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Álgebra 4º ESO para preparar 1º Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso

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Marlu Educativa · Puente de 4.º de ESO a 1.º de Bachillerato

Álgebra de 4.º ESO antes de Bachillerato: diagnóstico y ejercicios clave

Un recorrido para comprobar la base, localizar el primer paso que falla y repararlo con desarrollos completos. No adelanta el temario de 1.º: afianza el álgebra de 4.º que se necesitará desde el comienzo.

12 cuestiones de diagnósticocon una ruta distinta según los errores encontrados
38 modelos resueltosdesde cálculo básico hasta retos de conexión y examen
20 ejercicios de prácticapara trabajar sin mirar y corregir al terminar
Hacer el diagnóstico Ver la ruta de ejercicios

Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 15 de agosto de 2026.

Una forma sencilla de empezar

Haz primero el diagnóstico sin calculadora y sin consultar los modelos. No importa tanto la puntuación como reconocer dónde aparece el primer error: en un signo, en una factorización, al eliminar denominadores o al traducir un enunciado.

Después trabaja únicamente los bloques que necesites. Cada solución muestra el desarrollo y, cuando puede aparecer una respuesta extraña o un valor prohibido, incluye también la comprobación.

20 minutos · sin mirar los modelos

Diagnóstico inicial: ¿qué parte de la base conviene reparar?

Resuelve estas doce cuestiones en papel. Un fallo de cálculo aislado no obliga a repetir un bloque entero; dos errores del mismo tipo sí señalan una base que merece atención.

  1. Simplifica \(2^{-3}\cdot4\).
  2. Extrae factores de \(\sqrt{72}\).
  3. Desarrolla \((x-3)^2\).
  4. Factoriza \(x^2-5x+6\).
  5. Calcula \(P(2)\) si \(P(x)=x^3-4x+1\).
  6. Simplifica \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) e indica la restricción.
  7. Resuelve \(3(x-2)=2x+5\).
  8. Resuelve \(x^2-9=0\).
  9. Resuelve \(\sqrt{x+1}=x-1\) y comprueba.
  10. Resuelve \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
  11. Resuelve \((x-2)(x+1)\leq0\).
  12. Un número más su mitad suman \(18\). ¿Cuál es?
Ver respuestas y elegir la ruta

Respuestas: 1) \(\frac12\); 2) \(6\sqrt2\); 3) \(x^2-6x+9\); 4) \((x-2)(x-3)\); 5) \(1\); 6) \(x+3\), con \(x\neq3\); 7) \(x=11\); 8) \(x=\pm3\); 9) \(x=3\); 10) \(x=4,\ y=3\); 11) \([-1,2]\); 12) \(12\).

10–12 correctasPuedes ir a los problemas y retos de puente. Revisa solo los errores concretos.
7–9 correctasTrabaja los bloques relacionados con tus fallos y repite después esas preguntas.
0–6 correctasConviene recorrer los cuatro primeros bloques en orden antes de pasar a los retos.

El resultado no es una nota. Sirve para decidir por dónde empezar y evitar repetir lo que ya está asentado.

Bloque 1

Base numérica que el álgebra necesita

Potencias, notación científica, intervalos, radicales, racionalización y logaritmos sencillos. Aquí se corrigen los fallos de cálculo que después se arrastran a las ecuaciones.

Ejercicio 1. Potencias con exponentes enteros y operaciones combinadas

Simplifica la expresión:

\[ A=\frac{2^3\cdot 2^{-5}\cdot 4^2}{8^{-1}} \]

Resolución

Primero escribimos todas las potencias con base \(2\).

\[ 4^2=(2^2)^2=2^4 \]
\[ 8^{-1}=(2^3)^{-1}=2^{-3} \]

Sustituimos:

\[ A=\frac{2^3\cdot 2^{-5}\cdot 2^4}{2^{-3}} \]

En el numerador sumamos exponentes porque las bases son iguales.

\[ 2^3\cdot 2^{-5}\cdot 2^4=2^{3-5+4}=2^2 \]

Ahora dividimos potencias de la misma base.

\[ A=\frac{2^2}{2^{-3}}=2^{2-(-3)}=2^5 \]
\[ A=32 \]

Resultado. \(A=32\)

La clave era convertir \(4\) y \(8\) a potencias de \(2\). Así toda la expresión queda con una sola base.

