pertenece al plano y es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Una comprobación que merece la pena. Al terminar una proyección sobre un plano, sustituye las coordenadas de \(H\) en la ecuación del plano. Después comprueba que \(\overrightarrow{PH}\) sea paralelo a la normal. Son dos verificaciones breves y detectan casi cualquier error de signo.

21Distancia de un punto a un plano

Calcula la distancia del punto \(P(2,-1,4)\) al plano

\[ \pi:\ 2x-y+2z-3=0 \]

Primer paso. Usamos la fórmula de distancia punto plano

\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

En este caso

\[ A=2,\quad B=-1,\quad C=2,\quad D=-3 \]

Segundo paso. Sustituimos el punto

\[ d=\frac{|2\cdot2+(-1)(-1)+2\cdot4-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} \]
\[ d=\frac{|4+1+8-3|}{\sqrt{4+1+4}} \]
\[ d=\frac{10}{3} \]

Resultado.

\[ d(P,\pi)=\frac{10}{3} \]

La distancia siempre es positiva. Por eso aparece valor absoluto en el numerador.

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22Distancia de un punto a una recta

Calcula la distancia del punto \(P(2,1,3)\) a la recta

\[ r:\ (x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,2) \]

Primer paso. Identificamos un punto de la recta y su vector director

Un punto de la recta es

\[ A=(1,0,2) \]

El vector director es

\[ \vec v=(2,-1,2) \]

Segundo paso. Formamos el vector \(\overrightarrow{AP}\)

\[ \overrightarrow{AP}=P-A=(2-1,1-0,3-2) \]
\[ \overrightarrow{AP}=(1,1,1) \]

Tercer paso. Aplicamos la fórmula

\[ d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times \vec v|}{|\vec v|} \]

Cuarto paso. Calculamos el producto vectorial

\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v=(1\cdot2-1(-1),\ -[1\cdot2-1\cdot2],\ 1(-1)-1\cdot2) \]
\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v=(3,0,-3) \]

Quinto paso. Calculamos módulos

\[ |\overrightarrow{AP}\times \vec v|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 \]

Sexto paso. Dividimos

\[ d(P,r)=\frac{3\sqrt2}{3}=\sqrt2 \]

Resultado.

\[ d(P,r)=\sqrt2 \]

Error típico. Para distancia punto recta no se usa la fórmula de distancia punto plano. Se necesita el producto vectorial entre \(\overrightarrow{AP}\) y el vector director de la recta.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

23Distancia entre dos rectas que se cruzan

Calcula la distancia entre las rectas

\[ r:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,0) \]
\[ s:\ (x,y,z)=(0,1,1)+\lambda(1,0,1) \]

Primer paso. Identificamos puntos y vectores directores

Tomamos

\[ A=(1,0,0),\quad \vec u=(1,1,0) \]
\[ B=(0,1,1),\quad \vec v=(1,0,1) \]

Segundo paso. Formamos el vector \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,1-0,1-0) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(-1,1,1) \]

Tercer paso. Usamos la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

\[ d(r,s)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{|\vec u\times \vec v|} \]

Cuarto paso. Calculamos el producto vectorial

\[ \vec u\times \vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \vec u\times \vec v=(1,-1,-1) \]
\[ |\vec u\times \vec v|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt3 \]

Quinto paso. Calculamos el producto mixto

\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=\overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times \vec v) \]
\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=(-1,1,1)\cdot(1,-1,-1) \]
\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=-1-1-1=-3 \]

Sexto paso. Calculamos la distancia

\[ d(r,s)=\frac{|-3|}{\sqrt3} \]
\[ d(r,s)=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3 \]

Resultado.

\[ d(r,s)=\sqrt3 \]

Esta fórmula mide la altura del paralelepípedo formado por los tres vectores. Por eso aparecen el producto mixto y el producto vectorial.

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24Ángulo entre dos rectas

Calcula el ángulo entre las rectas con vectores directores

\[ \vec u=(1,2,2),\quad \vec v=(2,0,1) \]

Primer paso. Usamos el producto escalar

\[ \cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|} \]

Tomamos valor absoluto porque normalmente se pide el ángulo agudo entre rectas.

Segundo paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=4 \]

Tercer paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec u|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt5 \]

Cuarto paso. Calculamos el ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{4}{3\sqrt5} \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt5}\right) \]
\[ \alpha\approx 53{,}4^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 53{,}4^\circ \]

Error típico. Para ángulo entre rectas se usan los vectores directores, no puntos de las rectas.

