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Matrices PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso sistemas determinantes rango y parámetro

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Matrices PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso con sistemas, determinantes, rango y parámetro

El bloque de matrices, determinantes y sistemas suele ser una de las partes más aprovechables de Matemáticas II en PAU/EBAU. No es un bloque para estudiar solo de memoria. Hay que saber cuándo conviene calcular un determinante, cuándo usar una inversa, cuándo aplicar Cramer y cuándo estudiar rangos con el teorema de Rouché-Frobenius.

En esta guía tienes ejercicios de matrices resueltos paso a paso con un enfoque parecido al que usaría un profesor en clase. Primero se ordenan los datos, después se decide el método y finalmente se comprueba el resultado cuando merece la pena.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa, pensado para alumnos que preparan Matemáticas II PAU/EBAU y necesitan ver ejercicios reales con explicación clara, no solo resultados finales.

Índice del bloque de matrices

  1. Operaciones básicas con matrices
  2. Producto de matrices
  3. Determinante de orden 3 por Sarrus
  4. Determinante por adjuntos
  5. Matriz inversa de orden 2
  6. Matriz inversa por adjunta
  7. Ecuación matricial AX = B
  8. Ecuación matricial XA = B
  9. Ecuación matricial con despeje especial
  10. Rango de una matriz
  11. Rango con parámetro
  12. Sistema por Cramer
  13. Rouché-Frobenius
  14. Sistema incompatible
  15. Discusión de sistema con parámetro
  16. Problema completo tipo PAU/EBAU

Qué debe dominar un alumno en matrices

Antes de entrar en ejercicios conviene tener claro el mapa. En matrices hay una parte mecánica, como sumar, multiplicar o calcular determinantes, y una parte más conceptual, como estudiar rangos, discutir sistemas o interpretar qué ocurre cuando aparece un parámetro.

  • Operar matrices sin confundir suma con producto.
  • Multiplicar fila por columna con orden.
  • Calcular determinantes por Sarrus y por adjuntos.
  • Saber cuándo una matriz tiene inversa.
  • Resolver ecuaciones matriciales respetando el orden del producto.
  • Estudiar rangos con menores.
  • Aplicar Rouché-Frobenius con matriz de coeficientes y matriz ampliada.
  • Discutir sistemas con parámetro sin saltarse los casos especiales.

Ejercicio 1. Operaciones básicas con matrices

Dadas las matrices

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

calcula \(2A-B\).

Primer paso. Calculamos \(2A\)

\[ 2A= 2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & -2 \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Restamos \(B\)

\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 7 & -6 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 7 & -6 \end{pmatrix} \]

Las matrices se suman y se restan elemento a elemento, siempre que tengan la misma dimensión.

Ejercicio 2. Producto de matrices

Dadas las matrices

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \]

calcula \(AB\).

Primer paso. Comprobamos dimensiones

La matriz \(A\) es \(2\times3\) y la matriz \(B\) es \(3\times2\). El producto existe y el resultado será \(2\times2\).

\[ (2\times3)(3\times2)=2\times2 \]

Segundo paso. Multiplicamos fila por columna

\[ c_{11}=1\cdot2+2(-1)+(-1)4=-4 \]
\[ c_{12}=1\cdot1+2\cdot0+(-1)2=-1 \]
\[ c_{21}=0\cdot2+3(-1)+1\cdot4=1 \]
\[ c_{22}=0\cdot1+3\cdot0+1\cdot2=2 \]

Resultado.

\[ AB= \begin{pmatrix} -4 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Error típico. El producto de matrices no se hace multiplicando posición con posición. Cada entrada del resultado sale de una fila por una columna.

Ejercicio 3. Determinante de orden 3 por Sarrus

Calcula el determinante

\[ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 1\\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \]

Primer paso. Recordamos Sarrus

\[ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} =aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ |A|=1(-1)4+2\cdot1\cdot2+0\cdot3\cdot0-0(-1)2-2\cdot3\cdot4-1\cdot1\cdot0 \]
\[ |A|=-4+4+0-0-24-0=-24 \]

Resultado.

\[ |A|=-24 \]

Como el determinante no es cero, la matriz tiene rango 3. Este dato también serviría para saber que la matriz es invertible.

Ejercicio 4. Determinante por adjuntos

Calcula el determinante desarrollando por adjuntos.

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 4\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Elegimos una fila o columna cómoda

Conviene desarrollar por la segunda columna porque tiene dos ceros.

\[ |A|=0\cdot C_{12}+(-1)\cdot C_{22}+0\cdot C_{32} \]

Solo queda calcular el cofactor \(C_{22}\).