Ejercicio 2. Notación científica con números grandes y pequeños

Calcula y expresa el resultado en notación científica:

\[ B=\frac{(3,2\cdot10^5)(4,5\cdot10^{-3})}{1,8\cdot10^2} \]

Resolución

Operamos primero los números decimales y después las potencias de \(10\).

\[ B=\frac{3,2\cdot4,5}{1,8}\cdot10^{5+(-3)-2} \]
\[ B=\frac{14,4}{1,8}\cdot10^0 \]
\[ B=8\cdot10^0 \]

Como \(10^0=1\), queda:

\[ B=8 \]

En notación científica:

\[ B=8,0\cdot10^0 \]

Resultado. \(B=8,0\cdot10^0\)

En notación científica, el número que multiplica a la potencia de \(10\) debe estar entre \(1\) y \(10\).

Ejercicio 3. Intervalos en la recta real

Expresa como intervalo la solución común de estas dos condiciones:

\[ x\ge -2 \]
\[ x<5 \]

Resolución

La primera condición indica que \(x\) puede valer \(-2\) o cualquier número mayor. La segunda indica que \(x\) debe ser menor que \(5\), pero no puede valer \(5\).

\[ -2\le x<5 \]

En forma de intervalo:

\[ [-2,5) \]

Resultado. La solución es el intervalo \([-2,5)\)

Ejercicio 4. Radicales. Extraer factores y simplificar

Simplifica:

\[ \sqrt{72}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8} \]

Resolución

Descomponemos cada radicando buscando cuadrados perfectos.

\[ 72=36\cdot2 \]
\[ \sqrt{72}=6\sqrt2 \]
\[ 50=25\cdot2 \]
\[ \sqrt{50}=5\sqrt2 \]
\[ 8=4\cdot2 \]
\[ \sqrt8=2\sqrt2 \]

Sustituimos:

\[ \sqrt{72}-2\sqrt{50}+3\sqrt8 = 6\sqrt2-2(5\sqrt2)+3(2\sqrt2) \]
\[ =6\sqrt2-10\sqrt2+6\sqrt2 \]
\[ =2\sqrt2 \]

Resultado. \(2\sqrt2\)

Ejercicio 5. Operaciones con radicales

Simplifica:

\[ C=(\sqrt3+\sqrt{12})^2 \]

Resolución

Primero simplificamos \(\sqrt{12}\).

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3 \]

Por tanto:

\[ C=(\sqrt3+2\sqrt3)^2 \]
\[ C=(3\sqrt3)^2 \]
\[ C=9\cdot3=27 \]

Resultado. \(C=27\)

En este caso era más limpio reducir primero los radicales semejantes y después elevar al cuadrado.

Ejercicio 6. Racionalización de denominadores

Racionaliza:

\[ \frac{5}{\sqrt3-1} \]

Resolución

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

\[ \frac{5}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1} \]
\[ =\frac{5(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \]

Usamos diferencia de cuadrados:

\[ (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=(\sqrt3)^2-1^2=3-1=2 \]
\[ \frac{5}{\sqrt3-1}=\frac{5(\sqrt3+1)}{2} \]

Resultado. \(\frac{5(\sqrt3+1)}{2}\)

Ejercicio 7. Logaritmos sencillos y propiedades básicas

Sabiendo que \(\log a=2\) y \(\log b=3\), calcula:

\[ \log\left(\frac{a^2b}{100}\right) \]

Resolución

Aplicamos propiedades de los logaritmos.

\[ \log\left(\frac{a^2b}{100}\right)=\log(a^2b)-\log100 \]
\[ =\log(a^2)+\log b-\log100 \]
\[ =2\log a+\log b-2 \]

Sustituimos los datos:

\[ =2\cdot2+3-2=5 \]

Resultado. \(\log\left(\frac{a^2b}{100}\right)=5\)

Bloque 2

Polinomios y factorización de 4.º

Operaciones, identidades notables, Ruffini, resto, factorización y fracciones algebraicas con sus restricciones.

Ejercicio 8. Operaciones con polinomios

Dados:

\[ P(x)=2x^3-3x^2+x-5 \]
\[ Q(x)=x^3+4x^2-2x+1 \]

Calcula \(P(x)-2Q(x)\).

Resolución

\[ 2Q(x)=2x^3+8x^2-4x+2 \]
\[ P(x)-2Q(x)=2x^3-3x^2+x-5-(2x^3+8x^2-4x+2) \]
\[ =2x^3-3x^2+x-5-2x^3-8x^2+4x-2 \]
\[ =-11x^2+5x-7 \]

Resultado. \(P(x)-2Q(x)=-11x^2+5x-7\)

Ejercicio 9. Identidades notables

Desarrolla y simplifica:

\[ (2x-3)^2-(x+4)(x-4) \]

Resolución

\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \]
\[ (x+4)(x-4)=x^2-16 \]
\[ (2x-3)^2-(x+4)(x-4) = 4x^2-12x+9-(x^2-16) \]
\[ =4x^2-12x+9-x^2+16 \]
\[ =3x^2-12x+25 \]

Resultado. \(3x^2-12x+25\)

Ejercicio 10. Factor común y agrupación

Factoriza:

\[ 6x^3-9x^2+4x-6 \]

Resolución

\[ 6x^3-9x^2+4x-6=(6x^3-9x^2)+(4x-6) \]
\[ =3x^2(2x-3)+2(2x-3) \]
\[ =(2x-3)(3x^2+2) \]

Resultado. \((2x-3)(3x^2+2)\)

Ejercicio 11. División de polinomios y regla de Ruffini

Divide el polinomio:

\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6 \]

entre \(x-2\).