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25Ángulo entre una recta y un plano

Calcula el ángulo que forma la recta de vector director \(\vec v=(2,1,2)\) con el plano

\[ \pi:\ x-2y+2z+1=0 \]

Primer paso. Identificamos el vector normal del plano

\[ \vec n=(1,-2,2) \]

Segundo paso. Usamos la fórmula del ángulo recta plano

Si \(\alpha\) es el ángulo entre la recta y el plano, entonces

\[ \sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} \]

Tercer paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec v\cdot\vec n=2\cdot1+1(-2)+2\cdot2 \]
\[ \vec v\cdot\vec n=2-2+4=4 \]

Cuarto paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3 \]
\[ |\vec n|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3 \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo

\[ \sin\alpha=\frac{4}{9} \]
\[ \alpha=\arcsin\left(\frac{4}{9}\right) \]
\[ \alpha\approx 26{,}4^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 26{,}4^\circ \]

Error típico. El ángulo entre recta y plano no se calcula igual que el ángulo entre dos vectores directores. Se usa el vector director de la recta y el vector normal del plano, pero aparece seno, no coseno.

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26Ángulo entre dos planos

Calcula el ángulo entre los planos

\[ \pi_1:\ x+2y-2z+1=0 \]
\[ \pi_2:\ 2x-y+2z-3=0 \]

Primer paso. Identificamos los vectores normales

\[ \vec n_1=(1,2,-2) \]
\[ \vec n_2=(2,-1,2) \]

Segundo paso. Usamos la fórmula

El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus vectores normales.

\[ \cos\alpha=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} \]

Tercer paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=1\cdot2+2(-1)+(-2)2 \]
\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=2-2-4=-4 \]

Tomamos valor absoluto.

\[ |\vec n_1\cdot\vec n_2|=4 \]

Cuarto paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec n_1|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3 \]
\[ |\vec n_2|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{4}{9} \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{4}{9}\right) \]
\[ \alpha\approx 63{,}6^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 63{,}6^\circ \]

En ángulos entre planos se trabaja con vectores normales. Es una de las ideas más importantes de geometría 3D.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

27Distancia entre dos planos paralelos

Calcula la distancia entre

\[\pi_1:2x-y+2z-3=0,\qquad \pi_2:2x-y+2z+6=0\]

1. Comprobamos que son paralelos

Los dos planos tienen el mismo vector normal:

\[\vec n=(2,-1,2)\]

Como los términos independientes son distintos, no coinciden: son paralelos.

2. Aplicamos la fórmula con los coeficientes en el mismo orden

\[d(\pi_1,\pi_2)=\frac{|6-(-3)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\]
\[d(\pi_1,\pi_2)=\frac{9}{\sqrt9}=\frac93=3\]
\[\boxed{d(\pi_1,\pi_2)=3}\]

Atención al signo. En \(\pi_1\), el término independiente es \(-3\), mientras que en \(\pi_2\) es \(6\). Por eso aparece \(6-(-3)\).

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

28Proyección y simétrico de un punto respecto de un plano

Sea \(P(2,1,2)\) y el plano

\[\pi:x+2y+2z-3=0\]

Halla la proyección ortogonal \(H\) de \(P\) sobre \(\pi\), el punto simétrico \(P'\) y la distancia de \(P\) al plano.

1. Preparamos los datos

\[\vec n=(1,2,2),\qquad \|\vec n\|^2=1^2+2^2+2^2=9\]

Evaluamos el primer miembro del plano en \(P\):

\[2+2\cdot1+2\cdot2-3=5\]

2. Hallamos el pie de la perpendicular

\[H=P-\frac59\vec n=(2,1,2)-\frac59(1,2,2)\]
\[H=\left(2-\frac59,\ 1-\frac{10}{9},\ 2-\frac{10}{9}\right)=\left(\frac{13}{9},-\frac19,\frac89\right)\]

La comprobación es inmediata:

\[\frac{13}{9}+2\left(-\frac19\right)+2\cdot\frac89-3=0\]

3. Calculamos el simétrico

\[P'=2H-P\]
\[P'=\left(\frac{26}{9},-\frac29,\frac{16}{9}\right)-(2,1,2)=\left(\frac89,-\frac{11}{9},-\frac29\right)\]

4. Calculamos la distancia

\[d(P,\pi)=\frac{|5|}{\sqrt9}=\frac53\]

La proyección es \(\displaystyle H\left(\frac{13}{9},-\frac19,\frac89\right)\), el simétrico es \(\displaystyle P'\left(\frac89,-\frac{11}{9},-\frac29\right)\) y \(\displaystyle d(P,\pi)=\frac53\).

