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Matrices PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso sistemas determinantes rango y parámetro

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Clases online de matemáticas ADE
Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Matrices PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso con sistemas, determinantes, rango y parámetro

El bloque de matrices, determinantes y sistemas suele ser una de las partes más aprovechables de Matemáticas II en PAU/EBAU. No es un bloque para estudiar solo de memoria. Hay que saber cuándo conviene calcular un determinante, cuándo usar una inversa, cuándo aplicar Cramer y cuándo estudiar rangos con el teorema de Rouché-Frobenius.

En esta guía tienes ejercicios de matrices resueltos paso a paso con un enfoque parecido al que usaría un profesor en clase. Primero se ordenan los datos, después se decide el método y finalmente se comprueba el resultado cuando merece la pena.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa, pensado para alumnos que preparan Matemáticas II PAU/EBAU y necesitan ver ejercicios reales con explicación clara, no solo resultados finales.

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8bloques de trabajo
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2.º Bach.Matemáticas II
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Índice del bloque de matrices

Qué debe dominar un alumno en matrices

Antes de entrar en ejercicios conviene tener claro el mapa. En matrices hay una parte mecánica, como sumar, multiplicar o calcular determinantes, y una parte más conceptual, como estudiar rangos, discutir sistemas o interpretar qué ocurre cuando aparece un parámetro.

  • Operar matrices sin confundir suma con producto.
  • Multiplicar fila por columna con orden.
  • Trabajar con potencias, traspuestas y la matriz identidad.
  • Calcular determinantes por Sarrus y por adjuntos.
  • Saber cuándo una matriz tiene inversa.
  • Resolver ecuaciones matriciales simples y de doble producto respetando el orden.
  • Estudiar rangos con menores.
  • Aplicar Rouché-Frobenius con matriz de coeficientes y matriz ampliada.
  • Discutir sistemas con parámetro sin saltarse los casos especiales.

Esta guía ofrece el recorrido general. Para desarrollar con más profundidad las propiedades y técnicas de cálculo, consulta los ejercicios de determinantes de 2.º de Bachillerato. Para la parte que más suele exigir razonamiento, conviene practicar la discusión de sistemas con parámetros mediante Rouché-Frobenius y comparar cuándo resulta más eficaz utilizar la regla de Cramer o el método de Gauss.

1Operaciones matriciales

Ejercicio 1. Operaciones básicas con matrices

Enunciado

Dadas las matrices

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

calcula \(2A-B\).

Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos \(2A\)

\[ 2A= 2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & -2 \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Restamos \(B\)

\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 7 & -6 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ 2A-B= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 7 & -6 \end{pmatrix} \]

Las matrices se suman y se restan elemento a elemento, siempre que tengan la misma dimensión.

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Ejercicio 2. Producto de matrices

Enunciado

Dadas las matrices

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \]

calcula \(AB\).

Solución paso a paso

Primer paso. Comprobamos dimensiones

La matriz \(A\) es \(2\times3\) y la matriz \(B\) es \(3\times2\). El producto existe y el resultado será \(2\times2\).

\[ (2\times3)(3\times2)=2\times2 \]

Segundo paso. Multiplicamos fila por columna

\[ c_{11}=1\cdot2+2(-1)+(-1)4=-4 \]
\[ c_{12}=1\cdot1+2\cdot0+(-1)2=-1 \]
\[ c_{21}=0\cdot2+3(-1)+1\cdot4=1 \]
\[ c_{22}=0\cdot1+3\cdot0+1\cdot2=2 \]

Resultado.

\[ AB= \begin{pmatrix} -4 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Error típico. El producto de matrices no se hace multiplicando posición con posición. Cada entrada del resultado sale de una fila por una columna.

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2Determinantes

Ejercicio 3. Determinante de orden 3 por Sarrus

Enunciado

Calcula el determinante

\[ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 1\\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \]
Solución paso a paso

Primer paso. Recordamos Sarrus

\[ \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} =aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ |A|=1(-1)4+2\cdot1\cdot2+0\cdot3\cdot0-0(-1)2-2\cdot3\cdot4-1\cdot1\cdot0 \]
\[ |A|=-4+4+0-0-24-0=-24 \]

Resultado.

\[ |A|=-24 \]

Como el determinante no es cero, la matriz tiene rango 3. Este dato también serviría para saber que la matriz es invertible.

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Ejercicio 4. Determinante por adjuntos

Enunciado

Calcula el determinante desarrollando por adjuntos.