Resolución

Como dividimos entre \(x-2\), usamos Ruffini con \(2\).

\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]

El cociente tiene coeficientes \(1\), \(-2\), \(-3\), y el resto es \(0\).

\[ C(x)=x^2-2x-3 \]
\[ R=0 \]

Resultado. \(P(x):(x-2)=x^2-2x-3\), con resto \(0\)

Como el resto es cero, \(x-2\) es factor de \(P(x)\).

Ejercicio 12. Teorema del resto

Calcula el resto de dividir:

\[ P(x)=2x^4-3x^2+x-7 \]

entre \(x+1\).

Resolución

Por el teorema del resto, el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-a\) es \(P(a)\).

En este caso, \(x+1=x-(-1)\), por tanto \(a=-1\).

\[ R=P(-1) \]
\[ P(-1)=2(-1)^4-3(-1)^2+(-1)-7 \]
\[ =2-3-1-7=-9 \]

Resultado. El resto es \(-9\)

Ejercicio 13. Factorización completa de un polinomio

Factoriza completamente:

\[ P(x)=x^3-2x^2-5x+6 \]

Resolución

Buscamos raíces enteras probando divisores de \(6\): \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\).

\[ P(1)=1-2-5+6=0 \]

Como \(P(1)=0\), \(x-1\) es factor. Aplicamos Ruffini con \(1\).

\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -2 & -5 & 6\\ & & 1 & -1 & -6\\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]
\[ P(x)=(x-1)(x^2-x-6) \]

Factorizamos el trinomio:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \]
\[ P(x)=(x-1)(x-3)(x+2) \]

Resultado. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\)

Ejercicio 14. Fracciones algebraicas. Simplificación

Simplifica:

\[ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} \]

Resolución

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
\[ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} \]
\[ =\frac{x+3}{x-3} \]

Resultado. \(\frac{x+3}{x-3}\), con \(x\ne3\)

No se puede olvidar la restricción \(x\ne3\), porque el denominador original se anula en ese valor.

Ejercicio 15. Operaciones con fracciones algebraicas

Simplifica:

\[ \frac{x}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]

Resolución

El denominador común es:

\[ (x-2)(x+2) \]
\[ \frac{x}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x^2+2x+3x-6}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x^2+5x-6}{(x-2)(x+2)} \]

Factorizamos el numerador:

\[ x^2+5x-6=(x+6)(x-1) \]

Resultado. \(\frac{(x+6)(x-1)}{(x-2)(x+2)}\), con \(x\ne2\) y \(x\ne -2\)

Bloque 3

Ecuaciones que deben llegar asentadas

Modelos lineales, cuadráticos, bicuadrados, racionales, irracionales y exponenciales sencillos. El objetivo es reconocer la estructura y comprobar cuando haga falta.

Ejercicio 16. Ecuación de primer grado con paréntesis y denominadores

Resuelve:

\[ \frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=2-\frac{x-5}{6} \]

Resolución

Calculamos el mínimo común múltiplo de \(3\), \(4\) y \(6\).

\[ \text{m.c.m.}(3,4,6)=12 \]

Multiplicamos toda la ecuación por \(12\).

\[ 4(2x-1)-3(x+2)=24-2(x-5) \]
\[ 8x-4-3x-6=24-2x+10 \]
\[ 5x-10=34-2x \]
\[ 7x=44 \]
\[ x=\frac{44}{7} \]

Resultado. \(x=\frac{44}{7}\)

Ejercicio 17. Ecuación de segundo grado completa

Resuelve:

\[ 3x^2-5x-2=0 \]

Resolución

Usamos la fórmula general:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

En esta ecuación:

\[ a=3,\quad b=-5,\quad c=-2 \]
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{6} \]
\[ x=\frac{5\pm7}{6} \]
\[ x_1=2 \]
\[ x_2=-\frac13 \]

Resultado. \(x=2\) y \(x=-\frac13\)

Ejercicio 18. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Resuelve:

\[ 2x^2-18=0 \]

Resolución

\[ 2x^2=18 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm3 \]

Resultado. \(x=3\) y \(x=-3\)

En este tipo de ecuaciones es muy frecuente olvidar la solución negativa.