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29Proyección de un punto sobre una recta

Halla la proyección ortogonal del punto \(P(2,1,0)\) sobre la recta

\[r:(x,y,z)=t(1,1,1)\]

1. Escribimos un punto genérico de la recta

\[H(t)=(t,t,t)\]

Para que \(H\) sea la proyección, el vector \(\overrightarrow{PH}\) debe ser perpendicular al director \(\vec v=(1,1,1)\).

\[\overrightarrow{PH}=(t-2,t-1,t)\]

2. Imponemos la perpendicularidad

\[\overrightarrow{PH}\cdot\vec v=(t-2)+(t-1)+t=0\]
\[3t-3=0\Longrightarrow t=1\]

Por tanto,

\[H=(1,1,1)\]

3. Calculamos la distancia

\[d(P,r)=\|\overrightarrow{PH}\|=\|(-1,0,1)\|=\sqrt2\]
\[\boxed{H=(1,1,1),\qquad d(P,r)=\sqrt2}\]
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Parte IV

Áreas, volúmenes y problemas completos de examen

El producto vectorial da un vector perpendicular cuyo módulo mide el área del paralelogramo. El producto mixto mide el volumen del paralelepípedo. A partir de esas dos ideas salen las fórmulas de triángulos y tetraedros.

Área de un paralelogramo
\[A=\|\vec u\times\vec v\|\]
Área de un triángulo
\[A=\frac12\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\]
Volumen de un paralelepípedo
\[V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|\]
Volumen de un tetraedro
\[V=\frac16|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|\]

En el examen. Antes de calcular, escribe los vectores desde un mismo origen. En un triángulo o un tetraedro suele ser cómodo tomar el primer punto como origen común: \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) y, si hace falta, \(\overrightarrow{AD}\).

Área de una base triangular y volumen de un tetraedro Tetraedro con base ABC, vértice D y altura perpendicular a la base. ABCD alturabase triangular
El factor \(1/2\) convierte el paralelogramo en triángulo; el factor \(1/6\) convierte el paralelepípedo en tetraedro.
Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

30Área de un triángulo en el espacio

Calcula el área del triángulo de vértices

\[A(1,0,1),\qquad B(3,1,0),\qquad C(2,-1,2)\]

1. Construimos dos lados desde el mismo vértice

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,-1)\]
\[\overrightarrow{AC}=C-A=(1,-1,1)\]

2. Calculamos el producto vectorial

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}=(0,-3,-3)\]

3. Tomamos la mitad de su módulo

\[A_{\triangle ABC}=\frac12\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}=\frac12\sqrt{18}\]
\[\boxed{A_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt2}{2}}\]
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31Área del paralelogramo definido por dos vectores

Halla el área del paralelogramo determinado por

\[\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,-1,1)\]

1. Producto vectorial

\[\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&2&0\\2&-1&1\end{vmatrix}=(2,-1,-5)\]

2. Módulo

\[A=\|\vec u\times\vec v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-5)^2}\]
\[\boxed{A=\sqrt{30}}\]

Si el enunciado pidiera el triángulo formado por esos mismos vectores, su área sería \(\sqrt{30}/2\).

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

32Volumen de un tetraedro a partir de cuatro puntos

Calcula el volumen del tetraedro de vértices

\[A(0,0,0),\quad B(1,1,0),\quad C(2,0,1),\quad D(0,1,2)\]

1. Tomamos los tres vectores con origen en \(A\)

\[\overrightarrow{AB}=(1,1,0),\quad\overrightarrow{AC}=(2,0,1),\quad\overrightarrow{AD}=(0,1,2)\]

2. Calculamos el producto mixto

\[[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\begin{vmatrix}1&1&0\\2&0&1\\0&1&2\end{vmatrix}\]

Desarrollando por la primera fila:

\[1\begin{vmatrix}0&1\\1&2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2&1\\0&2\end{vmatrix}+0=-1-4=-5\]

3. Dividimos entre 6

\[V=\frac{|-5|}{6}\]
\[\boxed{V=\frac56}\]
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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

33Volumen y coplanaridad según un parámetro

Sean

\[\vec u=(1,1,0),\qquad \vec v=(0,1,1),\qquad \vec w=(a,0,1)\]

Halla el volumen del paralelepípedo y determina para qué valor de \(a\) los tres vectores son coplanarios.