Segundo paso. Calculamos el menor asociado

Quitamos la fila 2 y la columna 2.

\[ M_{22}= \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} =2\cdot2-1\cdot1=3 \]

El cofactor es

\[ C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=3 \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ |A|=(-1)\cdot3=-3 \]

Resultado.

\[ |A|=-3 \]

Desarrollar por una fila o columna con ceros ahorra mucho cálculo. En examen conviene elegir siempre el camino más limpio.

Ejercicio 5. Matriz inversa de una matriz 2 por 2

Calcula la inversa de

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|=2\cdot3-1\cdot5=1 \]

Como el determinante no es cero, existe la inversa.

Segundo paso. Aplicamos la fórmula

\[ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Si multiplicas \(AA^{-1}\), debe salir la matriz identidad. Esa es la comprobación más directa.

Ejercicio 6. Matriz inversa por adjunta

Calcula la inversa de la matriz

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ |A|=1(1\cdot1-0\cdot1)+1(2\cdot1-1\cdot0)=1+2=3 \]

Como \(|A|\neq0\), la matriz tiene inversa.

Segundo paso. Calculamos la matriz de cofactores

\[ C= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Trasponemos la matriz de cofactores

\[ \operatorname{Adj}(A)=C^T= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Cuarto paso. Aplicamos la fórmula de la inversa

\[ A^{-1}=\frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A) \]
\[ A^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ A^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Error típico. En la inversa por adjunta no basta con calcular cofactores. Después hay que trasponer la matriz de cofactores.

Ejercicio 7. Ecuación matricial del tipo AX = B

Resuelve

\[ AX=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Despejamos bien

Como \(X\) está a la derecha de \(A\), multiplicamos por \(A^{-1}\) por la izquierda.

\[ X=A^{-1}B \]

Segundo paso. Usamos la inversa

\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Multiplicamos

\[ X= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Ejercicio 8. Ecuación matricial del tipo XA = B

Resuelve

\[ XA=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Despejamos por la derecha

Ahora la incógnita está antes de \(A\). Por eso se multiplica por \(A^{-1}\) por la derecha.

\[ X=BA^{-1} \]

Segundo paso. Multiplicamos

\[ X= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ X= \begin{pmatrix} -17 & 7\\ 5 & -2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} -17 & 7\\ 5 & -2 \end{pmatrix} \]

Error típico. \(AX=B\) y \(XA=B\) no se despejan igual. El orden del producto no se puede cambiar.

Ejercicio 9. Ecuación matricial con despeje especial

Resuelve la ecuación matricial

\[ 2X+A=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 1 & 8 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Despejamos \(X\)

\[ 2X=B-A \]
\[ X=\frac{1}{2}(B-A) \]

Segundo paso. Calculamos \(B-A\)

\[ B-A= \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 1 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6\\ -2 & 8 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Dividimos entre 2

\[ X=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 6\\ -2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

Este tipo de ejercicio aparece mucho en controles y exámenes de Bachillerato porque mezcla despeje algebraico y operaciones con matrices.

Ejercicio 10. Rango de una matriz

Calcula el rango de

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Primer paso. Vemos si puede tener rango 3

La segunda fila es el doble de la primera.

\[ F_2=2F_1 \]

Por tanto, no puede tener rango 3.

Segundo paso. Buscamos un menor de orden 2 no nulo

\[ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1-2=-1 \]

Como ese menor no es cero, el rango es 2.

Resultado.

\[ \operatorname{rg}(A)=2 \]

Ejercicio 11. Rango de una matriz con parámetro

Estudia el rango de la matriz según el valor de \(a\).

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|=(a-1)^2 \]

Segundo paso. Estudiamos casos

Si \(a\neq1\), entonces \(|A|\neq0\), luego el rango es 3.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=3 \]

Si \(a=1\), todas las filas quedan iguales.

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=1 \]

Resultado.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=3 \]
\[ a=1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=1 \]

Ejercicio 12. Sistema compatible determinado por Cramer

Resuelve el sistema usando Cramer.

\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases} \]

Primer paso. Determinante principal

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ |A|=7 \]

Como \(|A|\neq0\), hay solución única.