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 4\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Elegimos una fila o columna cómoda

Conviene desarrollar por la segunda columna porque tiene dos ceros.

\[ |A|=0\cdot C_{12}+(-1)\cdot C_{22}+0\cdot C_{32} \]

Solo queda calcular el cofactor \(C_{22}\).

Segundo paso. Calculamos el menor asociado

Quitamos la fila 2 y la columna 2.

\[ M_{22}= \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} =2\cdot2-1\cdot1=3 \]

El cofactor es

\[ C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=3 \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ |A|=(-1)\cdot3=-3 \]

Resultado.

\[ |A|=-3 \]

Desarrollar por una fila o columna con ceros ahorra mucho cálculo. En examen conviene elegir siempre el camino más limpio.

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3Matriz inversa

Ejercicio 5. Matriz inversa de una matriz 2 por 2

Enunciado

Calcula la inversa de

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|=2\cdot3-1\cdot5=1 \]

Como el determinante no es cero, existe la inversa.

Segundo paso. Aplicamos la fórmula

\[ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Si multiplicas \(AA^{-1}\), debe salir la matriz identidad. Esa es la comprobación más directa.

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Ejercicio 6. Matriz inversa por adjunta

Enunciado

Calcula la inversa de la matriz

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ |A|=1(1\cdot1-0\cdot1)+1(2\cdot1-1\cdot0)=1+2=3 \]

Como \(|A|\neq0\), la matriz tiene inversa.

Segundo paso. Calculamos la matriz de cofactores

\[ C= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Trasponemos la matriz de cofactores

\[ \operatorname{Adj}(A)=C^T= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Cuarto paso. Aplicamos la fórmula de la inversa

\[ A^{-1}=\frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A) \]
\[ A^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ A^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Error típico. En la inversa por adjunta no basta con calcular cofactores. Después hay que trasponer la matriz de cofactores.

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4Ecuaciones matriciales

Ejercicio 7. Ecuación matricial del tipo AX = B

Enunciado

Resuelve

\[ AX=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Despejamos bien

Como \(X\) está a la derecha de \(A\), multiplicamos por \(A^{-1}\) por la izquierda.

\[ X=A^{-1}B \]

Segundo paso. Usamos la inversa

\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Multiplicamos

\[ X= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]
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Ejercicio 8. Ecuación matricial del tipo XA = B

Enunciado

Resuelve

\[ XA=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Despejamos por la derecha

Ahora la incógnita está antes de \(A\). Por eso se multiplica por \(A^{-1}\) por la derecha.

\[ X=BA^{-1} \]

Segundo paso. Multiplicamos

\[ X= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ X= \begin{pmatrix} -17 & 7\\ 5 & -2 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} -17 & 7\\ 5 & -2 \end{pmatrix} \]

Error típico. \(AX=B\) y \(XA=B\) no se despejan igual. El orden del producto no se puede cambiar.

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Ejercicio 9. Ecuación matricial con despeje especial

Enunciado

Resuelve la ecuación matricial

\[ 2X+A=B \]

donde

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 1 & 8 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Despejamos \(X\)

\[ 2X=B-A \]
\[ X=\frac{1}{2}(B-A) \]

Segundo paso. Calculamos \(B-A\)

\[ B-A= \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 1 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6\\ -2 & 8 \end{pmatrix} \]

Tercer paso. Dividimos entre 2

\[ X=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 6\\ -2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ X= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \]

Este tipo de ejercicio aparece mucho en controles y exámenes de Bachillerato porque mezcla despeje algebraico y operaciones con matrices.

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5Rango de matrices

Ejercicio 10. Rango de una matriz

Enunciado

Calcula el rango de

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Vemos si puede tener rango 3

La segunda fila es el doble de la primera.

\[ F_2=2F_1 \]

Por tanto, no puede tener rango 3.

Segundo paso. Buscamos un menor de orden 2 no nulo

\[ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1-2=-1 \]

Como ese menor no es cero, el rango es 2.

Resultado.

\[ \operatorname{rg}(A)=2 \]
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Ejercicio 11. Rango de una matriz con parámetro

Enunciado

Estudia el rango de la matriz según el valor de \(a\).

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ |A|=(a-1)^2 \]

Segundo paso. Estudiamos casos

Si \(a\neq1\), entonces \(|A|\neq0\), luego el rango es 3.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=3 \]

Si \(a=1\), todas las filas quedan iguales.

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=1 \]

Resultado.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=3 \]
\[ a=1 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=1 \]
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6Sistemas lineales

Ejercicio 12. Sistema compatible determinado por Cramer

Enunciado

Resuelve el sistema usando Cramer.