1. Calculamos el producto mixto

\[\vec u\times\vec v=(1,-1,1)\]
\[[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w=(1,-1,1)\cdot(a,0,1)=a+1\]

2. Interpretamos el resultado

\[V_{\text{paralelepípedo}}=|a+1|\]

Los vectores son coplanarios cuando el producto mixto vale cero:

\[a+1=0\Longrightarrow a=-1\]

El volumen es \(\boxed{|a+1|}\). Los vectores son coplanarios para \(\boxed{a=-1}\). Si formaran un tetraedro, su volumen sería \(\displaystyle |a+1|/6\).

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

34Problema completo tipo examen PAU/EBAU

Sean los puntos \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,1)\), \(C(2,-1,4)\) y el punto \(P(2,2,0)\).

Se pide

  • Hallar el plano \(\pi\) que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\)
  • Calcular la distancia de \(P\) al plano \(\pi\)
  • Calcular el ángulo entre la recta \(AB\) y el plano \(\pi\)

Primer paso. Hallamos dos vectores del plano

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1) \]
\[ \overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,-1-0,4-2)=(1,-1,2) \]

Segundo paso. Calculamos el vector normal del plano

\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \]
\[ \vec n= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

Tercer paso. Escribimos el plano usando el punto \(A\)

\[ 1(x-1)-5(y-0)-3(z-2)=0 \]
\[ x-1-5y-3z+6=0 \]
\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]

Cuarto paso. Calculamos la distancia de \(P\) al plano

\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|1\cdot2-5\cdot2-3\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-3)^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|2-10+0+5|}{\sqrt{1+25+9}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{3}{\sqrt{35}} \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo entre la recta \(AB\) y el plano

El vector director de la recta \(AB\) es

\[ \vec v=\overrightarrow{AB}=(2,1,-1) \]

El vector normal del plano es

\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

El ángulo \(\alpha\) entre una recta y un plano cumple

\[ \sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} \]

Pero como \(\vec v\) está contenido en el plano, debe salir ángulo cero. Lo comprobamos.

\[ \vec v\cdot\vec n=(2,1,-1)\cdot(1,-5,-3) \]
\[ \vec v\cdot\vec n=2-5+3=0 \]
\[ \sin\alpha=0 \]
\[ \alpha=0^\circ \]

Resultado.

\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]
\[ d(P,\pi)=\frac{3}{\sqrt{35}} \]
\[ \alpha=0^\circ \]

El resultado del ángulo tiene sentido. La recta \(AB\) está formada con dos puntos del plano, por tanto pertenece al plano y el ángulo entre la recta y el plano es cero.

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Ejercicio tipo examen PAU/EBAU

35Problema final: plano, proyección, área y volumen

Sean los puntos

\[A(1,0,0),\quad B(0,1,0),\quad C(0,0,1),\quad P(2,2,2)\]

Halla el plano que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\); la distancia de \(P\) al plano; la proyección ortogonal de \(P\); el área del triángulo \(ABC\) y el volumen del tetraedro \(ABCP\).

1. Plano determinado por \(A\), \(B\) y \(C\)

\[\overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\]
\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=(1,1,1)\]

La normal es \((1,1,1)\). Con el punto \(A(1,0,0)\):

\[1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0\]
\[\boxed{\pi:x+y+z-1=0}\]

2. Distancia de \(P\) al plano

\[d(P,\pi)=\frac{|2+2+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac5{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\]

3. Proyección ortogonal de \(P\)

El valor del primer miembro en \(P\) es \(5\) y \(\|\vec n\|^2=3\). Por tanto,

\[H=P-\frac53(1,1,1)\]
\[H=\left(2-\frac53,2-\frac53,2-\frac53\right)=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)\]

Se comprueba que \(1/3+1/3+1/3-1=0\), luego \(H\in\pi\).