Ejercicio 19. Ecuación bicuadrada

Resuelve:

\[ x^4-5x^2+4=0 \]

Resolución

Hacemos el cambio:

\[ y=x^2 \]

Entonces:

\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
\[ y^2-5y+4=0 \]
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
\[ y=1 \quad \text{o} \quad y=4 \]

Volvemos a \(x\).

\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

Resultado. \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\)

Ejercicio 20. Ecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x+1}{x-2}+\frac{3}{x+2}=2 \]

Resolución

Primero indicamos restricciones:

\[ x\ne2,\quad x\ne -2 \]

Multiplicamos toda la ecuación por \((x-2)(x+2)\).

\[ (x+1)(x+2)+3(x-2)=2(x-2)(x+2) \]
\[ x^2+3x+2+3x-6=2(x^2-4) \]
\[ x^2+6x-4=2x^2-8 \]
\[ x^2-6x-4=0 \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{36+16}}{2} \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{52}}{2} \]
\[ x=3\pm\sqrt{13} \]

Ninguna de estas soluciones es \(2\) ni \(-2\), por tanto son válidas.

Resultado. \(x=3+\sqrt{13}\) y \(x=3-\sqrt{13}\)

Ejercicio 21. Ecuación irracional

Resuelve:

\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]

Resolución

Antes de elevar al cuadrado, observamos que el segundo miembro debe ser no negativo.

\[ x-1\ge0 \]
\[ x\ge1 \]

Elevamos al cuadrado:

\[ x+5=(x-1)^2 \]
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-1 \]

Comprobamos en la ecuación original.

Para \(x=4\):

\[ \sqrt{4+5}=4-1 \]
\[ 3=3 \]

Vale.

Para \(x=-1\):

\[ \sqrt{-1+5}=-1-1 \]
\[ 2=-2 \]

No vale.

Resultado. \(x=4\)

En las ecuaciones irracionales hay que comprobar siempre, porque al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

Ejercicio 22. Ecuación exponencial sencilla

Resuelve:

\[ 3^{2x-1}=27 \]

Resolución

Escribimos \(27\) como potencia de base \(3\).

\[ 27=3^3 \]
\[ 3^{2x-1}=3^3 \]

Si las bases son iguales, igualamos exponentes.

\[ 2x-1=3 \]
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]

Resultado. \(x=2\)

Bloque 4

Sistemas e inecuaciones sin atajos

Sistemas lineales y no lineales básicos, junto con inecuaciones resueltas mediante equivalencias e intervalos de signo.

Ejercicio 23. Sistema lineal por reducción

Resuelve el sistema:

\[ \begin{cases} 2x+3y=13\\ 5x-3y=8 \end{cases} \]

Resolución

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\).

\[ (2x+3y)+(5x-3y)=13+8 \]
\[ 7x=21 \]
\[ x=3 \]

Sustituimos en la primera ecuación.

\[ 2\cdot3+3y=13 \]
\[ 6+3y=13 \]
\[ 3y=7 \]
\[ y=\frac73 \]

Resultado. \(x=3\), \(y=\frac73\)

Ejercicio 24. Sistema lineal con fracciones

Resuelve:

\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\\ x-y=1 \end{cases} \]

Resolución

Quitamos denominadores en la primera ecuación multiplicando por \(6\).

\[ 6\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right)=6\cdot4 \]
\[ 3x+2y=24 \]

El sistema queda:

\[ \begin{cases} 3x+2y=24\\ x-y=1 \end{cases} \]

Despejamos \(x\) de la segunda ecuación.

\[ x=y+1 \]

Sustituimos:

\[ 3(y+1)+2y=24 \]
\[ 5y+3=24 \]
\[ 5y=21 \]
\[ y=\frac{21}{5} \]

Calculamos \(x\):

\[ x=y+1=\frac{21}{5}+\frac{5}{5}=\frac{26}{5} \]

Resultado. \(x=\frac{26}{5}\), \(y=\frac{21}{5}\)

Ejercicio 25. Sistema no lineal sencillo

Resuelve:

\[ \begin{cases} x+y=7\\ xy=12 \end{cases} \]

Resolución

De la primera ecuación despejamos:

\[ y=7-x \]

Sustituimos en la segunda:

\[ x(7-x)=12 \]
\[ 7x-x^2=12 \]
\[ x^2-7x+12=0 \]
\[ (x-3)(x-4)=0 \]
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=4 \]