\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Determinante principal

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ |A|=7 \]

Como \(|A|\neq0\), hay solución única.

Segundo paso. Determinantes de Cramer

\[ |A_x|=7,\quad |A_y|=14,\quad |A_z|=21 \]

Tercer paso. Calculamos incógnitas

\[ x=\frac{7}{7}=1,\quad y=\frac{14}{7}=2,\quad z=\frac{21}{7}=3 \]

Resultado.

\[ x=1,\quad y=2,\quad z=3 \]

Comprobación rápida. \(1+2+3=6\), \(2\cdot1-2+3=3\) y \(1+2\cdot2-3=2\).

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Ejercicio 13. Teorema de Rouché-Frobenius

Enunciado

Estudia el sistema.

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x-y+z=0 \end{cases} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Matriz de coeficientes y ampliada

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ (A|B)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Rangos

La segunda fila es el doble de la primera, pero la tercera no lo es. Hay un menor de orden 2 no nulo.

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-2 \]
\[ \operatorname{rg}(A)=2 \]

En la matriz ampliada tampoco aparece contradicción, y el rango sigue siendo 2.

\[ \operatorname{rg}(A|B)=2 \]

Tercer paso. Clasificación

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|B)=2<3 \]

Resultado.

El sistema es compatible indeterminado.

Hay infinitas soluciones porque los rangos coinciden, pero son menores que el número de incógnitas.

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Ejercicio 14. Sistema incompatible

Enunciado

Estudia el sistema.

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=3\\ x-y+z=0 \end{cases} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Detectamos la contradicción

Los coeficientes de la segunda ecuación son el doble de los de la primera.

\[ (2,2,2)=2(1,1,1) \]

Pero el término independiente no guarda la misma proporción.

\[ 3\neq2\cdot1 \]

Segundo paso. Interpretamos

Si \(x+y+z=1\), al multiplicar por 2 tendría que salir \(2x+2y+2z=2\), no \(3\).

\[ \operatorname{rg}(A)\neq \operatorname{rg}(A|B) \]

Resultado.

El sistema es incompatible. No tiene solución.

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7Parámetros y problemas tipo PAU/EBAU

Ejercicio 15. Discusión de un sistema con parámetro

Enunciado

Discute el sistema según el valor de \(a\).

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x+ay+z=2\\ x+y+az=3 \end{cases} \]
Solución paso a paso

Primer paso. Matriz de coeficientes

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]

Segundo paso. Determinante

\[ |A|=(a-1)^2 \]

Tercer paso. Caso general

Si \(a\neq1\), el determinante no se anula y el sistema tiene solución única.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]

Cuarto paso. Caso especial

Si \(a=1\), queda

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ x+y+z=3 \end{cases} \]

Es imposible que la misma suma tenga tres valores distintos.

\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Resultado.

\[ a\neq1 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]
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Ejercicio 16. Problema completo tipo PAU/EBAU

Enunciado

Sea el sistema

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+ay+z=0\\ x+y+az=2 \end{cases} \]

Se pide discutirlo según \(a\).

Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos el determinante

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \]
\[ |A|=(a-1)(a-2) \]

Segundo paso. Caso general

Si \(a\neq1\) y \(a\neq2\), el sistema es compatible determinado.

\[ a\neq1,\ a\neq2 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]

Tercer paso. Caso \(a=1\)

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+y+z=0\\ x+y+z=2 \end{cases} \]

La primera y la tercera ecuación son incompatibles entre sí.

\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Cuarto paso. Caso \(a=2\)

\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+z=0\\ x+y+2z=2 \end{cases} \]

De la tercera menos la primera se obtiene

\[ z=1 \]

De la segunda menos dos veces la primera se obtiene

\[ -z=-2 \]
\[ z=2 \]

El sistema exige \(z=1\) y \(z=2\) al mismo tiempo. No puede ser.

\[ a=2 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Resultado.

\[ a\neq1,\ a\neq2 \Longrightarrow \text{compatible determinado} \]
\[ a=1 \Longrightarrow \text{incompatible} \]
\[ a=2 \Longrightarrow \text{incompatible} \]

Muy importante. Cuando el determinante se anula, no se concluye automáticamente que el sistema sea incompatible. Hay que estudiar cada valor especial.

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8Ampliación PAU: inversas y ecuaciones matriciales

Ejercicio 17. Inversa de una matriz con parámetro

Enunciado

Sea la matriz

\[ A(a)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & a & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Determina para qué valores de \(a\) existe \(A(a)^{-1}\) y calcula la inversa para \(a=0\).