4. Área del triángulo \(ABC\)

\[A_{ABC}=\frac12\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=\frac12\|(1,1,1)\|=\frac{\sqrt3}{2}\]

5. Volumen del tetraedro \(ABCP\)

Tomamos \(\overrightarrow{AP}=P-A=(1,2,2)\):

\[V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AP}\right|\]
\[V=\frac16|(1,1,1)\cdot(1,2,2)|=\frac16|1+2+2|\]

\(\displaystyle \pi:x+y+z-1=0\), \(\displaystyle d(P,\pi)=\frac{5\sqrt3}{3}\), \(\displaystyle H\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)\), \(\displaystyle A_{ABC}=\frac{\sqrt3}{2}\) y \(\displaystyle V_{ABCP}=\frac56\).

El volumen también puede comprobarse como \(V=\frac13\cdot\text{área de la base}\cdot\text{altura}\): \(\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac5{\sqrt3}=\frac56\).

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Para trabajar con orden

Un método estable para los ejercicios de geometría 3D

  1. Extrae los datos geométricos. Escribe los puntos, los vectores directores y las normales antes de operar.
  2. Identifica qué se está preguntando. Construir, estudiar una posición, medir una distancia o calcular un ángulo requieren herramientas distintas.
  3. Escribe la condición geométrica. Paralelismo, perpendicularidad, pertenencia o intersección deben aparecer antes de las cuentas.
  4. Calcula sin esconder los pasos. Mantén visibles los productos escalares, vectoriales, mixtos y determinantes que justifican el resultado.
  5. Interpreta y comprueba. Sustituye puntos en rectas o planos, revisa ortogonalidades y expresa la conclusión con una frase.

Cuando una intersección conduce a un sistema, el sistema es una herramienta de cálculo. El desarrollo completo de rangos, determinantes, Gauss, Cramer y parámetros se mantiene en sus recursos específicos.

Antes de entregar

Errores frecuentes que conviene revisar

  • Confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano.
  • Decidir que dos rectas son coincidentes solo porque sus directores son proporcionales.
  • Olvidar que en el espacio dos rectas no paralelas pueden ser cruzadas y no cortarse.
  • Aplicar una fórmula de distancia sin comprobar antes la posición relativa de los objetos.
  • Calcular el ángulo recta-plano con un coseno, cuando la fórmula directa utiliza el seno.
  • Perder el valor absoluto en distancias, áreas o volúmenes.
  • Usar vectores con orígenes distintos al calcular el área de un triángulo o el volumen de un tetraedro.
  • Dar solo un número sin indicar si representa una distancia, un ángulo, un área o un volumen.
  • No comprobar que una proyección pertenece al plano o a la recta sobre la que se ha proyectado.
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Dudas habituales

Preguntas frecuentes sobre geometría 3D PAU/EBAU

Qué suele entrar de geometría 3D en PAU/EBAU

Suelen aparecer rectas, planos, posiciones relativas, distancias, ángulos, producto escalar, producto vectorial y producto mixto. También son frecuentes los problemas completos donde hay que construir un plano y después calcular una distancia o un ángulo.

Qué diferencia hay entre vector director y vector normal

El vector director indica la dirección de una recta. El vector normal es perpendicular a un plano. Confundirlos es uno de los errores más habituales en geometría del espacio.

Cuándo se usa el producto escalar

El producto escalar se usa sobre todo para estudiar perpendicularidad y calcular ángulos entre vectores, rectas o planos.

Cuándo se usa el producto vectorial

El producto vectorial se usa para obtener un vector perpendicular a dos vectores dados. Es muy útil para hallar planos y para calcular distancias punto recta.

Cuándo se usa el producto mixto

El producto mixto aparece en problemas de volumen y en la distancia entre rectas que se cruzan. Mide el volumen orientado del paralelepípedo formado por tres vectores.

Cómo saber si dos rectas se cruzan

Dos rectas se cruzan cuando no son paralelas y no tienen ningún punto común. En el espacio puede ocurrir que dos rectas no sean paralelas y aun así no se corten.

Qué es lo más difícil de geometría 3D

Lo más difícil suele ser interpretar el enunciado y elegir el método. Si el alumno identifica bien puntos, vectores, rectas y planos, los cálculos suelen ser mucho más manejables.

Recurso elaborado por Marlu Educativa para el estudio de Geometría 3D en Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y la preparación PAU/EBAU.

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