Calculamos \(y\):

\[ x=3 \Rightarrow y=4 \]
\[ x=4 \Rightarrow y=3 \]

Resultado. \((x,y)=(3,4)\) y \((x,y)=(4,3)\)

Ejercicio 26. Inecuación de primer grado

Resuelve y expresa la solución como intervalo:

\[ 3(2x-1)-4x\le 5x+9 \]

Resolución

\[ 6x-3-4x\le5x+9 \]
\[ 2x-3\le5x+9 \]
\[ -12\le3x \]
\[ -4\le x \]
\[ x\ge -4 \]

En forma de intervalo:

\[ [-4,\infty) \]

Resultado. \(x\in[-4,\infty)\)

Ejercicio 27. Inecuación de segundo grado

Resuelve:

\[ x^2-5x+6\ge0 \]

Resolución

Factorizamos el polinomio.

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
\[ (x-2)(x-3)\ge0 \]

Los puntos que separan intervalos son:

\[ x=2,\quad x=3 \]

Estudiamos signos:

  • Si \(x<2\), los dos factores son negativos, el producto es positivo.
  • Si \(2<x<3\), un factor es positivo y otro negativo, el producto es negativo.
  • Si \(x>3\), los dos factores son positivos, el producto es positivo.

Como queremos producto mayor o igual que cero, incluimos los puntos \(2\) y \(3\).

Resultado. \(x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty)\)

Ejercicio 28. Inecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \]

Resolución

Los puntos importantes son los que anulan numerador y denominador.

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]

El valor \(x=-2\) no puede incluirse porque anula el denominador.

Estudiamos signos en los intervalos:

\[ (-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty) \]
  • En \((-\infty,-2)\), numerador negativo y denominador negativo, cociente positivo.
  • En \((-2,1)\), numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo.
  • En \((1,\infty)\), numerador positivo y denominador positivo, cociente positivo.

Como la desigualdad es estricta \(>0\), no incluimos \(x=1\).

Resultado. \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)\)

En una inecuación racional, los valores que anulan el denominador nunca pertenecen a la solución.

Bloque 5

Problemas de examen: del texto a las ecuaciones

Dos modelos completos para separar datos, elegir incógnitas, plantear, resolver y comprobar con las unidades del enunciado.

Ejercicio 29. Problema de edades con ecuación

Un padre tiene \(42\) años y su hijo \(12\). ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble que la edad del hijo?

Planteamiento

Llamamos \(x\) al número de años que deben pasar.

Dentro de \(x\) años, el padre tendrá:

\[ 42+x \]

Y el hijo tendrá:

\[ 12+x \]

Queremos que la edad del padre sea el doble que la del hijo.

\[ 42+x=2(12+x) \]

Resolución

\[ 42+x=24+2x \]
\[ 18=x \]

Resultado. Dentro de \(18\) años, la edad del padre será el doble que la del hijo.

Comprobación

\[ 42+18=60 \]
\[ 12+18=30 \]
\[ 60=2\cdot30 \]

Ejercicio 30. Un problema completo de examen

Un rectángulo tiene un perímetro de \(46\ \text{cm}\). Si la base aumenta \(2\ \text{cm}\) y la altura disminuye \(1\ \text{cm}\), el área aumenta \(2\ \text{cm}^2\). Calcula sus dimensiones iniciales.

Planteamiento

Llamamos \(x\) a la base e \(y\) a la altura. El perímetro permite escribir:

\[2x+2y=46\quad\Longrightarrow\quad x+y=23\]

El cambio de área se traduce sin desarrollar todavía:

\[(x+2)(y-1)=xy+2\]

Resolución

\[xy-x+2y-2=xy+2\quad\Longrightarrow\quad -x+2y=4\]

Resolvemos el sistema formado por las dos relaciones:

\[\begin{cases}x+y=23\\-x+2y=4\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 3y=27\]
\[y=9,\qquad x=23-9=14\]

Comprobación

El perímetro es \(2\cdot14+2\cdot9=46\). El área inicial es \(14\cdot9=126\) y la nueva es \(16\cdot8=128\), exactamente \(2\ \text{cm}^2\) más.

Resultado: la base mide \(14\ \text{cm}\) y la altura \(9\ \text{cm}\).

Bloque 6

Retos de puente: comprueba si la base ya aguanta

Estos ejercicios combinan contenidos de 4.º en una misma resolución. Son opcionales: no desarrollan el temario de 1.º de Bachillerato, solo comprueban si la base permite afrontar problemas menos guiados.

Ejercicio 31. Radicales y racionalización de nivel examen

Simplifica la expresión:

\[ A=\frac{(\sqrt{50}-\sqrt{18})^2}{\sqrt8} \]

Resolución

Primero simplificamos los radicales.