Segundo paso. Determinantes de Cramer

\[ |A_x|=7,\quad |A_y|=14,\quad |A_z|=21 \]

Tercer paso. Calculamos incógnitas

\[ x=\frac{7}{7}=1,\quad y=\frac{14}{7}=2,\quad z=\frac{21}{7}=3 \]

Resultado.

\[ x=1,\quad y=2,\quad z=3 \]

Comprobación rápida. \(1+2+3=6\), \(2\cdot1-2+3=3\) y \(1+2\cdot2-3=2\).

Ejercicio 13. Teorema de Rouché-Frobenius

Estudia el sistema.

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x-y+z=0 \end{cases} \]

Primer paso. Matriz de coeficientes y ampliada

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ (A|B)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Rangos

La segunda fila es el doble de la primera, pero la tercera no lo es. Hay un menor de orden 2 no nulo.

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-2 \]
\[ \operatorname{rg}(A)=2 \]

En la matriz ampliada tampoco aparece contradicción, y el rango sigue siendo 2.

\[ \operatorname{rg}(A|B)=2 \]

Tercer paso. Clasificación

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|B)=2<3 \]

Resultado.

El sistema es compatible indeterminado.

Hay infinitas soluciones porque los rangos coinciden, pero son menores que el número de incógnitas.

Ejercicio 14. Sistema incompatible

Estudia el sistema.

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=3\\ x-y+z=0 \end{cases} \]

Primer paso. Detectamos la contradicción

Los coeficientes de la segunda ecuación son el doble de los de la primera.

\[ (2,2,2)=2(1,1,1) \]

Pero el término independiente no guarda la misma proporción.

\[ 3\neq2\cdot1 \]

Segundo paso. Interpretamos

Si \(x+y+z=1\), al multiplicar por 2 tendría que salir \(2x+2y+2z=2\), no \(3\).

\[ \operatorname{rg}(A)\neq \operatorname{rg}(A|B) \]

Resultado.

El sistema es incompatible. No tiene solución.

Ejercicio 15. Discusión de un sistema con parámetro

Discute el sistema según el valor de \(a\).

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x+ay+z=2\\ x+y+az=3 \end{cases} \]

Primer paso. Matriz de coeficientes

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Determinante

\[ |A|=(a-1)^2 \]

Tercer paso. Caso general

Si \(a\neq1\), el determinante no se anula y el sistema tiene solución única.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]

Cuarto paso. Caso especial

Si \(a=1\), queda

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ x+y+z=3 \end{cases} \]

Es imposible que la misma suma tenga tres valores distintos.

\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Resultado.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Ejercicio 16. Problema completo tipo PAU/EBAU

Sea el sistema

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+ay+z=0\\ x+y+az=2 \end{cases} \]

Se pide discutirlo según \(a\).

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]
\[ |A|=(a-1)(a-2) \]

Segundo paso. Caso general

Si \(a\neq1\) y \(a\neq2\), el sistema es compatible determinado.

\[ a\neq1,\ a\neq2 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]

Tercer paso. Caso \(a=1\)

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+y+z=0\\ x+y+z=2 \end{cases} \]

La primera y la tercera ecuación son incompatibles entre sí.

\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Cuarto paso. Caso \(a=2\)

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+z=0\\ x+y+2z=2 \end{cases} \]

De la tercera menos la primera se obtiene

\[ z=1 \]

De la segunda menos dos veces la primera se obtiene

\[ -z=-2 \]
\[ z=2 \]

El sistema exige \(z=1\) y \(z=2\) al mismo tiempo. No puede ser.

\[ a=2 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Resultado.

\[ a\neq1,\ a\neq2 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]
\[ a=2 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Muy importante. Cuando el determinante se anula, no se concluye automáticamente que el sistema sea incompatible. Hay que estudiar cada valor especial.

Cómo repasar el bloque de matrices para PAU/EBAU

Para estudiar matrices con cabeza, no conviene mezclarlo todo desde el principio. Primero se afianzan operaciones, producto y determinantes. Después se trabaja matriz inversa y ecuaciones matriciales. Finalmente se entra en rango, Rouché-Frobenius y sistemas con parámetro.

  • Primero operaciones y producto de matrices.
  • Después determinantes por Sarrus y por adjuntos.
  • Luego matriz inversa y ecuaciones matriciales.
  • Después rango de matrices y rango con parámetro.
  • Más tarde Cramer y Rouché-Frobenius.
  • Finalmente discusión de sistemas con parámetro.

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En Marlu Educativa trabajamos matrices, determinantes y sistemas con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores frecuentes. La clave no es repetir operaciones sin dirección, sino aprender a interpretar el enunciado y decidir qué método conviene usar.

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