Solución paso a paso

Primer paso. Estudiamos cuándo existe la inversa

\[ |A(a)|= 1\begin{vmatrix}a&1\\0&1\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix} =a+1 \]

La matriz es invertible exactamente cuando su determinante no se anula.

\[ A(a)^{-1}\text{ existe}\Longleftrightarrow a\neq-1 \]

Segundo paso. Particularizamos para \(a=0\)

\[ A(0)= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix} \]

Reducimos por Gauss la matriz ampliada \((A(0)|I)\):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&0&-1&1\\ 0&1&0&1&1&-1\\ 0&0&1&0&1&0 \end{array} \right) \]

Resultado.

\[ A(0)^{-1}= \begin{pmatrix} 0&-1&1\\ 1&1&-1\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \]

Comprobación. Al multiplicar \(A(0)A(0)^{-1}\) se obtiene la matriz identidad de orden 3.

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Ejercicio 18. Ecuación matricial del tipo AXB = C

Enunciado

Resuelve la ecuación matricial \(AXB=C\), donde

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3&3\\0&1\end{pmatrix}. \]
Solución paso a paso

Primer paso. Despejamos respetando el orden

Multiplicamos por \(A^{-1}\) a la izquierda y por \(B^{-1}\) a la derecha.

\[ AXB=C\Longrightarrow XB=A^{-1}C\Longrightarrow X=A^{-1}CB^{-1} \]

Segundo paso. Calculamos las inversas

\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix} \]

Tercer paso. Multiplicamos en el orden correcto

\[ X= \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&3\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ \boxed{X=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}} \]

Error típico. No se puede escribir \(X=B^{-1}CA^{-1}\). En productos de matrices, despejar no permite cambiar el orden de los factores.

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Ejercicio 19. Ecuación matricial con identidad y traspuesta

Enunciado

Dada la matriz

\[ A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}, \]

resuelve la ecuación \(AX-A^T=X\).

Solución paso a paso

Primer paso. Reunimos los términos que contienen \(X\)

\[ AX-X=A^T \]

Como \(X=IX\), podemos factorizar por la derecha.

\[ (A-I)X=A^T \]

Segundo paso. Invertimos \(A-I\)

\[ A-I=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad (A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \]

Tercer paso. Calculamos \(X\)

\[ X=(A-I)^{-1}A^T = \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix} \]

Resultado.

\[ \boxed{X=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}} \]

Comprobación. \(AX=\begin{pmatrix}3&-2\\2&4\end{pmatrix}\), por lo que \(AX-A^T=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}=X\).

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Ejercicio 20. Potencias e inversa mediante una identidad

Enunciado

Sea la matriz

\[ N= \begin{pmatrix} 0&2&-1\\ 0&0&3\\ 0&0&0 \end{pmatrix}. \]

Calcula \(N^{2026}\) y, sin aplicar directamente la fórmula de la adjunta, halla \((I+N+N^2)^{-1}\).

Solución paso a paso

Primer paso. Calculamos las primeras potencias

\[ N^2= \begin{pmatrix} 0&0&6\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\qquad N^3=O \]

La letra \(O\) representa la matriz nula de orden 3.

Desde la tercera potencia todas son nulas.

\[ \boxed{N^{2026}=O} \]

Segundo paso. Utilizamos una identidad matricial

\[ (I-N)(I+N+N^2)=I-N^3=I \]

Como \(N^3=O\), la matriz \(I-N\) es la inversa buscada.

Resultado.

\[ (I+N+N^2)^{-1}=I-N= \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 0&1&-3\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]

Esta estrategia evita calcular nueve cofactores. Reconocer una potencia nula y usar \((I-N)(I+N+N^2)=I-N^3\) es exactamente el tipo de razonamiento que distingue una solución de examen bien planteada.

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Cómo repasar el bloque de matrices para PAU/EBAU

Para estudiar matrices con cabeza, no conviene mezclarlo todo desde el principio. Primero se afianzan operaciones, producto y determinantes. Después se trabaja matriz inversa y ecuaciones matriciales. Finalmente se entra en rango, Rouché-Frobenius y sistemas con parámetro.

  • Primero operaciones y producto de matrices.
  • Después determinantes por Sarrus y por adjuntos.
  • Luego matriz inversa y ecuaciones matriciales.
  • Después potencias, traspuestas, identidad y ecuaciones con varios factores.
  • Después rango de matrices y rango con parámetro.
  • Más tarde Cramer y Rouché-Frobenius.
  • Finalmente discusión de sistemas con parámetro.

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