\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2 \]
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2 \]
\[ \sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2 \]

Sustituimos:

\[ A=\frac{(5\sqrt2-3\sqrt2)^2}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{(2\sqrt2)^2}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{8}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{4}{\sqrt2} \]

Racionalizamos:

\[ A=\frac{4}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2} \]
\[ A=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2 \]

Resultado. \(A=2\sqrt2\)

Este ejercicio une tres habilidades: simplificar radicales, operar dentro de un cuadrado y racionalizar. Si aquí aparece un error, conviene localizar en qué momento se pierde la simplificación.

Ejercicio 32. Fracción algebraica con ecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{2}{x-2} \]

Resolución

Primero factorizamos los polinomios.

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \]

La ecuación queda:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{2}{x-2} \]

Restricciones:

\[ x\ne3,\quad x\ne -2,\quad x\ne2 \]

Simplificamos el factor común \((x-3)\), recordando que \(x\ne3\).

\[ \frac{x+3}{x+2}=\frac{2}{x-2} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ (x+3)(x-2)=2(x+2) \]
\[ x^2+x-6=2x+4 \]
\[ x^2-x-10=0 \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+40}}{2} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{41}}{2} \]

Ninguna de las soluciones es \(3\), \(-2\) ni \(2\), por tanto ambas son válidas.

Resultado. \(x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\) y \(x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}\)

Este ejercicio combina factorización, restricciones y ecuación racional. No basta con operar: hay que controlar el dominio.

Ejercicio 33. Parámetro, Ruffini y factorización

Determina el valor de \(a\) para que \(x-2\) sea factor del polinomio:

\[ P(x)=x^3+ax^2-5x+6 \]

Después, factoriza el polinomio para ese valor de \(a\).

Resolución

Si \(x-2\) es factor, entonces por el teorema del resto:

\[ P(2)=0 \]

Sustituimos \(x=2\).

\[ P(2)=2^3+a\cdot2^2-5\cdot2+6 \]
\[ P(2)=8+4a-10+6 \]
\[ P(2)=4a+4 \]

Imponemos que sea cero:

\[ 4a+4=0 \]
\[ a=-1 \]

El polinomio queda:

\[ P(x)=x^3-x^2-5x+6 \]

Dividimos entre \(x-2\) mediante Ruffini.

\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -1 & -5 & 6\\ & & 2 & 2 & -6\\ \hline & 1 & 1 & -3 & 0 \end{array} \]
\[ P(x)=(x-2)(x^2+x-3) \]

El segundo factor no factoriza con raíces enteras. Si queremos sus raíces:

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+12}}{2} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} \]

Resultado. \(a=-1\) y \(P(x)=(x-2)(x^2+x-3)\)

Aquí no aparece una técnica nueva: se enlazan el teorema del resto, Ruffini y la factorización en una sola resolución.

Ejercicio 34. Reto opcional: ecuación irracional con dos raíces

Resuelve:

\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1}=3 \]

Resolución

Primero indicamos el dominio.

\[ x+1\ge0 \Rightarrow x\ge -1 \]
\[ 2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \frac12 \]

Por tanto:

\[ x\ge \frac12 \]

Aislamos una raíz:

\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{2x-1} \]

Elevamos al cuadrado:

\[ x+1=9+(2x-1)-6\sqrt{2x-1} \]
\[ x+1=2x+8-6\sqrt{2x-1} \]

Aislamos la raíz:

\[ 6\sqrt{2x-1}=x+7 \]

Volvemos a elevar al cuadrado:

\[ 36(2x-1)=(x+7)^2 \]
\[ 72x-36=x^2+14x+49 \]
\[ x^2-58x+85=0 \]

Aplicamos fórmula general:

\[ x=\frac{58\pm\sqrt{58^2-4\cdot85}}{2} \]
\[ x=\frac{58\pm\sqrt{3024}}{2} \]
\[ \sqrt{3024}=12\sqrt{21} \]
\[ x=29\pm6\sqrt{21} \]

Ahora hay que comprobar. La solución \(29+6\sqrt{21}\) no cumple la ecuación original. La solución \(29-6\sqrt{21}\) sí cumple.

Resultado. \(x=29-6\sqrt{21}\)

En una ecuación irracional de este tipo, comprobar no es opcional. Al elevar dos veces al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

Ejercicio 35. Ecuación exponencial con cambio de variable

Resuelve:

\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]

Resolución

Escribimos \(2^{x+1}\) como \(2\cdot2^x\).

\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]

Sustituimos:

\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]

Sacamos factor común \(2^x\).

\[ 2^x(2+1)=24 \]
\[ 3\cdot2^x=24 \]
\[ 2^x=8 \]

Como \(8=2^3\):

\[ 2^x=2^3 \]
\[ x=3 \]

Resultado. \(x=3\)

La dificultad está en reconocer una potencia común, no en aplicar una fórmula nueva.

Ejercicio 36. Detecta y corrige un error en un sistema

Resuelve el sistema y explica por qué es incorrecto transformar la primera ecuación en \(x+y=10\):

\[\begin{cases}\dfrac{x}{2}+y=5\\x-y=4\end{cases}\]

Resolución

Al multiplicar la primera ecuación por \(2\), hay que multiplicar todos sus términos. La transformación correcta es:

\[\frac{x}{2}+y=5\quad\Longrightarrow\quad x+2y=10\]

De la segunda ecuación obtenemos \(x=y+4\). Sustituimos:

\[y+4+2y=10\quad\Longrightarrow\quad 3y=6\quad\Longrightarrow\quad y=2\]
\[x=y+4=6\]

Comprobación

\[\frac{6}{2}+2=5,\qquad 6-2=4\]
Resultado: \(x=6\) e \(y=2\). El error estaba en olvidar que el \(2\) también multiplica a \(y\).

Ejercicio 37. Inecuación racional con tabla de signos

Resuelve:

\[ \frac{(x-1)(x+3)}{x-2}\le0 \]

Resolución

Los puntos importantes son los que anulan numerador y denominador.

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]

El valor \(x=2\) no puede incluirse porque anula el denominador.

Ordenamos los puntos:

\[ -3,\quad 1,\quad 2 \]

Estudiamos signos en los intervalos:

  • En \((-\infty,-3)\), la expresión es negativa.
  • En \((-3,1)\), la expresión es positiva.
  • En \((1,2)\), la expresión es negativa.
  • En \((2,\infty)\), la expresión es positiva.

Como queremos que sea menor o igual que cero, tomamos los intervalos donde es negativa y añadimos los ceros del numerador.

Resultado. \(x\in(-\infty,-3]\cup[1,2)\)

El \(2\) no se incluye nunca porque anula el denominador. Este detalle suele ser uno de los errores más frecuentes en exámenes.

Ejercicio 38. Problema de grifos con ecuación racional

Un grifo A tarda la mitad de tiempo que un grifo B en llenar un depósito. Si se abren los dos a la vez, llenan el depósito en \(2\) horas. ¿Cuánto tarda cada grifo por separado?

Planteamiento

Llamamos \(x\) al tiempo que tarda el grifo A en llenar el depósito.

Como A tarda la mitad que B, entonces B tarda:

\[ 2x \]

El grifo A llena en una hora:

\[ \frac{1}{x} \]

El grifo B llena en una hora:

\[ \frac{1}{2x} \]

Entre los dos llenan el depósito en \(2\) horas, así que juntos llenan en una hora:

\[ \frac12 \]

Planteamos la ecuación:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac12 \]

Resolución

\[ \frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac12 \]
\[ \frac{3}{2x}=\frac12 \]

Multiplicamos en cruz:

\[ 6=2x \]
\[ x=3 \]

Por tanto, A tarda \(3\) horas y B tarda:

\[ 2x=6 \]

Resultado. El grifo A tarda \(3\) horas y el grifo B tarda \(6\) horas.

Este problema es muy típico porque obliga a pensar en ritmos de trabajo. No se suman tiempos: se suman partes del depósito llenadas por hora.

Después de reparar los fallos

Práctica final: veinte ejercicios sin mirar

Hazlos en papel y abre las respuestas solo al terminar. Si vuelves a fallar dos ejercicios del mismo bloque, regresa al primer modelo de ese bloque y localiza el paso que cambia.

  1. Simplifica \(\frac{3^4\cdot3^{-2}}{9^{-1}}\)
  2. Expresa en notación científica \((4,8\cdot10^{-3})(2,5\cdot10^6)\)
  3. Simplifica \(\sqrt{75}-\sqrt{27}+2\sqrt{12}\)
  4. Racionaliza \(\frac{7}{\sqrt5+2}\)
  5. Desarrolla y simplifica \((3x-2)^2-(x-5)(x+5)\)
  6. Factoriza \(x^3-4x^2-x+4\)
  7. Calcula el resto de dividir \(2x^3-5x+1\) entre \(x-2\)
  8. Simplifica \(\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}\)
  9. Resuelve \(\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=5\)
  10. Resuelve \(2x^2-7x+3=0\)
  11. Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\)
  12. Resuelve \(\frac{x+2}{x-1}=3\)
  13. Resuelve \(\sqrt{x+6}=x\)
  14. Resuelve \(5^{x-1}=25\)
  15. Resuelve el sistema \(\begin{cases}3x-y=7\\2x+y=8\end{cases}\)
  16. Resuelve \(x^2-4x-5<0\)
  17. Resuelve \(\frac{x+1}{x-3}\ge0\)
  18. Un número y su doble suman \(39\). Calcula el número.
  19. La base de un rectángulo mide \(4\ \text{cm}\) más que la altura y su área es \(96\ \text{cm}^2\). Calcula sus dimensiones.
  20. Dos grifos llenan un depósito en \(3\) horas. Uno de ellos tarda el doble que el otro. Calcula cuánto tarda cada uno por separado.
Ver respuestas finales
  1. \(81\)
  2. \(1,2\cdot10^4\)
  3. \(5\sqrt3\)
  4. \(7(\sqrt5-2)\)
  5. \(8x^2-12x+29\)
  6. \((x-4)(x-1)(x+1)\)
  7. Resto \(7\)
  8. \(\frac{x-2}{x+1}\), con \(x\ne -1\), \(x\ne -2\)
  9. \(x=\frac{26}{5}\)
  10. \(x=3\), \(x=\frac12\)
  11. \(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\)
  12. \(x=\frac52\)
  13. \(x=3\)
  14. \(x=3\)
  15. \(x=3\), \(y=2\)
  16. \(x\in(-1,5)\)
  17. \(x\in(-\infty,-1]\cup(3,\infty)\)
  18. \(13\)
  19. Altura \(8\ \text{cm}\), base \(12\ \text{cm}\)
  20. El grifo rápido tarda \(4,5\) horas y el lento tarda \(9\) horas

Control final antes de dar una respuesta por buena

Durante el desarrollo

  • Ordena la expresión antes de operar.
  • Multiplica todos los términos al quitar paréntesis o denominadores.
  • Escribe restricciones antes de simplificar fracciones.
  • En una inecuación, estudia signos: no basta con hallar ceros.

Antes de terminar

  • Comprueba las soluciones de ecuaciones irracionales y racionales.
  • Incluye los dos signos cuando \(x^2=a\) y \(a>0\).
  • Revisa intervalos abiertos, cerrados y valores prohibidos.
  • En los problemas, responde con unidades y sentido real.

Qué pertenece a este puente y qué viene después

Este recurso no es un curso completo de 4.º ni una versión abreviada del cuaderno de 1.º. Su función es comprobar y reparar la base algebraica con la que se cambia de etapa.

Si necesitas aprender cada bloque con más recorrido Radicales, logaritmos y ecuaciones en 4.º de ESO organiza la práctica temática de la primera evaluación. Si el punto débil está en polinomios El monográfico de polinomios y factorización amplía Ruffini, raíces, productos notables y resto sin repetir los demás bloques. Cuando esta base ya está asentada Álgebra de 1.º de Bachillerato continúa con cien ejercicios graduados, más profundidad y contenidos propios de ese curso.

Una idea para llevarse

Llegar preparado a Bachillerato no significa haber adelantado temario. Significa poder ordenar una expresión, justificar una transformación y detectar una respuesta imposible sin depender de que el ejercicio sea idéntico al ejemplo anterior.

Cuando la transición necesita seguimiento

Si el diagnóstico descubre varios fallos conectados, se puede trabajar el paso a Bachillerato con ejercicios corregidos y una ruta ajustada al punto de partida. Cuando encaja mejor una franja temprana, también hay una opción específica por la mañana.

Matemáticas online de Bachillerato Clases online por la mañana

Preguntas frecuentes

¿Este recurso sustituye al cuaderno de Álgebra de 1.º de Bachillerato?

No. Este puente revisa la base de 4.º de ESO. El cuaderno de 1.º empieza después y trabaja más volumen, profundidad y contenidos propios de Bachillerato.

¿Hay que hacer los 38 modelos en orden?

No. El diagnóstico sirve para escoger. Si un bloque está asentado, se puede pasar al siguiente; si aparecen dos errores parecidos, conviene trabajar ese bloque desde el comienzo.

¿Los retos finales adelantan materia de 1.º?

No. Combinan procedimientos de 4.º en ejercicios menos guiados. Su objetivo es comprobar autonomía, no introducir un tema nuevo.

¿Cuándo conviene comprobar una solución?

Siempre que se hayan eliminado denominadores, elevado al cuadrado o impuesto condiciones de dominio. En los problemas también conviene revisar unidades y sentido real.

Material elaborado y revisado por José María

Marlu Educativa · Álgebra de 4.º de ESO · Revisión académica y editorial: 15 de agosto de 2026.

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